EUROPA-FACHBUCHREIHEfür Chemieberufe

Technische Mathematik

und Datenauswertung

für Laborberufe

Ernst Bartels, Klaus Brink, Gerhard Fastert, Eckhard Ignatowitz

7. Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 71713

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Autoren:Dr. Ernst Bartels, StD Winsen/AllerDr. Klaus Brink, StR LeverkusenGew.-Lehrer Gerhard Fastert, OStR † StadeDr. Eckhard Ignatowitz, StR a. D. Waldbronn

Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:Dr. Eckhard Ignatowitz

Bildentwürfe: Die Autoren

Bildbearbeitung:Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern

7. Auflage 2018

Druck 5 4 3 2 1

Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlernuntereinander unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-2560-9

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalbder gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2018 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten

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Umschlagfoto: © kwanchaift – stock.adobe.com

Satz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.com

Druck: Media-Print Informationstechnologie, 33100 Paderborn

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Das Buch TECHNISCHE MATHEMATIK UND DATENAUSWERTUNG FÜR LABORBERUFE ist einLehr- und Übungsbuch für die schulische und betriebliche Ausbildung im Bereich fachbezogenerBerechnungen sowie der Labordaten- und Prozessdatenauswertung.

Dieses Lehrbuch ist geeignet für Auszubildende zum Chemielaboranten, Lacklaboranten und Bio -logielaboranten. Auch in den Berufsfachschulen Chemisch-technischer Assistent/in, Biologisch-technischer Assistent/in, Pharmazeutisch-technischer Assistent/in und Umwelt-technischer Assis -tent/in, an Fachschulen für Biotechniker, Chemotechniker und Umweltschutztechniker sowie in derFachoberschule Technik (Fachrichtung Chemie), der Berufsoberschule und in naturwissenschaftlichausgerichteten Gymnasien ist es einsetzbar.

Die Auswahl der Inhalte orientiert sich an den Rahmenlehrplänen für die Ausbildungsberufe Chemie-laborant/Chemielaborantin, Biologielaborant/Biologielaborantin und Lacklaborant/Lacklaborantin(Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18. März 2005) und der Verordnung über die Berufsaus-bildung im Laborbereich Chemie, Biologie und Lack vom 25. Juni 2009.

Dieses Buch vermittelt neben den mathematischen Grundkenntnissen die Vielfalt der berufsbezo -genen mathematischen Kenntnisse aus den Bereichen Chemie, Physik, Statistik, Reaktionskinetik,Analytik, Qualitätssicherung, Beschichtungsstoffe und Informatik. Es ist ein kompetenter Begleiterwährend der Ausbildung und ein guter Vorbereiter auf die Prüfung.

Durch seinen modularen Aufbau ist das Buch uneingeschränkt für den Lernfeld-orientierten Unter-richt geeignet. Den Beispielen und Übungsaufgaben liegen konsequent Problemstellungen aus demBerufs alltag der Laborberufe zugrunde. Besonderer Wert wurde darauf gelegt, die zahlreichen Vor-gänge und Geräte durch Abbildungen zu veranschaulichen. Wichtige Gesetzmäßigkeiten und For-meln sind optisch hervorgehoben. Ebenso unterstützen graue und rote Unterlegungen des Textes beiden Beispielen und den Übungsaufgaben die rasche Orientierung im Buch. Am Ende eines Kapitelsfolgen zahlreiche praxisorientierte Übungsaufgaben, die zur Festigung des Erlernten, zur Leistungs-kontrolle oder zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden können.

Die Lösungen der Beispielaufgaben sind überwiegend mit Größengleichungen gerechnet. Wo essinnvoll ist, wird alternativ auch die Schlussrechnung angewendet. Dabei wird das Runden der Ergeb-nisse auf die Anzahl signifikanter Ziffern oder Stellen konsequent berücksichtigt.

In zahlreichen Kapiteln werden die Möglichkeiten zur Nutzung eines Tabellenkalkulationsprogrammsbei der rechnerischen oder grafischen Auswertung von Daten und Datenreihen vorgestellt.

Die im Rahmenlehrplan der Laborberufe geforderte Kompetenz zur Nutzung fremdsprachlicher Infor-mationsquellen wird durch die Angabe von Schlüsselbegriffen in englischer Sprache (jeweils in Klam-mern hinter der deutschen Bezeichnung) im Text unterstützt.

Bei den Bestimmungsmethoden physikalischer oder chemischer Größen sind im Text oder in dentabellarischen Übersichten die entsprechenden DIN-Normen angegeben. Die Bezeichnung von Stof-fen folgt den Vorgaben der IUPAC, aber auch die in der Anlagen- und Laborpraxis üblichen techni-schen Namen werden aufgeführt, soweit sie von der IUPAC als weiterhin erlaubt gekennzeichnet sind.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind vertiefende Lerninhalte zu den Beschichtungsstoffen und zurBiometrie in eigenständigen Kapiteln am Ende des Buches angeordnet.

Zum Lehrbuch Technische Mathematik und Datenauswertung für Laborberufe gibt es ein Lösungs-

buch mit vollständig durchgerechneten, teilweise auch alternativen Lösungswegen sowie methodi-schen Hinweisen (Europa-Nr. 71764).

In der 7. Auflage wurden Fehler korrigiert, der Text überarbeitet und der Anhang aktualisiert.

Verlag und Autoren danken im Voraus den Benutzern des Buches für weitere kritisch-konstruktiveVerbesserungsvorschläge und Fehlerhinweise (lektorat@europa-lehrmittel.de).

Sommer 2018 Die Autoren

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Vorwort

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4

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Inhaltsverzeichnis

1.1 Zahlenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Größen, Einheiten, Zeichen, Formeln . . . . 91.3 Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Berechnen zusammengesetzter

Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . 201.8.1 Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . 201.8.2 Berechnen dekadischer Logarithmen . . . 211.8.3 Berechnen natürlicher Logarithmen . . . . 211.8.4 Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.5 Logarithmieren bei der

pH-Wert-Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9 Lösen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.1 Lineare Bestimmungsgleichungen . . . . . . 231.9.2 Quadratische Bestimmungsgleichungen . 241.9.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9.4 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 251.9.5 Umstellen von Größengleichungen . . . . . 261.10 Winkel und Winkelfunktionen . . . . . . . . . 271.11 Berechnungen mit dem Dreisatz . . . . . . . 281.12 Berechnungen mit Proportionen . . . . . . . 291.13 Rechnen mit Anteilen . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Gemischte Aufgaben zu 1 . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Messtechnik in der Chemie . . . . . . . . . . . 342.1.1 Grundbegriffe der Messtechnik . . . . . . . . 342.1.2 Unsicherheit von Messwerten . . . . . . . . . 352.1.3 Messgenauigkeit im Labor und

Chemiebetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Rechnen mit Messwerten . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 Signifikante Ziffern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.3 Rechnen mit Messwerten ohne

angegebene Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . 412.2.4 Rechnen mit Messwerten mit

angegebener Unsicherheit . . . . . . . . . . . . 422.3 Auswertung von Messwertreihen . . . . . 432.3.1 Arithmetischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Absoluter und relativer Fehler . . . . . . . . . 432.3.3 Standardabweichung,

Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.4 Auswertung mit dem Taschenrechner

und Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Darstellung von Messergebnissen . . . . . . 472.4.1 Messwerte in Wertetabellen . . . . . . . . . . . 472.4.2 Grafische Darstellung von Messwerten . . 48

2 Auswertung von Messwerten undProzessdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1 Mathematische Grundlagen,praktisches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.3 Arbeiten mit Diagrammen in der Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.4 Interpretation von Graphen . . . . . . . . . . . 522.4.5 Linearisieren einer Kurve . . . . . . . . . . . . . 542.4.6 Verwendung grafischer Papiere . . . . . . . . 552.5 Versuchs- und Prozessdaten-

auswertung mit Computern . . . . . . . . . . . 572.5.1 Datenauswertung mit einem

Tabellenkalkulationsprogramm . . . . . . . . 572.5.2 Grafische Aufbereitung von Versuchs-

und Prozessdaten, Diagrammarten . . . . . 602.5.3 Computergestützte Auswertung von

Messwertreihen durch Regression . . . . . . 64Gemischte Aufgaben zu 2 . . . . . . . . . . . . . 68

3.1 Größen, Zeichen, Einheiten, Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Berechnung von Längen, Flächen, Oberflächen und Volumina . . . . . . . . . . . . 76

3.2.1 Längenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2 Umfangs- und Flächenberechnung . . . . . 773.2.3 Oberflächen- und Volumenberechnung . 783.3 Masse, Volumen und Dichte . . . . . . . . . . . 793.4 Bewegungsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Strömumgsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.8 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.9 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.10 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.11 Druck und Druckarten . . . . . . . . . . . . . . . . 983.12 Druck in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 993.13 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.14 Gaskinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.15 Druck in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.16 Sättigungsdampfdruck, Partialdruck . . . 1063.17 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Gemischte Aufgaben zu 3 . . . . . . . . . . . . 109

4.1 Grundgesetze der Chemie . . . . . . . . . . . 1124.2 Chemische Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3 Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4 Symbole und Ziffern in Formeln . . . . . . 1164.5 Quantitäten von Stoffportionen . . . . . . . 1174.6 Zusammensetzung von

Verbindungen und Elementen . . . . . . . 1204.7 Empirische Formel und Molekülformel . 1224.7.1 Elementaranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.7.2 Berechnung der empirischen Formel . . . 1244.7.3 Berechnung der Molekülformel . . . . . . . 124

4 Stöchiometrische Berechnungen . . 112

3 Ausgewählte physikalischeBerechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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5

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4.8 Gase und Gasgesetze . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.8.1 Gase bei Normbedingungen . . . . . . . . . . 127

4.8.2 Gase bei beliebigen Drücken und Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.9 Rechnen mit Reaktionsgleichungen . . . 130

4.9.1 Reaktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.9.2 Aufstellen von Reaktionsgleichungen . . 132

4.9.3 Oxidationszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.9.4 Aufstellen von Redox-Gleichungen . . . . 137

Gemischte Aufgaben zu 4.9 . . . . . . . . . . 141

4.10 Umsatzberechnung . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.10.1 Bei reinen Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.10.2 Bei verunreinigten oder gelösten Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.10.3 Bei Gasreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.10.4 Unter Berücksichtigung der Ausbeute . . 150

Gemischte Aufgaben zu 4.10 . . . . . . . . . 153

5.1 Gehaltsgrößen von Mischphasen . . . . . 156

5.1.1 Massenanteil w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.1.2 Volumenanteil ƒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.1.3 Stoffmengenanteil ç . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.1.4 Umrechnung der verschiedenen Anteile 163

5.1.5 Massenkonzentration ∫ . . . . . . . . . . . . . 165

5.1.6 Volumenkonzentration ‚ . . . . . . . . . . . . 166

5.1.7 Stoffmengenkonzentration c,

Äquivalentkonzentration c (1/z* ) . . . . . . 167

5.1.8 Umrechnen der verschiedenen Konzentrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.1.9 Löslichkeit L* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2 Umrechnen von Anteilen ⇔Konzentrationen ⇔ Löslichkeiten . . . . . 173

5.2.1 Umrechnung Massenanteil w ⇔Stoffmengenkonzentration c . . . . . . . . . . 173

5.2.2 Umrechnung Massenanteil w ⇔Massenkonzentration ∫ . . . . . . . . . . . . . . 174

5.2.3 Umrechnung Massenanteil w ⇔Volumenkonzentration ‚ . . . . . . . . . . . . . 174

5.2.4 Umrechnung Massenanteil w ⇔Löslichkeit L* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.3 Mischen, Verdünnen und Konzentrieren von Lösungen . . . . . . . . . 177

5.3.1 Mischen von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 177

5.3.2 Verdünnen von Lösungen . . . . . . . . . . . . 179

5.3.3 Mischen von Lösungs-Volumina . . . . . . 180

5.3.4 Konzentrieren von Lösungen . . . . . . . . . 181

Gemischte Aufgaben zu 5 . . . . . . . . . . . 183

6.1 Die Reaktionsgeschwindigkeit . . . . . . . . 185

6.2 Beeinflussung der Reaktions-geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.2.1 Einfluss der Konzentration . . . . . . . . . . . 188

6.2.2 Grafische Ermittlung der Reaktionsordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6 Der Verlauf chemischer Reaktionen 185

5 Rechnen mit Mischphasen . . . . . . . . 156

6.2.3 Einfluss der Temperatur . . . . . . . . . . . . . 195

6.2.4 Einfluss von Katalysatoren . . . . . . . . . . . 198

6.3 Chemisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . 199

6.4 Massenwirkungsgesetz MWG . . . . . . . . 200

6.5 MWG für Gasgleichgewichte . . . . . . . . . 202

6.6 Verschiebung der Gleichgewichtslage . 204

7.1 Protolysegleichgewichte . . . . . . . . . . . . 208

7.1.1 Protolysegleichgewicht des Wassers . . . 208

7.1.2 Der pH-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1.3 pH-Wert starker Säuren und Basen . . . . 211

7.1.4 Dissoziationsgrad å, Protolysegrad . . . . 212

7.1.5 Säure- und Basenkonstante . . . . . . . . . . 213

7.1.6 pH-Wert schwacher Säuren und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.7 pH-Wert mehrprotoniger Säuren . . . . . . 216

7.1.8 Das OSTWALD´sche Verdünnungs-gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.9 pH-Wert von Pufferlösungen . . . . . . . . . 218

7.1.10 Lage von Protolysegleichgewichten . . . 220

7.2 Löslichkeitsgleichgewichte . . . . . . . . . . . 221

Gemischte Aufgaben zu 7 . . . . . . . . . . . 223

8.1 Gravimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.1.1 Feuchtigkeits- und Trockengehalts-

bestimmungen von Feststoffen . . . . . . . 226

8.1.2 Bestimmung des Wassergehalts in Ölen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.1.3 Glührückstandsbestimmungen . . . . . . . 228

