Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 02.07 · Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik...

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnikam 02.07.2019

Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:

Aufgabe A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 Summe

erreichbare Punkte 3 2 3 3 2 3 3 2 21

erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Gegeben sei folgender Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangs-größe y:

K P (s)r y

−

Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet

P (s) =1

s(s+ 10)2

und K ist ein positiver reeller Parameter.

a) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme des Frequenzgangs P (jω).

b) Zeichnen Sie mit Hilfe der Bode-Diagramme die Frequenzgangsortskurve.

c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar (d.h. mit Fall-unterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall) dengrößtmöglichen Wertebereich des positiven Parameters K, für den obiger Regel-kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

Aufgabe 2:

Für eine Regelstrecke

P (s) =µ(s)

ν(s)

soll eine Führungsübertragungsfunktion T (s) so bestimmt werden, dass für sprung-förmige Führungsgröße r(t) das Gütekriterium

J =

∫ ∞

0

[r(t)− y(t)]2 + δ [u(t)− u∞]2 dt

minimiert wird. Dabei bezeichnet u∞ den Grenzwert von u(t) für t → ∞. Leidergehen durch einen Festplattendefekt die Daten des Entwurfs verloren. Im Zuge einerDatenrettung kann lediglich rekonstruiert werden, dass

∆(s) = ν(s)ν(−s) +1

δµ(s)µ(−s) = s4 − 20s2 + 64

und

µ(s) = s− 4

gilt.Rekonstruieren Sie aus diesen Informationen die optimale Führungsübertragungs-

funktion. (Hinweis: Es ist nicht notwendig und auch nicht möglich, ν(s) bzw. δ zuermitteln.)


Aufgabe 3:

Für das System

dx

dt= Ax + bu =

[2 11 0

]x +

[21

]u

y = cTx =[1 0

]x.

mit Zustandsvektor x, Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y soll ein Beobachter derForm

dx

dt= Ax + bu+ l(y − y)

y = cT x

entworfen werden. Welche der folgenden Möglichkeiten für den Vektor l sind zulässig?

a) l =[2 0

]Tb) l =

[0 1

]Tc) l =

[8 10

]Td) l =

[5 3

]Te) l =

[3 1

]Tf) l =

[0 2

]TBegründen Sie Ihre Antworten mathematisch.

Aufgabe 4:

Betrachten Sie die lineare zeitinvariante Regelstrecke mit Zustandsvektor x, Eingangs-größe u und Ausgangsgröße y

dx

dt= Ax + bu =

0 1 00 0 1−2 −4 −3

x +

001

uy = cTx =

[2 1 0

]x

a) Berechnen Sie die Streckenübertragungsfunktion P (s) = µ(s)ν(s)

b) Berechnen Sie einen Zustandsregler der Form

u = −kTx + V r

so, dass für die Führungsübertragungsfunktion

T (s) =y(s)

r(s)=

3

s2 + 4s+ 3

gilt.


Aufgabe 5:

Bei klassischen PID-Reglern führt eine sprunghafte Änderung der Führungsgröße inrealen Regelkreisen zu einer sprunghaften Änderung der Stellgröße (durch P-Anteilund D-Anteil). Wie kann das Regelgesetz des PID-Reglers angepasst werden, umdiesem Problem zu begegnen? Zeichnen Sie die Strukturbilder eines I-PD-Reglersund eines PI-D-Reglers.

Aufgabe 6:

Es sei folgendes Zustandsmodell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y, demZustandsvektor x und dem reellen Parameter α gegeben:

dx

dt=

[1 α2 3

]x +

[11

]u.

a) Ermitteln Sie für welche Werte von α das System nicht steuerbar ist.

Es gelte nun α = 4.

b) Ist es möglich, einen Zustandsregler der Form

u = −kTx

so zu berechnen, dass die Dynamik des geschlossenen Regelkreises durch dieEigenwerte bei s1 = −1 und s2 = −2 charakterisiert ist? Wenn ja, geben Sie kT

an.

Aufgabe 7:

Betrachten Sie folgendes zeitdiskretes System zweiter Ordnung mit der Eingangsgrößeuk und dem Zustandsvektor xk:

xk+1 =

[1 23 4

]xk +

[10

]uk.

Bestimmen Sie einen linearen Zustandsregler der Form

uk = −kTxk

so, dassxk = 0, ∀k ≥ 2

unabhängig des Anfangszustandes x0 gilt.


Aufgabe 8:

Betrachten Sie das System

dx

dt=

[1 03 −3

]x +

[11

]u

y =[1 1

]x

mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y. Geben Siealle Ruhelagen des Systems an, die zur Ausgangsgröße y(t) = 5 führen.



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Bei der sogenannten Polvorgabe wird ein Regler

R(s) =b(s)

a(s)(1)

für den Standardregelkreis entworfen indem die Pole der Führungsübertragungsfunk-tion T (s) vorgegeben werden. Der Zähler der Führungsübertragungsfunktion T (s) istdamit auch festgelegt.Zeigen Sie in mathematisch nachvollziehbarer Weise, dass es bei der Polvorgabe fürden Standardregelkreis nie zu einer instabilen Kürzung kommen kann.

Aufgabe 2:

Gegeben sei die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke.

