Schriftliche Übung Mathematik Mi 10R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013 Erstellt von R. Brinkmann...

R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013

Erstellt von R. Brinkmann sg15d_05_06_ka_03_e 15.05.2006 14:16 1 von 13

Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Do 11.05.06SG15D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen. 1. Wissensfragen. a) Woran erkennt man Punktsymmetrie bei einer ganzrationalen Funktion? Notieren Sie dazu eine Beispielfunktion. b) Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen? c) Sie sollen die Extrempunkte einer Ganzrationalen Funktion bestimmen. Beschreiben Sie Schritt für Schritt, wie Sie dabei vorgehen. Zu 1 a) Punktsymmetrie liegt vor, wenn es in der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten gibt. Beispiel: ( ) 3f x x x= + Zu 1 b) Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion hängt von ihrem Grad ab. Grad gerade: f(x) hat höchstens n Nullstellen Grad ungerade: f(x) hat mind. eine aber höchstens n Nullstellen. Zu 1 c) - Bilde die ersten zwei Ableitungen f’(x) und f’’(x) - Setze f’(x) = 0 und bestimme die Stellen ( x – Werte) mit waagerechten Tangenten. - Setze die x – Werte in f’’(x) ein und entscheide ob ein Extrempunkt vorliegt und welcher Art er ist. f’’(x) > 0 rel. Min. bzw. f’’(x) < 0 rel. Max. - Setze die x – Werte in die Funktionsgleichung ein und berechne die Extremwerte. 2. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4Gegeben sind die Punkte P 3 | 8 ; P 1| 8 ; P 3 | 8 ; P 5 | 8− − − − a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Bestimmen Sie die Extrempunkte. c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.

(Finden Sie eine Nullstelle über das Horner-Schema) d) Bestimmen Sie zusätzlich die Funktionswerte für f( -2 ) , f(2) und f(4)

und tragen Sie alle bekannten Wertepaare in eine Wertetabelle ein. e) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( ) 3 21 3 9 11Kontrollergebnis: f x x x x2 2 2 2

= − − +



Zu 2 a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 23 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

0 1 2 3

f x a x a x a x a

P 3 | 8 f 3 27a 9a 3a 1a 8

P 1| 8 f 1 1a 1a 1a 1a 8

P 3 | 8 f 3 27a 9a 3a 1a 8

P 5 | 8 f 5 125a 25a 5a 1a 8a a a a1 3 9 27 81 1 1 1 8 II I1 3 9 27 8 II I1 5 25 125 8 II I1 3 9

= + + +

− − ⇒ − = − + − + = −

− ⇒ − = − + − + =

− ⇒ = + + + = −

⇒ = + + + =

− − −− − −

− −−

− −

3 3

2 3

2

12a 1 a2

a a 227 81 40 2 8 26 16 |: 2 a20 6 0 54 0 |: 6

0 8 16 152 16 |: 81 3 9 27 80 1 4 13 80 1 0 9 0 III II0 1 2 19 2 IV II1 3 9 27 80 1 4 13 80 0 4 4 8 |: 40 0 6 6 6 |: 61 3 9 27 80 1 4 13 80 0 1 1 20 0 1 1 1 IV III1 3 9 27 80 1 4 13 80 0 1 1 20 0 0 2 1

= ⇒ =

− = −−

− ⇔ − = −

− − −−

−−

− − −−

− −−

− − −−

− −− −

− − −−

− −

( )

2

1 2 3

1

1

0 1 2 3

0

0

3 2

1|2 2

3a2

a 4a 13a 813 13a 6 8| 62 2

9a2

a 3a 9a 27a 827 27 27 16 27a |2 2 2 2 211a2

1 3 9 11f x x x x2 2 2 2

+

⇔ = −

− + =

⇔ + + = − −

⇔ = −

− + − = −

⇔ + − − = − +

⇔ =

= − − +



Zu 2 b)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

3 2 2

2

2

2

11/ 2

2

1 1

Extrempunkte :1 3 9 11 3 9f x x x x f ' x x 3x f '' x 3x 32 2 2 2 2 2

3 9 3f ' x 0 x 3x 0|:2 2 2

x 2x 3 0

pp 2;q 3 D q 1 3 4 D 4 22

x 1 2 3px Dx 1 2 12

f '' x f '' 3 6 0 rel. Min. bei x 3

f ''

