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8/17/2019 sistema diferwencial.docx

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DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL

ECUACION DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relaciónentre una o más variables independientes y una función incógnita y sus

derivadas.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN

DE DERIVADAS QUE INVOLUCRAN

Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cualaparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto a una solavariable independiente.

Por ejemplo:

dy

dx+5 y=e x ,

d2 y

d x2−

dy

dx+6 y=0,

dx

dt +

dy

dt =2 x+ y

Las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leini!

dy /dx,d2 y /d x2 … o la notación "ri#a y' , y

' ' , y' ' ' . Realmente la notación

prima se usa para denotar solo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada

se denota y

(4 )

en lugar de

y ' ' ' '

. n general! la

n−ésima derivada de "y#

se escribe como dn y /d xn o yn .

Ecuación Diferencial en Deri$ada% &arciale%: es una ecuación diferencialen la cual aparecen derivadas parciales de una sola variable dependienterespecto de dos o más variables independientes.

Por ejemplo:

∂2u

∂ x2+

∂2u

∂ y2=0,

∂2u

∂ x2=

∂2u

∂t 2−2

∂u

∂ t

, y ∂ u

∂ y

=−∂ v

∂ x

ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

l orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden queaparece en la ecuación diferencial.

Por ejemplo:

Una $ puede contener más

de una variable dependiente!

Primer%egundo


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d2 y

d x2+5( dydx )

3

−4 y=e x

&RO'LE(A ):

&lasi'car cada una de las ecuaciones que se dan a continuación:

Ecuación Variale DVariale I *i"o Orden

(. y

' = x2+5 y

). y' ' −4 y ' −5 y=e3 x

*.∂U

∂ Z =4

∂2U

∂ x2 +

∂ U

∂ y

+.dr

d∅=√ r ∅

,.d

2 y

d x2−3 x=seny

-.∂2V

∂ x2=

∂V

∂ y

. (2 x+ y ) dx+( x−3 y ) dy=0

/.∂2V

∂ x2 +4

∂2V

∂ x ∂ y +4

∂2V

∂ y2 01

2. 9 ∂

2T

∂ x2=4

∂2T

∂ y2

(1. ydx+(2 x−3 ) dy=0

&RO'LE(A +:

&lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo y orden.


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(. senx y' ' ' −cosx y ' =2

). (1− y2 )dx+ xdy=0

*. x d

3 y

d x3−2( dydx )

4

+ y=0

+. (1− x ) y' −4 x y ' +5 y=cosx

,.d

2 y

d x2+9 y=senx

-. y ∂ U

∂ y + x

∂U

∂ x =2U +6 x−4 y

.∂

4U

∂ x2∂ y

2=0

/. x ∂ Z

∂ x + y

∂ Z

∂ y=Z

GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

l grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual esta elevada laderivada de mayor orden de la ecuación diferencial.

&RO'LE(A ,:

&lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo! orden y grado.


(. (∂3V

∂ s3 )

2

+(∂2V

∂ t 2 )

3

=s−3t


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).d

2 x

d y2+senx ( dxdy )

3

=0

*.∂2V

∂ x2 +2

∂2V

∂ y2=V

+. x d

2 y

d x2+

dy

dx+ xy=0

,. x2 d

2 y

d x2− x (dydx )

2

+ y=cosx

-.∂

4Z

∂ x4−2( ∂

4Z

∂ x2∂ y

2 )2

+∂

4Z

∂ y4=0

&RO'LE(A -:&lasi'car cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación! seg3n tipo! orden y grado.


(.∂

3 z

∂ x3+3

∂3 z

∂ x2∂ y

+3 ∂

3 z

∂ x∂ y2+

∂3 z

∂ y3=0

).

d2 y

d x2−2 x(

dy

dx )2

=0

*.∂

2U

∂r2 +

1

r

∂ U

∂ r +

1

2

∂2U

∂∅2 =0

+. x2 ( y ' ' )2+2 x ( y ' )3−12 y−2 x2=0

,. ( y ' ' ' )4−( y' )2= x e x

-. x3 ∂

3 z

∂ x3+6 xy

∂2 z

∂ x∂ y +7 y

∂ z

∂ y+ y=0


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ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial de n−énesimo orden se dice que es lineal si 4 es

lineal en y , y' , … , y

n

. sto signi'ca que una $5 de n−énesimo es lineal

cuando la ecuación es:

an ( x ) yn+an−1 ( x ) y

n−1+…a1 ( x ) y' +a0 ( x ) y−g ( x )=0

5 tambi6n!

an ( x ) d

n y

d xn+an−1 ( x )

dn−1

y

d xn−1 +…a1 ( x )

dy

dx+a0 ( x ) y=g ( x )

$os casos especiales importantes de este tipo de ecuación son las $

lineales de primer orden (n=1) y de segundo orden (n=2) :

a1 ( x ) y' +a0 ( x ) y=g ( x ) y a2 ( x )

d2 y

d x2+a1( x)

dy

dx +a0 ( x ) y=g ( x )

&or lo tanto "ara .ue %e cu#"la .ue e% una ecuación diferenciallineal dee %ati%facer %i#ult/nea#ente la% %i0uiente% condicione%:

a7 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado 8estoes! si están elevadas a la potencia uno7

b7 Los coe'cientes de la variable dependiente y sus derivadas dependesolo de la variable independiente.

Por ejemplo:

( y− x ) dx+4 xdy=0, y ' ' −2 y ' + y=0, y d3 y

d x3+ x

dy

dx−5 y=e x

Las ecuaciones son! respectivamente! $ de primero orden! segundo ordeny tercer orden. 9cabamos solo de mostrar que la primera ecuación es lineal

en la variable "y# cuando se escribe en la forma alternativa 4 x y' + y= x .

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal.4unciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas! tales

como seny y e y

! no se pueden representar en una ecuación lineal.


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Por ejemplo:

(1− y ) y ' +2 y=e y , d2 y

d x2+seny=0,

d4 y

d x4 + y2=0

&RO'LE(A 1:

&lasi'que cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan acontinuación seg3n orden! grado y linealidad.

Ecuación Orden

Grado Linealidad

(. (1− x ) y' ' −4 x y ' +5 y=cosx

). x2 d

2 y

d x2+ x

dy

dx+ y=2 x2

*. y ´ ´ −2 x ( y ´ )2=0

+. x d

3 y

d x3−( dydx )

4

+ y=0

,. y' ' ' −2 y ' ' −5 y ' +6 y=0

-. t 5 y

(4)−t 3 y '' +6 y=0

.d

2u

d r2+

du

dr +u=cos (r+u)

/. x2 y

' ' +2 x y ' −12 y= x2 y2

2. y' ' + xy− y ' senx=cosx

(1. y ' = x2+5 y

((.d

2 y

d x2=√1+(

dy

dx )2

().d

2 R

d t 2 =

−k

R2

ermino no lineal:l e;ponente es diferente

ermino no lineal:4unción no lineal de y

ermino no lineal:&oe'ciente depende dey


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(*. (2 x+ y ) dx+( x−3 y ) dy=0

(+. x ( y ' )2+2 x y ' + xy y ' ' =0

(,. sen y'' ' −cos y ' =2

(-. x2 y ' ' + x y ' + y=sec (!nx)

(.d

2 y

d x2− y2= x2 e x

(/. y' ' −4 y ' +4 y=(12 x2−6 x)e2 x

(2. 6 x2 y

' ' +5 x y ' +( x2−1)=0

)1.d

2 y

d x2−3

dy

dx+2 y=senx2

)(. x2 d

2 y

d x2+ x

dy

dx+ xy=e x+ y

)). y' ' −2 x ( y ´ )2+ xy=0

)*.d

2 y

d x2+4 y=sen2 x

)+.d

4 y

d x4−(2 d

3 y

d x3 )

3

= xye x

),. y y' − x y ' ' = xysenx

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN DEVARIA'LES SE&ARA'LES

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

dy

dx=g ( x ) "( y )

%e dice que es %e"arale o que tiene $ariale% %e"arale%2


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&onsidere la ecuación diferencial de primer orden dy /dx=# ( x , y ) . &uando f

no depende de la variable y! es decir! # ( x , y )=g ( x) ! la ecuación diferencial

dy

dx=g ( x)

%e puede resolver por integración. %i g8;7 es una función continua! al integrar aambos lado de la ecuación se obtiene!

∫dy=∫g ( x ) dx

y=$ ( x )+c

$onde $ ( x ) es una antiderivada 8integral inde'nida7 de g( x) .

E3e#"lo ):

dy

dx= y2 x e3 x+4 y

%eparando variables obtenemos!

dy

dx=

( xe

3 x

) ( y

2e

4 y

)


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E3e#"lo +:

Resuelva! (e2 y− y )cosx dy

dx=e y sen 2 x ! y (0 )=0

%eparando variables!

( e2 y− y )e

y dy=

sen 2 x

cosx dx

%impli'cando e


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tgy dy

dx=2 senycosx

seny

cosyseny dy=2 cosxdx

∫ secydy=∫2cosxdx

ln|secy+tgy|=2 senx+c

La condición inicial y=0 cuando x=0 implica que % =0 . Por lo tanto

una solución del problema con valores iniciales es

ln|secy+tgy|=2 senx

&RO'LE(AS:

5btenga la solución general de cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales ordinarias de primero orden de variables separables:

1.dy

dx=

1+2 y2

ysenx

2.

dy

dx=

x2 y

2

1+ x

3. ds

dr=

!nr ( s+1 )s

4. d(

dt + ( = (t e t +2

,. (4 y+ y x2 ) dy−(2 x+ x y2 ) dx=0

6. (1+ x2+ y2+ x2 y2 ) dy= y2dx

7. y!nx dy

dx=( y+1 x )

2

8.)