P (s) =1

s3 + 3s+ 1

Es soll nun ein Standardregelkreis so ausgelegt werden, dass seine Führungsübertra-gungsfunktion T (s) das vorgegebene Nennerpolynom

νT (s) = (s+ 1)4(s+ 2) = s5 + 6s4 + 14s3 + 16s2 + 9s+ 2.

besitzt.

a) Ermitteln Sie die Parameter des Reglers

R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0

über die Methode der Polvorgabe.

b) Geben Sie eine Realisierung der Reglerübertragungsfunktion R(s) in der Form

dx

dt= Ax+ by

u = cTx+ dy

an.


Aufgabe 3:

Für ein LZI System

dx

dt= Ax+ bu

y = cTx

soll ein Regler der Formu = −kTx+ V r

entworfen werden. In einem ersten Schritt wird der Parametervektor kT so berechnet,dass die Matrix

(A− bkT )

eine Hurwitzmatrix ist. Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, wie die VerstärkungV gewählt werden muss, damit die Ausgangsgröße y(t) einer konstanten Referenzr(t) = r0 asymptotisch nachgeführt wird.

Aufgabe 4:

Die Übertragungsfunktion eines offenen Standard-Regelkreises

R(s)P (s) = L(s) =0.01

s2 + 0.1s

sei gegeben. Hierbei ist R(s) die Reglerübertragungsfunktion und P (s) die Übertra-gungsfunktion der Strecke.

a) Stellen Sie den Frequenzgang L(jω) in Form von Bode-Diagrammen dar.

b) Ermitteln Sie näherungsweise die zu erwartende Anstiegszeit tr und die Über-schwingweite Mp der Sprungantwort des geschlossenen Kreises.

c) Wird mit dieser Konfiguration stationäre Genauigkeit für konstante Führungs-größen erreicht?


Aufgabe 5:

Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer Strecke mit der Eingangsgröße u,dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y :

dx

dt=

[2 11 0

]x+

[21

]u

y =[1 0

]x.

a) Ermitteln Sie ein Regelgesetz der Form u = −kTx+ V r so, dass die zugehörigeFührungsübertragungsfunktion

T (s) =4

s+ 1

lautet.

b) Ist der geschlossene Regelkreis beobachtbar? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 6:

Gegeben sei folgendes Zustandsraummodell einer Regelstrecke

dx

dt= Ax+ bu =

0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 15 −3 0 −2 11 6 1

x+

0000001

u

a) Ist das System asymptotisch stabil? (Begründen Sie Ihre Antwort! )

b) Ermitteln Sie ein Zustandsregelgesetz der Form u = −kTx, sodass der geschlos-sene Kreis folgendes charakteristische Polynom aufweist:

w(s) = (s+ 1)6(s+ 2) = s7 + 8s6 + 27s5 + 50s4 + 55s3 + 36s2 + 13s+ 2


Aufgabe 7:

Für das System

dx

dt= Ax+ bu =

[2 11 0

]x+

[21

]u

y = cTx =[1 0

]x.

mit Zustandsvektor x, Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y soll ein Beobachter derForm

dx

dt= Ax+ bu+ l(y − y)

y = cT x

entworfen werden. Welche der folgenden Möglichkeiten für den Vektor l sind zulässig?

a) l =[2 0

]Tb) l =

[0 1

]Tc) l =

[8 10

]Td) l =

[5 3

]Te) l =

[3 1

]Tf) l =

[0 2

]TBegründen Sie Ihre Antworten mathematisch.

Aufgabe 8:

Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Form

dx

dt= Ax+ bu,

welches nicht steuerbar ist. Zeigen Sie, dass zumindest ein Eigenwert des Systemsnicht durch ein Zustandsregelgesetz der Form u = −kTx verändert werden kann, d.h.dass zumindest ein Eigenwert der Matrix A auch ein Eigenwert der Systemmatrix desgeschlossenen Kreises ist. (Hinweis: Gehen Sie dazu vom Hautus-Kriterium für dieSteuerbarkeit aus.)



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Form

dx

dt= Ax+ bu,

welches nicht steuerbar ist. Zeigen Sie, dass zumindest ein Eigenwert des Systemsnicht durch ein Zustandsregelgesetz der Form u = −kTx verändert werden kann, d.h.dass zumindest ein Eigenwert der Matrix A auch ein Eigenwert der Systemmatrix desgeschlossenen Kreises ist. (Hinweis: Gehen Sie dazu von dem Hautus-Kriterium fürdie Steuerbarkeit aus.)

Aufgabe 2:

Gegeben sei ein Standardregelkreis

R(s) P (s)r e y

−

mit der Regelstrecke

P (s) =s− 2

s(s+ 2)

und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion

T (s) =−2(s− 2)

s2 + 2s+ 1.

a) Ist T (s) implementierbar? (Begründen Sie Ihre Antwort! )

b) Ermitteln Sie den Regler R(s), der zur Übertragungsfunktion T (s) führt, durchdie direkte Reglerberechnung.

c) Ist der Regelkreis intern stabil? Falls nein, geben Sie die Pol- bzw. Nullstelle derinstabilen Kürzung an.

