strömung zw. scheiben

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Acta 5~echanica 12, 33--51 (1971) 9 by Springer-Verlag 1971 Die StrSmung zwischen zwei parallelen, rotierenden Scheiben Von M. Kiihler, Karlsruhe, BRD M~it 19 Abbildungen Eingegangen am 20. Januar 1970) Zusammenfassung -- Summary Die Striimung zwischen zwei parallelen rotierenden Scheiben. Es wird die StrSmung einer inkompressiblen, zi~hen Flfissigkeit zwischen zwei parallelen Seheiben, die eine zentrale Bohrung haben und mit gleicher Winkelgeschwindigkeit rotieren, theoretisch und experi- mentel! untersueht. Ftir die laminate Str6mung haben BR~,IT~ und POHL~AVSE~ eine L6sung angegeben. Im turbulenten Fall wird die Str5mung mit Hilfe des Impulssatzes der Grenzschichttheorie berechnet. Beide Reehnungen werden dureh Ausmessen der Geschwindig- keitsverteilung fiber dem Spaltquerschnitt mittels der Hitzdrahttechn~k iiberprfift nnd in ihrer Branchbarkeit bestgtigt. Im Ubergangsgebiet zwisehen laminarer und turbulenter StrSmungsform ergeben sich relativ zu den umlaufenden Scheiben stehende, spiralige Wirbel. Die Untersuchungen haben praktische Bedeutung, da die beschriebene Anordnung des Scheibenpaares identisch ist mit dem Spaltelement einer Reibungspumpe nach T~SLA. The Flow of an Incompressible Viscous Fluid between Two Parallel Discs. This problem, where the discs have a circular inlet hole and rotate at the same angular velocity, is investi- gated both theoretically and experimentally. The solution of the Navier-Stokes-equations for the laminar flow, found by BR~ITER and POlZLgAUSEX, is discussed. The turbulent flow is determined by solving the momentum equations of the boundary layer. The theoretical investigations are proved as right by measuring the velocity distribution in the space between the rotating discs with a hot-wire. In the region between laminar and turbulent flow spiral vortices exist, which are at rest in relation to the rotating discs. The investigations are of practical interest because the two rotating discs are identical with an element of a shear force pump according to TESLA. b Spaltweite d halbe Spaltweite r radiale Koordinate azimutale Koordinate z axiale Koordinate c Absolutgeschwindigkeit u Umfangsgesehwindigkeit w Relativgeschwindigkeit n Drehzahl p Druck Volumenstrom Formelzeichen * Gekfirzte Fassung der yon der Fakultgt Ifir )r und Verfahrenstechnik der Universitgt Karlsruhe genehmigten Dissertation.

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A c t a 5 ~ e c h a n i c a 1 2 , 3 3 - - 5 1 ( 1 9 7 1 )

9 b y S p r i n g e r - V e r l a g 19 71

D i e S t r S m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l l el e n , r o ti er e n d e n S c h e i b e n *

V o n

M . K i i h le r , K a r l s r u h e , B R D

M ~it 1 9 A b b i l d u n g e n

( E i n g e g a n g e n a m 2 0 . J a n u a r 1 9 7 0 )

Z u s a m m e n f a s su n g - - S u m m a r y

D i e S t r i im u n g z w i s c h e n z w e i p a r a ll e le n , r o t i er e n d e n S c h e i b en . E s w i r d d i e S t r S m u n g

e i n e r i n k o m p r e s s i b l e n , z i~ he n F lf i s s ig k e i t z w i s c h e n z w e i p a r a l l e l e n S e h e i b e n , d i e e i n e z e n t r a l e

B o h r u n g h a b e n u n d m i t g l e i c h e r W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t r o t ie r e n , t h e o r e t is c h u n d e x p e r i-

m e n t e l ! u n t e rs u e h t . F t i r d ie l a m i n a t e S t r 6 m u n g h a b e n B R ~ , I T ~ u n d P OH L~ AV SE ~ e i n e

L 6 s u n g a n g e g e b e n . I m t u r b u l e n t e n F a l l w i r d d ie S t r5 m u n g m i t H i l f e d e s I m p u l s s a t z e s d e r

G r e n z s c h i c h t t h e o r i e b e r e c h n e t . B e i d e R e e h n u n g e n w e r d e n d u r e h A u s m e s s e n d e r G e s c hw i n d ig -

k e i t s v e r t e il u n g f i be r d e m S p a l t q u e r s c h n i t t m i t t e l s d e r H i t z d r a h t t e c h n ~ k i i b e rp r f if t n n d i n

i h r e r B r a n c h b a r k e i t b e s t g t i g t. I m U b e r g a n g s g e b i e t z w i se h e n l a m i n a r e r u n d t u r b u l e n t e rS t r S m u n g s f o r m e r g e b e n s ic h r e l a t i v z u d e n u m l a u f e n d e n S c h e i b e n s te h e n d e , s p i r a li g e W i r b e l .

D i e U n t e r s u c h u n g e n h a b e n p r a k t i s c h e B e d e u t u n g , d a d i e b e s c h ri e b e n e A n o r d n u n g d e s

S c h e i b e n p a a r e s i d e n t is c h i s t m i t d e m S p a l t e l e m e n t e i n e r R e i b u n g s p u m p e n a c h T ~ SL A.

T h e F l o w o f a n I n c o m p r e s s i b le V i s c o u s F l u i d b e t w e e n T w o P a r a l l e l D i s c s . T h is p r o b l e m ,

w h e r e t h e d is c s h a v e a c i r c u l a r i n l e t h o le a n d r o t a t e a t t h e s a m e a n g u l a r v e l o c i t y , i s i n v e s ti -

g a t e d b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . T h e s o l u ti o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s - e q u a t i o n s f o r

t h e l a m i n a r f lo w , f o u n d b y B R ~I TE R a n d P O lZ Lg A US EX , i s d i s c u ss e d . T h e t u r b u l e n t f l o w is

d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s o f t h e b o u n d a r y l a y e r . T h e t h e o r e t i c a l

i n v e s t i g a t io n s a r e p r o v e d a s ri g h t b y m e a s u r i n g t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n t h e s p a c e b e t w e e n

t h e r o t a t i n g d is c s w i t h a h o t - w i r e . I n t h e r e g i o n b e t w e e n l a m i n a r a n d t u r b u l e n t f l o w s p i ra l

v o r t i c e s e x i s t , w h i c h a r e a t r e s t i n r e l a t i o n t o t h e r o t a t i n g d i s c s . T h e i n v e s t i g a t i o n s a r e o fp r a c t i c a l i n t e re s t b e ca u s e t h e t w o r o t a t i n g d i sc s a r e i d e n ti c a l w i t h a n e l e m e n t o f a s h e a r

f o r c e p u m p a c c o r d i n g t o T E SL A .

b S p a l t w e i t e

d h a l b e S p a l t w e i t e

r r a d i a le K o o r d i n a t e

a z i m u t a l e K o o r d i n a t e

z a x i a le K o o r d i n a t e

c A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t

u U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i tw R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t

n D r e h z a h l

p D r u c k

V o l u m e n s t r o m

F o r m e l z e i c h e n

* G e k f i rz t e F a s s u n g d e r y o n d e r F a k u l t g t I fi r ) r u n d V e r f a h r e n s t e c h n i k d e r

U n i v e r s i t g t K a r l s r u h e g e n e h m i g t e n D i s s e r t a t i o n .

Acta Mech. XII/i--2 3

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34 M. K~iHLEIr

M DrehmomentR l~ohrradiusfl Mitnahme-Faktor in Umfangsrichtung

GrenzschichtdickeWirkungsgradv kinematische Z~higkeito Dichte des F6rdermediumsco Winkelges hwindigkeitq) Abstr6mwinkelr o Wandschubspannung

?