2

t

2

dt =(t +1)d)

9. dy

dx=( 2 y+34 x+5 )

2

10. sec2 xdy+cscydx=0

11.e y

sen 2 xdx+cosx (e2 y− y )dy=0


11/82

12.secydy= xcotgydx

13. sen3 xdx+2 y cos33 xdy=0 14.(e y+1)2 e− y dx+(e x+1 )3 e− x dy=0

15. y

x

dy

dx=(1+ x2 )

−12 (1+ y2 )

12

16.dU

ds =

U +1

√ s+√ sU sugerencia ,% .V v

2=U

17. y

3

x2

dy

dx=(1− x2 )

−12 ( 1+ y2)

1

2

18. dydx

= xy+3 x− y−3 xy−2 x+4 y−8

19.dy

dx=

xy+2 y− x−2 xy−3 y+ x−3

20.dy

dx=sex(cos2 y−cos2 y)

21. secy dy

dx+sen ( x− y )=sen( x+ y )

22. cotgy dydx

+sen ( x− y )=sen( x+ y )

23.tgy dy

dx +cos ( x− y )=cos ( x+ y)

24. x √ 1− y2 dx=dy

25. ( e x+e− x ) dydx

= y2

26. ( x+√ x ) dydx

=( y+√ y )

27.dy

dx=

arcotgx

sen (!nx)

28.t

3dt

dr =e−t

2

cos (√ r)

29.dx

dy=

y2√ x2−6 x+13

√ 9−25 y2


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30. ( 1+ x4 ) dy+ x (1+4 y2 )dx=0, y (1 )=0

31. ( e− y+1 ) senxdx=(1+cosx ) dy , y (0 )=0

32. x2 dy

dx= y− xy , y (−1 )=−1

33.dy

dx +2 y=1, y (0 )=

5

2

34.√ 1− y2dx−√ 1− x2 dy , y (0 )=√ 32

35.dy

dx=4 ( x2+1) , y ( * 4 )=1

36.dy

dx=

( y−1 ) ( x−2 )( y+3)

( x−1 ) ( y−2 )( x+3)

37. dr

d ∅=

sen∅+e2 r cos∅3e

r+er cos2∅

38. x3e

2 x2+2 y2

dx− y3e− x2−2 y2

dy=0

39. x

5dx

dy =√

9 x2−1

√ x2−1

40. ( y+1 ) dx+ x2− x+24− x

dy=0

ECUCIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN4O(OGENEAS


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La ecuación diferencial

+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0

s una ecuación diferencial ordinaria de primera orden =omog6nea si las

funciones ( x , y ) y ) ( x , y ) son =omog6neas con igual grado de

=omogeneidad.

Por lo tanto si una función # tiene la propiedad # ( t x ,ty)=t - # ( x , y) para

alg3n n3mero real de - . &or e3e#"lo # ( x , y )= x3+ y3 es una función

5o#o06nea de 0rado ,! ya que

Para toda x=tx mientras que para y=ty

# ( tx,ty )=(tx)3+(ty)3

4actor com3n t 3

# ( tx,ty )=t 3( x3+ y3)

>ientras que # ( x , y )= x3+ y3+1 es no =omog6nea. n conclusión si ambas

funciones y ) son ecuaciones =omog6neas del mismo grado! la

ecuación deberá estar

+ (tx,ty )=t - + ( x , y ) y ( (tx,ty )=t - ( ( x , y )

9demás! si y ) son funciones =omog6neas de grado - ! podemos

escribir

+ ( x , y )= x-

(1,u ) y ( ( x , y )= x-

( (1,u )dondeu= x

y

+ ( x , y )= y- (v , 1 ) y ( ( x , y )= y- ( ( v ,1 ) dondev= x

y


14/82

Las siguientes propiedades plantean las sustituciones que se pueden usar pararesolver una ecuación diferencial =omog6nea. n concreto! cualquiera de las

sustituciones y=ux o x=vy donde u y v son las nuevas variables

dependientes! reducirán una ecuación =omog6nea a una ecuación diferencial

de primer orden separable.E3e#"lo ):

( x2+ y2)dx+( x2− xy ) dy=0

;aminamos el grado de la ecuación diferencial!


[ (tx

)

2

+(ty

)

2

]dx

+[ (tx

)

2

−(txty

) ]dy

=0

s una ecuación diferencial 5o#o06nea de 0rado +!

t 2 ( x2+ y2 ) dx+t 2 ( x2+ y2 )dx=0

Una ve? c=equeado el grado de la ecuación diferencial! se efect3a el siguiente

cambio! y=ux entonces dy=udx+ xdu despu6s de sustituir! la ecuación se

convierte

[ x2+(ux)2 ] dx+[ x2− x (ux)](udx+ xdu)=0

( x2+u2 x2 ) dx+ ( x2−u x2 )(udx+ xdu)=0

x2 (1+u2 )dx+ x3 (1−u ) du=0 . / de 0rimer ordense0ara!e


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−∫ du+∫ 21+u

du=−∫ dx x

−u+2 ln|1+u|=−ln| x|+c

%ustituyendo de nuevo u= y

x

− y x +2 ln|1+ y x|=−ln| x|+c

E3e#"lo +:

2 xy dy

dx=4 x

2

+3 y

2

;aminamos el grado de la ecuación diferencial!


2txty dy= [4 (tx )2+3 (ty )2 ]dx

t 2 (2 xy )dy=t 2 (4 x2+3 y2 ) dx

&oncluimos que es @omog6nea de 0rado +2

fectuamos el cambio! y=ux por lo que dy=udx+ xdu ! quedando que

2 xy dydx

=4 x2+3 y2

dy=[2( x y )+32 ( y x )]dx


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udx+ xdu=[2( xux )+ 32 (ux x )]dx

udx+ xdu=

(2

u

+3 u

2

)dx

9grupando e integrando queda!

∫ 2uu2+4

du=∫ dx x

ln|u2+4|=ln| x|+c

%ustituyendo de nuevo u= y x

ln|( y x )2

+4|=ln| x|+c

&RO'LE(AS:

5btenga la solución general para cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales. %iga cada uno de los pasos indicados en esta misma guAa para tal

efecto.

1. ( x− y )dx+ xd y=0

2. xdx+( y−2 x ) dy=0

3. ydx=2 ( x+ y ) dy

4. ( y2+ xy ) dx+ x2=0

5.dy

dx=

y− x y+ x

6.dy

dx=

x+3 y3 x+ y

%i


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7. 1 ydx+( x+√ xy ) dy=0

8. x dy

dx= y+√ x2− y2

9. x y2 dy

dx= y3− x3 , y (1 )=2

10.( x+ y e y/ x ) dx− x e y/ x dy=0, y (1 )=0

11.( x2+2 y2 ) dxdy

= xy , y (−1 )=1

12. dydx

=−20 x2

+20 xy−5 y2

−9 x2+5 xy− y2

13.dy

dx=

y+ x cos2( y

x )

x y (1 )=

*

4

14.( ycos x y + y sec2 x

y )dx+(2 ysen x

y+2 ytg

x

y− xcos

x

y− xsec2

x

y )dy=0

15.dy

dx=−24 x2+20 xy−6 y2

−15 x2+6 xy− y2

16.dy

dx=−5 x2+5 xy+ y2

−2 x2−2 xy− y2

17. ydx+ x (!nx−!ny−1 ) dy=0, y (1 )=e

18.dy

dx=

6 x2−5 xy−2 y2

6 x2−8 xy+ y2

19.dy

dx=

y

x +

y2

x2 , y (1 )=1


18/82

20. y' =

y

x +sec2

y

x

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN E7AC*AS

Una e;presión diferencial

+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy

s una diferencial e8acta en una región R del plano xy si esta

corresponde a la diferencial de alguna función # ( x , y ) de'nida en R . Una

ecuación diferencial de primer orden de la forma

+ ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0

%e dice que es e;acta si la e;presión del lado i?quierdo es una diferenciale;acta.

Por ejemplo x2 y

3dx+ x3 y2 dy=0 es una ecuación e;acta ya que su lado

i?quierdo es una diferencial e;acta:

d ( 13 x3 y3)= x2 y3dx+ x3 y2 dy

%i =acemos las identi'caciones

x2 y

3dx+ x3 y2 dy=0


19/82

+ ( x , y )= x2 y3 y ( ( x , y )= x3 y2

ntonces!

∂ + ( x , y)

∂ y =3 x2

y

2

y

∂ ( ( x , y )

∂ x =3 x2

y

2

Por lo tanto! sean + ( x , y ) y ( ( x , y ) continuas y que tienen primeras

derivadas parciales continuas en una región rectangular R de'nida por

a


20/82

# ( x , y )=∫ + ( x , y ) dx

# ( x , y )= 2 ( x , y )+g( y )

,2 Donde la función aritraria g( y ) e% la con%tante de

inte0ración2 A5ora deri$ando re%"ecto a la $ariale y ;

a%u#iendo .ue9 ∂ # /∂ y= ( ( x , y ) :

∂ [ 2 ( x , y )+g ( y )]∂ y

= ( ( x , y)

Se otiene9

g' ( y )= ( ( x , y )−

∂ 2 ( x , y )∂ y

-2 &or


21/82

E% e8acta

).


22/82

(cosx senx− x y2 )dx+ y (1− x2 ) dy=0

Podemos reconocer que la ecuación es e;acta

∂ ( cosxsenx− x y 2 )∂ y =

∂ ( y (1− x2) )∂ x

−2 xy=−2 xy

9=ora!

∫coxsenx− x y2 dx

∫coxsenxdx− y2

∫ xdx

−cos2 x2

− y

2 x

2

2 +g( y )

$erivando parcialmente!

∂[−cos2 x

2 −

y2 x

2

2 +g( y )]

∂ y = y (1− x2 )

− y x2+g ' ( y )= y− y x2

g ( y )=∫ ydy

g ( y )= y2

2 +c

%ustituyendo!

−cos2 x2

− y

2 x

2

2 +

y2

2 =c1

−cos2 x− y2 ( x2−1 )=2c1


23/82

−cos2 x− y2 ( x2−1)=c

La condición inicial y=2 cuando x=0

c=3

FAC*ORES IN*EGRAN*ES

Para una ecuación diferencial no e;acta + ( x , y )dx+ ( ( x , y ) dy=0 ! a veces es

posible encontrar un factor integrante B ( x , y ) de modo que! despu6s de

multiplicar! el lado i?quierdo de

3( x , y ) + ( x , y ) dx+ 3( x , y ) ( ( x , y ) dy=0

s una diferencial e;acta. n un intento por encontrar 3 ! se vuelve al criterio

de e;actitud.

%i ( + y− ( x)/ ( es una función de x e;clusivamente! entonces un factor de

integración será!

3 ( x )=e∫

+ y− ( x (

dx

%i ( ( x− + y)/ + es una función de y solamente! entonces un factor de

integración será!

3 ( y )=e∫

( x− + y +

dx

E3e#"lo ,:

xydx+ (2 x2+3 y2−20 ) dy=0

Ceri'cando!


24/82


25/82

∂ ( x y 4 )∂ y

=∂ (2 x2 y3+3 y5−20 y3 )

∂ x

4 x y3=4 x y3

Se cu#"le9 la ED e% e8acta2

&on los pasos antes e;puestos se puede llegar a una familia de soluciones!

1

2 x

2 y

4+1

2 y

6−5 y 4=c 2

&RO'LE(AS:

n los problemas determine si la ecuación diferencial que se proporciona es

e;acta. n caso a'rmativo! resu6lvala.1. (2 x−1 ) dx+ (3 y+7 ) dy=0

2. (2 x+ y ) dx−( x−6 y ) dy=0

3. (5 x+4 y )dx+( 4 x−8 y3 )dy=0

4. (seny− ysenx ) dx+(cosx+ xcosy− y ) dy=0

5.( 2 x y2−3) dx+(2 x2 y+4 ) dy=¿ 1

6.(2 y−1 x +cos3 x ) dydx + y x2−4 x3+3 ysen3 x=0

7.( x2− y2) dx+( x2−2 xy )dy=0

8.