Aufgabe 3:

Bei der analytischen Reglersynthese wird eine (implementierbare) Führungsübertra-gungsfunktion definiert und daraus der Regler berechnet.

a) Geben Sie die Definition der Implementierbarkeit an.

b) Ist jede implementierbare Führungsübertragungsfunktion in Form eines Stan-dardregelkreises umsetzbar? Begründen Sie Ihre Antwort!

c) Zeichnen Sie eine Regelkreisstruktur mit der jede implementierbare Übertra-gungsfunktion realisiert werden kann.


Aufgabe 4:

Betrachten Sie folgendes System zweiter Ordnung mit der Eingangsgröße u, dem Zu-standsvektor x und der Ausgangsgröße y:

dx

dt=

[1 34 −2

]x+

[12

]u

y =[1 −α

]x.

a) Bestimmen Sie die Streckenübertragungsfunktion P (s) in Abhängigkeit des re-ellen Parameters α.

b) Ermitteln Sie den reellen Parameter α sowie ein Regelgesetz der Form

u = −kTx+ V r

so, dass die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises

T (s) =1

2

s+ 2

s2 + 2s+ 1

erfüllt.

Aufgabe 5:

Ein sehr mächtiges Werkzeug zum Reglerentwurf ist das sogenannte Frequenzkennli-nienverfahren.

a) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Lead-Gliedes an und zeichnen Sietypische Frequenzkennlinien eines Lead-Gliedes. Auf welchen Bereich sind dieParameter dieser Übertragungsfunktion eingeschränkt?

b) Wozu wird üblicherweise ein Lead-Glied eingesetzt?

Aufgabe 6:

a) Geben Sie eine Übertragungsfunktion eines realisierbaren PID-Reglers mit denParametern KP , TN , TV und TR an.

b) Skizzieren Sie die typische Sprungantwort eines PI-Reglers und zeichnen Sie KP ,TN , TV und TR ein.Achtung: Achsenbeschriftungen nicht vergessen!

c) Zeichnen Sie das Blockschaltbild eines PID Reglers mit Anti-Windup Maßnah-me.


Aufgabe 7:

Gegeben sei die Sprungantwort eines Systems mit dominantem Polpaar, welches alsSpezifikation für den anschließenden Reglerentwurf dienen soll.

0,33 1,08 1,83 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1 90

0,20,40,60,81

1,2

Time/s

y(t)

Betrachtet werden soll ein Standardregelkreis bestehend aus einem Regler mit derÜbertragungsfunktion R(s) und einer Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s).

a) Zeichnen Sie die Anstiegszeit tr sowie die Überschwingweite Mp in der gegebe-nen Sprungantwort ein und geben Sie die Werte von Anstiegszeit tr und Über-schwingweite Mp an.

b) Die Regelstrecke P (s) besitzt die BIBO-Eigenschaft. Ihr Frequenzgang ist gra-phisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben:

10−3 10−2 10−1 100 101 102

−200

20

40

|P(jω)|

indB

10−3 10−2 10−1 100 101 102

0

−45

−90

ω in rad s−1

argP(jω)

in°

Dimensionieren Sie einen P-Regler R(s) = K so, dass die Anstiegszeit der Sprun-gantwort des geschlossenen Kreises tr näherungsweise dem in Punkt a) bestimm-ten Wert entspricht.

c) Wird mit dem in Punkt b) entworfenen Regler das gewünschte Überschwingenerreicht? Begründen Sie Ihre Antwort!


Aufgabe 8:

Gegeben sei ein lineares System mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y undder Zustandsgröße x:

dx

dt= −2x+ 4u,

y = x.

Entwerfen Sie einen PI-Zustandsregler

dε

dt= r − y

u = −kx− kiε− kp(r − y)

mit dem Proportionalbeiwert kp = −3. Berechnen Sie die Werte der Parameter k undki so, dass der geschlossene Regelkreis eine Dynamikmatrix mit den Eigenwerten s1 =s2 = −2 aufweist.



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Es ist folgende steuerbare und beobachtbare Regelstrecke mit der Eingangsgröße u,der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x gegeben:

dx

dt= Ax + bu

y = cTx.

Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, dass die Eigenwerte der Dynamikmatrix desgeschlossenen Regelkreises, bestehend aus der Regelstrecke, dem Zustandsregler derForm u = −kT x und einem Zustandsbeobachter der Form

dx

dt= Ax + bu+ l

(y − cT x

)beliebig vorgegeben werden kann.Hinweis: Betrachten Sie die Dynamik des geschlossenen Regelkreises mit dem Zu-standsvektor

[x e

]T .Hinweis: Für Matrizen M1, M2, M3 passender Dimensionen gilt

det

[M1 M2

0 M3

]= detM1 · detM3.

Aufgabe 2:

Betrachten Sie das lineare zeitinvariante Modell

dx

dt=

0 0 0 0 −121 0 0 0 −40 1 0 0 150 0 1 0 50 0 0 1 −3

x +

2−3100

uy =

[0 0 0 0 1

]x

mit dem Zustandsvektor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y. Ist dasgegebene System steuer- bzw. beobachtbar?


Aufgabe 3:


dx

dt= Ax + bu =

0 1 00 0 1−2 −4 −3

x +

001

uy = cTx =

[2 1 0

]x



u = −kTx + V r


T (s) =y(s)

r(s)=

3

s2 + 4s+ 3

gilt.

