“seltsame” Erkenntnisse aus der Wissenschaft bis zum 19. (20.)

Jahrhundert

Christian Arrer 2015

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Übersicht

ANTWORTEN IN PRÜFUNGEN1. UNENDLICHE SUMMEN2. FRAKTALE3. LOGIK4. WAHRSCHEINLICHKEIT5. EINSTEIN’S NOBELPREISERKENNTNIS

war nicht die Relativitätstheorie

6. DOPPELPENDEL7. DOPPELSPALTVERSUCH

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Antworten in Prüfungen

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Unendliche Summen

UNENDLICH:Wiederholung eines Vorgangs ohne Ende

SUMME:1 + 21 + 2 + 3 + 4• SCHREIBWEISE – UNENDLICHE SUMME:

1 + 2 + 3 + 4 + …• SCHREIBWEISE – BIS BELIEBIGE ZAHL

1 + 2 + … + N

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Unendliche Summen

MARIA JOSEF

21

41

81

161

5,0

25,0

125,0

0625,0

21

31

41

51

5,0

3,0

25,0

2,0

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Unendliche Summen

MARIA JOSEF

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/100.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/5120.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

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Unendliche Summen

• JOSEF: Nach 3 Tagen habe ich mehr als einen Dollar.

• MARIA: Wann habe ich mehr als einen Dollar erreicht?

1/2

1/2 1/4

1/81/2 1/4

1/2

1/4

1/8

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Unendliche Summen

• Maria betrachtet mehrere Tage in Formeln:

Tage Formel1. Tag 1/2 1 - 1/2 1 - 0,52. Tag 1/2 + 1/4 1 - 1/4 1 - 0,253. Tag 1/2 + 1/4 + 1/8 1 - 1/8 1 - 0,1254. Tag 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 1 - 1/16 1 - 0,06255. Tag 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 1 - 1/32 1 - 0,03125…

Alternative

1211 N

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Unendliche Summen

• MARIA: Egal welchen Tag N ich betrachte, die Summe ist mit meiner alternativen Formel immer kleiner als 1. Ich kann warten, so lange ich will, ich bekomme nie mehr als einen Dollar.

1...641

321

161

81

41

21

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Unendliche Summen

• Josef verwendet einen Rechner und überprüft, ob er 6, 8 und 10 Dollar erreichen kann.

Tag Summe1000. Tag 6,4910000. Tag 8,79100000. Tag 11,091000000. Tag RECHNER BRAUCHT ZU LANGE

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Unendliche Summen

• Josef kehrt zu seiner Anfangsargumentation zurück, fragt sich also wann erreicht er 1,5 Dollar:

• JOSEF: Wann habe ich mindestens zwei Dollar?

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +

grösser 1/2 grösser 1/2

1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + …

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Unendliche Summen

• JOSEF: Bekomme ich immer irgendwann (in endlicher Zeit) mindestens 1/2 Dollar dazu?

• Antwort: Ja, ich muss ab einer Zahl aus Maria’s Summe nur auf die nächste Zahl aus Maria’s Summe warten und dann habe ich wieder mindestens ½ Dollar dazu bekommen.

Unendliche Summen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

128

256

384

512

640

768

896

1024

Nummer der Teilsumme grösser als 1/2 Dollar die hinzukommt.

War

teze

it/Ta

ge

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Unendliche Summen

• JOSEF: Weil ich unendlich lange Zeit habe und ich immer irgendwann einen halben Dollar dazu bekomme, kann ich beliebig reich werden.

Grenzenalleüberwächst...51

41

31

21

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Unendliche Summen

MARIA 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +

1/32 + 1/64 + … es kommt immer weniger

dazu wächst bis 1

JOSEF 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +

1/7 + 1/8 + … es kommt immer weniger

dazu wächst ohne Grenze

IM VERGLEICH KOMMT BEI MARIA ABER SCHNELLER IMMER WENIGER DAZU

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Fraktale

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A

B

C

D

Seite „Koch-Kurve“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 8. Oktober 2015, 18:07 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Koch-Kurve&oldid=146810595 (Abgerufen: 9. November 2015, 09:06 UTC)

Seite 17

Seite „Menger-Schwamm“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. September 2015, 18:07 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Menger-Schwamm&oldid=146369321 (Abgerufen: 10. November 2015, 05:14 UTC)

