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Univ.-Prof. Dr. rer. nat. habil. Wolfgang H. MüllerTechnische Universität BerlinFakultät V – Institut für MechanikFachgebiet für Kontinuumsmechanik und MaterialtheorieSekretariat MS 2, Einsteinufer 5, 10587 Berlin

Statik und elementare Festigkeitslehre15. Übungsblatt-Lösungen Spannungen, Mohrscher Kreis WS 2017/18

Tutoriumsaufgaben

1. Aufgabe

Vorbetrachtungen: Der eingeprägte Spannungszustand im gezeigten Element wird durch die Normalspannungen 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 und die Schubspannung 𝜎𝑥𝑦 beschrieben. Aus den Gleichgewichtsbedingungenan der geschnittenen Scheibe lassen sich nach einigen Rechnungen folgende allgemeine Beziehungenaufstellen:

𝜎(𝜙) = 12(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + 1

2(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) cos(2𝜙) + 𝜎𝑥𝑦 sin(2𝜙) , (1)

𝜏(𝜙) = −12(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) sin(2𝜙) + 𝜎𝑥𝑦 cos(2𝜙) . (2)

Quadrieren wir jeweils die Gleichungen (1) und (2) und addieren diese, erhalten wir[𝜎(𝜙) − 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2

]2+ 𝜏2(𝜙) =

(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2

)2+ 𝜎2

𝑥𝑦 . (3)

Dies entspricht der Gleichung eines Kreises in 𝜎(𝜙) und 𝜎(𝜙) und nach dem Muster(𝜎(𝜙) − 𝑎

)2 + 𝜏2(𝜙) = 𝑅2 , (4)

mit dem Radius

𝑅 =√(

𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2

)2+ 𝜎2

𝑥𝑦 (5)

und einer Verschiebung des Kreismittelpunkts in 𝜎-Richtung um

𝑎 =(

𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2

). (6)

Die Konstruktion des durch Gleichung (3) beschriebenen Mohrschen Spannungskreises kann mitfolgendem Schema vorgenommen werden:

1. Koordinatensystem zeichnen: Horizontal die 𝜎-Achse, vertikal die 𝜏 -Achse. Anschließend dieNormalspannungen 𝜎𝑥𝑥 und 𝜎𝑦𝑦 auf der 𝜎-Achse eintragen

2. Dann eine positive Schubspannung 𝜎𝑥𝑦 positiv über 𝜎𝑥𝑥 und negativ über 𝜎𝑦𝑦 auftragen (negative Schubspannung andersherum). Die entstandenen Endpunkte miteinander verbinden unddiese Strecke als Durchmesser des Kreises identifizieren. Der Winkel 2𝜙 wird von dieser Verbindungsstrecke in mathematisch negative Winkelrichtung gemessen (also im Uhrzeigersinn). DerKreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen 𝜎𝑥𝑥 und 𝜎𝑦𝑦.

3. Einen Kreisbogen um den Mittelpunkt schlagen.

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a) Wir folgen nun dem vorgestellten Schema zur Konstruktion des Mohrschen Kreises:

Abb. 1: Schritt 1: Koordinatensystem zeichnen und Normalspannungen abtragen.

Abb. 2: Schritt 2: 𝜎𝑥𝑦 positiv über 𝜎𝑥𝑥 und negativ unter 𝜎𝑦𝑦 abtragen. Die entstandenen Endpunktemiteinander verbinden. Die Verbindungsstrecke ist der Durchmesser des Kreises

In Abbildung 3 haben wir nun den Mohrschen Kreis für den vorgegebenen Spannungszustandkonstruiert.

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Abb. 3: Schritt 3: Kreisbogen um den Mittelpunkt schlagen. Im mathematisch negativen Sinn wird von derVerbindungsstrecke aus der Winkel 2𝜙 abgetragen. Der zugehörige Punkt auf dem Kreis ergibt dann denSpannungszustand

(𝜎(𝜙),𝜏(𝜙)

)

Abb. 4: Ablesen der Spannungen für einen Winkel von 𝜙 = 60°.