Aufgabe 4:


dx

dt= Ax + bu =

0 1 00 0 1−2 1 4

x +

001

uy = cTx =

[10 1 0

]x

Berechnen Sie einen PI-Zustandsregler der Form

dε

dt= r − y

u = −kTx− kiε− kp(r − y)

so, dass für die Übertragungsfunktion des geschossenen Regelkreises

T (s) =1

10

µ(s)

s3 + 2s2 + s+ 1

gilt, wobei µ(s) das Zählerpolynom der Streckenübertragungsfunktion P (s) darstellt.Zusätzlich soll ein Eigenwert der Dynamikmatrix des geschlossenen Regelkreises beis1 = −1 liegen.


Aufgabe 5:

Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes zeitdiskretes System mit Eingang uk, Ausgangyk und Zustandsvektor xk

xk+1 =

[3 42 −1

]xk +

[21

]uk,

yk =[1 0

]xk.

Führen Sie eine reguläre Zustandstransformation xk = Tzk so durch, dass das trans-formierte System

zk+1 = Azk + buk,

yk = cTzk

in Regelungsnormalform vorliegt.

Aufgabe 6:

Entwerfen Sie für das lineare zeitinvariante System

dx

dt=

0 0 −0.11 0 −10 1 −2

x +

102

uy =

[0 0 1

]x

mit Zustandsvektor x, Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y einen Zustandsbeob-achter der Form

dx

dt= Ax + l (y − y) + bu

y = cT x

so, dass alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des Schätzfehlers e = x− x bei s = −3liegen.

Aufgabe 7:

Das Frequenzkennlinienverfahren basiert darauf, dass die Übertragungsfunktion desoffenen Kreises L(s) vom einfachen Typ ist.

a) Was muss gelten, damit L(s) vom einfachen Typ ist?

b) Warum muss für das Frequenzkennlinienverfahren vorausgesetzt werden, dassL(s) vom einfachen Typ ist?

Bitte wenden!


Aufgabe 8:

Gegeben sei die Ortskurve für ω ∈ [0,∞) eines LZI -Systems mit der Übertragungs-funktion P (s):

−0,2−0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

−0,4

−0,2

0,2

0,4

−3

2

Re {P (jω)}

Im {P (jω)}

Leider ist die zugehörige Übertragungsfunktion vergessen worden. Nach einigerRecherchearbeit konnte man die Auswahl auf folgende Übertragungsfunktionen ein-schränken.

i) P1(s) =10s− 2

(s+ 1)(s+ 2)2, ii) P2(s) =

2− 2s

s(s− 2)(s+ 3)

iii) P3(s) =−2s(

s+ 12

)(s+ 1)

, iv) P4(s) =100s(s+ 10)

(1s+ 10)2(10s+ 10), .

Welche der vier oben genannten Übertragungsfunktionen ist die gesuchte. (BegründenSie Ihre Antwort nachvollziehbar.)



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises

L(s) = R(s)P (s) =10

s(s10

+ 1)

ist gegeben. Hierbei ist R(s) die Reglerübertragungsfunktion und P (s) die Übertra-gungsfunktion der Strecke.

a) Stellen Sie den Frequenzgang L(jω) in Form von Bode-Diagrammen dar undermitteln Sie näherungsweise die zu erwartende Anstiegszeit tr und die Über-schwingweite Mp der Sprungantwort des geschlossenen Kreises.

b) Wird mit dieser Konfiguration stationäre Genauigkeit für konstante Führungs-größen erreicht?

Aufgabe 2:

Gegeben sei ein Standardregelkreis

R(s) P (s)r e y

−


P (s) =s− 1

s(s− 2)

und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion

T (s) =−2(s− 1)

s2 + 3s + 2.

a) Ist T (s) implementierbar? (Begründen Sie Ihre Antwort! )

b) Ermitteln Sie den Regler R(s), der zur Übertragungsfunktion T (s) führt, durchdie direkte Reglerberechnung. Ist der Regelkreis intern stabil? (Begründen SieIhre Antwort! )

Aufgabe 3:

Das Frequenzkennlinienverfahren basiert darauf, dass die Übertragungsfunktion desoffenen Kreises L(s) vom einfachen Typ ist.

a) Was muss gelten, damit L(s) vom einfachen Typ ist?

b) Warum muss für das Frequenzkennlinienverfahren vorausgesetzt werden, dassL(s) vom einfachen Typ ist?


Aufgabe 4:

Die Ortskurve des Frequenzgangs P (jω) einer Regelstrecke ist grafisch gegeben:

Re {P (jω)}

Im {P (jω)}

Leider ist die Achsenbeschriftung unlesbar geworden. Allerdings wurde zusätzlich zumFrequenzgang die Antwort des Systems auf den Einheitssprung aufgenommen und istauch grafisch dargestellt

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

1

2

Time/s

y(t)

Zur Regelung soll ein P-Regler mit dem Proportionalfaktor K in einem Standard-regelkreis eingesetzt werden. Ermitteln Sie nachvollziehbar den größtmöglichen Wer-tebereich des reellen Reglerparameters K so, dass der geschlossene Kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

Aufgabe 5:



Aufgabe 6:


R(s) =b(s)

a(s)


Aufgabe 7:


dx

dt= Ax + bu =

0 1 00 0 1−2 −4 −3

x +

001

u

y = cTx =[2 1 0

]x



u = −kTx + V r


T (s) =y(s)

r(s)=

3

s2 + 4s + 3

gilt.

