Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

8
Inhaltsverzeichnis Abkiirzungen, va rta blenna men . Voraussetzu ngen und Hilfsmitt el . 1.1 Pmzcntrcchnung . 1.2 Lincarc (cinfachc) Verzinsung . . 1.2.1 Grundlagcn J eTlinearen Vcrzinsung . 1.2.2 Das Aquivalcnzprinzip dcr Finanzmathcmatik (bei lincarcr Vcrzinsung) 1.2 .3 Terrninrcchnung - mittlcrcr Zahlungstcrmin . 1.2 .4 Vorschiissigc Vcrzinsung, Wcchscldiskonticrung . 2 zln sesalnsrechnun g (cxponenticllc V crzinsung) . 2.1 Grundlagen der Zinseszinsrcchnung . 2.2 Das Aquivalenzprinzip der Finanzmathcmatik (bei Zinseszinscn) . 2.3 Unterjabrige Verzinsung . 2.3.1 Diskrete umcrjahrigc Verzinsung . 2.3.2 Zur Effektivvcrzinsung kurzfristigcr Krcdite . 2.3.3 Gcmischte Vcrzinsung . 2.3.4 Stetige Verzinsung . 2 .4 Inflation und vemnsung . 2.4.1 Inflation . 2.4.2 Exponentielle Verzinsung unter Bcriicksichtigungvon Prcissteigcrungenl Inflation . 3 Renten rechnu ng . 3.1 Vorbcmerkungcn . 3.2 Gcsamtwert (Zc itwert ) einer Rente zu bcliehigen Bcwcrtungsstiehtagen . 3.3 vo r- und nachschiissige Renten . 3.4 Rentenrechnung und Aquivalcnzprinzip - Bcispicle und Aufgabcn . 3.5 Zusammengcsetztc Zahlungsrcihen und wcchsclndcr Zinssatz . 3.6 E'.Vib'C Rcnten . 3.7 Kapitalaufbau/ Kapitalabbau durch laufende Zufliisse/Entnahmcn . 3.8 Auscinandctfallcn von Ratentennin und Zinszuschlagtermin . 3.8.1 Rentenpcriode groBerals Zinsperiode . 3.8.2 Zinspcriode groBerals Rentenperiode . 3.8 .2.1 ICMA - Methode ~ i n t e r n a t o n a l Methode ") . 3.8.2.2 US-Methode .. .. ... .. . .. .. . . 3.8.2.3 3 6 g e o d c " . VII x I I 17 18 26 38 46 51 51 62 75 75 82 85 88 93 93 96 101 101 102 106 109 118 121 126 I32 I3J 136 136 138 139

Transcript of Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

Page 1: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 1/8

 

Inhaltsverzeichnis

Abkiirz ungen, va rta blennamen .

Voraussetzungen und Hilfsmittel .

1.1 Pmzcntrcchnung .1.2 Lincarc (cinfachc) Verzinsung . .

1.2.1 Grundlagcn J eTlinearen Vcrzinsung .

1.2.2 Das Aquivalcnzprinzip dcr Finanzmathcmatik (bei lincarcr Vcrzinsung)

1.2 .3 Terrninrcchnung - mitt lc rcr Zahlungstcrmin .

1.2 .4 Vorschiissigc Vcrzinsung, Wcchscldiskonticrung .

2 zlnsesalnsrechnung (cxponenticllc Vcrzinsung) .

2.1 Grundlagen der Zinseszinsrcchnung .

2.2 Das Aquivalenzprinzip der Finanzmathcmatik (bei Zinseszinscn) .

2.3 Unterjabrige Verzinsung .

2.3.1 Diskrete umcrjahrigc Verzinsung .2.3.2 Zur Effektivvcrzinsung kurzfristigcr Krcdite .

2.3.3 Gcmischte Vcrzinsung .

2.3.4 Stetige Verzinsung .

2.4 Inflation und vemnsung .

2.4.1 Inflation .

2.4.2 Exponentielle Verzinsung unter Bcriicksichtigungvon Prcissteigcrungenl

Inflation .

