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Simulation
Elke Warmuth
Humboldt-Universitat Berlin
WS 2008/09
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
1 Ziele
2 Berliner Rahmenlehrplan
3 UnterrichtsbeispieleGerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
4 Ausgewahlte Probleme1√n-Gesetz
Zufallszahlen vom Taschenrechner
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Was ist Simulation?
Nachspielen von Vorgangen mit zufalligem Ergebnis mit einemZufallsgenerator oder Pseudozufallsgenerator
Simulieren kann man nur auf der Basis eines Modells!
Triviales Beispiel: Geschlecht von Neugeborenen
Modellannahme: P(Junge) = P(Madchen) = 0, 5
Zufallsgenerator: guter Wurfel – Annahme!
Realisierung: 1, 2, 3,→ Junge, 4, 5, 6 → Madchen
Mit den Modellwahrscheinlichkeiten”entstehen“ Jungen und
Madchen
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Ziele:
Erfahrungen mit dem Zufall sammeln
Intuitionen uberprufen/korrigieren
Wirkungen bekannter Wahrscheinlichkeiten erleben
Unbekannte Wahrscheinlichkeiten oder andere Kenngroßenschatzen
Modelle besser verstehen
Auswirkungen von Modellparametern erkunden
Modellbilden uben
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Klasse 9/10
Kompetenzen
Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigenZufallsexperimenten
Tatigkeiten
XXX
schatzen von Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Simulationen
Sehr wenig, sehr schade, verschenkte Moglichkeiten
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Problem der gerechten Teilung
mein bevorzugtes Einstiegsbeispiel – es ist nicht zu schwer
Weniger ist mehr
Einsatz des Arbeitsblattes ab Klasse 7mit den Aufgaben 1 bis 4
In 9/10 aufgreifen: Modellierung mit Baumdiagrammen,Umgang mit Erwartungswerten
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Gerechte Teilung Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8,- € versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil 40%des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden
folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen? 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlich-
keit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vor-gehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile „Zeit“ ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Sieger Zeit
3. Gib einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird.
Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur
Entscheidung.
Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit
Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele. 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten.
6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den
Erwartungswert für diese Anzahl.
AB_Gerechte_Teilung_MAM.doc Warmuth, HU Berlin
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Anton und Punktchen spielen ein Spiel, bei dem es keinUnentschieden gibt. Der Sieger erhalt in jeder Runde einen Punkt.
Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger sollsein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8Euro versprochen.
Beim Stand von 3:2 fur Anton werden sie gestort und konnen dasSpiel nicht fortsetzen.
Anton fordert den gesamten Einsatz fur sich ein, da er ja dem Siegdeutlich naher ist. Punktchen verlangt einen Anteil von 40% desPreises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat.
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Mit diesem Problem beschaftigte man sich bereits im 15.Jahrhundert. Vollstandig gelost wurde es erst im 17. Jahrhundertdurch Blaise Pascal und Pierre Fermat.Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Losung des Problems dergerechten Teilung als die Geburtsstunde derWahrscheinlichkeitsrechnung.
Literaturempfehlung
A. Renyi: Briefe uber die Wahrscheinlichkeit. Berlin: DeutscherVerlag der Wissenschaften, 1969
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
1. Wurdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher dervon Punktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Dukeiner folgst, nach welchem Prinzip wurdest Du den Einsatzaufteilen?
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen konnen, kannst Dudurch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schatzen, mit derAnton ausgehend vom gegenwartigen Spielstand Gesamtsiegerwird.Simuliere mit einem Wurfel 20 weitere Spielverlaufeausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe DeineVorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger.Trage in der Zeile
”Zeit“ ein, wievielmal Du jeweils wurfeln
musstest, bis der Gesamtsieger feststand.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10SiegerZeit
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20SiegerZeit
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
3. Gib aufgrund Deiner Simulationen einen Schatzwert fur dieWahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird.Teile den Wetteinsatz im Verhaltnis der Siegchancen auf.
4. Ermittle aus Deinen Simulationen die Haufigkeitsverteilung furdie Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung.
Werte fur T
abs. Haufigkeit
rel. Haufigkeit
Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch notigenSpiele.
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
5. Gib alle Moglichkeiten fur den weiteren Spielverlauf an undberechne deren Wahrscheinlichkeiten.
6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten fur die Anzahlen der nocherforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert furdiese Anzahl.
