Studienarbeit zum Thema: Einfache Falltestberechnungen...

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Studienarbeit zum Thema: Einfache Falltestberechnungen mit dem expliziten FE- Programm ’LS-DYNA’ und Kopplung zum impliziten Programm ’ANSYS’ Sebastian Höhne Oktober 2006

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Studienarbeitzum Thema:

Einfache Falltestberechnungen mit dem explizitenFE- Programm ’LS-DYNA’ und Kopplung zum

impliziten Programm ’ANSYS’

Sebastian Höhne

Oktober 2006

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 21.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Arbeitsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Der Falltest Versuch 32.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Energiebetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2 Impulsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Die FEM und das Programm LS-Dyna 173.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Die Euler Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Die Lagrange Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3 Euler vs. Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Elementtypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Das Solid Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Lösung von Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.2 Explizite Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.3 Die Zentrale Differenzen Methode . . . . . . . . . . . . 273.4.4 Stabilität der Zentralen Differenzen Methode . . . . . 283.4.5 Zeitschrittkontrolle und deren Berechnung am Beispiel

der Solid Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Kontaktproblematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.2 Kontakt-Aufprall (contact-impact) Algorithmen im Pro-

gramm LS-Dyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.3 Kinematic Constraint Methode . . . . . . . . . . . . . 32

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3.5.4 Penalty Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.5 Distributed Parameter Method . . . . . . . . . . . . . 333.5.6 Gleiten mit Ablösen und Trennung . . . . . . . . . . . 333.5.7 Berechnung der Kontaktenergie . . . . . . . . . . . . . 353.5.8 Kontaktdämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.9 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Praktisches Arbeiten mit LS-Dyna 384.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Preprozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1 Geometrien vernetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2 Kurvendefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3 Materialzuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.4 Die Section Auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.5 Die Part Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.6 Randbedingungen festlegen . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.7 Initialisierung der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . 564.2.8 Kontaktdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.9 Definition der Berechnungsdauer . . . . . . . . . . . . 594.2.10 Kontrolle der Energieberechnung . . . . . . . . . . . . 614.2.11 Zeitschrittkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.12 Kontrolle der Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Der Lösungsprozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.1 Einlesen der Keyword- und Restart-Files . . . . . . . . 69

4.4 Der Postprozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.1 Auswerten von Spannung, Geschwindigkeiten und Ver-

schiebungen mit Hilfe der Plotfiles . . . . . . . . . . . 724.4.2 Auswerten von Energien und Verschiebungen mit Hilfe

der ASCII-Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Auswertung der Simulationsmodelle 755.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Das Modell 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Das Modell 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Das Modell 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Das Modell 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Auswertung und Zusammenfassung 886.1 Bewertung von LS-Dyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2 Gegenüberstellung von Arbeitszielen und erreichten Ergebnissen 886.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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Kapitel 1

Einleitung

1.1 Allgemeines

Das Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle (IWMH) im BereichMikromechanische Komponenten analysiert unter anderem das Verhaltenvon Werkstoffen - insbesondere Silizium - bei unterschiedlichen Belastungs-arten.Heutzutage sind in fast jedem Lebensbereich mikromechanische Strukturenim Einsatz (z.B. Mobiltelefone, Digitalkameras, Fahrzeuge, etc.). Um dieSchwächen dieser Komponenten zu erkennen, werden unter anderem Fall-tests durchgeführt. Neben den praktischen Versuchen wird auch die Simula-tion als Hilfsmittel eingesetzt. Dabei kommt das zur Verfügung stehende FE-Programm Ansys zum Einsatz. Dieses implizite FE-Programm ist der Stan-dard bei den statischen (z.B. Strukturprobleme) und den ”quasi”-statischen(z.B. Metallumformung) Anwendungsgebieten. Bei dynamischen Vorgängenwie z.B. Stoßvorgänge, Crash Analysen oder Fertigungsprozessanalysen be-darf es expliziter FE-Programme. Hier hat sich neben ”Abaqus-Explizit” un-ter anderem ”LS-DYNA” auf dem Markt etabiliert.

1.2 Arbeitsziel

Hauptaufgabe dieses ”großen Beleges” ist die Einarbeitung in die expliziteFinite Elemente Formulierung und das Programmsystem LS-DYNA (Demo-version 670). Dabei sollen einfache Simulationsmodelle bei dynamischen Be-lastungen wie Stoß oder freier Fall erstellt und mit dem Falltester des IWMHexperimentell verifiziert werden. Die gewonnenen Erkenntnisse sollen dabeihelfen die Vor- bzw. Nachteile gegenüber dem FE-Programm ANSYS aufzu-zeigen und Ankopplungsmöglichkeiten der beiden Programme zu diskutieren.

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Kapitel 2

Der Falltest Versuch

2.1 Allgemeines

Die Motivation einen Falltestversuch durchzuführen hatte zwei plausibleGründe. Zum einen hat das Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik inHalle einen eigenen Falltester mit dem es, ohne großen Aufwand zu betrei-ben, möglich ist eine Versuchsreihe durchzuführen. Zum anderen konnten mitdem FE-Programm LS-Dyna noch keine Erfahrungen gemacht werden. Umso schwerer ist es dann kompliziertere Simulationsmodelle wie einen Falltestauszuwerten, ohne eine Vergleichsmöglichkeit zu haben.Der hauseigene Falltester bietet die Möglichkeit kleinere Gegenstände zu tes-ten. Durch die flexible Konstruktion aus Aluminiumprofilen ist es möglicheinen Falltest aus verschiedenen Höhen zu realisieren. Leichte Gegenstän-de können problemlos mit einer Saugluftleitung und schwerere, ferromagne-tische Körper über einen Elektromagneten in Höhe gehalten werden. EinPiezoelement dient als Messwertaufnehmer und kann Druck- und Zugkräfteaufnehmen. Über einen Oszilloskop und der dazugehörigen Software PicoS-cope werden die Daten, die Kraft-Zeit Kurven, im Rechner bearbeitbar undspeicherbar.Zusätzlich stehen im Haus zwei hochauflösende Kameras zu Verfügung diebei optimaler Beleuchtung 400 Bilder in der Sekunde aufnehmen können.

2.2 Vorbetrachtung

Da der Versuch als Verifizierung des späteren Simulationsmodell dienen soll,muss der Versuch Größen liefern, die einen Vergleich ermöglichen. Für einenFallversuch bieten sich die folgenden Messgrößen an:

• Rücksprunghöhe

• maximale Kraft

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• Impuls/Impulszeit

Zur Verfügung standen:

• 4 Stahlkugeln als Testobjekte mit den Durchmessern:

– Kugel 1 mit 25,37 mm

– Kugel 2 mit 22,00 mm

– Kugel 3 mit 9,94 mm und

– Kugel 4 mit 5,10 mm

• Der Falltester mit

– einem Piezo-Messwertaufnehmer (Zug-Druck) und

– einem Elektromagnet

• 1 Stromversorgungsgerät für den Elektromagneten

• 1 Oszilloskop

• 1 hochauflösende Kamera mit einem Aufnahmevermögen von 1 s

• 2 PC’s (für Kamera und Messung)

• 1 Messgerät zur Anzeige der Momentan- und Maximalkraft

• 1 Halogenstrahler (1000 Watt)

• 1 Zollstock

Mit den zur Verfügung stehenden Mitteln und der Forderung nach einem ein-fachen Modell, sollten die Stahlkugeln als Fallobjekte dienen. Geometrien mitEcken und unregelmäßigen Oberflächen würden die spätere FE-Simulationenerschweren. Weiterhin ist das Materialmodell Stahl im Vergleich zu Kunst-stoffen oder anderen Materialien relativ einfach zu beschreiben.Die Abwurfhöhe der Kugeln wurde im wesentlichen von dem maximalenMessbereich des Piezoelementes bestimmt. Um den Umbauaufwand zu ver-meiden, sollten alle Kugeln von der gleichen Höhe aus fallengelassen werden.Somit wurde eine Abwurfhöhe, bezogen auf den obersten Punkt der Kugeln,von 112 mm festgelegt.Um die Kugeln auf Abwurfhöhe zu halten, wurde der Elektromagnet benutzt.Die am Elektromagneten ”klebende” Kugel soll zum Zeitpunkt to durch Weg-nahme des Stromes nach unten hin beschleunigt werden. Jedoch trat beiden Probeläufen eine wesentliche Zeitverzögerung zwischen Stromabschal-tung und Kugelfall aufgrund des Restmagnetismus auf. Diese Zeitverzöge-rung war nicht duldbar, da die Kamera ebenfalls zum Zeitpunkt to aktiviertwurde und eine Aufnahmekapazität von nur 1 Sekunde hat. Um die Wirkung

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des Restmagnetismus zu kompensieren, wurde ein geringer Luftspalt durchAufkleben eines Stück Papier zwischen Kugel und Magnet erzeugt. Nach ei-nigen Probeläufen wurden am Messgerät und im Programm PicoScope fürjede Kugel der Messbereich eingestellt. Um die Kugeln optmimal auf denMesswertaufnehmer fallen zu lassen, wurde am Magneten eine farbliche Ma-kierung aufgebracht.Um die ganze Fallhöhe und auch die ganze Rücksprunghöhe mit der Kameraaufzuzeichnen, musste sie in einer Distanz von 0,5 m aufgestellt werden. Da-durch musste für eine zusätzliche Beleuchtung gesorgt werden um 200 Bilderpro Sekunde aufnehmen zu können. Für die Beleuchtung sorgte ein 1000 WattHalogenstrahler. Um aus den aufgezeichneten Bildern die Rücksprunghöheablesen zu können, wurde ein Zollstock als Messmittel verwendet. Dieser botmit seinen großen Ziffern und dem starken Kontrast zur Umgebung gute Ab-leseverhältnisse.

2.3 Durchführung

Bevor die Fallversuche durchgeführt worden sind, wurden die Kugeln vermes-sen. Das Gewicht wurde mit Hilfe einer Dosierwaage ermittelt. Der Durch-messer wurde über eine Messschraube bestimmt. Nachdem der Versuch vor-bereitet war, wurden für jede Kugel 10 Fallmessungen durchgeführt. Dabeiwurden an den Geräten folgende Einstellungen vorgenommen:

• Kugel 1 war mit 66,00g die schwerste Kugel. Da Kräfte von knapp3000N in den Probeläufen auftraten, wurde am Messgerät ein Messbe-reich von 5000N eingestellt, wobei 1V eine Kraft von 500N entsprach.Am Rechner wurde die Signalabtastung eingestellt. Um ein vollstän-diges, klares Signal zu erhalten, wurde eine einfache Triggerung mit200mV verwendet. Die graphische Ausgabe des Signals wurde mit ei-ner Ordinateneinteilung (Maximal- bzw. Minimalspannung) von ±10Vüber eine Abszisseneinteilung (Zeit) von 200µs pro Einheit festgelegt.

• Kugel 2 hatte mit 43,00g auch eine beträchtliche Kraft auf die Messdoseausgeübt. Hier waren in den Probeläufen Kräfte von 2500N aufgenom-men worden. Am Messgerät wurde ebenfalls ein Messbereich von 5000Neingestellt, wobei 1V eine Kraft von 500N entsprach. Am Rechner wur-de die Signalabtastung eingestellt. Um ein vollständiges, klares Signalzu erhalten, wurde eine einfache Triggerung mit 200mV verwendet. Diegraphische Ausgabe des Signals wurde mit einer Ordinateneinteilung(Maximal- bzw. Minimalspannung) von ±5V über eine Abszissenein-teilung (Zeit) von 200µs pro Einheit festgelegt.

• Kugel 3 erzeugte mit ihren 4,04g in den Probeläufen Kräfte von 700N.Demzufolge konnte der Messbereich auf 1000N, wobei 1V einer Kraft

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von 100N entsprach, eingestellt werden. Um ein vollständiges, klaresSignal zu erhalten, wurde eine einfache Triggerung mit 200mV ver-wendet. Die graphische Ausgabe des Signals wurde mit einer Ordina-teneinteilung (Maximal- bzw. Minimalspannung) von ±10V über eineAbszisseneinteilung (Zeit) von 100µs pro Einheit festgelegt.

• Kugel 4 war mit ihren 0,88g die leichteste Testkugel. Im Probelauf wur-den Kräfte von knapp 200N ermittelt. Somit konnte der Messbereichauf 500N eingestellt werden, wobei 1V einer Kraft von 50N entsprach.Um auch hier ein vollständig, klares Signal zu erhalten, wurde eine ein-fache Triggerung mit 200mV verwendet. Die graphische Ausgabe desSignals wurde mit einer Ordinateneinteilung (Maximal- bzw. Minimal-spannung) von ±5V über eine Abszisseneinteilung (Zeit) von 100µs proEinheit festgelegt.

Während des Versuches wurden die maximale Kraft, die Kraft-Zeit-Kurveund die Aufnahme der Kamera im Rechner aufgenommen und abgepeichert.Die maximale Kraft wurde direkt vom Messgerät abgelesen und tabellarischaufgelistet. Aus der Kraft-Zeit-Kurve wurde über das Programm PicoScopedie Impulszeit ausgemessen und anschließend aufgelistet. Die aufgenomme-nen Bilder wurden mit Hilfe einer Bildbearbeitungssoftware in das gängigeTIF-Format konvertiert. Somit konnte die Rücksprunghöhe über ein Bild-betrachtungsprogramm ermittelt werden. Weiterhin besteht die Möglichkeitaus den Tif-Bildern ein Video im AVI Format zu rendern. Nach Betrachtungder Bilder wurde exemplarisch für jede Kugelgröße ein Video geschnitten,das den Fallversuch widerspiegelt.

2.4 Auswertung

2.4.1 Energiebetrachtungen

Um eine Aussage über die Energien und Verluste machen zu können, istes ausreichend den Energieerhaltungssatz anzuwenden. Verluste die durchden Luftwiderstand hervorgerufen werden, sollten bei den Kugeln mit denentsprechenden Massen vernachlässigbar sein. Man kann festhalten, das dieKugel zum Zeitpunkt t = t0 den Zustand 0 annimmt. Der Zeitpunkt 1 sollderjenige sein welcher unmittelbar vor dem Stoß herrschen soll. Demzufol-ge ist der Zustand 2 kurz nach dem Stoß einzuordnen. Weiterhin wird einZustand 3 festgehalten, der die Kugel im Moment der maximalen Rück-sprunghöhe beschreibt. Man kann für die einzelnen Zustände festhalten:

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Abbildung 2.1: Darstellung der Energiezustände

Epot,0 = mgh0 (2.1)Ekin,0 = 0 (2.2)Epot,1 = mgrKugel (2.3)

Ekin,1 =m

2v21 = Epot,0 − Epot,1 (2.4)

Epot,2 = Epot,1 (2.5)Ekin,2 = Epot,3 (2.6)Epot,3 = mgh3 (2.7)

Füllt man die Gleichungen mit den entsprechenden Werten, so ergeben sichdie Energien wie in Tabelle 2.1 auf Seite 8 dargestellt.