3 Renten rechnu ng .3.1 Vorbcmerkungcn .

3.2 Gcsamtwert (Zc itwert )einer Rente zu bcliehigen Bcwcrtungsstiehtagen .

3.3 vor- und nachschiissigeRenten .

3.4 Rentenrechnung und Aquivalcnzprinzip - Bcispicle und Aufgabcn .

3.5 Zusammengcsetztc Zahlungsrcihen und wcchsclndcr Zinssatz .

3.6 E'.Vib'C Rcnten .

3.7 Kapitalaufbau/Kapitalabbau durch laufende Zufliisse/Entnahmcn .

3.8 Auscinandctfallcn von Ratentennin und Zinszuschlagtermin .

3.8.1 Rentenpcriode groBerals Zinsperiode .

3.8.2 Zinspcriode groBerals Rentenperiode .

3.8.2.1 ICMA - Methode ~ i n t e r n a t o n a l Methode") .

3.8.2.2 US-Methode .. . . . . .. .. . . . . . .3.8.2.3 3 6 g e o d c " .

VII

x

I

I17

18

2638

46

51

51

6275

758285

889393

96

101

101102106109118

121

126

I32

I3J

136

136

138139

Page 2: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 2/8

 

VIII Inhaltsverzcichnis

3.9 Renten mit vcrandcrtlchcn Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.9.1 Arithmctisch vcriindcrlichc Rcntcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.9.2 Gcomet risch verandcrlichc Rcntcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . 155

3.9.2.2 Geometrisch steigcnde Renten - Knmpcnsation von Preisstcigcrungcn 1593.9.2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . 161

3.9.3 v eranderttche untcrjahrig zahlbarc Renten 165

..J Ttlgungsrechnung 173

4.1 Grundlagen, Tllgungsplan.Vergleichskonto 173

4.2 Tilgungsartcn 181

4.2.1 Allgemeine Tilgungsschuld 181

4.2.2 GesamtfalligeSchuld ohne Zinsansammlung 184

4.2.3 GesamtfantgcSchuld mit vollstandiger Zinsansammlung 185

4.2.4 Ratentilgung (Ratenschuld) 186

4.2.5 Annurtatcntngueg [Annuitatenschuld) 187

4.2.5.1 Annuitatcnkrcdit - Standardfall 187

4.2.5.2 Annuitatcnkrcdit - Eeganzungcn 193

4.2.5.3 Exkurs: Annuitatcnkrcdit mit Disagio 198

4.2.5.4 Exkurs: Tilgungsstrcckung, Zahlungsaufschub,Tilgungsstrcckungs-darlehen, Stilckelung 203

4.3 Tilgungsrcchnung bci unteejahrigenZahlungcn 212

4.3.] Kontofiihrungsmethode 1 (360-Tagc-Mcthode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.3.2 Kontofiihrungsmcthode 2 (Braess] 214

4.3.3 Kontofiihrungsmelhode 3 (US) 215

4.3.4 Kontofuhrungsmcthode 4 (leMA) . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 217

4.4 NachschilssigcTllgungsverrechnung 220

5 Die Ennitt lung des Effektivzinssatzes in der Finanzmathematlk 225

5.1 Grundlagen 225

5.1.1 Ocr Effcktivzinsbcgriff 225

5.1.2 Berechnungsverfahren filr den Effekt ivzinssatz 230

5.2 Effcktivzinscnnittlung bel jahrlichenLeistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.2.1 Effcktivzinsennittlung belStandardkreJiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.2.2 Exkurs: Disagiocrstatt ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 245

5.2.3 Exkurs: Unterschiedliche KrcditkonJ itionen bci gleichem Zahlungsstrom 246

5.3 Effektivzinscnnittlung bet untcrjahngcn Leistungen 2535.3.1 2-Phasen-Plan zur Effeknvzinscrmitrlung 253

5 .3.2 Die Bcrechnungvon id f :

