1

Schriftliche Reifeprüfung aus dem Wahlpflichtfach

Darstellende Geometrie

am BRG Feldkirchen zum Haupttermin 2015/16

Prüfer: Mag. Iris Steiner

Notenschlüssel:

Sehr Gut: 120 – 108 Punkte

Gut: 107 – 96 Punkte

Befriedigend: 95 – 78 Punkte

Genügend: 77 – 60 Punkte

Nicht Genügend: 59 – 0 Punkte

Erlaubte Hilfsmittel: Bleistift, Buntstifte (außer rot), Tuschestifte, Zirkel,

Lineal, PC mit dem Programm MicroStation

Erzeuge auf dem Maturalaufwerk einen Ordner mit dem Namen

"MeinNachname_DG_Matura".

Speichere alle Beispiele dorthin ab und kopiere dann deinen Ordner noch auf einen

USB-Stick.

Viel Glück und Erfolg!

2

1.) Platonische Körper:

a.) Definition, Existenz und Eigenschaften Platonischer Körper (Nach einer Idee aus: Darstellende Geometrie Maturaaufgaben, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014)

Nenne die definierenden Eigenschaften, welche für Polyeder gelten müssen,

damit diese Platonische Körper sind.

Zähle alle 5 platonischen Körper mit ihren Namen auf.

Nenne alle platonischen Körper, die von gleichseitigen Dreiecken begrenzt

werden.

Überlege und argumentiere dann, warum es außer diesen keine weiteren gibt.

Es existiert jeweils nur ein platonischer Körper, der von Quadraten, bzw. von

regelmäßigen Fünfecken begrenzt wird.

Nimm zu dieser Aussage Stellung.

Erkläre, warum kein platonischer Körper existiert, dessen Oberfläche aus lauter

regelmäßigen n-Ecken mit n ≥ 6 besteht.

Erstelle eine Liste der Platonischen Körper, aus der man die Anzahl der Ecken,

Kanten und Flächen der einzelnen Körper entnehmen kann. Vergleiche nun die

einzelnen Körper untereinander, was fällt dir dabei auf und erläutere diese

Besonderheiten genauer.

Gib weitere Eigenschaften und Besonderheiten der Platonischen Körper an.

_______ / 11 Punkte

3

b.) Aus den folgenden Bildern ist zu entnehmen, wie ein Dodekaeder in einem

CAD-Programm konstruiert werden könnte. (Quelle: Darstellende Geometrie Maturaaufgaben, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014)

Schritt 1:

Welche Konstruktionsschritte wurden gesetzt?

Erkläre die vorhandenen Konstruktionslinien.

Schritt 2:

Könnte eine Raumtransformation hier ein-

gesetzt worden sein, um die weiteren Fünf-

ecke zu positionieren? Wenn ja, welche?

Schritt 3:

Wie könnte der obere Teil der Figur möglichst

einfach nach Schritt 2 erzeugt worden sein?

Schritt 4:

Welche Raumtransformationen sind zuletzt

noch auszuführen, um das Pentagondodekaeder,

wie abgebildet, zu erhalten?

_______ / 7 Punkte

4

c.) Rhombendodekaeder

Setzt man auf die Seitenflächen eines Würfels mit der Kantenlänge a sechs

regelmäßige quadratische Pyramiden, deren Basiskantenlänge ebenfalls a ist,

so entsteht ein Sternpolyeder.

Überlege, wie hoch die Pyramiden gewählt werden müssen, so dass jeweils

die Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden in einer Ebene – durch die

gemeinsame Basis-/Würfelkante – liegen.

In diesem Fall entsteht aus dem Sternpolyeder ein sogenanntes

Rhombendodekaeder.

5

So ein Rhombendodekaeder entsteht aber auch, wenn man wie oben den

Seitenflächen eines Oktaeders regelmäßige dreiseitige Pyramiden mit

geeigneter Höhe aufsetzt.

