Studeo Aufgabensammlung Deskriptive Statistik - ein-Merkmal

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Statistik I - Aufgabensammlung Teil 1: Analyse für ein Merkmal Aufgabe 1.1: Das Unternehmen „Rhiel Logistik“ beschäftigt sich unter anderem mit dem Gütertransport. Dort setzt das Unternehmen immer noch auf die Straße, sprich auf Speditionsunternehmen. Um der Finanzbuchhaltung (Fibu) zu ermöglichen, die Kosten für die Speditionsunternehmen schon im voraus abschätzen zu können, stellt man aus alten Datenbeständen folgende Informationen zusammen, mit X : Anzahl der Paletten, die pro Tag an ein Speditionsunternehmen geliefert werden:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n(x) 2 5 10 15 35 30 20 25 8 2

a.) Bestimmen Sie die Werte H(5) und H(9) der empirischen Verteilungsfunktion des Merkmals X!

b.) Die Fibu teilt Ihnen nun mit, daß Ihr Unternehmen einen Rabatt ab einer Anzahl von 7 Paletten pro Tag erhält. Geben Sie mittels der Verteilungsfunktion an, in wieviel Prozent der Fälle dies eintritt!

Aufgabe 1.2: In einem Fachgeschäft wurden in den letzten 30 Tagen folgende Kundenzahlen (pro Tag) festgestellt:

2, 4, 6, 4, 7, 5, 7, 4, 3, 5, 5, 8, 6, 3, 5, 2, 9, 4, 5, 6, 8, 3, 10, 5, 4, 3, 7, 4, 6, 4.

a.) Erstellen Sie eine geordnete statistische Reihe! b.) Geben Sie die absoluten und die relativen Häufigkeiten der Kundenbesuche an! c.) Geben Sie die kumulierten absoluten und kumulierten relativen Häufigkeiten

der Kundenbesuche an! d.) Bestimmen Sie die klassierte Verteilung mit den Klassen 2-4, 5-7 und 8-10

Kunden und ermitteln Sie dazu die absoluten, relativen und kumulierten relativen Häufigkeiten!


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Aufgabe 1.3: In einer Autowerkstatt werden die Bestellungen von Abschleppseilen elektronisch gespeichert. Im Monat Dezember ergab sich somit folgende Reihe:

4, 2, 7, 2, 9, 2, 3, 6, 5, 2.

a.) Bestimmen Sie das gesuchte Merkmal! b.) Bestimmen Sie die relative Häufigkeitsverteilung und stellen Sie sie durch ein

Balkendiagramm dar! Aufgabe 1.4: Die Supermarktkette „Seh-gut“ führt an ihren Kassen ein statistisches Experiment durch. Es werden die Kunden gezählt, die pro Viertelstunde an Kasse 4 bezahlen wollen (Nichtkäufer werden nicht mitgezählt). Es ergibt sich folgendes:

4, 1, 2, 3, 2, 0, 3, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 0, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 6, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 0, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 1.

a.) Ermitteln Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Anzahl der Kunden, die

pro Viertelstunde an besagte Kasse strömen! b.) Zeichnen Sie die zugehörige Häufigkeitsverteilung und

Summenhäufigkeitsfunktion! Aufgabe 1.5: Bei der Bewerbung um eine Stelle im oberen Management stehen sich 21 Kandidaten gegenüber. Der Personalchef hat sich, um Zeit zu sparen, einen einfach auszuwertenden Test überlegt. Er mißt die Zeit, die ein Kandidat für die Lösung einer bestimmten, hier nicht näher zu betrachtenden Aufgabe benötigt. Er erhält folgende Ergebnisse (in sek.; aufgerundet):

120 117 149 154 99 123 192 100 78 106 132 143 98 154 128 119 87 200 164 154 112

a.) Erstellen Sie eine klassierte Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen sowie

kumulierten Klassenhäufigkeiten (Zählklassenbreite = 20)! b.) Erstellen Sie für diese Verteilung ein Histogramm!

Warum ist bei konstanter Klassenbreite die Normierung der relativen Häufigkeiten über alle Klassen nicht unbedingt notwendig ?

Aufgabe 1.6: Die Abteilung Qualitätssicherung (QS) des Automobilbauers „Perpedes Lenz“ stellt für 1.000 ihrer Motoren des Typs „Thunder“ folgende Lebensdauer fest:


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Lebensdauer in Jahren Anzahl der Motoren

bis 3 21 über 3 bis 5 198 über 5 bis 7 395 über 7 bis 9 212

über 9 174

a.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die zugehörige Summenhäufigkeits-funktion!

b.) Der Chef der Abteilung QS möchte nun von Ihnen als erfahrenen Statistiker wissen, welcher Anteil der Motoren eine zu erwartende Lebensdauer von mehr als 7 Jahren hat!

Aufgabe 1.7: Bei einer statistischen Untersuchung wurde folgendes über die Verteilung der Erwerbstätigen nach Nettoeinkommensgruppen herausgefunden:

Nettoeinkommen in EUR

Frauen in % Männer in %

unter 500 2,3 1,6 [500,1000) 4,6 3,5 [1000,2000) 39,2 21,0 [2000,2500) 22,9 23,1 [2500,3000) 13,7 27,4 [3000,4000) 9,5 11,9

mindestens 4000 7,8 11,5

a.) Diese beiden Datensätze sollen für eine vergleichende Analyse graphisch dargestellt werden. Welche Instrumente sind generell geeignet ?

b.) Stellen Sie die Datensätze graphisch dar. Was ist bei unterschiedlichen Klassenbreiten zu beachten ?

Aufgabe 1.8: Die Betriebsleitung des Elektrohändlers „Drexpert“ hat beschlossen, eine sogenannte Kundenkarte einzuführen. Diese Karte hat den Vorteil, daß alle im Monat getätigten Einkäufe gesammelt werden und dem Kunden der Betrag erst am Monatsende vom Konto abgebucht wird. Nachdem im ersten Monat 100 dieser Karten an den Mann gebracht wurden, ergab sich für den Monat April folgendes:

Rechnungsbetrag in EUR

Anzahl der Rechnungen


4

unter 20 33 [20,40) 26 [40,60) 24 [60,100) 13

mindestens 100 4 Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeit des im Monat April anfallenden Rechnungsbetrages graphisch dar! Aufgabe 1.9: Das Prüfungsamt einer Universität hängt folgende Liste mit Klausurergebnissen in Punkten aus:

34, 95, 46, 76, 12, 0, 86, 71, 47, 54, 48, 84, 16, 91, 48, 73, 47, 84, 77,36, 49.

a.) Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion jeweils mit einer Klassenbreite von 10!

