Statistische Tests in der Phylogenie

Likelihood-Based Tests of Topologies in Phylogenetics

Nick Goldman, Jon P. Anderson, Allen G. Rodrigo

-Lisha Naduvilezhath

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Gliederung

1. Hintergrund-“wissen“- Signifikanz-/ Hypothesentest- Bootstrap

2. Verschiedene Tests- KH- / SH- / SOWH- Test- Beispiel HIV-1 / Säugetiere

3. Zusammenfassung/ Ausblick

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Thema

Seq1 : CGGTTCA… Seq2 : AGGTTCA… Seq3 : ATGTTCA… Seq4 : AGGTTCT…Seq5 : CGATTGA…

T1/ L1

T2/ L2LX ist log- Likelihood für TX

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Signifikanz-/ Hypothesentest Statistische Hypothese: Annahme

über Wahrscheinlichkeitsverteilung der Grundgesamtheit, die wahr oder falsch sein kann

Nullhypothese (H0): statistische Hypothese, die meist verworfen wirdz.B.: Aussage: „Münze präpariert“

Hypothese: Münze fairH0: p= 0,5 für Kopf

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Signifikanz-/ Hypothesentest

Alternativhypothese (HA, H1): jede von H0 andere Hypothese (z.B.: p<0,5)

Signifikanztest: Verfahren zum Errechnen, ob beobachtete Daten unter Annahme von H0 signifikant sind

Beobachtete Daten sind signifikant, wenn geneigt H0 abzulehnen

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Signifikanz-/ Hypothesentest

Signifikanzlevel/ -niveau/ Irrtumswahrscheinlichkeit (α): maximale WS mit der Hypothese abgelehnt wurde, die akzeptiert werden sollte; oft α=5% oder 1%

P-Wert: WS den beobachteten oder extremeren Wert anzutreffen/ kleinstes α, auf dem H0 abgelehnt wird

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Signifikanz-/ Hypothesentest

Einseitiger Test

Zweiseitiger Test

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Bootstrap Bootstrap- Gedanke: Neu erzeugte

Parameter sind genauso weit entfernt vom ML- Schätzer wie ML- vom wahren Parameter.

Nichtparametrischer (NP) Bootstrap: Bootstrap- Stichproben durch Ziehen mit Zurücklegen aus Originaldaten erzeugen

Parametrischer (P) Bootstrap (Monte Carlo Simulation): durch zugrunde gelegte Verteilung für benötigten Parameter Schätzung einsetzen und Bootstrap- Daten simulieren

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Bootstrap

In der Phylogenie:

Aufgrund der Verteilungsannahme parametrischer Tests abhängiger von zugrunde gelegten Modellen

Seq1 : C G G T T C A… Seq2 : A G G T T C A… Seq3 : A T G T T C A… Seq4 : A G G T T C T…Seq5 : C G A T T G A…

Site

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Kishino- Hasegawa Test (KH-Test)

Gegeben: Topologien T1 (L1) und T2(L2) Fragestellung: Unterstützen T1 und T2

die Daten gleichermaßen? H0: E[δ] =0 mit δ = L1 - L2

(HA: E[δ] =0)

keine Verteilung für δ gegeben in H0 nichtparametrischer Bootstrap

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KH- Test (=Test priNPfcd)1. Test Statistik: δ = L1 - L2 2. Mit NP-Bootstrap Datenmengen i

erzeugen3. Für jedes i:

- Schätzen von Θ1 und Θ2 für maximale log-likelihoods L1,(i) und L2,(i)

- δ(i)= L1,(i) - L2,(i)

4. Zentrieren der δ(i) Δ(i)

(Verteilung der Δ(i) ist Schätzung für δ- Verteilung)

5. Zwei-seitiger Test: Fällt δ in Konfidenz-intervall für E[δ]?

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Resampling estimated log-likelihood (RELL- Methode)

