ASymbole und Bezeichnungsweisen

= gleich�= ungleich≈ ungefähr gleich< kleiner als≤ kleiner oder gleich> größer als≥ größer oder gleich� sehr viel kleiner als� sehr viel größer als∼ proportional± plus oder minus∓ minus oder plusn∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ an; Summe über ak von k = 1 bis k = n

n∏

k=1

ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an; Produkt über ak von k = 1 bis k = n

{a, b, c} Menge aus den Elementen a, b, c{x|E(x)} Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) haben∈ Element von�∈ nicht Element von⊆ Teilmenge∅ leere Menge∪ Vereinigung von Mengen∩ Durchschnitt von Mengen|M| Mächtigkeit der MengeMA ∧ B A und B

A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 465DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

466 Symbole und Bezeichnungsweisen

A ∨ B A oder B¬A nicht A (Negation von A)A ⇒ B aus A folgt BA ⇔ B A und B sind äquivalent (gleichwertig)(a, b) geordnetes Paar(a, b, c) geordnetes Tripel‖ parallelAB Gerade durch die Punkte A und BAB Strecke AB|AB| Länge (Betrag) der Strecke AB�a Vektor a−→PQ Vektor PQ|�a|, |−→PQ| Länge des Vektors∼ ähnlich∼= kongruentN = {1, 2, 3, . . .}; Menge der natürlichen ZahlenZ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}; Menge der ganzen ZahlenQ = {mn |m, n ∈ Z, n �= 0}; Menge der rationalen Zahlen

R Menge der reellen Zahlen

C = {z = a + bi|a, b ∈ R, i = √−1}; Menge der komplexen Zahlen

Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ Z, x �= 0};

Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

Q∗ = {mn |m, n ∈ Z

∗} = {x|x ∈ Q, x �= 0};Menge der rationalen Zahlen ohne die Null

R∗ = {x|x ∈ R, x �= 0}; Menge der reellen Zahlen ohne die Null

Z+ = N = {1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ Z, x > 0};

Menge der positiven ganzen ZahlenQ

+ = {mn |m, n ∈ N} = {x|x ∈ Q, x > 0};Menge der positiven rationalen Zahlen

R+ = {x|x ∈ R, x > 0}; Menge der positiven reellen Zahlen

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .}; Menge der Primzahleni = √−1; imaginäre Einheit∞ unendlich (größer als jede reelle Zahl)−∞ minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n; n Fakultät(nk

)= n!

k!(n − k)! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)1 · 2 · 3 · . . . · k ;

Binomialkoeffizient „n über k“

Symbole und Bezeichnungsweisen 467

|a| Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl aan a hoch n, n-te Potenz von a√a Wurzel aus a

n√a n-te Wurzel aus aloga b Logarithmus b zur Basis alg b dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus),

Logarithmus zur Basis a = 10

ln b natürlicher Logarithmus,Logarithmus zur Basis a = e = 2, 718 281 82 . . .

ld b binärer Logarithmus (Zweierlogarithmus),Logarithmus zur Basis a = 2

[a, b] = {x|x ∈ R und a ≤ x ≤ b};abgeschlossenes beschränktes Intervall

(a, b) = {x|x ∈ R und a < x < b}; offenes beschränktes Intervall[a, b) = {x|x ∈ R und a ≤ x < b}; halboffenes beschränktes Intervall(a, b] = {x|x ∈ R und a < x ≤ b}; halboffenes beschränktes Intervall[a,∞) = {x|x ∈ R und x ≥ a};

halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

(a,∞) = {x|x ∈ R und x > a};offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

(−∞, a] = {x|x ∈ R und x ≤ a};halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt

(−∞, a) = {x|x ∈ R und x < a};offenes Intervall, nach links unbeschränkt

(−∞,∞) = {x|x ∈ R};offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschränkt

(an) = (a1, a2, a3, . . .); Folge, Zahlenfolgen∑

k=1

ak endliche Reihe

∞∑

k=1

ak unendliche Reihe

limn→∞ an Limes, Grenzwert der Folge (an)

limx→a

f (x) Grenzwert (Limes) der Funktion f (x) für x gegen a

468 Symbole und Bezeichnungsweisen

limx→a−0

f (x) linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a

limx→a+0

f (x) rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x= a

f ′(x0) Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0dfdx(x0) Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0

f ′(x) Ableitung der Funktion f (x)f ′′(x) zweite Ableitung der Funktion f (x)f ′′′(x) dritte Ableitung der Funktion f (x)f (n)(x) n-te Ableitung der Funktion f (x)∫

f (x) dx unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x)∫ b

af (x) dx bestimmtes Integral der Funktion y = f (x) von x = a bis x = b

(fn(x)) = (f1(x), f2(x), f3(x), . . .); Funktionenfolge

∞∑

k=0

fk(x) Funktionenreihe

∞∑

k=0

ak(x − x0)k Potenzreihe

P(n, k) Anzahl verschiedener k-Permutationen einer n-elementigenMenge

V(n, k) Anzahl verschiedener k-Variationen einer n-elementigen Menge

C(n, k) Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigenMenge

W(n, k) Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigenMenge mit Wiederholung

Pn(n1, n2, . . . , nk) Anzahl verschiedener n-Permutationen mit eingeschränkterWiederholung

hn(A) absolute Häufigkeit des Ereignisses Arn(A) relative Häufigkeit des Ereignisses AP(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ap(ω) Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω

BMathematische Konstanten

√2 = 1, 414 213 562 373 095

1√2

= 0, 707 106 781 186 543

√3 = 1, 732 050 807 568 877

1√3

= 0, 577 350 269 189 626

√10 = 3, 162 277 660 168 379

1√10

= 0, 316 227 766 016 838

π = 3, 141 592 653 589 7931π

= 0, 318 309 886 183 791

π2 = 9, 869 604 401 089 3591π2 = 0, 101 321 183 642 338

√π = 1, 772 453 850 905 516

1√π

= 0, 564 189 583 547 756

e = 2, 718 281 828 459 0451e

= 0, 367 879 441 171 442

e2 = 7, 389 056 098 930 6501e2

= 0, 135 335 283 236 613

√e = 1, 648 721 270 700 128

1√e

= 0, 606 530 659 712 633

lg e = 0, 434 294 481 903 2521lg e

= ln 10 = 2, 302 585 092 994 046

lg 2 = 0, 301 029 995 663 9811lg 2

= log2 10 = 3, 321 928 094 887 362

Ist die letzte Ziffer unterstrichen, dann ist die Konstante aufgerundet, im anderen Fallabgerundet.

A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 469DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

CDas griechische Alphabet

Alpha A α Jota I ι Rho P ρ

Beta B β Kappa K κ Sigma σ

Gamma � γ Lambda λ Tau T τ

Delta � δ My M μ Ypsilon ϒ υ

Epsilon E ε Ny N ν Phi � ϕ

Zeta Z ζ Xi � ξ Chi X χ

Eta H η Omikron O o Psi � ψ

Theta � ϑ Pi ! π Omega " ω

A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 471DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Literturverzerichnis

1. Beutelspacher, A.: Das ist o. B. d. A. trivial!, 9. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden(2009)

2. Beutelspacher, A.: Lineare Algebra, 7. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2010)3. Bosch, K.: Mathematik-Taschenbuch, 5. Aufl. Oldenbourg, München, Wien (1998)4. Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathe-

matik, 8. Aufl. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main (2012)5. Fischer, G.: Analytische Geometrie, 7. Aufl. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (2001)6. Fischer, G.: Lineare Algebra, 17. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2010)7. Forster, O.: Analysis 1, 10. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2011)8. Gellert, W., Küstner, H., Hellwich, M., Kästner, H.: Handbuch der Mathematik. Buch

und Zeit, Köln (o. J.)9. Gellert, W., Kästner, H., Ziegler, D.: Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch,

Thun und Frankfurt/Main (1978)10. Henze, N.: Stochastik für Einsteiger, 9. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2011)11. Kemnitz, F., Engelhard, R.: Mathematische Formelsammlung. Vieweg, Braun-

schweig/Wiesbaden (1977)12. Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Übungsbuch und

Formelsammlung, Bd. 3, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (2009–2011)13. Schäfer, W., Georgi, K., Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs, 6. Aufl. Vieweg+Teubner,

Wiesbaden (2006)14. Scharlau, W.: Schulwissen Mathematik: Ein Überblick, 3. Aufl. Vieweg, Braun-

schweig/Wiesbaden (2001)15. Tietze, J.: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 16. Aufl. View-

eg+Teubner, Wiesbaden (2011)

A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 473DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

474 Literturverzerichnis

16. Tittmann, P.: Einführung in die Kombinatorik. Spektrum, Heidelberg (2000)17. Wendeler, J.: Vorkurs der Ingenieurmathematik, 2. Aufl. Harri Deutsch, Thun und

Frankfurt/Main (2002)

Sachverzeichnis

AAbbildung, siehe FunktionAbleitung, 362, 369, 370, 372, 373

höhere, 368Ableitungsfunktion, 362Abrunden, 36Absolutbetrag, 44Absolutglied, 97Abstand

Gerade - Gerade, 289Punkt - Gerade, 290Punkt - Punkt, 289

Abszisse, 200Abszissenachse, 48, 200, 276Achsenabschnitt, 215, 284Achsenabschnittsform, 286Achsensymmetrie, 168Addition, 11

korrespondierende, 70Additionsprinzip, siehe SummenregelAdditionssystem, 33Additionstheoreme, 261Additionsverfahren, 97, 99, 102Adjunkte, 111ähnliche Figuren, 170Ähnlichkeit, 170Äquatorebene, 281äquivalente Gleichungen, 66äquivalente Umformung, 66Äquivalenz, 5äußeres Produkt, 336Algebraische Form einer komplexen Zahl, 48Algebraische Gleichung, 9

Algebraische irrationale Zahl, 9Allquantor, 7Amplitude, 207Analyse

harmonische, 412Analytische Geometrie, 275Ankathete, 251Antisymmetrie, 43Apollonios

Satz von, 149von Perge (∼262–190 v. u. Z.), 149

Arcus, 166Argument, 49, 198Arkusfunktion, 269

Hauptwert, 272Arkuskosinus, 272Arkuskosinusfunktion, 271Arkuskotangens, 272Arkuskotangensfunktion, 272Arkussinus, 270Arkussinusfunktion, 270Arkustangens, 272Arkustangensfunktion, 271Assoziativgesetz, 14, 331Asymptote, 234, 248, 309Aufrunden, 36Ausdruck, boolescher, 6Ausdrücke

unbestimmte, 358Ausprägung, 441Aussage, 4Aussageform, 6, 7Aussagenlogik, 4

A. Kemnitz,Mathematik zum Studienbeginn, 475DOI: 10.1007/978-3-658-02081-1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

