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SPIELTHEORIE IN DER ÖKONOMIE Teil 2 Kevin Hochwarter 1025595 Seminararbeit aus Finanz und Versicherungsmathematik 31. Jänner 2013

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SPIELTHEORIE IN DERÖKONOMIE

Teil 2

Kevin Hochwarter 1025595

Seminararbeit aus Finanz und Versicherungsmathematik

31. Jänner 2013

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Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung

2. Dynamische Spiele2.1 Extensive Spielform2.2 Lösungsmethode2.3 Teilspielperfekte Nashlösung2.4 Ökonomische Anwendungen

3. Wiederholte Spiele3.1 Endlich oft wiederholte Spiele

3.1.1 Multiple Nash Gleichgewichte 3.1.2 One Shot Game

3.2 Unendlich oft wiederholte Spiele3.2.1 Folk Theorem

3.3 Ökonomische Anwendung

4. Gefangenendilemma

5. Literaturverzeichnis

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1. Einleitung

Für den Begriff Spieltheorie gibt es sehr viele verschiedene und kurze Definitionen, wie zumBeispiel „Theorie zur mathematischen Analyse von Konflikten“. Oder „Entscheidungstheorie,die Situationen untersucht, in denen das Ergebnis nicht von einem Entscheider alleinbestimmt werden kann, sondern nur von mehreren Entscheidern gemeinsam“. DerAnwendungsbereich ist, vor allem in der Ökonomie, sehr weit gestreut. Den hohenStellenwert erkennt man auch daran, dass in den vergangenen Jahrzehnten viele Nobelpreisean Wissenschaftler vergeben wurden, die sich mit diesem Thema beschäftigten.

Meine Seminararbeit behandelt den zweiten Teil der Spieltheorie in der Ökonomie, und ist dieFortsetzung von der Seminararbeit der Spieltheorie in der Ökonomie von Herrn Kevin Klein.Die Grundlagen, die in der Seminararbeit von Herrn Klein erarbeitet wurden, werden hier alsvorausgesetzt angesehen. Einer der wichtigsten Punkte ist dabei das Nash Gleichgewicht.

Die zwei grundlegenden Themengebiete meiner Arbeit behandeln die dynamischen und diewiederholten Spiele. Beides wird zuerst theoretisch erläutert und anschließend anhand vonpraktischen Beispielen aus der Ökonomie dargestellt.

2. Dynamische Spiele

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Bei den dynamischen Spielen, kann im Gegensatz zu den statischen Spielen, bei denen dieSpielzüge simultan getätigt werden, der Spielzug des Gegenspielers beobachtet werden, umseinen eigenen Spielzug eventuell daran anpassen zu können. Diese Art von Entscheidungnennt man sequenzielle Entscheidung. Somit hat mindestens eine Entscheidung eineVorgeschichte. Die im nächsten Kapitel behandelten wiederholten Spiele, stellen eineSpezialform der dynamischen Spiele dar. Im Allgemeinen beschreibt das dynamische Spiel dieStrategie der bedingten Entscheidungen, also wie sich Spieler in Abhängigkeit von möglichenVorgeschichten entscheiden. Eine Strategie beschreibt somit einen Verhaltensplan für dasgesamte Spiel. Dieser beinhaltet Strategien, für getätigte Entscheidungen, aber auch fürsolche, die nie realisiert werden. Das führt zu folgenden Definitionen:

Definition: Das Gesamtspiel G beschreibt alle denkbaren (dynamischen) Verhaltenspläne füralle Spieler, sowie die jeweils daraus resultierenden Auszahlungen.

Definition: Ein Teilspiel ist derjenige Teil (Ausschnitt) des Gesamtspiels, der für sich genommen ein vollständiges Spiel darstellt.

Ein Teilspiel ist so zu verstehen, dass in solchen Spielen gewisse Entscheidungen oderSpielzüge als gegeben anzusehen sind und nicht revidierbar sind. Somit ist das Spiel nicht vonBeginn an zu spielen, sonder nur mehr ein Teilspiel, was mit den üblichen Methoden zu lösenist.

