Strukturanalyse einer mittels Rapid-Prototyping...

Bachelor-Thesis Im

Studiengang Produktentwicklung und Produktion

Strukturanalyse einer mittels Rapid-Prototyping gefertigten Pelton-Turbinenschaufel - grundlegende

Festigkeitsanalysen sowie Überlegungen zu Materialkennwerten

Alain-Bruno Nsiama-Leyame Matrikelnummer 567830

Düsseldorf Dezember 2015

Betreuender Professor (Erster Prüfer) Prof. Dr.-Ing. Frank Kameier Fachgebiet Strömungstechnik und Akustik Fachbereich 4 Maschinenbau und Verfahrenstechnik Josef-Gockeln-Str. 9 40474 Düsseldorf [email protected]

Zweiter Prüfer Yonatan Ben-David M.Sc. Fachgebiet Strömungstechnik und Akustik Fachbereich 4 Maschinenbau und Verfahrenstechnik Josef-Gockeln-Str. 9 40474 Düsseldorf [email protected]

2

Dr. Ing. Frank Kameier

Professor

im Fachbereich Maschinenbau und

Verfahrenstechnik / Professor

of the Faculty of Mechanical and

Process Engineering

Josef-Gockeln-Str. 9

Japan Gebäude, Raum E5.40

40474 Düsseldorf

T +49 211 4351-9721

F +49 211 4351-468

[email protected]

www.stroemungsakustik.de

Hochschule Düsseldorf, Kameier, Josef-Gockeln-Str. 9, 40474 Düsseldorf

Thema einer Bachelor-Thesis

für

Herrn Alain-Bruno Nsiama-Leyame Matrikel-Nr. 567830

Strukturanalyse einer mittels Rapid-Prototyping gefertigten Pelton-Turbinenschaufel – grundlegende Festigkeitsanalysen sowie Überlegungen zu Materialkennwerten

Aufgabe ist, grundlegende Überlegungen zur Anwendung eines kommerziellen numerischen Finite-Elemtent-Programms (hier: ANSYS Workbench) zu dokumentieren und Validierungsüberlegungen am Beispiel analytischer Lösungen durchzuführen. Die Dokumentation soll derart gestaltet werden, dass sie als Einführung in die Programmbedienung genutzt werden kann. Auch Gesichtspunkte zur Netzauflösung und zu Netzverfeinerungen sollen exemplarisch einbezogen werden. Im Sinne einer industriellen Verwertung ist darauf aufbauend eine Pelton-Turbinenschaufel zu entwerfen und im Sinne einer Strukturanalyse zu bewerten. Die Schaufel soll mittels Rapid-Prototyping an der Hochschule im FB Design zu fertigen sein. Hinsichtlich der Materialdaten sollen für den verwendeten Kunststoff des Rapid-Prototyping Verfahrens erste Überlegungen einbezogen werden, wie sinnvolle Materialdaten bestimmt werden könnten. Die Bearbeitung der Bachelorarbeit soll in folgenden Schritten erfolgen

Einarbeitung in die Softwarebedienung 1 Wochen

Berechnung ausgewählter Geometrien 3 Wochen

Entwurf einer Pelton-Turbinenschaufel 1 Woche

Abschätzung der strömungsmechanischen Belastungen 1 Woche

Strukturanalyse der Schaufel 1 Woche

Bewertung von Materialdaten 1 Woche

Abschließende Dokumentation 4 Wochen

Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung ........................................................................................................ 2

Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 3

Symbolverzeichnis ...................................................................................................... 5

1 Einleitung .......................................................................................................... 8

2 FEM mit ANSYS Workbench ............................................................................ 9

2.1 Einführung in die Finite-Elemente-Methode ............................................. 9

2.1.1 Das Prinzip der FEM .......................................................................... 10

2.1.2 Formfunktionen .................................................................................. 12

2.1.3 Ermittlung der Spannungen ............................................................... 13

2.1.4 Idealisierung in der FEM .................................................................... 13

2.1.5 Elementauswahl ................................................................................ 14

2.2 ANSYS WORKBENCH .......................................................................... 15

3 Beispielaufgaben mit ANSYS Workbench .................................................... 17

3.1 Durch Eigengewicht belasteter Balken .................................................. 17

3.1.1 Grundlage - Biegung .......................................................................... 18

3.1.2 Analytische Lösung nach Bernoulli .................................................... 25

3.1.3 FE - Lösung ....................................................................................... 28

3.2 Balken einseitig eingespannt ................................................................. 41

3.2.1 Analytische Lösung ............................................................................ 42

3.2.2 FE-Lösung ......................................................................................... 43

3.2.3 Konvergenzanalyse bezüglich der maximalen Gesamtverschiebung und der Hauptspannung .................................................................... 48

3.2.4 Auswertung der Ergebnisse ............................................................... 49

3.3 Winkelhalter .......................................................................................... 55

3.3.1 Aufgabenstellung ............................................................................... 55

3.3.2 Grundlage- Dreiachsiger Spannungszustand ..................................... 56

3.3.3 Bauteilsicherheit ................................................................................ 58

3.3.4 Festigkeitsanalyse des Winkelhalters mit ANSYS .............................. 60

4 Pelton-Turbinenschaufel ............................................................................... 72

4.1 Aufgabestellung ..................................................................................... 72

4.2 Prinzip der Pelton-Turbine ..................................................................... 73

4.3 Grundlage ............................................................................................. 74

4.3.1 Impulssatz ......................................................................................... 74

4.3.2 Erweiterte Bernoulli-Gleichung ........................................................... 76

4.3.3 Zusammenfassung ............................................................................ 77

4

4.3.4 Zugversuch an Kunstoffen ................................................................. 78

4.3.5 Festigkeitsanalyse der Schaufel mit ANSYS Workbench ................... 84

5 Zusammenfassung ...................................................................................... 104

Literaturverzeichnis ................................................................................................ 106

Anhang .................................................................................................................... 108

Eidesstattliche Erklärung ....................................................................................... 119

Symbolverzeichnis

5

Symbolverzeichnis

Lateinische Symbole

𝑎𝑒 [mm] Arbeitseingriff/ Zustellung

𝐴𝑘 [mm²] Kolbenfläche

𝑏 [mm] Spanungsbreite

𝑐 [m/s] Geschwindigkeit

𝑑 [mm] Werkstückdurchmesser

𝑓 [mm-1] Vorschub

𝑓ℎ [Hz] Hubfrequenz

𝐹𝑜 [kN] obere Kraft

𝐹𝑢 [kN] untere Kraft

H [mm] Spanungsdicke

𝐼𝑁 [A] Nennstrom

𝐾𝑓 [-] Kerbwirkungszahl

𝐾𝐺𝑒𝑠 [€] Gesamtkosten

𝐾𝑡 [-] Kerbformzahl

𝑚 [kg] Masse

𝑀 [Nm] Moment

𝑛 [min-1] Drehzahl

∆𝑝 [Pa] Druckänderung

𝑝𝑝𝑙 [N/m²] materieller Fließdruck

𝑃 [kW] Leistung

𝑡 [mm] Blechdicke

𝑈𝑁 [V] Nennspannung

𝑥𝑖 [-] einzelner Versuchswert

𝑥𝑚 [-] Mittelwert

R [N/m] Federkonstant

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Griechische Symbole

𝜅 [-] Spannungsverhältnis

𝜑 [°] Winkel

𝜌 [mm] Nahtübergangsradius

𝜌𝑒 [mm] Ersatzradius

∆𝜎 [N/mm2] Spannungsschwingbreite

𝜎0,4𝑡 [N/mm2] Spannung an Extrapolationspunkt 0,4t

𝜎1,0𝑡 [N/mm2] Spannung an Extrapolationspunkt 1,0t

𝜎𝐸 [N/mm2] Strukturspannung durch Einspannung

𝜎𝐾 [N/mm2] Kerbspannung

𝜎𝑀 [N/mm²] Biegespannung

𝜎𝑚 [N/mm2] Membranspannung

𝜎𝑚𝑎𝑥 [N/mm2] Maximal zulässige Spannung FAT

𝜎𝑁 [N/mm²] Normalspannung

𝜎𝑁𝑒𝑛𝑛 [N/mm2] Nennspannung

𝜎𝑆𝑡𝑟𝑢𝑘𝑡𝑢𝑟 [N/mm2] Strukturspannung, Hot-Spot-Spannung

𝜎𝑡 [N/mm2] maximal zulässige Spannung für Betriebsfestigkeit

𝜎𝑣 [N/mm2] Strukturspannung während des Schwingversuchs

𝜎𝑍 [N/mm2] Zugfestigkeit

𝜏 [N/mm²] Schubspannung

Symbolverzeichnis

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Abkürzungsverzeichnis

AD analog-digital

AGV Automated Guided Vehicle (führerlos betriebene Fahrzeuge)

DFÜ Datenfernübertragung

DMS Dehnmessstreifen

EKF Extended Kalman Filter (erweiterter Kalman-Filter)

FAT Ermüdungswiderstand

FE Finite Elemente

FEM Finite Elemente Methode

FuE Forschung und Entwicklung

GPS Global Positioning System (globales Navigationssystem)

ISO International Organisation for Standardization

KGV Kurs-Gewinn-Verhältnis

MTi-G Motion Tracker integrated GPS (Bewegungsaufnehmer mit integriertem

GPS)

o.A. ohne Autor

RFID Radio-frequency identification (Identifizierung mit Hilfe elektromagneti-

scher Wellen)

RGB Rot-Grün-Blau (Videoschnittstelle)

RS-232 Recommended Standard (serielle Schnittstelle)

SMS Short Message System (Kurzmitteilungssystem)

SSI Synchronous Serial Interface (synchron-Serielle Schnittstelle)

VDI Verein Deutscher Ingenieure

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1 Einleitung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der grundlegenden Festigkeitsanalyse einer

mittels Rapid-Prototyping gefertigten Pelton-Turbinenschaufel. Dabei handelt es sich

um eine statische lineare Analyse, d.h. die Belastung ist zeitlich konstant und der Zu-

sammenhang zwischen Belastung und Verformung ist linear. Ziel ist zu überprüfen, ob

aufgrund äußerer Belastungen das Bauteil versagt oder nicht. Zur Durchführung der

Analyse wird das kommerzielle numerische Finite-Elemente-Programm ANSYS Work-

bench verwendet.

Da die Schaufel aus dem recht unbekannten Material VeroClear RGD810 (Kunststoff)

besteht, ist ein Zugversuch nach EN ISO 527 vorgesehen, um die daraus resultierenden

Materialkennwerte mit den Materialkennwerten zu vergleichen, die durch den Hersteller

angegeben wurden. Ziel ist, sich zu vergewissern, ob die von dem Hersteller ermittelten

Materialkennwerte mit denen aus dem Zugversuch übereinstimmen.

Darüber hinaus wird in Kapitel 3 Anhand von Beispielaufgaben gezeigt, wie man AN-

SYS Workbench zur Lösung einfacher Strukturmechanischen Probleme einsetzen

kann.

In der ersten Beispielaufgabe werden die Durchbiegung und die Biegespannung eines

Biegebalkens berechnet, welcher unter Eigengewicht belastet wird. Dabei geht es da-

rum, die analytische Lösung und die FE-Lösung zu vergleichen, um die Güte der Simu-

lation zu bewerten, d.h. wie genau FE- Ergebnisse sind und wovon das Ergebnis ab-

hängt.

Die zweite Beispielaufgabe behandelt ebenfalls einen Biegebalken, welcher durch eine

Kraft an seinem Freien Ende belastet wird. Der Balken wird mit 2-dimensionalen

Scheibenelementen modelliert. Eine Konvergenzanalyse soll hier näher betrachtet wer-

den. D.h. es wird überprüft, wie sich die Simulationsergebnisse (hier Gesamtverschie-

bung, größte Hauptspannung) verhalten bei einer zunehmenden Netzdichte, wobei der

lineare und quadratische Ansatz verglichen wird. Die Konvergenzanalyse Analyse dient

zur Beurteilung der Netzqualität.

Eine weitere Möglichkeit die Netzqualität zu beurteilen ist den Unterschied zwischen

gemittelter und nicht gemittelter Spannung zu bestimmen. Dies ist Gegenstand der drit-

ten Beispielaufgabe (Winkelhalter).

FEM mit ANSYS Workbench

9

2 FEM mit ANSYS Workbench

ANSYS ist eine weltweit sehr verbreitete FEM-Software. Neben der Benutzeroberflä-

che „Classic“ wird die Benutzeroberfläche „Workbench“ angeboten, welche für nume-

rische Simulationen verwendet wird. Damit wird erreicht, dass Produkte schneller, zu

geringen Kosten und bei hoher Qualität hergestellt werden.

Da es im Rahmen dieser Arbeit um die Anwendung der FEM mit ANSYS Workbench

geht, soll nun ein Überblick über die Methode (FEM) verschafft werden. Anschließend

wird auf ANSYS Workbench eingegangen.

2.1 Einführung in die Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Element-Methode ist heute das am weitesteten verbreitete numerische Be-

rechnungsverfahren (zur Lösung partieller Differentialgleichungen) in den Ingenieur-

wissenschaften. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die verschiedensten Problemstel-

lungen, von mechanischen Strukturberechnungen über Temperaturfeldanalysen bis zu

elektrotechnischen Aufgabenstellungen, mit dieser mathematischen Methode gelöst

werden können. Warum aber ein „numerisches“ statt einem „exakten“ Verfahren ver-

wendet?

Wenn ein einfaches Bauteil (Geometrie) berechnet werden soll, gibt es eine ganze Rei-

he von expliziten Berechnungsansätze (Formeln). So gibt es für einen mit einer Kraft

belasteten einseitig eingespannten Biegebalken (Abbildung 2.1) die Gleichung

f = 𝐹∙𝐿³

3∙𝐸∙𝐼 (wobei 𝐹 die Belastung, 𝐿 die Länge des Balkens, 𝐸 der Elastizitätsmodul,

𝐼 der Flächenträgheitsmoment darstellen), mit der die Durchbiegung berechnet werden

kann.

Abbildung 2-1: Ein mit einer Kraft belasteter einseitig eingespannter Biegebalken.

10

Bei komplexeren Geometrien wie einer Pelton Turbinenschaufel stößt die oben-

beschriebene Vorgehensweise schnell an Ihre Grenze, da es aufgrund der komplexen

Geometrie keine expliziten (analytischen Verfahren oder auch als exakte Verfahren be-

zeichnete) Berechnungsansätze mehr gibt. Deshalb kann für Aufgaben in der Praxis,

die Geometrie nur mittels einfacher Segmente angenähert werden. Das Kollektiv der

Elemente wird mittels des numerischen Verfahrens der Finiten Element Analyse letzt-

lich berechnet. Die Lösung stellt eine Näherung für die komplexe Geometrie dar, die im

Sinne der Genauigkeit bewertet werden muss.

2.1.1 Das Prinzip der FEM

Die Finite-Element-Methode geht von folgendem Gedanken aus: Der zu berechnende

Bauteil wird in viele kleine, einfache Teile zerlegt (Diskretisierung). Je detaillierter das

Original abgebildet wird desto genauer ist im Allgemeinen das Ergebnis. Bei Zonen mit

hohen Spannungsänderungen muss genau untersucht werden, welche Ursachen vorlie-

gen: Kerben, kleine Radien oder möglicherweise auch zu kleine oder falsche dimensio-

nierte Elemente.

Das Verformungsverhalten jedes dieser kleinen Teile, die sogenannten „Finite Elemen-

te“ ist im Prinzip bekannt und berechenbar. Die Elementmatrizen werden zu einer Ge-

samtmatrix des Systems gekoppelt und diese dann gelöst. Die Verbindung der einzelnen

Elemente besteht an den sogenannten „Knoten“.

Abbildung 2-2: Aufteilen eines Bauteils in Finite- Elemente.

Es wird nun anhand eines Stabelements (als einfaches Finites Element), die grundsätzli-

che Arbeitsweise der FEM, insbesondere die Entstehung von Matrizengleichungen zwi-

schen Kräfte und Verschiebungen aufgezeigt.


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Abbildung 2-3: Stab als einfaches Finite Element.

Als Folge äußerer Kräfte (F1 und F2) verschieben sich die Endpunkte (1 und 2) des

Stabelements um

𝛥𝐿 = 𝑢2 – 𝑢1 ∙ (2.1)

𝑢1 𝑢𝑛𝑑 𝑢2 sind die Endpunktverschiebungen. Die Kräfte greifen in den Stab-

Endpunkten an und sind positiv in Richtung der x-Achse orientiert. wenn Querschnitt A

und Elastizitätsmodul E des betrachteten Stabes konstant sind, so gilt zwischen Kraft F

und Verformung ΔL folgender Zusammenhang:

𝛥𝐿 = 𝐹∙𝐿

𝐸∙𝐴 ∙ (2.2)

Ersetzt man ΔL mit der Gleichung 2.1 und stellt sie nach F um

𝐹 = 𝐸∙𝐴

𝐿 ∙ (𝑢2 – 𝑢1 ). (2.3)

Das Gleichgewicht am Stab in Abbildung 2.3 liefert F1 = - F2

Mit der Abkürzung Federkonstante R

𝑅 = 𝐸∙𝐴

𝐿 wird aus Gleichung (2.3)

𝐹1 = 𝑅 ∙ (𝑢1 − 𝑢2)

𝐹2 = 𝑅 ∙ (−𝑢1 + 𝑢2). (2.4)

In Matrizenschreibweise lassen sich diese zwei Gleichungen schreiben als

[𝐹1𝐹2] = [

𝑅 −𝑅 −𝑅 𝑅

] ∙ ⌊𝑢1𝑢2⌋. (2.5)

In Kurzschreibform lautet die Gleichung (2.5)

𝐹 = 𝐾 ∙ 𝑢. (2.6)

Dabei sind 𝐹 (Kraftvektor) und 𝑢 (Verschiebungsvektor) Spaltenmatrizen, deren Ele-

mente alle Knotenkräfte und Knotenverschiebungen (die Unbekannten) darstellen und

12

𝐾 ist die sogenannte Steifigkeitsmatrix. Die Steifigkeitsmatrix ist stets quadratisch

(gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten).

Der Zusammenhang zwischen Kraft und Verformungen in Gleichung (2.6), der für das

Stabelement gefunden wurde, kann analog auch für weitere Elementarten hergeleitet

werden. Er führt stets auf die gleiche Form und kann als Grundgleichung der FEM (für

elastostatische Probleme) bezeichnet wird.