Wie hoch müssen nun diese Pyramiden gewählt werden?

Verwende für deine Überlegungen bzw. vervollständige untenstehende

Skizzen.

Sternpolyeder: Rhombendodekaeder:

Erstelle nun mit deinem CAD-Programm ein Rhombendodekaeder, indem du

von einem Oktaeder ausgehst. Speichere die Datei unter dem Namen

„MeinNachname_Rhombendodekaeder.dgn“.

Finde für die Ermittlung der Pyramidenhöhe eine rein geometrische Lösung

(räumliche Überlegung, keine Rechnung).

Begründe deine Konstruktionsschritte in Wort und Bild (screenshots) und

speichere das Dokument unter dem Namen

„MeinNachname_Rhombendodekader_Dokumentation.docx“.

_______ / 12 Punkte

6

2. Zentralprojektion:

a.) Das Konstruktionsprinzip des Durchschnittverfahrens und

Eigenschaften der Zentralprojektion

Erkläre anhand eines aus dem Jahr

1713 stammenden Stiches den Begriff

Zentralprojektion.

(Abb. aus: Ch. Rembold,

Perspectiva practica oder

Perspektive-Reißkunst, Augsburg

1713, Faksimile- Ausgabe:

Hannover 1977)

Erläutere nun anhand nebenstehender

Abbildung das Konstruktionsprinzip

des Durchschnittverfahrens.

Gehe insbesondere auf die angegebenen

Bezeichnungen ein.

(Abb. aus: Perspektive im DG-Unterricht

der AHS, Ein Lehrgang in Arbeitsblättern

von Manfred Dopler)

7

Konstruiere auf diese Weise das perspektive Bild des Würfels in der unten dargestellten Figur.

(Abb. aus: Perspektive im DG-Unterricht der AHS, Ein Lehrgang in Arbeitsblättern von Manfred Dopler)

8

Gehe nun anhand deiner Konstruktion auf die Eigenschaften der

Zentralprojektion ein.

Kläre die Begriffe Hauptpunkt, Fernpunkt, Fluchtpunkt und Horizont.

Ermittle auch in deiner Zeichnung den Hauptpunkt, die Fern- und

Fluchtpunkte sämtlicher Kanten.

Was gilt im Allgemeinen für die Bilder paralleler Geraden?

Was gilt für die Bilder paralleler und gleich langer Strecken?

Gibt es parallele Geraden, deren Zentralrisse parallel bleiben?

Eine Parallelprojektion ist teilverhältnistreu. Gilt dies auch für eine

Zentralprojektion? Begründe! Betrachte dazu einen Flächenmittelpunkt

und seinen Riss.

Gibt es Sonderfälle betreffend die Teilverhältnistreue?

_______ / 18 Punkte

9

b.) Ermittle den Zentralriss der angegebenen Kirche (vereinfacht, M 1: 250, d = 33m).

Die beiden in der Perspektive sichtbaren Wände sind zu den durch die beiden

Geraden a und b gehenden erstprojizierenden Ebenen symmetrisch.

Die Höhen können direkt aus dem Aufriss der Angabe übernommen werden.

(Angabe aus: Perspektive im DG-Unterricht der AHS,

Ein Lehrgang in Arbeitsblättern von Manfred Dopler) _______ / 14 Punkte

10

c.) Ein Quader steht auf einer waagrechten Ebene. Dieser Quader soll sowohl

einer Parallelbeleuchtung als auch einer Zentralbeleuchtung unterworfen

werden.

Von der Lichtquelle L der Zentralbeleuchtung kennt man auch ihren

Grundriss L‘ in der waagrechten Ebene, auf die der Schatten geworfen wird,

und auf der dieser Quader steht (siehe gegebene Angabe).

Ermittle jeweils die Eigenschattengrenze, den Eigenschatten und den Schlag-

schatten des Quaders auf seine Standebene.

l‘

l

11

Stelle nun die Parallel- der Zentralbeleuchtung gegenüber.

