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Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 1

Wichtige Transformationen

Referentin: Yvonne Schindler


Wichtige Transformationen

• FFT – Fast Fourier Transformation• DCT – Diskrete Cosinus Transformation• Wavelets


Transformationen

Transformationen sollen gegeben Daten soumwandeln, dass

1. eine Bearbeitung weniger aufwendig ist,2. eine eindeutige Wiederherstellung durch

Rücktransformation möglich ist


Transformationen

Transformation und Rücktransformation sindaufwendig

Aber: Berechnungen im transformierten Raumsind meist wesentlich einfacher


Transformationsbeispiel

Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner

X = Y / Z

Hoher AufwandDurch Division

Lösung

log(X) = log (Y) – log (Z)

Geringer AufwandDurch Subtraktion

Lösung

Transformation

Rücktransformation


Transformation

Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber dochschon bei der Transformation zu Datenreduktion.

Bsp.: Die Zahl Pi 3,141595265359...wird vom Rechner auch nur gerundet

genutzt


Fouriertransformation

1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier:,,Die analytische Theorie der Wärme``

Man kann Funktionen durch die Summevon Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen


1-dim. Fouriertransformation

1

1

0

1

1

0

*1

nn x

xx

nf

ff

n Daten

C R

Fouriermatrix

Normierungsfaktor


n-te Einheitswurzel

xn hat in C n Lösungen

78

68

58

48

38

28

18

08 ,,,,,,,

ni

n

e

ni

n

2

)2sin(*)2cos(

Bsp.: x8 hat 8 Lösungen

08

18

28

38

48

58

68

78

n n-te Einheitswurzel


Fouriermatrix

Def.:

Sei n N und n n-te Einheitswurzel in C. Die

nxn-Matrix F mit Fk,l= nk*l für alle k, l

{0, ..., n-1}, heißt Fouriermatrix.



1

1

0

)1(*)1()1(21

)1(242

121

1

1

0

*1

nnnn

nn

nn

on

nnnn

on

nnnn

on

on

on

on

on

n x

xx

nf

ff

n Daten


Inverse Fouriermatrix

Für eine Rücktransformation braucht man eineinverse Fouriermatrix

lknlkF*1

,

für alle k,l {0, ..., n-1}

F ist unitär => F-1 = Ft transponiert konjugiert


Beweis für inverse Fouriermatrix 1

1

0

)(

1

0

1

1

1*1*

n

i

lkin

iln

n

i

kin

kln

kln

tnn

n

n

nnFF

k=l =>1kl => c=(k-l)



1

0

1

0

1

1

n

i

icn

n

i

icn

n

n

011

111

0

n

cnn

n

ncn

n

i

icn

geometrische Reihe



100

010001

=> Ft = F-1



nnTnn

TTnn BFFBFFBFF

Inverse:

tn

tnBFF

BIBIFBFFF tnnn

tn )(


Fast Fouriertransformation

Idee:Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor-Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwertebenutzen

n muss dafür eine 2er-Potenz sein


Anwendungsbeispiel

Fouriertransformation

Bearbeitung

InverseFouriertransformation


Diskrete Cosinus Transformation

DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt

Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt


DCT - Idee

Gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x)

Fouriertransformation anwenden:Dabei wird der imaginäre Anteil 0


DCT – Herleitung 1

Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte2n

f(-n+1), f(-n+2), ... f(-1), f(0), f(1), ... ,f(n) n+1

n

ni

iknk if

nF

12)(2

1



n

ni

iknk if

nF

12)(2

1

nni

nnknf

ififf

nF

n

i

ikn

ikn

k

22sin

22cos*)(

)()()0(

21

1

122



knf

iffn

Fikn

n

i

ikn

k

cos*)(

))(()0(21 2

1

12

xn2

xn

2



knfnikiff

nF

n

ik

cos*)(

cos)(2)0(21

1

1

Fertig!!!


Wavelets

Funktionen können auch durch die Summe vonanderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestelltwerden.

Die Transformation geht schrittweise voran

Wavelets werden z.B. bei JPEG2000 benutztund beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern


Basisfunktion

Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion genommen werden, für die gilt:

0)( dtth

Daher auch die Bezeichnung Waveletengl. Wave = Welle


Haar-Wavelet


Weitere Wavelet - Beispiele

Daubechies 6 Daubechies 8


Grundprinzip

Berechnung des Mittelwertes und der Differenz -Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet


Beispiel

13 13 5 5 9 13 17 21

13 5 11 19 0 0 -2 -2

9 15 4 -4 0 0 -2 -2

12 -3 4 -4 0 0 -2 -2


Grundprinzip Grafik 1


Grundprinzip Grafik 2


Vergleich DCT - Wavelet Original


Vergleich Kompression 1:25


Vergleich Kompression 1:50


Quellen & weiterführende Literatur

• E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets• Internet – Studien- und Diplomarbeiten

• Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation

• Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen

• Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets

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