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Stabilisierung linearer Systeme mitAusgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Markus Mullergemeinsame Arbeit mit M. French (Southampton) und A. Ilchmann (Ilmenau)

Elgersburg-Workshop 2007

Elgersburg, 21. Februar 2007

Einleitung Theoretische Grundlagen Ergebnisse Zusammenfassung Appendix

Gliederung

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Markus Muller Elgersburg-Workshop 2007

Stabilisierung linearer Systeme mit Ausgangsruckfuhrung via Euler-Methode

Systemklasse

Lineares System fur (A, b, c) ∈ Rn×n × Rn × R1×n und x0 ∈ Rn

x = Ax + bu , x(0) = x0

y = cx

(A, b, c) habe Relativgrad r ∈ {1, . . . , n},

⇐⇒ ∀ i ∈ {0, . . . , r−2} : cAib = 0 und cAr−1b 6= 0 ,

(A, b, c) habe stabile Nulldynamik

⇐⇒ (x, y, u) ≡ (x, 0, u) lost (A, b, c) ⇒ (x(t), u(t)) →t→∞

Normalform (Byrnes & Isidori)

(A, b, c) ⇐⇒

y(r) =r∑

i=1Riy

(i−1) + Sη + cAr−1bu

η = Ty + Qη ,

wobei (y, y(1), . . . , y(r−1), ηT ) := (V x)T mit V ∈ Rn×n

invertierbar.

stabile Nulldynamik ⇐⇒ spec(Q) ⊂ C−.

Regler (Ableitungen)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Geschlossener Regelkreis

dann ∃ k ∈ R1×r : (A, b, c) & Ck ist exponentiell stabiler Kreis.

Nachteil

Ableitungen des Ausgangs y mussen bekannt sein!

Ist (A, b, c) & Ck mit approximierten Ableitungen immer nochstabil?

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Nachteil

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Nachteil

Ck : y 7→ u :=r−1∑i=0

ki+1y(i) ,

Nachteil

Regler (Euler-Approximation)

Regler fur k = (k1, . . . , kr) ∈ R1×r und h > 0

CEulerk [h] : y 7→ u :=

r−1∑i=0

ki+1∆ih(y) ,

∆0h(y) = y

∆1h(y) = ∆h(y) =

(y(·)− y(· − h)

h (y) = ∆m−1h

(∆h(y)

Gliederung

1 Einleitung

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Definitionen 1

Operatoren

U , Y seien normierte Vektorraume.

P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,

C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .

”gain“-Stabilitat

[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒

ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖

∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0

}< ∞ .

Definitionen 1

Operatoren

U , Y seien normierte Vektorraume.

P : U → Y , u1 7→ y1 = Pu1 , P (0) = 0 ,

C : Y → U , y2 7→ u2 = Cy2 , C(0) = 0 .

[P,C] heißt”gain“-stabil : ⇐⇒

ΠC//P := sup{‖(u2, y2)‖‖(u0, y0)‖

∣∣∣∣ (u0, y0) ∈ U × Y ,‖(u0, y0)‖ 6= 0

}< ∞ .

Definitionen 2

V2 {v1 ∈ V1 | ‖v1‖ = 1}~δ(V1,V2)

Gerichtete gap (Kato, 66)

~δ(V1,V2) := supv1∈V1,‖v1‖=1

dist(v1,V2) .

Definitionen 3

Graphen

GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y

sind die Graphen von P bzw. C.

δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)

heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .

Definitionen 3

Graphen

GP := {(u, Pu) | u ∈ U , Pu ∈ Y} ⊂ U × YGC := {(Cy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y

sind die Graphen von P bzw. C.

δ(C1, C2) := max(~δ(GC1 ,GC2), ~δ(GC2 ,GC1)

heißt gap der Operatoren C1, C2 : Y → U .