Die Begriffe des Gesamtspiels und des Teilspiels sind am einfachsten anhand der extensivenSpielform zu erläutern.

2.1 Extensive Spielform:

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Die extensive Spielform ist am leichtesten mit einem Spielbaum darstellbar. Wie man an demSpielbaum sehen kann, gibt es 4 wesentliche Punkte, die für das Spiel wichtig sind. DieKnoten stellen die Entscheidungssituation eines Spielers dar. Der von jedem Knotenweggehende Ast, steht für einen einzigen Spielzug eines Spielers also die Entscheidung andem jeweiligen Knoten. Am Ende des Spielbaumes befinden sich die Auszahlungsvektoren,an denen man, nach der letzten Entscheidung des Spieles, die „payoffs“ ablesen kann. Derletzte Punkt ist der Informationsbezirk, oben zu sehen an dem langgezogenen Rechteck, dasmehrere Knoten verbindet. Dieser fasst die Knoten zusammen, deren Vorgeschichte von dembetreffenden Spieler nicht beobachten werden konnte.

Zu beachten ist, dass jeder Knoten, bis auf den Anfangsknoten, nur von einem einzigen Asterreicht werden kann und es keine rekursiven Verknüpfungen geben darf. Außerdem ist nochzu sagen, dass an jeder Entscheidungssituation, also an Knoten die nicht durchInformationsbezirke verbunden sind, ein Teilspiel beginnt.

Um einen Eindruck dafür zu bekommen, welchen Einfluss ein Informationsbezirk auf dieStrategiemenge eines Spieles hat, werde ich die Lösungsmengen anhand des obigenSpielbaumes mit und ohne Informationsbezirk angeben.

*Spieler A:

Strategiemenge SA = {(a1,x1),(a1,x2),(a2,y1)(a2,y2)}

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*Spieler B:

Strategiemenge SB = {b1,b2}, da die erste Entscheidung von A nicht beobachtet werdenkann.

Die oben verwendeten Elemente a1, a2, b1, b2, x1, x2, y1, y2 sind keine Strategien sondernSpielzüge.

Lässt man jetzt den Informationsbezirk weg, ändert sich dieser wie folgt:

Wie man sofort sieht, ändert sich nicht nur die Strategiemenge, sondern auch die Anzahl derTeilspiele erhöht sich durch wegfallen des Informationsbezirkes. Die Strategiemengen sindjetzt folgende:

*Spieler A: Strategiemenge bleibt unverändert

Strategiemenge SA = {(a1,x1),(a1,x2),(a2,y1)(a2,y2)}

*Spieler B:

Strategiemenge SB = {(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1)(b2,c2)}

Der Spielbaum ist nicht die einzige Darstellung der extensiven Spielform. Eine weitereDarstellmöglichkeit bietet die Matrixdarstellung, bei der die Strategiemengen in eine Zeilebzw. eine Spalte geschrieben werden. In den übrigen Feldern sind die entsprechendenpayoffs einzutragen.

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2.2 Lösungsmethode

Die Lösung eines Spiels in extensiver Spielform erfolgt durch Rückwärtsinduktion. Diesebeginnt immer beim letzten Entscheidungsknoten eines Spiels. Der entsprechende Spieler Awird dabei eine rationale Entscheidung treffen, also wird an jedem Knoten den Weg mit demhöchsten payoff wählen. Diese Entscheidung kann aber von dem Spieler B, der vorher amZug ist antizipiert werden. Dieser trifft wieder eine rationale Entscheidung, die auf dergleichgewichtigen Erwartung der Entscheidung bezüglich A beruht. Diese rationaleEntscheidung kann wiederum vom Spieler B, der vorher am Zug ist antizipiert werden. DieserZyklus, der der Entscheidung und der Antizipation, wird so lange durchgeführt, bis man zumAnfangsknoten gelangt.

