Schnittpunkt - Klett...3 Lesen und Lösen L 63 Üben • Anwenden • Nachdenken L 64 7...

ISBN 978-3-12-742388-4

Lö

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M

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7

SchnittpunktMathematik

Lösungen

7

Mathematik

Lösungen

Ernst Klett VerlagStuttgart · Leipzig

Schnittpunkt 7

1. Auflage 1 6 5 4 3 2 | 2015 14 13 12 11

AlleDruckedieserAuflagesindunverändertundkönnenimUnterrichtnebeneinanderverwendetwerden.DieletztenZahlenbezeichnenjeweilsdieAuflageunddasJahrdesDruckes.

DasWerkundseineTeilesindurheberrechtlichgeschützt.JedeNutzunginanderenalsdengesetzlichzugelassenenFällenbedarfdervorherigenschriftlichenEinwilligungdesVerlages.Hinweiszu§52aUrhG:WederdasWerknochseineTeiledürfenohneeinesolcheEinwilligungeingescanntundineinNetzwerkeingestelltwerden.DiesgiltauchfürIntranetsvonSchulenundsonstigenBildungseinrichtungen.FotomechanischeoderandereWiedergabeverfahrennurmitGenehmigungdesVerlages.

©ErnstKlettVerlagGmbH,Stuttgart2008.AlleRechtevorbehalten.Internetadresse:www.klett.de

Redaktion: Annette Thomas, Beate Zachmann

Zeichnungen :media office gmbh, KornwestheimBildkonzept Umschlag:SoldanKommunikation,StuttgartUmschlagfoto:Klaus Mellenthin, Stuttgart

Reproduktion:Meyle+Müller,MedienManagement,PforzheimDTP / Satz: media office gmbh, KornwestheimDruck: Digitaldruck Tebben, BiessenhofenPrintedinGermany

ISBN-13: 978-3-12-742388-4

Schnittpunkt 7, Mathematik

BegleitmaterialMathematik Kopiervorlagen, Klasse 7/8 (ISBN 978-3-12-740477-7)Arbeitsheft plus Lösungsheft (ISBN 978-3-12-742376-1)Arbeitsheft plus Lösungsheft mit Lernsoftware (ISBN 978-3-12-742375-4)Schnittpunkt Kompakt, Klasse 7/8 (ISBN 978-3-12-740378-7)Kompetenztest 2, Klasse 7/8 (ISBN 978-3-12-740487-6)Formelsammlung (ISBN 978-3-12-740322-0)

Inhalt

1 Zuordnungen __ L 11 Zuordnungen und Schaubilder __ L 12 Graphen von Zuordnungen __ L 33 Proportionale Zuordnungen __ L 44 Antiproportionale Zuordnungen __ L 7 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 8

2 Rationale Zahlen __ L 131 Ganze Zahlen __ L 132 Rationale Zahlen __ L 143 Anordnung __ L 154 Zunahme und Abnahme __ L 175 Das Koordinatensystem __ L 17 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 18

3 Rechnen mit rationalen Zahlen __ L 211 Addieren __ L 212 Subtrahieren __ L 223 Addition und Subtraktion. Klammern __ L 234 Multiplizieren __ L 255 Dividieren __ L 256 Verbindung der Rechenarten __ L 27 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 28

4 Dreiecke __ L 311 Winkel im Schnittpunkt von Geraden __ L 312 Winkelsumme im Dreieck __ L 313 Dreiecksformen __ L 324 Konstruktion von kongruenten

Dreiecken __ L 345 Umkreis und Inkreis __ L 40

6 Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt __ L 437 Der Satz des Thales __ L 458 Achsenspiegelung __ L 47 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 48

5 Rechnen mit Termen __ L 541 Terme und Variablen __ L 542 Addition und Subtraktion von Termen __ L 553 Multiplikation und Division von Termen __ L 56 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 58

6 Gleichungen __ L 601 Lösen durch Probieren __ L 602 Gleichungen umformen __ L 613 Lesen und Lösen __ L 63 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 64

7 Prozente __ L 671 Absoluter und relativer Vergleich __ L 672 Prozente __ L 683 Prozentsatz __ L 704 Prozentwert __ L 705 Grundwert __ L 71 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 72

8 Daten erfassen und auswerten __ L 751 Daten erfassen __ L 752 Daten darstellen __ L 763 Daten auswerten __ L 79 Üben • Anwenden • Nachdenken __ L 81

Treffpunkte __ L 83

1 Zuordnungen L 1

1 Zuordnungen

Auftaktseite: Wer, wie, was und zu wem?

Seiten 10–11

Fingerrennen• Lena, Miriam und Fabian sind an der Startlinie

gestartet. David hat in der Mitte der Strecke begonnen. David und Miriam sind mit gleicher Geschwindigkeit gelaufen, Fabian und Lena haben ihr Tempo verändert.

• individuelle Lösung• individuelle Lösung• individuelle Lösung• individuelle Lösung

Punkte im Quadratgitter• individuelle Lösung• Die Punkte liegen auf einer Geraden bzw.

Hyperbel.• individuelle Lösung• Ja.• Die gelben, grünen und blauen Punkte liegen

auf einer Geraden, die roten nicht.

1 Zuordnungen und Schaubilder

Seite 12

Einstiegsaufgabe individuelle Lösungen individuelle Lösungen ROS Kreis Rostock H Hannover D Düsseldorf L Leipzig KS Kassel S Stuttgart M München Nein. Manchmal haben mehrere kleine Orte ein gemeinsames Kennzeichen.

Seite 13

1 individuelle Lösung



4 a) und b)

Füllhöhe

Zeit

mit Feuerwehrschlauch und Gartenschlauch mit einem Feuerwehrschlauch mit einem Gartenschlauch

mit einem Wassereimerc)

Füllhöhe

Zeit

d)

Füllhöhe

Zeit

5 a) Kosten allgemein = 84 + x·1,50 (x = Verbrauch in Kubikmeter)84 + 120·1,50 = 264 €b) Familie Simon: 84 + 60·1,50 = 174 €Familie Stein: 84 + 96·1,50 = 228 €c) Abwassergebühren allgemein: 72 + x·4Familie Aretz: 552 €Familie Simon: 312 €Familie Stein: 456 €d) Man teilt die Summe der Gebühren durch 12.Familie Aretz: 68 €Familie Simon: 40,50 €Familie Stein: 57 €

Schülerbuchseite 10 – 13

L 2 1 Zuordnungen

7

Verbrauch in

Geschwindigkeit in

ø __ 100 km

km_ h

13

10

5

21

10 50 100 160

Geschwindigkeit in km/h 60 100 140

Verbrauch in ø/100 km 7,1 9,3 12,2

8 a)

Höhe (in cm)

Zeit (in h)

10

5

5 10O

15

b)

Zeit in Stunden 2 5 6 8

Länge in cm 12 7,5 6 3

c)

Zeit in Stunden 0 2 4 6 8 10

Länge in cm 15 12 9 6 3 0

RandspalteVon oben nach unten:Die Fahne wird in Schüben hochgezogen. Dieses Schaubild ist realistisch, wenn die Fahne per Hand hochgezogen wird.Die Fahne wird mit einer Geschwindigkeit hochgezogen. Dieses Schaubild ist realistisch, wenn die Fahne elektrisch hochgezogen wird.Die Fahne wird zunächst schnell und dann immer langsamer hochgezogen.Die Fahne wird zu Beginn langsam und dann immer schneller hochgezogen.

6 a)

Wasserstandshöhe

Zeit

b)

Wasserstandshöhe

Zeit

c)

Wasserstandshöhe

Zeit

d)

Schülerbuchseite 13

1 Zuordnungen L 3

2 Graphen von Zuordnungen

Seite 14

Einstiegsaufgabe Beispiel: Wählerstimmen in verschiedenen Wahlkreisen Beispiel: Klimaentwicklung im Langzeitdiagramm

Seite 15

1 a)

10 11 12 13 14 15 16 17

3530252015105

Schneehöhe (in cm)

Zeit

O

b) Um 12.30 Uhr wird der Schnee etwa 14 cm hoch gelegen haben.c) Da die Schneehöhe zwischen 11.00 Uhr und 15.00 Uhr ansteigt, wird es vermutlich in diesem Zeitraum geschneit haben.

2 a)

10 20 30 40 50 60

Zeit (in min)

5045403530252015105

Gefäß 1

Gefäß 2

Temperatur (in ˚C)

O

b) Nach 22 Minuten beträgt die Temperatur des Wassers im ersten Gefäß etwa 21 °C und im zweiten Gefäß etwa 25 °C.c) Da die Temperatur im zweiten Gefäß langsamer abnimmt, könnte es z. B. besser isoliert sein. Die Umgebungstemperatur wird vermutlich 20 °C betragen.

Seite 16


4 Graph a) gehört zu Gefäß 3, Graph b) zu Gefäß 2, Graph c) zu Gefäß 4 und Graph d) zu Gefäß 1.

5 Lässt man die Kugel im höchsten Punkt los, so beschleunigt sie zunächst, bremst nach der Mulde etwas ab um dann im letzten Abschnitt der Bahn wieder zu beschleunigen. Zur Zuordnung Zeit t Geschwindigkeit v gehört der rechte Graph.

6 Linker Graph:1) Die Zuordnung Zeit t Geschwindigkeit v bei einer Kugel, die durch eine Mulde rollt.2) Die Zuordnung Zeit t Höhe h eines Wanderers, der über einen Berg läuft.Mittlerer Graph:1) Die Zuordnung Zeit t Geschwindigkeit v bei einer Kugel, die mit Schwung eine Anhöhe hoch rollt.2) Die Zuordnung Zeit t Höhe h eines Schifahrers, der einen Hang hinunterfährt.Rechter Graph: Die Zuordnung Zeit t Geschwindigkeit v bei einem Auto, das anfährt, kurz bremst und dann weiter beschleunigt.

7 a) Möglicher Text für den roten Weg: „Zunächst beschleunigt man den Wagen in Stadt A und fährt dann auf der Straße bis kurz vor Stadt B mit konstanter Geschwindigkeit. In Stadt B fährt man langsamer, um dann wieder bis zu den Serpentinen schneller zu fahren. Nachdem man die Kurven langsamer durchfahren hat, fährt man auf dem letzten Stück wieder schneller.“b) Mögliche Graphen:

5 10 15 20 25 30 35

80

40

Geschwindigkeit (in km/h)

Wegstrecke (in km)

roter Weg

O

5 10 15 20 25 30 35

120

80

40


Wegstrecke (in km)

blauer Weg

O


L 4 1 Zuordnungen

5 10 15 20 25 30 35

120

80

40


Wegstrecke (in km)

gelber Weg

O


9 a) Um 21.00 Uhr betrug der Wasserverbrauch etwa 1,6 m3/h, um 19.15 Uhr etwa 3,8 m3/h.b) Das Spiel begann vermutlich um 19.30 Uhr, Halbzeit wäre dann von 20.15 Uhr bis 20.30 Uhr gewesen. Da der Wasserverbrauch nach der regulären Spielzeit um 21.15 Uhr stark anstieg, wird es vermutlich keine Verlängerung gegeben haben.c) Mögliche Graphen:

19:0

0

19:3

0

20:0

0

20:3

0

21:0

0

21:3

0

22:3

0

22:0

0

23:0

0

60

40

20

Wasserverbrauch (in m³/h)

Uhrzeit

TennisEishockey

O

Seite 17

Schaubilder erzählen Geschichten

Kurze Geschichten Laura ist älter als Fred.Fred ist älter als Tim.Fred ist leichter als Tim und als Laura. Der ICE fährt mit höherer Geschwindigkeit als der Regionalexpress, die Fahrzeit von Frankfurt nach Berlin ist deshalb mit dem ICE kürzer.Die Temperatur ist zum früheren Zeitpunkt A und zum späteren Zeitpunkt B gleich.

Geschichten mit mehr Mitspielern Fahrrad: rotes KreuzPKW: gelbes KreuzBus: blaues KreuzRennwagen: violettes KreuzFlugzeug: orangefarbenes KreuzSchiff: grünes Kreuz

Verzwicktere Geschichten Peter lässt das Wasser einlaufen. Er dreht das Wasser zu und wartet einen Moment. Peter steigt nun in die Wanne, bleibt einige Zeit liegen und steigt wieder aus der Wanne. Er steigt nach einiger Zeit langsam wieder in die Badewanne bleibt eine längere Zeit in der Wanne liegen und steigt dann langsam aus der Wanne. Nach einiger Zeit lässt er das Wasser ab. Die Leistungsfähigkeit steigt ab 3 Uhr nachts. Um 10 Uhr hat man die höchste Leistungsfähigkeit erreicht. Sie sinkt dann bis etwa 15 Uhr. Von diesem Zeitpunkt steigt die Leistungsfähigkeit bis 19 Uhr noch einmal an. Ab diesem Zeitpunkt sinkt sie stetig bis nachts um 2 Uhr, wo sie ihren absoluten Tiefpunkt hat.• Von 7.30 Uhr bis 12.00 Uhr und noch einmal

17.00 Uhr bis 20.00 Uhr.• Um etwa 10.00 Uhr• Ab etwa 16.30 Uhr• individuelle Lösungen

3 Proportionale Zuordnungen

Seite 18

Einstiegsaufgabe Von CHEAP kommen die Quittungen über 41,25 ø und 48,75 ø. Von FIT kommen die Quittungen über 40 ø, 40,20 ø und 28,56 ø.Das kommt darauf an, wie weit die Tankstellen entfernt sind.


1 Zuordnungen L 5

Seite 19

1 240 Portionen/370 Schüler ≈ 0,65 Portionen/Schüler450 Schüler·0,65 Portionen/Schüler = 293 Portionen390 Schüler·0,65 Portionen/Schüler = 254 Portionen515 Schüler·0,65 Portionen/Schüler = 335 Portionen

2 a)

Anzahl Pferde 1 5 18

tägl. Trinkwassermenge in ø 60 300 1080

b)

Anzahl Arbeitsstunden 50 150 200

Lohnkosten in € 800 2400 3200

c)

Einnahmen in € 600 720 953

Anzahl Eintrittskarten 66,66 80 105,88

d)

Wandfarbe in m2 20 70 110

Wandfarbe in ø 3,5 12,25 19,25

3 a) 30 1,25 b) 5 400

4 a) Mehr Eier brauchen keine längere Kochzeit.b) Nur wenn Lea mit gleicher Geschwindigkeit läuft, stimmt ihre Berechnung. Im Normalfall wird sie nach und nach langsamer. Daher wird sie mehr als 2 Minuten und 20 Sekunden brauchen.c) Das Gemälde „Mona Lisa“ ist einmalig. Deswegen kostet es 39,9 Mio. €. Wenn eine Kopie verkauft wird, ist es sehr unwahrscheinlich, dass sie soviel kostet wie angegeben. Vermutlich wird solch eine Kopie viel weniger kosten.

5 • Balsaholz: 0,12 kg

Fichte: 0,38 kg Buche: 0,68 kg Eiche: 1 kg Pockholz: 1,2 kg

• Balsaholz: 0,12 kg·2,5 = 0,3 kg Fichte: 0,38 kg·2,5 = 0,95 kg Buche: 0,68 kg·2,5 = 1,7 kg Eiche: 1 kg·2,5 = 2,5 kg Pockholz: 1,2 kg·2,5 = 3 kg

• individuelle Lösungen• Balsaholz: 8,33 dm3

Fichte: 2,63 dm3 Buche: 1,47 dm3 Eiche: 1 dm3 Pockholz: 0,83 dm3

Seite 20

6 a) 68,0 Pence per litre 309,0 Pence per gallon

75,0 Pence per litre 341,0 Pence per gallon 87,0 Pence per litre 395,5 Pence per gallon

b) 370,0 Pence per gallon 81,5 Pence per litre 300,0 Pence per gallon 66,0 Pence per litre 347,0 Pence per gallon 76,5 Pence per litrec) 66 Pence per litre 300,0 Pence per gallon 77 Pence per litre 350,0 Pence per gallon 88 Pence per litre 400,0 Pence per gallon

400

300

200

100

pence per gallon

pence per litre

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Die Zuordnung ist proportional. d) 300 : 66 = 4,54

7 Proportional sind folgende Zuordnungen:Anzahl der Waffeln Backzeit (wenn man davon ausgeht, dass man die Waffeln mit einem Waffel eisen backen möchte)Anzahl der Maschinen Zeit, um 10 000 Nägel herzustellen (wenn man davon ausgeht, dass alle Maschinen gleich schnell arbeiten)Nichtproportional sind folgende Zuordnungen:Alter eines Kindes Körpergröße (Körpergröße ist nicht vom Alter abhängig)Anzahl der Arbeitsstunden Lohn (Zuschüsse sind möglich)Fahrtstrecke Fahrtdauer (Geschwindigkeits begrenzungen)Dauer des Spiels Anzahl der ToreGefahrene Strecke Fahrzeit(abhängig von der Geschwindigkeit)Anzahl der Äpfel Gewicht(Äpfel können unterschiedliches Gewicht haben)


L 6 1 Zuordnungen

8 a)

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

¤

Anzahl

Kauf in Boxen

Einzelkauf

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

(3 | 1,47)

(32 |8,98)

(16 |4,49)(10|4,90)

(16 |7,84)

b) Die folgende Tabelle zeigt die jeweils günstig s ten Preise bei bestmöglicher Zusammenstellung.

Anzahl der Stifte Preis in € Zusammenstellung

1 0,49 1 Einzelstift

2 0,98 2 Einzelstifte








10 4,49 1 Box

11 4,49 1 Box

12 4,49 1 Box

13 4,49 1 Box

14 4,49 1 Box

15 4,49 1 Box

16 4,49 1 Box

17 4,98 1 Box und 1 Einzelstift

18 5,47 1 Box und 2 Einzelstifte








26 8,98 2 Boxen

27 8,98 2 Boxen

28 8,98 2 Boxen

29 8,98 2 Boxen

30 8,98 2 Boxen

31 8,98 2 Boxen

32 8,98 2 Boxen

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

Preis in ¤

Anzahl

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Der Kauf einer Box lohnt sich ab 10 bzw. 26 Stiften.

9• Rauchschwalbe: 1000 km

Star: 1750 km Kranich: 1300 km Regenpfeifer: 2182 km

• Rauchschwalbe: 24 h Star: 13,7 h ≈ 13 h 42 min Kranich: 18,5 h ≈ 18 h 30 min Regenpfeifer: 11 h

• Rauchschwalbe: 41,7 km/h Star: 72,9 km/h Kranich: 54,2 km/h Regenpfeifer: 90,9 km/h

900080007000600050004000300020001000

Strecke in km

Zeit in h

Rauchschwalbe

O 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

Star

Kranich

Regenpfeifer

Proportionale Zuordnung

Kraftstoffmenge zu Fahrtstrecke Die Zuordnung ist nicht proportional. 1. Woche: 8,55 ø/100 km2. Woche: 8,17 ø/100 km3. Woche: 9,07 ø/100 km4. Woche: 7,87 ø/100 kmgesamt: 8,295 ø/100 km unterschiedliche Geschwindigkeiten, Bremsen, … individuelle Lösung individuelle Lösung


1 Zuordnungen L 7

4 Antiproportionale Zuordnungen

Seite 21

Einstiegsaufgabe individuelle Lösungenindividuelle Lösungenindividuelle Lösungen

Seite 22

1 a) 16·9 : 12 = 12b) 24·5 : 30 = 4c) 20 km·10 min : 25 km = 8 min d) 8·70 € : 7 = 80 €e) Ursprünglich hätten Paul und Tim je 50 € bezahlt. Mehrkosten: 100 € : 30·36 = 120 €.120 € : 3 = 40 €. Die drei zahlen nur jeweils 40 €.

2 a)

Zahl der Personen Gewinn pro Person in €

: 2 4 ·3 2 : 6 6 ·8 1 8

300 ·2 600 : 3 200 ·6 1200 : 8 150

b)

Schrittlänge in cm Schrittzahl

: 2 80 : 4 40 ·10 10 : 2 100 50

120 ·2 240 ·4 960 : 10 96 ·2 192

Antiproportionale Zuordnung

Länge zu Anzahl von Leisten Anzahlen: 10; 8; 7; 6 (die Anzahl der Teilstücke muss auf ganze Zahlen abgerundet werden) individuelle Lösung Je größer die Stücklänge, desto kleiner ist der Quotient aus der Leistenlänge und der Stücklänge. Die erhaltenen Stückzahlen lauten: 29; 19; 14; 11; 9; 8; 7; 6. In manchen Fällen bleibt die Stückzahl gleich, meistens erhält man jedoch ein Teilstück weniger. individuelle Lösung (Das Produkt aus Stücklänge und Anzahl der Teilstücke ist stets gleich der Leistenlänge.)

Seite 23

3 16·1,50 € : 20 = 1,20 €

4 45 Personen: 500 €40 Personen: 787,50 €35 Personen: 900 €30 Personen: 1050 €

5 141·75 € : 188 = 56,25 €

6 6·1,45 € : 9 = 0,97 €

7 a)

Dauer (h)Geschwindigkeit

Gegenwind (km/h)Geschwindigkeit Flugzeug (km/h)

9 0 950

9,24 ≈ 9 h 15 min 25 925

9,5 = 9 h 30 min 50 900

9,77 ≈ 9 h 46 min 75 875

10,06 ≈ 10 h 4 min 100 850

10,36 ≈ 10 h 22 min 125 825

b)

10,5

10,0

9,5

9,0

Dauer in h

Geschwin-digkeit in km/h

800 825 850 875 900 925 950

c)

2,0 1,5 1,0 0,5

Verlängerung der Flugdauer in h

Windgeschwindig- keit in km/h

25 O

50 75 100 125 150

Die Zuordnung ist proportional: Je größer die Windgeschwindigkeit, desto länger ist die Flugdauer.

Punkte einmal anders

16 pt: 57 Buchstaben20 pt: 45 Buchstaben24 pt: 38 Buchstaben28 pt: 32 Buchstaben Nein. Sie ist aber annähernd umgekehrt proportional: Das Produkt aus Schriftgröße und Buchstabenzahl beträgt immer ungefähr 900. individuelle Lösungen


L 8 1 Zuordnungen

Üben • Anwenden • Nachdenken

Seite 25

1 a) proportionale Zuordnungb) umgekehrt proportionale Zuordnungc) proportionale Zuordnung2 a)

Kosten in € 1 3 5 13 14

Nägel in g 400 1200 2000 5200 5600

Zeit in h 36 18 12 6

Anzahl der Arbeiter 1 2 3 6

3 a) weder nochb) umgekehrt proportional

Eingabegröße 1 2 3 4 5 6 7

Ausgabegröße 24 12 8 6 4,8 4 3,43

4 a) umgekehrt proportionalb) proportionalc) weder noch

5 Es werden 7,5 Müllwagen benötigt; da es aber keine halben Müllwagen gibt, müssen es 8 sein!

6 Reinigungskräfte 3 6 12 24 60 120 240

Zeit (h)

8

4

2

1

0,4 = 24 min

0,2 = 12 min

0,1 = 6 min

Ab 60 Reinigungskräften wird diese Zuordnung zunehmend unsinniger, da sie sich immer mehr im Weg stehen und somit wieder länger brauchen.

7 a)

Eingabegröße 1 2 3 4 5

Ausgabegröße 4 8 12 16 20


Ausgabegröße 4 2 4 _ 3 1 4 _ 5

b)

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 a) und b)

Dosen 4 40 12

Tage 3 30 9

9 Da es sich um eine sitzende Statue handelt, ist sie vermutlich etwa 3mal so groß wie die davor stehende Person, also etwa 3·1,80 m = 5,40 m.

10 a)

Eingabegröße 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ausgabegröße 34 68 102 136 170 204 238 272 306 340

Eingabegröße 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ausgabegröße 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15


1 Zuordnungen L 9

11 a)


Ausgabegröße 48 24 16 12 8

b)

Eingabegröße 1 2 3 4 6 7

Ausgabegröße 84 42 28 21 14 12

Seite 26

Je mehr … desto mehr?

Woche Fahrtage Strecke Benzin

in km in Liter

31. 03.–05. 04. 3 139 11,54

07. 04.–12. 04. 4 178 14,56

14. 04.–19. 04. 2 277 20,85

21. 04.–26. 04. 3 330 27,25

28. 04.–02. 05. 5 541 42,55

Der Verbrauch in Liter/100 km ist annähernd gleich, daher liegt eine annähernd proportionale Zuordnung vor. Am Diagramm erkennt man dies daran, dass die Punkte in etwa auf einer Geraden liegen. Wenn der Verbrauch Liter/100 km immer gleich hoch wäre, wäre es eine „echte“ proportionale Zuordnung, aber aus verschiedenen Gründen (Verkehrslage, Autobahn und Stadtfahrt, …) ist der Verbrauch nicht immer gleich hoch.

12 a) 48 M, 36 Sb) L 42–44c) XXL Damen 50 +XXL Herren 56 +

13 a) 1500 m _ s ·0,03 s = 45 mb)

Tiefe (m) 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500

Schall (s) 1 _ 10 2 _ 10 3 _ 10 4 _ 10 5 _ 10 6 _ 10 7 _ 10 8 _ 10 9 _ 10 1

19⁄10

8⁄10

7⁄10

6⁄10

5⁄10

4⁄10

³⁄10

²⁄10

¹⁄10

O10

0 20

0 30

0 40

0 50

0 60

0 70

0 80

0 90

0 10

00

1100

12

00

1300

14

00

1500

Tiefe in m

Schall in s

c) 340 m/s

Entfernung (m) 34 68 102 136 170 204 238 272 306 340

Schall (s) 1 _ 10 2 _ 10 3 _ 10 4 _ 10 5 _ 10 6 _ 10 7 _ 10 8 _ 10 9 _ 10 1

Hört man den Donner 3 Sekunden, nachdem man den Blitz gesehen hat, dann ist das Gewitter etwa 1 km entfernt.

14 a) Herr Koenen: 1,50 € + 15·50 ct = 9,00 €Frau Zimmermann: 1,50 € + 30·50 ct = 16,50 €b) Frau Teobald: (18,00 € – 1,50 €) : 50 ct = 33Herr Schramm: (9,00 € – 1,50 €) : 50 ct = 15Frau Teobald fährt 33 km, Herr Schramm genau 15.

15 a) 0 min – 20 min, 40 min – 60 minb) Ein Läufer läuft 20 min mit 12 km/h. Dann macht er 20 min Pause. Anschließend läuft er weitere 20 min mit 9 km/h.


L 10 1 Zuordnungen

Seite 27

Geschwindigkeit

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

O

h

km

Fahrrad

Moped

Auto

1 2 3 4 5 6 7 8

180

160

140

120

100

80

60

40

20

O

h

km

Lkw Motorrad Pkw

1 2 3 4

16 a) Familie Schmid: 6 h, Familie Meyer: 5,4 h = 5 h 24 min, Familie Bobic: 4,5 h = 4 h 30 min.b)

540

480

420

360

300

240

180

120

60

O

Zeit in h

Weg in km

(6 |540) Familie Schmid

Familie Meyer

Familie Bobic (4 |480)

(3 |300)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Familie Bobic hat nach 3 h 60 km Vorsprung vor Familie Schmid und 90 km vor Familie Meyer.

17 a) proportionale Zuordnungb) Der Wert ist aufgerundet, da man nur ganze Rollen kaufen kann.c)

Umfang in m Anzahl der Rollen

7 5

8 6

9 6

11 8

13 9

14 10

16 11

17 12

19 13

18 Wand: 3,6 m·2,4 m = 8,64 m2

15 cm·15 cmKachel: 8,64 m2 : 0,0225 m2 = 38415 cm·20 cmKachel: 8,64 m2 : 0,03 m2 = 28820 cm·20 cmKachel: 8,64 m2 : 0,04 m2 = 216

19 individuelle Lösungen


1 Zuordnungen L 11

Seite 28

20 a) 6·4 = 24; 24 Umdrehungenb) 7,5·4 = 30; 30 Umdrehungenc) 1 cm· 3 _ 4 = 0,75 cmd) 1,5·4 = 6; 6 Umdrehungen

21 a)

100

80

60

40

20

O 2 4 6 8 10

Länge in km

Länge auf der Karte in cm

1:1000000

1:750000

1:500000

1:200000

b) 1 : 200 000 12 km 1 : 750 000 45 km 1 : 500 000 30 km 1 : 1 000 000 60 kmc) 1 : 200 000 10 cm 1 : 750 000 2,66 cm 1 : 500 000 4 cm 1 : 1 000 000 2 cmd) individuelle Lösungen

22 Abhängig davon, wie viele Gebäckstücke gebacken werden sollen, müssen die Rezeptangaben vervielfacht werden. Folgende Tabelle gibt eine Aufstellung über die Mengen:

Mehl (g)

Hefe (g)

Milch (mø)

Butter (g)

Honig (g)

Eier (Stück)

16 Gebäck stücke

500 40 150 90 70 3

32 Gebäck stücke

1000 80 300 180 140 6

48 Gebäck stücke

1500 120 450 270 210 9

64 Gebäck stücke

2000 160 600 360 280 12

80 Gebäck stücke

2500 200 750 450 350 15

96 Gebäck stücke

3000 240 900 540 420 18

23 Gewicht (g) Äpfel (€) Trauben (€) Orangen (€)

100 0,16 0,28 0,12

200 0,32 0,56 0,24

300 0,48 0,84 0,36

400 0,64 1,12 0,48

500 0,80 1,40 0,60

600 0,96 1,68 0,72

700 1,12 1,96 0,84

800 1,28 2,24 0,96

900 1,44 2,52 1,08

1000 1,60 2,80 1,20

1100 1,76 3,08 1,32

1200 1,92 3,36 1,44

1300 2,08 3,64 1,56

1400 2,24 3,92 1,68

1500 2,40 4,20 1,80

1600 2,56 4,48 1,92

1700 2,72 4,76 2,04

1800 2,88 5,04 2,16

1900 3,04 5,32 2,28

2000 3,20 5,60 2,40

2100 3,36 5,88 2,52

2200 3,52 6,16 2,64

2300 3,68 6,44 2,76

2400 3,84 6,72 2,88

2500 4,00 7,00 3,00

7

6

5

4

3

2

1

Preis in ¤

Gewicht in g

Trauben

Äpfel

Orangen

0 500 1000 1500 2000 2500 3000


L 12 1 Zuordnungen

24 a)

StreckeUmdrehungen

hintenUmdrehungen

Pedal

1 18 _ 48 = 3 _ 8 = 0,375

100 m 50 3 _ 8 ·50 = 75 _ 4 = 18,75

4000 m 50·40 = 2000 75 _ 4 ·40 = 750

b) Luis benötigt nur 750· 15 _ 18 = 625 Pedal

umdrehungen.

