Signale und Systeme 1 - Technische Universität Ilmenau ·...

Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems

LTI-Systemxi(t) yi(t)

LTI: Linear Time Invariant

was bedeutet das? ⇒ wird zunächst geklärt

wie reagiert ein solches System auf ein beliebigesEingangssignal? ⇒ zunächst verwenden wir eineApproximation

wir werden sehen: die Antwort des Systems (betrachtet imZeitbereich) ist durch die Faltung des Eingangssignals mit derImpulsantwort gegeben

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 33


Einführung: zur Zeitinvarianz (1)

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in s

Amplitudein

Vx1(t)

y1(t)



Einführung: zur Zeitinvarianz (2)

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in s

Amplitudein

Vx2(t) = x1(t−2 s)

y2(t) = y1(t−2 s)



Einführung: zur Linearität (1)

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t in s

Amplitudein

Vx1(t)

y1(t)




0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t in s

Amplitudein

Vx1(t)

y1(t)

x2(t) = 0.5x1(t)

y2(t) = 0.5y1(t)




0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t in s

Amplitudein

Vx1(t)

y1(t)

x2(t) = 0.5x1(t)

y2(t) = 0.5y1(t)

x3(t) = −x1(t)

y3(t) = −y1(t)



Einführung: LTI-System (1)

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t in s

Amplitudein

Vx1(t)

y1(t)




0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t in s

Amplitudein

Vx2(t)

y2(t)




0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t in s

Amplitudein

V y1(t)y2(t)

x3(t) = x1(t) + x2(t)

y3(t) = y1(t) + y2(t)



Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment

LTI-Systemx∆(t) g∆(t)

nun sei das Eingangssignal ein Rechteckimpuls mit konstanterFläche (Impulsmoment):

x∆(t) =1

∆T· rect

( t

∆T

)

das Ausgangssignal soll mit g∆(t) bezeichnet werden




-1 0 1 2 3 4 5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t in s

Ausgan

gsam

plitudeg∆(t)in

1/s




-1 0 1 2 3 4 5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t = 0.05 s (Eingang) t = 0.05 s (Ausgang) t -> 0 (Ausgang)

t in s

Ausgan

gsam

plitudeg∆(t)in

1/s




wird ein LTI-System mit einem Rechteckimpuls

x∆(t) =1

∆Trect

( t

∆T

)

konstanter Fläche beaufschlagt, dann hat auch dasAusgangssignal g∆(t) eine konstante Fläche

je geringer die Impulsdauer (bei gleicher Fläche) wird, destomehr nähert sich die Antwort g∆(t) einer Form, die nur nochvom System selbst abhängt

für ∆T → 0, d.h., x∆(t) = δ(t), erhält man dieImpulsantwort g(t) des LTI-Systems

die Funktion g(t) beschreibt das LTI-System im Zeitbereichvollständig



Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation

LTI-Systemx(t) bzw. xa(t) y(t) bzw . ya(t)

nun soll die Reaktion auf ein beliebiges Eingangssignal x(t)bestimmt werden

da wir die Reaktion auf einen (sehr schmalen) Rechteckimpulsschon kennen, approximieren wir das Eingangssignal x(t)durch ein Folge von gewichteten Rechteckimpulsen

das ergibt eine treppenförmige Approximation xa(t) von x(t)

aufgrund der Linearität und Zeitinvarianz muss sich dasapproximierte Ausgangssignal ya(t) dann aus der Überlagerungeinzelnen Antworten auf die Rechteckimpulse ergeben⇒ wir haben ein passendes mathematisches Modell gefunden




0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(0) x (t) T

x(0) g (t) T

t in s

Amplitudein

V




0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(0) x (t) T

x(0) g (t) T

x( T) x (t- T) T

x( T) g (t- T) T

t in s

Amplitudein

V




0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(0) x (t) T

x(0) g (t) T

x( T) x (t- T) T

x( T) g (t- T) T

x(2 T) x (t-2 T) T

x(2 T) g (t-2 T) T

t in s

Amplitudein

V




0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2x(t)y(t)y

a(t)

t in s

Amplitudein

V



Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Faltungsintegral

Eingangssignal:

Approximation: xa(t) =∞∑

n=−∞x(n ·∆T ) · x∆(t − n ·∆T ) ·∆T

exakt: x(t) =∞∫

−∞

x(τ) · δ(t − τ)dτ = x(t) ∗ δ(t) ,

da für ∆T → 0 folgt: ∆T → dτ , n ·∆T → τ undx∆(t) =

1∆T · rect

(

t∆T

)

→ δ(t)

Ausgangssignal:

Approximation: ya(t) =∞∑

n=−∞x(n ·∆T ) · g∆(t − n ·∆T ) ·∆T

exakt: y(t) =∞∫

−∞

x(τ) · g(t − τ)dτ = x(t) ∗ g(t) ,

da für ∆T → 0 folgt: g∆(t) → g(t)



Eigenfunktionen des LTI-Systems:

LTI-Systemej2πf0t G (f0) · e

j2πf0t

liegt am Eingang eines LTI-Systems eine komplexeSchwingung mit der Frequenz f0 an, dann ist dasAusgangssignal durch die selbe komplexe Schwingung,gewichtet mit G (f0), gegeben, wobei g(t) ❝ sG (f )

G (f ) = |G (f ) · ejφ(f ) wird Übertragungsfunktion genannt

mit Hilfe der Fouriertransformation wird ein Zeitvorgang x(t)als nicht abzählbar unendliche Reihe solcher Eigenfunktionendargestellt: x(t) =

∫

∞

−∞X (f ) · ej2πft df

für x(t) = cos(2πf0t) gilt ganz ähnlich:

LTI-Systemcos(2πf0t) |G (f0)| · cos(2πf0t + φ(f0))



Betragsverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion

-4 -2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f in Hz

|G(f)|



Betragsverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion

10-2 10-1 100 101-100

-80

-60

-40

-20

0

f in Hz

20·log10|G

(f)|

indB



Phasenverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion

10-2 10-1 100 101-500

-400

-300

-200

-100

0

f in Hz

φ(f)



Zugehörige Gruppenlaufzeit

10-2 10-1 100 1010

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f in Hz

−1 2π·

dφ(f)

df

ins


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