Zeitgewinn RELL-Methode:

für L1,(i) - bzw. L2,(i) - Berechnung stets

ΘML,1 und ΘML,2 verwenden (ΘML,X: optimierter Parameter für

Originaldaten) Vorrausetzung für Anwendung:

Korrektes Evolutionäres Modell Ausreichend große Datenmengen

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Test priNPncd1. Test Statistik: δ = L1 - L2 2. Mit NP-Bootstrap Datenmengen i

erzeugen3. Für jedes i:

- Mit ΘML,1 und ΘML,2 bestimmen von Ľ1,(i) und Ľ2,(i) („΄“ bedeutet

Schätzung) - δ̛(i)= Ľ1,(i) - Ľ2,(i)

4. Zentrieren der δ̛(i) Δ̛(i)5. Zwei-seitiger Test: Fällt δ in Konfidenz-

intervall für E[δ]?

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Test priNPncn Kishino und Hasegawa (1989):

δ ist normalverteilt (mit Varianz und Mittel abhängig von δ(i)) Zentralem Grenzwertsatz:

(normierte) Summe einer großen Zahl von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ist fast (standard) normalverteilt

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Test priNPncn

Im Test priNPncd letzten Schritt mit folgendem austauschen:

5. Berechne Varianz von Δ̛(i)

(=ν²) und teste, ob δ bei N(0, ν²)- Verteilung im Konfidenzintervall liegt

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Test priNPnca

:= log- Wahrscheinlichkeit am Site k von Baum TX

(k= 1,2,… S)

Zusätzliche Annahme: Varianz von δ mit Varianz über δ(k) berechenbar

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Test priNPnca

1. Test Statistik: δ = L1 - L2

2. Mit ΘML,1 und ΘML,2 bestimmen von L1(k) und L2(k) der Sites k der Originaldaten δ(k) = L1(k) - L2(k)

3. Zentrieren der δ(k) Δ(k)

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Test priNPnca

4. Schätzen der Varianz von Δ(k) (=Var(δ(k))) mit ν²= ΣK(Δ(k))²/(S-1) Varianz von δ = S * ν²

5. Zweiseitiger Test: Liegt δ im Konfidenzintervall bei einer N(0, S*ν²)- Verteilung?

Implementiert in PHYLIP, PUZZLE (MOLPHY)

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Test priNPncs Letzte beiden Schritte von Test

priNPnca ersetzen mit:4. paired- t- Test von L1(k) und L2(k)

(Paare {L1(1), L2(1)}, {L1(2), L2(2)},…,

{L1(S), L2(S)})

zur Überprüfung, ob Mittelwerte

gleich sind (E[μ1 - µ2] =0)

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Students t- Verteilung Nach dem

Pseudonym des „Entdeckers“ William S. Gosset benannt

m = Anzahl Freiheitsgrade (m ∞: Normverteilung)

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Test priNPncs

implementiert in PAUP*

Keine theoretische Erklärung

denkbar für zusätzliche Annahme Trotzdem ähnliche Signifikanzlevels

in Anwendung wie bei DNAML (Unterprogramm von PHYLIP)

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Falscher Gebrauch des KH-Tests

T1 und T2 müssen unabhängig voneinander UND ohne vorherige Analyse der Daten ausgewählt sein zur Rechtfertigung von H0

Falls TX = TML INKORREKTER KH-T

- Keine Ergebnisse stützen E[δ] =0, stattdessen E[δ] >0

! einseitige Tests erforderlich

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Korrektes Vorgehen Trainer: Unterscheiden

sich die Zeiten von Asterix und Obelix im 100m Sprint im Mittel signifikant?

Vorgehen: Über viele Rennen δ(Asterix, Obelix)= t(Asterix)- t(Obelix) (wenn gleich gut E[δ] 0)

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Korrektes Vorgehen

Team- Statistiker: H0: E[δ(Asterix, Obelix)] =0 HA: E[δ(Asterix, Obelix)] =0

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Verdeutlichen des Fehlers Trainer glaubt Idefix ist

schnellster δ(Idefix, schnellster)=

t(Idefix) – t(schnellster) Vermutung: wenn gleich

gut E[δ] 0 Team-Statistiker: Falsch!!

