Statische Magnetfelder

Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder.

Im Magnetfeld erfährt eine bewegte Ladung eine Kraft.

Elektrische Felder werden von ruhenden und bewegten Ladungen gleichermaßen erzeugt. Die Kraft durch ein elektrisches Feld aufeine Ladung ist unabhängig von ihrer Geschwindigkeit.

Elektrischer Strom bedeutet Bewegung von Ladungen. Deshalb werden durch Ströme Magnetfelder erzeugt.

In diesem Kapitel werden Magnetfelder behandelt, deren Stärke und Richtung nicht von der Zeit abhängen. Sie werden durch Ströme erzeugt, die ebenfalls nicht zeitabhängig sind.Auch ruhende Permanentmagnete erzeugen statische Magnetfelder.

94

Magnetische Feldstärke

Wir führen ein die magnetische Feldstärke

Zur Bezeichnung:Beim Magnetfeld wurde früher der Begriff „Magnetische Flussdichte“ anstelle der magnetischen Feldstärke verwendet. Der Begriff Feldstärke wurde für die Größe H verwendet. Es gilt ein ähnlicher Zusammenhang zwischen B und H wie zwischen E und D:

Beim elektrischen Feld sind die Ladungen Quellen des Feldes

Das Magnetfeld besitzt keine Quellen (keine magnetischen Monopole).

Magnetfeldlinien sind daher immer in sich geschlossen.

95

Br

ρε =Er

div0 Poisson-Gleichung

0div =Br

HBrr

0μ=

Erzeugung von Magnetfeldern, Ampèresches Gesetz

Magnetfelder werden nicht durch Quellen erzeugt aus denen Feldlinienentspringen, sondern durch bewegte Ladungen um die herum sich ein wirbelförmiges Feld ausbildet.

Die elementare Gleichung lautet daher

96

IBr

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

jBrr

0rot μ= bzw. jHrr

=rot

Der mathematische Operator Rotation ( ) berechnet die lokale Wirbelstärke eines Vektorfeldes.

Die Richtung der Wirbelachse zeigt in Richtung der Stromdichte.

Berechnung der Rotation in kartesischen Koordinaten:

Die Wirbelstärke des Magnetfeldes wird durch die Stromdichte ( )verursacht.

Die Konstante heißt Induktionskonstante oder magnetische Permeabilitätskonstante und ist aufgrund der Definition des Amperes exakt:

Br

rot

j

97

r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

∂∂

−∂∂

∂

∂−

∂∂

=y

Bx

Bx

Bz

Bz

By

BB xyzxyz ,,rotr

0μ

AmVs104 7

0−⋅= πμ

Integrale Form der Quellenfreiheit von Magnetfeldern

Anschauliche Formulierung:Wenn in einem ganzen Volumen keine Quellen vorhanden sind, müssendurch die Oberfläche des Volumens genauso viele Feldlinien herauslaufen wie hineinlaufen.

Analogie zum Wasser:In einem Volumen unter Wasser ist die Quellstärke im Wasser überall Null, deshalb muss genauso viel Wasser durch die Oberfläche des Volumens heraus fließen, wie hineinfließt.

Wir führen ein den magnetischen Fluss

Definition:

98

∫ ⋅=ΦFläche

dABrr Maß dafür, wieviel Magnetfeld

durch die Fläche A durchtritt.

Mit dem Gaußschen Satz

lässt sich nun mathematisch präzise formulieren:

d.h. da es prinzipiell keine Quellen des Magnetfeldes gibt, gibt es keine Quellen in dem Volumen. Deshalb ist der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche des Volumens gleich Null.

Die Äquivalenz wurde mathematisch mit dem Gaußschen Satz gezeigt.99

∫∫ ⋅=OberflächeVolumen

SfVfrrr

dddiv

0dddiv =⋅= ∫∫OberflächeVolumen

SBVBrrr

0d =⋅∫Oberfläche

SBrr

0div =Br

differentielle Formulierung integrale Formulierung

Quellenfreiheit des Magnetfeldes:

100

Stokesscher Satz

Für stetig differenzierbare Vektorfelder gilt folgender Zusammenhang:

Die Größe eines Wirbels lässt sich auf zwei Weisen erfassen: die lokale Wirbelstärke ( rot B ) integriert über eine Fläche (linke Seite), oderdie Feldstärke B selbst, integriert entlang des Randes der Fläche, d.h. z.B.entlang einer geschlossenen Feldlinie des Magnetfeldes (rechte Seite).

