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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Semantik 2:Aussagenlogik
Robert Zangenfeind, Hinrich Schutze
Center for Information and Language Processing, LMU Munich
2018-04-17
Zangenfeind & Schutze (LMU Munich): Aussagenlogik 1 / 36
No phil. question is solved No [p-question]1 is [solved]pSome log. questions are solved Some [l-questions]2 are [solved]pNot all log. questions are phil. questionsNot all [l-questions]2 are [p-questions]1No bird can fly No [bird]1 [can fly]pSome helis can fly Some [helis]2 [can fly]pNot all helis are birds Not all [helis]2 are [birds]1Murder is never moral No [murder]1 is [moral]pSometimes abortion is moral Some [abortions]2 are [moral]pAbortion is not always murder Not all [abortions]2 are [murder]1Dogs that bark don’t bite. No [dog that barks]1 [bites]pSome dogs bite Some [dogs]2 [bite]pNot all dogs bark Not all [dogs]2 are [dogs that bark]1
Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Outline
1 Grundbegriffe, Syntax, Semantik
2 Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Sprache der AL
Anforderungen an logische Sprachen:(i) logische Form der Satze entspricht genau dergrammatischen Form(ii) verwendete logische Ausdrucke haben jeweils nur eine klardefinierte BedeutungNachteile der nat. Sprache sollen vermieden werden (vgl.Probleme mit der log. Form bei nat.spr. Satzen)diese beiden Vorteile ziehen aber einen großen Nachteil nachsich:AL ist sehr viel armer als naturliche Sprachen (Warum?)(ebenso bei PL, aber nicht ganz so extrem)Vokabular: (sehr beschrankt)(i) Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen(Satzbuchstaben) (d.h. einfache Satze)(ii) Satzoperatorendaraus: neue Satze
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Zwei wichtige Aspekte von Sprache
Syntax und Semantik(keine Morphologie, Pragmatik)Syntax:(i) Welche Grundausdrucke enthalt die Sprache?(ii) Wie erzeugt man daraus komplexe Ausdrucke und Satze?Semantik:(i) Was bedeuten die Grundausdrucke?(ii) Wie ergeben sich daraus die Bedeutungen der komplexenAusdrucke und die Wahrheitsbedingungen der Satze?
Unterschied Gebrauch – Erwahnung(Beispiel: “Hans” ist ein guter Name)Unterschied Objektsprache – Metasprachez.B. Semantische Metasprache zur Bed.erklarungWir sprechen mit der dt. Sprache (Metaspr.) uber AL(Objektspr.)
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Die Syntax von AL
Satzbuchstaben: Ausdrucke, die ganzen Satzen entsprechen,z.B. p, q, r, A, B, C, ... (deskriptive Zeichen von AL)
5 Satzoperatoren (Junktoren, logische Zeichen von AL):
Negation (nicht) ¬Konjunktion (und) ∧Disjunktion (nicht ausschließendes oder) ∨Implikation (wenn, dann) →Aquivalenz (genau dann, wenn) ↔
Hilfszeichen: ( )
’∧’ und ’∨’ binden starker als ’→’ und ’↔’ (relevant?)
A ist ein Satz von AL, wenn eine der folgenden Bedingungenerfullt ist:
(i) A ist ein Satzbuchstabe
(ii) B und C sind Satze von AL und A ist: ¬B, (B ∧ C), (B ∨
C), (B → C) oder (B ↔ C)
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Die Semantik von AL: Wahrheitswerttabellen (1)
(Definitionen fur die einzelnen Junktoren; naturlichsprachlicheBeispiele konnen das nicht unbedingt genau widerspiegeln)
A ¬A
w ff w
A B A ∧ B
w w ww f ff w ff f f
A B A ∨ B
w w ww f wf w wf f f
(‘oder’ ist nat.spr. ambig: “Warst du gestern oder vorgestern inNurnberg?” ⇒ je nach Betonung)
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Die Semantik von AL: Wahrheitswerttabellen (2)
A B A → B
w w ww f ff w wf f w
A B A ↔ B
w w ww f ff w ff f w
Einen Satz verstehen, heißt, wissen was der Fall ist, wenn er wahrist. (Wittgenstein)Man kann ihn also verstehen, ohne zu wissen, ob er wahr ist.
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Syntax, Semantik
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Einige Aquivalenzbeziehungen (1)
A = ¬¬A
A ∧ A = A (Idempotenz der Konjunktion)
A ∧ B = B ∧ A (Kommutativitat)
A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (Assoziativitat)
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B (1. Gesetz von De Morgan)
A ∨ A = A (Idempotenz der Disjunktion)
A ∨ B = B ∨ A (Kommutativitat)
A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C (Assoziativitat)
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B (2. Gesetz von De Morgan)
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Einige Aquivalenzbeziehungen (2)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (1. Distributivgesetz)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (2. Distributivgesetz)
A → B = ¬B → ¬A (Kontraposition)
A ↔ B = B ↔ A (Kommutativitat)
A ↔ (B ↔ C) = (A ↔ B) ↔ C (Assoziativitat)
A ↔ B = ¬A ↔ ¬B
A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
Die Bedeutung eines Ausdrucks kennen, heißt wissen, wann einSatz wahr ist, in dem dieser Ausdruck vorkommt.