(1+!nx+ y x )dx=(

1−!nx )dy

9. ( x− y3+ y2 senx )dx=(3 x y 2+2 ycosx ) dy

10.( x3+ y3 )dx+3 x y2 dy=0


26/82

11.( y!ny−e− xy ) dx+( 1 y + x!ny)dy=0

12.( 3 x2 y+e y) dx+( x3+ x e y−2 y ) dy=0

13. x dy

dx=2 x e x− y+6 x2

14.(1− 3 y + x ) dydx + y=3

x−1

15.( x2 y3− 11+9 x2 )dx

dy + x3 y2=0

16.( e y+2 x ycos"x ) y ' + x y2 sen"x+ y2 cos"x=0

17. (5 y−2 x ) y ' −2 y=0

18. ( tanx−senxseny ) dx+cosxcosydy=0

19. (3 xcos3 x+sen3 x−3 ) dx+(2 y+5 ) dy=0

20.( 1−2 x2−2 y ) dydx

=4 x3+4 xy

21.( 2 ysenxcosx− y+2 y2 e x y2

)dx=( x−sen2 x−4 xy e x y2

)dy

22.( 4 t 3 y−15 t 2− y ) dt +(t 4+3 y2−t ) dy=0

23.

(1t + 1t 2−

yt

2+ y2 )dt +(

y e y+ t t

2+ y2 )dy=0

24. ( x+ y )2dx+ (2 xy+ x2−1 ) dy=0, y (1 )=1

25.( e x+ y ) dx+ (2+ x+ ye y )dy=0, y (0 )=1


27/82


28/82

38.( y2+ x y 3 )dx+ (5 y2− xy+ y3 seny ) dy=0

39. xdx+( x2 y+4 y )dy=0, y (4 )=0

40. ( x2+ y2−5 )dx=( y+ xy ) dy , y (0 )=1

ECUACIONES LINEALES

%e dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

a1 ( x ) dy

dx+a0 ( x ) y=g( x )

s una ecuación lineal en la variable dependiente y .

&uando g ( x )=0 ! se dice que la ecuación lineal es =omog6neaE de lo

contrario! es no =omog6nea.

FOR(A ES*ANDAR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE &RI(ERORDEN

9l dividir ambos lados de la ecuación antes planteada entre el coe'ciente

principal a1 ( x ) ! se obtiene una forma 3til! la forma estándar! de una ecuación

lineal de orden uno:

dy

dx+ ( x ) y=) ( x)

%e busca una solución de la ecuación en un intervalo 4 para el cual ambas

funciones coe'cientes y ) son continuas.

&ASOS &ARA LA O'*ENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE ECUACION

DIFERENCIAL ORDINARIA DE &RI(ER ORDEN LINEAL DE LA FOR(A

y ' + ( x ) y=)( x )

&omo primer paso se busca el factor integrante! el cual depende solo de x !

es decir! resolvemos


29/82

3 ( x )=e∫ ( x ) dx

Luego sustituyendo en la ecuación planteada! el cual es una de las formasequivalentes más fáciles para la obtención de una solución general de una $de primer orden! nos queda

y e∫ ( x ) dx

=∫)( x)e∫ ( x ) dx dx

Resolviendo la integral a la derec=a y despejando a y

y=e−∫ ( x ) dx∫)( x)e∫ ( x ) dx dx+e−∫ ( x ) dx %

s importante aclarar que!

y= yc+ y 0

$onde!

yc=e−∫ ( x ) dx % y y 0=e

−∫ ( x ) dx∫)( x)e∫ ( x ) dx dx

E3e#"lo ):

x dy

dx

−4 y= x6 e x

%i dividimos entre x ! se obtiene la forma estándar

y' −

4

x y= x5 e x

9plicando!

y e∫ ( x ) dx

=∫)( x)e∫ ( x ) dx dx

%ustituyendo nos queda!

)( x ( x)


30/82

y e∫−4

xdx

=∫ x5 e x e∫−4

xdx

dx

Resolviendo

3( x)=e∫−4 x dx=e−4 !nx=e ln x

−4

¿ x−4

ntonces!

x5

e x (¿ x−4)dx

y x−4=∫ ¿

y x−4=∫ x e x dx

y x−4= x e x−e x+c

$espejando la solución vendrá dada por!

y= x5 e x− x4 e x+ x4 c

E3e#"lo +:

dy

dx+ y= x , y (0 )=4

$e la ecuación se identi'ca ( x )=1 y ) ( x )= x

%ustituyendo! nos queda

y e∫dx=∫ xe∫dx dx

Por lo tanto!

y e x=∫ x e x dx

y e x= x e x−e x+c


31/82

$espejando!

y= x−1+e− x c

Pero de la condición inicial se sabe que y=4 cuando x=0

c=5

Por consecuencia! la solución es

y= x−1+5e− x

E3e#"lo ,:

dy

dx + y=) ( x ) , y (0 )=0donde) ( x )={1,05 x 510, x>1.

La solución para la siguiente función discontinua será.

Primero se resuelve la $ para y ( x) en el intervalo 05 x 51 y luego en el

intervalo 1


32/82

Luego de evaluar y (0 )=0 ! se debe tener que c1=−1 . Por lo tanto la

solución en el intervalo 05 x 51 ! será

y=1−e− x

9=ora para x>1 ! de la ecuación

dy

dx+ y=0

%e llega a y=c2 e− x

. Por consiguiente! se puede escribir

y={1−e

− x

, 0 5 x 51c2 e

− x, x>1

%i se recurre a la de'nición de continuidad en un punto es posible determinar a

c2 para que la función anterior sea continua en x=1 . l requerimiento de

que x 71

+¿ y ( x)= y (1)lim¿

¿ implica que c2 e− x=1−e− x o c2=e−1 . La función

queda

y={1−e− x

, 0 5 x 51

(e−1 ) e− x , x>1

s continua en (0, 6) .

&RO'LE(AS:

1.dy

dx + y=e−3 x

2. y' +3 x2 y=10 x2

3. y' +2 xy= x3

4. x2 y

' + xy= x+1

5. y' =2 y+ x2+5

6. x dy

dx+4 y= x3− x


33/82

7. x2 y

' + x ( x+2 ) y=e x 8. x dydx

− y= x2 senx

9. cosx dy

dx + ysenx=1 10.cos

2 xsenxdy +( y cos3 x−1) dx=0

11. (1+ x ) y ' − xy= x+ x2

12. (1−cosx ) dy+(2 ysenx−tanx ) dx=0

13. ydx+( xy+2 x− y e y )dy=0 14.( x2+ x ) dy=( x6+3 xy+3 y ) dx

15. x dydx

+(3 x+1 ) y=e3 x

16. y' + ytanx= xsen2 x

17.dy

dx +

x

1− x2 y= x3

18.dy=( x5−9 x2 y ) dx

19.dy

dx + y=

1−e−2 x

e x+e− x

20. ydx+( x+2 x y2−2 y )dy

21. x y' + (1+ x ) y=e− x sen 2 x

22.dy

dx + ycotx=2cos2 x

23. x y' +2 y=e x+ !nx

24.dy

dx + y=e−t +costsent

25. ydx=( y e y−2 x ) dy

26. dr

d+rsec=cos

27 .( x+2)2 dy

dx=5−8 y−4 xy

28.d

dt +2 t= +4 t −2

29. ( x2−1 ) dydx

+2 y=( x+1 )2

30.dx=(3e y−2 x) dy

31. y' = (10− y ) cos"x

32. ydx−4 ( x+ y6 ) dy=0


34/82

33.dy

dx−( 2 x−2 x2−2 x+1 ) y=1 34. y

' −( 2 x−2 x2−2 x+1 ) y= ( x+1)

( x2−16 )

35. x y' + y=e x , y (−1 )=4 36. y dx

dy

− x=2 y2, y (1 )=5

37. 8 di

dt + Ri= ,i (0 )=i0 8 . R , e i0 constantes

38.dT

dt =k (T −T m ) ,T (0 )=T 0 k ,T m y T 0 constantes

39. ( x+1 ) dydx

+ y=!nx , y (1 )=10 40. y' + tanxy=cos2 x , y (0 )=−1

41. dy

dx+2 y=) ( x ), y (0 )=0,donde) ( x )={1, 05 x5 30, x>3

42. dy

dx+ y=) ( x ) , y (0 )=1,donde) ( x )={1,05 x 51−1, x>1

43. dy

dx

+2 xy=) ( x ) , y (0 )=2, donde) ( x )=

{

x , 0 5 x


35/82

ECUACION DE 'ERNOULLI

Una ecuación diferencial de la forma:

dyd x

+ ( x ) y=)( x) yn $onde n es cualquier n3mero real! se llama Ecuación

de 'ernoulli. Para solucionar esta ecuación diferencial vamos a reducirla auna ecuación lineal de orden unoE simplemente reali?ando la siguientesustitución:

u= y1−n

$espejando a y nos queda!

y=u1

1−n

Por regla de la cadena! obtenemos

dy

dx=( 11−n )u

( 11−n )−1 dudx

%ustituyendo y simpli'cando en la ecuación inicial! nos queda

u' + ( x ) u=)( x )

s obvio que la ecuación no es más que una ecuación diferencial lineal de

primer orden. Resuelva y devuelva el cambio. $e ser posible despeje y .

E3e#"lo ):

x dy

dx+ y= x2 y2

5rgani?ando en la forma estándar!

dy

dx+

1

x y= x y 2

yn


36/82

fectuando el cambio!

u= y1−2

u= y−1

$espejando a y , obtenemos

y=u−1

$erivando por regla de la cadena!

dy

dx=−u−2

du

dx

%ustituyendo!

−u−2 du

dx+

1

x u

−1= x(u−1)2

$ividiendo entre −u−2

! se concluye

du

dx−

1

x u=− x

9 continuación tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden.Resolvemos de la forma =abitual.

ue∫ ( x ) dx

=∫)( x )e∫ ( x ) dx dx

ue∫−1

xdx

=∫− x e∫−1

xdx

dx

l factor integrante será!

¿e∫−1

xdx

=e−!nx= x−1

Resolviendo!


37/82

u x−1=∫− x . x−1 dx

u x−1=−∫dx

$espu6s de la integración y a su ve? despejando u ,

u=− x

x−1+

c

x−1

u=− x2+ xc

&omo u= y−1

! la solución vendrá dada

y−1=− x2+ xc

$espejando a y ! la solución

y= 1

− x2

+ xc

&RO'LE(AS:

&ada $ es una ecuación de Fernoulli. Resuelva!

1. x dy

dx+ y=

1

y2

2.dy

dx

− y=e x y2

3.dy

dx= y ( x y3−1)

4. x dy

dx−(1+ x ) y= x y2

5.t 2 dy

dt

+ y2=ty

6.3 (1+t 2 ) dydt =2ty ( y3−1)

7. y' = (4 x+ y )2


38/82

8. x2 dy

dx+2 xy=5 y3 9. x y ' +6 y=3 x y

4

3

10. x2 dy

dx−2 xy=3 y4 , y (1 )=

1

2

11. y1

2 dy

dx+ y

3

2=1, y (0 )=4

12.2 y' =

y

x −

x

y2 , y (1 )=1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDENSU&ERIOR

eniendo la siguiente $ de orden n =omog6nea con coe'cientes

constantes!

a0 yn+a1 y

n−1+a2 yn−2+…+an−1 y

' +an y=0

%uponga soluciones de la forma y=e :x

! G un n3mero cualquiera y busque las

n derivadas de y=e :x

: y' = : e :x ! y

' ' = :2 e :x ! y' ' ' = :3e :x …

%ustituyendo las derivadas obtenidas en la ecuación diferencial!