Allerdings bei komplizierter aufgebauten Flächen-und Raumelementen kann der Zu-

sammenhang zwischen den Kräften und den zugehörigen Knotenverschiebungen ledig-

lich durch vereinfachende Annahmen hergestellt werden [1]. Man behilft sich, in dem

man annimmt, dass die Verschiebungen zwischen den Knoten einen linearen oder einen

quadratischen Verlauf haben.

Es kann anhand des Biegebalkens aus der Abbildung 2.1 demonstriert werden.

Abbildung 2-4: Linearer(Links) und Quadratischer(Rechts) Verschiebungsansatz in-

nerhalb eines Balkenelementes.

Für die Darstellung eines quadratischen Verschiebungsverlaufs benötigt man eine zu-

sätzliche Information über die Verschiebung, beispielsweise in der Mitte des Balkens.

Diese wird in einem FEM-Modell über einen zusätzlichen Zwischenknoten ermöglicht

[11].

2.1.2 Formfunktionen

Die Funktion, die die Verschiebungen innerhalb eines Elementes(in Abhängigkeit von

den Knotenverschiebungen des Elementes) beschreibt, bezeichnet man Formfunktion

oder Ansatzfunktion. In Abbildung 2-4 sind 𝑢1(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 (lineare Formfunktion)


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und 𝑢2(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥2(quadratische Formfunktion) die Formfunktionen

welche, die Knotenverschiebungen innerhalb eines Balkenelementes beschreiben.

Grundsätzlich können die Elemente mit quadratischem Verschiebungsansatz die reale

Geometrie besser abbilden als Elemente mit linearem Verschiebungsansatz (siehe Ab-

bildung 2-5). Es werden zwar mehr Knoten benötigt aber dafür eine geringere Elemen-

tanzahl bei gleicher Rechengenauigkeit. Folglich werden in ANSYS Workbench vor-

zugsweise Elemente mit quadratischem Verschiebungsansatz verwendet.

Abbildung 2-5: Annäherung an gekrümmter Geometrie mit linearen und quadrati-

schen Elementen [11], Seite 17.

2.1.3 Ermittlung der Spannungen

Nach dem Lösen der Gleichung 2-6 (lineares Gleichungssystem) stehen sämtliche Kno-

tenverschiebungen und die Lagerreaktionen zur Verfügung. Mit Hilfe der Verschiebun-

gen (es wird hier davon ausgegangen, dass die Knotenverschiebungen im Vergleich zu

den Abmessungen des Systems klein sind), können die Dehnungen an jeder Stelle des

Elementes berechnet werden. Zur Berechnung der Spannungen innerhalb eines Elemen-

tes wird das Hooke´sche Gesetzt

𝜎 = 𝜀 ∙ 𝐸. (2-7)

Mit 𝜎 die Spannung, 𝜀 die Dehnung und 𝐸 der Elastizitätsmodul.

2.1.4 Idealisierung in der FEM

Die Idealisierung in FEM (Vereinfachende Annahme) dient zum Einsparen von Zeit

und Rechenleistung. Dabei wird besonders geachtet, dass die wesentlichen Eigenschaf-

ten des realen Bauteils ausreichend genau erfasst sind.

Dimension

Ein wichtiger Schritt einer FEM-Berechnung ist die Festlegung der Dimension der

Struktur. Man unterscheidet zwischen ein-, zwei- und dreidimensionale Struktur.

Grundsächlich kommt eindimensionale Betrachtung in Frage, wenn Lager und Last auf

der Längsachse der einer Stabförmigen Struktur liegen. Wenn hingegen die Dicke ver-

14

nachlässigt werden kann (die Dicke ist klein gegenüber anderen Bauteilabmessungen),

so kann mit einer zweidimensionalen Struktur gearbeitet werden.

Knoten und Lasten

Im FEM-Modelle dürfen Lasten nur an den Knoten angreifen. D.h. Bauteile sind in

Elemente so aufzuteilen, dass am Angriffsort einer Einzellast ein Knoten liegt.

Abbildung 2-6: Verteilung einer Last auf Knoten [11], Seite 32.

Wirkt beispielsweise eine Kraft (bzw. eine Flächenlaste) auf eine selektierte Fläche, so

wird die Gesamtkraft auf alle mit der Fläche verbundenen Knoten verteilt.

2.1.5 Elementauswahl

Finite Elemente sind numerische Modelle als Ersatz für mechanische Körper, welche

die Stetigkeit der Deformationsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) nur in den

Knoten gewährleisten[7].

Für die mechanische Strukturanalyse stehen Grundsätzlich Linie-, Fläche-, und Volu-

menelemente (mit oder ohne zwischenknoten) zur Verfügung.

Linienelemente

Anwendung: fachwerkartiger Strukturen wie Kräne

Linienelemente werden als Linien mit zwei Endknoten dargestellt. Man unterscheidet

zwischen Stab- und Balkenelement. Das Stabelement kann Kräfte (keine Momente) nur

in Stabrichtung übertragen, während das Balkenelement zusätzlich auch Kräfte senk-

recht zu seiner Achse sind aufnehmen kann.

Flächenelemente

Anwendung: Dünnwandiger Konstruktionen wie Gussteile

Genauso wie bei Linienelemente gibt es auch hier zwei unterschiedliche Typen: Schei-

benelemente und Schalenelemente. Der Unterschied besteht darin, dass Scheibenele-

mente keine Momente übertragen können. Kräfte und Lager müssen in Elementebene

liegen. Im Unterschied zum Scheibenelemente, können Schalenelemente auch senkrecht

zu ihrer Elementfläche beansprucht werden.


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Volumenelemente

Anwendung: Modellierung dreidimensionaler Strukturen (die sich nicht gut als Balken

oder Schalenmodelle simulieren lassen).

Die Knoten der Volumenelemente haben meist nur drei Verschiebefreiheitsgrade (siehe

Abbildung 2-7). Auf die Verdrehfreiheitsgrade wird oft verzichtet, da sie einen erheb-

lich höheren Rechenaufwand bewirken, ohne aber die Ergebnisse merklich zu verbes-

sern[5].

Abbildung 2-7: Überblick einiger ausgewählten Elemente für die Strukturanalyse mit

entsprechenden Knotenfreiheitsgraden[5], Seite 41.

In der Abbildung 2-7 steht U für die Verschiebung und rot für die Verdrehung der Kno-

ten. Also ux steht Beispielsweise für die Verschiebung in x- Achse und rotx für die

Verdrehung um die x- Achse.

2.2 ANSYS WORKBENCH

ANSYS Workbench verfügt über mehrere Analysearten (siehe Abbildung 3-1, unter

Analysesystem). Es wird jedoch im Rahmen dieser Arbeit nur statischen mechanischen

Analyse (in Abbildung 2-8, rot eingekreist) durchgeführt.

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Abbildung 2-8: Analysearten in ANSYS Workbench.

Die statischen Strukturmechanik Analysen ermitteln die Verformung, Spannungen, und

Dehnungen in Bauteilen in Abhängigkeit von äußeren, ruhenden Lasten.

Jedes Analysesystem besteht aus den folgenden Komponenten[2], welche nacheinander

bearbeitet werden.

1. Analyse-Art: hier wird festgelegt, welches numerische Verfahren ver-

wendet wird.

2. Technische Daten: hier werden Materialdaten für das Bauteil oder die

Baugruppe beschrieben.

3. Geometrie: hier können die Dateien eines externen CAD-Systems impor-

tiert oder eine Geometrie mit dem ANSYS DesignModeler neu erstellt

werden.

4. Modell: hier findet man alle notwendigen, um ein FE-Modell zu Be-

schreiben. Unter anderem die Geometrie und die Vernetzungseinstellung.

5. Setup: fasst die Analyse-Einstellungen, die Belastung und die Randbe-

dingungen zusammen.

6. Lösung: Lösung der Gleichung (2-6).

7. Ergebnisse: hier findet man die durch die FEM-Simulation ermittelten

Resultate.

Um den Ablauf einer typischen FEM-Berechnung zu verstehen, werden in Kap. 3 ein

paar Beispielaufgaben vorgestellt, mit denen man den Umgang mit ANSYS Workbench

erlernen kann.

Beispielaufgaben mit ANSYS Workbench

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3 Beispielaufgaben mit ANSYS Workbench

Anhand einfacher Beispielaufgaben, wird die Funktionsweise der Oberfläche Work-

bench näher erläutern.

3.1 Durch Eigengewicht belasteter Balken

Ziel dieser Beispielrechnung ist es, ein Vergleich zwischen der analytischen Berech-

nung und der FE-Lösung darzustellen, um die Güte der Simulation zu bewerten, und ein

Gefühl für die Genauigkeit der Ergebnisse zu entwickeln.

Aufgabestellung (ursprünglich aus [1], Seite 284)

Der untenstehende Balken aus Stahl mit dem Durchmesser d= 60mm = const. ist durch

sein Eigengewicht belastet.

Querschnitt A= 2827mm²; Trägheitsmoment I= 6,36.105mm4; ρ = 785.10-8 Kg/mm³;

𝑔 = 9810mm/S²; Länge= 2400 mm.

Gesucht: Die größte Durchbiegung, und die maximale Biegespannung

Abbildung 3-1: Durch Eigengewicht belasteter Balken.

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3.1.1 Grundlage - Biegung

Auf Biegung beanspruchte, stabförmige Bauteile nennt man Balken oder Träger. Die

Biegebeanspruchung im Balken ist die Folge von Lasten (Kräfte und Momente), die

senkrecht zur Balkenlängsachse wirken. Man unterscheidet:

Reine Biegung: Das Biegemoment wird durch äußere Momente verursacht. Es ist über

der Balkenachse konstant.

Querkraftbiegung: Das Biegemoment wird durch Querkräfte hervorgerufen. Das Bie-

gemoment ist über der Balkenlängsachse veränderlich.

Abbildung 3-2: Reine Biegung (Bild oben) und Querkraft Biegung (Bild unten) [19],

Seite 2.

Zur Bestimmung der Biegespannung müssen folgende Voraussetzungen erfüllt werden:

1. Balkenbiegung ohne Verdrehung (gerade Biegung).

2. Es treten nur Normalspannung in Schnitten senkrecht zur Balkenachse auf, d.h.

es treten keine zusätzlichen Schubspannungen (reine Biegung).

3. Die Querschnittsflächen sind klein gegenüber der Stablänge und bleiben bei der

Biegung, eben (sogenannte Bernoulli-Hypothese).


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Abbildung 3-3: Verhalten der Querschnitte bei der Biegung (Bernoulli-Hypothese)

[19], Seite 3.

4. Die Lastebene, in der die angreifenden Kräfte wirken, geht durch eine Symmet-

rielinie der Querschnittsflächen (siehe Abbildung 3-4).

5. Es wird elastisch- isotropes Werkstoffverhalten angenommen. Der Elastizitäts-

modul wird im Zug-und Druckbereich gleich angenommen.

6. Die Durchbiegung f sei klein gegenüber der Balkenlänge (f << L).

Abbildung 3-4: Biegebalken mit Lastebene [12], Biegung, Seite 1.

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Biegespannung

„Bei reiner Biegung mit konstantem Biegemoment wird jedes Balkenelement längs der

Balkensachse gleich gekrümmt. Daher wird sich die ursprünglich gerade Balkenachse

zu einem Bogen um den Krümmungsmittelpunkt biegen.“ [19]. Im unbelasteten Zu-

stand haben alle Fasern eines Balkenelements die gleiche Länge 𝑑𝑠. Nach Aufbringen

des Biegemoments 𝑀𝑏 ändern alle Fasern ihre Länge um 𝑑𝑠(z) − 𝑑𝑠.

Abbildung 3-5: Einfache Balkenverformung [19], Seite 7.

𝑑𝑠= 𝑅 ∙ 𝑑𝜑, (3.1)

wobei 𝑑𝑠 die ursprüngliche Länge der Fasern, R der Krümmungsradius und 𝑑𝜑 der

Winkel sind. Die Dehnung einer Faser im Abstand z von der neutralen Faserschicht ist

gegeben durch:

ε (z) = 𝑑𝑠 (𝑧)−𝑑𝑠

𝑑𝑠 =

(𝑅+𝑧)∙ dφ −R ∙ dφ

R ∙ dφ =

𝑧

𝑅 . (3.2)

Aus dem einachsigem Hook´sche Gesetz folgt, dass

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀. (3.3)

Mit der Normalspannung 𝜎 und dem Elastizitätsmodul 𝐸 des Werkstoffes.

Setz man die Gleichung (3.2) in die Gleichung (3.3) ein, erhält man

𝜎 =𝐸 ∙ ε (z) = 𝐸 ∙ 𝑧

𝑅 . (3.4)

Kräftegleichgewicht am Balken:

a) Längskraft

Es wirkt als äußere Belastung des Balkens lediglich 𝑀𝑦 (reine Biegung). Das Kräf-

tegleichgewicht in x-Richtung gilt (Wenn man davon ausgeht 𝑑𝐹 = 𝜎 𝑑𝐴) :

∑𝐹𝑥 = 0 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴 𝐴

(siehe Abbildung 3-6).


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Mit Gleichung (3.4) folgt

𝑧

𝑅 ∙ ∫ 𝑧 𝑑𝐴

𝐴 = 0 ∫ 𝑧 𝑑𝐴

𝐴 = 0 (das Integral ist dabei das sogenannte statische Moment).

Damit das Kraftgleichgewicht in x-Richtung erfüllt ist, muss die y-Achse gleichzeitig

Schwerachse sein.

b) Moment um die y-Achse

Es gilt

∑𝑀𝑦 = 0 = 𝑀𝑦 − ∫ 𝑧 𝑑𝐹𝐴

.

Mit 𝑑𝐹 = 𝜎 𝑑𝐴 und 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝑧

𝑅 nach Gl. (3.4) erhält man

𝑀𝑦 = 𝐸

𝑅 ∙ ∫ 𝑧2

𝐴 𝑑𝐴. (3.5)

Abbildung 3-6: Normalspannung im Balkenquerschnitt.

Das Integral ∫ 𝑧2𝐴

𝑑𝐴 stellt das axiale Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse

dar.

𝐼𝑦= ∫ 𝑧2𝐴

𝑑𝐴. (3.6)

Durch Einsetzen der Gleichung (3.6) in die Gleichung (3.5) ergibt sich

𝑀𝑦 = 𝐸

𝑅 ∙ 𝐼𝑦 .

𝑀𝑦

22

Abbildung 3-7: Spannungsverteilung über der Querschnittsfläche.

Mit 𝐸

𝑅 =

𝜎

𝑧 erhält man 𝑀𝑦 =

𝜎

𝑧 ∙ 𝐼𝑦 .

Die Umstellung nach 𝜎 ergibt

𝜎 (𝑧) = 𝑀𝑦

𝐼𝑦 ∙ 𝑧. (3.7)

Die Zug- und Druckspannungen steigen bis zu den Randfasern (𝑧 = |𝑧|𝑚𝑎𝑥) linear an

und erreichen dort ihren Maximalwert als Biegespannung 𝜎𝑏.

Ersetzt man in Gl. (3.7) z durch |𝑧|𝑚𝑎𝑥 , so erhält man

𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝑧) = 𝑀𝑦

𝐼𝑦 ∙ |𝑧|𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑏. (3.8)

Der Ausdruck

𝑊𝑦 = 𝐼𝑦

|𝑧|𝑚𝑎𝑥 (3.9)

stellt das axiale Widerstandmoment bezüglich der y-Achse dar.

Das Einsetzen der Gleichung (3.9) in die Gleichung (3.8) ergibt

𝜎𝑏 = 𝑀𝑦

𝑊𝑦 . (3.10)

Gl. (3.10) ist die Biegespannung um die y-Achse.


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Biegung bei veränderlichem Biegemoment

Wenn im Allgemeinen ein Träger durch Einzelkräfte, Streckenlasten bzw. Momenten

belastet wird, ist das Biegemoment als Schnittgröße nicht mehr konstant, sondern über

der Balkenlängsachse veränderlich. Die Normalspannung ist somit nicht nur linear über

der Balkenhöhe z veränderlich sondern auch über das Biegemoment von x abhängig.

Es gilt demensprechend:

𝜎 (𝑥, 𝑧) = 𝑀𝑦 (𝑥)∙𝑧

𝐼𝑦 .

Beim Träger mit konstantem Querschnitt treten die maximalen Normalspannungen an

der Stelle des maximalen Biegemoments auf. Somit gilt

𝜎𝑏 = |𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥|

𝑊𝑦 . (3.11)

Differentialgleichung der Biegelinie

Unter der Wirkung einer Biegebeanspruchung wird die ursprüngliche gerade Achse

eines Trägers gekrümmt. Die Durchgebogene Trägerachse heißt Biegelinie (w)

Abbildung 3-8: Biegelinie [19], Seite 36.

Der senkrechte Abstand der Biegelinie von der unverformten Balkensachse ist die

Durchbiegung w (x).

24

Abbildung 3-9: Durchbiegung w (x) eines Balkens [19], Seite 37.

Die Krümmung k eines Bogenstücks 𝑑𝑠 der Bogenlinie ist allgemein der Kehrwert des

Krümmungsradius ρ.

k = 1

𝜌(𝑥) = −

𝑤´´

(1+𝑤´2)32

, (3.12)

wobei w´= 𝑑𝑤

𝑑𝑥 die erste Ableitung und w´´=

𝑑2 𝑤

𝑑𝑥2 die zweite Ableitung der Durchbie-

gung darstellen. In technischen Systemen sind die Durchbiegungen und Neigungen von

Balken normalweise klein, so dass w´2 ≈ 0. Somit lässt sich die Gleichung (3.12) ver-

einfachen.

w´´= - 1

𝜌 (𝑥) . (3.13)

Die allgemeinen Beziehung 𝜎 = 𝑀

𝐼 ∙ 𝑧 = 𝐸 ∙

𝑧

𝜌 (siehe Gleichungen (3.7) und (3.4)) lässt

sich in umschreiben zu

1

𝜌 =

𝑀

𝐸∙𝐼 , (3.14)

wobei das Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment 𝐸 ∙ 𝐼 die Biege-

steifigkeit darstellt. Je größer die Biegesteifigkeit, desto geringer ist die Durchbiegung.