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Tabelle 2.1: Ergebnisse

2.4.2 Impulsbetrachtungen

Auf eine ausführliche statistische Auswertung der Daten wird an dieser Stelleverzichtet, da der Versuch lediglich Vergleichsgrößen liefern soll.Die in den Tabellen 2.2 bis 2.5 zusammen getragenen Größen und die auf-genommenen Kraft-Zeit Kurven (siehe Abbildungen 2.2 bis 2.5) zeigen auf,dass der Versuch vertrauenswürdige Ergebnisse geliefert hat. Anhand derKraft-Zeit Kurven kann man sehr gut erkennen, das jeder Körper mit seinenspeziellen Eigenschaften (z.B. Material, Volumen, Form, usw.) auch speziel-le Impulse erzeugt. Um den Impuls ~pi der Kugel mit der Masse mi und derGeschwindigkeit ~vi zu berechnen, kann man 2 Berechnungsansätze wählen.

~pi = mi ∗ ~vi (2.8)

∆~pi =∫ t2

t1

~Fi(t)dt (2.9)

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Über die Falldaten (freier Fall mit Vernachlässigung des Luftwiderstandes)kann man die Geschwindigkeit |~vi| nach:

vi =√

2zig (2.10)

ermitteln. Wobei zi die kugelabhängige Fallstrecke ist.Um das Integral (Gleichung 2.9) zu lösen, wäre es optimal eine Zuordnungs-vorschrift der zeitabhängigen Größe ~Fi(t) zu haben. Das Programm PicoS-cope ist jedoch nicht in der Lage eine solche Zuordnungsvorschrift zu ent-wickeln. Es ist auch nicht möglich mit Hilfe dieses Programmes ein Flä-cheninhalt der Kurve in bestimmten Grenzen zu ermitteln. Jedoch kann dasProgramm PicoScope ein Textfile mit allen Punkten der Kraft-Zeit Kurveausgeben. Da die Zeitintervalle (auf der Abszisse) sehr fein sind und somitgenügend Wertepaare vorhanden sind, ist es es möglich über das Officepro-gramm Excel das Integral indirekt zu berechnen. Dazu muss man die Fläche[von F (t = t1) = 0 bis F (t = t2) = max(F (t))] unter der Kurve in Trapezeaufteilen. Über die Addition dieser Trapezflächen erhält man, durch die feineAuflösung der Wertepaare, ein sehr gut angenähertes Integral der Kraft-ZeitKurve. Da die Kraft indirekt über die Spannung ausgedrückt wird, mussdie Ordinateneinheit mV in die Einheit N überführt werden. Durch die imAbschnitt 2.3 aufgeführten Messeinstellungen kann man die Umrechnungvornehmen. Zusätzlich muss die Zeit von ns in die Einheit s umgerechnetwerden, um der Impulseinheit Ns gerecht zu werden.Bei dem Vergleich der Ergebnisse von Gleichung 2.8 und Gleichung 2.9 mussdas Ergebnis von Gleichung 2.8 größer ausfallen, da der Luftwiderstand ver-nachlässigt wurde und somit höhere Geschwindigkeiten errechnet wurden.

Kugel 1

Bei der Kugel 1 errechnet sich die Geschwindigkeit unter Verwendung derFormel 2.10 zu:

v1 =√

2 ∗ 0, 086m ∗ 9, 81m

s2

v1 = 1, 30m

s

Somit ergibt sich ein Impuls von:

p1 = 0, 066kg ∗ 1, 30m

sp1 = 0, 086Ns

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Vergleicht man diesen Wert mit dem von Excel berechneten Flächeninhaltbzw. den Impuls:

p1,gesamt =110

10∑i=1

p1,i

p1,gesamt = 0, 086Ns

so folgt das die Messungen von Kugel 1 ein genaues Ergebnis darstellt.

Tabelle 2.2: Messreihe der Kugel 1; Fallstrecke 86mm

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Abbildung 2.2: Darstellung der 10 Messungen von Kugel 1

Kugel 2

Die Geschwindigkeit der Kugel 2 errechnet sich wiederum zu:

v2 =√

2 ∗ 0, 09m ∗ 9, 81m

s2

v2 = 1, 32m

s

Somit ergibt sich ein Impuls von:

p2 = 0, 066kg ∗ 1, 32m

sp2 = 0, 057Ns

Vergleicht man diesen Wert mit dem von Excel berechneten Flächeninhaltbzw. den Impuls:

p2,gesamt =110

10∑i=1

p2,i

p2,gesamt = 0, 055Ns

so folgt das auch die Messungen von Kugel 2 ein genaues Ergebnis darstellt.

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Tabelle 2.3: Messreihe der Kugel 2; Fallstrecke 90mm

Abbildung 2.3: Darstellung der 10 Messungen von Kugel 2

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Kugel 3

Die Geschwindigkeit der Kugel 3 errechnet sich wiederum zu:

v3 =√

2 ∗ 0, 102m ∗ 9, 81m

s2

v3 = 1, 41m

s

Somit ergibt sich ein Impuls von:

p3 = 0, 00404kg ∗ 1, 41m

sp3 = 0, 0057Ns

Vergleicht man diesen Wert mit dem von Excel berechneten Flächeninhaltbzw. den Impuls:

p3,gesamt =110

10∑i=1

p3,i

p3,gesamt = 0, 0055Ns

so folgt das auch die Messungen von Kugel 3 ein genaues Ergebnis darstellt.

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Tabelle 2.4: Messreihe der Kugel 3; Fallstrecke 102mm

Abbildung 2.4: Darstellung der 10 Messungen von Kugel 3

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Kugel 4

Die Geschwindigkeit der Kugel 4 errechnet sich wiederum zu:

v4 =√

2 ∗ 0, 107m ∗ 9, 81m

s2

v4 = 1, 45m

s

Somit ergibt sich ein Impuls von:

p4 = 0, 0008808kg ∗ 1, 45m

sp4 = 0, 0013Ns

Vergleicht man diesen Wert mit dem von Excel berechneten Flächeninhaltbzw. den Impuls:

p4,gesamt =110

10∑i=1

p4,i

p4,gesamt = 0, 0010Ns

so folgt das auch die Messungen von Kugel 4 ein genaues Ergebnis darstellt.

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Tabelle 2.5: Messreihe der Kugel 4; Fallstrecke 107mm

Abbildung 2.5: Darstellung der 10 Messungen von Kugel 4

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Kapitel 3

Die FEM und das ProgrammLS-Dyna

3.1 Allgemeines

Das zu behandelnde Problem, nämlich eine Kugel unter dem Einfluß derSchwerkraft in Bewegung zu versetzen und einen Aufprall zu verursachen,fallen im Sinne der Finite Element Methode mehrere Schwerpunkte an. Nach-folgend werden, basierend auf dem Theorie Handbuch von LS-Dyna [3], einigeFE-Problemstellungen vorgestellt.

3.2 Diskretisierung

Will man physikalische Vorgänge untersuchen bzw. simulieren, muss das zu-vor analysierte System ”diskreditiert” werden. Das System wird so in endlicheviele Teilbereiche zerlegt. Die entstehenden Eckpunkte, auch Knoten bzw.”nodes” genannt, verbinden die Teilbereiche. So entsteht ein Netz (Mesh).Mit Hilfe von Ansatzfunktionen werden die Verschiebungen im Element mitden unbekannten Knotenverschiebungen korreliert. Bilanziert man ein Kräf-tegleichgewicht am Knoten, so resultiert eine Steifigkeitsbeziehung. Diesekoppelt die inneren und äußern Kräfte mit den Knotenverschiebungen. Dievorliegenden Daten beziehen sich jeweils auf das Element, das heißt die geo-metrische Beschreibung ist eine lokale. Transformiert man diese lokalen inglobale Daten mit Hilfe der Transformationsmatrix, so erhält man aus denKnotenverschiebungen den Dehnungs- und den Verzerrungszustand. Bringtman das Werkstoffgesetz mit ein, erhält man die Spannungen. Der Vorteil desFEM-Ansatzes liegt in der Möglichkeit eine unregelmäßige Diskretisierung(lokale Netzverfeinerungen) der zu untersuchenden Struktur vorzunehmen.Für die Bewegungsbeschreibung von Körpern im 3D Raum verwendet manzwei Formulierungen, zum einen die nach Euler und zum anderen die nachLangrange.

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3.2.1 Die Euler Beschreibung

Bei dem Ansatz nach Euler werden Bewegungsvorgänge von einem festenStandpunkt aus beobachtet. Übertragen auf die FEM wird das gesamte mo-dellierte System von einem raumfesten Netz überzogen. Es registriert alsKontrollvolumen alle Massen, die in die Zellstruktur eintreten und austre-ten. Dabei kann das Material als Kontinuum oder als einzelne Massepunkteabgebildet werden. Im dreidimensionalen Raum gilt:

Φ = Φ(x1, x2, x3, t) (3.1)Φ = Φ(X, t) (3.2)

Die Eigenschaft von Φ zur Zeit t wird also für den festen Ort X geliefert.

3.2.2 Die Lagrange Beschreibung

Bei dieser Beschreibung fixiert der Beobachter die Struktur und bewegt sichmit ihr mit. Übertragen auf die FEM, wird ein mit der Struktur fest verbun-denes Netz erstellt. Dieses Netz verzerrt sich mit der Struktur. Die Massender Elemente bleiben während des gesamten Zeitraumes konstant. Element-grenzen definieren die Ränder des abgebildeten Körpers. Um die Bewegungbeschreiben zu können, benötigt dieser Ansatz ein Referenznetz, welcheseinen Bezug zu raumfesten Koordinaten hat. Im dreidimensionalen Raumgilt:

Φ = Φ(X1, X2, X3, t) (3.3)Φ = Φ(X, t)

Die Eigenschaften Φ eines Körpers sind in der Zeit veränderlich und werdendurch die Referenzkonfiguration in X beschrieben.

3.2.3 Euler vs. Lagrange

Die Lagrange Beschreibung erfolgt zumeist in kürzeren Rechenzeiten als beiEuler, wegen der gleich bleibenden Masse. Des Weiteren kann bei Lagran-ge die Belastungsgeschichte des Materials im Gegensatz zu Euler leichtererfasst werden. Für Materialgesetze, die ein geschichtsabhängiges Stoffver-halten aufgrund einer vorhergehenden Beanspruchung berücksichtigen, istdas von Bedeutung. Ein weiterer Vorteil von Lagrange liegt in der schar-fen Abbildung der Strukturränder. Da die Materialgrenzen und die freienOberflächen mit den Elementgrenzen identisch sind, vereinfachen sich dieMaterialrand bzw. die Grenzbedingungen. Dies ist bei Euler nicht der Fall.Nachteilig wirken sich bei Lagrange große Netzdeformationen aus, da ein Pro-grammabbruch wegen zu großer Elementverzerrungen eintritt. Diese Netz-verzerrungen und somit der Abbruch entstehen bei Euler nicht, hier können

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sogar sehr große Formänderungen dargestellt werden. Bei Lagrange kann esunter Verwendung einer expliziten Zeitintegration zu langen Rechenzeitenkommen, wenn kleine Zellen oder Zellen mit kleiner Ausdehnung in einerRichtung verwendet werden.Eine Kombination der Vorteile der beiden Beschreibungen ist in vielen FEProgrammen als ”ALE” Formulierung (Arbitrary Lagrangian Eulerian) mitinbegriffen.

3.3 Elementtypen

3.3.1 Allgemeines

Die Wahl der verwendeten Elementtypen ist sehr wichtig. Man kann dieElemente unterscheiden hinsichtlich ihrer Dimensionalität, nach den Frei-heitsgraden in den Knoten, nach ihrer geometrischen Form, dem Koordina-tensystem und nach dem anzuwendenden Integrationsverfahren. Ein Finite-Elemente-Programm stellt eine mehr oder weniger umfangreiche Elemen-tebibliothek zur Verfügung. Folgende Elemente stehen dem Anwender vonLS-DYNA zur Verfügung:

• Beam

• Discrete

• Direct

• Matrix

• Input

• Inertia

• Mass

• Plottel

• Seatbelt

• Shell

• SPH

• Solid

• Trim

Nachfolgend soll in Anlehnung an das Simulationsmodell der Elementtyp”Solid” näher erläutert werden.

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3.3.2 Das Solid Element

Der Typ Solid gehört zu den Volumen- bzw. Kontinuumelementen. Die An-wendung erfolgt bei allen dickwandigen oder massiven Bauteilen. Für einNetz vom bevorzugten Volumenelement dem ”8-node hexahedron”, könnenwir folgende Gleichung aufstellen:

xi(Xa, t) = xi(Xa(ξ, η, ζ), t) =8∑

j=1

Φj(ξ, η, ζ)xji (t) (3.4)

Dabei ist die Formfunktion φj für dieses Element definiert als:

φj =18(1 + ξξj)(1 + ηηj)(1 + ζζj) (3.5)

Dabei nehmen die Koordinaten ξj , ηj , ζj die Knotenwerte von (±1,±1,±1)an und xi die Knotenkoordinate des j− ten Knoten in der i− ten Richtung.Zur Verdeutlichung soll die Abbildung 3.1 dienen.Weiterhin können wir für ein Solidelement die FE-Ansatzfunktion N als 3x24Matrix festhalten:

N =

φ1 0 0 φ2 0 . . . 0 00 φ1 0 0 φ2 . . . φ8 00 0 φ1 0 0 . . . 0 φ8

(3.6)

Den Spannungsvektor σ definieren wir als:

σt = (σxx, σyy, σzz, σxy, σyz, σzx) (3.7)

Mit Hilfe der Differentialoperatorenmatrix D können wir die Ableitungsma-trix B berechnen.

B = DN (3.8)

B =

∂∂x 0 00 ∂

∂y 00 0 ∂

∂z∂∂y

∂∂x 0

0 ∂∂z

∂∂y

∂∂z 0 ∂

∂x

N (3.9)

Volumenelemente sind zwar einfach zu entwickeln, aber sie benötigen imVergleich zu Flächenelementen enorm viel Speicherplatz und Rechenzeit.Deswegen operiert man mit der diagonalen bzw. der sogenannte ”lumped”Massenmatrix. Bei der Diagonalmatrix sind Diagonaleinträge gerade die Zei-lensummen der Massenmatrix.