39/82

a0 :ne

:x+a1 :n−1

e :x+a2 :

n−2e

:x+…+an−1 :e :x+ane

:x=0

4actor com3n e :x

(a0 :n+a1 :n−1+a2 :n−2+…+an−1 :+an ) e :x=0

&omo e :x

; 0 entonces deberá buscar las raAces del polinomio

(a0 :n+a1 :

n−1+a2 :n−2+…+an−1 :+an )=0

l cual se denomina "olino#io caracter%tico.

Ca%o ):

%i las race% del polinomio caracterAstico son reale% ; di%tinta% :1 , :2 , :3 …!

:n−1 ! :n

ntonces las n soluciones linealmente independientes son!

y1=e

:1 x , y2=e

: 2 x …

La solución general de la ecuación diferencial =omog6nea es:

y=% 1 e :1 x+% 2e

:2 x+…+% n−1 e : n−1 x+% n e

:n x

$onde % 1 ,% 2 …,% n−1 ,% n %on con%tante% aritraria%

Ca%o +:

Si la% race% del polinomio caracterAstico son reales y algunas %e re"iten!

digamos :1

con multiplicidad dek

. ntonces para esa raA? repetida lassoluciones serán

y=% 1e

:1 x+% 2 x e

:1 x++% 3 x

2e

:1 x …+% n−1 xn+1

e :1 x+% n x

ne

: 1 x


40/82


41/82

m1=−1

2 ,m2=3

Por lo tanto la solución para raAces reales distinta vendrá dada por!

y=% 1 e−12 x+% 2e

3 x

E3e#"lo +:

y'' +4 y ' +7 y=0

Iuedando la ecuación!

m2+4 m+7=0

Por medio de la ecuación cuadrática tenemos!

m1=−2+√ 3 i ,m2=−2−√ 3 i

La solución respecto al caso *!

y=e−2 x (% 1 cos√ 3 x+% 2 sen√ 3 x )

E3e#"lo ,:

d3 y

d x3+3

d2 y

d x2−4 y=0

$ebe ser evidente de la inspección!

m3+3 m2−4=0

Iue una raA? sea m1=1 y! por consecuencia! m2=m3=−2 . 9sA que la

solución general del caso ( y caso ) para la ecuación diferencial!

y=% 1 e x+% 2 e

−2 x+% 3 xe−2 x

E3e#"lo -:


42/82

y'' +16 y=0 , y (0 )=2, y ' (0 )=−2

enemos que la ecuación!

m2+16=0

Posee raAces complejas!

m1=4 i ,m2=−4 i

s obvia la solución

y=% 1 cos 4 x+% 2 sen 4 x

valuando para la condición inicial de y=2 para x=0 ! obtenemos

2=% 1

Para el estudio de la segunda condición! la solución debe ser derivada

y=% 1 cos 4 x+% 2 sen 4 x

y' =−4% 1 sen4 x+4% 2cos4 x

9sA pues! evaluamos la condición de y' =−2 cuando x=0

−2=4 % 2

% 2=−12

La solución será!

y=2cos4 x−1

2sen 4 x

&RO'LE(AS:


43/82

1.3 y' ' − y ' =0

2.2 y' ' +5 y ' =0

3. y' ' −16 y=0

4. y' ' +8 y=0

5. y' ' +9 y=0

6.3 y' ' + y=0

7. y

' '

−3 y'

+2 y=0

8. y' ' − y ' −6 y=0

9. d

2 y

d x2+8

dy

dx +16 y=0

10.d

2 y

d x2−10

dy

dx+25 y=0

11. y' ' 3 y

' −5=0

12. y' ' +4 y ' − y=0

13.12 y' ' −5 y' −2=0

14.8 y' ' +2 y ' − y=0

15. y' ' −4 y ' +5 y=0

16.d

6 y

d x6− y=0

17.2 y' ' −3 y ' +4 y=0

18.3 y' ' +2 y ' + y=0

19.2 y ' ' +2 y ' + y=0

20. y' ' ' −4 y ' ' −5 y ' =0

21.4 y' '' +4 y ' ' + y ' =0

22. y' ' ' − y=0

23. y

' ' '

−6 y=0

24. y' ' ' +5 y ' ' =0

25. y' ' ' −5 y '' +3 y ' +9 y=0

26. y' ' ' +3 y ' ' −4 y ' −12=0

27. y' ' ' + y ' ' −2 y ' =0

28. y' ' ' − y '' −4 y ' =0

29. y' ' ' +3 y ' ' +3 y ' +1 y=0

30. y' ' ' −6 y '' +12 y ' −8 y=0

31.d

4 y

d x4 +

d3 y

d x3+

d2 y

d x2=0

32.d

4 y

d x4−2

d2 y

d x2+ y=0


44/82

33.16 d

4 y

d x4+24

d2 y

d x2+9 y=0

34.d

4 y

d x4−7

d2 y

d x2−18 y=0

35.d

5 y

d x5−16

dy

dx=0

36.d

5 y

d x5−2

d4 y

d x4+17

d3 y

d x3=0

37.d

5 y

d x5+5

d4 y

d x4−2

d3 y

d x3−10

d2 y

d x2+

dy

dx+5 y=0

38.2 d

5 y

d x5−7

d4 y

d x4+12

d3 y

d x3+8

d2 y

d x2=0

39. y' ' +16 y=0, y (0 )=2, y ' (0 )=−2

40. y'' − y=0, y (0 )= y ' (0 )=1

41. y'' +6 y ' +5 y=0, y (0 )=0, y ' (0 )=3

42. y'' −8 y ' +17 y=0, y (0 )=4, y ' (0 )=−1

43.2 y'' −2 y ' + y=0, y ( 0 )=−1, y ' (0 )=0

44. y'' −2 y ' + y=0, y (0 )=5, y ' (0 )=10

45. y'' + y ' +2 y=0, y (0 )= y ' (0 )=0

46.4 y'' −4 y ' −3 y=0, y (0 )=1, y ' (0 )=5

47. y'' −3 y' +2 y=0, y (1 )=0, y ' (1 )=1

48. y'' + y=0, y ( * 3 )=0, y' ( * 3 )=2

49. y'' ' +12 y ' ' +36 y ' =0, y (0 )=0, y ' (0 )=1, y ' ' (0 )=−7


45/82

50. y' ' ' +2 y ' ' −5 y ' −6 y=0, y (0 )= y ' (0 )=0, y ' ' (0 )=1

51. y' ' ' −8 y=0, y (0 )=0, y ' (0 )=−1, y ' ' (0 )=0

52. d4 y

d x4=0, y (0 )=2, y ' (0 )=3, y ' ' (0 )=4, y ' '' (0 )=5

53.d

4 y

d x4−3

d3 y

d x3+3

d2 y

d x2−

dy

dx=0, y (0 )= y ' (0 )=0, y' ' ( 0 )= y ' '' (0 )=1

54.d

4 y

d x4− y=0, y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0, y ' '' (0 )=1

55.d

4 y

d x4−4 y=0, y (0 )= y ' (0 )= y ' ' (0 )=0, y ' ' ' (0 )=1

COEFICIEN*ES INDE*ER(INADOS9 (E*ODO DE SU&ER&OSICION

Para resolver una ecuación diferencial no =omog6nea

a0 yn+a1 y

n−1+a2 yn−2+…+an−1 y

' +an y=g( x )

%e deben efectuar dos pasos:

(. $eterminar la función complementaria yc . La función complementaria

es la solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada a laecuación antes e;puesta! es decir

a0 yn+a1 y

n−1+a2 yn−2+…+an−1 y

' +an y=0

). @allar la solución particular y 0 . n la presente sección se van a

presentar m6todos para la obtención de soluciones particulares.

*. Luego la solución general vendrá dada por y= yc+ y 0

(6todo de coe=ciente% indeter#inado%


46/82

La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución

particular y 0 de una $ lineal no 5o#o06nea se llama m6todo de los

coe'cientes indeterminados. La idea fundamental que sustenta este m6todo es

una conjetura acerca de la forma de y 0 ! en realidad una suposición

informada! motivada por las clases de funciones que constituyen la función de

entrada g( x) . l m6todo general se limita a $ lineales donde

• Los coe'cientes ai , i=0,1, …,n son constantes y

• g( x) es una k constante! una función polinomial! una función

e;ponencial eax

! una función seno o coseno sen xocos x ! o sumas

'nitas y productos de estas funciones.

Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas de

g( x) :

g ( x )=10, g ( x )= x2−5 x , g ( x )=15 x−6+8 e− x

g ( x )=sen3 x−5 xcos2 x , g ( x )= x e x senx+(3 x2−1)e−4 x

l conjunto de funciones que consiste en constantes! polinomios!

e;ponenciales eax

! senos y cosenos tienen notable propiedad de que las

derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos deconstantes! polinomios! e;ponenciales! senos y cosenos. $ebido a que la

combinación lineal de derivadas y 0 debe ser id6ntica a g( x) ! parece

ra?onable suponer que y 0 tiene la misma forma que g( x) .

n los ejemplos siguientes se ilustra el m6todo.

E3e#"lo ):

y'' +4 y ' −2 y=2 x2−3 x+6

&a%o ):


47/82

%e resuelve primero la ecuación =omog6nea relacionada y' ' +4 y ' −2 y=0 . $e

la formula cuadrática se encuentra que las raAces de la ecuación au;iliar

m2+4m−2=0

m1=−2−√ 6 , m2=−2+√ 6

Por consiguiente la función complementaria es

yc=% 1e−(2+√ 6 )+% 2 e

(−2+√ 6)

&a%o +:

$ebido a que la función g( x) es un polinomio cuadrático! supóngase una

solución particular que tambi6n es de la forma de un polinomio cuadrático:

y 0= = x2+>x+%

%e busca determinar coe'cientes especA'cos = , > y % para los cuales y 0

es una solución de la ecuación problema. %ustituyendo y 0 y las derivadas

y ' 0=2 =x+> y y ' ' 0=2 =

%ustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene!

y'' +4 y ' −2 y=2 x2−3 x+6

2 =+4 (2 =x+> )−2 ( = x2+>x+% )=2 x2−3 x+6

$istribuyendo!

2 =+8 =x+4 >−2 = x2

−2 >x−2 % =2 x2

−3 x+6

9grupando t6rminos se construye un sistema de ecuaciones!