b.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion! Aufgabe 1.10: Ein Bekannter von Ihnen, der von Beruf Fahrlehrer in Frankfurt ist, lästert mal wieder über Fahrradfahrer. Er teilt Ihnen mit, daß er Fahrradfahrer in folgende Kategorien unterteilt: Gruppe 1 setze sich seiner Meinung nach über alle geltenden Verkehrsregeln hinweg, er nennt sie die „Rücksichtslosen“. Die zweite Gruppe („ Schwarzfahrer“), die er ausmacht, fahre auch in der tiefsten Nacht ohne Licht. Schließlich gebe es noch diejenigen, die verkehrskonform fahren würden („Normalos“). Im letzten Jahr sind ihm in Ausübung seines Berufes 37 „Normalos“ aufgefallen. Weiter waren 63% entweder „Schwarzfahrer“ oder „Rücksichtslose“. 27% der Radfahrer waren sogenannte „Schwarzfahrer“. Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung der drei Gruppen von Radfahrern und stellen Sie die Häufigkeitsverteilung durch ein Säulendiagramm dar! Aufgabe 1.11: Für das Softwareprodukt „Consume 3“ des am Neuen Markt notierten Unternehmens „Klodacta AG“ wurde die Benutzungsdauer in 400 Unternehmen ermittelt:


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Benutzungsdauer in Jahren bis unter 1 [1,3) [3,5) [5,8) [8,15) Anzahl der Unternehmen 9 56 114 131 90

a.) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsfunktion! b.) Welcher Anteil der Unternehmen benutzt die Software länger als 4 Jahre ? c.) Welche Benutzungsdauer wird von 75% der an die 400 Unternehmen

ausgelieferten Software mindestens erreicht ? Aufgabe 1.12: Der Besitzer eines kleinen Kinos macht sich Gedanken über die Wirtschaftlichkeit seines Hauses. An 100 Tagen zählt er die Anzahl der Zuschauer. Folgende Zahlen liegen ihm vor:

xi 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 ni 1 9 13 13 20 15 10 7 5 4 3

a.) Berechnen Sie die relativen und kumulierten relativen Häufigkeiten! b.) Zur Existenzerhaltung reicht es aus, wenn an 90% der Tage mindestens 48

Besucher kommen. Hat das Kino eine Überlebenschance ? c.) Wie groß ist der Anteil der Tage, an denen der Kinobesitzer weniger als 270 EUR

einnimmt? (Der Eintrittspreis beträgt 6 EUR). d.) An wieviel Tagen kommen maximal 50, aber mindestens 45 Besucher ?

Aufgabe 1.13: 500 Briefträger wurden nach ihren (unliebsamen) Bekanntschaften mit Hunden während der Ausübung ihres Berufes befragt. Heraus kam folgende Verteilung:

Anzahl der Bekanntschaften [0,3) [3,5) [5,7) [7,15) Anzahl der Briefträger 81 191 187 41

Stellen Sie die Summenhäufigkeitsfunktion graphisch dar! Aufgabe 1.14: In verschiedenen Unternehmen wurden 110 Personen, die einen Abteilungsleiterposten inne haben, nach ihrer Schulbildung, ihrem Alter und nach der Art Ihrer Wohnung befragt. Heraus kam folgendes:


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Abschluß Anzahl der Abteilungsleiter

Alter in Jahren

Anzahl der Abteilungsleiter

kein Abschluß 12 [20,30) 50 Hauptschul- 14 [30,40) 38 Realschul- 33 [40,50) 10

Abitur 39 [50,60) 12 Hochschul- 12

Art der Wohnung Einfamilienhaus Hochhaus Reihenhaus Anzahl der

Abteilungsleiter 68 11 31

a.) Bestimmen Sie für die drei Merkmale die relative Häufigkeitsverteilung! b.) Stellen Sie das Merkmal Abschluß mit Hilfe eines Kreisdiagramms dar, das

Merkmal Alter mit Hilfe eines Stabdiagramms! c.) Stellen Sie wenn möglich für das Merkmal Art der Wohnung die empirische

Verteilungsfunktion graphisch dar! d.) Berechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion für alle drei Merkmale!

Aufgabe 1.15: 100 Studenten wurden anonym befragt, über welches Einkommen sie monatlich verfügen. Heraus kam folgende empirische Verteilungsfunktion:

a.) Wieviel Prozent der Studenten verfügen über ein monatliches Einkommen von mehr als 800 EUR ?

b.) Wieviele Studenten liegen unter dem „studentischen Existenzminimum“ von 500 EUR ?

c.) Unter welcher (finanziellen) Grenze liegen 35% der Studenten, die am wenigsten Einkommen haben ?

d.) Bestimmen Sie den Median der Verteilung!


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Aufgabe 1.16: Sie erhalten folgende Daten über die monatlichen Ausgaben von 12 bis 16-jährigen für Computerspiele:

a.) Welcher Anteil der Jugendlichen gab mehr als 75 EUR aus ? b.) Bestimmen Sie den Median der Verteilung! c.) Wieviel Prozent der Jugendlichen gaben weniger als 40 EUR aus ?

Aufgabe 1.17: An einer Wiederholungsklausur in Statistik haben 24 Studierende teilgenommen. Die erzielten Punkte - maximal 100 - enthält die folgende Tabelle:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ui 45 63 67 24 38 51 57 94 85 5 66 75

i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ui 12 33 84 59 17 81 79 9 84 29 90 83

Werten Sie diese Informationen statistisch aus, indem Sie:

a.) die Häufigkeitsverteilung und die kumulierten Häufigkeiten bestimmen! b.) die Quartile, ein weiteres Lagemaß und falls erforderlich ein geeignetes

Streuungsmaß berechnen!


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Aufgabe 1.18: An der Scanner-Kasse eines Supermarktes wurde für 50 aufeinanderfolgende Kunden folgende Bedienungszeiten in Sekunden registriert:

40 20 22 15 18 51 37 42 31 58 33 39 49 22 23 62 42 53 43 44 19 49 39 36 37 38 22 24 32 29 41 40 39 38 27 51 52 54 28 22 64 19 50 40 18 68 51 41 48 57

a.) Erstellen Sie ein Histogramm unter Verwendung der Klassengrenzen 0, 20, 30, 40, 50, 70!

b.) Erstellen Sie ein Stem and Leaf Display und bestimmen Sie den Modalwert, den Median sowie das arithmetische Mittel der Bedienungszeiten!

Aufgabe 1.20: Gegeben sind drei Verteilungen A, B und C:

A B C xi ni xi ni xi ni 50 200 50 10 70 60 100 40 100 60 80 80 150 200 150 10 440 10

Berechnen Sie die arithmetischen Mittelwerte! Aufgabe 1.21: Geben Sie zu den Teilaufgaben a bis d jeweils einen geeigneten Mittelwert an:

a.) für das Durchschnittsgewicht von einer 7. Klasse. b.) für eine Durchschnittsnote (Schulnoten) aus verschiedenen Fächern. c.) für die durchschnittliche Zugfestigkeit (An mehreren Probestücken wird die

Zugfestigkeit von Edelstahl gemessen). d.) für die Durchschnittsgeschwindigkeit eines LKW, der auf Teilstrecken einer Route

unterschiedliche Geschwindigkeiten fährt. Aufgabe 1.22: In einer 1986 bekannt gewordenen Untersuchung wurde der Gehalt des als krebsverdächtig geltenden Stoffes Dioxan bei neunzehn Shampoos angegeben (Die Nachweisgrenze liegt bei 5 ppm). Die geordneten Werte lauten ( nach Neue Essener Presse Sondernr. Okt. 1986):


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0, 0, 10, 10, 15, 15, 25, 50, 50, 55, 65, 100, 120, 125, 140, 150, 280, 290, 390.