2~g(P)

Re _ r.o %.b

Abki irzungen

9 ~ mi t g(P)=sinh(2P) -- sin(2P)

cosh(2P) + cos(2P)

Indizes

0 Eintritt1 Stel le , ei der Einlaufvorgang beendet2 Austrittr radiale I~ichtungq~ azimutale Richtungstar statischdyn dynamischges gesamtmax maximalS ScheibeSP Scheibenpa~r

1 . E in l e i tung

Versetzt man zwei parallel zueinander angeordnete Seheiben mit zentraler

Bohr ung (vgl. Abb. 1) in gleichf6rmige Rotat ion, so wird aus der Umgebu ng

Flfissigkeit dureh die Bohrungen in den Spaltquersehnitt eingesogen. Die Flfissig-

keitsteilehen werden hier auf Grund der Z/~higkeitskr/~fte in Umfangs richtung

mitgenommen und unterliegen dabei der Zentrifugalbeschleunigung, so dab sie

mit zunehmender Absolutgesehwindigkeit auI Spiralbahnen naeh aul3en bef6rdert

werden. Das Ziel der folgenden Arbeit ist es, die Str6mung zwischen zwei parM-

lelen, synchron rotierenden Scheiben bei radialem DurchfluB yon innen naeh

augen zu untersuehen.

2. B e r e c h n u n g

2.1. Lam ina re St r 6mu ng

2.1.1. Vorbemerkungen

BREITE~ und POHLHAUSEN [1 ] gehen bei der Berechnung der ]aminaren

Str6mung zwischen zwei parallelen, rotierenden Seheiben von den Navier-Stokes-

Gleiehungen aus. Mit Hilfe der P~ANDTLschen Grenzsehiehtannahmen lassen sich

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Die StrSmung zwisehen zwei loarallelen, rotierenden Scheiben 35

~ --__I " 4 ~ ~ . _ _ ~

t o o

r ~ c ~ q o ~ % z ~ c z - - A b s o l u t s t r o m l i n i e

c = f C r 2 + c ~ 2 + C z2 . . . . . . R e l a t i v s t r o m i i n i e

Abb. 1. Bezeichnungen, K oord inaten und G eschwindigkeiten

d i e A u s g a n g s g l e i c h u n g e n s o w e i t v e r e i n f a e h e n , d a b e i n e L S s u n g m 6 g l i c h is t . D i e

i n d e r I ~ e e h n u n g v e r w e n d e t e n B e z e i e h n u n g e n , K o o r d i n a t e n u n d G e s c h w i n d ig -

k e i t e n s i n d A b b . 1 z u e n t n e h m e n .E s w e r d e n f o lg e n d e V o r a u s s e tz u n g e n g e m a e h t :

1. D i e S t r 6 m u n g s e i l a m i n a r .

2 . D i e D i c h t e d e s F 6 r d e r m e d i u m s s e i k o n s t a n t .

3 . D i e S t r 6 m u n g s e i s t a t i o n g r .

4 . D i e S t r S m u n g s e i r o t a t i o n s s y m m e t r i s e h .

5 . A m E i n t r i t t s r a d i u s s e ie n f o l g e n de G e s c h w i n d i g k e i te n v o r g e g e b e n :

cro ~ c o n s t , C~o = CZo ~ 0 .

6 . D i e S p a l t w c i t e s e i k l e i n g e g e n r o u n d r , s o d a b d i e G r e n z s c h i e h t v e r n a c h -

1 / i ss igungen zu l / i ss ig s ind .7 . D i e S c h e i b e n s e i e n g l a r e .

8 . D e r E i n fl ul 3 d e s S c h w e r e f e l d e s d e r E r d e s e i k l e in .

2 .1 .2 . L i n e a r i s i e r t e R e c h n u n g

I n A b s c h n i t t 2 .1 .1 w u r d e n d ie V o r a u s s e t z u n g e n a n g e g e be n . N i m m t m a n z u -

s /~ t zl ie h a n , d a b b e i g r o B e n R a d i e n v e r h / ~ l t n i s s e n r / r o a ll e R e l a t i v g e s e h w i n d i g k e i t e n

k l e in s i n d g e g e n t ib e r d e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S e h e i b e n, s o k a n n m a n d ie

G l e i e h u n g e n l i n e a r i s i e r e n u n d g e s e h l o s s e n 1 6se n. A u f E i n z e l h e i t e n d e r B e r e c h n u n gs e i h i e r n i e h ~ e i n g e g a n g e n , s o n d e r n e s w e r d e g l e i c h d a s E r g e b n i s d i e s e r l i n e a r i -

s i e rt e n R e e h n u n g a n g e g e b en . I n A b b . 2 w i rd d e r V e r l a u f d e r R a d i a l k o m p o n e n t e c r

t i b e r d e r S p a l t w e i t e g e z e i g t .

M a n s i e h t , d a 6 d i e F o r m d e r G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f f l e a l l e i n y o n d e m P a r a -

m e t e r P = d . ~ 0 / ~ a b h g n g t . D e r D u r c h f l u 6 g e h t l ed ig li eh a ls M a 6 s t a b s -

f a k t o r e i n . B i s a u f e i n e n Z ~ h l e n f a k t o r l ~l~ t s i e h P d e u t e n a l s d a s V e r h / ~ lt n is d e r

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36 l~I. KSELEI~

0 . 6

O.5

O . , ~

. ~ 0 ,3

0

Q ::

- % . o - o ,8

d . ~ - ~ = 1. . . . .

S p a l tw e i t e 2 d

\ T r

-5f

~ - = 1 I

fII

-0.2 o

z / d

-0,6 -0,~ 0,2 0,4 0.6 0,8 t,O

Abb. 2. Verlauf der l~adialgeschwindigkeit fiber der Spaltwei te

S p a l t w e i t e z u r D i c k e d e r l a m i n a r e n G r e n z s c h i c h t b e i d e r e i n z e l n e n , r o t i e r e n d e n

S c h e ib e . D o r t i s t d ie G r e n z s c h i c h t d i c k e d ~-~ ]/~ @~ u n a b h g n g i g v o m R a d i u s r .D i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g z e ig t , d a b d i e G e s c h w i n d i g k e i t b e i k l e i n e m P y o n

d e n S c h e i b e n z u r S p a l t m i t t e s t e t i g z u n i m m t . B e i g r oB e n W e r t e n y o n P s i nd b r e i te

G e b i e t e i n d e r S p a l t m i t t e a m F S r d e r v o r g a n g g a r n i c h t b e t e il i gt , j a es i s t s o g a r

R i i c k s t r S m u n g m S g l i c h .

A b b . 3 z e ig t d e n V e r ] a u f d e r R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t i n U m f a n g s r i c h t u n g .

~ J

- O . 2

" ~ - 0 , 6

- 0 , 8

- 1 , o

. .~ -1.2Q :

-0 .8

= Z l i d = -

-0 ,6 -Og - 0 , 2 0 0,2 Og 0 ,6 0 ,8

J1,0

S p a [ t w e i t e 2 d

Abb. 3. Verlauf der rel. Tangentialgeschwindigkeit fiber der Spaltweite

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Die Str6 m ung zwisehen zwei p~rallelen, rotierenden Scheiben 37

A u e h b i e r s ie h t m a n , d a g b e i g r o g e n P a r a m e t e r n P d a s F 6 r d e r m e d i u m i n

U m f a n g s r i e h t u n g n u r w e n ig m i t g e n o m m e n w i rd . D e f in i e rt m a n f f ir d a s S e h e ib e n -

p a a r e in e n W i r k u n g s g r a d

Z ~ P g e s 9 I?, ( 1 )

s o l ie f e r t e in e O p t i m a l b e t r a e h t u n g f f ir P = n / 2 d ie b e s t e n W i r k u n g s g r a d e .