8.1.4 Thermogravimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.1.5 Gravimetrische Fällungsanalysen . . . . . 231

8.2 Volumetrie (Maßanalyse) . . . . . . . . . . . . 234

8.2.1 Maßanalyse mit aliquoten Teilen . . . . . . 234

8.2.2 Maßlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.2.2.1 Gehaltsangaben von Maßlösungen . . . . 235

8.2.2.2 Herstellen von Maßlösungen . . . . . . . . . 237

8.2.2.3 Titer von Maßlösungen . . . . . . . . . . . . . . 238

8.2.2.4 Einstellen einer Maßlösung . . . . . . . . . . 239

8.2.3 Berechnung von Maßanalysen-Neutralisationstitrationen . . . . . . . . . . . 240

8.2.3.1 Berechnung von Direkttitrationen . . . . . 240

8.2.3.2 Bestimmung des Titers . . . . . . . . . . . . . . 243

8.2.3.3 Rücktitrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.2.3.4 Mehrstufige Neutralisations-titrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.2.3.5 Indirekte Titration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.2.3.6 Oleum-Bestimmungen . . . . . . . . . . . . . . 249

8.2.4 Redox-Titrationen (Oxidimetrie) . . . . . . 250

8.2.4.1 Manganometrische Titrationen . . . . . . . 251

8.2.4.2 Iodometrische Titrationen . . . . . . . . . . . . 252

8.2.4.3 Chromatometrie, Bromatometrie,

Cerimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.2.4.4 Bestimmung des CSB-Wertes . . . . . . . . . 256

8 Analytische Bestimmungen . . . . . . . 225

7 Ionengleichgewichte . . . . . . . . . . . . . .208

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8.2.5 Fällungstitrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.2.6 Komplexometrische Titrationen . . . . . . 259

Gemischte Aufgaben zu 8.2 . . . . . . . . . 2618.3 Maßanalytische Kennzahlen . . . . . . . . 2638.3.1 Säurezahl SZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.3.2 Verseifungszahl VZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648.3.3 Esterzahl EZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3.4 Hydroxylzahl OHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.3.5 lodzahl IZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Gemischte Aufgaben zu 8.3 . . . . . . . . . 2698.4 Maßanalytische Bestimmungen

mit elektrochemischen Methoden . . . . . 2708.4.1 Potentiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4.2 Leitfähigkeitstitrationen . . . . . . . . . . . . . . 2738.5 Optische Analyseverfahren . . . . . . . . . . . 2758.5.1 UV/VIS-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . 2758.5.1.1 Physikalische Größen

der Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.5.1.2 Auswertung fotometrischer

Bestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Aufgaben zu 8.5.1 UV/VIS-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.5.2 Refraktometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Aufgaben zu 8.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.5.3 Polarimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Aufgaben zu 8.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.6 Chromatografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898.6.1 Dünnschicht- und Papier-

chromatografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898.6.2 Trennung mit Trennsäulen . . . . . . . . . . . 2908.6.3 Wichtige Kenngrößen

der Chromatografie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928.6.4 Trennwirkung einer Säule . . . . . . . . . . . . 2938.6.5 Detektorempfindlichkeit-

Responsefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.6.6 Auswertung Säulenchromatografischer

Analysen - Kalibriermethoden . . . . . . . . 2968.6.6.1 Normierung auf 100% –

100%-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.6.6.2 Externer Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.6.6.3 Interner Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.6.6.4 Standard-Additionsverfahren

(Aufstockmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Aufgaben zu 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

8.7 Partikelgrößenanalyse, Siebanalyse . . . 3078.7.1 Auswertung einer Siebanalyse . . . . . . . . 3078.7.2 Auswertung im RRSB-Netz . . . . . . . . . . . 3098.7.3 Auswertung einer Siebanalyse mit

Tabellenkalkulationsprogramm . . . . . . . 312

9.1 Datengewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.2 Kennwerte von Datenreihen . . . . . . . . . . 3159.2.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3169.2.2 Streuung von Stichprobenwerten . . . . . 318

9 Statistik in Biologie und Analytischer Chemie . . . . . . . . . . . . . 315

9.3 Lineare Korrelation und Regression . . . 3209.3.1 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3209.3.2 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4 Statistische Prüfverfahren . . . . . . . . . . . 3229.4.1 t-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3239.4.2 F-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3249.4.3 chi2-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Aufgaben zu 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

10.1 Validierung analytischer Verfahren . . . . 32910.1.1 Richtigkeit und Präzision

von Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.1.2 Richtigkeit von Messwerten . . . . . . . . . . 33010.1.3 Präzision von Messwerten . . . . . . . . . . . 33510.1.4 Ausreißertests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Qualitätsregelkarten in

der Analytischen Chemie . . . . . . . . . . . . 34310.2.1 Aufbau von Qualitätsregelkarten (QRK) . 34310.2.2 Regelgrenzen in Lage-Regelkarten . . . . . 34410.2.3 Bewertung von Lage-Regelkarten . . . . . 34510.2.4 Regelgrenzen in Streuungs-

Regelkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34710.2.5 Bewertung von Streuungs-

Regelkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34810.2.6 Erstellen und Führen von Regelkarten . . 349

11.1 Grundbegriffe der Elektrotechnik . . . . . 35311.2 Elektrischer Widerstand eines Leiters . . 35511.3 Temperaturabhängigkeit des

Widerstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35611.4 OHM sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 35711.5 Reihenschaltung von Widerständen . . . 35811.6 Parallelschaltung von Widerständen . . . 36011.7 Messbereichserweiterungen . . . . . . . . . 36211.8 Gruppenschaltungen, Netzwerke . . . . . 36411.9 WHEATSTONE sche Brückenschaltung . . . 36611.10 Elektrische Arbeit, Leistung,

Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Gemischte Aufgaben zu 11 . . . . . . . . . . 369

12.1 Elektrolytische Stoffabscheidung . . . . . 37112.2 Leitfähigkeit von Elektrolyten . . . . . . . . 37412.3 Elektrochemische Potentiale . . . . . . . . . 378

13.1 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38513.2 Verhalten der Stoffe bei Erwärmung . . . 38613.2.1 Längenänderung von Feststoffen . . . . . . 38613.2.2 Volumenänderung von Feststoffen . . . . 387

13 Berechnungen zur Wärmelehre . . 385

12 Elektrochemische Berechnungen . 371

11 Berechnungen zur Elektrotechnik . 353

10 Qualitätssicherung in der Analytischen Chemie . . . . . . . . . . . . . 329

6

.

