Skript zur Vorlesung -...

Hochschule MunchenFakultat 03

Skript zur Vorlesung

Mathematik I: Analysis

Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

15. Dezember 2014

Erstversion erstellt von Sindy Engelerweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

Inhaltsverzeichnis

1 Mengen 41.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Darstellung und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Anordnung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Beschranktheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Komplexe Zahlen 72.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Arithmetische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Reelle Zahlenfolgen 143.1 Definition von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Beschranktheit und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Funktionen einer Variablen 194.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Verkettete Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Analysis

4.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.3 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 254.6.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Differentialrechnung fur Funktionen einer Variablen 275.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.1 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.3 Mittelwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.4 Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerte und

Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . 32

6 Integralrechnung 336.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.1.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 346.1.4 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Reihen 387.1 Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen . . . . . . . . . . 41

7.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . . . . . . . . . 447.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

HS Munchen 3 Fakultat 03

1 Mengen

1.1 Begriffe

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte. Die Objekteheißen Elemente.

x ∈M : x ist Element in M

x /∈M : x ist nicht Element in M

Leere Menge: M = � = {}

Beispiel 1.1 Mengen

M1 = {2, 4, 6} aufzahlende Form

M2 = {x|(x > 1) ∧ (x < 5)} beschreibende Form

1.1.1 Mengenrelationen

A = B Gleichheit von 2 Mengen (A = B)⇐⇒ (a ∈ A⇐⇒ a ∈ B)

A ⊆ B A ist in B enthalten (A ⊆ B)⇐⇒ (a ∈ A⇒ a ∈ B)

A ⊂ B A ist echt in B enthalten (A ⊂ B)⇐⇒ (A ⊆ B ∧ ∃ b ∈ B ∧ b /∈ A)

1.1.2 Operationen

A ∪B Vereinigung von A u. B (a ∈ A ∪B)⇐⇒ (a ∈ A ∨ a ∈ B)

A ∩B Schnitt von A u. B (a ∈ A ∩B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈ B)

A\B Differenz von A u. B (a ∈ A\B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a /∈ B)

A Komplementarmengebzgl. einer GrundmengeM

∀a ∈M :(a ∈ A

)⇐⇒ (a /∈ A)

4


1.2 Spezielle Mengen

Menge der naturlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, . . . }Menge der ganzen Zahlen: Z = {0,±1,±2,±3, . . . }Menge der rationalen Zahlen: Q =

{x|x = a

b, a ∈ Z; b ∈ Z\ {0}

}x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimalbruch

Menge der reellen Zahlen: R = {x|x = ein Dezimalbruch}Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimalbruche (π, e, . . . )

Menge der komplexen Zahlen: C = {x|x = a+ bj, a, b ∈ R; j2 = −1}

1.3 Menge der reellen Zahlen

1.4 Darstellung und Eigenschaften

Zahlengerade

Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R

1. Mogliche Operationen

a+ b, a− b, a · b, ab, b 6= 0

2. Kommutativgesetz

a+ b = b+ a

a · b = b · a

3. Assoziativgesetz

a+ (b+ c) = (a+ b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

4. Distributivgesetz

a(b+ c) = a · b+ a · c



1.4.1 Anordnung der Zahlen

3 mogliche Beziehungen:

∀ a, b ∈ Ra < b

a = b

a > b

1.4.2 Intervalle

a, b ∈ R, a < b

1. endliche Intervalle

[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall

[ a; b [ = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall

] a; b ] = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall

]a; b [ = {x| a < x < b} offenes Intervall

2. unendliche Intervalle

[a; ∞[ = {x| a ≤ x <∞}]a; ∞[ = {x| a < x <∞}

] -∞; b] = {x| -∞ < x ≤ b}]-∞; b[ = {x| -∞ < x < b}]-∞; 0[ = R−

]0; ∞[ = R+

[ 0; ∞ [ = R+0

]-∞; ∞[ = R

1.5 Beschranktheit von Mengen

Definition 1.1 Beschranktheit

Eine Zahlenmenge M heißt nach oben (unten) beschrankt, wenn eine Zahl S ∈ Rexistiert, so dass gilt x ≤ S (x ≥ S) ist, fur alle x ∈MJedes S mit dieser Eigenschaft heißt obere (untere) Schranke.


2 Komplexe Zahlen

2.1 Grundbegriffe

Definition 2.1 Imaginare Einheit j

Die Definition der Imaginaren Einheit j, ergibt sich aus der Losung der folgendenGleichung

x2 + 1 = 0

→ x2 = −1

x = ±√−1︸︷︷︸j

Die imaginare Einheit j ist eine Zahl, fur die gilt:

j2 = −1

Definition 2.2 Komplexe Zahl

Eine komplexe Zahl z ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginarenZahl bj:

z = a+ bj

a heißt Realteil,b heißt Imaginarteil von z.Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet.Es gilt C = {Z|Z = a+ bj, j2 = −1; a, b ∈ R}

7


Gauß´sche Zahlenebene

Der Betrag ergibt sich zu: |Z| = r =√a2 + b2

Konjugiert komplexe Zahl

Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zahl

Die Zahl Z = a− bj heißt konjugiert komplex zu Z = a+ bj.Dies entspricht in der Gauß’schen Zahlenebene einer Spiegelung an der Re(Z)-Achse.

