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Syntax der Aussagenlogik Für die Syntax der Aussagenlogik legen wir fest: (1) als Alphabet: die Menge der kleinen lateinischen Buchstaben, gegebenenfalls indiziert; vereinigt mit der Menge der aussagenlogischen Verknüpfungssymbole (Junktoren): {, , , , }; vereinigt mit der Klammernmenge {(,)} sowie der Menge {W, F}; (2) als Konstruktionsregeln für die syntaktisch korrekten Zeichenketten, hier zulässige Ausdrücke (ZA) genannt: (2.1) kleine lateinische Buchstaben, gegebenenfalls indiziert, sind ZA; (2.2) die Zeichen W, F sind ZA; (2.3) bezeichnen A, B ZA, so sind auch ZA: (A), (A), (AB), (AB), (A (2.4) äußerste Begrenzungsklammern können weggelassen werden; (2.5) für die Junktoren gelten folgende Prioritäten: “vor “” (“”) vor Theorie der unscharfen Mengen

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Syntax der AussagenlogikFür die Syntax der Aussagenlogik legen wir fest:

(1) als Alphabet: die Menge der kleinen lateinischen Buchstaben, gegebenenfalls indiziert; vereinigt mit der Menge der aussagenlogischen Verknüpfungssymbole (Junktoren): {, , , , }; vereinigt mit der Klammernmenge {(,)} sowie der Menge {W, F};

(2) als Konstruktionsregeln für die syntaktisch korrekten Zeichenketten, hier zulässige Ausdrücke (ZA) genannt:(2.1) kleine lateinische Buchstaben, gegebenenfalls indiziert, sind ZA;(2.2) die Zeichen W, F sind ZA;(2.3) bezeichnen A, B ZA, so sind auch ZA: (A), (A), (AB), (AB),

(A(2.4) äußerste Begrenzungsklammern können weggelassen werden;(2.5) für die Junktoren gelten folgende Prioritäten: “”vor “” (“”) vor

“”vor””Die damit entbehrlichen Klammern können entfallen;(2.6) es bestehen zunächst keine weiteren Vereinbarungen.

Theorie der unscharfen Mengen

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Semantik der Aussagenlogik

(1) W steht für den Wahrheitswert “wahr” (für eine wahre Aussage),

F für den Wahrheitswert “falsch” (für eine falsche Aussage);

(2) kleine lateinische Buchstaben bedeuten Aussagenvariablen. Diese lassen sich als “wahr” oder “falsch” interpretieren, indem man ihnen durch eine Funktion einen Wahrheitswert zuordnet:

(a) = W: a wird mit einer wahren Aussage belegt;

(a) = F: a wird mit einer falschen Aussage belegt.

(4) der Wahrheitswert (A(x1, ..., xn)) eines n-stelligen zulässigen Ausdrucks A(x1, ..., xn) berechnet sich bei gegebenen Wahrheitswerten (x1), ..., (xn) {W, F} gemäß

(A(x1, ..., xn)) = A ((x1), ..., (xn)).

(3) die Bedeutung der 5 Junktoren erklären wir später;

Theorie der unscharfen Mengen

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Normalformen

Definition

Besteht ein ZA aus der Konjunktion von Disjunktionen der Variablen bzw. Deren Negationen, so heißt diese Darstellung eine Konjunktive Normalform (KNF).

Theorie der unscharfen Mengen

Satz

(1) Jeder ZA läßt sich durch Äquivalenz-Umwandlungen in einer KNF darstellen.

(2) Die KNF ist syntaktisch nicht eindeutlich.

(3) Ein ZA ist allgemeingültig, wenn in allen Disjunktionen seiner KNF wenigstens eine Variable negiert und zugleich nicht-negiert vorkommt.

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Aussagenlogische Folgerung Theorie der unscharfen Mengen

.

1A

2A

mA

...

Operationen des Schließens

Schlußregeln

Wenn Dann 1B

2B

kB

...

Prämissen logische Verarbeitung

Konklusionen

Darstellung des logischen Schließens

Definition

Seien A1, …, Am, B1, …, Bk n-stellige ZA. Dann heißen die B1, …, Bk aussagenlogische Folgerungen aus den A1, …, Am, wenn mit jeder Belegung x1), ..., xn in A1, …, Am, für die (A1) = ...= (Am) =W (m1) ist, auch gilt

(B1) = ...= (Bk) = W (k1) .

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Schlußfiguren Theorie der unscharfen Mengen

.

