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Universität Dortmund

Lehrstuhl für künstliche Intelligenz

Support Vector Machines

Stefan RüpingVorlesung Maschinelles Lernen und Data Mining, WS 2002/03


Erinnerung: Funktionslernen Gegeben:Beispiele X in LE

– die anhand einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf X erzeugt wurden und

– mit einem Funktionswert Y = t(X) versehen sind (alternativ: EineWahrscheinlichkeitsverteilung P(Y|X) der möglichen Funktionswerte -verrauschte Daten).

H die Menge von Funktionen in LH.

Ziel: Eine Hypothese h(X) ∈ H, die das erwartete Fehlerrisiko R(h) minimiert.

Risiko: ∑=x

xPhxQhR )(),()(


Beispiel: Funktionenlernen

• H = { fa | fa(x) = 1, für x ≥ a, fa(x) = -1 sonst, a∈ℜ}• R(f0) = 0,25 + 0 + 0,20 = 0,45• R(f1,5) = 0 + 0 + 0,20 = 0,20• R(f3,5) = 0 + 0,5 + 0,05 = 0,55

1 2 3

50%

0%

0%

25%

5%

20%


Reale Beispiele

• Klassifikation: Q(x,h) = 0, falls t(x) = h(x), 1 sonst– Textklassifikation (x = Worthäufigkeiten)– Handschriftenerkennung (x = Pixel in Bild)– Vibrationsanalyse in Triebwerken (x = Frequenzen)– Intensivmedizinische Alarmfunktion (x = Vitalzeichen)

• Regression: Q(x,h) = (t(x)-h(x)))2

– Zeitreihenprognose (x = Zeitreihe, t(x) = nächster Wert)


Erinnerung: Minimierung des beobachteten Fehlers

Funktionslernaufgabe nicht direkt lösbar. Problem:

• Die tatsächliche Funktion t(X) ist unbekannt.

• Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist unbekannt.

Ansatz:

• eine hinreichend große Lernmenge nehmen und für diese den Fehler minimieren.

⇒ Empirical Risk Minimization


Beispiel


Beispiel II


Probleme der ERM

• Aufgabe ist nicht eindeutig beschrieben: Mehrere Funktionen mit minimalem Fehler existieren. Welche wählen?

• Overfitting: Verrauschte Daten und zu wenig Beispiele führen zu falschen Ergebnissen.


Die optimale Hyperebene

• Beispiele heißen linear trennbar, wenn es eine Hyperebene H gibt, die die positiven und negativen Beispiele voneinander trennt.

• H heißt optimale Hyperebene, wenn ihr Abstand d zum nächsten positiven und zum nächsten negativen Beispiel maximal ist.

• Satz: Es existiert eine eindeutig bestimmte optimale Hyperebene.

H

dd


Berechnung der opt. Hyperebene

• Hyperebene H = {x | w*x+b = 0}

• H trennt (xi,yi), yi∈{±1}• H ist optimale

Hyperebene

• Entscheidungsfunktion f(x) = w*x+b

• f(xi) > 0 ⇔ yi > 0• ||w|| minimal und

f(xi) ≥ 1, wenn yi = 1f(xi) ≤ -1, wenn yi = -1

+1

-1

fH


Optimierungsaufgabe der SVM

• Minimiere ||w||2

• so dass für alle i gilt:f(xi) = w*xi+b ≥ 1 für yi = 1 undf(xi) = w*xi+b ≤ -1 für yi = -1

• Äquivalente Nebenbedingung: yi*f(xi) ≥ 1• Konvexes, quadratisches Optimierungs-problem

⇒ eindeutig in O(n3) lösbar.• Satz: ||w|| = 1/d, d = Abstand der optimalen

Hyperebene zu den Beispielen.


Nicht linear trennbare Daten

• In der Praxis sind linear trennbare Daten selten.

• 1. Ansatz: Entferne eine minimale Menge von Datenpunkten, so dass die Daten linear trennbar werden (minimale Fehlklassifikation).

• Problem: Algorithmus wird exponentiell.

?


