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  • Skript zur Vorlesung

    Mathematische Grundlagen derQuantenmechanik

    Wintersemester 2011/12

    Robert Denk

    AAAAAA

    QQ QQ

    Universitat Konstanz

    Fachbereich Mathematik und Statistik

    Stand: 4. 9. 2012

  • Inhaltsverzeichnis

    Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1 Postulate der Quantenmechanik, Observable . . . . . . . . . . . . . . 2

    a) Ein kurzer Ausflug in die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . 2

    b) Einige Begriffe aus der Operatortheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    c) Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    d) Der Spektralsatz und die stochastische Interpretation . . . . . . . . 10

    2 Die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems . . . . . 18

    a) Der Satz von Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    b) Hamilton-Operatoren und Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . 24

    3 Beispiele quantenmechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    a) Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    b) Das freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    c) Das Wasserstoffatom ohne Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    d) Das Wasserstoffatom mit Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    e) Dirac-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    A Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  • Vorwort

    Das vorliegende Skript gibt den Inhalt einer zweistundigen Vorlesung wieder, wel-che im Wintersemester 2011/12 an der Universitat Konstanz gehalten wurde. DieVorlesung beschaftigt sich mit mathematischen Grundlagen der Quantenmechanikund richtet sich sowohl an Studierende der Mathematik, welche die Funktionalana-lysis bereits kennen und nun eine Anwendung sehen wollen, als auch an Studierendeder Physik, welche bereits die Quantenmechanik als Physik-Vorlesung gehort ha-ben und noch einmal einen genaueren Blick auf die zugrunde liegende Mathematikwerfen wollen.

    Eine prazise mathematische Formulierung der Quantenmechanik ist nicht oft in derLiteratur zu finden in Darstellungen in Physik-Lehrbuchern wird oft kein all-zu groer Wert auf die exakte Form der Voraussetzungen und Definitionen gelegt,wahrend in mathematischen Darstellungen die Quantenmechanik haufig nur kurz be-handelt wird. Dieses Skript kann aufgrund seiner Kurze hier auch nur einen winzigenTeil der Quantenmechanik abdecken, viele Themen werden hier gar nicht angespro-chen.

    Ich habe die eher mathematischen und die eher physikalischen Aussagen durch ver-schiedene Farben getrennt, wobei die Farbauswahl (grun fur die Mathematik, rot furdie Physik) naturlich rein zufallig war und wobei diese Unterscheidung auch nichtallzu ernst genommen werden sollte. Am Ende finden sich noch Ubungsaufgabenzum Stoff, welche von meinem Mitarbeiter Mario Kaip angefertigt wurde (bestenDank dafur und fur die konstruktive Mitarbeit bei dieser Vorlesung!). An dieserStelle mochte ich noch Herrn Valentin Meidinger fur die sorgfaltige Durchsicht desSkripts und zahlreiche Korrekturvorschlage danken.

    Konstanz, den 4. 9. 2012 Robert Denk

    1

  • 2 1. Postulate der Quantenmechanik, Observable

    1. Postulate der Quantenmechanik, Observable

    a) Ein kurzer Ausflug in die klassische Mechanik

    Ein klassisches mechanisches System ist beschrieben durch generalisierte Koordi-naten und die Lagrangefunktion. Generalisierte Koordinaten sind von der Formq(t) = (q1(t), . . . , qS(t)) RS, welche von der Zeit t R abhangen; Beispiele furgeneralisierte Koordinaten sind der Ort eines Teilchens q(t) R3. Die Lagrange-funktion ist von der Form L(t, q(t), q(t)) (wobei q(t) :=

    tdie Ableitung nach der

    Zeit bezeichnet). Das Hamilton-Prinzip besagt:

    Ein mechanisches System mit der Lagrange-Funktion L bewegt sich so, dass q(t)eine Extremalstelle des Wirkungsfunktionals

    S(q) :=

    t2t1

    L(t, q(t), q(t))dt

    (mit gegebenen Randbedingungen q(t1) = q01, q(t2) = q02) ist.

    Man definiert die generalisierte Impulse p = (p1, . . . , pS) durch

    pi :=L

    qi(i = 1, . . . , S)

    und die Hamilton-Funktion

    H(t, q, p) :=Si=1

    piqi L(t, q, q).

    Aus dem Hamilton-Prinzip folgen dann die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

    qi(t) =H(t, q(t), p(t))

    pi(i = 1, . . . , S),

    pi(t) = H(t, q(t), p(t))

    qi(i = 1, . . . , S)

    (1-1)

    sowie Ht

    = Lt

    . Damit ist der Zustand des Systems durch die gewohnliche Diffe-rentialgleichung (1-1) und gegebene Anfangsbedingungen p(t0), q(t0) eindeutig be-stimmt (bei entsprechender Voraussetzung an die Hamilton-Funktion, etwa die glo-bale Lipschitz-Bedingung). Physikalisch entspricht die Hamilton-Funktion (unter ge-wissen Bedingungen) der Energie des Systems.

    1.1 Beispiel (Harmonischer Oszillator). Der harmonische Oszillator beschreibteinen Korper an einer Feder, welche dem Hookeschen Gesetz F = kx mit derFederkonstanten k genugt (siehe Abbildung 1).

    c Robert Denk 4. 9. 2012

  • 1. Postulate der Quantenmechanik, Observable 3

    Abbildung 1: Der harmonische Oszillator (nach [No02-2])

    Hier wahlt man S := 1, q := q1 := x R. Die kinetische Energie ist gegeben durchT = 1

    2mq2, die potentielle Energie durch V = 1

    2kq2. Die Lagrangefunktion fur dieses

    mechanische System lautet

    L(t, q(t), q(t) =1

    2mq2 1

    2kq2.