DefinitionAls Modus ponens (“Abtrennungsregel”) bezeichnet man die Schlußfigur

a b “wenn a, dann b”a “nun aber a”

b “also b”DefinitionAls Modus tollens (“Widerlegungsregel”) bezeichnet man die Schlußfigur

a b “wenn a, dann b” b “nun aber nicht b”

a “also nicht a”

DefinitionAls Modus barbara (Kettenschluß) bezeichnet man die aussagenlogische Schlußfigur

a b “wenn a, dann b”b c “wenn b, dann c”a c “wenn a, dann c”

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Unscharfe Aussagenlogik

Theorie der unscharfen Mengen

.

Lukasiewicz-Logik

DefinitionDie einstellige Negation () sowie die zweistelligen Verknüpfungen Konjunktion (), Disjunktion (), Implikation und Äquivalenzrelation ()seien durch folgende Verknüpfungstafeln festgelegt:

1 1/2 0 1 1/2 0 1 0 1 1 1/2 0 1 1 1 1

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1 1/2 1/2 0 1 0 0 0 0 0 1 1/2 0

1 1/2 0 1 1/2 0 1 1 1/2 0 1 1 1/2 0

1/2 1 1 1/2 1/2 1/2 1 1/2 0 1 1 1 0 0 1/2 1

-Operator: a (a b) = min ( (a), (b)); (a b) = max ( (a), (b));

(a b) = min (1, 1+ (b)- (a)); (a b) = 1 - | (a)- (b)|.

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Unscharfe Aussagenlogik

Theorie der unscharfen Mengen

.

Lukasiewicz-Logik

Satz

(1) Die in der dreiwertigen Lukasiewicz-Logik (AL3) allgemeingültigen Ausdrücke (speziell alle Äquivalenzen) gelten bei entsprechender Interpretation von Variablen und Junktoren auch in der klassischen Logik (die Umkehrung gilt nicht!)

(2) Die dreiwertige Lukasiewicz-Logik ist syntaktisch und semantisch entscheidbar; ein Entscheidungsverfahren ist die Methode der Wahrheitstafeln.

(3) Der Normalformsatz der klassischen Aussagenlogik ist in der dreiwertigen Lukasiewicz-Logik nicht anwendbar.

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Syntax der unscharfen Aussagenlogik

Theorie der unscharfen Mengen

.

]1;0[)( a : 1)( a : a ist wahr; 0)( a : a ist falsch.

(1) das Alphabet der zulässigen Zeichen besteht aus:

- der Menge der kleinen lateinischen Buchstaben, gegebenenfalls indiziert

(für die unscharfen Aussagenvariablen);

- der Menge der Junktoren: {, , , , };

- der Menge {1, 0} für die wahre bzw. falsche Aussagenkonstante;

- der Klammernmenge {(,)}.

(2) die Regeln zur Konstruktion syntaktisch korrekter Zeichenketten, hier zulässige Ausdrücke (ZA) genannt:

- kleine lateinische Buchstaben, gegebenenfalls indiziert, sind ZA;

- die Zeichen 0, 1 sind ZA;

- mit A, B sind auch folgende Ketten ZA: (A), (A), (AB), (AB),

(A- äußerste Begrenzungsklammern dürfen weggelassen werden;

- Prioritätenfolge für die Junktoren: “”, “” (“”), “”,””- mehrgliedrige Ausdrücke nur in “” bzw. nur in “” bzw. nur in ”” müssen

nicht geklammert werden (wegen der Assoziativität dieser Verknüpfungen).

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Semantik der unscharfen Aussagenlogik

Theorie der unscharfen Mengen

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(1) Ist die Menge aller ZA, so wird mit dem -Operator gemäß

]1;0[: jedem ZA ein Wahrheitswert zugeordnet.

Für einen n-stelligen ZA )...,,( 1 nxxA : ))(...,),(())...,,(( 11 nn xxAxxA .

(2) Die Junktoren bezeichnen die unscharfe logische Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenzrelation.

Definition

(a) Der n-stelligen ZA )...,,( 1 nxxA heißt allgemeingültig (eine unscharfe logische Tautologie), wenn

1))...,,(( 1 nxxA

ist für alle ))(...,),(( 1 nxx .

(b) A heißt erfüllbar, wenn es wenigstens ein Tupel ))(...,),(( 1 nxx mit

0))...,,(( 1 nxxA gibt.

(c) A heißt unerfüllbar, wenn A allgemeingültig ist.