Mit den Gleichungen (3.13) und (3.14) erfolgt

w´´= −𝑀𝑦(𝑥)

𝐸∙𝐼𝑦 . (3.15)

Setzt man den Zusammenhang zwischen der Belastungsfunktion und den Schnittgrößen

𝑀´(𝑥) = 𝑄(𝑥) (3.16)


25

und

𝑞(𝑥) = −𝑄´(𝑥) (3.17)

in Gleichung (3.15) ein, wobei 𝑀(𝑥) das Schnittmoment, 𝑄(𝑥) die Schub- oder Quer-

kraft (Schnittkraft), und 𝑞(𝑥) die Belastungsfunktion sind.

so wird 𝑀(𝑥) = −𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´ 𝑀´(𝑥) = 𝑄(𝑥) = −(𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´)´ und

−𝑀´´(𝑥) = 𝑞(𝑥) = ((𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´)´´.

Wenn 𝐸 ∙ 𝐼 = konst. ist, so lässt sich die letzte Gleichung vereinfachen zu

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´´´ = 𝑞(x). (3.18)

Die Gleichung (3.18) stellt die Differentialgleichung der Biegelinie dar.

3.1.2 Analytische Lösung nach Bernoulli

Abbildung 3-10: Die Durchbiegung des Biegebalkens.

Da das System statisch unbestimmt( d.h. die Anzahl der Lagerreaktionen übersteigt, die

Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen) gelagert ist, kann 𝑀(𝑥) mit den Gleich-

gewichtsbedingungen allein nicht ermittelt werden. Die Berechnung der Durchbiegung

erfolgt deshalb mit der Gleichung (3.18)

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´´´ = 𝑞(x)

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´´ = 𝑞𝑥 + 𝑐1 = −𝑄(𝑥) (3.19)

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´ = 𝑞𝑥2

2+ 𝑐1𝑥 + 𝑐2 = −𝑀(𝑥) (3.20)

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´ = 𝑞𝑥3

6+ 𝑐1

𝑥2

2+ 𝑐2𝑥 + 𝑐3 (3.21)

26

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤 = 𝑞𝑥4

24+ 𝑐1

𝑥3

6+ 𝑐2

𝑥2

2+ 𝑐3𝑥 + 𝑐4. (3.22)

Die Integrationskonstanten werden aus den Randbedingungen errechnet.

Am linken Rand (x=0) des Balkens gilt:

𝑊(0) = 0 (die Durchbiegung ist behindert) 𝑐4 = 0.

𝑊´(0) = 0 (die Verdrehung ist behindert) 𝑐3= 0.

Am rechten Rand (x=L) des Balkens gilt:

𝑊(𝐿) = 0 (keine Durchbiegung) 𝑞𝐿4

24+ 𝑐1

𝐿3

6+ 𝑐2

𝐿2

2= 0.

𝑤´´(𝐿) = 𝑀(𝑙) = 0 ( Wendepunkt) 𝑞𝐿2

2+ 𝑐1𝐿 + 𝑐2 = 0.

Aus den beiden letzten Gleichungen erhalt man:

𝑐1 = −5𝑞𝐿

8 und 𝑐2 =

𝑞𝐿2

8

Nach dem Einsetzen der 4 Konstanten in die Gleichung

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤 = 𝑞𝑥4

24+ 𝑐1

𝑥3

6+ 𝑐2

𝑥2

2+ 𝑐3𝑥 + 𝑐4 , ergibt sich

𝑤(𝑥) =𝑞𝐿4

24𝐸𝐼∙ [(

𝑥

𝐿

)4

−5

2(𝑥

𝐿)3

+3

2(𝑥

𝐿)2

].

Die größte Durchbiegung

Nun geht es darum, anhand obiger Gleichung für 𝑤(𝑥) die größte Durchbiegung zu

berechnen. Dafür braucht man die Nullpunkten der ersten Ableitung der Funktion

𝑤(𝑥), um zu sehen, für welchen davon die Funktion ein Maximum hat.

Die Belastung aus Eigengewicht ist als Streckenlast (𝑞 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) anzusehen. Aus der

Masse

𝑚 = 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝜌 (3.23)

ergibt sich die Gewichtkraft

𝐹𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 (3.24)

mit

𝐹𝑔 = 2827𝑚𝑚2 ∙ 2400𝑚𝑚 ∙ 785 ∙10-8 𝐾𝑔

𝑚𝑚3 ∙ 9810

𝑚

𝑠2 ≈ 523 𝑁.

𝑤´(𝑥) =𝑞𝐿4

24𝐸𝐼∙ [4

𝐿(𝑥

𝐿

)3

−15

2𝐿(𝑥

𝐿)2

+3

𝐿(𝑥

𝐿)], wobei 𝑞 =

𝐹𝑔

𝐿


27

𝑤´(𝑥) = 0 𝑥

𝐿 [4 (

𝑥

𝐿

)2

−15

2(𝑥

𝐿) + 3] = 0

𝑤´(𝑥) = 0 ↔ 𝑥1 = 0 oder [4 (𝑥

𝐿

)2

−15

2(𝑥

𝐿) + 3] = 0

𝑤´(𝑥) = 0 ↔ 𝑥1 = 0 ∙ 2400𝑚𝑚 , 𝑥2 = 1,2965 ∙ 2400𝑚𝑚, 𝑥3 = 0,5785 ∙ 2400𝑚𝑚

𝑤´(𝑥) = 0 ↔ 𝑥1 = 0 𝑚𝑚, 𝑥2 = 3111,6 𝑚𝑚, 𝑥3 = 1388,4 𝑚𝑚.

Da der Definitionsbereich zwischen 0 und 2400mm liegt, ist der Wert 𝑥2 = 3111,6 𝑚𝑚

von vornherein ausgeschlossen. 𝑥1 = 0 𝑚𝑚 ist zwar im Definitionsbereich, aber

𝑤(0) = 0 gilt per Randbedingung, dass keine Durchbiegung vorliegt. Übrig bleibt

die Koordinaten 𝑥3 = 1388,4 𝑚𝑚 mit der sich die Durchbiegung berechnen lässt:

𝒘(𝟏𝟑𝟖𝟖, 𝟒 𝒎𝒎) = 𝟎, 𝟐𝟗𝟑𝒎𝒎 .

Die größte Biegespannung

Laut Gleichung (3.11) gilt die größte Biegespannung 𝜎𝑏 = |𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥|

𝑊𝑦 . das Biegemoment

ist durch die Gleichung (3.21) zu berechnen. Es geht aber hier um das maximale Bie-

gemoment, d.h. es muss im Definitionsbereich ([0mm, 2400mm]) die Stelle gefunden

werden, an der der Biegemoment seinen maximalen Wert erreicht.

Die Gleichung (3.21) lautet 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑤´´ = 𝑞𝑥2

2+ 𝑐1𝑥 + 𝑐2 = −𝑀(𝑥), die Konstanten 𝑐1

und 𝑐2 wurden bereits zuvor über die Randbedingungen berechnet.

𝑐1 = −5𝑞𝐿

8 und 𝑐2 =

𝑞𝐿2

8 , nach Einsetzen in (3.21) erhält man

𝑀(𝑥) =−𝑞𝑥2

2+5𝑞𝐿

8𝑥 −

𝑞𝐿2

8

𝑀´(𝑥) = 𝑞

2 (−2𝑥 +

5𝐿

4) = 0 𝑥 =

5𝐿

4 , mit 𝐿 = 2400𝑚𝑚 𝑥 = 1500 𝑚𝑚.

Gemäß dieser Berechnung könnte man das maximale Biegemoment bei 1500 mm ver-

mutet:

Abbildung 3-11: Biegemomentverlauf über Balkenlänge.

𝑀(1500 𝑚𝑚) = 88256,25 𝑁𝑚𝑚

28

Der Biegemomentverlauf in Abb.3-11 zeigt aber dass das Maximum am linken Rand

liegt und den Wert

𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥 = −156770,211 𝑁𝑚𝑚 hat.

𝑥 = 1500 𝑚𝑚 hat man ein relatives (lokales) Maximum während bei 𝑥 = 0 𝑚𝑚 ein

absolutes (globales) Maximum im Auswerteintervall vorliegt.

Das Widerstandsmoment (für einen Kreisquerschnitt) wird mit der Gleichung

𝑊𝑦 = 𝜋 ∙𝐷3

32 (3.26)

Berechnet.

𝑊𝑦 = 𝜋 ∙𝐷3

32= 𝜋 ∙

(60 𝑚𝑚)3

32= 21205,75 𝑚𝑚3, somit für die Biegespannung

𝜎𝑏 = |𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥|

𝑊𝑦 =

156770,211 𝑁𝑚𝑚

21205,75 𝑚𝑚3 und 𝝈𝒃 = 𝟕, 𝟑𝟗𝟑𝑵

𝒎𝒎𝟐 .

3.1.3 FE - Lösung

Statt der Modellierung eines Volumens kann in diesem Fall der Balken als eine Linie

behandelt werden. Die Rechnung ist dann eindimensional. Der Linie wird ein Quer-

schnitt zugeordnet, aus dem Informationen für die Steifigkeit abgeleitet werden können.

Der Vorteil dieses Vorgehens ist der: sehr geringe Berechnungsaufwand, und die leichte

Änderbarkeit der Profile.

Unter ANSYS ist als Analysesystem Statisch-mechanische Analyse auszuwählen.

Abbildung 3-12: Definieren einer Analyse.

Man kann entweder mit dem von ANSYS Workbench vordefinierten Material „Bau-

stahl“ arbeiten, oder man definiert (falls nötig) ein neues Material mit dem man arbeiten

möchte. Im Rahmen dieser Aufgabe wird es mit einem selbstdefinierten Material (Stahl)

gearbeitet, um einfach zu zeigen, wie in ANSYS Workbench ein neues Material defi-

niert werden kann.


29

Materialdaten

Auf die Komponenten Materialdaten (grünes Häkchen, siehe Abb. 3.12) der

Statisch-mechanische Analyse Doppelklicken.

Abbildung 3-13: Hinzufügen eines neuen Materials.

Daraufhin erscheint das Fenster, das in der Abb. 3-13 dargestellt ist. Im Feld

(Hier Klicken, um ein neues Material hinzuzufügen) unter dem vordefinierten

Material Baustahl, Das neue Material Stahl hinzufügen

Abbildung 3-14: Ausschnitt des Materialbereichs.

30

Das Fenster (unter dem Fenster

Strukturbaum für Schema A2: Materialdaten, siehe Abbildung 3-15) muss nun

mit einem paar Materialeigenschaften des Stahls (Dichte, E-Modul, Querkon-

traktionszahl) belegt werden.

Dazu: Aus den verfügbaren Materialeigenschaften der Toolbox (Links neben

dem Strukturbaum für Schema A2: Materialdaten) lassen sich die gewünschten

Eigenschaften per Drag und Drop (oder Doppelklick) auf das Fenster

ziehen und fallen lassen.

Abbildung 3-15: Felder zur Eingabe der Dichte, E-Modul und Querkontraktionszahl.

Allgemein gilt: Graue Felder sind zur Information und damit nicht änderbar,

weiße Felder können modifiziert werden und gelbe Felder müssen mit Daten be-

legt werden. D.h. die gelben Felder in Abbildung 3.15 müssen mit den Werten

von Dichte, E-Modul und Querkontraktionszahl des Stahls ausgefühlt werden.

Die Dichte ρ: 785.10−8 𝐾𝑔

𝑚𝑚3 .

So wird sowohl mit dem E-modul, als auch mit der Querkontraktionszahl ver-

fahren, welche in der Toolbox unter Linear-elastisch und Isotrop Elastizität (Die

Verformung ist von der Richtung der Zugkraft unabhängig) stehen.

Der Elastizitätsmodul (E-Modul): 210000 𝑁

𝑚𝑚2. Der Elastizitätsmodul ist ein

Materialkennwert, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung

bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischen Verhalten be-

schreibt [21].

Die Querkontraktionszahl ν: 0,3. Die Querkontraktionszahl (auch Poissonzahl

genannt) ist eine Materialkonstante, welche das Verhältnis aus einer relativen

Änderung der Dicke zur relativen Änderung der Länge beschreibt, wenn eine

äußere Kraft auf ein bestimmtes Werkstück einwirkt. ν= 𝛥𝑑/𝑑

𝛥𝑙/𝑙 ∙

Die weiteren Parameter (der Kompressionsmodul und der Schubmodul) werden

mithilfe vom E-Modul und der Querkontraktionszahl berechnet.


31

Der Kompressionsmodul Κ: 175000𝑁

𝑚𝑚2. Der Kompressionsmodul ist eine phy-

sikalische Größe, die beschreibt welche allseitige Druckänderung nötig ist, um

eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen. K= −𝑉𝑑𝑝

𝑑𝑉 mit dem Volumen

𝑉, der infinitesimalen Druckänderung 𝑑𝑝; der infinitesimalen Volumenänderung

𝑑𝑉. Das negative Vorzeichnen entsteht, weil bei einem Druckzuwachs das Vo-

lumen abnimmt, also 𝑑𝑉 negativ ist, aber K positiv bleiben soll.

Der Schubmodul G: 80769 𝑁

𝑚𝑚2 . Der Schubmodul, auch Gleitmodul (G-Modul)

genannt, ist eine Materialkonstante, welche Auskunft über die elastische lineare

Verformung eines Bauteils, infolge einer Schubspannung oder Scherkraft gibt.

Der Schubmodul G steht bei einem isotropen Material mit dem Elastizitätsmo-

dul E dem Kompressionsmodul K und der Querkontraktionszahl ν in folgender

Beziehung:

G = 3𝐾1−2ν

1+2ν .

Abbildung 3-16: Zusammenfassung der für die Simulation wichtigen Materialkennwer-

ten von Stahl.

Nachdem die Geometrie im DesignModeler geladen wurde, muss nun dem Sys-

tem mitgeteilt werden, mit welchem Material es arbeiten soll. Dazu :

Im Strukturbaum (in Mechanical Application ), auf das Plus Zeichnen vor

Geometrie klicken (siehe untenstehende Abbildung).

Abbildung 3-17: Ein Teil vom Strukturbaum des Modells.

32

Dann wird Linienkörper gewählt. in Details von Linienkörper (siehe Abbildung

3-18) auf das Zeichen + vor Material klicken, Zuordnung anklicken und den

Pfeil hinter Baustahl anklicken, anschließen Stahl auswählen.

Abbildung 3-18: Details von Linienkörper.

Erstellung der Balkengeometrie

Doppelklick auf „Geometrie“, (siehe Abbildung 3.12) dann öffnet sich der AN-

SYS DesignModeler .

Die Längeneinheit wird auf mm eingestellt.

Abbildung 3-19: Einstellen der Längeneinheit.

Es werden nun zwei Punkte definiert, welche die Endpunkte des Balkens dar-

stellen. Dazu: wird XY-Ebene ausgewählt (der Balken soll in der X-Achse lie-

gen). Unter Erstellen / Punkt erscheint im „Strukturbaum“ folgendes:

. Das gelbe Zeichen ( ) vor Punkt1 ist ein Hinweis dafür, dass der ge-

rade definierte Punkt1 noch erstellt werden muss.


33

Abbildung 3-20: Detailansicht bezüglich Punkt1.

In Detailansicht, wird auf „Aus Koordinatendatei“ (bei Definition, siehe Abbil-

dung 3.20) geklickt und dann manuelle Eingabe ausgewählt. Daraufhin erscheint

die Tabelle aus der Abbildung 3-21. Der erste Punkt hat die Koordinaten (0 mm,

0 mm, 0 mm). Auf erstellen klicken. Damit der Punkt im Grafikfenster sichtbar

wird, muss die Schaltfläche Punkte anzeigen (siehe Abbildung 3-22) aktiviert

sein.

Abbildung 3-21: Detailansicht zur Eingabe der Koordinaten.

Genauso wird mit dem zweiten Punkt, dessen Koordinaten (2400 mm, 0 mm, 0

mm) sind, verfahren.

Abbildung 3-22: Ein Abschnitt der Symbolleiste von Workbench.

Die beiden Punkte werden durch eine Gerade (Linie) verbunden: unter Konzept

(siehe Menüleiste) / Linie durch Punkte.

Erstellung des Kreisquerschnitts: unter Konzept / Querschnitt / Kreisprofil

(R=30mm).

34

Abbildung 3-23: Erstellung des Kreisquerschnitte.

Im Strukturbaum des DesignModelers wird der Menüpunkt

geöffnet dann auf geklickt. Daraufhin

erscheint die Detailansicht. Auf Querschnitt wird geklickt, dann Kreisprofil aus-

gewählt (siehe Abbildung 3.24).

Abbildung 3-24: Erstellung des Kreisprofils.

Erstellung des FE-Modells

Im Projektmanager: Doppelklick auf Modell, dann in Mechanical Application

rechte Maustaste auf Netz dann „erstellen“.


35

Abbildung 3-25: Detailansicht, Einflussmöglichkeit auf die Netzfeinheit durch

Relevanz.

In Detail von „Netz“ (siehe Abbildung 3-25), Relevanz 0 bedeutet Standard Ein-

stellung. Generell wird dem Netzgenerator mitgeteilt, ob man ein grobes, mittle-

res oder feines Netz haben möchte. Im ANSYS Workbench lässt sich dies über

die „Relevanz“ einstellen. Relevanz -100 grob, schnell, Relevanz 100 fein,

langsam.

Stellt man in Detail von „Netz“ die physikgestützte Relevanz (siehe Abbildung

3-25) von Grob auf Mittel oder Fein um, lässt sich die Netzdichte (bei der Stan-

dard Einstellung, Relevanz 0) zu feineren Netzen verändern. Darüber hinaus

kann man dort die globale Netzdichte statt über Standardeinstellung über absolu-

te Größen in mm steuern.

Abbildung 3-26: Automatisch generierte (per Default) globale Netzteuerung, bei

Relevanz 0, Physikgestützte Relevanz Grob (Links) und Fein (Rechts) bezüglich Ele-

mentgröße: Standard Einstellung.

36

Abbildung 3-27: Gesteuerte globale Netzteuerung, bei Relevanz 0, Physikgestützte

Relevanz Grob (Links), Elementgröße: 116 mm (21 Balken-Elemente, 43 Knoten) und

Physikgestützte Relevanz Fein (Rechts), Elementgröße: 35 mm (69 Balken-Elemente,

139 Knoten).

Gesteuerte globale Netzfeinheit: Während bei der Grob-Einstellung 116 mm

(Elementgröße) gebraucht wird, um 21 Balken- Elemente zu generieren, ist es

nur 35mm (Elementgröße) bei der Fein-Einstellung um 69 Balken- Elemente zu

generieren. Elementgröße entspricht der durchschnittlichen Elementkantenlänge.

