Seminarvortrag: Flächenfraktale Brunnthaler Katrin Pfurner Martin.

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Seminarvortrag:Seminarvortrag:

FlächenfraktaleFlächenfraktale

Brunnthaler KatrinBrunnthaler Katrin

Pfurner MartinPfurner Martin

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Motivation:Motivation:

Suche Modelle zur mathematischen Suche Modelle zur mathematischen Beschreibung von Lunge, Niere,…Beschreibung von Lunge, Niere,…

Die menschliche Lunge enthält etwa Die menschliche Lunge enthält etwa 300300..101066 Lungenbläschen, ist also Lungenbläschen, ist also irgendwie fraktalirgendwie fraktal

Annäherung durch sogenannte Annäherung durch sogenannte physiologische Flächenphysiologische Flächen

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Physiologische FlächenPhysiologische Flächen

Oberfläche des Fraktals („FOberfläche des Fraktals („Fuu“) soll “) soll unendlich groß seinunendlich groß sein

Fläche soll in eine andere, aber Fläche soll in eine andere, aber geschlossene, endliche Fläche geschlossene, endliche Fläche eingebettet sein („Grenzfläche“)eingebettet sein („Grenzfläche“)

Fläche soll den Grenzraum Fläche soll den Grenzraum vollständig ausfüllen vollständig ausfüllen

Fläche soll fraktal seinFläche soll fraktal sein

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Beispiele für Beispiele für Flächenfraktale:Flächenfraktale:

Würfel–Fraktal („W-Fraktal“)Würfel–Fraktal („W-Fraktal“) Tetraeder-Fraktal („T-Fraktal“)Tetraeder-Fraktal („T-Fraktal“) Oktaeder-Fraktal („O-Fraktal“)Oktaeder-Fraktal („O-Fraktal“) Weiteres Würfel-FraktalWeiteres Würfel-Fraktal St. George-Fraktal („SG-Fraktal“)St. George-Fraktal („SG-Fraktal“)

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W-FraktalW-Fraktal

Würfel mit Kantenlänge aWürfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Jede Fläche wird in 9 kongruente

Quadrate geteiltQuadrate geteilt Über dem mittleren Quadrat wird ein Über dem mittleren Quadrat wird ein

Würfel mit Kantenlänge a/3 errichtetWürfel mit Kantenlänge a/3 errichtet Berührflächen werden Berührflächen werden

herausgenommenherausgenommen

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Eigenschaften:Eigenschaften:

Zwei Würfel derselben Generation sind Zwei Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt oder haben genau eine entweder disjunkt oder haben genau eine Kante gemeinsamKante gemeinsam

FFu u = unendlich= unendlich VVuu = 10/7 = 10/7..aa33

(Volumen des Fraktals)(Volumen des Fraktals) Die Fraktale DimensionDie Fraktale Dimension

beträgt ln13/ln3 beträgt ln13/ln3 ~2.3347~2.3347

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GrenzkörperGrenzkörper

Die Ecken des Startwürfels Die Ecken des Startwürfels bestimmen mit den Spitzen der auf bestimmen mit den Spitzen der auf die Seitenflächen aufgesetzten die Seitenflächen aufgesetzten Pyramiden mit Höhe a/2 einen Pyramiden mit Höhe a/2 einen Rhombendodekaeder.Rhombendodekaeder.

VVgg=2=2..aa33 (Volumen des Grenzkörpers) (Volumen des Grenzkörpers) VVgg ist ungleich V ist ungleich Vuu => keine => keine

physiologische Flächephysiologische Fläche

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Das W-Fraktal ist in das Das W-Fraktal ist in das Rhombendodekaeder eingebettet.Rhombendodekaeder eingebettet.

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T-FraktalT-Fraktal

Reguläres Tetraeder mit Kantenlänge aReguläres Tetraeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente Jede Fläche wird in 4 kongruente

Dreiecke geteiltDreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein Über dem mittleren Dreieck wird ein

reguläres Tetraeder mit Kantenlänge reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a/2 errichteta/2 errichtet

Berührflächen werden Berührflächen werden herausgenommenherausgenommen

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EigenschaftenEigenschaften

Zwei Tetraeder derselben Generation Zwei Tetraeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt oder genau 1 Gerade gemeinsamPunkt oder genau 1 Gerade gemeinsam

