Techmech_Formelsammlung

Formelsammlung Technische Mechanik

Skript erstellt von:Christian Küken

Fachhochschule KölnFachbereich VersorgungstechnikTechnische Gebäudeausrüstung

Februar 2000


Fachhochschule Köln / Fachbereich Versorgungstechnik / TGA / Februar 2000Christian Küken / [email protected] http://skript.vt.fh-koeln.de

Seite 2

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

AK

GKtan

HYP

AKcos

HYP

GKsin

=α

=α

=α

Trigonometrie am allgemeinen Dreieck

γβα sinsinsin

cba ==

Cosinussatz

γβα

cos2²²²

cos2²²²

cos2²²²

⋅−+=⋅−+=⋅−+=

abbac

accab

bccba

Sinussatz

Der Strahlensatz

Z

AB

CD

g1

g2

a

b

Werden sich schneidende Geraden g1 und g2 von zweiparallelen Geraden a und b geschnitten, so verhaltensich vom Geradenschnittpunkt Z aus gesehen die langenStrecken zu den kurzen Strecken, wie die anliegendlangen Strecken zu den anliegend kurzen Strecken.

AC

ZA

BD

ZB

AB

DC

ZB

ZD

AB

DC

ZA

ZC

ZB

ZD

ZA

ZC

==

==

α=α+

α=α+

α=

αα=α

α=

αα=α

=α⋅α=α+α

22

22

22

sin

1cot1

cos

1tan1

tan

1

sin

coscot

cot

1

cos

sintan

1cottan

1cossin

Beziehungen zwischen denFunktionen des gleichen Winkels:Winkelfunktionen:

α•

HYP

AK

GK

HYP HypothenuseAK AnkatheteGK Gegenkathete

γ

α β

ab

cA B

C



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Wichtige Winkeleigenschaften

α1

α2

β1 β2

Scheitelwinkel an sich schneidende Geraden sindimmer gleich groß.

α1 = α2 β1 = β2

α1

α2

β1

β2

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

α1 + β1 = 180° α2 + β2 = 180°

Stufenwinkel an geschinittenen Parallelen sindimmer gleich groß.

α1 = α2 β1 = β2

α1

α2

β1

β2Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sindimmer gleich groß.

α1 = α2 β1 = β2

•

α2

•α1

Wechselwinkel, deren Anfangsschenkel und Endschenkeljeweils paarweise senkrecht aufeinanderstehen, haben diegleiche Größe.

α1 = α2



Seite 4

Einheiten

[ ]2s

mkg]N[ ⋅=

[ ]²s²mkg]Nm[ ⋅=

Gewichtskraft

Ihr Angriffspunkt ist der Schwerpunkt des Körpers. Damit sind Betrag, Lage und Richtung der Gewichtskraft bekannt.

gmFG ⋅= mit g = 9,81 m/s²

Einzelkraft

Die Einzelkraft wird ersatzweise für die verteilten Kräfte eingesetzt und ist als deren Summe ihre Resultierende.

Kräfte, mit denen zwei Körper aufeinander wirken, haben eine gemeinsame Wirklinie und sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet (Aktionskraft = Reaktionskraft).

Seile, Ketten, Riemen u.ä. flexible Bauteile

Diese Bauteile können nur Zugkräfte in Seilrichtung aufnehmen. Durch Rollen werdendie Wirklinien der Zugkräfte umgelenkt. Die Zugkraft im Seil ist an jeder Stelle gleich,unabhängig davon, ob das Seil durch Rollen umgelenkt wurde.

Parallelführungen

Einseitige Parallelführungen und ebene Stützflächen können nur Druckkräfte übertragen, deren Wirklinien senkrecht auf den Stütz- oder Führungsflächen stehen. Dies sind die sogenannten Normalkräfte.

FN

FG

FNFG

[ ]ms

kg

ms

mkg

mN

2222 111Pa1⋅⋅

⋅ ===[ ]2mmN

[ ]3

2

s

mkgs

NmsJ 111W1 ⋅===

Kraft

Moment

Druck / Spannung

Leistung



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Einwertige Lager (Loslager)

Diese Lager lassen eine Längsverschiebung des gelagerten Bauteils zu, d.h. sie können nur eine senkrecht zur Stützfläche wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu.

Zweiwertige Lager (Festlager)

Festlager können Kräfte in beliebiger Richtung aufnehmen.

Gleichgewichtskraft

Die Gleichgewichtskraft ist so groß, wie die Resultierende, ist aber entgegengesetzt gerichtet und hat somit im Krafteck den gleichen Umfahrungssinn, wie die Vektoren der gegebenen Kräfte (Die Resultierende verläuft vom Anfang der ersten Kraft zum Ende der zweiten Kraft).

F1

F2

FGleichgewicht

F1

F2

FRes

Zweiggelenkstäbe

Diese können Zug- oder Druckkräfte aufnehmen, deren Wirklinie die Verbindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen. Die Form der Gelenkstäbe ist unerheblich.

Gelenke zwischen Stäben („Gerber Träger“)

Sind 2 Stäbe über ein Gelenk miteinander verbunden, so wird das System am Gelenk geteilt und die äußeren undinneren Kräft der beiden Teilsysteme (links und rechts vom Gelenk) getrennt ermittelt. Dabei stellt man sich das Gelenk als zweiwertiges Lager vor. Die Kraft am Gelenk (z.B. von rechts gesehen) dreht sich bei der Betrachtung deranderen Seite vom Richtungssinn her um, ist aber betragsmäßig gleich groß.

G



Seite 6

Rollkörper

Rollkörper können Radial- und Tangentialkräfte aufnehmen. Die Radialkräfte wirken stets auf den Berührungspunkt am freigemachten Körper zu. Die Tangentialkräfte wirken tangential am Berührungspunkt der Körper.

Radialkräfte Fr

F

Fr

Ftan

M

Tangentialkraft Ftan (z.B. Bremse)Radialkräfte bei Auflage

Lasten, die nicht an einem Knotenpunkt angreifen:

Der Stab an dem eine Kraft zwischen den Knotenpunkten angreift, ist kein reiner Zug-/Druckstab. Es treten hier zusätzliche Querkräfte auf, die zu einer Biegebeanspruchung führen.Die restlichen Stabkräfte lassen sich durch Aufteilung der angreifenden Kraft auf die beiden benachbarten Knoten,unter Beibehaltung ihrer Richtung (der angreifenden Kraft) berechnen:

B

C

c

b

FB

FC

F

cb

cFF

cb

bFF

C

B

+⋅=

+⋅=



Seite 7

Ebenes zentrales Kräftesystem

Im ebenen zentralen Kräftesystem muß gewöhnlich die Resultierende aller angreifendenKräfte FRes ermittelt werden. Dies geschieht über die Zusammenfassung aller im gleichenPunkt (zentrales System) angreifenden Kräfte. Dabei werden die Kräfte nach den Regelnder Trigonometrie in ihre X- und Y-Komponenten zerlegt. Die Summen bilden dann jeweilsdie Komponenten der Resultierenden. Die Gesamtkraft der Resultierenden erhält man überden Pythagoras und die Lage über den Tangens.Die anliegenden Kraftkomponenten müssen berechnet werden, wobei die Vorzeichen bei derSummenbildung eine Rolle spielen. Die Vorzeichen spiegeln den Richtungssinn der X und YAchse wieder (Kraft nach unten: neg. Y-Komponente / Kraft nach rechts: pos. X-Komponente).

αres

βres

Fres

I.II.

III. IV.

ynyyres

xnxxres

FFF

FFF

,,1,

,,1,

...

...

++Σ=++Σ=

αα

sin

cos

⋅=⋅=

FF

FF

y

x

22ryrxres FFF +=

Jetzt haben wir die resultierende Kraft berechnet. Es fehlt noch die Richtung. Über die folgendenFormeln berechnet man den spitzen Winkel mit der X-Achse. D.h. der Winkel βres sagt noch nichts über die endgültige Ausrichtung aus.

xr

yr

res

xr

yr

res

F

F

F

F

,

,

,

,

arctan

tan

=⇔

=

β

β



Seite 8

Die endgültige Lage der Resultierenden im zentralen, ebenen Kräftesystem erhält man, wennman sich ihre Komponenten näher betrachtet. Das Vorzeichen der Komponenten zeigt an, inwelchem Quadranten sich die Resultierende befindet.

Nun kann man genau sagen in welchem Qudranten die resultierende Kraft liegt.Man kann nun den absoluten WInkel αres berechnen. Dazu benutzt man die Gleichungen,die neben dem jeweiligen Quadranten stehen (s.o.).

resres βα =resres βα −°=180

II. Quadrant I. QuadrantFrx negativ Frx positivFry positiv Fry positivIII. Quadrant IV. QuadrantFrx negativ Frx positivFry negativ Fry negativ

resres βα +=180 resres βα −= 360

Das Drehmoment

Das Moment einer Kraft ist das Produkt aus der Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirk-linie (dem sog. Wirkabstand) zu einem beliebigen Bezugspunkt (Drehpunkt).

Linksdrehende Momente werden mit einem positiven Vorzeichen,rechtsdrehende Momente werden mit einem negativen Vorzeichen versehen.

lFM ⋅=

Drehpunkt•

l

F



Seite 9

Ebenes allgemeines Kräftesystem

Die Grundlagen des allgemeinen zentralen Kräftesystems gelten natürlich auch hier. So kanndie betragsmäßige Größe der resultierenden Kraft auf die Gleiche Weise berechnet werden.D.h. man setzt eine Bezugs (X-) Achse und zerlegt die anliegenden Kräfte in Ihre X- und Y-Komponenten, wobei auch hier wieder auf die Vorzeichen, je nach Richtung, geachtet werdenmuß. Man erhält so die Beträge der X- und Y-Komponente der Resultierenden.Über den Pythagoras kann man nun die resultierende Gesamtkraft berechnen. Auch die Aus-richtung zur angesetzten Bezugsachse wird wie beim allgemeinen zentralen Kräftesystem be-rechnet.

Im Gegensatz zum zentralen Kräftesyste, muß nun allerdings auch noch die Wirklinie bestimmtwerden, an dem die resultierende Kraft angreift, weil im allgemeinen Kräftesystem gewöhnlichnicht alle Kräfte im selben Punkt angreifen.

F1

F2

Fres

Dies wird über den Momentensatz gemacht.

