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Schwingungen Schwingungen haben eine zentrale Bedeutung in der Physik. Der Formalismus wird in sehr vielen Bereichen der Physik verwendet. A. Freie Schwingungen (Einfachstes Modell einer Anregung in Materie) Federpendel (ungedämpft): „Harmonischer Oszillator“ Die elastische Kraft einer Feder ist proportional zur Auslenkung: Hookesches Gesetz ( vgl. Abschn. Elastizität) Kräfte, die an der Masse angreifen: 1. Ruhelage: Die Auslenkung x 0 kompensiert die Gewichtskraft. m x x D F r r - = Eindimensional 0 0 = - = x D g m F F F G r r r r D: Federkonstante 228 x 0 (m = 0) 2. Auslenkung aus Ruhelage: Man wählt den Nullpunkt von x bei der Ruhelage und betrachtet m in der Ruhelage als kräftefrei. Verbleibende Auslenkungen beschleunigen m. Versuch, eine Lösung zu finden: Schwingung ist periodisch, also probieren wir: m x x D ma - = ) ( ) ( t x D t x m - = & & ) ( ) ( t x m D t x - = & & Differentialgleichung 2. Ordnung, also 2 Integrationskonstanten. ) sin( ) ( j w = t A t x ) cos( ) ( j w w = t A t x & ) sin( ) ( 2 j w w - = t A t x & & 0 = x 229

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SchwingungenSchwingungen haben eine zentrale Bedeutung in der Physik.

Der Formalismus wird in sehr vielen Bereichen der Physik verwendet.

A. Freie Schwingungen (Einfachstes Modell einer Anregung in Materie)

Federpendel (ungedämpft): „Harmonischer Oszillator“

Die elastische Kraft einer Feder ist proportional

zur Auslenkung: Hookesches Gesetz (vgl. Abschn. Elastizität)

Kräfte, die an der Masse angreifen:

1. Ruhelage:

Die Auslenkung x0 kompensiert die Gewichtskraft.

m x

xDFrr

−=

Eindimensional00 =−=+ xDgmFF FG

rrrr

D: Federkonstante

228

x0

(m = 0)

2. Auslenkung aus Ruhelage:

Man wählt den Nullpunkt von x bei der Ruhelage und betrachtet

m in der Ruhelage als kräftefrei.

Verbleibende Auslenkungen beschleunigen m.

Versuch, eine Lösung zu finden:

Schwingung ist periodisch, also probieren wir:

m

x

xDma −=

)()( txDtxm −=&&

)()( txmD

tx −=&& Differentialgleichung 2. Ordnung, also 2 Integrationskonstanten.

)sin()( ϕω += tAtx

)cos()( ϕωω += tAtx&

)sin()( 2 ϕωω +−= tAtx&&

0=x

229

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Einsetzen:

Ergibt Bestimmungsgleichung für den Parameter ω (Kreisfrequenz):

Die Funktion

(A: Amplitude, ϕ: Phase der Schwingung)

ist eine Lösung der Differentialgleichung („harmonische Schwingung“).

Die Frequenz der Schwingung ist durch Federkonstante und Masse festgelegt.

Schwingungsdauer T, Frequenz ν:

Eine volle Schwingung ist durchlaufen, wenn also:

)sin()sin(2 ϕωϕωω +−=+− tAmD

tA

mD

=2ω

),sin()( ϕ+= tAtx mD

,2πω =T

.1

];/[,2,22

Tsrad

Dm

T ==== νπνωπωπ

230

Einheit von ν: 1 s-1

= 1 Hertz (Hz)

Heinrich Hertz, 1857-1894

(„Eigenwert“ der Dgl.)

( ).)sin()( 2 ϕωω +−= tAtx&&;)()(

−= tx

mDtx&&

231

t

Grundbegriffe und Zusammenhänge bei harmonischen Schwingungen

Schwingungsdauer T, Amplitude A und Phase ϕeiner harmonischen Schwingung.