FFuu = unendlich = unendlich VVuu = ¼ = ¼..aa33sqrt(2)sqrt(2) Die Fraktale Dimension Die Fraktale Dimension

beträgt beträgt beträgt beträgt ln6/ln2 ~2.5849 ln6/ln2 ~2.5849

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GrenzkörperGrenzkörper

Die Ecken des Starttetraeders Die Ecken des Starttetraeders bestimmen mit den Spitzen der vier bestimmen mit den Spitzen der vier Tetraeder der ersten Generation Tetraeder der ersten Generation einen Würfel mit Kantenlänge einen Würfel mit Kantenlänge a/2a/2..sqrt(2)sqrt(2)

VVgg = a = a33/4/4..sqrt(2)sqrt(2) VVgg = V = Vuu

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Das T-Fraktal verläßt den Grenzwürfel nichtDas T-Fraktal verläßt den Grenzwürfel nicht

Das T-Fraktal ist also eine physiolog. FlächeDas T-Fraktal ist also eine physiolog. Fläche

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O-FraktalO-Fraktal

Reguläres Oktaeder mit Kantenlänge aReguläres Oktaeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente Jede Fläche wird in 4 kongruente

gleichseitige Dreiecke geteiltgleichseitige Dreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein Über dem mittleren Dreieck wird ein

reguläres Oktaeder mit Kantenlänge reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a/2 errichteta/2 errichtet

Berührflächen werden Berührflächen werden herausgenommenherausgenommen

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EigenschaftenEigenschaften

Zwei Oktaeder derselben Generation sind Zwei Oktaeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt gemeinsam oder fallen zusammengemeinsam oder fallen zusammen

Die fraktale Dimension des O-Fraktals Die fraktale Dimension des O-Fraktals beträgt ln6/ln2 (muss anders berechnet beträgt ln6/ln2 (muss anders berechnet werden, da es nicht selbstähnlich ist)werden, da es nicht selbstähnlich ist)

Flächeninhalt bzw. Volumen des O-Flächeninhalt bzw. Volumen des O-Fraktales sind nicht mehr so einfach zu Fraktales sind nicht mehr so einfach zu ermitteln. Dazu benötigen wir die ermitteln. Dazu benötigen wir die folgenden Dreieckskonfigurationen:folgenden Dreieckskonfigurationen:

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A(n), B(n), C(n) undA(n), B(n), C(n) undD(n) geben die AnzahlD(n) geben die Anzahlder unterschiedlichender unterschiedlichenDreieckskonfigurationenDreieckskonfigurationen(Single, Falte, Höhle,(Single, Falte, Höhle,Kaverne) in der n-tenKaverne) in der n-tenGeneration an.Generation an.

Volumen:Volumen:VVuu = 2 = 2..aa3.3.sqrt(2)sqrt(2)(V(n) = A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)+D(n-1)(V(n) = A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)+D(n-1) … Anzahl der in der Generation n neu … Anzahl der in der Generation n neu hinzukommenden Oktaeder hinzukommenden Oktaeder V(n) = 2 V(n) = 2..66nn-4-4nn))

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Fläche:Fläche:FFuu = unendlich = unendlich (F(n) = 1(F(n) = 1..A(n)+2A(n)+2..B(n)+3B(n)+3..C(n)+4C(n)+4..D(n) D(n) … Anzahl aller Dreiecke des O- … Anzahl aller Dreiecke des O-Fraktals Fraktals in der n-ten Generation in der n-ten Generation F(n) = 4 F(n) = 4..(6(6n+1n+1- 4- 4n+1n+1))))

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GrenzkörperGrenzkörper

Das O-Fraktal ist in einen Würfel mit Das O-Fraktal ist in einen Würfel mit Kantenlänge aKantenlänge a..sqrt(2) eingebettet.sqrt(2) eingebettet.

VVgg = 2 = 2..aa3.3.sqrt(2)sqrt(2) VVgg = V = Vuu

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Wird einem Tetraeder der Kantenlänge 2a Wird einem Tetraeder der Kantenlänge 2a ein Oktaeder der Kantenlänge a ein Oktaeder der Kantenlänge a eingeschrieben, so stimmen die Grenzwürfel eingeschrieben, so stimmen die Grenzwürfel der zugehörigen T- und O-Fraktale überein.der zugehörigen T- und O-Fraktale überein.