Allgemein kann man sagen, daß im allgemeinen ebenen Kräftesystem folgende Gleich-gewichtsbedingungen gelten :

lFMMM

FFF

FFF

resresn

yresyny

xresxnx

⋅==⇒=

=⇒=

=⇒=

∑ ∑∑∑∑∑

0

0

0

,,

,,

Zur Erinnerung: Bei den Drehmomenten ist l der senkrechte Abstand zu einem beliebig gewähltem Drehpunkt. Bei der Summenbildung ist auch auf die ver-wendeten Vorzeichen zu achten. Würde eine Kraft das gesamte Sys-tem im Uhrzeigersinn drehen, so wäre sie als negativ und würde siedas System gegen den Uhrzeigersinn drehen so wäre sie als positivanzusehen. Kräfte die durch den Drehpunkt verlaufen (bzw. derenWirklinie) haben kein Moment.

+

-



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Cullmann Gerade für 4 Kräfteproblem

Will man ein System lösen in dem 4 Kräfte wirken, von denen bei allen vieren die Richtung bekannt íst, aber nur von einer der Betrag, so kann man ein solches Problem mit Hilfe der Cullmann Gerade lösen.Vier Kräfte können nur dann miteinander im Gleichgewicht stehen, wenn die beiden Resultierenden von jeweils zwei zusammengefaßten Kräften als Gegenkräfte auf einer gemeinsamen Wirklinie liegen, sich also aufheben. Diese gemeinsame Wirklinie der beiden Resultierenden heißt Cullmannsche Gerade.

Um nun die Resultierende zu erhalten, bildet man zunächst ein Krafteck und zwar so, daß die Cullmann Gerade die Wirklinie der Resultierenden bildet. Logischerweise beginnt man damit, die vom Betrag her bekannte Kraft (hier grün) mit ihrem Anfang auf die Cullmann Gerade parallel zu verschieben. Danach wird die Wirklinie der zweitenKraft, die wir mit der ersten zuvor geschnitten hatten, in das Ende der ersten Kraft parallel verschoben. An der Stelle, wo die Wirklinie dieser zweiten Kraft die Cullmann Gerade schneidet, ist der Anfang der Gleichge-wichtskraft.

In diesem Krafteck laufen sich die Kräft nach, d.h. da von der bekannten Kraft die Richtung gegeben war, ist nun auch klar in welche Richtungen die 2. Kraft und auch die Gleichgewichtskraft laufen müssen.

Die beiden anderen unbekannten Kräft kann man nun derart parallel verschieben, daß die Wirklinie der einen Kraft durch den Anfang und die Wirklinie der anderen Kraft durch das Ende der Gleichgewichtskraft verläuft. Die beiden Wirklinien bilden dann einen Schnittpunkt, der die Beträge der beiden Kräfte festlegt. Die Richtungen erhält man wieder, wenn man die Kräft einander nachlaufen läßt, wobei die Gleichgewichtskraft die Richtung vorgibt.

Cullmann Gerade Cullmann Gerade

WL-F1 (bekannte Kraft)

WL-F2

WL-F3

WL-F4

F1F1

F2

F4

F3



Seite 11

Zeichnerische Lösungsverfahren

Zeichnerische Lösung des zentralen Kräftesystems über das Kräfteparallelogramm

Grundlage dieses Verfahren ist die vektorielle Addition der beiden Einzelkräfte. Dabei werdenzwei einzelne Kräfte durch eine einzelne Resultierende ersetzt. D.h. es können entweder nurdie Einzelkräfte wirken oder aber die resultierende Kraft für die Einzelkräfte.Die Resultierende ist dabei nicht zu verwechseln mit der Gleichgewichtskraft. Diese ist vom Betraggenauso groß wie die Resultierende, aber entgegengesetzt gerichtet. Man kann also sagen, daßdie Resultierende die Zusammenfassung aller Einzelkräfte darstellt, während die Gleichgewichts-kraft der resultierenden Kraft entgegenwirkt, wodurch sich der Körper nicht bewegt.

Beim zentralen Kräftesystem können die Kräfte als Parallelogramm oder als Krafteck zusammen-gefaßt werden, wobei die Resultierende dann ebenfalls im Angriffspunkt des zentralen Kräfte-systems angreift.

FS

FS

FS

FS

Fres FresFS

FS

F

Rolle mit angreifenden Seilkräften(zentrales Kräftesystem)

Parallelogrammverfahren Krafteckverfahren

Der Unetrschied zwischen dem Parallelogrammverfahren und dem Krafteckverfahren ist, daßbeim Parallelogrammverfahren die Kräfte mit Ihren Ursprüngen eineinandergereiht werden,während beim Krafteckverfahren die zweite Kraft mit ihrem Ursprung in das Ende der erstenKraft (die Spitze) verschoben werden. Der Vorteil hierbei ist, daß man beliebig viele Kräfteaneinander reihen kann und sofort die Gesamtresultierende erhält (Kräftepolygon), während man beim Parallelogrammverfahren nacheinander jede einzelne Resultierende von je zwei Kräften (Zwischenresultierende) bestimmen muß.



Seite 12

Zeichnerische Lösung des allgemeinen Kräftesystems mit dem Seileckverfahren

Mit dem Seileckverfahren kann die Resultierende eines allgemeinen ebene Kräftesystems ermitteltwerden.

Vorgehensweise:Aus dem Lageplan sind die Beträge der Kräfte und die Richtungen bekannt. Man verlängert nun die Wirklinien der Kräfte und wendet das Seileckverfahren (hier unterhalb) an. 1.) Die Kraft F1 wird in zwei Komponenten zerlegt, wobei eine Komponente (hier rot) die Wirklinie der nächsten Kraft F2

schneiden soll. Die andere Komponente (hier grün) ist gleichzeitig auch die erste Komponente der Resultierenden.2.) In den Schnittpunkt der Wirklinien der ersten Komponente von F1 und der Kraft F2 wird nun die Kraft F2 hinein- geschoben (auf der Wirklinie). Man benutzt nun dieselbe Kraftkomponente wie schon zuvor bei F1 (rot), allerdings mit umgekehrtem Richtungssinn, so daß sich diese beiden Kräfte eliminieren. Aus F2 und dieser Komponenten ergibt sich eine zweite Komponente (pink), deren Wirklinie wiederum die Wirklinie der Kraft F3 schneiden soll. Tut sie das nicht, so sind die Beträge der Komponenten ungünstig gewählt worden (Siehe kleine Skizze Kräfteplan).3.) Wie zuvor wird nun die Kraft F3 in den Schnittpunkt der Wirklinien verschoben. Auch hier wählt man als erste Komponente von F3 die geschnittene, umgekehrte Komponente von F2. Man erhält so, die letzte fehlende Komponente, die gleichzeitig die zweite Komponente der Resultierenden darstellt4.) Der Schnittpunkt der beiden Komponenten der Resultierenden (grüne Vektoren) stellt eine Ecke des Kräfteprallelo- gramms der Resultierenden (blau) dar. Der Schnittpunkt dieser beiden Wirklinien stellt gleichzeitig auch die Lage der Resultierenden dar.

F1 F2

F3

F1F2

F3

1. 2.

3.

4. F2

F1

F3

• P

Fres

Skizze KräfteplanFres



Seite 13

Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden bei parallelen Kräftenmit dem Hilfskräfte Verfahren

Können die Kräfte schlecht oder gar nicht zum Schnitt gebracht werden, weil sie parallel odernur wenig geneigt zueinander verlaufen, so kann man mit Hilfe von zwei „Hilfskräften“, derenWirkungen sich gegenseitig aufheben, das Problem lösen.(Bedingung: Auf einer Wirklinie, entgegengesetzt und mit gleichem Betrag)Zunächst ermittelt man mit Hilfe einer Hilfskraft (Fhilf 1) eine Zwischenresultierende (Fr1). Danachermittelt man die zweite Zwischenresultierende (Fr2) aus der Kraft F2 und der zweiten Hilfskraft(Fhilf 2).Die beiden Zwischenresultierenden werden nun auf ihrer Wirklinie in ihren gemeinsamen Schnitt-punkt verschoben, so daß sich wieder ein Kräfteparallelogramm konstruieren läßt. Das Ergebnisdieses Parallelogramms ist die Gesamtresultierende Fr,ges.

Fhilf 1

Fhilf 2

F1

F2

Fr1

Fr2

Fr,ges

Fr2

Fr1

Zeichnerische Lösung des allgemeinen Kräftesystems mit Hilfe desSchlußlinienverfahrens

Das Schlußlinienverfahren beruht auf dem Seileckverfahren und dient hauptsächlich der Ermittlungder Stütz- oder Auflagerkräfte an Trägern.Hier werden wieder alle Kräfte zu einem Kräftezug aneinadergereiht. Die Ausrichtung der Stütz-kräfte ist bekannt nur ihre Größe noch nicht. Nun wird ein beliebiger Pol gewählt, mit dem die Anfänge und Enden der Kraftvektoren verbunden werden (Seillinien). Diese Seillinien werden nunwieder parallel in den Lageplan verschoben, wobei sich immer zwei aufeinanderfolgende Seillinienauf der Wirklinie der eingeschlossenen Kraft schneiden.Die erste und die letzte Seillinie schneiden somit die außenliegenden Stützkräfte. Werden nundiese beiden Schnittpunkte miteinander verbunden, so erhält man die sog. Schlußlinie die dasSeileck schließt. Verschiebt man die Schlußlinie zurück in den Kräfteplan, so erhält man die Auf-teilung der Lagerkräfte.

Skizze nächste Seite.



Seite 14

F1 F2 F3

FA FB

F1

F2

F3

P

FA

FB

Kräfteplan mit Pol

Lageplan

Skizze zur Erläuterung des Schlußlinienverfahrens



Seite 15

Finden des Schwerpunktes bei homogenen Körpern (Volumenschwerpunkt)

Bei einfachen Körpern läßt sich der Schwerpunkt oft aus der Geometrie erkennen oder es exis-teirt bereits eine Formel zur Berechnung des Schwerpunktes. Ist der Körper allerdings nochkomplexer, so muß man eine andere Vorgehensweise wählen. Dazu wählt man sich zunächsteinen möglichst günstigen Ursprung, auf den sich alle weiteren Abstände in x, y und z Richtungbeziehen werden.

Grundsätzlich versucht man komplizierte Körper in viele kleine bekannte, leicht berechenbareKörper zu zerlegen und dann anschließend in einer Summenformel derart zusammenzufassen,daß man als Ergebnis, den Abstand des Gesamtschwerpunktes zum gewählten Ursprung erhält.

Für diese mehr oder weniger komplizierten kleinen Gebilde gibt es bereits eine Menge Formeln, um die Einzalabstände der Schwerpunkte der kleinen Einzelkörper zu einem Bezugspunkt zu berechnen. Diese Formeln findet man auf der nächsten Seite.