Auslenkung x(t), Geschwindigkeit dx/dt, und Be-schleunigung d2x/dt2 bei einer harmonischen

Schwingung.

Zwei harmonische Schwingungen gleicher Fre-quenz ω mit einer relativen Phasen-

verschiebung ϕ.

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Potentielle und kinetische Energie bei harmonischen Schwingungen

Epot(x) = ∫ ∫ ==

x x

xD

dxxDdxF

0 0

2;2

Ekin = ;2

2vm

( ) ( ) .;cos;sin 0000 vxtxxvtxx ==== ωωωω &

Epot = ( );sin2

220 tx

Dω Ekin = ( ) .cos

2222

0 txm

ωω

Mit :2

mD=ω

Epot + Ekin = ( ) ( )( ) .222

cossin2

220

20

20

1

2220 ωωω ⋅===+ x

mv

mx

Dttx

D4444 34444 21

Wir berechnen die Mittelwerte von Epot und Ekin während einer Periode T: .

( )

( ) .4

cos2

)(1

;4

sin2

)(1

220

0

222

0

0

20

0

22

0

0

ωω

ω

ω

mxdtt

Tmx

dttET

E

DxdttT

DxdttET

E

TT

kinkin

TT

potpot

===

===

∫∫

∫∫

234

Mit ( ) ( )21

cos1

sin1

0

2

0

2 == ∫∫ dttT

dttT

TT

ωω wird:

.21

44

220

20

geskinpot EmxxD

EE ====ω

Im zeitlichen Mittel entfällt auf beide Energiearten der gleiche Anteil an der Gesamtenergie (Gleichverteilungssatz).

Zeitlicher Verlauf von Epot und Ekin:

~Epot

~Ekin

~x(t)

= 2ωmD

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Drehpendel (ungedämpft):

Feder erzeugt ein Drehmoment (D*: Richtmoment)

proportional zum Drehwinkel

Aktionsprinzip für Drehungen liefert:

Daraus ergibt sich die Differentialgleichung:

Man findet analog zum Federpendel die allgemeine Lösung:

ϕrr

*DM −=

.LMJ &rr&&r ==ϕ

ϕ

.*

ϕϕr&&r

JD

−=

).sin()( * αϕ += tAt JD

235

Fadenpendel (ungedämpft; starrer, masseloser „Faden“):

Aktionsprinzip:

Näherung: Punktförmige Masse m: (mathematisches Pendel)

m

FlMrrr

×=

Fr

ϕ

lr

x

y

z Mr

ωr

)cos,0,sin( ϕϕ lll −=r

),0,0( mgF −=r

)0,sin,0( ϕlmgM =⇒r

),,( xyyxzxxzyzzy FlFlFlFlFlFlFl −−−=×rr

MJr

&r =ω

2lmJ =

ϕϕ sinmglJ =− &&

ϕϕ sinlg

−=&&

)0,,0( ϕω &r−=mit

236

(nur y -Komponente)

Dgl. des mathematischen Pendels

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Die Dgl. ist nichtlinear:

Eine Lösung dieser Dgl. kann nicht als einfache Funktion hingeschrieben

werden.

Eine Möglichkeit: Differentialgleichung nähern für kleine Auslenkungen:

(Taylorreihe)

Damit ergibt sich:

Ansatz für die Funktionen:

ϕϕ sinlg

−=&&

44 344 21K

ϕ

ϕϕϕϕ kleine für klein

5!5

13!3

1sin −+−=

ϕϕlg

−=&&

)sin()( αϕ +Ω= tAt

)cos()( αϕ +ΩΩ= tAt&

)sin()( 2 αϕ +ΩΩ−= tAt&&237

Einsetzen in Dgl. liefert

Die Bestimmungsgleichung für die Frequenz lautet:

Allgemeine Lösung für kleine Auslenkungen ist also:

Amplitude A und Phase α müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

).sin()sin(2 αα +Ω−=+ΩΩ− tAlg

tA

gl

Tlg

π22 =⇒=Ω

)sin()( αϕ += tAt lg

238

Numerische Integration der exak-ten Dgl.:

für die Beschreibung großer Amp-lituden. Anharmonisches Verhalten.

