a) stabil

b) marginal

c) instabil

d) linear instabil

e) linear stabil

Stabilität von Gleichgewichten

Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen

0)v( t

Kontinuitätsgleichung

Bjpt

v)v(vKraftgleichung

):(0v jresistivBE Ohmsches Gesetz

Maxwell-Gleichungen

0,,0

BBjEt

B

Adiabatische Zustandsänderung: 0)(

dt

pd

Und dazu noch:

Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen

Einfacher: Lineare Stabilität:

Betrachte kleine Störungen des GG

Störungsansatz für , v, p, B:

z.B.

000 Bjp

),()(),( 10 trrtr

Stabilitätsuntersuchungen

00 vFür statische Gleichgewichte findet man Gleichungenfür die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1

10011 vvt

z.B.

Statt v1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v1) verwenden

: Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)

Man findet aus Kraftgleichung (+ Maxwell, Adiabatengesetz):

),((2

2

0 trFt

Lineare Stabilitätsuntersuchungen

Keine Quellen und Senkenin idealer MHD

EW-Problem mit reellem 2

2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen

2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung

Eigenwertproblem in linearer MHD

),((2

2

0 trFt

tiertr )(),(

))(()(20 rFr

011000 )()( BjBjppF

)( 01 BB 011 /)( Bj

Die treibenden Kräfte

Einfachster Fall: homogenes Plasma 0,0 00 jp

Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung

Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld:

Schallwellen

Ausbreitungsgeschwindigkeit: p

cs

Scher- Alfvèn-Wellen

Magnetfeld-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

00

0

B

vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit

Kompressionale Alfvèn-Wellen

Kompressions-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

0

0

00

20

pB

vph Charakteristische Geschwindigkeit:

MHD-Instabilitäten

tiertr )(),(

2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung

Anschaulicher : Energieprinzip

Ideale MHD: Energieerhaltung, weil keine Dissipation

Stabiles Gleichgewicht: Minimum der potentiellen Energie

))(()(20 rFr

Das Energieprinzip (1)

))(()(20 rFr Kann man umschreiben mit

Betrachte stationäres GG => kin. Energie nur in Störung

),(222

1 22

0

2*

0 Krdrd

Wkin=

rdFK )(2

1),(

2*

2

zu: Wkin=

Energieerhaltung fordert Gleichheit von (Störung der) kinetischenund der potentiellen Energie

),(2

2

KWW kinpot

Das Energieprinzip (2)

),(2

2

KWW kinpot K(,) >0

Wpot < 0 2 < 0 => imaginär => exponentiell anwachsende Störung

Wpot > 0 2 > 0 => reell => oszillierende Störung

tiertr )(),(

Das Energieprinzip (3)

Wpot = WVAC + WOF + WPL

Beitrag durch Ströme auf der Plasmaoberfläche: WOF

stabilisierend: Kompression des Vakuumfeldes erfordert Energie

Vakuumbeitrag: dVB

Wvac

VAC 0

21

22

1

Das Energieprinzip (4)

Wpot = WVAC + WOF + WPL

plasma

PL pBB

dVW

0

2

0

20

0

2

1 22

1

u.U. destabilisierend

Immer stabilisierend

1

0

0*||

*0 ))((2 B

B

Bjp

Das Energieprinzip (4): stabilisierende Beiträge

Wpot = WVAC + WOF + WPL

plasma

PL pBB

dVW

0

2

0

20

0

2

1 22

1

stabilisierend

Energie zum Verbiegen von Feldlinien, „Feldlinienspannung“ (Wpot zu Scher-Alfvèn-Wellen)

Energie zum Komprimieren von Feldlinien (Wpot zu Kompr.-Alfvèn-Wellen)

Energie zum Komprimieren des Plasmas (Wpot zu Schallwellen)

Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge

Wpot = WVAC + WOF + WPL

plasma

PL pBB

dVW

0

2

0

20

0

2

1 22

1

1

0

0*||

*0 ))((2 B

B

Bjp

u.U. destabilisierend

immer stabilisierend

Druckgetriebene Instabilitäten

StromgetriebeneInstabilitäten

Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge

Wpot = WVAC + WOF + WPL

plasma

PL pBB

dVW

0

2

0

20

0

2

1 22

1

1

0

0*||

*0 ))((2 B

B

Bjp

Anwendungen des Energieprinzips:

Wenn man Testfunktion finden kann, für die Wpot negativ wird, istGleichgewicht instabil!

B

B

R

R

c

c

))((2 *0 pDestabilisierender Term:

Destabilisierend für 0p

günstigeungünstigeKrümmung

Plasma

pp

Austauschinstabilität

Beispiel: Z-Pinch

r

zB

Iz

Zylindersymmetrie => Fourier-Zerlegung des Verschiebungsvektors

)()()( kzmierr

plasma

PL pBB

dVW

0

2

0

20

0

2

1 22

1

1

0

0*||

*0 ))((2 B

B

Bjp

j||=0

r

er

zzrr eer

imBB 01

bei m=0

Störfeld senkrecht zu GG-Feld:

Feldlinienkrümmung:

Beispiel: Z-Pinch (m=0)

Minimierung der potentiellen Energie bzgl. und Einsetzen liefert:

2

2

0 0200

0200

0

'2/

/4

2 rrp

Bp

Bprdr

R

W ra

pl

Stabilitätskriterium: 0'2/

/4

0200

0200

rp

Bp

Bp

i.allg. nicht erfüllt

20

'0

2

0

220

000

22

2 rr

apl

r

pp

rBrdr

R

W

Kompressionsterme stabilisierend, aber ungünstige Krümmung

Beispiel: Z-Pinch (m=0)

Druckgradientdestabilisierend

Beispiel für instabile Profile (Bennet-Profile)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

B(r)

p(r)

Iz(r)

r/r0

20

2

0

2)(

rr

rIrB p

20

2

20)(rr

rIrI p

z

20

2

20

2

0

8)(

rr

rIrp p

Stabilität nur für > 2, aber ideale MHD: = 5/3

B1

r

B2

K1

K2

r

z z

“Würstcheninstabilität” (m=0)

2

2

0

20

20

00

'22 r

BmrprdrR

W ra

pl

Stabilitätskriterium:

Beispiel: Z-Pinch (m>0)

Unter Nutzung der GG-Bedingung folgt:

42

1 2'

0

0

2

mr

B

B

r

jr

B

200

=> Z-pinch stabil für m>2!

< 0, wenn j(r) nach außen abfällt

Im Zentrum Stromdichte etwa konstant => instabil für m=1!

Kink-Instabilität (m=1)

x

Z-Pinch: Kink- und Würstchen-Instabilität

Stabilisierung durch Kombination mit Theta-Pinch!

Bisher ideale MHD – Instabilitäten: MF-Topologie nicht geändert

Resistive Instabiliäten

jBE vOhmsches Gesetz

Maxwell-Gleichungen BvjE

t

B

BvBt

B

2

0

1

Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!

Magnetische Inseln

Verringerung der Feldlinienspannung durch Rekonnektionführt zu Zustand geringerer Energie!

Zusammenfassung

MHD-Wellen (auch im homogenen Plasma): Schallwellen, Scher-Alfvèn-Wellen, Kompressionswellen

• Getrieben durch Druck- oder Stromgradienten:Bsp: Austauschinstabilität Würstcheninstabilität Knick-(kink) Instabilität

Lineare Instabilitäten in idealer MHD: • Eigenwertproblem (2<0)• Energieprinzip (Wpot<0)

Resistive Instabilitäten: • wachsen viel langsamer als ideale Instabilitäten• können Magnetfeldtopologie ändern