symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3...

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TH Bingen Fachbereich 2 Michael Ruhrländer Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 1 Grundlegendes über Mengen. (1) Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar: (a) Menge aller P rimzahlen kleiner gleich 31, (b) x 2 R :2x 2 - 8x =0 , (c) x 2 R : x 2 +1=0 . (2) Seien A = {x 2 R :0 x 2} und B = {x 2 R :1 x 4} . Bestimmen Sie: (a) A [ B, (b) A \ B, (c) A \ B, (d) A B. (3) Zeigen Sie für drei Mengen A,B,C mit A \ B \ C 6= ; die Beziehung (A \ B) [ C =(A [ C ) \ (B [ C ) , indem Sie die Venn-Diagramme für die rechte und die linke Seite der Gleichung erstellen und diese vergleichen. (4) Die symmetrische Dierenz zweier Mengen A und B ist definiert als (A \ B) [ (B \ A) . Zeichnen Sie das dazugehörige Venn - Diagramm. Zahlenbereiche und Rechenregeln. (1) Bestimmen Sie alle Teiler der Zahl 96 und stellen Sie sie in ihrer Primfaktorzer- legung dar. (2) Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Teiler sowie das kleinsten gemeinsame Vielfache von 64 und 48. (3) Berechnen Sie den Ausdruck ((9 - 3 - 8) - (3 - 1 - 7)) (-2 + 1). (4) Kalkulieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie die Endergebnisse: 52 76 + 19 13 , 52 76 - 19 13 , 52 76 · 19 13 , 52 76 : 19 13 . (5) 15 Arbeiter benötigen für eine Arbeit 9 Stunden. Wieviele Stunden benötigen 6 Arbeiter? (6) Schreiben Sie folgende Brüche als Dezimalzahlen: 7 16 , 1 35 , 1371742 11111111 (7) Stellen Sie die periodische Dezimalzahl 0, 142857 als gekürzten Bruch dar. (8) Welches Intervall entspricht der Zahlenmenge {x 2 R : |x - 5| < 2}? 1

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Page 1: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 1

Grundlegendes über Mengen.(1) Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar:

(a) Menge aller Primzahlen kleiner gleich 31,(b)

�x 2 R : 2x2 � 8x = 0

,

(c)�x 2 R : x2 + 1 = 0

.

(2) Seien A = {x 2 R : 0 x 2} und B = {x 2 R : 1 x 4} .Bestimmen Sie:

(a) A [B,

(b) A \B,(c) A \B,

(d) A⇥B.

(3) Zeigen Sie für drei Mengen A,B,C mit A \B \ C 6= ; die Beziehung

(A \B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) ,

indem Sie die Venn-Diagramme für die rechte und die linke Seite der Gleichungerstellen und diese vergleichen.

(4) Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist definiert als

(A \B) [ (B \A) .

Zeichnen Sie das dazugehörige Venn - Diagramm.

Zahlenbereiche und Rechenregeln.(1) Bestimmen Sie alle Teiler der Zahl 96 und stellen Sie sie in ihrer Primfaktorzer-

legung dar.(2) Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Teiler sowie das kleinsten gemeinsame

Vielfache von 64 und 48.(3) Berechnen Sie den Ausdruck ((9� 3� 8)� (3� 1� 7)) (�2 + 1).(4) Kalkulieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie die Endergebnisse:

52

76+

19

13,

52

76� 19

13,

52

76· 1913

,

52

76:19

13.

(5) 15 Arbeiter benötigen für eine Arbeit 9 Stunden. Wieviele Stunden benötigen 6Arbeiter?

(6) Schreiben Sie folgende Brüche als Dezimalzahlen:

7

16,

1

35,

1371742

11111111

(7) Stellen Sie die periodische Dezimalzahl 0, 142857 als gekürzten Bruch dar.(8) Welches Intervall entspricht der Zahlenmenge {x 2 R : |x� 5| < 2}?

1

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TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 2

Potenzen und Logarithmen.

(1) Berechnen Sie:

(a) a

5+ a

2 � a

(b) 5

6 · 5�4 · 52

(c) x

2yz

2 · xy4z3

(d)�2

�3 · 32 · 5�2��3

(e)�5

2��4

5

3 · 5�2

(f)(a+ 2)

n+1

(a+ 2)

n

(g)�(�2)

�2�3

(h)��x

3� �

�x

2� �

�x

4�

(i)�(�2)

6 ���2

6��

:

⇣�2

32 ��2

2�3⌘

(j)�(�2)

3��2

(k) x

7 � (�x)

7+ (�x)

6

(l)(�2x)

�2m

�2x

(�2m+1)

(m)��2

3�2

(n)��a

2�8 �

⇣��a

5�3⌘

(o) (�2x

n

)

4 ��(�2x)

4�n

(2) Geben Sie den Definitionsbereich an und berechnen Sie:

(a)x

3px

(b)3px

2

6px

5

(c)xpx� y

(d)xp

x�py

(e)x

(1 +

px) · (2�

px)

(f)a+ b

3pa+

3pb

(g) 3

qpxy

�2 4px

2y

6px

2y

�3

(h)4

qx

3 · 4p

(�2y)

6 ·��p2

�4

8px

5 · y�1/3

(3) Verwandeln Sie in gebrochene Exponenten:

(a) 6pa

3b

2(b)

1

3pa

(c) 5

q(1 + x

2)

3

(4) Verwandeln Sie in Wurzelausdrücke:

1

Page 3: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

(a)✓1

7

◆ 34 (b) 5

� 13

(c) 7

3,1

(5) Berechnen Sie:

(a) log2 64

(b) log10 4 + log10 1 + log10 3

(c) log3

�25

(d) ln

✓1

a

(e) ln 3 + ln

✓1

3

(f) ln

�3

5 · e3�

(g) ln

✓1

2

◆3

(6) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Korrigieren Sie die falschen!(a) 2

5·6= 2

5+ 2

6

(b) eln(2) = 2

(c) log2

�3

2�= 3

(d) ln(2 + 2.5) = ln(2) · ln(2.5)

(e) log4(16) = log4(4 · 4) = (log2(4) + log2(4)) · log4(2) = (2 + 2) · 12

(f) log10

�2

10�= log10(2) · log2

�2

10�= 10 · log10(2) ⇡ 10 · 0.3010 = 3.010

(g) 2

10 ⇡ 10

3

(7) Finden Sie alle Lösungen der Gleichung x

ln(

x

2)

= e

ln(

x

3)

,wobei x eine positivereelle Zahl sei.

Termumformungen.

(1) Multiplizieren Sie aus:

(a) (a+ b)

4 � (a� b)

2(�a� b)

2

(b) (a� 2b) (2b� a) (a+ 2b) (2b+ a)

(c) (3x� 4y)(4x� 3y)

(d) (2x+ y)(y � 3x)(x� 2y)

(e) (4x� 3y + 2z � x

2)(x

2 � 2x+ y)

(f) (2x

2 � 3x)(3x+ 2x

2)

(g) (2x�1)(8x�1)+(�4x+1)(4x�1)

(h) (x� 2y)(2y � x)(x+ 2y)(2y + x)

(i) (x� 2y)

3

(j) (1� 3a)

4

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3

(2) Zerlegen Sie in ein Produkt:

(a) 3x

2+ 15xy � 9y

2

(b) (2x+ y) (a+ b)+(y � 2x) (�a� b)

(c) 78a

2 � 117ab

(d) �72x

2y

2+ 216x

3y � 144xy

2

(e) �5x

4 � 3x

2 � 15(yx)

2

(f) (4x+y)(a+2b)+(y�4x)(�2b�a)

(3) Kürzen Sie soweit wie möglich:

(a)169a

2b

3c

42ab

2c

2

(b)49 + x

2 � 14x

x

2 � 3x� 28

(c)204a

2b

3c

255ab

2c

3

(d)84m

2 � 168mn

144n� 72m

(e)a

2+ b

2

a+ b

(f)288x� 288y

432(y

2 � x

2)

(g)a

3+ b

3

a

2 � b

2

(4) Formen Sie mithilfe der binomischen Formeln um:

(a) 169x

2 � 144y

2

(b) 16x

2+ 40xy + 25y

2

(c) 18x

2y

4 � 48x

3y

3+ 32x

4y

2

(d) 196x

2 � 169y

2

(e) 16x

2+ 24xy + 9y

2

(f) 169a

2+ 36b

2+ 156ab

(g) 8x

3 � 12x

2+ 6x� 1

(h) 98x

2y

4 � 112x

3y

3+ 32x

4y

2

(i) 36a

2x

2+9b

2x

2+36abx

2�49a

2y

2�b

2y

2+ 14aby

2

(5) Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

(a)6a

4(bc)

2

(6a

2bc� 9a

2b) a

2

(b) (x� y) (2x� 4y)

2 ��12xy � 4x

2�(2y � x)

(c)2x

2

x

2+ 1

� 1�x� 1

x

x+

1

x

(d)p

3

p2a� 2

p3b ·

p3

p2a+ 2

p3b

Page 5: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

4

(e)2a

3b

2+

c

2+ 1

ab

(f)x+ 1

x

3 � x

2+

1

x

2.

(6) Fassen Sie zu einem Bruch zusammen und geben Sie den Definitionsbereich an:

(a)x

x� y

� x

2+ y

2

x

2 � y

2+

y

x+ y

(b)9(x� y)

5(x

2 � y

2)

� 7(x+ y)

(2x� 2y)

2

(c)4(x� 1)

x(2x� 3)

� 4x

3 � 2x

2

2x

2 � x� 3

+ 2x+

1

x

(7) Vereinfachen Sie und geben Sie den Definitionsbereich an:

(a)24a

2y

65b

2x

2:

✓36ay

2

49bx

3:

25a

3x

84by

2

◆(b)

24a

2y

65b

2x

2:

✓36ay

2

49bx

3· 25a

3x

84by

2

(c)✓

24a

2y

65b

2x

2:

36ay

2

49bx

3

◆:

25a

3x

84by

2

Summen, Produkte, binomische Formeln.

(1) Schreiben Sie die Summen und Produkte aus:

(a)P10

i=1(�1)

i

i

2

(b)P9

i=0(�1)

i+1(i+ 1)

2

(c)10Pk=1

(�1)

k+1k

2

(d)11Pk=2

(�1)

k

(k � 1)

2

(e)Q10

i=1(�1)

i

i

2

(f)Q5

i=1 (20� i)

(2) Berechnen Sie:

(a)P5

i=1 sin (i⇡)

(b)P5

i=1 sin

✓i⇡

2

◆(c)

Q8i=5 i

(d)Q4

i=1 (i+ 3)

2

(3) Ergänzen Sie die rechte Seite:

(a)nP

i=0a

i

=

Pi=2

a

(b)7P

i=32i =

Pi=1

2( )

(c)2kPi=0

f(i) =

Pi=1

f( )

(4) Berechnen Sie

Page 6: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

5

(a) (a� b)

2

(b) (a+ b)

5

(c) (2a+ 3b)

4

(d) (a� b)

6

(e)100!

98!

(f)(n+ 3)!

n!