2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen

2.2.1 Arithmetische Form

Z = a︸︷︷︸Realteil

+ b︸︷︷︸Imaginarteil

j, a, b ∈ R



2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form

Beziehungen:

|Z| = r

tanϕ =b

a

sinϕ =b

r

cosϕ =a

ra = r · cosϕ

b = r · sinϕ

Z = r (cosϕ+ j sinϕ) , 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°

2.2.3 Exponentialform

Euler’sche Formel: e jϕ = cosϕ+ j · sinϕ

Z = r · e jϕ, 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°

2.3 Umrechnungen

arithmetische in goniometrische bzw. in Exponentialform

Z = a+ bj

Z = r (cosϕ+ j · sinϕ)

bzw:

Z = r · e j·ϕ

mit:

r =√a2 + b2

ϕ = arctan

(b

a

)Exponentialform in arithmetische

Z = r · e j ϕ

a = r · cos (ϕ)

b = r · sin (ϕ)

Z = r · cos (ϕ) + j · r · sin (ϕ)



2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen

2.4.1 Addition und Subtraktion

Definition 2.4 Summenbildung

Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen, durch Addition bzw.Subtraktion der Komponenten (vgl. Vektoraddition)

Z1 = a1 + b1j

Z2 = a2 + b2j

Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2)

Z1 − Z2 = (a1 − a2) + j (b1 − b2)

Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ausschließlich in derarithmetischen Form moglich!

2.4.2 Multiplikation und Division

In arithmetischer Form

Multiplikation

Z1 · Z2 = (a1 + jb1) · (a2 + jb2)

→ Real- und Imaginarteil sortieren

= a1a2 + a1b2j + a2b1j − b1b2

= (a1a2 − b1b2) + j (a1b2 + a2b1)

Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen

Z = a+ bj

Z = a− bjZ · Z = (a+ bj) · (a− bj)

= a2 − b2j2

= a2 + b2

es entsteht eine reelle Zahl!



Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zahlen, wird ausgenutzt zurBildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zahlen.

Z1 = a1 + b1j

Z2 = a2 + b2j

Z1

Z2

=a1 + b1j

a2 + b2jErweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner

=⇒ Z1

Z2

=a1 + b1j

a2 + b2j· a2 − b2j

a2 − b2j

=a1a2 + b1b2 + (a2b1 − a1b2) j

a22 + b2

2

=a1a2 + b1b2

a22 + b2

2

+ ja2b1 − a1b2

a22 + b2

2

Goniometrische Form/ Exponentialform

Multiplikation

Z1 = r1 · ejϕ1

Z2 = r2 · ejϕ2

in Exponentialform:

Z1 · Z2 = r1 · r2 · ej(ϕ1+ϕ2)

analog in goniometrischer Form:

Z1 · Z2 = r1 · r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + j sin (ϕ1 + ϕ2))

Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werdenmultipliziert, indem man die Betrage multipliziert, die Winkel jedoch ad-diert.

Division

Z1 = r1 · ejϕ1

Z2 = r2 · ejϕ2

Z1

Z2

=r1

r2

· ej(ϕ1−ϕ2)

Z1

Z2

=r1

r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + j sin (ϕ1 − ϕ2))

Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden dividiert,indem man die Betrage dividiert, die Winkel jedoch subtrahiert.

Potenzieren und radizieren



Potenzieren

Z1 = r1 · ejϕ1

Zn1 =

(r1 · ejϕ1

)nZn

1 = rn1 · en·jϕ1

Zn1 = rn1 (cos (nϕ1) + j sin (nϕ1))

Eine komplexe Zahl in goniometrischer bzw. in Exponentialform wird mit npotenziert, indem man den Betrag mit n potenziert, den Winkel jedoch mitn multipliziert.

Radizieren

1 = x2 ⇒ x = 1 ∨ x = −1

1 = x4 ⇒ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = j ∨ x = −jda:

j4 =(j2)2

= (−1)2 = 1

(−j)4 =((−j)2)2

= (1)2 = 1

Fur den Ausdruck n√x existieren n Losungen im Abstand von 360◦

n, bei konstanten Be-

tragen. Fur die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Z = a+ bj = r · ejϕ gilt:

n√Z = r

1n · ej(

ϕn

+k· 360◦

n )

Fur

k = 0, 1, . . . , n− 1

Die Losung fur k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet.



