Skript zur Vorlesung Partielle Di erentialgleichungen ......

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  • Skript zur Vorlesung

    Partielle Differentialgleichungen,

    klassische Methoden

    Christian Meyer

    basierend auf der Vorlesung

    ” Theorie partieller Differentialgleichungen“

    von Prof. F. Tröltzsch, TU Berlin

  • Material für: ca. 12 Vorlesungen à 90 Minuten

    Fehler und Kommentare bitte an: cmeyer@gsc.tu-darmstadt.de

    Stand: 24. Juni 2011

  • Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 1. Einführung und Motivation 5

    1 Notation 6

    Kapitel 2. Mathematische Modellierung 9

    1 Die Kontinuitätsgleichung 10

    2 Die Impulsbilanz 12

    3 Die Energiebilanz 15

    4 Die Wärmeleitgleichung und Laplace-Gleichung 17

    5 Die Wellengleichung 18

    6 Rand- und Anfangsbedingungen 20

    Kapitel 3. Grundbegriffe und Klassifikation 23

    Kapitel 4. Elliptische Differentialgleichungen – die Laplace-Gleichung 29

    1 Trennung der Variablen – die Fourier-Methode 30

    2 Fundamentallösung 38

    3 Die Greensche Funktion 47

    4 Maximumprinzip 53

    Kapitel 5. Parabolische Differentialgleichungen – die Wärmeleitgleichung 61

    1 Fundamentallösung 62

    2 Maximumprinzip und Eindeutigkeit 66

    Kapitel 6. Hyperbolische Differentialgleichungen – die Wellengleichung 71

    1 Die eindimensionale Wellengleichung – die d’Alembertsche Formel 71

    2 Die Wellengleichung in R3 – die Kirchhoffsche Formel 74

    Anhang A. Grundlagen für die Separationsmethode 79

    1 Fourier-Reihen 79

    2 Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme 85

    Anhang. Literaturverzeichnis 89

    Anhang. Index 91

    3

  • KAPITEL 1

    Einführung und Motivation

    Inhalt

    1 Notation 6

    Partielle Differentialgleichungen (in diesem Skript mit PDGl’en abgekürzt) spie- len in zahlreichen physikalisch-technischen Anwendungen eine herausragende Rolle. Prominente Beispiele sind

    • die Navier-Stokes-Gleichungen in der Strömungsmechanik • die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus • die Schrödiner-Gleichung in der Quantenphysik.

    Aber auch in anderen Bereichen spielen PDGl’en eine wichtige Rolle wie beispiels- weise in der Chemie oder den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften.

    Physikalische Größen hängen i.d.R. von mehreren unabhängigen Variablen ab, wie beispielsweise der Zeit und den drei Raumrichtungen. PDGl’en setzen zeitliche und räumliche Ableitungen von Funktionen miteinander in Beziehung. Dieses Vorgehen erlaubt es zahlreiche Prozesse zu realitätsnah modellieren. Ein klassisches Beispiel ist die Wärmeleitgleichung , bei der die zeitliche Entwicklung der Temperaturverteilung in einem Körper mit dem räumlichen Temperaturgradienten in Relation gebracht wird. der physikalische hintergrund ist anschaulich klar: je gößer die Temperaturun- terschiede in einem Körper sind, desto schneller wird sich die Temperatur an einem gegebenen Punkt des Körpers ändern.

    Es ist leider kaum möglich, eine einheitliche mathematische Theorie der PDGl’en zu formulieren, da die verschiedenen Typen von PDGl’en auf unterschiedliche Weise behandelt werden müssen. Man unterscheidet im Wesentlichen drei Arten:

    • elliptische PDGl’en • parabolische PDGl’en • hyperbolische PDGl’en.

    Wir werden uns im Laufe der Vorlesung mit jeweils einem grundlegenden linearen Beispiel für die einzelnen Typen von PDGl’en befassen. Die mathematische Be- handlung der verschiedenen Typen unterscheidet sich nicht nur hinsichtliche der Analysis und damit verbundenen Fragestellungen wie Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, sondern auch bezüglich der Lösungsansätze und -methoden. Bei den Methoden zur Lösung einer PDGl handelt es sich im Wesentlichen um numerische Näherungsverfahren, da PDGl’en i.A. nicht

    ” per Hand“ lösbar sind. Wir werden al-

    lerdings einige Spezialfälle kennenlernen, in denen es dennoch möglich ist, Lösungen analytisch zu bestimmen. Hinsichtlich der numerischen Lösungsverfahren sei bei- spielsweise auf die Vorlesung

    ” Numerik parabolischer Differentialgleichungen“ ver-

    wiesen.

    5

  • 6 1. EINFÜHRUNG UND MOTIVATION

    Auch für jeweils einen der drei Typen von PDGl’en gibt es keine einheitliche Theo- rie, sondern verschiedene Zugänge. Beispielsweise können elliptische Gleichungen mit Hilfe der so genannten klassischen Theorie behandelt werden, aber auch mittels der schwachen Lösungstheorie oder als Operatorgleichung im Banachraum1 betrachtet werden. Die einzelnen Zugänge basieren auf völlig unterschiedlichen mathematischen Grundlagen. Wir werden uns im Rahmen dieser Vorlesung vor allem mit dem klassi- schen Zugang befassen, die schwache Theorie – wenn es die Zeit erlaubt – allerdings am Ende der Vorlesung ebenfalls kurz ansprechen, da sie für wichtige numerische Verfahren wie beispielsweise die Finite Elemente Methode unerlässlich ist.