TML Titelei 001-007 2010_ TML Titelei 001-007 15.10.10 11:23 Seite 6

13.2.3 Volumenänderung von Flüssigkeiten . . 38813.2.4 Volumenänderung von Gasen . . . . . . . . 38913.3 Wärmeinhalt von Stoffportionen . . . . . . 39013.4 Aggregatzustandsänderungen . . . . . . . . 39113.4.1 Schmelzen, Erstarren . . . . . . . . . . . . . . . . 39113.4.2 Verdampfen, Kondensieren . . . . . . . . . . 39213.5 Temperaturänderung beim Mischen . . . 39313.6 Reaktionswärmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39813.6.1 Reaktionsenergie, Reaktionsenthalpie . . 39813.6.2 Heiz- und Brennwert . . . . . . . . . . . . . . . . 40013.6.3 Neutralisationsenthalpie . . . . . . . . . . . . . 40113.6.4 Lösungsenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40213.6.5 Freie Reaktionsenthalpie, Entropie . . . . . 403

Gemischte Aufgaben zu 13 . . . . . . . . . . 405

14.1 Dichtebestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . 40714.1.1 Pyknometer-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 40814.1.2 Hydrostatische Waage . . . . . . . . . . . . . . . 41114.1.3 WESTPHAL sche Waage . . . . . . . . . . . . . . . 41214.1.4 Tauchkörper-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 41314.1.5 Aräometer-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 41414.1.6 Schwebemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41414.1.7 Röntgendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41514.1.8 Schütt- und Rütteldichte . . . . . . . . . . . . . 41614.1.9 Schwingungsmethode . . . . . . . . . . . . . . 41714.2 Bestimmung der Viskosität . . . . . . . . . . 41914.2.1 Dynamische u. kinematische Viskosität . 41914.2.2 Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER . . . 42014.2.3 Auslauf-Viskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . 42114.2.4 Rotations-Viskosimeter . . . . . . . . . . . . . . 42214.3 Bestimmung der

Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . 42314.3.1 Abreißmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42414.3.2 Tropfenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42414.3.3 Kapillarmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42514.4 Bestimmung der molaren Masse . . . . . . 42614.4.1 Molare Masse aus den Gasgesetzen . . . 42614.4.2 Dampfdruckerniedrigung . . . . . . . . . . . . 42814.4.3 Siedepunkterhöhung . . . . . . . . . . . . . . . 42914.4.4 Gefrierpunkterniedrigung . . . . . . . . . . . . 43114.4.5 Osmotischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

15.1 Destillieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43615.1.1 Dampfdruck von Flüssigkeiten . . . . . . . . 43615.1.2 Homogene Flüssigkeitsgemische . . . . . . 43615.1.3 Siedediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43915.1.4 Gleichgewichtsdiagramm . . . . . . . . . . . . 43915.1.5 Durchführen einer Destillation . . . . . . . . 44015.1.6 Zeitlicher Verlauf einer Destillation . . . . 441

15 Trennen von Flüssigkeits-gemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

14 Physikalisch-chemischeBestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

7

.

15.2 Wasserdampfdestillation . . . . . . . . . . . . 443Aufgaben zu 15.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

15.3 Rektifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Aufgaben zu 15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

15.4 Flüssig-Flüssig-Extraktion . . . . . . . . . . . . 449Aufgaben zu 15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

16.1 Gehaltsgrößen von Beschichtungsstoffen . . . . . . . . . . . . . . . 452

16.1.1 Massenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45316.1.2 Volumenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45516.1.3 Pigment-Bindemittel-Massenverhältnis . 45616.1.4 Umrechnung von Rezepturen . . . . . . . . . 45716.2 Bestimmung der Kenngrößen

von Beschichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . 45916.3 Schichtdicke von Beschichtungen . . . . . 46116.4 Verbrauch und Ergiebigkeit . . . . . . . . . . 46416.5 Maßanalytische Kennzahlen . . . . . . . . . . 46816.5.1 Aminzahl, H-aktiv-Äquivalentmasse . . . 46816.5.2 Isocyanatmassenanteil,

Isocyanat- Äquivalentmasse . . . . . . . . . . 47016.5.3 Hydroxylzahl, OH-Äquivalentmasse . . . 47016.5.4 Epoxid-Äquivalentmasse, Epoxidwert . 47216.6 Mischen von 2-K-Lacken . . . . . . . . . . . . . 47316.6.1 2-K-Lacke mit Hydroxylgruppen

und Isocyanatgruppen . . . . . . . . . . . . . . . 47316.6.2 2-K-Lacke mit Epoxid-Gruppen

und aktivem Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . 474

Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . 476Physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . 476Tabelle: Korrelationskoeffizient . . . . . . . 476Tabelle: t-Verteilung (Student-Vert.) . . . 477Tabelle: F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 478Tabelle: ç2-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Tabelle: Schnelltest nach David

auf Normalverteilung . . . . . . . . 482Tabelle: Ausreißertest nach Grubbs . . . . 483Tabelle: Ausreißertest nach Dixon . . . . . 484Umrechnungsformeln

für Gehaltsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 485Kopiervorlagen:

Einfach-Logarithmenpapier,Doppelt-Logarithmenpapier,RRSB-Netz für die Siebanalyse . . . . . . 486

17 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

16 Berechnungen mit Beschichtungsstoffen . . . . . . . . . . . 452

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . 489

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 491

TML Titelei 001-007 2015_ TML Titelei 001-007 17.05.18 15:09 Seite 7

Basis des Rechnens in der Chemie sind die grundlegenden mathematischen Rechnungsarten sowie

deren praktische Anwendung mit dem Taschenrechner oder dem Computer.

Beim Rechnen unterscheidet man die bestimmten Zahlen sowie die allgemeinen Zahlen. Während

die bestimmten Zahlen einen festen Wert haben, wie z. B. 3 , 9,5 , 1/2 usw. stehen die allgemeinen Zah-

len als Platzhalter für beliebige Zahlen, wie z. B. x , y , z .

Bestimmte ZahlenDie bestimmten Zahlen kann man weiter in verschiedene Zahlenarten untergliedern.

Die bislang genannten Zahlen bezeichnet man als rationale Zahlen. Außerdem gibt es die Gruppe der irrationalen Zahlen. Es sind bestimmte Zahlen.

ZahlenstrahlDie bestimmten Zahlen lassen sich außer durch Ziffern (siehe oben, Beispiele) auch zeichnerisch auf

einem Zahlenstrahl als Strecke darstellen (Bild 1). Vom Nullpunkt aus nach rechts liegen die positiven

Zahlen, nach links die negativen Zahlen.

8

.

1 Mathematische Grundlagen, praktisches Rechnen

1.1 Zahlenarten

Zahlenarten der bestimmten rationalen Zahlen Beispiele

Natürlichen Zahlen: Sie sind die zum Zählen benutzten 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , …, 10 , 11 , 12 , …,

Zahlen. Es sind positive ganze Zahlen sowie die Null (0). Sie 37, …, 59 , 60 , 61 , …, 107, …

werden normalerweise ohne Pluszeichen (+) geschrieben.