Robustheit der Stabilitat

Satz (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

[P,C1] ist”gain“-stabil und ~δ(C1, C2) <

(ΠC1//P

)−1,

⇒[P,C2] ist

”gain“-stabil.

Gliederung

1 Einleitung

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Bekannt:

[(A, b, c), Ck] ist exponentiell stabil.

Falls [(A, b, c), Ck]”gain“-stabil und ~δ(Ck, CEuler

k [h]) klein⇒[(A, b, c), CEuler

k [h]] ist”gain“-stabil.

Wir zeigen:

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil.

~δ(Ck, CEulerk [h]) = O(h),

dann [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil fur kleine h.

[(A, b, c), CEulerk [h]] ist exponentiell stabil.

Bekannt:

Wir zeigen:

Bekannt:

Wir zeigen:

Bekannt:

Wir zeigen:

Bekannt:

Wir zeigen:

Bekannt:

Wir zeigen:

Die gap

Fur k = (k1, . . . , kr) ∈ Rr und h > 0 gilt:

~δ(Ck, CEuler

k [h])≤ 2 h

r−1∑i=1

|ki+1| · i .

Folgerung

[(A, b, c), Ck] ist”gain“-stabil und

0 < α := ΠCk//(A,b,c) < ∞ .

Sei h∗ := 1α

r−1∑i=1

|ki+1| · i)−1

. Dann:

∀ h ∈ (0, h∗) : [(A, b, c), CEulerk [h]] ist

”gain“-stabil.

Gliederung

1 Einleitung

3 Ergebnisse

4 Zusammenfassung

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Hilfe der”gap-metric“ haben wir gezeigt: lineare

Eingroßensysteme konnen durch Ruckfuhrung derEuler-approximierten Ableitungen des Ausgangssignalsstabilisiert werden.

Ist dies auch fur andere Approximationskonzepte moglich?

Gelingt eine ahnliche Aussage fur nichtlineare Regler?

Kann die Idee auch bei der Regelung nichtlinearer Systemezum Erfolg fuhren?

Definition gap (Georgiou & Smith, 97, IEEE TAC)

Menge OFur Ci : Y → U , i = 1, 2 seien die GraphenGCi = {(Ciy, y) | y ∈ Y, Cy ∈ U} ⊂ U × Y und

OC1,C2 := {Φ : GC1 → GC2 | Φ ist kausal, bijektiv, Φ(0) = 0} .

Gerichtete gap

~δ(C1, C2) := infΦ∈OC1,C2

supw∈GC1

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Gerichtete gap

supw∈GC1

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Gerichtete gap

supw∈GC1

(‖(Φ− I)(w)‖

‖w‖

Nonlinear gap

δ(C1, C2) := max{~δ(C1, C2), ~δ(C2, C1)} .

Delay-Differentialgleichung

(A, b, c) & CEulerk [h] ⇒

)(t) = A0

)(t) +

r−1∑j=1

)(t− jh) .

Fur Systeme mit r = 2 wurde die exponentielle Stabilitatdirekt gezeigt (Ilchmann & Sangwing, 04, SCL).

Fur hoheren Relativgrad ist ein Beweis nicht gelungen.

Exponentielle Stabilitat

Definition (Kharitonov, 04)

Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil

: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :

|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]

|ϕ(s)| .

∀ h ∈ (0, h∗) :

)(t) = A0

)(t) +

r−1∑j=1

)(t− jh)

ist exponentiell stabil.

Exponentielle Stabilitat

Definition (Kharitonov, 04)

Eine Delay-Differentialgleichung heißt exponentiell stabil

: ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ Cpw([(1− r)h, 0], Rn) ∃ M,λ > 0 ∀ t ≥ 0 :

|x(t;ϕ)| ≤ Me−λt maxs∈[(1−r)h,0]

|ϕ(s)| .

∀ h ∈ (0, h∗) :

)(t) = A0

)(t) +

r−1∑j=1

)(t− jh)

ist exponentiell stabil.

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