Symbolverzeichnis

In dieser Liste sind in der Reihenfolge ihres Auftretens die meisten verwendeten Symbole undBezeichnungen aufgefuhrt. Dabei steht links das jeweilige Symbol und rechts die zugehorigeverbale Erlauterung.

! Abbildungspfeil"! ZuordnungspfeilAbb(M,N) Menge aller Abbildungen von M #= ! nach N #= !H $H zweifaches kartesisches Produkt von H #= ! als Menge aller

geordneten Paare mit Elementen aus H

(H, !) Halbgruppe oder Gruppe mit Verknupfung ! auf H #= !(G1) – (G3) Gruppenaxiomee meist neutrales Element einer Gruppe! Ende eines Beweises = quod erat demonstrandumIN Menge aller naturlichen Zahlen einschließlich NullIN! Menge aller naturlichen Zahlen ohne die NullZZ Menge aller ganzen ZahlenQ Menge aller rationalen ZahlenIR Menge aller reellen ZahlenQ! Menge aller rationalen Zahlen ohne NullIR! Menge aller reellen Zahlen ohne Null! % " Komposition oder Hintereinanderschaltung der Abbildungen "

und !

S(M) symmetrische Gruppe der Menge M #= !idM Identitat auf M #= !""1 Umkehrabbildung zu bijektivem "

Sn symmetrische Gruppe aller Permutationen auf 1, 2, . . . , n(R1) – (R3) Ringaxiome(D1) – (D2) Distributivgesetze(R,+, ·) Ring mit Verknupfungen + und · auf R #= !(K1) – (K3) Korperaxiome(K,+, ·) (kommutativer) Korper mit Verknupfungen + und · auf K #= !

537

538 SYMBOLVERZEICHNIS

C Menge aller komplexen Zahleni2 = &1 imaginare Einheit i ' C \ IR

Re z Realteil a einer komplexen Zahl z = a + b i

Im z Imaginarteil b einer komplexen Zahl z = a + b i

(V1) – (V2) Vektorraumaxiome(V,+, ·) Vektorraum V mit Addition + und Skalarmultiplikation ·0 Nullvektor, Nullabbildung, Nullmatrix o. a.VRK Kategorie aller Vektorraume uber dem Korper K

K $K $ . . .$K! "# $n-mal

mehrfaches kartesisches Produkt von K #= ! als Menge allergeordneten n-Tupel mit Elementen aus K

Kn Menge aller Zeilenvektoren mit n Komponenten aus K

(UV1) – (UV3) UntervektorraumaxiomeΠn Menge aller Polynome vom Hochstgrade n ' IN

<A> Aufspann des Erzeugendensystems A

|I| Machtigkeit der Menge I

ei meist i-ter kanonischer EinheitsvektordimK V Dimension des K–Vektorraumes V

V1 + V2 Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2

V1 ( V2 direkter Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2%i#I

Vi Summenraum mehrerer Untervektorraume Vi

&i#I

Vi direkter Summenraum mehrerer Untervektorraume Vi

X = v + W affiner Unterraum eines Vektorraumes V mit UntervektorraumW ) V und ”Aufhangepunkt“ v ' V

dimK X Dimension eines affinen Unterraumes X von V ' VRK

A = (#ij) Matrix A mit Eintragen #ij

Ai i-ter Zeilenvektor einer Matrix A

Aj j-ter Spaltenvektor einer Matrix A

Mat(m, n;K) Menge aller (m$ n)-Matrizen uber K

At zu A transponierte MatrixEkl kanonische (m$ n)-Matrix mit einzigem Eintrag $kl = 1sp(A) Spur einer quadratischen Matrix A als Summe aller Eintrage

der HauptdiagonalenEn (n$ n)-EinheitsmatrixGL(n;K) Menge aller invertierbaren (n$ n)-Matrizen uber K

%(A, B) Multiplikation zweier (geeigneter) Matrizen A und B

Km Menge aller Spaltenvektoren mit m Komponenten aus K

A · x = b lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A und rech-ter Seite b in der Unbestimmten x

rg(A) Rang einer Matrix A

SYMBOLVERZEICHNIS 539

(A | b) erweiterte Matrix von A · x = b

Zrg(A) Zeilenrang einer Matrix A

K! Korper K ohne das Nullelement 0(EZ1) – (EZ3) elementare ZeilenumformungenSi(&) von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Multi-

plikation der i-ten Zeile mit Skalar & ' K!

Qji von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Addi-

tion der j-Zeile zur i-ten Zeile fur j #= i

P ji von links heranmultiplizierte Elementarmatrix, bewirkt Vertau-

schung der i-ten mit der j-ten Zeile (fur i #= j )' = (a1 a2 · · · an) Permutation ' ' Sn mit ai = '(i) fur jedes i = 1, 2, . . . , n

sign' Signum einer Permutation ' ' Sn

An alternierende Gruppe aller geraden Permutationen aus Sn

detA Determinante einer quadratischen Matrix A

(D1) – (D13) Eigenschaften einer Determinante(ij Kronecker–Symbol|A| Determinante einer quadratischen Matrix A

V (x0, x1, x2, . . . , xn) Vandermonde–DeterminanteA $

ij Streichungsmatrix von A zum Zeilenindex i und Spaltenindex j

(L) LinearitatsaxiomHomK(V,W ) Menge aller Vektorraum–Homomorphismen von V ' VRK

nach W ' VRK

EndK(V ) Menge aller Vektorraum–Endomorphismen in V ' VRK

"1f (y) Urbild von y unter der Abbildung f (als Unterscheidung zur

Umkehrabbildung f"1 eines bijektiven f )Ker F Kern einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )Im F Bild einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )*= Isomorphierg(F ) Rang einer linearen Abbildung F ' HomK(V,W )ΦA bezuglich der n-elementigen Basis A von V ' VRK definierter

Isomorphismus von V auf Kn

ΦAB (F ) darstellende Matrix eines Vektorraum–Homomorphismus F be-

zuglich der Basen A und BΨAB (A) der durch die Matrix A bezuglich A und B beschriebene Vek-

torraum–Homomorphismus# Kommutativitat eines Diagrammssi,j Stirling’sche Zahlen erster ArtSi,j Stirling’sche Zahlen zweiter ArtV ! Dualraum zu V ' VRK als Menge aller Linearformen auf V

V !! Bidualraum von V ' VRK als Dualraum von V !

