SpezialvorlesungSuchalgorithmen

Thema:

Selektive Suche

Stefan Edelkamp

Struktur des Buchs

Überblick

Randomisierte Suche Las Vegas und Monte Carlo SAT-Algoritmen

Lokale Suche RLS + (1+1) EA Simulated Annealing, Tabu-Suche Ameisen-Algorithmen Lagrange-Multiplikatoren

Randomisierte Suche

Randomisierter Algorithmus = Deterministischer Algorithmus + Zufallsexperimente

Las Vegas: Vermeide worst-case durchRandomisieren der Eingabe (immer korrekt) Monte Carlo: Randomisiere Genauigkeit (meistens

korrekt)Beispiele: Randomisierte Binärbaum (Las Vegas) Randomisiertes Quicksort (Las Vegas) Randomisierte Primzahltest (Monte Carlo)

SAT:Nadel im Heuhaufen

Problem Max-k-SAT

m Klausen, n Variablen, k Variablen pro Klausel Probem: Suche

NP-hard selbst für k=2 !

Deterministische .5-Approximation

In jeder Iteration werden mindestens so viele Klauseln erfüllt wie nicht erfüllt

Monien-Speckenmeyer

DeterministischBricht 2^n Grenze: O(1.839^n) für 3-SATVerbesserte Version: O(1.6181^n) für 3-SAT

Hamming Sphere

Illustration

Laufzeit: (2k/(k+1))^nO((3/2)^n) für k=3

Random Walk

Laufzeit: (2 (1-(1/k))^nO((4/3)^n) für k=3

Illustration

Davis-Putnamwhile (true) if (!decide()) // Entscheidung für eine Variable -> Stack return(satisifiable); while (!bcp()) // Boole‘sche Constraint Propagierung if (!resolveConflict()) // Löse Konflikt, s.u. return (not satisfiable);

bool resolveConflict() d = most recent decision not ‘tried both ways’; if (d == NULL) // kein solches d gefunden return false; flip the value of d; mark d as tried both ways; undo any invalidated implications; return true;

Einzel-Klausel Propagierung

Idee: Wenn immer in einer Klausel eine Literal festlegt ist wird es sofort weiter propagiert

Stoppe, wenn keine weiteren Zuweisungen

erreicht werden, oder ein Konflikt identifiziert

wird (backtrack)

Chaff: Watch-Literal

Beim Besuch einer Klausel muss eine der zwei Bedingungen gelten:

(1) Klausel wird nicht impliziert >= 2 Literal sind nicht 0, inklusive der anderen Watched Literale. => 1 Nicht-Watched Literal wird nicht auf 0 gesetzt. Dies wird gewählt und ausgetauscht Bedingung, dass die beiden Watched-Literale nicht 0 sind

(2) The Klause wird impliziert. Dies generiert eine neue Implikation (es sei denn die Klausel ist erfüllt). Dabei ist zu beachten das die implizierte Variable immer das andere Watched Literal sein muss, da die Klausel immer ein Literal nicht 0 hat, und einer der beiden Watched Literale auf 0 gesetzt wird.

Illustration

State-of-the-Art Siege, industriell, u.a. in SAT-Plan Minisat, public domain, u.a. in MAX-Plan

MiniSat is a minimalistic, open-source SAT solver, developed to help researchers and developers alike to get started on SAT. It is released under the MIT licence, and is currently used in a number of projects (see "Links"). On this page you will find binaries, sources, documentation and projects related to MiniSat, including the Pseudo-boolean solver MiniSat+ and the CNF minimizer/preprocessor SatELite. Together with SatELite, MiniSat was recently awarded in the three industrial categories and one of the "crafted" categories of the SAT 2005 competition

Setting:Lokale Suche

Randomisierte Lokale Suche

Betrachte die Suche nach Minimum von

f : {0,1}^n -> IR

(1+1) EA

Idee: Erlaube weitere Sprünge im Suchraum durch Kreuzung von Individuen Rekombination

Genetische Algorithmen

Ganze Population modelliert Evolution Genetische Operatioren:

Selection, Cross-Over, Mutation, Recombination Analyse beruht auf Schema-Theorem

(heftig umstritten)

Implementierung

Simulated Annealing

Randomisierte Suchstrategie Motiviert durch

Temperaturen & Abkühlen Bolzmann-Konstante „Flut“-Algorithmus Optimal im Limit

Simulated Annealing

Tabu Suche

Oder Taboo-Suche, Wort verweist auf Aborigines „heilig - nicht berühren“

Tabu-Liste soll Lokale Minima vermeidenAnsatz: Wenn alle Nachbarn „tabu“ sind,

werden schlechtere Lösungen akzeptiert. Alternative: Wenn es einen klar verbesserndeOption gibt, ignoriere ListeStrategien zur Aktualisierung der Tabu-Liste:LRU in den letzten k Zügen

Tabu Suche

Randomisierung

Ameisen-Algorithmen

Populationsbasiert Randomisierte Entscheidungen, gerichtete

durch Pheromone (verbleichende Informationen) und andere Kriterien

Beschränkter Speicher Ameisen können zulässige Handlungen

erkennung und bewerten Verteilen Pheromone je nach Güte der

Lösung

Simple Ant System

Lagrange-Optimierung

Beschränktes lokales Minimum (CLP): x* zulässig und f(x*) <= f(x) für alle x in Nc(x)

Lagrange-Multiplikatoren

Für Vektoren Lamda und mu definiere

Idee: Optimiere L und verstärke den Einfluss von Lamda und mu nach und nach

Sattelpunkte

Existieren Lambda* und mu* mit

hinreichend, aber nicht notwendig für x* CLM

z.B. x*=5 in Deshalb definiere Transformierte Lagrange-

Funktion als

Erweiterte Sattelpunktbedingung

Existieren alpha*>=0, beta* >=0, so dass

Für alle alpha** >= alpha*, beta** >= beta*

Beispiel:

An x*=5, kein striktes Minimum für alpha=alpha*=10 aber an alpha>alpha*

Implementierung

Epilog: Unendliche Zustandsräume

Planen mit Presburger Formeln

Von Aktion zur Formel

Von Formel zum Automaten

Spezialvorlesung SS 2007

Gerichtete Modellprüfung