476 Sachverzeichnis

Aussagenvariable, 5Aussagenverbindung, 6, 7Auswahlen, 425, 429

geordnete, 425mit Wiederholung, 425ohne Wiederholung, 425ungeordnete, 425

Außenglied, 69Axialsymmetrie, 168

BBasis, 24, 36Basisvektor, 332Bayes

Formel von, 460Behauptung, 6, 58Beizahl, siehe KoeffizientBelegung, 7Bernoulli

J. (1654–1705), 441Bernoulli-Experiment, 441Bernoulli-Kette, 441Bestimmungsgleichung, 63Betrag, 44, 329Beweis, 58

direkter, 58durch Kontraposition, 59indirekter, 59mit starker vollständiger Induktion, 60mit vollständiger Induktion, 59Widerspruchs-, 59

Bild, 197Bildmenge, 197Binärcode, 35binärer Logarithmus, 38Binärsystem, siehe DualsystemBinärsystem, 35Binom, 18Binomialkoeffizient, 422binomische Formeln, 18binomische Gleichungen, 18binomischer Lehrsatz, 18, 424Bit, 35Bogenlänge, 399Bogenmaß, 122, 166, 255boolesche Formel, 6, 7boolesche Variable, 5boolescher Ausdruck, 6

BrahmaguptaSatz des, 153

Breitenkoordinate, 281Brennpunkt, 304, 308, 314Briggs

H. (1556-1630), 37briggsscher Logarithmus, 37Bruch, 19

echt, 19gleichnamig, 21unecht, 19ungleichnamig, 21

Bruchgleichung, 89Buchstabenrechnen, 12Byte, 35

Ccardanische Formel, 78Cartesius, siehe DescartesCauchy

A. L. (1789–1857), 409Cauchy-Produkt, 409Cavalieri

B. (1598–1647), 187cavalierisches Prinzip, 187Cheopspyramide, 185Computer, 35Cramer, G. (1704–1752), 110cramersche Regel, 110

DDefinitionsbereich, 197Definitionsmenge, 197dekadischer Logarithmus, 37Descartes

R. (1596–1650), 277Determinante, 109

dreireihige, 110zweireihige, 109

Dezimalbruch, 34endlicher, 9unendlicher periodischer, 9

Dezimalschreibweise, 34Dezimalsystem, 34Dezimalzahl, 9, 34Diagonale, 147Diagonalmatrix, 104

Sachverzeichnis 477

DiagrammVenn-, 3

Differential- und IntegralrechnungHautsatz, 396

Differentialquotient, 362Differentialrechnung

Mittelwertsatz, 399Differentiationsregeln, 364Differenz, 11

symmetrische, 3von Mengen, 3

Differenz von Ereignissen, 439Differenzenquotient, 362Differenzierbarkeit, 362direkter Beweis, 58Dirichlet

P. G. L. (1805–1859), 412Satz von, 412

disjunkte Vereinigung, 4Disjunktion, 5Diskriminante, 74, 75, 225, 227Distributivgesetz, 14, 331Dividend, 11Division, 11Divisor, 11Dodekaeder, 190Doppelindex, 103Doppelkreiskegel, 301Drachen, 151Drachenviereck, 151Dreieck, 131

Außenwinkel, 132Außenwinkelsumme, 132Eckpunkte, 131Flächeninhalt, 132gleichschenklig, 133gleichseitig, 133Grundkonstruktionen, 143Höhe, 135Inkreis, 135Innenwinkel, 131Innenwinkelsumme, 131Kongruenzsätze, 141Median, 137Mittelsenkrechte, 135Orthozentrum, 135rechtwinkliges, 132, 134regelmäßiges, 134reguläres, 134

Schwerpunkt, 138Seiten, 131Seitenhalbierende, 137Seitenlängen, 131spitzwinkliges, 132stumpfwinkliges, 132Umfang, 132Umkreis, 135Winkelhalbierende, 137

Dreieckeähnliche, 171

Dreieckpuls, 414Dreiecksberechnung

Grundaufgaben, 265Dreiecksmatrix

obere, 104untere, 105

Dreiecksungleichung, 45Dreiecksungleichungen, 132dualer Logarithmus, 38Dualsystem, 35Dualzahl, 35Durchmesser, 157Durchschnitt von Ereignissen, 439Durchschnitt von Mengen, 3

Ee, siehe eulersche Zahlechte Teilmenge, 2e-Funktion, 247, 249Einheitskreis, 157Einheitskugel, 192Einheitsmatrix, 104Einheitsvektor, 330Einsetzungsverfahren, 97, 101Element, 1Elementarereignis, 438Elemente einer Matrix, 103Ellipse, 301, 304

Brennpunkte, 304Fadenkonstruktion, 308Gärtnerkonstruktion, 308Halbparameter, 305Hauptachse, 305Hauptscheitelpunkte, 305lineare Exzentrizität, 305Nebenachse, 305Nebenscheitelpunkte, 305

478 Sachverzeichnis

numerische Exzentrizität, 305Ellipsengleichung, 306

Mittelpunktsform, 306Normalform, 306Parameterdarstellung, 306

endliche Menge, 2Entwickeln einer Determinante, 110Entwicklungspunkt, 406Ereignis, 438

entgegengesetztes, 439sicheres, 438unmögliches, 438zufälliges, 438

Ereignissedisjunkte, 439, 458unvereinbare, 458

erfüllbar, 7erfüllt, 7Ergänzungskegel, 188Ergänzungspyramide, 187Ergebnismenge, 437Erwartungswert, 464Erweitern, 20Erzeugende, 180, 185, 301Euklid