25 a) 30malb) 60·5 ø = 300 ø300 ø : 15 ø = 20c) 300 ø : 15 = 20 ød) 300 ø : 10 ø/min = 30 min


2 Rationale Zahlen L 13

2 Rationale Zahlen

Auftaktseite: Unter null

Seiten 30 und 31

Wenn der Wind die Kälte macht • Die gefühlten Temperaturen sind: 1 °C, –19 °C,

–52 °C, –71 °C.• Von den angegebenen Windchill-Kombinatio-

nen wird – 10 °C bei einer Windgeschwindigkeit von 30 km/h am kältesten empfunden (gefühlte –27 °C)

• Am stärksten verändert sich die empfundene Temperatur bei der Windgeschwindigkeit 80 km/h.

• Ab einer Windgeschwindigkeit von 60 km/h ändern sich die Temperaturen nur noch um jeweils ein Grad je 10 km/h.

1 Ganze Zahlen

Seite 32

Einstiegsaufgabe Groningen liegt 1 m unter dem Meeresspiegel. b)

– 4 – 2 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16

Bei Temperaturangaben oder Kontoständen benutzt man negative Zahlen.

RandspalteDie meisten Orte der Niederlande liegen nur gering-fügig über dem Meeresspiegel; einige liegen sogar niedriger als der Meeresspiegel.

Seite 33

1 a) –17 °C; –31 °C c) – 165 €; + 485 €b) + 258 m; – 59 m d) – 3; 0

2 a) – 27; – 12; – 4; + 7; + 19b) – 360; – 190; – 60; 0; + 70; + 240c) – 2060; – 2035; – 2005; – 1995; – 1975

3 a)

– 6 – 4 – 2 0 + 2 + 4 + 6 – 7 – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + 5 + 7

b)

– 60 – 40 – 20 0 + 20 + 40 + 60 – 70 – 50 – 30 – 10 + 10 + 30 + 50 + 70

c)

– 600

– 700

– 500

– 400

– 300

– 200

– 100

0

+ 100

+ 200

+ 300

+ 400

+ 500

+ 600

+ 700

d) – 6000

– 7000

– 5000

– 4000

– 3000

– 2000

– 1000

0

+ 1000

+ 2000

+ 3000

+ 4000

+ 5000

+ 6000

+ 7000

4 a)

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

b)

– 100 – 60 – 20 0 + 20 + 60 + 100 – 80 – 40 + 40 + 80

5 a) + 7 b) + 2 c) – 4 d) – 9

6 a) – 7 °C b) + 13 °C c) – 11 °C d) 0° C

7 a) – 9; – 15; – 21; – 27; – 33; …b) – 17; – 12; – 7; – 2; + 3; …c) + 2; – 10; – 23; – 37; – 52; …d) – 11; – 20; – 31; – 44; – 59; …e) – 10; + 12; – 14; + 16; – 18; …f) – 11; – 16; – 22; – 29; – 37; …

8 a) Puerto-Rico-Graben – 9 2Å9 m Aconcagua 6 958 m Montblanc 4 80å m Kilimandscharo 5 895 m Mt. Everest 8 8å2 m Sundagraben – å 500 m Kurillengraben – Å0 542 m Marianengraben – ÅÅ 034 m


L 14 2 Rationale Zahlen

b)

1 2 3 4 5 6 7 8

+ 10 000

+ 8 000

+ 6 000

+ 4 000

+ 2 000

– 2 000

– 4 000

– 6 000

– 8 000

– 10 000

Höhe

Tiefe

2 Rationale Zahlen

Seite 34

Einstiegsaufgabe Auf der Fahrt Richtung Süden sinkt die Temperatur.

– 3 °C

– 2 °C

– 1 °C

0 °C

+ 1 °C

+ 2 °C

+ 3 °C

+ 4 °C

+ 5 °C

+ 6 °C

1 a) – 3,5; – 2,1; – 0,4; + 0,9; + 3,8b) – 2,59; – 2,55; – 2,48; – 2,4

c) – 13 _ 16 ; – 5 _ 8 ; – 7 _ 16 ; – 3 _ 16

2 a)

– 8 – 6 – 4 – 2 0 + 2 + 4 – 7 – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + 5

b)

– 8 – 6 – 4 – 2 0 + 2 + 4 – 7 – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + 5

c)

– 8 – 6 – 4 – 2 0 – 7 – 5 – 3 – 1 + 1

d)

– 80 – 60 – 40 – 20 0 + 20 + 40 – 70 – 50 – 30 – 10 + 10 + 30 + 50

e)

– 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2

f)

Seite 35

3 a) statt – 0,9 ist es – 0,1b) statt – 4,76 ist es – 4,74 statt – 4,65 ist es – 4,675 statt – 4,69 ist es – 4,61

c) statt – 1 1 _ 2 ist es – 1 2 _ 5

statt – 1 _ 4 ist es – 1 _ 5

d) statt – 2 _ 3 ist es – 5 _ 9

statt – 1 _ 6 ist es – 2 _ 9

4 a) 5,5 cm b) 3,5 cm c) 4,6 cm d) 6,4 cm e) 2,0 cm f) 12,2 cm

5 a) Janina hat am besten gemessen, da sie nur eine Abweichung von 0,05 m, also von 5 cm, hatte.b) Wenn man die Abweichungen unabhängig vom Vorzeichen addiert, erhält man eine Gesamtabwei-chung von 0,24 m und damit tatsächlich eine durch-schnittliche Abweichung von 8 cm.

6 Messpunkt M1 M2 M3 M4 M5 M6

Höhe in mm 0,8 – 0,3 – 1,2 – 2,3 1,1 – 1,2

7 a) – 2,5 b) – 3,9; – 0,9c) – 0,87; – 0,57; – 0,42; – 0,12

Immer wieder neue Zahlen

Richtig (Brüche sind Teilmenge der rationalen Zahlen) Richtig (Nicht positiv sind alle negativen Zah-len und die Null) Falsch (Null ist eine ganze Zahl, die ganzen Zahlen sind Teilmenge der rationalen Zahlen)

– 0,6 – 0,4 – 0,2 0 + 0,2 + 0,4 – 0,5 – 0,3 – 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,5



Richtig (Es liegen unendlich viele rationale Zahlen dazwischen) Falsch (Man kommt dann in den Bereich der negativen Zahlen)

3 Anordnung

Seite 36

Einstiegsaufgabe über Meeresspiegel: Sinai, Troodos, Jerusalem, Hermon unter Meeresspiegel: Totes Meer, Oase Siwa, Kattarasenke höchster Punkt: Hermon (2814 m. ü. M.) tiefster Punkt: Totes Meer (403 m. u. M.)

– 400 m

– 200 m

0 m

+ 200 m

+ 400 m

+ 600 m

+ 800 m

+ 1000 m

+ 1200 m

+ 1400 m

+ 1600 m

+ 1800 m

+ 2000 m

+ 2200 m

+ 2400 m

+ 2600 m

+ 2800 m

Totes Meer

Kattarasenke

Jerusalem

SinaiH

ermon

Troodos

Oase Siw

a

1 a) ist kälter als b) liegt unterhalb vonc) ist weniger als d) ist wärmer als e) ist höher als f) ist mehr als individuelle Lösungen

2 a) – 11 °C < – 5 °C < – 1 °C < +2 °C < + 7 °Cb) – 12,5 °C < – 7,4 °C < + 6,9 °C < + 12,3 °Cc) – 3,25 € < – 1,05 € < 0,84 € < 1,50 €d) – 3,21 € < – 2,31 € < – 1,23 € < 3,21 €e) – 204,8 m < – 24,8 m < 20,48 m < 248 mf) – 7,05 m < – 0,75 m < – 0,705 m < 7,50 m

Seite 37

3 a) 3 < 5 b) 5 > 3 c) – 3 > – 5d) – 5 < 3 e) – 5 < – 3

4 a) + 14 > – 5 b) + 84 > + 48 – 10 < – 9 – 217 < 172 – 1 < + 1 – 801 < 108c) – 4,9 > – 5,3 d) – 2,34 > – 3,24 + 1,7 > – 7,1 + 5,05 > – 5,50 – 0,6 < – 0,3 0,07 < 0,70

e) 3 _ 4 > – 4 _ 5 f) – 1,3 < – 1 1 _ 4

– 6 _ 7 > – 7 _ 6 + 1 1 _ 2 > – 2 1 _ 2

– 3 _ 5 < 4 _ 7 – 3,6 > – 3 5 _ 8

5 a) – 18 < – 12 < – 10 < – 8 < – 2 < 0 < + 1 < + 11b) – 40,2 < – 24,0 < – 4,2 < – 2,4 < 2,4 < 20,4c) – 9,78 < – 8,79 < – 7,89 < 7,89 < 8,79 < 9,78

d) – 0,5 < – 0,3 < – 1 _ 4 < 0,25 < 1 _ 3 < 1 _ 2

e) – 27 _ 10 < – 2,6 < – 2 1 _ 2 < – 2,4 < – 2 1 _ 4

6 a) – 998; 899; – 989; 889; – 899; – 898b) –0,55; 0,055; – 0,505; – 0,005; – 0,05

c) –1,5 ; 1 1 _ 2 ; – 1 1 _ 3 ; 1 1 _ 4 ; – 1,2

d) –0,5 ; 1,5 ; – 0,25 ; 1 _ 2 ; – 1 _ 5

7 mögliche Lösungen:a) zwischen – 5 und 5: – 4; – 3; 1zwischen –5 und 0: – 3; – 2; – 1zwischen – 5 und – 1: – 4; – 3; – 2b) zwischen – 3,5 und – 1,5: – 3,1; – 2,5; – 2zwischen – 3,5 und 3,5: – 2; 0; 1,5zwischen – 3,5 und 0: – 3,2; – 2,1; – 1,8c) zwischen 0 und – 0,1: – 0,01; – 0,02; – 0,09zwischen – 1,0 und – 0,1: – 0,5; – 0,8; – 0,99zwischen – 0,1 und – 0,01: – 0,07; – 0,06; – 0,02

d) zwischen – 1 _ 2 und 3 _ 10 : – 1 _ 10 ; – 4 _ 10 ; 1 _ 10

zwischen –1 1 _ 4 und 1 _ 4 : – 1 ; 1 _ 16 ; 1 _ 8

zwischen – 3 und – 1 _ 3 : – 2 ; – 1 _ 2 ; – 0,4

8 a) + 5; +10; +15 b) – 30; – 20; – 10c) –12; – 9; – 6 d) – 1,5; 0; 1,5

9 a) – 3 < – 2,8 < – 2 b) – 29 < – 28,2 < – 28 – 1 < – 0,28 < 0 – 3 < – 2,08 < – 2 2 < 2 1 _ 8 < 3 0 < 8 _ 21 < 1

10 a) näher bei – 3b) näher bei – 9c) weiter entfernt von – 3d) weiter entfernt von – 1

11 a)

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4

b)

– 11 – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1

c)

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1



d)

– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1

12 a) – 1b) – 0,5c) – 3 2 _ 3 und – 9Drittelt man den Abstand zwischen – 1 und – 5, kann man eine Lösung bestimmen.Bewegt man sich auf der Zahlengerade von – 5 nach links, haben die Zahlen von – 1 zunächst einen Abstand, der ausgehend von 4 wächst und der für – 5 ausgehend von 0 wächst. Geht man weiter nach links, kann man eine weitere Zahl finden, für die die Bedingung erfüllt ist.Bewegt man sich auf der Zahlengeraden von – 1 nach rechts, ist die Entfernung jeder Zahl von – 5 größer als von – 1. Die Bedingung kann somit nicht erfüllt werden.

13 a) – 3,4 °C < – 2,8 °C < – 2,5 °C < – 1,8 °C < 0,2 °C < 0,5 °C < 1,4 °C < 3,1 °Cb) tiefste Temperatur: – 3,4 °Chöchste Temperatur: 3,1 °Cc) Rostock, Leipzig, Berlind) Rostock, München, Hamburg, Stuttgart, Frankfurt, Kölne) Münchenf) geringste Differenz: entweder Hamburg– Stuttgart oder Rostock–Leipziggrößte Differenz: Berlin–Köln

Seite 38

14 a) am höchsten: Aprilam niedrigsten: Augustb) höher als Juli: Juni, Mai, April, März, Februar, Januar, Oktober, November, Dezembertiefer als November: Oktober, September, August, Juli, Juni, Februar, Januarc) Oktober, November, Dezember, Januar, März, Junid) Schmelzwasser im Winter, wenig Regen im Sommer

15 a) Eismitte, Jakutsk, Fairbanks, Aklavik, Ulan Batorb) individuelle Lösung c)

– 66 °C

– 64 °C

– 62 °C

– 60 °C

– 58 °C

– 56 °C

– 54 °C

– 52 °C

– 50 °C

– 48 °C

– 46 °C

– 44 °C

d)

– 70 °C

– 60 °C

– 50 °C

– 40 °C

– 30 °C

– 20 °C

– 10 °C

0 °C

10 °C

20 °C

30 °C

40 °C

50 °C

16 a) Schmelzpunkte

Ozon – 251 °C

Sauerstoff – 219 °C

Luft – 213 °C

Campinggas – 190 °C

Frostschutzmittel – 68 °C

Benzin – 57 °C

Quecksilber – 39 °C

Wasser 0 °C

Siedepunkte

Luft – 191 °C

Sauerstoff – 183 °C

Ozon – 113 °C

Campinggas – 42 °C

Wasser 100 °C

Benzin 108 °C

Frostschutzmittel 197 °C

Quecksilber 357 °C

b) Schmelzpunkte (in °C)

– 300

– 200

– 100

0

Siedepunkte (in °C)

– 200

– 100

0

+ 100

+ 200

+ 300

+ 400

c) Aklavik: fest: Quecksilber, Wasserflüssig: Benzin, Campinggas, Frostschutzmittelgasförmig: Luft, Ozon, SauerstoffArouane: flüssig: Benzin, Frostschutzmittel, Quecksilber, Wassergasförmig: Campinggas, Luft, Ozon, Sauerstoff



Golfspiel

Woods, Singh, Johnson, Langer, Westwood, Norman, Faldo, Garcia Els, Jimenez, Siem Els (– 3), Siem (– 2), Jimenez (0) Jimenez hätte einen Albatros spielen müssen.

4 Zunahme und Abnahme

Seite 39

Einstiegsaufgabe Quelle – Düse: – 32 m Düse - Donauhalle: – 2 mDonauhalle – Hochland: + 22 mHochland – Talsenke: – 18 mTalsenke – Wolkenhalle: + 22 mWolkenhalle – Talschächte: – 26 m

1 a) – 4 °C b) + 1,25 mc) – 53 € d) + 4500 Fuß

2 a) – 5 °C b) – 46 €

Seite 40

3 a) + 8 °C b) + 5,4 °Cc) – 17 °C d) – 5,8 °Ce) – 33 °C f) – 14,1 °Cg) – 13 °C h) + 2,9 °C


5 a) Nova Stoba liegt 1010 m höher als Gaschurn. Die Temperatur nimmt also um etwa 5 °C ab und beträgt an der Bergstation somit – 2,5 °C. b) Die Nullgradgrenze wird an folgenden Orten erreicht: – an der Mittelstation zwischen Gaschurn und Nova Stoba – in Garfrescha.Alle Orte, die höher als 1500 m liegen, haben Tem-peraturen unter dem Nullpunkt. c) Nova Stoba: – 2,5 °CSchwarzköpfle: – 4 °CKiosk: – 3,5°Bella Nova: – 3 °CAlpe Nova: – 1 °CGarfrescha: 0 °CGrandau-Maisäß: 1,5 °CStation: – 0,75 °CMittelstation: 0 °C

6 a) + 25 °C b) 53 °C c) 56 °C

7 Der Fahrstuhl müsste 22 Etagen nach unten fahren.

8 individuelle Lösung, z. B. Wie groß ist der maximale Temperaturunterschied auf dem Merkur?Eine Raumsonde fliegt von der Erde zum Mond. Wie groß ist der maximale, wie groß der minimale Temperaturunterschied?

5 Das Koordinatensystem

Seite 41

Einstiegsaufgabe

10 20 30 40 50 60 70 80

50

40

30

20

10

N

S

O W

Brunnen

Turm

Der Schatz liegt vom Brunnen aus 40 Schritte nach Westen und 20 Schritte nach Süden. 70 Schritte nach Süden, 120 Schritte nach Westen individuelle Lösungen

Seite 42

1 A (1 | 1), B (3 | 1,5), C (2 | 2,5), D (–1,5 | 2,5), E (– 2,5 | 1,5), F (– 3,5 | 1), G (– 2 | – 1,5), H (– 3 | – 2), I (– 1 | – 2,5), J (0 | – 2,5), K (1,5 | – 1,5), L (3 | – 2)

2 a) II b) IIIc) IV d) IIIe) y-Achse f) x-Achseg) IV h) IIIEs reicht, die Vorzeichen der Koordinaten zu betrachten.



3

– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

y

x

A

A

B

B

C C

C

D

A

B | D

a)

b)

c)

D

4 Quadrant Vorzeichen x-Wert Vorzeichen y-Wert

I + +

II – +

III – –

IV + –

5 a) D (2 | – 2) b) D (2 | 0) c) D (2 | – 1)

Randspalteoberes Drachengesicht (3 | 0); (0 | 3); (– 3 | 0); (0 | – 5); (4 | – 4); (3 | – 5); (4 | – 6)unteres Drachengesicht (1 | – 4); (3 | – 3); (3 | 0); (4 | – 1); (4 | 2); (3 | 1); (3 | 3); (0 | 5); (– 3 | 3); (– 3 | 1); (– 4 | 2); (– 4 | – 1); (– 3 | 0); (– 3 | – 3); (– 1 | – 4)Liegt das Drachengesicht mit seiner Symmetrieach-se auf der y-Achse, so erhält man die Koordinaten der Eckpunkte der linken Gesichtshälfte, wenn man ein Minuszeichen vor die x-Werte der Koordinaten der Eckpunkte der rechten Gesichtshälfte setzt.

6

– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

y

x

D

B

C

SS

A

A

B

C

D

a)

b)

a) Schnittpunkt der Diagonalen: S (– 2 | – 2)b) Schnittpunkt der Diagonalen: S (2,5 | – 2)

7

1 2 3 4 5 6 7 8

7

6

5

4

3

2

1

– 1

– 2

y

x

B C

A D

A’ D’

B’ C’

0

Wenn man zusätzlichdie neuen Eckpunktezu einem Parallelogrammverbindet, erhält man einen Quader.

8 10. Eckpunkt: (– 3 | 3)20. Eckpunkt: (6 | – 5)100. Eckpunkt: (26 | – 25)

9 a) Haus vom Nikolausb) Haus in Schrägansicht


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1 a) – 1,9; – 1,1; – 0,4; +0,7; +1,5b) – 5,74; – 5,69; – 5,64; – 5,59

2 a)

– 80 – 60 – 40 – 20 0 20 40 60 80 – 70 – 50 – 30 – – 10 10 30 50 70

b)

– 60 000

– 50 000

– 40 000

– 30 000

– 20 000

– 10 000

0 10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

c)

– 0,9 – 0,7 – 0,5 – 0,3 – 0,1 0 0,1 0,3 0,5 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,2 0,2 0,4

3 a) – 960; – 690; – 609; – 69; 96; 906b) –3,2; – 3,02; – 2,3; – 2,03; 2,3; 3,2c) –0,7105; – 0,5701; – 0,1075; – 0,0175

4 – 2,7; – 0,9; + 1,3

5 a) – 0,5; + 0,5; + 1,5; + 2,5; + 3,5b) – 4; – 7; – 10,5; – 14,5; – 19



6 Lösungswort: AUSDAUER

7 Diese Zeitung kann nicht erschienen sein bzw. es muss sich um eine Zeitungsente handeln: Es kann keine Münze geben, auf der 432 v. Chr. steht, da man zu dieser Zeit noch nicht gewusst hätte, wann Christus geboren wird. Von vor und nach Christus kann man erst dann reden, wenn Christus’ Geburtsjahr klar ist. Es handelt sich bei dieser Meldung also nur um einen Aprilscherz!

Zeitzonen

mögliche Lösungen: New York, Lima Nuuk, Rio de Janeiro London, Dakar Berlin, Lagos Helsinki, Kairo, Kapstadt Peking, Perth Jakutsk, Sydney mögliche Lösungen:Helsinki, Kairo, Kapstadt London, Dakar Denver – Tokio Mexico City – Perth San Francisco – Sydney, Jakutsk Man kann von Berlin aus ab 17 Uhr in San Francisco anrufen. Dort ist es dann 8 Uhr oder entsprechend später. Sara könnte in San Francisco oder in Ancho-rage zu Hause sein. Tim kann nicht die Wahrheit sagen.

Seite 45

8 a) Der Rechnungsbetrag war 722 €. b) Frau Schmid kann höchstens noch 1913 € ab-heben.

9 a) Am Montag hat sie 5 €, am Dienstag hat sie 45 €, am Mittwoch hat sie 0 €. Bis zum nächsten Montag hat sie ihr Konto überzogen, und zwar am Donnerstag um 35 €, am Freitag, Samstag und Sonntag jeweils um 15 € und am Montag um 25 €.b) Dienstag: + 40€, Mittwoch: – 45€c) Sie hat insgesamt 90 € abgehoben.e) Sie muss 30 € einzahlen.

10 a) – 4 °C b) 36 °C

11 a)

Höhe in km

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Temp. in °C

18 –55 –55 –42 –22 0 –20 –50 –70 –82 –78 –42 50

b) Der Ballon muss Differenzen von 70 °C aushalten.c) Die Nullgradgrenze liegt bei 2,5 km, 50 km, 115 km.

12 a)Mittagstemperaturen Nachttemperaturen

12 Uhr 24 Uhr

Zugspitze – 16 Zugspitze – 21

Großer Arber – 10 Großer Arber – 12

Garmisch-P. – 3 Garmisch-P. – 10

Ulm – 3 Ulm – 9

München – 1 München – 8

Leipzig 0 Stuttgart – 6

Stuttgart 0 Leipzig – 1

Berlin 1 Berlin 0

Frankfurt 3 Frankfurt 0

Helgoland 5 Helgoland 3

Man kann beide Tabellen aber auch genau umge-kehrt gestalten, das heißt mit der höchsten Tempe-ratur beginnen. b) größte Schwankungen: Garmisch-Partenkirchen, München (7 °C)kleinste Schwankungen: Großer Arber, Helgoland, Leipzig (3 °C)c)

6

4

2

– 2

– 4

– 6

– 8

– 10

– 12

– 14

– 16

Ber

lin

Fran

kfur

t

Hel

gola

nd

Gar

mis

ch-P

arte

nkir

chen

Gro

ßer

Arb

er

Mün

chen

Ulm

Zugs

pitz

e

Leip

zig

Stut

tgar

t



d) Mittags bildete München und Leipzig die Mitte, nachts sind es München und Stuttgart.

Seite 46

Temperaturrekorde

Die Rekorde in Deutschland sind geringer als die weltweiten Rekorde. Januar: –46 °C, Februar: –42,5 °C, März: –30 °C, April: –12,5 °C, Mai: +2,5 °C, Juni: 13 °C, Juli: 15 °C, August: 11 °C, September: 2,5 °C, Oktober: –15 °C, November: –36 °C, Dezember: –44 °C Die größte Differenz beträgt 61 °C. Die Differenz in Werchojansk beträgt 106,6 °C, ist also größer als die mittlere Differenz.

0– 10– 20– 30– 40– 50– 60– 70

Temperatur in °C

J F M A M J J A S O N D

Die Schwankungen sind weniger stark ausge-prägt. Die Temperaturen sind immer unter 0 °C und in den Sommermonaten am niedrigsten.

Bratsk: 41 °C, Berlin: 19 °C Berlin, Warschau, Moskau, Tobolsk, Bratsk. Die Differenzen wachsen mit dem Abstand vom Meer.


3 Rechnen mit rationalen Zahlen L 21

3 Rechnen mit rationalen Zahlen

Auftaktseite: Zahlen nachgehen

Seiten 48 bis 49

• Hatice steht auf dem Feld – 6.• Sie muss 16 Schritte in positive Richtung gehen.• individuelle Lösung

• Sina und Pierre treffen sich bei – 7.• Nach 10 Schritten steht Lara bei – 3 und Max

steht bei – 13.• individuelle Lösung

• Thorben macht von – 7 bis + 8 genau 5 Schritte, von der – 4 bis zur 5 macht er drei Schritte.

• Wenn Vanessa in positive Richtung gegangen ist, ist sie bei – 23 gestartet, sonst bei + 5.

1 Addieren

Seite 50

Einstiegsaufgabe Ende Juni waren es 7 Mitglieder weniger. Es werden im Juli also 7 Mitglieder eintreten. Die Änderung beträgt + 7, es sind also 7 Personen eingetreten.

Seite 51

1 a) positives Ergebnis: + 14b) negatives Ergebnis: – 19 c) negatives Ergebnis: – 22d) negatives Ergebnis: – 30e) positives Ergebnis: + 17f) negatives Ergebnis: – 70g) negatives Ergebnis: – 35h) negatives Ergebnis: – 210

2 a) 17 b) – 15 c) 14d) – 14 e) – 108 f) 13g) 45 h) – 470

3 a) 5 b) – 2,7 c) – 9,1d) 7,4 e) – 4,8 f) – 58,9g) – 1,2 h) – 12,22

4 a) – 1 _ 2 b) – 1 _ 5 c) – 1 _ 8

d) – 31 _ 20 e) – 1 _ 4 f) – 1 _ 24

5 a) 16 + 13 = 29 b) – 12 + – 24 = – 36c) – 12 + 13 = – 1

6 a) (– 16) + (– 7) = – 23 b) (+ 28) + (– 41) = – 13c) 8,1 + (– 10,7) = – 2,6 d) – 1,6 + 0,9 = – 0,7

7 a) Um eine möglichst große Summe zu erhalten, müssen beide Summanden groß (positiv) sein: (+ 975) + (+ 863) = 1838b) Um eine möglichst kleine Summe zu erhalten, müssen beide Summanden klein (negativ) sein: (– 975) + (– 863) = – 1838c) Damit der Betrag der Summe möglichst klein ist, müssen die Summanden unterschiedliche Vorzeichen haben und ohne Vorzeichen möglichst nah beeinander liegen; mögliche Lösungen: 3 = (+ 601) + (– 598) oder (– 601) + (+ 598)

8+ 22

+ 19

+ 14 + 5 – 2

+ 5 + 9 – 4 + 2

– 7,5 + 12,5 – 3,5 – 0,5 + 2,5

+ 3

9 weitere Beispiele:2,1 + 3,5 – 4,6 = 11,2 + 4,3 – 6,5 = – 1 5,4 – 2,3 – 1,1 = 2

Wege und Summen

Du siehst hier zwei BeispielLösungen. Gemeinsam haben die Lösungen die Null in der Kreuzmitte. Außerdem unterscheiden sich die Einträge der waagrechten und senkrechten Zahlenreihen nur durch die Vorzeichen.

Die Summe ist immer gleich – 19. Sie ist vom gewählten Weg unabhängig, da die Addition kommutativ ist, d. h., es kommt nicht auf die Reihenfolge der Summanden an.

– 4

– 2

2

4

3 1 – 1 – 30

1

– 4

– 1

+ 4

2 3 – 2 – 30


L 22 3 Rechnen mit rationalen Zahlen

2 Subtrahieren

Seite 52

Einstiegsaufgabe Nach der zweiten Runde haben Lea und Kim beide denselben Punktstand: Nimmt Lea 3 blaue Steine auf, so hat sie gleich viele blaue wie rote, kann also alle abgeben. Kim gibt alle seine roten Steine ab. Um zwei blaue Steine abzugeben, soll Kim zwei rote und zwei blaue Steine aufnehmen. Nachdem er zwei blaue Steine abgegeben hat, bleiben ihm noch zwei rote Verluststeine.

1 individuelle Lösung, Beispiele:(+ 16) – (+ 32) = (+ 16) + (– 32) = – 16 (– 8) – (– 20) = (– 8) + (+ 20) = + 12(– 24) – (+ 9) = (– 24) + (– 9) = – 33 (+ 7) – (– 5) = (+ 7) + (+ 5) = + 12

2 a) (+ 7) – (+ 10) = (+ 7) + (– 10)b) (– 12) – (+ 4) = (– 12) + (– 4)c) (+ 22) – (– 19) = (+ 22) + (+ 19)d) (– 18) – (– 11) = (– 18) + (+ 11)

Seite 53

3 a) negatives Ergebnis: – 27 b) positives Ergebnis: + 11 c) negatives Ergebnis: – 21 d) positives Ergebnis: + 85 e) negatives Ergebnis: – 147f) positives Ergebnis: + 67g) positives Ergebnis: + 420 h) negatives Ergebnis: – 300

4 – 25 – (+ 12) = – 3721 – (+ 36) = – 15– 19 – (– 18) = – 15 – (– 17) = 22

5 a) 18 – 23 = – 5 b) – 28 – 16 = – 44c) – 44 + 19 = – 25 d) 67 + 78 = 145e) 899 – 998 = – 99 f) – 989 – 898 = – 1887g) – 9889 – 8989 = – 18 878 h) – 8998 + 9898 = 900

6 a) (– 45) – (– 28) = – 17 b) (+ 45) – (– 28) = + 73c) (– 45) – (+ 28) = – 73 d) (+ 45) – (+ 28) = + 17

7 a) (– 7) – (– 18) = + 11 b) (– 17) – (+ 19) = – 36c) (+ 26) – (– 15) = + 41 d) (– 29) – (– 38) = + 9 oder (+ 29) – (+ 38) = – 9

8 a) – 5 b) – 31,3 c) 12,9 d) 4,0 e) – 2,6 f) 5,3 g) 92 h) 1,4Lösungswort: LÖSUNGEN

9 a) 1 _ 4 b) – 1,4 c) – 0,23 d) – 1 _ 24

10 a) – 1 111 111 111 b) – 77 777 777c) – 4 444 444 444

11 a) – 360

– 195

– 85 – 110 – 55

– 25 – 60 – 50 – 5

0 – 25 – 35 – 15 + 10

– 165

b) – 50

– 12,6

+ 5,9 – 18,5 – 18,9

+ 8,3 – 2,4 – 16,1 – 2,8

– 0,9 + 9,2 – 11,6 – 4,5 + 1,7

– 37,4

Mit Koordinaten rechnen

A’(– 3,5 | – 1), B’(1 | – 2), C’(0 | 2).

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

– 2

– 3

– 4

– 5

y

xA

A’

C

C’B

B’

Man muss von der ersten Koordinate eine Zahl größer 3 subtrahieren, von der zweiten Koordinate muss man eine Zahl größer als 4 subtrahieren.



Seite 54

Kontoführung

Die Summe der Einzahlungen war 100,00 €; der Gesamtbetrag der Abhebungen betrug 113,87 €. Sinas Kontostand am 11. 10. betrug 55,11 €. Am Geldautomaten hätte sie wohl höchstens 55 € erhalten können. Der Kontostand beträgt dann 41,24 € + 40 € = 81,24 €. Sie kann die neue Jeans kaufen. Frau Möllers Kontostand beträgt nach der Abbuchung 450,10 €. Sie kann mit dem zusätzlichen Überziehungskredit über 3450,10 € verfügen. 1483,50 € – 450,10 € = 1033,40 €; sie muss also mindestens 1033,40 € abbuchen, um ihr Konto nicht überziehen zu müssen.

