Stoch 1

Stochastik ganz kurz

ZufallsexperimentErgebnisseErgebnisraum (-menge) Ereignis

Beispiel diskretWürfelwurf

Beispiel stetigWassertemperatur

U

}6,4,2{},5,3,1{

}6,4,2{}6,5,3,1{

}5{]6:1[

{},}6,5{},5,3,1{

]6:1[}6,5,4,3,2,1{6,5,4,3,2,1

VU

disjunkt" r,unvereinba" Ø

är"komplement" ,\

oder"" ,und"" ,

Ø

,GU

UU

VUVU

Θ

]25,20[],10,0[]100,39()20,0[

]45,20[]39,25[

]100,0[

]39,20[],45,25[]100,0[

]100,0[

A

AWAW

AW

x

Stoch 2

Bsp. P{j} = 1/6, j=1,...,6, P{U} = 1/6+1/6+1/6=1/2; P{[a,b]}= (b-a)/100

P) , ,( Raum-W

disjunkt ,}P{ P 3.

1,)P( 2. , 0)P( 1. [0,1]:P Maß-W

allefür 3.

, 2. , 1.

Algebra"" Ereignisse

A

AA

AAAAA

A

ii

ii

i

iii

AAA

AA

AiA

AA

A

ΝΝ

ΝΝ

Stoch 3

.}P{}P{}|P{}|P{ :Bayes von Satz

}.P{}|P{}P{

:n W.der totale von Satz:0}P{ disjunkt, paarweise ,... Sei

3/11/21/6

}5,3,1P{}5{P

}5,3,1P{})5,3,1{}6,5{P(U}|P{V Bsp.

}}/P{P{}P{ W.Bedingte

1

21

UAAUUA

AAUU

AAAAA

UUVV|U

iii

ik

ii

iik

Stoch 4

1 5/6 1/2 1/6 }P{)( 3 2 1 0

}P{)( sfunktion Verteilung

1/6 1/3 1/3 1/6 }P{ 3 2 1 0

Verteilung1/3.1/61/6 P{4,5} )}2(P{ 2}P{

,]3:0[)( Wertmenge,3),(0,1,1,2,2 :2 div Augennzahl

,]6:1[ f, Würfelwur:diskret Beispiel,: Abbildung )(Gutartige

stetigoder diskret (ZV), iableZufallsvar

1

xXxFx

pxXxF

xXpx

XX

XWX

X

X

xy

yX

x

Stoch 5

Stoch 6

xxx

xf

xFdxdxf

dyyfxFSxf

xxxx

xF

WtttS

S

SS

x

ySSS

S

S

1für 010für 10für 0

)( :Beispiel

)(

,)()( : Vstetiger Z bei Dichte

1für 1

10für 0für 0

)(

],1,0[ , ,100/)( ],100,0[peratur WassertemRaum- W:stetig Beispiel,

Stoch 7

Stoch 8

/e /x

/e1 x

Stoch 9

dxxfbaXb

aX ]},[P{

Stoch 10

Seien X1,...,Xn IID, exponentiell verteilt. Dann istY = X1+...+Xn Erlang-n-verteilt; der Variationskoefizient ist 1/n.

Seien X1 und X2 unabhängig und exponentiell verteilt mit i. allg. unterschiedlichen Mittelwerten. Dann ist

pXpX

Y1 mit W. mit W.

2

1

hyperexponentiell verteilt; der Variationskoefizient ist 1.

Stoch 11

5.002/1|2/1

5.16/133/123/116/10Beispiele

...oder ]E[

]E[

)](E[ (EW) werteErwartungs

10

21

0

xdxx

dxxfxS

pxX

Xg

S

X

SWx

S

WxxX

S

X

Stoch 12

.0 falls / ent)-skoeffiziVariation(. bweichung)(Standarda Streuung

.Mittelwertden um Streuung diefür Maßein ,][E])[(E

Varianz Beispiel)](E[)](E[)]()(E[ lRechenrege

)()](E[

)()](E[

rAllgemeine

2

22222

YYY

SWx

Wxx

YY

YhbYgaYhbYga

dxxfxgSg

pxgXg

S

X

Stoch 13

Stoch 14

.5.0)(mit Wert kleinsteDer :Median 5.0 xFxx X

.5.0)(mit Wert kleinsteDer :Median 5.0 xFxx X

a-Quantil xa, 0< a <1:Der kleinste Wert xa mit F(xa) a

Stoch 15

1/21/210

}P{

1/61/332

1/31/610

}P{

},P{}P{

allgemein 1/3,2}P{ ,2/1}1P{ z.B. iten,heinlichkeRandwahrsc

1/6

(0,3)