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Abbildung 3.1: Darstellung eines ’8-node hexahedron’ Elements

Volumenintegration

Die Volumenintegration wird mit der Gauss’schen Quadratur ausgeführt.Unter der Verwendung von g als einer volumenbezogenen Funktion und nals Anzahl der Integrationspunkte kann man folgende Gleichung aufstellen:∫

vgdv =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1g|J |dξdηdζ (3.10)

approximiert von:

n∑j=1

n∑k=1

n∑l=1

gjkl|Jjkl|wjwkwl (3.11)

wobei wj , wk, wl Wichtungsfaktoren sind und gjkl = g(ξj , ηk, ζl) und |J | dieDeterminante der Jacobi Matrix ist. Für eine 1-Punkt Quadratur gilt:

n = 1wi = wj = wk = 2ξ1 = η1 = ζ1 = 0

So lässt sich die Gleichung:∫vgdv = 8g(0, 0, 0)|J(0, 0, 0)| (3.12)

aufschreiben. Dabei approximiert 8|J(0, 0, 0)| das Elementvolumen. Der größ-te Vorteil der 1-Punkt Quadratur sind die geringen Rechenzeiten. Die un-

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symmetrische Eigenschaft der Verzerrungsmatrix

∂Φ1

∂xi= −∂Φ1

∂xi

∂Φ3

∂xi= −∂Φ5

∂xi

∂Φ2

∂xi= −∂Φ8

∂xi

∂Φ4

∂xi= −∂Φ6

∂xi(3.13)

bei ξ = η = ζ = 0 reduziert den Umfang des Aufwandes, der nötig ist,um diese Matrix zu berechnen um das 25-fache gegenüber der 8-Punkt Inte-gration. Die Berechnung der Elementknotenkräfte und die der Verzerrungenwerden ebenfalls verringert, da 16-mal weniger multipliziert wird. Da nureine grundlegende Berechnung gebraucht wird, verringert sich die benötigteZeit um Spannungen zu ermitteln um das 8-fache. Es sei erwähnt, dass die 8-Punkt Integration noch einen anderen Nachteil hat. Völlig integrierte (”fullyintegrated”) Elemente, die bei der Lösung plastischer Probleme oder bei Pro-blemen wo sich die Querkontraktionszahl dem Wert 0.5 annähert, versperrenBiegemodi. Um dem Sperren vorzubeugen muss auf dem Element ein mitt-lerer Druck aufgebracht werden. Somit widerstehen die ”Null-Energie-Modi”der reduzierten Spannung (Deviatorspannung). Ist die reduzierte Spannungim Vergleich zum Druck unbedeutend, oder schlimmer, wenn Materialfehlereinen Verlust dieses Spannungszustandes verursachen, so wird Hourglassingauftreten, dass man nicht verhindern kann.

Die Hourglass-Kontrolle

Hourglassing ist ein energiefreier Deformationszustand oder auch Null-Energie-Modi genannt. Dieser Zustand tritt gerade bei 1-Punkt integrierten Solid-elementen (Hexaeder) und bei Schalenelementen auf. Diese ”reduzierte” In-tegration erzeugt einen Rangabfall der Elementsteifigkeitsmatrix und damitenergiefreie Eigenformen.Die Anrregung von Hourglassing kann durch zwei Einflüsse bedingt sein.Zum einen durch Einzellasten und zum anderen durch Kontakte (Kontakt-kraft auf einzelne Knoten).Unerwünschte Hourglass Modi neigen dazu Perioden zu haben, die viel kür-zer sind als die des Strukturverhaltens. Meistens beobachtet man zusätzlichOszillationen. Eine Möglichkeit dem unerwünschten Hourglassing zu wider-stehen ist die viskose Dämpfung oder eine kleine elastische Steifigkeit, die imStande ist die Bildung der anomalen Modi zu stoppen, ohne dabei die sta-bilen globalen Modi wesentlich zu beeinflussen. Die Viskosität setzt an denElementknoten in der Bewegungsgleichung an und kann durch Subtraktioneines viskosen Dämpfungsvektors auf der linken Seite der Bewegungsglei-chung 3.14 ausgedrückt werden:

M∂h

∂t+ Mkonh + F − f = R (3.14)

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Mit M als Massenmatrix, Mkon als konvektive Massenmatrix, h als Vektorder Knotengeschwindigkeiten, F als Vektor der inneren Kräfte, f als viskoserDämpfungsvektor und R als Vektor der äusseren Kräfte. Die Berechnung der

Abbildung 3.2: Hourglassmodi eines 8-Knotenelementes mit einem Integra-tionspunkt (Flanagan und Belytschko 1981)

Verformungsgeschwindigkeit für ein 8-Knoten Solidelement läuft wie folgt ab:

εij =12

(8∑

k=1

∂Φk

∂xixk

j +∂Φk

∂xjxk

i

)(3.15)

Immer wenn diagonal gegenüberliegende Knoten die gleiche Geschwindigkeithaben d.h.:

x1i = x7

i (3.16)x2

i = x8i

x3i = x5

i

x4i = x6

i

(3.17)

sind,wegen der Asymmetrie in Gleichung (3.13), die Verformungsgeschwin-digkeiten gleich null:

εij = 0 (3.18)

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- α = 1 α = 2 α = 3 α = 4kj1 1 1 1 1kj2 -1 1 -1 -1kj3 1 -1 -1 1kj4 -1 -1 1 -1kj5 1 -1 -1 -1kj6 -1 -1 1 1kj7 1 1 1 -1kj8 -1 1 -1 1

Tabelle 3.1: Die Hourglass Basisvektoren

Die Orthogonalität der Hourglassformvektoren ist leicht mit den Derivatender Formfunktionen zu prüfen:

8∑k=1

∂Φk

∂xikαk = 0 i = 1, 2, 3 α = 1, 2, 3, 4 (3.19)

Das Produkt der Basisvektoren mit den Knotengeschwindigkeiten:

hiα =8∑

k=1

xki kαk = 0 (3.20)

ist, wenn Hourglassmodi vorhanden sind, ungleich null. Die 12 Hourglasswiderstands-Kraftvektoren fk

iα (Dämpfungsvektoren) lauten:

fkiα = ahhiαkαk (3.21)

wobei

ah = Qhgρv23e

c

4(3.22)

mit ve als Elementvolumen, c als Schallgeschwindigkeit und Qhg als benut-zerdefinierte Konstante, die für gewöhnlich zwischen 0.05 und 0.15 liegt.

3.4 Lösung von Bewegungsgleichungen

3.4.1 Allgemeines

Bevor die numerische Zeitintegration diskutiert wird, betrachte man deneinfachsten Fall der Bewegungsgleichung im technischen Sinne. Dazu wirdein gedämpfter Feder-Masse-Schwinger betrachtet (Abbildung 3.3). Um dieBewegungsgleichung aufzustellen bedient man sich der Freischneidetechnikum jegliche Kräfte zu ”wecken”(Abbildung 3.4).Bildet man das Gleichgewicht in x-Richtung, so lässt sich die Gleichung nachdem D’Alembert’schen Prinzip aufstellen:

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Abbildung 3.3: Gedämpfter 1-Massenschwinger

Abbildung 3.4: Freischnitt des gedämpften 1-Massenschwingers

p(t) = fi + fD + fint (3.23)

darin bedeuten:

fi = mu (3.24)fD = cu (3.25)

fint = ku (3.26)

Darin bedeuten:c die Dämpfungskonstante, k die Federsteifigkeit und u die Verschiebung.Nun kann man die allgemeine Bewegungsgleichung, die lineare Differential-gleichung aufstellen:

mu + cu + ku = p(t) (3.27)

Die Lösungen solcher Differentialgleichungen sind im allgemeinen bekannt.Im häufigsten und wichtigsten Fall (im Sinne der Technik) wirkt eine har-monische Anregung auf das System und somit erhält man die oft genutzten

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Terme:

Harmonische Anregung: p(t) = p0 sin(ωt)

Eigenkreisfrequenz: ω =√

km

Eigenfrequenz: f = ω2π

Dämpfungsmaß: ξ = c2mω

Gedämpfte Eigenkreisfrequenz: ω0 = ω√

1− ξ2

angeandte Erregungsfrequenz: β = ωω

Die abschließende Form der Lösung lautet dann:

u(t) = u0 cos(ωt) +u0

ωsin(ωt)

p0

k

11− β2

(sin(ωt)− β sin(ωt)) (3.28)

Anfangsverschiebung: u0

Anfangsgeschwindigkeit: u0

Statische Verschiebung: p0

k

Im nichtlinearen Fall, d.h. wenn die interne Kraft eine nichtlineare Funk-tion der Verschiebung ist, erhält man eine nichtlineare Differentialgleichung:

mu + cu + fint(u) = p(t) (3.29)

Für nichtlineare Probleme sind nur noch numerische Lösungen möglich.

Abbildung 3.5: Überblick über die Lösungsmethoden bei dynamischen Pro-blemen

3.4.2 Explizite Methoden

Entscheidend bei expliziten Lösungsverfahren ist die Berechnung eines kriti-schen Zeitschrittes. Allgemein ergibt sich dieser durch die Ungleichung:

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Informationsausbreitungsgeschwindigkeit des Systems < vorhandene physi-kalische Ausbreitungsgeschwindigkeit der BelastungDiese Forderung führt zu einer Entkoppelung der Bewegungsgleichungen al-ler Diskretisierungspunkte. Die dynamischen Gleichgewichtsbetrachtungenkönnen so im Zeitschritt am Knoten aufgestellt werden. Folglich entfällt einGleichungssystem und die damit verbundene Gleichgewichtsiteration. Manbraucht also lineare und nichtlineare Gleichungen nicht zu unterscheiden.Für jede Elementart wie z.b. das Volumen-, Feder- oder Schalenelement las-sen sich kritische Zeitschritte bestimmen. Die Zeitschrittgröße ist dabei vonder Diskretisierung der Struktur und den Steifigkeitsverhältnissen abhängig.Bei der expliziten Methode können, im Gegensatz zur impliziten Methode,alle Variablen ständig aktualisiert werden. Somit erlaubt diese Methode z.B.eine beliebige Nichtlinearität von Werkstoffgesetzen. Bei dynamischen Be-rechnungen verwendet man häufig Rayleigh oder adaptive Systemdämpfungum die kritische Zeitschrittgröße zu reduzieren.

3.4.3 Die Zentrale Differenzen Methode

Im Programm LS-Dyna erfolgt die explizite Zeitintegration nach dem modi-fizierten ”Leap-Frog” Algorithmus. Dieser Algorithmus besitzt eine Genau-igkeit zweiter Ordnung und zeichnet sich durch seine hohe Symmetrie undNatürlichkeit aus. Von Nachteil ist, dass die Anfangsbedingungen norma-lerweise nicht zeitversetzt gegeben sind. Man sagt daher, dass das Leap-Frog-Verfahren nicht selbst startend ist, weil zunächst die Geschwindigkei-ten bei tn+ 1

2 mit einem anderen Verfahren aus den Anfangswerten berechnetwerden müssen. Dagegen ist der Leap-Frog Algorithmus vorteilhafterweiseZeit-reversibel. Zeitreversibilität bedeutet, dass keine Drift der Erhaltungs-größen vorkommt, also z.B. die Energieerhaltung gewährleistet ist. Oszilla-tionen können dagegen durchaus auftreten!Die Variablen werden auf der Zeitachse so platziert, dass die Knotenge-schwindigkeiten immer zu den halben Zeitschritten tn+ 1

2 und die Knotenbe-schleunigungen und die Knotenverschiebungen je zu den vollen Zeitschrittentn berechnet werden. Die Ortskoordinate und die Geschwindigkeitskoordi-nate befinden sich hier also nicht an den gleichen Stützstellen, sondern sindineinander verschachtelt.Aus der Lagrang’schen Bewegungsgleichung:

Man = pn − Fn + Hn (3.30)

Mit M als diagonalisierte Massenmatrix (man benutzt bei der explizitenMethode immer eine konzentrierte Massenmatrix M) und an als globalenBeschleunigungsvektor der Knoten im Zeitschritt tn.Pn ist der Vektor der äußeren Kräfte sowie Fn als Vektor der inneren Kräfteund Hn als viskoser Dämpfungsvektor der Hourglass Eigenformen

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Invetiert man Die Massenmatrix M von links dann folgt:

an = M−1(Pn − Fn + Hn) (3.31)

Im Zeitschritt tn+ 12 wird mit Hilfe des leap frog Algorithmus der globale

Geschwindigkeitsvektor vn+ 12 und der Verschiebungsvektor un+1 der Knoten

zum nächsten Zeitschritt tn+1 berechnet:

vn+1/2 = vn−1/2 + an∆t (3.32)un+1 = un + vn+1/2∆t (3.33)

Wobei:

∆tn+1/2 =∆tn + ∆tn+1

2(3.34)

Der neue Ortsvektor xn+1 im Zeitschritt tn+1 ergibt sich durch Addition desVerschiebungsinkrementes un+1 zum Ortsvektor der Ausgangskonfigurationx0. Somit gilt:

xn+1 = x0 + un+1 (3.35)

3.4.4 Stabilität der Zentralen Differenzen Methode

Um die Stabilität der zentralen Differenzen zu beurteilen bzw. festzulegen,geht man von einem System linearer Gleichungen aus. Die Gleichungen sindentkoppelt, wobei die Modalmatrix der Eigenvektoren Φ bezüglich auf derMassenmatrix M und der Steifigkeitsmatrix K auf eins normiert wordensind. Somit kann man festhalten:

ΦT MΦ = 1 (3.36)ΦT KΦ = ω2 (3.37)

Mit dieser Normierung erhält man die entkoppelte Dämpfungsmatrix C:

ΦT CΦ = 2ωξ (3.38)

Die Bewegungsgleichung für die Koordinaten x:

x + 2ωξx + ω2x = ΦT p = Y (3.39)

Wendet man darauf die Methode der zentralen Differenzen an, so erhält mandie Gleichungen für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung:

xn =xn+1 + xn−1

2∆t(3.40)

xn =xn+1 + xn−1 − 2xn

∆t2(3.41)

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Das Substituieren von x und x in der Bewegungsgleichung zur Zeit tn führtzu:

xn+1 =2− ω2∆t2

1 + 2ωξ∆t2xn −

1− 2ωξ∆t

1 + 2ωξ∆txn−1 +

∆t2

1 + 2ωξ∆t2Yn (3.42)

xn = xn (3.43)

In Matrizenform umgewandelt:(xn+1

xn

)=

(2−ω2∆t2

1+2ωξ∆t −1−2ωξ∆t1+2ωξ∆t

1 0

)(xn

xn+1

)+

(∆t2

1+2ωξ∆t2

0

)Yn

(3.44)

oder in Kurzschreibweise:

Xn+1 = AXn + LYn (3.45)

Wobei A der Zeitintegrationsoperator und L der Lastoperator ist.Nach m Zeitschritten unter einer beliebigen Anfangsbedingung u0 und ohneEinwirkung einer äußeren Belastung L = 0 ist folgt dann:

Xm = AmX0 (3.46)

Eine Spektrale Zerlegung des Integraloperators A liefert:

Am = (P T JP )m = P T JmP (3.47)

P ist die orthonormal Matrix der Eigenvektoren von A.J, die Jordanmatrix (eine Diagonalmatrix mit Eigenwerten λi von A auf derHauptdiagonalen).Der Spektralradius ρ(A) ist definiert als:

ρ(A) := max{|λi|} (3.48)

Die Matrix Jm ist nur dann begrenzt wenn die Beträge der Eigenwerte kleinergleich 1 sind (|λi| ≤ 1), d.h.:

ρ(A) ≤ 1 (3.49)

Für ρ(A) > 1 wächst die Lösung über alle Grenzen (numerische Instabilität).Bei stabilen Verfahren liegen die Eigenwerte auf oder innerhalb des Einheits-kreises um den Ursprung der komplexen Zahlenebene.Eigenwerte mit λ < 1 dämpfen die Komponenten der Lösung für n →∞ zunull.