12 a)

b)

13

– 6

– 2

– 1

– 5

0

– 4

5 – 8 – 9 2

– 3

1

– 7 4 3 – 10

14 a) Der Wert der Differenz ist möglichst groß, wenn der Minuend möglichst groß und der Subtrahend möglichst klein ist: + 975 – (– 843) = 1818.b) Der Wert der Differenz ist möglichst klein, wenn der Minuend möglichst klein und der Subtrahend möglichst groß ist: (– 975) – (+ 843) = – 1818.

c) Damit die Differenz nahe bei null liegt, müssen Minuend und Subtrahend etwa gleich groß sein: 3 = – 498 – (– 501) oder (+ 498) – (+ 501) = – 3 bzw.3 = – 389 – (– 401) oder (+ 398) – (+ 401) = – 3

3 Addition und Subtraktion. Klammern

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Einstiegsaufgabe Tim und Linda haben beide – 21 Punkte. Um Stefanies Punktestand geschickt zu bestimmen, kann man zunächst die positiven Punkte addieren: 36 + 44 = 80 und davon die negativen Punkte abziehen: 80 – 40 = 40. Sie hat also + 40 Punkte.

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1 a) (16 + 54) + (– 29) = 70 – 29 = 41b) 47 + ((– 38) + (– 22)) = 47 + (– 60) = – 13c) (– 15 + (– 35)) + 63 = – 50 + 63 = 13d) (– 21 + (– 39)) + 33 = – 60 + 33 = – 27e) (65 + 35) + (– 57) = 100 – 57 = 43f) (237 + (– 187)) + 49 = 50 + 49 = 99g) (5,5 + 4,5) + (– 6,7) = 10 – 6,7 = 3,3h) (– 8,1 + (– 1,9)) + 6,8 = – 10 + 6,8 = – 3,2

2 a) – 21 + 18 – 33 – 19b) + 77 – 36 + 68 + 41c) – 1,8 + 7,2 – 4,5 – 0,6

3 a) – 13 + 42 – 19 = 29 – 19 = 10b) 73 – 49 + 37 = 24 + 37 = 61c) 97 – 56 – 84 + 41 = 41 – 84 + 41 = – 43 + 41 = – 2d) – 42 + 78 – 36 + 66 = 36 – 36 + 66 = 66e) 97 + 56 + 84 – 41 = 196f) – 3,4 – 6,5 + 10,2 = – 9,9 + 10,2 = 0,3g) – 63,7 + 49,8 + 28,0 – 32,5 = – 13,9 + 28,0 – 32,5 = 14,1 – 32,5 = – 18,4h) – 4,57 – 7,54 + 5,74 – 4,75 = – 12,11 + 5,74 – 4,75 = – 6,37 – 4,75 = – 11,12

4 a) 44 + 26 + (– 37) + (– 63) = 70 – 100 = – 30b) – 79 + (– 41) + 65 + 15 = – 120 + 80 = – 40c) – 91 + (– 19) + (– 77) + 46 + 64 = – 187 + 110 = – 77d) – 77 + (– 43) + (– 39) + 68 + 82 = – 159 + 150 = – 9e) – 234 + (– 466) + 123 + 77 = –700 + 200 = – 500f) 157 + 243 + (– 127) + (– 151) + (– 122) = 400 – 400 = 0g) 43,9 + 36,1 + (– 24,4) + (– 45,6) = 80 – 70 = 10h) – 52,3 + (– 32,7) + (– 15,0) + 63,6 + 26,4 = – 100 + 90 = – 10

100 75 40

40 5 – 15

– 25 – 50 – 100

– 60 – 70 – 55

– 65 – 55 – 85

– 25 – 35

– 20

– 25 – 50

– 35

1 – 76 – 38

– 42 – 49 – 107

– 95 – 12 – 1

– 43 + 27 – 69

– 53 + 37 + 106

– 77 + 38

– 58

+ 83 + 11

– 7



Randspalte (– 1) + ((– 2) + (– 3)) = – 6(– 3) – ((– 1) – (– 2)) = – 4(– 2) – ((– 1) + (– 3)) = 2…

5 a) (23 + 71 + 59) – (92 + 47 + 54) = 153 – 193 = – 40b) (62 + 35 + 43) – (87 + 26 + 53) = 140 – 166 = – 26c) (89 + 98) – (61 + 16 + 85 + 58) = 187 – 220 = – 33d) 444 – (98 + 87 + 76 + 65 + 54 + 43 + 32) = 444 – 455 = – 11e) (38,4 + 62,6 + 159,8) – (82,7 + 79,5 + 99,9) = 260,8 – 262,1 = – 1,3f) 280 – (55,5 + 66,6 + 77,7 + 88,8) = 280 – 288,6 = – 8,6

6 a) 25 + 64 + 36 – 53 – 39 – 47 = 125 – 139 = – 14b) – 81 – 65 – 44 + 67 + 48 + 72 = – 190 + 187 = – 3c) – 55 – 71 – 22 – 37 + 94 + 86 = – 185 + 180 = – 5d) – 57 – 76 – 63 – 4 + 68 + 31 + 93 = – 200 + 192 = – 8e) – 15,3 – 89,7 – 39 + 43 + 72,4 + 21,8 = – 144 + 137,2 = – 6,8f) 24,25 + 90,9 + 21,95 – 36,6 – 105 = 137,1 – 141,6 = – 4,5

7 a) individuelle Lösungb) + 24 + (+ 8) – (– 15 + (– 10)) = 57c) (+ 24) + 8 + (– 10) + (– 15) = 7

8 a) – 25 + 90 – 15 – 45 = 5b) – 25 – 5 – 45 = – 75c) – 25 + 150 = 125Je mehr negative Summanden in der Minusklammer stehen, desto kleiner wird deren Wert der Klammer. Und je kleiner deren Wert, desto größer das Endergebnis.

Seite 57

9 a) Addiere zur Zahl 28 die Differenz der Zahlen 45 und 62.b) Subtrahiere von der Zahl minus 69 die Summe der Zahlen 25 und 48.c) Subtrahiere von der Differenz der Zahlen 35 und 54 die Summe der Zahlen 27 und 46.d) Subtrahiere von der Zahl minus 50 die Differenz der Zahlen minus 87, 68 und 26.

10 a) (45 – 99) + (– 33) = – 54 + (– 33) = – 87b) (– 49 + 32) – (41 + 17) = – 17 – 58 = – 75c) (39 – 83) + (– 26 + (– 73)) = – 44 + (– 99) = – 143

11 a) 65 – 78 + 35 – 42 + 18 = 65 + 35 + 18 – 78 – 42 = 118 – 120 = – 2b) – 24 – 61 + 52 + 88 – 73 = 52 + 88 – 24 – 61 – 73 = 140 – 158 = – 18c) 57 + 14 – 37 + 75 – 34 – 49 = 57 – 37 + 14 – 34 + 75 – 49 = 20 – 20 + 26 = 26d) – 62 + 17 – 94 + 83 – 28 + 64 = 17 + 83 – 94 + 64 – 62 – 28 = 100 – 30 – 90 = – 20e) – 53 + 47 – 35 + 133 – 61 – 76 = 47 + 133 – 53 – 35 – 61 – 76 = 180 – 225 = – 45


13 Beispiele: 20 – (+ 24) – ((– 15)+(– 18)) = 2920 – ((+ 24) – (– 15) + (– 18)) = – 1

14 a) 47 – (85 + 29 – 53) = 47 – 85 – 29 + 53 = – 14b) – 66 – (– 35 – 74 – 49) = – 66 + 35 + 74 + 49 = 92c) (– 38 + 17 + 81 – 43) – 62 + 79 = – 38 + 17 + 81 – 43 – 62 + 79 = 34d) – (55 – 71 + 96 – 38 + 53) + 53 = – 55 + 71 – 96 + 38 – 53 + 53 = – 42e) – 67 – (– 89 + 42 + 17 – 77) = – 67 + 89 – 42 – 17 + 77 = 40

Plus und Minus

1 – 2 = – 11 – 2 + 3 = 21 – 2 + 3 – 4 = – 21 – 2 + 3 – 4 + 5 = 31 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = – 31 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 = 41 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 = – 4… Das Ergebnis für die 10. Zeile ist 6, das Ergebnis für die 11. Zeile ist –6. In der 37. Zeile ergibt sich – 19, in der 100. Zeile steht die 51. Da man jeweils zwei Zahlen zu – 1 verbinden kann (siehe Erklärung Seite 39), erhält man das Ergebnis für eine „gerade Zeile“, indem man die Hälfte der Zahl plus 1 rechnet. Beispiel: In der 1000. Zeile steht 1000

_ 2 + 1 = 501. Für die nachfolgende „ungerade Zeile“ dreht man das Vorzeichen des Ergebnisses um.



4 Multiplizieren

Seite 58

Einstiegsaufgabe

· 3 2 1 0 – 1 – 2 – 3

3 9 6 3 0 – 3 – 6 – 9

2 6 4 2 0 – 2 – 4 – 6

1 3 2 1 0 – 1 – 2 – 3

0 0 0 0 0 0 0 0

– 1 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

– 2 – 6 – 4 – 2 0 2 4 6

– 3 – 9 – 6 – 3 0 3 6 9

Zwei Faktoren mit verschiedenen Vorzeichen ergeben ein Produkt mit negativem Vorzeichen.Zwei Faktoren mit gleichen Vorzeichen ergeben ein Produkt mit positivem Vorzeichen. Es treten vier Fälle auf:+·+ = +–·– = ++·– = ––·+ = –

1 a) – 35 b) – 36 c) + 20d) – 56 e) – 72 f) + 60

2 a) + 25 b) – 24 c) – 30d) + 2,8 e) – 20 f) + 72

Seite 59

3 a) – 300 b) – 360 c) + 288 d) – 672e) – 2009 f) + 901 g) – 1197 h) + 4510

4 a) – 1056 b) – 3388 c) + 1815 d) – 5561e) – 1656 f) + 7375

5 a) – 14 991 b) + 9917 c) – 7314d) + 6596 e) – 535 f) – 176,64g) + 3,36 h) – 1,0125

6 a) – 1 _ 3 b) – 3 _ 10 c) – 1 _ 12

d) 1 _ 2 e) – 1 _ 2 f) 9 _ 20

7 a) größter Wert: (– 4,5)·(– 8,2) = 36,9kleinster Wert: (7,2)·(– 8,2) = – 59,04b) positives Ergebnis: 8negatives Ergebnis: 8

8 a) + 48 b) – 288 c) + 200d) + 960 e) – 600 f) + 180

9 Null. Wenn ein Faktor gleich null ist, dann ist das ganze Produkt gleich null.

10 a) 2·(– 5)·7·(– 12) = (– 10)·(– 84) = 840b) 4·(– 25)·(– 5)·8·(– 9) = (– 100)·360 = – 36 000c) (– 8)·(– 125)·50·(– 6) = 1000·(– 300) = – 300 000d) (– 4)·(– 25)·(– 4)·(– 5)·(– 8) = 100·(– 160) = – 16 000

11 a) Damit der Wert des Produktes möglichst groß wird, müssen beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben und möglichst groß sein: (+ 87)·(+ 9) = 783b) Damit der Wert des Produktes positiv und möglichst klein wird, müssen beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben und möglichst klein sein: (+ 24)·(+ 1) = 24c) (+ 24)·(– 1) = – 24 oder (– 24)·(+ 1) = – 24

12 a) (– 2)5 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2) = – 32 (– 2)6 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2) = 64 (– 2)7 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2) = – 128 (– 2)8 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2) = 256 (– 2)9 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)

·(– 2) = – 512 (– 2)10 = (– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)·(– 2)

·(– 2)·(– 2) = 1024b) Der Produktwert (– 2)97 muss negativ sein, da der Faktor in einer ungeraden Anzahl auftritt. Der Produktwert (– 2)144 muss positiv sein, da der Faktor in einer geraden Anzahl auftritt.

13 a) (– 35)·24 = – 840b) (– 18)·(– 45) – 888 = – 78c) ((– 60)·42)·(– 5) = 12 600


5 Dividieren

Seite 60

Einstiegsaufgabe Die durchschnittliche Temperaturänderung in einer Stunde war – 2 °C.

1 a) – 8 b) – 8 c) + 7d) – 4 e) – 9 f) + 6



2 a) – 8 b) – 12 c) + 5d) – 9 e) + 9 f) – 8

Seite 61

3 a) negatives Ergebnis: – 11b) negatives Ergebnis: – 8c) positives Ergebnis: + 6d) negatives Ergebnis: – 18e) negatives Ergebnis: – 6f) negatives Ergebnis: – 13g) positives Ergebnis: +27h) negatives Ergebnis: – 22

4 a)

– 8

– 3

+ 8

– 9

+ 13,5

+ 5

+ 4,8

– 12,8

+ 14,4

– 21,6

– 2

– 12

+ 32

– 36

+ 54

:

+ 24

– 64

+ 72

– 108

– 12

– 2

+ 5 1 _ 3 – 6

+ 9

b)

– 42

252

– 630

– 1848

3276

– 18

108

– 270

– 792

1404

– 12

72

– 180

– 528

936

9

– 54

135

396

– 702

•

– 6

15

44

– 78

5 a) (– 128) : (+ 16) = (– 8) b) 72 : (+ 4) = (+ 18)c) (+ 105) : (– 7) = – 15 d) (– 300) : 25 = – 12

6 a) 72 : (– 8) = – 9 b) (– 84) : 12 = – 7(– 72) : 8 = – 9 (– 84) : (– 12) = 7(– 72) : (– 8) = 9 84 : 12 = 772 : 8 = 9 84 : (– 12) = – 7

7 a) 48 : (– 12) = – 4 b) (– 72) : 9 = – 8c) – 57 : (– 19) = 3 d) (– 182) : (– 14) = 13e) 207 : (– 23) = – 9 f) (– 756) : (– 21) = 36

8 a) – 1,3 b) – 1,7 c) 5,5 d) – 1,2e) 4,8 f) – 15 g) – 4,25 h) 22,88

9 a) 2 + 2 _ 3 3 · 2 – 9 _ 4 3 = – 3 _ 2 b) 2 – 4 _ 7 3 · 2  7 _ 6 3 = – 2 _ 3

c) 2 – 3 _ 4 3 · 2 – 8 _ 7 3 = 6 _ 7 d) 2 – 35 _ 36 3 · 48

_ 25 = – 28 _ 15

10 a) Damit der Wert des Quotienten möglichst groß wird, muss der Dividend möglichst groß und der Divisor möglichst klein sein, beide müssen außerdem dasselbe Vorzeichen haben: (+ 97) : (+ 2) = 48,5 oder (– 97) : (– 2) = 48,5

b) Damit der Wert des Quotienten möglichst klein wird, muss der Dividend möglichst groß und der Divisor möglichst klein sein, beide müssen außerdem verschiedene Vorzeichen haben: (+ 97) : (– 2) = – 48,5 oder (– 97) : (+ 2) = – 48,5c) Damit der Betrag des Quotienten so klein wie möglich wird, müssen Dividend und Divisor nahe beieinander liegen: (– 23) : (– 9) = 2 5 _ 9 oder 23 : 9 = 2 5 _ 9

11 (– 11,2) : 3,2 = – 3,5 9,12 : (– 22,8) = – 0,4(– 5,1) : (– 8,5) = 0,6 81 : (– 10,8) = – 7,5(– 9,8) : (– 3,5) = 2,8

12

– 11 (– 84) : (– 7) 12 (– 198) : 22

– 9 136 : (– 8) – 17 (– 96) : (– 16)

6 (– 126) : 9 – 14 165 : (– 15)

Zahlenzauber

18

– 24

12

2

8

– 36

– 4 72 – 6

– 0,5

– 9

– 3

– 2

– 18

– 1,5

– 6 – 4,5 – 1

– 2

65

– 91

3

55

– 34

– 33 – 85 7 26

51

– 77

119 22 – 39 – 5

Die unterschiedlich gefärbten Gruppen haben jeweils den Produktwert 510 510. Auch im rot umrandeten Zentrum erhält man als Produktwert 510 510. Es gibt jeweils acht Plus und Minuszeichen.

Seite 62

13 mögliche Lösungen:a) (– 2) : ((– 2) : (– 2)) : (– 2) = (– 2) : 1 : (– 2) = 1b) (– 4) : (– 4) : ((– 4) : (– 4)) = 1 : 1 = 1c) (– 2) : ((– 2)·(– 2) : (– 2)) = (– 2) : (4 : (– 2)) = (– 2) : (– 2) = 1d) (– 4) : ((– 3) : (– 2)) : (– 1) = (– 4) : (1,5) : (– 1) = 8 _ 3



14 a)– 48

12

– 6 – 2 2

– 3 2 – 1 – 2

– 4

b)0,5

1

2 0,5 1

– 2 – 1 – 0,5 – 2

– 1 2 – 0,5 1 – 2

0,5

15 a) (– 48) : 6·(– 13) = (– 8)·(– 13) = 104b) 72 : (– 8) – (– 10) = – 9 + 10 = 1c) (– 35) : 5 : (49 : (– 7)) = – 7 : (– 7) = 1d) (12,5·(– 4)) : ((– 6,0) : (– 1,2)) = – 50 : 5 = – 10

16 a) x = – 3 b) x = – 5c) x = – 9 d) x = – 7

17 Falsch. Gegenbeispiel: Produkt (– 2)·(– 3)·(– 4)·5·6·7. Hier ist die Hälfte der Faktoren positiv, das Produkt ist allerdings negativ. Es kommt auf die Anzahl der negativen Faktoren an. Ist sie gerade, ist das Produkt positiv. Ist sie ungerade, ist das Produkt negativ.

Rechennetze

– 100 50 200

500 250 – 25

– 10 – 50 1

·(– 5) · 5 : ( – 8)

: (– 50) : ( – 5) : ( – 25)

: (– 2) ·4

: ( – 10)

·5 :(– 50)

: 2

10 – 4 300

– 80 20 – 2,5

3,2 – 40 10

·(– 8) ·(– 5) : (– 120)

: (– 25) : (– 0,5) ·(– 4)

: (– 2,5) (– 75)

: (– 8)

: (– 0,08) ·(– 0,25)

: (– 4)

– 7,5 2,5 – 6,4

3,2 – 0,2 3,5

– 0,4 – 9 0,5

+ 10,7 + (– 2,7) – (– 9,9)

: (– 8) ·45 : 7

: (– 3) – 8,9

+ 3,7

·22,5 + 9,5

: (– 16)

– 1 _

2 : 2 – 1 _ 4 3

– 3 _ 2

· 2 _ 9

: 2 – 1 _ 3 3 – 1 _ 3

– 2 _ 3

· 4 _ 3

7 _ 2

– 1 _ 2

– 2

– 4 – 9

12

·8 + (– 11)

: 27

: (– 24)

– 5– 1 _

3

· 1 _ 18

6 Verbindung der Rechenarten

Seite 63

Einstiegsaufgabe 7·(– 12) + (– 5)·(– 12) = – 247·(– 12 + (– 5)) = – 1197·(– 12) + 7·(– 5) = – 119– 12·(7 + (– 5)) = – 24 Je zwei Werte stimmen überein. individuell

Seite 64

1 a) – 20 b) – 8 c) – 26 d) – 1e) – 42 f) – 63 g) – 9 h) 1

2 a) 90 b) – 1 c) 20,5 d) – 16,1e) – 8,5

3 a) – 1300 b) 190 3400 47 3000 150 – 1400 – 45

4 a) (– 100)·(– 100)·(– 7) = – 70 000b) (– 1000)·(– 9)·(– 200) = – 1 800 000c) (– 6)·100·(– 500) = 300 000d) (– 200)·(– 90)·(– 3) = – 54 000e) 200·30·(– 1000)·(– 3) = 18 000 000

5 a) – 100 + 48 = – 52 b) 320 – 600 = – 280c) 100 – 480 = – 380 d) 350 – 160 = 190e) – 50 + 76 = 26 f) – 12 + 42 = 30g) – 6 + 9,6 = 3,6 h) 2 + 2,8 = 4,8



6 a) 15·12 – 7 = 173 ist das größtmögliche Ergebnis.b) 7 – 15·12 = – 173 ist das kleinste Ergebnis.

7 a) (– 9)·(14 + 6) = (– 9)·20 = – 180b) 42·((– 14) + (– 16)) = 42·(– 30) = – 1260c) (– 19)·((– 73) + (– 27)) = (– 19)·(– 100) = 1900d) (– 16)·(33 – 23) = (– 16)·10 = – 160

8 a) (– 9)·(16 + 23 + 11) = (– 9)·50 = – 450b) (– 18)·(59 – 32 + 73) = (– 18)·100 = – 1800c) 12·(– 2,3 – 4,9 – 2,8) = 12·(– 10) = – 120d) (– 12,4)·(4,75 + 4 + 1,25) = (– 12,4)·10 = – 124

9 a) (– 5)·50 = – 250 b) – 200 + 35 = – 165c) – 260 – 39 = – 299 d) 9·(– 10) = – 90e) – 4 + 3 = – 1 f) (– 9)· 1 _ 8 = – 9 _ 8

g) 66 – 1 _ 4 = 65 3 _ 4 h) – 1 _ 5 + 4 = 3 4 _ 5

10 a) 6 b) – 280 c) – 120d) 7 e) 101 f) 41

11 a) – 87 b) 623 c) 9d) 99 e) –225

12 a) (– 5)·(3 – 9) = 30 b) (– 28 – 21) : 7 = – 7c) (3·5 + 9)·(– 2) = – 48 d) ((– 2)·8 – 4)·5 = – 100

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Die Temperaturmessung

100 : 5·9 + 32 = 212, also sind 100 °C gleich 212 °F.0 : 5·9 + 32 = 32, also sind 0 °C gleich 32 °F.50 : 5·9 + 32 = 122, also sind 50 °C gleich 122 °F.10 : 5·9 + 32 = 50, also sind 10 °C gleich 50 °F.– 10 : 5·9 + 32 = 14, also sind – 10 °C gleich 14 °F. (68 – 32) : 9·5 = 20, also sind 68 °F gleich 20 °C.(140 – 32) : 9·5 = 60, also sind 140 °F gleich 60 °C.(100 – 32) : 9·5 = 37,78, also sind 100 °F gerundet gleich 37,78 °C.(0 – 32) : 9·5 = – 17,78, also sind 0 °F gerundet gleich – 17,78 °C.(– 148 – 32) : 9·5 = – 100, also sind – 148 °F gleich – 100 °C. Es gilt: – 40 °F = – 40 °C. Tims Aussage kann stimmen, denn 100 °F entsprechen rund 37,78 °C. Am wärmsten war es in Phoenix, am kältesten war es in Melbourne. Auf der Nordhalbkugel herrschte Sommer. Dies kann man z. B. an der Temperatur in Stuttgart erkennen.


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1 a) 23 b) – 100 c) – 91 d) – 12e) – 17 f) 40 g) – 181 h) 9

2 a) – 85 + 38 = – 47 b) – 29 – (– 12) = – 17c) 63 : (– 9) = 7 d) – 13·(– 8) = 104e) 18·(– 3,25) = – 58,5 f) (– 4,8) : (– 0,8) = 6

3 a) – 5,3 b) 24,1c) – 5 d) – 0,5e) – 8,5 f) 0,2

4 a) 74 + 26 – (143 + 57) = 100 – 200 = – 100b) 17 + 83 – (29 + 44 + 71) = 100 – 144 = – 44c) 12 + 58 – (63 + 47 + 39) = 70 – 149 = – 79d) 95 + 59 + 21 – (107 + 45 + 43) = 175 – 195 = – 20e) 71 + 133 + 109 + 57 – (48 + 29 + 42) = 370 – 119 = 251

5 a) 100·7,5·(– 9) = – 6750b) – 20·(– 4) = 80c) 1000·100·(– 3,8) = – 380 000d) – 1 _ 2 · 2 – 2 _ 5 3 = 1 _ 5

6 3,8 + (– 4,2) + 0,8 = 0,4 0,9 – 7,1 + 2,7 = – 3,5 – 7,2 – 3,5 + 5,8 = – 4,9 – 1,6 + 4,4 – 9,3 = – 6,5 – 9,8 + 4,3 + 5,1 = – 0,4

7 a) – 23 – 9 + 13 = – 19b) 82 – (37 + 32 + 35) = 82 – 104 = – 22c) 67 – (– 29 + 19) – 13 = 67 + 10 – 13 = 64d) 7,8 – (4,1 + 10,4 – 5,9) = 7,8 – 8,6 = – 0,8 8

– 3,4 (– 56) : (– 14) 4 (– 7,5)·16

– 120 – 77 – 83 – 160 (– 43) + (– 26)

– 69 – 42 : (– 2,4) + 17,5 (– 0,4)·8,5

9 a) 204 b) 110 c) – 98 d) 132e) – 26 f) 110 g) – 98

10 a) 3 b) – 5 c) – 21 d) 7e) 5 f) 15 g) – 7



11 a)– 48

– 28

– 16 – 12 – 8

– 9 – 7 – 5 – 3

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1

– 20

Wenn die Summanden in einer Zahlenreihe alle gerade sind, so bleiben alle weiteren Werte auch gerade.b) Die Zahl in der Spitze muss positives Vorzeichen haben, da in der untersten Reihe immer zwei negative Werte miteinander multipliziert werden und die Produkte damit positiv sind.

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1

14 929 920

17 280

240 72 12

20 12 6 2

864

c) Die obige Mauer ist ein Gegenbeispiel zu Lissys Aussage.

Seite 68

12 10 + (– 2) + (– 5) + 8 = 11 10·(– 2) + (– 5) + 8 = – 17 10·(– 2)·(– 5)·8 = 800 10 + (– 2) + (– 5) – 8 = – 5 10 : (– 2) + (– 5) + 8 = – 2

Der größte Wert ist 800, die Aufgabe mit dem kleinsten ganzzahligen Wert lautet: (– 5) + (– 2) – 10·8 = – 87.

13 a) – 157 b) 38 c) – 351 d) – 2e) – 105 f) 80 g) 100 h) 57

14 a) – 8·6·5 = – 43b) 20 – 36 : (– 12) = 23c) – 5 + 7·(– 2) = – 19d) 2·(– 6) – 7 = – 25 – (– 6)e) (3·(– 1) – 1) : (– 4) = 2·(– 1) + 3

15 Ergebnisse von innen nach außen:a) 2; – 2; 1; – 3; – 15; 5; – 1

b) – 175 _ 64 ; 175

_ 32 ; – 175 _ 96 ; 175

_ 24 ; – 35 _ 24 ; 35

_ 4 ; – 5 _ 4


16 a) b) mögliche Lösung

: (–7)

– 42

– 17

– 21

2

10,5– 4

: 2 – 3 _ 2 3

6

– 1_10

(– 4)

7 _ 2

10

· 7 _ 10

2

5

2 – 1 _ 20 3

– 1 _ 2

Zahlenreihen

a) 3; – 6; 12; – 24; 48; – 96; 192; – 384; 768; …b) 256; – 128; 64; – 32; 16; – 8; 4; – 2; 1; – 1 _ 2 ; …c) – 2; – 4; – 5; – 10; – 11; – 22; – 23; – 46; – 47; – 94; – 95; – 190; …d) 1; – 2; 6; – 24; 120; – 720; 5040; – 40 320; 362 880; – 3 628 800; …e) 3; – 2; 10; 5; – 25; – 30; 150; 145; – 725; – 730; 3650; 3645; … individuelle Lösungen 63 – 55 = 88 – 18 = – 10– 10 + 15 = 55 – 13 = – 8– 8 + 11 = 3 1 – 2 = – 1– 1 + 2 – 3 = – 2– (1 + 2)· (3 – 4) = – 31·(2 + 3) – 4 – 5 = – 4– (1 – 2) – 3 – (4 + 5) + 6 = – 5– 1 + (2 – 3) + 4 + 5 – (6 + 7) = – 6–1 + (2 – 3) + 4·(5 – 6) + 7 – 8 = – 71·(2·(3 – 4) + 5·(6 – 7) + 8 – 9) = – 81 + 2 + 3 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 + 9 – 10 = – 9– (1 – 2) + (3 – 4) – (5 – 6) + 7 – 8 – 9 + 10 – 11 = – 10 – 3 – 6 = – 9– 9 + 7 = – 2– 2 – 8 = – 10– 10 + 9 = – 1– 1 – 10 = –11– 11 – 11 = – 22


Seite 69

17 Ist die Summe von Max positiv, so besteht die Summe aus einer geraden Anzahl von Summanden, ansonsten besteht sie aus einer ungeraden Zahl von Summanden. Sarah muss vom genannten positiven Ergebnis das Doppelte rechnen, bzw. vom genannten negativen Ergebnis das Doppelte plus 1 rechnen. Eine genauere Erklärung findest du bei der Aufgabe „Plus und Minus“ auf Seite 57.

18 a) Gegenbeispiel: (– 5) + (– 7) = – 12b) Beispiel: – 3 – (– 4) = 1c) Beispiel: 5·(– 7) = – 35d) Beispiel: (– 12) : 6 = – 2


20 alle Angaben in €:

Alter Kontostand

64,25 – 408,52 – 19,29 – 273,16 – 24,36

Buchung – 103,50 396,83 – 72,63 +184,86 – 47,37

Neuer Kontostand

– 39,25 – 11,69 – 91,92 – 88,30 – 71,73

Rechnen im Koordinatensystem

A’(– 7 | – 7), B’(5 | – 9), C’(2 | – 5), D’(– 8 | – 3)

– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

– 9

y

x

A

D

B

C

A’

D’

B’

C’

Das Viereck wird an der 2. Achse gespiegelt. Das Viereck wird an der 1. Achse gespiegelt. Das Viereck wird am Koordinatenursprung um 180° gedreht. Die 1. und 2. Koordinaten wurden jeweils verdoppelt.


Seite 70

Rund um die Temperaturmessung

Zwischen der höchsten Temperatur (3 °C) und der tiefsten Temperatur (– 38 °C) liegen 41 °C. Die Durchschnittstemperatur aller Messstationen beträgt rund – 17,72 °C. Der Unterschied beträgt 17,12 °C. Mittlere Tagestemperatur in Berlin: 2 °C, New York: – 13,25 °C, Sydney: 26,25 °C, Jakutsk: – 33 °C. Jährliche Durchschnittstemperatur inWerchojansk: – 15,3 °C, Reykjavík: 4,4 °C. Am besten eignen sich Säulendiagramme. Nicht gut geeignet sind z. B. Kreisdiagramme. Der Golfstrom, der auch Island erreicht, hat enorme Auswirkungen auf die klimatischen Bedingungen und somit auch auf die Temperaturen. Zusätzlich wird das Wetter in Werchojansk vom so genannten Kontinentalklima geprägt, das wiederum sehr heiße Sommer und extrem kalte Winter mit sich bringt. Am Abend herrschte in der Wüste Gobi eine Temperatur von – 2 °C.