Aufgabe 8:


dx

dt=

0 0 0 0 61 0 0 0 −40 1 0 0 −50 0 1 0 50 0 0 1 −1

x +

2−2100

u

y =[0 0 0 0 1

]x

mit dem Zustandsvektor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y. BerechnenSie eine Minimalrealisierung dieses Systemes in zweiter Normalform.



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Entwerfen Sie für die zeitdiskrete Regelstrecke

xk+1 =

0 0 0 0.81 0 0 1.50 1 0 0.50 0 1 1

xk +

1321

uk = Axk + buk

yk =[0 0 0 1

]xk

mit dem Zustandsvektor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y einenLuenberger-Beobachter so, dass alle Eigenwerte der Beobachterfehlerdynamik bei z =0.5 liegen.

Aufgabe 2:

Die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises

L(s) = R(s)P (s) =40

(s+ 20)(s+ 0.2)





Begründen Sie Ihre Antwort!


Aufgabe 3:

Die Ortskurve des Frequenzgangs P (jω) einer Regelstrecke ist grafisch gegeben:

Re {P (jω)}

Im {P (jω)}

Leider ist die Achsenbeschriftung unlesbar geworden. Allerdings wurde zusätzlich zumFrequenzgang die Antwort des Systems auf den Einheitssprung aufgenommen und istauch grafisch dargestellt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

Time/s

y(t)

Zur Regelung soll ein P-Regler mit dem Proportionalfaktor K in einem Standard-regelkreis eingesetzt werden. Ermitteln Sie nachvollziehbar den größtmöglichen Wer-tebereich des reellen Reglerparameters K so, dass der geschlossene Kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.


Aufgabe 4:

Gegeben sei die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke.

P (s) =1

s3 + 3s+ 1

Es soll nun ein Standardregelkreis so ausgelegt werden, dass seine Führungsübertra-gungsfunktion T (s) das vorgegebene Nennerpolynom

νT (s) = (s+ 1)4(s+ 2) = s5 + 6s4 + 14s3 + 16s2 + 9s+ 2.

besitzt.


R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0


b) Geben Sie eine Realisierung der Reglerübertragungsfunktion R(s) in der Form

dx

dt= Ax+ by

u = cTx+ dy

an.

Aufgabe 5:

Ihr regelungstechnisch unerfahrener Kollege hat für eine Regelstrecke

dx

dt= Ax+ bu

y = cTx

mit Zustandsvektor x, Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y einen Trivialen Beob-achter der Form

dx

dt= Ax+ bu

entworfen. Mit welchen Argumenten werden Sie ihn davon überzeugen, dass dieseWahl nicht gut ist?


Aufgabe 6:

Für eine in Form der Übertragungsfunktion

P (s) =µ(s)

ν(s)

gegebene Regelstrecke zweiter Ordnung soll eine Führungsübertragungsfunktion T (s)so bestimmt werden, dass für sprungförmige Führungsgröße r(t) das Gütekriterium

J =

∫ ∞

0

[r(t)− y(t)]2 + δ [u(t)− u∞]2 dt


δν(s)ν(−s) = −µ(s)µ(−s) für s = 2 + j

und

µ(s) = s− 2

gilt. Rekonstruieren Sie aus diesen Informationen die optimale Führungsübertragungs-funktion. (Hinweis: Es ist nicht notwendig und auch nicht möglich, ν(s) bzw. δ zuermitteln.)

Aufgabe 7:


R(s) =b(s)

a(s)(1)


Bitte wenden!


Aufgabe 8:

Es sei folgendes System zweiter Ordnung mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvek-tor x und der Ausgangsgröße y gegeben:

dx

dt=

[−1 51 −2

]x+

[21

]u

y =[1 1

]x.

a) Ermitteln Sie den flachen Ausgang z = λTx des Systems.

b) Ein bereits entworfenes Zustandsregelgesetz u = kTx soll um eine Vorsteuerung

u = −kT (x− xV ) + uV

erweitert werden. Bestimmen Sie die Zeitfunktionen xV und uV durch Planungeiner polynomiellen Trajektorie für den flachen Ausgang z so, dass das Systemausgehend von einer Ruhelage xA, uA innerhalb der Zeit TT in eine RuhelagexE, uE überführt wird. Die Ruhelagen lauten wie folgt:

xA =

[−22

], xE =

[1−1

].

Formeln und Tabellen

Koeffizienten einer Solltrajektorie der Ordnung p = 2n+ 1

n γn+1 γn+2 γn+3 γn+4 γn+5 γn+6

1 3 -22 10 -15 63 35 -84 70 -204 126 -420 540 -315 705 462 -1980 3465 -3080 1386 -252



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Betrachtet wird die erweiterte Regelkreisstruktur

V (s) P (s)

R(s)

u y

−


P (s) =s+ 1

s2 − 2=µ(s)

ν(s)

und den beiden Reglerübertragungsfunktionen

R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0

, V (s) =c2s

2 + c1s+ c0a2s2 + a1s+ a0

.