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Unscharfe logische Äquivalenz und Implikation

Theorie der unscharfen Mengen

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Definition

(1) Besitzt der (unscharfe logisch) allgemeingültige ZA )...,,( 1 nxxA die Form einer Äquivalenzrelation zweier ZA B, C:

),...,,()...,,( 11 nn xxCxxB so kennzeichnen wir die unscharfe logische Tautologie durch das Zeichen und nennen

),...,,()...,,( 11 nn xxCxxB eine unscharfe - logische Äquivalenz.

(2) Hat der allgemeingültige ZA )...,,( 1 nxxA die Form einer Implikation zweier ZA B, C:

),...,,()...,,( 11 nn xxCxxB so kennzeichnen wir diese Tautologie durch das Zeichen und nennen

),...,,()...,,( 11 nn xxCxxB eine unscharfe logische Implikation.

Satz (1) In der FL ist die Äquivalenzrelation äquivalent der wechselseitigen Implikation:

).()( abbaba

(2) In der FL gilt die Implikation: ).()( abba

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Approximatives Schließen

Theorie der unscharfen Mengen

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Eine unscharfe Wenn-Dann Regel hat die Form

Wenn X den Wert A annimmt, dann ist Y gleich B,

wobei A und B linguistische Variabeln einer Menge von Merkmalen X und Y sind. Beispiele:

• Wenn der Druck groß ist, ist das Volumen klein. • Wenn die Straße nass ist, ist das Fahren gefährlich. • Wenn die Banane gelb ist, ist sie reif.

Im Allgemeinen: Wenn X1 den Wert A1, X2 den Wert A2, … und Xn den Wert An annehmen,

dann ist Y gleich B. Anwendungen:

a) Steuerungstechnik (fuzzy control);

b) Mustererkennung: Bilderkennung und Bildanalyse;

c) Expertensysteme

d) Entscheidungs- und Optimierungsmodelle (decision making)

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Possibilitätsverteilungen

Theorie der unscharfen Mengen

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Definition 1) Liegt eine unscharfe Aussage p: „X nimmt den Wert A an“ über einer Grundmenge G für X vor, wobei A eine unscharfe Menge auf G ist, so impliziert p eine

Possibilitätsverteilung (possibility distribution) X gemäß X =A und es gilt, dass

)()ist|( uAXuXposs A .

2) Wenn unscharfe Aussagen von n>1 linguistischen Variablen nXX ,...,1 abhängen,

so impliziert dies die linguistische Form einer unscharfen Relation ),...,(~~

1 nXXRR :

),...,()ist,...,ist|,...,( 1...1111 1 nAAnnnn uuAXAXuXuXpossn

sind die Werte von ),...,(~~

1 nXXRR .

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Zylindrische Erweiterung

Theorie der unscharfen Mengen

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Definition

Mit ),...,( 1 kiis als Teiltupel von (1, …, n), k n, mit den Grundmengen

nGGG ...1 und ikis GGG ...1 , sei die k-stellige unscharfe Relation R~

auf

sG erklärt. Dann heißt die n-stellige unscharfe Relation

RzylRz

~:

~

die zylindrische Erweiterung von R~

auf G, wenn für alle Gxx n )...,,( 1 gilt, dass

)...,,()...,,( 1~1~ ikiRnRzylxxxx .

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Regeln der maximalen und minimalen Restriktion

Theorie der unscharfen Mengen

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Es seien AX und BY die Possibilitätsverteilungen für Prämissen und Konklusionen. Dann gehört zu jeder unscharfen Aussage der Form: X ist A, Y ist B. eine Possibilitätsverteilung.

Die Frage ist: Welche Possibilitätsverteilung ),( YX ist anzusetzen, wenn eine

bestimmte logische Verknüpfung von AX und BY gegeben ist?

Definition Für „und“ und „oder“ Verknüpfungen gilt: (1) Als Regel der maximalen Restriktion bezeichnen wir die Schlußfigur

AX und BY

BAYX ),(

wobei das kartesische Produkt BA durch die Zugehörigkeitsfunktion ))(),((min),()( yxyx BABA definiert ist.

(2) Als Regel der minimalen Restriktion bezeichnen wir die Schlußfigur

AX oder BY ,

BAYX ),(

mit ))(),((max),()(

yxyx BABA

.