Weich trennende Hyperebene

• Wähle C∈ℜ>0 und minimiere

• so dass für alle i gilt:f(xi) = w*xi+b ≥ 1-ξi für yi = 1 undf(xi) = w*xi+b ≤ -1+ξi für yi = -1

• Äquivalent: yi*f(xi) ≥ 1- ξi

∑=

+n

iiCw

1

2ξ

+1 fξ

ξ


Duales Optimierungsproblem

• Umformung mit Lagrange-Multiplikatoren liefert einfacheres Optimierungsproblem:

• Maximiere

• unter 0 ≤ αi ≤ C für alle i und ∑αiyi = 0• Es gilt w = ∑αiyixi, also f(x) = ∑αiyi(xi*x)+b

( )∑∑∑= ==

∗−=n

i

n

jjijiji

n

ii xxyyW

1 121

1

)( αααα


Bedeutung von ξ und α

f(x)=0 f(x)=1f(x)=-1

ξ=0, α=0

ξ>1, α=C0<ξ<1, 0<α<C

ξ=0, 0≤α<C

Beispiele xi mit αi>0 heißen Stützvektoren ⇒ SVM


Optimierungsalgorithmus

s = Gradient von W(α) // si = ∑αj(xj*xi)while(nicht konvergiert(s)) // auf ε genau

WS = working_set(s) // suche k „gute“ Variablenα‘ = optimiere(WS) // k neue α-Wertes = update(s, α‘) // s = Gradient von W(α‘)

• Gradientensuchverfahren• Trick: Stützvektoren allein definieren Lösung• Weitere Tricks: Shrinking, Caching von xi*xj


Was wissen wir jetzt?

• Funktionslernen als allgemeine Lernaufgabe• Minimierung des empirischen Risikos als

Lösungsstrategie• Optimale Hyperebene präzisiert die ERM• Praxis: weich trennende Hyperebene• Berechnung mittels SVM und dualem Problem• Offene Fragen: Generelles Prinzip hinter der

optimalen Hyperebene? Nicht lineare Daten?


Beispiel: TextklassifikationTo: [email protected]

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?2 pictures1 porn0 SVM5 to0 university2 XXX

0.10.40.0?

0.21.1

-0.60.0

-0.40.9

SVM

*> 0


TCat-Modell

• Typische Dimension: 10.000 – 100.000• SVM lernt ohne Vorauswahl von Wörtern!• Text-Categorisierungs-Model:

positive Dokumente

negative Dokumente


Beispiel: Intensivmedizin

• Vitalzeichen von Intensivpatienten

• Alarm geben oder nicht?

• Hohe Genauigkeit

• Verständlichkeit?

−

===

=====

−

−−−

= 368.4

00.1500.1300.26

00.7900.8

00.12100.8600.174

177.0134.0026.0016.0015.0001.0

019.0014.0

)(

MMpapmnpapdiapapsys

hrcvp

artmnartdiaartsys

xf


Bias-Varianz-Problem

• Zu kleiner Hypothesenraum: Zielfunktion nicht gut genug approximierbar (Bias)

• Zu großer Hypothesenraum: Zuviel Einfluß zufälliger Abweichungen (Varianz)

• Lösung: Minimiere obere Schranke des Fehlers:R(h) ≤η Remp(h) + Var(h)


Strukturelle Risikominimierung

1. Ordne die Hypothesen in Teilmenge gemäß ihrer Komplexität

2. Wähle in jeder Teil-menge die Hypothese mit dem geringsten empirischen Fehler

3. Wähle insgesamt die Hypothese mit minimaler Risikoschranke

Komplexität

Schranke(h) = Remp(h) + Var(h)


Vapnik-Chervonenkis-Dimension

• Definition: Eine Menge H von Hypothesen zerschmettert eine Menge E von Beispielen, wenn jede Teilmenge von E durch ein h∈H abgetrennt werden kann.

• Definition: Die VC-Dimensioneiner Menge von HypothesenH ist die maximale Anzahl von Beispielen E, die von H zerschmettert wird.


VC-Dimension von HyperebenenSatz: Die VC-Dimension der

Hyperebenen im Rn ist n+1.Beweis:• VCdim(Rn) ≥ n+1: Wähle x0 = 0 und

xi = (0,...,0,1,0,...0). Für eine beliebige Teilmenge A von (x0,...,xn) setze yi = 1, falls xi ∈ A und yi = –1 sonst. Definiere w = ∑ykxk und b = y0/2. Dann gilt wx0+b = y0/2 und wxi+b = yi+y0/2. Also: wx+b trennt A.

• VCdim(Rn) ≤ n+1: Zurückführen auf die beiden Fälle rechts.