Die negativen ganzen Zahlen erhält man durch Subtrahie-

ren einer größeren natürlichen Zahl von einer kleineren –1 , –2 , –3 , …, –18, –19 , …

natürlichen Zahl. Beispiel: 5 – 7 = – 2 ; 15 – 29 = – 14

Die ganzen Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen (positive 0, 1 , 2 , 3 , 4 , …, 71 , 72 , 73 , …

ganze Zahlen) und die negativen ganzen Zahlen. –1, –2, –3, –4, …, –21, –22, …

Gebrochene Zahlen, auch Bruchzahlen genannt, sind Quo-�1

2� , �

1

3� , �

2

3� , �

5

3� , 1 �

1

6� , �

7

9� , …

tienten aus zwei ganzen Zahlen. Quotient ist der Name für

einen Bruch, d.h. eine nicht ausgeführte Divisionsaufgabe – �

1

2� , – �

1

3� , – �

5

3� , 2 �

1

3� , – �

7

9� , …

ganzer Zahlen. Bruchzahlen können positiv und negativ sein.

Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma. Es können 1,748 , 0,250 , – 8,32 , –2,0 , –0,5 ,

positive und negative Dezimalzahlen sein. –7,8316 , 4,57 , 7,8 , –3,942 , …

Zahlenarten der bestimmten irrationalen Zahlen Beispiele

Wurzelzahlen y2� = 1,4142136…; y3� = 1,7320508…

Transzendente Zahlen π = 3,1415927…, e = 2,7182818…

Die irrationalen Zahlen sind nicht-periodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen.

negative Zahlen positive ZahlenHierarchie der ZahlenZahlenstrahl

0

ganze Zahlen

Bruchzahlen

Dezimalzahlen

rationaleZahlen

irrationaleZahlen

reelleZahlen

+ ∞– ∞–1–3–4–5–6–7 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

–5,734

– 19

–3,58

–p –e

–213

–2

– 2

12

–

+0,42

+113

+ 3

+p+e

+4,25

+ 27transzendente Zahlen

Wurzelzahlen

Bild 1: Zahlenarten und ihre Lage auf dem Zahlenstrahl, Hierarchie der Zahlen

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 8

Allgemeine Zahlen

Die allgemeinen Zahlen, auch Variable genannt, stehen als Platzhalter für eine beliebige Zahl.

9

.

1.2 Größen, Einheiten, Zeichen, Formeln

Tabelle 1: Basisgrößen und ihre Einheiten

Physikalische Größen- Einheiten- Einheiten-Größen zeichen namen zeichen

Länge § Meter m

Masse m Kilogramm kg

Stoffmenge n Mol mol

Zeit t Sekunde s

Thermodynami-sche Temperatur T Kelvin K

Stromstärke Û Ampere A

Lichtstärke Ûv Candela cd

Tabelle 2: Mathematische Zeichen (Auswahl)

Zeichen Bedeutung Zeichen Bedeutung

+ , – plus, minus < , > kleiner, größer

: , / geteilt durch, ≤ kleiner gleichpro ≥ größer gleich

· , � mal Δ Differenz

� , � gleich, ungleich … und so weiter

$ beträgt rund ∞ unendlich

¿ identisch gleich ± plus/minus

~ proportional | a | Betrag von a

≠ entspricht y2� Wurzel

Darstellung der allemeinen Zahlen Beispiele

In der allgemeinen Mathematik werden für die allgemeinen a, b, c, … u, v, w, …, x, y, z

Zahlen die kleinen Buchstaben des Alphabets verwendet.

In der technischen Mathematik benutzt man kleine oder große §, b, t, v, …, A, V, U, T, …Buchstaben zur Benennung einer Variablen, die meist dem § Länge, b Breite, t Zeit, h HöheAnfangsbuchstaben der Variablen entsprechen. A Fläche, V Volumen, U UmfangMan verwendet Buchstaben des lateinischen und des T thermodynamische Temperatur,griechischen Alphabets. « Celsius-Temperatur, å Winkel

Beispiel für Größengleichungen:

Fläche A = § · b Gewichtskraft FG = m · g

Volumen V = § · b · h Geschwindigkeit v = �st

�

1. Zu welcher Zahlenart gehören folgende Zahlen: 2. Wo liegen auf dem Zahlenstrahl die Zahlen:

0,7 ; – 18 ; y3� ; �17

�; 0 ; – 387 ; – π ; – 0,32 ? – 3 �13

�; 0,85 ; e ; – 0,25 ; y9� ; �24

�; – 3,50 ?

Aufgaben

In chemischen Berechnungen wird meist mit Grö -ßen und Einheiten gerechnet, die mit mathemati-schen Zeichen in Formeln verknüpft sind.

Größen, Einheiten

Mit einer Größe (engl. physical quantity) werdenchemische oder physikalische Eigenschaften be -schrieben. Zu ihrer Kurzschreibweise benutzt manein Größenzeichen, z.B. § für die Länge.Der Wert einer Größe besteht aus einem Zahlen-wert und einer Einheit, z. B. 5,8 kg. Die Einheit wirdmit einem Einheiten zeichen angegeben, z. B. kg.Es gibt 7 Basisgrößen, auf die sich alle Größenzurückführen lassen (Tabelle 1).

Mathematische Zeichen

Die mathematischen Zeichen (engl. mathematicalsymbols) dienen zur Kurzbezeichnung einermathematischen Operation (Tabelle 2).

Sollen zwei Zahlen multipliziert werden, sosetzt man zwischen die Zahlen das Kurzzei-chen für „multiplizieren“ z. B. 3 · 5.

Für Flächenformate und räumliche Abmessungenist auch das Multiplikationszeichen � zugelassen.

3 m � 5 m.

Formeln, Größengleichungen

Die ge setz mäßigen Zusammenhänge zwischenGrößen werden durch Größengleichungen (equa-tions) oder Formeln ( formula) ausgedrückt.Mit Hilfe von Größengleichungen lassen sichdurch Umstellen und Auflösen die Größen berech-nen (Seite 28).

Beispiel:

Beispiel:

TML 008-033 2010_ TML 008-033 18.03.12 12:53 Seite 9

1.3.1 Addieren und Subtrahieren

Diese beiden Rechnungsarten werden wegen ihrer mathemati-

schen Zeichen (+, –) auch als Strichrechnungen bezeichnet.

Beim Addieren (Zusammenzählen, engl. to add) werden die ein-

zelnen Summanden zusammengezählt. Das Ergebnis heißt

Summenwert oder Summe.

Beim Subtrahieren (Abziehen, engl. to subtract) zieht man von

einer Zahl eine andere Zahl ab. Das Ergebnis ist der Differenz-

wert, einfach auch Differenz genannt.

10

.