Der Gesamtschwerpunkt S0 hat die Abstände x0, y0 und z0 zum gewählten Ursprung. Die Gewichtskraft FG des Körpers greift im Gesamtschwerpunkt des Körpers an.

Zur Erinnerung: FG = m • g = V • ρ • g

Zur Ermittlung Der Koordinaten des Massenschwerpunktes gelten folgende Beziehungen:

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

ρ⋅⋅ρ⋅

=⋅

=

ρ⋅⋅ρ⋅

=⋅

=

ρ⋅⋅ρ⋅

=⋅

=

)V(

)zV(

m

)zm(z

)V(

)yV(

m

)ym(y

)V(

)xV(

m

)xm(x

ii

iii

i

ii0

ii

iii

i

ii0

ii

iii

i

ii0

Hierbei stellt mi die Masse eines Teilkörpers i dar und xi den Abstand des Schwerpunktesdieses Teilkörpers zum gewählten Ursprung. Der Abstand xi kann gewöhnlich über bekannteFormeln berechnet werden. Die Summe aller Produkte aus Masse und Abstand muß nun nochdurch die Gesamtmasse des Körpers dividiert werden und man erhält den Abstand des Gesamt-schwerpunktes zum Ursprung in x, y und z Richtung.

Bei homogenen Körpern ist die Dichte ρ an jeder Stelle gleich groß, so daß sie sich in obigenFormeln herauskürzt. D.h. hier muß nur noch mit dem Volumen V gerechnet werden, weswegender Schwerpunkt dann auch als Volumenschwerpunkt bezeichnet wird.

∑∑

∑∑

∑∑

⋅=

⋅=

⋅=

i

ii

i

ii

i

ii

V

zVz

V

yVy

V

xVx

)(

)(

)(

0

0

0



Seite 16

Bohrungen und Aussparungen:

Bohrungen und Aussparungen werden einfach als „negavtive Volumen“ bzw. als „negativeMassen“ betrachtet und in die Rechnung einbezogen. Dabei werden sie sowohl im Zähler alsAuch im Nenner der Schwerpunktformeln als „negatives Volumen“ (bzw. Fläche oder Länge)Betrachtet.

Flächenschwerpunkt:

Aus den Formeln zum Volumenschwerpunkt ergibt sich eine weitere Vereinfachung für Bauteilegleicher Dicke s. Das Volumen V berechnet sich folgendermaßen: V = A • sDas bedeutet aber, daß sich bei Körpern mit gleicher Materialstärke s, sich diese herauskürzt.Man erhält folgende Beziehungen für den Flächenschwerpunkt:

=⋅

=

=⋅

=

+++⋅++⋅+⋅=

⋅=

∑∑

∑∑

∑∑

i

ii

i

ii

n

nn

i

ii

A

zAz

A

yAy

AAA

xAxAxA

A

xAx

)(

)(

)(

0

0

21

22110

Linienschwerpunkt (Umfangsschwerpunkt):

=⋅

=

=⋅

=

+++⋅++⋅+⋅=

⋅=

∑∑

∑∑

∑∑

i

ii0

i

ii0

n21

nn2211

i

ii0

l

)zl(z

l

)yl(y

lll

xlxlxl

l

)xl(x

Der Linienschwerpunkt liefert andere Ergebnisse als der Flächenschwerpunkt. Er wird abertrotzdem auch bei Flächen benutzt. Dies ist der Fall, wenn die Kräfte ausschließlich an denRändern angreifen. Als Beispiel kann man hier ein gestanztes Blechstück nennen. DieStanzkräfte greifen nur an den Kanten des Bleches an. Soll keine Abnutzung oder großerAusschuß entstehen, so muß der Stempel des Stanzwerkzeugs genau über dem Linienschwer-punkt des Werkstücks positioniert werden.



Seite 17

Standsicherheit und Kippmoment:

Freistehende Körper können infolge von Einwirkung äußerer Kräfte umkippen.Wenn eine Standunsicherheit/Kippgefahr zu erwarten ist, muß die Standsicherheit berechnetwerden.

Die Standsicherheit, die stets größer als Eins sein muß, ist das auf eine Kippkantebezogene Verhältnis der Summe der Standmomente zur Summe der Kippmomente.

Der Körper steht sicher, da die Wirklinie der Resultierenden der beiden Kräfte F und FG, die im Schnittpunkt der Wirklinien dieser beiden Kräfte angreift, die Kippkante K nicht übertritt.

Der Körper wird kippen, da hier hier die in den Schnittpunkt verschobene Wirklinie derResultierenden die Kippkante übertritt.

Man kann diesen Sachverhalt auch rechnerisch ausdrücken über die Momente. Dazu benötigtman die senkrechten Abstände der beteiligten Kräfte von der Kippkante K.

2

1

lF

lF

M

MS G

K

S

⋅⋅==

∑∑MK = Kippmoment

MS = StandmomentS = Standsicherheit

S > 1 SicherS < 1 KippenS = 1 Kippgrenze

F

FG Fres

K

l1

l2

F

FGFres

K

FR

FR

Bedingung für Kippbetrachtung:

FR > F bzw. Fx da der Körper sonstanfangen würde zu rutschen.

Gleitgrenze: FR = Fx



Seite 18

Eine andere Möglichkeit zum Feststellen der Standsicherheit ist das Berechnen des Gesamt-schwerpunktes eines Körpers, da die Resultierende aller angreifenden Kräfte durch den Schwer-punkt verläuft. Bleibt der Abstand des Schwerpunktes zu einer beliebigen Bezugsachse dabeikleiner als der Abstand der Kippkante zur gleichen Bezugsachse, so kippt der Körper nicht, fallswie im Bild nur senkrechte Kräfte (Gewichtskräfte) angreifen. Die Richtung der Resultierenden(ebenfalls senkrecht) ist dann ja schon bekannt.

xS

xK

K

S0

Dazu ist es aber erforderlich den Körper gewissermaßen in Einzelteile bekannter Masse zuzerschneiden und die Abstände der Schwerpunkte dieser Einzelteile zu einer beliebig gewähltenBezugsachse zu bestimmen.

Im obigen Bild ist xS < xK d.h. der Kran kippt in diesem Fall nicht. Würde man nun in dieFormel für den Massenschwerpunkt für xS die Entfernung bis zur Kippkante xK einsetzen, sokönnte man durch Umstellen herausfinden, wieviel Gewicht der Kran heben kann, bis er geradeanfängt zu kippen.

( )∑

∑ ⋅=

i

iiS m

xmx



Seite 19

Fachwerke:

Rittersches Schnittverfahren:

1

2

3

4

5

6

7

FB

BA

FA

FB,x

FB,y

F1

Beim ritterschen Schnittverfahren tut man so, als gäbe es nur die Kräfte, die in den geschnittenenStäben vorhanden sind und die äußeren Kräfte auf der anderen Seite des Schnittes.Alle Kräfte, die in dem oben gezeichneten Beispiel überhaupt noch eine Rolle spielen, sind hierrot gezeichnet.

Beim Schnittverfahren schneidet man durch maximal drei Stäbe, wobei man versucht auch denStab zu schneiden, dessen Kraftbetrag man sucht. Man nimmt nun die geschnittenen Stabkräfteals Zugkräfte „vom Schnitt weg“ an. Als Grundlage des Schnittverfahrens geht man nun davonaus, daß die Summe dieser drei Stabkräfte genausogroß ist, wie die Summe der von außen an-greifenden Kräfte auf der anderen (hier rechten) Seite des Schnittes.

Daraus folgt, daß man beim ritterschen Schnittverfahren zunächst die äußeren Kräfte bestimmenmuß. Es ist aber nicht zwingend erforderlich alle äußeren Kräfte zu berechnen, sondern esgenügt, die äußeren Kräfte auf der relevanten Seite des Schnitts zu berechnen. Dazu kann manzum Beispiel die Momentengleichgewichtsbedingung ansetzen.

Die Berechnung der Stabkräfte erfolgt nun ebenfalls durch geschicktes Ansetzen von Momenten-und Kraftsätzen. Wenn alle drei Stabkräfte unbekannt sind, muß zunächst ein Drehpunkt ge-wählt werden, der zwei der drei Stabkräfte eliminert.

Beispiel: Gesuchte Stabkraft ist FS3

Zunächst Berechnung FB, FB,x, FB,y über ∑ M um Lager ANun Berechnung FS4 über ∑ M um Drehpunkt INun Berechnung FS2 über ∑ M um Drehpunkt IINun Berechnung FS3 über ∑ M um Drehpunkt III

I

II

III



Seite 20

Reibung

Haftreibung

Ein Körper bleibt solange in Ruhe, wie eine von außen angreifende Kraft kleiner ist als die Haftreibungskraft FR0. Diese Haftreibung wird auch als Ruhereibung bezeichnet. Als Proportional-itätsfaktor, der die Haftung zwischen zwei Stoffen beschreibt ist hier das µ0 zu nennen. DieserFaktor ist nur durch Versuche zu ermitteln, da er von zahlreichen Einflüssen, wie Werkstoffe,Rauhtiefe oder auch Schmierungen, abhängig ist.

N

0R0

N00R

F

F

FF

=µ

⋅µ=Haftreibungskraft

Haftreibungszahl

Wie aus den Gleichungen zu erkennen ist wird bei der Reibung immer nur die Normalkraftbetrachtet.

Die Normalkraft

Unter der Normalkraft FN versteht man die senkrecht zu einer Oberfläche wirkende Kraft.Bei einer völlig waagerechten Oberfläche ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft. BeiBetrachtungen auf der schiefen Ebene muß über trigonometrische Gleichungen umgerechnetwerden.

FG

FN

FN

FG

α

Gleitreibung

Sobald die äußere Kraft größer wird als die Haftreibung, fängt der Körper an sich zu bewegen.Nun wirkt am Körper keine Haft-, sondern die Gleitreibung. Die Gesetzmäßigkeiten der Haftreibunggelten auch für die Gleitreibung, so daß gilt:

N

R

NR

F

F

FF

=µ

⋅µ=Gleitreibungskraft

Gleitreibungszahl

F

FGFN

FR0

F

FGFN

FR



Seite 21

Haft- und Gleitreibungswinkel

Bildet man aus der Reibungskraft und der Normalkraft die Resultierende, so ist der zwischender Resultierenden und der Normalkraft eingeschlossene Winkel der Reibungswinkel.Auch hierbei unterscheidet man zwischen Haft- und Gleitreibungswinkel.