Erstellen Sie die 5-Zahlen Zusammenfassung und ein Box-Plot! Aufgabe 1.23: Die „Deutsche Tele-mom“ schickt Ihnen zum Ende des Monats August eine unvollständige Rechnung. Darauf enthalten sind nur die Anzahl der Gebühreneinheiten (eine Gebühren- einheit = 0,20 EUR):

21, 64, 15, 5, 14, 19, 1, 43, 37, 25, 13, 8, 52, 81, 11, 10, 3, 42, 61, 15, 44, 12.

a.) Zeichnen Sie einen Graphen, der die Verteilung in angemessener Form darstellt und charakterisieren Sie die Verteilung!

b.) Berechnen Sie ein geeignetes Lagemaß! Aufgabe 1.24: Das Rennauto mit der Startnummer 17 legt bei dem 24h-Rennen in Le Mans (unter anderem) 4 Runden in unterschiedlichen Geschwindigkeiten (230 km/h, 210 km/h, 270 km/h und 110 km/h [infolge eines Ausfluges in die Prärie]) zurück. Ein anderes Auto mit der Nummer 11 ist in den gleichen 4 Runden konstant 200 km/h gefahren. Wer war, wenn man nur diese 4 Runden betrachtet, schneller ? Aufgabe 1.25: Im Jahr 1935 erschien ein Artikel des Psychologen J. Stroop über das Phänomen, Farben von Farbwörtern zu benennen, wenn diese Wörter in inkongruenten Farben geschrieben sind, z.B.

BLAU (geschrieben in roter Farbe) ROT (geschrieben in gelber Farbe)

GRÜN (geschrieben in blauer Farbe) GELB (geschrieben in grüner Farbe) usw.

Im vorliegenden Experiment mit 20 Versuchspersonen wurde versucht, Stroops Ergebnisse zu replizieren. Genauer wurde untersucht, wieviel Sekunden die Versuchspersonen zum Lesen von jeweils 100 Farbwörtern brauchten. Versuch A: Die Versuchsperson bekommt eine Liste mit 100 Farbwörtern, geschrieben mit

schwarzer Tinte, vorgelegt.


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Versuch B: Die Versuchsperson bekommt eine Liste mit 100 Farbwörtern dargeboten, wobei jedes Wort in einer Farbe geschrieben ist, die inkongruent zum Sinn des Wortes ist.

VP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 34 34 33 35 37 49 37 27 45 32 B 40 40 42 35 41 53 39 34 47 37

VP 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 33 34 29 37 44 41 32 39 30 41 B 40 41 32 46 46 49 40 40 37 47

a.) Stellen Sie die beiden Datensätze A und B graphisch dar!

Ist ein Leistungsunterschied feststellbar? b.) Beschreiben Sie die Lage der beiden Datensätze durch Maßzahlen!

Aufgabe 1.26: Geben Sie an, welcher Mittelwert hier jeweils geeignet ist:

a.) Bei Olympischen Winterspielen werden Skispringer von Punktrichtern bewertet. Für jeden Skispringer soll die durchschnittliche Einordnung bestimmt werden!

b.) Die Preissteigerung in Deutschland betrug in den letzten Jahren 1,2%, 2,1%, 2,0%. Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigerungsrate!

c.) Ein Tischler schneidet 14 m2 Holz mit 2 m2 je Stunde und 8 m2 Holz mit 4 m2 je Stunde. Wie hoch war die Durchschnittsleistung ?

Aufgabe 1.27: Ein langjährig erfahrener Möbelpacker erzählt seinem Lehrling in der Pause, daß er im Laufe seiner Kariere schon (über) 150 Schränke „bewegt“ hat. Er zeigt ihm folgende Statistik:

Gewicht des Schrankes in kg [0,10) [10,s) [s,20) [20,30) [30,50) Anzahl der transportierten Schränke 15 35 40 50 10

Um die Statistikkenntnisse des Lehrlings zu überprüfen, die er in der Berufsschule gerade lernt, fragt er ihn, welche der nun folgenden Angaben ihm allein helfen würden, die fehlende Klassengrenze s zu berechnen:

a.) Der Median hat einen Wert von 18 kg. b.) Das 30%-Quantil beträgt 13. c.) Das durchschnittliche Gewicht hat einen Wert von 19 kg.


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d.) Die Modalklasse ist [20,30). Aufgabe 1.28: In einem Kraftwerk wurde in den Monaten Januar 1990 bis Dezember 1991 folgende Anzahl von Störfällen (Merkmal X) registriert:

Monat J F M A M J J A S O N D 1990 3 1 0 2 4 2 8 3 2 4 6 1 1991 6 7 1 1 7 9 8 3 3 8 0 7

a.) Stellen Sie die Daten in einem Säulendiagramm dar und geben Sie den Modus der

Verteilung an! b.) Bestimmen und interpretieren Sie den Median und die Quartile über die

Verteilungsfunktion! c.) Bestimmen Sie den Quartilsabstand und zeichnen Sie den Box-Plot der Erhebung! d.) Berechnen Sie die Varianz und den Mittelwert der Verteilung!

Aufgabe 1.29: Bestimmen Sie einen geeigneten Mittelwert:

a.) Ein vielreisender Urlauber benötigt für den ersten Teil (20%) seiner Schiffsreise von Frankfurt nach New York (ca. 9000 km) 6 Stunden. Für die folgende Teilstrecke, die genau halb so lang ist wie die Gesamtstrecke 12 Stunden und für den Rest 4 Stunden. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich somit ?

b.) Bei der Weltmeisterschaft im Turmspringen erzielten die 5 deutschen Teilnehmer folgende Plätze: 3. , 6., 1., 2., 2. Welchen Platz haben die Turmspringer im Mittel erzielt ?

c.) Bei einer Meinungsumfrage vor dem Savignyhaus in Marburg, an der 2.000 Personen teilgenommen haben, sprachen sich 35% der Befragten für die Beibehaltung der Ökosteuer aus. Bei einer zweiten Umfrage (über dasselbe Thema) sprachen sich von 100 Personen immerhin 78% dafür aus. Wieviel Prozent der Befragten ist gegen die Ökosteuer ?

Aufgabe 1.30: In einem Supermarkt wurde im Rahmen einer Kundenflußstudie die Warteschlangenlänge vor den Kassen aufgezeichnet. An einer bestimmten Kasse wurde an 16 Tagen jeweils zum Meßzeitpunkt 15.00 Uhr die folgende Anzahl wartender Kunden ermittelt:

2, 0, 3, 6, 5, 6, 2, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 5, 2, 6.


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a.) Ermitteln Sie aus den Ausgangsdaten die zugehörige geordnete statistische Reihe

und erstellen Sie eine (unklassierte) Häufigkeitsverteilung mit absoluten und relativen sowie kumulierten absoluten und relativen Häufigkeiten!

b.) Ermitteln Sie den Zentralwert und die Quartile! c.) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die Varianz und die

Standardabweichung! d.) Welches ist der schwerste Wert, welcher der dichteste ?


