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EinführungDie freie harmonische Schwingung

Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz

Schwingungen

Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer

Universität Heidelberg

Proseminar Analysis

Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter

Wintersemester 2008/2009, 09.12.2008

Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Die freie harmonische Schwingungohne Reibungmit Reibung

3 Die erzwungene harmonische Schwingung

4 Resonanz

Einführung

De�nition

Eine Schwingung ist eine periodisch wiederkehrendeBewegung um einen Ruhepunkt.

Arten von harmonischen Schwingungen

frei oder erzwungen

gedämpft oder ungedämpft

Einführung

De�nition

Eine Schwingung ist eine periodisch wiederkehrendeBewegung um einen Ruhepunkt.

Arten von harmonischen Schwingungen

frei oder erzwungen

gedämpft oder ungedämpft

Einführung

Begri�sde�nitionen

Schwingungsdauer: T = t

Elongation = momentane Auslenkung zur Ruhelage

Amplitude = maximale Elongation

Frequenz [Hz]: f = n

Einführung

ohne Reibungmit Reibung

Problem: mathematische Darstellung des

Schwingungsvorgangs

Abb: [3], S.108 (veränderte Version)

Problem: mathematische Darstellung des

Schwingungsvorgangs

Applet: Federpendel - Kreisbewegung - SinusfunktionQuelle:http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/pendel2.html(9.12.08)

Das Zeit-Elongation-Gesetz

sin (ϕ) =x

⇔ x = A sin (ϕ)

⇒ x(t) = A sin (ωt)

sin (ϕ) =x

⇔ x = A sin (ϕ)

sin (ϕ) =x

⇔ x = A sin (ϕ)

x(t) = A sin (ωt + ϕ0)

Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: x(t) = v(t) = Aω cos (ωt + ϕ)

Zeit-Beschleunigung-Gesetz: x(t) = a(t) = −ω2A sin (ωt + ϕ)

= −ω2x(t)Abb: [3], S.108 (veränderte Version)

Physikalische Betrachtungsweise

Kraftansatz:ma = −kx ⇔ mx = −kx

Lösung:

x(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt), mit ω =

Zusammenführung:

c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) = A sin (ωt + ϕ0)

Lösung:

Zusammenführung:

Lösung:

Zusammenführung:

Reibung

keine Reibung unrealistisch

bereits Luft erzeugt Reibung

Reibungskonstante r > 0

proportional zur Geschwindigkeit, also r x

mx = −kx − r x ⇔ mx + r x + kx = 0

Reibung

keine Reibung unrealistisch

bereits Luft erzeugt Reibung

Reibungskonstante r > 0

proportional zur Geschwindigkeit, also r x

mx = −kx − r x ⇔ mx + r x + kx = 0

Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0

gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�

Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante λ, sodass x = eλt

eine Lösung darstellt

x = λeλt und x = λ2eλt

mx + r x + kx = 0 ⇒ mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0

⇒ mλ2 + rλ+ k = 0

λ1 = − r

√r2 − 4mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 − 4mk

⇒ x1 = eλ1t und x2 = eλ2t sind zwei spezielle Lösungen

λ1 = − r

√r2 − 4mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 − 4mk

1. Fall: r2 − 4mk > 0

Lösung: x(t) = c1eλ1t + c2e

2. Fall: r2 − 4mk = 0

Lösung: x(t) = c1e− r

2mt + c2te

λ1 = − r

√r2 − 4mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 − 4mk

1. Fall: r2 − 4mk > 0

2. Fall: r2 − 4mk = 0

2mt + c2te

λ1 = − r

√r2 − 4mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 − 4mk

1. Fall: r2 − 4mk > 0

2. Fall: r2 − 4mk = 0

2mt + c2te

λ1 = − r

√r2 −mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 −mk

3. Fall: r2 − 4mk < 0

wegen negativer Diskriminante komplexe Lösung

es existiert ein γ in R sodass gilt:

r2 − 4mk = −4m2γ2

(⇔ γ =

m− r2

Es ist also: λ1 = − r

2m+ iγ und λ2 = − r

2m− iγ

λ1 = − r

√r2 −mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 −mk

3. Fall: r2 − 4mk < 0

r2 − 4mk = −4m2γ2

(⇔ γ =

m− r2

2m− iγ

λ1 = − r

√r2 −mk , λ2 = − r

2m− 1

√r2 −mk

3. Fall: r2 − 4mk < 0

r2 − 4mk = −4m2γ2

(⇔ γ =

m− r2

2m− iγ

3. Fall: r2 − 4mk < 0Lösung:

x(t) = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r

⇔ x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r

Insbesondere gilt für r = 0:

m− 0

4m2= ω und e−

02m t = 1

3. Fall: r2 − 4mk < 0Lösung:

x(t) = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r

⇔ x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r

Insbesondere gilt für r = 0:

m− 0

4m2= ω und e−

02m t = 1

Physikalische Interpretation

x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r

stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar

Amplitude klingtexponentiell ab

Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r

Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/

abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)

Die erzwungene harmonische Schwingung

Voraussetzen der Einwirkung einer äuÿeren Kraft f (t) 6= 0

mx = −r x − kx + f (t) ⇔ mx + r x + kx = f (t)

Abb: [3], S.119

Vorbemerkungen zur Lösung einer unhomogenen DGL

Addiert man zu einer Lösung der unhomogenenDi�erentialgleichung alle Lösungen der homogenenDi�erentialgleichung, erhält man sämtliche Lösungen derunhomogenen.