Anwendung: Uberlagerung von gleichfrequenten Schwingungen

Allgemeine Sinusschwingung:

s (t) = A · sin (ωt+ ϕ)

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Form:

s(t) = A · (cos (ωt+ ϕ) + j sin (ωt+ ϕ)) = A · ej(ωt+ϕ)

=⇒ s (t) = Im (s(t))

Zwei gleichfrequente Schwingungen uberlagern:

s1 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1)

s2 (t) = A2 · sin (ωt+ ϕ2)

Gesucht wird die Summenfunktion:

sΣ (t) = s1 (t) + s2 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1) + A2 · sin (ωt+ ϕ2) = AΣ sin (ωt+ ϕΣ)

Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imaginarteil be-stimmt. Bildung der komplexen Summe:

s (t) = s1 (t) + s2 (t)

= A1 · ej(ωt+ϕ1) + A2 · ej(ωt+ϕ2)

= A1 · ejϕ1︸︷︷︸A1

·ejωt + A2 · ejϕ2︸︷︷︸A2

·ejωt

=(A1 + A2

)︸︷︷︸A

·ejωt

Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise:

1. Ubergang zur komplexen Form

s1(t) = A1 · ejωt mit A1 = A1 · ejϕ1

s2(t) = A2 · ejωt mit A2 = A2 · ejϕ2

2. Addition der komplexen Amplituden

A = A1 + A2

3. Rucktransformation: Bildung des Imaginarteils der komplexen Sinusschwingung


3 Reelle Zahlenfolgen

3.1 Definition von Zahlenfolgen

Definition 3.1 Zahlenfolge

Unter einer reellen Zahlenfolge (ZF) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen.Jedem n ≥ K (meistens K = 0 oder K = 1) n ∈ N wird in eindeutiger Weise einereelle Zahl an zugeordnet.an heißt n-tes Glied der ZF.

(an) = a0, a1, a2, . . .

3.1.1 Darstellung

1. Analytische Darstellung

Das n-te Folgeglied lasst sich direkt berechnen

an =1

n

2. Rekursive Darstellung

Das n-te Folgeglied berechnet sich aus dem (n− 1)-ten Folgeglied (ggf. n− 2 . . . )

an = a2n−1 − 1; a0 = 2

→ (an) = 2, 3, 8, 63 . . .

3. Graphische Darstellung - Zahlenstrahl

Bsp. an) = n2 − 1

14


4. Graphische Darstellung - Koordinatensystem

3.2 Spezielle Folgen

1. Arithmetische FolgeDifferenz von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich d

a0, d ∈ R

an = an−1 + d rekursive Darstellung

mit a0 = 1, d = 2⇒ (an) = an−1 + 2 = 1, 3, 5, 7 . . .

an = analytische Darstellung

2. Geometrische FolgeQuotient von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich q

a0, q ∈ R

an = q · an−1 rekursive Darstellung

mit a0 = 1, q =1

2⇒ (an) =

1

2· an−1 = 1,

1

2,

1

4,

1

8. . .

an = analytische Darstellung

3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen

3.3.1 Konvergenz



Definition 3.2 Konvergenz

Eine Zahlenfolge (an) heißt

1. konvergent gegen den Grenzwert g ∈ R, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ Nexistiert, so dass gilt |an − g| < ε, d.h. an ∈ Uε(g)

limn→∞

(an) = g

2. Nullfolge, wenn

limn→∞

(an) = 0

3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist

4. bestimmt divergent, wenn

limn→∞

(an) =∞

limn→∞

(an) = -∞

5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, aber nicht bestimmt divergent ist.

Definition 3.3 Alternierende Zahlenfolge

Eine ZF heißt alternierend, wenn benachbarte Folgenglieder unterschiedlicheVorzeichen besitzen.

Beispiel 3.1 Einfache alternierende ZF

an = (-1)n · 1

n2, n > 0

(an) = -1;1

4; −1

9;

1

16. . .



Konvergenz elementarer Folgen

1. Arithmetische Folge an = a0 + n · d

limn→∞

(an) =

, d > 0 bestimmt divergent, d = 0 konvergent, d < 0 bestimmt divergent

2. Geometrische Folge an = a0 · qn

limn→∞

(an) =

fur |q| < 1fur q = 1fur q = -1fur q > 1fur q < -1

3. Gebrochen rationale Folge cn = p(n)q(n)

mit den Polynomen

p(n) = ak nk + ak−1 n

k−1 + · · ·+ a1 n+ a0

q(n) = bl nl + bl−1 n

l−1 + · · ·+ b1 n+ b0

vom Grad k bzw l

limn→∞

(cn) =

fur k > l, ak

bl> 0

fur k > l, akbl< 0

fur k < lfur k = l

4. limn→∞

1

n=

5. limn→∞

n√a = , a > 0

6. limn→∞

n√n =

7. limn→∞

an

n!=

Fakultat:n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · 1

8. limn→∞

na

n!= , a ∈ R

9. limn→∞

(1 +

1

n

)n=



Rechenregeln fur konvergente Zahlenfolgen

limn→∞

(an) = a; limn→∞

(bn) = b

1. limn→∞

(an + bn) = a+ b

2.(

limn→∞

(an))· c = a · c

3. limn→∞

(an · bn) = a · b

4. limn→∞

(anbn

)=a

bb 6= 0 bn 6= 0

Die Regeln gelten auch fur bestimmt divergente Zahlenfolgen, wenn man definiert:

1. ∞+∞ =∞

±∞± a = ±∞

2.c · (±∞) =

±∞; c > 0∓∞; c < 0n.d.; c = 0

3.c

±∞= 0

∞ · ±∞ = ±∞-∞ · ±∞ = ∓∞

3.3.2 Beschranktheit und Konvergenz

Definition 3.4 Beschranktheit

Eine Folge (an) heißt beschrankt gegen eine obere bzw. untere Schranke S ∈ R, fallsfur alle Folgenglieder gilt ai ≤ S bzw. ai ≥ S, i ∈ N.

