Technik der Fourier-Transformation · Technik der Fourier-Transformation Wie macht man das?...

Technik der Fourier-Transformation


Was ist Fourier-Transformation?

Fourier-

Transformation

Frequenzabhängiges Signalin 1/s

Zeitabhängiges Signal in s


Wozu braucht man das?


Wie macht man das?

Fourier- Reihe

Zerlegung einer periodischen Funktion in ihre sinus- und cosinus-förmigen Anteile

( )0

( ) cos ( ) sin ( )k k k kk

f t A t B tω ω∞

=

= +∑


Fourier-Reihen

Voraussetzungen:Periodische Funktionen

gerade: z.b. cosinus ungerade: z.b. sinus „weder, noch“ : z.b. cos + sin


Fourier-Reihe:

Ak und B

k sind die Amplituden ,

d.h. Intensitäten der unterschiedlichen Frequenzen

ωk ist die Frequenz

T ist die Periode

k ist eine ganze Zahl (Laufzahl)

2k

kTπω =

( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑


Was wollen wir herausfinden? Unterschiedliche Amplituden bestimmter Frequenzen

Ak = ?

Bk = ?

Wozu nochmal ?

genaue Beschreibung unserer Messkurve

( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑


Wie kann man die Amplituden bestimmen?

Multiplikation mit cos ωk´t :

Integration:

Vereinfachung durch Orthogonalitätsrelationen!

( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 / 2

´ ´ ´0/ 2 / 2

( ) cos cos cos sin cosω ω ω ω ω∞

=− −

= +∑∫ ∫T T

k k k k k k kkT T

f t t dt A t t B t t dt

( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑

´ ´0

( ) cos ( ) ( cos ( ) sin ( )) cos ( )k k k k k kk

f t t A t B t tω ω ω ω∞

=

= +∑


Orthogonalitätsrelationen:

/ 2

/ 2

0 ´2 2 ´cos cos / 2 ´ 0

´ 0

T

T

für k kkt k t dt T für k kT T

T für k k

π π

−

≠ = ≠ = =

∫

/ 2

/ 2

0 ,́ 0 /2 2 ´sin sin ´ 0

/ 2 ´ 0

T

T

für k k k undkt k t dt oder kT T

T für k k

π π

−

≠ = = = ≠

∫

/ 2

/ 2

2 2 ´cos sin 0T

T

kt k t dtT Tπ π

−

=∫

( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 / 2

´ ´ ´0/ 2 / 2

( ) cos cos cos sin cosω ω ω ω ω∞

=− −

= +∑∫ ∫T T

k k k k k k kkT T

f t t dt A t t B t t dt


/ 2

´/ 2

( ) cos ( )2

T

k kT

Tf t t dt Aω−

=∫

/ 2

/ 2

2 ( )cos ( )T

k kT

A f t t dtT

ω−

= ∫

( ) ( ) ( )/ 2 / 2

´ ´/ 2 / 2

( ) cos cos cosω ω ω− −

=∫ ∫T T

k k k kT T

f t t dt A t t

k = k´≠ 0 k = k´= 0

/ 2

0/ 2

( )−

=∫T

T

f t dt A T

/ 2

0/ 2

1 ( )T

T

A f t dtT −

= ∫


/ 2

/ 2

2 ( ) sin ( )T

k kT

B f t t dtT

ω−

= ∫

Berechnung von Bk ähnlich,

aber Multiplikation mit sin ωk´t

0 0=B

/ 2

0 0/ 2 0

2 ( ) sin ( )T

T

B f t t dtT

ω− =

= ∫ 14243

k = k´≠ 0 k = k´= 0

Technik der Fourier-TransformationBeispielrechnung: Dreieckfunktion

Was ist das?

Diese Dreieckfunktion ist eine gerade Funktion.

nur Ak berechnen

21 / 2 0( )

21 0 / 2

t für T tTf tt für t TT

+ − ≤ ≤= − ≤ ≤

/ 2

/ 2

0

2 ( ) sin ω−

=

= ∫144424443

T

k kT

B f t t dtT


Warum nur Ak ?