.sinϕϕlg

−=&&

−= ϕϕ

lg&&

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Schwingungsdauer hängt von der Amplitude ab.

Für kleine Amplituden ϕ0 < 5° ist die linearisierte Dgl. geeignet.

Schwingungsdauer T des Stabpendels als Funktion der Auslenkung:

T bezogen auf T0 = Schwingungsdauer bei Amplitude → 0

Diese Kurve gilt so für jedes Fadenpendel („Stabpendel“)

Singularität (Pol) bei ϕ=180°. Kein Problem: Pendel bleibt aufrecht stehen.

239

Wenn die Schwingungsdauer von der Auslenkung abhängt, ergeben

sich Bewegungen, die nicht sinusförmig sind.

→ Anharmonische Schwingung

Beispiele:

Mit Laserpulsen Anregung der Elektronen in Festkörpern zu Plasma-

Schwingungen:

schwacher Laserpuls → kleine Amplitude → harmonische Schwingung

starker Laserpuls → große Amplitude → anharmonische Schwingung.

Thermische Ausdehnung in Festkörpern: Bei großen Schwingungs-

amplituden der Atome in Festkörpern und Flüssigkeiten (bei hohen

Temperaturen) vergrößern sich die mittleren Gleichgewichtsabstände

der Atome, weil die Bindungskräfte nichtlinear vom Abstand abhängen:

→ Ausdehnung im makroskopischen Maßstab.

240

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Berechnung für Fadenpendel mit ausgedehnter Kugel:

(Gleichung gilt für beliebiges J,

„Physikalisches Pendel“)

Trägheitsmoment der Kugel:

Steinerscher Satz liefert:

Es folgt:

Man erhält die Schwingungsdauer:

)()( tmgltJ ϕϕ =− &&

2522 RmlmJ +=

252 RmJ =

)()()( 2522 tmgltRmlm ϕϕ =+− &&

)()()52

1(2

2

tlg

tlR

ϕϕ =+− &&

)(1

1)(

2

2

52

tlg

tlR

ϕϕ+

−=&&

+=

2

2

52

12lR

gl

T π

241

Aufhängung

Schwerpunkt

gmFrr

⋅=ϕ

Versuch: Bestimmung von g mit Fadenpendel:

Aus der Schwingungsdauer

erhält man

Wichtig: kleine Amplituden verwenden

+=

2

2

52

12lR

gl

T π

+= 2

2

22

52

14lR

Tl

g π l = (6.000 ± 0.001) m

R = (0.050 ± 0.001) m

T = (4.918 ± 0.001) s

g = (9.7941 ± 0.005) m/s2

242

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Mathematische Ergänzung am Beispiel des Federpendels:

Komplexer Ansatz zur Lösung der Dgl.

Bisher: Die Bewegung wird vollständig beschrieben durch die Funktion:

Jetzt: Behandlung der Dgl. des harmonischen Oszillators in der komplexen

(Gaußschen) Zahlenebene:

Komplexe Zahl z = x + i y; x = Re(z), y = Im(z).

Re: Realteil, Im: Imaginärteil.

z* = x – iy : Konjugiert komplexe Zahl.

„Eulersche Formeln“ (1748):

).sin()sin()( ϕωϕ +=+= tAtAtx mD

243

.1;1 2 −=−= ii

)Re(, zx

ϕϕϕ iei ±=± sincos

,2

sin,2

cosieeee iiii ϕϕϕϕ

ϕϕ−− −=+=

(Herleitung beispielsweise über die Entwicklung in Potenzreihen: x ? iϕ)

)Im(, zy

z y

x

ϕ

z* = x - iy

y−

KK ++++++=!!3!2

132

nxxx

xen

x

Komplexe Zahlen:

Addition:

Multiplikation:

Die reellen Zahlen sind in der Menge der komplexen Zahlen (Imaginärteil = 0).