2 . 1 .3 . N u m e r i s c h e R e c h n u n g / ii r d i e n i c h t li n e a r e n A u s g a n g s g l e i c h u n g e n

D i e l in e a r i si e r te R e c h n u n g g i b t f ti r g ro B e R a d i e n v e r h g l t n i s s e e i n e n U b e r b l i c k

f ib e r d e n S t r 6 m u n g s v e r l a u f z w i s eh e n d e n S c h e i b e n . I n d e r N g h e d e s E i n l a u f r a d i u s

r 0 s t i m m t d i e A n n a h m e , d a b d ie l ~ e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i te n k l e in s i nd g e g e n f ib e rd e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S e h e ib e n , s ie h e r n i c h t . D i e R a d i a l k o m p o n e n t e ero

r i c h t e r s i e h n a e h d e r G r S B e d e s D u r c h f l u s s e s u n d k a n n g r S g e r s e i n a ] s d i e U m -

f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t r 0 - c o o a m E i n t r i t t s r a d i u s . D i e r e l a t i v e T a n g e n t i M k o m p o -

n e n t e i s t l a u t V o r a u s s e t z u n g g l e i c h d e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S c h e i b e n .

B RE IT ER u n d P O ~ L H A V S ~ h a b e n d a h e r i n d e r N g h e d e s E i n t r i t t s r a d i u s b i s z u

R a d i e n v e r h g l t n i s s e n r / r o = 5 e i n e n u m e r i s c h e I ~ e c h n u n g fi i r d i e n i c h t I i n e a r e n

A u s g a n g s g l e i e h u n g e n d u r c h g e f f ih r t , u n d z w a r f /J r d e n p r a k t i s c h i n t e r e s s ie r e n d e n

B e r e ie h 0 < P ~ 2 . I n A b b . 4 i s t f fir P = 1 u n d C~o/ro~o = - 1 z . B . d er

E i n l a u f v o r g a n g d ~ r g e st e lt t.

2

~2

ID

" 0

0

l,Z,

7.2

r / r o

1 , 0 1 , 0 2

0 .8

O .6 i ,o~/

o

-I,o

/ / f

Coo = : p= 1.o

+ +

- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 2 0 0 , 2 O A 0 , 6 0 . 8

z / d " ~

7 ,O

Abb. 4. Verlauf der l~adialgeschwindigkeit fiber der Spaltweite in der Nghe yon r/r o >= 1

D i e I ~ a d i M k o m p o n e n t e d e r G e s e h w i n d i g k e i t h a t f i i r r / r o = 1 e i n r e e h t e c k -

f 6 r m i g e s A n f a n g s w e r t p r o f i l . D i e s e s w i r d s e h n e l l i n e i n p a r a b e l f 6 r m i g e s u m -

g e w a n d e l t . B e r e i ts b e i d e m R a d i u s v e r h g l t n i s r / r o = 1 ,1 i s t d e r E i n l a n f v o r g a n g

b e e n d e t . D i e G e s e h w i n d i g k e it s p r o fi l e b e i g rS g e r e n i ~ a d i e n v e r h g l t n i ss e n s i nd d a n n

u n t e r e i n a n d e r i n n e r h a l b d e r n u m e r i s e h e n G e n a u i g k e i t g h n l i e h u n d w e r d e n e n t -

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38 )/J:.K6HLE~:

s p r e e h e n d d e r K o n t i n u i t ~ t s g l e i e h u n g m i t z u n e h m e n d e m R a d i u s f i a e h e r . S i e

s t i m m e n i n i h r e r F o r m m i t d e n e n a u s d e r l i n e a r i s i e r t e n R e e h n u n g f i b e r e i n .

F f i h r t m a n d ie s e B e t r a e h t u n g f fi r a ll e i n d e r R e e h n u n g b e r f ie k s i e h t ig t e n P a r a -

m e t e r P u n d a ll e D u r e h f l u B w e r t e Cro/ro(oo d u t c h , s o l ~ g t si eh z u s a m m e n f a s s e n d

f o lg e n d e s s a g e n : D i e l i n e a ri s ie r t e R e e h n u n g f fi r g ro B e R a d i e n v e r M l t n i s s e w i r d

d u t c h d i e n u m e r i s e h e R e e h n u n g f f ir 0 < P = < 2 b i s a u f di e u n m i t t e l b a r e N ~ h e

y o n r 0 b e s t ~ t i g t . D i e r a d i a l e E r s t r e e k u n g d i e se s E i n l a u f b e r e i e h e s i s t u m s o k l e i n e r

j e k le i ne r s o w o h l d e r P a r a m e t e r P a l s a u e h d e r D u r e h f lu g Go~roe% gew/~h l t wi rd .

E i n S p a l t e l e m e n t e i n e r R e i b u n g s p u m p e w i e s ie T E S L a [2 ] e r s t m a l s k o n z i p ie r t e ,

m i i B te z u r E r z i e lu n g h o h e r W i r k u n g s g r a d e s o a u s g e l e g t w e r d e n , d a b P d e n W e r t

~ / 2 a n n i m m t u n d d e r V o l u m e n s t r o m k l e i n i s t . B e i d e r p r a k t i s e h e n A n w e n d u n g

w i r d d a h e r d e r E i n l a u f v o r g a n g i. a . b e i k l e in e n R a d i e n v e r h s r / r e ~ 1,1

b e e n d e t s e i n u n d d i e l i n e a r i s i e r t e g e e h n u n g b r a u e h b a r e E r g e b n i s s e l i e f e r n .N i t d o n s o e r m i t t e l t e n G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l e n k a n n m a n P s t, t, /)a ye , d a s

D r e h m o m e n t M u n d d e n W i r k u n g sg r a d V a n g eb e n . D e r W i r k u n g s g ra d k a n n b e-

a e h t l i e h h o h e W e r t e a n n e h m e n , w i e A b b . 5 z e i g t .

/, 0

Cro 0 1

0 , 8 r g ~ g = , ,

o . 2 5 / Jo ,s

0 , , ~ O ,

O ,2

0I 2

f r..=.-f ~ f l

J _ I Jf f ~

f ff J I j

j j l

JC r o L /

ro.U~o 27r.ro.ro .OOo'2d

9 6 0 o =d ' l / - - ~ 1 , 5

t3 4 5

R a d i e n v e r h ~ f l tn i s r ~ r ,

Abb. 5. W irkun gsg rad ~] fiber dem l~adienverhgltnis r / r o (laminar)

2 .2 . T u r b u l e n t e S t r 6 m u n g

2 . 2 . 1 . V o r b e m e r k u n g e n

I m l a m i n a r e n F a l l b e s i t z t m a n f fi r d ie S e h u b s p a n n u n g e i n e n a n a l y t i s c h e nA u s d r u e k i n F o r m d e s N e w t o n s e h e n S e h u b s p a n n u n g s a n s a t z e s . I m t u r b u l e n t e n

F a l l f e h l t e i n s o l e h e s G e s e t z , d a m a n n o e h w e n i g f i b e r d i e s e h e i n b a r e S e h u b s p a n -

n u n g w e iB . I m a l l g e m e i n e n w i r d m a n d a h e r n u t m i t I- Iilf e y o n N ~ h e r u n g s v e r f a h r e n

A u s s a g e n fi be r t u r b u l e n t e G r e n z s e h i e h t s t r6 m u n g e n m a e h e n k 6 n n e n . I m v o rl ie -

g e n d e n F a l l w h~d d a z u d e r I m p u l s s a t z d e r G r e n z s e h i e h t t h e o r ie v e r w e n d e t . Z u s g t z -

l ie h b e n 6 t i g t m a n z u r L 6 s u n g d e r I m p u l s g l e i e h u n g e n s o w o h l e in e n A n s a t z f f ir d ie

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Die StrSmung zwischen zw ei p~rallelen, rotierenden Scheiben 39

G e s e h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n a l s a u c h e i n e n A n s a t z f o r d i e K o m p o n e n t e n d e r

W a n d s e h u b s p a n n u n g .

