Stahlbeton III 3.2 Platten Teil 2 - ETH Z · • Berücksichtigung realistischerer Bruchkriterien...

3 Platten

Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II

3.5 Einfluss von Querkräften

28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

Platten – Einfluss von Querkräften

Querkraftwiderstand von Platten – Allgemeine Bemerkungen ( Stahlbeton I)

• Platten, insbesondere solche mit Schubbewehrung (dreidimensional bewehrt), sind grundsätzlich sehr duktile Tragwerke.

• Ein Querkraftversagen von Platten ohne Schubbewehrung ist jedoch sehr spröd praktisch keine

Schnittgrössenumlagerung (Entlastung der betroffenen Bereiche) möglich!

• Bei nach dem unteren Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie bemessenen Platten (*) können die im Verlauf der

Belastungsgeschichte auftretenden maximalen Querkräfte relativ stark von der Schubbeanspruchung im rechnerischen

(Biege-)Bruchzustand abweichen

für eine sichere Bemessung müsste grundsätzlich die Querkraftbeanspruchung an jeder Stelle der Platte während der

gesamten Belastungsgeschichte überprüft werden.

• In der Praxis wird die Schubtragsicherheit in der Regel nur im Zustand der maximalen Schnittgrössenumlagerung, welcher

auch der Biegebemessung zugrunde gelegt wird, überprüft. Dies ist mit nicht unbeträchtlichen Unsicherheiten verbunden,

zumal die Querkräfte, welche aus FE-Berechnungen resultieren, stark streuen (Ableitung der Biegemomente, eine

Grössenordnung weniger genau).

Im Zweifelsfall ist durch Anordnung einer Schubbewehrung ein duktiles Verhalten zu gewährleisten!

(*) gilt auch bei einer Bemessung aufgrund linear elastischer FE-Berechnungen (= Gleichgewichtszustand), da die

Rissbildung, Eigenspannungszustände infolge Setzungen, Bauvorgang etc. nie vollständig erfasst werden können!


sin cost x yv v v cos sinn x yv v v

cosyv

tv

1

y

t

n

xsinyv

cosxv nv

2 2

0 x yv v v 0tany

x

v

v

sinxv

ty

1

x

n

xv

02

0v yv

3

2

2

nv

0v yvtv

nvxv

0


Querkraftwiderstand von Platten – Allgemeine Bemerkungen

• In einer Platte wird an jeder Stelle die Hauptquerkraft v(0) v0 in Richtung 0 abgetragen; senkrecht dazu ist

v v(0 ± /2) 0.

Mass für die Schubbeanspruchung: nominelle Schubbeanspruchung tnom v0 /z(mit z Hebelarm der inneren Kräfte).



Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung

• Schubspannungen entsprechen im ungerissenen Zustand einer Hauptzugspannung gleichen Betrags, sc1 |tzx | (elastischer Schubfluss: tmax 1.5·tnom 1.5·v0 /z)

• Bei dünnen Platten, welche gemäss SIA 262 ohne Schubbewehrung ausgeführt werden dürfen, wird somit implizit die Zugfestigkeit des

Betons berücksichtigt (die in der Regel sogar etwas über dem für unbedeutende Bauteile zulässigen Wert liegt). Dies kann mit folgenden

Gründen gerechtfertigt werden:

• Höhere Redundanz als Stabtragwerke (zweiachsige Tragwirkung)

• Schubbeanspruchung i.d.R. geringer (ausser in der Umgebung konzentrierter Krafteinleitungen)

• Bei Erstrissbildung unter moderater Schubbeanspruchung kein Versagen (sofern Rissrauigkeit ausreicht und Längsbewehrung Reserven

aufweist)

→ Im Gegensatz zu Stabtragwerken (Mindestbügelbewehrung zwingend) kann daher bei dünnen Platten oft auf eine Schubbewehrung

verzichtet werden

x

z

s

X

Z, Pol

1d

xz

w

v

b zs t

1c zx ctdfs t

• NB: Längsdruckspannungen bewirken eine Reduktion der Hauptzugspannung. In früheren Ausgaben der SIA 262 (damals SIA 162) wurde

der Schubwiderstand vorgespannter Träger auf dieser Basis überprüft.

1s2s

zxt

zxt


In dünnen Platten tritt bei Erstrissbildung unter

moderater Schubbeanspruchung kein Versagen

auf, sofern die Rissrauigkeit ausreicht und die

Längsbewehrung Reserven aufweist.

(Beanspruchung der Längsbewehrung infolge

Querkraft: Doppelt so gross wie mit Bügeln!)


Stegzugbruch (Bauteil ohne Schubbewehrung)

dV

dM

U

: dU

MM

z

, : cotdO x d r

MM F V

z

O

r

r

cotd rV

dVdV

dM

U

: dO

MM

z

, : cotdU x d r

MM F V

z

O

r

rcotd rV

dV

2r

r

3s

1s


O

U

r

cot rz

z


• Einfaches Modell für Schubübertragung durch Rissverzahnung in Erstrissen unter 45° (mit reiner Schubbeanspruchung in

Erstrissen; für Längsbewehrung resultiert doppelte Zugkraft infolge V):

Einfluss von Querkräften

≤ rx fsd

Beanspruchung

(reiner Schub)

Bruchbedingung Beton

Bruchbedingung Rissebene

Beanspruchung bei Erstrissbildung

NB1: Rissverzahnung von Rissöffnung abhängig, nicht Verzerrungen Massstabseffekt

NB2: Tragwirkung durch Rissverzahnung reicht bei stark schubbeanspruchten Bauteilen ( Platten im Stützenbereich) nicht aus, um ein

sprödes Versagen bei Erstrissbildung zu vermeiden!

x

xs

zxt

xzt

0zs z

1

r

3

1

4r F

1

3

2 1

2 1

c xz

c xz

s t

s t

s

3

t

Spannungen in der Längsbewehrung (rx ssx = 2txz) doppelt so gross wie mit vertikalen Bügeln bei =45°

Z = ZF = QF

Spannungen

im Beton

Legende:


XF

Rissebene

XF = RXc

Qc Z = ZF = QF = Zc



• Berücksichtigung realistischerer Bruchkriterien für die Schubübertragung durch Rissverzahnung, d.h. Mohrsche Hüllkurve,

Schub nur mit Druckspannung übertragbar (noch mehr Längsbewehrung nötig!):

≤ rx fsdSpannungen in der Längs-bewehrung (rx ssx > 2txz)(mehr als 2x so gross wiebei 45° mit vertikalen Bügeln)

Beanspruchung(reiner Schub)

Spannungenim Beton

Bruchbedingung Beton

Bruchbedingung Rissebene

Beanspruchung bei Erstrissbildung

Spannungenim Beton

Beanspruchung(Schub & Zug)

RissebeneRissebene

QF

NB: Auch hier Massstabseffekt und Begrenzung der Gültigkeit auf moderate Schubbeanspruchung!

r F 4r F

1s

XFX

3

Q

t

1

3

X

Q

FF s

XF

QF

R

Z Z QF F Z ZF

R

≤ rx fsd

2 r


Sandwichmodell


xv xm

xymyxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

Gleichgewichtslösung (allgemeine Schalenbeanspruchung):

• Sandwichdeckel übernehmen Biege- und Drillmomente sowie allfällige Membrankräfte

→ ebene Beanspruchung, Behandlung als Scheibenelemente mit entsprechender Bewehrung

( siehe Fliessbedingungen für Scheibenelemente)

• Sandwichkern übernimmt Querkräfte

→ Sandwichkern trägt Hauptquerkraft v0 in der Richtung 0 ab und kann in dieser Richtung wie der Steg eines Trägers behandelt werden

NB: Hohe Membran(druck)kräfte: Kern auch dafür nutzbar (Interaktion mit v beachten)

yvxv

2

xy xym n

z

2

x xm n

z

z

2

y ym n

z

2

y ym n

z

2

xy xym n

z

2

x xm n

z


0

cotz

sd

v

f zr

Sandwichmodell – Kern

ungerissen (homogen) gerissen unbewehrt gerissen bewehrt


• Sandwichkern übernimmt Querkräfte

→ Sandwichkern trägt Hauptquerkraft v0 in der Richtung 0 ab und kann in dieser Richtung wie der Steg eines Trägers behandelt werden;

Zugkräfte in der Plattenebene sind durch die Sandwichdeckel aufzunehmen (zusätzliche Membranbeanspruchung)

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

x

y z

0v

0 cotv

0 cot

2

v cotz

0 cot

2

v

z

Erforderliche

Schubbewehrung:

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

xy z

r

0v02 cot rv

0 cot rv

cot rz

0 cot rv

z

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

xy z

0v

cotz

z

reiner Schub

0

siehe vorher-

gehende Folien

0


xv xm

xymyxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tan

xy xy x y

o

m n v v

z v

2

x xm n

z 2

02 tan

xv

v

z

2

02 tan

yv

v

2

y ym n

z

2

2 2 tan

y y y

o

m n v

z v

2 2 tan

xy xy x y

o

m n v v

z v

2

2 2 tan

x x x

o

m n v

z v

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

xy z

0v

0 cotv

0 cot

2

v cotz

0 cot

2

v

z


Sandwichmodell – Kern gerissen, bewehrt

Bewehrung der Sandwichdeckel:

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan

1 1

2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan

xy xy x y xy xy x yx x x x x xsx sd sx sd

y y y xy xy x y y y y xy xy x y

sy sd sy sd

m n v v m n v vm n v m n va f k a f k

z v z v z v z v

m n v m n v v m n v m n v va f a f

z v k z v z v k z v

0

cotz

sd

v

f zr

Erforderliche

Schubbewehrung:

(Faktoren k, k’ können im Prinzip an jeder Stelle der Platte unterschiedlich gewählt werden (abrupte Wechsel vermeiden oder differentielle

Bewehrungskräfte verankern. Wahl der Druckfeldneigung : Analoge Überlegungen wie bei Trägern. Oft wird k = k’ = cot = 1 gewählt)



Platten unter reiner Biegebeanspruchung ohne Schubbewehrung:

nx = ny = nxy = 0, v0d ≤ vRd = kd tcd dv

Terme mit nx, ny, nxy entfallen

Terme mit vx, vy entfallen bei Annahme eines ungerissenen Kerns.

Mit Rissverzahnung gem. Folie 4 ist dagegen mindestens die doppelte Längsbewehrung (2·Terme mit vx, vy) infolge

Querkraft erforderlich Bewehrung in Platten ohne Bügel nicht zu früh abstufen!

yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xym

z

xm

z

ym

z

xym

z

ym

z

xm

z

z

Sandwichmodell – reine Biegebeanspruchung, ungerissener Kern

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

x

y z

z

SIA 262: dv statt z

0d Rd d cd vv v k d t


yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xym

z

xm

z

ym

z

xym

z

ym

z

xm

z

z


Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung nach SIA 262

Nomineller Schubwiderstand ohne Schubbewehrung

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

xy z

z

0.3mit t ck

Rd d cd v cd

c

fv k d

t t

max

1 48

1 16mitd g

v g

k kd k D

1.5resp.sd d sdv v

s Rd s

f m f

E m E

kd: Abminderungsfaktor für Bauteilabmessung, Ausnutzung der

Längsbewehrung und Maximalkorn (Rissverzahnung)

dv: Wirksame stat. Höhe unter Berücksichtigung von Querschnitts-

unstetigkeiten

v: Dehnung der Biegebewehrung (1.5 fsd /Es gilt für plastische

Verformungen, +50% bei Abstufung der Längsbewehrung)


yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xym

z

xm

z

ym

z

xym

z

ym

z

xm

z

z

2 2

0 x yv v v

1

0 tan ( )y xv v

xy z

z




(Vor-)Bemessung, B500B, Dmax = 32 mm:

kg = 1.0; md /mRd = 1.0 (keine plast. Umlagerungen)

v = fsd /Es = 2.12‰

1471 mm

cd vRd

dv

d

t

0.3mit t ck

Rd d cd v cd

c

fv k d

t t

max

1 48

1 16mitd g

v g

k kd k D

1.5resp.sd d sdv v

s Rd s

f m f

E m E





h

b

d

Hier d = dv

dv/2

2d

• Nachweis im Abstand dv /2 vom Auflagerrand resp. Rand der

Last, ggf. bei Bewehrungsabstufungen

• Abminderung von Einzellasten im Abstand a < 2d vom

Auflagerrand mit Faktor a/(2d) zulässig

• Einlagen, Leitungen:

Durchmesser / Breite / Höhe > d/6

(bei Leitungsbündeln: Abmessung des gesamten Bündels)

Reduktion von dv um grösste Abmessung der Einlage

resp. Leitung (dv = d – max(b;h))

a

Nachweisschnitt

d = (dx + dy)/20.3mit t ck

Rd d cd v cd

c

fv k d

t t

max

1 48

1 16mitd g

v g

k kd k D

1.5resp.sd d sdv v

s Rd s

f m f

E m E





• Platte mit Vorspannung oder Normalkraft, mit Dekompressionsmoment mDd :

… mDd = Langzeitwert des Dekompressionsmoments (siehe auch Kapitel

Durchstanzen) unter Berücksichtigung von Normalkraftzwängungen

… md = inkl. Zwangsschnittgrössen (u.a. Sekundärmomente aus Vorspannung)

• Betondruckfestigkeit fck > 70 MPa: Dmax 0, d.h. kg 3 ( vRd (fck) bei 70 MPa unstetig )

• Deutliche Abweichung der Hauptrichtung 0 der Querkraft von der Richtung

der Hauptbewehrung um Winkel J: Vergrösserung der Dehnung v mit Faktor

(d.h. im schlimmsten Fall, J = 45°: Faktor 2)

4 4

1

sin cosJ J

sd d Ddv

s Rd Dd

f m m

E m m

0.3mit t ck

Rd d cd v cd

c

fv k d

t t

max

1 48

1 16mitd g

v g

k kd k D

1.5resp.sd d sdv v

s Rd s

f m f

E m E


x

n3 sx

tzx

txzszz

r


Herleitung Faktor für Abweichung der Hauptrichtung 0 der Querkraft von der Richtung der Hauptbewehrung

(Druckfeldmodell für Sandwichdeckel)

1F

rz sszr

Spannungen

im Beton

(am Riss)

Spannungen in

der Bewehrung

äussere

Beanspruchung

rx ssxr

1

1F

mittlere

Verzerrungen

1 1c

1c

rr

1 3

X

2

ZQ

r

r

1r3r

Xr

F

ZrQrZF

QF

s

XF

1c

Spannungen in

der Bewehrung

1c

1 1 1 1

2 2

3 1 3 3 1 3 1

2 2

3 1 3 3 1 3 1

2

( ) sin ( ) cos

( ) cos ( ) sin

c r

x r

z r

sxr E

s

Verträglichkeit: linear elastisches Verhalten, Risse spannungsfreiHauptverzerrungsrichtung, resp.

0 0

2 2

1 1 1 1cos sin

b rmx b rmzs x szr s z

sxr s szr s

s sE

E E

t t s

s s

Druckstauchung Beton & Zugversteifung vernachlässigt

Einsetzen in Gleichgewicht am Rissquerschnitt(Risse spannungsfrei nur Bewehrung; all

1 1

1 1

1 1

2 2

2

4 4

1

1

1 1 1 1 1

1

1

1

4

1

2

4

(

( ) sin cos

cos s

) cos s

i

( )

in

1

cos s

n

in

x sxr r z szr r

x sxr z s

c F r F

F c

F c

s x

F c x

z

s s

zr

zE E

E

s r

r s r s

r s

s

s

r

r

r

s

r

gemein ist resp. )


3 Platten


3.6 Durchstanzen



Platten ohne Schubbewehrung – Versagensmechanismen

• Auftreten von Versagensmechanismen gemäss Abbildung links ist bei dünnen Platten wenig wahrscheinlich. Kritisch können jedoch hoch beanspruchte und primär in eine Richtung tragende Platten(streifen) sein, beispielsweise Tagbautunnel-Decken.

• Im Bereich von Krafteinleitungen, namentlich im Stützenbereich von Flachdecken, treten im allgemeinen hohe Schubbeanspruchungen auf. Bei fehlender Schubbewehrung kann dies zu schlagartigem, sprödem Versagen des Krafteinleitungsbereiches führen (Durchstanzen).



Durchstanzen

• Flachdecken: Lastkonzentration bei den Stützen, v0 und (mx, my) maximal,

Biegemomente mit grossem Gradienten (elastisch: bei Punktstützung mx, my ∞)

• Pilzdecken aus Sicht des Kraftflusses deutlich besser

• Pionierzeit des Betonbaus: Flachdecken als neue Konstruktionsart Pilzdecken-

Systeme Maillart / Turner

Belastungsversuch R. Maillart (1908) Patentschrift C.A.P. Turner (1911)



Durchstanzen

- Flachdecken ohne Schubbewehrung: sehr spröder Bruch,

Kettenreaktion

- Einstellhallen besonders gefährdet: Fahrzeugbrand,

Korrosion, unplanmässig hohe Erdüberdeckung

- Durchstanzwiderstand nach SIA 262 (2003) deutlich

geringer als früher, in Teilrevision 2013 noch detaillierter

viele alte Bauwerke ungenügend

Wolverhampton (1997) Bluche (1981)

Gretzenbach (2004)



Durchstanzen

Schon früh viele experimentelle Untersuchungen weltweit, u.a. ETH Zürich, EMPA

[Thürlimann/Pralong 1979-1984]



Konzeptionelle Lösung des Problems: Durchstanzbewehrung

Bügelkorb aufgebogene Bewehrung Stahlpilze

Dübelleisten Verstärkungsanker

Muttoni et al. (2008)

Aschwanden (2014)

http://www.peikko.com


Durchstanzen: Versagensarten Beispiel: Versuche von Etter, Heinzmann, Jäger, Marti (2009)