= − − + ⇒ = − − ⇒ = −

= ⇔ − − =

⇔ − − =

⎛ ⎞= − = − ⇒ = − = + = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠= + =

= − ±= − = −

= = > ⇒ =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 min

2 max

x f '' 1 6 0 rel. Max. bei x 1

f x f 3 8 P 3 | 8

f x f 1 8 P 1| 8

= − = − < ⇒ = −

= = − ⇒ −

= − = ⇒ −

Zu 2 c)

( )

( )

( )

( )

3 2

y y

3 2

1

2 2

1 3 9 11Achsenschnittpunkte von f x x x x2 2 2 2

11 11P :f 0 P 0 |2 2

1 3 9 11Nullstellen : f x 0 x x x 02 2 2 2

1 3 9 112 2 2 2

1 2 11x 1 x 12 2 2

1 2 11 0 f 12 2 2

1 11Re stpolynom : x x 0 x 2x 11 02 2

pp 2;q 11 D2

= − − +

⎛ ⎞= ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇔ − − + =

− −

= ↓ − − ⇒ =

− − =

− − = ⇔ − − =

⎛ ⎞= − = − ⇒ = ⎜⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

2

12 / 3

2

x1 x2 x3

q 1 11 12 D 12

x 1 12 4,46px D2 x 1 12 2,46

P 1| 0 ;P 1 12 4,46 | 0 ;P 1 12 2,46 | 0

− = + = ⇒ =⎟

= + ≈= − ±

= − ≈ −

+ ≈ − ≈ −



Zu 2 d)

( )

( )

( )

( )

1 x3 2 max y x1 3 min x2 4

11f 2 4 6 9 4,52

11f 2 4 6 9 5,52

11f 4 32 24 18 4,52

P P P /P P P P /P P P

x 3 2,46 2 1 0 1 2 3 4 4,46 5f x 8 0 4,5 8 5,5 0 5,5 8 4,5 0 8

− = − − + + =

= − − + = −

= − − + = −

− − − −− − − −

Zu 2 e)

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

987654321

123456789

f x( )

Y

x X,

Probe:

f x1( ) 8−=

f x2( ) 8=

f x3( ) 8−=

f x4( ) 8=

3 2 5



3. Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve beim Speerwurf

( ) 37 21f x x x für x 0250 10

Maßstab: Eine Einheit in x Richtung bedeutet 10m Eine Einheit in y Richtung bedeutet 1m

= − + >

−−

a) Welche maximale Höhe erreicht der Speer und wie weit ist er dann vom

Abwurfpunkt entfernt? b) Wie weit vom Abwurfpunkt kommt der Speer wieder auf den Boden? c) Welche Höhe hat der Speer in 70 m Entfernung vom Abwurfpunkt? Zu 3a)

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

3 2

21/ 2

max

7 21 21 21 21f x x x f ' x x f '' x x250 10 250 10 125

21 21f ' x 0 x 0 x 5250 10

nur x 5 zählt, da x 0 sein sollf '' 5 25 0 rel. Max. für x 5

f 5 7 P 5 | 7

x 5 bedeutet 50 mDer Speer erreicht eine maximale Höh

= − + ⇒ = − + ⇒ = −

= ⇔ − + = ⇔ = ±

= >

= − < ⇒ =

= ⇒

=e von 7 m.

Er ist dann 50 m vom Abwurfpunkt entfernt.

Zu 3 b)

( )

( )

3

3 21

1

22 / 3

7 21f x x x250 10

7 21 7 21f x 0 x x 0 x x 0 x 0250 10 250 10

x 0 ist die Abwurfstelle7 21x 0 x 75 8,66

250 10nur die positive Lösung ist zu verwenden, da x 0 giltx 8,66 bedeutet 86,6 mDer Spee

= − +

⎛ ⎞= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

− + = ⇔ = ± ≈ ±

>=

r kommt 86,6 m von der Abwurfstelle wieder auf den Boden.

f x( )

x



Zu 3 c)

( )

( )

37 21f x x x250 10

70m bedeutet x 7f 7 5,096Der Speer hat in einer Entfernung von 70m von der Abwurfstelle eine Höhe von 5,096m

= − +

=

=

Viel Erfolg !!



Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Do 11.05.06SG15D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen. 1. Wissensfragen. a) Woran erkennt man Achsensymmetrie bei einer ganzrationalen Funktion? Notieren Sie dazu eine Beispielfunktion. b) Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen? c) Sie sollen die Extrempunkte einer Ganzrationalen Funktion bestimmen. Beschreiben Sie Schritt für Schritt, wie Sie dabei vorgehen. Zu 1 a) Achsensymmetrie liegt vor, wenn es in der Funktionsgleichung nur gerade Exponenten gibt. Beispiel: ( ) 4 2f x x x 2= + + Zu 1 b) Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion hängt von ihrem Grad ab. Grad gerade: f(x) hat höchstens n Nullstellen Grad ungerade: f(x) hat mind. eine aber höchstens n Nullstellen. Zu 1 c) - Bilde die ersten zwei Ableitungen f’(x) und f’’(x) - Setze f’(x) = 0 und bestimme die Stellen ( x – Werte) mit waagerechten Tangenten. - Setze die x – Werte in f’’(x) ein und entscheide ob ein Extrempunkt vorliegt und welcher Art er ist. f’’(x) > 0 rel. Min. bzw. f’’(x) < 0 rel. Max. - Setze die x – Werte in die Funktionsgleichung ein und berechne die Extremwerte.



2. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4Gegeben sind die Punkte P 3 | 8 ; P 1| 8 ; P 3 | 8 ; P 5 | 8− − − − a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Bestimmen Sie die Extrempunkte. c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.

(Finden Sie eine Nullstelle über das Horner-Schema) d) Bestimmen Sie zusätzlich die Funktionswerte für f( -2 ) , f(2) und f(4)

und tragen Sie alle bekannten Wertepaare in eine Wertetabelle ein. e) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( ) 3 21 3 9 11Kontrollergebnis: f x x x x2 2 2 2

= − + + −



Zu 2 a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 23 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

0 1 2 3

f x a x a x a x a

P 3 | 8 f 3 27a 9a 3a 1a 8

P 1| 8 f 1 1a 1a 1a 1a 8

P 3 | 8 f 3 27a 9a 3a 1a 8

P 5 | 8 f 5 125a 25a 5a 1a 8a a a a1 3 9 27 81 1 1 1 8 II I1 3 9 27 8 II I1 5 25 125 8 II I1 3 9

= + + +

− ⇒ − = − + − + =

− − ⇒ − = − + − + = −

⇒ = + + + =

− ⇒ = + + + = −

− −− − − −

−− −

− −

3 3

2 3

2

12a 1 a2

a a 227 81 40 2 8 26 16 |: 2 a |2 20 6 0 54 0 |: 6

0 8 16 152 16 |: 81 3 9 27 80 1 4 13 80 1 0 9 0 III II0 1 2 19 2 IV II1 3 9 27 80 1 4 13 80 0 4 4 8 |: 40 0 6 6 6 |: 61 3 9 27 80 1 4 13 80 0 1 1 20 0 1 1 1 IV III1 3 9 27 80 1 4 13 80 0 1 1 20 0 0 2 1

= − ⇒ = −

− =

− − ⇔ + =

−− −

− −−

− −− −

− −−

− −− −

−−

− −− −

−−

( )

2

1 2 3

1

1

0 1 2 3

0

0

3 2

12

3a2

a 4a 13a 813 13a 6 8| 62 2

9a2

a 3a 9a 27a 827 27 27 16 27a |2 2 2 2 2

11a2

1 3 9 11f x x x x2 2 2 2

−

⇔ =

− + = −

⇔ − − = − + +

⇔ =

− + − =

⇔ − + + = −

⇔ = −

= − + + −



Zu 2 b)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

3 2 2

2

2

2

11/ 2

2

1

Extrempunkte :1 3 9 11 3 9f x x x x f ' x x 3x f '' x 3x 32 2 2 2 2 2

3 9 3f ' x 0 x 3x 0|:2 2 2

x 2x 3 0

pp 2;q 3 D q 1 3 4 D 4 22

x 1 2 3px Dx 1 2 12

f '' x f '' 3 6 0 rel. Max.