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Aufgabe 1.31: Bei linear transformierten Daten der Form gilt: und Zeigen Sie, daß diese Aussagen wahr sind! Aufgabe 1.32: An einem Fließband arbeiten drei Personen. Der schnellste schafft 100 Bremsscheiben in 20 Minuten, die anderen beiden benötigen ebenfalls für 100 Bremsscheiben jeweils 33 und 41 Minuten. Wie hoch ist die Durchschnittsleistung der Fließbandarbeiter (entspricht der durchschnittlichen Zeit für 100 Bremsscheiben) ? Aufgabe 1.33: Für mehrere Jahre wurde der Heizölverbrauch der Stadt Köln gemessen (fiktiv):

Jahr 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Heizölverbrauch in l 81000 83570 84125 87100 87950 91500

a.) Ermitteln Sie die jährlichen Wachstumsraten! b.) Errechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate!

Aufgabe 1.34: Eine Eisengießerei bezieht Rohstoffe aus unterschiedlichen Ländern zu unterschiedlichen Preisen für je 60.000 EUR:

Land bezogene Rohstoffe in EUR je Tonne Rußland 1.000 U.S.A. 13.000

Slowakei 4.000 Spanien 7.500

Welchen durchschnittlichen Preis zahlte das Unternehmen je Tonne ? Aufgabe 1.35:


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Bei einem Konzert der Heavy-Metall-Gruppe „EihC-DC“ werden grundsätzlich jede Menge an Getränken verkauft. Der Veranstalter zählt unter anderem:

Getränk heiße Milch mit Honig

Yasmintee Karottensaft Pfefferminztee

Häufigkeit 53 24 99 11 Da die Fans mit einer sogenannten „Kundenkarte“ bezahlt haben, läßt sich auch der anfallende Zahlungsbetrag für jeden Fan errechnen:

Zahlungsbetrag [0,4) [4,10) [10,20) [20,35) Anzahl der Fans 5 10 15 70

a.) Bestimmen Sie für die beiden Merkmale die möglichen Lageparameter! Welche sind jeweils die geeignetsten ?

b.) Berechnen Sie für das Merkmal Zahlungsbetrag das 35%-Quantil! Aufgabe 1.36: Beim „Großen Preis von Monza“ (Damenkonkurrenz) fährt Michaela S. im freien Training unter anderem folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten pro Runde:

Runde 1 2 3 4 Durchschnittsgeschwindigkeit in

km/h 225 240 195 245

Bestimmen Sie rechnerisch die durchschnittliche (Gesamt-) Geschwindigkeit von Michaela S.! Aufgabe 1.37: In einer kleinen Unternehmung sind folgende Einkommensgrößen von Gewerkschafts-mitgliedern gegeben:

24.000 $ 28.000 $ 48.000 $ 68.000 $ 24.000 $ 40.000 $ 52.000 $ 72.000 $ 28.000 $ 48.000 $ 52.000 $ 72.000 $ 28.000 $ 48.000 $ 60.000 $ 74.000 $

Die Gewerkschaft ist der Meinung, daß ein Großteil dieser Gehälter sehr gering ist. Zur Unterstützung ihrer Hypothese nimmt sie eine Klassenbildung mit vier gleich großen Klassen vor (Klassenbreite jeweils 20.000 $, Klassenuntergrenze der ersten Klasse: 10.500 $).


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Das Management dagegen ist der Auffassung, daß die Einkommen der Gewerkschafts- mitglieder in den höheren Einkommensklassen liegen. Ihre Position unterstützen sie durch folgende Klasseneinteilung: vier gleich große Klassen mit einer Klassenbreite von jeweils 16.000 $ und einer Klassenuntergrenze der ersten Klasse von 10.500 $. Stellen Sie die beiden klassierten Verteilungen graphisch dar und interpretieren Sie die Ergebnisse! Aufgabe 1.38: Ein Brummi-Fahrer, der die Strecke Hamburg → Rom fährt, tankt auf seiner Reise drei Mal. Bei Frankfurt tankt er 60 l für 1,75 EUR/l, bei München 35 l für 1,85 EUR/l und bei Mailand tankt er ein letztes Mal 65 l für 1,45 EUR/l (von Lire in EUR ist bereits umgerechnet).

a.) Wie groß ist der mittlere Benzinpreis (EUR/l) ? b.) Wie groß ist der mittlere Benzinpreis, wenn er jedesmal für den gleichen

Geldbetrag tankt ? c.) Kurz nach seiner Ankunft in Rom, wurde die Firma an ein Unternehmen, ansässig

in Frankreich, verkauft. Die neue Unternehmensleitung möchte, daß für alle Abrechnungen der französische Franc benutzt wird. Davon betroffen ist auch unser Brummi-Fahrer. Er weiß, daß 1 Franc 74 Pfennig wert ist. Wie groß ist der mittlere Benzinpreis (für obige Strecke) in Franc ?

Aufgabe 1.39: Radrennfahrer „Rudi Maltig“ notiert nach jedem Training seine gefahrenen Kilometer, Durchschnittsgeschwindigkeit und durchschnittliche Herzfrequenz. Sein Fahrradtacho gibt ihm für die letzte Fahrt merkwürdige Informationen an:

Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h

25,5 27,9 22,1 18,2

Anteil an der gefahrenen Strecke 0,43 0,27 0,2 0,1 Bestimmen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit für die gesamte gefahrene Strecke! Aufgabe 1.40: Der Teeliebhaber „Marcello Tein“ möchte seinen Teekonsum einschränken. Dazu hat er im letzten Monat folgenden Verbrauch festgestellt:

Teekonsum in Gramm pro Tag 0 – 3 3 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 15 Anzahl der Tage 2 5 7 11 6

Um seinen Konsum in Zukunft besser steuern zu können, möchte er von Ihnen als langjährigem Freund und Statistikexperten wissen, wieviel Gramm Tee er durchschnittlich letzten Monat


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verbraucht hat, um dann in den Folgemonaten, die durchschnittliche Menge an Tee sukzessive zu senken. Aufgabe 1.41: Die Keksfabrik „4-Paulie“ stellt bei einer Routinekontrolle in ihren Salzstangen folgenden Salzgehalt fest:

Salzgehalt pro Salzstange in mg 1 1,1 1,2 1,5 kontrollierte Menge an Salzstangen in % 0,10 0,35 0,25 0,30

Wieviel Salzgehalt hatte durchschnittlich eine Salzstange ? Aufgabe 1.42: Ihr Freund „Michael Monie“ hat das Geld (1.500 EUR), was Sie ihm am Anfang des Jahres 1992 gegeben haben, gewinnbringend für Sie am Aktienmarkt investiert. Da sie sich jetzt (Anfang des Jahres 1999) ein Auto kaufen wollen, fragen Sie Ihren Freund, was aus Ihrem Geld geworden ist. Dieser sagt Ihnen, er hat, bei Verkauf der Aktien, einen Betrag von 12.194,27 EUR für Sie.

a.) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Kapital insgesamt erhöht ? b.) Wieviel beträgt die durchschnittliche jährliche Verzinsung ? c.) Wieviel beträgt die durchschnittliche Verzinsung für ein 3-Jahresintervall ?