Erster Satz des, 139von Alexandria (∼365–300 v. u. Z.), 139Zweiter Satz des, 141

EulerL. (1707–1783), 38, 372

eulersche Formel, 261eulersche Zahl, 37, 57, 247, 372eulerscher Polyedersatz, 190Existenzquantor, 7Exklusion, 434Exponent, 24Exponentialform einer komplexen Zahl, 57Exponentialfunktion, 246, 248, 249, 372, 373,

393natürliche, 247

Exponentialgleichung, 65, 93Extremum, siehe ExtremwertExtremwert, 375Exzentrizität

lineare, 305, 310numerische, 305, 310

FFadenkonstruktion, 308, 314, 318Faktor, 11

kubischer, 81linearer, 81quadratischer, 81

Faktor eines Polynoms, 81Faktorregel, 364, 387Fakultät, 421Folge, 341

alternierende, 342arithmetische, 343beschränkte, 342, 343, 345bestimmt divergente, 346divergente, 344, 346endliche, 341geometrische, 343Glied, 341Grenzwert, 344, 345konstante, 342konvergente, 344Limes, 344monoton fallende, 342monoton wachsende, 342monotone, 342nach oben beschränkte, 342nach unten beschränkte, 343streng monoton fallende, 342streng monoton wachsende, 342unbestimmt divergente, 346unendliche, 341

Folgenglied, 341Formel von Bayes, 460Formel, boolesche, 6, 7Fourier

J.-B.-J. (1768–1830), 411Fourier-Koeffizient, 411Fourier-Reihe, 410, 411Fundamentalsatz der Algebra, 65Funktion, 197

Ableitung, 362algebraische, 210, 369, 392Argument, 198beschränkte, 204bijektive, 206differenzierbare, 362echt gebrochene rationale, 212, 233elementare, 210Extremwert, 375

Sachverzeichnis 479

ganze rationale, 211ganze rationale n-ten Grades, 228gebrochene lineare, 212, 233gebrochene rationale, 211, 232gerade, 203goniometrische, 252Graph, 198, 200Grenzwert, 354implizite, 199injektive, 205integrierbare, 386inverse, 207inverse trigonometrische, 270irrationale, 211, 243, 369, 393komplexe, 210konkave, 376konstante, 211, 214, 364konvexe, 376Krümmung, 376kubische, 211, 227, 244Kurve, 200lineare, 211, 215Maximum, 227Minimum, 227monoton fallende, 201monoton wachsende, 201monotone, 201nach oben beschränkte, 204nach unten beschränkte, 204Nullstelle, 233periodische, 207, 410Pol, 233, 360Pol k-ter Ordnung, 233quadratische, 211, 218, 243, 316rationale, 211, 369, 392reelle, 199, 209Schaubild, 198, 200Sprungstelle, 360stetig differenzierbare, 363, 384stetige, 359, 383streng monoton fallende, 201streng monoton wachsende, 201surjektive, 206symmetrische, 203T-periodische, 410transzendente, 210, 246, 393trigonometrische, 251, 254, 370, 373, 393unecht gebrochene rationale, 212ungerade, 203

unstetige, 360Wendepunkt, 378Wertetabelle, 198, 201zyklometrische, 270

Funktionenfolge, 404gleichmäßig konvergente, 405konvergente, 404punktweise konvergente, 404

Funktionenreihe, 405absolut konvergente, 406gleichmäßig konvergente, 405konvergente, 405punktweise konvergente, 405

Funktionsgleichung, 63, 65, 198explizite Darstellung, 198implizite Darstellung, 199Parameterdarstellung, 199

Funktionswert, 197Fußballtoto, 427

GGärtnerkonstruktion, 308ganze Zahl, 9Gauß

C. F. (1777–1855), 48gaußsche Zahlenebene, 9, 48Gay-Lussacsches Gesetz, 217gebrochene lineare, 212, 233Geburtstagsproblem, 456Gegenkathete, 251Gerade, 121, 215, 283

Richtungskoeffizient, 284Steigung, 284

Geradenparallele, 121

GeradengleichungAchsenabschnittsform, 286allgemeine, 283Hauptform, 284hessesche Normalform, 286Normalform, 284Punktsteigungsform, 285Zweipunkteform, 285

Geschwindigkeitkonstante, 69Weg-Zeit-Diagramm, 217

GizehPyramiden von, 185

480 Sachverzeichnis

Gleichheitvon Mengen, 2

gleichnamige Brüche, 21gleichschenkliges Dreieck, 133

Basis, 133Basiswinkel, 133Schenkel, 133Spitze, 133

gleichseitiges Dreieck, 133Gleichsetzungsverfahren, 97, 99Gleichung, 63

algebraische, 65biquadratische, 84graphisches Lösen, 324kubische, 65, 78, 326lineare, 65, 67, 68, 325logarithmische, 65, 94quadratische, 65, 71, 75, 325transzendente, 65, 328trigonometrische, 65, 95