R e c h t e i nf ~ e he G es e tz m & B i g k ei te n k e n n t m a n y o n d e r R o h r s t r S m u n g h e r.

D o r t g e nO g t d ie G e s e h w i n d i g k e i ts v e r t e il u n g d e m G e s e t z

Cm~x

n ~ 7 g e s e t z to b e i i m B e r e i e h d e s B l a s i u s s e h e n W i d e r s t a n d s g e s e t z e s f o r

w e r d e n k a n n . F i i r di e W a n d s c h u b s p a n n u n g e r h /i lt m a n d a m i t :

~ o - ~ 0 , 0 2 2 5 . @ ( c) z7 /~ . ( - ~ ) 1 /4 . (3 )

D i e V e r w e n d u n g d i e s e r A n s ~ t z e b e i d e r B e r e c h n u n g d e r t u r b u l e n t e n G r e n z -

s c h i c h t s t r O m u n g h a t i n v i e l e n F / ~ l l e n g u t e U b e r e i n s t i m m u n g z w i s c h e n T h e o r i e

u n d E x p e r i m e n t g e b r a c h t . SA WA TZ XI [3 ] r e c h n e t e d a m i t e r f o l g re i c h d i e t u r b u l e n t e

S t r S m u n g u m e in e r o t i e r e n d e K u g e l a u s , v o ~ K X l ~ i ~ [4] b e r e c h n e t e a u f d ie se

A r t d i e t u r b u l e n t e S t r S m u n g i n d e r N a h e e i n e r r o t i e r e n d e n S c h e ib e . A u f di e V er -

h ~ l t n is s e b e i d e r r o t i e r e n d e n S c h e i b e s oi l i m A b s c h n i t t 2 .2 .3 n o c h n ~ h e r e i n -

g e g a n g e n w e r d e n , d a d i e d o r t v e r w e n d e t e n A n s ~ t z e f o r d i e G e s e h w i n d i g k e i t s -

k o m p o n e n t e n f o r d a s S c h e i b e n p a a r f ib e r n o m m e n w e r d e n.

D a s n a c h f o l g e n d e K a p i t e l b e fa l~ t s i ch m i t d e r A u f s t e l l u n g d e r I m p u l s -g l e i c h u n g e n f O r d a s S c h e i b e n p a a r . D i e V o r a u s s e t z u n g e n s h ]d d i e s e l b e n w i e i m

l a m i n a r e n F a l l, j e d o e h s ei d i e S t r S m u n g j e t z t t u r b u l e n t .

2 . 2 .2 . A u / s t e l l u n g d e r I m p u l s g l e i c h u n g e n

I n A b b . 6 se i e i n V o l u m e n e l e m e n t d e r D i c k e b z w i s c h e n d e n S c h e i b e n b e -

t r a c h t e t .

v /Abb. 6. imp ulsbetraeh tung am Volumenelement der Dieke 2d = b

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40 M. K6~LER:

A n d e m V o l u m e n e l e m e n t w i r k en f o l ge n d e K ri ~f te u n d M o m e n t e :

r a d i a l e l ~ i c h t u n g :

Z e n ~ r i f u g a l k r g f t

I m p u l s k r a f t

D r u c k k r a f t

t ~ e i b u n g s k r a f t

+ d

9 r . d ~ . d r . ~ % ~ d z

- - d

I ; }- ~ . d r . d ~ . c~~ d z

- - d

- - b 9 r 9 d q ) 9 d p

- - 2 9 Vo~ " r . dq ~ . d r

t a n g e n t ia l e R i c h t u n g :

I m p u l s m o m e n t

R e i b u n g s m o m e n t

{ + ;9 d r z . d q ~ , c ~ c ~ d

- - d

2 9 ~o ~ " r 2 " d q ~ 9 d r

D i e S u m m e a ll er a n g re i f e nd e n K r ~ f t e u n d M o m e n t e m u d N u l l e rg e b e n, s o

d ~]~ m a n f o l g e n d e G l e i c h u n g e n a u f s t e l l e n k a n n :

r a d i a l e R i c h t u n g :

O . ~ r r . c~~ d z - - o . c~ ~ d z - - - 2 . ~ o ~ . r - b . r . d -~ '

- - - - d

( 4 )

t a n g e n t ia l e R i c h t u n g :

d 2 c r C~ d - - 2 9 r ~ .9 . = . T O ~ ( 5 )

A n d e n G l e i c h u n g e n (4 ) u n d (5 ) s i e h t m a n , d a b e i n e L 6 s n n g n u r m 6 g l i c h i s t,

w e n a m a n s i ch A n s ~ t z e f i i r c r, % , To~ u n d T0~ v o r g i b t . D i e s e w e r d e n i m f o l g e n d e n

a n g e g e b e n .

2 . 2 . 3 . A n s g t z e / i~ r d i e G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n

Z u n g c h s t w e r d e n d i e A ns ~ttz e f ii r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n a u f -

g e s te l lt . D a b e i g e h t m a n a m b e s t e n v o n d e n V e r h s a n d e r r o t i e r e n d e n

S c h e ib e a u s . V o • K X ~ X ~ s e t z t f fi r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n b e i d e r

r o t i e r e n d e n S c h e i b e f o l g e n d e A u s d r i i c k e a n , d i e a u s d e r T h e o r i e d e r t % o h r s t r 5 m u n ge n t n o m m e n s h l d :

= a s 9 9 1 - - , ( 6 )r 6 o o

T ( D o \ o /

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Die StrSmung zwisehen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 41

W / ~ h r e n d d i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e d e r G e s e h w i n d i g k e i t r e c h t g u t e U b e r e i n -

s t i m m u n g m i t d e r j e n ig e n a u s d e m E x p e r i m e n t n a e h G aE GO R Y u n d W A L K E a [5]

z e ig t, w e i e h t d e r A n s a t z I f ir d ie R a d i a l k o m p o n e n t e y o n d e r W i r k l i e h k e i t e t w a s

a b , w i e A b b . 7 z e i g t .

0 ,1 5 1 [ E = E x p . G r e g o r y u .W a l ke r

r K -" A n s a t z v. K d r m d n5 = A n s a t z Sowotzk i

o , I

" .~ I K

. ~ 0 ,05

f J

~

0 0,2 0.4 0,6 0.8 t.OrW a n d a b s t o n d z / d

Abb. 7. Radialgeschwindigkeit fiber der Grenzschichtdieke bei einer rotiere nde n Scheibe

D i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e i s t je d o c h e n t s c h e i d e n d f fi r d ie B e s c h r e i b u n g d e r

S t r 5 m u n g , s o d a g d ie R e c h n u n g t ro C z d e m zu g u t e n E r g e b n i s s e n f f ih r t. I n A b b . 7i s t n o c h e i n e d r i t t e K u r v e e i n g e z e i c h n e t , d i e n a c h e i n e m A n s a t z y o n SA W A TZ KI [3 ]

g e b i l d e t i s t . D e r A n s a t z l a u t e t :

C

f (J)

E r l i e f e r t f i i r g r S g e r e A b s t g n d e y o n d e r S e h e i b e e t w a s b e s s e r e E r g e b n i s s e ,

g i b t j e d o e h i n u n m i t t e l b a r e r W a n d n / s z u h o h e G e s e h w i n d i g k e it s g r a d i e n te n .

