Folie 1

!!

!!

1

2

3

4

x

xx

xx

e1

12

34

Taylor-Reihen

Folie 2

-1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

x

f x

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Tangenten hatten wir den Begriff der Linearisierung eingeführt. Dies bedeutet, dass eine Funktion in einem Teilbereich durch eine Tangente ersetz wird. In Formeln:

Frage:

Ist die Linearisierung eine gute Näherung für eine Funktion?

Antwort:

… hängt ganz davon ab …Bei x0

=0 wird z.B. die gezeigte Funk-tion

recht gut durch die entsprechende

Tangente beschrieben. Bei x0

=1.7 klappt es schlecht, eine Parabel

wäre besser.

( ) ( ) ( )0 0 0f x f x f x x x

0x 0

.0x 1 7

Taylor-Reihen

Folie 3

Taylor-Reihe einer Funktion:Man kann Funktionen besser annähern, indem man zur Linearisierung noch weitere Terme hinzufügt und zwar folgendermaßen:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 440 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x2 6 24

Taylor-Reihen

Zur Systematik der höheren Terme: Um Terme bis zur n-ten

Ordnung auf der rechten Seite hinzuzufügen, müssen

die ersten n Ableitung berechnet und am Entwicklungspunkt ausgewertet werden. Die Vorfaktoren sind so bestimmt, dass die Ableitungen der Taylor-Reihe (rechte Seite) im Entwicklungspunkt mit der Ableitung der Originalfunktion übereinstimmen.(siehe auch nächste Folie.)

Wie bei der Tangentenberechnung, ist die Unterscheidung von x und x0 wichtig. Die Stelle x0 ist fest vorgegeben und bezeichnet den Entwicklungspunkt (bei der Linearisierung auch Arbeitspunkt genannt). Die unabhängige Variable in der heißt x.

Folie 4

Die Taylor-Reihe ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 44

0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x2 6 24

( )

( )

( )

( )( )!

Beachte, für die Fakultät gilt: ! , ! , ! , ! , ...

( ) bezeichnet die -te Ableitung an der Stelle ,entsprechend bezeichnet

( ) die Originalfunktion bei

kk0

0k 0

n0

00

0

f xf x x xk

0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3

f x nx

f x

.0x

Taylor-Reihen

lässt sich mit Hilfe von Summenzeichen und Fakultät sehr kompakt schreiben:

( )( )

( )( ) ( )!

nkk n0

0 0k 0

f x x x f xk

Die Aussage der vorigen Folie bzgl. der Ableitungen heißt damit übersetzt:

Folie 5

Unter geeigneten Voraussetzungen kann eine Funktion exakt durch Taylor-Reihe (Summe mit ∞

vielen Termen) dargestellt werden.

In der Praxis begnügt man sich oft mit den ersten Termen der Taylor-Reihe, mit einem so genannten Taylor-Polynom, dies benutzt man dann als Näherung für die Ausgangsfunktion:

Anders ausgedrückt:

Bzgl. weiteren ‚Details‘, wie etwa möglichen Einschränkungen bei Tylor-Näherungen, Güte der Näherung (Wie groß

ist der ‚Rest‘?) und Konvergenzradien sei auf weiterführende Literatur verwiesen.

( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!nn

0 0 0 0 0 n x01f x f x f x x x f x x x P xn

,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rest20 0 0 0 0 n x0

1f x f x f x x x f x x x P x2

Taylor-Reihen

Folie 6

1 2 3 4 5x

5

10

15

20

25

30Die nebenstehende Grafik zeigt wie sich Taylor-

Plynome

mit zunehmen- der

Anzahl von Termen

immer besser an die zu beschreibende Funktionanschmiegen.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

0 0 0

20 0

30 0

440 0

f x f x f x x x1 f x x x21 f x x x61 f x x x

24

Taylor-Reihen

Folie 7

gesucht ist zunächst das Taylor-Ploynom1. Ordnung (Li

Ein e

und weite

nearis

infaches Berechnungsbeis

rhin ist der

ierung):( ) ( )

( )

piel:

(

( ) , ( )

,

näc

)

0

0

1x 0 0 0

3

n

0

0

4

1 x

P f x f x x x

f 0 1

f x 4 1 x f 0 4P

f x 1 0

1 4x

x x

hst höhere Term gesucht:

( ) ( ) ( )

( ) , ( )

0

0

2 x 0 0 0 0 0

2

2n 2 x 0

1P f x f x x x f x x x2

f x 12 1 x f 0 12

P 1 4x 6 x

-2 -1 0 1 2-5

0

5

10

15

20

x

f x

-2 -1 0 1 2-5

0

5

10

15

20

x

f x

-2 -1 0 1 2-5

0

5

10

15

20

x

f x

Taylor-Reihen

Folie 8

Anmerkungen:1.

Die Taylor-Reihe strebt i.a. nur gegen die Originalfunktion, wenn die x-Werte ‚nahe genug‘

am Entwicklungspunkt x0 liegen (Stichwort Konvergenzradius).

2.

Generell ist die Qualität der Näherung um so besser, je dichter das betrachtete ‚x‘ am Entwicklungspunkt x0 liegt und je mehr Terme im Taylor-Polynom

berücksichtigt werden. 3.