- Grund: Es gilt stets δ(Idefix, schnellster) ≥ 0

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Shimodaira- Hasegawa Test (SH- Test)

Vergleicht gleichzeitig alle Topologien einer Menge M (= Menge aller möglichen Topologien)

a priori Wahl der Topologien in M H0: alle Tx ε M sind gleichgute

Erklärungen

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SH- Test (=Test posNPfcd)

1. Für jedes TX ε M: δX:=LML – LX

2. Mit NP-Bootstrap Datenmengen i erzeugen

3. Für jedes i und jedes TX :

maximiere LX,(i) über ΘX

4. Für jedes TX : LX,(i) L ̃X,(i) durch Zentrieren (=Abziehen der Mittel über i von LX,(i))

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SH- Test (=Test posNPfcd)

5. Für jedes i:- Finde L ̃ML,(i) (Maximum über L ̃X,(i))- Bootstrap-Statistik: δX,(i)= L ̃ML,(i) - LX,(i)

6. Einseitiger Test (da, L ̃ML,(i) ≥ LX,(i)) :Liegt δX im Konfidenzintervall für E[δX] bei einer δX,(i)- Verteilung?

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Test posNPncd

Zeitgewinn mit RELL-Methode1. Für jedes TX ε M: δX:= LML – LX

2. Mit NP-Bootstrap Datenmengen i erzeugen

3. Für jedes i und jedes TX :

approximiere LX,(i) mit ΘML,X

4. Rest wie bei Test posNPncd

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SH- Test …

… schätzt gleichzeitig Signifikanzlevels für jede Topologie TX

… als modifizierte Version des KH- Tests mit a priori- gewählte T1 und a posteriori- gewählte TML (Unterschied: bei Verteilungsbestim-mung Menge aller Topologien M betrachtet)

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Rettung falscher KH- Test- Ergebnisse

Wenn P-Wert mindestens doppelt so groß wie Signifikanzlevel ist

Vorgehen: P-Wert des zweiseitigen Tests zu dem eines einseitigen abändern

den P-Wert p des falsch angewandten KH- Tests halbieren, da im SH- Test P- Wert ≥ p/2 beträgt

Beispiel: p/2 > 0,05 SH- Test erlaubt ebenfalls keine Ablehnung von H0

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Keine Rettung der KH- Ergebnisse

Wenn p/2 zu klein ist, d.h. p führt zur Ablehnung im KH-Test oder lag in der Nähe des Signifikanzlevels

Grund: SH- Test liefert Ergebnis ≥ p/2 Beispiel:

a. p< 0,05 p/2<0,025b. 0,05< p< 0,1 (keine H0-Ablehnung)

0,025< p/2< 0,05

Wie viel größer?

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SOWH- Test (=Test posPfud)

Von Swofford et al. beschrieben und Hillis et al. implementiert

Schätzt, ob a priori- gewählte Topologie T1 Daten unterstützt oder für andere verwerfen werden sollte

H0: T1 ist wahre TopologieHA: wahre Topologie ist andere

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SOWH- Test (=Test posPfud)

1. Test Statistik: δ = LML – L1

2. Mit P- Bootstrap und ML-Schätzer ΘML,1 Datenmengen i erzeugen

3. Für alle Tx: Schätzen von ΘX für maximale LX,(i)

4. Finde LML,(i)

5. δ(i) = LML,(i) - L1,(i) (Verteilung für δ)6. Einseitiger Test: δ signifikant?

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SOWH- Test (=Test posPfud)

Test Statistik δ wie bei KH und SH-Test Da TML benutzt Annahme E[δ] =0

nicht möglich Da P- Bootstrap keine Zentrierung Zeit für Maximierung über alle TX

Vorschlag 1: RELL-like für (a priori) T1

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Test posPpud (Schätzung unter H0)

1. Schritte 1 und 2 siehe Test posPfud 2. Für alle Tx/{T1}: Schätzen von ΘX

für maximale LX,(i)

3. Für T1 benutze ΘML,1 Ľ1,(i)

4. Finde LML,(i)

5. δ̛(i)= LML,(i) – Ľ1,(i) (Verteilung für δ)6. Einseitiger Test: δ signifikant?