B e i d e A n s ~ t z e f fi r d ie R a d i a l k o m p o n e n t e w e r d e n b e n u t z t , u n d z w a r d e r A n s a t z

n a e h SA W A TZ KI, w e n n e s a u f d i e G e s e h w i n d i g k e i ts p r o fi l e a n k o m m t , d e r A n s a t z

n a e h y o n K X R ~ X ~ , w e n n d ie W a n d s e h u b s p a n n u n g y o n B e d e u t n n g i s t.

F f i r d e n v o r l i e g e n d e n F a l l e r s e h e i n t d i e V o r s t e l l u n g g e r e e h t f e r t i g t , d a g i n

u n m i t t e l b a r e r N / i h e e i n e r j e d e n d e r b e i d e n s y n e h r o n r o t i e r e n d e n S e h e i b e n d i e

G e s e h w i n d ig k e i ts p r o f il e d e n e n d e r e i n z el n r o ti e r e n d e n S e h e ib e n a e h v o x K X ~M X N

e n t s p r e e h e n , w o b e i f fi r d i e G r e n z s e h i e h t d i e k e h i e r d ie k o n s t a n t e S p a l t w e i t e z u

s e t z e n i s t . D e n w e i t e r e n A u s f f i h r u n g e n w e r d e d a s I o l g e n d e G e d a n k e n m o d e l l , d a s

m i t t t i l f e y o n A b b . 8 e r l / i u t e r t w i r d , z u g r u n d e g e l e g t .

R o t i e r t d i e l i n k e S e h e i b e d e s S e h e i b e n p a a r e s u n d d i e r e e h t e S e h e i b e r u h t , s o

e r g i b t s i e h i n e t w a e i n e G e s e h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g a u f g e t r a g e n f i b e r d e r S p a l t -

w e i t e , w i e s i e b e i d e r e i n z e l n e n , r o t i e r e n d e n S e h e i b e a u f g e t r a g e n t i b e r d e r G r e n z -s e h i e h t d i e k e f e s t g e s t e l l t w u r d e . R o t i e r t d i e r e e h t e S e h e i b e d e s S e h e i b e n p a a r e s

u n d d i e l i n k e S e h e i b e r u h t , s o e r g i b t s i e h e i n e s p i e g e l b i l d l i e h e G e s e h w i n d i g k e i t s -

v e r t e i l u n g fi b er d er S p a l t w e i t e . R o t i e r e n n u n b e i d e S e it e n s y n e h r o n u m d ie g e m e i n -

s a m e D r e h a e h s e , s o s o ll d a s r e s u l t i e r e n d e G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l d u r e h g e o -

m e t r i s e h e A d d i t i o n d e r E i n z e l p r o f i l e e n t s t e h e n . I n w i e w e i t d i e s e A n n a h m e g e -

r e e h t f e r t i g t i s t , m u g d a s E x p e r i m e n t z e i g e n .

Aeta ~,Iech. XI I/ l- -2 3 a

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4 2 ~ [ . K S ~ L E R :

- I z / d 0 + I

/

o ~ . . r-1 Z / d 0 + I

0

- t z / d 0 + I

0

4 . 0 . . ~" I Z / d 0 §

_ _ ~ I I~ l ~ r C r o i W ,

- I 00"1~ z /d 0 § * ' ] z /d 0 §

Ab b . 8 . V e ra n s c h a u l i c h u n g d e s Ge d a n k e n m o d e l l s

D a m i t k a n n m a n n u n f o l g e n d e A n s / i tz e f f i r d ie G e s c h w i n d i g k e i ts p r o f il e f ib e r

d e m S p a l t q u e r s c h n i t t a u f s t e l l e n :

N a c h v o ~ ~ K X ~ X ~

rw0C _ _ K I . [ ( 1 z + d ) b . ( ~ d - - ) l / 7 + ( z + ~ d ) ( . 1 z + d ) l / 7 ] b " (9 )

N a c h S A W A T Z K I

ro)oC~ K o .( 1 . z + d ) l / T b ~ (Z~ --d )l/7 - 1 - - ~ z + d ) 2 / 7 _ ( ~ _ ~ ) ~ / ~ J , (1 0)

D i e K o n s t a n t e n K 1 u n d K 2 e r g e b e n s i e h au s d e r K o n t i n u i t / i ts g l e i c h u n g . S ie la u t e n

K 1 _ 60 . r o - C~o (12 )49 9 9 r~oo '

36 . ro 'Cro (13)K ~ - - 7 . r . r c o o

D e r F ~ k t o r fi i s t e in M a B d a f ii r , w i e s t a r k d i e F l i is s i g k e it i n U m f a n g s r i c h t u n g

m i t g e n o m m e n w i r d . /~ = 0 b e d e u t e t , d a b d i e F l f is s i g k ei t w i e e i n s t a r r e r K a r p e rm i t d e n S c h e i b e n u m l / s fi = 1 b e d e u t e t , d al3 g e n a u d e r i m G e d a n k e n m o d e l l

k o n s t r u i e r t e F M 1 v o r l ie g t , fi ~ 1 ,3 3 b e d e u t e t , d a b f f ir d i e m i t t l e r e T a n g e n t i a l -

g e s e h w i n d i g k e i t @ - - ~ / r c j= - - 1 g il t. E i n e w e s e n t l ie h e A u f g a b e b e s t e h t d a r in ,

fl i n A b h / ~ n g ig k e it d e r E m f l u B g r S 6 e n z u e r m i t t e l n . D i e A n s /~ tz e ft ir d ie O e s e h w i n -

d i g k e i t s k o m p o n e n t e n w u r d e n s o m i t a n g e g e b e n . E s f o l g en n u n d ie A ns /~ tz e f ii r

d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g .

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D i e S t r S m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l ! e l e n , r o t i e r e n d e n 8 c h e i b e n 4 3

2 . 2. 4 . A n s i i t z e / i i r d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g

D i e A n s ~ t z e f f i r d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g w e r d e n w i e d e r u m

d e n G e s e t z m i iB i g k e i t e n d e r t~ o h r s t r 5 m u n g e n t n o m m e n . I n G l e ic h u n g (3 ) f fi r d ie

W ~ n d s c h u b s p a n n u n g m u B d i e G e s c h w i n d ig k e i t c d u r c h d ie R e l a t iv g e s c h w i n d i g -

k e i t

= z 1)1/~ (1 4)~ / C r 2 - [ - W 9 2 = ( S P - 4 - " W ~ v

e r s e t z t w e r d e n , w o b e i

c~ 05)r = - - -W q o

i s t. I n W a n d n ~ h e s o ll cn s ic h n u n d i e K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g

g e n a u s o v e r h a l t e n w i e d i e K o m p o n e n t e n d e r G e s c h w i n d i g k e i t . D a s i s t p l a u s ib e l ,

w e n n m a n d ie N e w t o n s c h e S c h u b s p a n n u n g s d a r s t e l l u n g d e r l a m i n a r c n U n t e r -

s c h i c h t ( b es s e r: R e i b u n g s u n t e r s c h i c h t ) z u g r u n d e l e g t . E s g i l t d a m i t :

~ s v . . . . . 9 ( 1 6 )

H i e r m i t k a n n m a n n u n f fi r d i e K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p ~ n n u n g a n s e tz e n :

: _ 0 , 0 2 2 5 . 0 . f 1 7 / , . ( r ~ % ) m . ( b ) 1 / 4 . (1 + ~ p ) a / s , ( 17 )O p

T o ~ = - " s . e " T o ~ . (18)

2 . 2. 5 . L 6 s u n g d e r I m p u l s g l e i c h u n g e n

M i t d e n A n s ~ t z e n f t i r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n cr u n d w v u n d d ie

K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g ~or u n d Vo; l a ss e n s ic h di e G l e i c h u n g e n (4 )

u n d (5 ) s c h r e i b e n :

r a d i a l e l ~ i c h t u n g :