Für die Berechnung der Gesamtverformung, ist eine Vernetzung die ausschließ-

lich auf globale Netzdefinitionen (d.h. für das Gesamtbauteil wird eine globale

Netzfeinheit definiert ) basiert, geeignet, um die Ergebnisse mit ausreichender

Genauigkeit darzustellen. Daher wird zunächst mit der Einstellung Grob gear-

beitet, um die Rechenzeit reduzieren zu können (auch wenn sich für die Be-

rechnung der Gesamtverschiebung kein großer Unterschied bezüglich der Re-

chenzeit ergibt, ob nun mit 21Balken- Elementen die Berechnung durchgeführt

wird oder mit 69 Balken- Elementen).

Bei 21 Balken-Elementen, sollte es eigentlich 22 Knoten geben. ANSYS erstellt

aber automatisch 43 Knoten. D.h. es wurden 3-Knoten- Balken-Elemente ver-

wendet.

Setup

Im Strukturbaum (Mechanical ) rechte Maustaste auf /

Einfügen/ Erdanziehungskraft auswählen (laut Aufgabestellung ist der Balken

mit Eigengewicht belastet).


37

Lasten: Richtung der Erdbeschleunigungskraft mit den Koordinaten (0 mm/s2, -

9806,6 mm/s2 ,0 mm/s2) anpassen. Dafür im Detailansicht auf Richtung klicken

und dann –Y einstellen. Daraufhin stellt ANSYS die standardmäßigen Koordi-

naten (0 mm/s2, 0 mm/s2, -9806,6 mm/s2) auf (0 mm/s2, -9806,6 mm/s2 ,0

mm/s2) um.

Abbildung 3-28: Detailansicht Erdanziehungskraft.

Lagerungen: Für eine einfache Definition wird bei den folgenden Schritten zu-

erst die Geometrie, dann die zugehörige Randbedingung gewählt. Der Selekti-

onsfilter (siehe Menüleiste) ist per Default auf Flächenselek-

tion eingestellt. Der muss aber auf Punktselektion (im Selektionsfilter, die erste

von Links) eingestellt sein, da die beiden Endpunkte des Balkens für die Lage-

rung gebraucht werden.

Als erster Punkt wird den Koordinatenursprung gewählt. Auf

(siehe Icon-Leiste) klicken und dann fixierte Lagerung auswählen.

Für den zweiten Endpunkt wird genauso verfahren wie beim ersten Endpunkt.

Statt fixierter Lagerung wird Verschiebung (Loslager) ausgewählt. Ein Loslager

(auch Gleitlager genannt) nimmt lediglich eine translatorische Bewegung

(in diesem Fall in Y-Richtung) auf und lässt die anderen translatorischen und al-

le rotatorischen Bewegungen zu. Dafür werden folgende Einstellungen vorge-

nommen: x-Komponenten: Frei, y- Komponenten: 0 mm, z- Komponenten:

0 mm. Geometrie (siehe Detailansicht) / Anwenden.

38

Abbildung 3-29: Darstellung der Randbedingungen.

Lösung

Hier kann die Berechnung gestartet werden. Icon-Leiste Lösung

wählen.

Alternativ: Statisch-Strukturmechanische / Lösung.

Ein Fortschrittsbalken zeigt den Status der Analyse an, und nach kurzer Zeit ist

der Strukturbaum komplett mit grünen Haken versehen und die Berechnung ab-

geschlossen.

Abbildung 3-30: Fortschrittsbalken und Status der Analyse nach abgeschlossener

Berechnung.


39

Ergebnisse

Größte Verformung

Um ein Berechnungsergebnis (hier Verformung) zu definieren: Strukturbaum

Lösung und über die rechte Maustaste unter Einfügen/Verformung/ und Ge-

samtverformung. Die Gesamtverformung (Gesamtverschiebung) ist hier über-

trieben dargestellt (Automatische Skalierung, )

Die Biegelinien (FE – und analytische Lösung) weisen einen ähnlichen Verlauf

auf.

Abbildung 3-31: Auswertung der Gesamtverschiebung bei grober Einstellung.

Größte Biegespannung

Hier wird genauso verfahren, wie beim Definieren der Gesamtverschiebung. Nur

hier anstatt Verformung wählt man Balkentool an. Nach dem die Lösung durch-

geführt wurde, rechte Maustaste auf Balkentool / Einfügen / Balkentool / Span-

nung / Max. Biegespannung.

Abbildung 3-32: Anwählen der maximalen Biegespannung.

40

Abbildung 3-33: Auswertung der maximalen Biegespannung bei feiner Einstellung

(hier eine Übertriebene Darstellung bei 2,e+002(0,5x Autom.).

Zusammenfassung der Ergebnisse

Tabelle 3-1: Zusammenfassung der Ergebnisse des Biegebalkens unter Eigengewicht.

Berechnete Größe Netzeinstellung(Elementgröße) / Anzahl Elemente/

Knoten

Grob (116mm) / 21/ 43 Fein (35mm) / 69/ 139

Maximale

Gesamtverformung (mm)

0,294 0,294

Maximale

Biegespannung (N.mm)

Max: 7,386

Min: 0,011

Max: 7,396

Min: 0,001

Fazit

An den Berechnungsergebnissen mit unterschiedlicher Netzfeinheit (Grob und

Fein, siehe Tabelle 3-1), sieht man, dass sich die Gesamtverschiebung nicht än-

dert. D.h. das von ANSYS vorgeschlagene grobe Netz (per Default) reicht aus,

um die Gesamtverschiebung zu berechnen.

Die maximale Biegespannung hingegen ändert sich nur geringfügig (mit einem

Unterschied von 0,13%. zwischen Grobes-und Feines Netz).

Dass der Unterschied (zwischen Grobes-und Feines Netz) bei den Ergebnissen

der Biegespannung nur geringfügig ist, liegt daran, dass die Lösung bereits beim

groben Netz konvergiert ist.


41

Mit einem noch feineren Netz wäre der Unterschied zwischen Grobes-und Fei-

nes Netz größer? Nein, bereits das grobe Netz reicht aus.

Der Vergleich zwischen analytischer Lösung und FE-Lösung liefert folgendes

Ergebnis: Gegenüber der analytischen Lösung (max. Gesamtverschiebung:

0,293 mm) weist die FE-Lösung (max. Gesamtverschiebung: 0,294 mm, bei 69

Elementen) eine Abweichung von 0,34 % auf. Und was die Spannung angeht,

weist die analytischen Lösung (max. Biegespannung: 7,393 MPa) gegenüber der

FE-Lösung (max. Biegespannung: 7,396 MPa, bei 69 Elementen) eine Abwei-

chung von 0,04%.

In beiden Berechnungsfälle (Gesamtverschiebung und max. Biegespannung)

stellt man fest, dass die analytische Lösung und die FE-Lösung fast identisch

sind. Die geringen Abweichungen zwischen der analytischen und der FE-

Lösung liegen in Bereich der Rechengenauigkeit.

3.2 Balken einseitig eingespannt

Nachdem das erste Beispiel einen 1-dimensionalen Fall betrachtet hat, wird sich das

zweite Beispiel einem 2-dimensionalen Fall zuwenden. Man bezeichnet den Modellan-

satz hinsichtlich der Geometrie als Scheibe. Eine Scheibe ist ein Flächentragwerk, wel-

ches nur durch Kräfte in seiner Ebene belastet wird. Bei Flächentragwerken geht man

davon aus, dass die Dicke als klein gegenüber anderen Abmessungen (Länge und Brei-

te) ist.

Ziel ist hier nun eine Konvergenzanalyse bezüglich der Gesamtverschiebung und der

größten Hauptspannung mit einzubinden. Aus einer Konvergenzanalyse soll ersichtlich

werden, wie sich eine berechnete Größe in Abhängigkeit des Netzes ändert.

Aufgabestellung

Das einseitig eingespannte Bauteil aus Stahl (siehe Abbildung 3-34) hat eine konstante

Dicke und ist mit einer Einzelkraft F (am freien Ende des Balkens) belastet. Gesucht

werden die Änderung der maximalen Verschiebung und die Hauptspannung in Abhän-

gigkeit verschiedener Auflösungen.

42

Abbildung 3-34:Einseitig eingespannter Balken.

3.2.1 Analytische Lösung

Um die maximale Verschiebung zu berechnen, kann man sich von der Tabelle 3-2 ge-

braucht machen. Es geht hier um den Belastungsfall 6 (siehe Tabelle 3-2). Dementspre-

chend kann die Durchbiegung (die maximale Verschiebung) durch die Formel

𝑓 =𝐹∙𝐿3

3∙𝐸∙𝐼 . (3.25)

Mit 𝐸 der E-Modul von Stahl, 𝐼 der Flächenträgheitsmoment, 𝐹 die Kraft und 𝐿 die

Balkenlänge.

𝐼 =𝑏∙ℎ³

12, (3.26)

wobei 𝐼 der Trägheitsmoment für einen Rechteckigen Querschnitt, 𝑏 die Dicke und ℎ

die Höhe des Bauteils sind.

𝐼 = 1 𝑚𝑚∙(10 𝑚𝑚)³

12 = 1000 𝑚𝑚4

12 , damit

𝑓 =20𝑁∙(300 𝑚𝑚)³

3∙ 210000 𝑁

𝑚𝑚2 ∙ 1000 𝑚𝑚4

12 = 10,29 𝑚𝑚.


43

Tabelle 3-2: Auszug der Tabelle für Biegelinien von statisch bestimmten Träger mit

Konstanten Querschnitt [12].

Die Größte Normalspannung ist durch 𝜎𝑏 = |𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥|

𝑊𝑦 gegeben (siehe Gleichung 3.11).

Der maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf.

𝑀𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹 ∙ 𝐿 = 20𝑁 ∙ 300𝑚𝑚 = 6000𝑁.𝑚𝑚.

Der Widerstandmoment für ein Rechteckiger Querschnitt

𝑊𝑦 =𝑏∙h3

6 𝑊𝑦 =

1𝑚𝑚∙(10mm)2

6=100𝑚3

6, somit ist die Die Größte Normalspannung

𝝈𝒃 =6∙6000𝑁.𝑚𝑚

100𝑚𝑚3= 𝟑𝟔𝟎

𝑵

𝒎𝒎𝟐 .

3.2.2 FE-Lösung

Als Analyse-Art wird die statisch-mechanische Analyse ausgewählt und das Material ist

das von ANSYS Workbench vorgeschlagene Material Baustahl.

Geometrie

XY-Ebene wählen, und ein Rechteck (dazu in Skizzenwerkzeug, unter Zeichen Recht-

eck auswählen, siehe Abbildung 3-37) draufziehen und die Bemaßungen auf Länge: 300

mm und Höhe: 10 mm einstellen.

44

Abbildung 3-35: Bauteilabmessungen.

Die vier Seiten des eingezeichneten Rechtecks nacheinander markieren (dazu muss vor-

her im ANSYS DesignModeler der Auswahlfilter: „Kanten“ eingeschaltet sein, siehe

Abbildung 3-36). Dann in der Menüleiste „Konzept“, Oberflächen durch Skizzen aus-

wählen (in der darauf erscheinende Detailansicht, die Dicke von 1mm eingeben) und

das ganze muss dann nur noch erstellt werden (d.h. auf „ Erstellen“ Klicken).

Abbildung 3-36: Eingeschalteter Auswahlfilter (Kanten).

Abbildung 3-37: Skizzierwerkzeug.


45

Modell

Es wird zunächst ein Grobes Netz (bei Relevant:0 und Elementgröße: 8,60mm, Knoten:

285) erstellt, um die Randbedingungen zu definieren.

Abbildung 3-38: Automatisch generierte (per Default) globale Netzsteuerung bei

Standardeinstellung (Relevanz:0, Physikgestützte Relevanz: Grob).

Abbildung 3-39: Gesteuerte globale Netzsteuerung bei Elementgröße: 8,60 mm (Re-

levanz:0, Physik-gestützte Relevanz: Grob).

46

Setup

Wie die Randbedingungen (vor allem die Einspannung) definiert werden, wurde in dem

vorherigen Beispiel bereits erklärt. Hier geht es nun darum die äußere Kraft zu definie-

ren, welche am freien Ende (mittig) des Balkens wirkt.

Es muss zunächst der Angriffspunkt der Kraft bestimmt werden. Dafür im DesignMo-

deler, unter Erstellen (Menüleiste) Punkt auswählen ( ). In der Detailansicht

bei Typ: Konstruktionspunkt und bei Definition: manuelle Eingabe wählen. Und unter

Punktgruppe1, die Koordinaten (𝑋 = 300 𝑚𝑚, 𝑌 = 5 𝑚𝑚, 𝑍 = 0 𝑚𝑚) des Angriffs-

punktes der Kraft eingeben (siehe Abbildung 3-40).

Abbildung 3-40:Details von Punkt1.

Nachdem alles eingestellt wurde, im Strukturbaum rechte Maustaste auf Punkt1 dann

auf klicken, um den Punkt (Angriffspunkt der Kraft) zu erstellen.

Um den erstellten Punkt sichtbar zu machen klickt man auf Punkte anzeigen (siehe Ab-

bildung 3.41).

Abbildung 3-41: Der angezeigte Angriffspunkt der Kraft.


47

Nun muss die äußere Kraft definiert werden, dazu im Strukturbaum vom Mechanical

Application ( ) rechte Maustaste auf statisch-mechanisch dann Einfügen anschließend

Kraft auswählen.

In der Detailansicht von Kraft bei Geometrie: auf den oben erstellten Angriffspunkt der

Kraft klicken und dann anwenden. Kraft definiert durch: Komponente.

Komponenten der Kraft eingeben(0 𝑁,−20 𝑁, 0 𝑁), Enter drücken

Abbildung 3-42: Definieren der Kraft F.

Ergebnisse

Abbildung 3-43: maximale Gesamtverschiebung bei Elementgröße:10mm (30 Finite

Elemente und 153 Knoten).

48

Abbildung 3-44: Darstellung der maximalen Hauptspannung 10mm (30 Finite Ele-

mente und 153 Knoten).

3.2.3 Konvergenzanalyse bezüglich der maximalen Gesamtverschiebung und der

Hauptspannung

Tabelle 3-3: Konvergenzanalyse bezüglich der maximalen Gesamtverschiebung und

der Hauptspannung unter linearem und quadratischem Ansatz.

Netz [Anzahl

Elemente]

Maximale Verschiebung

(Linearer Ansatz) [mm]

Maximale Verschiebung

(Quadratischer Ansatz) [mm]

Hauptspannung (Linearer Ansatz) [MPa]

Hauptspannung (Quadratischer

Ansatz) [MPa]

4 10,41 9,79 308,30 335,00

6 10,59 10,30 335,74 352,72

8 10,69 10,50 344,21 356,63

10 10,73 10,60 348,30 358,07

12 10,77 10,67 344,16 356,74

16 10,79 10,70 348,27 358,14

19 10,79 10,72 350,19 358,68

22 10,80 10,74 351,57 359,01

25 10,80 10,75 352,61 359,24

30 10,80 10,77 353,87 359,47

35 10,52 10,78 325,06 367,22

72 10,79 10,79 351,90 367,18

86 10,79 10,79 352,75 367,51

94 10,79 10,79 353,14 367,73

110 10,80 10,80 353,37 368,12

120 10,80 10,80 353,97 368,47

192 10,80 10,80 358,68 379,26

225 10,80 10,80 359,06 381,46

400 10,80 10,80 363,86 394,08

480 10,80 10,80 365,78 397,42

750 10,80 10,80 371,47 410,31

1400 10,80 10,80 381,83 432,16


49

Durch das Miteinandervergleichen der Rechnerergebnisse aus unterschiedlichen Netzen

kann beurteilt werden, ob ein Netz mit einer gewissen Anzahl von Elemente ausrei-

chend genau ist, um die Berechnungsergebnisse darzustellen. Bei einer geringen Ab-

weichung zum Grenzwert, z.B. 1% kann das Netz als ausreichend genau bezeichnet

werden.

3.2.4 Auswertung der Ergebnisse

Abbildung 3-45: Maximale Gesamtverschiebung über die Anzahl der Netzelement bei

Linearem und Quadratischem Ansatz.

Ausreißer

50

Abbildung 3-46: Maximale größte auftretende Hauptspannung über die Anzahl der

Netzelemente bei linearem und Quadratischem Ansatz.

Tabelle 3-4: Konvergenzanalyse bezüglich der größten auftretenden Hauptspannung

unter linearem und quadratischem Ansatz am Pfad.


51

Abbildung 3-47: Maximale größte auftretende Hauptspannung über die Anzahl der

Netzelemente bei linearem und Quadratischem Ansatz am Pfad (siehe Seite 54).

Aus der Abbildung 3-45 (maximale Gesamtverformung) lassen sich folgende

Schlussfolgerung ziehen:

Die Ergebnisse werden mit wachsender Anzahl von Elementen besser (die Lö-

sungen konvergieren).

Die Simulation liefert die maximale Gesamtverschiebung bei 𝑓 = 10,80 𝑚𝑚

während der analytischen Lösung 𝑓 = 10,29 𝑚𝑚 liefert. Es liegt daran, dass es

mit Scheibenelementen gearbeitet wird, welche nicht auf den Bernoulli-

Annahmen basieren.

Die Kurve, welche der lineare Ansatz darstellt weist bei der Elementanzahl 35

einen Ausreißer auf. Grund ist die Ungleichmäßigkeit in der Anordnung der

Elemente und der plötzliche Auftritt anderer Elementtyp und –form (siehe Ta-

belle 3-5).

52

Tabelle 3-5: Anordnung der Elemente in Abhängigkeit des Netzes.

Elementanzahl / Elementgröße[mm] Anordnung

35 / 9,7

72 / 8,40 (Zweierreihe)

192 / 4,70 (Dreierreihe)

400 / 3 (Viererreihe)

750 / 2 (ein Abschnitt der Fünferreihe)

1400 / 1,50 (ein Abschnitt der Siebener

-reihe)

Aus der Abbildung 3-46 (maximale größte auftretende Hauptspannung) lassen sich

folgende Schlussfolgerung ziehen:

Da die beiden Kurven (linearer und quadratischer Ansatz) einen divergierenden

Verhalten an der Stelle maximaler Hauptspannung aufweisen (siehe Abbildung

3-46), kann die Spannung an dieser Stelle nicht ausgewertet werden. Es handelt

sich dabei um eine Stelle einer Spannungssingularität, auf die im Rahmen dieser

Arbeit nicht näher eingegangen werden soll. Stattdessen wird die Spannung in

einiger Entfernung ausgewertet und hierfür einen Pfad erstellt.