Die Wirkung einer Kraft f (t) ist in derselben Weise wie dieKraft selbst zerlegbar.f (t) = f1(t) + f2(t) (Superpositionsprinzip)

x1(t) löst mx + r x + kx = f1(t)x2(t) löst mx + r x + kx = f2(t)

}x1(t) + x2(t) löst f (t)

Vorbemerkungen zur Lösung einer unhomogenen DGL

Addiert man zu einer Lösung der unhomogenenDi�erentialgleichung alle Lösungen der homogenenDi�erentialgleichung, erhält man sämtliche Lösungen derunhomogenen.

Die Wirkung einer Kraft f (t) ist in derselben Weise wie dieKraft selbst zerlegbar.f (t) = f1(t) + f2(t) (Superpositionsprinzip)

x1(t) löst mx + r x + kx = f1(t)x2(t) löst mx + r x + kx = f2(t)

}x1(t) + x2(t) löst f (t)

Vorbemerkungen zur Lösung der unhomogenen DGL

Annahme der äuÿeren Kraft als a) Kosinus- oderb) Sinusschwingung, also in der Form a cosωt oder b sinωt

⇒ f (t) = ce iωt

Also gilt zu lösen:mx + r x + kx = ce iωt

⇒ f (t) = ce iωt

Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt

Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante σ, sodassx = σe iωt eine Lösung darstellt

x = iωσe iωt x = −ω2σe iωt

⇒ −mω2σ + irωσ + kσ = c

⇔ σ =c

−mω2 + irω + k

⇔ σ =c

−mω2 + irω + k

⇔ σ =c

−mω2 + irω + k

⇔ σ =c

−mω2 + irω + k

a) cα cos(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c cosωt

b) cα sin(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c sinωt

⇒ Die Wirkung ist eine Funktion derselben Art wie die von auÿeneinwirkende Kraft, eine ungedämpfte Schwingung.

Allgemeine Lösung:

a) x(t) = cα cos(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r

b) x(t) = cα sin(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r

Allgemeine Lösung:

Resonanz

die äuÿere Kraft kann mit verschiedenen Frequenzen einwirken

Betrachtung des Verzerrungsfaktors α in Abhängigkeit von derErregerfrequenz ω > 0

α = ψ(ω) =1√

(k −mω2)2 + r2ω2

Resonanz

die äuÿere Kraft kann mit verschiedenen Frequenzen einwirken

Betrachtung des Verzerrungsfaktors α in Abhängigkeit von derErregerfrequenz ω > 0

α = ψ(ω) =1√

(k −mω2)2 + r2ω2

Resonanzkurve ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2

maximaler Verzerrungsfaktor α bei:

ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)

((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0

⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0

⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0

⇔ ω1 =

m− r2

ω1 heiÿt Resonanzfrequenz

Resonanz falls: Erregerfrequenz (ω) ≈ Eigenfrequenz (γ)

ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)

((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0

⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0

⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0

⇔ ω1 =

m− r2

ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)

((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0

⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0

⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0

⇔ ω1 =

m− r2

ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)

((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0

⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0

⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0

⇔ ω1 =

m− r2

Resonanzkatastrophe ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2

maximaler Verzerrungsfaktor bei

αmax = ψ(ω1) =1

m− r2

für r → 0 strebt α gegen unendlich

⇒ Resonanzkatastrophe

Resonanzkatastrophe ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2

maximaler Verzerrungsfaktor bei

αmax = ψ(ω1) =1

m− r2

für r → 0 strebt α gegen unendlich

⇒ Resonanzkatastrophe

Resonanzkurven für m = 1, k = 1

Beispiele

Schaukel

Tacoma-Brücke

Abb: http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zersingen_1_3.pdf

(30.11.08)

Beispiele

Schaukel

Tacoma-Brücke

(30.11.08)

Beispiele

Schaukel

Tacoma-Brücke

(30.11.08)

Quellenangaben

[1] Courant, Richard: Vorlesungen über Di�erentialund Integralrechnung 1,Springer Verlag, Berlin -

Heidelberg - New York, 4.Au�age, 1971.

[2] Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1,Teubner Verlag, Wiesbaden, 16. Au�age, 2006.

[3] Grehn, Joachim & Krause, Joachim (Hrsg.):Metzler Physik, Schroedel Verlag, Hannover, 3.Au�age, 2004.

...Frohe Weihnachten!

Vielen Dank für EureAufmerksamkeit!

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