Für physikalische Aussagen ist nur der Realteil einer komplexen Zahl

maßgebend. Vorsicht bei der Multiplikation von zwei als komplexe Zahlen

dargestellten physikalischen Größen!

)()()( ybixaiyxiba +++=+++

)()()( aybxibyaxiyxiba ++−=+⋅+

244

.,;)sin(cos*

22

=+==±=±=

±

xyarctgyxReRiRyix

zz i ϕϕϕ ϕ

.1;;1; 2422

3322

3

2 ==−===−==== ±−±− iiiiiieiieeieieei π

πππ

ππ

( )21212121

ϕϕϕϕ +=⋅ iii errerer

)Im(, zy

z y

x

ϕ

z* = x - iy

y−

( ) ( ).Im2*;Re2* zzzzzz =−=+

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Wir betrachten die komplexe Funktion

Anwendung auf die Dgl. für das Federpendel:

Lösungsansatz durch komplexe Funktion (? komplex):

Einsetzen liefert: m

x

0=x

⋅−= )()( txmD

tx&&

,)( tetx λ= ,)( tetx λλ=& .)( 2 tetx λλ=&&

tt emD

e λλλ −=2 .ωλ imD

±=−±=⇒245

( ) ( ):sincos])exp([ tittiee

ti

ti

ωωωω

ω

±=±=

+Einheitskreis

Der Einheitskreis wird einmal pro Schwingungsdauer T mit konst. ωdurchlaufen. Projektion auf die reelle oder im. Achse: Harm.Schwingung.

Re

Im

1

i

i−

1−

Federpendel mit Dämpfung: Gedämpft durch Stokessche Reibung

Dort sind Gewichtskraft und Auftrieb bereits kompensiert.

Weitere Kräfte:

Bewegungsgleichung aus Aktionsprinzip:

Abkürzung:

m

,xDFF

rr−=

.6 vrFR

rrηπ−=

);(6)()( txrtxDtxm &&& ηπ−−=

.0)()(6

)( =++ txmD

txm

rtx &&& ηπ

.;/3;0)()(2)( 20

20 m

Dmrtxtxtx ===++ ωηπγωγ &&&

Öl, (?)

246

x

r2

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tAetx λ=)(

Ansatz

λ: komplex; A,ϕ: reelle Amplitude und Phase

teAtx λλ=)(&

teAtx λλ2)( =&&

Einsetzen:

Daraus Bestimmungsgleichung für λ:

Quadratische Gleichung mit den Lösungen:

.02 20

2 =++ ttt eAeAeA λλλ ωλγλ

.02 20

2 =++ ωλγλ

.20

22/1 ωγγλ −±−=

247

(Reduktion der Lösung der Dgl. auf Lösung der algebraischen („charakteristischen“) Gleichung!)

1. Fall: Schwache Dämpfung: γ < ω0

Wurzel wird imaginär. Abkürzung:

Übergang zum Realteil:

Allgemeine Lösung:

Beachte: Schwingungsfrequenz ω ist dämpfungsabhängig!

Sie nimmt mit wachsender Dämpfung ab.

τ = 1 / γ : Abklingzeit der Schwingungsamplitude auf 1/e, (~37 %).

20

22/1 ωγγλ −±−= Radikant ist negativ,

2202/1 mit γωωωγλ −=±−= i

)()( 21 tittit eeAtx ωγωγ −−+− +=

tAe t ωγ cos−=

)cos()cos()( ϕωϕω τγ +=+=−− tAetAetx

tt

248

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249

)( 1tx

)( 2tx

)( 3tx123 ttt >>

In der Gaußschen Zahlenebene beschreibt der komplexe Radiusvektor x(t) einer ge-dämpften Schwingung eine logarithmische Spirale, die sich asymptotisch dem Ur-sprung nähert.