Zur Veranschaulichung wird wieder ein kurzes Beispiel angeführt:

Bei der Lösung gehen wir Schritt für Schritt wie folgt vor; Zuerst betrachten wir dieEntscheidungssituation von Spieler A. Dieser hat die Wahl zwischen x1 und x2, und die Wahlzwischen y1 und y2. Die erste Entscheidung wird auf x1 fallen, da 5 > 3 ist, und die zweite auf

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y2, da 0 > -1 ist. Sind diese Entscheidungen getroffen worden, gehen wir zum nächstenKnoten, wo diesmal Spieler B eine Auswahl treffen muss. Dieser kann die Entscheidung von Aantizipieren, und entscheidet sich bei b1, b2 für b1 weil, 4 > 0 und bei c1, c2 für c2, da 5 > 0.Zum Schluss hat noch einmal Spieler B eine Auswahlmöglichkeit zwischen a1 und a2. Er wirdsich für a1 entscheiden, weil 5>3.

Haben beide Spieler alle ihre rationalen Entscheidungen getroffen, kommt man zur perfektenLösung des ganzen Spieles: ((a1,x1),(b1,c2)).

Das oben gespielte Spiel wird in Matrixform analysiert:

Wie man an den fett gedruckten Lösungen, die Nash Gleichgewichte darstellen, sehen kann,gibt es mehrere mögliche Lösungen, und nicht nur ((a1,x1),(b1,c2)). Auch dieseStrategiekombinationen sind gleichgewichtig im Sinne der Nash-Lösung, wurden aber durchdie Rückwärtsinduktion nicht als Gleichgewichte identifiziert. Diese Besonderheit bringt unszum nächsten Kapitel.

2.3 Teilspielperfekte Nashlösung

Definition: Eine Strategiekombination (si, s-i) ist eine teilspielperfekte Nash-Lösung (oderkurz: teilspielperfekt), wenn sie im Gesamtspiel und in allen Teilspielen ein Nash-Gleichgewicht darstellt.

Diese Definition liefert ein strengeres Kriterium als das Nash-Gleichgewicht, da es imGegensatz zum Nash-Gleichgewicht die Gleichgewichtseigenschaft nicht nur im Gesamtspiel,sondern auch in jedem Teilspiel fordert. Das Konzept, das von Reinhard Selten (1965)entwickelt wurde, dient dazu, dass verhindert wird, dass Lösungen von unglaubwürdigenEntscheidungen in einigen Teilspielen abhängen. Jedes teilspielperfekte Gleichgewicht stelltgleichzeitig das Strategieprofil für ein sequentielles Gleichgewicht dar.

Satz: Durch Rückwärtsinduktion ermittelte Nash-Gleichgewichte sind stets teilspielperfekt.

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Das ist einfach nachzuvollziehen, da bei Rückwärtsinduktion an jedem Knoten immer nur dieBeste Auswahl getroffen wird, und somit immer nur gleichgewichtige Entscheidungen für alleTeilspiele betrachtet werden.

2.4 Ökonomische Anwendungen

Stackelberg-Duopol

In Märkten kann es dazu kommen, dass sich ein Unternehmen einseitig an die Strategiewahleines anderen Unternehmens anpasst. Dabei nehmen die Unternehmen zwei verschiedenePositionen ein, nämlich die Leader, beziehungsweise die Follower Position. Dies lässt sich alsdynamisches Spiel interpretieren. Das Spiel läuft so ab, dass der Leader zuerst seineStrategievariable wählt und danach der Follower. Als Strategievariable könnten dabeibeispielsweise der Preis oder die Menge gewählt werden.

Ein solcher Spielbaum kann u.a. folgende Darstellung haben:

Cournot-Stackelberg-Szenario:Es werden hier, die schon in der Seminararbeit von Herrn Klein dargestellten Formeln für dasCournot-Oligol verwendet werden (als Oligopol wird in der Mikroökonomik eine Marktformbezeichnet, bei der viele Nachfrager wenigen Anbietern gegenüberstehen). Es handelt sich um zwei Anbieter i=1,2, die mit homogenen Gütern handeln und die Menge

wird mit definiert. Der Follower wird die beste Antwort auf die MengensetzungLeaders geben, welcher wiederum die Antwort des Followers antizipiert.

Es gelten dieselben Annahmen wie beim Cournot Spiel. Angenommen, Unternehmen 2 istder Follower. Die beste Antwort des Followers ist gegeben durch:

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Durch Maximierung der Zielfunktion, unter Erwartung der besten Antwort des Followers,kann der Leader die Antwort von Unternehmen 2 antizipieren.