∫∫ ⋅=⋅RandkurveFläche

sBAB rrrrddrot

Br

rot

Br

101

Integrale Form des Ampèreschen Gesetzes

Für den Strom der durch eine bestimmte Fläche tritt erhält man:

Und damit das Ampèresche Gesetz in der integralen Form

Erinnere: die differentielle Form lautete

Die Integrale Form rechnet mit Strömen durch eine ganze Fläche, die differentielle Form berechnet lokal die Wirbelstärke aus der Stromdichte.

∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=RandkurveFlächeFläche

sBABAjI rrrrrrddrot d00 μμ

∫ ⋅=Randkurve

sBI rrd0μ

jBrr

0rot μ= bzw. jHrr

=rot

bzw. ∫ ⋅=Randkurve

sHI rrd

102

Beispiele zur Berechnung von Magnetfeldern

Magnetfeld eines geraden Leiters:

Die Feldlinien laufen kreisförmig um denLeiter. Der Betrag von B ist überall auf demKreis gleich, also gilt:

Vektoriell geschrieben, ergibt sich für einen Strom entlang der z-Achse:

IBr

BrsBI

Randkurvegekreisförmi

πμ 2d0 =⋅= ∫rr

rr

rIrB

πμ2

)( 0=⇒

2220

20 )0,,(

2)0,,(

2)(

zyxxyI

rxyIrB

++−

=−

=πμ

πμrr

103

Magnetfeld einer langen, dünnen SpuleDas Feld im Innern der Spule ist näherungsweise homogen:

a) Außerhalb der Spule ist ein vergleichsweise kleines Feld, b) Senkrecht zu den Feldlinien liefert das Linienintegral keinen Beitrag

Durch die Fläche, die vom Weg umschlossen wird, tritt n mal der Strom I.Es ergibt sich:

In einer Spule der Länge l mit n Windungen herrscht die Magnetfeldstärke:

Integrationsweg

Br

(a)

(b) (b)

BlsBIRandkurve

=⋅= ∫rr

d0μ

IlnB 0μ=

104

Biot-Savart-Gesetz

Mit diesem Gesetz kann das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilungberechnet werden.Es folgt aus dem Ampèrschen Gesetz (Herleitung wird hier nicht gezeigt).

x

y

z2rr

Br

1rr

12rr

∫×

−=Draht r

srIrB 312

120 d4

)( r

rrrr

πμ

srd

Das Wegintegral läuft entlang des gesamtenstromführenden Drahtes.Jedes Drahtstück trägt zum Magnetfeld am Ort bei1r

r

105

Mit dem Biot-Savart-Gesetz können auch komplizierte Spulen berechnet werden:Beispiele von Spulen zum Einschluss von Plasma bei der Kernfusion

Max-Planck-Institut für Plasmaphysik

106

Magnetfeld einer Leiterschleife: (Anwendung des Biot-Savart-Gesetz)

Aus Symmetriegründen hat das B-Feld entlang der z-Achse nur eine z-Komponente

steht senkrecht auf .Die z-Komponente des Vektors

ist gleich

ist immer gleich, also folgt

x

y

z

∫×

−=Draht r

srIrB 312

120 d4

)( r

rrrr

πμ

12rr srd1rr

12rr

srd

∫=Draht

z srRIzB d

4),0,0( 3

12

0rπ

μ

12rr

( ) 2322

20

312

0

22

4),0,0(

zR

RIRrRIzBz

+==

μππμ

r

sr rr d12 × sR d−R

107

Helmholtz-Spule:

Mit einer Anordnung aus zwei kreis-förmigen Spulen im Abstand von dem halben Durchmesser kann ein sehr homogenes Magnetfeld erzeugt werden.(Abweichung <1% für z < 0.3·R)

Entwicklung in eine Potenzreihe liefert näherungsweise

x

y

z

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++

++=

232

22

2

232

22

20

)()(2),0,0(

RRz

zR

R

zR

RIzB μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 4

4

2320

1251441

)4/5(),0,0(

Rz

RIzBz

μ

homogenes Feld

108

Eine bewegte Ladung erfährt im Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Feldstärke des Magnetfeldes gerichtet ist. Die Kraft nennt man Lorentz-Kraft.

Da Kraft und Bewegungsrichtung immer senkrecht aufeinander stehen, wird durch diese Kraft keine Arbeit verrichtet.

Ist gleichzeitig ein elektrisches Feld vorhanden wirkt die Coulomb-Kraft zusätzlich zur Lorentz-Kraft in der bekannten Weise.

Die Lorentz-Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Ladung zur Ladungsmenge und zur magnetischen Feldstärke .Die Richtung der Lorentz-Kraft wird durch das Kreutzprodukt ausgedrückt:

Kräfte auf bewegte Ladungen

vQ B

( )BvQFrrr

×= Lorentz-Kraft

109

Ist elektrisches Feld und Magnetfeld gleichzeitig vorhanden, wirkt dieGesamtkraft:

Beachte: die Coulomb-Kraft ist nicht von der Geschwindigkeit abhängig.