Satz:

1. Jede konvergente Folge ist beschrankt.

2. Jede nach oben bzw. unten beschrankte monoton steigende bzw. fallende Folgeist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum.


4 Funktionen einer Variablen

4.1 Funktionsbegriff

Definition 4.1 Funktion

Eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ D ⊆ R in eindeutiger Weise ein Elementy ∈W ⊆ R zuordnet, heißt reelle Funktion.

f : D → W ; y = f(x)

Darstellungsmoglichkeiten

1. Verbale Darstellung

2. Tabelle von Messwerten

3. Grafische Darstellung

4. Analytische Darstellung

a) Explizite Darstellung

y = f(x), y = f(x) = x2

b) Implizite Darstellung

F (x, y) = 0

4.2 Eigenschaften von Funktionen

Definition 4.2 Beschrankung

19


Funktionen sind per Definition beschrankt auf den Definitionsbereich D.Eine Funktion f : D→W heißt beschrankt, falls ein c > 0 existiert mit

|f(x)| ≤ c, ∀x ∈ D.

Ansonsten heißt die Funktion unbeschrankt.

Definition 4.3 Monotonie

� monoton wachsend

f(x1) ≤ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� streng monoton wachsend

f(x1) < f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� monoton fallend

f(x1) ≥ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� streng monoton fallend

f(x1) > f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

Definition 4.4 Periodizitat

Eine Funktion f heißt auf D periodisch mit der Periode p 6= 0, wenn gilt:

x ∈ D ⇒ x+ p ∈ D

und

f(x) = f(x+ p) = f(x+ k · p)



Definition 4.5 Symmetrie

� Eine Funktion f heißt auf D gerade, wenn gilt

x ∈ D ⇒ −x ∈ D

und

f(x) = f(−x)

Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)

� Eine Funktion f heißt auf D ungerade, wenn gilt

x ∈ D ⇒ −x ∈ D

und

f(x) = −f(−x)

Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um denNullpunkt)

4.3 Umkehrfunktion

Es sei y = f(x) eine Funktion x ∈ D, d.h. sie ordnet jedem Element aus D genau einElement aus W zu.Gilt auch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y ∈ W gehort genau ein x ∈ D, soheißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f−1 bezeichnet wird.

Df−1 = Wf Wf−1 = Df

Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion:

1. Auflosen der Gleichung nach x

2. formales Vertauschen von x und y

y = f−1(x)

wird nicht angewandt bei technischen Großen

4.4 Verkettete Funktion

Definition 4.6 Verkettete Funktion

Es seien y1 = f(x), x ∈ Df und y1 = g(x), x ∈ Dg. Funktionen mit der EigenschaftWg ⊆ Df heißt (f ◦ g)(x) = f(g(x)) verkettete Funktion.



4.5 Stetigkeit

Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert

1. Sei f = D → W,x0 ∈ D; g ∈ R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert,von f an der Stelle x0, wenn

limn→∞

f(xn) = g

fur jede von links bzw. rechts gegen x0 konvergierende Folge (xn) ∈ D gilt.Schreibweise:

links: limx→x−0

f(x) = g

rechts: limx→x+0

f(x) = g

g = ±∞ heißt uneigentlicher Grenzwert.

2. g heißt Grenzwert von f in x0 falls

g = limx→x+0

f(x) = limx→x−0

f(x)

Schreibweise:

g = limx→x0

f(x)

3. f heißt stetig in x0, falls

g = limx→x0

f(x) = f(x0)

ansonsten unstetig. f heißt stetig auf D, falls f∀x ∈ D stetig ist. (Grafisch: Graphin einem Zug zeichenbar)

4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen

Sprung limx→x−0

f(x) = g1 6= g2 = limx→x+0

f(x)



Lucke limx→x−0

f(x) = limx→x+0

f(x) = g

Definition 4.8 Stetige Erganzung

Hat f(x) in x0 eine Lucke, so heißt die durch den Grenzwert der Luckevervollstandigte Funktion, stetig erganzt.

f(x) =

{f(x), x 6= x0

g, x = x0

Polstelle limx→x−0

f(x) = ±∞, limx→x+0

f(x) = ±∞

4.6 Funktionsklassen

4.6.1 Ganzrationale Funktionen



Definition 4.9 Ganzrationale Funktion

Eine Funktion der Gestalt

pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, a0, . . . , an ∈ R, an 6= 0

heißt ganzrationale Funktion oder Polynom n-ten Grades.

Satz: Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom lasst sich aufspalten in:

pn(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

wobei die xn, die (ggf. komplexen) Nullstellen darstellen.

4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen

Definition 4.10 Gebrochenrationale Funktion

Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrationale Funktion.

f(x) =pm(x)

pn(x)=amx

m + · · ·+ a0

bnxn + · · ·+ b0

Sie heißt echt gebrochen, falls m < n, ansonsten unecht.