IBK-Bericht 324

• Versagen im «inneren Rundschnitt»

(hier ohne Durchstanzbewehrung)

• Versagen im «äusseren Rundschnitt»

(innerer Bereich mit Durchstanzberwhrung)

• Druckstrebenversagen

(mit Durchstanzbewehrung)




Durchstanzen: Modellvorstellung

• Forschungsschwerpunkt u.a. von Prof. Muttoni in Lausanne, seit 2000 diverse Versuchsreihen

(u.a. mit Fernández Ruiz, Guandalini, Guidotti, Lips, Kunz)

Krümmungen infolge Biegung vernachlässigt Rissöffnung Plattenrotation y · stat. Höhe d

y

kritischer Schubriss

[EPFL - ibeton]

Massgebender Einfluss: Verzerrungszustand im Stützenbereich ( Biegeverformungen, wurde z. Bsp. bereits 1960 von

Kinnunen / Nylander erkannt und war auch in SIA 162/1968 («Richtlinie 18») berücksichtigt, aber in Norm SIA 162/1989

nicht enthalten).

Modellvorstellung für Platten ohne Schubbewehrung (Basis der Bemessung nach SIA 262 und fib Model Code 2010):

Versagen, wenn massgebender diagonaler Riss («kritischer Schubriss») sich so weit geöffnet hat, dass Schub nicht mehr

übertragen werden kann (Versagenskriterium eng verwandt mit Beziehungen für «compression softening»):



Durchstanzwiderstand von Platten nach SIA 262

Konzeptionelle Bestimmungen

• Das Verformungsvermögen von durch konzentrierte Kräfte belasteten Platten kann mit folgenden Massnahmen

gewährleistet werden:

→ entweder rechnerische Plattenrotation(skapazität) y > 0.02 bei Erreichen der Durchstanzlast sicherstellen

(Biegebewehrung nicht überdimensionieren, genügend grosse gestützte Fläche und Plattendicke wählen)

→ oder Anordnung einer Durchstanzbewehrung mit VRd,s ≥ Vd /2 (*)

Andernfalls sind die aufgezwungenen Verformungen bei der Bemessung zu berücksichtigen (Zwangsschnittkräfte infolge

Temperaturänderungen, differentiellen Setzungen, Schwinden etc.)

in der Regel starke Vergrösserung der Beanspruchung, sehr schwierig zu quantifizieren: vermeiden!

(*) nach fib Model Code 2010: VRd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd (SIA 262: nicht angegeben)




Konzeptionelle Bestimmungen

• Um einen progressiven Kollaps (durch unvorhersehbares Durchstanzen) zu vermeiden, ist mindestens eine der folgenden

Massnahmen zu treffen:

Anordnung einer Durchstanzbewehrung mit Vd,s ≥ Vd /2 (*)

Anordnung einer Sicherung gegen Totaleinsturz (Details siehe SIA 262, 4.3.6.7)

(*) nach fib Model Code 2010: VRd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd (SIA 262: nicht angegeben)

Bewehrung zur

Sicherung gegen

Totaleinsturz

Bewehrung zur Sicherung gegen

Totaleinsturz

sint

Bewehrung zur

Sicherung gegen

Totaleinsturz

dint

dintb

sint

sint

dint/2

sint



28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II 27


Nachweisformat

Der Durchstanzwiderstand wird auf Basis der nominellen Schubbeanspruchung wie folgt ermittelt:

Der Beiwert kr hängt in erster Linie von der Ausnützung der Biegebewehrung über der Stütze, auf der Breite bs des nominellen

«Stützstreifens», ab.

Nachfolgend werden zuerst die geometrischen Grössen (wirksame statische Höhe dv, Nachweisschnitt u , Breite des

Stützstreifens bs ) und anschliessend der Beiwert kr erläutert.

,

0.3mit t ck

Rd c r cd v cd

c

fV k d u

t t

kr Beiwert für Bauteilabmessung,

Plattenrotation und Maximalkorn

dv Wirksame stat. Höhe in mm

u Nachweisschnitt


Durchstanzen: Nachweisschnitt und Stützstreifen

dv/2

dv dv

• Wirksame stat. Höhe dv gem. Abbildungen unten

• Wirksame stat. Höhe dv bei der Festlegung des Nachweisschnitts zu beachten

d = dv

dv/2

d

dv/2

dv

dv

d

dv/2

dv/2

dv

dv/2

dv

≤ 3 dv

d = (dx + dy)/2

dv/2



Durchstanzen: Nachweisschnitt und Stützstreifen

1,5s sx sy minb r r l

0.5 dv 0.5 dv

0.5 dv

0.5 dv

0.5 dv

0.5 dv

Plattenrand

x

ybs

lx

lybs

bs/2

≤ bs/2

bsr ≤ bs

45°45°

≤ bsr/2 bsr/2 ≤ bs/2

Nachweisschnitt (Länge u)

NB: Einwirkungen innerhalb des Nachweisschnitts

dürfen vom Bemessungswert der Querkraft

in Abzug gebracht werden (Eigengewicht,

Sohldruckspannungen, Umlenkkräfte aus

Vorspannung etc.)

Stützstreifen (Breite bs)

NB: Massgebende Biegebeanspruchung und

Biegewiderstand: Mittelwert über Breite des

Stützstreifens


Durchstanzen: Nachweisschnitt

Abminderung der Länge des Nachweisschnitts zur Berücksichtigung nicht konstanter Verteilung der Querkraftbeanspruchung

• Berücksichtigung der Lastkonzentrationen in Ecken, Aussparungen, Leitungen etc.

(Leitungen im Abstand < 5dv nur in radialer Richtung zulässig)!