48/82

{ x2 (−2 = )=2

x (8 =−2 > )=−3T . 4 (2 =+4 >−2 % )=6

Resolviendo el sistema tenemos que! ==−1, >=−52 y % =−9 . Por lo tanto una

solución particular es!

y 0=− x2−

5

2 x−9

&a%o ,:

La solución general de la ecuación que se proporciona es

y= yc+ y 0

y=% 1 e−(2+√ 6)+% 2 e

(−2+√ 6)− x2−5

2 x−9

FOR(ACION DE y 0 &OR SU&ER&OSICION

E3e#"lo +:

y'' −2 y ' −3 y=4 x−5+6 x e2 x

Paso (:

La solución =omog6nea relacionada y' ' −2 y ' −3 y=0 resulta ser

yc=% 1e− x+% 2e

3 x

.

Paso ):

9 continuación! la presencia de 4 x−5 en g( x) indica que la solución

particular incluye un polinomio lineal. 9demás! debido a que la derivada de

producto x e2 x

produce 2 x e2 x

y e2 x

! se supone tambi6n que la solución


49/82

particular incluye a x e2 x

y e2 x

. n otras palabras! g es la suma de dos

clases básicas de funciones:

g ( x )=g1 ( x )+g2 ( x )= 0o!inomio+ex0onencia!es.

n consecuencia! el principio de superposición para ecuaciones no=omog6neas indica que se busca una solución particular

y 0= y 0 1+ y 0 2

$onde y 01= =x+> y y 0 2=%x e2 x+ e2 x . %ustituyendo

y 0= =x+>+%x e2 x+ e2 x

$erivando y agrupando t6rminos semejantes en la ecuación! se obtiene

y'' −2 y ' −3 y=4 x−5+6 x e2 x

−3 =x−2 =−3 >−3 %x e2 x+(2% −3 )e2 x=4 x−5+6 x e2 x

$e esta identidad se obtienen las cuatro ecuaciones

{ x e

2 x (−3% )=6e2 x (2% −3 )=0 x (−3 = )=4

T . 4 (−2 =−3 > )=−5

9l resolver! se encuentra que ==−4

3 ,>=

23

9 ,% =−2 y =

−43 . n

consecuencia

y 0=−4

3 x+

23

9 −2 x e2 x−

4

3 e

2 x

&a%o ,:


50/82

La solución general de la ecuación es

y=% 1 e− x+% 2 e

3 x−4

3 x+

23

9 −2 x e2 x−

4

3 e

2 x

E3e#"lo ,:

n el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición "obvia# para

la formación de y 0 no es una suposición correcta.

y'' −5 y ' +4 y=8 e x

%i se procede como se =i?o en los ejemplos anteriores! se puede suponer de

modo ra?onable una solución particular de la forma y 0= = e x

. Pero la

sustitución de esta e;presión en la ecuación diferencial produce la e;presión

contradictoria 0=8 e x

de modo que claramente se =i?o una conjetura

equivocada para y 0 .

La di'cultad aquA es evidente al e;aminar la función complementaria

y 0=% 1 e x+% 2 e

4 x

5bserve que la suposición = e x ya está presente en yc . sto signi'ca que

e x

es una solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada! y un

m3ltiplo constante = e x

cuando se sustituye en la ecuación diferencial

necesariamente produce cero!

% 1 e x+% 2 e

4 x? = e

x

Fajo las circunstancias descritas! se puede constituir la siguiente regla general.

Regla de la multiplicación. Si alguna y 0 1 contiene términos que duplican

los términos de yc , entonces esa

y 01 se debe multiplicar por xn

, donde

n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación.


51/82

&on base en la regla! se puede encontrar una solución particular de la forma!

y 0= =x e x

9l sustituir y ' 0= =x e x+ = e x y y ' ' 0= =x e

x+2 = e x en la ecuación diferencial y

simpli'cando! se obtiene

y'' −5 y ' +4 y=−3 = e x=8 e x

$e la ultima igualdad se ve que el valor de = a=ora se determina como

==−8

3 . Por consiguiente! una solución particular de la que se proporciona es

y 0=−8

3 x e

x

Solucione% &articulare% de &ruea

g( x) For#a de y 0

1.(cua!@uier constante) =

2.5 x+7 =x+>

3.3 x2−2 =x2+>x+%

4. x3− x+1 =x3+> x2+%x+ /

5. sen 4 x =cos 4 x+>sen 4 x

6.cos4 x =cos 4 x+>sen 4 x

7. e5 x

=e5 x

8.(9 x−2)e5 x ( =x+>)e5 x

9. x2e5 x ( =x2+>x+% )e5 x

10. e3 x

sen 4 x = e3 x

cos 4 x+> e3 x sen 4 x

11.5 x2sen 4 x ( =x2+>x+% ) cos4 x+( x2+ 2x+$ ) sen 4 x


52/82

12. x e3 x

cos 4 x ( =x+> ) e3 x cos 4 x+ (%x+ ) e3 x sen 4 x

&RO'LE(AS:

1. y ' ' +3 y ' +2 y=6

2. 4 y' ' +9 y=15

3. y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3

4. y ' ' + y ' −6 y=2 x

5.1

4 y

' ' + y ' + y= x2−2 x

6. y' ' −8 y ' +20 y=100 x2−26 x e x

7. y' '

+3 y=−48 x2

e3 x

8. 4 y' ' −4 y ' −3 y=cos2 x

9. y' ' − y ' =−3

10. y' ' +2 y ' =2 x+5−e−2 x

11. y '' − y ' + 14

y=3+e x

2

12. y' ' −16 y=2 e4 x

13. y' ' +4 y=3 sen 2 x

14. y' ' −4 y=( x2−3 ) sen 2 x

15. y' ' + y=2 xsenx

16. y' ' −5 y ' =2 x3−4 x2− x+6

17. y' ' −2 y ' +5 y=e x cos2 x

18. y' ' −2 y ' +2 y=e2 x(cosx−3 senx)

19. y' ' +2 y ' + y=senx+3cos2 x

20. y' ' +2 y ' −24=16−( x+2)e4 x

21. y' ' ' −6 y ' ' =3−cosx

22. y' ' ' −2 y' ' −4 y ' +8 y=6 x e2 x

23. y' ' ' −3 y '' +3 y ' − y= x−4 e x

24. y' ' ' − y '' −4 y ' +4 y=5−e x+e2 x

25. y(4)+2 y ' ' + y=( x−1)2

26. y(4)− y '' =4 x+2 x e− x


53/82

27. y' ' +4 y=−2, y ( * 8 )=12 , y

' ( * 8 )=2

28.2 y' ' +3 y ' −2 y=14 x2−4 x−11, y (0 )=0, y ' (0 )=0

29.5 y' ' + y ' =−6 x , y (0 )=0, y ' (0 )=−10

30. y' ' +4 y ' +4 y=(3+ x ) e−2 x , y (0 )=2, y ' (0 )=5

31. y' ' +4 y ' +5 y=35 e−4 x , y (0 )=−3, y (0 )=1

32. y' ' − y=cos"x , y (0 )=2, y ' (0 )=12

33.d

2 x

d t 2 +A 2 x= 2 0 senAt , x (0 )=0, x

' (0 )=0

34.d

2 x

d t 2 +A 2 x= 2 0 cosBt , x (0 )=0, x

' (0 )=0

35. y' ' ' −2 y ' ' + y ' =2−24 e x+40 e5 x , y (0 )=

1

2 , y ' (0 )=

5

2, y

' ' (0 )=−9

2

36. y' ' ' +8 y=2 x−5+8 e−2 x , y (0 )=−5, y ' (0 )=3, y ' ' (0 )=−4

37. y' ' −9 y ' +14 y=3 x2−5 sen2 x+7 x e6 x

38. y' ' −5 y ' + y=e x

39. y' ' + y=4 x+10 senx,y ( * )=0, y ' ( * )=2

40. y'' −6 y ' +9 y=6 x2+2−12e3 x

41. y'' ' + y ' ' =e x cosx

42. y(4 )+ y ' ' ' =1− x2 e− x


54/82

43. y'' +4 y=g ( x ) , y (0 )=1, y ' ( 0 )=2, dondeg ( x )={senx , 0 5 x 5

*

2

0, x> *

2

44. y'' −2 y ' +10 y=g ( x ) , y (0 )=0, y ' (0 )=0,dondeg ( x )={20,05 x5 * 0, x>*

VARIACION DE &ARA(E*ROS

9sA para resolver!

a2 y'' +a1 y

' +a0 y=g( x )

Primero se encuentra la función complementaria y 0 ! de la misma forma que

en las secciones anteriores!

yc=% 1 y1+% 2 y2

%e procede a calcular el >ron%?iano!

C ( y1 ( x ) , y2 ( x ))

9l dividir entre a2 ! se escribe en la ecuación en la forma estándar

y'' + y ' +)y=# ( x)

Para determinar a # ( x) . %e encuentra u1 y u2 al integrar

u ' 1=

C 1

C

y u ' 2=

C 2

C

$onde C 1 y C 2 se obtiene!

C =| y1 y2 y ' 1 y ' 2|, C 1=| 0 y2

# ( x ) y ' 2|,C 2=| y1 0 y ' 1 # ( x )|


55/82

Una solución particular es y 0=u1 y 1+u2 y2

9sA la solución general de la ecuación es

y= yc+ y 0

E3e#"lo ):

y' ' −4 y ' +4 y=( x+1)e2 x

$e la ecuación au;iliar m2−4 m+4=0 se obtiene!

yc=% 1e2 x+% 2 x e

2 x

&on las identi'caciones y1=e2 x

y y2= x e2 x

! a continuación se calcula el

JronsKiano:

C (e2 x

, x e

2 x

)=| e

2 x x e

2 x

2 e2 x 2 x e2 x+e2 x|=e

4 x

&omo en la ecuación a resolver! el coe'ciente de y ' ' es (! se identi'ca

# ( x )=( x+1)e2 x .

C 1=| 0 x e2 x

( x+1)e2 x 2 x e2 x+e2 x|=−( x+1 ) x e4 x ,C 2=| e2 x

0

2 e2 x ( x+1)e2 x|=( x+1 ) x e4 x

Por lo tanto!

u ' 1=−( x+1 ) xe4 x

e4 x

yu ' 2=

( x+1 ) xe4 x

e4 x


56/82

u1=∫−( x+1 ) x dx y u2=∫ ( x+1 ) x dx

u1=−1

3 x

3−1

2 x

2, u2=

1

2 x

2+ x

Por consiguiente!

y 0=(−13 x3−1

2 x

2)e2 x+( 12 x2+ x) x e2 x

9grupando!

y 0=1

6 x

3e2 x+

1

2 x

2e2 x

La solución general vendrá dada!

y=% 1 e2 x+% 2 x e

2 x+1

6 x

3e

2 x+1

2 x

2e

2 x

E3e#"lo +:

4 y' ' +36 y=csc 3 x

Primero se organi?a la ecuación de la forma estándar!

y'' +9 y=

1

4 csc3 x

$ebido a que las raAces de la ecuación au;iliar m2

+9=0 son m1=3 i y

m2=−3i ! la función complementaria es

yc=% 1 cos3 x+% 2 sen 3 x

ntonces!