S. 3/15



b) Für die Spannungen unter dem gefragten Winkel von 𝜙 = 60° tragen wir wie in Abbildung 4dargestellt einen Winkel von 2𝜙 = 120° ausgehend von der Verbindungsstrecke in mathematischnegativem Sinn an und markieren den zugehörigen Punkt auf dem Kreis. Wir lesen mit einergewissen Ungenauigkeit den zugehörigen Spannungszustand ab:

𝜎(60°) ≈ 10,1 N/m2 ,

𝜏(60°) ≈ −16,3 N/m2 .(7)

Die Werte können auch mit den Gleichungen (1) und (2) berechnet werden. Für die Normalspannung finden wir:

𝜎(𝜙 = 60°) = 12(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦) + 1

2(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) cos(120°) + 𝜎𝑥𝑦 sin(120°)

= 12 (21 N/m2 − 5 N/m2) + 1

2 (21 N/m2 + 5 N/m2) cos(120°) + 10 N/m2 · sin(120°)

= 8 N/m2 + 13 N/m2 ·(

−12

)+ 10 N/m2 ·

(√3

2

)= 10,16 N/m2

(8)

Für die Schubspannung ergibt sich:

𝜏(𝜙 = 60°) = −12(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) sin(120°) + 𝜎𝑥𝑦 cos(120°)

= −12 (21 N/m2 + 5 N/m2)

√3

2 + 10 N/m2 ·(

−12

)≈ −16,2583 N/m2 .

(9)

c) Die maximale Schubspannung findet sich offensichtlich am höchsten Punkt des MohrschenSpannungskreises. Wir lesen also ab (siehe Abbildung 5):

𝜏max ≈ 16,4 N/m2 . (10)

Bei der abgelesenen maximalen Schubspannung handelt es sich offensichtlich um nichts anderesals den Radius des Mohrschen Spannungskreises. Um Ablesefehler zu vermeiden können wirdemnach auch den Radius des Kreises nach Gleichung (5) nutzen, wonach die sich die allgemeineGleichung

𝜏max =√(


2

)2+ 𝜎2

𝑥𝑦 (11)

ergibt. Setzen wir die vorgegebenen Werte ein erhalten wir

𝜏max ≈ 16,4 N/m2 . (12)

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Den zugehörigen Winkel 𝜙𝜏max lesen wir aus Abbildung 5 ab:

2𝜙𝜏max ≈ 306° ⇔ 𝜙𝜏max ≈ 153° . (13)

Die rechnerische Bestimmung des zur maximalen Schubspannung gehörigen Winkels ergibt sichaus der notwendigen Bedingung für ein Extremum in Gleichung (2):

d𝜏 (2𝜙)d(2𝜙)

𝜙=𝜙𝜏max

!= 0

⇔ 0 = −12 (𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) cos(2𝜙𝜏max) − 𝜎𝑥𝑦 sin(2𝜙𝜏max)

⇔ tan (2𝜙𝜏max) = −𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2𝜎𝑥𝑦.

(14)

Setzen wir hier die vorgegebenen Werte ein, ergibt sich1:

tan (2𝜙𝜏max) = −2620 (15)

⇔ 2𝜙𝜏max = −52,43° (also 52° entgegen des Uhrzeigersinns), oder (16)

⇒ 𝜙𝜏max = 12 (−52,43° + 360°) = 153,785° (im Uhrzeigersinn) . (17)

Abb. 5: Ablesen der maximalen Schubspannung

1Beachte, dass Taschenrechner einen Wertebereich von −𝜋/2 bis 𝜋/2 für den Arkustangens ausgeben.