Gleichung n-ten Grades, 86Gleichungssystem, 96

graphisches Lösen, 328lineares, 97, 328

goldene Zahl, 175goldener Schnitt, 174Gon, 123goniometrische Form einer komplexen Zahl, 49goniometrische Gleichung, 95Grad, 123Grad einer Gleichung, 65Gradmaß, 122, 166, 255Grenzfunktion, 405Grenzwert, 344, 354, 357

einseitiger, 356linksseitiger, 356rechtsseitiger, 356

Grundaufgabe SSS, 266Grundaufgabe SSW, 266Grundaufgabe SWS, 266Grundaufgabe SWW, 266Grundaufgabe WSW, 266Grundgesamtheit, 442Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal,

126Grundzahl, siehe BasisGuldin

P. (1577–1643), 402guldinsche Regeln, 402

HHäufigkeit

absolute, 440, 442relative, 440, 442

Häufigkeitsverteilungempirische, 442

Halbgerade, 121Halbparameter, 305, 309Halbraum, 282Harmonische Analyse, 412Hauptachse, 305, 309Hauptdiagonale, 109Hauptform der Kreisgleichung, 291Hauptform der Kugelgleichung, 300Hauptnenner, 21Hauptscheitelpunkt, 305Heron

von Alexandria (1. Jh. u. Z.), 133heronische Flächenformel, 133Hesse

L. O. (1811–1874), 286hessesche Normalform, 286Hexadezimalsystem, 35Hexaeder, 190Histogramm, 443Hochzahl, siehe ExponentHöhensatz, 140Hohlzylinder, 182, 403hookesches Gesetz, 69, 216Horner

W. G. (1786–1837), 232Horner-Schema, 231Hyperbel, 233, 302, 308

Brennpunkte, 308Fadenkonstruktion, 314Halbparameter, 309Hauptachse, 309lineare Exzentrizität, 310n-ter Ordnung, 233numerische Exzentrizität, 310Scheitelpunkte, 309

Hyperbelachse, 309Hyperbelgleichung, 310

Mittelpunktsform, 310Normalform, 310

Hypotenuse, 134, 251

Sachverzeichnis 481

Iidentische Gleichung, 63Identität, 64Ikosaeder, 190imaginäre Achse, 48imaginäre Einheit, 10, 47imaginäre Zahl, 10, 48Imaginärteil, 10, 47Implikation, 5, 6, 58Index, 17indirekter Beweis, 59indisch-arabische Ziffern, 34Induktion

starke vollständige, 60vollständige, 59

Induktionsanfang, 60Induktionsannahme, 60Induktionsschluss, 60Induktionsschritt, 60Induktionsverankerung, 60Induktionsvoraussetzung, 60Inklusion, 434Inklusion und Exklusion

Prinzip der, 434Innenglied, 69inneres Produkt, 334Integral

bestimmtes, 394, 396unbestimmtes, 386, 392, 393, 396

Integralzeichen, 386, 394Integrand, 386, 394Integration, 386

partielle, 388Integrationsgrenze

obere, 394untere, 394

Integrationskonstante, 386Integrationsregeln, 387Integrationsvariable, 386, 394Intervall, 45

beschränktes, 45halboffenes, 45nicht beschränktes, 45offenes, 45

irrationale Zahl, 9

JJunktor, 6

KKardinalität einer Menge, 2Kathete, 134, 251Kathetensatz, 139Kegel, 185, 187

allgemeiner, 185gerader, 186schiefer, 186

Kegelmantel, 195Kegelschnitt, 301

entarteter, 303Kegelschnittgleichung, 304Kegelstumpf, 188Kehrwert, 12Kennzahl, 40Kennzahlen einer Stichprobe, 446Kettenregel, 367Klammerrechnung, 14Koeffizient, 9, 65, 406Kolmogorov

A. N. K. (1903–1987), 448Kombination, 425, 427

mit Wiederholung, 428mit Zurücklegen, 428

kommutativ, 4Kommutativgesetz, 14, 331Komplement, 433Komplementärereignis, 439Komplementwinkel, 124, 254komplexe Zahl, 9, 10, 47Komponente, 332, 334Kongruente Figuren, 141Kongruenz, 141konjugiert komplexe Zahlen, 48Konjunktion, 5Konkav, 376Konklusion, 6, 58Konstante, 207Kontradiktion, 7Kontraposition, 59Konvergenz, 404

gleichmäßige, 405punktweise, 404

Konvergenzbereich, 406Konvergenzkriterium, 345

leibnizsches, 354Konvergenzradius, 407Konvex, 376Koordinaten

482 Sachverzeichnis

geographische, 282kartesische, 276, 280sphärische, 282

Koordinatenachse, 276, 280Koordinatensystem

kartesisches, 48, 200, 276, 280–282Kugel-, 280Polar-, 277rechtwinkliges, 276Zylinder-, 282

Koordinatenursprung, 276, 280Kosinus, 251Kosinusfunktion, 258, 371Kosinuskurve, 257Kosinussatz, 264Kotangens, 251Kotangensfunktion, 259, 371Kotangenskurve, 257Kreis, 157, 291, 294, 301

Durchmesser, 157entarteter, 157Fläche, 158Mittelpunkt, 157, 291Radius, 157, 291Umfang, 158Winkelsätze, 161

Kreisabschnitt, siehe KreissegmentKreisausschnitt, siehe KreissektorKreisbogen, 158Kreisdiagramm, 443Kreise

exzentrische, 159konzentrische, 159, 182

Kreisfläche, 157Kreisfunktion, 252Kreisgleichung, 291

allgemeine Form, 291Hauptform, 291Mittelpunktsform, 291Parameterdarstellung, 292

Kreiskegel, 186gerader, 186, 301, 401

Kreiskegelstumpf, 189Kreisperipherie, 157Kreisrand, 157Kreisring, 159Kreissegment, 160Kreissektor, 159Kreiszahl, 159