Erstellen eines Pfades

ANSYS Workbench ermöglicht nicht nur Auswertungen in Linien, die im Geometrie-

modell bereits vorhanden sind, sondern auch Auswertungen entlang von Linien quer

durch das Modell. Diese Auswertelinie wird als Pfade genannt. Dazu ist auf der Mo-

dellebene die Funktion Konstruktionsgeometrie zu aktivieren und die Funktion Pfad

auszuwählen[2] (siehe Abbildung 3-48).


53

Abbildung 3-48: Definieren eines Pfades.

Der hier verwendete Pfad liegt 65mm entfernt von der Einspannung. D.h. der Startpunkt

des Pfades hat für Koordinaten (65mm, 0mm, 0mm) und sein Endpunkt (65mm, 10mm,

0mm). Die 10mm stellen die Breite des betrachteten Balkens dar.

Abbildung 3-49: Bezug der Hauptspannung auf den Pfad.

Ein Ergebnis lässt sich auf den Pfad beziehen, in dem man sich ein zusätzliches Berech-

nungsergebnis erzeugt (hier größte auftretende Hauptspannung). Dann in Detailfenster

(siehe Abbildung 3-49) auf Pfad klicken.

54

Abbildung 3-50: Auswertung der größten auftretenden Hauptspannung am Pfad.

Aus der Abbildung 3-47 (maximale größte auftretende Hauptspannung am Pfad)

lassen sich folgende Schlussfolgerung ziehen:

Die beiden Kurven (linearer und quadratischer Ansatz) nähern sich mit wach-

sender Anzahl der Elemente dem Grenzwert 𝜎 = 282 𝑀𝑃𝑎.

Für die analytische Lösung am Pfad:

𝑀𝑦 max _𝑃𝑓𝑎𝑑 = 𝐹 ∙ 𝐿 = 20𝑁 ∙ (300 − 65)𝑚𝑚 = 4700𝑁.𝑚𝑚.

𝑊𝑦 =100

6𝑚3. Somit ist 𝝈𝒃_𝑷𝒇𝒂𝒅 =

6∙4700𝑁.𝑚𝑚

100𝑚𝑚3= 𝟐𝟖𝟐

𝑵

𝒎𝒎𝟐∙

Das Simulationsergebnis stimmt mit der analytischen Lösung überein.

Aus der Abbildung 3-45 und 3-47 lassen sich folgende Schlussfolgerung ziehen:

Nun stellt sich die Frage welches Netz (Elementanzahl) stellt die Ergebnisse ausrei-

chend genau dar?

Es wird das Netz mit einer Abweichung von weniger als 1% zum jeweiligen

Grenzwert der berechneten Größe (Verformung und Spannung) als ausreichend ge-

nau gewählt. Daher die Wahl auf das Netz mit 16 Elementen. Denn bezüglich der

Verformung hat es eine Abweichung von 0,93 % und bezüglich der Hauptspannung


55

eine Abweichung von 0,56 %. Es wird der quadratische Ansatz berücksichtigt sich,

da ANSYS Workbench grundsächlich mit quadratischem Ansatz arbeitet.

3.3 Winkelhalter

Ziel dieses Beispiels ist es nun den Umgang mit einem 3D-Bauteil in ANSYS Work-

bench zu Demonstrieren. Da bereits in den beiden vorherigen Beispielen einige grund-

legende Funktionen von ANSYS Workbench ausführlich beschrieben wurden, wird hier

nur auf die Unterschiede bzw. andere wichtige Funktionen eingegangen.

3.3.1 Aufgabenstellung

Ein kleiner Winkelhalter aus Stahl (Baustahl) soll in einer linear statistischen Analyse

auf Spannungen und Verformungen berechnet werden. Vereinfacht wird angenommen,

dass er in der Anlagefläche komplett fixiert wird. Auf das etwas vorstehende Auge soll

eine Kraft von 1000N senkrecht wirken [2].

Abbildung 3-51: Winkelhalter (geänderte Zeichnung aus [2], Seite 107).

Im Anhang befindet sich die Beschreibung, wie das Bauteil in DesignModeler model-

liert wurde.

56

Tabelle 3-6: Technische Daten und Bauteilabmessung.

Technische Daten Bauteilabmessung

Material: Baustahl Anlagefläche-Länge:45mm

E-Modul: 200000 MPa Anlagefläche-höhe:5mm

Poisson-Zahl: 0,3 Anlagefläche-Breite:18mm

Streckgrenze: 250 MPa Augenhöhe (Mittelpunkt):18mm

Innenkreis Durchmesser: 5mm

Aussenkreis Durchmesser: 10mm

3.3.2 Grundlage- Dreiachsiger Spannungszustand

Wenn ein Körper mit beliebiger äußerer Belastung (Kräfte 𝐹𝑖, Momente) belastet wird,

verursacht diese Belastung innere Kräfte (Beanspruchungen). Durch Schneiden werden

die inneren Kräfte und damit die Spannungen sichtbar.

Abbildung 3-52: Schnitt durch einen Belasteten Körper.

Da die Spannungen auf der Schnittfläche A im Allgemeinen nicht konstant sind, wird

ein beliebiger Punkt P aus der Schnittfläche herausgegriffen. Auf das Flächenelement

𝑑𝐴 wirkt der Kraftvektor 𝑑𝐹. Den Quotienten aus 𝑑𝐹 und 𝑑𝐴 bezeichnet man als den

Spannungsvektor 𝑆𝑛.

𝑆𝑛 =𝑑𝐹

𝑑𝐴. (3.27)

𝐴


57

Der Spannungsvektor wird in eine Komponente(𝜎𝑛) senkrecht zur Schnittfläche und

Komponente (𝜏𝑛) parallel (in der Fläche liegend) zur Schnittfläche aufgegliedert (siehe

Abbildung 3-52).

Durch den Punkt P, lassen sich Schnitte in beliebiger Richtung legen. Aus diesem

Grund reicht die Angabe eines Spannungsvektors nicht aus, um den Spannungszustand

im Punkt P vollständig zu definieren. Daher benötigt man drei Spannungsvektoren

𝑆𝑥, 𝑆𝑦, 𝑆𝑧 welche in 3 senkrecht aufeinander stehende Schnittfläche gebildet werden.

𝜏𝑛(Schubspannung) lässt sich in 2 Komponenten (mit den Richtungen der Koordinaten-

achsen) zerlegen, welche durch zwei Indizes gekennzeichnet werden. Zum Beispiel

𝜏𝑥𝑦. Der erste Index kennzeichnet die Richtung der Flächennormalen während der

zweite Index die Richtung der Spannungskomponenten. Die Spannungskomponenten

sind positiv, wenn sie in die Richtung der positiven Koordinatenachsen zeigen.

Abbildung 3-53: Infinitesimaler Würfel im allgemeinen Spannungszustand(im Bezug

Punkt P) [20], Seite 34.

Somit gelten für die drei Spannungsvektoren in Komponentendarstellung

𝑆𝑥 = [

𝜎𝑥𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧], 𝑆𝑦 = [

𝜏𝑦𝑥𝜎𝑦𝜏𝑦𝑥], 𝑆𝑧 = [

𝜏𝑧𝑥𝜏𝑧𝑦𝜎𝑧]. (3-28)

Um den Spannungszustand im Punkt P vollständig zu definieren benutzt man eine Mat-

rix, die aus den Komponenten der dreien Spannungsvektor( 𝑆𝑥, 𝑆𝑦, 𝑆𝑧) besteht. Matri-

zen werden hier durch zwei Unterstrichen gekennzeichnet.

𝑆 =[

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧

]. (3.29)

58

Aus dem Gleichgewicht am Volumenelement aus der Abbildung (3-53) folgt

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 (3.30a)

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 (3.30b)

𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧. (3.30c)

Für jeden Punkt des Körpers gibt es drei zueinander senkrechte Schnittflächen, für die

Schubspannungen Null und die Normalspannungen Maximalwerte haben. Diese

Schnittfläche heißen Hauptspannungsebenen.

Abbildung 3-54:Hauptspannungsebenen und Hauptspannungen [20], Seite 34.

Die auf den drei Hauptspannungsebenen senkrecht stehenden Normalspannungen(𝜎1,

𝜎2, 𝜎3) bezeichnet man Hauptspannungen. Die zugehörigen Koordinatenachsen heißen

Hauptachsen (siehe Abbildung 3-54).

3.3.3 Bauteilsicherheit

Bauteile die infolge der äußeren Belastung einem allgemeinen Spannungs- und verfor-

mungszustand unterliegen werden, sind so zu dimensionieren, dass es unter Betriebsbe-

dingungen nicht zum Bruch oder zum Versagen kommt. Daher ist es notwendig die

Obergrenze eines Spannungszustandes zu definieren, deren Überschreitung zum Versa-

gen des Materials führt.

Aus dem einachsigen Spannungszustand gewonnene Werkstoffkennwerte, zum Beispiel

die Zugfestigkeit 𝑅𝑚 oder die Streckgrenze 𝑅𝑒 stehen für viele Werkstoff zur Ver-

fügung.


59

„Im Realen Bauteilen hingegen bestehen meist mehrachsige Spannungszustände. Um

diese auf die Werkstoffkennwerte, die einachsig gewonnen werden, übertragen zu kön-

nen, wird der mehrachsige Spannungszustand auf einen einzelnen Spannungswert um-

gerechnet, der sogenannten Vergleichsspannung 𝜎𝑣. Dieser Spannungswert muss dem

mehrachsigen Spannungszustand bezüglich der ertragbaren Anstrengung gleichwertig

sein“[12], Spannung-Übersicht-Beanspruchungen, Seite 17.

Abbildung 3-55: Festigkeitshypothese [21], Seite 4.

Somit lautet die Versagensbedingung

𝜎𝑣 ≤ 𝑅.

Das Versagen durch Bruch wird gegen die Zugfestigkeit 𝑅𝑚 des Werkstoffes abgesi-

chert, und bei Fließversagen wird die Fließgrenze 𝑅𝑒 herangezogen“. Zur Ermittlung

der Vergleichsspannung 𝜎𝑣 bedient man sich unter anderem der folgenden Festigkeits-

hypothesen:

Schubspannungshypothese (SH)

Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH)

Schubspannungshypothese (SH)

Nach der Schubspannungshypothese kommt es zu Fließversagen, wenn die maximale

Hauptspannungsdifferenz die Streckgrenze erreicht.

𝝈𝒗𝒔𝑯 = 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 = 𝟐 ∙ 𝛕𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑹𝒆 (3.31)

60

Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH)

Nach der GEH (von Mises Spannung) versagt ein Bauteil, wenn die gespeicherte Ge-

staltungsenergie einen werkstoffabhängigen Grenzwert erreicht.

𝝈𝒗𝑮𝑬𝑯 =

𝟏

√𝟐∙ √(𝝈𝟏 − 𝝈𝟐)𝟐 + (𝝈𝟐 − 𝝈𝟑)𝟐 + (𝝈𝟏 − 𝝈𝟑)𝟐 ≤ 𝑹𝒆 (3.32)

3.3.4 Festigkeitsanalyse des Winkelhalters mit ANSYS

Berechnungsmodell

Das Berechnungsmodell besteht aus Geometrie, Koordinatensystemen, und Netz. Es

wird zunächst mit der globalen Netzfeinheit (Relevanz: 0, physikgestützte Relevanz:

Grob, Elementgröße: 2,50 mm) gearbeitet, um Last und Lagerung zu definieren.

Abbildung 3-56: Automatisch generierte globale Netzsteuerung bei Relevanz 0, Phy-

sikgestützte Relevanz: grob und Elementgröße Standardeinstellung.

Abbildung 3-57: Gesteuerte Globale Netzsteuerung, bei Relevanz 0, Physikgestützte

Relevanz: Grob und Elementgröße: 2,50 mm.


61

Last und Lagerung Definieren

Für eine einfache Definition sollte bei den folgenden Schritten zuerst die Geometrie und

dann die zugehörige Randbedingung gewählt werden. Da die Kraft auf das vorstehende

Auge wirkt, muss die entsprechende Fläche angewählt werden.

Abbildung 3-58: Die selektierte Fläche auf die, die Kraft wirkt.

Auf einer selektierten Fläche kann eine Kraft sowohl als Druck, als auch als Kraft =

Druck*Fläche definiert werden.

Abbildung 3-59: Druck und Kraft [11], Seite 41.

Der wesentliche Unterschied ist die Lastrichtung, die beim Druck in der Realität immer

senkrecht auf der Oberfläche wirkt und bei der Kraft an jeder Stelle und damit an jedem

Knoten der belasteten Fläche in Kraftrichtung zeigt.

62

Da in unserem Fall die Kraft senkrecht auf die selektierte Fläche wirkt, kann sie sowohl

als Druck als auch als einfache Kraft angesehen werden.

Im Modellbaum: rechte Maustaste auf Statisch-mechanisch Einfügen Kraft dann

die Kraft Randbedingung definieren.

Abbildung 3-60: Definieren einer Kraft.

Solange noch nicht alle erforderlichen Angaben gemacht sind, wird im Strukturbaum

die Kraft mit einem blauen Fragezeichen versehen (siehe Abbildung 3-60).

Es wird in der Detailansicht von Kraft die Komponenten (0N, 0N, -1000N) eingegeben,

weil die z-Achse senkrecht zu dem vorstehenden Auge steht (siehe Abbildung 3-61)

und in entgegen gerichteter Richtung der Kraft.

Abbildung 3-61: Koordinaten-Achsen und Kraft-Richtung.

Es soll nun die Einspannung definiert werden: Anlagefläche selektieren (darauf achten,

dass der Selektionsfilter auf Flächenselektion eingestellt ist) dann rechte Maustaste auf

Statisch-mechanisch Einfügen fixierte Lagerung.


63

Abbildung 3-62:Selektionsfilter (roter Rahmen).

Ergebnisse Erzeugen

Um ein Berechnungsergebnis zu definieren: rechte Maustaste auf Lösung, unter Einfü-

gen eine der Ergebniskategorien( Verformung, Spannung, Dehnung…) wählen. Für den

Winkelhalter werden die Verformung und die von Mises Vergleichsspannung darge-

stellt.

Das erste visualisierte Ergebnis sollte die Verformung sein, um eine Plausibilitätsprü-

fung durchführen zu können.

Abbildung 3-63: Auswertung der Simulationsergebnisse (Gesamtverformung), bei

gesteuerter globaler Netzsteuerung ( Relevanz 0, Elementgröße: 2,50 mm, Physikge-

stützte Relevanz: Grob).

64

Abbildung 3-64: Simulationsergebnisse (Vergleichsspannung von Mises), bei globa-

ler Steuerung des FEM-Netzes(Relevanz 0, Elementgröße: 2,50 mm, Physikgestützte

Relevanz: Grob).

Die globale Netzdichte wird nun verfeinert, indem man auf Physikgestützte Relevanz

Fein (bei Relevanz 0) übergeht.

Abbildung 3-65: Automatisch generierte globale Netzfeinheit, bei Relevanz 0, Phy-

sikgestützte Relevanz Fein und Elementgröße: Standard Einstellung.


65

Abbildung 3-66: Gesteuerte globale Netzfeinheit, bei Relevanz 0, Physikgestützte

Relevanz Fein und Elementgröße: 0,8257mm.

Abbildung 3-67: Auswertung der Simulationsergebnisse(Gesamtverformung), bei

globaler Steuerung des FEM-Netzes(Relevanz 0, Elementgröße: 0,8257 mm, Physikge-

stützte Relevanz: Fein, maßstabgerecht).

Interpretation der Ergebnisse bezüglich der Gesamtverschiebung

Im Vergleich zu der groben Einstellung (max. Gesamtverschiebung: 0,029 𝑚𝑚) hat

sich bei der feinen Einstellung (maximale Gesamtverschiebung: 0,030 𝑚𝑚) die maxi-

male Verschiebung kaum geändert.

66

Abbildung 3-68: Auswertung der Simulationsergebnisse (Vergleichsspannung von

Mises), bei gesteuerter globaler Steuerung des FEM-Netzes (Relevanz 0, Elementgröße:

0,8257 mm, Physikgestützte Relevanz: Fein).

Interpretation der Ergebnisse bezüglich der Vergleichsspannung (von Mises)

Im Vergleich zu der groben Einstellung (Vergleichsspannung 𝜎𝑣 = 75,07 𝑀𝑃𝑎) hat

sich die feine Einstellung (Vergleichsspannung 𝜎𝑣 = 83,37 𝑀𝑃𝑎) um 11 % geändert.

Nun stellt sich die Frage, ob das verwendete Netz (feine Einstellung) genau genug ist,

um die Berechnungsergebnisse realitätsnah darzustellen. Da der reale Wert nicht be-


67

kannt ist, bedient man sich einiger Kriterien, die dabei behilflich sein können, das ver-

wendete Netz zu beurteilen.

Ein Kriterium (die sogenannte Konvergenzanalyse) wurde bereits behandelt (siehe Ka-

pitel 3.2.3). Ein zweites Kriterium ist der Vergleich von gemittelten und ungemittelten

(nicht gemittelte) Spannungen.

„Intern werden die Spannungen elementweise berechnet (siehe Abbildung 3-69, Links)

Das kann dazu führen, dass bei großen Gradienten und grober Vernetzung die Spannun-

gen von Element zu Element stark schwanken. Für eine optische schöne Darstellung

werden diese Unterschiede zwischen den Elementen gemittelt. Bei einem starken Unter-

schied zwischen den gemittelten und den ungemittelten Spannungen (den Elementspan-

nungen) muss man, also davon ausgehen, dass der reale Spannungsverlauf nicht gut

abgebildet ist“ [2], Seite 178.

Abbildung 3-69: Elementspannung (Links), Nicht gemittelte (Mitte) und gemittelte

Spannungsausgabe (Rechts) [11], Seiten 64 und 65.

Das linke Bild in Abbildung 3-69 zeigt den jeweiligen Anteil der unterschiedlichen

Elementspannungen (hier farbig dargestellt) an einem gemeinsamen Knoten. Dies führt

zu einer gemittelten Knotenspannung. Das rechte Bild zeigt der Spannungsverlauf in

der gemittelten Darstellung. Man sieht, dass der Spannungsverlauf glatter ist und er-

streckt sich über mehrere Elemente. In der nicht gemittelten Darstellung (Mitte) hinge-

gen ist der Spannungsverteilung in jedem Element unterschiedlich.

68

Abbildung 3-70: nicht gemittelte Vergleichsspannung bei feiner Einstellung (Ele-

mentgröße 0,8257mm.