Maximierung ergibt:

Die beste Antwort des Followers ist dann:

Somit erhalten wir dann, als Cournot-Stackelberg Lösung, folgenden Vektor:

Setzt man diese Werte in die Gewinnfunktion ein, ergibt das:

Der Gewinn der Cournot Lösung ergibt (a – c)^2/9, sodass gilt:

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Wie man sieht, gewinnt der Leader gegenüber der Cournot Lösung, aber der Followerverliert gegenüber dieser.

3. Wiederholte Spiele

3.1 Endlich oft wiederholte Spiele

Widmen wir uns jetzt einem Spezialfall der dynamischen Spiele, den wiederholten Spiele.Zunächst beschäftigen wir uns mit den endlich oft wiederholten Spielen.

Dabei geht es darum, dass ein Spiel in Normalform G genau T mal in Folge gespielt wird. DasSpiel G kann auch Basispiel oder Stufenspiel genannt werden, und G(T) wird das Gesamtspielgenannt. Auf jeder Spielstufe beginnen neue Teilspiele, also hat ein Basispiel zum Beispiel 9Spielausgänge, so würden auf Spielstufe t=2 neun Teilspiele beginnen und auf Spielstufe t=381 usw.

Bei einem Basispiel G = {S1,…,Sn,u1,…,un} ist si ∈ Si die Strategie des Spielers und u1,…,un

definiert die Auszahlungen. Für das Gesamtspiel G(T) ergeben sich die Auszahlungen durchaufsummieren der Auszahlungen der einzelnen Spielstufen. Dadurch, dass es sich umendliche Aufsummierungen der Auszahlungen handelt, kann man dabei auf eineDiskontierung verzichten.

Beispiel:

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Oben sehen wir ein Basisspiel mit 4 möglichen Auszahlungen bzw Spielausgängen. AlsBeispiel betrachten wir dieses Basisspiel mit einfacher Wiederholung, also haben wir einGesamtspiel G(2). Da wir im Gesamtspiel 4 Spielausgänge haben, hat unser G(2) 16 möglicheSpielausgänge, deren Auszahlungen sich durch Aufsummierung der Auszahlungen auf Stufe 1und 2 ergeben. Die Auszahlungsstruktur ist in jedem Teilspiel dieselbe, wie im Basisspiel, undsomit für jeden Spieler gleich. Daraus folgt, dass in allen Teilspielen der letzten Spielstufeeine Nash-Lösung des Basisspiels gespielt werden muss.

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Wie wir sehen können, ist (a1,b1) im Basisspiel und auch in jedem Teilspiel eine Nashlösung,wie vorhin schon erwähnt.

3.1.1 multiple Nash Gleichgewichte

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich durch multiple Nash Gleichgewichte:

Dazu betrachten wir die obige Matrix, die die Auszahlungen des Basisspiels darstellt. ImGesamtspiel G(2) ist jeder Lösungsvektor ein 1X4 Vektor (z.B LLLL, LLMM, MMRR…).

Dazu schauen wir uns einen vollständigen Verhaltensplan an. Dieser lautet: „Spiele auf derersten Stufe M. Falls auf der ersten Stufe MM realisiert wurde, spiele anschließend R,ansonsten L “.

In jedem Teilspiel muss natürlich ein Nash Gleichgewicht gespielt werden. Das ist entwederRR oder LL, welche wiederum Nash Gleichgewichte im Basisspiels sind. Um zu klären ob

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diese auch teilspielperfekt sind, könnten wir das Spiel in Form eines Spielbaums darstellenund anschließend durch Rückwärtsinduktion lösen. Da das aber sehr aufwendig ist, werdenwir uns eine andere Strategie zu Hilfe nehmen. Das so genannte One Shot Game.