Aufgabe 1.43: Im Kreis Marburg-Biedenkopf sind 10.000 Menschen arbeitslos (Quote: 7,2 %), im Nachbarkreis nur 4.000 (Quote 10 %) [Daten sind fiktiv]. Wie hoch ist die durchschnittliche Arbeitslosenquote für diese beiden Regionen ? Aufgabe 1.44: Aus der Personalkartei eines Unternehmens wurde von 20 Arbeitnehmern die Betriebszugehörigkeit in vollendeten Jahren festgestellt:

Betriebszugehörigkeit in Jahren 1 2 3 7 9 11 15 Anzahl der Arbeitnehmer 2 3 1 3 1 1 1

Betriebszugehörigkeit in Jahren 18 21 25 29 30 33 47 Anzahl der Arbeitnehmer 1 1 1 1 2 1 1

Berechnen Sie aus diesen Angaben:

a.) das arithmetische Mittel und den Median!


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b.) die Standardabweichung und die durchschnittliche Abweichung vom Median! c.) Interpretieren Sie die Ergebnisse!

Aufgabe 1.45: Im September 1990 wurden die Notarztwagen des Humboldt-Krankenhauses in Berlin zu 124 Einsätzen gerufen. Klassiert man die Einsätze nach der Entfernung zwischen Krankenhaus und Einsatzort (Merkmal X, in km) so ergibt sich folgende Tabelle:

Entfernung in km 0-3 3-7 7-11 11-16 Anzahl der Einsätze 37 32 23 32

Gehen Sie von einer Gleichverteilung innerhalb der Klassen aus!

a.) Berechnen und interpretieren Sie den Mittelwert, die Varianz, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten der Verteilung!

b.) Geben Sie an, wie sich diese Größen verändern, wenn man die Entfernung nicht in km sondern in Meilen (1 Meile = 1,6 km ) mißt!

c.) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion! (Hinweis: H(x) ist nur an den Klassengrenzen bekannt!) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch den Median und den Abstand zwischen dem unteren und oberen Quantil (x(0,2) und x(0,8) )!

d.) Zeichnen Sie den Box-Plot der Verteilung, wenn die kürzeste Fahrt 500 m und die längste Fahrt 15,4 km betragen haben. Inwiefern ist die Gleichverteilungsannahme in der zweiten Klasse hierbei von Bedeutung ?

e.) Stellen Sie die Daten in einem Histogramm dar! Aufgabe 1.46: Zwischen dem FB 0815 der Uni Marburg und einer Universität im tiefsten England kommt es im Januar 1997 zu einem Studentenaustausch. Dabei kommen 23 englische Studenten nach Marburg, um (lokale) Bräuche und Sitten kennenzulernen. Der Marburger Leiter der Gruppe „Müller“ hat, um das Eis ein bißchen zu brechen, ein lustiges kleines Spiel vorbereitet. Er schlägt vor, die Höhe der Elisabethkirche zu schätzen, und zwar einmal die englische Studentengruppe und einmal die Marburger Studentengruppe, bestehend aus 38 Personen. Es ergeben sich folgenden Zahlenreihen:

Englische Gruppe Marburger Gruppe 75, 77, 80, 84, 84, 84, 91, 93, 96, 97, 101, 106, 107, 107, 107, 112, 118, 121, 123, 127, 128, 129, 133.

27, 28, 28, 30, 30, 31, 33, 34, 34, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42,

42, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44. Beim Vergleich der beiden Reihen, fällt Müller auf, daß die englische Gruppe die Höhe in Fuß gemessen hat, während die Marburger Gruppe sie in Metern geschätzt hat. Da er aber bei der Präsentation der Ergebnisse am Abend diejenige Gruppe auszeichnen will, die die Kirche im


18

Schnitt genauer geschätzt hat, (und er die Schätzung nicht noch mal durchführen will) ruft er aus seiner Verzweiflung Sie an. Wie können Sie Ihrem langjährigen Freund aus der Patsche helfen (1 Fuß = 0,3048 Meter) ? Aufgabe 1.47: Vorgegeben ist die folgende Verteilung von Klausurnoten, wobei hier die Abstände zwischen den einzelnen Noten sinnvoll zu interpretieren sein sollen:

xi 1 2 3 4 5 ni 5 19 33 17 6

a.) Berechnen Sie Mittelwert und Varianz der Verteilung! b.) Wie groß ist die durchschnittliche, absolute Abweichung vom Mittelwert ? c.) Welches ist der dichteste, welches ist der schwerste Wert ? d.) Wie groß wären Mittelwert und Varianz dieser Verteilung, wenn die Notenskala

umgekehrt definiert würde, so daß die beste Note mit 5 und die schlechteste mit 1 zu bewerten wäre ?

e.) Berechnen Sie die durchschnittliche absolute Abweichung vom Mittelwert für die neue Notenskala in Teilaufgabe d!

Aufgabe 1.48: Mit Hilfe eines Computers wurden für einen Datensatz x1 ,...,xn als Lagemaße der Modus xmod , der Median xmed und das arithmetische Mittel berechnet. Nach der Berechnung stellt sich heraus, daß ein Fehler bei der Dateneingabe aufgetreten ist. Der kleinste Wert xmin = x(1) des Datensatzes ist 400 und nicht 4 (wie falsch eingegeben). Auch der korrigierte Wert 400 ist der kleinste Wert! Wie verändern sich die drei Lagemaße nach einer Korrektur der Dateneingabe ? Aufgabe 1.49: Im Unternehmen „Zahlnix“ erhalten die 150 Beschäftigten einen monatlichen Durchschnittslohn von . Aufgrund von Arbeitskampfmaßnahmen der Mitarbeiter Ende Juli wurde endlich eine Angleichung an schon lange gültige Flächentarifverträge beschlossen. Ergebnis ist eine sofortige 35%-ige Lohnanhebung und eine Einmalzahlung in Höhe von 220 EUR.

a.) Auf wieviel EUR dürfen sich die Mitarbeiter des Unternehmens durchschnittlich am nächsten Zahltag (10.te des Monats August; entspricht dem Lohn für August) freuen ?

b.) Um wieviel EUR hat sich in diesem Jahr die Situation der Mitarbeiter (im Vergleich zum Vorjahr) absolut verbessert ?


19

Aufgabe 1.51: Bei einer statistischen Erhebung vom Umfang n =11 wurde von Statistikern der Mittelwert 5 und eine Varianz von 12 berechnet. Bei einer Routinekontrolle wurde festgestellt, daß 3 Werte vergessen wurden, nämlich die x-Werte 8, 3 und 2. Berechnen Sie nun den wirklichen Mittelwert und die wirkliche Varianz der Stichprobe! Aufgabe 1.52: Für 100 Betriebe ist die Zahl der während eines Streiks von Aussperrung betroffenen Arbeitnehmer in folgender klassierten Verteilung dargestellt:

Zahl der Arbeitnehmer von ... bis unter ...