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Verfahren mit ρ(A) = 1 sind unbedingt stabil, frei von numerischer Dämp-fung.Die Eigenwerte von A für die ungedämpfte Bewegungsgleichung lauten:

0 = Det

(∣∣∣∣ 2− ω2∆t2 11 0

∣∣∣∣− λ

∣∣∣∣ 1 −11 0

∣∣∣∣) (3.50)

0 = −(2− ω2∆t2 − λ)λ + 1 (3.51)

λ =2− ω2∆t2

2±√

(2− ω2∆t2)2

4− 1 (3.52)

Mit der Bedingung das λ < 1:

∆tkrit ≤2

ωmax(3.53)

Als kritischen Zeitschritt. Für die gedämpfte Bewegungsgleichung erhältman:

∆tkrit ≤2

ωmax

(√1 + ξ2 − ξ

)(3.54)

Daraus ist ersichtlich, dass eine Dämpfung den kritischen Zeitschritt redu-ziert.

3.4.5 Zeitschrittkontrolle und deren Berechnung am Beispielder Solid Elemente

In LS-Dyna werden die Spannungen und der Kraftvektor auf der rechten Sei-te der Gleichung während der Berechnung aktualisiert, in dem man ein ”loopthrough” (durchschleifen) mit den Elementen durchführt. Ebenso wird, inAbhängigkeit vom kleinsten Element, eine neue Zeitschrittgröße berechnet.

∆tn+1 = α ·min{∆t1,∆t2,∆t3, . . . ,∆tN} (3.55)

Mit N als Elementanzahl. Der Empfindlichkeitsfaktor α wird aus Stabili-tätsgründen auf 0,9 standardmäßig festgesetzt. Höhere Werte werden nichtempfohlen!Der kritische Zeitschritt für Solid Elemente wird von:

∆te =Le

(Q + (Q2 + c2)1/2)(3.56)

berechnet. Mit Q als Funktion der dimensionslosen Volumenviskositätskoef-fizienten C0 = 0, 06 und C1 = 1, 5:

Q = C1c + C0Le|εkk| (3.57)εkk < 0Q = 0 (3.58)

εkk ≥ 0

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Mit Le als die charakteristische Länge und εkk als Spur des inkrementellenDehnungstensors (Summenkonvention)Für 8 node solids: Le = ve

ae,maxund

für 4 node tetrahedras: Le = minimale Hoeheve entspricht dem Elementvolumen, Ae,max ist die Fläche der größten Sei-te und c ist die Schallgeschwindigkit. Für elastische Materialien mit einemkonstanten Kompressionsmodul ist die Schallgeschwindigkeit durch:

c =

√E(1− ν)

(1 + ν)(1− 2ν)ρ(3.59)

gegeben. Mit E als Elastiztätsmodul und ν als Querkontraktionszahl.

3.5 Kontaktproblematik

3.5.1 Allgemeines

Erstellt man ein Modell mit mehr als einem Körper, so besteht die Möglich-keit eines Körperkontaktes. Dabei treten mechanische Effekte wie Grenzflä-chendeformationen, Stoßeffekte, Haftung, Reibung oder wieder Trennung derKörper auf. Um dieses Verhalten in der Simulation beschreiben zu können,benötigt man so genannte finite Kontaktelemente. Mit diesen Elementen mo-delliert man die Grenzflächen eines Körpers, bei denen man einen Kontaktvermutet. Diese werden im englischsprachigen Raum als ”interface” bezeich-net. Um die Kontaktkräfte zu ermitteln, führen alle Programme in der Regelzwei Schritte aus. Als Erstes muss die Lage der Haupt- bzw Nebenknotenbestimmt werden. Nähere Informationen findet man dazu in [3] in den Ka-pitel 23.5-23.6.Im zweiten Schritt werden Normal- und Tangentialkräfte an der Kontakt-fläche berechnet. Dazu müssen Masse und Geschwindigkeiten der jeweiligenHauptknoten über die Impulsbilanz bestimmt werden.

3.5.2 Kontakt-Aufprall (contact-impact) Algorithmen im Pro-gramm LS-Dyna

Die Behandlung von Gleiten (”sliding”) und Aufprall (”impact”) wird im LS-Dyna durch drei Methoden beschrieben:

• kinematic constraint method

• penalty method

• distributed parameter method

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Wie auch bei anderen Algorithmen und Programmsystemen (u.a. Ansys),benötigen wir definierte ”master”- und ”slave”-Zuordnungen in Form von Seg-menten bzw. Knoten. Die Punkte der Slavesegmente werden daraufhin über-prüft, ob sie in die Mastersegmente eindringen oder nicht. Diese Untersu-chungsart der geometrischen Annäherung ist in [5] S.429 ff. detailliert undin [1] S. 370ff. ansatzweise beschrieben.Zwei grundsätzliche Vorgehensweisen sind bekannt, um die Knotenkräfte zuermitteln. In der einen wird zuerst die ”Interface”- Kraft zwischen den Ober-flächen berechnet und anschließend als Kraftrandbedingung auf die Master-Oberfläche aufgebracht. Typische Beispiele dieser Vorgehensweise sind die”Lagrange-Multiplier-Methode”, siehe Chaudhary & Bathe, und die ”Penalty-Methode”, siehe Kikuchi & Oden. In der anderen werden die Slave- undMaster- Oberflächen miteinander verbunden und die Werte der Massen undSpannungen von der Slave-Oberfläche auf die Master-Oberfläche abgebildet.

3.5.3 Kinematic Constraint Methode

Die Kinematic Constraint Methode nutzt die Aufprall- und Auflösungsbe-dingungen von Hughes. Entlang der Kontaktschnittstelle werden Zwangs-bedingungen in den globalen Gleichungen eingebaut. Diese Transformationbewirkt eine Eliminierung der normalen Freiheitsgrade der Knoten. Um dieEffizienz der expliziten Zeitintegration zu bewahren, muss die Masse auf eineGröße konzentriert werden (”lumped mass”), so dass nur noch die globalenFreiheitsgrade jedes Masterknotens gekoppelt sind. Die Stoßkrafterhaltungist durch die Einbringung der Aufprall- und Auflösungsbedingungen nachHughes gesichert. Ist die Masterfläche feiner unterteilt als die Slavefläche,entstehen Probleme mit dieser Methode. Bestimmte Masterknoten könnenohne Widerstand in die Slavefläche eindringen. Dabei entsteht ein so genann-ter ”krink” (Knitterstelle). Liegt ein erhöhter Kontaktdruck vor, können diese”kinks” auftreten, falls ein oder mehrere quadratische Punkte (siehe Element-definition) in der Elementintegration verwendet werden.

3.5.4 Penalty Methode

Die Penalty-Methode wird in expliziten als auch in impliziten Programmenangewendet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, das zwischen allen eindringen-den Knoten und der Kontaktfläche Federelemente angekoppelt werden. Mitder Ausnahme, dass die Federsteifigkeitsmatrix in die globale Steifigkeitsma-trix eingebaut werden muss, unterscheiden sich die implizite und die expliziteForm nicht. Im Gegensatz zu der ”nodal constraint” Methode, ist die PenaltyMethode gegenüber dem Hourglassing nicht so anfällig. Die geringe Störan-fälligkeit ist der symmetrischen Vorgehensweise zuzuschreiben. Die PenaltyMethode erfordert keine besondere Behandlung bei sich überschneidendenGrenzflächen. Das vereinfacht die Anwendung. Die Steifigkeit der Grenzflä-

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che wird so gewählt, dass sie in etwa der Größenordnung der Steifigkeit dessenkrecht zur Grenzfläche stehenden Grenzflächenelementes entspricht. DieExistenz der Grenzfläche beeinflusst dabei nicht die Größe des Zeitschrittes.Bei der Penalty Methode kann das Auftreten unzulässiger Penetrationendurch Korrekturen der Steifigkeit und der Zeitschrittgröße minimiert wer-den. Dabei sollte die Steifigkeit nach oben und die Zeitschrittgröße nachunten korrigiert werden.

3.5.5 Distributed Parameter Method

Diese Methode stammt aus dem Dyna2D Packet und wurde im Dyna3DPacket zur ”sliding only” (nur Gleiten) Option spezialisiert. Die Hälfte derSlaveelementmassen von jedem in Kontakt stehenden Element, ist verteiltüber den bedeckten Masteroberflächenbereich. Die innere Spannung von je-dem Element verursacht eine Druckverteilung für den Masteroberflächenbe-reich, welcher die Masse erfasst. Nach Beendigung der Druck- und Massen-verteilung, kann die Beschleunigung der Masteroberfläche aktualisiert wer-den. Beschleunigungen und Geschwindigkeiten der Slaveknoten werden mitZwangsbedingungen versehen, um die Stosskraft entlang der Masteroberflä-che zu sichern. Dabei umgeht das Programm LS-Dyna die ”put back logic”um die Penetration der Slaveknoten zu unterbinden.

3.5.6 Gleiten mit Ablösen und Trennung

Dieser zur Penalty Methode gehörende Algorithmus kontrolliert jeden Sla-veknoten um das Eindringen (Penetration) in die Masteroberfläche festzu-stellen. Liegt Penetration vor, wird eine Interfacekraft zwischen Slaveknotenund Kontaktpunkt angelegt. Die Größe dieser Kraft ist proportional zur Pe-netration (vgl. Federkopplung).Ein Eindringen eines Slaveknotens ns in das Mastersegment liegt vor, wenn:

l = ni[t− r(ξc, ηc)] < 0 (3.60)

erfüllt ist. Dabei sind ξc, ηc die Kontaktpunktkoordinaten und für die Sla-veknoten ni = ni(ξcηc) gilt, dass sie senkrecht zum Mastersegment aufdem Kontaktpunkt seien. Zur Veranschaulichung sollen die Abbildungen 3.6und 3.7 dienen.Im Falle der Penetration der Kontaktknoten in das Mastersegment wird derKraftvektor fs = −lkini wenn l < 0 den zu ns zugehörigen Freiheitsgra-den hinzugefügt:

f is = Φi(ξcηc)fs wenn l < 0 (3.61)

und

f im = Φi(ξcηc)fs wenn l < 0 (3.62)

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den vier Knoten (i=1,2,3,4) die das Mastersegment si enthalten. Der Stei-figkeitsfaktor ki für das Mastersegment si errechnet sich zu:

ki =fsiKiA

2i

Vi(3.63)

Mit Ki als Kompressionsmodul, Vi dem Volumen und Ai der Elementflächedie si enthält.LS-Dyna bietet viele Optionen um die ’Penalty Steifigkeit’ zu setzen. Geradebei der Verwendung von Materialien die extrem unterschiedliche Kompres-sionsmodule haben, ist dieser Wert wichtig. Die rechnerische Auswahl vonLS-Dyna ist die folgende:

• Verwendung des Steifigkeitsminimum der Mastersegmente und Slave-knoten (default)

• Verwendung der Mastersegmentesteifigkeit

• Verwendung der Slaveknotensteifigkeit

• Verwendung der Slaveknotensteifigkeit, Flächen oder Massengewicht

• wie oben aber umgekehrt proportional zur Shelldicke

Abbildung 3.6: Vektorieller Zusammenhang zwischen Mastersegment undSlaveknoten

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Abbildung 3.7: Kontaktpunktlokalisierng wenn Slaveknoten noch über demMastersegment liegt

3.5.7 Berechnung der Kontaktenergie

Die Kontaktenergie EKontakt wird taktweise von der Zeit n zur Zeit n + 1für jedes Kontaktinterface aktualisiert:

En+1Kontakt = En

Kontakt +

[nsn∑i=1

∆FSlavei ×∆xSlave

i +nmn∑i=1

∆FMasteri ×∆xMaster

i

]n+ 12

(3.64)

Wobei nsn die Anzahl der Slaveknoten und nmn die der Masterknotenist. Weiterhin sind ∆FSlave

i und ∆FMasteri die Interfacekräfte zwischen den

i−ten Slaveknoten und dem Kontaktsegment bzw. zwischen dem i−ten Mas-terknoten und dem Kontaktsegment. Die inkrementellen Distanzen ∆xSlave

i

und ∆xMasteri geben die Bewegung des Slave- bzw. Masterknoten während

des Zeitschrittes an. Wird die Reibung vernachlässigt, so sollten die Werteder Slave- und Masterenergien bis aufs Vorzeichen ungefähr gleich sein. Wei-terhin sollte die Summe der Kontaktenergie EKontakt die der gespeichertenEnergie sein. Erhöhte negative Kontaktenergien lassen auf unentdeckte Pe-netrationen schließen. Um die Kontaktenergien zu überprüfen, kontrolliertman das Ausgabefile ”SLEOUT”. Ist Reibung und Dämpfung vorhanden sokann die Interfaceenergie beträchtliche positive Werte annehmen, besonderswenn im Falle von Reibung zusätzlich Gleiten auftritt.

3.5.8 Kontaktdämpfung

Die Möglichkeit der Dämpfung ist in allen Kontaktdefinitionen enthalten.Oszillationen zu dämpfen ist eine der Hauptgründe für ihre Anwendung,sie kann aber auch die hohen Frequenzen während eines Aufpralles unter-

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drücken. Als Eingabewert wird ein prozentualer Wert ξ der kritischen Dämp-fung ξkrit. mit:

ξkrit. = 2mω (3.65)

ξ =V DC

100ξwd (3.66)

festgelegt. Wobei m die Masse, ω die Eigenkreisfrequenz und V DC ein Be-nutzerwert (z.B. 20) ist.Wenn k die Interfacesteifigkeit ist, berechnet sich die Eigenkreisfrequenz ei-nes Slaveknoten zu:

ω =

√k(mslave + mmaster)

mslavemmasterm = min{mslave,mmaster} (3.67)

Dabei wird die Mastermasse von den Masterknoten interpoliert.Kraftoszillation tritt häufig bei gekrümmten Flächen auf, die eine relati-ve Bewegung erfahren. In solchen Fällen werden hohe Frequenzen in derKontakt-Reaktionskraft durch Kontaktdämpfung eliminiert. Jedoch werdendie niedrigen Frequenzoszillationen, hervorgerufen durch von Segment zuSegment wandernden Knoten nicht gedämpft. Solch eine Wanderung trittdann auf, wenn zwischen den Segmenten ein großer Winkel ist.Eine Verfeinerung des Netzes reduziert das Oszillieren ebenfalls. Eine Verfei-nerung sollte immer dann in Betracht gezogen werden, wenn eine signifikanterelative Bewegung um scharfe Kanten erwartet wird.