    Der generalisierte Impuls ist gegeben durch

    p :=L

    q= mq,

    damit ist die Lagrange-Funktion in den neuen Variablen gegeben durch L(t, q, p) =p2

    2m 1

    2kq2, und die Hamilton-Funktion ist

    H(t, q, p) := pq L(t, q, p) = p2

    2m+

    1

    2kq2.

    Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten

    q(t) =H(t, q(t), p(t))

    p=p(t)

    m,

    p(t) = H(t, q(t), p(t))q

    = kq(t).

    Damit folgt q(t) = p(t)m

    = kmq(t). Diese gewohnliche Differentialgleichung ist mit

    gegebenen Anfangswerten q(t0), q(t0) eindeutig fur alle t R losbar (als lineareDifferentialgleichung mit konstanten Koeffizienten).

    Wir fassen die obigen Begriffe nochmal kurz zusammen:

    1.2 Definition. Ein klassisches mechanisches System ist gegeben durch generali-sierte Koordinaten q = q(t) RS, generalisierte Impulse p = p(t) RS und dieHamilton-Funktion H : R RS RS R, (t, q, p) 7 H(t, q, p).

    c Robert Denk 4. 9. 2012

  • 4 1. Postulate der Quantenmechanik, Observable

    a) Ein Punkt = (q, p) R2S heit Phase oder Phasenvektor. Die Menge R2S ={(q, p) : q, p RS} heit Phasenraum. Die Menge aller Punkte {q(t), p(t)} R2S,welche ein physikalisches System annehmen kann, heit Menge aller Phasenbahnenoder Phasentrajektorien. Die Menge R2S+1 = {(t, q, p) : t R, q, p RS} heitZustandsraum des Systems.

    b) Die zeitliche Entwicklung eines Phasenvektors (t) = (q(t), p(t)) ist gegebendurch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

    qj(t) =H(t, q(t), p(t))

    pj, pj(t) =

    H(t, q(t), p(t))

    qj(j = 1, . . . , S).

    b) Einige Begriffe aus der Operatortheorie

    Wir wiederholen einige Begriffe aus der Operatortheorie, wie sie in der Funktio-nalanalysis behandelt werden. Im Folgenden werden immer komplexe Vektorraumebetrachtet, insbesondere wird unter einem Hilbertraum immer ein C-Hilbertraumverstanden.

    1.3 Definition. a) Ein C-Vektorraum H , versehen mit einer Abbildung , : H H C, heit ein Vektorraum mit Skalarprodukt oder ein Prahilbertraum, falls gilt:

    (i) Fur alle y H ist die Abbildung x 7 x, y linear.(ii) Fur alle x, y H gilt x, y = y, x.(iii) Fur alle x H gilt x, x 0. Es gilt x, x = 0 genau dann, wenn x = 0.

    b) Zwei Vektoren x, y H heien orthogonal (in Zeichen x y), falls x, y = 0gilt. Eine Familie {xi}iI von Vektoren heit orthonormal, falls gilt:

    xi, xj = ij :=

    {1 falls i = j,

    0 sonst.

    c) In einem Prahilbertraum (H , , ) wird durch x := x, x1/2 die kanonischeNorm definiert. Ein Prahilbertraum (oder allgemeiner ein normierter Raum) heitvollstandig, falls jede Cauchyfolge konvergent ist. Ein vollstandiger Prahilbertraumheit Hilbertraum.

    d) Ein Hilbertraum H heit separabel, falls eine abzahlbare Teilmenge A Hexistiert, welche in H dicht liegt, d. h. zu jedem x H und > 0 existiert eina A mit x a < .

    e) Eine Teilmenge S H eines Hilbertraums H heit eine (Hilbertraum-)Basis,falls S eine maximale orthonormale Teilmenge ist, d. h. falls fur jede orthonormaleTeilmenge S S bereits S = S gilt.

    c Robert Denk 4. 9. 2012

  • 1. Postulate der Quantenmechanik, Observable 5

    1.4 Bemerkung. Es gilt: Jeder Hilbertraum besitzt eine Basis. Ein Hilbertraumist genau dann separabel, wenn er eine hochstens abzahlbare Basis besitzt.

    1.5 Definition (Linearer Operator). Sei H ein C-Hilbertraum.

    a) Ein linearer Operator T : H D(T ) H ist eine lineare Abbildung vomDefinitionsbereich D(T ) H nach H , wobei D(T ) ein linearer Unterraum von Hist. Die Menge G(T ) := {(x, Tx) : x D(T )} heit der Graph von T .

    Wir setzen R(T ) := {Tx : x D(T )} (Wertebereich, englisch range) und N(T ) :=kerT := {x D(T ) : Tx = 0} (Kern von T ).

    b) Der Operator T heit abgeschlossen, wenn G(T ) eine abgeschlossene Teilmengevon H H ist.

    c) Der Operator T heit abschliebar, wenn es einen abgeschlossenen linearen Opera-tor T gibt mit G(T ) = G(T ). Der Operator T heit Abschlieung oder der Abschlussvon T .

    d) Seien T : H D(T ) H und S : H D(S) H zwei lineare Operatoren.Wir schreiben S T , falls D(S) D(T ) und Sx = Tx (x D(