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d) Die Hauptspannungen sind die Normalspannungen für den Fall, dass die Schubspannungen verschwinden. Die Schubspannungen sind am Mohrschen Kreis offensichtlich an den Schnittpunktendes Kreises mit der Abszisse Null. Nach Abbildung 6 lesen wir also die Hauptspannungen unddie zugehörigen Winkel ab:

𝜎1 ≈ 24,3 N/m2 , 𝜙1 ≈ 18°

𝜎2 ≈ −8,5 N/m2 , 𝜙2 ≈ 108°(18)

Abb. 6: Ablesen der Hauptspannungen und der dazugehörigen Winkel

Rechnerisch lassen sich die Hauptspannungen ermitteln, indem für 𝜎1 der Radius vom Mittelpunktdes Mohrschen Kreises abgezogen und für 𝜎2 aufaddiert wird. Mittelpunkt und Radius findensich in den Gleichungen (6) und (5). Damit erhalten wir die allgemeine Gleichung:

𝜎1,2 =(

𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2

)∓

√(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2

)2+ 𝜎2

𝑥𝑦 . (19)

Für unsere konkreten Werte ergibt sich:

𝜎1 ≈ 24,4 N/m2 , 𝜎2 ≈ −8,4 N/m2 . (20)

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Die zugehörigen Winkel 𝜙1,2 zu den Hauptspannungen ergeben sich rechnerisch durch Nullsetzender Schubspannung in Gleichung (2):

0 = −12(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦) sin(2𝜙1,2) + 𝜎𝑥𝑦 cos(2𝜙1,2)

⇔ tan (2𝜙1,2) = 2𝜎𝑥𝑦


⇔ 2𝜙1,2 = 37,57° + 𝑘 · 180° , 𝑘 ∈ Z

⇒ 𝜙1 = 18,785°

⇒ 𝜙2 = 12 (2𝜙1 + 180°) = 108,785° .

(21)

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2. Aufgabe

Die Normalspannungen im Schnitt A–A resultieren aus Biegung und Normalkraftsbelastung:

𝜎𝑥𝑥(𝑥,𝑧) = 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦(𝑥)𝑧 + 𝑁(𝑥)

𝐴(𝑥) . (22)

und berechnen sich gemäß:

𝜎A–A𝑥𝑥 (𝑧) = 𝑀(2𝐿)

𝐼𝑦𝑦(2𝐿)𝑧 + 𝑁(2𝐿)𝐴(2𝐿) . (23)

Wir beginnen mit der Berechnung des Schwerpunktes mittels Tabellenverfahren, da zur Bestimmungder Schnittlasten auch die Schwerpunktslage benötigt wird. Zur Berechnung nutzen wir das vorgegebene 𝑦 - 𝑧 -Koordinatensystem, siehe auch Abbildung 7. Damit lässt sich die folgende Tabelleaufstellen:

Teilfläche 𝑧𝐹,𝑖 𝐴𝑖 𝑧𝐹,𝑖𝐴𝑖

I 𝑎2

14𝑎2 1

8𝑎3

II 𝑎2

14𝑎2 1

8𝑎3

III −ℎ2 𝑎ℎ −𝑎ℎ2

2∑ 12𝑎2 + 𝑎ℎ 1

4𝑎3 − 12𝑎ℎ2

Berücksichtigen wir, dass ℎ = 𝑎/10, ergibt sich der Schwerpunkt der Querschnittsfläche im SchnittA–A zu:

𝑧𝐹 =∑

𝑧𝐹,𝑖𝐴𝑖∑𝐴𝑖

= 12

𝑎2 − 2ℎ2

𝑎 + 2ℎ= 49

120𝑎 . (24)

Abb. 7: Zur Berechnung des Schwerpunkts mittels Tabellenverfahren

Zur Berechnung der Spannungen im Schnitt A–A werden die Schnittlasten benötigt. Daher berechnenwir zunächst die Reaktionskräfte im Seil mit Hilfe des Freischnitts in Abbildung 8.