VC-Dim. und Anzahl der Parameter

• Setze fα(x) = cos(αx) und xi = 10-i, i=1...l. Wähle yi∈{-1,1}. Dann gilt für α=π(∑1/2(1-yi)10i):

−=

−= ∑∑

=

−−

=

l

i

kii

kl

i

iik yyx

121

121 10)1(1010)1( ππα

−+−+−= ∑∑

+=

−−

=

−l

ki

kiik

k

i

kii yyy

121

21

1

121 10)1()1(10)1(π

Vielfaches von 20 ≤ ∑… ≤ 10-1+10-2+ …=1/9(geometrische Reihe)


VC-Dim. und Anzahl der Parameter⇒ cos(αxk)=cos(πz) mit z∈[0,1/9] für yk=1 und z∈[1,10/9] für yk=-1

⇒ cos(αx) zerschmettert x1,...xl

⇒ cos(αx) hat unendliche VC-Dimension

⇒ Die VC-Dimension ist unabhängig von der Anzahl der Parameter!

π 2π 3π1/9

cos


VC-Dimension der SVM

• Gegeben seien Beispiele x1,...,xl∈ℜn mit ||xi|| < D für alle i. Für die VC-Dimension der durch den Vektor w gegebenen optimalen Hyperebene h gilt:

VCdim(h) ≤ min{D2 ||w||2, n}+1• Die Komplexität einer SVM ist nicht nur durch

die Dimension der Daten beschränkt (Fluch der hohen Dimension), sondern auch durch die Struktur der Lösung!


Wozu die ganze Theorie?

Erwartetes Risiko R(h)

Empirisches Risiko Remp(h)

h fest n → ∞

SRMh : Rsrm(h) = minh‘ Rsrm(h‘)

Optimale Hypotheseh : R(h) = minh‘ R(h‘)n → ∞

Optimale Hypotheseh : R(h) = minh‘ R(h‘)

ERMh : Remp(h) = minh‘ Remp(h‘) n → ∞

Löse ich überhaupt das Lernproblem? SRM garantiert dies!


Was wissen wir jetzt?

• Idee der strukturellen Risikominimierung:– obere Schranke für das Risiko– Schrittweise Steigerung der Komplexität

• Formalisierung der Komplexität: VC-Dimension• SRM als Prinzip der SVM• Garantie für die Korrektheit der Lernstrategie• Offene Frage: Nützlichkeit für die Praxis?


Performanzschätzer

• Welches erwartete Risiko R(h) erreicht SVM?• R(h) selbst nicht berechenbar• Trainingsfehler (zu optimistisch – Overfitting)• Obere Schranke mittels VC-Dimension (zu

locker)• Kreuzvalidierung / Leave-One-Out-Schätzer

(ineffizient)


Performanzschätzer II

• Satz: Der Leave-One-Out-Fehler einer SVM ist beschränkt durch Rl1o ≤ |SV| / n

• Beweis: Falsch klassifizierte Beispiele werden Stützvektoren. Also: Nicht-Stützvektoren werden korrekt klassifiziert. Weglassen eines Nicht-Stützvektors ändert die Hyperebene nicht, daher wird es auch beim l1o-Test richtig klassifiziert.


Performanzschätzer III

• Satz: Der Leave-One-Out-Fehler einer SVM ist beschränkt durch Rl1o ≤ |{i : (2αiD2+ξi)≥1}| / n(D = Radius des Umkreises um die Beispiele).

• Beweis: Betrachte folgende drei Fälle:

ξ=0, α=0

ξ>1, α=C 0<ξ<1, 0<α<C


Nicht-lineare Daten


Nicht-lineare Daten

Was tun?• Neue SVM-Theorie entwickeln? (Neeee!)• Lineare SVM benutzen? („If all you‘ve got is a

hammer, every problem looks like a nail“)• Transformation in lineares Problem!

x1

x2

(x1)2

x2

Φ(x1,x2) = (x12,x2)


Kernfunktionen

• Erinnerung:

f(x) = ∑αiyi(xi*x)+b• SVM hängt von x nur über Skalarprodukt x*x‘ ab.• Ersetze Transformation Φ und Skalarprodukt *

durch Kernfunktion K(x1,x2) = Φ(x1)*Φ(x2)

( )∑∑∑= ==

∗−=n

i

n

jjijiji

n

ii xxyyW

1 121

1

)( αααα

X Z ℜ

K

Φ *


Kernfunktionen II

• Angabe von Φ nicht nötig, einzige Bedingung: Kernmatrix (K(xi,xj))i,j=1...n muss positiv definit sein.