Gesamtenergie Eges bei einer gedämpften Schwingung:

.22

2/22max.

τt

ges eAD

xD

E−

==

Eges klingt mit der halben Zeitkonstanten, d.h. doppelt so schnell ab wie die Amplitude.

Kennzeichnung der Dämpfung eines Schwingungssystems durch Gütefaktor Q:

Tdt

dE

tE

tZeitzurTPeriodeprolustEnergievertZeitzurSchwingungdergieGesamtener

Q

t

ges

ges

⋅=⋅=

.

. )(22 ππ

.22

2 τωτπ ⋅=⋅=T

QBeispiele: Drehpendel: Q ˜ 40, Erde (Erdbeben-wellen): Q ˜ 250 – 1 500, Saite eines Musikinstru-mentes : Q ˜ 103, Hohlraumresonator f. Mikrowellen: Q ˜ 104 – 106, Elektronen in Atomen: Q ˜ 106 – 1012.

2. Fall: Starke Dämpfung: γ > ω0

Wurzel bleibt reell, d.h. keine periodische Bewegung. Abkürzung:

Allgemeinster Lösungsansatz:

Anfangsbedingungen, z.B. x(t=0) = 0; dx/dt (t=0) = v0.

Daraus: A = -A* = A; 2αA = v0.

Die Lösung für die spez. Anfangsbedingungen lautet:

.20

22/1 ωγγλ −±−= Radikant ist positiv!

.mit 20

22/1 ωγααγλ −=±−=

.sinh)( 0 tev

tx t αα

γ−=

250

( ) .2

)cosh(,2

sinhxxxx ee

xee

x−− +

=−

=

( )ttt eAeAetx ααγ −− += *)(

(Kriechfall)

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3. Fall: Aperiodischer Grenzfall: γ = ω0

Beide komplexe Lösungen sind entartet.

Man kann zeigen, daß dann die Lösung

gegeben ist durch:

A und B lassen sich wieder aus den

Anfangsbedingungen bestimmen.

Anwendung in Zeigerinstrumenten,

Fahrzeugfederungen (Stoßdämpfer).

434210

20

22/1

=

−±−= ωγγλ

γλ −=2/1

tetBAtx γ−+= )()(

251

B. Erzwungene Schwingungen

Federpendel: periodisch mit Kreisfrequenz O angeregt.

Es wirke eine äußere Kraft:

Kräftebilanz und Dgl:

Abkürzungen:

Übergang ins Komplexe,

(x ? z):

Die äußere Kraft prägt der Schwingung die Frequenz O auf.

Die Lösung setzt sich aus der allgem. Lösung der homogenen

Gleichung (rechte Seite = 0) plus einer speziellen Lösung der

inhomogenen Gleichung zusammen.

00 :...cos)( ω≠ΩΩ= aitFtFA

.cos)()(6

)( 0 tmF

txmD

txm

rtx Ω=++ &&& ηπ

m

Öl

.cos)()(2)( 20 tKtxtxtx Ω=++ ωγ &&&

252

F0, O

.2 20

tieKzzz Ω=++ ωγ &&&

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Lösungsansatz: ( )( ):exp α+Ω⋅= tiAz .; 2 zzziz Ω−=Ω= &&&

.2 20

tieKzzz Ω=++ ωγ &&& Es wird:

zeKzziz ti :2 20

2 Ω⋅=+Ω+Ω− ωγ

.2 20

2 αα κωγ ii eeAK

i −− ==+Ω+Ω− Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen liefert (Betrag)2.

( ) ( ) .2 222220 κγω =Ω+Ω−

κκ ⋅==

mFK

AAAmplitude 0:

Amplitude A der erzwungenen Schwingung:

( ) ( ).

2 22220

0

Ω+Ω−⋅=

γωm

FA

Homogene Lösung: Einschwingvorgang (siehe oben). Inhomogene Lö-sung: Stationärer Zustand, (hier allein behandelt).