(g)✓

16

3

(h)✓

n+ 1

n� 1

(5) Lösen Sie folgende Gleichungen:

(a)✓

7

3

◆=

✓7

x

◆(b)

✓6

2

◆+

✓6

x

◆=

✓7

x

◆.

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TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3

Gleichungen.(1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

(a)1

1 + x

= 1

(b)1

1 + x

= 0

(c)a

2 � 1

x� a

+

a

2+ 1

x+ a

= a

2+

a

4

x

2 � a

2, a � 2

(d)1

1 + x

� 1

1� x

= 2

(e)x

2 � 1

(x+ 1) (x+ 2)

= 1

(f)x� 8

x� 9

=

x� 5

x� 7

(g)1

2x� x

2+

x� 4

x

2+ 2x

+

2

x

2 � 4

= 0.

(2) Schreiben Sie mithilfe der quadratischen Ergänzung als Summe zweier Quadrate:

(a) 9x

2+ 6x+ 2

(b) x

2+ px+ q, mit 4q � p

2

(c) 4x

2+ 4x+ 2

(d) 9x

2+ 36x+ 40

(e) 16x

2+ 100 + 48x

(f) 64x

2 � 448x+ 800

(g) ax

2+bx+c (a > 0 und 4ac � b

2)

(3) Zerlegen Sie nach dem Satz von Vieta:

(a) x

2+ x� 12

(b) x

2 � 11x� 12

(c) x

2 � 13x+ 12

(d) 4x

2+ 4x� 80

(e) 12x

2 � 96x� 780

(f) x

2 � (2a+ 1)x+ a(a+ 1)

(4) Ermitteln Sie die Lösungen folgender Gleichungen:

(a) 2x

2 � 7x+ 5 = 0

(b) 2x

2 � 7x� 5 = 0

(c) x

6+ 5x

3 � 36 = 0

(d) x

3+ 4x

2+ x� 6 = 0

1

Page 8: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

(e) x

4 � 3x

2 � 2x = 0

(f) 3x

2+ 5x+ 10 = 0

(g)1

x

2� 1

x

� 2 = 0

(h)1� x

1 + x

= x

(5) Zerlegen Sie mit Polynomdivision:

(a)a

2 � b

2

a+ b

(b)a

3+ b

3

a+ b

(c)a

3 � b

3

a� b

(d)a

4 � b

4

a� b

.

(6) Bestimmen Sie die Lösungsmenge:

(a)px+ 4 = x+ 2

(b)px� 3 +

p2x+ 1 =

p5x� 4

(c)px� 1 =

px

2 � 1

(d) 3

3x�5= 9

x+3

(e) 3pa

5�2n 4pa

2n�4=

6pa

x

, a > 0

(f) x� 5 = 3 +

p4 + x

(g)x� 2px� 1

=

px� 1 + 1

(h)px� 1 +

px+ 1 = x+ 1

(i)p2x� 3 = 5�

px+ 5.5

(7) Für welche a 2 R ist die Gleichung

2

x

+ 2

a

= 2

x+a

lösbar?(8) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

(a) ln 5

x

= ln 2

x

+ 2

(b)1

2

lnx

2+

1

3

lnx

3= 2e

(c) 2 log2 (x� 1) = log2 (x+ 1) + 3.

(9)(a) Welche positive Zahl ist gleich dem Quadrat ihrer Hälfte?

(b) Welche negative Zahl ist um 10 größer als das 200-fache ihres Kehrwerts?

(c) Welche Zahl ist gleich dem Negativen der Wurzel ihres Betrages?

(d) Die Variable x ist proportional zu t, und s ist gleich 25, wenn t gleich 75 ist.Bestimmen Sie t für s = 60.

Page 9: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

3

(e) Die kinetische Energie E

kin

einer Masse ist proportional zum Quadrat ihrerGeschwindigkeit v. Sei E

kin

= 12960 Joule für v = 18m/s. Wie groß ist Ekin

für v = 10m/s?

(f) Die Variablen r und s sind umgekehrt proportional mit r = 6 für s = 4.Bestimmen Sie s für r = 10.

(g) Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass das Volumen V eines Gases beikonstanter Temperatur zunimmt, wenn der Druck P abnimmt, sodass V undP umgekehrt proportional sind. Ist P = 850g/cm2 für V = 16390cm3, wieist dann V für P = 1350g/cm2?

Ungleichungen / Betrags(un-)gleichungen.(1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge folgender Ungleichungen:

(a)1

x� 1

� 2

(b) (x+ 2) · (x+ 1) 0

(c) (x� 3)

2> 0

(d)4

2x� 3

> 5

(e) ax < x+ a+ 1, a 2 R

(f)x� 2

x+ 3

> 6

(g) (x+ 1) (x+ 2) > 0

(h)x

a+ 2

� 1

a� 2

<

1

a

2 � 4

, a 6= ±2

(i) x

2 � 7x+ 12 < 0

(j) x

2 � 4x > 0

(k)2

x

> 1 + x

(2) Für welche x 2 R gilt:x+ 10px+ 2

p3(x� 2) + 3

px+ 2

(3) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Betragsgleichun-gen:

(a) |x� 3| = |x+ 5|

(b)��x

2 � 9

��=

��x

2 � 4

��

(c)��9 + 8x� x

2��= 6x+ 1

(d)��x

3 � 3

��= 5.

(4) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Betragsungleichun-gen:

Page 10: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

4

(a) |x� 3| < 1

(b) |(x� 9) (x� 4)| < x � 2 undzeichnen Sie zur Überprüfung dieGraphen der beiden Funktionen

y = |(x� 9) (x� 4)| und y = x�2

(c) |x� 2| < x

2

(d)��x

3 � 3

��> 5.