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proof
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Boolean vs elementary algebra:
Monotone laws valid in both
A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C (associativiy)
A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (associativiy)
A ∨ B = B ∨ A (commutativity)
A ∧ B = B ∧ A (commutativity)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (distributivity of ∧ over ∨)
A ∨ 0 = A (identity)
A ∧ 1 = A (identity)
A ∧ 0 = 0 (annihilation)
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Boolean vs elementary algebra:
Monotone laws valid only in Boolean algebra
A ∨ 1 = 1 (annihilation)
A ∨ A = A (idempotence)
A ∧ A = A (idempotence)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributivity of ∨ over ∧)
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Boolean vs elementary algebra:
Negation
¬¬A = A
Apart from double negation, negation behaves differently inboolean vs elementary algebra.
Elementary algebra: (−x) ∗ (−y) = x ∗ y ,(−x) + (−y) = −(x + y)
Boolean algebra: De Morgan
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B (1. Gesetz von De Morgan)
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B (2. Gesetz von De Morgan)
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Boolean Algebra vs. Algebra of Sets
Boolean Algebra Algebra of Sets
¬A negation A complementA ∧ B conjunction A ∩ B intersectionA ∨ B disjunction A ∪ B unionA ∧ 0 = 0 bottom element A ∩ ∅ = ∅ empty setA ∨ 1 = 1 top element A ∪ U = U set of all elements
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
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1 Grundbegriffe, Syntax, Semantik
2 Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
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Grundbegriffe, Syntax, Semantik Ubersetzung naturlichsprachiger Satze in AL
Ruckschlusse aus den logischen Eigenschaften der einen
Sprache auf die andere
Voraussetzung: adaquate Ubersetzung, d.h. Satz A’ hatdieselbe Wahrheitsbedingung wie Satz A
Wenn die Satze A, A1, ..., An einer Sprache L1 adaquateUbersetzungen der Satze A’, A1’, ..., An’ einer Sprache L2sind, dann gilt:
(i) Ist der Satz A’ logisch wahr, dann ist auch der Satz Alogisch wahr
(ii) Folgt der Satz A’ logisch aus den Satzen A1’, ..., An’,dann folgt auch der Satz A logisch aus den Satzen A1, ..., An
⇒ logische Eigenschaften und Beziehungen von Satzen derAL konnen zur logischen Beurteilung naturlichsprachiger Satzeherangezogen werden
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Grundsatze fur die Ubersetzung
die logischen Junktoren entsprechen in etwa folgendennaturlichsprachigen Ausdrucken:
(i) ‘es ist nicht der Fall, dass’ (¬)
(ii) ‘und’ (∧)
(iii) ‘oder’ (∨)
(iv) ‘wenn, dann’ (→)
(v) ‘genau dann, wenn’ (↔)
Ubersetzungen sollen moglichst strukturreich sein
A’ soll in seiner Struktur dem Satz A moglichst ahnlich sein
Allerdings: kein festes System von Regeln
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Negationen (1)
Paul ist nicht klug.
entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Paul klug ist.
AL: ¬p
p: Paul ist klug.
Berlin liegt nicht an der Elbe.
entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Berlin an der Elbe liegt.
AL: ¬p
p: Berlin liegt an der Elbe.
Kein Mensch ist vollkommen.
entspricht: Es ist nicht der Fall, dass es einen vollkommenenMenschen gibt.
AL: ¬p
p: Es gibt einen vollkommenen Menschen.
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Negationen (2)
Hans ist unvernunftig.entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Hans vernunftig ist.AL: ¬pp: Hans ist vernunftig.
Fritz hat Gerda nichts geschenkt.entspricht: Es ist nicht der Fall, dass Fritz Gerda etwasgeschenkt hat.AL: ¬pp: Fritz hat Gerda etwas geschenkt.
Alfred ist noch nicht gekommen.AL: ¬pp: Alfred ist gekommen. (?)(besser vielleicht: Alfred ist schon gekommen – Pragmatikfehlt: Einstellung des Sprechers: Erwartung)
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What is the difference?
“Nicht Hans hat das Buch gelesen.”vs. “Hans hat nicht das Buch gelesen.”vs. “Hans hat das Buch nicht gelesen”
Example where this does not work?
John is unhappy.It is not true that John is happy.AL/Propositional calculus: ¬pp: John is happy
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Konjunktionen (1)
Hans und Paul sind gute Schwimmer.
AL: p ∧ q
p: Hans ist ein guter Schwimmer.
q: Paul ist ein guter Schwimmer.
Fritz putzt sich die Zahne und geht schlafen.
AL?
p ∧ q geht nicht gut wg. Aquivalenzbeziehung zu q ∧ p
Hans und Gerda sind befreundet.