1.3 Grundrechnungsarten

Summe Summen-wert

a + b = c\ /

Summanden

1. Ermitteln Sie die Ergebnisse:

a) 328 + 713 + 287 + 38 + 9 – 103

b) 59,30 a – 27,53 a + 7,83 b – 21,04 b

c) 22,2 u + 38,9 v – 17,8 u + 3,6 v + 9,8 w

2. Setzen Sie um das 2. bis 4. Glied eine

Klammer:

8,3 x – 7,8 a + 2,5 x – 9,2 a

3. Lösen Sie die Klammer auf:

25 a – (36 b – 19 a – 11 b – 12 a)

Aufgaben zu Addieren und Subtrahieren

Differenz Differenz-wert

d – e = f| |

Minuend Subtrahend

Rechenregeln zum Addieren und Subtrahieren

Rechenregeln Beispiele

Nur gleichartige allgemeine Zahlen bzw. Größen können 8 m2 + 72 cm2 + 7,5 m2 – 23 cm2

addiert bzw. subtrahiert werden. = 15,5 m2 + 49 cm2

Die einzelnen Glieder in einer Strichrechnung können ver- 5 – 16 + 7 = – 16 + 7 + 5 = – 4

tauscht werden (Kommutativgesetz).

Erläuterung: Durch Vertauschen der Glieder kann die 11 x – 3 x + 9 x = 11 x + 9 x – 3 x

Aufgabe in eine für die Rechnung vorteilhafte Reihenfolge = 17 x

geordnet werden.

Einzelne Glieder können zu Teilsummen bzw. Teildifferenzen 2 + 5 – 3 = 7 – 3 = 4

zusammengefasst werden (Assoziativgesetz). 8 u – 3 v + 3 u + 8 v

= 8 u + 3 u – 3 v + 8 v = 11 u + 5 v

Klammern beim Addieren und Subtrahieren

Klammern, ( ) oder [ ], fassen Teilsummen bzw. Teildifferenzen zusammen. Das Vorzeichen der

Glieder in der Klammer kann sich durch das Setzen oder Weglassen von Klammern ändern.

Steht ein +-Zeichen vor einer Klammer, so kann man sie 25 + (5 – 3) = 25 + 5 – 3 = 27

weglassen, ohne dass sich die Vorzeichen der Glieder in

der Klammer ändern. 7 a + (3 a – 9 a) = 7 a + 3 a – 9 a

= 1 a = a

Steht ein –-Zeichen vor einer Klammer, so muss man beim 16 – (3 – 2 + 8 – 5)

Weglassen der Klammer das Vorzeichen aller Glieder in = 16 – 3 + 2 – 8 + 5 = 12

der Klammer umkehren.

Setzt man eine Klammer, vor der ein –-Zeichen steht, so

muss man ebenfalls das Vorzeichen aller Glieder, die in der 5 x – (2 x + 9 a – 7 b)

Klammer stehen, umkehren. = 5 x – 2 x – 9 a + 7 b

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 10

1. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:a) (+ 3) · (– 15) b) (+ 9) · (+ 7)c) (– 7) · (– 12) d) (+ 5) · 0e) (0) · (– 16) f) (– 3 a) · (+ 8 b) · (+ 2 c)g) (+ 9 x) · (– 4 y)h) (+ 13 m) · (+ 4 m) · (+ 2 m)

2. Führen Sie die Multiplikationen aus:a) 3 (3 a – 2 b) b) 9 (7 u + 8 v)c) (– 5) · (– 4 x – 7 y) d) (+ 16) · (0) · (4 + 32)e) (6 c – 3 d) · (+ 2 a) f) – x (y – z)g) 4 uv (9 r – 5 s) h) – (4 ab + 7 xy) · (– 12)

i) W = p · (V2 – V1) j) mM = ®M · ��m®1

1� + �m®2

2��

1.3.2 Multiplizieren

Beim Multiplizieren (Malnehmen, engl. to multiply) werden die Fak-toren miteinander malgenommen und ergeben den Produktwert.

Das mathematische Zeichen für Multiplizieren ist · oder �.

Bei allgemeinen Zahlen kann das Malzeichen weggelassen werden.

Die Ziffer 1 wird meist nicht mitgeschrieben. Beispiel: 1 a = a

11

.

3. Multiplizieren Sie die Ausdrücke:a) (7 s + 5 r) · (3 l – 6 k)b) 5 (3 u – 4 v) · 8 · (2 w – 9 x)c) (– 4) · (9 w + 3 x) · (– 3 ) · (8 y – 5 z)d) 11a (–3b + 2x) · (4c – 5y)

4. Welche Zahl liefert der Ausdruck, wenn für x = 3 und y = 4 gesetzt wird?7 (5 – 2 x) · (– 4 ) · (– 3 + 6 y)

5. Klammern Sie aus:a) 2ab + 2ac + 2adb) πnr1 + πnr2

c) – 30 r s + 20 l sd) πr1

2 + πh2

Aufgaben zum Multiplizieren

Produkt Produkt-wert

a · b = c

Faktoren

Rechenregeln beim Multiplizieren Formeln Beispiele

Ist ein Faktor 0, so ist das ganze Produkt 0. a · b · c · 0 = 0 387 · 229 · 712 · 0 = 0Die Faktoren können vertauscht werden. a · b · c = c · b · a 15 · 28 · 77 = 77 · 28 · 15Teilprodukte lassen sich zusammenfassen. a · a · b = a2 · b 5 m · 3 m · 2 m = 30 m3

Vorzeichen beim Multiplzieren

Die Multiplikation von 2 Faktoren mit gleichen (+ a) · (+ b) = a · b = ab 2 · 3 = 6 ; (– 7) · (– 3) = 21Vorzeichen ergibt ein positives Produkt. (– a) · (– b) = a · b = ab (+ a) · (+ b) = a · b = abDie Multiplikation von 2 Faktoren mit unter- (– a) · (– b) = a · b = abschiedlichen Vorzeichen ergibt ein negatives (+ a) · (– b) = – a · b 5 · (– 2) = – 10 ; (– 6) · 3 = – 18Produkt. (– a) · (+ b) = – a · b a · (–b) = –ab; (–4) ·m = – 4m

Multiplizieren von Klammerausdrücken

Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor 9 · (7 – 3) = 9 · 7 – 9 · 3

multipliziert, in dem man jedes Glied der a · (b – c) = ab – ac = 63 – 27 = 36

Klammer mit dem Faktor multi pliziert. 5 · (3 + 2) = 5 · 3 + 5 · 2 = 25

Zwei Klammerausdrücke werden multipli- (12 – 7) · (3 + 5)ziert, indem jedes Glied der einen Klammer (a + b) · (c – d) = 12 · 3 + 12 · 5 – 7 · 3 – 7 · 5mit jedem Glied der anderen Klammer = ac – ad + bc – bd = 36 + 60 – 21 – 35 = 40multipliziert wird.