540 SYMBOLVERZEICHNIS

+ OrthogonalitatF ! zu F ' HomK(V,W ) duale Abbildung von W ! nach V !

charK Charakteristik eines Korpers K

V (&) = V! Eigenraum eines Endomorphismus F ' EndK(V ) (bzw. seinerdarstellenden Matrix) zum Eigenwert & ' K

'(F ) Spektrum eines Vektorraum–Endomorphismus F

pA charakteristisches Polynom einer quadratischen Matrix A

pF charakteristisches Polynom eines Vektorraum–Endomorphis-mus F

Π Vektorraum aller Polynome (bezuglich eines Korpers K )grad p exakter Grad eines Polynoms p ' Πµ(p;&) Vielfachheit der Nullstelle & ' K eines Polynoms p ' Π& konjugiert komplexe Zahl & = a& b i zu & ' C

AH Hermite’sche Matrix zu A ' Mat(n, n; C))(A) Spektralradius einer quadratischen Matrix A

(A1) – (A3) Axiome einer Aquivalenzrelationx * y x ist aquivalent zu y

(AK1) – (AK3) Axiome einer AquivalenzklasseKa Aquivalenzklasse als Menge aller zu a aquivalenten ElementeX/R Quotientenmenge von X nach R als Menge aller Aquivalenz-

klassen auf X #= ! bezuglich der Aquivalenzrelation R

v $ w Vektorprodukt von v, w ' IR3

V /W Quotientenraum von V ' VRK nach W ) V

v + W Aquivalenzklasse Kv im Quotientenraum V /W% : V ! V /W kanonischer Epimorphismus mit %(a) = a + W

codimV W Kodimension von W in V als Dimension von V /WZZn Menge aller Restklassen modulo n

(BF1) – (BF2) Axiome einer Bilinearforms(v, w) (symmetrische) Bilinearform oder (Hermite’sche) Sesquilinear-

form auf V ' VRK bzw. V ' VRC

IK simultane Schreibweise fur IR oder C

,v, w- Skalarprodukt von v und w aus V ' VRIK

ΦB(s) darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform bzw.Hermite’schen Form s auf endlich–dimensionalem V ' VRIK

bezuglich einer Basis Bqs(v) der symmetrischen Bilinearform bzw. Hermite’schen Form s auf

V ' VRIK zugeordnete quadratische Form.v. Norm eines Vektors v aus V ' VRIK

(N1) – (N3) Axiome einer Norm

SYMBOLVERZEICHNIS 541

d(x, y) Abstand zweier Vektoren x und y aus V ' VRIK

(M1) – (M3) Axiome einer MetrikPU Orthogonalprojektion von V ' VRIK auf U ) V

V1/+ V2 orthogonaler Summenraum zweier Untervektorraume V1 und V2

M% orthogonales Komplement einer Teilmenge M in V ' VRIK

F ! zu F ' HomIK(V,W ) adjungierte Abbildung von W nach V'F komplexe Fortsetzung von F ' EndIR(V ) auf V $ V ' VRC

O(n) Menge aller orthogonalen (n$ n)-Matrizen uber IR

U(n) Menge aller unitaren (n$ n)-Matrizen uber C

SO(n) Menge aller eigentlich orthogonalen (n$ n)-MatrizenIndexA Tragheits–Index einer symmetrischen oder Hermite’schen Ma-

trix A

SignA Signatur einer symmetrischen oder Hermite’schen Matrix A

A................................................... = (M,V, !) affiner Raum uber dem Korper K mit Punktraum M #= ! ,

Differenzraum V ' VRK und Pfeiloperation ! : M$M ! V

(A1) – (A2) Axiome eines affinen Raumes&!PQ Differenzvektor der affinen Punkte P und Q aus M

dimK A................................................... Dimension des affinen Raumes A.............................................

...... uber K(i#I

Li Verbindungsraum einer Familie (Li)i#I von affinen Unterrau-men Li ) M

L1 0 L2 Verbindungsraum zweier affiner Unterraume L1 und L2 von M

. Parallelitat(P0, P1, P2, . . . , Pn) Koordinatensystem eines n-dimensionalen affinen Raumes A.............................................

......

mit affiner Basis (Pi)0&i&n und Koordinatenursprung P0

* = TV(P0, P1, P ) Teilverhaltnis der drei kollinearen affinen Punkte P0, P1, P

d(P,Q) Abstand zwischen zwei Punkten P und Q eines euklidisch–af-finen oder unitar–affinen Raumes uber IK

"(g, g$) Schnittwinkel zweier Geraden g und g$ im euklidisch–affinenRaum

Ff : V ! W zur affinen Abbildung f : M ! N gehorige K–lineare Abbil-dung bezuglich A.............................................

...... = (M,V, !) und IB = (N, W, +!) uber K

Aff(M) Gruppe aller Affinitaten auf M

T(M) Gruppe aller Translationen auf M

Ahn(M) Gruppe aller Ahnlichkeiten auf M

Kon(M) Gruppe aller Kongruenzen auf M

pt · x = Min! ,A · x + b 1 0 , x 1 0

Grundtyp einer linearen Optimierungsaufgabe mit Restriktio-nen und Vorzeichenbedingungen

H",# abgeschlossener Halbraum H ) IRn , bestimmt durch Linear-form " ' (IRn)! und Skalar , ' IR

542 SYMBOLVERZEICHNIS

kon(M) konvexe Hulle als Menge aller endlichen Konvexkombinationenin M ) IRn

K$(x) kompakte Kugel um x ' IRn mit Radius $ > 0 (bezuglich dereuklidischen Norm)

[P ,Q ] ) K Verbindungsstrecke zweier Punkte P und Q aus einer konvexenMenge K ) IRn

IP (V ) projektiver Raum zu V ' VRK

dimK IP (V ) projektive Dimension von IP (V )IPn(K) kanonischer n-dimensionaler projektiver Raum uber K(i#I

Zi Verbindungsraum einer Familie (Zi)i#I von projektiven Unter-raumen Zi ) IP (V )

Z1 0 Z2 0 . . . 0 Zn Verbindungsraum endlich vieler projektiver Unterraume Zi

von IP (V )(P0, P1, P2, . . . , Pn+1) Koordinatensystem eines n-dimensionalen projektiven Rau-

mes IP (V ) mit projektiver Basis (P0, P1, P2, . . . , Pn+1) sowieGrundpunkten (Pi)0&i&n und Einheitspunkt Pn+1

f = IP (F ) Projektivitat f : IP (V ) ! IP (W ) zum Vektorraum–Isomor-phismus F : V ! W mit f(IP (<v>)) = IP (<F (v)>)

DV(P0, P1, P2, P ) Doppelverhaltnis der vier kollinearen projektiven Punk-te P0, P1, P2, P

U 2 G U ist eine Untergruppe der Gruppe G

E meist die nur aus dem neutralen Element e bestehende GruppeA(2,2) Klein’sche VierergruppeAutG Automorphismengruppe einer Gruppe G

Z(G) Zentrum einer Gruppe G

ordG Ordnung einer Gruppe G als Anzahl der Elemente von G

ord a Ordnung eines Gruppenelementes a ' G

<M> die vom Erzeugendensystem M ) G erzeugte Untergruppevon G

IE2 reelle euklidische EbeneDn Diedergruppe der Ordnung 2n

a U Linksnebenklasse einer Untergruppe U von G fur a ' G

[G : U ] = indG U Index der Untergruppe U in G als Anzahl aller Linksnebenklas-sen von U

ggT(m, n) großter gemeinsamer Teiler der naturlichen Zahlen m und n

" : IN ! IN Euler’sche Funktion mit "(n) = |12m2n | ggT(m, n) = 1|ZZ !n prime Restklassengruppe modulo n

x 3 y (mod n) die ganzen Zahlen x und y haben bei Division durch n ' IN!