Resultierende der Auflagerkraft

(Exzentrizität bez. Stützenachse:

MRdx /Ved ,MRdy /Ved)


2 2

1

1

u u u

u

y

e

xe e

ke

e

b

Näherung für regelmässig gestützte Flachdecken,

Stützen biegesteif angeschlossen, keine Aufnahme

horizontaler Einwirkungen durch Stützen:

- ke = 0.90 Innenstützen

- ke = 0.75 Wandenden, Wandecken

- ke = 0.70 Randstützen, Innenstützen mit

grossen Aussparungen in Stützennähe

- ke = 0.65 Eckstützen

• Zusätzliche Abminderung des Nachweisschnitts bei Momentenübertragung Stütze-Platte durch

Beiwert ke (Ausrundungen des Nachweisschnitts vereinfachend als Ecken):

0.5 dv

1.5 dv1.5 dv

0.5 dv

1.5 dv

Nachweisschnitt

Nachweisschnitt

Nachweisschnitt

1.5

dv

1.5 dv

Nachweisschnitt

0.5 dv≤ 5 dv

Nachweisschnitt

Schwerpunkt des

(vereinfachten)

Nachweisschnittsuye

uxe


3 Platten


3.6.1 Verhalten ohne Durchstanzbewehrung


V

kritischer Schubriss


Durchstanzen von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262

• Modellvorstellung: kritischer Schubriss versagt, wenn er sich so weit geöffnet hat, dass er die Beanspruchung nicht mehr

übertragen kann

• Öffnung des kritischen Schubrisses resp. Bruchwiderstand wird über eine an Versuchen kalibrierte Beziehung mit der

Plattenrotation y verknüpft Bruchkriterium VRd VRd (y)

• Herleitung einer analytischen Beziehung y y(msd /mRd) zwischen Plattenrotation y und Biegebeanspruchung des

Stützstreifens (msd /mRd) mit mechanischem Modell, Verknüpfung von msd mit Stützenreaktion Vd Last-

Verformungsbeziehung Vd Vd (y)

Plattenrotation y

V

VRd

yRd

Last-Verformungs-

beziehung Vd(y)

Bruchkriterium VRd,c(y)

Durchstanzversagen

md = mRd

→ Vd = Vd,flex

Vd,flexy



Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262

kr Beiwert für Bauteilabmessung, Plattenrotation und

Maximalkorn

dv Wirksame stat. Höhe in mm

u Nachweisschnitt

y Plattenrotation

rs Distanz Momentennullpunkt (radiales Moment = 0) ab

Stützenachse

msd Mittelwert der Biegemomente im Stützstreifen

,

0.3( ) mit t ck

Rd c r cd v cd

c

fV k d u

y t t

max

1 482

0.45 0.18 16mitr g

g

k kd k D

y

3 2

1.5 s sd sd

s Rd

r f m

d E m

y

Bemerkung: Die Last-Verformungsbeziehung muss bei der

Bemessung (Kontrolle, ob für eine gegebene Einwirkung Vd eine

Durchstanzbewehrung erforderlich ist) nicht ermittelt werden.

Für die Berechnung des tatsächlich vorhandenen

Durchstanzwiderstands wird sie jedoch benötigt.

Nähere Angaben siehe folgende Seiten.

(msd, mRd und rs für Richtungen x,

y separat ermitteln, grösserer Wert

von y ist massgebend)


Plattenrotation y

V

VRd

yRd

Last-Verformungs-

beziehung Vd(y)


Durchstanzversagen

md = mRd

→ Vd = Vd,flex

Vd,flex

yd



Bemessung (nur massg. Richtung dargestellt (yd für msd, mRd und rs pro Richtungen x, y ermitteln, kleinerer Wert von VRd ist massgebend)

Gegeben: Vd, Stützenabmessung (und damit u)

Frage: Ist die Durchstanzsicherheit ohne Schubbewehrung gewährleistet / ist die Plattendicke resp. Biegebewehrung ausreichend?

Vorgehen

1. Annahme von d und mRd

2. Ermittlung von rs und msd (Vd) yd VRd (yd) pro Richtung x, y

3. Vergrösserung von d und ev. mRd, bis VRd (yd) > Vd

(oder Entscheid: Durchstanzbewehrung anordnen)

NB: Der resultierende Wert von VRd (yd) ist grösser als

der tatsächliche Durchstanzwiderstand VRd .

Der genaue Wert von VRd müsste iterativ ermittelt

werden (Schnittpunkt der Kurven VRd (y) und Vd (y)).

Dies ist aber bei der Bemessung unnötig; diese kann ohne

Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) erfolgen.

Die Ermittlung des effektiv vorhandenen Durchstanzwiderstands

wird in der Vorlesung Stahlbeton III näher erläutert.Plattenrotation y

V

Last-Verformungsbeziehung Vd (y)



Vd

VRd(yd)Durchstanzwiderstand

ysdyRd


Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke (nur massgebende Richtung dargestellt!)

Gegeben: Stützenabmessung (und damit u), d, mRd

Frage: Wie gross ist der Durchstanzwiderstand (ohne Schubbewehrung)?

Vorgehen

1. Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) pro Richtung x, y

(in Näherungsstufe 3 Faktor 1.5 durch 1.2 ersetzen)

2. Gleichsetzen von VRd,c (y) Vd (y) yRd , VRd (yRd) Vd (yRd)

(Richtung mit kleinerem Wert von VRd ist massgebend)


Plattenrotation y

V




Durchstanzwiderstand

, ( )Rd c r cd vV k d uy t

2 3

, ,( )d flex sd sd flex sdV V Vy y y

,flex sdV

VRd

Vflex, sd Stützenreaktion, bei welcher die

Biegebewehrung (der betrachteten

Richtung) fliesst

ysd Plattenrotation beim Erreichen von Vflex, sd

3 3

2 2

,

,

3

2

,

,

( )1.5 1.5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

mit

mit aus Plattenberechnung

s sd sd sd s sdsd sd

s Rd Rd s

d sd d dflex sd Rd

sd Rd flex sd sd

dsd d flex sd

flex sd sd

r f m m r f

d E m m d E

V m V VV m

m m V m

VV V

V

yy y y

y y y y

y y

y y y y y y

2

3

,flex sdV


Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262: Näherungsstufen

(a) Regelmässig gestützte Flachdecken 0.5 ≤ lx / ly ≤ 2, k(l)eine plastische Umlagerungen

(«normale» Hochbaudecke):