Bei Klammerausdrücken mit bestimmten Zahlen wird zuerst der 9 · (7 – 3) = 9 · 4 = 36Zahlenwert der Klammer ermittelt und dann das Produkt berechnet. (12 – 7) · (3 + 5) = 5 · 8 = 40

Ausklammern (Faktorisieren)

Haben mehrere Glieder einer Summe 19 · 7 – 19 · 5 = 19 · (7 – 5)einen gemeinsamen Faktor, so kann er ax + bx + cx = 19 · 2 = 38ausgeklammert werden. = x · (a + b + c)Die Summe wird dadurch in ein Produkt 3 πx + 3 πy = 3 π (x + y)

umgewandelt. L0 + L0 å · ¤« = L0 · (1 + å · «¤)

TML 008-033 2012_ TML 008-033 06.06.12 10:53 Seite 11

1.3.3 Dividieren

Das Dividieren (Teilen, engl. divide) ist die Umkehrung desMultiplizierens.Das Doppelpunkt-Zeichen : und der Bruchstrich sind gleich-bedeutend.Dividend und Divisor dürfen nicht vertauscht werden.Ist der Divisor (Nenner) Null, so hat der Quotient keinenbestimmten Wert, er kann nicht bestimmt werden.

12

.

Quotient Zähler

a : b = �ba

� = c

Dividend Divisor Wert desQuotienten

Nenner

Rechenregeln beim Dividieren Formeln Beispiele

Vorzeichen beim Dividieren

Gleiche Vorzeichen bei Dividend und Divi-�++

ba� = �

ba

�; �––

ba� = �

ba

� (+ 2) : (+ 3) = + �23

� ; �––

56� = �

56

�sor ergeben einen positiven Quotienten.

Ungleiche Vorzeichen von Dividend und Di-�+– a

b� = – �

ba

�; �+– b

a� = – �

ba

� �+– 4

7� = – �

47

�; �+– 5

3� = – �

35

�visor ergeben einen negativen Quotienten.

Dividieren von Klammerausdrücken

Ein Klammerausdruck wird dividiert, indem (a – b) : x = a : x – b : x �36 xyz

6–x24 xuv�

jedes Glied in der Klammer mit dem Divisorgeteilt wird. �

ax– b� = �

ax

� – �bx

� = �36

6xxyz

� – �24

6xxuv

�

Der Bruchstrich fasst die Ausdrücke auf und unter dem Bruchstrich zusammen, als ob sie �

a +c

b� · d = �

ac· d� + �

bc· d� = 6 yz – 4 uv

von einer Klammer umschlossen wären.

Kürzen, Erweitern

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner �46

aabc

� = = �23

bc� �

–3468

xxy� =

durch die gleiche Zahl geteilt.

Es können nur Faktoren gekürzt werden �a/ (b

a/+ c)� = b + c

= – �43

� x

oder es müssen alle Summanden gekürzt werden. �

a/ba+/

a/c� = b + c �

9 x5–z2 y

� erweitern mit (– 3) ⇒

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) b + c = �

(b +a

c)a� �

(9 x5–z2·y(–)

3· (

)– 3)

� = �– 2

–7 x

15+z6 y

�

multipliziert.

– 4 · 12/ · x · y/��

3 · 12/ · y/

4/ ·a/ ·b ·c��6/ ·a/ · c ·3

1. a) 63 : (– 7) b) (– 64) : (– 4) c) (– 91) : 13 d) �11055

� e) �–

896� f) �

––11312

�

2. a) �(– 7)

1·2(18)

� b) �(11)

(–· (

7–)14)

� c) �(– 9

()–·3(6–)18)

�

3. a) (156 – 72) : 14 b) (391 – 144) : (121 – 102)

4. Kürzen Sie soweit als möglich:

a) �– 1

32vuv� b) �

6 a3– 3 b� c) �

8–19xyyzz

� d) e) �2(1–

·3(5–)9·)(–· 4

2)x

�

f) �–(5(x

––x5))

� g)

5. Erweitern Sie:

a) �57

ba� mit (– 3) b) �

–38xy

� mit (–1)

– (7 x – y) · (3 + 2 b)���

– 2 b – 3

– 187 rs + 153 rs + 34 rs���

– 17 s

Aufgaben zum Dividieren

TML 008-033 2010_ TML 008-033 20.03.12 10:30 Seite 12

Bei der Berechnung von Ausdrücken, die sowohl Additionen und Subtraktionen (Strichrechnungen+ –) als auch Multiplikationen und Divisionen (Punktrechnungen · :) enthalten, werden die Rechenopera-tionen in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt.

1. Enthält der zu berechnende Ausdruck nur Punktrechnungen und Strichrechnungen, so gilt:

5 · 7 + 65 : 13 = 35 + 5 = 40; �271� – �

468� + (– 3) · (– 9) = 3 – 8 + 27 = 22

�122

8– 66� · 14 = �

586� · 14 = 7 · 14 = 98; 125 : (+ 5) – (– 80) : (– 4) = + 25 – 20 = 5

2. Enthält ein Ausdruck neben Punktrechnungen und Strichrechnungen noch Klammern, so gilt:

3 · (23 – 17) + 12 = 3 · 6 + 12 = 18 + 12 = 30

5 a · (11 b – 8 b) – 2 b · (3 a + 4 a) = 5 a · 3 b – 2 b · 7 a = 15 ab – 14 ab = ab

= = �00,,15� = �

15

� = 0,2

3. Enthält der Ausdruck ineinander verschachtelte Klammerausdrücke, so gilt:

4 ac + [(3 a + 7 a) · 5 c + 5 ac] = 4 ac + [10 a · 5 c + 5 ac] = 4 ac + 50 ac + 5 ac = 59 ac

4. Enthält ein Ausdruck Klammern sowie Punktrechnungen und Strichrechnungen, so gilt:Es wird in der Reihenfolge – Klammerausdrücke – Punktrechnungen – Strichrechnungen – ausge-rechnet.

7/ · (– 0,1)��7/ · (– 0,5)

Beispiel:

7 · (23,2 – 23,3)���(2,4 + 4,6) · (– 0,5)

Beispiele:

Beispiele:

13

.

1. a) – 4 · (0,2 – 3,2) + (14,5 – 8,5) · (– 0,1) b) 12 x · (– 3 y) + (0,75 x – 0,50 x) · (+ 80)

2. a) b) �23272

� – c) 24,7 · �((11

––

00,,309625))

�

3. a) (23,8 – 21,3) · �4,

25,214

–+4

0·,08,638

� b) �18,06

0,–25

17,56� + �

3,22+7

5,8� –

4. a) 2x – [5y – (3x – 4y) + 7x] – y b) 4,5a · [(2b – c) – c] – 8a (c – b)

c) [– 0,2a – (1,7b – 1,9a)] : ��51,50a

� – 0,85b + 0,3a�5. a) 2 · [–2xy – (20a – 12xy)] + 5 (2a – xy) b) 0,3a · {5xy – (92x – 87y) – (84y – 82x)}

c) {– 9,5x + [(1,5x – 4y) · (0,5 + 6,5)] + 29y} · �x +

1y

�

(0,2 + 2,8) · (5,4 – 3,4)���

2,4 · 2,5

0,125 · (– 85 + 117)���(0,4) · (– 8) · (2,5)

(– 2,5) · (86 – 82)���(1,3 – 0,8) · (42 – 38)

Aufgaben zum Berechnen zusammengesetzter Ausdrücke

1.4 Berechnen zusammengesetzter Ausdrücke

Punkt vor Strich, d.h. Punktrechnungen müssen vor den Strichrechnungen ausgeführt werden.