4 Dreiecke L 31

4 Dreiecke

Auftaktseite: Dreiecks-Experimente

Seiten 72 bis 73

Dreiecke in der SchuleBildet man mit der Knotenschnur oder mit einer Kette aus Schülerinnen und Schülern Dreiecke, so haben diese verschiedene Formen. Sie unterscheiden sich in der Länge der einzelnen Seiten und in der Größe ihrer Winkel. Bei bestimmten Knotenzahlen kann man Dreiecke bilden, die einen rechten Winkel besitzen (z. B. bei 13 Knoten), oder Dreiecke, die zwei oder drei gleich lange Seiten haben.

Im Team experimentieren Nein, nicht alle Kombinationen von Streifenlängen sind möglich, um ein Dreieck zu bilden. Die Kombination der Streifen von 2 cm, 4 cm und 8 cm Länge ergibt kein Dreieck.Regel: Bilde die Summe von jeweils zwei Seitenlängen. Ist diese Summe größer als die Länge der dritten Seite, ergibt sich aus den Seiten ein Dreieck.

1 Winkel im Schnittpunkt von Geraden

Seite 74

Einstiegsaufgabe Gehe vor wie beschrieben und auf dem Bild gezeigt.Nein, es müssen nicht alle Winkel gemessen werden. Mit den besonderen Eigenschaften von Winkeln können alle restlichen Winkel berechnet werden, wenn eine Winkelgröße bekannt ist.

Seite 75

1 a) a = 115°; b = 115°• Scheitelwinkel sind gleich groß.• Stufenwinkel sind gleich groß.b) a = 67°; b = 113°• Wechselwinkel sind gleich groß.• Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

2 a) e und c sind beide 55°.b) a, b und d sind 100°.

3 a) a = b = c = 42° b) a = b = c = 110°c) a = 45°; b = c = 135° d) a = b = 105°; c = 75°

4

85°

95°

120°

60°

85°

100°

100°

40°40°

40°

40°60°

85° 95°

85°

5

49°

49°

49°

49°

a) z. B. b) z. B.

6 Es sind jeweils zwei verschieden große Winkel.

7 g und h verlaufen nicht parallel zueinander, da 114° und 67° zusammen ungleich 180° sind. Für die Parallelität müssten beide Winkel jedoch nach dem Nebenwinkelsatz und der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes zusammen 180° betragen. Die Geraden schneiden sich links von i.

8 a) Die Summe von benachbarten Winkeln im Parallelogramm beträgt 180°. a und b, b und c, c und d, d und a betragen jeweils zusammen 180°.b) Im Parallelogramm ABCD gilt nach dem Stufenwinkelsatz a = aq und nach dem Wechselwinkelsatz aq = c. Daher ist a = c. Entsprechend gilt: b = d. Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind also gleich groß.

9 a) a = 60° (Eine Gerade durch s und parallel zu g und h hilft, den Winkel a zu bestimmen.)b) a = 33° (Eine Gerade durch s und parallel zu g und h hilft, den Winkel a zu bestimmen.)

2 Winkelsumme im Dreieck

Seite 76

Einstiegsaufgabe individuelle LösungenGehe vor wie auf dem Bild gezeigt.Der entstehende Winkel beträgt 180°. Er heißt „gestreckter Winkel“.


L 32 4 Dreiecke

9 c = 96°; d = 60°

10 a) mögliche Lösungen:a = 90°; b = 60°; c = 30° oder a = 105°; b = 45°; c = 30° oder a, b, c = 60°b) mögliche weitere Aufgaben:• Wie groß können die Winkel sein, wenn zwei

bzw. drei Winkel gleich groß sein sollen?• Wie groß können die Winkel sein, wenn ein

Winkel größer als 130° sein soll?

11 Winkel unten links: 180° – 40° – 85° = 55°Winkel unten rechts: 180° – 42° – 71° = 67°Winkel oben: 180° – 67° – 55° = 58°

Dynamische Geometriesoftware (DGS)

Verkleinert man einen Winkel, so vergrößert sich die Summe der beiden anderen Winkel um diesen Betrag. Vergrößert man einen Winkel, so verkleinert sich die Summe der beiden anderen Winkel um diesen Betrag. Verschiebt man zwei Eckpunkte so, dass eine Seite parallel verschoben wird, bleiben alle Winkel gleich.Insgesamt bleibt die Summe aller Winkel immer gleich, nämlich bei 180°.

3 Dreiecksformen

Seite 78

Einstiegsaufgabe „Dreiecksfamilien“ sind zum Beispiel:• Dreiecke mit drei gleich langen Seiten und drei

gleichen Winkeln• Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten und zwei

gleichen Winkeln• Dreiecke, die einen rechten Winkel haben• Dreiecke, die einen stumpfen Winkel haben• Dreiecke, die drei unterschiedliche Seitenlängen

und drei unterschiedliche Winkel haben.

Seite 79

1 Beispiele sind das Warndreieck (gleichseitig), Verkehrsschild „Vorfahrt achten“ (gleichseitig), Geodreieck (gleichschenklig und rechtwinklig), Rahmen von Fahrrädern (verschiedene Dreiecksformen), Dachgiebel (meistens gleichschenklig), Stützbalken in Fachwerkhäusern (verschiedene Dreiecksformen), Wimpel (gleichseitig).

1 Die drei ursprünglichen Dreiecke hatten die folgenden Winkel: Dreieck 1: 106° + 44° + 30° = 180°Dreieck 2: 90° + 66° + 24° = 180°Dreieck 3: 84° + 60° + 36° = 180°

2

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

y

x

A

A

A

A

B

B

B

C

C

B

C

C

b)

c)

a)

d)

0

Winkelsummen:a) 45° + 80° + 55° = 180°b) 60° + 55° + 65° = 180°c) 122° + 31° + 27° = 180°d) 40° + 23° + 117° = 180°

3 Ein Dreieck kann zwei oder drei spitze Winkel, aber jeweils nur einen stumpfen oder rechten Winkel besitzen, weil sonst die Winkelsumme von 180° überschritten würde.

4 a b c

a) 40° 60° 80°

b) 33° 60° 87°

c) 105° 25° 50°

5 a) c = 102°; d = 78° b) c = 34°, b = 35°

Seite 77

6 a) b = 60°; c = 120°b) a = 100°; c = 35°c) b = 40°; c = 80°d) a = 110°; d =70°; e = 100°

7 b’ = 80°; c’ = 75°

8 b = 100°; c = 50°


4 Dreiecke L 33

2 a) ABD; BCDb) ABC; ACF; AEC; BCD; CDF; EBCc) gleichschenklig (nicht gleichseitig): ABI; BCI; CAI; EFI; FDI; DEIgleichseitig: ABC; AFE; BDF; DCE; DEF

3 Winkel

a b c Dreiecksart

a) 30° 60° 90° rechtwinklig

b) 40° 60° 80° spitzwinklig

c) 40° 40° 100° stumpfwinklig

d) 60° 60° 60° spitzwinklig

a) und b): allgemeine Dreiecke: Die Seiten sind unterschiedlich lang. Die längste Seite liegt dem größten Winkel und die kürzeste Seite dem kleinsten Winkel gegenüber.c) Gleichschenklig, wobei die Basis länger ist als die Schenkel.d) gleichseitig

4 Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

5 spitz

winkligrecht

winkligstumpf winklig

gleichseitig 5

gleichschenklig nicht gleichseitig

2 3 1

allgemein 7; 8 4; 9 6

6

– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

– 2

– 3

– 4

– 5

y

x

A

A

A

A

A

A

C

C

C

CC

C

B

B

B

B

B

B

c)

f)

d) e)

b)

a)

a) allgemein, rechtwinkligb) gleichschenklig, stumpfwinkligc) allgemein, spitzwinkligd) allgemein, stumpfwinklige) gleichschenklig, rechtwinkligf) gleichseitig (und spitzwinklig)

Seite 80

7 a) obere Konstruktion: gleichschenklige Dreiecke mit spitzem, rechtem oder stumpfem Winkel und allgemeine rechtwinklige Dreieckeuntere Konstruktion: gleichseitige Dreiecke, die aus zwei allgemeinen rechtwinkligen Dreiecken entstehen, allgemeine rechtwinklige Dreiecke und stumpfwinklige gleichschenklige Dreieckeb) Bilder finden sich unter anderem im Internet oder in Broschüren über Fachwerkhäuser, Messebau oder das Münchner Olympiastadion.

8 a) wahr b) falsch c) falschd) falsch e) wahr

9 a) b)

c) d)

Es ergeben sich jeweils gleichschenklige Dreiecke.

Randspalte Man berechnet aus den beiden gleich großen spitzen Winkeln eines Dreiecks die Größe des stumpfen Winkels. Ergänzt man diesen zu einem gestreckten Winkel, erhält man die Größe des spitzen Winkels des nächsten Dreiecks. Insgesamt ergibt sich:10° + 20° + 40° = 70°

10 Es ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck mit doppelt so langen Seiten.


L 34 4 Dreiecke

11 a) c = 140°; 40°; 18°; 2°b) a = 75°; 65°; 30°; 1°

12 Der Winkel b ist zwischen 20° und 40°.Die Leiter reicht zwischen 2,3 m und 2,8 m hoch.

40°

50°

4 m ≈ 3,1 m ≈ 3,8 m

70°

20°

13 Ein Winkel muss größer als 90° sein, also ist der stumpfe Winkel 91° und der dritte Winkel 1°.

14 a)

30°

30° 30°

30°30°

60°

60°60°

60°

60° 60°

30°

90°90°

30°

30°

CC

A B A B

15 Ein Dreieck, das weder rechtwinklig, noch gleichseitig, noch gleichschenklig ist, könnte man als ein Dreieck bezeichnen, an dem nichts Besonderes ist. Zeichnung:

4 Konstruktion von kongruenten Dreiecken

Seite 81

Einstiegsaufgabe individuelle LösungenDurch Ausprobieren können sie feststellen, dass bei allgemeinen Dreiecken drei Angaben gebraucht werden.Sind nur die Winkelgrößen bekannt ohne Angabe mindestens einer Seitenlänge, erhält man nicht unbedingt kongruente Dreiecke.Bei zwei Seiten und einem Winkel kann es passieren, dass es zwei mögliche Dreiecke gibt.

Seite 82

1 Der Zollstock hat 20 Abschnitte. Will man ein Dreieck knicken, muss die längste Seite aus weniger als zehn Abschnitten bestehen. Der Umfang

muss aber immer 20 sein. Knickt man systematisch alle Dreiecke, so ergeben sich acht verschiedene Möglichkeiten.

2 SSSKonstruktion wie im Beispiel a), Schülerbuchseite 81Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

a)

A B

C

b =

8 cm

c = 9 cm

a = 7 cm

b)

A B

C

b =

7 cm

c = 10 cm

a = 11 cm

c)

A B

C

b = 9,3 cm

c = 7,8 cm

a = 5,5 cm


4 Dreiecke L 35

3 SWSKonstruktionen wie im Beispiel b), Schülerbuchseite 81Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

a)

A B

C

b = 9 cm

c = 10 cm

40°

a

b)

A B

C

b

a =

5 cm

c = 10 cm

124°

c)

A

B

C

b = 11,2 cm

a = 8,5 cm

c

75°

4 Planfigur:a)

c = 7 cm

30° 50°

A B

ab

C

b)

cA

75°

80°

B

a

b =

4 cm

C

c)

c

A

85°20° B

b

a = 8,5 cmC

5 Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

a)

A B

C

b =

8 cm

c = 7 cm

50°

a


L 36 4 Dreiecke

b)

A B

C

b

a =

12 cm

c = 8 cm

42°

c)

A

B

Cb = 8,9 cm

a = 5,3 cm

c

60°

6 a) Die Seiten a und c schneiden sich nicht, weil ihre Summe kleiner ist als die Länge der Seite b. b) Die Summe der angegebenen Winkel ist größer als 180°. Man kann deshalb kein Dreieck konstruieren.c) Die Summe der angegebenen Winkel a und c ist größer als 180°.

7 a) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

b

c’

c = 8 cmzwei Lösungen

a =

6 cm

a’ = 6 cm30°

b) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

b = 4 cm

c = 7 cmA B

C1

C2

25°

zwei Lösungen

c) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

c = 4 cmkeine Lösung

A B70°

d) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c


4 Dreiecke L 37

c = 5 cm

keine Lösung

A B100°

Seite 83

Geometriediktat

A c B

A c B

A c B

A c

a

B

C

C

a

a

45°

1.

2.

3. und 4.

5.

8 a) SWSKonstruktion:1. Zeichne Seite a = 5 cm, du erhältst B und C. 2. Trage an a in C den Winkel c = 100° ab.3. Zeichne einen Kreisbogen in C mit Radius r = 7 cm.4. Der Schnittpunkt von Kreisbogen und freiem Schenkel von c ist A.5. Verbinde A und B.

Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A

B

C

b =

7 cm

c

a = 5 cm100°

b) WSWKonstruktionDurch Berechnung: c = 90°1. Zeichne Seite a = 9 cm, du erhältst B und C.2. Trage an a in B den Winkel b = 55° ab.3. Trage an a in C den Winkel c = 90° ab.4. Der Schnittpunkt der freien Schenkel von b und c ist A.Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A

B

C

b

c

a = 9 cm90°

35°

55°

c) SWSKonstruktion1. Zeichne Seite c = 8 cm, du erhältst A und B2. Trage an c in B den Winkel b = 60° ab.


L 38 4 Dreiecke

3. Zeichne einen Kreisbogen um B mit Radius r = 6,5 cm.4. Der Schnittpunkt von Kreisbogen und freiem Schenkel von b ist C.5. Verbinde A und C.Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

b

c = 8 cm

60°

a = 6,5 cmd) SSSKonstruktion1. Zeichne Seite c = 10 cm, du erhältst A und B.2. Zeichne einen Kreisbogen um A mit Radius r = 3 cm = b.3. Zeichne einen Kreisbogen um B mit Radius r = 8,5 cm = a.4. Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist C.5. Verbinde C mit A und B.Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

b =

3 cm

c = 10 cm

a = 8,5 cm

e) WSWKonstruktionDurch Berechnung: a = 60°1. Zeichne Seite b = 6 cm, du erhältst A und C.2. Trage an b in A den Winkel a = 60° ab.3. Trage an b in C den Winkel c = 90° ab.4. Der Schnittpunkt der freien Schenkel von a und c ist B.

Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

b =

6 cm

c30°

90°

60°

a

9 Planfigur:

c = 3 cm

c = 3 cmc = 5 cm

b =

8 cm

b =

12 cm a = 13 cm

b =

12 cm

a = 13 cm

a = 8 cm

b =

8 cm

A

A

A

90°

65°

60°

35°

B

B

B

A

A B

B

a = 7 cm

Ca) c)

b)

d)

e)

C

C

C

C


4 Dreiecke L 39

f)

A

80°

65°

B

b = 8 cm

C

Nachmessen ergibt:Es sind kongruent a) und d), c) und e) sowie b) und f).


11 a) Reihenfolge der Konstruktionsschritte:Å. Zeichne Seite c, du erhältst A und B.2. Trage an c in A den Winkel a = 40° ab.3. Trage an c in B den Winkel b = 50° ab, du erhältst C.4. Trage an b in C den Winkel 30° ab, du erhältst D.

A c = 10 cm

30°

50°40°

B

D

C

b) 1. Zeichne Seite c, du erhältst A und B.2. Trage an c in A den Winkel a = 65° ab.3. Zeichne einen Kreisbogen in A mit dem Radius r = 7 cm.4. Der Schnittpunkt von Kreisbogen mit freiem Schenkel von a ist C.5. Verbinde B und C.6. Zeichne einen Kreisbogen in C mit dem Radius r = 8 cm.7. Der Schnittpunkt von Kreisbogen mit der Seite c ist D.

A c = 10 cm

b =

7 cm

65°

BD

C

12 a) Planfigur:

c

a b

b = a

C

A B

a

c

A B

C

b =

6 cm

c = 7 cm

a = 6 cm

b) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

b =

a

c = 8 cm

a

52° 52°

c) Planfigur:

c

a b

b = a

C

A B

a

c

A B

C

a = 7 cmb = 7 cm

c

110°


L 40 4 Dreiecke

d) Planfigur (c = 110°)

c

a b

b

C

A B

a

c

A B

C

a = 9 cmb = 9 cm

c

110°

13 Planfigur:

A 85 m

62° 90°

B

C

Lösung: Höhe des Turms: 159,90 mmaßstäbliche Konstruktion mit a = 62° und b = 90° und z. B. c = 8,5 cm

14 Maßstab 1 : 200 000, d. h. 1 cm š 2 km

14 km

13 km

11 km

14 km 9 km

72°

122°61°

85° Obe

rsfe

ld

Katzenbach

AuraSulzthal

Lauter

Aura – Katzenbach 6,4 kmAura – Obersfeld 26,6 kmAura – Lauter 25,8 kmAura – Sulzthal 13,0 km

Katzenbach – Obersfeld 20,4 kmKatzenbach – Lauter 21,8 kmKatzenbach – Sulzthal 13,0 kmObersfeld – Lauter 16,0 kmObersfeld – Sulzthal 24,8 kmLauter – Sulzthal 16,2 km

15 Planfigur 1: Planfigur 2:

c

db b’

b’

C

B D

a

c’

c

a b

b

C

A B

a

c

C

DBA c c’ = 5cm50m

a b’b = 14 cm140 m

60°90°

30°

120°47°

Man macht eine maßstabsgerechte Zeichnung.Man berechnet den Nebenwinkel von b = 60°, nämlich b’ = 120°. Man konstruiert zunächst das rote Dreieck BDC mit einer WSWKonstruktion.Man berechnet den Winkel c = 30° und ergänzt das schwarze Dreieck nochmals mit einer WSWKonstruktion. Die Höhe kann man in der Zeichnung ablesen. Sie beträgt etwa 140 m.

5 Umkreis und Inkreis

Seite 84

Einstiegsaufgabe individuelle Lösungenindividuelle LösungenDie drei Faltlinien schneiden sich jeweils in einem Punkt.


4 Dreiecke L 41

Seite 85

1

A mc

ma

MB

C

c

a

2 a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

y

x

A

B

M

C

0

mam

b

b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8

7

6

5

4

3

2

1

y

xA

B

C

c

b

a

M

ma

mc

0

c)

1 3 5 7 9 11 13 15 17

13

11

9

7

5

3

1

y

x

A

C

Bc

b a

M

ma

mc

0

3 Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

a)

A B

C

b =

5 cm

c = 7 cm

a = 8 cmm

a

mc

b)

A B

C

c = 7 cm

b

a

M

ma

mc

35°115°


L 42 4 Dreiecke

c)

A

B

C

b =

5 cm

c

a = 7 cm

M

50° mam

b

4

StationSchneesturm

StationEisblume

StationPinguin

Versorgungslager

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

C

A

B

0

Beim 5. Kreis erhält man den Inkreis des Dreiecks ABC.

6 Der Uhrenkreis ist der Inkreis des dreieckigen Giebels. Man teilt nun in der Spitze des Giebels ein kleineres Dreieck ab, und zwar so, dass die Basis des kleinen Dreiecks parallel zur Basis des Giebeldreiecks ist und den Inkreis gerade berührt. Konstruiert man den Inkreis des kleineren Dreiecks, erhält man die Lage der Rosette.

7 Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

a)

A B

C

Wb = 8 c

m

c = 9 cm

a = 6 cm

wbwa

r

b)

A

c

a

B

C

b = 7,5 cm

W

36°

120°w

b

wa

r

c)

A B

C

W

5 cm

c = 11 cm

wb

wc

r90

°


4 Dreiecke L 43

8

A B

B

C

b = 5 cm a = 5 cm

c = 9,5 cm mcm

a

rm = 7,6 cm

wb

wc

M

rw = 0,8 cm

A B

C

b =

12 cm

c = 12 cm

a = 12 cm

mc

mb

rw =3,5 cmrM = 6,9 cm

wbwa

WM

Dreieck 1 hat den größeren Umkreis, Dreieck 2 den größeren Inkreis.

Arbeiten mit dem Computer

Der Umkreismittelpunkt befindet sich bei spitzwinkligen Dreiecken im Dreieck, bei stumpfwinkligen außerhalb und bei rechtwinkligen auf der Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Da der Inkreis immer innerhalb des Dreiecks liegt, muss auch sein Mittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegen.

6 Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt

Seite 86

Einstiegsaufgabe individuelle LösungenDie Auflagelinien schneiden sich in einem Punkt.Man kann das Dreieck auf der Fingerspitze balancieren, wenn man sie direkt unter den gefundenen Schnittpunkt legt.

Seite 87

1 a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

0

A B

C

S

Mb

Mc

sc

sb

b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7

6

5

4

3

2

1

y

x

0

A

B

C

S Ma

Mc

sc

sa

c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

0

A

C

B

S

Mc

Ma

Mb


L 44 4 Dreiecke

2 a)

A Bc = 5 cmc = 5 cm

b =

7 cm

a = 7 cm

C

M

S

Mc

MaMb

sa

sc

sb

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte der Basis identisch, also liegen sowohl M als auch S auf dieser Linie.b)

M = Ssb

Mb

Ma

sa

sc

Mc BA

C

c = 6 cm

b =

6 cm a = 6 cm

Im gleichseitigen Dreieck sind alle Mittelsenkrechten und Seitenhalbierenden identisch, das bedeutet, dass M und S in einem Punkt zusammenfallen.

3

SA B13 cm Mc

Mb 10 cm

4 cm

C

S

A B12 cm Mc

Mb

4,5 cm10 cm

C

S

A B11 cm Mc

3 cm9 cm

C

Alle Körper werden am ehesten auf ihrer längsten Seite liegen bleiben, da der Schwerpunkt ihr am nächsten ist.

4 Verbindet man den Kopf des Männchens mit den beiden an seiner Stange hängenden Kugeln, erhält man ein Dreieck, dessen Schwerpunkt der Punkt S ist.

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

0 A

C

B

S

Mb

Ma

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2.

6 a)

C

a

b

B55°40°

A c = 7 cm

Hha

hc

hb

b)C

H

B A c = 7 cm

b = 5 cm

a = 10 cm ha

hc

hb

c)

C

b =

7 cm

48°A Bc = 9 cm

H

ha

hc

hb


4 Dreiecke L 45

7 Man zeichnet die gegebene Strecke und im Abstand h eine Parallele zu dieser Strecke. Konstruiert man nun den gegebenen Winkel, so entspricht der Schnittpunkt des freien Schenkels des Winkels mit der Parallelen dem dritten Eckpunkt des Dreiecks.a)

C

b a

40°

A Bc = 6,5 cm

h c =

5 c

m

Parallelezu c

b)

C

b

a

111°

A Bc = 5 cm

hc = 6cm

Parallelezu c

c)

A

c

b

37°B Ca = 7 cm

ha = 7 cm

Parallelezu a

d)

c

a

120°

C Ab = 5 cm

B

hb = 4cm

Parallelezu b

8

Abs

tand

4,3

cm

9 cm Straße(90 m)

7 cm

(70 m

)

5,5 cm

(55 m)

Krankenhaus

Der Abstand beträgt etwa 43 m.

9 a) Der Umkreismittelpunkt.b) Die Höhen im Dreieck (Ausnahmen gibt es bei einer der Höhen in stumpfwinkligen Dreiecken).c) Der Inkreismittelpunkt.d) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks, deshalb kann man ein Dreieck entlang dieser Linien auch balancieren.e) Dies gilt für die Punkte der Mittelsenkrechten der Strecke

_

AB .

10 a) In gleichschenkligen Dreiecken liegen sie alle auf einer Linie, die durch die Spitze geht. Ist der Winkel an der Spitze kleiner als 60°, haben die Punkte (von der Spitze gesehen) die Reihenfolge M, S, H. Ist der Winkel an der Spitze größer als 60°, ist die Reihenfolge H, S, M.Bei stumpfen Dreiecken wandert H am stumpfen Winkel aus dem Dreieck, M an der dem stumpfen Winkel gegenüberliegenden Seite. Generell wandert H immer auf den größten Winkel zu und M vom größten Winkel weg. b) Im gleichseitigen Dreieck fallen diese Punkte zusammen.

7 Der Satz des Thales

Seite 88

Einstiegsaufgabeindividuelle Lösungenindividuelle LösungenLiegt der Punkt C auf dem Kreis, ist der Winkel c = 90°.Die oben genannte Vermutung stimmt auch mit veränderter Länge der Strecke

_

AB .


L 46 4 Dreiecke

Seite 89

1 a)

A B

C1

C2

C3

b) Die Strecke _

AB muss durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. Sie ist dann ein Durchmesser des Kreises. Nun kann man für C irgendeinen anderen Punkt auf dem Kreis wählen, weil der ursprüngliche Kreis der Thaleskreis zur Strecke

_

AB ist.

M

A

B

C

2 (ohne Planfigur)Das Dreieck hat einen rechten Winkel bei C. Deshalb liegt der Punkt C auf dem Thaleskreis der Strecke c.a) Konstruktionsbeschreibung (Zeichnung s. u.):1. Zeichne die Strecke c =

_

AB der Länge 6 cm.2. Zeichne den Thaleskreis zur Strecke

_

AB .3. Zeichne eine parallele Gerade g zu c im Abstand

2 cm.4. Beschrifte die Schnittpunkte von g mit dem Tha

leskreis mit C1 und C2.Die Dreiecke ABC1 und ABC2 sind deckungsgleiche Lösungen.

2 cm

C1

C2

BA

g

b) Da a ein rechter Winkel ist, gilt hc = b.

Konstruktionsbeschreibung (Zeichnung s. u.):1. Zeichne die Strecke a =

_

BC der Länge 5 cm.2. Zeichne den Thaleskreis zur Strecke

_

BC .3. Zeichne einen Kreis um C mit Radius 1,5 cm.4. Beschrifte einen Schnittpunkt des Kreises mit

dem Thaleskreis mit A.

Lösung: Dreieck ABC; der andere Schnittpunkt liefert ein deckungsgleiches Dreieck.

B

C

A

c) Im Punkt B hat das Dreieck einen rechten Winkel. Deshalb liegt B auf dem Thaleskreis zur Strecke b.Konstruktionsbeschreibung (Zeichnung s. u.):1. Zeichne die Strecke b =

_

AC der Länge 7,8 cm.2. Zeichne den Thaleskreis zur Strecke

_

AC .3. Zeichne eine parallele Gerade g zu b im Abstand

3,2 cm.4. Beschrifte die Schnittpunkte von g mit dem Tha

leskreis mit B1 und B2.Die Dreiecke AB1C und AB2C sind deckungsgleiche Lösungen.

3,2 cmA

C

B2

B1

d) Der Punkt C liegt auf dem Thaleskreis zu c, weil c 90° misst.Konstruktionsbeschreibung (Zeichnung s. u.):1. Zeichne die Strecke c =

_

AB der Länge 5,4 cm.2. Zeichne den Thaleskreis zur Strecke

_

AB .3. Trage in B an c den Winkel b = 35° an.4. Beschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels

von b mit dem Thaleskreis mit C.Das Dreieck ABC löst die Aufgabe.

35°

A B

C


4 Dreiecke L 47

3 (ohne Zeichnung)a) Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein weiterer Winkel 45° misst, muss auch der dritte Winkel 45° messen (Winkelsumme). Das gesuchte Dreieck ist dann rechtwinklig und gleichschenklig. Konstruktion: Man beginnt mit einer Strecke

_

AB und dem zugehörigen Thaleskreis. Dann konstruiert man die Mittelsenkrechte zur Strecke

_

AB . Ein Schnittpunkt C mit dem Thaleskreis ergibt das gesuchte Dreieck ABC.b) Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein weiterer Winkel 30° misst, muss der dritte Winkel 60° messen (Winkelsumme). Das gesuchte Dreieck ist dann ein halbes gleichseitiges Dreieck.Konstruktion: Man konstruiert ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Mittelsenkrechten einer Seite. Dabei entstehen zwei kongruente Dreiecke mit der gesuchten Eigenschaft.

4 (Lösungsvorschläge ohne Zeichnung)Vorschlag 1: Man zeichnet die Diagonale

_

AC der Länge 6 cm mit dem zugehörigen Thaleskreis. Dann zeichnet man einen Kreis um A mit dem Radius 5 cm und erhält beim Schnittpunkt mit dem Thaleskreis die Ecke B des Rechtecks. Auf die gleiche Art kann man mit einem gleich großen Kreis um den Punkt C den noch fehlenden Eckpunkt D konstruieren.Vorschlag 2: Man beginnt wie in Teilaufgabe a) und erhält die Eckpunkte A, B und C. Dann spiegelt man den Punkt B am Mittelpunkt der Diagonalen

_

AC und erhält den Eckpunkt D.Vorschlag 3: Man beginnt mit einem Kreis mit dem Radius 3 cm um den (späteren) Mittelpunkt M des Rechtecks. Dann bestimmt man zwei Punkte A und B auf dem Kreis mit dem Abstand 5 cm. Die zu den Punkten gehörenden Durchmesser des Kreises sind die Diagonalen des gesuchten Rechtecks.

5 Karin hat für die Strecke _

AB nicht den Durchmesser des Kreises verwendet.

6 a) Die Höhe zur Seite _

AB = 6 cm muss 4 cm lang sein (s. Punkt Ca in der Zeichnung). Dann berechnet sich der Flächeninhalt A zu (6·4) : 2 = 12 cm2.Da der Radius des Thaleskreises nur 3 cm groß ist, existiert das geforderte Dreieck nicht.b) Bei dem gesuchten Dreieck muss der Punkt C auf dem Thaleskreis über der Strecke

_

AB liegen. Aus der Zeichnung erkennt man, dass ein solches Dreieck die größtmögliche Höhe hat, wenn der Punkt Cb auf der Mittelsenkrechten der Strecke

_

AB liegt (s. Punkt Cb in der Zeichnung).Größtmöglicher Flächeninhalt: (6·3cm2) : 2 = 9 cm2

A B

Ca

Cb

4cm

Thales von Milet (um 600 v. Chr.)

Wegbereiter der wissenschaftlichen Mathematik Zahlreiche Informationen über Thales von Milet sind im Internet zu finden, z. B. auf der Home page http://wikipedia.de. Der Sachverhalt war schon den Babyloniern bekannt.

8 Achsenspiegelung

Seite 90

Einstiegsaufgabe „Die Sonne bewegt sich nicht.“ Spiegelschriften kann man am besten lesen, indem man sie in einem daneben gehaltenen Spiegel betrachtet. individuelle Lösungen

Seite 91

1 a)

g

g

b) individuelle Lösung


L 48 4 Dreiecke

2 Bei dieser Aufgabe werden die Schülerinnen und Schüler durch das Parallelogramm und die Lage der Speigelachse dazu „verführt“, das Bildparallelogramm auf Gitterlinien liegend zu vermuten.

gA

Aq

B

Bq

C

Cq

D

Dq

3

g1

g2

Original

Bild 2 Bild 1

4

aq

bqc = cq

g

b

a

Gerade a: aq ist senkrecht zu a (weil a mit g einen Winkel von 45° bildet), a und aq schneiden einander auf g (Fixpunkt).Gerade b: b ist parallel zu g, die Bildgerade b´ist parallel zu b (und zu g), b und bq haben von g denselben Abstand (g ist Mittelparallele von b und bq).Gerade c: c ist senkrecht zu g, wird also auf sich selbst abgebildet (ist Fixgerade); aber kein Punkt außer dem Schnittpunkt mit der Spiegelachse bleibt fest.