den gleichen RestU a Rechtsnebenklasse einer Untergruppe U von G fur a ' G

U # G die Untergruppe U ist ein Normalteiler von G

SYMBOLVERZEICHNIS 543

G/U Faktorgruppe von G nach U als Menge aller Nebenklassenvon U # G

U V Komplexprodukt der Gruppen U und V als Menge aller Pro-dukte von u ' U mit v ' V

n)i=1

Gi direktes Produkt der Gruppen G1, G2, . . . , Gn

(O1) – (O2) Axiome einer Gruppenoperation auf einer Menge[x] Bahn von x ' X als Aquivalenzklasse bezuglich einer Opera-

tion einer Gruppe G auf einer Menge X #= !Gx Stabilitatsuntergruppe von x ' X in G

FixG(X) Menge aller Fixpunkte unter einer Gruppenoperation von Gauf X

N(X) Normalisator der Teilmenge X #= ! einer Gruppe G

A(n) Anzahl aller nicht–isomorpher abelscher Gruppen der Ord-nung n

' = (i1, i2, . . . , ir) r-Zykel ' ' Sn mit r 2 n

B["] Wirkungsbereich einer Permutation " ' Sn

[g, h] Kommutator zweier Elemente g und h einer Gruppe G

K(G) Kommutatorgruppe einer Gruppe G

Kn(G) n-malige Anwendung der Kommutatorgruppe auf G

INn Menge der ersten n positiven naturlichen Zahlenzx(S) Zeilensumme von S ) X $ Y

sy(S) Spaltensumme von S ) X $ Y

d |n d ist ein Teiler von n

x1x2 · · ·xn Wort x der Lange n in einem Alphabet Y mit Buchstaben xi'Y

(n)m fallende Fakultat von n mit m Faktorenµ : IN! ! &1, 0, 1 zahlentheoretische Mobius–FunktionB t-Design B mit den Parametern (v, k, rt)S(n, k) Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge X in genau

k Teile*n

n1, n2, . . . , nk

+

Multinomialkoeffizient fur n1 + n2 + . . . + nk = n

(m1, m2, . . . ,mk) Partition von m ' IN! mit m1 1 m2 1 . . . 1 mk 1 1pk(m) Anzahl der Partitionen von m in genau k Teilep(m) Anzahl aller Partitionen von m

EndG Endomorphismenring einer Gruppe G

R! Einheitengruppe des Ringes R mit EinscharR Charakteristik eines Integritatsringes R

n.a n-fache Addition von a ' R im Integritatsring R

a Ideal a ) R eines Ringes R

544 SYMBOLVERZEICHNIS

(I1) – (I2) Axiome eines IdealsR/a Restklassenring von R modulo a

(A) von A ) R erzeugtes Ideal im Ring R

IH Schiefkorper der QuaternionenZZ [I, J ] Ring der ganzen QuaternionenP (K) Primkorper des Korpers K als kleinster aller Unterkorper

von K

a " b a ' R ist kein Teiler von b ' R im Integritatsring R

ggT(a1, a2, . . . , an) großter gemeinsamer Teiler von a1, a2, . . . , an ' R im Integri-tatsring R

grad: R \ 0! IN Grad–Funktion im euklidischen Integritatsring R

ZZ [i] Ring der ganzen Gauß’schen ZahlenR[[X]] Ring der formalen Potenzreihen uber R

f ='%

k=0fk Xk formale Potenzreihe f ' R[[X]] mit Koeffizienten fk ' R

1 Einsabbildung, Einspolynom etc.a[[X]] Menge der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in a als

Ideal von R[[X]]R[X] Polynomring uber R in der Unbestimmten X

f =m%

k=0fk Xk Polynom f uber R in der Unbestimmten X mit Koeffizien-

ten fk ' R

Φx : R[X] ! S Einsetz–Homomorphismus auf Polynomring R[X] mit x ' S

R[x] Bild Im Φx als Ring–Adjunktion der Elemente x zu R

grad f Grad des Polynoms f ' R[X] \ 0HK(f) Hochstkoeffizient von f ' R[X]R(X) Korper der rationalen Funktionen uber R in der Unbestimm-

ten X,f(x) Polynomabbildung von f ' R[X] an der Stelle x ' S fur S 4 R

Π(R) Ring aller Polynomabbildungen auf R

F Vektorraum aller komplexen Folgen f = (uk)k(0

∆ : F ! F C–lineare Differenzabbildung mit ∆f(k) = uk+1 & uk

∆f = A · f System von linearen DifferenzengleichungenI(f) Inhalt eines Polynoms f ' R[X] \ 0 als ggT seiner Koeffi-

zienten in R \ 0(E1) – (E2) Kriterium von Eisensteinf $ = Df algebraische Differentiation D auf R[X] als Ableitung des Po-

lynoms f ' R[X]R[X1, X2, . . . ,Xn] Polynomring uber R in n Veranderlichen X1, X2, . . . ,Xn

%%i(0

f%1%2···%n

n)i=1

Xi%i Polynom uber R in n Unbestimmten X1, X2, . . . ,Xn mit Koef-

fizienten f%1%2···%n ' R

SYMBOLVERZEICHNIS 545

grad f Grad des Polynoms f ' R[X1, X2, . . . ,Xn] \ 0Πn(R) Ring der Polynomabbildungen auf R in n Veranderlichen

s(n)% elementarsymmetrisches Polynom in den n Unbestimm-

ten X1, X2, . . . ,Xn fur 0 2 - 2 n

$ Menge von Quadraten eines endlichen KorpersL+

K Erweiterungskorper L von K als K–Vektorraum L+ = (L,+)L : K Korpererweiterung L uber K

L : Z : K Korpererweiterung L : K mit Zwischenkorper Z

[L : K] Korpergrad der Erweiterung L : K als Dimension von L+K

aK Minimalpolynom aus K[X] zu algebraischem a ' L \ 0K(M) Adjunktion der Menge M ) L zum Unterkorper K ) L

K(a1, a2, . . . , an) Adjunktion von a1, a2, . . . , an ) L an K

Kp Bild des Frobenius–Homomorphismus " : K ! K , "(k) = kp

auf einem Korper K der Charakteristik p > 0GF(q) Galois–Feld mit q = pm ElementenG(L,K) Galois–Gruppe von L : K

G(M) Menge aller aus 0, 1 ) M ) IE2 mit Zirkel und Lineal kon-struierbaren Geraden und Kreise

M (n) Menge aller aus M ) IE2 in genau n Schritten mit Zirkel undLineal konstruierbaren Punkte

Ω(M) Menge aller aus M in endlich vielen Schritten mit Zirkel undLineal konstruierbaren Punkte von IE2 *= C

Φ(L : K) Menge aller Zwischenkorper Z einer Galois–Erweiterung L : K

U Menge aller Untergruppen U der Galois–Gruppe G(L,K)(M,2) teilweise geordnete Menge M #= ! mit Ordnungsrelation 2a 5 b Supremum zweier Elemente a und b eines Verbandesa 6 b Infimum zweier Elemente a und b eines VerbandesEn(K) Zerfallungskorper von (Xn & 1) ' K[X]En(Q) n-ter Kreisteilungskorper fur K = Q

.(n)% n-te Einheitswurzel als Nullstelle von Xn & 1 uber Q

mit 1 2 - 2 n

Fq Alphabet aus q paarweise verschiedenen Symbolend(x, y) Hamming–Abstand zweier Worter x und y der Lange n im Al-

phabet Fq als Anzahl unterschiedlicher Buchstabend(C) Minimalabstand eines Codes C ) Fq

n

(n, M, d) Parameter eines q-naren Codes C der Lange n mit genauM = |C| Codewortern und Minimalabstand d = d(C)