Lineare Gleichungssysteme.(1) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:

1

x

+

1

y

=

3

10

x� y = 5.

(2) Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme an:(a)

x1 + x2 + x3 = 3

x1 � x2 + 2x3 = 2

4x1 + 6x2 � x3 = 9

(b)4x1 + 2x2 � 2x3 = �2

�3x1 + x2 = 6

x1 � 4x2 + 2x3 = �9

(c)�3x1 + 2x2 � 3x3 = 6

9x1 � 2x2 + 10x3 = �10

6x1 + 8x2 + 14x3 = 22

(d)3x1 + x2 � 2x3 = 3

24x1 + 10x2 � 13x3 = 25

�6x1 � 4x2 + x3 = �7

(e)x1 � x2 + 3x3 = 8

x1 + x2 + x3 = 6

6x1 + 2x2 + 10x3 = 20

(f)

4x1 + 4x3 � 2x4 = 40

3x1 + x2 � 12x4 = 18

5x1 � x2 + 8x3 + 8x4 = 62

x2 + x3 = 4

.

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TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 4

Allgemeine Funktionseigenschaften.

(1) Bestimmen Sie die Bildmenge der Funktion f : [�1, 1] ! R, f(x) = 1

x� 2

.

(2) Welchen Definitions- und Bildbereich hat die Funktion

f(x) = 4 sin(3x+ 2) ?

(3) Welche Symmetrie hat die Funktion

f(x) =

x

2+ 1

x

2+ 3

?

(4) Untersuchen Sie die Funktion

f(x) = 2x

�x

2 � 1

auf Symmetrie.

(5) Ist die Funktionf(x) = 3x

3+ 2x

2+ 4x+ 1

gerade, ungerade oder nichts von beidem?

(6) Welche Periode hat die Funktion

f(x) = cos 4x ?

(7) Auf welchen Teilintervallen der reellen Zahlen ist die Funktion

f(x) = 2 (x� 1)

4+ 2

streng monoton fallend bzw. wachsend ?

(8) Welche Nullstellen hat die Funktion

f(x) =

x

2 � 1

x

2+ 3

?

(9) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

f(x) =

1

2 + x

2.

(10) Seien

f :

(R ! Rx 7! sinx

1

Page 12: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

die Sinusfunktion und g die Funktion

g :

(R ! Rx 7! x+ 4

.

Geben Sie für die Funktion f � g die Definitions- und Wertemengen sowie dieFunktionsvorschrift an.

(11) Bestimmen Sie die Definitions- und Bildbereiche der reellen Funktionen

(a) f(x) = 2� x

2

(b) g(x) = 3 + 2x

3

(c) h(x) =

p2x� 1

und skizzieren Sie ihre Graphen. Geben Sie ihre Umkehrfunktionen mit Definitions-und Wertebereiche an und skizzieren Sie auch diese.

Grenzwerte und Stetigkeit.

(1) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge

a

n

=

2n

3 � 1

3n

3+ n

2.

(2) Hat die Folge

a

n

=

n� 1

2n

2+ 1

einen Grenzwert?

(3) Berechnen Sie die Grenzwerte(a)

lim

x!1

✓1 + x

2

x

3

(b)

lim

x!1

✓1 + x

3

x

3

◆.

(4) Prüfen Sie, ob die Funktion

f(x) =

1

x

an der Stelle x = 0 einen Grenzwert hat.

(5) Es seif(x) =

p2x+ 1.

Bestimmen Sielim

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

.

Page 13: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

3

(6) Gegeben sei die Funktion

f(x) =

2x

2 � 2

x� 1

.

(a) Hat die Funktion in x = 1 einen Grenzwert?(b) Ist sie in x = 1 stetig?

Polynome.

(1) Berechnen Sie mit Polynomdivision

(a)x

3+ x

2 � 10x+ 8

x� 1

(b)x

3+ x

2 � 10x+ 8

x� 2

(c)x

3+ x

2 � 10x+ 8

x+ 4

(d)12x

4+ x

3 � 5x

2+ 4x� 5

3x

2+ x� 2

(e)x

5 � 4x

4+ 7x

3 � 6x

2 � 5x+ 20

(x+ 3)

3

(f)4x

4+ 12x

3 � 85x

2+ 73x+ 10

2x

2 � 7x+ 6

(2) Berechnen Sie für das Polynom

f(x) = x

3 � x

2 � 14x+ 24

(a) für alle ganzzahligen Teiler von 24 die korrespondierenden Funktionswertemit dem Hornerschema,

(b) alle Linearfaktoren und stellen Sie f(x) als Produkt der Linearfaktoren dar.

Skizzieren Sie den Funktionsgraphen.

(3) Zerlegen Sie das Polynom

f(x) = x

4 � 3x

3 � 6x

2+ 28x� 24

in Linearfaktoren.

(4)Sei

f(x) = x

5+ 2x

4 � 17x

3 � 8x

2+ 22x+ 60.

Benutzen Sie das Horner Schema, um(a)

f(2), f(3) und f(�5) zu berechnen,(b)

Page 14: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

4

f(x) so weit wie möglich in Linearfaktoren zu zerlegen.(5) Zeigen Sie, dass das Polynom

f(x) = 2x

4+ 15x

3+ 19x

2 � 60x� 108

die Nullstellen �3,�2, 2 hat. Zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.

(6) Die Funktionf(x) = x

4 � 3x

2 � 10x� 6

besitzt die Nullstelle x1 = 1�p3.

(a) Bestätigen Sie diese Aussage mit dem Hornerschema.

(b) Versuchen Sie eine weitere Nullstelle zu erraten.

(c) Gibt es weitere reelle Nullstellen?