5 Punkte und Spiegelachse wurden absichtlich so gewählt, dass Bildpunkte nicht auf Gitterpunkten liegen, damit die Aufgaben nicht mit Abzählen von Kästchen zu lösen sind.

10

y

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12 14– 1

x

C

A

B

Bq

Aq

Cq

Die Spiegelachse geht durch die Punkte (1 | 5); (3 | 4); (1 | 3); (7 | 2) usw.Bildpunkte: Cq(– 1,2 | – 0,4); Bq(8,6 | – 1,8)

Eigenschaften der Achsenspiegelung

111

2

3

A

A

B C

D

g1

g2

g3

Spiegelung an g2: Es genügt, einen Bildpunkt (z. B. Aq) zu bestimmen, B und D sind Fixpunkte, Dq ergibt sich dadurch, dass das Bild ein Rechteck sein muss.Spiegelung an g2 bzw. g3: Das Bild ist wiederum ein Rechteck, das (weil die Spiegelachsen parallel zu g2 verlaufen) die gleiche „Lage“ haben muss, wie das Bild bei Spiegelung an g2. Ausgehend von den Fixpunkten A bzw. C können damit die Bildrechtecke sofort gezeichnet werden. individuelle Lösungen


Seite 93



4 Dreiecke L 49

2 a) a = 70°, b = 110°b) a = 54°; b = 126°

3 a) a = 130°, b = 130°, c = 50°b) a = 85°; b = 95°, c = b = 95°

4 a) a = 75°, b = 52°b) a = 88°, b = 39°c) a = 65°, b = 45°, c = 70°d) a = 106°, b = 54°e) b = 180° – 19° – 124° = 37°, c = 72°f) a’ = 180° – 120° – 22° = 38°,a’’ = 180° – 110° – 34° = 36°, a = 38° + 36° = 74°,b = 180° – a’ – 103° = 180 – 38° – 103° = 39°,c = 180° – a – b = 180° – 74° – 39° = 67°

5a b c

a) 50° 70° 60°

b) 45° 120° 15°

c) 45° 90° 45°

6 a) 16 kleine Dreiecke, 7 Dreiecke (die aus jeweils vier kleinen bestehen, also die Form der oberen beiden Reihen haben; eines dieser vier steht auf dem Kopf), 3 Dreiecke (die aus jeweils 9 kleinen bestehen und jeweils die Form der oberen drei Reihen haben), ein großes Dreieck, insgesamt also 27 gleichschenklige Dreiecke. Es gibt keine gleichseitigen Dreiecke.b) 1 großes Dreieck, 6 kleine an seinen Ecken, 1 mittelgroßes in der Mitte, drei etwas größere (die aus dem mittleren und einem Streifen bestehen), drei noch größere (die entstehen, wenn man von dem großen Dreieck, einen Streifen und vier kleine Dreiecke abschneidet), insgesamt also 14 gleichschenklige Dreiecke. Alle diese Dreiecke sind auch gleichseitig.

7 Nein. Wenn die Basis doppelt so lang wie die Schenkel wäre, dann würden sich die Schenkel nicht schneiden. Man könnte sie genau auf die Basis legen, aber es entstünde kein Dreieck.

8 Es können drei stumpfwinklige oder zwei stumpfwinklige und ein spitzwinkliges Dreieck entstehen.Durch den Punkt im Inneren des Dreiecks entstehen drei neue Dreiecke. Die Winkelsumme um diesen Punkt beträgt 360° (Vollwinkel). Daher können nie drei spitzwinklige Dreiecke entstehen, denn die Summe von drei Winkelgrößen, die jeweils kleiner als 90° sind, ist stets kleiner als 270°.Außerdem können auch nie zwei spitzwinklige Dreiecke auftreten. Dann wäre die Winkelsumme dieser

beiden spitzen Winkel am gemeinsamen Eckpunkt kleiner als 180°, so dass für den dritten Winkel eine Winkelgröße übrig bliebe, die größer als 180° ist. Dies widerspricht der Winkelsumme im Dreieck.Also kann höchstens ein spitzwinkliges Dreieck entstehen, so dass es nur zwei Fälle gibt: ein spitzwinkliges und zwei stumpfwinklige oder drei stumpfwinklige Dreiecke.

9 a) Ein Dreieck besteht aus drei Winkeln und drei Seiten, die sich in drei Punkten treffen.b) Man teilt Dreiecke entweder nach der Größe ihrer Winkel ein (und unterscheidet dann spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke) oder nach der Länge ihrer Seiten (und unterscheidet dann allgemeine, gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke).c) Die einzige Bedingung für die Winkel im Dreieck ist, dass die Summe immer 180° ist.d) Die einzige Bedingung ist, dass die Summe aus zwei Seiten immer größer sein muss als die Länge der dritten Seite.

Randspalte Man muss die Schnipsel nicht mühsam zusammensetzen, denn die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind immer jeweils 60°.

Seite 94

10

allgemein gleich

schenkliggleich seitig

spitzwinklig ja ja ja

rechtwinklig ja ja nein

stumpfwinklig ja ja nein

11 a) Nein. Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ergibt sich kein Dreieck.b) Ja, denn wenn alle drei Seiten die gleiche Länge haben, haben auch die Schenkel die gleiche Länge.c) Nein. Rechtwinklige Dreiecke haben einen Winkel von 90°. Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß und das bedeutet, dass sie wegen der Winkelsumme von 180° immer 60° sind.d) Nein. Gleichseitige Dreiecke haben zwar drei gleich große 60°Winkel, aber ihre Seiten können unterschiedich lang sein.e) Ja. Im rechtwinkligen Dreieck gibt es immer noch zwei kleinere spitze Winkel. Die längste Seite im Dreieck liegt aber dem größten Winkel gegenüber.f) Nein. Der gegenüberliegende Winkel kann auch rechtwinklig oder spitzwinklig sein, es ist aber in jedem Fall der größte Winkel im Dreieck.


L 50 4 Dreiecke

12 Hier sind individuelle Lösungen möglich. Die Konstruktionen mit den einzelnen auszuführenden Schritten sind im Schülerbuch auf den Seiten 81 und 82 erklärt. Man muss beachten, dass die SSWKonstruktion nicht eindeutig ist, wenn die Seite gegenüber des vorgegebenen Winkels kleiner ist als die andere gegebene Seite.

13 Man beginnt bei der Konstruktion mit dem linken weißen Dreieck und führt nacheinander eine WSW, eine SSS, eine SWS und eine SSWKonstruktion aus.

WSW

75°4,5 cm

4 cm 3 cm

9 cm

6 cm

63°

84°

128°SSSSWS

SSW

14 a) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

SWS-Konstruktion

60°

A B

a

b =

15 cm

C

c = 8 cm

b) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

WSW-Konstruktion

60° 70°

C

a c

A

B

b = 4 cm

c) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

SSW-Konstruktion

60°

C

c

A

B

b = 5 cm

a =

6 cm

d) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

SSS-Konstruktion


4 Dreiecke L 51

A B

C

c = 13 cm

b = 15 cm a = 8 cm

e) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

WSW-Konstruktion

60°

50°

70°A

b a

B

C

c = 4 cm

f) Planfigur:

c

a b

b

C

A B

a

c

SSW-Konstruktion

60°

A

a

B

C

c = 5 cm

b =

6 cm

Die Dreiecke 1 und 4, 2 und 5 und 3 und 6 sind kongruent.

15 a)

68° 67°113°A

a

Bc = 5 cm

b

Die Summe der beiden Winkel ist größer als 180°, die beiden Schenkel laufen auseinander.b)

B

A

Ca = 12 cm

c = 7 cmb = 5 cm

Die Seiten b und c sind zusammen genauso lang wie die Seite a. Es ergibt sich kein Schnittpunkt.c)

A

hc

Bc = 7 cm

b

Paralleleum Abstand hc

Die Seite b ist zu kurz. Es ergibt sich kein Schnittpunkt mit der Parallelen zu c im Abstand hc.d)

A

sb

Bc = 5 cm

b

40°

Die Seitenhalbierende sb ist zu kurz. Es ergibt sich kein Schnittpunkt mit der Seite b, die den Mittelpunkt der Seite b markieren würde.

16 Man fertigt eine maßstabsgetreue Zeichnung an. Man konstruiert das rote Dreieck nach WSW, verlängert die Seite, die den Turm darstellt nach unten und konstruiert dazu eine Senkrechte, die den Punkt, der das Haus im Tal darstellt, schneidet. Die Bergspitze liegt 91,5 m über dem Tal.


L 52 4 Dreiecke

Planfigur:31°59°24°

32m

59°

– 114°

3,2 cm(32 m)

9,15 cm(91,5 m)

17

a =

7 cm c = 6 cm

b = 4 cm A

B

Mb

C

Die Umkreise schneiden sich jeweils in einem Punkt im Ausgangsdreieck.

18 a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

b

AB

H

C

hc

hb

a

c

0

b)

6

5

4

3

2

1

y

x

b

hc

A

BH

C

ha

hb

a

c0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

y

x

b

0

A

B

H

C

h a

hc

a

c

19 Man konstruiert das Dreieck und seinen Inkreis. Vom Radius des Inkreises zieht man 10 cm ab. Der Inkreis der maßstabsgetreuen Zeichnung hat einen Radius von 2,25 cm, das entspricht 22,5 cm in der Realität. Da der Abstand vom Rand 10 cm betragen muss, darf der Kreis einen Radius von 12,5 cm haben.

b

C

A B

a

c

10 cm

B

wb

wa

C

A

W

a = 14 cm

c =

6 cm b = 12 cm

d = 4,5 cm


4 Dreiecke L 53

Seite 95

Dreiecke in der Technik

Verkürzt man c, wird a größer, verlängert man c, wird a kleiner. Sowohl beim Wagenheber als auch beim Zeichenbrett oder beim Liegestuhl kann man durch Drehen oder durch vorgegebene Einraststellungen die Länge der (unten) liegenden Seite c verkürzen (oder verlängern), der Winkel wird dann größer (oder kleiner), so dass der Wagenheber höher (niedriger) wird, das Zeichenbrett steiler (flacher) wird und die Rückenlehne des Liegestuhls sich aufrichtet (flacher wird). In der ersten Zeichnung entsteht ein Dreieck aus festem Arm, beweglichem Arm und Hydraulikzylinder. Durch das Verlängern des Hydraulikzylinders werden die beiden Winkel zwischen Hydraulikzylinder und festem Arm und festem und beweglichem Arm vergrößert. Der Winkel zwischen Hydraulikzylinder und beweglichem Arm verkleinert sich. Der bewegliche Arm richtet sich auf. Dieselbe Funktionsweise findet sich im Lastwagen und im Kran. Der Hydraulikzylinder ist deutlich zu erkennen, der „bewegliche“ Arm ist beim Lastwagen die Kippfläche, beim Kran der Arm, über den der Haken läuft.

Seite 96

Wohin mit dem Streetballplatz?

Um gleiche Entfernung zu den Hochhäusern zu gewährleisten, muss der Umkreismittelpunkt gefunden werden, um gleich weit von allen Straßen entfernt zu sein, muss man untersuchen, wo sich der Inkreismittelpunkt befindet. Da schon diese beiden Punkte nicht immer zusammenfallen, ist ein Kompromiss gefragt. Um die Bedingung zu erfüllen, dass die Summe der Weglängen minimal wird, kann man entweder experimentieren und somit zu einer einigermaßen guten Lösung kommen. Man kann aber auch folgendermaßen vorgehen: Konstruiere über jeder der drei Seiten ein gleichseitiges Dreieck. Verbinde die neuen Ecken der außen liegenden Dreiecke jeweils mit dem entsprechenden Eckpunkt des ursprünglichen Dreiecks. Du erhältst einen Schnittpunkt, den man auch den Fermatpunkt nennt. Für diesen gilt die geforderte Bedingung.

A

A’

C

FB

B’

C’

Um einen Kompromiss zu finden, sollte man überlegen, welche Straße am wenigsten befahren ist und eventuell in deren Nähe bauen oder aus welchem Hochhaus die meisten Kinder kommen und den Weg zu diesem Hochhaus vielleicht kürzer gestalten. Oft kann man verschiedene Lagen für den Streetballplatz finden, die alle ähnlich viele Vorteile und Nachteile haben.


L 54 5 Rechnen mit Termen

5 Rechnen mit Termen

Auftaktseite: Viele Wege führen …

Seite 98

• 2 r – 2 h + 3 r – 2 h – 2 r + 1 h – 2 r – 1 h – 2 r + 2 h Kürzer: – 1 r – 2 h• – 5 r – 4 h (kürzester Term) oder: – 1 r – 1 h – 1 r – 1 h – 1 r – 1 h – 1 r – 1 h – 1 r

Seite 99

• Abhängig davon, wo man startet, ergeben sich unterschiedliche Wege, die aber alle die gleiche „Form“ haben. Ein Beispiel:

.... . . ..... . . ..... . . ..... . . ..... . . ..... . . ..... . . .

Weitere Terme: 5 y – 3 x – 4 y + x – y + 2 x oder – 4 y + x – y + 2 x + 5 y – 3 x

• Beide Streckenzüge enden im Startpunkt.• Von S nach S: – 2 z – 2 x + z – y + x• Von P nach S, mögliche Wege: (Å) + 2 z – 3 y (2) – 3 y + 2 z (3) – y + z – y + z – y (4) z + x – 2 y + 2 z (5) – 5 y – 2 x (6) 5 y + 3 z Die kürzesten Wege (Wege 1 bis 3) stimmen in

ihren Streckenzügen überein. Sie unterscheiden sich nur in der Reihenfolge. Möchte man nicht den kürzesten Weg gehen, kann man auch noch andere Streckenzüge finden (Wege 4 bis 6).

1 Terme und Variablen

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Einstiegsaufgabe Da man noch nicht weiß, wie viele Kilometer die Familie fahren wird, kann man für die Planung von verschiedenen Strecken ausgehen. Folgende Tabelle veranschaulicht die Kosten der beiden verschiedenen Anbieter (alle Beträge in €).

km 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Firma A 1335 1635 1935 2235 2535 2835 3135 3435

Firma B 1485 1635 1785 1935 2085 2235 2385 2535

Bei 500 km ist Firma A noch günstiger, bei 1000 km sind sie gleich teuer und ab da sollte man Firma B wählen. Allgemein kann man sagen: Bei der Firma A berechnet sich der Mietpreis für den gesamten Urlaub (15 Tage und x Kilometer) wie folgt: 1035 + 0,6·x, bei der Firma B beträgt der Mietpreis demnach: 1335 + 0,3·x.Die Entscheidung muss demnach davon abhängig gemacht werden, wie viele Kilometer Familie Schneider zurücklegen wird. Ab einer Strecke von über 1000 km ist Firma B günstiger.

Seite 101

1 a) 8·(x – 4) b) x _ 2 – 4 c) (x + 3) : 2d) x : 4 e) 8 a + 4 f) 3 : (x – 1)g) x – 3

2 a) Die Summe aus dem Vierfachen von x und 1b) die Differenz aus 10 und dem Dreifachen von xc) das Produkt aus z und der Differenz aus 5 und xd) die Hälfte der Summe von b und 5e) die Differenz aus einem Drittel von x und 10f) die Summe aus dem Fünffachen von x und der Hälfte von b

3x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

a) 2 x – 4 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 2

b) 10 – x 13 12 11 10 9 8 7

c) – 2 x + 1 7 5 3 1 – 1 – 3 – 5

d) – 2 – 3 x 7 4 1 – 2 – 5 – 8 – 11

e) x2 – x 12 6 2 0 0 2 6

f) – 4 x – 3 x 21 14 7 0 – 7 – 14 – 21

4 a) 1 b) – 36 c) – 7d) – 12 e) 17 f) 17

5 4 a + a = 5 aa + a – a = 3 a – 2 a = a– a – a = – 2 a– a + 3 a = 2 a

6 a) x + 3 b) 2 x + 1 c) 3 x – 2


5 Rechnen mit Termen L 55

7 d) b) h) a) f) i)

8 a) 1,45 x + 0,75 y + 1,98 z – 0,3 wb) 1,45·12 + 0,75·15 + 1,98·6 – 0,3·0 = 40,53c) 30 € + 8·0,30 = 32,40 €. Du kannst nun für 32,40 € einkaufen. Man kann dafür z. B. 9 Flaschen Apfelsaft, 9 Flaschen Limonade und 6 Flaschen Orangensaft kaufen und erhält 0,72 € Wechselgeld.

9 individuell; z. B. b) Einkauf: a Tüten Gummibärchen zu 0,89 €, b Tafeln Schokolade zu 1,19 € und c Tüten Chips zu 1,39 €.

2 Addition und Subtraktion von Termen

Seite 102

Einstiegsaufgabe4 l + 4 b3 l + 10 b + 5 k6 b + 4 k + 2 lindividuelle Lösung

Seite 103

1 a) 4 a b) 2 x c) 3 yd) 5 z e) 5 b f) 4 c

2 a) 9 a b) 10 f c) 14 md) 18 d e) 43 n f) 33 xg) 26 r h) 43 p

3 a) 3 x b) 6 y c) 2 sd) 8 t e) 23 r f) 6 gg) – 12 h h) – 2 z + y

4 a) 8 p + 11 q b) 6 a + 5 b c) 14 r + 10 sd) 5 z – 3 y e) 7 p + 8 t f) 26 y + 29 zg) 7 x – 12 h) 42 b – 13

5 a) 48 m + 46 b) 46 m + 48 c) 47 m – 46d) 45 m – 46 e) – 45 m + 46 f) – 2g) 44 m + 46 h) – 2 m

6 a) b)

2a + 3c b + 3c

2a + b

2a b

3c –3y + 2x –3y – x

x

2x –x

–3y

c) d)

–6y –4y – 3z

–2y – 3z

–2y –3z

–4y –8b 5b

b

–6b 7b

–2b

e) f)

4c – 2b 3c – b

5c + b

3c2c + b

c– 2b 4y + 4z 5y + 3z

3y + 3z

2z+ y

2y+ z

3y+ 2z

7 a) 26 a b) 6 c c) 44 gd) 37 e e) 9 f f) 7 b

8 mögliche Lösungen:a) 4 a + 5 a – 1 a = 8 a

7 a + 3 a – 2 a = 8 ab) – 3 x + 7 x – 9 x = – 5 x – 6 x + 2 x – 1 x = – 5 xc) z – y + z = 2 z – y – y – 3 z + 5 z = 2 z – yd) – 10 x + 4 x + 2 y = – 6 x + 2 y – 12 x + 2 y + 6 x = – 6 x + 2 ye) – 2 b – b + 2 a = 2 a – 3 b – b – (– 2 a) + (– 2 b) = 2 a – 3 bf) 20 n – 35 n + 12 m = 12 m – 15 n 5 n – 20 n + 12 m = 12 m – 15 n

Term-Bausteine

Man bildet die Summe aus den Werten der äußeren Basisteine und dem doppelten Wert des mittleren Basissteines.

4x

2x

x x x

2x

2x+5y

x + 2y

x 2y x + y

x + 3y

8n+12

4n + 4

2n + 1 2n + 3 2n + 5

n n + 1 n + 2 n + 3

4n + 8

a+2b+c

a + b

a b c

b + c

4x + 6y

2x + 3y

2x 3y 2x

3y + 2x

4x

2x

x x x

2x

2x+5y

x + 2y

x 2y x + y

x + 3y

8n+12

4n + 4

2n + 1 2n + 3 2n + 5

n n + 1 n + 2 n + 3

4n + 8



Man bildet die Summe aus den beiden äußeren Basissteinen und den beiden dreifachen Werten der mittleren Basissteine.

3 Multiplikation und Division von Termen

Seite 104

Einstiegsaufgabe Alila = 4000 m2 = 40 aAblau = 12 000 m2 = 120 aArot = 22 000 m2 = 220 aAblau = a·6 b = 6 a bArot = a·11 b = 11 a bAlila = a·2 b = 2 a b

Seite 105

1 a) 6 x b) 24 a c) 14 w 12 x 24 a 32 t 6 x 10 a 30 u

d) 24 c e) 55 t f) 60 y 45 f 84 s 128 m 68 g 117 r 108 p

2 a) a2 b) z3 c) a2 b b2 n4 m n2 x2 t5 p2 q

d) t3z e) a y3 f) g2 h2

a2 b2 b2 x2 r3 s2

x2 y d2 s2 r3 t2

3 a) 2·5·3·x·x·y·a·b = 30 a b x2 yb) 6·4·6·v·v·r·u·w = 144 r u v2 wc) 4·8·5·y·y·x·x·b = 160 b x2 y2

d) 16·3·2·u·u·v·v·r = 96 r u2 v2

e) 4·5·6·c·c·d·d·e·e = 120 c2 d2 e2

f) 7·7·7·u·u·x·x·v·v = 343 u2 v2 x2

g) 8·8·8·s·s·r·m·n = 512 m n r s2

h) 6·7·8·a·a·b·b·c·c = 336 a2 b2 c2

4 a) 10; 25 b) 2 y; y2 c) 3 a; a3

d) 2 x2; x4 e) 4 n; 4 n2 f) 2 + 3 t; 6 tg) 4 b; 3 b2 h) x + x2; x3

5 a) b)

c) d)

12gh² 48h² i

36g i

3g 12 i

4h²r² s 2 r² t

2s t

s 2 t

r²

e) f)

8ac 6bc

12ab

4a 3b

2c30u³v² 5u²v²

1,5uv²

3uv

10u²v

v 1 _ 2

6 a) 8 x y b) 15 y2 c) 15 x4

d) 60 n3 p2 e) – 12 y3 f) 10 t3 s2

g) 6 a3 b 4 h) – 12 c4 d

7 a) 4 y b) 11 s c) 9 cd) 9 p e) 5 z f) 12 x zg) – 7 v w h) – 5 s

8 mögliche Lösungen:a) 2 a·9 b b) – 11 c·2 d c) 8 a c·4 a c 3 a·6 b – 22 d·c 2 a2·16 c2

6·3 a b 2·(– 11 c d) 4 a2 c·8 cd) 5 x y2 z·12 e) – 2 t2·12 s2 f) 7 p·0,8 q r2

6 x y2·10 z 4 s t·(– 6 s t) 0,1 p q·56 r2

y·60 x y z – 3 s·8 s t2 2 r·2,8 p q rg) – 2 s·3,6 s2 t2 h) 5 a2·1,56 b3 c – 7,2 s2·st3 2,5 a b c·3 a b2

72 t3·(– 0,1) s3 7,5 c·a2 b3

Randspaltea + a2 = a + a2

a·a2 = a3

Summe aus Produkten

2 c d; 3 n t4 v w; 33 p c24 y2; 8 d e 4 a b + 5 m n11 x y + 4 g h2 f t + 20 a b– 4 a b + g h

a+3b+3c+d

a + 2b + c

a b c d

a + b b + c c + d

b + 2c + d

7x + 5y

5x + y

x 2x y 2y

3x 2x + y 3y

2x + 4y

6xy 8xz

12yz

3y 4z

2x2ac 3bc

6ab

2a 3b

c



0; 3 a b c2 o t; 2 o t t o = 2 o2 t2

x y z – x y2 zs n r – n s2 +s2

2 r s2 t + r s tg h2 + i g h – 2 g2 h

Seite 106

92 a 3 ab 0,5 a2 8 a2b2

4 a b 8 a2 b 12 a2 b2 2 a3 b 32 a3 b3

12 a2 24 a3 36 a3 b 6 a4 96 a4 b2

2,5 b c 5 a b c 7,5 a b2 c 5 _ 4 a2 b c 20 a2 b3c

1 _ 12 a 1 _ 6 a2 1 _ 4 a

2 b 1 _ 24 a3 2 _ 3 a

3 b2

Gleichartige Terme:

1 _ 24 a3 + 24 a3 = 577 _ 24 a3

1 _ 4 a2 b + 8 a2 b = 33 _ 4 a2 b

2 a3 b + 36 a3 b = 38 a3 b

10 a) – 147 a2 b2 x b) – 216 v2 x2 yc) – 4 a2 b2 c2 d) 5000 a b2 c2

e) 2520 a b2 c2 d2 e2 f f) – 7200 x3 y3 z3

11 a) – 1,2 a b2 c b) 48 a2 b2 c2

c) – x2 y z d) – 8,4 a2 b2 ce) 0,56 a2 b2 c2 f) – 0,92 a2 b3 c2

g) 0,5 x2 y z3

12 a) beim Addieren bleibt die Variable unverändertb) es können nur gleichartige Terme addiert werdenc) siehe b)d) beim Multiplizieren multipliziert man alle Koeffizienten, dann alle Variablene) beim Addieren bleiben die Potenzen gleichf) siehe e)Die richtigen Lösungen sind:a) 3 a b) x + x2 2 b + 3 b2

d) 2 n3 e) 4 z2 f) 2 e f

13 a) 4 d e b) 3 x c) – 5 r s 2 g2 3,5 s2 – 3 w m n 5 p t – 7 x yd) 30 a b e) 0,5 w m f) – 2 _ 3 t v 130 r s t 1 _ 3 t

2 v 3 _ 5 p2 q

20 p2 q 0,25 h g – 2 _ 3 y z2

14 a)

x4 y4

x³ y

x x y y

x² xy y²

xy³

16ab³ c³d

4bc²d

2d c 2b a

2dc 2bc 2ab

4ab²c

b)

x4 y4

x³ y

x x y y

x² xy y²

xy³

16ab³ c³d

4bc²d

2d c 2b a

2dc 2bc 2ab

4ab²c

c)

64x4 y

8x²

x 2 2x y

2x 4x 2xy

8x² y

3,04a11

0,76a4

0,38 a 2a² a²

0,38a 2a³ 2a4

4a7

d)

64x4 y

8x²

x 2 2x y

2x 4x 2xy

8x² y

3,04a11

0,76a4

0,38 a 2a² a²

0,38a 2a³ 2a4

4a7

15Länge Breite Umfang Flächeninhalt

a) 2 a a 6 a 2 a2

b) 3 a b 6 a + 2 b 3 a b

c) 4 a 1,5 b 8 a + 3 b 6 a b

d) 5 a 6 b 10 a + 12 b 30 a b

e) 3 a 2 b 6 a + 4 b 6 a b

Würfel stapeln

O1 = 6 x2; V1 = x3

O2 = 10 x2; V2 = 2 x3

O3 = 14 x2; V3 = 3 x3

O4 = 18 x2; V4 = 4 x3

402 x 2 (100·4 x 2 + 2 x 2) Doppeltes Volumen bedeutet nicht doppelte Oberfläche, da beim Zusammensetzen der kleinen Würfel je zwei Flächen aneinander stoßen und somit keine Oberfläche des Turmes mehr darstellen. Für jedes weitere Würfelchen erhöht sich die Ober fläche um 4 x 2. Marcel nutzt aus, dass die Oberfläche für n Würfel nach der Vorschrift n·4 x 2 + 2 x 2 berechnet werden kann. Durch „Rückwärtsrechnen“ kommt er zur gesuchten Anzahl.Beispiel: O = 402 x 2 ¥ 402 x 2 = n·4 x 2 + 2 x 2  | – 2 x 2

  400 x 2 = n·4 x 2  | : 4 x 2

    n = 100 



Seite 107

Zauberhafte Mathematik

DiefünfmagischenZahlen Ausgewählte Start und Ergebniszahlen:

Startzahl 2 7 16 4 …

Ergebnis 10 35 80 20 …

Auffallend ist, dass die Ergebniszahl immer 5mal so groß ist wie die Startzahl. z sei die gedachte Zahl. Dann lautet der Term: [z + (z + 1) + (z + 2) + (z + 3) + (z + 4)] – 10= [z + z + 1 + z + 2 + z + 3 + z + 4] – 10= [5 z + 10] – 10= 5 zTobias muss also nur die von ihm genannte Zahl durch 5 teilen. individuelle Lösung

Erbsenzauber x: Anzahl der Erbsen unter dem roten Becher13 – x: Anzahl der Erbsen unter dem blauen

Becher x·6 + (13 – x)·5= 6 x + 65 – 5 x= x + 65Die Anzahl der Erbsen unter dem roten Becher ist somit um 65 kleiner als die genannte Zahl. Die Anzahl der Erbsen unter dem blauen Becher ist die Differenz zur Zahl 13. individuelle Lösung


Seite 109

1

a) 12 15 27 b) 14 12 26

3 3 3 4 4 4

36 45 81 56 48 104

2x y 4 x – 3 y + 5 x + x 2 – y + 1

2 – 2 19 9

2 3 4 4

2 – 1 16 8

10 – 2 51 113

10 3 36 108

10 – 1 48 112

– 4 – 2 – 5 15

– 4 3 – 20 10

– 4 – 1 – 8 14

a) Für den ersten Term erhält man den größten Termwert für x = 10 und y = – 2 und den kleinsten für x = – 4 und y = 3. Für den zweiten Term erhält man den größten Termwert für x = 10 und y = – 2 und den kleinsten für x = 2 und y = 3.b) Man muss jeweils x = 2 und y = 3 einsetzen.