Aq(n, d) maximale Anzahl von Codewortern eines q-naren Codes derLange n mit Minimalabstand d

x + y komponentenweise Addition zweier Worter x, y ' Fqn

546 SYMBOLVERZEICHNIS

x 7 y komponentenweise Multiplikation zweier Worter x, y ' Fqn

w(x) Gewicht eines Wortes x ' Fqn als Anzahl seiner von Null ver-

schiedenen KomponentenB(u, r) Kugel um das Wort u ' Fq

n mit Radius r ' 0, 1, 2, . . . , nV (n, q) Vektorraum Fq

n = GF(q)n uber GF(q) mit einer Primzahlpo-tenz q

[n, k, d] Parameter eines linearen (n, M, d)-Codes C mit Dimen-sion dimGF(q) C = k

[ Ek | A ] Standardform der erzeugenden (k$ n)-Matrix G eines[n, k, d]-Codes C uber GF(q)

e = y & x Fehlervektor eines Codewortes x ' C bei empfangener Nach-richt y ' V (n, q)

[n, k] Parameter eines linearen [n, k, d]-Codes mit beliebigem d

C% zum [n, k]-Code C dualer [n, n&k]-Code[ B | En"k ] Standardform der ((n&k)$n)-Paritatsprufungsmatrix H eines

[n, k]-Codes C uber GF(q)S(y) Syndrom des Nachrichtenvektors y ' V (n, q)G = (V,E) endlicher Graph G mit Eckenmenge V und Kantenmenge E

P2(V ) Menge aller moglichen Kanten (a zwei Ecken) eines Graphen G

Kn vollstandiger Graph mit |V | = n und E = P2(V )deg(v, G) Eckengrad der Ecke v eines Graphen G

K3,3 GEW–Graph(T1) – (T5) Eigenschaften eines Baum–Graphenc : V ! IN Ecken–Farbung eines Graphen G

/(G) chromatische Zahl eines Graphen G als kleinstmogliche Farben-anzahl fur eine Ecken–Farbung

G! zu einem ebenen zusammenhangenden Graphen G dualerGraph

MQn Menge aller magischen Quadrate aus Mat(n, n; IR)S(n) Menge aller symmetrischen Matrizen aus Mat(n, n; IR)C(I) euklidischer bzw. unitarer Vektorraum aller auf dem kompakten

Intervall I ) IR stetigen, IK-wertigen FunktionenRA(x) Rayleigh–Quotient von A ' Mat(n, n; C) mit x ' Cn \ 00(A) numerischer Wertebereich von A ' Mat(n, n; C) als Menge

aller Rayleigh–Quotienten von A

ext(K) Menge der Extremalpunkte einer konvexen Menge ! #=K ) IRn

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Index

Abbildung, 3adjungierte, 141affine, 176bijektive, 3duale, 84identische, 6injektive, 3kanonische, 111, 113, 239Komposition zweier, 6lineare, 67

Additivitat, 67Homogenitat, 67

surjektive, 3transponierte, 84Umkehrabbildung, 6Urbild unter einer, 72

Abel, 3abhangig

affin, 173linear, 13

Abstandsfunktion, siehe MetrikAdjunktion, 370affin abhangig, siehe abhangigaffin unabhangig, siehe unabhangigaffine Gruppe, siehe Gruppeaffiner Raum, 169

Differenzraum eines, 169Dimension eines, 171komplexer, 175

unitar–affiner, 175Abstand zweier Punkte im, 175

Koordinatensystem eines, 173Punkte eines, 169

affin abhangige, 173affin unabhangige, 173Differenzvektor zweier, 169kollineare, 175

Teilverhaltnis dreier, 175Mittelpunkt zweier, 175

reeller, 175euklidisch–affiner, 175

Abstand zweier Punkte im, 175Affinitat, 178Ahnlichkeit, 180

Ahnlichkeitsfaktor einer, 180Winkeltreue einer, 181

Ahnlichkeitsgeometrie, 180Algebra, 28allgemeine lineare Gruppe, siehe GruppeAlphabet, 275, 406alternierende Gruppe, siehe GruppeAquivalenzklasse, 110

Reprasentant einer, 111Aquivalenzrelation, 109

Reflexivitat, 109Symmetrie, 109Transitivitat, 109

Assoziativgesetz, 3Asymptotenkegel, siehe QuadrikAufspann, 12Austauschlemma, 14Automorphismengruppe, 229Automorphismus

affiner, 178einer Gruppe, 229

innerer, 229eines Korpers, 300eines Ringes, 293im Vektorraum, 69

Bahn, 249Lange einer, 249

Ball, siehe KugelBasis, 14

affine, 173duale, 82kanonische, 14Lange der, 14

unendliche, 14

549

550 INDEX

Orientierung zweier reellerentgegengesetzte, 109gleiche, 109

orthonormale, 136projektive, 216

kanonische, 216Basis–Erganzungssatz, 17

allgemeiner, 16Basiswechsel, 79, 80Baum, 422, 423Bezout, 307

Satz von, 307Bidualraum, 83Bild, 72, 228, 293Bilinearform, 130

symmetrische, 130darstellende Matrix einer, 131indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133zugeordnete quadratische Form, siehe

quadratische FormBinomialsatz fur negative Exponenten, 325Blockplan, siehe DesignBolyai, 9Bunjakowski, 134

Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-jakowski, 134

Cauchy, 134Satz von, 253Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-

jakowski, 134Cayley, 107

Satz von Cayley–Hamilton, 107Charakteristik

eines Integritatsringes, 294eines Korpers, 86, 294

charakteristischer Quotient, 207charakteristisches Polynom

einer quadratischen Matrix, 89eines Vektorraum–Endomorphismus, 89

Chinesischer Restsatz, 247chromatische Zahl, siehe GraphCode, 406

binarer, 406Codewort eines, 406

Fehler im, 407, 413

dualer, 413fehlererkennender, 407fehlerkorrigierender, 407Lange eines, 406linearer, 411

aquivalente, 412erzeugende Matrix eines, 412

in Standardform, 412Paritatsprufungsmatrix eines, 413

in Standardform, 414Standard–Array eines, 415

Minimalabstand eines, 407perfekter, 411q-narer, 406

Parameter eines, 408, 411, 413Codierung, 406

Codierer, 413Codierungsfunktion, 413Codierungstheorie, 406

Hauptproblem der, 408Cramer, 65

Cramer’sche Regel, 65

Dantzig, 203Decodierung, 407, 415

Prinzip des nachsten Nachbarn, 407, 416Syndrom–Decodierung, 416

Delisches Problem, 393Desargues, 222

Satz von, 222Design, 281

Block eines, 281t-Design, 282Parameter eines, 281

Determinante, 51Alterniertheit, 51Eigenschaften einer, 52Entwicklung

nach der i-ten Zeile, 64nach der j-ten Spalte, 64

Linearitat in den Zeilen, 51Multiplikationssatz fur, 52Normiertheit, 51

Diagonalmatrix, 27Kastchen–Diagonalmatrix, 105positiv definite, 134

Diagrammkommutatives, 75, 76

INDEX 551

Diedergruppe, 233Differentiation, 349

algebraische, 349Differenzengleichung, 334

System von linearen, 335Differenzmenge, 360Differenzraum, siehe affiner RaumDifferenzvektor, siehe affiner RaumDilatation, 178

entartete, 178Fixpunkt einer, 474

Dimension einesaffinen Raumes, 171affinen Unterraumes, 23projektiven Raumes, 212Vektorraumes, 16