Kreiszylinder, 181gerader, 181, 401

Kreuzprodukt, 336Krümmung, 376Krümmungskreis, 377Krümmungsradius, 377Krümmungsverhalten, 376Kubikwurzel, 28Kürzen, 20Kugel, 192, 300, 401

Durchmesser, 193Mittelpunkt, 192, 300Radius, 192, 300

Kugelabschnitt, siehe KugelsegmentKugelausschnitt, siehe KugelsektorKugelfläche, 192Kugelgleichung, 300

Hauptform, 300Mittelpunktsform, 300

Kugelkappe, 193, 195Kugelkoordinaten, 281Kugelkoordinatensystem, 280Kugeln

konzentrische, 193Kugelschicht, 195Kugelsegment, 193Kugelsektor, 194Kugelzone, 195Kurvendiskussion, 379

LLängenkoordinate, 281Lagemaß, 446Laplace

P. S. (1749–1827), 450Laplace-Experiment, 451Laplace-Wahrscheinlichkeit, 451leere Menge, 2Leibniz

G.W. (1646–1716), 354, 396Leibnizsches Konvergenzkriterium, 354Leitkurve, 180, 185, 301Leitlinie, 314Limes, 344, 354Lineare, 115linearer, 115Linearfaktor, 76Lösung, 9, 64

Sachverzeichnis 483

Lösungsmenge, 64, 115Logarithmentafel, 40logarithmische Gleichung, 65, 94Logarithmus, 36Logarithmusfunktion, 248, 249, 372, 373, 393

natürliche, 248, 372Logik, 4logische Zeichen, 5Lot, 126, 128

MMächtigkeit einer Menge, 2Mantelfläche, 177, 180, 183, 185, 186, 193Mantellinie, 177, 180, 185, 186, 301Mantisse, 40Massenträgheitsmoment, 402, 403mathematisch positiver Sinn, 146, 276Matrix, 103

antisymmetrische, 106inverse, 108orthogonale, 108quadratische, 104symmetrische, 106transponierte, 105

Matrizen vom gleichen Typ, 105Maximum

absolutes, 375globales, 375relatives, 374

Maßstab, 276, 277Median, 446Menge, 1

Differenz-, 3endliche, 2Gleichheit, 2Kardinalität, 2leere, 2Mächtigkeit, 2Schnitt-, 3unendliche, 2Vereinigungs-, 3

Merkmal, 441diskretes, 441qualitatives, 441quantitatives, 441stetiges, 441

Merkmalsausprägung, 441Merkmalswert, 441

Minimumabsolutes, 375globales, 375relatives, 375

Minuend, 11Mittel

arithmetisches, 41geometrisches, 41harmonisches, 42quadratisches, 42

Mittelpunktswinkel, 158Mittelsenkrechte, 135Mittelwert, 446Mittelwertsatz, 399Modalwert, 446Modul, 49Moivre

Formel von, 262Moivre, A. de (1667–1754), 54Müller

J. (1436–1476), 153Multinomialkoeffizient, 432Multinomialsatz, 432Multiplikation, 11Multiplikationsprinzip, siehe Produktregel

NNäherungslösung, 324, 383Näherungsverfahren, 86, 325, 383natürliche Zahl, 9natürlicher Logarithmus, 37Nebenachse, 305Nebendiagonale, 109Nebenscheitelpunkt, 305Nebenwinkel, 125n-Eck, 154, 155

Innenwinkelsumme, 154regelmäßiges, 154reguläres, 154

Negation, 5Nenner, 19Neper

J. (1550–1617), 37neperscher Logarithmus, 37Neugrad, 123Newton

I. (1642–1727), 385, 396newtonsches Verfahren, 86, 384

484 Sachverzeichnis

Nordrichtung, 281Normale, 297Normalform der Geradengleichung, 284Normalform der biquadratischen Gleichung, 84Normalform der kubischen Gleichung, 78Normalform der linearen Gleichung, 68Normalform der quadratischen Funktion, 225Normalform der quadratischen Gleichung, 72Normalparabel, 219, 244

gespiegelte kubische, 227gespiegelte verschobene, 222kubische, 227verschobene, 219

n-seitige Pyramide, 183n-seitiges Prisma, 177n-te Ableitung, 368n-te Einheitswurzeln, 56n-te Potenz, 24n-te Wurzel, 28Nullfolge, 344Nullmatrix, 104Nullpunkt, 276Nullrichtung, 281Nullstelle, 233, 383, 384

reelle, 82Nullstelle eines Polynoms, 82Nullvektor, 330Nullwinkel, 123Numerus, 36

OObermenge, 2Oktaeder, 190Oktalsystem, 35Operation

kommutative, 4Ordinate, 200Ordinatenachse, 48, 200, 276Orientierung, 276, 277, 281Ort

geometrischer, 130Ortsvektor, 330

PParabel, 218, 224, 301, 314

Brennpunkt, 314Fadenkonstruktion, 318

kubische, 227Leitlinie, 314n-ter Ordnung, 229Parameter, 314Scheitelpunkt, 219Streckungsfaktor, 224

Parabelachse, 314Parabelgleichung, 315

Normalform, 315Scheitelpunktsform, 315

Parabolspiegel, 314Parallele, 128Parallelepiped, 178, 338Parallelflach, 178, 338Parallelogramm, 149Parallelprojektion, 129Parameter, 199, 314Partialbruchzerlegung, 240, 391Partialbrüche, 241Partialsumme, 348, 405Partition, 4, 459Pascal