1/6(1,2)

1/6

(0,2)

1/6(1,1)

1/6

(0,1)

1/6(1,0)

},P{

),(Verteilung Gemeinsame

306

215

204

113

102

011

2 div )( ,2 mod )( f, WürfelwurBeispiel

},P{),( (VF)sfunktion Verteilung. )),(),((toren Zufallsvek

,),(

,

,

,

zZz

yYy

zZxYyY

ZYzZyY

Wzy

zyx

xxZxxY

zZyYzyFxxZxY

yxWzx

ZY

ZY

ZY

Stoch 16

}.,P{),()],(E[:ZVektorendiskreten bei werteErwartungs

.61

21}0P{}1P{6/1}0,1P{

Beispiel}.P{}P{},P{

ZVektorendiskreten bei äquivalentoder

, gdw. unabhängigch stochastis ,

., ,,,für und für sfunktion Verteilung

,),(

,

,,

zZyYzygZYg

ZYZY

zZyYzZyY

zFyFzyFZY

zFzFyFyFlungenRandverteiZY

ZYWzy

ZYZY

ZYZZYY

Stoch 17

.unabhängig und wenn ,

],KOV[2

).korreliert positivoder nicht negativ, und (

1,1 ,],KOV[, zient)n(-skoeffiKorrelatio

nicht.gilt Umkehrungdie ;0],KOV[unabhängig und . und it von Abhängigke lineare diefür Maßein

,]E[)])(E[(],KOV[ Kovarianz.unabhängig und nur wenn ]E[]E[]E[

existent, immer wenn ]E[]E[]E[

22

222

ZY

ZY

ZY

ZYZYZY

ZYZYZYYZZYZY

ZYZYZYZYZY

ZY

ZYZY

ZY

ZYZY

Stoch 18.unabhängig und falls ]E[]E[]E[

usw., ],E[]E[]E[ ,]E[]E[

, ,]E[!

1

Eindeutig,

. ,]E[ :für Funktion Erzeugende

.}P{}P{}P{

er ZVunabhängig Faltung

12

22

1

0

0

,

YXzzz

XzdzdXz

dzdX

Wxzdzd

xp

zzpzW

yxZyYxZY

YXYX

XX

XX

x

x

x

x

xx

XX

WyxWy

ZY

Ν

Stoch 19

.,),()],(E[

nd.entspreche

,, vorneion wielungsfunktRandvertei

nd.entspreche ,, Randdichte

stetig. wo,,

,,,},P{

:orenufallsvektstetigen Z bei , Dichte Gemeinsame

,

,

,

,,

,,

,

dydzzyfzygZYg

zF

yFyF

zfdzzyfyf

zyFzy

zyf

dudvvufzyFzZyY

zyf

ZY

Z

ZYY

ZZYY

ZYZY

y z

ZYZY

ZY

Stoch 20

.unabhängig und wenn ]]E[E[]E[

existent, wenn ]E[)1(]E[

imaginär). ,],E[ (ähnlich,Funktion stischecharakterisonst

, ,für ]E[ erteTransformi-Stieltjes-Laplace

.unabhängig und wenn Faltung

.,F wenn

oder , gdw. unabhängigch stochastis und

)(

0

00

,

,

YXeee

eddX

We

We

ZYdyyxfyfxf

zFyFzy

zfyfzyfZY

YXYX

Xn

nnn

XX

XX

ZYZY

ZYZY

ZYZY

Stoch 21ngsmodell.Lagerhaltu im en Gesamtkost monatliche Beispiel

Wertmenge.diskreter undt licher Zeikontinuiermit

);( der WS,in Kunden den der warten Anzahl Beispieltmenge.licher Werkontinuier undZeit diskreter mit

iten;ankunftsze Zwischen unden Bedienzeit wobei,...,2,1 },0,max{

,0 einer WS,in en WartezeitBeispiel Zeit (stetiger)licher kontinuiermit }0 ),({

oder ,...}2,1,0{ Zeit,diskreter mit ,...,:aum Zustandsrdem

, tmengelichen Werkontinuieroder diskreten derselben mit nlsvariable von ZufalFamilie Eine :Prozeßcher Stochastis