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Abb. 8: Freischnitt des Gesamtsystems

Die Gleichgewichtsbedingungen liefern:

∑𝐹h

!= 0 :√

32 𝑆1 −

√3

2 𝑆2 = 0 ⇒ 𝑆1 = 𝑆2 ,∑𝐹v

!= 0 : 12𝑆1 + 1

2𝑆2 − 2𝐹 = 0 ⇒ 𝑆1 = 𝑆2 = 2𝐹 .

(25)

Im Bereich mit der aufgeschweißten Lamelle muss berücksichtigt werden, dass sich der Schwerpunkt der Querschnittsfläche um den Abstand 𝑒 verlagert. Dieser kann im zuvor verwendeten𝑦 - 𝑧-Koordinatensystem aus Abbildung 7 mit dem berechneten Schwerpunkt aus Gleichung (24)bestimmt werden (der Schwerpunkt ohne Lamelle liegt bei 𝑧 = 𝑎/2):

𝑒 = 𝑎

2 − 𝑧𝐹 = 11120𝑎 (26)

Ein Freischnitt in diesem Bereich ist in Abbildung 9 dargestellt.

Abb. 9: Schnitt durch die Traverse im Bereich mit aufgeschweißter Lamelle

Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben hier:∑𝐹h

!= 0 : 𝑁(2𝐿) +√

3 𝐹 = 0 ⇔ 𝑁(2𝐿) = −√

3 𝐹,∑𝐹v

!= 0 : 𝑄(2𝐿) + 𝐹 − 𝐹 = 0 ⇔ 𝑄(2𝐿) = 0 ,∑𝑀 (𝑆) != 0 : 𝑀(2𝐿) − 𝐹2𝐿 + 𝐹𝐿 +

√3 𝐹𝑒 = 0 ⇔ 𝑀(2𝐿) = 𝐹

(𝐿 −

√3 𝑒)

.

(27)

Nun haben wir alle Größen ermittelt, um die Normalspannungen im Schnitt A–A gemäß Gleichung (23) zu bestimmen. Es interessieren hier die drei Spannungswerte in den markierten Punkten1 , 2 und 3 , welche sich nur durch ihre jeweiligen Abstände zum Schwerpunkt in 𝑧-Richtung

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unterscheiden. Wir setzen zunächst die berechneten Schnittlasten in Gleichung (23) ein und erhalten:

𝜎 1 , 2 , 3 = 𝐹 (𝐿 −√

3 𝑒)𝐼𝑦𝑦

𝑧 1 , 2 , 3 −√

3 𝐹

𝐴. (28)

Die zugehörigen 𝑧-Koordinaten (im Schwerpunktskoordinatensystem) werden mit Hilfe von Abbildung 10 bestimmt, wobei die in Gleichung (24) bestimmte Schwerpunktskoordinate verwendetwird.

Abb. 10: Zur Bestimmung der 𝑧-Koordinaten der Punkte 1, 2 und 3

Es ergibt sich:

𝑧 1 = −𝑧𝐹 − 𝑎

10 = − 61120𝑎 ,

𝑧 2 = −𝑧𝐹 = − 49120𝑎 ,

𝑧 3 = 𝑎 − 𝑧𝐹 = 𝑎 − 49120𝑎 = 71

120𝑎 .

(29)

Die Querschnittsfläche 𝐴 ist mit

𝐴 = 12𝑎2 + 𝑎ℎ = 3

5𝑎2 (30)

bereits bei der Schwerpunktsberechnung bestimmt worden. Setzen wir alles zusammen mit demgegebenen Flächenträgheitsmoment von 𝐼𝑦𝑦 = 1

8𝑎4 in Gleichung (28) ein, erhalten wir:

𝜎 1 =(

− 6115𝑎3

(𝐿 −

√3 11

120 𝑎

)− 5√

3 𝑎2

)𝐹 ,

𝜎 2 =(

− 4915𝑎3

(𝐿 −

√3 11

120 𝑎

)− 5√

3 𝑎2

)𝐹 ,

𝜎 3 =(

7115𝑎3

(𝐿 −

√3 11

120 𝑎

)− 5√

3 𝑎2

)𝐹 .