B. (1623–1662), 423Pascalsches Dreieck, 423, 424Passante, 161, 193, 295Periode, 207, 410Peripheriewinkel, 158Permutation, 425, 426

mit eingeschränkter Wiederholung, 431π , 159Planimetrie, siehe VariablePlaton

(427–347 v. u. Z.), 190platonische Körper, 179, 184, 190Platzhalter, siehe VariablePol, 233, 277, 280, 360

k-ter Ordnung, 233Polarachse, 277Polarkoordinaten, 49, 277

räumliche, 282Polarkoordinatensystem, 277Polarwinkel, 277Polyeder, 190

konvexes, 190konvexes reguläres, 190

Polygon, 156, 190einfaches, 156Flächeninhalt, 156Innenwinkelsumme, 156

Sachverzeichnis 485

konvexes, 156regelmäßiges, 156reguläres, 156Seiten, 156Umfang, 156

Polynom, 80Polynomdivision, 79, 81Polynome

teilerfremde, 234Positionssystem, 33, 34Potenz, 24Potenzfunktion, 229, 366Potenzieren, 13, 24Potenzrechnung, 13, 24Potenzregel, 387Potenzreihe, 406(p, q)-Formel, 73Prädikat, 7Prädikatenlogik, 4Prämisse, 6, 58Primfaktorzerlegung, 9Primzahl, 9Prinzip

der Zweiwertigkeit, 5vom ausgeschlossenen Dritten, 5

Prisma, 177, 180, 187, 190allgemeines, 177gerades, 177physikalisches, 178schiefes, 177

Produkt, 11, 17Produktregel, 365, 420Produktzeichen, 17Proportion, 69

stetige, 69Proportionale, 69

mittlere, 69Proportionalfunktion, 216Proportionalitätsfaktor, 216Ptolemaios

von Alexandria (∼83–161 u. Z.), 153Ptolemäus

Satz des, 152verallgemeinerter Satz des, 147

Punkt, 121Punktmenge, 1Punktrechnung, 13Punktsteigungsform, 285Punktsymmetrie, 168

Pyramide, 182, 186, 187, 190allgemeine, 182gerade, 183gerade quadratische, 184reguläre n-seitige, 183schiefe, 183

Pyramidenstumpf, 187Pythagoras

Satz des, 139, 140, 264von Samos (∼580–500 v. u. Z.), 140

QQuader, 178Quadrant, 255Quadrat, 151quadratische Ergänzung, 72quadratische Säule, 179Quadratwurzel, 28Quadratwurzelfunktion, 244Quantor, 7Quersumme, 12

alternierende, 13Quotient, 11Quotientenregel, 367

RRadiant, 166Radikand, 28Radius, 157rationale Zahl, 9Raute, 150Realteil, 10, 47Rechteck, 150Rechteckpuls, 412Rechtssystem, 276, 280Reduktionsmethode, 79reelle Achse, 48reelle Zahl, 9Reflexivität, 43Regula falsi, 86, 383Reihe, 347

alternierende, 353alternierende harmonische, 352arithmetische, 350bestimmt divergente, 348divergente, 348endliche, 347

486 Sachverzeichnis

geometrische, 351Glied, 347harmonische, 352konvergente, 348Partialsumme, 348Summe, 348Teilsumme, 348trigonometrische, 410unbestimmt divergente, 348unendliche, 347

Reihenglied, 347Rekursion, 341reziproker Wert, 12Rhombus, 150Richtung

mathematisch positive, 254Richtungskoeffizient, 284Riemann

B. (1826-1866), 394römisches Zahlensystem, 34Rotationskörper, 400Runden, 36

SSarrus

P. F. (1798-1861), 112Regel von, 112

Sattelpunkt, 378Scheitelform der quadratischen Funktion, 225Scheitelpunkt, 122, 309, 314Scheitelwinkel, 124Schenkel, 122Schnittmenge, 3Schubfachprinzip, 421Sehne, 152, 157, 193, 373Sehnensatz, 165Sehnenviereck, 152Sekante, 157, 161, 193, 295, 373Sekantensatz, 165Sekantentangentensatz, 166Sekantenverfahren, 383Senkrechte, 126, 127Sinus, 251Sinusfunktion, 258, 370Sinuskurve, 257Sinussatz, 264Skalar, 329Skalarprodukt, 334

Skat, 432, 456Spaltenvektor, 332Spat, 178, 338Spatprodukt, 338Sprungstelle, 360Stabdiagramm, 443Stammbruch, 19Stammfunktion, 386, 396Standardabweichung, 446, 447starke vollständige Induktion, 60Steigung, 215, 284Stellenwert, 34Stellenwertsystem, 33Stereometrie, 177Stetigkeit, 359Stichprobe, 442Stichprobe vom Umfang n, 442Stichprobenstandardabweichung, 447Stichprobenvarianz, 447Strahl, 121Strahlensatz

erster, 169zweiter, 169

Strecke, 121, 126Betrag einer, 122Länge einer, 122

Streckenteilung, 172äußere, 173harmonische, 173innere, 172stetige, 174

Streckungzentrische, 168

Streuung, 447Streuungsmaß, 446Strichrechnung, 13Stufenwinkel, 125Substitution, 85Substitutionsmethode, 389Substitutionsverfahren, 97Subtrahend, 11Subtraktion, 11

korrespondierende, 70Summand, 11Summe, 11, 17Summe von Ereignissen, 439Summenregel, 365, 387, 420Summenzeichen, 17Supplementwinkel, 124