Falls x0 NS von pm(x) und pn(x) ist, so hat f(x) dort eine Lucke.Falls x0 nur NS von pn(x), so hat f(x) dort einen Pol.

4.6.3 Wurzelfunktion

f(x) = xmn = n

√xm

Beispiel 4.1 Wurzelfunktion

f(x) = 3x32 = 3 · 2

√x3 D = R+

0



4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Definition 4.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Sei a ∈ R mit a > 0, a 6= 0, dann heißt

f(x) = axD = R

Exponentialfunktion mit Basis a. x heißt Exponent.Es gilt ferner:

f−1(x) = loga x, D = R+

Logarithmusfunktion von x zur Basis a.

Rechenregeln:

1. ax · ay = ax+y

2. ax

ay= ax−y

3. (ax)y = ax·y

4. loga(x · y) = loga x+ loga y

5. loga(x

y) = loga x− loga y

6. loga xy = y · loga x

7. loga x = loga b · logb x ⇒ loga x

loga b= logb x (Basiswechsel)

4.6.5 Trigonometrische Funktionen

1. f(x) = sinx, Df = R, Wf = [−1, 1]

Periode p = 2π; ungerade FunktionUmkehrfunktion:

[−π

2; π

2

]Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehr-

funktion

f−1(x) = arcsin x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 =[−π

2;π

2

]



2. f(x) = cos x, Df = R, Wf = [−1, 1]

Periode p = 2π; gerade FunktionUmkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehr-funktion

f−1(x) = arccos x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 = [0; π]

3. f(x) = tan x =sinx

cosx

Df ={x|x ∈ R, x 6= (2k − 1)

π

2, k ∈ G

},Wf = R

Periode p = π; ungerade Funktion

Umkehrfunktion auf: ]− π2, π

2[ f−1 = arctanx Df−1 = R, Wf−1 = ]− π

2, π

2[

4. f(x) = cot x =1

tanx

Df = {x|x ∈ R, x 6= k · π, k ∈ G} ,Wf = R

Periode p = π; gerade Funktion

4.6.6 Hyperbelfunktionen

1. sinhx =ex − e−x

2

D = R, W = R

2. coshx =ex + e−x

2

D = R, W = [ 1; ∞ [

3. tanhx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x

D = R, W = ]− 1; 1 [

4. cothx =coshx

sinhx=ex + e−x

ex − e−x

D = R\ {0} , W = R\ [−1; 1]


5 Differentialrechnung fur Funktioneneiner Variablen

5.1 Differentialrechnung

Definition 5.1 Differenzierbarkeit

Eine Funktion f auf ] a; b [ heißt an der Stelle x0 (x0 ∈ ]a; b[) differenzierbar, falls derGrenzwert des Differenzenquotienten

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

existiert.f ′(x0) heißt Ableitung von f an der Stelle x0. f heißt diffenzierbar im Intervall ] a; b [ ,falls f∀x ∈ ] a; b [ differenzierbar ist.

Definition 5.2 Tangente und Normale

Tangente:

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

27


Normale:

n(x) = f(x0)− 1

f ′(x0)(x− x0)

5.1.1 Differential einer Funktion

Definition 5.3 Differential

Das Differential dy = df = f ′(x0) · dx einer Funktion beschreibt den Zuwachs derOrdinate auf der, an der Stelle x0 errichteten Tangente bei einer Anderung der Abzissevon ∆x = dx.

∆y Zuwachs der Funktionswerte

∆y = f(x0 + ∆x)− f(x)

Fur kleine ∆x = dx→ dy ≈ ∆y

5.1.2 Differentiationsregeln

Seien f(x), g(x) Funktionen

� Summenregel

y(x) = f(x) + g(x)

y′(x) = f ′(x) + g′(x)

� Produktregel

y(x) = f(x) · g(x)

y′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)



� Quotientenregel

y(x) =f(x)

g(x)

y′(x) =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x)

� Kettenregel

y(x) = f(g(x)) = f(x) ◦ g(x)

y′(x) = g′(x) · f ′(g(x))

Innere Ableitung mal außerer Ableitung

� Ableitung der UmkehrfunktionSei f : D → W umkehrbar und differenzierbar. dann hat f−1 : W → D dieAbleitung:[

f−1(x)]′

=1

f ′(f−1(x))

5.1.3 Mittelwertsatze

Satz: Satz von ROLLE

Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar und seif(a) = f(b). Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = 0

Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung



Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar. Dann existiert

mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a (Steigung der Sekante)

5.1.4 Regel von l’HOSPITAL

Seien f(x), g(x) differenzierbar auf ] a, b [ und g′(x) 6= 0 ∀ x ∈ ] a, b [Weiterhin seien

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ±∞ oder 0

Dann gilt

limx→a

=f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)