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Test posPpud (Schätzung unter H0)

nicht besonders schneller Test posPnud unvernünftig, da

original TML (ΘML) weit entfernt von optimalen Werten der Bootstrap-Daten (mit T1 und Θ1 geschätzt)

Bekannt: Es gibt über verschiedene Topologien stabile Parameter (Bsp. Basenhäufigkeit)

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Test posPpud (Schätzung unter HA)

Alle Parameterkomponenten, die gleich für alle TX sind, feste Werte (von ΘML,1) zuweisen

Unterschied zum vorigen Test:- nur „freie“ Parameterwerte (Astlängen) werden maximiert

Wenn beide Tests H0 nicht verwerfen Wenn beide Tests H0

verwerfen ?

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Beispiel HIV-1 - DNA

Geg: 6 homologe DNA Sequenzen à 2000 bp von gag und pol Gen von HIV (A1, A2, B, D, E1, E2)

Alignieren Konventionelle Phylogenie:

T1= ((A1,A2), (B,D), (E1,E2))L1= -5073,75

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Beispiel HIV-1 - DNA ML Phylogenie:

TML=(A1, (B,D), (A2, (E1,E2)))LML= -5069,9

SH-Test: M enthält alle 105 möglichen Tx

Für ML-Berechnungen: Zeitreversibles Modell mit Γ- Verteilung unter den Sites zur Ratenheterogenitätsmodellierung

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Gamma (Γ) - Verteilung Kontinuierliche, reproduktive

Wahrscheinlichkeitsverteilung über positive reelle Zahlen

Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben durch

E(X)= α/β V(X)= α/β²

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Gamma (Γ) - Verteilung

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Beispiel HIV-1 - DNA ΘX: Astlängen, Basenhäufigkeiten, relative

Substitutionsrate zwischenNukleotidpaaren, α (Parameter für Γ- Verteilung)

1000 Bootstrap-Datenmengen erzeugt Für alle Test: Teststatistik

δ= LML -L1 = 3,90 α = 0,05

Da TML posteriori gewählt wurde KH- Test FALSCH!! (nur zum Vergleich)

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Beispiel HIV-1 - DNA

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Beispiel HIV-1 - DNA Mögliche Erklärungen für Unterschied in

SH- und SOWH- Testergebnis:- unterschiedliche H0- Hypothesen(- parametrische (SOWH-) Tests sind mächtiger als

nichtparametrische (SH-))

- parametrische Tests vom zugrunde gelegten Modell abhängig

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Beispiel HIV-1 - DNA

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Beispiel Säugetiere - aa

Geg: - 6 mt Proteinsequenzen à 3414 Aminosäuren (aa): Mensch(H), Seehund(S), Kuh(C), Hase(R), Maus(M), Opossum(O)

- (S, C) 15 mögliche TX

SH- Test: 15 TX gleichzeitig verglichen 7 TX nicht verworfen

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Beispiel Säugetiere - aa SOWH- Test:

- T1= ((H, ((S, C), R)), M, O) (a priori)- TML= (((H, (S, C)), R), M, O)

Mit „model of mammalian mt aa replacement + F + Γ “ (Yang et al. 1998):L1 = - 21727,26LML = - 21724,60

Teststatistik δ= LML -L1 = 2,66

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Beispiel Säugetiere - aa

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Zusammenfassung/ Ausblick Veröffentlichte KH- Test Ergebnisse mit

Vorsicht behandeln!! Alle zukünftigen Tests mit SH- oder

SOWH- Tests ausführen Untersuchung von Ergebnissen mit

kombinierten Tests Untersuchung der Unterschiede

zwischen SH- und SOWH- Testergebnissen