(7) Ermitteln Sie die Lösung folgender Gleichungen!Benutzen Sie zur Polynomauswertung und zum Abspalten von Nullstellen dasHornerschema!

(a) x

3+ 4x

2+ x� 6 = 0

(b) x

4 � 3x

2 � 2x = 0

(c) x

2+ 2x+

2x

x� 1

= 5 +

2

x� 1

Gebrochenrationale Funktionen.

Bestimmen Sie die Definitionslücken, Nullstellen, Polstellen und behebbaren Definitions-lücken und skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen:

(1) f(x) =

x

2 � 2

x

2+ 5

.

(2) g(x) =

x

3

3� x

2.

(3) h(x) =

6x

4 � 1

3x

2.

(4) i(x) =

x

3 � 5x

2 � 2x+ 24

x

3+ 3x

2+ 2x

.

Berechnen Sie die Asymptoten und skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen:

5. f(x) =

x

2+ 3x� 4

x� 2

Page 15: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

5

6. f(x) =

x

2+ 3x+ 1

x

2+ 1

7. f(x) =

x

3 � 4x+ 8

4x� 8

8. f(x) =

x

3 � 13x+ 12

x

2 � 5x+ 6

9. f(x) =

2x

3 � 7x

2+ 2x� 1

x

2+ 4x+ 7

10. f(x) =

x

4+ 2x

3+ 5

2x

2+ 5x� 2

Trigonometrische Funktionen.

(1) In welchen Teilintervallen von [�2⇡; 2⇡] gilt

(a) sin(x) =

p1� cos

2(x)

(b) sin(x) = �p1� cos

2(x)

(c) cos(x) =

p1� sin

2(x)

(d) cos(x) = �p

1� sin

2(x)

(2) Bestimmen Sie jeweils die Werte der anderen drei trigonometrischen Funktionenfür

(a) sinx =

3

5

(b) cosx =

3

4

(c) tanx = 2.

(3) Berechnen Sie:

(a) cos(x) , falls sin(x) = 0.8 und x 2 (

2 ; ⇡).

(b) sin(x) , falls cos(x) =

7

25

und x 2 (�⇡

2 ; 0).

(c) cos(x) , falls sin(x) =

2t

1 + t

2und x 2 (�⇡; �⇡

2 ).

(4) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke

(a)sinx

tanx

Page 16: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

6

(b)cosx

cotx

(c)p1 + tan

2x · cosx.

(5) Zeigen Sie mithilfe der Additionstheoreme, dass folgende Beziehungen gelten:

(a) sin(⇡ � x) = sinx

(b) cos(⇡ � x) = � cosx.

(6) Beweisen Sie die Beziehungen

(a) cosx = sin

⇣x+

2

(b) cosx = � sin

⇣x� ⇡

2

⌘.

(7) Bestimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der durch folgende Stücke gege-benen Dreiecke

(a) c = 10 cm,↵ = 90°,� = 25°400

(b) b = 5 cm, c = 12 cm,↵ = 90°

(c) a = 24, 32 cm,↵ = 90°, � = 38°170

(d) a = 19, 23 cm, b = 8, 09,↵ = 90°

(8) Leiten Sie aus den Additionstheoremen die Formeln für den doppelten Winkel her:

(a) cos 2↵

(b) tan 2↵

(c) cot 2↵

(9) Stellen Sie sin 3↵ in Abhängigkeit von sinx und Potenzen von sinx dar.

(10)

(a) Leiten Sie einen Additionssatz für Tangens und Kotangens her.

(b) Drücken Sie mit Hilfe der Additionssätze cos(4x) und sin(4x) durch cos(x)

und sin(x) aus.

Page 17: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

7

(c) Drücken Sie sin(x) durch sin(

x

2 ) und cos(x) durch cos(

x

2 ) aus.

(11) Beweisen Sie:

(a) 1 + tan

2(x) =

1

cos

2(x)

(b) 1 + cot

2(x) =

1

sin

2(x)

(12) Berechnen Sie den spitzen Winkel � = ↵ � �, wenn sin↵ =

4

5

und sin� =

5

13

bekannt sind.

(13) Berechnen Siesin 15°, cos 15°, tan 15°, cot 15°.

(14) Bestimmen Sie die Lösungen der trigonometrischen Gleichung im Intervall [�2⇡, 2⇡]

(a) tan(x) + sin(x) = 0

(b) 2 · cos(x) = cot(x)

(15) Finden Sie für x 2 [0, 2⇡] die Lösungsmenge von

(a) sin 2x = 2 sinx,

(b) sinx = 1 + cosx.

(16) Bestimmen Sie die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen auf 3 Dezimal-stellen

(a) sin(2x) = cos(x)

(b) cos(x+ ⇡/4)� sin(x� ⇡/4) = 0

(c) 3 · cos2(x) = sin

2(2x)

(17) (a) Zeigen Sie, dass cos(x) + sin(x) =

p2 · sin(x+ ⇡/4) gilt.

(b) Vereinfachen Sie sin(x) + sin(x+ 2⇡/3) + sin(x+ 4⇡/3).

Exponential- und Logarithmusfunktionen.

(1) Skizzieren Sie folgende Funktionen und beschreiben Sie ihre Lage zueinander.

(a) f(x) = e2x und e(x) = ln(

px)

Page 18: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

8

(b) o(x) = �e�2x und p(x) = � ln(

p�x)

(2) Lösen Sie die allgemeine Exponentialgleichung

a

bx+c

= d

ex+f

mit a, b, c, d, e, f 2 R und a, d > 0, a 6= d nach der Variablen x auf.(3) Lösen Sie die beiden Gleichungen

(a)5

x+3 � 5

x+1= 3

x+4 � 3

x�2

(b)2

(3x)= 3

(2x).