3.5.9 Reibung

In LS-Dyna wird die Reibung mittels Coulomb’schem Reibungsgesetz formu-liert. Es seien f t die Testkraft, fn die Normalkraft, k die Interfacesteifigkeit,µ der Reibungskoeffizient und fn die Reibungskraft zur Zeit n. Der folgenAlgorithmus ist äquivalent zu einer elastisch-plastischen Feder und erfolgt inden folgenden Schritten:1. Berechnen der Reibungskraft Fy:

Fy = µ|fn| (3.68)

2. Berechnen der inkrementalen Bewegung der Slaveknoten:

∆e = rn+1(ξn+1c , ηn+1

c )− rn+1(ξnc ηn

c ) (3.69)

3. Aktualisieren der Testkraft:

f t = fn − k∆e (3.70)

4. Kontrolle der Reibungsbedingung:

fn+1 = f b wenn |f b| ≤ Fy (3.71)

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5. Skalierung der Testkraft:

fn+1 =Fyf

t

|f t|wenn |f t| > Fy (3.72)

Eine zusätzliche (exponentielle) Interpolation glättet den Übergang vom sta-tischen µs und dem dynamischen µd Reibungskoeffizienten.

µ = µd + (µs − µd)e−c|v| (3.73)

v =∆e

∆t(3.74)

Dabei ist v die relative Geschwindigkeit zwischen dem Slaveknoten und demMastersegment und c eine Abklingkonstante.Die aus der Coulomb’schen Reibung entwickelte Interface-Scherspannungkann sehr groß werden und in manchen Fällen übersteigt sie die zulässigeSpannung des Materials. LS-Dyna erlaubt hier andere Grenzen für die Tan-gentialkraft:

fn+1 = min(fn+1Coulomb, κAMaster) (3.75)

unter Berücksichtigung der Mastersegmentfläche AMaster und den viskosenKoeffizient κ.In manchen Fällen, wenn mehrere Knoten einen Einfluß auf die Scherspan-nung eines Segmentes haben, kann die Spannung das Limit von κ übersteigen.

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Kapitel 4

Praktisches Arbeiten mitLS-Dyna

4.1 Allgemeines

LS-Dyna wird von LSTC (Livermore Software Technology Corporation) ent-wickelt und hat seine Wurzeln im DYNA3D/2D von LLNL (Lawrence Li-vermore National Laboratories). Beides wurde und wird von Dr. John O.Hallquist entwickelt. LS-Dyna ist ein explizites Finite-Element-Programmund somit ausschließlich für transiente dynamische Analysen geeignet. Inden neueren Versionen (ab LS-Dyna 670) wurde bereits ein impliziter Teilimplementiert, der jedoch noch weitere Entwicklungen benötigt. Die Haupt-anwendungen des Programms sind strukturmechanische Aufgaben. LS-Dynaist ein reiner Rechenkern, das heißt, er benötigt ein Inputfile in einem be-stimmten Format und produziert Ergebnisse (Outputfile) im binären undASCII Format. Das benötigte Inputfile ist ein Keyword-Textfile und wirdüber den Preprozessor erzeugt. Mögliche Prozessortypen sind:

• LS-PrePost FEMB (Finite Element Model Builder), nur für Windows

• ANSA (Advances Network Systems Architecture) nur für Unix+

• Patran

• Ansys/LS-Dyna

• Easi-Crash und

• FEMAP

Die vorhandene Demoversion von LS-Dyna bietet den LS-PrePost an, dieserermöglicht gleichzeitig das Post-Processing. Weitere Post-Prozessoren sind:

• Animator & Evaluator (GNS)

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• HyperGraph

• Patran und

• Ansys/LS-Dyna

Im folgenden Abschnitt wird das Vorgehen zur Erstellung einer Falltestsi-mulation erklärt. In Anlehnung an den Fallversuch, werden eine Kugel undder Messzylinder modelliert. Dabei wird insbesondere auf den Umgang mitden Benutzeroberflächen (interaktive Menüs) eingegangen.

4.2 Preprozessor

Zum Starten des Programms führt man die Datei ’manager.exe aus. Es öff-net sich eine Bedienoberfläche. Von diesem Manager startet man den LSTC-PREPOST durch Mausklick auf das rote Symbol (Abbildung 4.1 auf S. 40).Diese aus Pre- und Postprozessor kombinierte Oberfläche besteht aus einemgraphischen Fenster zur Visualisierung des Modelles, einer Eingabeleiste fürBefehle im untersten Bereich und im rechten Bereich aus einem Interface mit7 Hauptmenüs (Abbildung 4.2 auf S. 40).Dieses Interface ermöglicht die Eingabe von Vernetzparametern, Randbedin-gungen, Kontaktbedingungen und vieles mehr. Dabei erfolgt die Eingabe vonDaten in Form einer Karte. Der Aufbau dieser Karten ist prinzipiell immerderselbe (siehe Abbildung 4.9 auf S. 47. Die eingegebenen Daten werden imKeyword File aufgezeichnet. Dadurch wird dem Benutzer die Möglichkeitgegeben nachträglich Werte verändern zu können ohne das Programm LS-Dyna zu starten. Die Keyword-Files lassen sich zum Beispiel mit ”Wordpad”öffnen und bearbeiten. Dabei sollte man beachten, dass die Formatierungnicht verändert werden darf.

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Abbildung 4.1: Startbild des LS-Dyna Manager

Abbildung 4.2: Interface mit 7 Hauptmenüs

4.2.1 Geometrien vernetzen

Dem Anwender stehen mehrere Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung, umeine Geometrie zu importieren. Eine Möglichkeit besteht über das Fly-OutMenü (File -> Import), dort sind alle möglichen Formate aufgelistet, die LS-Dyna unterstützt. Eine andere Variante ist das Benutzen des Interface Menü7. Durch das Aktivieren von SurMesh öffnet sich unter dem Interface einspezielles Interface. Durch das Anpicken von load kann man über browsedie gewünschte Datei auswählen und importieren (Abbildung 4.3 auf S. 41).Pickt man nun noch im selben Interface Amesh an, öffnet sich wiederumein angepasstes Interface (Abbildung 4.4 auf S. 42).Hier kann man die Elementgröße unter Ave.Ele.Size und die MaßtoleranzGap.Tolerance des Netzes einstellen.Mit dem Anpicken von Shift im linken Bereich ist man in der Lage das Mo-dell allein mit der Maus zu drehen, zu zoomen und zu bewegen. Möchte mannun die Auswahl für die Netzgenerierung treffen muss die Modellmanipulati-on durch Anpicken von off deaktiviert werden. Mit der AuswahlmöglichkeitPick kann man einzelne Bereiche selektieren und somit eine unterschiedlicheNetzgenerierung ermöglichen. Mit Area kann man eine Box ziehen, in deralles vernetzt wird. Nach der Selektierung klickt man im rechten Bereich aufMesh It und dann auf den darunterliegenden Button Accept.

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Für das Modell einer Kugel, einer Box oder eines Zylinders gibt es im Haupt-menü 7 die Möglichkeit diese Geometrien direkt vernetzt zu erstellen. Dazuaktiviert man das Untermenü Mesh.In dem Auswahlfenster Entity wird die gewünschte Geometrie ausgewählt.Im Falle der Kugel wird die Position und die Größe durch Angabe des Radiusund der Mittelpunktkoordinaten festgelegt. Bitte bereits hier an die Einhal-tung der Einheiten denken. Bei density beeinflusst man die Feinheit desNetzes. Große Werte erzeugen feinere Netze. Für einen Kugeldurchmesservon 10mm bis 30mm ist 7 ein guter Density-Wert.Besteht das Modell aus mehreren Körpern, die in LS-Dyna ”Parts” genanntwerden ist es hilfreich diese durch die Vergabe von Namen identifizierbar zumachen. Man kann im Feld Target Name einen Namen zuweisen.Bei dem Zylinder muss neben der Eingabe der Koordinaten darauf geachtetwerden, in welcher Richtung die Ausdehnung erfolgen soll. Nach der Einga-be des Zylinderradius und der Zylinderlänge gibt man unter Position dieKoordinaten ein, bezogen auf den Mittelpunkt der Zylinder-Kreisdeckfläche.Demzufolge muss eine Ausdehnung in positiver z-Richtung bei Directionmit ’+1’ und in negativer z-Richtung mit ’-1’ in dirz eingetragen werden.Das Netz wird bei dem Zylinder beeinflußt durch die Anzahl der Elementeeiner Kreisscheibe und die Längenunterteilung des Zylinders. Bei dem Zylin-der mit einem Durchmesser von 19mm und einer Länge von 15mm wurden25 Elemente pro Kreisscheibe NumEle = 25 und 10 Elemente bezogen aufdie Länge Num Leng = 10 eingestellt (Abbildung 4.5 auf S. 42).

Abbildung 4.3: Importieren einer Iges-Datei

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Abbildung 4.4: Netzgenerierung

Abbildung 4.5: Kugel- und Zylindererstellung

4.2.2 Kurvendefinition

Im LS-Dyna ist es möglich zwei Parameter die miteinander korrelieren inForm eines Graphen bzw. einer Kurve darzustellen, um sie später zu ver-wenden. Zum Beispiel kann eine Spannungs-Dehnungskurve in einer Ma-terialkarte wiederverwendet oder eine Last-Zeit Kurve als Randbedingungdefiniert werden. Die Kurvendefinition findet man im Hauptmenü 3 unter*Define. In der Liste selektiert man Curve und klickt dann auf Edit (Ab-

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bildung 4.6 auf S. 44)In der sich öffnenden Karte (Abbildung 4.7 auf S. 44) vergibt man unterNewID eine fortlaufende Kartennummer die in dem Feld LCID eingetragenwird. Wahlweise besteht die Möglichkeit einen Kurvennamen unter Title zuvergeben um bei einer größeren Anzahl von Kurven den Überblick zu behal-ten. Unter SIDR (SIDR steht für Spannungsinitialisierung bei dynamischerRelaxation) wählt man aus wozu die Kurve verwendet wird, dabei bedeuten:

• SIDR=0: Kurvennutzung für transiente bzw. instationäre Analysenund andere Anwendungen

• SIDR=1: Kurvennutzung für Spannungsinitialisierung aber nicht fürtransiente bzw. instationäre Analysen und

• SIDR=2: Kurve gilt für die Initialisierung und für transiente Analysen

Unter SFO kann man einen Skalierungsfaktor für die Abszisse und unterSFA für die Ordinate festlegen. Ausserdem besteht die Möglichkeit einenOffsetwert für die Abszisse OFFA und einen für die Ordinate OFFO fest-zulegen. LS-Dyna transformiert somit die Funktion nach der Formel:

Abszissenwert = SFA(definierterWert + OFFA) (4.1)Ordinatenwert = SFO(definierterWert + OFFO) (4.2)

Um die Wertepaare einzugeben trägt man das Wertepaar unter A1 (Abszis-senwert) und O1 (Ordinatenwert) ein, dann das Wertepaar durch anklickenvon Insert in die Liste eingeben. Mit den restlichen Paaren genauso Verfah-ren. Um eine graphische Darstellung der eingegebenen Werte auszugeben,den Button Plot betätigen (Plotfenster über Quit schließen). Nach Beendi-gung der Eingabe über Accept bestätigen (Kurve erscheint in der rechtenListe) und über Done die Karte verlassen.

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Abbildung 4.6: Define-Interface aktivieren und Kurve editieren

Abbildung 4.7: Kurvendefinition

4.2.3 Materialzuordnung

Im Hauptmenü 3 kann durch Anklicken von *Mat das Material definiertwerden (Abbildung 4.8 auf S. 46). Ein Vorteil von LS-Dyna liegt in der

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großen Auswahlmöglichkeit an Materialien. Weiterhin ist es sogar möglicheigene Materialkarten anzulegen.In dem Untermenü wählt man die Materialien aus, in dem man unter GroupBy die Auswahl Solid trifft. In der darunter liegenden Liste erscheinen al-le für Solidelemente möglichen Materialsorten (Abbildung 4.8 auf S. 46).In unserem Falle wird Stahl am besten durch die die Karte 024, nämlichPiecewise Linear Plasticity beschrieben. Diese Materialbeschreibung istder Standard um ein elastisch-plastisches Verhalten zu beschreiben. DurchAnklicken dieses Materials gelangt man durch Edit zur Materialkarte (Ab-bildung 4.9 auf S. 47). Dort geht man wie folgt vor:

• Oberen Button NewID anklicken (im Feld MID werden fortlaufendeNummern für die verschiedenen Materialien eingetragen)

• Dem Material im Feld Title einen Namen vergeben (optional)

• Materialdaten vergeben:

– Dichte ρ (RO)

– E-Modul E (E)

– Querkontraktionszahl ν (PR)

– Fließspannung σF (SIGY)

– Tangentenmodul Etan (ETAN)(Eine bilineare Spannungs-Dehnungskurve wird benutzt)

– Parameter der Dehngeschwindigkteit C (C)

– Parameter der Dehngeschwindigkteit P (P)

• zuvor definierte σeffektiv - εplastisch Kurve laden (LCSS) (Wird dieKurve geladen, werden die Werte in den Feldern EPS1-EPS8 und ES1-ES8 ignoriert. Achtung es müssen in der Kurve die wahren Spannungenüber die (logarithmischen plastischen) Gesamt-Dehnungen eingetragenwerden!

• zuvor definierte ε- σF Kurve laden (LCSR)

• Formulierung für den Rateneffekt auswählen (VP):

– VP = 0,0 - Skaliert Fließspannung (default)

– VP = 1,0 - viskoplastische Formulierung

– VP = -1,0 - Cowper-Symonds mit deviatorischer Verformungsrate

• wenn unter LCSS keine Kurve geladen wurde, mindestens zwei plasti-sche Dehnungswerte εplastisch eingeben (Bei Eingabe werden die Felder’SIGY’ und ’ETAN’ ignoriert (EPS1-EPS8))

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• zu ’EPS’ zugehörige Fließspannungswerte eingeben (ES1-ES8)

Nachdem alle Werte in den richtigen Einheiten eingegeben sind, den ButtonAccept und folgend Done betätigen.Hinweis:Im Cowper-Symonds-Modell wird die Fließspannung mit dem Faktor:(

1 +(

ε

C

) 1P

)

skaliert. Wird VP = -1 gesetzt, so wird stattdessen die deviatorische Verfor-mungsrate benutzt.Wenn die viskoplastische Option durch VP = -1 gewählt wird und die Fließ-spannung größer als Null ist, dann wird die dynamische Fließspannung alsSumme von statischer Spannung (σs

y) und der skalierten, anfänglichen Fließ-spannung (SIGY ) berechnet:

σy(εpeff , εp

eff ) = σsy(ε

peff ) + SIGY

(εpeff

C

) 1p

berechnet

Abbildung 4.8: Material-Interface aktivieren und Materialsorte 024 editieren

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Abbildung 4.9: Materialkarte von Material 024

4.2.4 Die Section Auswahl

Unter diesem Punkt werden die Elementformulierung, die Integrationsbedin-gung sowie Knotendicken und andere Eigenschaften definiert.Die Section-Auswahl wird ebenfalls im Hauptmenü 7 unter *Section getrof-fen. Im Untermenü findet man die möglichen Elementtypen. Die Kugel sollals Solid deklariert werden, um die erforderliche Karte zu öffnen, muss derTyp Solid ausgewählt und der Button Edit betätigt werden (Abbildung 4.10auf S. 48).Eine Nummernvergabe erfolgt wieder über NewID, diese findet man im FeldSECID wieder. Auch hier ist die Titelvergabe in dem Feld Title optional,da sie nur der Übersichtlichkeit dient. Eine der unter ELFORM angebote-nen Solidvarianten auswählen.