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Hinweise
Wurfelbecher
1, 2, 3→ Anton gewinnt: A4, 5, 6→ Punktchen gewinnt: P
Simulationsbeispiel:3453 → APPA→ Sieger Anton, Zeit: 4
gemeinsame Auswertung zwingend, siehe Excel-Blatt
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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Simulation "Gerechte Teilung"
n=20 n=100 n=200 n=400 n=800Nr. abs. rel. abs. rel. abs. rel. abs. rel.1 16 0,802 19 0,953 12 0,60 78 0,784 16 0,805 15 0,75 144 0,726 13 0,657 12 0,608 14 0,70 66 0,669 14 0,70
10 13 0,65 286 0,7211 14 0,7012 15 0,7513 14 0,70 69 0,6914 14 0,7015 12 0,60 142 0,7116 15 0,7517 16 0,8018 15 0,75 73 0,7319 13 0,6520 14 0,70 55221 12 0,60 0,6922 14 0,7023 17 0,85 75 0,7524 16 0,8025 16 0,80 138 0,6926 9 0,4527 14 0,7028 15 0,75 63 0,6329 11 0,5530 14 0,70 266 0,6731 14 0,7032 15 0,7533 13 0,65 63 0,6334 13 0,6535 8 0,40 128 0,6436 14 0,7037 11 0,5538 10 0,50 65 0,6539 14 0,7040 16 0,80
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Baumdiagramm
Gewinnwahrscheinlichkeitfur Anton:
14 + 2
8 + 316 = 11
16 ≈ 0, 69
Anton: 5,50 EuroPunktchen: 2,50 Euro
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Weitere Spiellange:
Anzahl der Spiele 2 3 4
Wahrscheinlichkeit 14
38
38
Erwartungswert der weiterenSpiellange
2 · 14 +3 · 38 +4 · 38 = 258 = 3, 125
Deutung?
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Wer darf zuerst ziehen?
5 Kinder ziehen nacheinander ohne Zurucklegen aus einemTopf mit 5 Losen: 4 Nieten und ein Gewinn.Sie streiten sich uber die Reihenfolge. Ist der Streit berechtigt?
diskutieren lassen
Simulationsideen?
z. B. Wurfel als Zufallszahlengenerator1→ Gewinn, 2, 3, 4, 5 → Niete, 6 → noch mal wurfeln
Bei jedem Durchgang verschwindet eine Augenzahl
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Beispiel
Anzahl der Simulationen voher festlegennicht: die nachste Simulation konnte besser sein
n = 5
5 4 6 5 1 3. Kind gewinnt1 1. Kind gewinnt3 2 2 4 4 5 1 5. Kind gewinnt4 2 2 2 1 3. Kind gewinnt6 6 5 4 2 2 6 5 3 1 5. Kind gewinnt
Ergebnisse zusammentragen
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Baumdiagramm:
P(4. Kind gewinnt) =4
5· 34· 23· 12
=1
5
Streit ist nicht berechtigt.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Sammelbilderproblem
1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat?
2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess.
Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen:
3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5
Bezeichne dann mit x2 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der ersten gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x3 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach den ersten beiden gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw. Im obigen Beispiel ist x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Für die erste Augenzahl braucht man immer x1 = 1 Versuch. Man hat also 1+1+1+3+3+4=13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen.
Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle:
Versuch
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Gesamtanzahl der
Versuche Muster 1 1 1 3 3 4 13
1 2 3 4 5
Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche.
Überlege, welche Werte für x1, x2, ..., x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt. 3. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind,
dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist.
AB_Sammelbilderproblem_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin 21 / 45
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Sammelbilderproblem
1. Eine Firma hat eine neue Serie Uberraschungseier aufgelegt.Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes imSchlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicherAnzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten derSupermarkte sei aber vollig zufallig. Max ist begeisterter Fanund mochte naturlich alle Motive haben.Wie oft muss er vermutlich ein Uberraschungsei kaufen, bis eralle 6 Fußballer zusammen hat?
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
2. Simuliere mit Wurfeln den oben beschriebenen Prozess.Notiere dabei die Ausgange des Wurfelns, bis auch die letzteAugenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Seriekonnte z. B. so aussehen:
3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5
Bezeichne dann mit x2 die Anzahl der Versuche, die Dubenotigt hast, um nach der ersten gewurfelten Augenzahl einedavon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x3
die Anzahl der Versuche, die Du benotigt hast, um nach denersten beiden gewurfelten Augenzahlen eine davonverschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5
Im obigen Beispiel ist x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4.Fur die erste Augenzahl braucht man immer x1 = 1 Versuch.Man hat also 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 4 = 13 Versuche benotigt, umalle 6 Motive zusammen zu bekommen.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle:
Versuch x1 x2 x3 x4 x5 x6 Gesamtanzahl der Versuche
Muster 1 1 1 3 3 4 13
1
2
3
4
5
6
Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechneden Mittelwert x der Anzahl der jeweils benotigten Versuche.