• Radial-Basisfunktion: K(x,y) = exp(-γ||x-y||2)• Polynom: K(x,y) = (x*y)d

• Neuronale Netze: K(x,y) = tanh(a⋅x*y+b)• Konstruktion von Spezialkernen durch Summen

und Produkte von Kernfunktionen, Multiplikation mit positiver Zahl, Weglassen von Attributen


Polynom-Kernfunktionen

• Kd(x,y) = (x*y)d

• Beispiel: d=2, x,y∈ℜ2. K2(x,y) = (x*y)2

= ((x1,x2)*(y1,y2))2 = (x1y1+x2y2)2

= x12y1

2+2x1y1x2y2+x22y2

2

= (x12,√2x1x2,x2

2)*(y12,√2y1y2,y2

2) =: Φ(x)*Φ(y)


RBF-Kernfunktion

xx0

exp(-1⋅|x-x0|2)

xx0

exp(-10⋅|x-x0|2)


SVMs für Regression

• Minimiere

• so dass für alle i gilt:f(xi) = w*xi+b ≤ yi +ε +ξi* undf(xi) = w*xi+b ≥ yi - ε - ξi

++ ∑∑

==

n

ii

n

iiCw

1

*

1

2 ξξ

f(x)

ξi* f(x)-ε

f(x)+ε


Verlustfunktion

Q

f(x)-y-ε +ε

lineare Verlustfunktion quadratische Verlustfunktion

Q

f(x)-y


Duales Optimierungsproblem

• Maximiere

• unter 0 ≤ αi,αi* ≤ C für alle i und ∑αi* = ∑αi

• Mit yi∈{-1,+1}, ε=0 und αi=0 für yi=1 und αi*=0 für yi=-1 , erhält man die Klassifikations-SVM!

∑∑∑===

−−−+−−=n

jijijjii

n

iii

n

iiii xxKyW

1,

**21

1

*

1

* ),())(()()()( ααααααεααα


Beispiel: Prognose von Zeitreihen

80

100

120

140

160

180

200

220

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100

Fenster Horizont


Prognose von Zeitreihen

• Trend• Zyklen• Besondere Ereignisse (Weihnachten,

Werbung, ...)• Wieviel vergangene Beobachtungen?• Ausreißer


SVMs und Datenbanken

• Sehr große Datenmengen (mehrere GB)• Datenbanken sind nicht auf numerische

Operationen optimiert• 3 Ansätze:

– Daten aus der Datenbank herausziehen– Inkrementelles Lernen– Verarbeitung intern in Datenbank


Inkrementelle SVMs

• Platzbedarf der Kernmatrix quadratisch• Idee: Schrittweises Lernen auf Teilmengen

SVs1

Dat. 1

SVM 1

SVs2

Dat. 2

SVM 2

SVs3

Dat. 3

SVM 3

SVs4

Dat. 4

SVM 4

Ergebnis


SVMs in Datenbanken

• Zugriff auf Daten geschieht über Kernfunktion• Cache der Zeilen der Kernmatrix• Berechnung der Kernfunktion als SQL-Abfrage• Beobachtung: Gebräuchliche Kernfunktionen

basieren auf Skalarprodukt oder Abstand

Optimierung

Datenbank

Cache

Working-Set Iteration


Kernfunktion in SQL• SELECT

x1.att_1 * x2.att_1 + … + x1.att_d * x2.att_d FROM examples_table x1, examples_table x2 WHERE x1.index = i and x2.index = j

• SELECT <kernel term>FROM examples_table x1, examples_table x2WHERE x1.index = I

• SELECT <kernel term>FROM examples_table x1, examples_table x2, free_examples f WHERE x1.index = i AND x2.index = f.index

• Weitere Optimierung durch Ausnutzen der relationalen Struktur imCache möglich.


Was man über SVMs wissen muss

• Funktionenlernen – ERM – SRM• Optimale Hyperebene: Definition,

Berechnung, harte und weiche Trennung• Nicht-Linearität durch Kernfunktionen• Idee der SRM, VC-Dimension• Schätzung der Performanz• Idee der Regressions-SVM

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