57/82

y1=cos3 x , y2=sen3 x

# ( x )=14 csc 3 x

Para el JronsKiano!

C (cos3 x , sen 3 x )=| cos3 x sen3 x−3 sen 3 x 3cos3 x|=3

C 1=| 0 sen3 x14

csc3 x 3cos3 x|=−14 , C 2=| cos3 x 0−3 sen3 x 14

csc3 x|=14 cos3 xsen3 x9l integrar!

u ' 1=−112

y u ' 2= cos3 x

12 sen 3 x

%e obtiene u1=−112

x y u2= 1

36 ln|sen 3 x| . Por consiguiente! una solución

particular es

y 0=−1

12 xcos3 x+ 1

36 (sen 3 x ) ln|sen 3 x|

La solución general de la ecuación es

y=% 1 cos 3 x+% 2 sen3 x− 1

12 xcos 3 x+

1

36( sen 3 x ) ln|sen 3 x|

&RO'LE(AS:

1. y' ' + y=secx 2. y' ' + y=senx


58/82

3. y' ' + y=tanx

4. y' ' + y=sec tan

5. y ' ' + y=cos2

x

6. y' ' + y=sec2 x

7. y' ' − y=cos"x

8. y' ' − y=sen"x

9. y ' ' −4 y= e2 x

x

10. y' ' −9 y=

9 x

e3 x

11. y'' +3 y ' +2 y=

1

1

+e

x

12. y' ' −2 y ' + y=

e x

1+ x2

13. y' ' +3 y ' +2 y=sene x

14. y' ' −2 y ' + y=e t arctan t

15. y' ' +2 y ' + y=e−t !nt

16.2 y' ' +2 y ' + y=4√ x

17.3 y' ' −6 y ' +6 y=e x secx

18.4 y ' ' −4 y' + y=e x/ 2√ 1− x2

Resuelva cada ecuación mediante variación de parámetros! sujeta a las

condiciones iniciales y (0 )=1, y' (0 )=0 .

19.4 y' ' − y= x e x/ 2

20.2 y' ' + y ' − y= x+1

21. y' ' +2 y ' −8 y=2e−2 x−e− x

22. y' ' −4 y ' +4 y=(12 x2−6 x)e2 x


59/82

Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por medio de variación deparámetros.

23. y' ' ' + y ' =tanx

24. y' ' ' +4 y ' =sec 2 x

9nalice como pueden combinarse los m6todos de coe'cientes indeterminadosy variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Ponga enpráctica sus ideas.

25.3 y' ' −6 y ' +30 y=15 senx+e x tan3 x

26. y' ' −2 y ' + y=4 x2−3+ x−1 e x

DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE

n cálculo elemental se aprendió que la diferenciación e integración sontransformadas; esto signi'ca! en t6rminos apro;imados! que estas operaciones

transforman una función en otra. Por ejemplo! la función # ( x )= x2

se

transforma! a su ve?! en una función lineal y una familia de funcionespolinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración:

d

dx x

2=2 x ambi6n ∫ x2dx=

x3

3 +% . 9demás estas dos transformadas

poseen la propiedad de linealidad de que la transformada de una combinaciónlineal de funciones es una combinación lineal de transformadas. n estasección se e;amina un tipo especial de transformada integral llamadatran%for#ada de La"lace. 9demás de poseer la propiedad de linealidad! latransformada de Laplace tiene muc=as otras propiedades interesantes que la=acen muy 3til para resolver problemas de valores lineales.

DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE

%ea # una función de'nida para t 90 . ntonces se dice que la integral

L { # (t )}=∫0

6

e−st

# ( t ) dt


60/82

s la transformada de Laplace de # ! siempre que converja la integral.

&uando la integral converge! el resultado es una función de s .n los

ejemplos siguientes se usa una letra min3scula para denotar la función que se

transforma y la letra may3scula correspondiente para denotar su transformada.

E3e#"lo ):

L {e−3 t }

$e la de'nición se tiene!

¿∫0

6

e−st

e−3 t

dt =∫0

6

e−( s+3 )t dt

¿−e−(s+3) t

(s+3) |6¿0

¿ 1

s+3 , s>−3

l resultado se deduce del =ec=o de que

limt 7 6 e

−( s+3 )t

=0

Para s+3>0 ! o bien! s>−3

E3e#"lo +:

L {sen2 t }

$e la de'nición!

¿∫0

6

e−st

sen2 t dt

¿−e−st sen 2 t

s −

2 e−st

cos2 t

s2

− 4

s2∫

0

6

e−st

sen 2 t dt


61/82

¿−se−st sen 2 t

(s2+4) −

2 e−st

cos2t

(s2+4 ) |6¿0

limt 7 6

e−st

cos2 t =0,s>0

valuando el resultado es!

¿ 2

s2+4

, s>0

&ARA UN CO('INACION LINEAL DE FUNCIONES

∫0

6

e−st [-# ( t )+ < g( t )]dt =- ∫

0

6

e−st

# ( t )dt + c .

&omo resultado de la propiedad dada!

L {1+5 t }

¿ L {1 } L {5 t }

$e la de'nición antes e;puesta se concluye!

¿1

s +

5

s2

*RANSFOR(ADA DE UNA FUNCION CON*INÚA &OR &AR*ES

valuar L { # (t )


62/82

# ( t )={0, 05 t 0

&RO'LE(AS:

Use la de'nición L { # (t )}=∫0

6

e−st

# ( t ) dt para encontrar la transformada de

Laplace!

1. # ( t )={2, 05 t


63/82

5. # ( t )={sent ,0 5 t


64/82

20. # ( t )=t e4 t

21. # ( t )=4 t −10

22. # ( t )=7 t +3

23. # ( t )=t 2+6 t −3

24. # ( t )=−4 t 2+16 t +9

25. # ( t )=(t +1)3

26. # ( t )=(2t −1 )3

27. # ( t )=1+e4 t

28. # ( t )=t 2−e−9t +5

29. # ( t )=(1+e2t )2

30. # ( t )=(et

−e−t

)2

31. # ( t )=4 t 2−5 sen3 t

32. # ( t )=cos5 t +sen2 t

33. # ( t )=sen" kt

34. # ( t )=cosh kt

35. # ( t )=e t sen"t

36. # ( t )=e−t cos"t

37. # ( t )=sen 2 t cos 2t

38. # ( t )=cos2 t

39. # ( t )=sen(4 t +5)

40. # ( t )=10cos (t −* 6 )

*RANSFOR(ADA INVERSA

%i 2 (s) representa la transforma de Laplace de una función # (t ) ! se dice

entonces que # (t ) es la transformada de la Laplace inversa de 2 (s) y se

escribe # (t )= 8−1 {# (s)} .

E3e#"lo ):

L {e−3 t }= 1

s+3 su transformada inversa ese−3t = 8−1 { 1s+3 }

E3e#"lo +: Di$i%ión de t6r#ino a t6r#ino ; linealidad


65/82

valu6 la transformada inversa!

{−2 s+6s2+4 }

Primero se reescribe la función provista de s como dos e;presiones por

medio de la división t6rmino a t6rmino! y luego se usa la ecuación

8−1{−2 ss2+4 +

6

s2+4 }=−2 8

−1 { ss2+4 }+6

2 8

−1 { 2s2+4 }¿−2cos2 t +3 sen 2 t .

E3e#"lo ,:

Fraccione% "arciale% en la tran%for#a in$er%a2

(s−1 ) (s−2 ) s+4s

2+6 s+9¿

8−1 {¿ }

;isten constantes reales! = ,> y % ! de tal forma que

(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9

¿ ¿=

=

s−1+

>

s−2+

%

s+4

(s−1 ) (s−2 ) s+4(s−1 ) (s−2 ) s+4

s2+6 s+9

¿ ¿= = ( s−2 ) ( s+4 )+> (s−1 ) (s+4 )+% ( s−1 )(s−2)

¿ ¿

Puesto que los denominadores son id6nticos! los numeradores son id6nticos:

s2+6 s+9= = (s−2 ) (s+4 )+> ( s−1 ) ( s+4 )+% (s−1 )(s−2)


66/82

%i se establece s=1,s=2 y s=−4 ! se obtiene! respectivamente!

==−165

, >=25

6 y % =

1

30

Por lo tanto! la descomposición en fracciones parciales es

(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9

¿ ¿=

−16 /5(s−1)

+ 25/6(s−2)

+ 1/30(s+4 )

H! por consiguiente!

(s−1 ) (s−2 ) s+4s2+6 s+9

¿

8−1 {¿ }=

−165

8−1{ 1D−1 }+256 8−1{ 1s−2 }+ 130 8−1{ 1s+4 }

¿−16

5 e

t +25

6 e

2t + 1

30 e

−4 t

&RO'LE(AS:

1.

{ 1

s3

}2.{ 1s4 }

3.{ 1s3−48

s5 }

4. {(2s− 1s3 )2

}

5.{ (s+1 )3

s4 }

6.

{ (s+2 )

2

s3 }

7.{ 1s2−1

s+

1

s−2}

8.{4s + 6s5− 1

s+8 }

9. { 14 s+1 }

10.{ 15 s−2 }


67/82

11.{ 5s2+49 }

12.

{ 10 s

s2

+16 }13.{ 4 s4 s2+1 }

14.{ 14 s2+1 }

15.

{2 s−6

s2+9 }

16.{ s+1s2+2}

17.{ 1s2+3 s }

18.{ s+1

s2−4 s }

19.{ ss2+2 s−3}

20.{ 1s2+s−20 }

21.{ 0.9 s(s−0.1 )(s+0.2) }

22.{ s−3(s−√ 3 ) ( s+√ 3 ) }

23.{ s(s−2 ) (s−6 )(s−3)}

24.

{ s

2+1

s ( s−1 ) ( s+1 )(s−2)}25.{ 1s3+5 s }

26.{ s(s+2 )(s2+4) }

27.

{ 2 s−4(s2+s )(s2+1)}

28.{ 1s4−9 }

29.{ s+5s6−1 }

30.{ 1(s2+1 )(s2+4 )}

31.{ 6 s+3s4+5 s2+4 }

32.{ s+7s (s2+s+1) }

33.{ s2+9 s

s4−s2−12 }


68/82

34.{ s2+7 s+5

s5+3 s4+4 s3+4 s2 }

35.