(31)

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Hausaufgaben

3. Aufgabe

Die Belastung ist im Schubmittelpunkt angebracht. Deswegen tritt bei diesem Querschnitt keineVerdrehung, d. h. keine Schubspannung durch Torsion auf. Die einzige Schubspannung entseht durchden Querkrafteinfluss. Da zudem keine äußere Belastung in Längsrichtung vorhanden ist, entstehendie einzigen Normalspannungen durch reine Biegung.

Um Spannungen auf dem Querschnitt zu analysieren, schneiden wir zunächst bei 𝑥 und 𝑥 + Δ𝑥 eineinfinitesimale Scheibe des Balkens frei, wie in Abbildung 11 dargestellt. Beachte, dass wir hier ausGründen der Übersichtlichkeit auf das Einzeichnen von wirkenden Kräften verzichten und es sichsomit nicht um einen vollständigen Freischnitt handelt!

Abb. 11: Ausschnitt einer infinitesimalen Scheibe des Balkens der Breite Δ𝑥 bei der Stelle 𝑥, wirkende Krätesind hier nicht eingezeichnet

Wir fahren nun mit einem weiteren Schnitt an dieser Scheibe im unteren Flansch fort, dennbislang können nur innere Kräfte auf Flächen mit Normalen in 𝑥-Richtung analysiert werden. InAbbildung 12 ist dieser Schnitt dargestellt.

Abb. 12: Schnitt an der infinitesimalen Scheibe im unteren Flansch, wirkende Kräfte sind nicht eingezeichnet

Wir identifizieren drei Flächen (vorn, rechts und hinten) auf welchen Kräfte wirken, mit zugehörigen

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Flächeneinheitsnormalenvektoren

𝑛h =[−1 0 0

],

𝑛r =[0 −1 0

],

𝑛v =[1 0 0

].

(1)

Wir möchten nun am in Abbildung 12 dargestellten Schnitt ein Kräftegleichgewicht auswerten.Vektoriell schreibt sich dieses wie folgt:∑

𝐹!= 0 : 𝐹 v + 𝐹 r + 𝐹 h = 0 , (2)

wobei die Superindizes v, r und h jeweils für die vordere, rechte und hintere Fläche am Schnitt stehen.Die auftretenden Kräfte müssen nun mit den zu berechnenden Komponenten des Spannungstensorsverknüpft werden. Dies geschieht zunächst über die Spannungsvektoren 𝑡 („Kraft pro Fläche“), welcheeinen infinitesimalen Kraftbeitrag d𝐹 ergeben, multipliziert man sie mit einem Flächenelement d𝐴:

d𝐹 = 𝑡d𝐴 ⇔[d𝐹𝑥 d𝐹𝑦 d𝐹𝑧

]=[𝑡1 𝑡2 𝑡3

]d𝐴 . (3)

Zuletzt verknüpfen wir noch die Spannungsvektoren 𝑡 mit dem Spannungstensor 𝜎. Dies geschiehtüber den Cauchyschen Fundamentalsatz. In Indexschreibweise gemäß Einsteinscher Summenkonvention lautet dieser:

𝑡𝑖 = 𝑛𝑗𝜎𝑗𝑖 , (4)

wobei 𝑛𝑗 die Komponenten des Oberflächeneinheitsnormalenvektors sind. Notieren wir die kartesischen Komponenten von Spannungstensor, Spannungsvektor und Normalenvektor als Matrizen, lässtsich das Cauchy-Theorem nach Regeln der Matrix-Vektor-Multiplikation auch wie folgt schreiben:

𝑡 = 𝑛𝜎 ⇔[𝑡1 𝑡2 𝑡3

]=[𝑛1 𝑛2 𝑛3

] ⎡⎢⎣𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

⎤⎥⎦ . (5)