Dimensionsformel furaffine Unterraume, 172Bild und Kern eines Vektorraum–Homo-

morphismus, 73Losungsraum, siehe lineares Gleichungs-

systemprojektive Unterraume, 213Untervektorraume, 19

direkte Summe, siehe Summe von Untervek-torraumen

direktes Produkt, siehe GruppeDirichlet, 273

Dirichlet’sches Schubfachprinzip, 273Distributivgesetze, 6

allgemeine, 292Doppelverhaltnis, siehe projektiver RaumDrehung, 99, 156, 157

Drehachse, 157Drehebene, 157Drehwinkel, 157

Dreieck im IRn, 462Flacheninhalt eines, 462

Dreiecksmatrixobere, 52

echte, 104, 442untere, 52

Dreiecksungleichung, 134–136Dualraum, 82

algebraischer, 82dyadisches Produkt, 26

Ebene

euklidische, 232im affinen Raum, 173im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23

n-Eckregelmaßiges, 398

konstruierbar mit Zirkel und Lineal,400, 401

Eckebenachbarte, 202, 420eines Graphen, 420

gerade, 421Grad einer, 421ungerade, 421

eines konvexen Polyeders, 197eines k-Simplex, 195einfache, 205entartete, 205mehrfache, 205nicht–entartete, 205optimale, 202

Eckengrad, siehe GraphEckenmenge, siehe GraphEcken–Tableau, 205Eigenraum

einer quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 87

eigentlich orthogonale Gruppe, siehe GruppeEigenvektor

einer quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 87

Eigenwerteiner quadratischen Matrix, 90eines Vektorraum–Endomorphismus, 86

Einheit, 294Einheitengruppe, siehe RingEinheitsmatrix, 27Einheitspunkt, 216Einheitsvektor, 134

kanonischer, 14n-te Einheitswurzel, 398

primitive, 398Einselement, 5Einsetz–Homomorphismus, 316, 355Eisenstein, 348

Kriterium von, 348Element

552 INDEX

algebraisches, 368zugehoriges Minimalpolynom, 370

aquivalente, 109assoziierte, 304Einselement, 5inseparables, 374inverses, 3invertierbares, 294irreduzibles, 304konjugierte, 229, 372Linksinverses eines, 294neutrales, 3Nullelement, 5Rechtsinverses eines, 294reduzibles, 304relativ prime, 306separables, 374Teiler, 304

großter gemeinsamer, 235, 306teilerfremde, 306transzendentes, 368unzerlegbares, 304Vielfaches, 304zerlegbares, 304

elementare Spaltenumformungen, 38elementare Zeilenumformungen, 35, 37Elementarmatrix, 36Ellipse, 129, 161, 168, 185Ellipsoid, 185, 186Endomorphismus

einer Gruppe, 227eines Korpers, 300eines Ringes, 293im Vektorraum, 69

charakteristisches Polynom eines, 89diagonalisierbarer, 89Eigenraum eines, 87Eigenvektor eines, 87Eigenwert eines, 86nilpotenter, 117normaler, 143orthogonaler, 150selbstadjungierter, 149Spektralwert eines, 88Spektrum eines, 88trigonalisierbarer, 100unitarer, 150

Epimorphismuskanonischer, 111, 113, 239, 297von Gruppen, 229von Korpern, 300von Ringen, 293von Vektorraumen, 69

Erweiterungskorper, 300algebraischer, 368galois’scher, 379inseparabler, 374normaler, 378separabler, 374transzendenter, 368

erzeugende Funktion, 325Erzeugendensystem, 12, 231

endliches, 12, 231Euklid, 130

euklidischer Algorithmus, 311Hohensatz von, 390

Euler, 159Euler’sche Funktion, 235Euler’sche Linie, siehe GraphEuler’sche Vermutung, 359

Offiziersproblem, 359Euler’sche Winkel, 159, 160

Drehungswinkel, 160Nutationswinkel, 160Prazessionswinkel, 160

Euler’scher Polyedersatz, 426Extremalpunkt, 197

Faktorgruppe, 239fallende Fakultat, 276, 285Familie, 12Fehlstand, siehe PermutationFermat, 235

Fermat’sche Primzahl, 400, 401kleiner Fermat’scher Satz, 235

Fibonacci, 326Fibonacci–Zahlen, 321, 326, 328

Fixbereich, 382Flachen zweiter Ordnung, 185Fourier, 240Frobenius, 374

Frobenius–Homomorphismus, 374Fundamentalsatz der Algebra, 94Funktional, siehe Linearform

INDEX 553

Galois, 378Galois–Feld, 378Galois–Erweiterung, 379Galois–Gruppe

einer Korpererweiterung, 379eines Polynoms, 380

Gauß, 9Gauß–Algorithmus, 43

erste Stufe des, 39Geometrie, 180

affine, 180Hauptsatz der, 181

algebraische, 355euklidische, 180projektive, 212

Geradeim affinen Raum, 173, 362

Tangente an eine Quadrik, 476im euklidisch–affinen Raum

Winkel zwischen zwei, 176im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385

Menge aller, 385Parallele, 386, 387Senkrechte, 386, 387

Gewichtsfunktion, 411Gleichungssystem, siehe lineares Glei-

chungssystemGrad–Funktion, 310, 316, 354Gram, 138

Orthonormalisierungsverfahren vonSchmidt–Gram, 138, 139

Graph, 420auf einem topologischen Raum, 425Baum, 422, 423chromatische Zahl eines, 428Darstellung eines, 426dualer, 428ebener, 426

Streckengraph, 426Dreiecksgraph, 426

Ecke eines, 420benachbarte, 420gerade, 421Grad einer, 421ungerade, 421

Ecken–Farbung eines, 428Eckenmenge eines, 420endlicher, 420Gebiet eines, 426GEW–Graph, 422

K3,3–Graph, 422isomorphe, 421Kante eines, 420Kanten–Farbung, 428Kantenmenge eines, 420Kantenweg in einem, 422

Euler’sche Linie, 422geschlossener, 422

Knoten eines, 420Land eines, 426plattbarer, 426r-regularer, 422schlichter, 420Seite eines, 420Seiten–Farbung eines, 428topologischer, 425ungerichteter, 420vollstandiger, 420Weg in einem, 422

geschlossener, 422zusammenhangender, 422

Landkarten–Farbung eines, 428großter gemeinsamer Teiler, 235, 306Grundpunkte, 216Gruppe, 3

abelsche, 3Typ einer, 260

affine, 179Invarianz bezuglich einer Untergruppe

von, 180allgemeine lineare, 28alternierende, 51auflosbare, 270Automorphismengruppe einer, 229direktes Produkt mehrerer, 243

inneres, 244einfache, 239endlich erzeugte, 231Endomorphismenring einer, 291Kette von, 404kommutative, 3Kommutator zweier Elemente einer, 268