Der Unterschied von nicht gemittelter und gemittelter Spannung ergibt (96,19 −

83,37)𝑀𝑃𝑎 = 12,82 𝑀𝑃𝑎. Bezogen auf gemittelten Spannungswert erhält

man: 12,82𝑀𝑃𝑎

83,37𝑀𝑃𝑎 ∙100 % ≈ 15%.

Ist nun das feine Netz genau genug um das Ergebnis darzustellen? Um die Frage beant-

worten zu können wird auf ein weiteres Kriterium aufgegriffen.

Grundsächlich ist es nicht sinnvoll das Netz am gesamten Bauteil sehr stark zu verfei-

nern (besonders bei großem und Kompliziertem Bauteil), sondern nur dort, wo mit einer

erheblichen Kerbspannung gerechnet wird. Dazu verfügt ANSYS über mehrere Mög-

lichkeiten. Eine davon ist die „lokale Netzverfeinerung“ mit Vorgabe der Elementgröße.

Es wird von der globalen Einstellung (Elementgroß: 2,50mm) ausgegangen. Ziel ist am

Kerbradius (lilafarbiger Bereich in der Abbildung 3-71) das Netz zu verdichten.

Dafür im Strukturbaum, rechte Maustaste auf Netz / Einfügen / Elementgröße anwäh-

len. Dann auf die entsprechende Geometrie (Kerbradius) klicken. Im Fenster „Details

von Elementgröße“ (das Fenster befindet sich unter dem Strukturbaum) bei Geometrie

auf anwenden klicken.


69

Abbildung 3-71: Elementgröße auf Fläche.

Im Fenster Details von „Elementgröße auf Fläche“ Elementgröße vorgeben, hier 0,2mm

(siehe Abbildung 3-72).

Abbildung 3-72: Netzanpassung durch Vorgabe der Elementgröße.

70

Mit der Netzanpassung durch Vorgabe der Elementgröße am Kerbradius erhält man

eine Vergleichsspannung von 85,82 𝑀𝑃𝑎

Abbildung 3-73: Vergleichsspannung mit lokalen Verfeinerung.

Bewertung des durch Vorgabe der Elementgröße angepassten Netzes

Gemittelte Spannung: 85,82𝑀𝑃𝑎, Nicht Gemittelte Spannung :92,01𝑀𝑃𝑎

Abbildung 3-74: Nicht gemittelte Vergleichsspannung.


71

Der Unterschied von nicht gemittelter und gemittelter Spannung ergibt:

(92,01 − 85,82)𝑀𝑃𝑎 = 6,19𝑀𝑃𝑎. Bezogen auf gemittelte Spannungswert und in Pro-

zentsatz erhält man:

6,19𝑀𝑃𝑎

85,82𝑀𝑃𝑎∙ 100 % ≈ 7 %

Fazit

Das Ergebnis der Spannung 𝜎𝑣 = 85,82 𝑀𝑃𝑎 (mit lokalen Verfeinerung) ist um 3%

besser als 𝜎𝑣 = 83,37 𝑀𝑃𝑎 (mit der gesamten Verfeinerung des Bauteils). Der Unter-

schied der Ergebnisse zwischen den beiden Vorgehensweisen ist an sich (3%) nicht so

groß, weil es sich um ein kleines, unkompliziertes Bauteil geht und die gesamte Verfei-

nerung des Bauteils nicht zu stark ist.

Ist das feine Netz ( 𝜎𝑣 = 83,37 𝑀𝑃𝑎) genau genug um das Ergebnis darzustellen? Ja.

Denn die die Verdichtung des Netzes ist zwar fein aber nicht zu fein, da ansonsten die

Zahl der Knoten und Elementen und damit die Rechenzeit steigen würde. Die Ver-

gleichsspannung (𝜎𝑣 = 85,82 𝑀𝑃𝑎) ist kleiner als die Streckgrenze 𝑅𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎.

Somit gibt es genug Sicherheit gegen plastische Verformung des Bauteils.

72

4 Pelton-Turbinenschaufel

4.1 Aufgabenstellung

Die Schaufel einer bereits mittels Rapid-Prototyping entwickelten Kleinpeltonturbine

soll im Rahmen dieser Arbeit einer Festigkeitsanalyse unterzogen werden. Vereinbart

wird damit eine statische Verformung-und Spannungsanalyse sowohl im ruhenden als

auch im rotierenden Zustand. Darüber hinaus ist ein Zugversuch nach EN ISO 527 vor-

gesehen, um die daraus resultierenden Materialkennwerte mit denen des Herstellers

vergleichen zu können.

Abbildung 4-1:Turbinenschaufel. Exportierte Zeichnung aus [15].

Tabelle 4-1: Die von der Firma Stratasys angegebenen technischen Daten für das 3D-

Druck-Material (VeroClear RGD810) und Bauteilabmessung.

Technische Daten Bauteilabmessung

Material: VeroClear RGD810 Länge: 16 mm

E-Modul: 2000-3000 MPa Höhe: 5mm

Zugfestigkeit: 50-65 MPa Breite: 12 mm

Bruchdehnung: 10-25%

Dichte:1.18 – 1.19g / cm3

Länge

Höhe

Breite

Pelton-Turbinenschaufel

73

4.2 Prinzip der Pelton-Turbine

„Die Pelton-Turbine ist eine Freistrahlturbine. Dabei tritt ein Wasserstrahl mit der Ge-

schwindigkeit c aus einer Düse aus und trifft auf eine Turbinenschaufel eines Laufrades,

das sich dadurch dreht. Je höher die Geschwindigkeit des Wasserstrahls ist, desto

schneller dreht sich das Laufrad. Die Schaufeln des Laufrades sind so geformt, dass der

Wasserstrahl symmetrisch nach zwei Seiten um den Winkel 𝛼 umgelenkt wird (siehe

Abbildung 4-3). „Die Pelton-Turbine hat die beste Wirkung, wenn das Wasser, welches

aus den Schaufeln zurückspitzt, nur noch herunterfällt. Das kann man erreichen (wie es

später gezeigt wird), wenn die Geschwindigkeit der Schaufel halb so groß ist, wie die

des Wasserstrahles“ [24].

Abbildung 4-2: Prinzipskizze einer Pelton-Turbinenanlage [24].

Mit dem Strahldurchmesser d, der Schaufelbreite b und der Fallhöhe H.

74

4.3 Grundlage

4.3.1 Impulssatz

Es wird nun die Kraft, die auf die Turbinenschaufel wirkt, berechnet. Dafür bedient man

sich des Impulssatzes. Denn mit dem Impulssatz können die Kraftwirkungen, die infol-

ge einer Geschwindigkeit oder Massenänderung der Strömung auf einen Körper wirken,

bestimmt werden.

Der Impulssatz sagt aus, dass in einem Strömungsraum, der pro Zeiteinheit ein- und

austretende Impulsfluss des Fluides mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht ist.

Mathematisch formuliert lautet der Impulssatz:

∑𝐹 = ∑𝑑𝐼

𝑑𝑡 . (4.1)

Mit 𝐹 als äußere Kräfte, 𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑐 als Impulsstrom, m als Masse und 𝑐 als Geschwin-

digkeit.

Annahme: Es handelt sich hier um eine stationäre (𝑑𝑐

𝑑𝑡= 0) und inkompressible

(ρ = Konstant) Strömung.

𝑑𝐼

𝑑𝑡=𝑑(𝑚∙𝑐)

𝑑𝑡=𝑑𝑚

𝑑𝑡∙ 𝑐 +

𝑑𝑐

𝑑𝑡 ∙ 𝑚. (4.2)

Bei stationären Strömungen ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gleich

Null. Und die zeitliche Ableitung der Masse entspricht dem Massenstrom �̇�. Somit

wird die Gleichung (4.2)

𝑑𝐼

𝑑𝑡= �̇� ∙ 𝑐 (4.3)

und

�̇� = ρ ∙ �̇�, (4.4)

wobei ρ die Dichte und der 𝑉 ̇ Volumenstrom sind.

Setz man nun die Gleichung (4.4) in die Gleichung (4.3) ein, erhält man

𝑑𝐼

𝑑𝑡= ρ ∙ �̇� ∙ 𝑐. (4.5)

Es wird davon ausgegangen, dass sich der Druck bei der Strömung an die Schaufel nicht

ändert.


75

Kräfte an der ruhenden Schaufel

Abbildung 4-3: Prinzipskizze einer Peltonturbine mit eintretendem Wasserstrahl [25].

Es werden nur die Strahlkomponenten in Achsrichtung berücksichtigt. Denn die senk-

recht dazu stehenden Komponenten heben einander auf.

Wenn 𝐹𝑟 die in x- Richtung auf die Schaufel ausgeübte Kraft ist, dann erhält man nach

der Gleichung (4.1)

𝐹𝑟 = ρ ∙ �̇� ∙ 𝑐⏟ + 2 ∙ 𝜌 ∙�̇�

2 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼⏟ = ρ ∙ �̇� ∙ 𝑐 ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α). (4.6)

Kräfte an der bewegten Schaufel

Wenn sich das Pelton-Rad mir der Umfangsgeschwindigkeit 𝑢 bewegt, dann muss die

Relativgeschwindigkeit (𝑐 − 𝑢) eingesetzt werden. Somit wird die Gleichung (4.6)

𝐹𝑏 = ρ ∙ �̇� ∙ (𝑐 − 𝑢) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α). (4.7)

Leistungsabgabe auf das Rad

Die Leistungsabgabe von Strahl auf das Rad erhält man durch

𝑃 = 𝐹𝑏 ∙ 𝑢 = ρ ∙ �̇� ∙ (𝑐 − 𝑢) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α) ∙ 𝑢.

austretender Strahlen eintretender Strahlen

76

𝑃 = ρ ∙ �̇� ∙ (𝑐 ∙ 𝑢 − 𝑢2) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α) (4.8)

Es ist nun interessant zu sehen, mit welcher Geschwindigkeit man die maximale Leis-

tung erreicht. Dafür muss man die erste Ableitung von 𝑃(𝑢) gleich Null setzen.

𝑑𝑃

𝑑𝑢= ρ ∙ �̇� ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α) ∙ (𝑐 − 2𝑢) = 0.

Diese Funktion 𝑑𝑃

𝑑𝑢 ist gleich Null, wenn 𝑐 − 2𝑢 = 0. Dies bedeutet

𝑢 =𝑐

2∙ (4.9)

Da die Funktion P zwei Nullstellen (bei 𝑢 = 0 und 𝑢 = 𝑐) hat, 𝑢 =𝑐

2 ist dementspre-

chend ein Maximum. Somit ist 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑃(𝑐

2) ∙

𝑃𝑚𝑎𝑥 = 3 ∙ ρ ∙ �̇� ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α) ∙𝑐2

4 (4.10)

4.3.2 Erweiterte Bernoulli-Gleichung

Es wird nun die Austrittsgeschwindigkeit aus der Düse berechnet. Dafür bedient man

sich der erweiterten Bernoulli-Gleichung, welche eine verlustbehaftete Strömung be-

schreibt.

Zur Beschreibung einer verlustbehafteten Strömung wird die Bernoulli-Gleichung (in

Druckform) mit Verlustglied 𝛥𝑝𝑣 erweitert.

𝜌

2⋅ 𝑐1

2 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 + 𝑝1 =𝜌

2⋅ 𝑐2

2 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 + 𝑝2 + 𝛥𝑝𝑣 (4.11)

𝛥𝑝𝑣 = 𝜉𝑔𝑒𝑠 ∙𝜌

2∙ 𝑐2

2 (4.12)

Bezogen auf die Pelton-Turbinen gilt

𝜌

2⋅ 𝑐1

2 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 + 𝑝1 =𝜌

2⋅ 𝑐2

2 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 + 𝑝2 + 𝛥𝑝𝑣.

Wenn man davon ausgeht, dass 𝑝1 = 𝑝2 = p0 = Umgebungsdruck und 𝛥𝑝𝑣 durch Gl.

(4.12) ersetz, dann erhält man für die Geschwindigkeit am Austritt

𝑐2 = √2∙𝑔∙𝐻

(1+𝜉𝑔𝑒𝑠) . (4.13)

Mit 𝐻 = ℎ1 − ℎ2 . (4.14)


77

Und

𝜉𝑔𝑒𝑠 = 𝜉𝐾𝑟ü𝑚𝑚𝑢𝑛𝑔 + 𝜉𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙ℎ𝑎ℎ𝑛 + 𝜉𝑅𝑜ℎ𝑟 + 𝜉𝐴𝑢𝑠𝑡𝑟ö𝑚𝑢𝑛𝑔. (4.15)

4.3.3 Zusammenfassung

Tabelle 4-2: Zusammenfassung der berechneten Größen.

Geometrie 𝐻 = 0,9 𝑚, 𝐴(𝑆𝑡𝑟𝑎ℎ𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡) = 0,000314 𝑚2

Fluid (Wasser) ρ (𝐷𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒) = 1000 𝑘𝑔

𝑚3

Verluste 𝜉𝐾𝑟ü𝑚𝑚𝑢𝑛𝑔 = 0,5; 𝜉𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙ℎ𝑎ℎ𝑛 = 0,1; 𝜉𝑅𝑜ℎ𝑟 =1,8;

𝜉𝐴𝑢𝑠𝑡𝑟ö𝑚𝑢𝑛𝑔 =1

Geschwindigkeit 𝑐2 = 2𝑚

𝑠

Kraft an der Schaufel

(in ruhigem Zustand)

𝐹𝑟 = 2,51 𝑁

Kraft an der Schaufel

(in bewegtem Zustand)

𝐹𝑏 = 0,30𝑁

Drehzahl 81

𝑠

Winkelgeschwindigkeit 𝜔 = 50,27

𝑟𝑎𝑑

𝑠

Laufradradius(𝑟) 0,02 𝑚

Geschwindigkeit am Austritt (aus der Düse)

Nach Gleichung (4.13) ist die Die Geschwindigkeit am Austritt

𝑐2 = √2∙𝑔∙𝐻

(1+𝜉𝑔𝑒𝑠) .

𝜉𝑔𝑒𝑠 = 𝜉𝐾𝑟ü𝑚𝑚𝑢𝑛𝑔 + 𝜉𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙ℎ𝑎ℎ𝑛 + 𝜉𝑅𝑜ℎ𝑟 + 𝜉𝐴𝑢𝑠𝑡𝑟ö𝑚𝑢𝑛𝑔 = 0,5 + 0.1 + 1,8 + 1.

𝜉𝑔𝑒𝑠 = 3,4. Somit ist 𝑐2 bei 𝑔 = 10 𝑚

𝑠2 (Erdbeschleunigung) und 𝐻 = 0,9 𝑚 .

𝒄𝟐 =√𝟐 ∙ 𝟏𝟎

𝒎𝒔𝟐∙ 𝟎, 𝟗 𝒎

(𝟏 + 𝟑, 𝟒)= 𝟐

𝒎

𝒔 .

78

Kraft an ruhender Schaufel

Nach Gleichung (4.6) ist die Kraft an der ruhenden Schaufel

𝐹𝑟 = ρ ∙ �̇� ∙ 𝑐 ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α). Mit �̇� = 𝑐. 𝐴 (𝐴 Strahlquerschnitt) und α = 0° (für die

betroffene Schaufel) erhält man

𝐹𝑟 = 2. ρ. 𝑐2. 𝐴, wobei 𝑐 = 𝑐2, 𝐴 = 0,000314 𝑚2.

Somit ist 𝐹𝑟 = 2. 1000 𝑘𝑔. (𝟐𝒎

𝒔)2 . 0,000314𝑚2.

𝑭𝒓 = 𝟐, 𝟓𝟏 𝑵.

Kraft an bewegter Schaufel

Wenn sich das Laufrad bewegt, dann ist die Kraft auf die Schaufel nach Gl. (4.7)

𝐹𝑏 = ρ ∙ �̇� ∙ (𝑐 − 𝑢) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠α). Durch Einsetzen von α = 0°, 𝑐 = 𝑐2und

�̇� = (𝑐2 − 𝑢). 𝐴 erhält man

𝐹𝑏 = 2. ρ. (𝑐2 − 𝑢)2. 𝐴 (4.16)

Die Umfangsgeschwindigkeit ist nach Gleichung (4.9) 𝑢 =𝑐

2=𝑐2

2.

𝑐2 = 2𝑚

𝑠 ∙ Damit ist 𝑢 =

2𝑚

𝑠

2= 1

𝑚

𝑠∙

Nach Gleichung (4.16) ist 𝐹𝑏 = 2. ρ. (𝑐2 − 𝑢)2. 𝐴. Nach Einsetzen der Werte von 𝑢 und

𝑐2 in die Gleichung (4.16) erhält man

𝐹𝑏 = 2 ∙ 1000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ (2 𝑚/𝑠 − 1 𝑚/𝑠)2 ∙ 0,000314 𝑚2 .

𝑭𝒃 = 𝟎, 𝟔𝟐𝑵 .

Die Winkelgeschwindigkeit 𝜔, mit der sich das Laufrad dreht ist durch

𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛 (4.17)

Mit 𝑛 die Drehzahl. In diesem Fall ist 𝑛 = 81

𝑠 (wurde vorgegeben). Somit 𝜔 = 2. 𝜋. 8

1

𝑠 .

𝝎 = 𝟓𝟎, 𝟐𝟕𝒓𝒂𝒅

𝒔

4.3.4 Zugversuch an Kunstoffen

Der Zugversuch ist dazu bestimmt die Widerstandsfähigkeit von Werkstoffen gegen-

über einer Zugbelastung zu ermittelt. Da sich Kunststoffe bekanntermaßen anders als

Metalle Verhalten, gibt es für Kunststoffe eine gesonderte Norm für den Zugversuch,

die EN ISO 527.


79

VeroClear-RGD810

Der Zugversuch wurde mit dem Kunststoff VeroClear-RGD810 durchgeführt. „Das

Transparente Material VeroClear-RGD810 ist ein starres, nahezu farbloses Material mit

bewährter Formbeständigkeit zur universellen Erstellung detailgetreuer Modelle“[16].

Die technischen Daten zu dem Material sind der Tabelle (4.1) zu entnehmen.

Der Zugversuch wurde an drei unterschiedliche Proben (Zugproben mit einer Druckaus-

richtung Längs, Quer und 45°geneigte) durchgeführt. Da die Ergebnisse des Zugversu-

ches mit diesen drei Zugproben nicht großartig unterschiedlich waren, wird an dieser

Stelle nur auf die Zugprobe mit der Druckausrichtung Längs eingegangen.