3

x – y x + y – z x + z

x + y + z x x – y – z

x – z x – y + z x + y

4 Man erhält immer wieder die Ausgangszahl. Der Wert des letzten Terms ist x.

Terme zeichnen

Der Weg endet in B.Der kürzeste Term für diesen Weg lautet: 2 x + 2 y. Zum Beispiel: x + y + 2 z + x + yÜber die Außenseiten: 2 z + 2 x + 2 y. Die Terme müssen gleich sein, da sie denselben Weg beschreiben. individuelle Lösung

Seite 110

5a) oder:

7b+4a

2a+4b

a + 2b 2b + a a + b

a 2b a b

3b+2a

2a + 9b

a + 5b

a + 2b 3b a + b

a 2b b a

a + 4b

7b+4a

2a+4b

a + 2b 2b + a a + b

a 2b a b

3b+2a

2a + 9b

a + 5b

a + 2b 3b a + b

a 2b b a

a + 4b

b)13n+3

6n + 1

3n 3n + 1 4n + 1

n 2n n + 1 3n

7n + 2

6 a) oben: (x – 3)·(– 2) + 1 = – 2 x + 7Mitte: x·(– 2) + 1 – 3 = – 2 x – 2unten: (x + 1 – 3)·(– 2) = – 2 x + 4Der obere Weg liefert die größten Werte.



b) oben: (x – 1) : (– 2) + 3 = – 0,5 x + 0,5 + 3 = – 0,5 x + 3,5Mitte: (x + 3 – 1) : (– 2) = – 0,5 x – 1unten: x : (– 2) + 3 – 1 = – 0,5 x + 2c) individuelle Lösung

7 a) magisches Produkt a2 b2 c dDas magische Produkt findet sich jeweils bei vier aneinander grenzenden Quadraten (in den Ecken und in der Mitte).b) magisches Produkt m n p 4 q 2

p 2 q n m p 2 q

m p q p n p p q

n p m p q p q p

1 p 2 q p 2 q m n

8 a) a – 0,5 + 4 a – 1 + 1 – 4 a + 3 + 2 a + a + 1 + 2 a = 6 a + 3,5b) z. B. 3 a – 2 + a – 3 + 3 + 2 a + 2 + 3 a = 9 ac) individuelle Lösungd) 2 a – 7 = 3 a – 2 + a – 3 + 2 a – 3 + 1 – 4 a10 a – 3 = a – 3 + 3 a – 2 + 2 + 3 a + 3 + 2 a + a – 3e) individuelle Lösung, z. B. a·2 a·3 a·4 a·5 a·6 a = 720 a6

9 a) 1 _ 4 a 2; 4 a 2

b) 2 a; 8 a

10 a) 1 _ 8 x 3

b) 3 _ 2 x 2

c) verdoppelt: 8 x 3; 24 x 2

verdreifacht: 27 x 3; 54 x 2


L 60 6 Gleichungen

6 Gleichungen

Auftaktseite: Zahlen lernen laufen

Seiten 112 bis 113

SpiralenSpirale 1: Durch Rückwärtslaufen durch die Spirale erhält man für die Zielzahl 20 die Startzahl 6.Startzahl 46Startzahl 26Individuelle Lösungen, z. B. Endzahl mit zwei Würfeln würfeln und dann die passende Startzahl suchen.Spirale 2:Die Startzahl 4 verändert sich durch den Rund-lauf nicht. Alle Startzahlen kleiner als 4 werden auf dem Rundlauf kleiner, alle Startzahlen größer als 4 werden auf dem Rundlauf größer. Würfelspiel:Bei einer Runde liefert die Startzahl 7 die Ziel-zahl 4; bei mehreren Runden gibt es nicht immer ganzzahlige Startzahlen, die die Zielzahl 4 liefern. Wenn nach zwei Runden die Zielzahl 4 erreicht sein soll, muss nach der ersten Runde eine 7 her-auskommen. Usw. Hier die genaue Aufstellung: 2 Runden: 8,53 Runden: 9,254 Runden: 9,6255 Runden: 9,81256 Runden: 9,906 25

Das Anna-und-Maria-SpielIndividuelle Lösungen. Ihr könnt die Aussagen jeweils überprüfen, indem ihr das momentane Alter von Anna und Maria nehmt und nachrechnet.

1 Lösen durch Probieren

Seite 114

Einstiegsaufgabeindividuelle Lösungen, z. B.: Beim nächsten Wurf in die Mitte (50 Punkte) und beim letzten auf 9 Punkte. Frage: Wie waren die Punktzahlen der einzelnen Würfe? Renata hat im ersten Wurf 15, dann 17 und schließlich 19 Punkte erzielt, denn: x + (x + 2) + (x + 4) = 51 3 x + 6 = 51 x = 15

Seite 115

1 a) a – 4 = 6 b) 2·x – 4 = 6 c) 3·y + y = 6d) a + a _ 2 = 6 e) n + 1 = 6 f) 6 = 4·y

2 a) 14 b) 72 c) 3d) 72 e) 13 f) 144

3 a) x = 17 b) x = 1 c) y = 41 d) y = 16 e) z = 13 f) z = 4g) m = 45 h) m = 84 i) x = 15j) x = 9 k) x = 2 l) x = 1

Mit Gleichungen Probleme lösen

Jungen Mädchen Gesamtzahl Term

y y + 7 31 y + (y + 7) = 31

Es gibt 12 Jungen und 19 Mädchen.

Mädchen Jungen Gesamtzahl Term

x x + 9 29 x + (x + 9) = 29

In der Klasse sind 10 Mädchen und 19 Jungen. kurzes Stück langes Stück insgesamt Term

x x + 14 58 x + (x + 14) = 58

Das kurze Stück ist 22 cm, das lange 36 cm lang.

Sonja Katrin Tore Term

x 2 x 27 x + 2 x = 27

Sonja hat 9, Katrin 18 Tore geschossen.

4 x·2 + 4 – 7 = 13Die Trikotnummer ist 8.


Randspalte a = 5; b = 7; c = 9


6 Gleichungen L 61

Seite 116

6 a) b)

x 15·x = 90 x 3·x – 2 = 7

0 0 ≠ 90 1 1 ≠ 7

1 15 ≠ 90 2 4 ≠ 7

2 30 ≠ 90 3 7 = 7

3 45 ≠ 90 x = 3

4 60 ≠ 90

5 75 ≠ 90

6 90 = 90

x = 6

c) d)

x 2·x + 2 = 18 y 88 + 8·y = 30·y

0 2 ≠ 18 0 88 ≠ 0

2 6 ≠ 18 1 96 ≠ 30

4 10 ≠ 18 2 104 ≠ 60

6 14 ≠ 18 3 112 ≠ 90

8 18 = 18 4 120 = 120

x = 8 x = 4

7 a) x = 4 b) x = 6 c) x = 8 d) x = 14e) x = 2

8 a) x = 7 b) x = 9 c) x = 8 d) x = 9e) x = 6 f) x = 10 g) x = 2 h) x = 7i) x = 9 j) x = 6

9 Grundsätzlich führt man die entgegengesetzten Rechnungen von der letzten zur ersten hin aus. Umformungen bieten hier jedoch eine schnellere Lösung.a) (2·x + 3)·5 – 6 = x·10 + 9Man subtrahiert vom genannten Ergebnis 9 und dividiert durch 10 und erhält so das Ergebnis.b) (3·x) : 2·3 : 9 = x : 2Man multipliziert das genannte Ergebnis mit 2.

10 a) Moritz: x; Max: x + 6x + x + 6 = 312, also ist Moritz 153 cm und Max 159 cm groß.b) Bleistift: x; Füller: x + 10x + x + 10 = 11, also kostet der Bleistift 50 Cent und der Füller 10,50 Euro.

Tabellenkalkulation

Wert des linken Terms Wert des rechten Terms

a)

7·x – 225 Für x = 45 hat der Term den Wert 90.

2·x Für x = 45 hat der Term den Wert 90.

b)

110 + 9·x Für x = 104 hat der Term den Wert 1046.

526 + 5·x Für x = 104 hat der Term den Wert 1046.

c) 348 – 4·x Für x = 38 hat der Term den Wert 196.

3·x + 82 Für x = 38 hat der Term den Wert 196.

11 a) 9·2 + 2·x = 56 x = 19 b) 4·x = 56 x = 14 c) 11 + 2·x = 56 x = 22,5d) 2·6 + x + 4·x = 56 x = 8,8

12 a) Ziegelstein: x x = 1 + x _ 2 x = 2; der Ziegelstein wiegt 2 kg.

b) gesamter Fisch: x; Kopf: x _ 3 ; Schwanz: x _ 4

Mittelteil: x – x _ 3 – x _ 4 = 1 Der Fisch wiegt 12 _ 5 kg, also 2,4 kg.

2 Gleichungen umformen

Seite 117

EinstiegsaufgabeDie Waagschalen rechts und links wiegen jeweils gleich viel. Die darauf liegenden Gewichte sind also gleich schwer.Å. Waage (gelb): 3 Kugeln = 1 Würfel 2. Waage (grün): 4 Kugeln = 1 Würfel 3. Waage (rosa): 5 Kugeln = 1 Würfel 4. Waage (lila): 1 Kugel = 1 Würfel1. Waage (gelb): Wenn man auf beiden Waagschalen 5 Kugeln wegnimmt, sieht man: 3 Kugeln = 1 Würfel.2. Waage (grün): Wenn man die Anzahl der Kugeln auf der rechten Waagschale durch 3 Würfel teilt, erhält man: 4 Kugeln = 1 Würfel.3. Waage (rosa): Wenn man auf beiden Seiten 1 Kugel wegnimmt und die rechts verbleibende Anzahl an Kugeln durch zwei Würfel teilt, sieht man: 5 Kugeln = 1 Würfel.4. Waage (lila): Wenn man auf beiden Seiten 4 Kugeln und 1 Würfel wegnimmt, sieht man: 1 Kugel = 1 Würfel.Å. Waage (gelb): 1 w + 5 k = 8 k 2. Waage (grün): 3 w = 12 k 3. Waage (rosa): 2 w + 1 k = 11 k 4. Waage (lila): 3 w + 4 k = 1 w + 6 k


L 62 6 Gleichungen

Seite 118

1 a) 1 Würfel wiegt so viel wie 3 Kugeln.b) 1 Würfel wiegt so viel wie 2 Kugeln.c) 1 Würfel wiegt so viel wie 3 Kugeln.d) 1 Würfel wiegt so viel wie 2 Kugeln.

2 Q = Quadrat; r = rote Plättchena) 2 Q = 4 r; 1 Q = 2 rb) 2 Q + 1 r = 1 Q + 4 r; 1 Q = 3 rc) 2 Q + 2 r = 1 Q + 7 r; 1 Q = 5 rd) 2 Q + 2 Q = 1 Q + 3 r + 2 Q; 1 Q = 3 r

Gleichungen aus- und einpacken

Individuelle Lösungen. Denke dir eine beliebige Gleichung aus. Baue die Termseite so weit „ab“ bis x alleine steht. Auf die andere Seite der Gleichung musst du die glei-chen Äquivalenzumformungen anwenden, dann erhältst du die Lösung der Gleichung.

3 B= Becher; M= Murmelna) 1 B = 3 M b) 1 B = 1 Mc) 1 B = 5Md) (i) 2 B + 2 M = 1 B + 4 M; 1 B = 2 M (ii) 3 B = 2 B + 1 M; 1 B = 1 M (iii) 2 B + 3 M = 3 B + 2 M; 1 M = 1 B

4 a) Äquivalenzumformung – 6; x = 2b) Äquivalenzumformung – 2; x = – 7c) Äquivalenzumformung – 5; x = – 5d) Äquivalenzumformung + 4; x = 1e) Äquivalenzumformung : 9; x = 6f) Äquivalenzumformung : 12; x = – 6g) Äquivalenzumformung – 13; x = 69h) Äquivalenzumformung – 32; x = – 9i) Äquivalenzumformung : 5; x = 22j) Äquivalenzumformung : 15; x = 0

k) Äquivalenzumformung : 15; x = – 1 _ 15

l) Äquivalenzumformung : 15; x = 1 _ 225

5 a) Äquivalenzumformung ·3; x = 30b) Äquivalenzumformung ·10; x = 50

c) Äquivalenzumformung : 1 _ 10 ; x = 20

d) Äquivalenzumformung ·4; x = 128

e) Äquivalenzumformung · 1 _ 2 ; x = 1 _ 2

f) Äquivalenzumformung ·7; x = – 49g) Äquivalenzumformung ·5; x = 250

h) Äquivalenzumformung · 2 – 1 _ 4 3 ; x = – 1

i) Äquivalenzumformung ·2 1 _ 2 ; x = 75

j) Äquivalenzumformung ·(– 8); x = 4

Seite 119

6 a) Äquivalenzumformung + 2; 8b) Äquivalenzumformung + 7; 15c) Äquivalenzumformung + 11; 11 + 4 xd) Äquivalenzumformung – 7; 6e) Äquivalenzumformung ·3; 18 xf) Äquivalenzumformung ·8; – 20g) Äquivalenzumformung ·4; 2 xh) Äquivalenzumformung ·8; 2 x

7 a) x = 2 und x = 4 b) x = – 5 und x = – 18

c) x = 1 _ 2 und x = – 6 d) x = 2 und x = 2

e) x = 6 und x = 18 f) x = 10 und x = 48

8 a) z = 20 b) y = 32 c) y = 17d) y = 71 e) z = 7 f) w = 5g) a = 9 h) a = 1 i) z = – 1j) z = – 1

9 a) x = 8 b) x = – 3 _ 2 c) x = – 2

d) x = 8 e) x = 6 f) x = – 7 _ 5 g) x = 8

10 Die Gleichungen 2 x + 3 = x + 23 x + 2 = – 13 x = – 3x + 6 = 5 ergeben alle x = – 1.Die Gleichungen2 x = 23 x – 5 = – 24 x + 2 = 6 liefern alle x = 1.

11 individuelle Lösungen; Beispiel für a) x = 5 | – 2x– x = 5 – 2 x | + 7+ 7 – x = 12 – 2 x

12 9 x + 1 = 10 und 12 x – 18 = 8 x – 17 + 3 x; x = 1 6 x – 8 = 4 und 15 x + 4 = 5 x + 24; x = 2 3,5 x + x = 18 und 3 x + 6 = 18; x = 4 5 x – 12 = 13 und 6 x – 14 = 4 x – 4; x = 5 – 37 + 12 x = 35 und 4 x + 8 = 32; x = 6Um die Gleichungen zuzuordnen, kann man eine bereits gefundene Lösung auch in noch nicht un-geprüfte Gleichungen einsetzen. Ist die Gleichung erfüllt, hat man die „Partnergleichung“ gefunden.


6 Gleichungen L 63

Seite 120

13a) b) c) d) e) f)

x = 6 43 – 2 5 – 14 60 12

x = 1 3 8 30 6 10 – 3

x = 2,5 15 5 12 0 25 1,5

x = – 5 – 45 20 – 6 30 – 50 – 21

x = 0 – 5 10 nicht lösbar 10 0 – 6

14 a) x = 4 b) y = 0 c) z = 10 _ 12

d) x = – 7 _ 5 e) x = 1 _ 3 f) z = 1 _ 3

g) z = 0,6 h) y = 0

15 a) x = 27 b) x = 72 c) x = 18d) x = 85 e) x = 4 f) x = 66

g) x = 2 _ 3 h) x = 152 i) x = 36 _ 5

j) x = 4 _ 3

16 verschiedene Lösungsmöglichkeiten, z. B.a) Wenn ich zum Dreifachen einer Zahl 22 addiere, erhalte ich 46.b) Wenn ich zum Vierfachen einer Zahl 6 addiere, erhalte ich 10.c) Wenn ich zum Dreifachen einer Zahl 40 addiere, erhalte ich das Achtfache der Zahl.d) Wenn ich vom Fünffachen einer Zahl 1 sub - tra hiere, erhalte ich das gleiche Ergebnis als wenn ich vom Siebenfachen der Zahl 5 subtrahiere.e) Wenn ich zum Fünffachen einer Zahl 4 addiere, erhalte ich das gleiche Ergebnis als wenn ich zum Vierfachen der Zahl 6 addiere.f) Wenn ich das 16,5fache einer Zahl durch 3 dividiere, erhalte ich das gleiche Ergebnis als wenn ich zum 1,5fachen der Zahl 10 addiere.

17 a) x = – 6,5 b) x ≈ 6,3 c) x ≈ 11,8d) x = – 6 e) x = 6

Nicht jede Lösung zählt!

3 x + 12 = 8 x; x = 2,4Dies kann nicht die Anzahl der Münzen, sondern höchstens der Betrag sein. x·6 – 15 = 9; x = 44 ist nicht ungerade! (x + 17)·2 = 22; x = – 6– 6 ist keine natürliche Zahl! 125 cm + 79 cm = 204cm > 203 cmDie beiden angegebenen Seiten sind zusammen schon länger als der Umfang des Dreiecks, das kann nicht sein!

3 Lesen und Lösen

Seite 121

EinstiegsaufgabeNach Tinas Rechnung ist x = 20, Anna ist also 20 Jahre alt.Theas Gleichung: 3 y = 15; y = 5 Das heutige Alter von Anna ist 4 y, also 20.Torsten nutzt die Information aus, dass das frühere Alter + 15 Jahre das Gleiche ergeben muss wie das frühere Alter mal 4.zu Tobias’ Idee: Annas heutiges Alter muss durch 4 teilbar sein.

Seite 122

1 a) 3 x = x + 14; x = 7. Claudia ist heute 21.b) 8 x = x + 35; x = 5. Frau Claussen ist heute 40.c) 9 x = x + 40; x = 5. Herr Claussen ist heute 45.

2 m = a + b + ca = m – 26; b = 1 _ 3 m; c = 13Gleichung: m = (m – 26) + 1 _ 3 m + 13; m = 39Die Mutter ist 39 Jahre alt.

3 u = a + b + cu = (u – 23 cm) + 4 (u – 23 cm) + 11 cmu = 26 cma = 3 cm; b = 12 cm; c = 11 cm

4 Die Innenwinkelsumme des Dreiecks beträgt 180°.180° = a + b + c180° = a + (a + 30°) + (a + 15°); a = 45°b = 60°c = 75°

5 u = 11 _ 30 u + 3 _ 20 u + 9 _ 40 u + 31 cm; u = 120 cm.

Die fehlenden Seitenlängen betragen 27 cm, 44 cm und 18 cm.

6 a) u = 1 _ 3 u + 5 _ 12 u + 6 cm

u = 24 cm; a = 8 cm; b = 10 cm; c = 6 cm

b) u = 1 _ 3 u + 1 _ 5 u + 9 cm

u = 19 2 _ 7 cm; a = 6 3 _ 7 cm; b = 3 6 _ 7 cm; c = 9 cmc) Wir nehmen an, dass a die längste Seite des Dreiecks sei. Dann wissen wir:

a = 1 a; b = 1 _ 2 a; c = 2 _ 3 a

u = a + b + c

13 cm = a + 1 _ 2 a + 2 _ 3 a; a = 6 cm; b = 3 cm; c = 4 cm


L 64 6 Gleichungen

7 a) 2 x = x + 2; x = 2

b) 3 x = x + 3; x = 3 _ 2

c) 4 x = x + 4; x = 4 _ 3

5 x = x + 5; x = 5 _ 4

6 x = x + 6; x = 6 _ 5

7 x = x + 7; x = 7 _ 6 usw.

allgemein: Das a-Fache einer Zahl ist ebenso groß wie die um a vermehrte Zahl; x = a

_ (a – 1)

8 Ann ist 24 und zweimal so alt wie Mary war, als Ann so alt war wie Mary jetzt.


Seite 124

1 a) x = 1 b) x = 100 c) x = 100 d) x = 10 e) x = 300 f) x = 37

2 a) ja, beide ergeben x = 3 b) ja, beide ergeben x = 4c) nein, da verschiedene y-Ergebnissed) ja, beide ergeben x = 8

3 a) x = 18 b) x = 12 c) x = 35d) x = – 5 e) x = 2 f) x = 4g) x = 72 h) x = 72 i) x = 4 _ 3 j) x = 2 _ 3

4 a) 4 x = 8; x = 2; x + 3 = 5b) 2 x = 30; x = 15; x – 8 = 7c) 7 x = – 28; x = – 4; x + 5 = 1d) x + 3 = 12; x = 9; 2 x + 3 = 21e) x – 8 = – 3; x = 5; 3 x + 1 = 16f) x + 19 = 12; x = – 7; 3 x – 9 = – 30

5 individuelle Lösungen, z. B. beia) x = 3 | + 2 oder: x = 3 | : 2

x + 2 = 5 |· 2 _ 3 1 _ 2 x = 3 _ 2 | – 4

2 _ 3 (x + 2) = 3 1 _ 3 1 _ 2 x – 4 = 3 _ 2 – 4

6 individuelle Lösungen, z. B. beia) 2 x = 6; 3 x = 9; 2 (x + 4) = 14

b) 1 _ 2 x = 1 _ 2 ; – 4 x = – 4; – 5 (2 + x) = – 15

Du kannst deine Gleichungen selbst überprüfen, indem du sie wieder nach x auflöst. X muss dann die „verpackte Zahl“ ergeben.

7 Es gibt mehrere mögliche Gleichungen, das Ergebnis für x muss allerdings immer das Gleiche sein. Zum Beispiel1. Stab: x + 16 = 22; x = 62. Stab: 2 x + 11 = 25; x = 73. Stab: 3 x + 12 = 36; x = 84. Stab: 4 x + 7 = 43; x = 9

8 a) x = 1 b) x = 0c) keine Lösung d) unendlich viele Lösungen e) x = 0 f) x = 1

9 a) y = 3 _ 5 b) y = 1 _ 8 c) y = 2

d) y = 1 _ 3 e) y = – 6 2 _ 3 f) y = 4

10 a) y = 1 _ 2 b) y = 31 c) y = 4d) y = – 5 e) x = 8 f) x = – 7g) x =3 h) x = – 14 i) x = 3

11 a) 4 x + 1 = x + 10 b) 3 x + 3 = 7 + xc) 2 x + 9 = – 3 + 4 x d) 4 x + 7 = 2 x – 3e) 5 – x = 3 x – 3 f) 6 – 2 x = 3 x – 9g) – 3 + 8 x = 6 x – 9 h) – 2 x – 7 = – 13 – 5 x

12 a) keine Lösungb) unendlich viele Lösungenc) keine Lösungd) unendlich viele Lösungen

13 a) 3 x + 5 = 2 x + 11 b) 4 x + 5 = 2 x + 11c) – 1 x + 5 = 2 x + 11 d) 14 x + 5 = 2 x + 11e) – 2 x + 5 = 2 x + 11 f) – 10 x + 5 = 2 x + 11

Seite 125

14 a) x = 8 b) x = 16c) y = 81 d) x = – 11

e) y = – 8 _ 3 f) 5 x – 2 x = 30; x = 10g) 10 x = 7 x + 11; x = 11

_ 3 h) x = 2 x + 6; x = – 6

15 a) 3 x + 2 = x; x = – 1b) 3((x – 5) – 6) – 4 = 4 x; x = – 37c) (3(3(3 x + 2) + 2) + 2) = x; x = – 1


6 Gleichungen L 65

Tabellenkalkulation

Wie viele Mädchen und Jungen gibt es in die-ser Klasse?Informative Figur:

oder

Anzahl der Mädchen: 2·Anzahl der Mädchen + 6 = 28, also sind es (28 – 6) : 2oderAnzahl der Jungen: 2·Anzahl der Jungen – 7 = 28, also sind es (28 + 7) : 2Es sind also 11 Mädchen und 17 Jungen (11 + 6).

Wie alt ist Lana heute?Informative Figur:

3·14 Jahre = 21 JahreLana ist heute 21 Jahre alt.

Wie viel Taschengeld erhält jeder?Informative Figur:

Taschengeld Iris: (30 – 2) : 4 = 7 €Taschengeld Anne: 2·7 = 14 €Taschengeld Olaf: 7 + 2 = 9 €

Wie groß ist das Erbe?Informative Figur:

3·6500 ¤ = 19 500 ¤ entsprechen 2 _ 3 -Anteil, dann entspricht 1 _ 3 -Anteil 19 500 : 2 = 9750 ¤.Wenn der erste Erbe 9750 ¤ bekommt und die anderen drei insgesamt 19 500 ¤, dann beträgt das Gesamterbe 29 250 ¤.

Welche Band hat gewonnen?Informative Figur:

„Ask Alice“

(D.U. : 2) Schock

(Schocktherapie + 87) Pupils in Black

Der Streifen wird in fünf gleiche Abschnitte ge-teilt, da zwei Fünftel der Stimmen an „Ask Alice“ gehen. Das dritte Fünftel entfällt auf „Schock-therapie“. Der Rest geht an „Pupils in Black“.Ein Fünftel entsprechen 87 Stimmen.„Ask Alice“: 2·87 = 174„Schocktherapie“: 87„Pupils in Black“: 87 + 87 = 174„Ask Alice“ und „Pupils in Black“ teilen sich den ersten Platz.

Seite 126

16 a) x = 8 b) y = 7 c) y = 12d) x = 5 e) z = 18 f) x = 15g) y = 14 h) z = 21Lösungswort: ERHOLUNG

17 a) Chris 56 %; Nina 44 %; Differenz von 12 %-Punkten.b) Caro bekam 34 % der Stimmen. Also blieben für Doreen noch 66 % der Stimmen.Doreen bekam 8 Stimmen mehr als Caro: 66 % – 34 % = 32 % entsprechen also 8 Stimmen. Das bedeutet, dass eine Stimme 4 % der Klasse entspricht und somit hat die Klasse 25 Schülerinnen und Schüler.

Als Gleichung bedeutet das (x entspricht der Anzahl der Schülerinnen und Schüler der Klasse): 0,34 x + 0,34 x + 8 = x

18 Wir bezeichnen die Anzahl der Stimmen mit S. Wenn man voraussetzt, dass es nur diese drei Kandidaten gab, dann hat Zwetka 2 _ 5 S und Claudio 1 _ 5 S. Für Mona verbleiben dann 2 _ 5 der Stimmen, wobei die eine ungültige Stimme abzuziehen ist. Mona: 2 _ 5 S – 1. Damit hat Zwetka die Wahl gewonnen, sie hat den größten Stimmenanteil.

Man kann noch weiter berechnen:Zwetka bekam 2 _ 5 S; Claudio: 1 _ 5 S.Mona bekam 6 Stimmen mehr als Claudio, also 1 _ 5 S + 6. Dazu kommt die ungültige Stimme.Man erhält folgende Gleichung: 2 _ 5 S + 1 _ 5 S + 1 _ 5 S + 6 + 1 = S. S = 35 Stimmen.


L 66 6 Gleichungen

19 a) Frau Mayer hat 52,7 % der gültigen Stimmen, ihr Gegenkandidat demnach 47,3 %. Differenz: 5,4 Prozentpunkte. Das entspricht 81 Stimmen. Es wur-den 1500 gültige Stimmen abgegeben.Als Gleichung könnte man formulieren 52,7

_ 100 ·S = 47,3

_ 100 ·S + 81. Die Gesamtzahl der Stimmen ist dann S = 1500.b) Maximal hat Mona Mayer 52,74 %, minimal 52,65 % der Stimmen erhalten. Die Differenz zu ihrem Gegenkandidaten kann dadurch zwischen 5,48 % und 5,3 % variieren. Dies entspricht jeweils 81 Stimmen. Wie in a) berechnet man daraus die Gesamtstimmenanzahl. Sie kann zwischen 1478 und 1528 gelegen haben.

„Nach Adam Riese …“

Durch Rückwärtsrechnen oder Ausprobieren erhält man: 1 + 2 = 3; 3 · 2 + 2 = 8; 8 · 2 + 2 = 18; 18 · 2 = 36.Er hatte zu Beginn 36 Äpfel.


7 Prozente L 67

7 Prozente

Auftaktseite: Wenn wir 100 wären . . .

Seiten 128 bis 129

In der Schloss-RealschuleAlle Zahlen würden sich vervierfachen. Es gäbe 44 Jungen und 56 Mädchen. Und es ergäbe sich folgende Altersverteilung:• 12 Jahre: 24 13 Jahre: 48 14 Jahre: 28 Fahrrad: 44 Zu Fuß: 24 Öffentliche Verkehrsmittel: 32• individuelle LösungUnterscheidungsmerkmale können zum Beispiel sein: Haarfarbe, Größe, Lieblingsfarben.

Anteile in 10 × 10-Quadraten• mögliche Lösungen

Jungen Mädchen

12 Jahre14 Jahre

Fahrrad öffentlicher VM

13 Jahre

zu Fuß

• andere Darstellungen sind zum Beispiel

Bei einem 10 × 10-Quadrat oder dem Streifen-diagramm kann man sehr schnell Anteile abschät-zen. Das Säulendiagramm liefert übersichtlich exak-ten Werte.

UmfrageMan müsste einige Kästchen im 10 × 10-Quadrat doppelt belegen. Eine Tabelle oder ein Säulendia-gramm wären andere Darstellungsmöglichkeiten.

10 × 10-Quadrate• 25 %; das sind 25 von 100 Kästchen.• 50 %; das sind 50 von 100 Kästchen.• 20 %, 10 %; das sind 20 bzw. 10 von 100 Kästchen.• 3 und 8 sind keine Teiler von 100: Man erhält also keine „glatten“ Anteile, sondern bei 3: 33 1 _ 3 %, bei 8: 12,5 %.

1 Absoluter und relativer Vergleich

Seite 130

EinstiegsaufgabeRamotaRamota: 8 _ 30 = 4 _ 15 = 16

_ 60

Fritz: 6 _ 24 = 1 _ 4 = 15 _ 60

Holpert: 7 _ 28 = 1 _ 4 = 15 _ 60

Damit hat Ramota den größten Anteil gehalten.

1 a) 4 _ 5 = 8 _ 10 > 7 _ 10 ; 9 _ 15 = 27 _ 45 > 24

_ 45 ; 7 _ 8 = 14 _ 16 < 15

_ 16

b) 7 _ 12 = 35 _ 60 < 11

_ 15 = 44 _ 60 ; 18

_ 25 = 144 _ 200 > 23

_ 40 = 115 _ 200 ;

19 _ 18 = 190

_ 180 > 21 _ 20 = 189

_ 180

2 a) 3 _ 4 = 15 _ 20 > 7 _ 10 = 14

_ 20 ; 2 _ 3 = 10 _ 15 < 4 _ 5 = 12

_ 15 ;

3 _ 5 = 24 _ 40 < 5 _ 8 = 25

_ 40

b) 1 _ 3 = 3 _ 9 < 4 _ 9 ; 9 _ 10 = 27 _ 30 > 13

_ 15 = 26 _ 30 ; 7 _ 12 = 21

_ 36 < 11 _ 18 = 22

_ 36

Seite 131

3 a) 1 _ 6 < 1 _ 3 < 1 _ 2 < 2 _ 3 < 5 _ 6

b) 15 _ 20 = 45

_ 60 ; 7 _ 10 = 21 _ 30 ; 11

_ 15 = 22 _ 30

17 _ 30 < 7 _ 10 < 11

_ 15 < 15 _ 20

c) 19 _ 80 = 114

_ 480 ; 61 _ 240 = 122

_ 480 ; 39 _ 160 = 117

_ 480 ; 27 _ 120 = 108

_ 480

27 _ 120 < 19

_ 80 < 39 _ 160 < 61

_ 240

d) 17 _ 12 = 102

_ 72 ; 23 _ 18 = 92

_ 72 ; 50 _ 36 = 100

_ 72 ; 31 _ 24 = 93

_ 72

23 _ 18 < 31

_ 24 < 50 _ 36 < 17

_ 12


Fahrrad zu Fuß öffentl. VM

40

30

20

10

0

Anteil

Fortbewegungsmittel

Fahrrad zu Fuß öffentl. VM

L 68 7 Prozente

4 a) 4 _ 7 = 0,57; 5 _ 8 = 0,625; 7 _ 10 = 0,7; 11 _ 15 = 0,7

_

3

4 _ 7 < 5 _ 8 < 7 _ 10 < 11 _ 15

b) 11 _ 50 = 0,22; 17

_ 70 = 0,24; 19 _ 80 = 0,2375; 21

_ 90 = 0,2 _

3

11 _ 50 < 21

_ 90 < 19 _ 80 < 17

_ 70

5 3 _ 10 < 0,33 < 1 _ 3 < 2 _ 5 < 3 _ 7 < 0,5 < 0,55

Man wandelt alle Brüche in Dezimalbrüche um oder umgekehrt.