ρ

FR0

F0 res

FN

ρ

FR

Fres

FN

Haftreibung Gleitreibung

µ==ρ

µ==ρ

N

R

0N

0R0

F

Ftan

F

Ftan

Haftsicherheit

Soll ein Körper auf seiner Unterlage sicher haften, so muß die mögliche Haftreibungskraft FR0

immer größer sein, als die auf ihn parallel zur Gleitfläche wirkende Kraft F. Das Verhältnis vonFR0 zu F nennt man Haftsicherheit. Sie ist stets größer als Eins. Somit gilt:

1F

F

F

FS N00R

H >⋅µ==

Verschieben eines Körpers auf der schiefen Ebene nach oben

Ein Körper liegt auf einer zur Waagerechten um den Winkel α geneigten Ebene. Der Körper wirdvon einer Kraft gezogen, die um den Winkel β zur Waagerechten geneigt ist. Der Körper wird vonder Kraft F mit gleichbleibender Geschwibndigkeit die schiefe Ebene hinaufgezogen. Es soll eineGleichung zur Berechnung der Zugkraft F entwickelt werden.

FN

FG

α

β

F

Gegeben: α, β, µGesucht: F

α Hier taucht der Winkel α auch wieder auf. DieseWinkeleigenschaft kann am Anfang dieses Skriptsnachgelesen werden (Winkeleigenschaften).



Seite 22

Zur Berechnung werden nun die Koordinatenachsen so gelegt, daß die schiefe Ebene die X Achse bildet und sich senkrecht darauf die Y Achse befindet. Die Achsen sind also ebenfalls um den Winkel α geneigt. Über die Summe der Kräfte erhalten wir folgende Gleichungen:

0)sin(FcosFF0F

0FsinF)cos(F0F

GNy

RGx

=α−β⋅+α⋅−+⇒=

=−α⋅−α−β⋅+⇒=

∑∑

)sin(FcosFF GN α−β⋅−α⋅+=

Durch die Umformung zur Normalkraft und Einsetzen in die obere Gleichung erhält man:

µ⋅= NR FF

∑ =µ⋅α−β⋅−α⋅−α⋅−α−β⋅+⇒= 0))sin(FcosF(sinF)cos(F0F GGx

Durch algebraische Umformung ergibt sich:

( ) ( )α−β⋅µ+α−βα⋅µ+α⋅=

sincos

cossinFF G

Wirkt die Zugkraft F parallel zur schiefen Ebene, so vereinfacht sich die o.a. Gleichung, da dannα = β gilt. Setzt man dies in die Gleichung ein, so erhält man im Nenner den Betrag Eins.

Halten des Körper auf der schiefen Ebene

( ) ( )α−β⋅µ−α−βα⋅µ−α⋅=

sincos

cossinFF

0

0G

Verschieben des Körpers auf der Ebene nach unten

( ) ( )α−β−α−β⋅µα⋅µ−α⋅=

cossin

cossinFF G



Seite 23

Seilreibung

α

F1

F2

°π⋅⋅α=α

360

2degrad

• Schiffspoller• Band- / Seilbremsen• Seiltrommeln• Riementriebe

Seil gleitet nach links (F1 zieht):

Umrechnung Grad in Bogenmaß

µ⋅

=α

⋅=⇒> αµ

1

F

Fln

eFFFF

2

1

2121

Seil gleitet nach rechts (F2 zieht):

µ⋅

=α

⋅=⇒> αµ

1

F

Fln

eFFFF

1

2

1212

Sonderfall: Wenn das Seil nicht gleitet, so ist für den Grenzfall die Ruhereibung zu verwenden.

Reibungskraft auf der Rolle:

Die Differenz der beiden Seilkräfte (Lasttrum und Leertrum) ist die Reibungskraft, die auf den Umfang der Rolle wirkt.Bei Riementrieben ist die Reibungskraft gleich der Nutzkraft und dient der Kraftübertragung.

( )2121NutzibungRe FFfürFFFF >−==

Berechnungsformeln für Riementriebe:

Für Grenzwert bei Durchrutschen Sicherheit S = 1,5.Sicherer Betrieb mit Sicherheit S = 2,0.

NennMSM ⋅= ( )

( ) r1e

MF

eFFmitFFrM

11

12121

⋅−=⇒

⋅=−⋅=

αµ

αµ

Kraft im Leertrum = Vorspannkraft FVKraft im Lasttrum = Kraft an der Welle FW (Radialkraft)Reibungskraft auf Scheibe = Nutzkraft FNutz



Seite 24

Bremsen

Bei den Bremsen wirkt immer die Reibungskraft FR am Rad selbst gegen die Drehrichtung, während sie in gleicher Stärke nur genau entgegengesetzt, also mit der Drehrichtung, an der Bremsbacke wirkt. Die Reibungskraft setzt sich bekanntermaßen aus der Reibzahl und der Normalkraft zusammen. Das heißt, daß man die Normalkraft, die senkrechtzur Bremsbacke wirkt, über den Momentensatz am Bremshebel berechnen muß.

Stellt man nun den Momentensatzauf, so kann es ,abhängig von derPosition des Bremshebellagers,unter bestimmten Bedingungen zurSelbsthemmung kommen.

Bei Rechts- und Linkslauf ist die Reibungs-kraft (=Bremskraft) allerdings unterschiedlich,da diese dann von der anderen Seite amBremsklotz angreift und sich somit ihr Vor-zeichen in der Momentengleichung umkehrt.

Das Bremsmoment ist das Produkt aus derBremskraft ( FR ) und dem Radius des Rades.

Bei doppelseitigen Backenbremsen ist zu beachten, daß man die Bremsbacken einzeln berechnet,da die Reibungskräfte an den Bremsklötzen jeweils an der anderen Seite angreifen.

Sollte noch ein zusätzliches Gestänge vorhanden sein, so ist zunächst über die Winkelbeziehungendie tatsächlich auf das Gestänge wirkende Kraft zu berechnen.

F

FR

FR

FN

rFM RB ⋅=

µ⋅= NR FF

Bremsmoment

Reibungskraft

Rollreibung

gRollreibunNNgRollreibun

NgRollreibun

Fr

fFF

fFrF0M

µ⋅=⋅=

⋅=⋅⇒=∑

ngGleitreibuNN Fr

fF µ⋅<⋅Bedingung, damit der Körper

rollt und nicht gleitet gRollreibunngGleitreibu r

f µ=>µ=µ

Der Hebel der Rollreibung f ist abhängig von den Materialien des Rollkörpers und der Unterlage und wirdmit Hilfe von Experimenten ermittelt. Er ist weitgehend unabhängig von der Last F und dem Radius r.

Reibungf – Abstand von FN zur Achser – Radius der RolleFN Normalkraft



Seite 25

Zug- und Druckbeanspruchung

FN

Fq

SP Mb

A QuerschnittsflächeFN Normalkraft (Zug, Druck, Flächenpressung,Lochleibung)Fq Querkraft (Abscheren)Mb Biegemoment (Biegung)MT Torsionsmoment (Verdrehung/Torsion)

MT

A

FNZ =σ

A

Gefährdeter Querschnitt:Es ist darauf zu achten, daß wirklich nur der kritische Querschnittbenutzt wird. Ist z.B. in einem Stab eine Bohrung vorhanden, so ver-kleinert diese Bohung den gefährdeten Querschnitt. Es ist immer mitdem kritischsten (=kleinsten) Querschnitt zu rechnen !

F

d

d1

Agef

1

2

gef dd4

dA ⋅−π⋅=

Zugspannung

0

0

0 l

ll

l

l −=∆=εDehnung

El

llE

0

0 ⋅−=⋅ε=σHookschesGesetz

Zulässige Spannungen (Belastungsfall I – ruhende/statische Beanspruchung)

νν=σ 2,0

zul

Rp.bzw

Re8,12,1=ν

5,25,1=ν

Bei zähen (duktilen) Werkstoffen

ν=σ Rm

zul Bei spröden Werkstoffen

g

Rmlr ⋅ρ

=Reißlänge

gL vorhzul

zul ⋅ρσ−σ=Zulässige Länge

zul,Zerf

FA

σ=Erforderlicher

Querschnitt

zul,Zzul AF σ⋅=ZulässigeMaximalkraft



Seite 26

Druckbeanspruchung

• Bei Stählen sind die Zug- und die Druckfestigkeit gleich groß.

• Bei Grauguß (GG) ist die Druckfestigkeit viermal so groß wie die Zugfestigkeit.

• Spannungen werden genau wie bei der Zugbeanspruchung berechnet.

Rm4D ⋅≈σ

Flächenpressung und Lochleibungsdruck

Drücken 2 Ebene Flächen aufeinander, so wird die dabei entstehende Spannung (=Druck) als Flächenpressungbezeichnet. In Gleitlagern und Bolzenverbindungen ist darauf zu achten, daß hier nur mit der projezierten Flächegerechnet werden darf. Bei ebenen Flächen ist darauf zu achten, daß nur die Fläche in der Berechnung berücksichtigt wird, die auch vonbei Körpern berührt wird.

d

s

F

A

Fp =Flächenpressung bei ebenen Flächen

ds

F

A

Fp

.proj ⋅==Flächenpressung

bei Gleitlagern und Bolzenverbindungen

A

F

sdn

F

A

F

.projL ⋅⋅

==σLochleibungsdruck

n = Anzahl Nietend = Durchmesser des geschlagenen Nietess = Blechstärke

Abscherbeanspruchung

A

Fqa =τAbscherbeanspruchung

Amn

Fqa ⋅⋅

=τAbscherbeanspruchung bei genietetenBlechen, wenn alle Scherflächen gleichgroß sind

n – Anzahl Nieten (hier: 3)m – Anzahl Schubebenen pro Niet (hier: 2)A – Querschnitt eines Niets

F2F

2F



Seite 27

Berechnung von axialen Flächenmomenten bei komplexeren Körpern:

Bei zusammengesetzten oder komplexen Körper / Geometrien, bei denen die Flächeneinzelschwerpunkte nicht aufeiner gemeinsamen Biegeachse liegen, kann das axiale Flächenmoment nicht über vorgefertigte Formeln berechnet werden. Hier kann man den Satz von Steiner verwenden. Im Folgenden wird die Vorgehensweise beschrieben.

• Aufteilen des Körpers in Einzelflächen Ai , von denen die Flächenmomente bekannt sind. (siehe Tabellen für axiale Flächenmomente 2. Grades)

• Bestimmen der Einzelflächen Ai und bestimmen des Gesamtschwerpunktes S0.

• Einzeichnen der Schwerachsen durch die Einzelschwerpunkte und bestimmen der Ab-stände Li der Einzelschwerachsen zur Gesamtschwerachse (durch Gesamtschwerpunkt).