554 INDEX

Kommutatorgruppe einer, 268Normalteiler einer, 237

Durchschnitt beliebig vieler, 238trivialer, 238

Operation auf Menge, 247Fixpunkt unter einer, 250kanonische Aquivalenzrelation, 248

Aquivalenzklassen der, siehe BahnStabilisator, 249

Ordnung einer, 231orthogonale, 155

eigentlich, 155symmetrische, 6, 47, 261unitare, 155Zentrum einer, 230zyklische, 231

Hadamard, 365Hadamard–2-Design, 365Hadamard–3-Design, 366

Halbgruppe, 3Halbraum, 193

abgeschlossener, 193Hamilton, 9

Satz von Cayley–Hamilton, 107Hamming, 407

Hamming–Metrik, 407Hauptachsentransformation, 168

affine, 188metrische, 183

Hauptdiagonale, siehe MatrixHauptideal, 298Hauptidealring, 299Hauptsatz

der affinen Geometrie, 181der Galois–Theorie, 394, 396fur symmetrische Polynome, 356

Hermite, 130Hermite’sche Form, 130

darstellende Matrix einer, 131indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133zugeordnete quadratische Form, siehe

quadratische FormHomomorphiesatz

fur Gruppen, 239fur Ringe, 297

fur Vektorraume, 116Homomorphismus

von Gruppen, 227von Korpern, 300von Ringen, 125, 293von Vektorraumen, 69

Bild eines, 72Kern eines, 72Rang eines, 74zugeordnete Matrix eines, 77

Hurwitz, 164Kriterium von, 164

Hyperbel, 185Hyperboloid

einschaliges, 185, 186zweischaliges, 185, 186

Hyperebeneim affinen Raum, 173im projektiven Raum, 213im Vektorraum, 23, 114uneigentliche, 214

Hyperflache zweiter Ordnung, 160

Ideal, siehe RingIdentitat, siehe AbbildungIndex, siehe Untergruppeinneres direktes Produkt, siehe GruppeIntegritatsring, 124

Charakteristik eines, 294euklidischer, 310faktorieller, 306Gauß’scher, 306Teilbarkeit im, 304, 306

Isomorphie, 74Isomorphiesatz

fur Gruppenerster, 240zweiter, 242

fur Ringeerster, 297zweiter, 297

Isomorphismusvon Gruppen, 229von Korpern, 300

K–Isomorphismus, 372von Ringen, 293von Vektorraumen, 69

INDEX 555

Jordan, C., 104Jordan–Matrix, 104, 106Jordan’sche Normalform, 107, 124Jordan’scher Kurvensatz, 426

Jordan, P., 136

Kanteim Graphen, 420im konvexen Polyeder, 202

Kantenmenge, siehe GraphKantenweg, siehe GraphKegel, 185, 187Kegelschnitte, 184, 185Kern, 72, 227, 228, 293Klassengleichung, 251Klein, 180

Erlanger Programm von, 180Klein’sche Vierergruppe, 229

Kodimension, 114Koeffizientenmatrix, 29Kollineation, 181Kommutator, siehe GruppeKommutatorgruppe, 268komplexe Erweiterung, siehe VektorraumKomplexprodukt, siehe UntergruppeKomposition, siehe AbbildungKongruenz, 179

Langentreue einer, 179Winkeltreue einer, 181

Kongruenzgeometrie, 180Konigsberger Bruckenproblem, 424, 425Konjugierte, siehe Untergruppekonvexe Hulle, 194konvexe Menge, 193

Durchschnitt beliebig vieler, 193Punkt einer, 193

extremaler, 197optimaler, 198Verbindungsstrecke zweier, 193, 202

Konvexkombination, 194Koordinaten

baryzentrische, 195eines affinen Punktes, 174eines Vektors, 80homogene, 216

Koordinatenanfang, 173Koordinatensystem, 168, 388

affines, 173

projektives, 218Korper, 7, 299

algebraisch abgeschlossener, 94Charakteristik eines, 86, 294der Bruche, 126der komplexen Zahlen, 8der rationalen Funktionen, 317Erweiterung eines, siehe Korpererweite-

rungKette von, 392kommutativer, 7, 299Primkorper eines, 301vollkommener, 375

Korpererweiterung, 367Adjunktion einer Menge, 370algebraische, 368endliche, 368galois’sche, 379Galois–Gruppe einer, 379Grad einer, 367inseparable, 374Korpergrad einer, 367normale, 378Rang einer, 367separable, 374transzendente, 368unendliche, 368Zwischenkorper einer, 367

Korperturm, 393Kreis, 185

konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385Menge aller, 385

Quadratur des, 394n-ter Kreisteilungskorper, 398Kronecker, 57

Kronecker–Symbol, 57Kugel, 196, 410

”Kugelpackungsschranke“, 410Kurven zweiter Ordnung, 184Kurzungsregel, 124

Lagrange, 234Satz von, 234

Langentreue, siehe KongruenzLaplace, 64

Entwicklungssatz von, 64lateinisches Quadrat, 358

orthogonale, 359

556 INDEX

Leibniz, 9Leibniz’sche Formel, 55

linear abhangig, siehe abhangiglinear unabhangig, siehe unabhangiglineare Optimierung, 190

Grundtyp der, 192Hauptproblem der, 190Nebenbedingungen, 192Restriktionen, 190, 192Schlupfvariablen, 193Vorzeichenbedingungen, 192Zielfunktion, 190, 192

lineares Gleichungssystem, 29erweiterte Matrix eines, 31homogenes, 30

Losungsraum eines, 30Dimensionsformel fur, 32

triviale Losung eines, 30zugehoriges, 30

inhomogenes, 30Losungsraum eines, 30

Koeffizientenmatrix eines, 29quadratische, 33

Losbarkeit eines, 30, 31eindeutige, 30, 33universelle, 30, 33

Losung eines, 30, 43, 44rechte Seite eines, 29Systemmatrix eines, 31Unbestimmten eines, 29Variablen eines, 29

Linearfaktor, siehe PolynomLinearform, 82

orthogonal zu Vektor, 84Linearkombination, 12

triviale, 12Linksideal, siehe RingLinksinverses, siehe ElementLinksnebenklasse, siehe Untergruppe

magisches Quadrat, 440Matrix, 24

Addition von, 25aquivalente, 81darstellende, 77, 131

Transformationsformel fur, 80Eintrag einer, 24

erweiterte, siehe lineares Gleichungssy-stem

erzeugende, 412Standardform einer, 412

Gleichheit von, 24kanonische, 26Koeffizient einer, 24Multiplikation von, 26quadratische, 27

ahnliche, 81charakteristisches Polynom einer, 89Determinante einer, 51diagonalisierbare, 90Eigenraum einer, 90Eigenvektor einer, 90Eigenwert einer, 90erweiterte, 162Hauptdiagonale einer, 27Hermite’sche, 94, 131

Morse–Index einer, 166positiv definite, 134Signatur einer, 166Tragheits–Index einer, 166Typ einer, 166

invertierbare, 27komplementare, 63nicht–invertierbare, 27nilpotente, 104nilzyklische, 120normale, 145orthogonal–diagonalahnliche, 155orthogonale, 152Potenzen einer, 441Rayleigh–Quotient einer, 471

zugehoriger numerischer Wertebe-reich, 477

regulare, 27schiefsymmetrische, 27singulare, 27Spur einer, 27symmetrische, 27

Morse–Index einer, 166negativ definite, 165positiv definite, 134positiv semidefinite, 469Signatur einer, 166Tragheits–Index einer, 166