Anwendungen des 2-Phasen-Plans - Variationcn cines Basis -Krcdits . . . . . 260

5.3.3 Effektivverzinsung und untcrja hrigcZahlungen - ausgcwahltc Problcme . . . 273

5.3.3.1 Disagio-Varianten bci idcntischcn Zahtungsstromcn 274

5.3.3 .2 Tilgungsstrcckungsdarlehcn bei untcrjahrigcn Lcistungcn 279

5.3.3.3 Disagio-Ruckerstatrungbei untesjahrigen Leistungcn . . . . . . . .. . . . . 283

5.3.3.4 EffektivverzinsungvonRatenkrcditen 284

5.3.3.5 Anlagcfonnen mit unterjahrigen Leistungen - BeispielBonussparcn 288

5.3.3.6 Obungsaufgabcn zur Effcktivzinscnnittlung

bel unrcrjahrfgen Leistungc n. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

5.4 Exkurs: Finanzmathcmatischc Aspekte zur r i c h g c n ~ Vcrzinsungsmcthodc 297

Page 3: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 3/8

 

lnhaltsverzcichnis IX

6 EinfUhrung in die Finanzmathematik festverzlnsllcher Wertpap iere 307

6.1 Grundlagen dcr Kursrcchnung und Renditccrmitclung . . . . . . . . . . . . . . . . 307

6.2 Kurs und Rendite bei ganzzahligcn Restlaufzeiten . . _. . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.3 Kurs und Renditc zu beliebigcn Zcitpunkten - Stuckzinscn und Borscnkurs . . . . . . . . 316

7 Exkurs: Aspekte der Risikcanalyse - das Durat ion-Konzept 321

7.1 Die Duration als MaGfur die Zinscmpfindlichkeit von Anleihen 322

7.2 Die Duration von Standard-Anlcihen - Bcrcchnungwcrfahren und EinflussgroJ3cn . . . 328

7.3 Die immunisierende Eigcnschaft der Duration 339

7.4 Duration und Convexity 345

8 Exkurs: Derivative Finanzinslrumente - Futures und Optlonen , . . , . . . . . . . . . 351

8.1 Termingeschaftc: Futu res und Optionen - ein Ube rblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.2 Forwards/Fut ures: Tenn inkauf und - verkauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

8.3 Optionen: Basisformcn 359

8.4 Einfaehe Kombinalioncn ausHxgcschartcn und Optionen 367

8.5 Spreads : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

8.6 Straddles 377

8.7 Strangles I Combinations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.8 Einfilhrung in die Opuonsprcisbewertung 381

9 Fina nzmat hematisc he Verfahren der- Investtrlonsrechnung 395

9.1 Vorbemcrkungcn _. . . . . . . . . . . . . . 395

9.2 Kapitalwcrt und aquivakntc Annultat einer Investinon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

9.3 Intcrncr Z inssalz ciner Investition - Vorteilhaftigkcitskrilerien 404

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . 421

Sachwortverzeichnis . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Page 4: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 4/8

 

5.3 Effcknvzinscrmittlung bci untcrjahngcn Lcistungcn 261

Urn einen gcwissen Obcrblick zu behalten, werden die untersuchten 60 Faile des Basiskredits in

Tabcllc 5.3.5 nummcriert {Zeilen-Nummem von 0 bis 9, Spalten-Nummem von 0 bis 5) und wie folgt

gckennzeichnct:

P HASE 2 Effektivzins-Fall Nr.

falls Krcditauszahlung 100% falls Krcditauszahlung 94%

und id r KontofOhrung nach: und iefCKontofUhrung nach:Tab. 53.5

I I I II I I I I I IIP HASE 1 360Th1 1CMA us 360TM leMA US

Lauf- 360lM A 00 01 02 03 04 05zeit

2 Jahre ICMA B 10 11 12 13 14 15

+

US C 20 21 22 23 24 25Krcdit-

konto - nachschuss. TV:

fUhrung zvrrv j ahrl . D 30 31 32 33 34 35

nach:nachschiiss.TV:

zvrrv halbj. E 40 41 42 43 44 45

Gesamt- 360TM A 50 51 52 53 54 55taut-

zeit 1CMA B 60 61 62 63 64 65

+

US C 70 71 72 73 74 75Krcdit-

konto- nachschiiss. TV:

fUhrung zvrrv jMrrI. D 80 81 82 83 84 85

nach:nachschiiss.TV:

zvrrv halbj. E 90 91 92 93 94 95

Lese-Beispiele:

i) Fall ,,73" beaeum:

Der Kredit wtrd uber seine Gesamuaufeeit barachtet, A uszahtung 94% - d.h. Disagio 6% - ,

das Kreaukonso (Phase I) wird nach der US-Melhode abgerechnet (d.h.miI2,5%p.Q. Zinses

zinsen], Der Effek tivzinssa tz hingegen wird mil der "3 60- Tage-Methode U temspricht der allen

PAngV 1985)

i i) Fall ,,41" bedeutet:

Kredillaufzeu 2 Jahre, Auszahlung 100%, das Kreaukomo wird halbjiihrlkh (mit dem Zinssatz

5% p.R. ) abgerechna bei hafbjiihrlicher (nachschilssiger) Tilgungsvenechnung: Obwohl der

Schuldner vierteljiihrliche Raten zu je 3.000 €!Quartalleistet , werden zur Ennittlung der Rest

schuld Kz am LaufzeitemJeRaten von 6.000 €/Hal bjahr zugrundegelegl.Unabh iingig devon wird in Phase 2 der Effekuvzinssatz nach der inemationaten ICMA

Methode erminelt (emspridu der neuen PAngV 2000).

Page 5: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 5/8

 

262 5 Die Ermittiung des Bffcktivzinssatzcs in dec Finanzmathcmatik

PHASE 1: Enniltlung dec fchlcndcn zahlungsrelcvantcn Daten

(hier: fehlende Restschuld K2 bzw. fehlende Gesam /laut zeit/ferminzah/)

Hille: (a) Laufzcit 2 Ja hre (Rrstschuld Kd ehll)

(b) Gesamtlaufzcil/Terminzahl (fehll)

A: Das Kreditkonto wird nach dcr 360-Tagc-Mcthode abgcwickclt,

d.h. unterjahrig lineare Zinscn (10% p.a.]

(gil l fur dieFaile 00 bis 05 sowie 50 bis 55)

Der furdie Abwicklung des Kreditkontos ma13gcbliche Zahlungsstrahl lautct:

3 3II I_I

I

e:In l fbI

3 31-1 ,_,

+ - - - + - - + - - I (Zeitl

3 3 .'" /61

I

r(ZI

(a/ Kz

,m

H

3

'"

--+---+--+-----If-(Kreditsumme l

100 {T£/

- j

3 3 3 3 3

'" '" '"H' mI

flWcf<zahlungenl ".I f )

94,85500 T€a)

R· ,. Jahres-Ersatzrate = 12 · (1+0,1. = 12,45 T€

1 12 - 1, 'K2 = 100 ' 1,1 - 12,45 '-0-1-

(b) n I, In- 1100 · 1 t = 1245 -- -

• , 0,1In (12,45/2,45)

In 1,1= 17,05623 Jahre

= 68,22493 Quarta1e

B: Das Krcditkonto wird nach der leMA-Methode abgcwickclt,

d.h. Zinsperiodc =Zahlperiode =1 Quartal (yim eljahrlicheZinseszinseni ,

dcr Ouartafszmssatz iQist konform zu 10% p.a.,

d.h. q = l +iQ = I ,Wo.lS = 1,024113689

(gill fUr' die Faile 10 his 15 sowie 60 his 65)

Ocr fur die Abwicklung des Kreditkontos maBgcbliehe Zabtungsstrabllautet:

{Kreditsvmme) t oo

fOO IT€/ H- j f- f--- (Zei/l

3 3 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3i l l i l l m '" '" '"

m '"I_I I_I 1_1 (n l (bl

(ROckzohfvngen) (01 Kz

In 5,09657...... n =

In 1,0241t..

(,)

(b)

s8 1.024.. - 1

K2 = 100 · 1,02411.. - 3 ' 002411

1,024,.n - 1100 · 1,02411..

n= - " ' ' ' ' ' ~

0,02411..

= 94,87376 T oE:

= 68,34812 Quart.= 17,08703 Jahre.