11

1

0

21

i

ii

iiii

C

tQ

ASiASDD

DttX

XX

W

T

T

Stoch 22

n.Korrelatio bzw. Kovarianz und daher Hier eit.stetiger Zmit Ähnlich

. von unabhängig ,...,2,1,0 ,...,2,1 ],,KOV[ endlich, ,...,2,1

endlich, ,...,2,1 , :Zeitdiskreter mit ,..., Prozesscher Stochastis tationärerKovarianzs

,

,22

i

21

jj

jiijii

i

C

ijiXXCi

iXX

Stoch 23

Bedieners. des Auslastung dieist ]]/E[E[ AS

Stoch 24

Vereinfachte Lager-haltungsstrategie (s,S)

Stoch 25

Stochastische Prozesse, die sich bei einer Simulationergeben, sind sicher im allgemeinen nicht kovarianz-stationär, höchstens nach der Einschwingphase näherungsweise.

Stoch 26

Normalverteilung

Stoch 27

N(0,1) heißt Standard-Normalverteilung. Verteilungsfunktion aus Tabellen.

Chi_Quadrat-Verteilung

Tabellen. aussfunktion Verteilung raden.Freiheitsg mit verteilt -quadrat-chiist ...

verteilt,-N(0,1) IID ,...,22

12n

1

nXX

XX

n

n

Student´sche t-Verteilung

sind. unabhängig und undist verteilt -N(0,1) wobei

raden,Freiheitsgn mit verteilt -ist t /

2n

2n

XX

n

XTn

Stoch 28

Schätzer, Schätzfunktionen

Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe) mit endlichemErwartungswert und endlicher Varianz 2.Das Stichprobenmittel (sample mean)

n

XnX

n

ii

1)(

ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert ,d.h.

)]([E nX

sogar wenn die ZV abhängig sind.

Stoch 29

Die Stichprobenvarianz

1

)]([)( 1

2

2

n

nXXnS

n

ii

ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz,

Das gilt aber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist

.)](E[ 22 nS

1

)/1(21)](E[

1

122

n

njnS

n

j j

Immerhin, wenn die Summe konvergiert, ist der Schätzerasymptotisch erwartungstreu (konsistent).

Stoch 30

Für die Varianz des Stichprobenmittels giltaber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist

Die Varianz des Stichprobenmittels ist sehr wichtig für dieBeurteilung der statistischen Güte von Simulationsergebnissen,nämlich für Vertrauensintervalle.

.)/1(21

)](VAR[1

12

n

njnX

n

j j

Da es schwierig ist, die Korrelationen j zu schätzen, ist dieAnwendung dieser Formel nicht einfach.Abhilfe: Durch mehrere unabhängige Simulationsläufe(Replikationen) werden unabhängige Ergebnisse erzwungen.

,/)](VAR[ 2 nnX

Stoch 31

Schätzung der Korrelationen j für große Stichproben:

Da dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, muß n groß sein.

Stoch 32

Beispiel mit kleinem n:

Stoch 33

Vertrauensintervalle (VI) Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe), normalverteiltmit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz 2>0.

nznX /)( 22/1

ist ein Vertrauensintervall für den EW zum Niveau 1-, d.h.

1/)(/)(P 22/1

22/1 nznXnznX

Hier ergibt sich das (1- /2)-Quantilaus

2/1 z

,2/1)( 2/1 zist. eilungNormalvert-Standardder sfunktion Verteilung die wobei

Stoch 34

Stoch 35

Ist die Varianz 2 unbekannt, so ist das (1-)-Vertrauensintervall

nnStnX n /)()( 22/1,1

nnStnX n /)()( 22/1,1

Stoch 36

Ist die mathematische Stichprobe X1,...,Xn nicht normalverteilt,so gilt aber der zentrale Grenzwertsatz:

Satz Sei Fn(z) die Verteilungsfunktion der ZV

Damit gilt .mit )()( nzzFn

.//])([ 2 nnX

Unter diesen Umständen sind die oben angegebenen VI nurNäherungen, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist nur ungefähr1-.