Zahl der Betriebe

durchschnittliche Zahl der Ausgesperrten

Klassenvarianz [in 1000]

0-300 40 250 7,5 300-500 30 400 40 500-1000 25 720 150

1000 und mehr 5 6.000 698 a.) Bestimmen Sie den Zentralwert und die Quartile Q1 und Q3 mittels linearer

Interpolation! b.) Berechnen Sie den Gesamtmittelwert und die Varianz der Verteilung! Aufgabe 1.53: Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe mit zwanzig Elementen:

4, 9, 7, 5, 5, 3, 6, 3, 7, 8, 3, 2, 5, 2, 1, 5, 9, 8, 6, 2.

a.) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten sowie kumulierten absoluten und relativen Häufigkeiten!

b.) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, den Zentralwert, die Quartile sowie den schwersten und den dichtesten Wert!

c.) Bestimmen Sie Varianz und Standardabweichung! d.) Was wird durch die Varianz und die Standardabweichung ausgedrückt ?

Aufgabe 1.54: 100 Studenten des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaften wurden nach der Anzahl ihrer Urlaubsfahrten im vergangenen Jahr (xi) befragt. Es ergab sich folgende Häufigkeitstabelle:


20

xi 0 1 2 3 4 ni 40 20 25 10 5

a.) Wieviel Urlaubsfahrten wurden im Durchschnitt unternommen ? Berechnen Sie die Varianz und den Variationskoeffizienten! b.) Berechnen Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten und interpretieren Sie den

Wert ! c.) Berechnen Sie den mittleren Quartilsabstand und die durchschnittliche absolute

Abweichung vom arithmetischen Mittel! d.) Aufgrund gestiegener Lebenshaltungskosten muß die Anzahl der Urlaubsfahrten

um 10% vermindert werden. Ändern Sie die Werte aus der obigen Tabelle entsprechend ab und berechnen Sie Mittelwert und Varianz der abgeänderten Anzahl der Urlaubsfahrten!

Aufgabe 1.56: Gegeben ist folgende Reihe:

17, 53, 26, 19, 86, 54, 65, 31, 98, 12, 49, 48, 68.

a.) Berechnen Sie den Mittelwert der Verteilung! b.) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung! c.) Berechnen Sie den Median der absoluten Abweichung vom Median (MAD)! d.) Berechnen Sie die Schiefe und Wölbung!

Aufgabe 1.57: Welche Aussagen sind falsch ?

a.) Die Varianz ist ein durch den Wendepunkt einer Verteilung bestimmter Kennwert! b.) Die Varianz ist ein Maß für die Unterschiedlichkeit von Maßzahlen

(bezogen auf den Mittelwert)! c.) Die Varianz ist ein vom Mittelwert quantitativ abhängiger Parameter! d.) Die Varianz ist ein Maß für den Unterschied zwischen den Extremwerten einer

Verteilung! Aufgabe 1.58: Sie bekommen folgendes Datenmaterial über eine (fiktive) Klausur im Fach BWL I:

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 3.0, 2.0, 3.0, 1.0, 5.0, 5.0


21

Bestimmen Sie eine geeignete Maßzahl, die etwas über die Streuung der Klausurnoten aussagt! Aufgabe 1.59: Aus der Versandabteilung eines Betriebes wird eine Stichprobe von 10 Paketen entnommen. Die Pakete haben folgende Gewichte:

Paket 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gewicht (kg) 12 10,5 4,3 10,5 14 5 5 10,5 6,2 4,3

a.) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion! Bestimmen und interpretieren Sie H(13)! b.) Bestimmen Sie graphisch den Median und interpretieren Sie den Wert! c.) Berechnen und interpretieren Sie den Mittelwert, die Varianz, die

Standardabweichung und den Variationskoeffizienten! d.) Angenommen, die Waage habe einen Defekt und hat bei allen Messungen

1 kg zuwenig angezeigt. Wie lauten dann die korrekten Werte der Größen von Teilaufgabe c ?

Aufgabe 1.60: Es liegt für das Merkmal X folgende Häufigkeitsverteilung vor:

xi -3 -1 0 2 3 5 hi 0,10 0,15 0,20 0,35 0,05 0,15

a.) Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz für das Merkmal X! b.) Es gelte für das Merkmal .

Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung von Y sowie dessen Mittelwert und Varianz!

Aufgabe 1.61: Gegeben ist folgende Verteilung einer VWL II Klausur:

3.3, 3.0, 1.7, 2.0, 5.0, 5.0, 4.0, 5.0, 3.7, 3.7, 3.0, 5.0, 2.3, 2.7, 1.7, 2.0

a.) Berechnen Sie, wenn möglich, den Streuungsparameter Varianz! b.) Um wieviel Punkte weicht jeder der 16 Klausuren von der Durchschnitts-

punktzahl ab ?


22

Aufgabe 1.62: Eine Befragung unter den Besitzern der teuersten Personenkraftwagen („Nobelkarrossen“) in den USA ergab die folgende Verteilung der Pkw-Preise (in TDM):

Pkw-Preisgrößenklasse von...bis unter ...

(in TDM)

Anzahl der Besitzer

Durchschnittlicher Pkw-Preis (in TDM)

Varianz je Größenklasse

(in TDM2) 200-600 80 500 50.000 600-900 60 750 100.000 900-1200 30 1000 200.000 1200-1400 20 1250 250.000 über 1400 10 2000 200.000

a.) Ermitteln Sie Mittelwert und Varianz der Verteilung! b.) Bestimmen Sie den Anschaffungswert aller Pkw, d.h. die Summe der Pkw-Preise

aller Klassen! Ermitteln Sie die schwerste Klasse! c.) Erklären Sie die Begriffe „Interne Varianz“ und „Externe Varianz“ in wenigen

Stichworten!

Aufgabe 1.63: Das Fitneßcenter „Trimm-dich“ befragte jeweils 60 weibliche und 60 männliche Besucher ihres Fitneßcenters nach der Anzahl ihrer (Fitneßcenter-) Besuche pro Monat (Merkmal X). Heraus kam folgende Verteilung:

weibliche Besucher männliche Besucher xi ni xi ni 0 5 0 10 1 15 1 5 2 10 2 5 3 15 3 25 4 10 4 5 5 5

5 10 a.) Bestimmen Sie jeweils Median, Quartile und Modus! b.) Wieviele Besuche im Fitneßcenter wurden im Durchschnitt von den weiblichen

bzw. männlichen Besuchern gemacht ? c.) Berechnen Sie für beide Datensätze jeweils Varianz, Variationskoeffizient und

Schiefe! Aufgabe 1.64: Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe:

2, 3, 1, 5, 4, 7, 1, 3, 6, 1, 4, 5, 7, 2, 2.


23

a.) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und !

Geben sie als Zwischenschritt auch den jeweiligen Quotienten an! b.) Bestimmen Sie den Quartilsdispersionskoeffizienten

Bestimmen Sie die Parameter gegebenenfalls durch lineare Interpolation! Geben Sie als Zwischenschritt auch den Quotienten an!