Uberlege, welche Werte fur x1, x2, . . . , x6 im Durchschnitt zuerwarten sind und welcher Wert sich daraus fur x ergibt.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
3. Es gibt 120 verschiedene Pokemon-Karten, die man einzelnkaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motivenicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vomHersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor dieKarten in vollig zufalliger Reihenfolge verkauft werden, stelltsich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Elterngekauft werden mussen, bis ihr Kind alle Motive besitzt.Berechne, welche Anzahl von notwendigen Kaufen imDurchschnitt zu erwarten ist.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Hinweise
2.
x1 = 1x2 =?, Erfolgswahrscheinlichkeit: 5
6 .
Bei 100 Kaufen durchschnittlich5
6· 100 mal Gluck.
Durchschnittliche Wartezeit auf ein neues Motiv: 10056 ·100
= 65
Fortsetzung der Idee und Additivitat:
x = x1 + x2 + . . . + x6
= 66 + 6
5 + 64 + 6
3 + 62 + 6
1
= 6 ·(
16 + 1
5 + 14 + 1
3 + 12 + 1
)= 6 · 49
20 ≈ 14, 7
Vergleich mit den Simulationswerten
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
3.
Simulation hochstens mit RechnerAnsatz bleibt gleich:
x = 120 ·120∑k=1
1
k
Summe ausrechnen oder abschatzenHarmonische Reihe verhalt sich etwa wie dieLogarithmusfunktion. Genauer:
limn→∞
(n∑
k=1
1
k− (ln(n) + c)
)= 0
c – Eulersche bzw. Mascheronische Konstante, c = 0, 57722....
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Tabelle mit c = 0, 57722
n n ·n∑
k=1
1k Abschatzung Relative
mit Eulerscher AbweichungKonstanten in %
20 71,9548 71,459 0,689
120 644,264 643,765 0,078
250 1525,17 1524,67 0,033
500 3396,41 3395,91 0,015
1000 7485,47 7484,98 0,007
Durchschnittlich 644 Kaufe fur 120 Pokemonkarten
Modellkritik!
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Julklapp-Aufgabe (Klasse 9/10)
n Schuler packen und verteilen Julklapp-Geschenke. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer sein eigenesGeschenk zieht?
Wenn ein Schuler sein eigenes Geschenk zieht, dann nennenwir das einen Fixpunkt (bei der zufalligen Zuordnung derGeschenke)
n = 6: Zufallsgenerator Urne oder WurfelBeim Wurfeln schon gewurfelte Zahlen ubergehen!Ist das wirklich gleichwertig?
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Schuler 1 2 3 4 5 6 AnzahlFixpunkte
Nr. der Geschenk=Simulation Wurfelzahl
1 6 4 5 461 4163 2 0
2 5 6 1 3 52 4 0
3 3 5 34 1 32 6 1
4 1 4 412 43 235 6 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse auswerten, zusammentragen ahnlich wie beim Problemder gerechten Teilung
Wahrscheinlichkeit schatzen
durchschnittliche Anzahl Fixpunkte = 1!
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
n = 30
Taschenrechner oder Tabellenkalkulationsprogramm
Pseudozufallszahlen
EXCEL: Befehl Zufallszahl() imitiert das Ziehen auf gut Gluckeiner Zahl aus [0, 1)
Problem: Es muss 30 mal Ziehen ohne Zurucklegen simuliertwerden.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Mogliche Losung:
1. Neue Nummern zuordnen mit 30 Zufallszahlen aus [0, 1)
Ubereinstimmung praktisch unmoglich33 / 45
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
2. =KKLEINSTE(Bereich;k) findet die der Große nach k-te Zahlin einer Liste, die Bereich heißt.Mit diesem Befehl werden nun die neuen Nummern sortiert.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Theoretischer Hintergrund
Fur n unabhangige auf [0, 1) gleichverteilte ZufallsgroßenX1,X2, . . . ,Xn hat jede Reihenfolge dieselbeWahrscheinlichkeit 1
n! .
Eine Anordnung der Große nach ist also stochastischgleichwertig dem Ziehen ohne Zurucklegen.
Plausibel machen fur n = 2 und n = 3(raumliches Vorstellungsvermogen)
Simulation durchfuhrenMit F9 neue Simulation starten.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Mogliche Fortsetzung in Sek II.
Rekursionsformel fur die Wahrscheinlichkeit von mindestenseinem Fixpunkt bei n Schulern
P(mindestens ein Fixpunkt) ≈ 0, 63 ab n = 6
Auszug aus der Verteilung der Anzahl der Fixpunkte F30 furn = 30
Wert von F30 0 1 2 3 4Wahrscheinlichkeit 0,37 0,37 0,18 0,06 0,02
E (Fn) = 1 unabhangig von n.