Page 6: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 6/8

 

5.3 Effcktivzinsermittlung bci unterjiihrigen Lctstungen 263

c: Das Krcditkonto wtrd nach der US-Met hode abgewickclt,

d.h . Zinsperiode = Zahlperiode = 1 Quartal (vieneljahrliche Z inseszinsenr,

dcr Quartalszinssatz iQ ist relarivzu 10% p.a. , d.h . iQ = 2,5% p.Q.

d.h. q = l +iQ = 1,025

(gilt[ur die Faile 20 his 25 sowie 70 bis 75)

= 72,56257Quartale

= 18,14064 Jahre.

'0 60 =

In1,025

= 95,63194 T€

... =>

Der fur die Abwieklung des Krcditkontos maJ3gcbliehe Zah lungsstrahl ist identiseh mit

dcm Zah lungsstrahl nach B, es muss lcdiglieh mit iQ

= 2,5% p.Q, abgerechnet werden:

8 1,025S- 1

(a) Kz = 100 ' I ,025 - 3 ' 0 025

n 1,025n

- 1

(b) 100 ' 1,025 = 3 · 0,025

D: Krcditkonto mit jahrhcher Zins- und Tilgungsverrcchnung (i = 10% p.a.).(gillf ur die Faile 10 bis 15 sowie 80 his 85)

Der fur die Abwieklung des Krcditkontos maJ3gebliehc Zahlungsstrahl lautct:

(Kreditsummel , ~100 IT€J H

---j f- 1 (Zeit)

(ROckzahlungenl 12 12 12

III IZI 101 Ibl(01 K,

(h)

95,80000 T€

'0 6"= - In 1,1

= 18,79925= 75,19698

Jahre

Quartale.

E: Kredi tkonto mit halbjahrlichcrZins- und Tilgungsverrechnung (iH = 5% p.H.)

(gilt fur die Faile 40 bis 45 sowie 90 bis 95)

Ocr fOr die Abwicklung des Krcditkontos meegc blichc Zah lungsstrahl lautet:

(Kreditsumme' t oo

100 JT€J f-I---j f- 1 {Zeit'

6 6 6 6 6 6

(Riickzahlungen' II I (21 131 (41 tn- f) (01 Ibl

(a! K,

(h)

4 1,054- 1

K2 =100 '1,05 - 6 ' 0,05

an 1,05 - 1

100 · 1.os = 6 ' 0,05 ;:)

95,689875 T€

'a6=> n=-In 1,05

= 36,72378

= 73,44757

= 18,36189

Halbjahre

Quartale

Jahre.

Page 7: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 7/8

 

388 8 Exkurs: Derivative Finanzinstrumente - Futures und Opnoncn

WiT sind jetzt in der Lage, die Black-Scholes- ronnel filrden (thromisch) farrenWert Pc cinesdividen

dcngcschutzten europaischenCall zuformuueren.Gleichung(8.8.15) ist dabciwie folgtzumodifizieren:

(8.8.17)

mitIII (SIX) + (r +0,50 2) T

oyT

In (SIX) + (r - 0,5( 2) . T

oyT

wobei die bctciligten Varia blen folgcm.lcBcdcutunghabcn:

PC: Optionspramicfurden Call,Callprcis,falligbelKontraktabschluss

S; Kurs (Preis) der zugrundelicgcndcnAk tie (slOck price)

X; Baslsprcis, Ausiibungsprcis (exercise price) am Tag dcr Falligkcit

r: risikoloscrMarktzinssatz fur (kurzfTis tiges) Kapital, r :=: 0, p.a. (sleIig)

T: Restlaufze il der Option (vom Kontraktabschluss his zurAusubung), in Jahren

( l Jahr = 365 Tage)

0: erwartcrcVolatilitat dcr zugrundchcgendcn Aknenrcnditen, in% p.a.

N(d l ) , N(d2) : Werte der tkumulienen] Standard-Nonnal-Verteilungsfunktion,

sieheTab.8.IU9

IPJ I Call-Wert PelS}nacn Blark&5choles

pc<5

Pc> maxfO;5- K 9-"1

Abb.8.8.18 °1 IS/

Derdurch die Black-Scholcs-Fonncl irnplizicrteWertevedauf

Pc = PdS)

cntspricht genau dern schon in Abb. 8.8.10 vcrmutctcnVerlauf, siehe obcnstchcndc Abb . 8.8 .18.