Aufgabe 1.65: Ein Marktforschungsinstitut befragte 110 Personen nach dem Merkmal X: „Ihre Meinung zur aktuellen Bildungspolitik in Hessen“ (fiktiv). Es ergaben sich folgende Ergebnisse:

xi schlecht mäßig befriedigend gut superb ni 35 20 35 15 5

Berechnen Sie eine geeignete Streuungsmaßzahl für das Merkmal X! Aufgabe 1.66: Im Rahmen einer Untersuchung des Elektrogerätemarktes wurde bei n = 1.000 Haushalten das Merkmal X: „Anzahl der Radios je Haushalt“ ermittelt und in der nachstehend aufgeführten Tabelle dargestellt:

xi 0 1 2 3 4 5 h(xi ) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1

a.) Berechnen Sie Mittelwert und Varianz! Wie ist der errechnete Mittelwert zu interpretieren ?

b.) Erstellen Sie eine klassierte Häufigkeitsverteilung mit den Klassen [0-1], [2-3], [4-5]! c.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte und die Klassenvarianzen und geben Sie die

Varianzzerlegung für die klassierte Verteilung an!

Aufgabe 1.67: 175 Personen werden nach der Farbe ihrer Autos gefragt. 25 davon weisen diese Frage als indiskret zurück. Heraus kommt folgende Verteilung:

Farbe des Autos blau grün gelb rot schwarz


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Anzahl der Personen 51 18 9 44 28 Berechnen Sie ein geeignetes Streuungsmaß für die Farbe des Autos! Aufgabe 1.68: Bei dem Unternehmen „ P-online“ verteilen sich die monatlichen Lohn- und Gehaltssummen wie folgt auf die Beschäftigten:

Einkommen Anzahl der Beschäftigten

Bruttolohn je Größenklasse in EUR

davon Kirchensteuer

bis unter 1000 11 6.600 66 [1000,1750) 54 86.400 4.320 [1750,2250) 23 48.300 3.381 [2250,3000) 25 65.625 7.218 [3000,3500) 41 137.760 8.876 [3500,4000) 75 271.875 11.432 [4000,5000) 21 88.200 12.500

mindestens 5000 8 88.000 15.000

a.) Berechnen Sie den durchschnittlichen Bruttolohn je Klasse und insgesamt! b.) Bestimmen Sie rechnerisch Näherungswerte für den Zentralwert und für die

Quartile! c.) Berechnen Sie den durchschnittlichen Kirchensteuersatz je Größenklasse und insgesamt!

d.) Berechnen Sie die durchschnittliche Steuerschuld je Größenklasse und insgesamt!

Aufgabe 1.69: Eine Befragung unter 15 Familienvorständen nach der Anzahl der Kinder erbrachte folgendes:

0, 3, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 0, 0, 2, 4, 2, 1, 1.

a.) Stellen Sie die Verteilung wie folgt klassiert dar: kleine Familie : 0 bis 1 Kind mittelgroße Familie: 2 bis 3 Kinder große Familie: 4 und mehr Kinder b.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte, Klassenvarianzen, den Gesamtmittelwert

und die Gesamtvarianz! Geben Sie bitte zusätzlich die Varianzzerlegung an! c.) In einer weiteren Befragung im Nachbarort ergaben sich 20% niedrigere Werte.


25

Wie lauten der Gesamtmittelwert, interne und externe Varianz und Gesamtvarianz für diese Verteilung ?

Aufgabe 1.70: Die Supermarktkette „Minus-Plus“ hat in der vergangenen Woche in ihren Filialen deutschlandweit Gummibärchen in der Anstaltspackung (500g) verkauft. Aufgrund des „Nord-Süd-Gefälles“ und einigen anderen Ursachen sind die Preise in den einzelnen Filialen nicht einheitlich:

Filiale in ... Preis der Gummi- bärchenpackung in EUR

verkaufte Anstalts- packungen

Berlin 3,49 10.000 Bremen 2,79 4.500 Coburg 3,29 1.050

Frankfurt 2,99 5.100 Kiel 3,09 2.910

Münster 2,89 3.500 Osnabrück 2,99 1.785 Wiesbaden 2,56 6.000

a.) Errechnen Sie die Spannweite und den Quartilsabstand für die Preise der

Gummibärchen! b.) Bestimmen Sie die mittlere absolute Abweichung und den MAD, sowie die

Varianz für die Preise der Gummibärchen und für den Umsatz der Filialen! c.) Berechnen Sie Schiefe und Wölbung des Umsatzes der Filialen!

Aufgabe 1.71: Eine Befragung unter 17-jährigen hatte das Thema „verfügbares Geld im Monat“ zum Gegenstand. Es ergaben sich folgende Ergebnisse:

verfügbares Geld pro Monat 0 –50 50 – 250 250 – 500 500 – 750 750 – 1000

Anzahl der Jugendlichen 1 10 23 45 31

a.) Berechnen Sie die Streuung unter der Annahme, daß die Werte in den Klassen sich um die Klassenmitten konzentrieren!

b.) Wie ließe sich die Streuung bei einer symmetrischen unimodalen Verteilung mit konstanter Klassenbreite auch bestimmen ?

c.) Wieviele der 17-jährigen hätten unter Annahme der Gleichverteilung innerhalb der Klassen mehr als 600 EUR monatlich zur Verfügung ? Wieviele hätten weniger als 300 EUR monatlich ?


26

Aufgabe 1.72: Gegeben sei folgende ungeordnete statistische Reihe:

3, 5, 4, 3, 6, 4, 7, 6, 2, 3, 2, 3, 1, 5, 4, 7, 1, 3, 6, 1, 4, 5, 7, 2, 2.

a.) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und ! Geben sie als Zwischenschritt auch den jeweiligen Quotienten an! b.) Bestimmen Sie den Quartilsdispersionskoeffizienten ! Bestimmen Sie die Parameter gegebenenfalls durch lineare Interpolation!

Geben Sie als Zwischenschritt auch den Quotienten an! Aufgabe 1.73: Es sind zwei Datensätze gegeben:

Datensatz 1 50 55 60 65 70 Datensatz 2 108 113 118 123 128

Berechnen Sie für beide Datensätze die Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient, mittlere absolute Abweichung, MAD, Spannweite, Schiefe und Wölbung! Aufgabe 1.74: Eine Spedition ermittelte für einen Monat die Zahl der von ihren zehn Fahrzeugen absolvierten Leerfahrten, die in folgender statistischer Reihe wiedergegeben sind:

7, 12, 3, 1, 8, 2, 6, 10, 4, 11.

a.) Bilden Sie eine klassierte Häufigkeitsverteilung mit den Klassen [1-4], [5-8], [9-12]! b.) Berechnen Sie die Klassenmittelwerte und die Klassenvarianzen!

Nehmen Sie dazu bitte die Werte aus der statistischen Reihe! c.) Berechnen Sie die interne und die externe Varianz zur Varianzzerlegung

der klassierten Verteilung in Teilaufgabe a!