Aus Symmetriegründen:

Produkt von gerader und ungerader Funktion = ungerade Funktion

Fläche einer ungeraden Funktion in einer Periode = 0


Wir setzen die Dreieckfunktion in die Gleichung von Ak ein

/ 2

/ 2

2 ( )cos ( )T

k kT

A f t t dtT

ω−

= ∫

21 / 2 0( )

21 0 / 2

t für T tTf tt für t TT

+ − ≤ ≤= − ≤ ≤


Mit Hilfe der folgenden Gleichung lässt sich Ak berechnen:

/ 2

2/ 2

8 2cosT

kT

ktA t dtT T

π

−

= − ∫

2

1cos sin cosax ax dx ax axx a

= +∫


k gerade Zahlen

k ungerade Zahlen

k = 0

2 2

2(1 cos )k

kAk

ππ−=

2 2

4kπ

/ 2

0/ 2

1 ( )T

T

A f t dtT −

= ∫

A = 0

A =

A = ½


Damit ergibt sich folgende Funktion:

( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑

0 ´1

( ) cos ( )k kk

f t A A tω∞

=

= +∑

2 2 2 2

1 4 1 1 1( ) cos (1 ) cos (3 ) cos (5 ) ...2 1 3 5

f t t t tω ω ωπ

= + + + +

0 10 20 30 40 500,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Am

plitu

de

Frequenz

Fourier-Transformierte der Dreieckfunktion


in Hzk=1 k=3 k=5


( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑

/ 2

/ 2

2 ( )cos ( )T

k kT

A f t t dtT

ω−

= ∫/ 2

/ 2

0

2 ( ) sin ( )T

k kT

B f t t dtT

ω−

=

= ∫144424443

2 2

2(1 cos ( ))k

kAk

ππ

−=

Komplexe Schreibweise:

Spektrale Intensität gleichermaßen auf positive und negative Frequenzen aufteilen

● Ak-Amplituden halbieren, d.h. Ak ½ = A'k

● Bk-Amplituden halbieren, aber :

negative Frequenzen: Bk -½ = B'kpositive Frequenzen: Bk ½ = B'k


( )( ) ' cos( ) ' sin( )k k k kk

f t A t B tω ω∞

=−∞

= +∑nicht mehr von 0


Komplexe Schreibweise:

Eulersche Regel:

Einsetzen in:

( )0


f t A t B tω ω∞

== +∑

( )1cos ( ) exp ( ) exp ( )2k k kt i t i tω ω ω= + −

( )1sin( ) exp ( ) exp ( )2k k kt i t i ti

ω ω ω= − −

01

( ) exp( ) exp ( )2 2

k k k kk k

k

A iB A iBf t A i t i tω ω∞

=

− + = + + − ∑


Durch Vereinfachung ergibt sich:

2 kTπω =

k−∞ ≤ ≤ ∞für/ 2

/ 2

1 ( ) exp( )T

k kT

C f t i t dtT

ω−

= −∫

( ) exp( )k kf t C i tω∞

−∞

=∑

{0

01

( ) exp( ) exp( )2 2k k

k k k kk k

kC für k für kC C

A iB A iBf t A i t i tω ω

−

∞

= −

− += + + −

∑ 14243 1424314243 14243

Kontinuierliche Fouriertransformation

Was ist das?

Alternativ: Zerlegung eines zeitabhängigen Signals in sein Spektrum

Auch hier gilt:

Transformation ergibt Funktion im reziproken Raum

➔ FT [f(t[s])] = F(1/t[s]) = F(ω[s-1])


Warum kontinuierliche Fouriertransformation ?