INDEX 557

Typ einer, 166Teilmatrix, 164trigonalisierbare, 100unitar–diagonalahnliche, 155unitare, 152

Rang einer, 31Skalarmultiplikation mit, 25

Assoziativgesetz, 27Spalten einer, 24Spaltenindex, 24transponierte, 25verallgemeinerte Inverse zu einer, 446Zeilen einer, 24Zeilenindex, 24Zeilenrang einer, 35

Matrixprodukt, 26Assoziativgesetz, 27Distributivgesetze, 26

Mengeabzahlbar–unendliche, 273n-elementige, 272endliche, 273geordnete, 395konvexe, siehe konvexe Mengeteilweise geordnete, 395

Infimum zweier Elemente in, 396Supremum zweier Elemente in, 396

uberabzahlbare, 273unendliche, 273

Metrik, 136Dreiecksungleichung, 136euklidische, 385Symmetrie, 136

Minimalabstand, siehe CodeMinimalpolynom, 370Minkowski, 135

Minkowski’sche Ungleichung, 135Mobius, 279

Mobius–Funktion, 279Mobius’sche Umkehrformel, 280

Monome, 59Monomorphismus

von Gruppen, 229von Korpern, 300von Ringen, 293von Vektorraumen, 69

Morse, 166

Morse–Index, siehe MatrixMultinomialkoeffizient, 287

Nebenklasse, siehe Untergruppev. Neumann, 136Newton, 356Noether, 306Norm, siehe VektorNormalisator, 257Normalisatorbedingung, 257Normalreihe, 255

abelsche, 403, 490Normalteiler, siehe GruppeNullabbildung, 10Nullelement, 5Nullmatrix, 25Nullstelle, siehe PolynomNullstellenmenge, 355Nullteiler, siehe RingNullvektor, 9

Oberkorper, 126, 300Operation, siehe GruppeOrbit, siehe BahnOrdnung

einer Gruppe, 231eines Gruppenelements, 231

orthogonale Gruppe, siehe Gruppeorthogonale Summe, siehe Summe von Un-

tervektorraumenorthogonales Komplement, 141Orthogonalprojektion, 137Orthogonalsystem, 136Orthonormalbasis, 136Orthonormalsystem, 136

Pappos, 223Satz von, 223

Parabel, 185Paraboloid

elliptisches, 185, 187hyperbolisches, 186, 187

Parallelogrammgleichung, 136Parallelotop

k-dimensionales, 465Inhalt eines, 465

Paritatsprufungsmatrix, siehe CodePartialbruchzerlegung, 323

558 INDEX

Partition, 110, 284einer positiven ganzen Zahl, 261, 288,

334konjugierte, 290selbst–konjugierte, 290zugeordnete Matrix, 289

Teil einer, 284Pascal, 285

Pascal’sches Dreieck, 285Permutation, 6, 47

Fehlstand einer, 49gerade, 49kanonische Faktorisierung einer, 264Signum einer, 49ungerade, 49Wirkungsbereich einer, 264

Pivot, 207Pivotspalte, 207Pivotzeile, 207

Plato, 427Platonische Korper, 427

Dodekaeder, 427Hexaeder, 427Ikosaeder, 427Oktaeder, 427Tetraeder, 427

Polyederkonvexes, 195

Ecke eines, 197benachbarte, 202optimale, 202

Kante eines, 202kongruentes regelmaßiges im IR3, sie-

he Platonische KorperPolynom, 11, 91, 92, 315

Ableitung eines, 349auflosbar durch Radikale, 401charakteristisches, 89–91Division mit Rest, 92, 93, 318elementarsymmetrisches, 356Galois–Gruppe eines, 380Grad eines, 91, 316, 354Hochstkoeffizient eines, 316, 456in einer Unbestimmten, 315in mehreren Unbestimmten, 353, 354

quadratisches, 160Inhalt eines, 346

Koeffizienten eines, 11, 315Leitkoeffizient eines, 316Linearfaktor eines, 94, 349

vollstandiger Zerfall in, 351, 375Linearfaktorzerlegung eines, 94, 351normiertes, 316, 456Nullstelle eines, 93, 319, 349

n-fache, 349Ordnung einer, 349Vielfachheit einer, 93

primitives, 346symmetrisches, 355

Hauptsatz fur, 356vom Grad 2 n , 11, 91Wurzel eines, 319Zerfallungskorper eines, 375

Polynomabbildung, 319, 355Polynomischer Lehrsatz, 288Polynomring, 315, 354

Grad–Funktion auf, 316, 354Potenzreihe

formale, 313, 314erzeugende Funktion, 325Inverse einer, 321, 322Koeffizienten einer, 315

Potenzreihenring, 313, 314Primelement, 304Primfaktorzerlegung, 346Primideal, 303Primkorper, 301Prinzip des nachsten Nachbarn, siehe Deco-

dierungProduktregel, 274projektiv unabhangig, siehe unabhangigprojektiver Raum, 212

Dimension eines, 212kanonischer n-dimensionaler, 212Punkte eines, 212

eigentliche, 214kollineare, 221

Doppelverhaltnis vierer, 221projektiv unabhangige, 216uneigentliche, 214

Projektivitat, 217Pseudo–Inverse, 446Punkt

extremaler, 197

INDEX 559

im affinen Raum, 169im projektiven Raum, 212im Vektorraum, 23konstruierbar mit Zirkel und Lineal, 385

Menge aller, 386optimaler, 191, 198

Pythagoras, 136Satz des, 136

quadratische Form, 133indefinite, 133positiv definite, 133positiv semidefinite, 133

Quadratur des Kreises, 394Quadrik, 160

Asymptotenkegel einer, 475erweiterte Matrix zu einer, 162Klassifikation von, 184–187Mittelpunkt einer, 475

Symmetrie bezuglich, 475Normalform einer, 168

affine, 189metrische, 184

Tangente an eine, 476Quaternionengruppe, 301, 487Quaternionen–Schiefkorper, 300Quotientenkorper, 126Quotientenmenge, 111Quotientenraum, 114

Radikalerweiterung, 402Rang

einer Korpererweiterung, 367einer Matrix, 31eines Vektorraum–Homomorphis-

mus, 74Rayleigh, 471

Rayleigh–Quotient, 471zugehoriger numerischer Wertebe-reich, 477

Rechtsideal, siehe RingRechtsinverses, siehe ElementRechtsnebenklasse, siehe UntergruppeRekursionsgleichung n-ter Ordnung

homogene lineare, 325zugehorige Hilfsgleichung, 326

inhomogene lineare, 329Reprasentant, siehe Aquivalenzklasse

Restklassengruppe, 124prime, 236

Restklassenring, 296, 297Restriktionen, siehe lineare OptimierungRing, 6

der formalen Potenzreihen, 313, 314der ganzen Gauß’schen Zahlen, 310, 494der ganzen Quaternionen, 301der Gruppen–Endomorphismen, 291der Polynomabbildungen, 319, 355der Polynome

in einer Unbestimmten, 315in mehreren Unbestimmten, 354

der quadratischen Matrizen, 28der skalaren Abbildungen, 291einfacher, 302euklidischer, 310faktorieller, 306Gauß’scher, 306Ideal eines, 295