• Bestimmen der axialen Flächenmomente der Einzelflächen über die bekannten Formeln.(siehe Tabellen für axiale Flächenmomente 2. Grades)

• Anwendung des Satzes von Steiner zur Bestimmung des gesamten Flächenmomentes.

6. Bestimmen des Widerstandsmomentes über folgende Beziehung:

( )∑

∑ ⋅=

i

ii0 A

yAy

( ) ( ) ( ) ( )2nnn,x

2222,x

2111,x

2iii,xges,x LAILAILAILAII ⋅+++⋅++⋅+=⋅+= ∑

max

ges,xx e

IW =

Achtung:Liegen die Schwerpunkte der Teilflächen auf einer Biegeachse, so können die Flächen-momente addiert werden (siehe nächste Seite).

y

y1 y0 y2

S2

S0

S1

A2

A1

L2

L1 XX

Biegeachse X-X

emin,y

emax,y



Seite 28

Liegen die Schwerpunkte der Teilflächen eines solchen komplexen Körpers auf der gemein-samen Biegeachse, so können die Flächenmomente einfach addiert werden.

n,y2,y1,yges,y IIII +++=

Das Widerstandsmoment errechnet sich dann nach der bekannten Formel:

max

yy e

IW

Σ=

y

y1 y0 y2

S2

S0

S1

A2

A1

L2

L1

Y

YBiegeachse Y-Y emax,x emax,x



Seite 29

Verdrehbeanspruchung (Torsion)

aFMt ⋅=Torsionsmoment

[ ]Nmn

P9550Mt ⋅=Torsionsmoment

mit P = Leistung [kW]mit n = Drehzahl (1/min)

rW

Mmax,tt

t

tt

ρ⋅τ=τ=τTorsionsspannung

Erforderliches Torsions-wiserstandsmoment

zul,t

vorh,tt

MW

τ=

Biegebeanspruchung

Vereinbarung:Das Biegemoment ist positiv und wird im Biegemomentsdiagramm nach unten gezeichnet, wenn am waagerechtenBalken auf der Unterseite Biege-Zug-Spannung auftritt.

Das Biegemoment ist negativ und wird im Biegemomentsdiagrammnach oben gezeichnet, wenn am waagerechten Balken auf der Unterseite Biege-Druck-Spannung auftritt.

b

bb W

M=σBiegespannung

lFMb ⋅=Biegemoment

zul,bbmax,b WM σ⋅=Maximales Biegemoment

3

zul,t

terf 2,0

Md

τ⋅=

Erforderlicher Durchmesserfür Kreisquerschnitt

3

zul,b

berf 1,0

Md

σ⋅=

Erforderlicher Durchmesserbei Kreisquerschnitt

Zahlengleichung:

60nt 2

PM

⋅π⋅=



Seite 30

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Biegung und Zug (Normalspannungen)

A

F

W

M.bzw

A

F

W

M

A

F

W

M.bzw

A

F

W

M

b

bbddres

b

bbdzres

b

bbzdres

b

bbzzres

+=σ+σ=σ−=σ−σ=σ

−=σ−σ=σ+=σ+σ=σ

Die Beträge von Zug-, Druck-, Biege-Zug- und Biege-Druck-Spannungen können je nach Richtungssinnarithmetisch addiert werden.

Biegung und Torsion

Die so erhaltene Gesamtspannung muß kleiner sein, als die zulässige Zug-/Druckspannung für diesen Werkstoff.

( )2t0

2bv 3 τ⋅α⋅+σ=σVergleichsspannung

)III(dlnwechseund)I(ruhendfür5,1

zeitgleichundfallBelastungsgleicherundfür0,1

)I(ruhendoder)II(schwellendund)III(dlnwechsefür7,0

73,1isgsverhältnAnstrengun

tb0

tb0

tb0

zul,t

zul,b0

τσ=ατσ=α

τσ=ατ⋅

σ==α

( )2t0

2bv M75,0MM ⋅α+=Vergleichsmoment

3

zul,b

verf 1,0

Md

σ⋅=Erforderlicher

Wellendurchmesser

zul,bres σ≤σ

zul,bv σ≤σ

Achtung: Achsen, Wellen und Zapfen haben eigene Festigkeitstabellen.



Seite 31

Knickbeanspruchung nach dem Euler-Verfahren (allgemeiner Maschinenbau)

Bei Fachwerken ist die Knicklänge lK immer gleich der Stablänge !

2K

2min

K L

IEF

π⋅⋅=

2

2K

erf E

LFI

π⋅⋅⋅ν=

A

Ii =

σπ⋅=λ=λ

2K E

i

L

ν= K

zul

FF

)auMaschinenb(53=ν

Knickkraft (Euler)

erforderliches Flächenmoment2. Ordnung (Euler)

Trägheitsradius

Schlankheitsgrad(für Euler größer 100)

Zulässige Maximalkraft

Knickbeanspruchung nach dem Omega-Verfahren (Kranbau, Brückenbau, Hochbau)

Für Knicklängen siehe Teuerle-Skript !

zulA

F σ≤ω⋅=σωOmegaspannung(Knickzahlen aus Tabelle)

i

LK=λ

A

Ii =Trägheitsradius

Schlankheitsgrad

100>λEuler-Verfahren gültig für

5,27,1=ν

Gültigkeitsbereiche für Euler-Knickung:

St 37

St 50 / 60

GG

105>λ

89>λ

80>λ

Beim Omega-Verfahren wird die tatsächliche Kraft eingesetzt und nicht eine Knickkraft wie beim Euler-Verfahren,da beim Omega Verfahren die Sicherheit bereits in den Knickzahlen enthalten ist.

Achtung: Dimensionieren mit Omega-Verfahren nicht möglich. Daher Vordimensionierung über dasEuler-Verfahren mit einer Sicherheit von 2,5 und anschließend Überprüfen mit dem OmegaVerfahren. (Bei St-37 reicht 2,5 nicht aus – hier mit Sicherheit 3 dimensionieren !)

ωσ⋅λω⋅π⋅=ν 2

2EBerechnen der Sicherheitdes Omega Verfahrens

2

2

2K

2

K

E

AL

IE

λπ⋅=

⋅π⋅⋅=σKnickspannung

Bei nicht auf Knickung, sondern auf Druck rechnen / dimensionieren.20<λ



Seite 32

Rohrleitungselemente – Flächenvergleichsverfahren

In Bögen von Rohrleitungen kommt es auf deren Innenseite infolge der kleineren Fläche zu größeren Spannungen,als in dem zu dem Bogen passenden Rohr. Dies bedeutet auch, daß ein entsprechend höherer Druck an dieserRohrwand auf der Innenseite des Bogens wirkt.Um nun sagen zu können, wieviel größer nun der Druck/die Spannung in dem Bogen ist, wird das sog. Flächen-vergleichsverfahren angewendet.

DIN-Benennung der Bögen:

Bogen DIN 2605-1-180-3-88,9 x 2,3-S-W

s

da

r Teil 1 der DIN

Bauform in Grad

Baurt des Bogens(für r-Berechnung) da s

nahtlos (s) oder geschweißt (W)

Werkstoffgruppe

Beim Flächenvergleichsverfahren werden die projezierten Flächen einer geraden Rohrhälfte und der Hälfte einesKreissektors im Bogen berechnet. Dabei bleiben die Längen, die durch die neutrale Faser (Mitte) der Rohrwand ver-laufen, bei beiden Flächen gleich. Man berechnet hier am besten zunächst das Innere eines Rohrbogenviertels (90°)und berechnet daraus die verwendete Länge, die man dann zur Berechnung der Fläche im geraden Rohr benutzt (s.u.).

L

r2

r1

da

s

A1

A2

Aaußen

L

LBogen = LRohr

AP,Rohr

!einsetzenGradin

rr180

b

2

br

2

rr

360A

22

α

⋅α=⋅α⋅π=

⋅=α⋅=⋅α⋅π=Kreissektor Formeln:

−⋅=⇒

+⋅α⋅π=⇒

+−−⋅α⋅π=⇒

+−==

⋅α⋅π−

⋅α⋅π=

==

s2

dLA

2

s

2

d

180L

s2

drr

360A

s2

drrundrr:mit

r360

r360

A

AAAA

aR,P

a

2

a2i,B,P

a21

22

21i,B,P

R,PRohr,Pi,B,Pinnen,Bogen,P

Berechnung der Flächen für Vergleich:

PU

PU

P

A

.constA

p

A

Ap

AAp

≈σ⇒

=

⋅=σ

⋅σ=⋅

σ

σ

σ

R,P

i,B,P

R,U

i,B,U

A

A=

σσ

⇒



Seite 33

Rohrleitungselemente – Allgemeine Formelnp

Uσ

Uσ

Lσ

Lσ

σ⋅σ=⋅⇒=

⋅=⋅⋅=

∑ AAp0F

ApdLpF

UPy

PiiDruck,y

s2

dpp

A

A iPU ⋅

⋅=⋅=σσ

sdL4

d4

dA

L4

dA

i2i

2a

2iP

⋅π⋅≈⋅

π⋅−π⋅=

⋅π⋅=

σ

s2

dp

s4

dp i

ULi

⋅⋅=σ<σ=

⋅⋅ U2

1L σ⋅=σ

Es treten 3 Spannungen (Umfangsspannung, Längsspannung, Innendruck) gleichzeitig auf, die zu einereinzigen Vergleichsspannung zusammengefaßt werden können. Diese Zusammenfassung erfolgt nach derSchubspannungshypothese nach dem Flächenvergleichsverfahren.

+⋅=+σ=σ

σ 2

1

A

Ap

2

p PUv DIN 2413

L,

L,PL A

Ap

σ

⋅=σD.h. Rundnähte sind nur halb so stark beansprucht wie Längsnähte,da die Längsspannung nur halb so groß ist wie die Umfangsspannung.



Seite 34

Wärmedehnung von Rohrleitungen:

ϑ∆⋅α⋅=∆ 0LL

Wird die Längenausdehnung baulich verhindert, so entstehen Spannungen gemäß dem Hookschen Gesetz.

ϑ∆⋅⋅α=⋅∆=⋅ε=σ EEL

LE

02mm

N5Stahl

K15

Stahl

101,2E

101,1

⋅=

⋅=α −

• Durch diese Spannung wird eine Lagerbeanspruchung verursacht.• Durch die Spannung entsteht in der Rohrleitung eine Druckkraft, die zur Knickung führen kann.