Aufgabe 1.75: Bei den Bundestagswahlen 1998 (fiktiv) erreichte die Partei „FDH“ und die Partei „SBD“ folgende Ergebnisse:

Bundesland Stimmenanteil von „FDH“ in %

Stimmenanteil von „SBD“ in %

Baden-Württemberg 5,9 37,5


27

Bayern 5,7 36,5 Hessen 5,2 38,6

Niedersachsen 6,2 38,3 Saarland 4,8 45,8

Thüringen 6,8 38,1 Der Vertreter der Partei „FDH“ behauptet, daß das „FDH“-Ergebnis in allen (hier betrachteten) Bundesländern relativ gleich sei, währenddessen das „SBD“-Ergebnis wesentlich weniger stabil sei. Nehmen Sie zu dieser Behauptung Stellung! Aufgabe 1.76: Die Stadt Marburg benötigt dringend mehr Geld im Stadtsäckel. Also kommt man auf die glorreiche Idee, einen Geschwindigkeitsmesser in Höhe der Biegenstraße (bei der Stadthalle) aufzustellen. Um Geld zu sparen, wird kein Statistikbüro beauftragt, bei den Messungen behilflich zu sein, sondern Sie (als BWL-Student). Zusammen mit einem Hilfspolizisten erfassen Sie 23 Autos innerhalb von 3 Tagen, die, nach Abzug der Toleranz, immer noch schneller als die gebotenen 50 km/h gefahren sind:

Geschwindigkeit der zu schnell fahrenden Autos am Tag 1 (in km/h)

54, 61, 52, 55, 71, 65, 62, 59, 60, 68.

Geschwindigkeit der zu schnell fahrenden Autos am Tag 2 (in km/h)

55, 53, 59, 61, 51, 64, 56.

Geschwindigkeit der zu schnell fahrenden Autos am Tag 3 (in km/h) 62, 52, 54, 57, 60, 54.

a.) Berechnen Sie, um wieviel km/h die geblitzten Autos im Durchschnitt

zu schnell waren (Gesamtheit der 3 Tage)! b.) Berechnen Sie die Varianz von jedem der 3 Tage und von allen 3 Tagen

zusammen! c.) Bei einem Parallelprojekt in Hildesheim wurde ebenfalls solch ein Projekt

durchgeführt. Dort hatte man für insgesamt 210 Autos an 4 Tagen Geschwindigkeitsübertretungen gemessen. Folgende Daten bekommen Sie geliefert:

Mittelwert: 57 km/h ; Varianz: 36 km2 / h2 Der Leiter des Projekts in Hildesheim sagt: „Die erfaßten Werte unserer zu schnell Fahrenden streuen nicht so, wie die erfaßten Werte der in Marburg zu schnell Fahrenden!“ Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung!

Aufgabe 1.77: Gegeben ist folgende Verteilung eines metrischen Merkmals:

xi -3 1 4 7 8 9 h(xi ) 0,21 0,30 0,05 0,17 0,23 0,04

Berechnen Sie:


28

a.) Spannweite und Quartilsabstand, b.) empirische Standardabweichung, mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert

sowie den MAD, c.) Schiefe und Wölbung! Zeichnen Sie zudem die Häufigkeitsverteilung!

Aufgabe 1.78: Ihre Eltern wollen nächstes Jahr im November auf die Kanaren fliegen, da sie von dem hiesigen Wetter total entnervt sind. Allerdings sind sie sich unsicher, ob dort auch durch die Bank weg warmes Wetter herrscht. Deshalb notieren sie sich aus der Tageszeitung „MILD“, die bekannt für ihre seriöse Berichterstattung ist, 2 Wochen lang die Temperaturen im November (in Grad Celsius):

26.5, 26.9, 27.4, 27.2, 28.0, 27.7, 27.1, 26.3, 26.6, 25.9, 26.2, 26.5, 26.8, 26.4

Sie als Sohn und begeisterter Statistiker können der Versuchung nicht widerstehen, einen geeigneten Streuungsparameter für diese Reihe zu berechnen. Welchen Parameter wählen Sie (Begründung) und welchen Wert hat er ? Aufgabe 1.79: Ein Spielzeugwarenhändler in der Marburger Oberstadt zählt in der Woche vor Weihnachten Besucher, die er in die Gruppen „freudige Kinder“, „freudige Jugendliche“, „nervöse Familienväter“ und „nervöse Familienmütter“ einteilt. Aufgrund seiner Vergeßlichkeit hat er an manchen Tagen vergessen, Besuchergruppen zu zählen (in der Tabelle mit einem Strich gekennzeichnet):

Besuchergruppe → Tag ↓

„freudige Kinder“

„freudige Jugendliche“

„nervöse Familienväter“

„nervöse Familienmütter“

1 20 30 5 20 2 10 35 -- -- 3 -- 35 0 15 4 35 10 -- 10 5 45 25 40 -- 6 55 40 45 -- 7 50 45 60 0

a.) Berechnen Sie für alle Besuchergruppen die durchschnittliche Besucherzahl und die Streuung in den Besuchergruppen!

b.) Berechnen Sie die Streuung der (Gesamt-) Besucherzahlen! Aufgabe 1.80:


29

Es liegt folgende Verteilung über „Pig-Macs“ der Fast-Food-Kette McDuck, geordnet nach der Größe der von den Gästen verspeisten „Pig-Macs“, vor:

„Pig-Mac“-Größe klein mittel groß XXL Anzahl der

verspeisten „Pig-Macs“ 25 85 140 50

Berechnen Sie zu dieser Verteilung alle möglichen Streuungsparameter, die Sie kennen! Aufgabe 1.81: Zeigen Sie, daß für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert a gilt:

.

Aufgabe 1.82: Bei einer Untersuchung in Deutschland und England, bei der die Körpergröße von Kindern gemessen wurde, ergaben sich folgende Werte (1 Zoll = 2,5 cm):

Untersuchung in BRD Untersuchung in England Körpergröße der Kinder in cm Körpergröße der Kinder in Zoll 134, 141, 121, 120, 143, 137, 126, 131, 151, 143, 116, 113.

54, 55, 51, 59, 53, 57, 55, 55, 50, 52, 58, 60.

a.) Berechnen Sie für beide Reihen das arithmetische Mittel und die Standardabweichung!

b.) Welches Land hat die im Durchschnitt größten Kinder hervorgebracht ? c.) In welchem Land streut die Größe der Kinder mehr ? d.) Berechnen Sie das zweite standardisierte und das dritte zentrale Moment für die

Verteilung der deutschen Kinder! e.) Berechnen Sie Schiefe und Wölbung für die Verteilung der englischen Kinder!

Aufgabe 1.83: Die Abteilung Einkauf des Holzunternehmens „Mokia“ stellt eine Tabelle mit den Merkmalen X: Länge der Baumstämme und Y: Preis der Baumstämme auf. Es ergibt sich folgendes:

Y → X ↓ billig angemessen teuer

kurz 21 34 5


30

mittel 43 20 14 lang 89 21 10

a.) Geben Sie geeignete Lagemaße für das Merkmal Y an und interpretieren Sie die Ergebnisse!

b.) Berechnen und interpretieren Sie eine geeignete Streuungsmaßzahl für das Merkmal Y!

c.) Das Unternehmen vermutet einen Zusammenhang zwischen der Länge des Baumstammes und dem Preis des Baumstammes. Welche Maßzahl ist dazu geeignet ? Berechnen und interpretieren Sie diese!

Studeo Aufgabensammlung Deskriptive Statistik - ein-Merkmal

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