Seiten aus Einf¼hrung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.J¼rgen Tietze

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InhaltsverzeichnisAbkiirz ungen, varta blenna men .Voraussetzungen undHilfsmitt el .1.1 Pmzcntrcchnung .1.2 Lincarc (cinfachc) Verzinsung . .1.2.1 Grundlagcn J eTlinearenVcrzinsung .1.2.2 Das Aquivalcnzprinzip dcr Finanzmathcmatik (beilincarcrVcrzinsung)1.2.3 Terrninrcchnung- mitt lcrcr Zahlungstcrmin .1.2.4 Vorschiissigc Vcrzinsung, Wcchscldiskonticrung .2 zlnsesalnsrechnung(cxponenticllc Vcrzinsung) .2.1 Grundlagen der Zinseszinsrcchnung .2.2 Das Aquivalenzprinzip der Finanzmat hcmatik (bei Zi nseszinscn) .2.3 Unterjabrige Verzinsung .2.3.1 Diskrete umcrjahrigc Verzinsung .2.3.2 Zur Effektivvcrzinsung kurzfristigcr Krcdite .2.3.3 Gcmischte Vcrzinsung .2.3.4 Stetige Verzinsung .2.4 Inflation und vemnsung .2.4.1 Inflation .2.4.2 Exponentielle Verzinsung unter Bcriicksichtigungvon PrcissteigcrungenlInflation .3 Rentenrechnu ng .3.1 Vorbcmerkungcn .3.2 Gcsamtwert (Zcitwert) einer Rente zu bcliehigen Bcwcrtungsstiehtagen .3.3 vor- und nachschiissige Renten .3.4 Rentenrechnung und Aquivalcnzprinzip- Bcispicle und Aufgabcn .3.5 Zusammengcsetztc Zahlungsrcihen und wcchsclndcr Zinssatz .3.6 E'.Vib'C Rcnten .3.7 Kapitalaufbau/ Kapitalabbau durch laufende Zufliisse/Entnahmcn .3.8 Auscinandctfallcn von Ratentenninund Zinszuschlagtermin .3.8.1 Rentenpcriode groBerals Zinsperiode .3.8.2 Zinspcriode groBerals Rentenperiode .3.8.2.1 ICMA - Methode Methode") .3.8.2.2 US-Methode .. .. . . . .. . .. . . . .3.8.2.3 .VIIxII17182638465151627575828588939396101101102106109118121126I32I3J136136138139VI II Inhaltsverzcichnis3.9 Renten mit vcrandcrtlchcn Raten. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1493.9.1 Arithmctisch vcriindc rlichcRcntcn. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.9.2 Gcomet risch verandcrlichcRcntcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . 1553.9.2.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . 1553.9.2.2 Geomet risch steigcnde Renten - Knmpcnsation von Preisstcigcrungcn 1593.9.2.3 Zusammenfassung . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . 1613.9.3 v eranderttche untcrjahrig zahlbarc Renten 165..J Ttlgungsrechnung 1734.1 Grundlagen, Tllgungsplan. Vergleichskonto 1734.2 Tilgungsartcn 1814.2.1 Allgemeine Tilgungsschuld 1814.2.2 GesamtfalligeSchuld ohne Zinsansammlung 1844.2.3 GesamtfantgcSchuld mit vollstandiger Zinsansammlung 1854.2.4 Ratentilgung(Ratenschuld) 1864.2.5 Annurtatcntngueg[Annuitatenschuld) 1874.2.5.1 An nuitatcnkrcdit -Standardfall 1874.2.5.2 Annuitatcnkrcdit - Eeganzungcn 1934.2.5.3 Exkurs: Annuitatcnkrcdit mit Disagio 1984.2. 5.4 Exkurs: Tilgungsstrcckung, Zahlungsaufschub, Tilgungsst rcckungs-darlehen, Stilckelung 2034.3 Tilgungsrcchnung bci unteejahrigenZahlungcn 2124.3.] Kontofiihrungsmethode 1(360-Tagc-Mcthode) . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3.2 Kontofiihrungsmcthode 2(Braess] 2144.3.3 Kontofiihrungsmelhode 3 (US) 2154.3.4 Kontofuhrungsmcthode 4(leMA) . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2174.4 Nachschilssigc Tllgungsverrechnung 2205 Die Ennitt lung des Effektivzinssatz es in der Finanzmathemat lk 2255.1 Grundlagen 2255.1.1 Ocr Effcktivzinsbcgriff 2255.1.2 Berechnungsverfahren filr den Effekt ivzinssatz 2305.2 Effcktivzinscnni ttlung bel jahrlichen Leistungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.2.1 Effcktivzinsennittlung bel StandardkreJiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.2.2 Exkurs: Disagiocrstatt ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . 2455.2.3 Exkurs: Unterschiedliche KrcditkonJ it ionen bci gleichem Zahlungsstrom 2465.3 Effektivzinscnnittlung bet untcrjahngcn Leistungen 2535.3.1 2- Phasen-Plan zur Effeknvzi nscrmitrlung 2535.3.2 Die Bcrechnungvon id f:Anwendungen des 2-Phasen-Plans - Variationcn cinesBasis-Krcdits . . . . . 2605.3.3 Effektivverzinsung und untcrja hrigc Zahlungen - ausgcwahltcProblcme. . . 2735.3.3.1 Disagio-Varianten bci idcntischcn Zahtungsstromcn 2745.3.3.2 Tilgungsstrcckungsdarlehcn bei untcrja hrigcn Lcist ungcn 2795.3.3.3 Di sagio-Ruckerstatrung bei untesjahrigen Leistungcn . . .. . . . .. . . . . 2835.3.3.4 Effektivverzinsung von Ratenkrcditen 2845.3.3.5 Anlagcfonnen mit unterjahrigenLeistungen- Beispiel Bonussparcn 2885.3.3.6 Obungsaufgabcn zur Effcktivzinscnnittl ungbel unrcrjahrfgen Leistungc n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.4 Exkurs: Finanzmathcmat ischc Aspekte zurVcrzinsungsmcthodc 297lnhaltsverzcichnis IX6 EinfUhrung in die Finanzmat hemat ik festverzl nsllcher Wertpap iere 3076.1 Grundlagen dcr Kursrcchnung und Renditccrmitclung. . . . . . . . . . . . .. . . 3076.2 Kurs und Rendite bei ganzzahligcn Restlaufzeiten . . _. . . . . . . . . . . . . . . . 3136.3 Kurs und Renditc zu beliebigcn Zcitpunkten - Stuckzinscn und Borscnkurs . . . . . . . . 3167 Exkurs: Aspekte derRisikcanalyse - das Durat ion-Konzept 3217.1 Die Duration als MaGfur die Zinscmpfindlichkeit von Anleihen 3227.2 Die Duration von Standard-Anlcihen -Bcrcchnungwcrfahren und EinflussgroJ3cn . . . 3287.3 Die immunisierende Eigcnschaft der Duration 3397.4 Duration und Convexity 3458 Exkurs: Derivative Finanz inslrumente - Futures und Opt lonen , . . , . . . . . . . . . 3518. 1 Termingeschaftc: Futures und Optionen -ein Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.2 Forwards/ Fut ures: Tenninkauf und -verkauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3538.3 Optionen: Basisformcn 3598.4 Einfaehe Kombinalioncn aus Hxgcschartcn und Optionen 3678.5 Spreads : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728.6 Straddles 3778.7 Strangles ICombinations. . .. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . 3798.8 Einfilhrung in die Opuonsprcisbewertung 3819 Fina nzmat hematisc he Verfa hren der- Investtrl onsrechnung 3959.1 Vorbemcrkungcn _.. . . . . . . . . . . . . 3959.2 Kapitalwcrt und aquivakntc Annultat einer Investinon. . . . .. . . . . . . . . . . . . 3979.3 Intcrncr Zinssalz ciner Investition-Vorteilhaftigkcitskrilerien 404Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . 421Sachwortverzeichnis . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4255.3 Effcknvzinscrmittlung bci untcrjahngcn Lcistungcn 261Urn einen gcwissen Obcrblick zu behalten, werden die untersuchten60 Faile des Basiskredits inTabcllc 5.3.5nummcriert {Zeilen-Nummemvon0bis 9, Spalten-Nummemvon0bis 5) undwie folgtgckennzeichnct:PHASE 2 Effektivzins-Fall Nr.falls Krcditauszahlung 100% falls Krcditauszahlung94%und id rKontofOhrung nach: und iefCKontofUhrung nach:Tab. 53.5I II III I II IIIPHASE1 360Th1 1CMA us 360TM l eMA USLauf- 360lM A 00 01 02 03 04 05zeit2 JahreICMA B 10 11 12 13 14 15+US C 20 21 22 23 24 25Krcdit-konto- nachschuss. TV:fUhrung zvrrvj ahrl. D30 31 32 33 34 35nach:nachschiiss. TV:zvrrv halbj . E40 41 42 43 44 45Gesamt- 360TM A 50 51 52 53 54 55taut-zeit1CMA B 60 61 62 63 64 65+US C 70 71 72 73 74 75Krcdit-konto- nachschiiss. TV:fUhrung zvrrvjMrrI. D80 81 82 83 84 85nach:nachschiiss.TV:zvrrvhalbj . E90 91 92 93 94 95Lese-Beispiele:i) Fall ,,73" beaeum:DerKredit wtrduber seine Gesamuauf eeit barachtet, Auszahtung94%- d.h. Disagio6%-,dasKreaukonso(Phase I) wird nach der US-Melhodeabgerechnet (d.h. miI2,5%p.Q. Zi nses-zinsen], Der Effek tivzinssatzhingegen wird mil der "360- Tage- MethodeU temspricht der allenPAngV1985)ii) Fall ,,41" bedeutet:Kredillaufzeu 2 Jahre, Auszahlung 100%, dasKreaukomowird halbj iihrlkh(mit demZinssatz5%p. R. ) abgerechnabei hafbjiihrlicher (nachschils siger) Tilgungsvenechnung:Obwohl derSchuldner vierteljiihrliche Raten zu je3.000 !Quartalleistet , werden zur Ennittlung der Rest-schuldKz amLaufzeitemJeRatenvon6.000 /Hal bjahr zugrunde gelegl.Unabh iingigdevon wird in Phase 2 der Effekuvzinssatz nach derinemationatenI CMA-Methode erminelt (emspridu der neuen PAngV 2000).262 5 Die Ermittiung des Bffcktivzinssat zcs in dec Finanzmathcmat ikPHASE 1: Enniltlung dec fchlcndcn zahlungsrelcvant cn Daten(hier: fehlende RestschuldK2bzw. fehlende Gesam/laut zeit/ferminzah/)Hille: (a) Laufzcit 2 Jahre(Rrstschuld Kdehll)(b) Gesamtlaufzcil/Terminzahl (fehll)A: Das Kreditkonto wird nach dcr 360-Tagc-Mcthode abgcwickclt,d.h. unterjahrig lineare Zinscn (10% p.a.](gill fur dieFaile00 bis 05 sowie50 bis 55)Der fur die Abwicklung des Kreditkontos ma13gcbliche Zahlungsstrahl lautct:3 3II I_IIe:Inl fbI3 31-1 ,_, (Zeitl3 3.'" /61Ir(ZI(a/ Kz,mH3'"--+---+--+-----If-(Kreditsumme l100 {T/-j3 3 3 3 3'" '" '"H'mIflWcfDer fur die AbwieklungdesKrcditkontosmaJ3gcblieheZah lungsstrahlist identisehmitdcm Zah lungsstrahl nach B, es muss lcdiglieh mit iQ=2,5% p.Q, abgerechnet werden:8 1,025S- 1(a) Kz =100 ' I ,025 -3' 0 025n 1,025n- 1(b) 100 ' 1,025 =3 0,025D: Krcditkonto mit jahrhcher Zins-und Tilgungsverrcchnung (i =10% p. a.) .(gill f ur die Faile10bis 15 sowie 80 his 85)Der f ur die Abwieklung desKrcdit kontos maJ3gebliehc Zahlungsstrahl laut ct :(Kreditsumme l , ~100 ITJ H---jf-1-(Zeit)(ROckzahlungenl12 12 12III IZI 101 Ibl(01 K,(h)95,80000T' 0 6" =--In 1, 1=18,79925=75,19698JahreQuartale.E: Kredi tkonto mit halbjahrlichcr Zins-und Tilgungsverrechnung (iH=5%p. H.)(gilt furdie Faile 40 bis 45sowie 90 bis 95)Ocr fOr die Abwicklung desKrcditkontos meegc blichc Zah lungsstrahllautet:(Kreditsumme' t oo100 JTJ f-I---jf- 1-{Zeit'6 6 6 6 6 6(Riickzahlungen'II I(21131(41 tn- f)(01 Ibl(a!K,(h)4 1,054- 1K2 =100 '1,05 -6 ' 0,05an 1,05 - 1100 1.os =6 ' 0,05 ;:)95,689875T'a6=> n=--In 1,05=36,72378=73,44757=18,36189HalbjahreQuartaleJahre.388 8 Exkur s: Derivative Finanzinstrument e - Futures und OpnoncnWiT sind jetzt in der Lage, dieBlack-Scholes-ronnel filr den (thromisch)farrenWert Pc cines dividen-dcngcschutzten europaischen Call zuformuueren. Gleichung(8.8.15) ist dabc i wi efolgtzu modifizieren:(8.8.17)mitIII (SIX) +(r +0,502)ToyTIn (