( )BvEQFFF LorentzCoulomb

rrrrrr×+=+=

Br

vrQ

Er

CoulombFr

LorentzFr

Fr

110

Einheit der magnetischen Feldstärke B:

Man hätte die Einheit für das Magnetfeld frei wählen können und dann die Lorentz-Kraft mit einer zusätzlichen Naturkonstanten K erhalten:

Man hat aber nicht die Einheit für das Magnetfeld definiert, sondern die Naturkonstante K = 1 definiert. Damit erhält man als Einheit für B :

Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist das Tesla

Analog war man vorgegangen bei der Einheit der elektrischen Feldstärke

( )BvQKFrrr

×=

[ ] 22222 m Vs

mA sVA

mA Ws

mA J

mA Nm

mA N

m/s AsN

m/s CN

========B

2m VsT =

[ ]mV

m CC V

m CsVA

m CJ

m Cm N

CN

======E

110b

Energiedichte des Magnetfeldes:

Erinnere: beim elektrischen Feld ist die Energiedichte

Ganz ähnlich ergibt sich für das Magnetfeld (siehe auch Seite 163)

Vergleich: Energiedichte E-Feld und B-Feld:Beispiel: Energiedichte eines elektrischen Feldes mit 2· 106 V/m

(maximales Feld in Luft bevor Blitz entsteht).

DEEw21

21 2

0 == ε

2

0

121

21 BHBw

μ==

36

2

212

mJ7.17

mV102

Nm(As)1085.8

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅= −w

110c

Beispiel: Energiedichte eines Magnetfeldes mit 20 Tesla (maximales Feld das heute erzeugt werden kann).

Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei E = 2· 106 V/m 17,7 J = ein Gramm Wasser um 4 Grad erwärmen

= ein Kilogramm um 1.8 m anheben

Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei B = 20 T1.6 108 J = 44 kWh

= 500 Liter Wasser zum Kochen bringen = 2 Tonnen auf den Himalaja tragen

2

0

121

21 BHBw

μ==

3

2

27 mJ000000159

mVs20

VsAm

1041

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −π

w

111

Bewegung einer Ladung im homogenen Magnetfeld:

Als Spezialfall betrachten wir eine Ladung im homogenen Magnetfeld

Eine Ladung im homogenen Magnetfeldbewegt sich auf einer Kreisbahn.Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant, da aus dem Magnetfeldkeine Energie übertragen wird.

Die Lorentz-Kraft verursacht dieRadialbeschleunigung:

Br

vr

Fr

x

y

z

amF rr=

rvmBvQ

2

=

BQvmr =

Ist Ladung, Feldstärke und Geschwindigkeitbekannt, kann das Verhältnis Q/m gemessenwerden.

112

Frei fliegende Elektronen werden erzeugt, indem sie in einem elektr. Feld beschleunigt werden. Nach dem Durchlaufen der Spannung U habensie die Energie

Ihre Geschwindigkeit ist dann

Auch hier geht wieder das Verhältnis Q/m ein.

Aus der Bahnkurve einer Ladung kann immer nur Q/m, nicht aber Q oder malleine bestimmt werden.

Für das Elektron ergibt sich e/m = -1.758 820 12 x 1011 C kg-1

( bekannt mit einer relativen Genauigkeit von 8.6 x 10-8 )

Versuch: e/m nach Busch

UQW =

UmQvUQmv 22

21 =⇒=

-100 V0 V

Glühemission von Elektronen

Elektronen mit Energie 100 eV

113

Bewegung von Elektronen in Teilchenbeschleunigern:

Ablenkung der Elektronen erfolgtin Dipolmagneten.

Im homogenen Feld werdendie Elektronen durch dieLorentz-Kraft seitlich abgelenkt.

Spulehomogenes FeldSpule

Dipolmagnete (grau)

114

Zur Fokussierung des Strahls verwendet man die Kombination vonzwei Quadrupolmagneten. Ein Quadrupolmagnet fokussiert in einer Richtung und defokussiert in der anderen Richtung.

Elektronen unterschiedlicher Energielaufen auf verschiedenen Bahnen(chromatische Aberration). Dies wirdmit Sextupol-Magneten kompensiert.

115

Kräfte auf stromdurchflossene Leiter:

Auf die bewegten Elektronen in einem stromdurchflossenen Leiter wirkt im Magnetfeld die Lorentz-Kraft.