3.1.2 One Shot Game

Bei einem One Shot Game werden die Auszahlungen der ersten und zweiten Stufe nachVorgangsweise des Verhaltensplanes addiert. Also werden im Teilspiel mit VorgeschichteMM, RR gespielt, also RR mit (3,3) wird MM mit (4,4) hinzugerechnet. In jedem anderen Fallwird in der zweiten Stufe LL gespielt, somit wird zu allen übrigen Möglichkeiten (1,1)hinzugerechnet. Daraus ergibt sich folgende Auszahlungsmatrix:

Ein sehr wichtiger Punkt hierbei ist, dass wir nicht mehr dieselbe Auszahlungsstruktur wie imBasisspiel haben. Wir können aber sehen, dass im One Shot Game auch MM ein NashGleichgewicht darstellt, auch wenn es keines im Basisspiel ist. Somit haben wir eineteilspielperfekte Strategiekombinationen erhalten. Das führt uns zu folgendem:

Satz: Wenn es in einem Basisspiel multiple Nash Gleichgewichte gibt, dann existierenteilspielperfekte Lösungen für G(T), bei denen auf Spielstufen t < T Spielzüge gewähltwerden, die im Basisspiel kein Nash Gleichgewicht darstellen.

3.2 Unendlich oft wiederholte Spiele

Im Gegensatz zu den endlich oft wiederholten Spielen ist das Diskontieren der Auszahlungenbei den unendlich oft wiederholten Spielen wesentlich. Mit ut werden die Auszahlungen derStufe t bezeichnet. Für einen bestimmten Spielverlauf wird die Auszahlung wie folgt definiert:

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Das Delta beschreibt den Diskontfaktor und V den Barwert. Ein unendlich oft wiederholtesSpiel hat die Darstellung G(∞, δ)

Allgemein ist noch zu sagen, dass es immer unendlich viele Strategien für jedes Spiel gibt unddeshalb die Strategien immer sehr allgemein definiert werden müssen. Außerdem gibt esunendliche viele Teilspiele, die untereinander und mit dem Gesamtspiel identisch sind.

Eine wesentliche Strategie, stellt die Triggerstrategie dar. Diese Strategie kündigt immer einbestimmtes Verhalten an, solange sich auch der Gegenspieler an seine Ankündigungen hält.Verstößt einer der beiden gegen seine Vorgabe, zieht dies eine Bestrafung nach sich. Aufdiese Weise können auch kooperative Lösungen erzieht werden, die in einem endlich oftwiederholten Spiel keine Nash Gleichgewichte darstellen.

Eines der berühmtesten Beispiele, das im Anschluss auch noch genau behandelt wird, ist dasso genannte Gefangenendilemma.

3.2.1 Folk Theorem

Sei G ein Basispiel mit vollständiger Information und (u1,…,un) der Vektor der Auszahlungenfür die Spieler 1,..,n als Nash Gleichgewicht. Falls ein Auszahlungsvektor (a1,…,an) existiert,für den gilt ai > ui für alle i (d.h. alle Nash Lösungen sind pareto-inferior) und falls derDiskontfaktor δ hinreichend nahe bei 1 liegt, dann existiert eine teilspielperfekte Lösung fürG(∞, δ), die (a1,…,an) als durchschnittliche Auszahlung hervorbringen.

In einem unendlich oft wiederholten Spiel mit n Akteuren und einer endlichen Menge anAktionen kann jede Kombination von individuell rationalen, erreichbaren Auszahlungen alsteilspielperfektes Nash-Gleichgewicht gestützt werden. Das Folk Theorem gilt auch in demFall, dass die Nash Lösung des Basisspiels eindeutig ist.

3.3 Ökonomische Anwendung

Ein sehr eindrucksvolles Spiel ist bei näherer Betrachtung das Markteintrittspiel. Dabei habenwir zwei Spieler, den Monopolisten und den Konkurrenten. Die Strategiemenge beiderSpieler sieht so aus, dass der Monopolist KÄMPFEN oder TEILEN spielen kann und der

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Konkurrent EINTRITT oder NICHT EINTRITT als Strategie zur Verfügung hat. Der zugehörigeSpielbaum und die zugehörige Matrix schauen wie folgt aus:

Betrachten wir zuerst den Spielbaum. Durch Rückwärtsinduktion kann man schnell erkennen,das sich der Monopolist nicht auf einen Kampf einlassen wird, da dieser für ihn zu teuerwerden kann und sich daher mit dem geringeren Gewinn zufrieden geben wird. Alsokommen wir dabei auf eine Lösung, bei der der Konkurrent eintritt und der Monopolist teilenspielt.