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Ein weiteres WürfelfraktalEin weiteres Würfelfraktal

Würfel mit Kantenlänge aWürfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 25 kongruente Jede Fläche wird in 25 kongruente

Quadrate geteiltQuadrate geteilt Über den mittleren 9 Quadraten Über den mittleren 9 Quadraten

werden jeweils Würfel mit werden jeweils Würfel mit Kantenlänge a/5 errichtetKantenlänge a/5 errichtet

Berührflächen werden Berührflächen werden herausgenommenherausgenommen

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EigenschaftenEigenschaften

Zwei Würfel derselben (und auch aus Zwei Würfel derselben (und auch aus verschiedenen) Generation sind disjunkt oder verschiedenen) Generation sind disjunkt oder sie haben genau 1 Kante oder 1 Seitenfläche sie haben genau 1 Kante oder 1 Seitenfläche gemeinsam. Dies gilt auch für Würfel gemeinsam. Dies gilt auch für Würfel verschiedener Generationen.verschiedener Generationen.

FFuu = unendlich = unendlich VVuu = 71/44 = 71/44..aa33

Die fraktale DimensionDie fraktale Dimensiondieses W-Fraktals dieses W-Fraktals beträgtbeträgtln37/ln5 ~ 2.243ln37/ln5 ~ 2.243

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GrenzkörperGrenzkörper

Auf die Seitenflächen des Ausgangswürfel Auf die Seitenflächen des Ausgangswürfel werden Pyramidenstümpfe einer Pyramide werden Pyramidenstümpfe einer Pyramide mit Höhe a/2 aufgesetzt. mit Höhe a/2 aufgesetzt. Die Höhe beträgt a/4 Die Höhe beträgt a/4 => gestutztes => gestutztes RhombendodekaederRhombendodekaeder

VVgg = 15/8 = 15/8..aa3 3

VVgg ungleich V ungleich Vuu => =>keine physiologischekeine physiologischeFlächeFläche

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SG-FraktalSG-Fraktal

Würfel der Kantenlänge aWürfel der Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Jede Fläche wird in 9 kongruente

Quadrate geteiltQuadrate geteilt Auf die Quadrate des Kreuzes werden Auf die Quadrate des Kreuzes werden

Würfel der Kantenlänge a/3 aufgesetzt, Würfel der Kantenlänge a/3 aufgesetzt, auf das mittlere Quadrat sogar 2auf das mittlere Quadrat sogar 2

Berührflächen werden Berührflächen werden herausgenommenherausgenommen

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EigenschaftenEigenschaften

Würfel derselben Generation sind Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt, oder sie schneiden entweder disjunkt, oder sie schneiden sich längs einer Würfelkante bzw. einer sich längs einer Würfelkante bzw. einer Würfelfläche, oder aber sie fallen Würfelfläche, oder aber sie fallen zusammen.zusammen.Würfel verschiedener Generationen Würfel verschiedener Generationen sind entweder disjunkt oder sie sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich längs einer schneiden sich längs einer Seitenfläche.Seitenfläche.

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Volumen bzw. Flächeninhalt werden Volumen bzw. Flächeninhalt werden auf analoge Weise wie jene des O-auf analoge Weise wie jene des O-Fraktals berechnet.Fraktals berechnet.

FFuu = unendlich = unendlich VVuu = 585/134 = 585/134..aa33

Die fraktale Dimension beträgt:Die fraktale Dimension beträgt:ln0.5ln0.5..(13+sqrt(73))/ln3 ~ 2.16359(13+sqrt(73))/ln3 ~ 2.16359

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GrenzkörperGrenzkörper

Über jeder Seitenfläche des Würfels entsteht Über jeder Seitenfläche des Würfels entsteht bei der Iteration ein Turm mit einer Spitze. Die bei der Iteration ein Turm mit einer Spitze. Die Höhe dieses Turmes beträgt a.Höhe dieses Turmes beträgt a.

Die 6 Turmspitzen spannen ein Oktaeder mit Die 6 Turmspitzen spannen ein Oktaeder mit Kantenlänge 3/2Kantenlänge 3/2..aa..sqrt(2) auf.sqrt(2) auf.

Das SG-Fraktal ist in das Oktaeder eingebettet.Das SG-Fraktal ist in das Oktaeder eingebettet. VVgg = 9/2 = 9/2..aa33

VVg g ungleich Vungleich Vuu => keine physiologische Fläche => keine physiologische Fläche