Obwohl sich die Elektronen im Leiter sehr langsam mit der Driftgeschwindigkeit vD (einige cm / Minute) bewegen, ergibt sich durchdie hohe Anzahl von Elektronen eine starke Kraft (Bsp. Elektromotor).

Die Kraft F auf ein Leiterstück der Länge dL in dem der Strom I fließtergibt sich zu:

Dvj rrρ=

( )BvQFrrr

×=

( )BvLAF D

rrr×=⇒ dρ

( )BLAjFrrr

×=⇒ d

mitund dL in Richtung von vD folgt

( )BLIFrrr

×= d Lorentz-Kraft auf ein Leiterstück dL

116

Experiment:

Kraft auf Leiterstück im homogenen Magnetfeld

Die Kraft auf ein Leiterstückvon 10 cm Länge, das in einem Magnetfeld von 1Tvon einem Strom I = 1A durchflossen wird, beträgt

F = 0.1 Newton.

Br I

Fr

( )BLIFrrr

×= d

BLIF = (da alle Vektoren senkrecht aufeinander stehen)

--

Messung von Magnetfeldern, Halleffekt:

117

Zur Messung der magnetischen Feldstärke wird meistens der Halleffekt ausgenutzt:

In einem stromdurchflossenen Leiter werden die Elektronen zur einen Seiteabgelenkt, bis sich quer zum Leiter ein kompensierendes elektrisches Feldaufgebaut hat.

Dieses Feld verursacht eine Spannung (Hall-Spannung) quer zur Stromrichtung.

Mit folgt

Halbleiter mit sehr geringer Ladungsdichte zeigen hohe Hallspannungen.

Dvr

Br

LorentzFr

−e

I

- +- +

- ++

+Er

elFr

b

( )bBvbEU DHall

rr×==

( )BvQEQrrr

×−=

d

Dvj rrρ=

dBIbBjU Hall ρρ

==

118

Zusammenhang elektrisches und magnetisches Feld:

Physikalische Experimente liefern in jedem Inertialsystem die gleichenPhysikalischen Gesetze.

Gedankenexperiment: zwei Teilchen mit Ladung +Q, -Q und Masse m

x

y

z+

–

vr

vr

x

y

z+

–

vr

Koordinatensystem „ruht“, Ladungen bewegen sich.

Ladungen „ruhen“, Koordinatensystem bewegt sich mit.

119

In der Klassischen Physik erhält man ein unterschiedliches Ergebnis

Bei ruhenden Ladungen wirkt nur die Coulomkraft und Newtons Aktionsprinzip liefert:

oberes Teilchen (Index 2) unteres Teilchen (Index 1)

Bei ruhendem Koordinatensystem erzeugen die bewegten Ladungenzusätzlich ein Magnetfeld

( )212

2

02 4

1zz

Qzm−

−=πε

&&( )221

2

01 4

1zz

Qzm−

+=πε

&&

312

1202 4)(

rvrQrB r

rrrr ×

=πμ

( )212

02 4)(

zzvQzBy −

=⇒πμ

Umgeformtes Gesetz von Biot-Savart

(andere Ladung analog)

120

Auf die obere Ladung wirkt die Lorenzkraft im Magnetfeld der unterenLadung:

Es ergibt sich eine Kraft nach oben auf die obere Ladung

Beide Kräfte zusammen ergeben

( )212

220

4 zzvQBvQF yz −

==πμ

( )BvQFrrr

×=

( ) ( )212

220

212

2

0 441

zzvQ

zzQFFF LorentzCoulombz −

+−

−=+=πμ

πε

( )( )2

00212

2

0

14

1 vzz

QFz μεπε

−−

−=

( )( )2

00212

2

0

14

1 vzz

Qzm μεπε

−−

−=&& Die Beschleunigung der Ladung ist hier um den Faktor 1-ε0μ0v2 kleiner

121

Ferner gibt es den Zusammenhang zwischen ε0, μ0 und der Lichtgeschwindigkeit c (siehe weiter hinten bei elektromagnetischen Wellen).

Die Beschleunigung ist also um den Faktor kleiner.

Dieser Faktor erinnert sofort an die relativistische Mechanik!

In der relativistischen Beschreibung laufen die Experimente in beiden Inertialsystemen gleich ab.

Beim Übergang von einem in des andere Koordinatensystem muss dierelativistische Lorentz-Transformation verwendet werden. Beim Übergangändern sich Masse, Zeit, Längen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungenund die Felder. Alles zusammen ergibt eine konsistente Beschreibung.

Bei der Transformation werden elektrische und magnetische Kräfte inein-ander umgewandelt. Man spricht daher von „elektromagnetischen Kräften“.

2001c

=με

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

1cv