• Näherungsstufe 1: rsx = 0.22·lx , rsy = 0.22· ly und msd / mRd = 1.0

• Näherungsstufe 2: rsx = 0.22·lx , rsy = 0.22· ly, Abschätzung der Biegebeanspruchung:

, ,

, ,

1 1

8 2 8 2 4

1 1

8 2 8

Innenstützen Randstützen Rand

Eckstützen Randstützen Rand

u i u i dsd d sd d

s s

u i u idsd d sd d

s s

e e Vm V m V

b b

e eVm V m V

b b

8 um

4 um

2 um

2 um

2 um 2 um

2 um

2 um

III

xy um m

III

2 um

IV

xy um m

IV

II

xy um m

2 um

II

2 um

I

x

y

I

xy um m

Die entsprechenden Minimalwerte folgen direkt aus

der Betrachtung der Zusammenfügung einzelner

Plattensegmente mit diskontinuierlichen

Drillmomentenfeldern.

NB: Erklärung für Innenstützen über das

Momentenfeld (Lasteinleitung) einfacher



Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262:

Näherungsstufen

(b) Flachdecken mit lx / ly < 0.5 oder lx / ly > 2, Platten mit komplexer Geometrie oder detaillierte Untersuchung nötig:

• Näherungsstufe 3: Ermittlung von rs (Distanz des Nullpunktes der radialen Momente von der Stützenachse) und msd (Mittelwert der

Biegemomente im Stützstreifen) aus elastischer Plattenberechnung; Faktor 1.2 statt 1.5 in Formel für y:

3 2

1.5 1.2 s sd sd

s Rd

r f m

d E m

y



Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262:

Auswahl weiterer Bestimmungen (konstruktive Details siehe SIA 262, 5.5.3)

• Biegewiderstand mRd = Mittelwert über Stützstreifen, mit Berücksichtigung Vorspannung.(Bewehrung muss generell im Abstand 2.5·dv vom Nachweisschnitt vollständig verankert sein, höchstens aber im Nullpunkt

des zugehörigen Biegemoments. Bei Rand- und Eckstützen ist die Bewehrung quer zum Rand vollständig zu verankern).

• Vorgespannte Platten mit Dekompressionsmoment mDd:

… mDd = Langzeitwert (Schwinden, Kriechen, Relaxation) unter Berücksichtigung von Zwangsnormalkräften

(für mDd darf nur der Anteil der Druckkraft berücksichtigt werden, der effektiv im Stützstreifen wirksam ist)

… msd = inkl. Zwangsschnittgrössen (u.a. Sekundärmomente aus Vorspannung)

… Vorspannung mit ungünstiger Wirkung ist zu berücksichtigen

… Vorzeichen von msd , mRd und mDd konsequent einsetzen, sonst resultieren komplett falsche Resultate!

3 2

1.5 1.2 oder s sd sd Dd

s Rd Dd

r f m m

d E m m

y

NB1: Das Dekompressionsmoment beträgt allgemein: mDd = P·(ep+k). Wird die Vorspannung als Anker- und Umlenkkräfte

(«auf der Lastseite») berücksichtigt, ist der Beitrag P·ep an mDd bereits in der entsprechend reduzierten

Biegebeanspruchung msd berücksichtigt, der Biegewiderstand mRd ist ebenfalls um den Betrag P·ep kleiner (nur

Spannkraftzuwachs als Widerstand) in Zähler und Nenner nur Anteil P·k subtrahieren, dabei Ausbreitung von P

über Plattenbreite und ggf. Reduktion von P durch Zwangsnormalkräfte beachten.

NB2: Zusätzlich darf der Anteil geneigter Vorspannkräfte an den Durchstanzwiderstand berücksichtigt werden

ep

k


ysdyRd

Durchstanzwiderstand von vorgespannten Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262

Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke (nur massgebende Richtung dargestellt!)

Gegeben: Stützenabmessung (und damit u), d, mRd

Frage: Wie gross ist der Durchstanzwiderstand (ohne Schubbewehrung)?

Vorgehen

1. Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) pro Richtung x, y

(in Näherungsstufe 3 Faktor 1.5 durch 1.2 ersetzen)

2. Gleichsetzen von VRd,c (y) Vd (y) yRd , VRd (yRd) Vd (yRd)

(Richtung mit kleinerem Wert von VRd ist massgebend)


Plattenrotation y

V




, ( )Rd c r cd vV k d uy t

( ) mit VorspannungdV y

,flex sdV

, ,

,

,

3 2 3

,

2

,

,

,

( )1.5 1.5

( ) ( ) ( ),

( )

( )( )

mit

(mit

dec dec

dec dec

g

s sd sd sd s sdsd sd

s Rd

q d gq dec decdec sd dec

gq sd gq dec dec

g

Rd s

d sd dflex sd Rd

sd Rd flex sd

d

r f m m r f

d E m m d E

V m VV

m m

m m

V m VV m

m m Vm

m m V

V

yy y y

y y y

y

y

y

3 2 2 3

, ,

,

,

( )

( )

( )( ) ( )

aus Plattenberechnung)q

gq

decdec dec

sd

dsd d flex sd flex sd

flex sd dec sd

VV V

V

m

VV V V

V

y

y

y y y y y y

Vflex, sd Stützenreaktion, bei welcher die

Biegebewehrung (der betrachteten

Richtung) fliesst

ysd Plattenrotation beim Erreichen von Vflex, sd

mdec Dekompressionsmoment

(siehe Folie 37 und 39)

RdV

decV

Durchstanzwiderstand

( ) schlaff bew.dV y


Vorspannung auf der Widerstandsseite berücksichtigt:

Wenn die Vorspannung auf der Widerstandseite einführt wird, kann der Anteil der geneigten Vorspannkraft (Summe der

Vertikalkomponenten am massgebenden Umfang) zum Durchstanzwiderstand addiert (resp. der Bemessungswert der

Stützenreaktion = Durchstanzeinwirkung reduziert) werden: Vd,red Vd DVd (P), DVd (P) SP sinp



3 2

,

,

1.5

:

:

:

mit Bemessungswert des Biegemoments im Stützenstreifen (negativ)

Bemessungswert des Biegemoments infolge vertikaler Lasten (negativ)

Zwangsmom

s sd sd dec

s Rd dec

sd gq d ps

gq d

ps

r f m m

d E m m

m m m

m

m

y

( ) :

:

:

ent infolge Vorspannung (i.d.R. positiv)

Dekompressionsmoment (negativ)

Vorspannkraft bei t= (positiv) (Wert abzumindern, wenn Normalkraft nicht im Stützenstreifen wirkt!)