Abbildung 4-4: Die im Rahmen des Zugversuches verwendeten Zugproben mit einer

Druckausrichtung Längs-(a), Quer-(b)und 45°geneigte(c)-ausrichtung.

Prüfparameter

Maschinentyp: Universalprüfmaschine INSTROM.

Krafttaufnehmer: 150 KN (Max. Zugkraft der Maschine).

Prüfgeschwindigkeit: 5mm/min

Backenabstand: 114,8 mm ( bei Zugprobe mit Längsausrichtung)

Messlänge: 50 mm

Temperatur: Raumtemperatur

80

Abbildung 4-5: Die verwendete Universalprüfmaschine mit einer eingespannten

Probe.

Probe-Abmessungen

Abbildung 4-6: Probe-Abmessung [26].

𝐿0(𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑙ä𝑛𝑔𝑒) = 165 𝑚𝑚; 𝑅 = 76 𝑚𝑚

𝑊𝑜(𝐻öℎ𝑒) = 19𝑚𝑚; 𝐷(𝐴𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 𝑧𝑤𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 (𝐺𝑟𝑖𝑓𝑓𝑒) = 115 𝑚𝑚

𝑇(𝐷𝑖𝑐𝑘𝑒) = 3,2 𝑚𝑚 𝑊(𝐵𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑆𝑐ℎ𝑚𝑎𝑙𝑒𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡) = 13 𝑚𝑚


81

Zugversuch

Die Probe wird in die Prüfmaschine eingespannt (siehe Abbildung 4-5) und mit einer

konstanten Geschwindigkeit (5mm/min) in die Länge gezogen (bis die Probe bricht).

Die Kraft und die Verlängerung der Probe werden dabei gemessen.

Die Wegmessung kann durch die Messung der Probenverlängerung erfolgen. Dazu be-

dient man sich von entsprechenden Messsensoren (Dehnungsmesstreifen), welche auf

der Probe angebracht werden.

Abbildung 4-7: Verformungslose Bruch.

Die im Rahmen dieser Arbeit durch Zugversuch ermittelten mechanische Werkstoff-

kennwerte, vor allem die Dehnung und daher auch der E-Modul waren nicht

zuverlässig. Aufgrund fehlender Werkzeuge (Dehnungsmessstreifen) konnten keine

genaueren Messungen der Dehnung durchgeführt werden.

Ermittlung der Mechanischen Kennwerte

E-Modul

„Im Falle des Kunststoffes kann der E-Modul nicht als Steigung der Anfangsgeraden

definiert werden, da es keinen linearen Bereich (die Spannungs-Dehnung Kurve verläuft

nicht linear) gibt. Stattdessen wird der E-Modul als Steigung der Sekante zwischen 0,05

und 0,25% Dehnung bestimmt“ [3].

82

Abbildung 4-8: Spannung-Dehnung-Kurve der Zugprobe mit Längsausrichtung.

Abbildung 4-9: Prinzip der Ermittlung der E-Modul als Sekantenmodul.

Es wurde ein E-Modul bestimmt von:


83

𝐸 = 𝛥𝜎

𝛥𝜀 =

(2,85−0.60)𝑁/𝑚𝑚²

(0,25−0,05)%=2,25𝑁/𝑚𝑚²

0,2%= 11,25

𝑁

𝑚𝑚² = 11,25 𝑀𝑃𝑎

Abbildung 4-10: : Ermittlung der Spannung bei 0,05 % −Dehnung.

Abbildung 4-11: Ermittlung der Spannung bei 0,25 % − Dehnung.

In Vergleich zu den von Hersteller angegebenen Mindestwert von 2000 𝑀𝑃𝑎, hat man

eine Abweichung von99,43%. Aus diesem Grund wird der berechnete E-Modul

nicht bewertet.

84

Zugfestigkeit

Die Zugfestigkeit 𝜎𝑀(bei metallischen Werkstoffen 𝑅𝑚) ist die maximale Spannung, die

die Probe während eines Zugversuchs erträgt.

Die ermittelte Zugfestigkeit 𝜎𝑀 = 58,30 𝑀𝑃𝑎 (siehe Abbildung 4-8) gehört in den von

Hersteller angegebenen Bereich zwischen 50 𝑀𝑃𝑎 und 65 𝑀𝑃𝑎. Die dazu gehörige

Dehnung 𝜀𝑀 beträgt 10,05 % (wird nicht bewertet)

Bruchspannung

Die Bruchspannung 𝜎𝐵 = 36,99 𝑀𝑃𝑎 ist die Spannung, die sich beim Bruch des Probe-

körpers einstellt. Die dazu gehörige Dehnung ist die Bruchdehnung 𝜀𝐵.

Die ermittelte Bruchdehnung 𝜀𝐵 = 21,79 % (wird nicht bewertet)

Versagenskennwert

„Handelt es sich um einen im Gebrauchstemperaturbereich spröden Kunststoff, wird

man in der Regel gegen Trennbuch dimensionieren. Hierfür ist als Versagenskennwert

die Reißfestigkeit bzw.-Dehnung geeignet“ [4], Seite 131.

Aufgrund der Brucharten (Siehe Abbildung 4-7, Verformungslöse Brüche), Kann man

davon ausgehen, dass es um einen spröden Kunststoff handelt.

Somit ist 𝝈𝑩 = 𝟑𝟔, 𝟗𝟗 𝑴𝑷𝒂 der Versagenskennwert.

4.3.5 Festigkeitsanalyse der Schaufel mit ANSYS Workbench

Für die Simulation werden folgende Materialkennwerte verwendet:

Elastizitätsmodul : 2500 𝑀𝑝𝑎.

Poisson-Zahl: 0,35.

Dichte: 1185𝑘𝑔

𝑚3.


85

a. Schaufel in ruhigem Zustand

Netz


sikgestützte Relevanz grob und Elementgröße: Standard Einstellung (3072 Elemente

und 5815 Knoten).

86

Abbildung 4-13: Globale Netzfeinheit, bei Relevanz 0, Physikgestützte Relevanz grob

und Elementgröße: 1,10 mm (3010 Elemente und 5689 Knoten).

Mit dieser Einstellung (Elementgröße: 1,10 mm) werden nun die Randbedingungen

definiert.


87

Fixierte Lagerung

Wie eine fixierte Lagerung definiert ist, wurde bereits in den vorherigen Beispielen

(siehe Seite 37) gezeigt. Deshalb wird hier nicht im Einzelnen darauf eingegangen.

Die hintere blaue Teilfläche wird in allen Richtungen festgehalten.

Abbildung 4-14: Fixierte Lagerung (Einspannung).

Lasten

Auf die rote Fläche mit A=150,25 mm2 wirkt ein gleichmäßiger vertikaler Druck von

0,0167 MPa, welcher durch eine Kraft von 𝐹𝑟 = 2,51 𝑁 in X-Richtung verursacht wird.

Abbildung 4-15:Definieren einer Kraft.

88

Unter diesen Voraussetzungen (Globale Netzfeinheit, bei Relevanz 0, Physikgestützte

Relevanz Grob und Elementgröße: 1,10 mm) lässt sich die Gesamtverschiebung Be-

rechnen.

Abbildung 4-16:Gesamtverschiebung der Schaufel mit Vektordarstellung.

Plausibilitätsprüfung der Verschiebung

Die Ergebnisplausibilität der Verschiebung ist gegeben. Denn das Bauteil verformt sich

in Kraftrichtung (siehe die Vektordarstellung in Abbildung 4-16) und die Größe der

Gesamtverschiebung mit einem Maximalwert von 0,0081 mm bei einer Gesamtbreite

von 12 mm scheint auch realistisch (lineare Theorie erfordert kleine Verformung).

Für die Einstellung der Vektordarstellung muss man zunächst die berechnete Größe

auswählen (hier die Gesamtverformung) und dann auf ( ) klicken. Das Vektorzei-

chen befindet sich über dem Strukturbaum.

Die Berechnung der Spannungen erfordert grundsächlich ein feineres Netz (weil die

Spannungen durch Ableitung aus der Verformungen berechnet werden) als bei der Be-

rechnung der Verformung.

Die Netzdichte wird nun verfeinert.


89


sikgestützte Relevanz Fein und Elementgröße: Standard Einstellung (29685 Elemente

und 51477 Knoten).

90

Abbildung 4-18: Gesteuerte globale Netzfeinheit, bei Relevanz 0, Physikgestützte

Relevanz Fein und Elementgröße: 0,2990 mm (29403 Tetraeder- Elemente und 51006

Knoten).

Mit der globalen Netzfeinheit (Elementgröße: 0,2990 mm, 29403 Tetraeder-Elemente

mit quadratischem Ansatz und insgesamt 51006 Knoten) wird nun die Berechnung der

Spannungen gestartet.


91

Damit man vor der Berechnung eine Vorstellung der geometrischen Netzqualität hat,

lassen sich im Fenster Details von Netz unter Netzqualität, einige Kriterien zur Beurtei-

lung von Netz aufklappen. Es wird hier das Kriterium Seitenverhältnis ausgewählt.

Abbildung 4-19: Beurteilung der Vernetzung durch Seitenverhältnis.

Auf der x-Achse (siehe Graphe in Abbildung 4-19) stehen die Seitenverhältnisse und

auf der y-Achse die entsprechende Anzahl von Elementen. Generell kann man davon

ausgehen, dass bei Flächen- und Volumenelementen meist das Verhältnis der größten

zu kleinsten Abmessung ≤ 3 einzuhalten ist. Würfel oder gleichseitige Tetraeder sind

ideal. Trotzdem, Winkel-Abweichungen bis ca. ± 30° sind vertretbar.

Für die hier bearbeitete Aufgabe sind es 27386 Elemente, die die Voraussetzung (Ver-

hältnis der größten zu kleinsten Abmessung ≤ 3) erfüllen.

Die schlechtesten Elemente bezüglich des Seitenverhältnisses (Seitenverhältnis zwi-

schen 20 und 22,92) befinden sich in der Verrundung in der Mitte der Schaufel (siehe

Abbildung 4-20).

92

Abbildung 4-20: Anordnung der schlechtesten Elemente bezüglich Seitenverhältnis.

Berechnung der Gesamtverschiebung

Bei der feinen Einstellung (Elementgröße: 0,2990 mm, 29403 Tetraeder-Elemente mit

quadratischem Ansatz und insgesamt 51006 Knoten) wurde eine Verschiebung von

0,0085 mm Berechnet. Es gibt praktisch kein Unterschied zu dem vorher berechneten

Wert (0,0081mm) der Gesamtverschiebung bei der groben Einstellung.

Auswertung von Spannungen

Es wird in Rahmen dieser Berechnung die Spannungen berechnet, die für die Beurtei-

lung eines Bauteils aus Kunststoff relevant sind. Es sind die Schubspannung, die größte

und kleinste Hauptspannungen.

Für die größte Hauptspannung (erste Hauptspannung) gilt: Das Maximum liefert die

größte auftretende Zugspannung.

Für die kleinste Hauptspannung (dritte Hauptspannung) gilt: Das Minimum liefert die

größte auftretende Druckspannung.

.


93

Abbildung 4-21: Auswertung der maximalen Schubspannung.

Die max. Schubspannung beträgt ca. 1MPa und tritt an der Einspannung auf.

Abbildung 4-22: Auswertung der maximalen Hauptspannung (erste Hauptspannung).

Die größte auftretende Zugspannung beträgt ca. 1,7 MPa und tritt an der Einspannung

auf.

94

Abbildung 4-23: Auswertung der dritte Hauptspannung.

Genauso wie in den beiden anderen Fällen tritt auch hier die größte auftretende

Druckspannung an der Einspannung und beträgt -3,223 MPa.

Man sieht, dass die betrachteten Spannungen (die max. Schubspannung, die erste und

dritte Spannungen) treten an der Einspannung auf. Mit zunehmender Netzdichte wer-

den an diesen Stellen die Spannungswerte immer weiter ansteigen (Divergenz). Somit

kann diese singuläre (hier an der festen Einspannung) Stelle nicht sinnvoll ausgewertet

werden. Es sollte daher eine Fokussierung der Ergebnisse auf andere Bereiche erfolgen.

Als relevanter Bereich wird der Bereich ausgewählt, an dem die Schubspannung der

zweite größte Wert hat (siehe Abbildung 4-24).

Abbildung 4-24: Teilgebiet zur Auswertung der Spannungen.


95

Da sich der gewünschte Bereich (siehe Abbildung 4-20) nicht selektieren lässt, muss die

gesamte Verrundung (siehe grüner Bereich in der Abbildung 4-25) selektiert werden.

Abbildung 4-25: Selektierte Fläche zur Auswertung der Spannungen.

Auswertung der Spannungen an dem selektierten Bereich (fokussierte Ergebnisse)

Da die meisten Elemente an der Verrundung bezüglich Seitenverhältnisses schlechter

sind, muss zunächst eine lokale Verfeinerung vorgenommen werden. Und dies ge-

schieht durch Vorgabe der Elementgröße. Diese Vorgehensweise wurde bereits bei der

Lösung der Aufgabe 3 (Winkelhalter) besprochen.

Als Elementgröße wird 0,15 mm eingegeben.

Abbildung 4-26: Auswertung der maximalen Schubspannung an der Verrundung.

Die maximale Schubspannung liegt bei 0,68 MPa (gemittelter Wert).

96

Abbildung 4-27: Auswertung der maximalen Schubspannung (nicht gemittelter Wert)

an der Verrundung.

Die maximale Schubspannung liegt bei 0,69 MPa (nicht gemittelter Wert). Somit liegt

der Unterschied zwischen nicht gemittelter und gemittelter Wert der maximalen

Schubspannung bei 1,4 %. Das ist ein Hinweis für ein gutes Netz.

Abbildung 4-28: Auswertung der größte Zugspannung.

Die größte auftretende Zugspannung beträgt 1,38 MPa.


97

Abbildung 4-29: Auswertung der kleinste auftretende Druckspannung.

Die kleinste auftretende Druckspannung beträgt -0,08 MPa.

b. Schaufel in bewegtem Zustand

Es wird hier mit der gleichen Netzeinstellung wie bei der Schaufel in ruhigem Zustand

gearbeitet. Nur lediglich die Kraft, welche auf die Schaufel wirkt wird geändert. Es wird

nun mit einer Kraft von 𝑭𝒃 = 𝟎, 𝟔𝟐𝑵 gerechnet. Darüber hinaus wird die Winkelge-

schwindigkeit 𝜔 = 50,27𝑟𝑎𝑑

𝑠, mit der sich das Laufrad dreht in der Berechnung einbe-

zogen.

Abbildung 4-30: Pelton-Turbine-Laufrad. Exportierte Zeichnung aus [15], die im

Rahmen dieser Arbeit geändert wurde.

98

Einstellung in ANSYS zur Eingabe der Rotationsgeschwindigkeit

Im Strukturbaum: rechte Maustaste auf Statisch-Mechanisch, Einfügen dann Rotations-

geschwindigkeit auswählen. (siehe Abbildung 4-31).

Abbildung 4-31: Einfügen der Rotationsgeschwindigkeit.

Daraufhin erscheint das Fenster Details von Rotationsgeschwindigkeit. Unter Geometrie

auf alle Körper klicken. Dann das gesamte Bauteil selektieren, anschließend auf anwen-

den klicken.

Unter definieren durch, Vektor Komponenten auswählen. Dann die entsprechenden

Werte eingeben.

Tabelle 4-3: Definieren des Rotationsgeschwindigkeitsvektors.

Um den Rotationsgeschwindigkeitsvektor definieren zu können, braucht man eine Rich-

tung (die durch die Komponenten dargestellt wird) und einen Punkt im Raum mit

(x, y, z) Koordinaten. Somit wird folgende Einstellung vorgenommen:

Der Rotationsgeschwindigkeitsvektor (welcher in der Drehachse liegt, siehe Abbildung

4-30) hat nur eine Komponente in Z-Richtung mit dem Betrag 𝑍 = 50,27𝑟𝑎𝑑

𝑠 .

Für die Koordinaten hat man 𝑥 = 2,5 𝑚𝑚 (die Hälfte der Höhe der Schaufel),

𝑦 = 20 𝑚𝑚 (Radius des Laufrades), 𝑧 = 8 𝑚𝑚 (die Hälfte der Länge der Schaufel).


99

Abbildung 4-32: Darstellung der Rotationsgeschwindigkeit in ANSYS.

Auswertung der Gesamtverschiebung

Abbildung 4-33: Darstellung der Gesamtverschiebung bei bewegtem Zustand der

Schaufel.

Die Feststellung, die im ersten Fall (ruhigen Zustand) galt, trifft auch hier zu.

100

Auswertung von Spannungen

Abbildung 4-34: Auswertung der maximalen Schubspannung bei bewegtem Zustand

der Schaufel.

Abbildung 4-35: Auswertung der ersten Hauptspannung bei bewegtem Zustand der

Schaufel.


101

Abbildung 4-36: Auswertung der dritten Hauptspannung bei bewegtem Zustand der

Schaufel.

Wie im ersten Fall (ruhigen Zustand) stellt man fest, dass alle betrachten Spannungen

an der Einspannung auftreten. Daher wird die Auswertung im Bereich der Verrundung

in der Mitte der Schaufel vorgenommen.

Auswertung von Spannungen an der Verrundung (fokussierte Ergebnisse)

Max. Schubspannung

Abbildung 4-37: Auswertung der maximalen Schubspannung an der Verrundung (bei

bewegtem Zustand der Schaufel).

102

Erste Hauptspannung

Abbildung 4-38: Auswertung der ersten Hauptspannung an der Verrundung (bei be-

wegtem Zustand der Schaufel).

Dritte Hauptspannung

Abbildung 4-39: Auswertung der ersten Hauptspannung an der Verrundung (bei be-

wegtem Zustand der Schaufel).


103

Zusammenfassung der Ergebnisse

Schaufel in ruhendem Zustand

Tabelle 4-4: Zusammenfassung der Ergebnisse (Schaufel in ruhendem Zustand).

Berechnete Größe (Einheit) Wert

Maximale Gesamtverschiebung (𝑚𝑚) 0,0081

Maximale Schubspannung (𝑀𝑃𝑎) 0,68

Maximale Zugspannung (𝑀𝑃𝑎) 1,38

Maximale Druckspannung(𝑀𝑃𝑎) −0,08

Schaufel in bewegtem Zustand

Tabelle 4-5: Zusammenfassung der Ergebnisse (Schaufel in bewegtem Zustand).