(4) Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichungen (auf 3 Dezimalstellen)

(a) 5

x

= 125

(b) 4

3x�5= 32

(c) 5

x

= 1

(d) a

7 · a3(x+2)= a · ax(x�1)

(e) 5

x

= 10

(f) 10

x

= 2.5

10

(g) 25 · 32x�2 � 25

x

= 0

(5) Die FunktionN(t) = N0e

��t

beschreibt den Zerfall eines radioaktiven Teilchens. Die Größe � wird Zerfallskon-stante genannt. N0 ist die Anzahl der Teilchen zum Zeitpunkt t = 0. BestimmenSie für � = 0, 005 die Halbwertzeit der Teilchen, d.h. die Zeit, bei der die Anzahlder Teilchen auf die Hälfte gesunken ist.

(6) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

f(x) = �3e

2x2+ 5

und geben Sie ihre Umkehrfunktion mit Definitions- und Bildbereich an.

(7) Lösen Sie für a > 0 die logarithmische Gleichung

ln (ax) = b.

(8) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen von

Page 19: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

9

(a) lg(x� 1) = 2

(b) ln(x+ 1) + ln(x� 2) = ln(4)

(c) (ln(x))

x

= 1

(d) x

lg(x)= 10

9

(e) ln (

px) + ln

�x

2�= �5

(9) Finden Sie die Lösung von

3

2 lnx

= ln 9.

(10) Skizzieren Sie die Funktion

f(x) = lnx

2

und geben Sie ihren Definitions- und Bildbereich an. Geben Sie ihre Umkehrfunk-tion mit Definitions- und Bildbereich an und skizzieren Sie auch diese.

Page 20: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 5

(1) Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. Eine Übersicht der Ableitungen elemen-tarer Funktionen finden Sie im Buch.

(a) f(x) = 186.5

(b) f(x) = 5x� 1

(c) f(x) = x3 � 4x+ 6

(d) y = x�2/5

(e) f(t) =1

4

(t4 + 8)

(f) V (r) =4

3

⇡r3

(g) Y (t) = 6t�9

(h) G(x) =px� 2ex

(i) F (x) =

✓1

5

x

◆5

(j) y =

x2 + 4x+ 3px

(k) y = ax2 + bx+ c

(l) y = 4⇡2

(m) H(x) = (x+ x�1)

3

(n) u =

5pt+ 4

pt5

(o) z =

A

y10+Bey

(2) Bestimmen Sie die Ableitung von y = (x2 +1)(x3 +1) auf verschiedenen Wegen.Wenden Sie dazu die Produktregel an bzw. multiplizieren Sie aus. Stimmen diebeiden Lösungen überein?

(3) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion F (x) =x� 3x

pxp

xauf zwei verschie-

denen Wegen. Benutzen Sie die Quotientenregel bzw. vereinfachen Sie, indem SieRegeln der Potenzrechnung anwenden. Sie werden sehen, dass beide Wege zurselben Ableitung führen. Welchen Weg bevorzugen Sie?

(4) Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung.

(a) f(x) = x4ex

(b) f(x) = x5/2ex

(c) f(x) =x2

1 + 2x

(d) f(x) =x

3 + ex

(5) Eine weitere Möglichkeit eine Ableitung darzustellen ist die Leibniz-Darstellung,die in den folgenden Aufgaben verwendet wird. Die Darstellungsformen sehen Siein der Aufgabe a); hier ist g(x) = 3x�1

2x+1 .1

Page 21: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

(a) g0(x) =dg

dx=

d

dx

3x� 1

2x+ 1

(b)df

dx=

d

dx

ex

x2

(c)df

dx=

d

dx(1 + x2) arctan(x)

(d)dV

dx=

d

dx(2x3 + 1)(x4 � 2x)

(e)df

dx=

d

dx

px ln(x)

(f)dF

dt=

d

dtlog5(t)

(g)dF

dx=

d

dx

ln(x)

1 + x

(h) f 0(x) =

df

dx=

d

dx(x� sin(x))

(i)dy

dx=

d

dx(sin(x) + 10 tan(x))

(j) v(t) =ds

dt= s =

d

dtt3 cos(t)

(k)df

dx=

d

dx2x log10(x)

(l)df

dx=

d

dx

1

cos(x)

(6) Berechnen Sie die Ableitungen von:

(a) f(x) = 2x3 + 2 cos 3x

(b) f(x) = 2e3x � 2x4 � tan 2x

(c) f(x) = 3x3e5x cos 2x

(d) f(x) =x2 + 3x

x2 � 1

(e) f(x) = 3ex�2psin(4x)

(f) f(x) =

px� 1

px+ 1

(g) f(x) = (x� 1)

px2 � 2x+ 2

(h) f(x) =

✓x3 � 1

2x3 + 1

◆4

(7) Differenzieren Sie die angegebenen Funktionen und geben Sie die Definitionsbe-reiche der Funktionen und ihrer Ableitungen an.

(a) d(x) = 4px2 � 2x

(b) H(↵) =

r↵+ 1

↵� 1

(c) y(t) = t2 · tan✓1

t2

(d) e(y) = 3p5y2 � 7y + 2

(e) f(x) =3x2 � 4px · (x2 � 4)

(f) z(t) = cos

⇣et2

(g) g(z) = 3z2pz � 5

(h) x(t) = e3t · sin�2t2 + 2

(i) r(t) =pcos

4(t) + sin

4(t)

(8) Diskutieren Sie folgende Funktion:

f(x) =3x� 6

4x2 � 20x+ 25

.