Exzentriz

dec p

p

m P e k

P

e

:

: (

ität der Vorspannung (im Stützenstreifen), hier positiv nach oben

Kernweite (positiv, i.d.R. = /6)

Bemessungswert des Biegewiderstands + ) (negativ)

(Alle Momente mit üblicher Vo

Rd s sd s p pd p

k h

m A f z A f z

rzeichenkonvention eingesetzt, d.h. Zug unten = positiv -> Stützmomente negativ)


Vorspannung auf Lastseite (als Anker- und Umlenkkräfte) berücksichtigt:

msd, mRd und mdec sind alle um den Wert P ep anders als bei Vorspannung auf Widerstandsseite gleiches Resultat!

Auch wenn die Vorspannung auf der Lastseite eingeführt wird, kann der Anteil der geneigten Vorspannkraft zum

Durchstanzwiderstand berücksichtigt werden, da als Einwirkung die Stützenreaktion – welche durch die Vorspannung nur

über die Zwangsmomente beeinflusst wird – betrachtet wird (nicht das Integral der Plattenquerkräfte am massg.Umfang).



3 2

,

,

1.5

:

:

:

mit Bemessungswert des Biegemoments im Stützenstreifen (negativ)

Bemessungswert des Biegemoments infolge vertikaler Lasten (negativ)

Biegemoment

s sd sd dec

s Rd dec

sd gq d p

gq d

p

r f m m

d E m m

m m m

m

m

y

:

:

e infolge Vorspannung (Eigenspannungszustand und Zwangsmomente, positiv)

Dekompressionsmoment (negativ)

Vorspannkraft bei t= (positiv) (Wert abzumindern, wenn Normalkraft nicht im Stü

p

dec

P e

m P k

P

:

: (

tzenstreifen wirkt!)

Kernweite (positiv, i.d.R. = /6)

(Anteil ist in bereits enthalten, hier nicht nochmals berüsichtigen!)

Bemessungswert des Biegewiderstands )

p sd

Rd s sd s p pd p p

k h

P e m

m A f z A f z P e

(negativ)

(Vorspannung: ohne Anteil , da bereits in berücksichtigt ist)

(Alle Momente mit üblicher Vorzeichenkonvention eingesetzt, d.h. Zug unten = positiv -> Stützmomente negativ

p p p p p pP e A e P e m s

)

3 Platten


3.6.2 Verhalten mit Durchstanzbewehrung



Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262

Bei Platten mit Durchstanzbewehrung sind folgende Nachweise zu führen:

• Widerstand der ersten Betondruckdiagonalen an der gestützten Fläche

• Widerstand der Durchstanzbewehrung (verstärkte Zone)

• Durchstanznachweis (ohne Durchstanzbewehrung) ausserhalb der verstärkten Zone




, ,cd s d RdV V V

, sinRd s sw e sdV A k s b

16

s bdsd sd

sd sw

E f df

f

ys

,max

,c

2 3.5

2 1.75 mit

Rd r cd v cd v

Rd r

V k d u d u

V k

t t

,c

, max2

d Rd

d s

d

V VV

V

Minimal erforderlicher Widerstand Durchstanzbewehrung:

… resp. damit eine Vernachlässigung von Zwängungen

beim Nachweis der Tragsicherheit zulässig ist oder

wenn keine Einsturzsicherung angeordnet werden soll:

Widerstand Durchstanzbewehrung (normal: Neigung b = 90°):

(Asw: nur Durchstanzbewehrung im Abstand

0.35…1.0·dv von der gestützten Fläche zählt)

Rechnerische Spannung in der Durchstanzbewehrung:

(fbd: Bemessungswert der Verbundspannung)

(NB: nach fib Model Code 2010: Vd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd)

Widerstand der ersten Betondruckdiagonale:

(Faktoren > 2 und nach SIA 262 > 3.5 zulässig, sofern die

Wirksamkeit der Bewehrung experimentell nachgewiesen ist)


sx

d

dv

s0 ≥ 0.35dv

sy

s1

≤ 1.5·dv

≤ 3 dv

dv


Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262:

Auswahl weiterer Bestimmungen (konstruktive Details siehe SIA 262, 5.5.3)

, sinRd s sw e sdV A k s b

Widerstand der Durchstanzbewehrung:

(Asw: nur Durchstanzbewehrung im Abstand 0.35…1.0·dv von der gestützten

Fläche)

SIA 262 5.5.3.8: Mindestens zwei

Schenkel in Radialrichtung

SIA 262 5.5.3.10: vollständige Verankerung in

Druck- und Zugzone

Anordnung der Durchstanzbewehrung im

Abstand > dv von der gestützten Fläche:

• radialer Abstand und maximale Ø, siehe SIA 262, Tab. 20

• tangentialer Abstand im 2. Ring ≤ 1.5·dv

Generell gleichen Querschnitt Asw pro Ring (affin zu Nachweisschnitt)

vorsehen

Durchstanzbewehrung in Reihen: gleicher rad. Abstand der Dübel / Bügel




Bemessung (nur massg. Richtung dargestellt (yd für msd, mRd und rs pro Richtungen x, y ermitteln, kleinerer Wert von VRd ist massgebend)

1. Ermittlung VRd,c (= wie Ermittlung VRd ohne Durchstanzbewehrung, siehe vorne)

2. Erforderlicher Widerstand VRd,s ≥ Vd,s=Vd VRd,c (≥ Vd /2 falls Zwängungen vernachlässigt werden sollen)

3. Kontrolle, dass Versagen der ersten Druckdiagonalen nicht massgebend wird VRd 2·VRd,c

4. Festlegung Grösse des verstärkten Bereichs (so, dass ausserhalb VRd,c allein ausreicht)

Plattenrotation y

V

yd


(Verlauf muss für Bemessung nicht

ermittelt werden)


Vd

VRd,c

Minimal erforderlicher Widerstand der Durchstanzbewehrung VRd,s

(falls Zwängungen vernachlässigt werden sollen: VRd,s ≥ Vd /2)

Versagen der ersten Betondruckdiagonalen:

(obere Grenze des Durchstanzwiderstands)

2 3.5r cd v cd vk d u d u t t


NB: Die Ermittlung des effektiv vorhandenen Durchstanzwiderstandswird in der Vorlesung Stahlbeton III näher erläutert.



Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke

1. Ermittlung Last-Verformungsbeziehung Vd (y) und Durchstanzwiderstand VRd (y) VRd,c VRd,s Gleichsetzen, Schnittpunkt = VRd

2. Kontrolle VRd ≥ Vd (Vd inkl. Zwängungen, falls Vd > 2·VRd,s)

3. Kontrolle, dass Versagen der ersten Druckdiagonalen nicht massgebend wird VRd 2·VRd,c

4. Überprüfung der Grösse des verstärkten Bereichs mit separatem Nachweis

VRd,c(y)

VRd,s(y) (Achtung: proportional zu y, daher bei kleinem y nur

geringe Spannungen in der Durchstanzbewehrung aktivierbar)

VRd VRd,c VRd,s

Plattenrotation y

Versagen der ersten Betondruckdiagonalen:

(obere Grenze des Durchstanzwiderstands)


2 3.5r cd v cd vk d u d u t t

VRd

yRd

V

2·VRd,s(y) (Zwängungen berücksichtigen falls Vd > 2·VRd,s)


NB: Vorgehen bei der

Ermittlung von Vd (y) und

VRd,c analog wie ohne

Durchstanzbewehrung;

VRd,s proportional zu y)

3 Platten


3.7 Ergänzungen


Ergänzungen – Elastische Platten

Kirchhoffsche Plattentheorie

(schubstarre linear elastische Platten mit kleinen Durchbiegungen)

Aus den Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen folgt für linear elastisches Verhalten die Differentialgleichung vierter

Ordnung (inhomogene Bipotentialgleichung):

Nur zwei Randbedingungen an Lösung anpassbar, am Rand greifen aber drei Grössen an (Momente mn, mtn und Querkraft vt)

Stützkraft (siehe Platten Teil 1), somit folgende Randbedingungen:

• eingespannter Plattenrand: , folglich und somit . und ergeben sich aus den Lagerreationen

• einfach gelagerter Plattenrand: , , resultierende Stützkraft

• freier Plattenrand: , verschwindende Stützkraft

Balken in

Richtung x

Balken in

Richtung x

Zusatz-

term

4 4 4 3

4 2 2 4 22

12(1 )

w w w q Ehw mit D

x x y y D

DD


0w 0w

x

2

0w

x y

0xym nm nv

0xm 0wD , , ,2n tn t n n nt tv m m m

0nm , , ,2 0n tn t n n nt tv m m m

maxm

m

n

Ergänzungen – Membranwirkung

Entstehung von Membrankräften

• Rissbildung führt bereits im Gebrauchszustand zu Dehnungen in der Plattenmittelebene (Dilatanz)

• Resultierende Verformungen sind selten ohne Behinderung möglich Membrandruckkräfte in gerissenen Bereichen In der Regel Erhöhung des Biegewiderstands

• Membrankraft kann in der Regel nur grob abgeschätzt werden (abhängig von Geometrie, Verformungen der Plattenmittelfläche, Steifigkeit der Membranstützung)

n

mcf s sa f

s sa fm

c

h


Q

0

A

B

C

D

w0

Druck Zug

Versuch, verformungsgesteuert

starr -plastisch1. Ordnung

linear elastisch1. Ordnung


Entstehung von Membrankräften

Verhalten (qualitativ)

1. Linear elastisch (OA)

2. Rissbildung, Aufbau von Membrandruckkräften (AB)

3. Maximallast (B) > Traglast für starr-ideal plastisches Verhalten ohne Membranwirkung (Interaktion m-n)

4. Belastung nimmt bei Verformungssteuerung ab, Membrandruckkräfte werden abgebaut (BC);(Laststeuerung: «Durchschlagen» der Platte)

5. Bei äusserer Membranstützung Aufbau von Membranzugkräften bei zunehmender Durchbiegung, Bruchlast oft >> erstes Maximum (bei grossen Verformungen, nur mit entspr. Berechnung erfassbar)


Räumliches Modell für Tragwirkung


BetonmembranStahlmembranZugring

• Membranstützung nicht durch Lagerung, sondern durch

Zugring (ungerissener Bereich)

• Lastabtrag: Druckmembran aus Beton und Zugmembran

aus Stahl (zum Beispiel Vorspannung ohne Verbund)

• Ohne (äussere) Membranstützung sind die

Membrankräfte der Beton- und der Stahlmembran im

Gleichgewicht keine eigentliche Membranwirkung

• Mit Membranstützung kann das Tragverhalten einer

unbewehrten Platte erklärt werden (am Ort der

Membranstützung Horizontal- und Vertikalkomponenten

der Membrankräfte aufzunehmen!)



Modell für das Tragverhalten (Ritz, 1978)

• Modell für Tragverhalten von Plattenstreifen mit Vorspannung ohne Verbund mit Membranwirkung

• Belastung je nach Steifigkeitsverhältnissen durch Biegeträger resp. Membranwirkung der Beton- und der Stahlmembran

abgetragen (bei fehlender Membranstützung keine eig. Membranwirkung)

Betondruckstrebe Membranstützung

Spannstahl ohneVerbundw

schlaffeBewehrung

Betonmembran

Stahlmembran

Biegeträger

w

Q

Q


Stahlbeton III 3.2 Platten Teil 2 - ETH Z · • Berücksichtigung realistischerer Bruchkriterien...

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