Betrachten wir jetzt hingegen die Matrix, bekommen wir zwei Nash Gleichgewichte alsLösung, und zwar Eintritt-Teilen und Nicht Eintritt-Kämpfen. Da die zweite Lösung aber aufeiner nicht rationalen Entscheidung beruht, ist diese nicht teilspielperfekt.

Bei nur einem Konkurrenten ist das ganze Spiel sehr einfach und auch nicht wirklicherwähnenswert. Stellt man sich aber eine Handelskette mit mehreren Konkurrenten, und anvielen verschiedenen Orten vor, ändert sich der Spielverlauf beträchtlich. Denn der derSpielzug KÄMPFE könnte für den Monopolisten durchaus wichtig werden, wenn er esschaffen könnte zumindest einen Teil der Konkurrenten vom Eintritt abzuhalten.

Sei yn die Wahrscheinlichkeit, dass der Monopolist am Ort n kämpft (1,..,n Anzahl der Ortean denen ein Konkurrent eintreten kann), dann wird der Konkurrent am Ort n nur danneintreten, wenn nach seiner Wahrscheinlichkeitsabschätzung yn(-1) + (1-yn)b >= 0. Deshalbist der Monopolist immer daran interessiert, dass yn möglichst hoch eingeschätzt wird undversucht eine Reputation von Kämpfern aufzubauen, was bedeutet das er sich einen Rufverschaffen will der ihm nachsagt KÄMPFEN zu spielen.

Reinhard Selten stellte 1978 fest, dass diese Strategie bei einem endlichen Spiel keinen Erfolghat. Da sich ein Reputationsaufbau im letzten Spielzug nicht mehr lohnt und der Monopolistbeim letzten Konkurrenten immer TEILEN spielen wird. Diese Entscheidung wird vom

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Konkurrenten antizipiert und tritt in den Markt ein. Löst man dieses Spiel durchRückwärtsinduktion, wird klar, dass aufgrund der Antizipation des anderen, an jedem PunktTEILEN und EINTRITT gespielt werden wird. Da dies in Wirklichkeit aber nie vorkommen wird,nennt man dieses Phänomen Handelskettenparadoxon.

Eine glaubwürde Abschreckung kann nur bei einem unendlich oft wiederholten Spielimplementiert werden. Auch bei unvollständiger Information, also wenn der Konkurrentnicht weiß, ob sich der Monopolist einen Preiskampf leisten kann, kann ein Konkurrent vomEintritt abgehalten werden.

4. Gefangenendilemma

Präzise ausgedrückt kann man das Gefangenendilemma so definieren:

„Das Gefangenendilemma kennzeichnet eine Situation, in der individuell rationalesVerhalten der einzelnen Gruppenmitglieder zu einem für die Gruppe nicht Pareto-optimalem Ergebnis führt. Obwohl demnach ein Gleichgewicht vorhanden ist, istdieses nicht gesellschaftlich optimal.“ (Wirtschaftslexikon Gabler)

Wir finden folgende Spielsituation vor:

Zwei Gefangene werden einer Straftat beschuldigt. Durch kooperieren oder verraten desanderen ergeben sich somit 4 Verschiedene Szenarien wie viele Jahre sie jeweils insGefängnis kommen:

B kooperiert B verrät

A kooperiert A: R B: R A: S B: T

A verrät A: T B: S A: P B: P

R: reward

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Beide Häftlinge werden dafür belohnt, dass sie kooperieren und sich gegenseitig nichtverraten und müssen dafür nur 2 Jahre in Haft.

T: temptation

Ein Häftling wird zum Verrat verführt, der andere war aber zur Kooperation bereit. Dadurchwird der Verräter belohnt und erhält die geringste Strafe von einem Jahr.

S: sucker‘s payoff

Der Häftling der zur Kooperation bereit war, aber vom anderen Verraten wird, bekommt dieHöchststrafe von 6 Jahren.