AL?
Verschiedene “und”
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Konjunktionen (2)
Hans ist sowohl dumm als auch faul.
AL: p ∧ q
p: Hans ist dumm.
q: Hans ist faul.
Hans ist nicht dumm, aber faul.
AL: ¬p ∧ q (?)(Pragmatik fehlt: Einstellung des Sprechers: Gegensatz; furreine Logik ist die Ubersetzung in AL aber o.k.; ahnlich:obwohl, trotzdem, nur, sogar, ...)
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Disjunktionen
Hans oder Fritz kommt.
AL: p ∨ q
(nicht ausschließendes ‘oder’; d.h. “Von Hans und Fritzkommt mindestens einer.”)
bzw.: Entweder Hans kommt oder Fritz kommt.(ausschließendes ‘oder’ (Kontravalenz))
AL: ¬(p ↔ q)A B ¬ (A ↔ B)
w w f ww f w ff w w ff f f w
Verschiedene “oder”
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“and” / “or”
Snow is white or grass is green and birds eat worms.
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Implicationen (1)
sind allgemein problematisch zur Ubers. in AL, weil: (i) esgibt viele verschiedene nat.spr. wenn-dann-Satze, (ii) keinenat.spr. Konstruktion entspricht genau der log. ImplicationWenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz alter als Paul.AL: p → qproblematisch, weil inhaltlicher Zusammenhang zwischen dennaturlichsprachigen Teilsatzen bestehen muss und nicht nurWahrheitsbedingungen der Teilsatze relevant sindfur Wahrheit des AL-Satzes reicht es, wenn Fritz nicht derVater von Paul ist (dann ist es egal, ob Fritz alter als Paul ist)wenn ein wenn-dann-Satz wahr ist, dann ist auch dieentsprechende Implication wahr (aber nicht unbedingtumgekehrt – die Ubersetzung in AL ist sozusagen schwacher)Implicationen = ‘gemeinsamer Kern’ von wenn-dann-Satzen“Wenn Hans einen Film sehen will, geht er ins Kino.Verschiedene “wenn . . . dann”
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Implicationen (2)
ahnlich kann man folgenden Satz behandeln:
Hans kommt nur zur Party, wenn Karla kommt.
Umformulierung:
Wenn Karla nicht kommt, kommt auch Hans nicht zur Party.(vgl: “Hans kommt zur Party, wenn Karla kommt”)
AL: ¬p → ¬q
p: Karla kommt.
q: Hans kommt zur Party.
Aquivalenzbeziehung:
AL: q → p
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Aquivalenzen
Hans kommt genau dann, wenn Paul kommt.( = Hans kommt dann und nur dann, wenn Paul kommt.)
AL: p ↔ q
p: Hans kommt.
q: Paul kommt.
Hans kommt, es sei denn, dass Paul kommt.
AL: p ↔ ¬q
p: Hans kommt.
q: Paul kommt.
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komplexere Beispiele zur Beurteilung naturlichsprachiger
Satze (1)
Wenn Fritz kommt, kommt auch Paul, wenn aber Fritz nichtkommt, dann kommt Paul nicht, sondern Hans.
AL:
p: Fritz kommt.
q: Paul kommt.
r: Hans kommt.
(p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)(‘[wenn] aber’ wird ubersetzt mit ‘UND [wenn]’)
(Pruefung: Tautologie, eine Kontradiktion oder keins vonbeiden)
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Wahrheitstafel
(Wenn Fritz kommt, kommt auch Paul, wenn aber Fritz nichtkommt, dann kommt Paul nicht, sondern Hans.)
p q r (p → q) ∧ (¬p → ¬q ∧ r)
w w w w w f ww w f w w f ww f w f f f ww f f f f f wf w w w f w f f f wf w f w f w f f f ff f w w w w w w w wf f f w f w f w f f
⇒ weder Tautologie noch Kontradiktion, sondern in bestimmtenFallen wahr (1., 2., 7. Zeile).
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Aussagenlogik =
= propositional calculus
= propositional logic
= statement logic
= sentential calculus
= sentential logic
= zeroth-order logic
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Soundness and completeness
A logical system has the soundness property if and only ifevery formula that can be proved in the system is logicallyvalid with respect to the semantics of the system.
“proof in the system”: next lecture
Propositional calculus is sound.
A formal system is called complete with respect to a particularproperty if every formula having the property can be derivedusing that system, i.e., is one of its theorems.
property = logically valid
Propositional calculus is complete.
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Summary
Aussagenlogik: Satzbuchstaben, Operatoren
Ubersetzung naturliche Sprache → logische Sprache schwierig
AmbiguitatSynonymyVieles unubersetzbar
http://cis.lmu.de/~hs/teach/18s/semantics
Suche nach “hinrich schuetze” → home page → teaching →
computational semantics
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Assignment
https://www.youtube.com/watch?v=XLvv_5meRNM
Watch and prepare one question/comment for Friday
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Why is the translation from natural language to logic hard?
Describe a specific phenomenon and give an example.
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