1 , 0 0 5 . ( % ] 2 . 1\ ro" w o / ( r /ro )

1I -- 0 , 0 5 5 1 9 - -

. ( 1 + ~~Oo.~ . (~/~o)

t a n g e n t i a l e R i c h t u n g :

0 , 3 8 9 - - 0 , 2 8 8 . fi - - 0 , 1 4 4 . r . d /?r o d (r/ro)

%o . ~ . ~ . 1

m i t

] r oK = 0 , 0 0 8 7 5 ,

VR~ b

- - + [ 0 , 5 6 8 . fi~ - - 1 , 5 . f i + 1 ] 9 - -%

% . ~ o o b f l . ( r /ro)2 " f i ( 1 9 )

n n d

d ( r / r o ~ o~ . ( r o 9 0 % ) 2 . '

_{_ ( 6 0 /4 9 "c r~ ] 2 t 3 / 8 . r

' ~ o - ~ ~ ( r / r o ) ~ / ] to '

R e ~ r o . o )o ' bp

(20)

3 a*

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4 4 M . K6~LEg:

D i e G l e i c h u n g en w u r d e n n u m e r i s e h n a e h I ~ U ~ a E - K v T T a g e l6 s t, u n d z w a r

w u r d e a u s G l e i c h u n g ( 20 ) d e r F a k t o r fi e r m i t t e l t , a u s G l e i c h u n g ( 19 ) w u r d e d e r

s t a t i s e h e D r u e k b e r e c h n e t . D e n V e r l a u f y o n fi f i b e r d e m i ~ a d iu s v e rh ~ t lt n is r / r o

z e i g t A b b . 9 .

, K = I 0 . 1 0 - 3

1 .o

o

0 , 5k a

Abb. 9.

0 L

I 2 3

R a d i e n v e r h ~ f l t n i s r / / r o

Verlauf des F~ ktor s fl fiber dem Radiusverh~iltnis r / r o

D a m i t s in d n u n a ll e G r 6 g e n b e k a n n t . E n t w e d e r w u r d e n s ie w i e d ie K o m -

p o n e n t e n d e r G e s e h w i n d ig k e it a n d d e r W a n d s e h u b s p a n n u n g d u t c h e n t s p r e e h e n d e

A n s/~ tz e v o r g e g e b e n o d e r si e w u r d e n d u t c h d ie g e c h n u n g e r m i t t e l t . E s l a s s en s ie h

d a m i t /~ hn lie h w i e i m l a m i n a r e n F a l l Psta t, P dy n u n d d a s D r e h m o m e n t M a n g e b e n .

D e r W i r k u n g s g r a d n i m m t b e a e h t l i e h h o h e W e r t e a n , w e n n d e r D u r e h f l u l ] k l e i n

u n d K g r o g i s t , w i e A b b . 1 0 z e i g t .

%

t O O I

5 0 ~

0 i1

K - 5 0 - i 0 -s ~ _ . _

2 3 4 5

R o d i e n v e r h ~ l t n i s r / r o

Abb. 10. W irkungsgrad U fiber dem R adienverh~ltnis r / r o (turbulent)

G ro i~ e W e r t e f ti r K e rh /~ lt m a n , w e n n m a n d i e i~ e y n o l d s - Z a h l k l e i n m a e h t b z w .

d ie Spa l~wei t e eng w/~h l t .

N a e h d e m d a s S t r 6 m u n g s p r o b l e m b is h e r t h e o re t is e h b e h a n d e l t w u r d e, w e r d e n

d i e E r g e b n i s s e i m f o l g e n d e n e x p e r i m e n t e l l b e s t i ~ t i g t .

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Die StrSmung zwischen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 45

3 . E x p e r i m e n t u n d V e r g l e ic h m i t d er R e c h n u n g

3.1 . Aufbau des Versuchss tandes

Das Ziel der experimentellen Untersuchungen war es, die in Kapitel 2 durch-

geffihrte Berechnung zu fiberprfifen. Dies geschah durch Ausmessen der Ge-

sehwindigkeitsprofile fiber dem Spaltquerschnitt. Als F6rdermedinm bot sich

Luft an. Sie erspart ein Geh~use, so dag man reeht einfach MeBsonden in den

SpMtquerschnitt einffihren kann. Abb. 11 zeigt eine Prinzipskizze des Versuchs-

standes.

Abb. 11. Prinzipskizze des Versuchsstandes

Ein regelbarer Gleichstrommotor tr eibt fiber zwei Zahnriemen synchr on zwei

Hfilsen an, welche die beiden Scheiben tragen. Die l-Iiilsen rotieren um lest-

stehende gohre, durch welche die Luft axial angesaugt wird. Die Spaltwei~e l~gt

sich dureh Verschieben einer Seite der Anordnung beliebig ver/~ndern. Diese Kon-

struktion ha t den Vorteil, dal~ die Str6mung nicht durch Verbindungsbolzen oder

~hnliches gest6rt wird. Die Abmessungen des verwendeten Scheibenpaares sind:

r 0 = 40 ram,r~ = 200 ram.

Daraus resultiert ein maximales Radienverhgltnis yon r s / r o = 5. Die Geschwin-

digkeitsprofile wurden naeh GrSl3e und I~iehtung mittels der Hit zdraht meg tee hni k

best immt. In Abb. 12 ist ein Hi tzdraht geber in Mel3stellung dargestellt.

Der Geber wird yon einer Einstellvorrichtung gehalten, welche es gestattet,

den Geber znr Messung der Str6mungsrichtung beliebig zu drehen, ohne den

Megort selbst zu ver/indern. Mittels einer Mikrometerschraube kann man am

Augenradius der Seheiben den Spaltquersehnitt in axialer Richtung mit dem

Hitzdraht abfahren.

3.2. La mi na re r Fall

Stellvertretend ffir die Messungen irn laminaren Fall wird in Abb. 13 das Er-

gebnis der Exper iment e ffir P = 2 gezeigt.

Sgmtliche Megpunkte ffir die dimensionslose Absolutgesehwindigkeit c / r %

und den Abstr6mwinkel ~5 gruppieren sieh um eine gemeinsame Kurve, wenn nur

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46 M. KS~LER:

Abb. 12. Geberhalterung mit Hitzdr~htgeber

der Param eter P kons tan t bleibt. Die Spaltweite b und die Drehzahl n wurden

beliebig va,riiert. Links im Bild sind fiber der halben Spaltweite die Megpunkte

aufgetragen. Die durehgezogenen Kurven sind ffir die Auswertung zugrunde

gelegt worden. Reehts im Bild sind die Geschwindigkeitskomponenten in radialer

und in Umfangsriehtung angegeben. Dabei ist:

c__z__~= c . sin~b, (21)?'(DO ~'600

W~o C. . . . cos q~ -- 1. (22)f600 r(J) 0

Abb. 13.