{ s

2+5 s+1

(s3−8 )(s4−22 s2−75)}esim0ortante acotar ( s3−8) (s4−22 s2−75 )=s7−22 s5−8 s4−75 s3+176 s2+600

Creci#iento ; Decreci#iento "olacional

(. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al

n3mero de personas presentes en el tiempo t . %i en cinco aMos se

duplica una población inicial 0 . N&uánto tarda en triplicarseO Nn

cuadruplicarseO). %uponga que se sabe que la población de la comunidad del problema (

es (1 111 despu6s de tres aMos. N&uál fue la población inicial 0

ON&ual será la población en (1 aMosON&on que rapide? crece la población

en t =10 O

*. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población

presente en el tiempo t . La población inicial de ,11 se incrementa


69/82

(, en die? aMos. N&uál será la población en *1 aMosO NIue tan rápido

está creciendo la población en t =30 O

+. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al

n3mero de bacterias presentes en el tiempo t . $espu6s de tres =oras

se observo que están presentes +11 bacterias. $espu6s de die? =oras=ay )111 bacterias N&uál fue el n3mero inicial de bacteriasO

,. l isotopo radiactivo del plomo! PbQ)12! decae a una rapide?

proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida

media de *!* =oras. %i al inicio está presente un gramo de ese isotopo!N&uánto tiempo tarda en decaer 21 del plomoO

-. Un cientA'co prepara una muestra de sustancia radiactiva. Un aModespu6s la muestra contiene * g de la sustanciaE ) aMos despu6s =aysolo ( g. $etermine la cantidad de sustancia radiactiva que =abAainicialmente.

. 9l inicio =abAa (11 miligramos de una sustancia radiactiva. $espu6s de -=oras la masa =abAa disminuido en *. %i la rapide? de decaimiento es

proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t !

determine la cantidad restante despu6s de )+ =oras./. $etermine la vida media de la sustancia que se describe en el problema

.2.

a7 &onsidere que el problema de valor inicial!d=

dt =k=,= (0 )= =0

&omo el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. $emuestre

que! en general! la vida media T de la sustancia es T =−(ln 2)/k .

b7 $emuestre que la solución del problema de valor del inciso 8a7 sepuede escribir como

= (t )= =02−t /T

c7 %i la sustancia radiactiva tiene la vida media que se indica en el

inciso 8a7.N&uánto tarda una cantidad inicial =0 de la sustancia en

decaer a1

8 =0 O

(1.&uando un =a? vertical de lu? pasa por un medio transparente! la

rapide? a la que decrece su intensidad 4 es proporcional a 4 ( t ) !


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donde t representa el espesor del medio 8en pies7. n agua de mar

clara! la intensidad tres pies por debajo de la super'cie es de ), de la

intensidad inicial 4 0 del =a? incidente. N&uál es la intensidad del =a?

(, pies debajo de la super'cieO((.l estroncio 218%rQ217 es un isotopo radiactivo producido en e;plosiones

de bombas de =idrogeno. l tratado de proscripción de pruebasnucleares sobre la super'cie de la ierra de (2-* se baso en evidenciasde contaminación! con %rQ21! de la lec=e y de los =uesos =umanos. Lavida media del %rQ21 es de )2 aMos. %uponga que ninguna nueva fuentede %rQ21 =a contaminado la atmosfera desde (2-*. $etermine quefracción del nivel de %rQ21 en (2-* permaneció en la atmosfera en )11*.$etermine la fec=a apro;imada en que el nivel de %rQ21 será solo ( delnivel de (2-*.

().l bitartrato de =idrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y

aliviar el dolor. La droga se elimina del cuerpo mediante un proceso dedecaimiento natural con una vida media de *!/ =. La dosis usual es de(1 mg cada - =oras. $escriba y resuelva el problema con valor inicialque modela la cantidad de bitartrato de =idrocodonio en un pacientedespu6s de una dosis. %uponga que la cantidad del medicamento antes

de la dosis es )0 y que el medicamento es absorbido

inmediatamente.9=ora suponga que un paciente toma bitartrato de =idrocodonio solo undAa. %uponiendo que inicialmente no =ay ninguna cantidad delmedicamento en el sistema del paciente! represente de manera gra'ca

la cantidad a lo largo de ) dAas. Dote que el paciente toma + dosis elprimer dAa y ninguna el segundo.

Le; de enfria#iento

(*.%e toma un termómetro de una =abitación donde la temperatura es de14 y se lleva al e;terior! donde la temperatura del aire es de (14.$espu6s de medio minuto el termómetro marca ,14. N&uál es la lectura

del termómetro en t =1min O N&uánto tarda el termómetro en alcan?ar

(,4O

(+.%e lleva un termómetro de una =abitación al e;terior! donde latemperatura del aire es de ,4. $espu6s de un minuto el termómetromarca ,,4 y despu6s de , minutos la lectura es de *14. N&ual es latemperatura inicial de la =abitaciónO

(,.Un termómetro en el que se lee 14 se coloca en un lugar donde latemperatura es de (14. &inco minutos más tarde el termómetro marca+14. NIu6 tiempo debe transcurrir para que el termómetro marquemedio grado más que la temperatura del medioO


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(-.Una pequeMa barra metálica! cuya temperatura inicial fue de )1&! sesumerge en un gran recipiente de agua =irviente. N&uánto tarda la barraen alcan?ar 21& si se sabe que su temperatura aumenta ) en unsegundoO N&uánto le toma a la barra llegar a 2/&O

(.$os recipientes grandes 9 y F del mismo tamaMo se llenan con

diferentes lAquidos. Los lAquidos de los recipientes 9 y F se mantienen a1& y (11&! respectivamente. Una barra metálica! cuya temperaturainicial es de (11&! se sumerge en el recipiente 9. $espu6s de un minutola temperatura de la barra es de 21&. ranscurridos dos minutos seretira la barra y se trans'ere de inmediato al otro recipiente. $espu6s depermanecer un minuto en el recipiente F la temperatura de la barraaumenta (1. N&uánto tiempo! desde el inicio del proceso! tarda la barraen llegar a 22!2&O

(/.Un termómetro que marca 14 se coloca en un =orno precalentado auna temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del=orno! un observador registra que despu6s de medio minuto el

termómetro marca ((14 y luego de un minuto la lectura es de (+,4.N&ual es la temperatura del =ornoO

(2.n una =abitación la temperatura que marca un termómetro clAnico esde )1&. Para detectar si un paciente tiene 'ebre 8de'nida comotemperatura corporal de */& o más7 se coloca un termómetro en laa;ila del paciente. %i al cabo de un minuto el termómetro marca )& enuna persona sana 8con temperatura de *-&7! N&uánto tiempo se debedejar en una persona con 'ebre para detectarla con un error no mayorque 1!)&O

)1.Un ganadero salió una tarde a ca?ar un lobo solitario que estabadie?mando su rebaMo. l cuerpo del ganadero fue encontrado sin vidapor un campesino! en un cerro cerca del ranc=o junto al animal ca?ado!a las -:11 = del dAa siguiente. Un medico forense llego a las :11 y tomola temperatura del cadáver! a esa =ora anoto )*&E una =ora más tarde!al darse cuenta de que en la noc=e! y aun a esas =oras! la temperaturaambiente era apro;imadamente de ,&! el m6dico volvió a medir latemperatura corporal del cadáver y observó que era de (/!,&. N9 que=ora murió el ganadero apro;imadamenteO

)(.Un material cerámico se saca en cierto momento de un =orno cuyatemperatura es de ,1&! para llevarlo a una segunda etapa de unproceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de

cuando muc=o )11&. %uponga que la temperatura de una sala deenfriamiento donde se colocara este material! es de ,& y que! despu6sde (, min! la temperatura del material es de -11&. Nn cuánto tiempoel material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de suprocesoO

)).9 las (*:11 =oras un termómetro que indica (14 se retira de uncongelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de --4. 9 las(*:1,! el termómetro indica ),4. >ás tarde! el termómetro se coloca


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nuevamente en el congelador. 9 las (*:*1 el termómetro da una lecturade *)4. N&uándo se regreso el termómetro al congeladorO N&ual era lalectura del termómetro en ese momentoO

)*.Luis invito a Flanca a tomar caf6 en la maMana. l sirvió dos ta?as decaf6. Flanca le agrego crema su'ciente como para bajar la temperatura

de su caf6 (4. $espu6s de , min! Luis agrego su'ciente crema a su caf6como para disminuir su temperatura en (4. Por 'n! tanto Luis comoFlanca empe?aron a tomar su caf6. NIui6n tenAa el caf6 más frioO

)+.La ra?ón con la que un cuerpo se enfrAa tambi6n depende de su área

super'cial e;puesta D . %i D es una constante! entonces una

modi'cación de la ecuación es

dT

dt =kD(T −T m)

$onde k


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b7 N&ómo se modi'carAa el comportamiento real si la ta?a fuera deespuma de poliestirenoO

c7 N%i la cuc=ara fuera de metal como se modi'carAa el comportamientorealO

).9 las nueve de la maMana un pastel a 14 es sacado del =orno y llevado

a una =abitación donde la temperatura es de (,4. &inco minutosdespu6s la temperatura del pastel es de +,4. 9 las 2:(1 am se regresa ainterior del =orno! donde la temperatura es 'ja e igual a 14. N&uál es latemperatura del pastel a las 2:)1 amO

Drenado de tan.ue%

)/.Un cilindro recto circular de (1 pies de radio y )1 pies de altura! estálleno con agua. iene un pequeMo ori'cio en el fondo de una pulgada dediámetro N&uándo se vaciará todo el tanqueO

)2.Un tanque tiene la forma de un cubo de () pies de arista. $ebido a unpequeMo ori'cio situado en el fondo del tanque! de ) pulgadascuadradas de área! presenta un escape. %i el tanque está inicialmentelleno =asta las tres cuartas partes de su capacidad! determine:a7 N&uándo estará a la mitad de su capacidadOb7 N&uándo estará vacAoO

*1.Un tanque en forma de cono circular recto! de altura " radio r !

v6rtice por debajo de la base! está totalmente lleno con agua.$etermine el tiempo de vaciado total si

"=12 0ies ,r=5 0ies , a=1 0u!g2 y el factor de fricciónScontracción es

c=0,6 .

*(.Una ta?a =emisf6rica de radio R está llena de agua. %i =ay un pequeMo

ori'cio de radio r en el fondo de la super'cie conve;a! determine el

tiempo de vaciado.*).Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al =acer girar la curva

y= x4 /3 alrededor del eje y. %iendo las ((:) de la maMana se retira un

tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del aguaen el tanque es () pies. Una =ora más tarde la profundidad del agua =a

descendido a la mitad. $eterminea7 N9 qu6 =ora estará vacAo el tanqueOb7 N9 qu6 =ora quedara en el tanque ), del volumen de lAquido inicialO

**.l tanque que se muestra en la 'gura está totalmente lleno de lAquido.%e inicia el proceso de vaciado! por una perforación circular de área


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1cm2

ubicada en la base inferior del depósito. %i se =a establecido el

coe'ciente de descarga c=0,447 y la gravedad es g=10 m

seg2 .

$etermine:

a7 iempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenidoequivalente al (/!, de su capacidad

b7 iempo de vaciado total del tanque

*+.l tanque que se muestra en la 'gura se encuentra lleno en un (11. l

lAquido escapa por un ori'cio de 5 cm2

de área! situado en el fondo del

tanque. $etermine:

a7 iempo de vaciado totalb7 iempo para que el volumen de lAquido en el tanque descienda

5 mts .