6 Jens: 7 _ 15 = 28 _ 60 ; Manuel: 9 _ 20 = 27

_ 60

Jens ist besser.

7 7a: 23 _ 25 = 138

_ 150 ; 7b: 27 _ 30 = 135

_ 150

Die 7a hat Recht.

8 a) Anzahl der Schüler pro Jahrgang und insge-samt, Verteilung der Jungen und Mädchen im Jahr-gang und insgesamt.b) mögliche Lösung

9 a) Frau Schwan, weil sie mehr gewonnen hat.

b) 12 000 _ 200 = 60; 1000

_ 10 = 100

Herr Gans hat relativ gesehen mehr gewonnen. Es interessiert nur die Gewinnsumme.

c) x € _ 200 € = 100; x = 20 000 €

10 Mittel A: 38 _ 74 = 0,51; Mittel B: 118

_ 236 = 0,5

Mittel A wirkt besser.

Randspalte

Jenny 1 _ 1 ; Mandy 6 _ 10 . Eigentlich ist Jenny besser,

aber bei ihrer geringen Anzahl von Würfen ist keine

verlässliche Aussage möglich.

Aus der Zeitung

Die gesparte Summe ist in beiden Fällen gleich, man spart beim Taschenrechner aber – relativ gesehen – mehr. Der Vorsitzende scheint zu glauben, dass 1 _ 10 mehr ist als 1 _ 8 , dass also mehr Männer als Frauen unzufrieden sind. Es ist aber genau umgekehrt.

2 Prozente

Seite 132

EinstiegsaufgabeHitradio 30 % Antenne 1 20 % Stereo FM 37,5 % Andere Sender 12,5 %Hitradio 300 Antenne 1 200 Stereo FM 375 Andere Sender 125

1 mögliche Lösungen:a) 10 % der Autofahrer fuhren zu schnell an der Radarfalle vorbei.b) 70 % der Haushalte haben einen Mikrowellen-herd.c) Fabian ist sich vollkommen sicher.d) Mehr als 33 1 _ 3 % kommen von auswärts.e) Etwa jeder 5. Teilnehmer errang eine Ehren-urkunde.

2 a) 3 _ 10 = 30 _ 100 = 30 %; 7 _ 10 = 70

_ 100 = 70 %;

9 _ 10 = 90 _ 100 = 90 %; 7 _ 20 = 35

_ 100 = 35 %; 17 _ 20 = 85

_ 100 = 85 %;

13 _ 25 = 52

_ 100 = 52 %; 24 _ 25 = 96

_ 100 = 96 %; 19 _ 50 = 38

_ 100 = 38 %

b) 1 _ 2 = 50 _ 100 = 50 %; 1 _ 4 = 25

_ 100 = 25 %; 3 _ 4 = 75 _ 100 = 75 %;

1 _ 5 = 20 _ 100 = 20 %; 3 _ 5 = 60

_ 100 = 60 %; 4 _ 5 = 80 _ 100 = 80 %

c) 34 _ 200 = 17

_ 100 = 17 %; 198 _ 200 = 99

_ 100 = 99 %;

33 _ 300 = 11

_ 100 = 11 %; 213 _ 300 = 71

_ 100 = 71 %; 24 _ 400 = 6

_ 100 = 6 %;

288 _ 400 = 72

_ 100 = 72 %; 75 _ 500 = 15

_ 100 = 15 %

d) 14 _ 40 = 35

_ 100 = 35 %; 15 _ 50 = 30

_ 100 = 30 %; 12 _ 30 = 40

_ 100 = 40 %;

12 _ 15 = 80

_ 100 = 80 %; 9 _ 60 = 15 _ 100 = 15 %; 36

_ 80 = 45 _ 100 = 45 %;

144 _ 240 = 60

_ 100 = 60 %; 91 _ 130 = 70

_ 100 = 70 %

Seite 133

3 a) 30 % = 30 _ 100 = 3 _ 10 ; 60 % = 60

_ 100 = 3 _ 5 ;

55 % = 55 _ 100 = 11

_ 20 ; 45 % = 45 _ 100 = 9 _ 20 ; 5 % = 5

_ 100 = 1 _ 20


80

70

60

50

40

30

20

10

0

Anzahl

Klassenstufe

5 6 7 8 9 10

7 Prozente L 69

b) 14 % = 14 _ 100 = 7 _ 50 ; 28 % = 28

_ 100 = 7 _ 25 ; 48 % = 48 _ 100 = 12

_ 25 ;

64 % = 64 _ 100 = 16

_ 25 ; 96 % = 96 _ 100 = 24

_ 25

c) 25 % = 25 _ 100 = 1 _ 4 ; 12,5 % =

12,5 _ 100 = 125

_ 1000 = 1 _ 8 ;

62,5 % = 62,5

_ 100 = 625 _ 1000 = 5 _ 8 ; 2 % = 2

_ 100 = 1 _ 50 ; 4 % = 4 _ 100 = 1 _ 25

4 a) 12 % = 0,12; 27 % = 0,27; 39 % = 0,39; 88 % = 0,88; 99 % = 0,99b) 3 % = 0,03; 5 % = 0,05; 9 % = 0,09; 20 % = 0,2; 90 % = 0,9; 10 % = 0,1; 150 % = 1,5c) 4,5 % = 0,045; 6,8 % = 0,068; 34,5 % = 0,345; 0,7 % = 0,007; 0,12 % = 0,0012

5 a) 21 _ 100 = 21 %

b) 21 _ 30 = 70 %

c) 21 _ 50 = 42 %

d) 21 _ 70 = 30 %

6 a) 0,2 > 2 %; 3 _ 5 = 60 %; 0,7 < 75 %; 0,91 > 90 %

b) 5,5 % < 0,55; 70 % < 3 _ 4 ; 0,8 > 0,08; 11 % > 1 _ 11

7 a) Petra hat nicht Recht. 1 _ 3 = 33 1 _ 3 % > 30 %

b) 15 % > 1 _ 7 c) Nein.

8 a)I 25 %II 12,5 %III 25 %IV 6,25 %V 18,75 %VI 3,125 %VII 9,375 %b) mögliche Lösung:I + III oder III + IV + Vc) mögliche Lösung:

939 % 10 % 17 % 41 % 8,5 % 72 %

39 _ 100 10

_ 100 17 _ 100 41

_ 100 8,5

_ 100 18 _ 25

0,39 0,1 0,17 0,41 0,085 0,72

4 % 9,9 % 5 % 33 %

4 _ 100

9,9 _ 100 1 _ 20 33

_ 100

0,04 0,099 0,05 0,33

Runden

48,1 %34,9 %11,1 %14,3 %; das sind 49 Teilnehmer.

Seite 134

Prozentanteile grafisch darstellen

Andere Diagramme wären zum Beispiel das Balken- oder das Säulendiagramm. Diese liefern schnell einen exakten Überblick. Das Streifen-diagramm oder das Kreisdiagramm machen es möglich, schnell zu entscheiden, ob es sich um „die Hälfte“, „ein Drittel“, „ein Viertel“ handelt. individuelle Lösungen individuelle Lösungen

10 2 _ 3 blau; 1 _ 3 gelb; 67 % blau; 33 % gelb

11 a) Tennisb) 8 Handball, 10 Tennis, 7 Fußballc) 32% Handball, 40% Tennis, 28% Fußball

Tennis(4cm)

Fußball(100,8°)

Tennis(144°)

Fußball(2,8 cm)

Handball(3,2 cm)

Handball(115,2°)

d) individuelle Lösungene) individuelle Lösungenf) individuelle Lösungen


L 70 7 Prozente

3 Prozentsatz

Seite 135

Einstiegsaufgabe An der Schiller-Realschule liegt der Anteil der Handybesitzer mit 76 % etwas unter der Angabe in der Zeitung.

Seite 136

1 a) 17 %; 19 %; 33 %b) 26 %; 32 %; 85 %c) 70 %; 31,5 %; 12 %d) 11,5 %; 17,6 %; 33,3 %

2 a) 50 %; 25 %; 20 %b) 35 %; 71 %; 45 %c) 44 %; 5%; 35 %d) 75 %; 25 %; 12,5 %

3 a) 25,71 %; 29,17 %; 2,36 %b) 10,59 %; 47,22 %; 88,89 %

4 a) 63 _ 450 = 14 % Ehrenurkunde

216 _ 450 = 48 % Siegerurkunde

b) (450 – 279)

__ 450 = 38%

c)

keine Urkunde(3,8cm)

Ehrenurkunde(1,4cm)

Siegerurkunde(4,8cm)

5 a)Das traue ich mir zu 67,14 %Ich denke, das liegt mir nicht 11,14 %Er ist für mich ein vertrautes Werkzeug 49,14 %Das entspricht meinem Interesse 44,57 %Ich habe eine andere Meinung 15,43 %b) Mehrfachnennungen sind möglichc) Prozentkreis und Prozentstreifen sind nicht sinn-voll, da die Summe 100 % ergeben müsste.

Randspalte

W G p %

176 m 320 m 55 %

294 kg 980 kg 30 %

11,7 ø 78 ø 15 %

75,9 g 230 g 33 %

30,6 km 85 km 36 %

W G p %

95,20 € 140 € 68 %

4,93 ø 5,8 ø 85 %

2,85 m 7,5 m 38 %

6,3 h 105 h 6 %

Diagramme am PC

G = 30 Schüler 12 Jungen sind 40 %, 18 Mädchen sind 60 %. Die Diagramme sind im Buch dargestellt. Der Anteil der Jungen steigt auf 40,625 %, der Anteil der Mädchen sinkt auf 59,375 %. Der Anteil der Jungen fällt auf 39,29 %; der Anteil der Mädchen steigt auf 60,71 %.

Mädchen Jungen

17 M. = 56,7 % 13 J. = 43,3 %

16 M. = 53,3 % 14 J. = 46,7 %

15 M. = 50 % 15 J. = 50 %

Jeder Schüler/jede Schülerin entspricht 3 1 _ 3 % der Gesamtklasse. Der Streifen der Jungen wächst jeweils um 3 1 _ 3 %, der der Mädchen wird um 3 1 _ 3 % (= 0,33 cm) kürzer.Im Kreisdiagramm wächst der Kreisausschnitt der Jungen um 3 1 _ 3 %, also 12°, der der Mädchen wird jeweils um 12° kleiner.

4 Prozentwert

Seite 137

Einstiegsaufgabe

7 a: 30 _ 81 = 0,37; 7 b: 27

_ 81 = 0,33; 7 c: 24 _ 81 = 0,3

Der Klasse 7 a stehen also 37 % der 24 Plätze zu, also etwa 9 Plätze; der Klasse 7 b stehen 33 % der 24 Plätze zu, also etwa 8 Plätze, und der Klasse 7 c stehen 30 % der 24 Plätze zu, also etwa 7 Plätze.

Seite 138

1 a) 24; 8,5; 77; 100b) 54; 102; 40; 12c) 0,15 €; 0,27 ha; 18 s; 9,6 hd) 0,5 h; 1,44 m; 1,4 m2; 2,25 kg

2 a) 54 €; 172,80 €; 64,60 €; 540 €b) 0,114 kg; 0,315 t; 0,2 m; 0,09 øc) 0,30 €; 22,5 m; 33 ød) 18,75 ø; 12,68 €; 36,45 m


7 Prozente L 71

3 a) 261,56 €b) 132,249 kmc) 15,3 kg

4 Hartmut: 50∙10 % = 5; 10∙50 % = 5Claus: 20∙2 % = 0,4; 2∙20 % = 0,4Achim: 100∙40 % = 40; 40∙100 % = 40Schreibt man die Rechnungen etwas ausführlicher auf, findet man schnell eine Erklärung. Hartmut rechnet zum Beispiel:

10∙50 _ 100

Das bedeutet 10 _ 100 ·50 also 10 % von 50,

oder 10∙ 50 _ 100 , also 50 % von 10.

5 a) Erwachsener: 48 kg Wasser; 16 kg Eiweiß; 11,2 kg Fett; 4,8 kg andere StoffeKind: 27 kg Wasser; 9 kg Eiweiß; 6,3 kg Fett; 2,7 kg andere Stoffeb) individuelle Lösungen

Gesund essen

Andreas: 300 g∙32 % + 80 g∙26 % = 116,8 gMarina: 250 g∙8 % + 80 g∙1,8 % = 21,44 g Andreas: 116 kgMarina: 21 kg

Randspalte

p % G W

12 % 50 kg 6 kg

17 % 83 m 14,11 m

39 % 72 € 28,08 €

8,5 % 174 ø 14,79 ø

87,5 % 38 km 33,25 km

10,5 % 978 g 102,69 g

3 1 _ 2 % 538 € 18,83 €

34 1 _ 4 % 230 m 78,775 m

7 3 _ 4 % 85 kg 6,5875 kg

5 Grundwert

Seite 139

Einstiegsaufgabe 80 Teilnehmer entsprechen 40 %. 80

_ 4 Teilnehmer entsprechen dann 10 % und 800

_ 4 Teilnehmer 100 %. Das sind 200 Teilnehmer.

Seite 140

1 a) 150 €; 230 m; 140 km; 7,6 gb) 750 m; 450 kg; 275 t; 400 minc) 40 hø; 80 €; 110 m2; 60 kgd) 400 g; 440 h; 80 €; 140 ø

2 a) 150 m; 350 €; 2609 mm; 1622 mmb) 300 cm; 23 333 mg; 150 ø; 131 579 kgc) 440 €; 2 035 714 g; 4386 g; 600 m2

d) 210 km; 430 ø; 76 €; 800 g

3 a)

25%

b)

60%

c)

70%

d)

100% 50%

4 a) 95 000 Fußgängerb) 9000 km2

c) 45 000 Stimmend) 68 000 ha

5 a) G = 2000 €; G = 1000 €; G = 500 €b) G = 5000 €; G = 2500 €; G = 1666,67 €c) G = 750 €; G = 1500 €d) G = 500 €; G = 750 €Bleibt der Prozentwert W gleich und verdoppelt/verdreifacht man den Prozentsatz p %, halbiert/drit-telt sich der Grundwert G. Bleibt der Prozentsatz p % gleich und verdoppelt/verdreifacht man den Prozentwert W, verdoppelt und verdreifacht sich der Grundwert.

6 a) 120 % = 120 €; 100 % = 100 €b) 80 % = 120 €; 100 % = 150 €c) 125 % = 500 kg; 100 % = 400 €d) 75 % = 500 kg; 100 % = 666,667 kge) individuelle Lösungen


L 72 7 Prozente

7 a) mögliche Lösungen: Lampe, Boden, Kerzeb) mögliche Lösungen: Tal, Uhr, ichc) Mama: 50 %; Bauer: 60 %; Uhu: 66,6 %; indivi duelle Lösungend) individuelle Lösungene) individuelle Lösungen

Randspalte

p % W G

12 % 72 € 600 €

15 % 13,5 m 90 m

18 % 115,2 g 640 g

44 % 352 ha 800 ha

56 % 252 a 450 a

7,5 % 6,75 m 90 m

15,5 % 93 t 600 t

0,3 % 1,65 hø 550 hø

41,8 % 334,4 g 800 g


Seite 142

1 1 _ 2 = 0,5 = 50 %

4 _ 5 = 0,8 = 80 %

7 _ 10 = 0,7 = 70 %

13 _ 20 = 0,65 = 65 %

19 _ 100 = 0,19 = 19 %

38 _ 400 = 0,095 = 9,5 %

6 _ 15 = 0,4 = 40 %

9 _ 25 = 0,36 = 36 %

17 _ 30 = 0,57 = 57 %

2 a) 40 % = 0,4 = 40 _ 100 = 2 _ 5

55 % = 0,55 = 55 _ 100 = 11

_ 20

33 % = 0,33 = 33 _ 100

12 % = 0,12 = 12 _ 100 = 3 _ 25

8 % = 0,08 = 8 _ 100 = 2 _ 25

9% = 0,09 = 9 _ 100

20% = 0,2 = 20 _ 100 = 1 _ 5

b) 12,5 % = 0,125 = 125 _ 1000 = 1 _ 8

4,2 % = 0,042 = 42 _ 1000 = 21

_ 500

2,5 % = 0,025 = 25 _ 1000 = 1 _ 40

0,5 % = 0,005 = 5 _ 1000 = 1

_ 200

120 % = 1,2 = 120 _ 100 = 6 _ 5

200 % = 2


4 a)

Baumwolle Wolle Acryl

(5cm) (2cm) (3cm)

b)

Baumwolle

180°

108° 72°

WolleAcryl

c) 800 g ∙ 50 % = 400 g Baumwolle800 g∙30 % = 240 g Acrylfaser800 g∙20 % = 160 g Wolled) 180 g : 20 % = 900 g

5 a) Klasse 6, Jungen: 55 _ 80 = 68,75 %

Klasse 6, Mädchen: 24 _ 60 = 40 %

Klasse 7, Jungen: 36 _ 40 = 90 %

Klasse 7, Mädchen: 86 _ 100 = 86 %

b) Jungen: 91 _ 120 = 75,8 %

Mädchen: 110 _ 160 = 68,75 %

c) individuelle Lösung


7 Prozente L 73

d) mögliche Lösung:

Jungen

Klasse 6:

Mädchen

Jungen

Jungen

Mädchen

Klasse 7:

Klassen 6 und 7:

Mädchen

Handy

Handy

HandyHandy

Handy

Handy

kein Handy

kein Handy kein Handy

kein Handy

kein Handy

kein Handy

6 Ein Tag hat 24∙60 min = 1440 min.

Schultage Wochenende

Medien m w m w

Fernsehen 2,8 % 3,125 % 10,4 % 9 %

Radio/CD 10,4 % 12,5 % 13,2 % 14,6 %

Computerspiele 2,1 % 0,7 % 3,5 % 1 %

Internet 1,74 % 1,25 % 3,47 % 2,08 %

Zeitung/Zeitschrift 0,7 % 1 % 0,7 % 0,83 %

Buch 0,35 % 0,7 % 0,7 % 1 %

Mögliche Lösung für die Beschäftigung der Jungen und Mädchen mit Medien an Schultagen.

Fernsehen

Radio/CD

Zeitung/Buch

Computerspiele/Internet

Umgang mit einfachen Formeln

G p % W

12,50 € 7 % 0,88 €

456 m 25 % 114 m

80 kg 65 % 52 kg

Seite 143

Ist Inline-Skaten ein gefährlicher Sport?

mögliche Lösung:

Kni

e

Ges

äß/H

üfte

Han

dgel

enk

Fing

er

Unt

erar

m

Elle

nbog

en

Schu

lter

Kopf

Sons

tige

s

Überlege, wie Stürze oft ablaufen und welche Schutzkleidung man tragen sollte. individuelle Lösung individuelle Lösung mögliche Lösung:Fußball 43,1 %Hand-, Volley-, Basketball 16,3 %Inlineskaten, Skateboard 10,1 %Reiten 8,5 %Skifahren 8,2 %Tennis, Squash, Badminton 7,9 %Jogging 5,9 %

Seite 144

Überall Steigungen

800 m∙16 % = 128 m1600 m∙8 % = 128 m

100m

50m

Man erhält Winkel von 2,8°; 5,7°; 8,5°; 11,3°; 14,0° und 26,6°.


L 74 7 Prozente

Steigungen an Treppen

16 _ 30 = 53,3 %

18,5

_ 28 = 66,07 %

21 _ 25 = 84 %

In Schulen ist die Steigung am geringsten. Das ist sinnvoll, weil in den Treppenhäusern der Schulen sehr viel los ist und gerade Kinder kleine Schritte machen. Je steiler eine Treppe ist, desto gefährlicher ist sie.Kellertreppen sind deshalb so steil, weil man meist auf wenig Platz die Höhe überwinden muss.Rampen für RollstuhlfahrerDie Treppen müssten extrem flache und breite Stufen haben; zum Beispiel könnten sie 3 cm hoch und 50 cm breit sein.Aus der ZeitungAuf 100 m Entfernung (Luftlinie und nicht Wegstrecke) nimmt die Höhe um 100 m ab.Die steilste Zahnradbahn der Welt 1623 : 42 % = 3864 m

2063 m

440 m3864 m

4192 m

22,8°

Der Steigungswinkel beträgt etwa 22,8°, die Schienenlänge beträgt 4192 m. individuelle Lösung


8 Daten erfassen und auswerten L 75

8 Daten erfassen und auswerten

Auftaktseite: Tag für Tag

Seiten 146 bis 147

Tagesablaufindividuelle Lösungen

WochenplanMan kann vergleichen, wie viel Zeit man im Vergleich für verschiedene Tätigkeiten benötigt, ob und wie sich der Zeitaufwand am Wochenende ändert, …individuelle Lösungen

SchulwegEs wurde eine Strichliste angefertigt, da man bei der Erhebung der Daten leicht die Meldungen eintragen kann. Die Gesamtanzahl der Meldungen lässt sich dann sehr leicht ablesen. Es ist auffällig, dass im mittleren Bereich vergleichsweise wenige Schülermeldungen auftauchen. Mögliches Diagramm

1 Daten erfassen

Seite 148

Einstiegsaufgabe Man kann die Schilder sortieren und zählen oder eine Strichliste erstellen.

1 Die Jungen möchten mehrheitlich einen Lehrer, die Mädchen mehrheitlich eine Klassenlehrerin.

Neun Schülerinnen und Schülern ist es egal. Insge-samt möchten mehr Kinder eine Lehrerin.

Seite 149

2 a) Insgesamt wurden 131-mal Spielgeräte aus-geliehen.b) Am beliebtesten ist der Volleyball und dann der Softball. Am unbeliebtesten ist Stelzenlaufen.

3 a) Die meisten Kinder haben einen Bruder oder eine Schwester. Nur wenige Kinder haben drei oder mehr Geschwister.b)

Anzahl der Geschwister 0 1 2 3 mehr

Häufigkeit 6 13 7 3 1

c) individuelle Lösungen

4 a) Der Tag wäre sinnvoll, da etwa ein Viertel der Schüler sich ungesund verhält (64 von 233 Schüle-rinnen und Schülern).b) individuelle Lösungen

5 a)

7 a 7 b 7 c 7 d

Hund 6 10 7 7

Katze 8 5 4 5

Pferd 7 7 10 7

Vogel 3 3 1 2

Hase 0 1 0 3

Hamster 1 0 3 2

Maus 1 0 3 0

Meerschweinchen 2 3 0 1

Fisch 2 1 0 0

b) Am liebsten mögen die Schülerinnen und Schü-ler Hunde und Pferde, wobei in der 7 b Hunde und in der 7 a und in der 7 c Pferde beliebter sind. In der 7 d haben Hunde und Pferde gleich viele Stimmen erhalten. Fische sind generell nicht sehr beliebt. In der Klasse 7 a werden Hasen überhaupt nicht genannt, … und weitere individuelle Aussagen.c) individuelle Lösungen

6 a) zum Beispiel ein Bus oder ein Traktorb) Sie zählten 34 Zweiräder.c) 126 PKWs; 48 LKWs; 42 Motorräder; 66 Motor-roller; 96 Fahrräder; 6 sonstige Fahrzeuge; insge-samt also 384 Fahrzeuge

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Anzahl der Schülerinnen und Schüler

0–5

Min

uten

5–10

Min

uten

10–1

5 M

inut

en15

–20

Min

uten

20–2

5 M

inut

en25

–30

Min

uten

35–4

0 M

inut

en

30–3

5 M

inut

en

über

40

Min

uten


L 76 8 Daten erfassen und auswerten

2 Daten darstellen

Seite 150

Einstiegsaufgabe Jede Figur steht für zwei Stimmen. Ahmet hat also 14, Tim zehn und Annika sechs Stimmen er-halten. Man erhält schnell einen Überblick über relativ genaue Zahlen. Die Anzahl lässt sich schnell er-mitteln und man kann mit den Symbolen Inhalte andeuten. Durch die Symbole entsteht aber auch eine gewisse Ungenauigkeit. Man muss halbe oder viertel Symbole zeichnen, weil ein Symbol ja für eine bestimmte Anzahl steht.

In Säulen-, Balken- oder Bilddiagramm kann man die einzelnen Werte sehr genau ablesen. Sie lassen sich sehr einfach zeichnen. Ein Nachteil ist, dass man den Anteil an der Gesamtmenge nicht so gut ablesen kann. Dafür ist ein Kreis- oder Streifendia-gramm geeigneter:

An Streifen- oder Kreisdiagramme kann man sehr schnell die Anteile oder Mehrheiten überblicken. Genaue Werte lassen sich jedoch schwieriger be-stimmen. individuelle Lösungen

Seite 151

1 a) 15 Schülerinnen und Schülerb) 5 Schülerinnen und Schülerc) bei 9 Schülerinnen und Schülern

2

2520151050

Sportart

Anzahl der Stimmen

Fußb

all

Turn

en

Volle

ybal

l

Badm

into

n

Schw

imm

en

3 a) ungefähr 150 Taschenb)

Gewicht in kg unter 3,0 3,0–3,5 3,5–4,0 Über 4,0

Anzahl (etwa) 15 60 55 20

Seite 152

4 a) Etwa 2 _ 3 der Schülerinnen und Schüler fehlen aus Krankheitsgründen. Das zweithäufigste Argu-ment sind familiäre Gründe. Genauso oft wie wegen Behördengängen fehlen sie aus sehr individuellen Gründen. Man kann nur Anteile und keine Anzahl bestimmen.b) Der Streifen ist 5 cm lang, davon: Krankheit: 3 cm = 60 %;

Behördengänge: 0,5 cm = 10 %; familiäre Gründe: 1 cm = 20 %; Sonstiges: 0,5 cm = 10 %

Krankheit Behörde familiäre Sonstige Gründe

70

60

50

40

30

20

10

0

Anteil in %

Fehlzeiten

5 a) 536 Jugendlicheb)

Schülerbuchseite 150– 152


c)

6Person Claudia Petra Ali Markus

Anzahl 12 14 20 9

7 a) Ein Bild- oder ein Balkendiagramm eignen sich gut, Kreis- und Streifendiagramm eignen sich nicht besonders, da die Beanstandungen nicht unbedingt 100 % entsprechen. b) Dass die Beanstandungen 100 % entsprechen.c)

Seite 153

Arbeiten mit dem Computer

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

H. W

erne

rFr

. Tro

lleH

. Frie

dric

hFr

. Mül

ler-N

auFr

. Pet

ers

H. B

lum

-Sie

bert

Fr. S

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Fr. T

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H. F

ande

run

gülti

g

Stimmenanzahl

H. WernerFr. TrolleH. FriedrichFr. Müller-NauFr. PetersH. Blum-SiebertFr. SimonFr. TreuH. Fanderungültig

ungültig

H. Fander

Fr. Treu

Fr. Simon

H. Blum-Siebert

Fr. Peters

Fr. Müller-Nau

H. Friedrich

Fr. Trolle

H. Werner

0 100 200 300 400 500

Kandidaten

Stimmenzahl

14

12

10

8

6

4

2

0

Anzahl

Beanstandungen

Gloc

ke

Reife

n

Refle

ktor

Brem

sen

Lich

t





500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Stimmenzahl

H. W

erne

rFr

. Tro

lleH

. Frie

dric

hFr

. Mül

ler-N

auFr

. Pet

ers

H. B

lum

-Sie

bert

Fr. S

imon

Fr. T

reu

H. F

ande

run

gülti

g

Die Kreisdiagramme scheinen besonders geeignet, da es bei Wahlen nur um Mehrheits-verhältnisse geht. Bilddiagramme kann man mit dem Computer nicht zeichnen.


9 a) Aussage: „zu viel fernsehen“Bilddiagramm entspricht zwei Stimmen

trifft nicht zu

trifft kaum zu

trifft teilweise zu

trifft voll zu

Säulendiagramm

trifft trifft trifft kaum trifft voll zu teilweise zu zu nicht zu

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Anzahl

Aussage

Kreisdiagramm

trifft voll zutrifft teilweise zutrifft kaum zutrifft nicht zu

Aussage: „zu viel am Computer“Bilddiagramm entspricht zwei Stimmen

trifft nicht zu

trifft kaum zu

trifft teilweise zu

trifft voll zu



Säulendiagramm


12

10

8

6

4

2

0

Anzahl

Aussage

Kreisdiagramm


Aussage: „zu viele Hobbys“Bilddiagramm entspricht zwei Stimmen

trifft nicht zu

trifft kaum zu

trifft teilweise zu

trifft voll zu

Säulendiagramm


14

12

10

8

6

4

2

0

Anzahl

Aussage

Kreisdiagramm

Die Diagramme zu den anderen Zeilen werden in analoger Weise erstellt.b) individuelle Lösungen

3 Daten auswerten

Seite 154

Einstiegsaufgabe Florian hat am meisten gesammelt, Olga hat am wenigsten gesammelt. Jeder hätte 16 € sammeln müssen. individuelle Lösungen

Seite 155

1Spannweite Mittelwert

a) 9 55 : 10 = 5,5

b) 9 155 : 10 = 15,5

c) 18 110 : 10 = 11

d) 45 275 : 10 = 27,5

e) 4,5 27,5 : 10 = 2,75

2Minimum Maximum Spannweite

a) 37 m 312 m 275 m

b) 8,7 kg 44,3 kg 35,6 kg

c) 5,3 dm 4,36 m 38,3 dm

d) 50 min 2 h 15 min 1 h 25 min

3Mittelwert Spannweite

Liste 1 66 : 6 = 11 21

Liste 2 66 : 6 = 11 19

Liste 3 66 : 6 = 11 9

Obwohl der Mittelwert für alle Listen gleich groß ist, kann die Spannweite stark variieren.




4Mittelwert Spannweite

Liste 1 96 : 8 = 12 15

Liste 2 256 : 8 = 32 15

Liste 3 81 : 9 = 9 15

Obwohl die Spannweite für alle Listen gleich groß ist, kann der Mittelwert stark variieren.

5 a) 25 b) 38 c) 7

6 a) 10 b) 9 c) 14

7 a) individuelle Lösungenb) individuelle Lösungen

8 a) Minimum: 6 °C Das Minimum gibt die Tiefst-temperatur an.Maximum: 15 °C Das Maximum gibt die Höchsttem-peratur an.Spannweite: 9 °C Die Spannweite gibt an, wie groß die Temperaturdifferenz war.Mittelwert: 10 °C Der Mittelwert gibt die durch-schnittliche Temperatur an.b) 11,6 °C

Seite 156

9 a) Der Mittelwert beträgt 26 000 Zuschauer.b) Das Maximum ist 95 Tage.c) Eine deutsche Familie hat im Durchschnitt (Mittelwert) 1,2 Kinder.d) Die Spannweite ist 6 m.e) Der Mittelwert ist 8,6 ø/100 km.f) Die minimale Schülerzahl (Minimum) ist 20 Schüler.g) Die Spannweite beträgt 2000 €.h) Der Mittelwert der Noten betrug 3,1.