Umfangs- und Längenausdehnung von Rohren infolge Spannungen oder innerem Druck:

Prüfdruck kann bei gegebener Wandstärke und Sicherheit aus den Dimensionierungsformeln auf der nächstenSeite ermittelt werden. Für die Spannungen in den Formeln kann dann der Prüdruck eingesetzt werden.Auf Einheiten achten ! ( 1 Pa = 1 N/m² )

Längenausdehnung:

Umfangsausdehnung:

ϑ∆⋅α⋅⋅= AEF4

dA:mit

2a⋅π=

U21

L

SK

Uzul

σ⋅=σ=σ=σ

E

LL

EL

L L0L

0

σ⋅=∆σ=∆

E

UU

EU

U U0U

0

σ⋅=∆σ=∆

E

dd

Ed

d U0,ii

U

0,i

i σ⋅=∆σ=∆

bar10mm

N1

Pa

Pa101bar1

2

mmN

101

mm10

m1

mN

5

2626

2

2

=⇒

=⋅=

⋅=

Beanspruchung durch vorgegebene Verformung (gerades Rohr wird gebogen):

Gebrauchsgleichungen der TRR 100 verwenden, die neben dem Eigengewicht auch die Isolationsmaterialienund das Fließmedium berücksichtigen.

( )

2

dL

2

dRdRL

2

dRLLL

aa

aaa

aneutralia

⋅α=∆

+⋅α−+⋅α=∆

+⋅α===

a

a

a

a

0

a

dR2

d

2d

R

2

d

L

L

+⋅=

+⋅α

⋅α=∆=ε

EdR2

dE

a

a ⋅+⋅

=⋅ε=σ

RmRe,KmitS

Kzul ==σ



Seite 35

Bestimmung der rechnerischen Wanddicken für Rohrleitungselemente:

Die folgenden Formeln gelten für Rohre mit kreisförmigem Querschnitt und ohne Ausschnitte.

K Werte aus Lieferbedingungen der Rohrleitung entnehmen.

Wertigkeit der Schweißnaht, aus Tabelle im Skript entnehmen

I - Rohrleitungen für vorwiegend ruhende Beanspruchungen bis 120°C Berechnungstemperatur

II – Rohrleitungen für vorwiegend ruhende Beanspruchungen über 120°C Berechnungstemperatur

III – Rohrleitungen für schwellende Beanspruchungen bis 120°C Berechnungstemperatur

Für konstante n Schwingbereich der Druckschwankungen .

Berechnung der erforderlichen Wanddicke:

Zur Berechnung der erforderlichen Wanddicke werden noch Abnutzungsbeiwerte benötigt. C1 erhält man aus einerTabelle im Skript entweder in Prozent (für nahtlose Stahlrohre) oder in Millimeter (für geschweißte Stahlrohre).C2 ist für ferritische Stähle 1 mm, kann aber bei geeigneten Korrosionsschutzmaßnahmen verringert werden.Bei Nichteisenwerkstoffen und austenitischen Stählen muß C2 nicht berücksichtigt werden.

Erforderliche Wanddicke, wenn C1 in mm angegeben ist (geschweißte Rohre):

Erforderliche Wanddicke, wenn C1 in % angegeben ist (nahtlose Rohre):

kyS

Kzul ⋅==σ

2p

2d

2

pds

Nzul

i

Nzul

av

−υ⋅σ⋅=

υ⋅σ⋅⋅=

1p

2d

1p

2d

s

Nzul

i

Nzul

av

−υ⋅σ⋅=

+υ⋅σ⋅=

1p

2d

s

s

zul

av

−∆

σ⋅=

sp∆

Nυ

21v ccss ++=

( )1

2v c100

100css

′−⋅+=

0,2d

d

i

a ≤

67,1d

d

i

a ≤



Seite 36

Schraubenverbindungen:

Festigkeitskennzeichnung: X.Y X = Rm/100 Y = 10 Rep0,2/Rm

Daraus folgt: Rm = X • 100 [N/mm²]

Re = Y • X • 10 [N/mm²]

Für Berechnung nötige Querschnittsflächen:

Schaftschrauben (starr)Anzusetzender Querschnitt bei statischer Beanspruchung : ASAnzusetzender Querschnitt bei dynamischer Beanspruchung : AK

Dehn- oder TaillenschraubenAnzusetzender Querschnitt bei statischer Beanspruchung : ATAnzusetzender Querschnitt bei dynamischer Beanspruchung : AK

Allgemeine Formelzeichen für Schrauben- und Schraubenverbindungen:

Steigung PKerndurchmesser dK = d3Spannungsquerschnitt(tatsächlicher Querschnitt) ASKernquerschnitt AKTaillenquerschnitt ATSchaftquerschnitt AKopfdurchmesser bzw.Mutternauflagedurchmesser DK

Entwurf (Dimensionierung) bei statischer Beanspruchung:

AS [mm²] Spannungsquerschnitt (je nach Schraubenart und Belastungsfall siehe oben)FA [N] Betriebslängskraft (Axialkraft)FV,max = FM,max [N] 2 ... 3 • FA (Vorspannkraft in der Schraube)

[N/mm²] 0,6 • ReFmax [N]

Allgemeines:

• Wenn die Vorspankraft der Mutter abgesunken ist, dreht sich die Schraubenverbindung los. Man spricht dabei von „setzen“, was durch die Einebnung von Rauhigkeiten verursacht wird. • Durch die Montagevorspannkraft FM wird die Schraube mit der Spannung auf Zug beansprucht.• Die Zusammenhänge zwischen FV und FA findet man auf Seite 37.

zul

maxS

FA

σ≥

zulσAAF α⋅

TMMSMM A/F.bzwA/F =σ=σ

zul

AFA

σ≥ Ohne Vorspannkraft, d.h. ohne Bauteile

(reine Betriebsaxialkraft an der Schraube)

zul

AA

zul

VAS

F3F3,0FF3,0A

σ⋅+⋅=

σ+⋅≥ Mit Vorspannung (Die Betriebsaxialkraft

verteilt sich auf Bauteile und Schraube)

Überprüfen der Schraube mit Vergleichsspannung (vgl. Seite 38 unten).



Seite 37

Montagevorspannung:

[N/mm²] Zugspannung im maßgebenden Querschnitt der Schraube [N/mm²] Vergleichsspannung, beim Anziehen

P [mm] Steigung des GewindesdS,T [mm] maßgebender Durchmesser

dS - SchaftschraubendT - Taillenschrauben

d2 [mm] Flankendurchmesser des GewindesReibzahl des Gewindes

Montagevorspannkraft:

FM [N] Zugkraft in der Schraube beim Anziehen[N/mm²] Montagevorspannung (Diagramm 26)

AS,T [mm²] maßgebender Schraubenquerschnitt

Der anzuziehende Schraubenkopf oder die anzuziehende Mutter drückt mit der Kraft FM auf die Unterlage und erzeugt einen Reibwiderstand FM ,,wenn hierbei die Reibzahl an der Auflagefläche bedeutet.Um diesen Reibwiderstand zu überwinden, der am mittleren Auflageradius rm (siehe Skizze) anzusetzen ist,muß aufgebracht werden ein

Kopf- bzw. Mutteranziehmoment:

Ist die Oberfläche des zu befestigenden Bauteils nicht bis zur Bohrung durchgehend, sondern z.B. schräg angefast,so vergrößert sich der Innendurchmesser entsprechend. Man erhält einen größeren Auflageradius.

Gewindeanziehmoment (für metrische Gewinde mit ):

Gesamtes Schraubenanziehmoment (für metrische Gewinde mit ):

Um eine Schraubenverbindung auf eine bestimmte Montagevorspannkraft FM anzuziehen, muß insgesamt einAnziehmoment aufgebracht werden, daß so groß ist wie das Gewindeanziehmoment und das Kopfanziehmomentzusammen.

MA [Nm] erforderliches Anziehmoment ( 1kNmm = 1 Nm )FM [N] Montagevorspannkraft

Reibzahl im GewindeReibzahl an der Kopf- bzw. Mutternauflagefläche

P [mm] Steigung des Gewindesd2 [mm] Flankendurchmesser des Gewindesrm [mm] mittlerer Auflageradius ( rm = 0,25 (DK + Di) )

2

G2T,S

2

VM

16,1d

P32,0d

d231

µ⋅+⋅⋅⋅⋅+

σ=σ

MσVσ

Re6,0M ⋅≈σ2,0pV R9,0.R.d.i ⋅=σ

MT,SM AF σ⋅=

Mσ

Kµ⋅ Kµ

MKMK rFM ⋅µ⋅= ( )iKm DD25,0r:mit +⋅=

2t

2MV 3 τ⋅+σ=σ

°=β 30

2

d16,1

d

P32,0FM 2

G2

MG ⋅

µ⋅+⋅⋅≈

KGA MMM += ( )mK2GMA rd58,0P16,0FM ⋅µ+⋅µ⋅+⋅⋅≈⇒

DK = AuflagedurchmesserDi = Innendurchmesser Bohrung

°=β 30

GµKµ

( )P16,0rd58,0FM mK2GMA ⋅−⋅µ+⋅µ⋅⋅≈⇒

Beim Anziehen

Beim Lösen

MA löst Torsion ausFM löst Zug aus



Seite 38

Anziehverfahren:

Je nach Anziehverfahren schwankt das Schraubenanziehmoment mehr oder weniger zwischen einem GrößtwertMA,max und einem Kleinstwert MA,min. Wegen der nur ungenau bekannten Reibzahlen für das Gewinde und dieAuflagefläche schwankt die erreichte Montagevorspannkraft in größerem Maße zwischen FM,max und FM,min.

Wirkungen in vorgespannten Schraubenverbindungen durch eine Betriebslängskraft:

Nach der Montage ist die Schraubenverbindung FV = FM vorgespannt. Die Klemmkraft an der Trennfuge der Bau-teile ist dann gleich der Vorspannkraft FV. Eine äußere Betriebslängskraft (Axialkraft) FA wird über die verspanntenBauteile eingeleitet. Die Schraube wird auf die Größtkraft FS weiter gespannt, die Bauteilfugen dagegen werden bisauf die Restklemmkraft FK entlastet. Die Differenz der Kräfte FS und FK ist dann gleich der axialen Betriebskraft FA.

)25Tabelleaus(F

F

min,M

max,MA =α

( )

AB

AS

AV

AKV

ASK

AVK

AVS

F7,0F

F3,0F

)üblich(F32F

F7,0FF

FFF

F7,0FF

F3,0FF

⋅≈∆⋅≈∆

⋅=⋅+=

−=⋅−=⋅+=

FS Größtkraft in der Schraube = FS,maxFK Klemmkraft zwischen den BauteilenFV = FM Vorspannkraft / MontagevorspannkraftFA Betriebsaxialkraft FB Differenzkraft in den Bauteilen∆

Je größer die Betriebskraft FA im Verhältnis zur Vorspannkraft FV ist, desto kleiner wird die RestklemmkraftFK. Bei FA > FS wird FK negativ und die Bauteile heben voneinander ab.