Die Gesamtkraft ergibt sich dann gemäß Gleichung (3) als Integral über alle Kraftbeiträge

𝐹 =ˆ

d𝐹 =ˆ

𝑡d𝐴 =ˆ

𝑛𝜎d𝐴

⇔[𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

]=ˆ [

𝑛1 𝑛2 𝑛3] ⎡⎢⎣𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧

𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

⎤⎥⎦d𝐴

(6)

Für die im Kräftegleichgewicht in Gleichung (2) auftretenden Kräfte können wir damit notieren:

𝐹 v =ˆ

𝐴v

𝑛v𝜎vd𝐴 , 𝐹 r =ˆ

𝐴r

𝑛r𝜎rd𝐴 , 𝐹 h =ˆ

𝐴h

𝑛h𝜎hd𝐴 , (7)

sodass für das Kräftegleichgewicht folgt:ˆ

𝐴v

𝑛v𝜎vd𝐴 +ˆ

𝐴r

𝑛r𝜎rd𝐴 +ˆ

𝐴h

𝑛h𝜎hd𝐴 = 0 . (8)

S. 12/15



Damit müssen wir nur noch die Matrix-Vektor-Produkte in den Integralen mithilfe der Normalenvektoren aus Gleichung (1) auswerten:

𝑛v𝜎v =[1 0 0

] ⎡⎢⎣𝜎𝑥𝑥(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑦(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑧(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑦𝑥(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑦(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑧(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑧𝑥(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑦(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑧(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧)

⎤⎥⎦=[𝜎𝑥𝑥(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑦(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑧(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧)

],

𝑛r𝜎r =[0 −1 0

] ⎡⎢⎣𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑦𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑧𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

⎤⎥⎦=[−𝜎𝑦𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) −𝜎𝑦𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) −𝜎𝑦𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

],

𝑛h𝜎h =[−1 0 0

] ⎡⎢⎣𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑦𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑦𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜎𝑧𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜎𝑧𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

⎤⎥⎦=[−𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) −𝜎𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) −𝜎𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

].

(9)

Wir setzen diese Ergebnisse nun in Gleichung (8) ein und betrachten lediglich die 𝑥-Komponenteder entstehenden Vektorgleichung:

ˆ

𝐴v

𝜎𝑥𝑥(𝑥 + Δ𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 −ˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 −ˆ

𝐴h

𝜎𝑥𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 = 0 . (10)

Zunächst erkennen wir, dass Vorder- und Hinterfläche gleich sind:

𝐴v = 𝐴h =: 𝐴* , (11)

wodurch die Integrale über die Normalspannungen 𝜎𝑥𝑥 in Gleichung (10) zusammengefasst werdenkönnen:ˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 =ˆ

𝐴*

(𝜎𝑥𝑥(𝑥 + Δ𝑥,𝑦,𝑧) − 𝜎𝑥𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)

)d𝐴 . (12)

Die Normalspannungen ersetzen wir über die Biegespannungsformel

𝜎𝑥𝑥(𝑥,𝑧) = 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

𝑧 (13)

und erhaltenˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 =ˆ

𝐴*

(𝑀(𝑥 + Δ𝑥)

𝐼𝑦𝑦𝑧 − 𝑀(𝑥)

𝐼𝑦𝑦𝑧

)d𝐴 . (14)

Für das Integral über Vorder- und hinterfläche 𝐴* auf der rechten Seite der Gleichung lässt sich dasFlächenelement als d𝐴 = d𝑦d𝑧 parametrisieren, sodass Funktionen, die nur von 𝑥 abhängen aus

S. 13/15



dem Integral gezogen werden können:ˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)d𝐴 = 𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

ˆ

𝐴*

𝑧d𝐴 . (15)

Wir identifizieren hier auf der rechten Seite das bekannte Statische Moment erster Ordnung, dasoffenbar von der Größe der Fläche 𝐴* und damit nur von 𝑦 abhängt:

𝑆*(𝑦) =ˆ

𝐴*

𝑧d𝐴 . (16)

Es folgt:ˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦)d𝐴 = 𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

𝑆*(𝑦) . (17)

Beachte, dass durch die fehlende 𝑧-Abhängigkeit der rechten Seite auch die Schubspannungen 𝜎𝑦𝑥

nur noch von 𝑥 und 𝑦 abhängen.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung muss es nun einen festen Punkt (𝑋, 𝑌 ) mit𝑋 ∈ [𝑥,𝑥 + Δ𝑥] geben, sodass für das Integral auf der linken Seite von Gleichung (17) gilt:

ˆ

𝐴r

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦)d𝐴 = 𝜎𝑦𝑥(𝑋,𝑌 )𝐴r = 𝜎𝑦𝑥(𝑋,𝑌 )𝑡Δ𝑥 . (18)

Setzen wir diesen Zusammenhang in Gleichung (17) ein, erhalten wir

𝜎𝑦𝑥(𝑋,𝑌 ) = 𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)Δ𝑥

𝑆*(𝑦)𝐼𝑦𝑦𝑡

. (19)

Ziehen wir nun den gedachten Schnitt auf den Punkt (𝑥,𝑦) zusammen, also insbesondere mit Δ𝑥 → 0,ergibt sich mit

limΔ𝑥→0

𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)Δ𝑥

= d𝑀

d𝑥= 𝑄(𝑥) (20)

die Formel

𝜎𝑦𝑥(𝑥,𝑦) = 𝑄(𝑥)𝑆*(𝑦)𝐼𝑦𝑦𝑡

. (21)

In 𝑦 verhält sich die Schubspannung linear, da 𝑆*(𝑦) linear ist. Die Gleichung gilt aber nur, solangdie Fläche 𝐴* den Steganfang nicht erreicht. Ab dort, ändert sich 𝐴* sprungartig und wir benötigeneine neue Herleitung, wofür wir den in Abbildung 13 dargestellten Schnitt durch den Flanschverwenden.

Analog zur vorherigen Herleitung betrachten wir hier wieder ein Kräftegleichgewicht in 𝑥-Richtung,welches sich alsˆ

𝐴*

𝜎𝑥𝑥(𝑥 + Δ𝑥, 𝑧)d𝐴 −ˆ

𝐴*

𝜎𝑥𝑥(𝑥,𝑧)d𝐴 −ˆ

𝐴o

𝜎𝑧𝑥(𝑥,𝑧)d𝐴 = 0 (22)

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Abb. 13: Schnitt an der infinitesimalen Scheibe im Steg, wirkende Kräfte sind nicht eingezeichnet

schreiben lässt, wenn die in Abbildung (13) dargestellten Normalenvektoren berücksichtigt werden.Hierbei bezeichnet 𝐴* abermals die Vorder- und Hinterfläche und 𝐴o die Schnittfläche im Steg mitNormale 𝑛o. Unter Nutzung der Biegespannungsformel (13) ergibt sich

ˆ

𝐴o

𝜎𝑧𝑥(𝑥,𝑧)d𝐴 =ˆ

𝐴*

𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

𝑧d𝐴 . (23)

= 𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

ˆ

𝐴*

𝑧d𝐴 (24)

= 𝑀(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑀(𝑥)𝐼𝑦𝑦

𝑆*(𝑧) . (25)

Beachte, dass die Größe der Fläche 𝐴* und damit auch 𝑆* nur von der 𝑧-Koordinate abhängt.Über analoge Argumentation durch den Mittelwertsatz der Integralrechnung und Grenzwertbildungerhalten wir

𝜎𝑧𝑥(𝑥,𝑧) = 𝑄(𝑥)𝑆*(𝑧)𝐼𝑦𝑦𝑡

. (26)

Dies ist ein quadratischer Verlauf in 𝑧, da sich 𝑆* quadratisch in 𝑧 ändert.

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