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Wenn-dann-Inferenzregeln

Theorie der unscharfen Mengen

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Definition (1) Als Wenn-Dann-Inferenzregel (Zadeh) bezeichnet man die Schlußfigur

Wenn AX dann BY

)()( 2),( GABAYX

wobei BA über 21 GG als Grundmenge zu bilden ist; mit

)).(1)),(),(((minmax),(

);(1)1),(1(min),(

)()( 2

2

xyxyx

xxyx

ABAGABA

AAGA

(2) Als Wenn-Dann-Sonst-Inferenzregel (IF-THEN-ELSE-Rule) bezeichnet man die Schlußfigur

Wenn AX dann BY , sonst CY

)()(),( CABAYX

(3) Als allgemeines IF-THEN-ELSE-Regelsystem bezeichnen wir die Schlußfigur

Wenn 1AX dann 1BY sonst

(wenn 2AX dann 2BY sonst …

(wenn nX A dann nY B )…)

)(...)()( 2211),( nnYX BABABA

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Die Kompositionsregel

Theorie der unscharfen Mengen

.

Definition

Es seien ),(~~

),,(~~

2211 ZYRRYXRR unscharfe Relationen über den Grundmengen

21 GG bzw. 32 GG . Dann heißt die Schlußfigur

),(~

),(~

2),(

1),(

ZYR

YXR

ZY

YX

),(~

),(~

12),( YXRZYRZX die Kompositionsregel der Inferenz (compositional rule of inference).

Hier * steht für eine max-t-Komposition der Relation 1

~R mit 2

~R ; t für eine

t-Norm. Wenn t=min ist, dann

))).,(),,(((minmax),( 21~~12

zyyxzxYyRR

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Die Kompositionsregel

Theorie der unscharfen Mengen

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Beispiel }5,4,3,2,1{: 321 GGGG ,

),(~

1),( YXRYX : „X ist sehr viel größer als Y“;

),(~

2),( ZYRZY : „Y ist ungefähr gleich Z“:

1

~R 1 2 3 4 5 2

~R 1 2 3 4 5

1 0 0 0 0 0 1 1 0,5 0,1 0 0 2 0,2 0 0 0 0 2 0,5 1 0,5 0,1 0 3 0,5 0,2 0 0 0 3 0,1 0,5 1 0,5 0,1 4 0,8 0,5 0,2 0 0 4 0 0,1 0,5 1 0,5 5 1 0,8 0,5 0,2 0 5 0 0 0,1 0,5 1

),(~

),(~

12),( YXRZYRZX : „X ist im allgemein sehr viel größer als Y“

2

~R * 1

~R 1 2 3 4 5

1 0 0 0 0 0 2 0,2 0,1 0,02 0 0 3 0,5 0,25 0,1 0,02 0 4 0,8 0,5 0,25 0,1 0,02 5 1 0,8 0,8 0,25 0,1

),(~

),(~

12 YXRZYR - max-Produkt-Komposition:

)).,(),((max),(2112

~~~*

~ zyyxzxRRyRR

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Der generalisierte modus ponens

Theorie der unscharfen Mengen

.

Definition Es seien A, A' unscharfe Mengen über einer Grundmenge ;1G B, B' unscharfe Mengen über einer Grundmenge 2G . Dann heißt die Schlußfigur

BYAX

AX

gleichist dannistWenn

'ist oder BA

A

'

'ist BY 'B der generalisierte modus ponens. Die Wenn-dann-Prämisse wird durch einen unscharfen Implikations-Operator formalisiert.

Implikations-Operatoren Zadeh-Implikations-Operator: )1),,((minmax),( xyxyxIZAD

Mamdani-Implikations-Operator: ),(min),( yxyxIMAM Lukasiewicz-Implikations-Operator: )1,1(min),( yxyxILUK

Gödel-Implikations-Operator:

sonst,

,1),(

y

yxyxIGÖD

Kleene-Dienes- Implikations-Operator: ),1(max),( yxyxIKLE

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Der generalisierte modus ponens

Theorie der unscharfen Mengen

.

Beispiel }4,3,2,1{: 21 GGG ,

(4;1)}(3;0,7),(2;0,5),{(1;0,1),Gross""~

AX ;

(4;1)}(3;0,9),(2;0,6),{(1;0,3),"grossEtwas"'~

AX ;

(4;0,1)}(3;0,4),(2;0,8),{(1;1),Klein""~ BY .

Für Gödel-Implikation und max-min Komposition gilt:

„Gross“ “Klein“ 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 0,4 0,1 3 1 1 0,4 0,1 4 1 0,8 0,4 0,1

BA

A

'

'B

)"Klein""Gross(""grossEtwas" :

1 2 3 4 1 1 0,9 0,4 0,3

'B = "kleinZiemlich"