Haltbarkeit der Schraubenverbindungen:

Dauerschwinbeanspruchung der Schraube (Ausschlagsspannung)

[N/mm²] Spannungsausschlag im Schraubenkern bei schwingender Betriebsaxialkraft FAFa [N] KraftamplitudeAK [mm²] Kernquerschnitt der Schraube

zulässiger Spannungsausschlag nach Tabelle 23

Kraftamplitude Fa:FA,SO oberer Grenzwert der Betriebskraft FAFA,SU unterer Grenzwert der Betriebskraft FA

Flächenpressung von Schraubenverbindungen:

pB [N/mm²] durch die Größtkraft FS hervorgerufene Flächenpressung zw. Bauteil und KopfFS [N] Größtkraft FS,max in der SchraubeAP [mm²] Am Bauteil vom Schraubenkopf oder –mutter gepreßte FlächepB,zul [N/mm²] zulässige Flächenpressunf nach Tabelle 19

aσ

azul,a 9,0 σ⋅≈σ

zul,aK

aa A

F σ≤±=σ

2

FFF SU,ASO,A

a

−=

zul,BP

SB p

A

Fp ≤= pB,zul zulässige Flächenpressunf nach Tabelle 19

(bei Überschreitung Scheiben unterlegen !)

( )4

DDA

2i

2K

P

π⋅−= DK - Kopf-/MutterauflagedurchmesserDi - Durchmesser Bohrung

FM,min bei Betrachtungen der Reibung

FM,max bei Betrachtungen der Festigkeit



Seite 39

Querbeanspruchte Schrauben:

[N/mm²] Scherspannung im maßgebenden QuerschnittFQ [N] Betriebskraft je Schraube bzw. Elementm Anzahl der Schubebenen (vgl. Skizze rote Linien)A [mm²] Auf Scheren beanspruchter Querschnitt (Kreisquerschnitt)

[N/mm²] Leibungsdruck im Bauteil bzw. am Schaft des Scherelementsd [mm] Außendurchmesser des tragenden Teils der Schraubes [mm] Kleinste tragende Länge der Schraube

s

4

dA

2⋅π=

FQ

2

FQ

2

FQ

Am

FQa ⋅

=τ

sd

FQL ⋅

=σ

Abscherspannung

Leibung

aτ

Lσ

Belastungsfall ruhend schwellend wechselnd

0,6 Re 0,5 Re 0,4 Re

0,75 Rm ; 1,2 Re 0,6 Rm ; 0,9 Re 0,6 Rm ; 0,9 Re

zul,aτzul,Lσ

falls Bauteil kritisch falls Schraube kritisch

Haftsicherheit:

Haftreibzahl an den Klemmflächen der Bauteile (Tabelle 24)FV [kN] Montagevorspannkraft der Schraube FV,minm Anzahl der Bauteil Reibflächenpaare = SchnittzahlFQ [kN] Betriebskraft je Schraube

Vergleichsspannung ( Nur für Spannungsnachweis – Nicht für Entwurf geeignet ! ):

zul,V2t

2ZV 3 σ≤τ⋅+σ=σ

3T,S

At d

16M

⋅π⋅=τ

MZ σ=σ

Re8,0zul,V ⋅=σ

Re9,0zul,V ⋅=σ

wenn bei Dehnung der Schraube die Kraft abnimmt

wenn trotz Dehnung der Schraube die Kraft unverändert bleibt

Q

ibReH

Q

VH F

FS

F

mFS =⋅⋅µ=



Seite 40

Bewegungsschrauben

Steigung einer mehrgängigen Spindel:

P Teilung des Gewindes = Steigung eingängiger Gewinden Ganganzahl

Steigungswinkel:

Steigungswinel des GewindesPh Steigung des Gewindesd2 Flankendurchmesserdes Gewindes

Flankenwinkel im NormalschnittFlankenwinkel im Achsschnitt ( 15° bei Trapezgewinde ; 3° bei Sägengewinde )Reibwinkel des GewindesReibzahl im Gewinde

Um die Spindel bei Arbeitshub unter Last zu drehen, ist folgendes Dremoment notwendig:

Die Spindel muß sich aber in einem Längslager abstützen, das der Betriebskraft FA das Gleichgewicht hält.In diesem Lager tritt ein Reibmoment auf, das vom Antriebsdrehmoment MA mit überwundenwerden muß.

nPPh ⋅=

π⋅=α

2

h

d

Ptan α⋅β=β costantan N

N

GG cos

tanβ

µ=ρ

α

Nββ

GρGµ

Flankentrockenenbei15,012,0

rungFettschmiebei08,0

G

G

=µ=µ

( ) 2GA2UGA rtanFrFM ⋅ρ+α⋅=⋅=

LLAL RFM ⋅µ⋅=

Antriebsdrehmoment:

MA [kNmm] Antriebsdrehmoment einschl. Lagerreibung ( 1kNmm = 1 Nm )FA [kN] Betriebslängskraft (Axialkraft)

[°] Steigungswinkel des Gewindes[°] Reibungswinkel des Gewindes

r2 [mm] Flankenradius des Gewindes = d2/2Reibzahl im Lager ( bei Gleitlager )

RL [mm] mittlerer Radius der Lagerstützfläche

Rückdrehmoment:

Ist MR negativ, so wäre die Kraft FA in der Lage, die Rückwärtsbewegung zu bewerkstelligen, also auch die Lager-reibung zu überwinden. Ist MR positiv, so besteht Selbsthemmung.

( ) LLA2GALGAA RFrtanFMMM ⋅µ⋅+⋅ρ+α⋅=+=

αGρ

Lµ Gµ≈

( ) 2GALLAGRLR rtanFRFMMM ⋅ρ−α⋅−⋅µ⋅=−=



Seite 41

Berechnung der Haltbarkeit und der Stabilität von Bewegungsschrauben:

Zug- oder Druckbeanspruchung

Torsionsspannung

[N/mm²] Zug- bzw. Druckspannung der SpindelFA [N] BetriebslängskraftAK [mm²] Kernquerschnitt der Spindel

[N/mm²] Torsionsspannung in der SpindelMT [Nmm] Torsionsmoment = MA

=> wird das Lagerreibmoment nicht über die Spindel geleitet, so ist MT = MAGWt [mm³] Widerstandsmoment des Kernquerschnitts gegen Torsion

Vergleichsspannung:

3kd2,0 ⋅≈

σ

tτ

K

A

A

F=σ

t

Tt W

M=τ

zul,V2t

2V 3 σ≤τ⋅+σ=σ

)dlnwechse(Rm13,0

)schwellend(Rm20,0

zul,V

zul,V

⋅=σ⋅=σ

Druckbeanspruchte Spindeln müssen außerdem auf Knicksicherheit unetrsucht werden.

EulernachrheitKnicksiche90bei ≥λ

66,2E

S2k ≥

σ⋅λ⋅π=

cherforderlinichtBerechnung50bei

TetmajernachrheitKnicksiche90bei

<λ<λ

47,1k

S 0k ≥

σ⋅λ−σ=

E [N/mm²] Elastizitätsmodul des Spindelwerkstoffes ca. 210000 N/mm²Schlankheitsgrad der Spindel

[N/mm²] Druckspannung[N/mm²] ideelle Druckfestigkeit

k [N/mm²] Knickspannungsrate ca. 0,6 N/mm² für St-50 und St-60

λσ

0σ



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Unlösbare Verbindungen (Hier: Klebeverbindungen):

Der Klebstoff darf nicht auf Zug, sondern nur auf Schub (Abscheren) beansprucht werden.

Die Formeln für die Klebeverbindungen beruhen auf dem Flächenvergleichsverfahren.

tddp

tdA:mitAAp

aScher42a

aKlebeKlebeflächScherp

⋅π⋅⋅τ=⋅⋅⇒

⋅π⋅=⋅τ=⋅π

S

d

t4p

t4

dp

abzul

azulzul

avorhScher

τ=τ

⋅⋅τ=

⋅⋅=τ

t KlebelängeKleber- bzw. Haftfestigkeit

S Sicherheitabτ t

L

Beispiel: Aufsteckmuffe

Nabenverbindungen: Paß- und Gletfedern

Werkstoff: C 45 k

Zuordnung der Federbreite und Federhöhe abhängig vom Wellendurchmesser nach DIN 6885.

Berechnung:

Paßfeder-Länge:, dann nur die mittlere Flächenpressung gegen die Nabe berechnen und mit auf Erfahrung beruhenden zulässigen Werten nach Tabelle 5 vergleichen.

, zu große Verdrillung => Länge auf setzen.

Welled5,1l ⋅≤

Welled5,1l ⋅>Wellet d5,1l ⋅=

( ) kilth

Fp

t1

u

⋅⋅⋅−=

( ) zul1

uerf,t pkith

Fl

⋅⋅⋅−=

mit:Fu Umfangskrafth, t1 aus Tabelle 1 (Abmessungen Paßfedern)i Anzahl der Paßfedernk Tragfaktor k = 1,00 bei einer Paßfeder

k = 0,75 bei zwei Paßfedernp Flankenpressung (zulässige Werte aus Tabelle 5)

Bei Keilen aller Formen Berechnung auf Flankenpressung.



Seite 43

Normzahlen nach DIN 323 (Auszug)Die Reihen können durch Multiplizieren mit den ganzzahligen Zehnerpotenzen 0,01 / 0,1 / 1 / 10 / 100 / 1000beliebig nach unten oder oben erweitert werden. Die Reihen R` gelten auch als Normmaße in [mm].



Seite 44

Allgemeine Informationen zu Antriebselementen:

Auf Achsen und Wellen können im Allgemeinen drei verschiedene Belastungsarten einwirken. Dies sind:

Torsionsbeanspruchung:Die Torsionsbeanspruchung wird durch die über die Welle übertragene Leistung verursacht. In der Welle wirkt alsoein Torsionsmoment, das durch Tangentialkräfte (Umfangskräfte) an den an der Welle angebrachten Scheiben,Zahnrädern oder Kurbeln eingeleitet wird und auch wieder an anderer Stelle (an anderen Scheiben) eine Umfangs-kraft erzeugt.

Biegebeanspruchung:Bei Kupplungen wird keine Biegung erzeugt, sondern nur ein Torsionsmoment übertragen (Ausnahme: zusätzlichestatisch angreifende äußere Kräft erzeugen Biegung).