= − + + − ⇒ = − + + ⇒ = − +

⎛ ⎞= ⇔ − + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ − − =

⎛ ⎞= − = − ⇒ = − = + = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠= + =

= − ±= − = −

= = − < ⇒

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 2

1 max

2 min

bei x 3

f '' x f '' 1 6 0 rel. Min. bei x 1

f x f 3 8 P 3 | 8

f x f 1 8 P 1| 8

=

= − = > ⇒ = −

= = ⇒

= − = − ⇒ − −

Zu 2 c)

( )

( )

( )

( )

3 2

y y

3 2

1

2 2

1 3 9 11Achsenschnittpunkte von f x x x x2 2 2 2

11 11P :f 0 P 0 |2 2

1 3 9 11Nullstellen : f x 0 x x x 02 2 2 2

1 3 9 112 2 2 2

1 2 11x 1 x 12 2 2

1 2 11 0 f 12 2 2

1 11Re stpolynom : x x 0 x 2x 11 02 2

pp 2;q 11 D2

= − + + −

⎛ ⎞= − ⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇔ − + + − =

− −

= ↓ − ⇒ =

− =

− + + = ⇔ − − =

⎛= − = − ⇒ =⎝

( ) ( ) ( )

2

12 / 3

2

x1 x2 x3

q 1 11 12 D 12

x 1 12 4,46px D2 x 1 12 2,46

P 1| 0 ;P 1 12 4,46 | 0 ;P 1 12 2,46 | 0

⎞ − = + = ⇒ =⎜ ⎟⎠

= + ≈= − ±

= − ≈ −

+ ≈ − ≈ −



Zu 2 d)

( )

( )

( )

( )

1 x3 2 min y x1 3 max x2 4

11f 2 4 6 9 4,5211f 2 4 6 9 5,52

11f 4 32 24 18 4,52

P P P /P P P P /P P P

x 3 2,46 2 1 0 1 2 3 4 4,46 5f x 8 0 4,5 8 5,5 0 5,5 8 4,5 0 8

− = + − − = −

= − + + − =

= − + + − =

− − − −− − − −

Zu 2 e)

3. Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve beim Speerwurf

( ) 33 9f x x x für x 064 4

Maßstab: Eine Einheit in x Richtung bedeutet 10m Eine Einheit in y Richtung bedeutet 1m

= − + >

−−

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

987654321

123456789

f x( )

Y

x X,

Probe:

f x1( ) 8=

f x2( ) 8−=

f x3( ) 8=

f x4( ) 8−=

3 2 5



a) Welche maximale Höhe erreicht der Speer und wie weit ist er dann vom

Abwurfpunkt entfernt? b) Wie weit vom Abwurfpunkt kommt der Speer wieder auf den Boden? c) Welche Höhe hat der Speer in 60 m Entfernung vom Abwurfpunkt? Zu 3a)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

3 2

21/ 2

max

3 9 9 9 9f x x x f ' x x f '' x x64 4 64 4 32

9 9f ' x 0 x 0 x 464 4

nur x 4 zählt, da x 0 sein soll9f '' 4 0 rel. Max. für x 48

f 4 6 P 4 | 6

x 4 bedeutet 40 mDer Speer erreicht eine maximale Höhe von 6 m.Er

= − + ⇒ = − + ⇒ = −

= ⇔ − + = ⇔ = ±

= >

= − < ⇒ =

= ⇒

=

ist dann 40 m vom Abwurfpunkt entfernt.

Zu 3 b)

( )

( )

3

3 21

1

22 / 3

3 9f x x x64 4

3 9 3 9f x 0 x x 0 x x 0 x 064 4 64 4

x 0 ist die Abwurfstelle3 9x 0 x 48 6,9364 4

nur die positive Lösung ist zu verwenden, da x 0 giltx 6,93 bedeutet 69,3 mDer Speer kommt 69,3

= − +

⎛ ⎞= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

− + = ⇔ = ± ≈ ±

>=

m von der Abwurfstelle wieder auf den Boden.

f x( )

x



Zu 3 c)

( )

( )

33 9f x x x64 4

60m bedeutet x 6f 6 3,275Der Speer hat in einer Entfernung von 60m von der Abwurfstelle eine Höhe von 3,375m

= − +

=

=

Viel Erfolg !!

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