Sachverzeichnis 487

Symbol, 1, 11Symmetrieachse, 168Symmetriezentrum, 168symmetrische Differenz, 3

TTangens, 251Tangensfunktion, 259, 371Tangenskurve, 257Tangente, 161, 193, 295, 297, 374Tangenten

äußere, 164innere, 165

Tangentenverfahren, 385Tangentenviereck, 153Tangentialebene, 193Tautologie, 7Teilbarkeitsregeln, 12Teilmenge, 2

echte, 2Teilmenge eines Ereignisses, 439Teilsumme, 348Term, 63Tetraeder, 184, 190, 339Thales

Satz von, 161von Milet (∼ 624–546 v. u. Z.), 162

Thaleskreis, 162Transformation, 277Transitivität, 43transzendente Zahl, 9Trapez, 148

gleichschenkliges, 148Grundlinien, 148Höhe, 148Mittellinie, 148Schenkel, 148

Treppenfunktion, 462Trigonometrie, 251trigonometrische Form einer komplexen Zahl,

49trigonometrische Gleichung, 65, 95

UUmfangswinkel, 158Umkehrfunktion, 207, 244, 368unbestimmte Zahl, 12

Unendlich, 46unendliche Menge, 2Unendlichkeitsstelle, 360ungleichnamige Brüche, 21Ungleichung, 43, 115

lineare, 115Ungleichungskette, 43Ungleichungssystem

lineares, 115Unstetigkeitsstelle, 359, 360Unvereinbare Ereignisse, 439Urbild, 197Urbildmenge, 197Urnenmodell I, 453Urnenmodell II, 454

VVariable, 1, 6, 11, 64

abhängige, 198unabhängige, 198

Variable, boolesche, 5Varianz, 446, 447Variation, 425, 426Vektor, 329

Betrag, 329freier, 330kartesische Koordinaten, 332, 334Komponenten, 332, 334Komponentendarstellung, 332, 333Länge, 329normierter, 330Skalarmultiplikation, 330

Vektoraddition, 330Vektoren

orthogonale, 335Vektorprodukt, 336Vektorsubtraktion, 331Venn-Diagramm, 3Veränderliche, siehe VariableVereinigung

disjunkte, 4Vereinigung von Ereignissen, 439Vereinigung von Mengen, 3Verknüpfungsgesetz, siehe AssoziativgesetzVertauschungsgesetz, siehe KommutativgesetzVerteilungsfunktion, 462Viëta

Satz von, 77, 87

488 Sachverzeichnis

Viéte, F. (1540–1603), 77Vieleck, siehe PolygonVielfachheit einer Nullstelle, 82Viereck, 146

Diagonalen, 147Eckpunkte, 146Flächeninhalt, 148regelmäßiges, 151reguläres, 151Seiten, 146Seitenlängen, 146Umfang, 147Winkelsumme, 147

vollständige Induktion, 59Vollwinkel, 123Voraussetzung, 6, 58Vorzeichenregeln, 15

WWahrheitstafel, 6Wahrheitswert, 6, 7Wahrscheinlichkeit, 448

Additivität, 448axiomatische Definition, 448bedingte, 457klassische Definition, 451Normierung, 448totale, 459

Wahrscheinlichkeitsmaß, 449Wahrscheinlichkeitsraum, 449

diskreter, 449Wahrscheinlichkeitsverteilung, 449, 462Walze, siehe gerader KreiszylinderWechselwinkel, 125Wendepunkt, 378Wertebereich, 197Wertemenge, 197Widerspruchsbeweis, 59Winkel, 122, 127

gestreckter, 123halbgleichliegende, 126rechter, 123spitzer, 123stumpfer, 123überstumpfer, 123

Winkeldifferenz, 261Winkelfunktion, 252Winkelhalbierende, 136

Winkelsumme, 261Winkelvielfache, 261, 262Würfel, 179, 190Wurzel, 28, 64Wurzelexponent, 28Wurzelfunktion, 243, 244Wurzelgleichung, 90Wurzelrechnung, 28Wurzelziehen, 28

Xx-Achse, 200, 276, 280

Yy-Achse, 200, 276, 280y-Achsenabschnitt, 284

Zz-Achse, 280Zähler, 19Zahlenebene

gaußsche, 9, 48Zahlenfolge, 341Zahlengerade, 9Zahlenintervall, 45Zahlenlotto, 430Zahlzeichen, siehe ZifferZehnerlogarithmus, 37Zehnersystem, siehe DezimalsystemZeichen

logische, 5Zentralprojektion, 129, 130Zentralsymmetrie, 168Zentralwert, 446Zentriwinkel, 158Zerlegung, 459Zerlegungsgesetz, siehe DistributivgesetzZiehen mit Zurücklegen, 454Ziehen ohne Zurücklegen, 453Ziffer, 12, 33Zufallsexperiment, 437

Sachverzeichnis 489

Zufallsvariable, 461diskrete, 461Wahrscheinlichkeitsverteilung, 462

Zweierlogarithmus, 38Zweiersystem, siehe DualsystemZweipunkteform, 285

Zylinder, 180, 187, 402allgemeiner, 180gerader, 180schiefer, 180

Zylinderkoordinaten, 282Zylinderkoordinatensystem, 282