,0i, ore\ /

i ,?/,S I o .2 d. 3 ~ -0,29 o 2 d = ~ r nm . I~

~- 20 ,o.1. . . . . / 2

+ + ~ ~ " ~ ~ , i , ' < . o '

o~o~ 02 o, , . \ o L , o,o ' \- , -o.6 -o,2 o o,2 o,6 I ,o

z/d z/d

Links: ~[egpunkte und der Auswertung zugrunde gelegte Kurven fiber der h~lbenSpaltweite

l%ehts: Gesehwindigkeitsprofile fiber der vollen Spaltweite (laminar)

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Die Str6mung zwischen zw ei parallelen, rotierenden Scheiben 47

E i n V e r g l e i e h d e r R e e h n u n g m i t d e m E x p e r i m e n t z e i g t n u n f o l g e n d e s : B e i

k l e i n e m b /r u n d h i n r e i c h e n d g r o g e n R a d i e n i s t d i e l ~ b e r e i n s t i m m u n g z w i s e h e n

d e r l ~ e e h n u ng u n d d e m E x p e r i m e n t g u t. F t i r P a r a m e t e r P > 2 s t i m m t d ie

l i n e a r i s i e r t e R e e h n u n g j e d o e h n i e h t m e h r m i t d e r W i r k l i e h k e i t i i b e r e i n , d a d i e

R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t e n n i e h t m e h r k l e in g e g e n f ib e r d er U m f a n g s g e se h w i n d i g-

k e i t d e r r o t i e r e n d e n S c h e i b e n s in & I t i e r m ii[3 te m a n a u f d i e n u m e r i s e h e R e e h n u n g

f i i r d i e n i e h t l i n e a r e n A u s g a n g s g l e i e h u n g e n z u r i i e k g r e i f e n . G l i i e k l i e h e r w e i s e s i n d

j e d o e h g e r a d e P a r a m e t e r P ~ 2 f fi r d i e p r a k t i s e h e A n w e n d u n g e r s t re b e n s w e r t .

3 .3 . T n r b u l e n t e r F a l l

I m t u r b u l e n t e n F a l l i s t e s m 6 g l i e h , d u r e h H i t z d r a h t m e s s u n g e n d i e A n s g t z e

f / i t d i e G e s e h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n z u k o n t r o l l i e r e n . D e s w e i t e r e n k a r m g e -p r / i f t w e r d e n , o b d e r F a k t o r / ~ , d e r s i e h a u s d e r I m p u l s g l e i e h u n g i n t a n g e n t i a l e r

R i e h t u n g e r g i b t , d u r c h d a s E x p e r i m e n t b e st /L t ig t w i r d . I s t d i e s d e r F a l l , s o k a n n

m a n a n n e h m e n , d a b a u e h d i e i i b r i g e R e e h n u n g b r a u e h b a r i s t . D i e D u r c h f / i h r u n g

u n d A u s w e r t u n g d e r E x p e r i m e n t e w a r d i es e lb e w i e i m l a m i n a r e n F a l l . I n A b b . 1 4

w i r d z . B . d a s E r g e b n i s d e r M e s s u n g e n f fi r d i e S p M t w e i t e b = 4 m m g e z e i gt .

l , O t O 0

9 n = 9 0 0 U / m i n

0 , 8 • n = I 3 8 0 U / m m

, ,~ n = 1 8 0 0 U / m i n

l o n = 2 5 2 0 U / r n i n ~

o 0 , 2 o . s I , o

z/d

I t U I . / m l b

n = 2 0 0 0

if!!

r, O - 0 , 6 - 0 , 2 0 0 , 2 0 , 6 1 .0

z/d

Abb. 14. Lin ks: M eBpunkte und d er Auswertung zugrunde gelegte Ku rvert iiber der halbenSpaltweite

R ech ts: Geschw indigkeitsprofile fiber der vollen Spaltweite (turbulent)

M a n e r k e n n t , d a g e i ne D r e h z a h l ~ n d e r u n g n u r e i n e n g e r i n g en E i n f l u g a u f d ie

M e i 3 w e rt e h ~ t , w i e es d i e R e c h n u n g v o r a u s s a g t . A u s d e n W e r t e n ws / r c% k a n n

m a n d e n W e r t f a r / ~ a b l e s e n .E i n V e r g M c h y o n T h e o r i e u n d E x p e r i m e n t e r g i b t n u n f o l g e nd e s : I n A b b . 1 5

s i n d ff ir ei ni ge u n t e r s u c h t e S p a l t w e i t e n d i e a u s d e n M e s s u n ge n s t a m m e n d e n

R ~ d i al - u n d T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n i m V e r g le i e h z u d e n e n , w i e si e i n d e r R e c h -

h u n g a n g e s e t z t w u r d e n , d a r g e s t e l R .

D i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n s t i m m e n r e c h t g u t i i b e r e i n , b e i d e r R a d i a l -

k o m p o n e n t e t r e t e n g e r i n g f i i g i g e A b w e i c h u n g e n z w i s c h e n g e m e s s e n e n u n d a n -

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4 8 ~ . K f ~ L E R :

', ~,8

0,6

2

0,2

O r A n s a t z y o n

L ~ K ~ R M ~ N / SAWATZKI

x 2 d = 2 r a m ] E x p e r i m .

I v 2 d = 4 m m ~ H-0 ' 2 1 9 2 d = T m m J n =2 0 % '~ n 'n

-o,~

-0,8

o -1,o Lo

iii i

i i - i L i0,2 o,4 0.6 o,8 t,o

z/d

I 0 oI An, sa tz yon~_ K A R M A N / S A W A TZK I

+ 2 d = 3 r a m

I ] E xpe r , m.| 9 2 d = S m m ~, ^ ^ U0.8 -0 '2 I - o 2d=tOmm Jn=2OUUrn~Tn

I

C~ l w~ /ro o o

i , ! !

0 , 2 "0,8 ~ _ ~ r - - ~ T c r / r w o

0 -1 0 ~o q2 0,4 0,6 0,8 t,o

z/d

Ab b. 15. Vergleich der Geschwindigkei~skomponenten na ch An satz un d Ex per im en t

g e n o m m e n e n W e r t e n a u f . D i e s w a r j e d o e h n a e h d e n o b i g e n A u s f f i h r u n g e n f ib e r

d i e r o t i e r e n d e S e h e i b e z u e r w a r t e n . D i e z w e i t e K o n t r o l l e b e z i e h t s i e h a u f d e n

F a k t o r / ? . I n A b b . 1 6 i s t fl f i be r K/ C , . o / ro ~ % a u f g e t r a g e n .

E s e r w i e s s ie h i n d e m b e t r a e h t e t e n B e r e i e h f fi r K u n d G o / r o ( , o , d a b ,8 n a h e z u

g l e i e h i s t , w e n n K/Cro/ roOJo d e n s e l b e n W e f t h a t . E i n V e rg l e ie h d e r a u s d e n M e s -

s u n g e n s t a m m e n d e n W e r t e v o n fl m i t d e n e r r e e h n e t e n W e r t e n f g l l t r e e h t g u t a u s.

D a m i t is t a b e t a u e h d ie B r a u e h b a r k e i t d e r R e e h n u n g f f ir d ie t u r b u l e n t e S t r 6 m u n g

e r w i e s e n .

1 . 5

1

PO.5

o b = 2 t u r n

9 b = 3 m m

+ b = 4 t u r n

a b = - 5 r a m

o b = 7 r a m9 b = 1 O m m

0 2 ~ 6 8

K . 1 0 3% 1 roWo

!

. .. .. & .~ o ~ . . _ . _

I0 12

A b b . 16 . V e rg le ic h R e c h n u n g - - E x p e r i m e n t f i ir d e n F ~ k t o r f l

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Die S~rSmung zwischen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 49

4. Ubergangsgebiet zwischen laminarer und turbulenter Striimung

Ob d ie S t r 6m ung z wise he n de n S e he ibe n l a m ina r ode r tu r bu le n t wa r , wur de

m i t H i l f e e ine s 0 sz i l l og r a phe n be u r t e i l t , a u f we le he n da s S igna l de s t I i t z d r a h t -

ge be rs ge se ha l t e t wurde . B e t r e ib t m a n de n Ve r sue hss t a nd be i h in r e i e he nd lde inen

R a d ie n un d S pa l twe i t e n m i t k l eine r Dr ehz a h l , so i s t di e S t r 6m ung im S pa l tque r -

se hn i t t l a m ina r . Ma n e r h / i l t a u f de m 0sz i l l og r a phe nse h i r m e ine n ge r a de n S t r i e h ,

wie in Abb. 17 oben darges te l l t .