(9) Das Hubble Teleskop wurde am 24. April 1990 mit der Discovery in das Allgebracht. Ein Modell für die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs vom Start bei

Page 22: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

3

t = 0 und dem Abwurf der Feststoffraketen bei t = 126s ist gegeben durchv(t) = 0.0003968t3 � 0.02752t2 + 7.16t� 0.937

in Metern pro Sekunde. Benutzen Sie dieses Model, um das absolute Minimumund das absolute Maximum der Beschleunigung des Raumfahrzeuges zwischenStart und Abwurf der Raketen zu bestimmen.

(10) Zwischen 0°C und 30°C kann man das Volumen V (in Kubikzentimeter) voneinem Kilogramm Wasser zur Temperatur T durch die Gleichung

V (T ) = 999.87� 0.06426T + 0.0085043T 2 � 0.0000679T 3

angeben. Bestimmen Sie die Temperatur, bei der Wasser die größte Dichte hat.

(11) Ein Objekt mit der Masse m wird auf einer horizontalen Ebene durch eine Seil-kraft gezogen. Das Seil schließt einen Winkel ✓ mit der Ebene ein. Die Kraft kannman durch

F (✓) =µmg

µ sin(✓) + cos(✓)angeben.Dabei ist µ eine positive Konstante, die man Reibungskoeffizient nennt.Für den Winkel gilt 0 ✓ ⇡/2. Weisen Sie nach, dass die Kraft F am kleinstenist, wenn tan(✓) = µ.

Page 23: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 6

(1) Bestimmen Sie die allgemeine Stammfunktion der Funktion. Überprüfen Sie IhrErgebnis, indem Sie die Ableitung bilden.

(a) f(x) = x� 3

(b) f(x) =

1

2

x

2 � 2x+ 6

(c) f(x) =

1

2

+

3

4

x

2 � 4

5

x

3

(d) f(t) = 8t

9 � 3t

6

+ 12t

3

(e) g(x) = (x+ 1)(2x� 1)

(f) g(x) = x(2� x)

2

(g) f(x) = 5x

14 � 7x

34

(h) v(t) = 2t+ 3t

1.7

(i) f(x) = 6

px� 6

px

(j) f(x) =

4px

3

+

px

4

(2) Berechnen Sie folgende Integrale

(a)1´0

xe

x

2dx

(b)´(x+ 2) ln(x

2

+ 4x) dx

(c)3´2

dx

x · ln(x)(d)´sin(x) cos(x)e

�2 cos

2(x)

dx

(e)3pln 2´0

4x

2

e

2x

3dx

(f)e´1

dx

x · (1 + ln(x))

(g)´x

2

e

x

dx

(h)´x

2

cosx dx

(i)´x

3

cosx dx

(j)´x

3

e

x

dx

(k)´x lnx dx

(l)´cos(lnx) dx

(m)´x

3

e

x

2dx

(n)´

xp1� x

4

dx

(3) Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f , die die gegebenen Bedin-gungen erfüllt. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Graphen von f undF vergleichen.

(a) f(x) = 5x

4 � 2x

5

, F (0) = 5

(b) f(x) = 4� 3(1 + x

2

)

�1

, F (0) = 1

1

Page 24: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

(4) Bestimmen Sie die Funktion f .

(a) f

00(x) = 6x+ 12x

2

(b) f

00(x) = 2 + x

3

+ x

6

(c) f

00(x) =

2

3

x

2/3

(d) f

00(x) = 6x+ sin(x)

(e) f

000(t) = e

t

(f) f

000(t) = t�

pt

(g) f

0(x) = 1� 6x, f(0) = 8

(h) f

0(x) =

px(6 + 5x), f(1) = 10

(i) f

0(t) = 2 cos(t) +

1

cos

2

(t)

, �⇡/2 < t < ⇡/2, f(⇡/3) = 4

(j) f

0(x) = x

�1/3

, f(1) = 1, f(�1) = �1

(k) f

00(x) = 24x

2

+ 2x+ 10, f(1) = 5, f

0(1) = �3

(l) f

00(✓) = sin(✓) + cos(✓), f(0) = 3, f

0(0) = 4

(m) f

00(x) = 2� 12x, f(0) = 9, f(2) = 15

(5) Bestimmen Sie die unbestimmten Integrale. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durchDifferentiation.

(a)ˆ

10

x

9

dx

(b)ˆ

5� 4x

3

+ 2x

6

x

6

dx

(c)ˆ

u

4

+ 3

pu

u

2

du

(d)ˆ

cos(✓)� 5 sin(✓) d✓

(e)ˆ

3e

x

+

1

cos

2

(x)

dx

(f)ˆ

2

px+ 6 cos(x) dx

(g)ˆ

x

5 � x

3

+ 2x

x

4

dx

(h)ˆ

2 + x

2

1 + x

2

dx

Page 25: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

TH Bingen Fachbereich 2 Michael RuhrländerVorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 7

(1) Berechnen Sie für die Vektoren u =

2

41

1

2

3

5, v =

2

4�2

3

�1

3

5 und w =

2

4�1

2

�4

3

5

(a) u+ v

(b) u� v

(c) �2u+ 3v

(d) (u+ v) +w

(e) u+ (v +w)

(2) Berechnen und zeichnen Sie jeweils ~a, ~b, ~a +

~b, ~a � ~b und den Betrag���~a+

~b���

sowie den Argumentwinkel arg(~a+~b), den Winkel zwischen der x-Achse und demVektor, gemessen in math. positiver Richtung:

(a) ~a =

✓2

�3

◆, ~b =

✓1

5

◆;

(b) ~a =

✓�2

�3

◆, ~b =

✓�4

�5

◆;

(c) ~a =

✓1

�3

◆, ~b = 2

✓�4

6

◆;

(d) ~a =

✓�5

�2

◆, ~b = �4

✓�10

11

◆;

(3) Welche Länge hat der Vektor v =

�2

5

�?