Bestimmen Sie die Polynome a(s), b(s) und c(s) so, dass

T (s) =V (s)P (s)

1 +R(s)P (s)=

1

s+ 1=µT (s)

νT (s)

gilt und der Regler integrierendes Verhalten aufweist.Hinweis: Erweitern Sie, sofern nötig, Zähler und Nenner von T (s) um das Polynom

w(s) = (s+ 1)k

mit einem geeigneten ganzzahligen Wert für k.

Aufgabe 2:

Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises

R(s)P (s) = L(s) =10

s(

s10

+ 1)

ist gegeben. Hierbei ist R(s) die Reglerübertragungsfunktion und P (s) die Übertra-gungsfunktion der Strecke. Stellen Sie den Frequenzgang L(jω) in Form von Bode-Diagrammen dar und ermitteln Sie näherungsweise die zu erwartende Anstiegszeit trund die Überschwingweite Mp der Sprungantwort des geschlossenen Kreises.


Aufgabe 3:

Gegeben sei eine Regelstrecke, welche die Übertragungsfunktion

P (s) =2

s+ 1e−sTt

aufweist. Es handelt sich dabei um eine Hintereinanderschaltung eines PT1-Gliedesund eines Totzeitgliedes; die Totzeit ist durch Tt = 3 gegeben. Die Ortskurve desFrequenzgangs P (jω) ist graphisch dargestellt:

−2 −1,4 −1 −0,5 0,5 1 1,5 2

−2

−1

1

2

Re {P (jω)}

Im {P (jω)}

Zur Regelung soll ein P-Regler mit dem Proportionalfaktor K in einem Standard-regelkreis eingesetzt werden. Ermitteln Sie nachvollziehbar den größtmöglichen Wer-tebereich des reellen Reglerparameters K, sodass der geschlossene Kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.Hinweise: Die Funktion e−sTt hat keine Polstellen; das bedeutet, dass Sie das Nyquist-kriterium in gewohnter Form anwenden können. Die stetige Winkeländerung müssenSie dabei nicht für alle (unendlich vielen) Fälle ermitteln.

Aufgabe 4:



Aufgabe 5:


dx

dt=

0 0 0 0 121 0 0 0 −80 1 0 0 −130 0 1 0 90 0 0 1 1

x+

1−2100

uy =

[0 0 0 0 1

]x

mit dem Zustandsvektor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y. Ist dasgegebene System steuer- bzw. beobachtbar?

Aufgabe 6:

Es sei folgendes Zustandsmodell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y, demZustandsvektor x und dem reellen Parameter α gegeben:

dx

dt=

[1 α2 3

]x+

[11

]u.

a) Ermitteln Sie für welche Werte von α das System nicht steuerbar ist.

Es gelte nun α = 4.

b) Ist es möglich, einen Zustandsregler der Form

u = −kTx

so zu berechnen, dass die Dynamik des geschlossenen Regelkreises durch dieEigenwerte bei s1 = −1 und s2 = −2 charakterisiert ist? Wenn ja, geben Sie kT

an.

Aufgabe 7:

a) Geben Sie eine Übertragungsfunktion eines PI-Reglers mit dem Proportional-beiwert KP und der Nachstellzeit TN an.

b) Skizzieren Sie die typische Sprungantwort eines PI-Reglers und zeichnen Sie KP

und TN ein.Achtung: Achsenbeschriftungen nicht vergessen!

c) Was versteht man unter dem Windup-Effekt? Wann kann er auftreten und wiemacht er sich bemerkbar?


Aufgabe 8:

Gegeben sei ein lineares zeitkontinuierliches System mit der Eingangsgröße u, derAusgangsgröße y und der Zustandsgröße x:

dx

dt= −3x+ u,

y = x.


dε

dt= r − y





Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Gegeben sei ein Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y:

R(s) P (s)r e y

−

Von der Streckenübertragungsfunktion P (s) ist bekannt, dass genau 3 ihrer 4 Po-le einen negativen Realteil aufweisen und dass der Verstärkungsfaktor positiv ist(V > 0). Zudem liegt die Ortskurve des Frequenzgangs P (jω) für 0 ≤ ω < ∞ gra-phisch vor:

−1 −34− 3

1012

1Re {P (jω)}

Im {P (jω)}

a) Als Regler wird ein Proportionalregler R(s) = K mit dem reellen Parameter Keingesetzt. Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar,d.h. mit Ermittlung der stetigen Winkeländerung, ob obiger Regelkreis für

i) K =1

3, ii) K = 2

die BIBO-Eigenschaft besitzt.

b) Ist es möglich, die Phasenreserve Φr sowie den Amplitudenrand Ar von derOrtskurve abzulesen? (Begründen Sie Ihre Antwort! ) Wenn ja, zeichnen Sie diebeiden Größen für K = 1 in die Ortskurve ein.


Aufgabe 2:

Gegeben sei das Modell einer Regelstrecke in Form der Übertragungsfunktion

P (s) =s− 2

s3 − 2s2 − s+ 2.

Für den zu entwerfenden Regelkreis wurde die Führungsübertragungsfunktion

T (s) =µT(s)

(s+ 5)2

gewählt, wobei µT(s) das Zählerpolynom repräsentiert.

a) Geben Sie Bedingungen für µT(s) so an, dass T (s) implementierbar ist.

b) Wählen Sie ein Polynom µT(s) möglichst niedrigen Grades, das die Bedingungeni) T (s) ist implementierbarii) stationäre Genauigkeit, d.h. lim

t→∞y(t) = 1 für r(t) = σ(t)

erfüllt.