Page 8: Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze

5/14/2018 Seiten aus Einführung in die Finanzmathematik.-.10.Auflage.-.Jürgen Tietze - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/seiten-aus-einfuehrung-in-die-finanzmathematik-10auflage-juergen-tietze 8/8

 

8.8 Einfiihrung in die Optkmspreisbcwertung 389

Tab. 8.8.19.- Auszug ousder Ver1eilungsfunktions-Tobelle Nfd) der5fondord-Normolverteilung:

d

°I 2 J , s 6 7 s ,

... ...-3,8 0,0001 0,0001 0,000 1 0,0001 0,0001 0,0001 0,000 1 0,0001 0,000 1 0,000 1

-3,7 0,0001 0,000 1 0,000 1 0,0001 0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0001 0,000 1 0,000 1

-3,6 0,0002 0,0002 0,000 1 0,000 1 0,0001 0,000 1 0,0001 0,0001 0,000 1 0,000 1

· 3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,000 2 0,0002 0,000 2 0,0002 0,0002 0,0002

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0::138 0,0823

-1,2 0, 1151 0, 1131 0,1112 0,1093 0,1075 0, 1056 0,1038 0, 1020 0, 1003 0,0985

. 0,'- 0,H 46 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3 192 0,3156 0,3 121

_0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,'-681 0,4641

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5 199 0,5239 0,5279 0,53 19 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,587 1 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

Beispiel 8,8,20: (Enn ittlung des Fair Value eines dividendenlosen europaischen Call nach Black&Scholes)Bcrcchnct "verden soli dcr (theoreuscn f aire) Callpreis bci folgenden Daten (bei Kontraktabschluss):

A ktuellcrA kticnkurs: S = 157 € Rcstlautzcit T = 9 Monate

Basisprcis: X = 160 € des Call; ( = 0,75 Jahre)

Marktzinssatz: r = 5% p.a, (.uetig) Volatilitat: a = 20% p.a. (en<;artet)

Durch Einsetzcn crgibt sich aus (8.8.17):

tn (SIX) + Ir+OW,) ,T In (157/ 160) + (0,05+0,5.0,22) 0,75dl = = = 0,193828

a VT 0,2V0,75

d2 = d l -avT = 0,193828 -0 ,2¥0,75 = 0,020623

(lineare in terpolation mit den Daten aus Tab. 8.8.19)

12,2383 "" 12,24 €

N(dl) = N(0,193828) = 0,5768

N(d2) = N(0,020623) = 0,5082

Pc = 157 ' 0,5768 - 160 e-O,05 ' 0,75 '0,5082

• •

Call-Optionspramic.

Bemerfamg 8.8.21:

Die Black-Scnoles-Formel (8.8.17) fur den fairen Wertder Oplionspriimie eines europiiischen Call

genugt den bekannten Eigenscha flen (siehe Bern. 8.8.13) des Call-Preises, wiema n sich anhand einiger

Eckwene in (8.8.17) uherlegt:i) Wenn sichere zukunftige Dalen vorausgesetzt werden, wird die Volatililiit a de finilionsgem iifJ Null.

Betrachten wirdazu einmal den Callwert (8.8.17)[arden FallS > X ' e·rT..

Wegen lim d , = Jim d2 = 00 gilt: N( d t) = N(d2) = 1"_0 "_0

(denn derGesamt-Fliicheninhalt unterhalh derDichtefu nktion Ab h. 8.8.16 der Standard-Nonn a l

veneilung istEins), d.h. es gill nach (8.8.17) [urdie Call-Pramie:

lim p = s s - xc rr : S - X' e-rT"_0 c '

entspnc m also - wleaw a ttet-«genau dem inneren Wen[ur den Fall S > X 'e-fT.

Falls S<K e -rT, so[olgt lim d } = lim d2 = -oo un ddaher: N(d t) = N (dJJ = 0." _0 Q_O

Dies Jie[ert in (8.8.1 7): Jim Pc = S ·O-X ·e-rT.O = 0,0- '

d.h. -wie zu erwarten - em eusaen innerenWen, diesmatfur den Fall S < X- e-rT .