5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte

Monotonie:streng monoton steigend

f ′(x) > 0

monoton steigend

f ′(x) ≥ 0

streng monoton fallend

f ′(x) < 0

monoton fallend

f ′(x) ≤ 0

Krummung:

f ′(x) > 0 > 0 < 0 < 0f ′′(x) > 0 < 0 > 0 < 0

streng monoton steigend streng monoton fallendLinkskurve Rechtskurve Linkskurve Rechtskurve

Extremwerte:

lokales Maximum:

f(xH) > f(x) ∈ U(xH)

lokales Minimum:

f(xT ) < f(x) ∈ U(xT )



5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerteund Wendepunkte

Extremwerte:

1. f ′(xE) = 0

2. f ′(xE) = · · · = f (n−1)(xE) = 0, fn(xE) 6= 0

wenn n ungerade → bei xE kein Extremwert

n gerade:

{f (n)(xE) > 0 ⇒ Minimum

f (n)(xE) < 0 ⇒ Maximum

Haufig ist schon f ′′(xE) 6= 0.

Wendepunkte:

Anderung des Krummungsverhaltens in xW

1. f ′′(xW ) = 0

2. f ′′(xW ) = · · · = f (n−1)(xW ) = 0, fn(xW ) 6= 0

n gerade → kein Wendepunktn ungerade → WendepunktHaufig ist schon f ′′′(xW ) 6= 0.

5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Berechnung von x1 (Nullstelle von t0(x))

0 = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)

x1 = − f(x0)

f ′(x0)+ x0

Allgemein:

xn = − f(xn−1)

f ′(xn−1)+ xn−1

Konvergenzkriterium fur Startwert x0∣∣∣∣f(x0) · f ′′(x0)

[f ′(x0)]2

∣∣∣∣ < 1


6 Integralrechnung

6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral

6.1.1 Bestimmtes Integral

Rechteck: ∆xk · f(xk)

b∫a

f(x) dx = limn→∞

n∑k=1

f(xk)∆xk

Eigenschaften

1.b∫

a

f(x) dx =

b∫a

f(t) dt

2.b∫

a

f(x) dx = −a∫b

f(x) dx

3.

a∫a

f(x) dx = 0

4.b∫

a

f(x) dx+

c∫b

f(x) dx =

c∫a

f(x) dx

5.b∫

a

k · f(x) dx = k ·b∫

a

f(x) dx

6.b∫

a

f(x) dx+

b∫a

g(x) dx =

b∫a

(f(x) + g(x)) dx

7. f(x) ≤ g(x) auf [a, b] =

b∫a

f(x) dx ≤b∫

a

g(x) dx

33


6.1.2 Stammfunktion

Definition 6.1 Stammfunktionen

F (x) heißt Stammfunktion von f(x), falls F ′(x) = f(x) .

Seien F1(x), F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x), dann folgt aus F ′1 = F ′2 = f , dassF ′1 − F ′2 = (F1 − F2)′ = 0. Damit gilt: (F1 − F2) = C, mit C ∈ R. Es ergibt sich alsodirekt der folgende Satz.

Satz: Stammfunktion

Seien F1(x), F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x). Dann unterscheiden sichF1(x), F2(x) nur um eine additive Konstante.

F1(x) = F2(x) + C

Sei F (x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt:

b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a)

6.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Zusammenhangzwischen der Differentiation und der Integration her.

Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei f stetig auf einem Intervall I. Fur einen beliebigen Punkt a ∈ I sei(Integralfunktion)

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Dann gilt:

1. F ist eine Stammfunktion von f , d.h. F ist in I differenzierbar und es gilt

F ′(x) = f(x).

2. Fur jede Stammfunktion G von f und a, b ∈ I gilt:

b∫a

f(x) dx = G(b)−G(a).



6.1.4 Unbestimmtes Integral

Definition 6.2 Unbestimmtes Integral

Unter∫f(x) dx versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f(x).

∫f(x) dx

heißt unbestimmtes Integral.

Folgerung:Sei F (x) irgend eine Stammfunktion von f(x), dann ist

∫f(x) dx = F (x) + C wobei C

alle reellen Zahlen durchlauft.

6.2 Integrationsverfahren

6.2.1 Partielle Integration

(u · v)′ = u′v + uv′

⇒ u · v′ = (u · v)′ − u′v |∫

b∫a

u · v′ dx =

b∫a

(u · v)′ dx−b∫

a

u′v dx

b∫a

u · v′ dx = [u · v]ba −b∫

a

u′ · v dx

∫u · v′ dx = u · v −

∫u′ · v dx

6.2.2 Substitution

Allgemeines Verfahren zur Losung von:∫f(x)dx

1. Aufstellung der Substitutionsgleichung:

u = g1(x)⇒ du

dx= g′1(x)⇒ dx =

du

g′1(x)

oder

x = g2(u)⇒ dx

du= g′2(u)︸︷︷︸

Ableitung nach u

⇒ dx = g′2(u) · du



2. Durchfuhrung der Substitution:Einsetzen in das Integral⇒ Integral, das nur noch von u abhangt, x muss wegfallen∫

f(x)dx =

∫h(u)du

3. Berechnung des neuen Integrals in Abhangigkeit von u:∫h(u)du = H(u) + C

4. Rucksubstition:∫f(x)dx =

∫h(u)du = H(u) + C = F (x) +K

6.2.3 Partialbruchzerlegung

Echt gebrochenrationale Funktion:

f(x) =Z(x)

N(x),

N(x), Z(x) sind Polynome, Nennergrad>Zahlergrad, falls nicht zuerst Polynomdivision .

Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion:

1. Bestimmung der Nullstellen (Beschrankung hier auf reelle NS) des Nenners mitVielfachheit.

2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet:

x0 : einfache Nullstelle ⇒ A

x− x0

x0 : Zweifache Nullstelle ⇒ A1

x− x0

+A2

(x− x0)2

......

...

x0 : n-fache Nullstelle ⇒ A1

x− x0

+ · · ·+ An(x− x0)n

3. Berechnung der Konstanten A bzw. Ai durch Summation der Bruche, Haupt-nennerbildung und Einsetzen geeigneter Werte.

Berechnung des Integrals∫f(x)dx:

Nach der Partialbruchzerlegung von f(x), werden die Bruche einzeln integriert.Formeln hierfur:∫

A

x− x0

dx = A · ln |x− x0|+ C∫Ai

(x− x0)idx =

Ai(1− i)(x− x0)i−1



6.2.4 Numerische Integration

Gesucht ist eine (angenaherte) Losung von∫ b

a

f(x)dx

Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = bmit der festen Schrittweite: h = b−a

n= xi − xi−1

Trapez-Regel (Verfahren 2. Ordnung)

Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Geradenstucke

∫ b

a

f(x)dx =h

2

(f(a) + 2

n−1∑k=1

f(xk) + f(b)

)+R

Der Rest R lasst sich abschatzen durch:

|R| ≤ b− a12

h2 maxa≤x≤b

|f ′′(x)|

Simpson-Regel (Verfahren 4. Ordnung)

Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Parabelstucke (gerade Anzahl von Teilinter-vallen n = 2m)

∫ b

a

f(x)dx =h

3

(f(a) + 2

m−1∑k=1

f(x2k) + 4m∑k=1

f(x2k−1) + f(b)

)+R

Der Rest R lasst sich abschatzen durch:

|R| ≤ b− a180

h4 maxa≤x≤b

|f (4)(x)|


7 Reihen

7.1 Unendliche Reihe

7.1.1 Einfuhrung

Zahlenfolge (geordnete Menge reeller Zahlen):

(an) = 1, 4, 9, 16 . . .

Partialsumme:

s1 = a1 = 1

s2 = a1 + a2 = 1 + 4 = 5

s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 4 + 9 = 14

...

sk = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak

Definition 7.1 Unendliche Reihe

Die Folge (sn) der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge (an) heißt unendlicheReihe.Symbolische Schreibweise:

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak + . . .

Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe

Eine unendliche Reihe∑∞

n=1 an heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen(sn) =

∑nk=1 ak einen Grenzwert besitzt.

limn→∞

sn = limn→∞

n∑k=1

ak = s

38


Symbolische Schreibweise:

∞∑n=1

an = s

Konvergiert die Summe der Betrage∑∞

n=1 |an|, so heißt die Reihe absolut konvergent.Die Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergiert:Ist s =∞ heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.

7.1.2 Konvergenzkriterien

Notwendige Bedingung

Fur die Konvergenz einer unendlichen Reihe∑∞

n=1 an mit an > 0 ist die Bedingung

limn→∞

an = 0

notwendig!, aber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfullenund trotzdem divergieren).

Quotienten- und Wurzelkriterium

Erfullen alle Glieder einer unendlichen Reihe∑∞

n=1 an die Bedingung:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = q < 1

bzw.

limn→∞

n√|an| = q < 1

so ist die Reihe konvergent.Ist q > 1 so ist die Reihe divergent.Fur q = 1 kann keine Aussage getroffen werden (Extrauntersuchung notwendig)

Rechenregeln fur konvergente Reihen

1. Konstante Faktoren

∞∑n=1

an = s

⇒∞∑n=1

c · an = c ·∞∑n=1

an = c · s



2. Summen konvergenter Reihen

∞∑n=1

an = s

∞∑n=1

bn = t

⇒∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn =∞∑n=1

(an ± bn) = s± t

3. Produkte absolut konvergenter Reihen

∞∑n=1

an = s

∞∑n=1

bn = t

seien absolut konvergent∞∑n=1

an ·∞∑n=1

bn = s · t =∞∑n=1

wn

wn = an · b1 + an · b2 + an · b3 + an · b4 + · · ·+ an · bk + . . .

7.2 Potenzreihen

7.2.1 Einfuhrung

Definition 7.3 Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ:

(I)

P (x) =∞∑n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 . . .

oder

(II)

P (x) =∞∑n=0

an (x− x0)n = a0 + a1 (x− x0) + a2 (x− x0)2 + . . .

x0 heißt Entwicklungszentrum.Fur x0 = 0 erhalten wir die Gleichung (II) in der Form (I).



7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen

Definition 7.4 Konvergenzbereich

Die Menge aller x-Werte fur die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereichder Potenzreihe.