Aufgabe 3:


xk+1 =

[1 20 4

]xk +

[01

]uk

yk =[1 1

]xk.

Bestimmen Sie einen Zustandsregler der Form

uk = −kTxk + V r

so, dass alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschlossenen Kreises bei z = 0 liegenund zusätzlich

limk→∞

yk = r = konstant

gilt.Achtung: Sie müssen die Gleichung für die konstante Verstärkung V so anpassen,dass sie für zeitdiskrete Systeme gilt.


Aufgabe 4:

Gegeben sei die Übertragungsfunktion

P (s) =1

s3 + s+ 1

einer Regelstrecke. Es soll nun ein Standardregelkreis so ausgelegt werden, dass seineFührungsübertragungsfunktion

T (s) =µT (s)

νT (s)=

R(s)P (s)

1 +R(s)P (s).

das vorgegebene Nennerpolynom

νT (s) = (s+ 1)4(s+ 2) = s5 + 6s4 + 14s3 + 16s2 + 9s+ 2.

besitzt.


R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0


b) Welches Zählerpolynom µT (s) ergibt sich mit diesem Regler?

Aufgabe 5:

Ein mächtiges Werkzeug zum Reglerentwurf ist das sogenannte Frequenzkennlinien-verfahren.

a) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Lag-Gliedes an. Wie ist das Verhältnisder Parameter ωz und ωn zu wählen?

b) Zeichnen Sie typischen Frequenzkennlinien eines Lag-Gliedes.

Aufgabe 6:



Aufgabe 7:

Für das LZI Systemdx

dt=

[−2 −2−1 −3

]x +

[33

]u

mit dem Zustandsvektor x und der Eingangsgröße u wird ein Regler der Form

u = −[2 k

]x

mit k ∈ R verwendet.

a) Ermitteln Sie den Wert k so, dass ein Eigenwert der Dynamikmatrix des ge-schlossenen Regelkreises bei s1 = −7 liegt.

b) Geben Sie den zweiten Eigenwert von (A− bkT ) an.

Hinweis: Für die Lage des zweiten Eigenwertes gibt es nur eine Möglichkeit.

Aufgabe 8:

Gegeben sei ein lineares zeitkontinuierliches System mit der Eingangsgröße u, derAusgangsgröße y und der Zustandsgröße x:

dx

dt= −5x− 2u,

y = x.


dε

dt= r − y





Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Entwerfen Sie für das lineare zeitinvariante System

dx

dt=

0 0 −0.11 0 −20 1 −0.5

x +

102

uy =

[0 0 1

]x

mit Zustandsvektor x, Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y einen Zustandsbeob-achter der Form

dx

dt= Ax + l (y − y) + bu

y = cT x

so, dass alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des Schätzfehlers e = x− x bei s = −3liegen.

Aufgabe 2:


xk+1 =

[1 20 4

]xk +

[01

]uk

yk =[1 1

]xk.

Bestimmen Sie einen Zustandsregler der Form

uk = −kTxk + V r

so, dass alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschlossenen Kreises bei z = 0 liegenund zusätzlich

limk→∞

yk = r = constant

gilt.Achtung: Sie müssen die Gleichung für die konstante Verstärkung V so anpassen,dass sie für zeitdiskrete Systeme gilt.


Aufgabe 3:


xk+1 =

[1 23 4

]xk +

[11

]uk,

yk =[1 0

]xk.

Führen Sie eine reguläre Zustandstransformation xk = Tzk so durch, dass das trans-formierte System

zk+1 = Azk + buk,

yk = cTzk

in Regelungsnormalform vorliegt.

Aufgabe 4:


V (s) P (s)

R(s)

u y

−


P (s) =s+ 1

s2 − 2=µ(s)

ν(s)


R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0

, V (s) =c2s

2 + c1s+ c0a2s2 + a1s+ a0

.


T (s) =V (s)P (s)

1 +R(s)P (s)=

1

s+ 1=µT (s)

νT (s)


w(s) = (s+ 1)k



Aufgabe 5:


Aufgabe 6:

Für das stabilisierbare LZI System

dx

dt=

[1 34 2

]x +

[34

]u

mit dem Zustandsvektor x und der Eingangsgröße u wird ein Regler der Form

u = −[2 k

]x

mit k ∈ R verwendet.

a) Ermitteln Sie den Wert k so, dass ein Eigenwert der Dynamikmatrix des ge-schlossenen Regelkreises bei s1 = −1 liegt.

b) Geben Sie das charakteristische Polynom von (A− bkT ) an.

Hinweis: Für die Wahl des zweiten Eigenwertes gibt es nur eine Möglichkeit.


Aufgabe 7:

Zeigen Sie mathematisch, dass die Ortskurve eines Lag-Gliedes mit der Übertragungs-funktion

R(s) =1 + s

ωZ

1 + sωN

mit m =ωN

ωZ

< 1

einen Halbkreis

mm+12 1

1−m2

Re {R(jω)}Im {R(jω)}

mit Radius 1−m2

und Mittelpunkt bei m+12

bildet.Hinweis: Betrachten Sie die Übertragungsfunktion G(s) = R(s)− m+1

2

Aufgabe 8:

Es ist folgende steuerbare und beobachtbare Regelstrecke mit der Eingangsgröße u,der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x gegeben:

dx

dt= Ax + bu

y = cTx.