P: punishment

Beide werden für den gegenseitigen Verrat bestraft und bekommen 4 Jahre Haft.

In der folgenden Erläuterung beschränke ich mich nur auf das mehrmalig gespielteGefangenendilemma und dessen Strategien.

Bei der mehrmaligen Wiederholung des Spieles, hat jeder Spieler die Möglichkeit auf dieEntscheidung des Gegners im vorherigen Zug zu reagieren. Also würde man sichbeispielsweise bei Verrat des Gegenspielers in der nächsten Runde für diese Tat rächen.Kooperiert der Gegner kann er ihn dafür belohnen und ebenfalls kooperieren.

Wichtig ist, dass die Anzahl der gespielten Runden keinem Teilnehmer mitgeteilt wird, umihre „letzte“ Entscheidung nicht zu beeinflussen. Bei genauerer Betrachtung scheint dieeinzig rationale Entscheidung der ständige Verrat zu sein, was in der Praxis aber nicht immerder Fall ist. Bei mehrmaligem Spiel wird die Auszahlungsmatrix in der Regel so gestaltet, dasszusätzlich zur allgemein gültigen Ungleichung T > R > P > S außerdem 2R > T + S) gilt. Dies istnotwendig, da sonst Spieler, die immer Kooperieren, einen klaren Nachteil haben.

Um die Ergebnisse vergleichen zu können, werden alle Auszahlungen bei einem endlich oftwiederholten Spiel addiert. Unterscheiden muss man auch, ob ein Spieler gewinnen odersiegen will. Möchte ein Spieler den anderen besiegen, handelt es sich eigentlich um einanderes Spiel. Wenn man gewinnen will, ist das Ziel einen möglichst großen Gewinn zuerzielen, daher lohnt es sich auch zu kooperieren.

STRATEGIE:

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Für das endlich oft gespielte Gefangenendilemma gibt es eine Vielzahl an verschiedenenStrategien, für die sich im Laufe der Zeit auch Namen eingebürgert haben. Es werden andieser Stelle einige Strategien mit ihrer durchschnittlichen Auszahlung unter derVoraussetzung, dass die Anzahl der Runden unbekannt sind und es nach jedem Zug mit einerWahrscheinlichkeit von δ є ]0,1[ einen weiteren Zug gibt, vorgestellt:

* Tit-for-Tat:

- TFT Spieler erhält gegen ewigen K: R/(1- δ)

-TFT Spieler erhält gegen ewigen TFT: R/1-δ)

-TFT Spieler erhält gegen ewigen V: (P/1-δ) + S –P

* always defect:

- V gegen ewigen K: T/(1-δ)

- V gegen ewigen V: P/(1-δ)

* always cooperate:

-K gegen ewigen K: R/(1-δ)

-K gegen ewigen V: S/(1-δ)

Die optimale Strategie ist, wenn sie konsequent gewählt wird, die Tit-for-Tate Strategie.Allerdings ist diese Strategie fehleranfällig. Kommt es nämlich zu einem Missverständniszwischen zwei Spielern, kann dies Einfluss auf den kompletten Spielverlauf haben. Dieständige Rache, aufgrund des Missverständnisses, wird auch als Vendetta bezeichnet.

Das Gefangenendilemma ist auch auf viele Sachverhalte in der Praxis übertragen, wie zumBeispiel in der Politik, Wirtschaft und der Kriminalistik.

Wird etwa zwischen zwei Ländern eine Rüstungskontrolle vereinbart, so ist es für das Landselbst wahrscheinlich immer besser, heimlich doch sein Waffenarsenal aufzurüsten. BeideLänder sind schlechter gestellt, wenn sie beide gegen das Abkommen verstoßen. Grund dafürist die Gefahr, erwischt zu werden und die Produktionskosten. Hingegen wäre man klar imNachteil, wenn der Gegner aufrüstet und man sich selbst an das Abkommen hält.

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Literaturverzeichnis:

http://www.spieltheorie.de/Spieltheorie_Grundlagen/was-ist-spieltheorie.htm

http://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenendilemma

Spieltheorie von PD Dr. M. Pasche