● Transformation nichtperiodischer Signale möglich

periodisches Signal nicht -periodisches Signal



DiskreteFourierreihe:

- k sind ganze Zahlen in der Reihendarstellung

diskrete Frequenzen ωk mit den jeweils eigenenen Amplituden Ak und Bk

KontinuierlichFouriertransformation:

- keine k

keine diskreten Frequenzen, sondern kontinuierliche Transformierte F(ω);

Funktion F(ω) gibt Amplituden in Abhängigkeit von der Frequenz wieder

Was bedeutet kontinuierlich?

Formal: ( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑ ( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

Vergleich


Fourier- Analyse

Zeitabhängiges periodisches Signal

Kontinuierliche Transformation

Zeitabhängiges, periodisches / nicht periodisches Signal

Zu den Verkehrsregeln

● Fouriertransformation ist keine Einbahnstraße:

Hintransformation:

Vorsicht bei den Faktoren

Rücktransformation:


( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

1( ) ( ) exp ( )2

f t F i t dtω ωπ

∞

−∞= ∫


( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

( )e cos ( ) sin ( )i t t i tω ω ω− = −

( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )F f t t dt i f t t dtω ω ω∞ ∞

−∞ −∞= −∫ ∫

Fouriertransformierte ist eine komplexe Größe

Transformierte aufteilbar in Real- und Imaginär- teil.

Als Beispiel:

aus

mit

wird

Real und Imaginärteil können einzeln dargestellt werden

F(ω)= R(ω) + i I(ω)

Hierbei ist R(ω) der Realteil und I(ω) der Imaginärteil

Die Fouriertransformierte ist darstellbar als:

Betrag der Fouriertransformierten:

oder als , auch Power Darstellung genannt


( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )F f t t dt i f t t dtω ω ω∞ ∞

−∞ −∞= −∫ ∫

2 2( ) ( ) ( )F R Iω ω ω= +

2 2 2( ) ( ) ( )F R Iω ω ω= +

Beispiel einer Fouriertransformation

● Exponentieller Zerfall

es ergibt sich:

Realteil Imaginärteil


exp ( ) 0( )

0t t

f tsonst

λ− ≥=

0( ) exp ( ) exp ( )F t i t dtω λ ω

∞= − −∫

1( )Fi

ωλ ω

=+

2 2 2 2( ) iF λ ωωλ ω λ ω

= −+ +

Fouriertransformation eines Exponentiellen Zerfalls

Betrag der Fouriertransformierten:

Power Darstellung:


2 2 2 2( ) iF λ ωωλ ω λ ω

= −+ +

( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 22 2

( )

1

iF λ ωωλ ω λ ω

λ ωλ ωλ ω

= − = + +

+ =++

2 22

2 2 2 2 2 2

1( ) iF λ ωωλ ω λ ω λ ω

= − = + + +

Fouriertransformierten des Exponentiellen Zerfalls

Real und Imaginärteil Betrag und Power-Darstellung

Lorentz-Funktion

Real: Betrag:

Imaginär: Power:


2

2 2

1( )F ωλ ω

=+

2 2

1( )F ωλ ω

=+2 2( )R λω

λ ω=

+

2 2( ) iI ωωλ ω

= −+


Signale und ihre Transformierten

Langsam variierende Signale :● Schnell abfallende Transformierte

➔ Kleines Frequenzspektrum

Schnell variierende Signale :● Langsam abfallende Transformierte

➔ Großes Frequenzspektrum

Zusammenfassung

● Kontinuierliche Transformation durchführbar mit periodischen und nicht-periodischen Signalen

● Transformierte des Signals (Spektrum) ist kontinuierlich

● Transformierte des Signals ist eine komplexe Größe

● Schnell variierende Signale haben langsam abfallende Transformierteund umgekehrt


( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

Was beim Transformieren beachtet werden muß?