Als Regelgesetz wird ein Zustandsregler der Form

u = −kTx + V r

verwendet.Zeigen Sie, dass für die Führungsübertragungsfunktion

T (s) =y(s)

r(s)= V

µ(s)

w(s)

gilt. Dabei symbolisiert µ(s) das Zählerpolynom der Übertragungsfunktion der Re-gelstrecke und w(s) das charakteristische Polynom von (A− bkT ).



Name / Vorname(n):

Matrikel-Nummer:



erreichte Punkte


Aufgabe 1:

Ein mächtiges Werkzeug zum Reglerentwurf ist das sogenannte Frequenzkennlinien-verfahren.

a) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Lag-Gliedes an. Wie ist das Verhältnisder Parameter zu wählen?

b) Zeichnen Sie typischen Frequenzkennlinien eines Lag-Gliedes.

Aufgabe 2:

Die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises

L(s) = R(s)P (s) =400

(s+ 0.2)(s+ 20)





Begründen Sie Ihre Antworten!

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Formdx

dt= Ax + bu

y = cTx.

Für dieses System wird ein asymptotischer Beobachter der Formdx

dt= Ax + bu + l(y − cT x)

verwendet.

a) Ermitteln Sie in nachvollziehbarer Weise die Differentialgleichung des Beobach-terfehlers e := x− x.

b) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass

limt→∞

e(t) = 0

unabhängig vom Anfangsfehler e(0) gilt.


Aufgabe 4:


V (s) P (s)

R(s)

u y

−


P (s) =s+ 2

s2 − 1=µ(s)

ν(s)


R(s) =b2s

2 + b1s+ b0a2s2 + a1s+ a0

, V (s) =c2s

2 + c1s+ c0a2s2 + a1s+ a0

.


T (s) =V (s)P (s)

1 +R(s)P (s)=

1

s+ 1=µT (s)

νT (s)


w(s) = (s+ 1)k


Aufgabe 5:

a) Geben Sie eine Übertragungsfunktion eines PI-Reglers mit dem Proportional-beiwert KP und der Nachstellzeit TN an.

b) Skizzieren Sie die typische Sprungantwort eines PI-Reglers und zeichnen Sie KP

und TN ein.Achtung: Achsenbeschriftungen nicht vergessen!

c) Was versteht man unter dem Windup-Effekt? Wann kann er auftreten und wiemacht er sich bemerkbar?


Aufgabe 6:

Für eine Regelstrecke

P (s) =µ(s)

ν(s)

soll eine Führungsübertragungsfunktion T (s) so bestimmt werden, dass für sprung-förmige Führungsgröße r(t) das Gütekriterium

J =

∫ ∞

0

[r(t)− y(t)]2 + δ [u(t)− u∞]2 dt


∆(s) = ν(s)ν(−s) +1

δµ(s)µ(−s) = s4 − 20s2 + 64

und

µ(s) = s− 4

gilt.Rekonstruieren Sie aus diesen Informationen die optimale Führungsübertragungs-

funktion. (Hinweis: Es ist nicht notwendig und auch nicht möglich, ν(s) bzw. δ zuermitteln.)

Aufgabe 7:

Gegeben sei folgender Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangs-größe y:

K P (s)r y

−

Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet

P (s) =1

s(s+ 10)2

und K ist ein positiver reeller Parameter.

a) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme des Frequenzgangs P (jω).

b) Zeichnen Sie mit Hilfe der Bode-Diagramme die Frequenzgangsortskurve.

c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar (d.h. mit Fall-unterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall) dengrößtmöglichen Wertebereich des positiven Parameters K, für den obiger Regel-kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.


Aufgabe 8:

Es sei folgendes System zweiter Ordnung mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvek-tor x und der Ausgangsgröße y gegeben:

dx

dt=

[1 32 4

]x +

[12

]u

y =[1 1

]x.

a) Ermitteln Sie den flachen Ausgang z = λTx des Systems.

b) Ein bereits entworfenes Zustandsregelgesetz u = kTx soll um eine Vorsteuerung

u = −kT (x− xV ) + uV

erweitert werden. Bestimmen Sie die Zeitfunktionen xV und uV durch Planungeiner polynomiellen Trajektorie für den flachen Ausgang z so, dass das Systemausgehend von einer Ruhelage xA, uA innerhalb der Zeit TT in eine RuhelagexE, uE überführt wird. Die Ruhelagen lauten wie folgt:

xA =

[−11

3

], uA = 10 xE =

[1.1−0.3

], uE = −1.

Hinweis: Benutzen Sie die gegebene Tabelle.

Formeln und Tabellen

Koeffizienten einer Solltrajektorie der Ordnung p = 2n+ 1

n γn+1 γn+2 γn+3 γn+4 γn+5 γn+6

1 3 -22 10 -15 63 35 -84 70 -204 126 -420 540 -315 705 462 -1980 3465 -3080 1386 -252

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