Konvergenzverhalten:Zu jeder Potenzreihe

∑∞n=0 anx

n bzw.∑∞

n=0 an(x − x0)n gibt es eine positive Zahl r,Konvergenzradius genannt, mit den folgenden Eigenschaften:

1. Die Potenzreihe konvergiert fur |x| < r bzw. |x− x0| < r

2. Sie divergiert fur |x| > r bzw. |x− x0| > r

3. An den Randpunkten |x| = r bzw. |x− x0| = r kann keine Aussage getroffenwerden → hier mussen Extrauntersuchungen durchgefuhrt werden

Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe

∞∑n=0

anxn bzw.

∞∑n=0

an(x− x0)n

kann nach folgenden Formeln berechnet werden:

r = limr→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ oder r = limr→∞

1n√an

Eigenschaften von Potenzreihen

1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.

2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziertund integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenz-radius wie die Ausgangsreihe.



3. Zwei Potenzreihen durfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches (Durch-schnitt) gliedweise addiert und subtrahiert werden. Sie durfen auch miteinandermultipliziert (Cauchy-Produkt: ausmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzreihenkonvergieren mindestens im gemeisamen Konvergenzbereich der Ausgangsreihen.



7.3 Taylor-Reihen:Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

7.3.1 Einfuhrung

Ziel: Funktion f (x) als Potenzreihe darstellen

f (x) =∞∑n=0

anxn

oder

f (x) =∞∑n=0

an(a− x0)n

Zweck:

� Annaherung einer Funktion durch ein Polynom

� Herleitung von Naherungsformeln

� Integration durch Potenzreihenentwicklung

� Naherungsweises Losen von transzendenten Gleichungen

Beispiel: Geometrische Reihe

p (x) =∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . konvergiert fur |x| < 1

=1

1− x= f (x)



7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

Mac Laurinsche Reihe

Annahme:

1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .

ist moglich und eindeutig

2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbar.d.h. f (0) , f ′ (0) , f ′′ (0) . . . konnen berechnet werden

Ableitungen:

f ′ (x) = a1 + 2a2x+ 3a2x2 + 4a4x

3 + . . .

f ′′ (x) = 2a2 + 6a2x+ 12a4x2 + . . .

f ′′′ (x) = 6a2 + 24a4x+ . . .

fur x = 0:

f (0) = a0

f ′ (0) = a1

f ′′ (0) = 2a2 ⇒a2 =f ′′ (0)

2=f ′′ (0)

2!

f ′′′ (0) = 6a3 ⇒a3 =f ′′′ (0)

6=f ′′′ (0)

3!

f (n) (0) = n! · an ⇒an =fn (0)

n!

Entwicklung in eine Mac Laurinsche Reihe:Unter bestimmten Voraussetzungen lasst sich f (x) in eine Potenzreihe der Form

f (x) = f (0) +f ′ (0)

1!x+

f ′′ (0)

2!x2 + . . .

f (x) =∞∑n=0

f (n) (0)

n!· xn (mit0! = 1)

entwickeln.

Symmetrieeigenschaften: Ist f (x) eine gerade Funktion, so ist die Reihenentwicklunggerade (d.h. es treten nur gerade Exponenten auf: x0, x2, x4, x6, . . .Ist f (x) eine ungerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung auch ungerade (d.h. estreten nur ungerade Exponenten auf: x1, x3, x5, x7, . . .



Taylorsche Reihe

Entwicklung in Taylorreihe:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 +

f ′′′(x0)

3!(x− x0)3 . . .

=∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)n

mit dem Entwicklungszentrum x0

Fur x0 = 0 ergibt sich die MacLaurinsche ReiheKonvergenzbereich: |x− x0| < r

7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe

1. Naherungspolynome

Mac Laurinsche Reihe:

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ fn(0)

n!xn︸︷︷︸

Tn(x)

+f (n+1)(0)

(n+ 1)!x(n+1)︸︷︷︸

Restglied Rn(x)

. . .

f(x) = Tn(x) +Rn(x) Taylorsche Formel

Tn(x): Mac Laurinsches Polynom vom Grade nRn(x): Restglied, bestimmt die Große des Fehlers, Rn(x) = 0 fur n→∞

Der Fehler wird abgeschatzt mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange:

Rn(x) =f (n+1) (xθ)

(n+ 1)!x(n+1) 0 < θ < 1



Geometrische Deutung der Naherungspolynome

Naherungspolynom erster Ordnung (Linearisierung von f(x)):

T1(x) = f(0) + f ′(0) · x

Steigung von f(x) stimmt in 0 mit T1(x) uberein.

Naherungspolynom zweiter Ordnung:

T2(x) = f(0) + f ′(0) · x+f ′′(0)

2x2

Krummung von f(x) stimmt in 0 mit T2(x) uberein.

Weitere Naherungspolynome lassen sich entsprechend mit der allgmeinen Taylor-Entwicklung bilden.

2. Integration nach Reihenentwicklung

3. Losen von Transzendenten Gleichungen


Skript zur Vorlesung -...

Documents

Transcript of Skript zur Vorlesung -...