Sind die X1,...,Xn nicht unabhängig, gelten die VI gar nicht.Dieser Fall wird mit besonderen Methoden behandelt.

Stoch 37

Ein Statistischer Test ist ein Verfahren zur Überprüfung einer (Null-)Hypothese H0 über die Verteilung einer ZV X.

Beispiele: - E[X]= 0, 0 gegeben.

- Die ZV X und Y sind unabhängig. - Die ZV X ist exponentiell verteilt mit Mittelwert .Ergebnis des Tests: „ H0 ist abzulehnen“ oder

„ Der Test ergibt keinen Grund, H0 abzulehnen“

Für die Durchführung wird eine Meßreihe x1,...,xn erhoben;

das ist eine Realisation einer mathematische Stichprobe X1,...,Xn,

(oder auch Zufallsvektoren, (x1,y1),...,(xn,yn), (X1,Y1),...,(Xn,Yn) ).

Stoch 38

Zu jedem Test gibt es eine Testfunktion (Testgröße) T=T(X1,..., Xn),

eine ZV mit bekannter Verteilung.Alle Meßreihen, für die die Nullhypothese H0 abgelehnt wird,

bilden den kritischen Bereich (Ablehnungsbereich) der Testfunktion K={T( x1,...,xn ) | H0 ist abzulehnen }.

Der Ablehnungsbereich K wird so gewählt, daß die W., daß T(X1,..., Xn) K, wenn H0 zutrifft, klein ist,

und daß sie durch beschränkt ist: P{T(X1,..., Xn) K} .

heißt Testniveau, 1- Sicherheitswahrscheinlichkeit. zum Beispiel 0.05, 0.01, 0.001 (5%, 1%, 1‰).

Stoch 39

Wenn die Nullhypothese H0 zutrifft, wird sie mit der kleinen W.

P{T(X1,..., Xn) K} abgelehnt. Folglich produziert der Test falsche Ergebnisse.

Diesen Fehler nennt man Fehler 1. Art. Er tritt mit einer W. von höchstens auf.

Es passiert aber auch, daß die Nullhypothese H0 nicht zutrifft, und der Test das Ergebnis „Es gibt keinen Grund, H0 abzulehnen“ hat. Dabei spricht man von einem Fehler 2. Art.

Stoch 40

Beispiel t-Test 1) Mathematische Stichprobe N(,2)-verteilt2) Nullhypothese H0 : = 0

3) Testfunktion

zutrifft. Henn verteilt wt/)(

)(),...,T(

01

20

1

n

nnnS

nXXX

2/1;11 t),...,T( :onTestfunktider Bereich Kritischer )4

nnXX

Letzteres ist das (1-/2) - Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.5) H0 wir verworfen, wenn mit der Meßreihe sonst wird nichts gegen H0 eingewendet

,t),...,T( 2/1;11 nnxx

Stoch 41

Beispiel Chi-Quadrat-UnabhängigkeitstestMathematische Stichprobe: (X1,Y1),..., (Xn,Yn).

Nullhypothese H0 : Die ZV X und Y sind unabhängig.

Testfunktion : Die Wertebereiche W(X) und W(Y) werden in disjunkte Intervalle zerlegt:

W(X)=I1I2... Ia, W(Y) =J 1 J 2... Jb.

Zählen, wie oft Xk in Ii liegt: Ni. Mal,

Yk in Jj: N. j Mal,

(Xk, Yk) in Ii Jj: Ni, j Mal, k=1,...,n.

2

1 1

,

11 )],(),...,,Q[(

a

i

b

j ji

jiji

nn

nN

nN

nN

nN

nN

YXYX

Stoch 42

Kritischer Bereich der Testfunktion:Q[(X1,Y1),..., (Xn,Yn)] > , wobei das (1- )-Quantil der Chi-Quadrat-

Verteilung mit (a-1)(b-1) Freiheitsgraden ist.Nullhypothese H0 ablehnen, wenn Q[(x1,y1),..., (xn,yn)] > für eine Meßreihe

(x1,y1),..., (xn,yn) ist.