Seite „Karl Menger“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 1. Juni 2015, 23:08 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_Menger&oldid=142709178 (Abgerufen: 10. November 2015, 05:23 UTC)

Fraktale

Seite 18

Seite „Mandelbrot-Menge“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 14. Oktober 2015, 07:56 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mandelbrot-Menge&oldid=146986358 (Abgerufen: 10. November 2015, 05:33 UTC)

XAOS

Fraktale

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Plank-Länge: 1,616 · 10−35 m

Plank-Zeit, Plank-Masse, Plank-Ladung, Plank-TemperaturSeite „Planck-Einheiten“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 14. Oktober 2015, 10:32 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Planck-Einheiten&oldid=146990749 (Abgerufen: 12. November 2015, 08:37 UTC)

Fraktale

• Computerprogramm um Fraktale zu zeichnen:http://xaos.sourceforge.net/black/

• Dokumentation zu Fraktalen auf Youtube:https://www.youtube.com/watch?v=N4N4Fv5BMOA

…

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Logik Kurt Gödel * 1906 Brünn in Ungarn rheumatisches Fieber in der Kindheit zog nach Wien war Mitglied des Wiener-Kreises 1940 in die USA 1947 US-Bürger † 1978 Princeton in USA

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Seite „Kurt Gödel“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. November 2015, 00:01 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurt_G%C3%B6del&oldid=147885876 (Abgerufen: 10. November 2015, 11:11 UTC)

Logik

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Satz auf Vorderseite Satz auf RückseiteWAHR WAHRWAHR FALSCH

FALSCH WAHRFALSCH FALSCH

Die Logik in der Wissenschaft unterscheidet zwischen den Zuständen WAHR und FALSCH.

Einen dritten Zustand gibt es nicht. Ist etwas NICHT WAHR so ist es FALSCH und umgekehrt

Logik

Erster Unvollständigkeitssatz: Besagt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen in der üblichen Weise aufzubauen, und das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können.

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Seite „Kurt Gödel“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. November 2015, 00:01 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurt_G%C3%B6del&oldid=147885876 (Abgerufen: 12. November 2015, 09:13 UTC)

Logik

Zweiter Unvollständigkeitssatz: Die Wiederspruchsfreiheit eines Axiomensystems aus dem ersten Unvollständigkeitssatz kann nicht aus dem Axiomensystem selbst abgeleitet werden.

Seite 24

Seite „Kurt Gödel“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. November 2015, 00:01 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurt_G%C3%B6del&oldid=147885876 (Abgerufen: 12. November 2015, 09:13 UTC)

Seite 25

Wahrscheinlichkeit

Seite 26

Wahrscheinlichkeit

Seite 27

1 2 3

Wahrscheinlichkeit

Seite 28

1 2 3

A

Wahrscheinlichkeit

Seite 29

1 3

B

Wahrscheinlichkeit

Welche Entscheidung ist die vernünftigere:

AUF 3 WECHSELNoder

BEI 1 BLEIBEN

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Wahrscheinlichkeit

Seite 31

1 2 333% 33% 33%

Wahrscheinlichkeit

Seite 32

1 2 333% 66%

Wahrscheinlichkeit

Seite 33

1 333% 66%

Wahrscheinlichkeit

Seite 34

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 5 6 7 8 9

Einstein’s Nobelpreiserkenntnis

• E = mc2

• E = hf• spezielle Relativitätstheorie: Raum, Zeit– einfacher

• allgemeine Relativitätstheorie: Gravitation– schwerer

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Seite „Relativitätstheorie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 3. September 2015, 08:35 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Relativit%C3%A4tstheorie&oldid=145679038 (Abgerufen: 12. November 2015, 09:49 UTC)

Einstein’s Nobelpreiserkenntnis

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Einstein’s Nobelpreiserkenntnis

Seite 37

Met

allo

berfl

äche

normal wissenschaftlichFarbe Frequenz/Energie

Helligkeit Intensität

Lichteigenschaften

Einstein’s Nobelpreiserkenntnis

Seite 38

Met

allo

berfl

äche

- IntensitätFrequenz -

Elektronen- Anzahl- Geschwindigkeit