(4) Berechnen Sie den Einheitsvektor in Richtung v =

�2

5

�.

(5) Der Vektor

0

@3

�6

z

1

A hat die Länge 7 und den Anfangspunkt (�2, 5, 8). Bestim-

men Sie den Endpunkt dieses Vektors.

(6) Berechnen Sie die Projektion von v =

2

4�1

3

2

3

5 auf u =

2

43

2

1

3

5

(7) Berechnen Sie die Projektion des Vektors ~a auf den Vektor ~b und umgekehrt.Überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Zeichnung:

(a) ~a =

✓5

�3

◆, ~b =

✓2

7

◆;

(b) ~a =

✓�5

2

◆, ~b = �4

✓�10

�25

◆;

1

Page 26: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

2

Abbildung 0.1. Satz des Thales

(c) ~a =

✓17

�12

◆, ~b =

✓�8

13

◆.

(8) Sei ABC ein Dreieck und

a =

��!CB,b =

�!CA, c =

��!AB.

Sei M der Lotpunkt von C auf c und

h =

��!CM,q =

��!MB,p =

��!MA.

Zeigen Sie:(a) Stehen a und b senkrecht aufeinander, so gilt: |h|2 = |p| · |q| (Höhensatz)(b) Ist � der Winkel zwischen a und b, so gilt: |c|2 = |a|2+ |b|2� 2 |a| |b| cos(�)

(Kosinussatz)(c) Stehen a und b senkrecht aufeinander, so gilt: |c|2 = |a|2 + |b|2 (Satz des

Pythagoras)(9) Beweisen Sie mithilfe der Vektorrechnung den Satz des Thales: Verbindet man

einen Punkt auf einer Kreislinie mit den beiden Endpunkten eines Durchmessersdes Kreises, so bilden die beiden Verbindungslinien einen rechten Winkel.

(10) Gegeben sind die Punkte A = (1,�1, 2), B = (2, 1, 3), C = (4, 0, 1). Unter

Einwirkung einer konstanten Kraft F =

2

41

1

1

3

5 bewegt sich ein Massenpunkt m

von A nach B. Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit (Krafteinheit: 1 Newton(N), Längeneinheit: 1 Meter (m)), falls(a) m sich auf kürzestem Weg von A nach B bewegt?(b) m sich von A nach B längs der Strecken AC und CB bewegt?

(11) Sie schwimmen mit einer Geschwindigkeit von 1

ms quer zu einem Fluss, dessen

Strömung 3

kmh beträgt.

(a) In welche Richtung bewegen Sie sich im Fluss?(b) Nach welcher Zeit erreichen Sie das gegenüberliegende Ufer?(c) In welche Richtung müssen Sie schwimmen, wenn Sie genau am gegenüber-

liegenden Ufer ankommen wollen.

Page 27: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

3

(12) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Kanten eines Würfels und seiner Raum-diagonalen.

(13) Zeigen Sie: Haben Summe und Differenz zweier Vektoren gleichen Betrag, sostehen sie senkrecht zueinander.

(14) An einem Werkstück (Punkt) greifen drei Kräfte

~F1 =

0

@2

3

4

1

A; ; F2 =

0

@�1

�2

3

1

A und F3 =

0

@2

1

�5

1

A

an.(a) Berechnen Sie die resultierende Kraft (Summe) und ihren Betrag.(b) Berechnen Sie die Winkel zwischen der resultierenden Kraft und den Einzel-

kräften.

(15) (a) Zerlegen Sie den Vektor ~v =

0

@1

�3

1

1

A in zwei Summanden parallel und

orthogonal zu ~a =

0

@1

2

3

1

A.

(b) Kann jeder dreidimensionale Vektor auf diese Art zerlegt werden? BegründenSie Ihre Antwort!

(16) Welche Vektoren stehen senkrecht auf✓

2

1

◆. Zeichnen Sie diese Vektoren mit

dem Anfangspunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Welches geometrischeObjekt bilden die Endpunkte?

(17) Für welches � steht ~a + �~b senkrecht auf ~c. Berechnen Sie � allgemein und fürdie Beispiele(a)

~a =

0

@3

7

�5

1

A;

~b =

0

@�2

2

0

1

A; ~c =

0

@2

4

�5

1

A

(b)

~a =

0

@�4

�6

8

1

A;

~b =

0

@�1

3

2

1

A; ~c =

0

@2

4

�5

1

A

(18) Ein Flugzeug möchte mit einer Geschwindigkeit von 510 km/h in Richtung Nord-westwest über Grund fliegen. Welche Geschwindigkeit und welchen Kurs muss derPilot bei einem Südwestwind von 40 km/h einhalten?

Page 28: symmetrische Differenz Zahlenbereiche und Rechenregeln. · Vorkurs Mathematik Aufgaben Kapitel 3 Gleichungen. (1) Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen folgender Gleichungen:

4

(19) Eine Straßenlampe der Masse m = 10 kg ist im Punkt A an einem Seil, das in zweiPunkten P und Q in gleicher Höhe über der Erde befestigt ist, montiert. JedesSeilstück wird als Gerade betrachtet. Die Punkte P und Q haben den Abstanda = 9 m, das Seilstück PA ist um ↵ = 30

� geneigt und hat die Länge s = 3 m.Bestimmen Sie die Richtungsvektoren der Seilstücke und die Seilkräfte.

(20) Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren u =

2

4�1

4

�3

3

5 und v =

2

43

2

�5

3

5.