Gehe jeweils auf die Unterschiede ein.

Erkläre die Konstruktion des Schattenpunktes eines Punktes auf die

Standebene.

Vergleiche die jeweiligen Richtungen der Grundrisslichtstrahlen

miteinander.

Gib an, welche Richtung der Schatten einer lotrechten Kante jeweils hat.

Besprich die Schatten von Kanten, die parallel zur Schirmebene liegen.

Überlege, wie die Schatten von gleich langen parallelen Strecken

erscheinen.

Benenne jenen Punkt, durch den der Schatten jeder Geraden gehen muss.

_______ / 12 Punkte

12

3.) Flächen, die durch Bewegung erzeugt werden:

a.) Flächenklassen – Definition und Zuordnung:

Erstelle Freihandskizzen von der Erzeugung folgender Flächen und beschreibe die Erzeugungsweise mit eigenen

Worten:

Extrusionsfläche Drehfläche Rohrfläche Schiebfläche

13

Manche Flächen gehören mehreren Flächenklassen an.

Gib von den folgenden Flächen an, welchen Klassen sie jeweils angehören und wie sie jeweils erzeugt werden können.

Extrusionsfläche Drehfläche Rohrfläche Schiebfläche

Kugel

Zylinder

Drehzylinder

Drehkegel

Torus

Elliptisches

Paraboloid

Drehparaboloid

Hyperbolisches

Paraboloid

_______ / 20 Punkte

14

b.) Modellierung eines Wikingerhelmes und eines Rohrgestells für einen Ständer: (Nach einer Idee aus Darstellende Geometrie – Ergänzende Materialien, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014)

Wikingerhelm:

Der Helm ist ein zur yz- und xz-Ebene

symmetrisches elliptisches Paraboloid, von

dem die Leitparabel l und die Profilparabel

p gegeben sind.

Unten wird der Helm durch einen

elliptischen Zylinder begrenzt, dessen

Profilellipse e in der yz-Ebene liegt.

Beachte, dass ihr Mittelpunkt nicht mit dem

Koordinatenursprung zusammenfällt.

Erstelle den Helm als Flächenmodell.

Alle angegeben Maße in cm.

Die Hörner erzeuge als Rohrflächen, die

sich zur Spitze hin verjüngen. Die Mitten-

kurve soll eine geeignete B-Splinekurve

3.Grades sein. Wähle einen geeigneten

Radius für den Profilkreis.

Nach Fertigstellung des Helmes und der

Hörner weise den Flächen geeignete

Wandstärken – nach außen – zu.

l‘‘ p‘‘‘

e‘‘

e‘ = l‘

p‘

p‘‘ l‘‘‘

15

Rohrgestell für einen Ständer:

Der Ständer besteht aus

zwei Rohrgestellen, die am

Boden berührend in einen

Torus

(Mittenkreisradius 12 cm,

Profilkreisradius 0,5 cm)

münden. Der Durchmesser

der Gestelle soll 1cm sein.

Die Gestelle sollen folgende Bedingungen

erfüllen:

Sie sind insgesamt 37,5 cm hoch.

In der Höhe 6 cm berühren sie die Profil-

parabel p bzw. die Leitparabel l des Helmes.

Ihr Scheitel befindet sich 8 cm darüber.

29 cm unterhalb des Scheitelpunktes sind

sie jeweils 3 cm von der z-Achse entfernt

und haben dort erstprojizierende Tangential-

ebenen.

Erzeuge den Ständer als Volumsmodell.

16

Stelle den Ständer auf eine Tischplatte und setze den Helm auf das Gestell.

Speichere die Datei unter dem Namen

„MeinNachname_Winkingerhelm.dgn“.

Rendere die Szene und erzeuge von der gerenderten Szene ein Bild und speichere dieses unter dem Namen

„MeinNachname_Winkingerhelm.jpg“ .

_______ / 26 Punkte