10 a) die Spannweite b) der Mittelwert

11 a) Der Mittelwert drückt aus, wie viele Stunden eine Person durchschnittlich an einem Tag fern sieht. Um eine sichere Aussage machen zu können, sollte man die Fernsehdauer über einen längeren Zeitraum als eine Woche beobachten. Es wäre auch spannend zu erfahren, wie viel der freien Zeit (außerhalb der Schule oder des Berufslebens) diese Person vor dem Fernseher verbringt.b) Der Mittelwert drückt aus, wie häufig eine Per-son im Durchschnitt in den Monaten, in denen das Schwimmbad geöffnet war, das Freibad besucht hat. Es wäre aber beispielsweise auch interessant zu wissen, in welchen Monaten wie viele Besuche stattfanden (das ist am Mittelwert nicht mehr ab-zulesen) und inwieweit andere Personen einen ähn-

lichen Schnitt erreichen. Man sollte also für solche Erhebungen immer mehr als eine Person befragen und die Ergebnisse dann im Hinblick auf die äuße-ren Bedingungen hinterfragen. c) Der Mittelwert drückt aus, wie viele Schultage ein Monat im Schnitt hat. Aber erst ein Vergleich des deutschen Mittelwertes mit dem anderer Länder füllt diesen Wert mit Inhalt.

12 Minimum: 5 €; Maximum: 50 €;Spannweite: 45 €; Mittelwert: 24,67 €

13 a) Mädchen: Minimum: 12 m; Maximum: 32 m; Spannweite: 20 m; Mittelwert: 20,45 mJungen:Minimum: 9 m; Maximum: 40 m; Spannweite: 31 m; Mittelwert: 23,65 mWelche Gruppe man für die bessere hält, hängt da-von ab, ob man einzelne Spitzen oder „Ausrutscher“ oder eine durchschnittliche Leistung für besser hält.b) Das Minimum ist das kleinere der beiden Minima: 9 m.Das Maximum ist das größere der beiden Maxima: 40 m.Die Spannweite muss neu berechnet werden: 31 m.Der Mittelwert muss neu berechnet werden: 22,39 mc) individuelle Lösungen

14 a) individuelle Lösungenb) individuelle Lösungen

Seite 157

Häufigster Wert

Schülerbuchseite 155Aufgabe 1: Es gibt für die einzelnen Aufgaben-teile keinen häufigsten Wert und auch insgesamt gibt es mehrere Werte, die mit gleicher Häufig-keit vorkommen.Aufgabe 2: a) 189 m b) 12,0 kg; c)/d) kein häufigster WertAufgabe 3: 1. Liste: kein häufigster Wert; 2. Liste: 13; 3. Liste: 7Aufgabe 4: 1. Liste: 10; 2. Liste/3. Liste: kein häu-figster WertAufgabe 8: kein häufigster Wert

15 a) Das Minimum = 10, das Maximum = 14 und der Mittelwert = 11,9 können sinnvoll sein.b) Es gibt keinen sinnvollen Kennwert.c) Falls es die Werte eines Turners sind, ist der Mit-telwert = 8,7 interessant. Handelt es sich um Werte



unterschiedlicher Turner, ist das Maximum = 9,5 ent-scheidend.d) Der häufigste Wert ist sinnvoll.e) Kein Kennwert ist sinnvoll.f) Das Maximum = 4,8 und der Mittelwert = 3,7 sind sinnvoll.g) Die Suche nach dem häufigsten Wert ist sinnvoll. Demnach sind Hunde die beliebtesten Tiere.

16 a) Weil eine sehr gute oder eine sehr schlechte Wertung den Mittelwert stark beeinflussen können.b) 5,3 (mit Streichung); 5,1 (ohne Streichung)


Seite 159

1 a) (viele Ferientage) TR; F; GB = I; E; D (wenige Ferientage) b) Die Türkei hat die meisten, Deutschland die wenigsten Ferientage. Der Unterschied beträgt etwa 45 Tage.c) Alle genannten Länder haben mehr Ferientage als Deutschland.d) Der Mittelwert ist 80. Deutschland liegt etwa 17 Tage unter dem Mittelwert.

2 Das Minimum der Ausbildungskosten beträgt 4000 € an Berufsschulen, das Maximum liegt bei 19 900 € an Sonderschulen. Die Spannweite ist 15 900 €. Der Mittelwert der Kosten beträgt 9887,50 €. In dieser letzten Zahl ist jedoch die pro-zentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in den einzelnen Schulformen nicht berücksichtigt.

3 a)

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0

Fläche

BW BY BB HE MV NI NW

Land

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Einwohner in Mio.

BW BY BB HE MV NI NW

Land

b) größte Fläche: BY; NI; BW; NW; BB; MV; HEhöchste Einwohnerzahl: NW; BY; BW; NI; HE; BB; MVDie Länder mit der höchsten Einwohnerzahl haben nicht auch die größte Fläche.

4

Europa

Amerika

Australien und

Ozeanien

Asien

AfrikaAnzahl der Einwohner

Kontinente

entspricht 100 Mio. Einwohnern

5

Euro

pa

Asie

n

Afrik

a

Nor

dam

erik

a

Süda

mer

ika

Aust

ralie

nAn

tark

tis

6 a)

Pazi

fik

Atla

ntik

Indi

k



b) Weil die Zahlen insgesamt 360 ergeben.

Pazifischer OzeanAtlantischer OzeanIndischer Ozean

Seite 160

7 a)

Kartoffeln

Trinkmilch

Brot, Mehl

Obst

Fleisch

Gemüse

Zucker

1955 2000

1 cm = 20 kg

b)

Abnahme Zunahme

100 80 60 40 20 20 40 60 80 100

Kartoffeln

Brot, Mehl

Trinkmilch

Obst

Fleisch

Gemüse

Zucker

8 Weißbrot hat einen hohen Kohlenhydratanteil und eignet sich für eine fettarme Ernährung.Kabeljau, Nudeln und Äpfel enthalten kein Fett.

9 a) mittlere jährliche Niederschlagsmenge: 151 mmb) mittlere Niederschlagsmenge Jan.–März: 3 mmmittlere Niederschlagsmenge Apr.–Juni: 168 mmmittlere Niederschlagsmenge Juli–Sept.: 407 mmmittlere Niederschlagsmenge Okt.–Dez.: 27 mmmittlere jährliche Niederschlagsmenge: 151 mm; man erhält denselben Wert wie in a)

10 a) 40 Gänseblümchen.b) Jedes Feld hat eine Größe von 2500 cm2 = 0,25 m2. Auf der gesamten Wiese wach-sen also 6000·40 = 240 000. Es sind etwa vierund-zwanzigmal so viele Gänseblümchen auf der Wiese.

11 a) Der Mittelwert ist 11.b) Der Mittelwert ist dann 9. Dieser Wert entspricht den tatsächlichen Werten besser. Am 8. Tag waren möglicherweise verschiedene Schüler und Schüle-rinnen auf einem Ausflug.c) Der häufigste Wert ist 8. Er ist kleiner als beide Mittelwerte.


Treffpunkte L 83

Treffpunkte

Treffpunkt Tropischer Regenwald – Paradiese am Äquator

Seiten 162 und 163

Millionenfach geartet 2000 mm Regenwasser pro m 2 entspricht 2000 ø pro m 2 im Jahr. Das sind etwa 5,5 ø pro Tag. In Manaus sind es, wie man dem Informationskasten entnehmen kann, sogar 2043 ø im Jahr, also 5,6 ø pro Tag. In Kiel fallen 755 ø im Jahr, was nur 2,1 ø täglicher Regenmenge entspricht.Die tägliche Regenmenge auf jeden Quadratmeter Boden im Regenwald entspricht etwa einem halben Eimer, im Jahr sind dies 20 Badewannen voll. In Deutschland sind es im Jahr pro Quadratmeter etwa 8 Badewannen voll und am Tag gerade mal ein Fünftel Eimer oder etwa 3 Wasserflaschen (à 0,75 ø) voll. Etwa 8,67 Mio. km 2 der Erdoberfläche sind mit Regenwald bedeckt. Diese Fläche ist rund 24,3mal so groß wie die Fläche Deutschlands (357 000 km 2). Die 30 Mio. Tierarten im tropischen Regenwald entsprechen Schätzungen von Forschern zufolge etwa 75 % der gesamten Fauna (= Tierwelt). Das heißt, dass es auf der Erde ca. 40 Mio. Tierarten gibt, die größtenteils noch gar nicht entdeckt worden sind. Allerdings gibt es sehr unterschiedliche Vermutungen und die Schätzungen gehen sogar bis über 100 Mio. Tierarten. Die Anzahl der Vogelarten in Brasilien ist mit 1635 sehr hoch und etwa 3mal so hoch wie die Vogelartenzahl in Deutschland. Bei den übrigen drei Klassen (Säugetiere, Reptilien, Amphibien) ist die Anzahl in Brasilien etwa bei 400 bis über 500 gleich groß, aber um ein Vielfaches höher als in Deutschland, wo nur 76 Säugetierarten und noch wesentlich weniger Reptilien und Amphibienarten vorkommen.

Vom Boden in luftige Höhe Wie man auf dem Foto erkennen kann, verteilen sich die 750 kg auf eine recht große Fläche. Durch die Form des Floßes (regelmäßiges Sechseck) wird das Gewicht der Forschungsstation außerdem gleichmäßig auf die umstehenden Bäume verteilt. Es handelt sich um 6 gleichseitige Dreiecke. Jedes der sechs Dreiecke besitzt eine Fläche von etwa 80 m 2; somit bedeckt das Baumfloß eine Fläche von ca. 480 m 2.

Kleine Schwerstarbeiter Wenn eine 0,003 g (=3 Milligramm) leichte Ameise ein 0,2 g schweres Blattstück trägt (Werte siehe Abbildung), so transportiert sie das 67Fache ihres eigenen Körpergewichts. Ein Schüler mit einem Körpergewicht von 40 kg müsste dann ein 2680 kg schweres Gewicht schleppen, das entspricht einem schweren Geländewagen. Dieses Gewicht trägt eine Ameise viele Male am Tag! Wie man der Abbildung auf Seite 163 entnehmen kann, sind die Bäume im tropischen Regenwald im Schnitt 30 bis 40 m hoch. Um eine Höhe von 30 m zu erreichen, erklettert die Ameise bei einer Körperlänge von nur 0,9 cm (= 9 mm) das 3333Fache ihrer eigenen Körperlänge. Ein Schüler müsste, bei einer Körpergröße von 1,50 m, entsprechend 5 km weit laufen (und 5 km auch wieder zurück). Auch dieser Vorgang wiederholt sich bei der Ameise mehrmals am Tag! Jeden Tag verarbeitet eine Ameisenkolonie rund 16,4 kg Blätter. Pro Ameise sind das etwa 0,008 g (= 8 mg), was fast dem 3Fachen des eigenen Körpergewichts entspricht. Ein Schüler müsste so ca. 110 kg Material verarbeiten.

Grüne Riesen Die Bäume der tropischen Regenwälder ragen zwischen 30 m und 60 m hoch empor (so genannte Baumriesen). In der obersten Höhenstufe sind der Lichteinfall und die Temperatur mit 35 °C recht hoch, da hier die Sonnenstrahlen ungehindert einfallen. Dafür gibt es dort eine geringe Luftfeuchtigkeit und wenig Tiere. Die Tierwelt ist in den Höhenstufen zwischen 30 und 40 m am stärksten vertreten, da hier die Baumschicht ein geschlossenes Blätterdach hat (d. h. Schutz vor der Sonne). Aber auch am Boden in der nahrungsreichen Strauch und Krautschicht leben viele Tiere. Die Luftfeuchtigkeit nimmt zum Boden hin immer weiter zu. Es gibt sogar Luftwurzeln, die diese Feuchtigkeit aus der Luft ziehen. Man spricht auch vom „immerfeuchten“ Regenwald. Es gelangt nur sehr wenig Sonnenlicht in Bodennähe. Am Boden ist es zudem mit 25 °C rund 10 °C kühler als in den oberen Höhenstufen. Steigt ein Baumsteigerfrosch von 20 m in 40 m Höhe auf, so wird es wesentlich heller, wärmer (> 30 °C), trockener und artenreicher. Fällt er auf den Boden, wird es dunkel, kühler (< 25 °C), feuchter und auch wieder artenreicher. Für den Frosch ist es jedoch auf dem Boden gefährlicher, da hier seine Feinde leben! Individuelle Lösungen.


L 84 Treffpunkte

Einzigartig und unwiederbringlich Während einer 45minütigen Unterrichtsstunde werden weltweit ca. 3420 Fußballfelder an tropischen Regenwald zerstört; dies entspricht 1710 ha oder 17,1 km 2. Bei einer Zerstörung von 1,5 Mio. ha und einer Gesamtfläche von 530 Mio. ha wird pro Jahr 0,28 % des brasilianischen Tropenwaldes unwiederbringlich zerstört. Geht man von einer doppelt so schnellen Zerstörungsgeschwindigkeit aus, wie es die Satellitenaufnahmen gezeigt haben, so sind es sogar 0,56 %. Bei gleich bleibender hoher Zerstörungsgeschwindigkeit ist der Regenwald in Brasilien in etwa 170 bis 180 Jahren völlig zerstört, falls man von einer jährlichen Zerstörung von 3 Mio. ha Regenwald ausgeht bzw. in 350 bis 360 Jahren, wenn man die Zerstörung von 1,5 Mio. ha zugrunde legt.mögliches Schaubild:

Bei einer Vernichtung von 1 500 000 ha = 15 000 km 2 im Jahr wäre halb NRW in einem Jahr zerstört. Werden sogar 30 000 km 2 pro Jahr zerstört, so entspricht dies nahezu der Gesamtfläche von NRW. Somit ist nach knapp 24 bzw. 12 Jahren eine Fläche der Größe Deutschlands vernichtet.Geht man von der Angabe aus, dass pro Minute weltweit 76 Fußballfelder, also 76 ha Regenwald vernichtet wird, so ergibt dies pro Jahr einen Wert von 20 000 000 ha (= 200 000 km 2)! Dies ist fast die 6Fache Fläche von NRW und weit mehr als die Hälfte der Fläche Deutschlands. Die heutige Fläche von 530 Mio. Hektar Regenwald entspricht 4 _

5 der ursprünglichen Fläche. Der Amazonasregenwald war ursprünglich über 662,5 Mio. ha, also 6,625 Mio. km 2 groß.

… und jetzt Demo!Individuelle Lösungen und Aktivitäten.

Treffpunkt Erfindungen – Ideen verändern die Welt

Seiten 164 und 165

Das erste funktionierende Benzinauto Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 14,5 km/h bräuchte Karl Benz für die 1234 km lange Fahrtstrecke etwa 85 Stunden. Da er pro Tag nur maximal 10 Stunden fahren kann, beträgt die Fahrtdauer etwa 8,5 Tage.Gottlieb Daimler bräuchte für die gleiche Strecke etwa 103 Stunden. Unter der Voraussetzung, dass er ebenfalls maximal 10 Stunden täglich fährt, wäre er etwa 11 Tage unterwegs.Die Fahrtzeit vom eigenen Wohnort nach Berlin hängt von der Wahl des Verkehrsmittels (Auto, Bahn, Flugzeug, Motorrad, …) und der jeweiligen Entfernung ab. Die entsprechenden Daten sind individuell zu ermitteln. Nutzt man das Internet, lassen sich auf den Seiten der Deutschen Bundesbahn, der Fluggesellschaften oder mit einem Routenplaner die Fahr bzw. Flugzeiten ungefähr ermitteln. Düsenjet: in 10 Minuten etwa 160 km, somit ca. 960 km/h Intercity: in 30 Minuten etwa 120 km, somit ca. 240 km/h Auto im Stadtverkehr: ca. 40 km/h Motorwagen von Benz: ca. Å6 km/h Mensch: ca. 5 km/h Wie den Zahlenangaben des Bildes zu entnehmen ist, gilt: 0,63 kW = 0,85 PS. Das heißt: 1 PS =

0,63

_ 0,85 kW; somit entspricht

1 PS ≈ 0,74 kW.Umgekehrt gilt: 1 kW =

0,85

_ 0,63 kW, also 1 kW ≈ 1,35 PS.

Faustregeln:Dreiviertel des Wertes (oder auch das 0,75Fache) der PSZahl ergibt die KilowattZahl.Die KilowattAngabe und ein Drittel dieser Angabe dazu (oder auch 4 _

3 mal die kWZahl) ergibt die Angabe in PS.

Die Büroklammer Angenommen, eine Person steckt im Schnitt 8 Büroklammern pro Minute zusammen. Unter dieser Voraussetzung schaffte eine Schulklasse mit 30 Schülerinnen und Schülern 240 Büroklammern pro Minute und bräuchte für 10 000 Büroklammern etwa 42 Minuten.Geben Schülerinnen und Schüler vorzeitig auf, so verlängert sich natürlich die Zeit zum Zusammenstecken von 10 000 Klammern. Beispiel: Angenommen, nach 15 Minuten geben 8 Personen auf. In den ersten 15 Minuten haben 30 Personen 3600 Büroklammern zusammengesteckt. Es verbleiben 6400 Klammern, die nun nur


Treffpunkte L 85

noch von 22 Personen zusammengesteckt werden können. Dazu brauchen sie 36 Minuten und 22 Sekunden, also etwa 37 Minuten. Zusammen mit den ersten 15 Minuten ergibt das eine Gesamtdauer von etwa 52 Minuten. Die Zeit zum Zusammenstecken verlängert sich um ca. 10 Minuten. Während des 30minütigen Aufenthalts von fünf Klassenmitgliedern bei der Schulleitung schafft der Rest der Klasse (25 Personen) 6000 Klammern, die übrigen 4000 Klammern werden von 30 Personen in 16 Minuten und 42 Sekunden (16,7 Minuten) zusammengesteckt. Damit ergibt sich eine Gesamtzeit von 30 Minuten + 16 Minuten 42 Sekunden, das macht 46 Minuten und 42 Sekunden, also knapp 5 Minuten mehr als ohne Gang zur Schulleitung.Alternative Rechnung: Fünf Klassenmitglieder schaffen in 30 Minuten 1200 Klammern. Die liegen gebliebenen 1200 Klammern werden von 30 Schülerinnen und Schülern in etwa 5 Minuten zusammengesteckt. Um diese Zeit verlängert sich die Gesamtzeit. Das Rechteck aus Büroklammern ist 2·3 cm + 2·1 cm = 8 cm lang und 1·3 cm = 3 cm breit.Für 10 000 Büroklammern muss das abgebildete Rechteck 1250mal gelegt werden. Das geht auf folgende Arten: 1·1250, 2·625, 5·250, 10·125, 25·50 und umgekehrt 1250·1, 625·2 usw. Ein Quadrat aus genau 10 000 Büroklammern zu legen ist unmöglich. Das kleinste Quadrat aus Büroklammern besteht aus drei an der Längsseite zusammengelegten Klammern; die Kantenlänge dieses Quadrats ist 3 cm. Das nächst größere Quadrat besteht aus 4 der kleinen Quadrate; es hat eine Kantenlänge von 6 cm und besteht aus 4·3 = 12 Büroklammern. Da 10 000 kein Vielfaches von 3 ist, kann es kein Quadrat aus 10 000 Klammern geben. Es bleibt mindestens eine Büroklammer übrig. Individuelle Lösungen.

Coca-Cola Der Kolabaum gehört zur Gattung der Malvengewächse, wird 10–20 m hoch, trägt ganzjährig Früchte und Blüten. In der Kolafrucht befinden sich bis zu 10 Kolanüsse. Kolabäume wachsen in den ganzen Tropen (Nigeria, Brasilien). Kolanüsse enthalten mehr Koffein als Kaffee. Ursprünglich wurden sie zur Herstellung von CocaCola benutzt. In den Herkunftsgebieten der Kolafrucht, werden die Kolanüsse oft bis zu einer Stunde im Mund gekaut, um die anregende Wirkung zu erzielen.Das Originalrezept des Colakonzentrats war lange Zeit ein großes Geheimnis. Heute ist bekannt, dass der Colamix aus Wasser, Zucker, Kohlensäure, Zuckercouleur, Phosphorsäure, Zitronensäure, Kolasamenextrakt, Destillaten von Limetten und Zitroneschalen sowie Kakao und Kaffee und außerdem

Frucht und Kräutertinkturen (darunter auch ein Extrakt der Muskatnuss) besteht. Individuelle Lösungen; verwendet zur Darstellung zum Beispiel ein Balkendiagramm und tragt ein, wie viele Schülerinnen und Schüler keine Cola, einen halben, einen, zwei, drei … Liter Cola trinken. Ihr könnt zusätzlich bestimmen, wie viel Cola durchschnittlich getrunken wird oder wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler gar keine Cola trinken. In 46 Liter Cola sind 5060 g = 5 kg 60 g Zucker. Das entspricht bei einem Würfelzuckergewicht von 4 g pro Stück einer Anzahl von 1265 Stücken Würfelzucker. Aneinander gelegt ergibt das eine Zuckerstange von etwa 13 m Länge!

Die erste mechanische Uhr Die Antriebswelle (unten) dreht sich in einer Stunde 1mal. Der Minutenzeiger, der von dieser Antriebswelle direkt angetrieben wird, dreht sich daher ebenfalls 1mal in einer Stunde. Das Minutenrad ist mit der Antriebswelle fest verbunden, das Stundenrad ist auf die Antriebswelle gesteckt, wird von ihr aber nicht direkt angetrieben. Der Antrieb des Stundenrades erfolgt über das Zahnradgetriebe, das die Gesamtübersetzung von 1 _

12 besitzt. Dreht der Minutenzeiger sich komplett, greifen seine 10 Zähne (kleines Zahnrad unten links) in 10 Zähne des Zahnrades unten rechts. Da dieses Zahnrad 30 Zähne hat, dreht es sich um 1 _

3 . Das kleinere Zahnrad (rechts oben), mit dem es fest verbunden ist, dreht sich auch um ein Drittel, also zwei Zähne, weiter. Dieses kleine Zahnrad dreht das Stundenrad (links oben) ebenfalls um zwei Zähne weiter. Da das Stundenrad 24 Zähne hat wird es also um 1 _

12 gedreht. Die Gesamtübersetzung des Zahnradgetriebes ist: Ü (Min., Std.) = 2 – 10

_

30 3 · 2 – 6 _ 24 3 = 2 – 1 _

3 3 · 2 – 1 _ 4 3 = 2  1 _

12 3 . Damit macht das Stundenrad und damit der Stundenzeiger bei einer Umdrehung des Minutenzeigers 1 _

12 Drehung, also dreht sich bei 12 Umdrehungen des Minutenrades das Stundenrad 1mal. Für den Sekundenzeiger muss ein zusätzliches Getriebe mit der Übersetzung Ü (Min., Sek.) = 60 konstruiert werden.

Der Füller Zählt, wie viele Tintenpatronen ihr in eurer Klasse in der Woche verbraucht. Berechnet dann, wie viele Tintenpatronen von allen Schülerinnen und Schülern an eurer Schule in einer Woche verbraucht werden. Überlegt euch, wie viele Wochen Unterricht ihr im Jahr habt und berechnet die Anzahl der Tintenpatronen für diesen Zeitraum. Erkundigt euch, wieviel Tintenpatronen bzw. ein Tintenglas kosten. Vergleicht die Kosten für jede Schülerin bzw. jeden Schüler und für alle Schülerin


L 86 Treffpunkte

nen und Schüler in einem Jahr, wenn alle nur Tintenpatronen oder alle nur Tintengläser verwenden.Schätzt ab, welches Volumen 60 Tintenpatronen oder ein Tintenglas haben. Vereinfachend könnt ihr das Volumen der Packungen von 6 Tintenpatronen oder einem Tintenglas berechnen. Berechnet, wie viel Abfall jeder einzelne produziert, wenn er nur Tintenpatronen oder nur Tintengläser benutzt. Berechnet das Abfallvolumen auch für alle Schülerinnen und Schüler. Beachtet, dass ihr Tintengläser auch recyceln könnt.

… und jetzt eine Reise in die Vergangenheit!Individuelle Lösungen und Aktivitäten.

Treffpunkt Gesundheit und Ernährung – Fit for life

Seiten 166 und 167

Was der Körper braucht Ihr könnt euch an der im Buch angefangenen Mindmap orientieren. Sicher fallen euch zur ausgewogenen und unausgewogenen Ernährung noch mehr Beispiele ein. Anregungen findet ihr auch im Internet oder in Broschüren der verschiedenen Krankenversicherungen. Die Bestimmung des Nährstoffbedarfs hängt vom eigenen Körpergewicht x ab.

Nährstoff Gramm Kilojoule

Fett 0,8·x ¥·3å,8

Eiweiß 0,9·x ¥·Å6,å

Kohlenhydrate 5 ·x ¥·Å6,å

Diese errechneten Werte geben nur einen Aufschluss darüber, wie viel von den einzelnen Nährstoffen die Jugendlichen gegenwärtig zu sich neh men. Sie geben keinen Aufschluss darüber, ob sie zu viel oder zu wenig von den Nährstoffen aufnehmen. Interessant in diesem Zusammenhang ist der tatsächliche Nährstoffbedarf eines Jugendlichen in diesem Alter: Der tägliche Energiebedarf eines männlichen Jugendlichen zwischen 13 und 15 Jahren beträgt 10 000 kJ, der eines weiblichen 8800 kJ.Problematisch ist bei dieser Angabe, die man in den meisten Ernährungstabellen findet, dass die Körpergröße unberücksichtigt bleibt. Um diesen Fehler zu vermeiden und einen genaueren Gewichtszustand zu erfassen, wird der so genannte „Körpermassenindex“ (englisch: BodyMassIndex, BMI) verwendet.

BMI = Körpergewicht (kg)

____ Körperhöhe (m) · Körperhöhe (m)

BMI< 20 Untergewicht20–24,9 Normalgewicht25–29,9 Übergewicht30–39,9 Fettsucht> 40 extreme Fettsucht Der Vergleich zwischen dem Gewicht der Schüler mit dem eines Erwachsenen wird relativ unterschiedlich ausfallen. Es wird davon abhängen, wie groß jeder einzelne Schüler bzw. Erwachsene ist. Allgemein wird man feststellen, dass ein Erwachsener aufgrund seiner Körpergröße durchschnittlich einen größeren Nährstoffverbrauch hat als ein Jugendlicher. Nach heutigen Empfehlungen soll eine erwachsene Frau etwa 2000 kcal = 8400 kJ, ein erwachsener Mann 2500 kcal = 10 500 kJ zu sich nehmen. Verrichtet man schwere Arbeit, kann dieser Bedarf um 500 kcal = 2100 kJ höher liegen.

RandspalteVitamine und Mineralstoffe sorgen z. B. für die Stabilität der Knochen, erhalten die Sehkraft und stärken das Immunsystem sowie die Nerven. Generell werden Vitamine und Mineralstoffe benötigt, damit die vielen chemischen Prozesse im Körper ablaufen können.Ballaststoffe regen die Darmarbeit an.Wasser ist nötig, um das Blut „dünn“ zu halten, es dient dem Transport und ist Lösungsmittel für verschiedene Stoffe im Körper, es reguliert die Körpertemperatur und „reinigt“ die Nieren.

Versteckter Zucker Individuelle Lösungen, Richtwert: Ein Würfel Zucker wiegt etwa 4 g. Bei einem Körpergewicht von 40 kg kann man also 60 Gramm Zucker zu sich nehmen, das entspricht aber nur der Hälfte des durchschnittlichen täglichen Konsums. Der Zuckerkonsum wird oft unterschätzt, da man nur an Süßigkeiten denkt. Zucker steckt aber zum Beispiel auch in Ketchup, Fruchtjoghurt, Salatsoßen, Obstsäften. Ihr könnt zum Beispiel den Zuckergehalt von Cola oder anderen Limonaden, Elektrolytgetränken, Obstsäften, Fruchtschorlen vergleichen.

Unsere Energielieferanten Beispiel Haselnusscreme:


Treffpunkte L 87

mögliche Lösung:

Gesunde Lebensmittel haben meistens weniger Fett und deshalb auch insgesamt eine geringere Energiemenge. Aber auch Fette gehören zur täglichen Ernährung. Ob sie „gesund“ sind hängt dann von der Menge der gesättigten und ungesättigten Fettsäuren ab. Die Reihenfolge auf einer Verpackung ist gesetzlich festgelegt. Sie entspricht dem Anteil der genannten Zutat im Lebensmittel.

Leckere Flüssigkeitsspender Wassermelone: 3,22·100 : 3,5 = 92 % WasserErdbeere: 222,75·100 : 250 = 89,1 %Apfel: 79,8·100 : 95 = 84 %Banane: 336,6·100 : 450 = 74,8 % Mais: 57,75·100 : 75 = 77 %Tomaten: 46,9·100 : 50 = 93,8 %Kohl: 107,5·100 : 125 = 86 %Kartoffeln: 390·100 : 500 = 78 %Wasserspender Nr. 1 sind die Wassermelone und die Tomate. mögliche Lösung:

Chantal muss etwa 1 bis 2 Liter Flüssigkeitsbedarf durch Nahrungsmittel decken. Am besten eignen sich Gemüse und Obst neben dem üblichen Mittag und Abendessen (siehe Werte aus der vorhergehenden Teilaufgabe). Individuelle Lösung.

Eiserne Energiekiller Energiebedarf beim Schwimmen: 95 Min. × 48,72 kJ/Min. = 4628,40 kJRadfahren: 360 Min. × 63 kJ/Min. = 22 680 kJLaufen: 225 Min. × 49,14 kJ/Min. = 11 056,50 kJEnergieverbrauch insgesamt: 38 364,90 kJ ≈ 9100 kcal Kartoffeln (318 kJ/100 g): 38 364,90 : 318 = 120, also wären es 12 000 g bzw. 12 kg Kartoffeln oder Nudeln (1544 kJ/100 g): 38 364,90 : 1544 = 24,85, also wären es 2485 g bzw. fast 2,5 kg Nudeln.Da es für einen Triathleten nicht möglich ist, diese Energiemengen beim Laufen aufzunehmen, werden die Triathleten mit MineralienKohlenhydratGetränken, Cola und Bananen versorgt. Um die gleiche Energiemenge wie ein Ironman zu verbrennen, könnte man 38 364,9 : 273 = 140,5 Stunden schlafen, oder ca. 46 Stunden gehen, oder 119 Stunden liegen. Individuelle Lösung.

… und jetzt ran an die Essgewohnheiten Individuelle Lösung. Bestimmung der prozentualen Anteile im Ernährungskreis:Å Getreide, Getreideprodukte und Kartoffeln 25 %2 Gemüse und Hülsenfrüchte 25 %3 Obst 12,5 %4 Getränke 12,5 % 5 Milch und Milchprodukte 12,5 %6 Fisch, Fleisch und Eier 8,5 %7 Fette und Öle 4 %

mögliche grafische Darstellung:

Besonders geeignet ist ein Säulen oder ein Streifendiagramm, da sich die Anteile schneller und genauer als in einem Kreisdiagramm erfassen lassen. Individuelle Lösung.


ISBN 978-3-12-742388-4

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