Die Welle und auch die Lager werden durch die Kraftübertragung auch auf Biegung beansprucht. Die Kraft, die inder Welle ein Biegemoment hervorruft wirkt quer zur Welle und heißt Radialkraft.

Bei Ketten, Riemen und Seilen existiert aufgrund der Eigenschaften der Bauteile nur eine Tangentialkraft, die auchgleichzeitig die auf die Wellennabe wirkende Radialkraft darstellt.

Bei Zahnrädern stellt die Zahnkraft, die in einem bestimmten Winkel zur Umfangskraft angreift, die Radialkraft dar,die auf die Wellennabe wirkt. Man muß bei Zahnräder also beachten, daß die Umfangskraft (Tangentialkraft) dasTorsionsmoment in der Welle auslöst, aber die Zahnkraft die Radialkraft in der Nabe darstellt, welche Biegung inder Welle hervorruft.

Druck / Knickung:Durch in Wellenrichtung angreifende Axialkräfte wird die Welle auf Druck / Knickung beansprucht. Die Axialkräftesind aber vor allem zur Berechnung der Lager von großer Bedeutung.

Mt

r

FKette = FU = Fradial

Fradial

Mt

Beispiel für einen Ketten- oder Keilriementrieb

rFM Ut ⋅=

Mt

r

FZahn = Fradial Fradial

Mt

Beispiel für einen Antrieb mit Zahnrad mit Zahnwinkel

rFM Ut ⋅=

FU

α

α=

α⋅=

cos

FF

cosFF

UZahn

ZahnU

α



Seite 45

Antriebselemente

Festigkeitsrechnung:

Ermittlung der Kräfte und Momente gemäß Statik und Festigkeitslehre, wenn Kräfte nicht in einer gemeinsamenEbene liegen, zerlegen in kartesische Komponenten => benötigt werden Momente für kritische Stellen.

Geometrische Zusammenfassung der Komponenten:

Drehmoment (= Torsionsmoment) ggf. aus Leistung berechnen:

2y

2x MMM +=

[ ]Nmn

P9550Mt ⋅=

mit P = Leistung [kW]mit n = Drehzahl (1/min)

Zahlengleichung:

60nt 2

PM

⋅π⋅=

Spannungen:

b

bb W

M=σt

tt W

M=τ Wt und Wb nach Bild 9

( )2t0

2bV 3 τ⋅α⋅+σ=σ

)III(dlnwechseund)I(ruhendfür5,1

zeitgleichundfallBelastungsgleicherundfür0,1

)I(ruhendoder)II(schwellendund)III(dlnwechsefür7,0

73,1isgsverhältnAnstrengun

tb0

tb0

tb0

zul,t

zul,b0

τσ=ατσ=α

τσ=ατ⋅

σ==α

Maßgebliche Werkstoffestigkeit und Sicherheit:

5,1:ungBeanspruchstatische10nlLastwechse erf3 =ν⇒≤

vorh,Vvorh,bbF

zul,b .bzw σσ≥ν

σ=σ

vorh,ttF

zul,t τ≥ν

τ=τ

Dynamische Beanspruchung (gerechnet wird nur auf Dauerfestigkeit k):

8Bildausund zul,tzul,b τσ

2.bzw

.bzw

tschwvorh,tWzul,t

vorh,Vvorh,bWzul,b

ττ≥τ

σσ≥σ

Wenn die nötigen Daten nicht aus Bild 8 zu entnehmen sind, so müssen sie aus dem Smith-Diagramm entnommenwerden und es gilt für Probestab ähnliche Querschnitte und für nicht ähnliche Querschnitte (z.B. Kerben) .2=ν 5=ν



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Dimensionierung von Vollkreis-Querschnitten:

( )2t0

2max,bV

3

zul,b

Verf

3

zul,t

terf

3

zul,b

berf

M75,0MM

1,0

Md

2,0

Md

1,0

Md

⋅α⋅+=

σ⋅=

τ⋅=

σ⋅= nur Mb

nur Mt

Mb mit Mt

Lagerausführungen – Allgemeine Formeln:

Laufruhe (statisch)0

0S P

Cf = C0 statische Tragzahl (Tabelle 27 bis 30)

P0 äquivalente statische Beanspruchung (s.u.)

0a00r00 FYFXP ⋅+⋅=äquivalente statischeBeanspruchung

X0 / Y0 Faktoren abhängig von Lager und KraftrelationFr0 statische radial wirkende KraftFa0 statische axial wirkende Kraft

äquivalente dynamischeBeanspruchung ar FYFXP ⋅+⋅= X / Y Faktoren abhängig von Lager und Kraftrelation

Fr dynamisch radial wirkende KraftFa dynamisch axial wirkende Kraft

Nominelle Lebensdauer in Umdrehungen und erforderliche Tragzahl

36

P

C10L

⋅= P

10

LC 3

6erf ⋅=Für Kugellager

310

P

C10L 6

⋅= P

10

LC

103

6erf ⋅

=Für Rollenlager

Lebensdauer in Stunden60n

LLh ⋅

=

Zum Auswählen nun entsprechende Tabellen der Lager benutzen. Für Cerf entweder C0 bei statischer oder Cbei dynamischer Beanspruchung benutzen.

zul,bσ⇒

Belastungsart Tabellenwert aus Tabelle 8

zul,tτ⇒

dlnwechseMbei

statischMbei

bbW

bbF

−σ⇒−σ⇒



Seite 47

Gleitlager

Bei Gleitlagern wird Schmieröl unter hohem Druck in die Lagerschale gedrückt, so daß zwischen den BauteilenFlüssigkeitsreibung herrschen sollte. Eine sog. Stribeck-Kurve (Bild 4) gibt die Reibzahl in Abhängigkeit der Dreh-zahl wieder. Hier kann man auch den Übergang von Misch- zu Flüssigkeitsreibung bei der Übergangsdrehzahl nÜerkennen.

Wälzlager

• Wegen der Rollreibung in Wälzlagern ist die Reibung hier 25...50 % geringer als bei Gleitlagern.• Nachteilig ist ihre Stoßempfindlichkeit und ihr geräuschvollerer Lauf.• Das Zylinderrollenlager nimmt keine axialen Kräfte auf, daher: P = Fr• Die Anlaufreibung ist gleich der Laufreibung ( )

Radiallagerung

Bei einfacher Fettschmierung und geringer Drehzahl gilt ungefähr:

BD

Fp

⋅=

spezifische Lagerbelastung

p - mittlere Flächenpressung [N/mm²]F – Belastungskraft [N]D – Lagernenndurchmesser [mm]B – Lagerbreite [mm]

rnr2vU ⋅ω=⋅⋅π⋅=

n2 ⋅π⋅=ωµ⋅= radialibRe FF

ω⋅⋅µ⋅=⋅µ⋅= rFvFP radialUradialVerlust

rFrFM radialibReibRe ⋅µ⋅=⋅=

Umfangsgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

Reibungskraft

Reibmoment / Anlaufmoment

Verlustleistung / Reibleistung

µ=µ0



Seite 48

Axiallagerung

LA

Fp =Spezifische Lagerbelastung

p – mittlere Flächenpressung der GleitflächeF – BelastungkraftAL – gedrückte Fläche (abhängig von Lagerart)

Keilriemenantriebe

ω⋅= ibReVerlust MP

2r

effektivr =2

rFM axialibRe ⋅µ⋅=

UaxialVerlust v5,0FP ⋅⋅µ⋅=

Verlustleistung / Reibleistung

Reibmoment / Anlaufmoment



Seite 49

wa

wb

b

a

d

d

n

ni ≈=Übersetzung

na – Drehzahl treibende Scheibenb – Drehzahl getriebene Scheibedwa – Wirkdurchmesser treibende Scheibedwb – Wirkdurchmesser getriebene Scheibe

gwgkwk ndndv ⋅π⋅≈⋅π⋅≈Riemengeschwindigkeit

dwk – Wirkdurchmesser kleine Scheibenk – Drehzahl kleine Scheibedwg – Wirkdurchmesser große Scheibeng – Drehzahl große Scheibe

Geschwindigkeitsbereiche und optimale Geschwindigkeiten:Normalkeilriemen 2 ... 30 m/s (Optimal: v = 20 m/s)Schmalkeilriemen 2 ... 40 m/s (in Sonderfällen bis 75 m/s) (Optimal: v = 30 m/s)

e2

ddsin wkwg

⋅−

=α

α⋅−°=β 2180

( ) ( )wkwgwgwkw dddd2

cose2L −⋅α++⋅π+α⋅⋅=

Für offene Riementriebe ohne Spannrolle (Flachriementriebe):

Trumneigungswinkel

Umschlingungswinkel

Wirklänge des Keilriemens(= Normlänge)

e – AchsabstandWinkel vor den Klammern in rad angeben

22

11 fffe −+≈Achsabstand ( )wgwkw

1 dd84

Lf +⋅π−= ( )

8

ddf

2wkwg

2

−=

Empfehlung für e: 0,7 ... 2 (dwg+dwk)

Nachfolgende Berechnungsformeln ergeben eine Lebensdauer für den Keilriemen von 24000 Betriebsstunden.

Rk

R

NN F3

2sin

2F

2F2F ⋅≈

α

⋅≈⋅=Reibungskraft RRNr FF3FF ⋅µ′=⋅µ⋅≈⋅µ=

Zulässige Nachstellwegeww L015,0yL03,0xmite ⋅=⋅=±

Keilriemen sind so vorzuspannen, daß der Schlupf maximal1 % beträgt, da sonst die Betriebszeit deutlich herabgesetzt wird.



Seite 50

AvCP

A

FF2

21N

⋅

=−=σNutzspannung

A

F21 =σ

A

F12 =σ

Spannung im Leertrum

Spannung im Lasttrum

2f v⋅ρ=σSpannung durch Fliehkraft

P = Nenn- / Antriebsleistung von MaschineP • C2 = BerechnungsleistungRiemenauswahl aus P in Tabelle 6

C1 – Winkelfaktor aus Tabelle 8C2 – Belastungsfaktor aus Tabelle 9C3 – Längenfaktor aus Tabelle 10

( )f2bzulN σ+σ+σ−σ=σ

vAvFP NNutzN ⋅⋅σ=⋅=

v

P0,25,1FW ⋅≈Wellen- / Achsenbelastung

wB L

Zvf

⋅=Biegefrequenz Z – Anzahl Umlenkungen bzw. Anzahl Scheiben inkl. Spannrollen

31N

2

CCP

CPz

⋅⋅⋅=Riemenanzahl

P • C2 zu übertragene LeistungPN • C1 • C3 übertragbare Leistung pro Keilriemen

(PN aus Tabelle 6)z Keilriemenanzahl

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