• Typ 1Das Standard 8-Knoten Quaderelement mit trilinearem Verschiebungs-ansatz wird reduziert integriert. Somit werden die Spannungen nur aneinem Integrationspunkt (in der Mitte) ermittelt. Hourglassformen sindmöglich, daher sollte zusätzliche Hourglasskontrolle aktiviert werden.

• Typ 2Dieses Quaderelement besitzt 8 Integrationspunkte (selektiv-reduzierte

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Integration) und das führt zu einem Ausschluß der Hourglassformen.Nachteilig ist, dass der Typ 2 über das doppelte an Rechenzeit benötigtwie Typ 1 (wegen der achtfachen Integrationspunkte) und er lässt auchweniger Deformationen (Locking) zu als Typ 1. Um Schub-Locking zuvermeiden wird die B-bar Methode angewandt. Dieser Typ sollte nurausgewählt werden wenn die Hourglasskontrolle versagt

• Typ 3Dieses 8-Knoten Quaderelement besitzt zusätzliche Drehfreiheitsgradean den Knoten und wird über 14 Punkte integriert. Dadurch benötigter die siebenfache Rechenzeit wie Typ 1.Dieser Quadertyp sollte nur bei linearem Materialgesetz selektiert wer-den.

Wird der Elementtyp 7,11 oder 12 selektiert, kann man unter AET eineentsprechende Umgebung (Druck und/oder Temperatur) des Elementtypsauswählen.Im Fall der Kugel wurde der Standardtyp (Typ 1) in Verbindung mit der imVerlauf noch erläuterten Hourglasskontrolle ausgewählt.

Abbildung 4.10: Section-Interface

4.2.5 Die Part Definition

Bei Kontaktproblemen hat man es oft mit mehr als einem Bauteil oder Kör-per zu tun. In LS-Dyna muss also für jedes Part eine Materialkarte und eineSectionauswahl vorliegen (Abbildung 4.11 auf S. 49).

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Abbildung 4.11: Übersicht zur Partstrukturierung

Da die Kugel und den Zylinder bereits als Solid generiert und vernetztwurden, führt LS-Dyna diese beiden Körper als Parts auf. Im Interfaceme-nü 3 gelangt man über die Auswahl *Part zur Liste. Diese ist bereits in derModell-Ansicht. Während die Auswahl All alle möglichen Partdefinitionenanzeigt, kann man über Modell die Liste auf die im Modell existierendenParts reduzieren. Selektiert man die Auswahl Parts und geht auf Edit ge-langt man zur Partkarte (Abbildung 4.12 auf S. 50).In der Partkarte kann man in der rechten Liste die Kugel und den Zylin-der sehen. Beim Selektieren der Kugel, ist bereits eine PID vergeben. Manmuss also nur noch die Sectiondefinition über SECID und das Materialüber MID auswählen. Es öffnet sich beim Anpicken des ”Punktbuttons” ei-ne Auswahlliste, aus der man die jeweilige Zuordnung durch Done bestätigt(Abbildung 4.13 auf S. 50).Bei EOSID kann man zuvor definierte Stoffgesetze wie zum Beispiel das desidealen Gases dem Part zuordnen. Formeln und Hinweise zu den Stoffgeset-zen findet man auf S.811ff. in [4]Dem Feld HGID kann die zuvor definierte Hourglass Karte zugeordnet wer-den.

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Abbildung 4.12: Part-Interface aktivieren und Part editieren

Abbildung 4.13: Partkarte von Kugel und Zylinder

4.2.6 Randbedingungen festlegen

Um die Randbedingungen, egal ob Verschiebungsvorgaben oder Lagerbedin-gungen festzulegen, müssen folgende Punkte abgearbeitet werden:

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• Knotendefinition

• Kurvendefinition (z.B. für Last-Zeit Gesetz)

• Lagerbedingung vorgeben

• Verschiebung vorgeben

Knotendefinition

Um die Knoten festzulegen, die zum Beispiel eine feste Einspannung desZylinders erfahren, öffnet man das Hauptmenü 5 und klickt auf den ButtonSetD (Abbildung 4.14 auf S. 53). In dem sich öffnenden Untermenü bestehtdie relevante Möglichkeit des:

• Zeigen

• Erstellen

• Modifizieren und

• Löschen

von:

• Knoten

• Part

• Segment

• u.a.

um sich beispielsweise Knoten anzeigen zu lassen, pickt man Show an undwählt in der darunter liegenden Box *Set Node an.Zum Erstellen der Knoten pickt man Create an und wählt *Set Node aus.Da noch keine Gruppe bzw. einzelne Knoten als Set ausgewählt worden sind,findet man unter der Nummernvergabe SetID eine 1. Dem Knoten-Set derfesten Einspannung kann wahlweise ein Titel vergeben werden z.B. ”feste-Einsp” (Abbildung 4.14 auf S. 53).Unterhalb der graphischen Ausgabe befinden sich Manipulationswerkzeuge(am besten eignet sich Shift) um das Modell mit der Maus in die gewünsch-te Position zu bringen. Möchte man nun die Knoten auf der Unterseite desZylinders auswählen, muss die Manipulation mit Off gestoppt und durchMesh die Vernetzung sichtbar gemacht werden. Ein einzelnens Selektierenist mit der aktivierten Pickbox Pick möglich. Effizienter ist es die PickboxArea zu benutzen, um mit der Maus alle Knoten innerhalb eines Rechteckszu selektieren. Durch den Button Clear löscht man die gesamte Knotenaus-wahl. Der Button Desel löscht dagegen nur die zuletzt getroffene Auswahl.

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Ist die Knotenselektierung komplett kann sie durch Apply in die Liste ge-setzt werden (Abbildung 4.15 auf S. 53).Weitere Selektierungen sind nun möglich.Springt man zurück ins Hauptmenü 3, kann man den blau gewordenen*Set Button sehen. Hier verbirgt sich die Knotenselektierung mit der ent-sprechenden Knoten-Liste. Diese ist im Keyword File gespeichert und kannauch dort durch Löschung oder Setzen von Knoten modifiziert werden.

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Abbildung 4.14: Set-Interface aktivieren und Knotensatz erstellen

Abbildung 4.15: Bestätigung des erstellten Knotensatzes

Kurvendefinition

Möchte man eine Kraft-Zeit Kurve als äußere Last aufbringen, so muss dieseZuordnungsvorschrift über Hauptmenü 3 und *Define einer Curve erfol-gen. Eine detaillierte Beschreibung ist unter dem Abschnitt Kurvendefinition

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zu finden.In dem Kugel-Zylinder Modell benötigt man eine solche Lastdefinition nicht.

Vorgabe einer Anfangsgeschwindigkeit

Gerade bei Falltests ist es sinnvoll die Fallstrecke, in der meist keine Erkennt-nisse gefunden werden, nicht mit zu simulieren. Dies spart enorm Rechenzeitund Speicherplatz. Dazu klickt man im Hauptmenü 3 auf *Initial und high-lightet Velocity Generation, dann öffnet man über Edit das zugehörigeMenüfenster. Zuerst vergibt man über NewID eine fortlaufende Nummer.Anschließend wählt man in der STYP eine Typklasse aus. Wobei die 1 füreinen Part-Satz, die 2 für eine Part-ID und die 3 für einen Knoten-Satz steht.Unter NSID/PID wählt man dann den zugehörigen Satz aus, der mit ei-ner Anfangsgeschwindigkeit beaufschlagt wird. Im Anschluß trägt man dieGeschwindigkeiten in die entsprechenden Felder VX,VY,VZ ein. Mit AC-CEPT und DONE die Auswahl bestätigen und das Menü schließen.

Abbildung 4.16: Initialisierungs-Interface aktivieren und Formulierung Velo-city Generation editieren

Lagerbedingung vorgeben

Im Hauptmenü 3 unter *Boundry findet man eine große Menge von mög-lichen Randbedingungen. Wir wollen uns hier mit den Lagerbedingungenbeschäftigen und picken im Untermenü die Auswahl SPC_SET an undeditieren über Edit (Abbildung 4.17 auf S. 55).In der erscheinenden Karte vergibt man wieder durch NewID eine fortlau-fende Nummer und wahlweise erhält diese Bedingung einen Namen unterTitle. Um die zuvor bereits selektierten Knoten dieser Karte zuzuordnen,pickt man auf den Button NSID. Aus der sich öffnenden Dialogliste wählt

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man den Knotensatz durch Done aus.In das Feld CID kann ein zuvor definiertes Koordinatensystem eingefügtwerden (zum Beispiel können Polarkoordinaten eine Welle-Narbe Verbin-dung besser beschreiben als die globalen kartesischen Koordinaten)Die nachfolgenden Felder DOFX bis DOFRZ repräsentieren die transla-torischen und rotatorischen Freiheitsgrade. Wählt man zum Beispiel eine 1im Feld DOFX, so ist die x-Koordinate fest und dieser Freiheitsgrad somitgebunden.Eine 0 würde dagegen eine Bewegung/Verscheibung in x-Richtung zulassen.Da der Zylinder keine Verschiebungsmöglichkeit hatte, wird in jedes Feldeine 1 gesetzt. Anschließend bestätigt man durch Accept und Done (Ab-bildung 4.18 auf S. 56).

Abbildung 4.17: Randbegingungs-Interface aktivieren und Lagerbedingungerstellen

Verschiebungen vorgeben

Dieser Punkt wird nur kurz erläutert, da er bei dem Modell nicht notwendigist, aber dennoch eine wichtige Rolle spielt.Um Verschiebungen vorzugeben, sind vorher eine Last-Zeit-Kurve (DefineCurve) und die entsprechenden Knoten zu definieren (SetD).Im Hauptmenü 3 unter Boundry die Auswahl Prescribed Motion Setauswählen und durch Edit editieren.In der Karte kann durch NewID und optional durch die Titelvergabe inTitle die Zuordnung vorgenommen werden. In dem Feld NSID muss derKnotensatz für die Verschiebung eingefügt werden. Im folgenden Feld DOFwird der Freiheitsgrad festglegt (so steht zum Beispiel die 2 für eine Trans-

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Abbildung 4.18: Karte für Lagerbedingung

lation in y-Richtung).In dem Feld VAD wählt man aus, ob zum Beispiel eine Geschwindigkeit(VAD=1) oder eine Beschleunigung (VAD=2) mit der Kurve beschriebenwerden soll. Im Feld LCID wird die entsprechend definierte Kurve geladenund mit SF kann sie nochmals skaliert werden. In den Feldern BIRTH undDEATH kann man den zeitlichen Rahmen der Verschiebung vorgeben.Mit Accept und Done wird die Karte aktiviert.

4.2.7 Initialisierung der Gravitation

Da in dem Versuch die Kugel allein durch die Schwerkraft bewegt wurde,stellen wir das im Modell nach. Hierzu öffnet man das Hauptmenü 3 undwählt die Option *Load (Abbildung 4.19 auf S. 57).In dem Untermenü wählt man Body_Z aus um die Gravitation in z-Richtungwirken zu lassen und öffnet die zugehörige Karte durch Edit (Abbildung 4.19auf S. 57).Durch NewID die Karte zuordnen und die Gravitationskurve (als eine Waa-gerechte) in das Feld LCID einfügen. Über SF kann die Kurve so skaliertwerden, dass sie den Einheiten der schon eingegebenen Daten entspricht.Durch Accept und Done die Auswahl bestätigen.

4.2.8 Kontaktdefinition

Um einen Kontakt in LS-Dyna definieren zu können, müss man Kontaktele-mente definieren und eine Kontaktformulierung auswählen. Die Kontaktele-mentdefinierung (Nodes, Segments, Part) erfolgt im Hauptmenü 5 unterSetD (Beschreibung siehe Knotendefinition). Anschließend müssen die de-finierten Knoten, Segmente oder Parts einem Interface übergeben werden.Dazu geht man im Hauptmenü 3 auf *Intrfac und editiert ComponentSegment wenn Kontakt-Segmente oder Component Node wenn Kontakt-

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Abbildung 4.19: Load-Interface aktivieren und Gravitation erzeugen

Knoten ausgewählt wurden. (Abbildung 4.20 auf S. 60)Gängige Kontaktdefinitionen in LS-Dyna sind:

• Kontakttyp 5: einseitiger Kontakt (*Contact Nodes to Surface)Diese ist die einfachste, robusteste und schnellste Formulierung. Dabeiwerden die Slaveknoten auf das Eindringen in die Mastersegmente ge-testet. Durch die fehlende Kontrollmöglichkeit der Slaveseite, werdenim Interface-Force File nur die Kontaktspannungen der Masterseitedargestellt.

• Kontakttyp 10: einseitiger Kontakt (*Contact One Way Surface to Sur-face)Diese effektive Formulierung testet das Eindringen der Slaveknoten indie Mastersegmente und liefert ausreichend genaue Ergebnisse wenn dieSlaveseite wesentlich feiner als die Masterseite ist. Hier erfolgt die Dar-stellung der Kontaktspannung von Slave- und Masterseite im Interface-Force File.

• Kontakttyp 3: symmetrischer Kontakt (*Contact Surface to Surface)Diese Formulierung untersucht das Eindringen der Slaveknoten in dieMastersegmente und gleichzeitig das Eindringen der Masterknoten indie Slavesegmente. Diese Formulierung ist sehr genau aber auch re-chenaufwändig.

Hinweis:Bei diesen Formulierungen fehlt die Option Automatic. Deshalb ist dieNormalenrichtung der Segmente von extremer Bedeutung. Die Normalen derMastersegmente müssen in die Richtung der Slaveseite zeigen und anders-herum. Bei Verwendung der Option Automatic ist die Normalenrichtung

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der Segmente ohne Bedeutung.Um den Kontakt definieren zu können, öffnet man die Kontaktkarte wie folgt.Zuerst im Hauptmenü 3 das Untermenü *Contact öffnen. Dann selektiertman z.B. die Formulierung *Contact One Way Surface to Surface undklickt auf Edit (Abbildung 4.21 auf S. 60).Die Kontaktkarte sieht für fast jede Formulierung gleich aus (Abbildung 4.22auf S. 61). Über NewID und einem Titel wird die Karte zugeordnet.Die vier folgenden Felder:

• SSID (Slave segment set ID)

• MSID (Master segment set ID)

• SSTYP (Slave Segment Typ)

• MSTYP (Master Segment Typ)

korrelieren miteinander.