    Das vorliegende Skript und damit die gesamte Vorlesung basiert in weiten Teilen auf den Vorlesungen

    ” Theorie partieller Differentialgleichungen“ von Prof. F. Tröltzsch

    (TU Berlin) und ” Elementare partielle Differentialgleichungen“ von Prof. R. Farwig

    (TU Darmstadt). Ihnen gebührt mein Dank für die Bereitstellung des jeweiligen Vorlesungsmaterials.

    § 1 Notation

    Bevor wir mit der eigentlichen Vorlesung beginnen, wird eine kurze Einführung in die verwendete Notation gegeben. Hängt eine Funktion von mehreren Veränderlichen ab, wie beispielsweise f(x, t), dann bezeichnen wir die partiellen Ableitungen mit

    ∂f

    ∂x ,

    ∂f

    ∂t .

    Hängt die Funktion von nur einer Variablen ab, beispielsweise f(t), so schreiben wir d f d t

    . Der Gradient einer Funktion f : Rn → R, f : x 7→ f(x), ist der durch

    ∇f(x) =

     ∂f ∂x1 ... ∂f ∂xn

     definierte Zeilenvektor. Die Jacobi-Matrix einer Funktion f : Rn → Rm ist definiert durch

    f ′(x) =

     ∂f1 ∂x1

    ∂f1 ∂x2

    . . . ∂f1 ∂xn

    ∂f2 ∂x1

    ∂f2 ∂x2

    . . . ∂f2 ∂xn

    ... ...

    ... ...

    ∂fm ∂x1

    ∂fm ∂x2

    . . . ∂fm ∂xn

     Wir bezeichnen offene, einfach zusammenhängende Teilmengen des Rn als Gebiet . Ist Ω ⊂ Rn ein beschränktes Gebiet, dann wird mit C(Ω) die Menge der stetigen Funktionen auf Ω bezeichnet. Die Menge der auf Ω k-mal stetig diffbaren Funktionen heißt Ck(Ω). Die Menge der bis zum Rand von Ω stetigen Funktionen bezeichnen wir mit C(Ω̄). Mit der Supremumsnorm

    ‖u‖∞ := ‖u‖C(Ω̄) = sup x∈Ω̄ |u(x)| (1.1)

    wird die Menge zu einem Banachraum, s. z.B. [Alt, 2006, Abschnitt 1.2]. Entspre- chend wird Ck(Ω̄) mit der Norm

    ‖u‖Ck(Ω̄) = ∑ |α|≤k

    sup x∈Ω̄ |Dαu(x)|

    1– was im gewissen Sinne äquivalent zur schwachen Theorie ist –

  • 1. NOTATION 7

    zu einem Banach-Raum. Hierbei ist α ein Multiindex, deren genaue Definition wir in Kapitel 3 noch kennenlernen werden.

    Sei x ∈ Rn gegeben. Die euklidische Norm von x bezeichnen wir mit

    |x| :=

    ( n∑ i=1

    x2i

    )1/2 Die offene Kugel im euklidischen Raum mit Radius r um den Punkt x0 wird mit

    B(x; r) := {x ∈ Rn : |x− x0| < r} bezeichnet. Ihre Oberfläche wird mit S(x; r) = ∂B(x; r) bezeichnet. Ist A ⊂ Rn eine (Lebesgue-)messbare Menge, dann bezeichnen wir mit |A| =

    ∫ A dx das (Lebesgue-

    )Maß der Menge A.

    Sei Ω ⊂ Rn ein Gebiet und {fn}, n ∈ N, fn : Ω → R, eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig auf Ω gegen eine Funktion f konvergiert. Dann schreiben wir

    fn(x) ⇒ f(x) in Ω ⇔ sup x∈Ω |fn(x)− f(x)| → 0

    für n→∞.

  • KAPITEL 2

    Mathematische Modellierung

    Inhalt

    1 Die Kontinuitätsgleichung 10

    2 Die Impulsbilanz 12

    3 Die Energiebilanz 15

    4 Die Wärmeleitgleichung und Laplace-Gleichung 17

    5 Die Wellengleichung 18

    6 Rand- und Anfangsbedingungen 20

    Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf die Grundgleichungen der Kontinuums- physik in Eulerschen Koordinaten zur Beschreibung der Bewegung eines Fluids unter inneren und äußeren Kräften. Genauer gesagt betrachten wir die

    • Massenerhaltungsgleichung oder Kontinuitätsgleichung • Impluserhaltungsgleichung oder Impulsbilanz • Energieerhaltungsgleichung oder Energiebilanz .

    Im Rahmen dieser Vorlseung können wir die Herleitung dieser Gleichungen nur sehr grob skizieren; eine wesentlich detaillierte Herleitung dieser Gleichungen lässt sich beispielsweise in Spurk [1996] finden. Natürlich umfasst die mathematische Model- lierung weitaus mehr Gebiete als nur die Grundgleichungen der Kontinuumsphysik in dieser Form. Allerdings ist die Herleitung dieser PDGl’en als durchaus repräsen- tativ anzusehen. Darüber hinaus befassen wir uns in diesem Abschnitt mit wichtigen Vereinfachungen dieser Grundgleichungen für bestimmte physikalische Spezialfälle. Diese Vereinfachungen weisen ebenfalls typische Aspekte der mathematischen Mo- dellierung auf und führen zudem auf drei spezielle PDGl’en, mit denen wir uns im Laufe der Vorlesung aus mathematischer Sicht näher befassen werden:

    • Schwingungs- und Wellengleichung • Laplace-Gleichung • Wärmeleitgleichung

    Abschließemd sei darauf hingewiesen, dass alle Umformungen und Berechnungen in diesem Kapitel rein formal sind und keineswegs mathematisch rigoros betrach- tet