Gesucht: A, α.

Re

Im

220 Ω−ω

Ωγ2κα−

( ).2

220 Ω−

Ω−=

ω

γαtg

Phase:

.2 220 γωω −=R

254

( ) ( )22220

0

2 Ω+Ω−⋅=

γωm

FA

A zeigt eine Resonanz für O? ω0! Bei verschwindender Dämpfung (γ? 0) di-

vergiert A, d.h. A? 8 .

Die genaue Resonanzfrequenz ωR erhält man aus dA/dO = 0 zu:

Halbwertsbreite ? ωHW: Breite der Resonanzkurve bei halber Reso-nanzamplitude. Man findet mit der Näherung ωR = ω0:

.32 γ≈Ω∆ HW

Die Halbwertsbreite steigt mit der Dämpfung γ.

Amplitude:

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255

•Die Amplitude ist um so größer, je dichter O an ω0 (Resonanz) liegt.•Die Resonanz ist umso schmaler, je schwächer die Dämpfung ist.•Die Phase ändert sich von 0 auf -π mit zunehmender Frequenz.•Die stärkste Phasenänderung ist bei ω0.•Der Phasensprung ist um so abrupter, je schwächer die Dämpfung ist.

3. Leistungsaufnahme des Oszillators bei erzwungenen Schwingungen:

Die aus der Anregung aufgenommene momentane Leistung P wird in

„Reibungswärme“ umgesetzt.

Während einer Periode T umgesetzte Arbeit:

);(sin22 2222

2 ϕγγ +ΩΩ==⋅= tAmvmvFP R

rr

.

2/

d)(sin2d 22222 TmA

T

ttAmtPW

Tt

t

Tt

t

Ω=

=

+ΩΩ== ∫∫++

γϕγ

444 3444 21

256

( ).sin,/3;6

ϕηπγ

ηπ

+ΩΩ===

=

tAxvmrvrFR

&

rr

Im zeitlichen Mittel umgesetzte Leistung: .22 Ω== AmTW

P γ

Einsetzen von A liefert:

( ) ( ).

2)(

22220

22

Ω+Ω−

Ω=Ω

γω

γ KmP

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(Lorentzfunktion)

Die größte Leistung wird bei ω = ω0 umgesetzt.257

;4

)(2

max0 γω

KmPP ===Ω damit: ( )

( ) ( ).

22

)(2222

2

max0 Ω+Ω−

Ω⋅=Ωγω

γPP

Für die Halbwertsbreite findet man: .2γ=∆Ω∆Ω

(Möglichkeit zur experimentellen Bestimmung der Dämpfungs-größe von Materieanregungen!)

Ω

Für kleine Dämpfung (?Ω << Ω) kann man setzen:

( ) ( )( )

( )( ) 22

0

2

max

0

0022

0

:.2

γω

γ

ω

ωωω

+Ω−⋅=Ω

Ω⋅Ω−≈

Ω+⋅Ω−=Ω−

PP

Damit

258

Beispiele für Materieanregungen

Realteil (ε ) und Imagi-närteil (ε´ ) der optischen Dielektrizitätskonstantenε(ω) für den polaren Halb-leiter GaP im Bereich deroptischen Gitterschwin-gung im infraroten Spek-tralbereich

Totaler Wirkungsquer-schnitt für den Einfang von Neutronen in 92U für Neu-tronen-Einfangsenergienzwischen 1 eV und 103 eV.

Neutronen bestimmter Ener-gienkönnen in den Kern eindringen mit einer ge-wissenVerweildauer dort, (? Halbwertsbreite).

Resonanzabsorption von π+-Mesonen (Pionen) mit Ener-gienbis zu 0,5 GeV in Proto-nen (Wasserstoff). Das ange-regte „N-Teilchen“ lebt nur für die Dauer der Flugzeit von π+ durch das Proton.

(Meson: Schweres Elektron, instabil, m π+ = 273 m e- ).