Tabelle 4.1: Zusammenhang zwischen SSID und SSTYP

Tabelle 4.1 gibt dabei für SSID und SSTYP die Korrelationen an, analog istes zwischen MSID und MSTYP.Die beiden Felder SBOXID und MBOXID sind optional. Hierfür mussvorher unter Hauptmenü 3 und *Define eine BOX definiert werden. Siewird durch einen Quader mittels Koordinaten beschrieben und beinhaltetalle gewünschten Knoten. Gibt man bei SSTYP den Wert ”2” oder ”3” ein,werden durch das setzen einer SBOXID nur die Slaveknoten innerhalb dieserBox für den Kontakt benutzt und nicht so wie definiert das ganze Part.Analog verhält sich die MBOXID wenn unter MSTYP der Wert 2 bzw. 3eingegeben wird.Die beiden Felder SPR (für Slave) und MPR (für Master) geben an, obdie Slave- und die Masterseite in dem Interface-Force File erscheinen odernicht. Dabei bedeutet der Wert ”0” ein Nichterscheinen und der Wert ”1” einErscheinen im File.Die nächsten fünf Felder:

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• FS (statischer Reibungskoeffizient µs)

• FD (dynamischer Reibungskoeffizient µd)

• DC (Abklingkonstante c)

• VC (viskoser Reibungskoeffizient V C)

• VDC (viskoser Dämpfungskoeffizient V CD)

sind Koeffizienten. Die Konstanten µs und µd und c werden in Gleichung 3.73auf S. 37 aufgeführt. Der viskose Dämpungskoeffizient V CD ist in Glei-chung 3.66 auf S. 36 als prozentuale Beeinflussung auf ξ aufgeführt. DerKoeffizient V C ist nötig um die Reibungskraft zu begrenzen. LS-Dyna be-rechnet eine begrenzte Kraft Flim durch:

Flim = V C ∗Akontakt (4.3)

V C =σy,k√

3(4.4)

Hierin bedeuten Akontakt die im Kontakt stehende Segmentfläche und σy,k

die Fließspannung des kontaktierten Materials.Hinweis: wenn im Feld FS Werte eingetragen werden für die folgende Un-gleichung nicht gilt: 0 < µs < 2 dann gelten für FS andere Bedingungen.(Siehe Hierzu LS-Dyna Keyword User’s Manual Version 971 - Beta, S.374)Das Feld PENCHK steuert während der Kontaktsuche den Penetrations-chek und kann die Werte 0, 1, 2 annehmen, dabei bedeutet:

• PENCHK = 0: Penetrations-Check ist aus (default)

• PENCHK = 1: Penetrations-Check ist an

• PENCHK = 2: Penetrationscheck ist an (kürzeste Diagonale wird be-nutzt)

Die Felder BT und DT steuern die Aktivierung und Deaktivierung der Kon-taktkarte.Nach Eingabe aller Daten über Accept und Done die Kontaktkarte bestä-tigen und verlassen.

4.2.9 Definition der Berechnungsdauer

Die Definition der Berechnungsdauer ist eine der wichtigsten im Preprozes-sor. Diese Angabe entscheidet darüber wie lang der (dynamische) Vorgangim Solutionprozessor berechnet wird. Der Aufruf der Kontrollkarte erfolgtüber das Hauptmenü 3, durch Aktivieren von *Control und das Editie-ren der Selektion Termination (Abbildung 4.23 auf S. 61).

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Abbildung 4.20: Interface

Abbildung 4.21: Kontakt-Interface aktivieren und Formulierung *ContactOne Way Surface to Surface editieren

In der Termination-Karte (Abbildung 4.24 auf S. 62) gebt man unter END-TIM die Berechnungsdauer in Sekunden ein (dabei sind 0,3 bis 0,5 Sekundenfür eine erste Falltestberechnung sicherlich ausreichend), anschließend bestä-tigt und schließt man die Karte über Accept und Done.

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Abbildung 4.22: Kontaktkarte

Abbildung 4.23: Interface der Berechnungsdauer

4.2.10 Kontrolle der Energieberechnung

Um die Energien auszuwerten und eine Aussage über die Berechnungsge-nauigkeit treffen zu können, geht man über das Hauptmenü 3, aktiviert*Control und editiert die Selektion Energy (Abbildung 4.25 auf S. 63).

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Abbildung 4.24: Karte der Berechnungsdauer

In der Energie-Karte (Abbildung 4.26 auf S. 63) können die Felder:

• HGEN (Hourglass Energieberechnung)

• RWEN (Stonewall Energiedissipation)

• SLNTEN (”Sliding Interfaces” Energiedissipation)

• RYLEN (Rayleigh Energiedissipation)

bearbeitet werden, indem man den Wert ”1” oder ”2” eingibt. Die Energiewird nicht berechnet und in die Energiebilanz einbezogen wenn der Wert ”1”vergeben wird. Werden die Energien berechnet durch die Vergabe des Wertes”2”, so werden sie in den ASCII-Files ”GLSTAT” und ”SLEOUT” aufgeführt.Die Felder RWEN und SLNTEN sind bei aktiven Kontakt automatisch aufden Wert ”2” gesetzt.

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Abbildung 4.25: Interface der Energiekontrolle

Abbildung 4.26: Karte der Energiekontrolle

4.2.11 Zeitschrittkontrolle

Mit Hilfe der Zeitschrittkontrolle kann man den von LS-Dyna errechnetenZeitschritt noch verringern bzw. skalieren.Betrachtet man die Timestep-Karte (Abbildung 4.28 auf S. 65) in demman im Hauptmenü 3, *Control aktiviert und Timestep editiert (Ab-bildung 4.27 auf S. 64).Unter DTINIT verbirgt sich der Zeitschritt. Dieser Wert wird vom Pro-

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gramm ermittelt.Das Feld TSSFAC beherbergt den Skalierungsfaktor der mit 0,9 voreinge-stellt ist. Verringert man diesen Wert geringfügig, wird auch der Zeitschrittverringert (siehe Gleichung 3.55 auf S. 30).Die Felder ISDO und TSLIMT haben für Solidelemente keine Relevanz.Im Feld DT2MS kann man ein ”Mass Scaling” durchführen. Bei positivenWerten wird die Dichte jedes Elementes so verändert, dass der Element-zeitschritt den globalen Zeitschritt erreicht. (Bei dynamischen Analysen mitgroßer Massenveränderung nicht empfohlen!)Negative Werte bewirken eine nur eine Veränderung der Dichte bei Elemen-ten deren Elementzeitschritt kleiner als der vorgegebene globale Zeitschrittist. (Unbedingt hinzugefügte Massen überprüfen!)Der mathematische Zusammenhang sieht wie folgt aus:

∆tspez =ln,min

c

c =

√E

ρ(1− ν2)

ρn =(∆tspez)2El2n(1− ν)

Im Feld LCTM kann eine Kurve eingefügt werden, die den maximalen Zeit-schritt begrenzt.Die übrigen Parameter spielen bei dem vorhandenen Falltestmodell keine Rol-le und erfordern Erfahrung)

Abbildung 4.27: Interface der Zeitschrittkontrolle

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Abbildung 4.28: Karte der Zeitschrittkontrolle

4.2.12 Kontrolle der Ausgabe

Die Kontrolle der Ausgabe nimmt man im Hauptmenü 3 unter *Dbasevor. Zuerst editieren wir *Binary D3Plot (Abbildung 4.29 auf S. 66). UnterDT (Abbildung 4.30 auf S. 67) trägt man die Zeit ein, die den Ausgabezeit-schritt des D3Plot Files bestimmt. Die übliche Anzahl liegt zwischen 100und 10000. Legt man also eine Berechnungszeit von 0,5 Sekunden fest undwill 500 Ausgabe Files haben, so trägt man 0,001 in das Feld DT ein. ÜberAccept und Done bestätigt und schließt man die Karte.Nachfolgend editieren wir die ASCII Ausgabe (Abbildung 4.29 auf S. 66),dazu öffnet man die Karte von *ASCII Option (Abbildung 4.31 auf S. 67).In der Karte trägt man in Default Intervall den Ausgabezeitschritt ein.Danach besteht die Möglichkeit folgende Felder durch das Setzen eines Ha-kens auszuwählen:

• GLSTAT - enthält die gesamte Energiebilanz

• MATSUM - enthält die Energien getrennt für alle Parts

• NODOUT - enthält Verschiebung ausgewählter Knoten

• ELOUT - enthält Kräfte und Spannungen ausgewählter Elemente

• RCFORC - enthält die Resultierenden Kräfte der Kontakte

• SLEOUT - gibt die Slave- und Masterenergie aus

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durch Accept und Done die ASCII Option bestätigen und beenden.Als letztes wollen wir die Database Extent Binary editieren (Abbildung 4.29auf S. 66). Hier kann man das Programm dazu veranlassen für jeden Aus-gabezeitschritt ein separates d3plot-File zu schreiben. Dieser Schritt soll imSinne der Datenarchivierung zur besseren Übersichtlichkeit dienen.Die Option wird im Feld ieverp (Abbildung 4.32 auf S. 68) durch setzen desWertes ”1” erreicht, nachdem man durch NewID die Zuordnung getroffenhat. Die Auswahl mit Accept und Done bestätigen und beenden.Das Preprocessing ist an dieser Stelle beendet. Nun müssen die Eingabengespeichert werden. Dazu öffnet man in der Menüleiste das Flyout-Menü Fi-le und klickt auf Save Keyword (alternativ: Alt+K) über Browse dengewünschten Ort zum abspeichern auswählen und mit Save bestätigen.

Abbildung 4.29: Interface von Database

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Abbildung 4.30: Karte von Binary D3Plot

Abbildung 4.31: Karte von ASCII Option

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Abbildung 4.32: Karte von Extent Binary

4.3 Der Lösungsprozessor

Zum Starten des Lösungsprozessors öffnet man die Datei manager.exe. Hierkann man über das Symbol mit dem vertikalen blauen Pfeil (Abbildung 4.33auf S. 69) ein Dialogefenster öffnen (Abbildung 4.34 auf S. 70). In diesemFenster wird über Browse das Keyword File (Dateiname.k) selektiert underscheint als Input File in der oberen Zeile. Anschließend kann der Ort fürdie Outputfiles festgelegt werden. Normalerweise sollten Input und Output-file in einem gemeinsamen Ordner liegen.Mit Run startet die Berechnung (Abbildung 4.35 auf S. 70).Während der Berechnung gibt es für den Benutzer die Möglichkeit über dieTastenkombination STRG+C die Berechnung anzuhalten. LS-Dyna erwar-tet die Eingabe eines Schlüsselwortes. Folgende Eingabemöglichkeiten gibtes:

• sw1 - Ein Restartfile wird geschrieben und die Rechnung danach been-det.

• sw2 - Es erfolgt eine Statusausgabe zum aktuellen Zeitschritt und dieBerechnung wird nach wenigen Sekunden fortgesetzt.

• sw3 - Ein Restartfile wird geschrieben und anschließend wird die Be-rechnung fortgesetzt.

• sw4 - Ein Plotfile wird geschrieben und anschließend wird die Berech-nung fortgesetzt.

• sw5 - für alle Ergebnisfiles wird der I/O Buffer geleert.

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Diese Befehle werden mit ”Enter” bestätigt. Der Vorteil liegt darin eine Be-rechnung anzuhalten und zu einem beliebigen Zeitpunkt fortzusetzen.

4.3.1 Einlesen der Keyword- und Restart-Files

Ist man dazu gezwungen eine Berechnung abzubrechen und zu einem späte-ren Zeitpunkt fortzuführen, muss ein Restartfile geschrieben werden. Um dieBerechnung fortzusetzen, öffnet man durch Anklicken des blauen Symboles(Abbildung 4.33 auf S. 69) das Dialogfenster, in dem man das Restartfile mitdem Namen d3dumpxx und das Keywordfile als Input Files einfügen kannund den Ordner der Outputfiles ggf. modifiziert (Abbildung 4.34 auf S. 70).Die Berechnung wird fortgesetzt.Der Restart einer Berechnung kann sehr nützlich sein, wenn die Simulati-on zu zeitig endet. Dazu erhöht man lediglich die Berechnungsdauer in derControl Termination Karte (z.B. von 0,4 auf 0,5 Sekunden), speichert dasKeywordfile ab und führt einen Restart aus.

Abbildung 4.33: Starten der Berechnung (oben); Restart der Berechnung(unten)

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Abbildung 4.34: Dialogfenster für Berechnungsstart (oben) und Restart (un-ten)

Abbildung 4.35: Berechnung (Abarbeitung der Instruktionen des Keyword-Files)

4.4 Der Postprozessor

Um den Preprozessor zu starten, muss der LS-Dyna Manager (siehe Abbil-dung 4.1 auf S. 40) über die Manager.exe gestartet sein. In diesem Managerstartet man den LSTC-PREPOST durch Mausklick auf das rote Symbol (Ab-bildung 4.1 auf S. 40). Diese aus Pre und Postprozessor kombinierte Oberflä-

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che besteht aus einem graphischen Fenster zur Visualisierung des Modelles,einer Eingabeleiste für Befehle im untersten Bereich und im rechten Bereichaus einem Interface mit 7 Hauptmenüs (Abbildung 4.2 auf S. 40).Der Postprozessor dient in jedem FE-Programm zur Analyse des Modells.Um in LS-Dyna Größen wie Spannungen, Verschiebungen und Energien aus-zuwerten, muss zuerst das Ausgebefile d3plot über das Fly-Out Menü (File-> Open -> Binary Plot) geöffnet werden. In dem graphischen Fenster wirdnach dem erfolgreichen Laden das Modell sichtbar. Darunter befindet sicheine Animationsleiste (Abbildung 4.36 auf S. 71). Diese Leiste funktioniertwie die der Videoprogramme (Play, Stop, Vor, Zurück,...).Die Funktionen des Postprocessors werden im Hauptmenü 1 gesteuert (Ab-bildung 4.2 auf S. 40).

Abbildung 4.36: Animationsleiste

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4.4.1 Auswerten von Spannung, Geschwindigkeiten und Ver-schiebungen mit Hilfe der Plotfiles

Durch Aktivierung des Hauptmenü 1 und das Anklicken von Fcomp öffnetsich ein Untermenü (Abbildung 4.37 auf S. 72).Hier kann man beispielsweise durch Anklicken von:

• Stress - die verschiedenen Spannungen

• Ndv - die Verschiebungen

• Strain - die Verformungen

• u.s.w.

im graphischen Fenster angezeigt bekommen.

Abbildung 4.37: Visulisierung von Spannungen, Verschiebungen, u.v.m.

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Abbildung 4.38: Öffnen des ASCII Untermenüs

4.4.2 Auswerten von Energien und Verschiebungen mit Hilfeder ASCII-Files

Durch Aktivierung des Hauptmenü 1 und das Anklicken von ASCII öffnetsich ein Untermenü (Abbildung 4.4.2 auf S. 73).Hier kann man beispielsweise durch Anklicken von (siehe Abbildung 4.39 aufS. 74):

• glstat und Load - die gesamte Energiebilanz

• matsum und Load - die Energien der einzelnen Parts

• nodout und Load - die Verschiebungen ausgewählter Knoten

• rcforc und Load - die resultierenden Kräfte der Kontakte

• u.s.w.

in Form eines xy-Graphen angezeigt bekommen.Lässt man sich die Energien ausgeben, so muss man feststellen das die po-tentielle Energie nicht auftaucht. Dies hat zwar keine Einfluss auf die Ener-giebilanz, aber dennoch ist es für Fallversuche sinnvoll diese mit auszugeben.Sollte der Graph zu wenig Wertepaare aufweisen (und dadurch nicht exaktaussehen) so muss das Ausgabezeitintervall (siehe Abschnitt 4.2.12 auf S. 65)verkleinert werden.