Durchschnitt beliebig vieler, 297erzeugtes, 297maximales, 302stationare Folge von, 306

Integritatsbereich, siehe Integritatsringkommutativer, 7Linksideal eines, 295Linksnullteiler eines, 494mit Eins, 7

Einheitengruppe eines, 294noetherscher, 306Nullteiler eines, 124

eigentlicher, 124nullteilerfreier, 124

Kurzungsregel im, 124Rechtsideal eines, 295

Ring–Adjunktion, 316Rolle, 405

Satz von, 405Rucksubstitution, 39

Sarrus, 58Regel von, 58

Schiefkorper, 7, 299der Quaternionen, 300

Schlupfvariablen, siehe lineare OptimierungSchmidt, 138

Orthonormalisierungsverfahren von

560 INDEX

Schmidt–Gram, 138, 139Schwarz, 134

Ungleichung von Cauchy–Schwarz–Bun-jakowski, 134

Selektiongeordnete

mit Wiederholung, 276Anzahl aller, 276, 277

ohne Wiederholung, 276Anzahl aller, 276, 277

ungeordnetemit Wiederholung, 277

Anzahl aller, 277ohne Wiederholung, 277

Anzahl aller, 277Sequenz, 242

exakte, 242Sesquilinearform, 130

Hermite’sche, 130Sieb–Prinzip, 278Signatur, siehe MatrixSignum, siehe Permutationk-Simplex, 195

Ecke eines, 195Standard–k-Simplex, 195

Simplex–Verfahren, 203–208Skalar, 9Skalarmultiplikation, 9Skalarprodukt, 26, 130, 131, 413

kanonisches im IKn, 131Spaltenindex, siehe MatrixSpaltensumme, 274Spaltenvektor, 24

erweiterter, 162Spektralradius, 108Spektralsatz

fur komplexe normale Endomorphis-men, 144

fur reelle normale Endomorphismen, 147Spektralwert, 88Spektralzerlegung

fur normale Matrizen, 153fur symmetrische Matrizen, 154

Spektrum, 88Spiegelung, 77, 86, 156Spur, siehe MatrixStabilisator, 249

Stabilitatsuntergruppe, 249Standard–Array, siehe CodeSteiner, 366

Steiner–Tripelsystem, 366Steinitz, 15

Austauschsatz von, 15Stirling, 81

Stirling’sche Zahlenerster Art, 81zweiter Art, 81, 285

Streichungsmatrix, 62, 63Suchstrahl, 205Summe von Untervektorraumen, 19, 21

direkte, 20, 21orthogonale, 138

Summenregel, 274Sylow, 252

1. Sylow’scher Satz, 2522. Sylow’scher Satz, 2533. Sylow’scher Satz, 254p-Sylow–Gruppe, 253

Sylvester, 163Tragheitssatz von, 163

symmetrische Gruppe, siehe GruppeSyndrom, 415

Syndrom–Decodierung, 416Systemmatrix, 31

Tableau, siehe Ecken–TableauTangente, siehe GeradeTaubenschlag–Prinzip, 273

verallgemeinertes, 273Teiler, siehe ElementTeilkorper, 300Teilverhaltnis, siehe affiner RaumThales, 390

Thales–Kreis, 390Transformationsformel fur darstellende Ma-

trizen, 80Translation, 178Transposition, 25, 48Trichotomiegesetz, 395

Umkehrabbildung, 6unabhangig

affin, 173linear, 13projektiv, 216

INDEX 561

unitare Gruppe, siehe GruppeUntergruppe, 180, 228

direktes Produkt mehrerer, siehe Grup-pe

Durchschnitt beliebig vieler, 231erzeugte, 231Index einer, 234Komplexprodukt zweier, 240konjugierte, 253, 257Linksnebenklasse einer, 234normale, 237

Nebenklasse einer, 239Rechtsnebenklasse einer, 237triviale, 228

Untergruppen–Verband, 396Unterkorper, 300Unterraum, 10

affiner, 22, 171Durchschnitt beliebig vieler, 171kleinster, 171Parallelitat zweier, 23, 173

aufgespannter, 12komplementarer, 21projektiver, 212Spiegelung am (n&1)-dimensio-

nalen, 156F -zyklischer, 117

Unterring, 126, 293Untervektorraum, 10

Durchschnitt beliebig vieler, 11Kodimension eines, 114orthogonale, 136

Urbild, siehe AbbildungUrsprung, siehe Koordinatenanfang

Vandermonde, 60Vandermonde–Determinante, 60

Vektor, 9Abstand zweier, 136Addition von, 9Betrag eines, 134Koordinaten eines, 80Lange eines, 134linear abhangige, 13linear unabhangige, 13negativer, 9Norm eines, 134

euklidische, 196

orthogonal zu Linearform, 84orthogonale, 136orthonormale, 136

Vektorprodukt, 111Vektorraum, 9

der konvergenten Zahlenfolgen, 72der Matrizen, 25der Polynome, 91, 452der Polynome vom Grad 2 n , 11der skalaren Abbildungen, 10der Vektorraum–Homomorphismen, 68Dimension eines, 16endlich–dimensionaler, 16

Orientierungen eines reellen, 111endlich erzeugter, 12euklidischer, 130

komplexe Erweiterung eines, 145Metrik auf, 136Norm auf, 134topologischer, 18unendlich–dimensionaler, 16unitarer, 130

Verband, 396antiisomorphe, 396dual–isomorphe, 396isomorphe, 396

Verbindungsraum, 171, 213Verbindungsstrecke, 193, 202Verknupfung, 3

außere, 9innere, 3

Verknupfungstafel, 6Verteilung in Boxen, 286Vielfaches, siehe ElementVierergruppe, 229Vier–Farben–Problem, 429Vieta, 356

Wurzelsatz von, 356

Wiederholungscode, 409Wielandt, 252Wilson, 313

Satz von, 313, 482Winkeldreiteilung, 394Winkeltreue, siehe AhnlichkeitWirkungsbereich, siehe PermutationWitt, 366

kleiner Witt’scher Blockplan, 366

562 INDEX

Wort, 275, 276Buchstaben eines, 276Lange eines, 275

Wurfelverdopplung, siehe Delisches ProblemWurzel, siehe Polynom

Zahlenganze, 5

Gauß’sche, 310, 494imaginare, 9komplexe, 8

algebraische, 490imaginare Einheit, 8Imaginarteil einer, 8konjugiert, 94, 442konstruierbar mit Zirkel und Lineal,

388–390Realteil einer, 8

naturliche, 5rationale, 5reelle, 5

konstruierbar mit Zirkel und Lineal,388

transzendente, 438Zeilenindex, siehe MatrixZeilenrang, siehe MatrixZeilensumme, 273Zeilenvektor, 14, 24Zentralprojektion, 220Zentrum

einer Gruppe, 230einer Zentralprojektion, 220

Zerfallungskorper, 375Zielfunktion, siehe lineare OptimierungZorn, 16

Lemma von, 16ZPE–Ring, 306Zwischenkorper, 367Zwischenkorper–Verband, 396r-Zykel, 261Zyklus, siehe ZykelZylinder

elliptischer, 186, 187hyperbolischer, 186, 187parabolischer, 186, 187