● Praktisch ist Integration über die Grenzen -∞ bis ∞ unmöglich

kein Signal kann unendlich lange aufgenommen werden

Abschneiden des Signals bei -T und T


( ) ( ) exp ( )T

TF f t i t dtω ω

−= −∫

Fehler durch Abschneiden

● Betragsdarstellung des abge-schnittenen Meßsignals eines exponentiellen Zerfalls

● Betragsdarstellung des vollstän-digen Meßsignals eines expo-nentiellen Zerfalls

38


Mathematische Betrachtung

● Im Beispiel wurde folgende Funk-tion verwendet:

● Abschneiden der Funktion beim

einem Funktionswert f(t)=exp(-3)

● Rechenbeispiel an einem expo-

nentiellen Zerfall :

0 0

λ

ω ω ω ω∞

= −

= − = −∫ ∫

( ) exp( )

: :

( ) ( )exp( ) ( ) ( )exp( )T

f t t

Abgeschnitten Unabgeschnitten

F f t i t dt F f t i t

39


14

( ) exp( )f t t= −

Abschneidefehler

● Als Ergebnis für die Transforma- tion ergeben sich die Funktionen:

für das Abgeschnittene Signal

für das vollständige Signal

● Durch das Abschneiden hat man sich eine Oszilation eingefangen;

erkennbar, wenn man Euler- Beziehung einsetzt.

Wenn möglich nicht Abschneiden, schon gar nicht schlagartig oder unsanft

1λ ωωλ ω

− − −=− −

exp( )exp( )( ) T i TFi

1ωλ ω

=+

( )Fi

40


Abschneiden: Schlagartig und unsanft ?

Schlagartig und unsanft sanft und zärtlich


Abschneiden des Signals auf der y-Achse

● Wie geht das?– Einfach übersteuern

Was vorher so aussieht sieht nachher so aus


Was passiert dann ?

● Die E-Gitarre hört sich so gut an

Warum ?

● Fouriertransformation gibt Antwort:

– Eckige Funktionen besitzen ein unendlich großes Frequenzspekrum➔ Instrumente mit großem Spektrum klingen gut

Fouriertransformation


Digitalisierung

● Beispiel CD:– Kein kontinuierliches Signal auf der CD

✗ Aber kontinuierliches Signal aus dem Hifi-Gerät

Wie gehts das?

Fouriertransformation


● Messsignal unbekannt– Nur Messpunkte bekannt

● Transformation der Messpunkte liefert kontinuierliches Signal in der Frequenzdomäne

● Durch eine Mathematische Ope-ration erhält man Transformierte des Messsignal

● Rücktransformation liefert das Messsignal


● Signal ist vollständig durch Reihe an Messpunkten beschrieben

Voraussetzung:– Die Abtastrate stimmt

Was bedeutet das ?

● Die Abtastrate bzw. Abtastfrequenz muss doppelt so groß sein, wie die maximale darzustellende Frequenz

Nyquist -Theorem


max

12AbtastTf

=

Zurück zum Beispiel CD

● Wir höhren maximal Töne bis 20 kHz➔ Nyquist sagt : Mindestens mit 40 kHz Abtasten

➔ 44 kHz ist die von der Industrie verwendete Abtastrate; entsprichtdem Speicherformat für Audiodateien auf bekannten Datenträger ( CD, HDD ....)

➔ Heißt alle 0,025 ms Abtasten

➔ Ein 3 minütiges Lied besitzt 21.6 Mio Abtastwerte


max2 Abtastf f=

Zusammenfassung

● Fourierreihe

– Bestimmung der Amplituden

● Kontinuierliche Transformation

– Die Transformierte erhält man durch einfaches Integrieren

● Messungen sind nie vollständig

– daraus resultieren Fehler

– Vermeidung der Fehler

Es gibt tatsächlich alltägliche Anwendungen,

die jeder benutzt, zum Teil ohne es zu wissen


( )0


f t A t B tω ω∞

=

= +∑

( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞

−∞= −∫

Literatur

● BUTZ, Tillmann (2003), Fouriertransformation für Fußgänger

● BRIGHAM, E.Oran (1992), 5.Aufl., FFT Schnelle Fouriertransformation


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