Abb. 17. Hitzdrah tsignale auf dem O szillographenschirm im laminaren Fall

S te ige r t m a n d ie Dr e hz a h l de r S c he ibe n , so e r sc he in t i n de m l Jbe r ga ngsge b ie t

e ine fas t r e ine S inussehwingung, d ie f ibe r e inen gewissen Drehzahlb ere ieh e rha l te n

b le ib t . D ie S t r 6m ung i s t j e doe h im m e r noe h l a m ina r . B e i noe h h6he r e n Dr e h -

zahlen breehen d ie pe r iodischen S t6rungen p l6 tz l ich auf in hoehf requente , un-

r e ge lm gB ige S e hwa nkunge n . D ie S t r 6m ung i s t t u r bu le n t ge wor de n.

Zun/~ehs t e inmal i s t d ie Abgrenzung des Ubergangsgebie tes dureh d ie I~ey-

no lds - Za h l i n t e r e s sa n t . De r f i i r d i e l a m ina te S t r 6m ungs f o r m e n t se he ide nde P oh l -/

ha u se n - P a r a m e t e r P = d ] / ~ s t e ll t e ine m i t de r S pal twe i te , de r W inke l -

gesehwindigke i t und der Z~ th igke i t gebi lde te Reynolds-Zahl da r . Diese Def in i t ion

de r t~ e yno lds - Za h l ka nn j e doe h f f i r de n Um se h la g l a m ina r - tu r bu le n t n i c h t be -

f r ied igen , da d ie Umfa ngsg esehw indig ke i t rco 0 de r Sehe iben s ieherl ich e inen Ein-

f luB a u f de n Um se h la gspunk t ha t , de r R a d ius r j e doe h f ibe r ha up t n i c h t e r se he in t .

E ine s innvo l l e De f in i t i on de r R e yno lds - Za h l i s t f o lge nde :

Re - - r . ~oo 9 (23)P

Dutch Beobaehtung des Osz i l lographenbi ldes l ieB s ieh de r Beginn des I Jber -

ga ngsge b ie t e s m i t R e ~ 1200 a nge be n . De r Um sc h la g in d i e tu r bu le n te S t r 6 -

mu ng sfo rm g esehah be i R%ri~ ~ 2 300. " Es i s t bem erken sw er t , dab s ieh d iese r

W e r t a ue h e r g ib t , we nn m a n be i de r i n r uhe nde m Me d ium r o t i e r e nde n S e he ibe

ode r Kuge l d i e R e yno ld s - Za h l m i t de r Gr e nz se h ie h td ie ke d s t a t t m i t de r S pa l t -

weite b bi ldet .

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5 0 M. K ( J H L E R :

Als zweites ist yon Interesse, wie die periodisehen Sehwingungen im fffber-

gangsgebiet zu deuten sind. Abb. 18 zeigt ein Oszillographenbild aus diesem Be-

reich.

Der Abstand der einzelnen Extremwerte in Abb. 18 ist in etw~ gleieh. Die

relativ langwellige Sehwebung ist auf um~unden L~uf der Seheiben zur/iekzufiihren.

Abb. 18. Oszillographenaufnahlne aus dem ~ffbergangsgebiet laminar-turbulen~

Aus anderen Versuehen weiB man, dab sich diese periodisehen Sehwingungen

als Instabilit/~ten deuten lassen. Da das Oszillographenbild nur ein indirekter

Beweis ftir das Vorhandensein soleher Instabilit/iten ist, wurde versueht, die perio-

disehen StSrungen siehtbar zu maehen. Dazu wurde ein kleiner Versuehsstand

verwendet, bei welehem von oben Wasser in ein w~agereeht angeordnetes, rotie-

renctes Seheibenpaar flieBt. Die StrSmung kann man dureh die obere aus Plexi-

glas bestehende Seheibe beobaehten. Dem Wasser zugemisehte Aluminiumflitter

Abb. 19. Sioiralige Wirbel zwischen zwei parallelen, synchron rotierenden Scheiben

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D ie S t r6 m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l l e l e n , r o t i e r e n d e n S c h e ib e n 5 1

d i e n e n a l s S t r 6 m u n g s a n z e i g e r . D a s E r g e b n i s d i e s e s V e r s u e h e s i s t i n A b b . 1 9 d a r -

g e s t e l l t .

V o n e i n e m g e w i s se n R a d i u s a b , b e i w e l e h e m d i e R e y n o l d s - Z a h l R e ~ 1 2 0 0

e r r e i e h t i s t , b i l d e n s ie h sp i r a l i g e W i r b e l a u s , d e r e n A e h s e n m i t z u n e h m e n d e m

R a d i u s i m m e r m e h r i n F o r m k o n z e n t r i s e h e r K r e i s e v e r l a u f e n . D i e R i e h t u n g d e r

S l o i ra le n e n t s p r i e h t d e r R e l a t i v g e s e h w i n d i g k e i t , i s t a ls o e n t g e g e n g e s e t z t d e r D r e h -

r i e h t u n g d e r S e h e i b e n u n d d a m i t a u e h d e r B e w e g u n g s r i c h t u n g . d e r T e i le h e n .

B l i t z t m a n m i t d e r D r e h f r e q u e n z d e s S y s t e m s d e n V e r s u e h s s t a n d a n , so e rh ~t l t

m a n e i n n a h e z u s t e h e n d e s B i l d , d . h . d ie W i r b e l s t e h e n r e l a t i v z u d e n u m l a u f e n d e n

S e h e i b e n . D e r C h a r a k t e r d e r G r u n d s t r S m u n g 1/~gt d a r a u f s e h l ie g e n , d a b e s s i e h

u m W i r b e l h a n d e l t , d i e m i t d e n y o n G RE CO RY , ST ~:X R T u n d W a L K E g [ 5] g e -

f u n d e n e n v e r g l e i e h b a r s in d .

L i t e r a t u r

[1] :BREITEI~,IV[.C ., a n d K . P O HL HA US EN : L a m in a r f l o w b e tw e e n tw o p a ra l l e l r o t a t i n g d i s k s .

R e p o r t N o . 6 2 -3 1 8 , A R L O h io , 1 9 6 2 .[2 ] TESLA, 1 ~ .: P a t e n t a n m e l d u n g : K r a f t m a s c h i n e n o d e r P u m p e n m i t mehreren, i n e in e m

g e s eh l o ss e n en G e h a u s e a u f e i n e r Z e n t r a l w e l l e i n A b s t a n d e n v o n e i n a n d e r ~ n g e o r d n e t e n

p a ra ] l e l e n k r e i s e n d e n S c h e ib e n .[3] SAW~TZKI,O . : D i s S t r 6 m u n g u m e i ne r o t i e r e n d e K u g e l . I - I a b il i ta t i o n , U n i v e r s i t a t K a r l s -

ruhe 1968 .[4 ] K i ~ J ~ , T m V o ~ : t ~ be r l a m i n a r e a n d t u r b u l e n t e R e i b u ng . C o l le c te d w o r k s o f T h . y o n

K s V o l . I I , 1 9 1 4 - -1 9 3 2 . L o n d o n : B u t t e r w o r t h s S c i e n ti f ic P u b l i c a t i o n s . 1 95 6.

[ 5] G ~ GO R Y , N . , J . T . S TV AR T, a n d W . S . W A L K ~ : O n t h e s t a b i l i t y o f t h r e e - d i m e n s i o n a lb o u n d a r y l a y e r s w i t h a p p l i c a t i o n t o t h e f lo w d u e t o a r o t a t i n g d i s k . P h i l. T r a n s . R o y .

Soe . London A ~48 (1955) .

Dr.-Ing. M. KShlerInstitut ]iir StrSmungslehre und Str6mungsmasehinen

der Universitiit KarlsruheKaiserstra[3e 12

BRD-75 KarlsruheDeutschland