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Abbildung 4.39: ASCII Plot aktivieren

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Kapitel 5

Auswertung derSimulationsmodelle

5.1 Einleitung

Um eine Aussage über die Qualität der Modelle machen zu können, sollteals erstes die Energiebilanz genau betrachtet werden. Nach dem Hauptsatzder Thermodynamik muss gelten:

Etot = Ekin + Ein + Ev − Ea (5.1)

totale Energie: Etot

kinetische Energie: Ekin

innere Energie: Ein

Verlustenergie: Ev

äußere Energie: Ea

In die Verlustenergie wird unter anderem die Hourglass- und die Reibungs-energie mit eingerechnet. Des weiteren bietet es sich an, die aus dem Versuchgewonnene Größe Rücksprunghöhe mit dem Wert der Simulation zu verglei-chen.Nach einigen Modellierungen, die sich als nicht brauchbar erwiesen, da ent-weder das Materialverhalten nicht den praktischen Vorstellungen entsprachoder einfach keine richtige Kontaktdefinierung vorgenommen wurde, fandensich dann doch einige brauchbare Lösungsansätze.Im Laufe der Recherche fiel die ”Springback” Funktion im Programm LS-Dyna auf. Diese seit LS-Dyna 670 implementierte Funktion soll eine Simulati-on zum Rückfederungsverhalten von Materialien, insbesondere bei Umform-prozessen ermöglichen. Dabei greift LS-Dyna zur Lösung der Bewegungsglei-chung auf ein implizites Integrationsverfahren zurück.

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5.2 Das Modell 1

In diesem Modell wurden folgende Parameter in SI-Einheiten eingestellt:

• Ein elastisches Material mit einer Dichte von 7710 kg/m3, ein E-Modulvon 2.1 · 1011Pa und einer Querkontraktionszahl von 0.3

• Ein automatischer Surface to Surface Kontakt ohne Eingabe von Reibungs-und Dämpfungskonstanten

• Ein einfach integriertes Solid Element

• Hourglass Kontrolle aktiviert mit den Standardwerten ihq=1 und qm=0.1

• Kugeldurchmesser von 0.022 m und eine Netzdichte von 7

Die Simulation zeigt, dass die Kugel nach ca. 0,139 Sekunden auf den Zylin-der auftrifft, was mit der Zeit aus dem Versuch übereinstimmt. Durch denAufprall der Kugel auf den Zylinder kommt es zu einer Richtungsumkehrder Geschwindigkeit und einen Energieverlust. Die kinetische Energie fälltauf 0,0261J herab. Das heißt das ein Energieverlust von ca. 31% auftritt.Die Bewegungsenergie wandelt sich wieder in potentielle Energie um und dieKugel gewinnt wieder an Höhe. Es wird eine Rücksprunghöhe von 87 mmausgegeben (Abbildung 5.2 auf S. 77).Somit ist die Rücksprunghöhe der Simulation um ca. 8,75% größer als diedes Versuches. In der Simulation wurde also zu wenig Verlustenergie um-gewandelt. Das rein elastische Verhalten der Kugel schließt einen Verlust,aufgrund von plastischen Verformungen, aus. In den Abbildungen 5.2 bis 5.6kann man sich ein Überblick über die Energien verschaffen.Betrachtet man die Energiebilanz des Zylinders, so fällt sofort auf, dassdie Hourglassenergie mit 0,0064J, trotz aktivierter Kontrolle zu hoch ist.Diese numerische Verlustenergie von ca. 17% ist nicht duldbar. In Abbil-dung 5.6 auf S. 80 sind weitere Verlustenergien dargestellt. Dabei fällt inAbbildung 5.6 auf S. 80 der enorme Anstieg der Slidingenergie im Momentdes Kontaktes auf. Diese sollte danach wieder gegen Null gehen, stattdes-sen verharrt der Wert bei ungefähr 0,0065J. In diesem Modell sind mehrereFehler die korrigiert werden müssen.

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Abbildung 5.1: Rücksprunghöhe der Kugel

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Abbildung 5.2: interne, kinetische und Hourglass Energie der Kugel

Abbildung 5.3: interne, kinetische und Hourglass Energie des Zylinders

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Abbildung 5.4: externe Arbeit des Gesamtsystems

Abbildung 5.5: interne, kinetische und totale Energie des Gesamtsystems

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Abbildung 5.6: Hourglass-, Dämpfungs-, Reibungs- sowie Feder und Slidin-genergie des Gesamtsystems

LS-Dyna empfiehlt für eine Crash-Simulation das Einheitensystem:

• Masse in kg

• Längen in mm

• Zeit in s

• Kraft in MN

• Spannungen in kPa und

• Energien in kJ

Um zu überprüfen ob die Wahl der Einheiten eine Auswirkung auf das Ergeb-nis hat, wurden im Modell 1 die Einheiten geändert. Bei einer Auswertungder Daten stellte sich wie erwartet heraus, dass die Wahl der Einheiten kei-nen Einfluß auf das Ergebnis hat.

5.3 Das Modell 2

Um das Problem der Hourglassenergie zu beseitigen wurde dieses Modell er-stellt. Da die Hourglass-Kontrolle bei den einfach integrierten Solidelementenversagt (siehe Modell 1), wurde ein weiteres Modell erstellt, welches auf dem

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ersten Modell basiert. Lediglich der Elementtyp wurde in ein völlig integrier-tes Solidelement geändert.Betrachtet man wieder die Rücksprunghöhe so fällt auf, dass sie mit 101mmüber der von Modell 1 liegt. Kontrolliert man die Energien, wird bestätigt,dass bei völlig integrierten Solidelementen keine Hourglassenergie auftritt.Bei der Auswertung der Spannungen der beiden Körper wurde ersichtlich,dass die Kugel bzw. der Zylinder nur im elastischen Bereich beanspruchtwerden. Das Ergebnis der Vergleichsspannung wurde zu σeqv = 87N/mm2

ausgegeben.

Abbildung 5.7: Rücksprunghöhe der Kugel

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Abbildung 5.8: interne, kinetische und Hourglass Energie der Kugel

Abbildung 5.9: interne, kinetische und Hourglass Energie des Zylinders

Abbildung 5.10: externe Arbeit des Gesamtsystems

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Abbildung 5.11: interne, kinetische und totale Energie des Gesamtsystems

Abbildung 5.12: Hourglass-, Dämpfungs-, Reibungs- sowie Feder und Slidin-genergie des Gesamtsystems

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5.4 Das Modell 3

Dieses Modell soll die Ergebnisse des vorher gehenden Modells bestätigen.Dazu wurde hier ein elastisch-plastisches Material, basierend auf Ck45, ver-wendet. Alle anderen Parameter wurden nicht verändert.

• Ein elastisch-plastisches Material (basierend auf Ck45) mit Angabeeiner Dichte von 7710kg/m3, ein E-Modul von 2.1 · 1011Pa sowie ei-ner Querkontraktionszahl von 0.3 und einen Zusammenhang zwischenplastische Dehnung - Spannung

• Ein automatischer Surface to Surface Kontakt ohne Eingabe von Reibungs-und Dämpfungskonstanten

• Ein völlig integriertes Solid Element

• Kugeldurchmesser von 0.022 m und eine Netzdichte von 7

Die Auswertung der Daten zeigt auf, dass das Material nicht plastisch bean-sprucht wird. Die Werte sind identisch mit denen von Modell 2.

5.5 Das Modell 4

Dieses Modell soll dazu dienen das Problem der erhöhten Slidingenergie zubeleuchten. Hierzu wurden in der Kontaktdefinition einige Veränderungenvorgenommen. Die anderen Parameter wurden beibehalten. Da zwei massi-ve, sehr steife Körper aufeinander prallen, ist die von LS-DYNA automa-tisch gewählte Kontaktsteifigkeit für diese Anwendung zu gering. Es tretenkaum Deformationen an den zwei Körpern auf, sondern es kommt lediglichzu Kontakteindringungen, so dass die Kontaktsteifigkeit den Stoß bestimmt.Somit muss in der Kontaktkarte der Wert der Master- und der Slavesteifig-keit erhöht werden. Diese wurden jeweils auf den Wert 50 erhöht. Zusätzlichwurde der Reibungskoeffizient auf 0,1 gesetzt. Gleichzeitig ist der Zeitschrittverkleinert worden. Dadurch musste die Kugel in einen sogenannten ”fast-contact” gebracht werden um Rechenzeit einzusparen. Das heißt, dass dieKugel nur wenige Millimeter über dem Zylinder mit einer Anfangsgeschwin-digkeit positioniert wurde. Die Ergebnisse dieser Modellierung können inden Abbildungen 5.13 bis 5.16 entnommen werden. Bemerkenswert ist dieRücksprunghöhe der Kugel, die fast den Ausgangswert von 112mm aufweist.Begründung findet dies in der kinetischen Energie der Kugel, da hier nureinen Verlust von knapp 3% auftritt. Betrachtet man die Werte der Slidin-genergie, so stellt man fest, dass sie in Bereichen von mJ liegt und somitvernachlässigbar klein ist.Mit der Betrachtung des ”sleout”-Files und der Kontakteigenschaften weistdieses Modell eine akzeptable Kontaktdefintion auf.

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Abbildung 5.13: Rücksprunghöhe der Kugel

Abbildung 5.14: kinetische Energie der Kugel (Auszug)

Klärung bedarf es lediglich der unklaren Verluste. Die Energie der Kugelsollte laut Versuch um 20% geringer werden. Diese Werte werden in derSimulation nicht erreicht.

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Abbildung 5.15: Slidingenergie des Gesamtsystems

Abbildung 5.16: Ausgabe des sleout-Files

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5.6 Zusammenfassung

Nach mehreren Modifikationen des vierten Modells steht fest, das kein Mo-dell erstellt werden konnte, welches mit den Ergebnissen des Versuches über-einstimmt. Es wurden verschiedene Kombinationen der Kontaktsteifigkei-ten ausprobiert und mit den Reibungskoeffizienten experimentiert. Ebenfallswurden die anderen Kugelgrößen gerechnet, ohne ein positives Ergebnis zuerhalten. Entweder sind die Ergebnisse der Rücksprunghöhen akzeptabel unddie Kontakteigenschaften ungünstig oder andersherum.

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Kapitel 6

Auswertung undZusammenfassung

6.1 Bewertung von LS-Dyna

Explizite Programme sind generell gegenüber nichtlinearem Materialverhal-ten unempfindlicher als implizite Programme. Vorallem eignen sie sich gutfür die Berechnungen in der Diskontinuumsmechanik. Die geringeren Re-chenzeiten expliziter Programme sprechen für die Nutzung.Explizite Programme erreichen aber auch durch die Verwendung von einfa-chen Elementtypen, der Näherungsannahmen der dynamischen Relaxationoder Steifigkeitsskalierungen zur Vergrößerung des kritischen Zeitschrittesnicht das Genauigkeitsniveau impliziter Programme. Explizite Programmepräsentieren immer physikalisch mögliche Lösungen, die jedoch sorgfältig ge-prüft werden müssen. Ein Blick auf die Energiebilanzen, vorallem der Dissi-pationsenergien (Dämpfungs-, Hourglass- oder plastische Deformationsener-gie) ist zur Beurteilung der Lösung unbedingt erforderlich.Da Systemmatrizen nicht vorhanden sind, können mit expliziten Program-men keine Stabilitätsprobleme ausgewertet werden. Das heißt bei Falltest-simulationen mit Geometrien wie z.B. ein Würfel können daher mit einfa-chen Modellierungsmethoden keine exakten Aussagen über das Auftreffengemacht werden.

6.2 Gegenüberstellung von Arbeitszielen und erreich-ten Ergebnissen

Die Hauptaufgabe, nämlich das Herausarbeiten der expliziten Finite-Element-Formulierung in Ls-Dyna und die Anwendung bzw. Bedienung des Pro-gramms Ls-Dyna konnte erfolgreich bearbeitet werden. Die Kapitel 3 und

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4 sind das Ergebnis dieser Untersuchung. Weiterhin konnte ein Falltest-Experiment zur Verifizierung von Simulationsmodellen vorbereitet, durch-geführt und ausgewertet werden. Hierbei entstanden sehr gute Ergebnissedie im Kapitel 2 dokumentiert worden sind.Das Erstellen und Auswerten der Fall-Simulationen konnte auf Grund desZeitumfangs von 150 Stunden nur teilweise bearbeitet werden. Grund hier-für ist in den langen Berechnungszeiten solcher Modelle zu sehen. Trotzdementstanden Ansätze zur Modellierung solcher ”Crash-Tests”. Es konnte auchauf die Problematik der Genauigkeit von FE-Simulationen eingegangen wer-den. Hierbei sind einige Anregungen entstanden, die Aufzeigen sollen woraufbei der Auswertung zu achten sei (beispielsweise Energiebetrachtungen). Eindirekter Vergleich der Programme Ansys und Ls-Dyna konnte dadurch nichtdurchgeführt werden. Demzufolge sind Vor- und Nachteile von Ls-Dyna nichtuntersucht worden.

6.3 Ausblick

Mit den bisher gewonnen Erkenntnissen, kann eine fortführende Arbeit beiden Simulationsmodellen ansetzen. Da die Versuchsergebnisse sehr gelungen,ausgewertet und dokumentiert worden sind, können sie für die Verifizierungweiterer Modelle genutzt werden. Ein möglicher Ansatzpunkt wäre, den Zy-linder nicht als Solid sondern als ”Rigid Wall” zu modellieren. Dabei würdeman Rechenzeit sparen und den Kontakt einfacher definieren können. Es istauch denkbar eine völlig andere Abstraktionsebene zu gestalten, quasi einphysikalisch ähnliches Modell schaffen. So könnte die Kugel zum Beispiel alsSchalenelement aufgebaut werden.

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Literaturverzeichnis

[1] Götz, Christian: Entwicklung eines Finite-Elemente-Modell des mensch-lichen Schädels zur Simulation von Stößen; Dissertation, Eberhard-Karls-Universität Tübingen (1998)

[2] Klein, Bernd: FEM - Grundlagen und Anwendungen der Finiten-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau, Vieweg Verlag,6.Auflage (2005)

[3] LSTC: LS-Dyna Theory Manual

[4] LSTC: LS-Dyna Keyword User‘s Manual Version 971 - Beta

[5] Wriggers, Peter: Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Berlin - Heidel-berg - New York, Springer Verlag (2001)

[6] Wriggers, Peter: Zur Berechnung von Stoss- und Kontaktproblemen mitder Finite-Element-Methode; Forschungs- und Seminarberichte aus demBereich der Mechanik der Universität Hannover, Bericht Nr:F81/1 Han-nover (1981)

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