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*,.%e tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical =acia

abajo cuyas dimensiones son 2mts de diámetro y altura 3 mts . l

tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el lAquido escapa por unori'cio de )1 cm) de área situado al fondo del tanque. $etermine:a7 &uánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo untercio de su capacidad inicialb7 &alcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.

*-.Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con

2 mts de radio menor! 4 mts de radio mayor y 8 mts de altura! está

lleno en un 21 de su capacidad. %i su contenido se escapa por un

ori'cio de 10 cm2

de área! ubicado al fondo del tanque! y sabiendo que

el coe'ciente de descarga se =a establecido en 1!,. $etermine eltiempo que tardará en vaciarse totalmente.

*.l dAa (, de julio de )11-! a las ):), pm! se pone a vaciar un tanquecilAndrico con eje =ori?ontal! el cual está inicialmente lleno en un (11.

La longitud del tanque es de 10mts ! el radio 4 mts . %i el agua Tuye

por un ori'cio de área ) cm)! situado en el fondo del tanque y se =aestablecido el coe'ciente de descarga en 1!-! determine qu6 dAa y a qu6=ora el taque se vacAa totalmente.

*/.Un tanque en forma semiesf6rica de 8 mts de radio está totalmentelleno de agua. %e retira un tapón que está en el fondo! justo a las +:)pm. Una =ora despu6s la profundidad del agua en el tanque =adescendido un metro. $etermine:a7 N9 qu6 =ora el tanque estará vacAoOb7 N9 qu6 =ora quedará en el tanque *(!), del volumen inicial.


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*2.l tanque que se muestra en la 4ig. ( está lleno de agua en un (11:&omien?a a vaciarse por un ori'cio situado en su base inferior de "9#cm) de área. %i transcurrida ( =ora - minutos +1 segundos el nivel libre

de lAquido =a descendido 5 mts y el coe'ciente de descarga se =a

establecido en 1!/. $etermine:a7 rea del ori'cio de salidab7 iempo de vaciado total

+1.&alcular el tiempo que tarda en vaciarse completamente un tanque de

forma cilAndrica de altura 2mts y radio 1 mt a trav6s de ) ori'cios de

2,5 cm de radio que se encuentran uno en la parte inferior y otro a un

cuarto de su altura. %uponga c=0,8 y g=9,8 m/ seg2

.


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(e!cla%

(. Un depósito contiene )11 litros de lAquido en el que se disuelven *1gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se

bombea =acia el depósito a una rapide? de 4 8 /min E la solución bien

me?clada se bombea =acia afuera a la misma rapide?. &alcule la

cantidad = (t ) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el

tiempo t .

). Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura aldepósito.

*. Un depósito grande se llena al má;imo con ,11 galones de agua pura.%e bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón

a ra?ón de 5ga!/min E la solución bien me?clada se bombea a la misma

rapide?. &alcule el n3mero = (t ) de libras de sal en el depósito en

tiempo t .

+. n el problema anterior! N&uál es la concentración c(t ) de sal en el

depósito en el tiempo t O Nn t =5min O N&uál es la concentración de

la sal en el depósito despu6s de un tiempo largo! es decir! cuando

t 7 6 O Nn qu6 momento la concentración de la sal en el depósito es

igual a la mitad de este valor limiteO,. Un tanque con capacidad de ,11 galones contiene inicialmente )11galones de agua con (11 lb de sal en solución. %e inyecta al tanque

agua que cuya concentración de sal es de 1! / ga! ! a ra?ón de


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3ga!/min . La me?cla debidamente agitada y =omogenei?ada sale del

tanque a ra?ón de 2ga!/min .

a7 ncuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanquepara cualquier tiempo.

b7 $etermine la concentración de sal en el instante justo en que lasolución alcan?a el volumen total del tanque.

-. Un tanque contiene +,1 litros de lAquido en el que se disuelven *1 gr de

sal. Una salmuera que contiene 3gr /!ts se bombea al tanque con una

intensidad de 6 !ts/min ! la solución adecuadamente me?clada se

bombea =acia fuera con una intensidad de 8 !ts/min . ncuentre el

n3mero de gramos de sal y la concentración de sal! que =ay en eltanque en un instante cualquiera.

. Un gran depósito está lleno de ,11 galones de agua pura. Una salmueraque contiene 2! / ga! se bombea al tanque a ra?ón de 5ga!/min . La

salmuera! adecuadamente me?clada! se bombea =acia fuera con lamisma rapide?.a7 @alle el n3mero de libras de sal y la concentración de sal en el

tanque en un instante t cualquiera.

b7 $etermine la cantidad de sal y la concentración al cabo de =ora ymedia de iniciado el proceso de me?cladoc7 N&uánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el

tanque sea de -*)!() librasO/. fectuar el ejercicio anterior suponiendo que la solución se e;trae a

ra?ón de 10ga!/min . N&uánto tiempo demorara el tanque en vaciarseO

2. Un tanque cuyo volumen es de +111 lts está inicialmente lleno =asta lamitad de su capacidad! con una solución en la que =ay disueltos (11 Kg

de sal. %e bombea agua pura al tanque a ra?ón de )!ts /min y la

me?cla! que se mantiene =omog6nea mediante agitación! se e;trae a

ra?ón de 3 !ts/min . %i se sabe que al cabo de * =oras y )1 min =ay /11

lt más de solución en el tanque! determine:a7 l caudal de entrada Ib7 &antidad de sal en el tanque al cabo de + =orasc7 &antidad de sal y concentración de sal al momento justo de comen?ara desbordarse

(1.&onsid6rese un estanque con un volumen de / mil millones de piesc3bicos y una concentración inicial de contaminantes de 1!), . @ay uningreso diario de ,11 millones de pies c3bicos de agua con una


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concentración de contaminantes de 1!1, y un derrame diario de igualcantidad de agua bien me?clada en el estanque N&uánto tiempo pasarápara que la concentración de contaminantes en el estanque sea de1!(1O

((.Un tanque de +11 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de

salmuera! con una concentración de sal de 5kg /ga! . %e inyecta

salmuera al tanque con concentración de 1 kg/ ga! y a ra?ón de

5 ga! /mi n . La salmuera! debidamente agitada y =omogenei?ada en el

tanque! Tuye a ra?ón de )ga! /min . %i se sabe que al cabo de dos

=oras y media el tanque alcan?a su má;ima capacidad! determine:a7 l caudal de salida Ib7 La cantidad de sal cuando alcan?a su má;ima capacidad.

().%e bombea cerve?a con un contenido de - de alco=ol por galón! a un

tanque que inicialmente contiene +11 gal de cerve?a con * por galónde alco=ol. La cerve?a se bombea =acia el interior con una rapide? de

3 ga! /min en tanto que el lAquido me?clado se e;trae con una rapide?

de 4 ga! /min .

a7 5btenga el n3mero de galones de alco=ol que =ay en el tanque en uninstante cualquierab7 N&uál es el porcentaje de alco=ol en el tanque luego de -1 minOc7 N&uánto demorará el tanque en vaciarseO

Circuito% en Serie

(*.%e aplica una fuer?a electromotri? de 30vo!ts a un circuito en serie

8R en el que la inductancia es de 0,1"enry y la resistencia es de

50o"ms . &alcule la corriente i (t ) si i (0 )=0. $etermine la corriente

cuando t 7 6 .

(+.Resuelva bajo la suposición de que (t )= 0 senFt y que i (0 )=i0 .

(,.Resuelva bajo la suposición de que (t )= 0 sec5 Ft y que i (0 )=i0

(-.%e aplica una fuer?a electromotri? a un circuito en serie en el que la

resistencia es de 200o"ms y la capacitancia es de 10−4

#arads.


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ncuentre la carga @( t ) en el capacitor si @ (0 )=0 . ncuentre la

corriente i (t ).

(.Una fuer?a electromotri? de 200vo!ts se aplica a un circuito R% en

serie en el que la resistencia es de 1000o"ms y la capacitancia es de

5 x10−6

#arads. $etermine la carga @( t ) en el capacitor si i (0 )=0,4.

$etermine la carga y la corriente en t =0,005 s . $etermine la carga

cuando t 7 6 .

(/.Una fuer?a electromotri?.

(t )=

{120,05t 20

%e aplica a un circuito 8R en serie en el que la inductancia es de

20 "enries y la resistencia es de 2 o"ms . $etermine la corriente

i(t ) si i (0 )=0.

An/lo0o de Circuito en Serie

(2.ncuentre la carga en el capacitador de un circuito en serie 8R% en

t =0,01 s cuando

8=0,05 " , R=2 G,% =0,01 # , (t )=0V , @ (0 )=5 % ei (0 )=0 = . $etermine la

primera ve? en que la carga del capacitador es igual a cero.

)1.&alcule del capacitador en un circuito 8R% en serie cuando

8=1

4 " , R=20 G, % =

1

300 # , ( t )=0 V , @ (0 )=4 % e i (0 )=0 = . N9lguna ve? la

carga en el capacitador es igual a ceroOn los siguientes problemas encuentre la carga en el capacitor y la corriente

en el circuito 8R% . $etermine la carga má;ima en el capacitor.

)(. 8=5

3" , R=10G,% =

1

30 # , (t )=300 V , @ (0 )=0 % ,i (0 )=0 = .


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)). 8=1 " ,R=100 G,% =0,0004 # , (t )=30 V ,@ ( 0 )=0 % , i (0 )=2 =

)*.ncuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito 8R%

en serie cuando 8=1 " ,R=2 G,% =0,25 # y (t )=50 costV .

)+.>uestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito 8R% en serie esta dada por 0/Z ! donde Z es la impedancia del

circuito.),.Use el problema anterior para mostrar que la corriente de estado estable

en un circuito 8R% en serie cuando 8=1

2" , R=20 G,% =0,001 # y

(t )=100 sen 60 t V , esta dada por i 0 (t )=4,160 sen(60t −0,588) .

)-.ncuentre la corriente de estado estable en un circuito 8R%

cuando

8=1

2" , R=10 G,% =0,001 # y ( t )=100 sen 60 t +200cos40 t V .

).ncuentre la carga en el capacitador de un circuito 8R% en serie

cuando 8=1

2" , R=10G,% =0,01 # , (t )=150V , @ (0 )=1% ei (0 )=0 = . N&uál

es la carga en el capacitador despu6s de un largo tiempoO

)/.&alcule la carga en el capacitador y la corriente en un circuito 8%

cuando 8=0,1 " ,% =0,1 # , (t )=100 senBtV ,@ (0 )=0 % e i (0 )=0 = .

)2.&alcule la carga del capacitador y la corriente en un circuito 8%

cuando (t )= 0 cos Bt V ,@ (0 )=@0 % ei (0 )=i0 = .

INS*I*U*O UNIVERSI*ARIO &OLI*@CNICOSAN*IAGO (ARIBO

E7*ENSIN (ARACA DE&AR*A(EN*O DE (A*E(A*ICAS


82/82

GUIA DE ES*UDIO

&ARA LA RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS

&rof2 o%6 L2 Arana

&rof2 enn; Ro#ero

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