Literatur: Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band I, Stuttgart: Klett, 1973.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Kernzerfall (Klasse 9/10)Sehr einfaches Modell: radiaoaktives Praparat
Atom kann zwei Energiezustande haben:angeregt (hohe Energie) oder Grundzustand (niedrige Energie)
Kern geht”spontan“ vom angeregten in einen Zustand
geringerer Energie uber (zerfallt).Zeitpunkt des Zerfalls ist zufallig und hangt nicht vom
”Lebensalter“ ab.
Das heißt, der Kern hat zu jedem Zeitpunkt dieselbeWahrscheinlichkeit, innerhalb der nachsten Minute zuzerfallen.
Kerne”handeln“ unabhangig voneinander
Halbwertzeit ist die Zeit, innerhalb der ein Kern mitWahrscheinlichkeit 0,5 zerfallt.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Simulation des Verhaltens von 1000 Kernen uber mehrereHalbwertzeiten:
angeregt = 1, nicht angeregt = 0
in Excel: Zufallszahl() liefert zufalligen Punkt imIntervall [0, 1),2*Zufallszahl() liefert zufalligen Punkt im Intervall [0, 2),Ganzzahl(2*Zufallszahl()) liefert 0 oder 1 jeweils mitWahrscheinlichkeit 0,5.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Simulieren39 / 45
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Die Halbwertzeit T ist die Zeit, nach der im Mittel die Zahlder noch nicht zerfallenen Kerne jeweils auf die Halftereduziert ist.
N(t) – Anzahl der zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallenenKerne
Modell Binomialverteilung
Erwartungswert ⇒ Zerfallsgesetz:
N(t) = N(0) exp(−λt)
Halbwertszeit T = ln 2λ , λ – Zerfallskonstante
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Quelle:Bigalke/Kohler: Mathematik 13.2, Cornelsen, 1997, S. 33
7 zufallige Schritte simulieren mit Wurfel, Munze, Taschenrechner
Annahme: mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach Norden bzw. Osten
Erfolgreiche Flucht gdw. 3 Schritte nach Norden und 4 nach Osten41 / 45
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt
Lehrbuch: Beobachtete relative Haufigkeit der erfolgreichenFlucht bei 50 Simulationen (d.h. 50 mal 7 Schritte): 26%
Theoretische Wahrscheinlichkeit:(73
) (12
)7 ≈ 0, 27
Auffallige Nahe der beiden Werte. Ohne Kommentar imLehrbuch.
Bei n Versuchen ist mit Abweichungen der Großenordnung1√n, hier 1√
50≈ 0, 14 zu rechnen
Variation: Wenn ich mit Wahrscheinlichkeit p nach Ostengehe, was ist die wahrscheinlichste Position nach 7 Schritten?
Buch zu altem Rahmenplan. Die Aufgabe gehort in Klasse7/8 und nicht in Klasse 13.
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
1√n-Gesetz
Zufallszahlen vom Taschenrechner
Zur Streuung der relativen Haufigkeiten:
Bei Simulationen ungefahre Vorstellung uber die Geschwindigkeitder Annaherung an den theoretischen Wert notwendig. Hilfreich:
1√n-Gesetz
Bei n unabhangigen Versuchen unterscheidet sich die relativeHaufigkeit hn(A) eines Ereignisses A von der WahrscheinlichkeitP(A) mit einer Sicherheit von mehr als 95% hochstens um 1√
n.
Beispiele:
n 20 100 200 400 8001√n
0,22 0,10 0,07 0,05 0,04
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
1√n-Gesetz
Zufallszahlen vom Taschenrechner
Taschenrechner
RAN, (RAND, RND) liefert Zufallszahl aus [0,1) mit dreiNachkommastellen.
Deterministischer Algorithmus, Startzahl zufallig
Beispiel: RND liefert 0,837.Fasse das Ergebnis als 3 Zufallsziffern auf: 8 3 7.
Welche Eigenschaften erwarten wir von einem gutenZufallszahlengenerator?
Hat jede Ziffer dieselbe Wahrscheinlichkeit?Sind die aufeinanderfolgenden Ziffern voneinander unabhangig?
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UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme
1√n-Gesetz
Zufallszahlen vom Taschenrechner
Pokertest fur Zufallszahlengeneratoren
Betrachte Muster:
Muster verbal lauter gleiche zwei gleiche alle verschieden
Muster symbolisch aaa abb abc
Reprasentanten 111, 333 434,511 627, 935
Wahrscheinlichkeit 101000 = 0, 01 10·9·3
1000 = 0, 27 10·9·81000 = 0, 72
Zufallszahlen generieren und beobachtete rel. Haufigkeiten mit denModellwahrscheinlichkeiten vergleichen
Propadeutik des Testens.
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