Zum Aufstellen des Taylor-Polynoms muss die Funktion hinreichend oft differenzierbar sein.

4.

Als Entwicklungspunkt bietet sich oftmals x0 = 0 an. Die Taylor-Reihe wird dann zu einer einfachen Potenzreihe (Mac-Laurin-Reihe).

Taylor-Reihen

Folie 9

Linearisierung

Taylor-Reihe einer Funktion

Mac-Laurin-Reihe (x0

=0)

Taylor-Polynom

( ) ( ) ( )0 0 0f x f x f x x x

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )!

2 30 0 0 0 0 0 0

kk0

0k 0

1 1f x f x f x x x f x x x f x x x2 6

f x x xk

( ),

( )

,

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )!

( )( )!

2 nn0 0 0 0 0 0 0 n x0

knk0

n x0 0k 0

1 1f x f x f x x x f x x x f x x x P x2 n

f xP x x xk

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )!

k2 3 k

k 0

1 1 f 0f x f 0 f 0 x f 0 x f 0 x x2 6 k

Taylor-Reihen Zusammenfassung

Folie 10

Rechenbeispiel: gesucht ist die Mac-Laurin-Reihe

von

Taylor-Reihen

( ) cos .f x x

( )

( ) ( )

( )Gesucht ist also die Taylor-Reihe ( ) mit .!

Wir bilden die ersten Ableitungen ( ) cos , ( ) sin , ( ) cos , ( ) sin , ( ) cos , ( ) sin ,

Einsetzen des Entwick

nn0

0 0n 0

4 5

f xf x x x x 0n

f x x f x x f x x f x x f x x f x x

( ) ( )

lungspunkts in Funktion und Ableitungen:

( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,Einsetzen in die Summenformel:

cos! ! ! ! !

!

04 5

0 1 2 3 4 5 6

x 0f 0 1 f 0 0 f 0 1 f 0 0 f 0 1 f 0 0

1 0 1 0 1 0 1x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 01 1 2 3 4 5 6

11 x2

! !In der Mac-Laurin-Reihe kommen nur Terme mit geraden Exponenten vor und zwar mit alternierenden Vorzeichen.

2 4 61 1x x4 6

Folie 11

Im vorhergehenden Rechenbeispiel wurde gezeigt:

cos! ! !

Um eine Verwechselung mit der jetzt gesuchten Funktion zu vermeiden, nennen wir die Variable um und schreiben das bekannte Erge

2 4 61 1 1x 1 x x x2 4 6

bnis als:

cos! ! !

Substituiert man jetzt , steht links die hier betrachtete Funktion und auf der rechten Seite ergibt sich die dazu gehörige Mac-Laurin-Reihe:

cos! !

2 4 6

3

3 6 12

1 1 1u 1 u u u2 4 6

u x

1 1x 1 x x2 4

!181 x

6

Taylor-Reihen Substitution

Gesucht sei jetzt die Mac-Laurin-Reihe

vonAnhand diese Beispiels wird gezeigt, wie sich in bestimmten Fällen die gesuchte Taylor-Reihe aus einer bekannten Reihe mittels Substitution bestimmen lässt.

( ) cos .3f x x

Folie 12

Warum ist die Darstellung einer Funktion als Potenzreihe nützlich?

Das Rechnen mit einfachen Potenzfunktionen ist einfacherer, als das mit komplizierten Funktionen

Manchmal kommt man überhaupt nur so weiter

Potenzfunktionen lassen sich leicht differenzieren und integrieren… das wollen wir im Folgenden ausnutzen.

z.B. cos( ) ( ) .2 2 3132x 1 x 1 2x x x

Taylor-Reihen Substitution

Folie 13

Rechenbeispiel:

Gesucht ist der Wert des Integrals bis mindestens auf die vierte Nachkommastelle genau.

cos1

3

0

x dx

Wir haben schon berechnet: cos! ! !

Anstelle der eigentlichen Funktion integrieren wir die ersten Terme der Taylor- bzw. Mac-Laurin-Reihe:

cos ...! ! !

3 6 12 18

13 6 12 18

0

1 1 1x 1 x x x2 4 6

1 1 1x dx 1 x x x d2 4 6

...! ! !

. . . ....

Man sieht, dass der vierte und folgende Terme die ersten vier Nachkommastellen nicht mehr beeinflussen.

Zum

1

01

7 13 19

0

x

1 1 1x x x x7 2 13 4 19 6

1 0 0714286 0 0032051 0 00007310 9317034

Vergleich, das 'exakte' Ergebnis ist: . ...0 93170444059154422608

Taylor-Reihen Integration

Folie 14

Zum Schluss, Mac-Laurin-Reihen

einiger wichtiger Funktionen:

Funktion Reihenentwicklung Konvergenzbereich

! ! ! !

ln( )

sin! ! ! !

cos! !

1 2 3 4x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 5 7

2 4

x x x xe 1 x1 2 3 4

x x x xx 1 1 x 11 2 3 4

1 1 x x x x 1 x 11 x

1 1 x x x x 1 x 11 x

x x x xx x1 3 5 7

x xx 12 4

! !

6 8x x x6 8

Taylor-Reihen Tabelle