Berechnete Größe (Einheit) Wert

Maximale Gesamtverschiebung (𝑚𝑚) 0,0021

Maximale Schubspannung (𝑀𝑃𝑎) 0,17

Maximale Zugspannung (𝑀𝑃𝑎) 0,33

Maximale Druckspannung(𝑀𝑃𝑎) −0,02

Fazit

Damit das Bauteils nicht bricht, muss nach Gleichung (3.31), der Vergleichsspannung

𝝈𝒗𝒔𝑯 = 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 = 𝟐 ∙ 𝛕𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑹𝒆. Da es hier aber keine Streckgrenze gibt und aufgrund

der verformungslosen Bruches, ersetz man 𝑅𝑒(Streckgrenze) durch 𝜎𝐵(Bruchspannung).

Somit 𝝈𝒗𝒔𝑯 = 𝟐 ∙ 𝛕𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝝈𝑩. Durch Einsetzen der entsprechenden Werte bekommt

man 2 ∙ (0,68 𝑀𝑃𝑎) ≤ 36,99 MPa. 𝟏, 𝟑𝟔 ≤ 𝟑𝟔, 𝟗𝟗 𝐌𝐏𝐚 (ruhender Zustand). Im

bewegten Zustand hat man folgende Beziehung: 2 ∙ (0,17 𝑀𝑃𝑎) ≤ 36,99 MPa.

𝟎, 𝟑𝟒 𝑴𝑷𝒂 ≤ 𝟑𝟔, 𝟗𝟗 𝐌𝐏𝐚.

Man sieht, dass sowohl in ruhenden Zustand als auch in bewegten Zustand ausreichende

Sicherheit besteht hinsichtlich des Bauteilversagens (hier durch Bruch).

Bei den Verformungen (Gesamtverschiebungen) der Schaufel besteht auch keine Ge-

fahr. Denn mit den Maximalwerten von 0,0081 mm (ruhender Zustand) und 0,0021 mm

(bewegter Zustand) ist ein gegenseitiges Berühren zweier Schaufeln auszuschließen.

104

5 Zusammenfassung

Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine grundlegende Festigkeitsanalyse einer mittels Ra-

pid-Prototyping gefertigten Pelton-Turbinenschaufel durchgeführt. Aus den Ergebnissen

lassen sich folgende Schlussfolgerung ziehen: Die bei der Festigkeitsberechnung der

Schaufel ermittelten Verformungen und Spannungen sowohl im ruhenden Zustand mit

Verformungen von 0,0081 mm und Spannungen von 0,68 MPa als auch im bewegten

Relativsystem mit Verformungen von 0,0021 mm und Spannungen von 0,17 MPa sind

sehr gering und stellen kein Festigkeitsproblem dar. Ein gegenseitiges Berühren zweier

Schaufeln durch die mechanische Belastung und deren Verformung ist auszuschließen.

Durchgeführte Zugversuche zur experimentellen Validierung der verwendeten Materia-

lien ergaben keine zuverlässigen Ergebnisse bezüglich der Dehnung, da die passende

Messtechnik (Dehnungsmesstreifen) fehlten. Die überprüfte Zugfestigkeit von

58,3 MPa war somit die einzige Kenngröße des Materials, die erfolgreich bestimmt

werden konnte. Diese stimmte sehr gut mit der Herstellerangabe (50MPa-65MPa),

überein.

Über die Festigkeitsberechnungen an der Pelton-Turbinenschaufel hinaus wurden einfa-

che Beispielaufgaben zur Strukturmechanik mittels ANSYS Workbench gelöst. Folgen-

de Erkenntnisse wurden gewonnen:

Beim Balken, welcher durch Eigengewicht belastet wird, ging es darum, einen Ver-

gleich zwischen der analytischen und der FE-Lösung der maximalen Gesamtverschie-

bung und der maximalen Biegespannung anzustellen. Folgende Abweichungen wurde

bei einer Netzauflösung von 69 Balkenelementen festgestellt: bei der maximalen Ge-

samtverschiebung tritt ein Unterschied von 0,34% zwischen analytischer Lösung und

der FEM Simulation auf. Der Unterschied bei der Biegespannung beträgt 0,04%. Analy-

tische Lösung und FE Lösung stimmen somit sehr gut überein. Die Abweichungen zwi-

schen den beiden Vorgehensweisen liegen praktisch im Bereich der Rechengenauigkeit.

Für den einseitig eingespannten Balken wurde eine Konvergenzanalyse durchgeführt,

um das Verhalten bei einer veränderten Netzdichte zu bewerten. Gezeigt wird dabei,

wie sich die Simulationsergebnisse bei linearen und quadratischen Ansatzfunktionen

verändern – es wird die Gesamtverschiebung und die größte Hauptspannung gezeigt.

Bei der Gesamt-verschiebung wurde festgestellt, dass sich bei einer zunehmenden

Netzdichte die Ergebnisse mit linearer und quadratischer Ansatzfunktion einem be-

stimmten Grenzwert nähern und damit die Lösungen konvergieren, sobald der Diskreti-

sierungsfehler genügend klein ist. Allerdings erreicht die lineare Ansatzfunktion den

Grenzwert f =10,8 mm schneller als die quadratische Ansatzfunktion. Bei der Spannung

hingegen divergieren die Lösungen an der Lokalität der maximalen Spannung (an der

Zusammenfassung

105

Einspannung). Die Lösungen konnten an dieser Position daher nicht weiter ausgewertet

werden. Stattdessen wurde ein Pfad für eine Konvergenzanalyse definiert. Ein solcher

Pfad lieferte 281,9 MPa als maximale größte Hauptspannung (quadratischer Ansatz bei

einer Netzauflösung von 1600 rechteckigen Scheibenelementen). Dieser Spannungswert

stimmt wieder mit dem analytischen Spannungswert von 282 MPa sehr gut überein.

Bei einem Winkelhalter ging es um die Beurteilung der Netzqualität anhand des Krite-

riums „Unterschied zwischen gemittelter und nicht gemittelter Spannung“. Der Unter-

schied zwischen nicht gemittelten und gemittelten Spannungen sollte möglichst klein

sein, um die Ergebnisse mit ausreichender Genauigkeit darzustellen. Wie klein der Un-

terschied sein darf, muss letztlich der Anwender entscheiden. Eine erste Beurteilung des

Netzes (feines Netz, Elementgröße: 0,8257 mm) ergab eine Abweichung von 15%

(nicht gemittelte Spannung 𝜎𝑣 = 96,19 MPa und gemittelte Spannung 𝜎𝑣 = 83,37 MPa).

Nach der lokalen Netzverfeinerung am Kerb (Elementgröße: 0,2 mm) und einer erneu-

ten Anwendung des Kriteriums ergab eine Abweichung von nur 7%. (nicht gemittelte

Spannung 𝜎𝑣 = 92,00 MPa und gemittelte Spannung 𝜎𝑣 = 85,82 MPa). Das verfeinerte

Netz (𝜎𝑣 =85,82 MPa) ist ausreichend, um das Ergebnis genau darzustellen.

106

Literaturverzeichnis

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lehre und Einführung in die Anwendung der Finiten-Elemente-Methode. Heidelberg:

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[2] Gebhardt, Christof: Praxisbuch FEM mit ANSYS Workbench - Einführung in die

lineare und nichtlineare Mechanik. 2. Auflage, München, Hanser 2014

[3] Jacobs, Olaf.: Werkstoffkunde. 2. Auflage, Würzburg, Vogel 2009

[4] Stommel, Markus / Stojek, Markus / Korte, Wolfang: FEM zur Berechnung von

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[5] Fröhlich, Peter: FEM-Anwendungspraxis - Einstieg in die Finite Elemente Analyse

zweisprachige Ausgabe Deutsch/Englisch, Wiesbaden, 2005

[6] Schier, Klaus: Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - 101 An-

wendungsfälle zur Modellbildung, Berlin Heidelberg: Springer 2011

[7] Deger, Yasar: Die Methode der Finiten Elemente – Grundlage und Einsatz in der

Praxis. 3. erweiterte Auflage, Renningen, Expert Verlag 2004

[8] Kabus Karlheinz: Mechanik und Festigkeitslehre. 4. Auflage, München Wien:

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[9] Scholl Wolfgang / Drews Rainer: Handbuch Mathematik. Niedernhausen/Ts.

Falken 1997

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[11] Figel, Klaus: FEM-Berechnung für Maschinenbauingenieure - Einführung in die

Simulation mit ANSYS Worbench, (http//bookboon.com/de/fem-berechnung-für–

maschinenbauingenieure-ebook).

[12] Jahr, Andreas: Festigkeitslehre Vorlesungsskript (Version 2014). Hochschule

Düsseldorf.

[13] Greven Emil / Magin Wolfgang: Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung für Tech-

nische Berufe. 14. starke überarbeitete Auflage, Hamburg, Verlag Handwerk und Tech-

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[18] http://www.chemie.de/lexikon/Duroplast. November 2015

[19] http://www. umwelt-campus.de/ucb/TMII/Biegung. September 2015

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[21] https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizittsmodul. August 2015

[22] http://www.maschinenbau-wissen.de Oktober 2015

[23] https://de.wikipedia.org/wiki/Flächentragwerk. September 2015

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http://www.hollow-cubes.de/Rep_Hydromechanik/Hydrom15

108

Anhang

Erzeugung der Winkelhalter-Geometrie mit ANSYS DesignModeler

Abb. 1: Winkelhalter bestehend aus Bauteil A , Bauteil B und Winkelhalter-Auge.

Nach dem Start von ANSYS Workbench erscheint der in der folgende Abbildung dar-

gestellt Projektmanager.

Abb. 2: Der Projektmanager.

Anhang

109

Auf der linken Seite der Abbildung werden die verfügbaren Analysearten dargestellt.

Für den Winkelhalter definieren wir eine Statisch-mechanische Analyse

Mit einem Doppelklick auf statisch-mechanische Analyse wird eine neue Analyse (im

Projektmanager System genannt) im Projektmanager angelegt.

Abb. 3: Definieren einer Analyse.

Im System, wird mit der rechten Maustaste auf Geometrie geklickt. Dann wird neue

Geometrie gewählt. Daraufhin erscheint das folgende Fenster.

Abb. 4: Einstellen der Längeneinheit.

Nachdem die Langeneinheit auf Millimeter gesetzt wurde, drückt man auf OK, um die

Eingabe zu bestätigen. Dann erscheint die ANSYS Modelldesigner-Oberfläche, wie

unten abgebildet:

110

Abb. 5: ANSYS Modelldesigner-Oberfläche.

Modellieren des Bauteils A

Zum Modellieren des Bauteils A wählt man die XY-Ebene aus und klickt man auf das

Symbol (Ansicht ausrichten) in der Symbolleiste.

Abb. 6: Ausrichten der XY-Ebene.

Es wird nun von Modellierbereich auf Skizzierbereich umgeschaltet, indem man auf die

Registerkarte Skizzieren (im Strukturbaum über Detailansicht) klickt.

Anhang

111

Unter Zeichnen wählt man Rechteck aus und zeichnet von der Koordinatenursprung

aus ein Rechteck (Es ist dabei zu achten, dass der Mauszeiger genau die Koordinatenur-

sprung trifft. Wenn dies der Fall ist hängt die Buchstabe P) an dem Mauszeiger.

Abb. 7: Skizieren eines Rechtecks.

Nun muss die richtigen Abmessungen für das Rechteck (Länge: 45 mm und Höhe: 5

mm) eingegeben werden. Dazu klickt man auf die Schaltfläche Abmessungen in der

Detailansicht.

Man markiert die Oberkante des Rechtecks und bei gedrückter linker Maustaste zieht

man nach oben (bzw. nach unten). Bei loslassen erscheint den Platzhalter(H1) für die

Oberkante-Länge. Der Momentane Wert von H1 muss noch auf das richtige Maß ange-

passt werden.

Abb. 8: Anpassung der Bemaßungswerte.

112

Das Rechteck muss nun extrudiert werden. Dafür muss man wieder auf Modellierbe-

reich umschalten und auf (oberhalb des Grafikfensters) klicken. In De-

tailansicht bei Basisobjekt, wird Skizze1 angeklickt und dann Anwenden. Anschlie-

ßend wird auf Erstellen geklickt. Dabei wird Tiefe auf 18 mm angepasst.

Sollte das Extrudieren nicht in der gewünschten z-Richtung erfolgen, kann man in De-

tailansicht unter Richtung, die Richtung (statt Normal, umgekehrt auswählen) ändern

und dann wieder auf Erstellen drücken.

Abb. 9 : Das Extrudieren des Rechtecks.

Modellieren des Bauteils B

Es wird auf die vorderste Fläche der Anlagefläche angeklickt. In der Menüleiste unter

Erstellen (neben Datei) wird eine neue Ebene ausgewählt und anschließend auf

geklickt. So ist eine neue Ebene erstellt worden (Ebene4).

Anhang

113

Abb. 10: Das Erstellen der Ebene4.

Es wird nun auf Ebene4 gearbeitet.

Man wechselt in Skizziermodus: die Funktion Kreis wird gewählt. Dann wird ein Kreis

(dessen Mittelpunkt 22,5 mm entfernt von der y-Achse und 18mm über dem Bauteil A

liegt) gezeichnet. Dann wird den Wert des Durchmessers 10 mm angepasst (Funktion

Abmessung, auf den gezeichneten Kreis klicken und den Durchmesserwert auf 10 mm

anpassen).

Abb. 11: Das Erstellen eines Kreises auf Eben4.

Es wird nun zwei Geraden von den beiden oberen Punkt (in Abbildung Punkt A und B)

der vordersten Fläche gezogen, welche den Kreis tangentiale (durch die Buchstabe T

gekennzeichnet) treffen (siehe Abb.12). Anschließend werden die beiden genannten

Punkte verbinden, um eine geschlossene Kontur zu bilden. Dafür wird unter Zeichnen

(in Skizziermodus), Linie ausgewählt, um die beiden angesprochenen Geraden zu

zeichnen.

114

Abb. 12 : Das Ziehen eines Tangens am gezeichneten Kreis.

Der unterste Teil der Kreis wird getrimmt anhand der Funktion Modifizieren (darunter

der Menüpunkt Trimmen).

Abb. 13: Das Trimmen des Kreises.

Nach dem Trimmen wird dann extrudiert (als Tiefe wird 5mm eingegeben).

Anhang

115

Abb. 14: Das Extrudieren des Bauteils B.

Erstellung des „ Auges“ des Winkels

Es wird eine neue Ebene (Bauteil B, Ebene6) erstellt. Auf der Ebene6 wird einen Kreis

(gleich Mittelpunkt und Durchmesser wie der vorherige gezeichnete Kreis) gezeichnet

(siehe Abb.15)

Abb. 15: Erstellen eines Kreises auf Ebene6.

Der neue gezeichnet Kreis muss nun auf 1 mm extrudiert werden. Die extrudierte Geo-

metrie stellt das Winkelhalter-Auge.

116

Abb. 16: das Winkelhalter-Auge (Ebene8).

Es wird nun eine Bohrung am Winkelhalter-Auge erstellt. Dafür braucht man wieder

eine neue Ebene (Ebene8). Auf dieser Ebene wird eine Bohrung durch Material Tren-

nung erstellt. Der Vorgang ist gleich wie beim Extrudieren, nur hier in Detailansicht bei

Operation statt Material hinzufügen muss auf Material wegschneiden umgeschaltet

werden. Und bei Verlängerungsart muss durch alles geschaltet werden.

Abb. 17: Das Erstellen der Bohrung am Winkelhalter-Auge.

Erstellung der Beiden Bohrungen am Bauteil A

Zur Anbringen der Beiden Bohrungen am Bauteil A, braucht man erneut eine neue

Skizzierebene. Als neue Ebene wählt man natürlich die innere Fläche der Bauteil A. Da

es um einfache Bohrungen geht, könnte man auch mit der äußeren Seite der Anlageflä-

che arbeiten. Nachdem die neue Ebene (Ebene9) erstellt wurde muss nun die beiden

Bohrungen erstellt werden.

Zunächst muss die eine Bohrung erstellt werden. Dafür braucht man ein Kreis (Durch-

messer: 7,5 mm, Mittelpunkt (5 mm, 6,5 mm)) auf Ebene9 zu zeichnen, wie es Abbil-

dung18 zeigt. Dann wird Material weggeschnitten um die Bohrung zu erstellen.

Anhang

117

Abb. 18: Das Anbringen einer Bohrung am Bauteil A.

Für die zweite Bohrung (gleich Abmessungen wie die Erste) wird genauso vorgegangen

wie bei der Ersten. Allerdings muss vorher auf Ebene9 eine neue Skizze (Skizze7) er-

zeugt werden. Dafür Ebene9 selektieren und auf das Symbole klicken. Das

Symbol befindet sich über das Grafikfenster. Sollte das ganze gut funktionieren, so sieht

man beim Aufklappen der Ebene9 die Skizze7 (siehe Abb.19). Skizze6 bezieht sich auf

der ersten Bohrung.

Abb. 19: Das Erzeugen der Skizze7 und die Detailansicht der Bohrung.

Nach der Erzeugung der zweiten Bohrung sieht das gesamtbauteil so aus, wie es in

Abb.20 gezeigt wird.

118

Abb. 20: Anbringung der zweiten Bohrung am Bauteil A.

Verrundungen

Es muss Schließlich die Verrundungen an der Schnittstelle der Bauteile A und B, am

Auge und an den Kanten angebracht werden. Die Vorgehensweise wird hier (Stellver-

tretend) nur für die Schnittstelle der Bauteile A und B gezeigt.

Die Schnittstelle muss zunächst markiert werden. Dafür muss der Auswahlfilter Kante

( ) aktiviert werden. Dann wird in Modelliermodus auf (steht über das

Grafikfenster) geklickt. anschließend wird der richtige Bemaßungswert (1 mm fixierter

Radius) für die Verrundug angepasst.

Genauso wird verfahren für das Erstellen der Verrundungen an anderen Stellen des

Bauteils, beispielsweise am Auge des Winkelhalters, wobei hier der Verrundungsradius

0,2 mm beträgt.

Abb. 21: Das Erstellen der Verrundungen an der Schnittstelle der Bauteile A und B

(Bild links) und am Winkelhalter-Auge (Bild rechts).

Eidesstattliche Erklärung

119

Eidesstattliche Erklärung

Hiermit versichere ich, Alain-Bruno Nsiama-Leyame, an Eides statt, die vorliegende

Bachelor Thesis selbständig verfasst und keine weiteren als die angegebenen Hilfsmittel

und Quellen benutzt zu haben.

Dies ist die von der Hochschule Düsseldorf zu bewertende Version.

Ort, Datum ________________________ Unterschrift ____________________

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