Zuerst die Klammerausdrücke berechnen, dann die Punktrechnungen und anschließend die Strich-rechnungen ausführen.

Zuerst die innerste Klammer, dann die nächstäußere Klammer zusammenfassen usw.

TML 008-033 2010_ TML 008-033 18.03.12 13:02 Seite 13

Ein Bruch (engl. fraction) ist eine Divisionsaufgabe, die mit

einem Bruchstrich geschrieben ist.

Ein Bruch besteht aus dem Zähler und dem Nenner.

Jeden Bruch kann man in eine

Dezimalzahl umrechnen, z. B.�12

� = 0,5 ; �13

� = 0,333…

Mit Brüchen wird bevorzugt bei der Umwandlung von Formeln

gerechnet.

Es gibt verschiedene Brucharten:

Die Regeln des Kürzens und Erweiterns von Brüchen wurden bereits beim Dividieren genannt (Seite 12).

• Das Kürzen dient meist zur Vereinfachung der weiteren Rechnung oder des Ergebnisses.

• Durch Erweitern wird der Bruch so umgeformt, wie es für die weitere Rechnung vorteilhaft ist.

zum Kürzen: �2

7

1� = = �

1

3�; �

8

14

ab

a� = = �

4

7

b�; �

32 a

6

+

a

4 ab� = = �

2 (8

3

+ b)�

zum Erweitern: �2 a –

2

3 b� erweitern auf den Nenner 10 a ⇒ �

(2 a

2

– 3

· 5

b)

a

· 5 a� = �

5 a (2

10

a

a

– 3 b)�

1.5.1 Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem

man die Zähler zusammenfasst und den gemeinsamen Nenner

beibehält.

�1

3� + �

5

3� = �

6

3� ; �

5

3

b

x� + �

7

5

x

b� – �

5

4

b

x� = �

3 x +

5

7

b

x – 4 x� = �

5

6

b

x�

Brüche mit ungleichen Nennern (ungleichnamige Brüche) müssen vor dem Addieren bzw. Subtrahieren

in Brüche mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche) umgewandelt werden und können erst dann

zusammengefasst werden. Den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche nennt man Hauptnenner. Es ist

das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz das kgV der einzelnen Nenner.

Schema zur Ermittlung der Summe ungleichnamiger Brüche: �3

8� + �

5

6� – �

1

7

0�

1. Zerlegung in Primzahlfaktoren

Nenner Primzahlfaktoren

8 =

6 = 2 ·

10 = 2 ·

kgV = · · = 120532 · 2 · 2

5

3

2 · 2 · 2

Beispiel:

Beispiele:

Beispiele

4R aR (8 + b) · 2���

6R aR · 3

8R aR b 4���14R aR 7

7R 1�21R 3

Beispiele

1.5 Bruchrechnen

Benennungen bei Brüchen

Zähler →�b

a� = c

Nenner →

Bruch Wert desBruchs

Addieren und Subtrahierengleichnamiger Brüche

�ax

� + �bx

� – �xc

� = �a +

xb – c�

14

.

Brucharten Beispiele Merkmale Brucharten Beispiele Merkmale

Echte Brüche Zähler < Nenner Gleichnamige Brüche mit�1

3� ; �

5

7� ; �

2

5� �

1

7� ; �

3

7� ; �

5

7�

Brüche gleichen Nennern

Unechte Brüche Zähler ≥ Nenner Ungleichnamige Brüche mit �5

3� ; �

7

3� ; �

3

2� �

1

3� ; �

1

5� ; �

1

6�

Wert des Bruchs ≥ 1 Brüche ungleichen Nennern

Gemischte Ganze Zahl und Scheinbrüche Der Wert des Bruchs1 �

1

2� ; 3 �

2

3� �

3

1� ; �

6

2� ; �

1

5

0�

Zahlen Bruch ist eine ganze Zahl

⎯⎯→

⎯⎯⎯

⎯→ →

4. Gleichnamigmachen der ein- 5. Addieren bzw. Subtrahieren der jetzt

zelnen Brüche durch Erweitern gleichnamigen Brüche

�3

8

·

·

1

1

5

5� + �

5

6

·

·

2

2

0

0� – �

1

7

0

·

·

1

1

2

2� �

1

4

2

5

0� + �

1

1

0

2

0

0� – �

1

8

2

4

0� = �

16210

�

2. Hauptnenner (kgV) bestimmen

Das kgV ist das Produkt der

größten Anzahl jeder vorkom-

menden Primzahl.

(Primzahlen sind die kleinsten

Faktoren, in die eine Zahl zer-

legt werden kann.)

3. Erweiterungsfaktor der

einzelnen Brüche be-

stimmen

120 : 8 = 15

120 : 6 = 20

120 : 10 = 12

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 14

Zusammenfassen mehrerer Brüche mit bestimmten und allgemeinen Zahlen

�3

2

x

a� – �

9

2

a

x

b� + �

1

5

8

x

b� 3. Erweitern und Zusammenfassen:

1. Zerlegen in Primzahlen und 2. Erweiterungsfaktor �2

3 x

a

·

·

9

9

b

b� – �

9

2

a

x

b

·

·

2

2� + �

1

5

8

x

b

·

·

a

a� = �

1

27

8

b

ab

x�

Hauptnenner bestimmen: bestimmen:

2a = 2 · a 18 ab : 2 a = 9b – �18

4

a

x

b� + �

1

5

8

a

a

x

b� = �

x (27

1

b

8

–

a

4

b

+ 5a)�

9ab = 3 · 3 · a · b 18 ab : 9 ab = 2

18b = 2 · 3 · 3 · b 18 ab : 18 b = a = �x (5 a

1

+

8

2

a

7

b

b – 4)�

kgV = 2 · 3 · 3 · a · b = 18ab

1.5.2 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

Beispiel:

15

.

1. a) �2

3� + �

1

4� + �

2

5

4� b) �

1

2

4

5� + �

2

1

3

5� – �

1

3� + �

2

5� 2. a) �

7

4

x

a� + �

1

5

2

x

b� b) �

3

5

b

u

c� + �

1

7

2

u

c� – �

1

5

8

u

b�

Aufgaben: Fassen Sie die folgenden Brüche zusammen

Rechenregeln Formeln Beispiele

Multiplizieren

Brüche werden multipliziert, indem die �2

5� · �

2

3� = �

1

4

5� ;

Zähler miteinander und die Nenner mit- �b

a� · �

d

c� · f = �

a

b

· c

· d

· f�

einander multipliziert werden.�3

x

y� · �

4

y

x� = = 12

Gemischte Zahlen werden untereinander

multipliziert, indem sie zuerst in unechte

Brüche umgewandelt und diese dann mit- 3 �1

2� · 5 �

1

3� = �

7

2� · �

1

3

6� = �

11

6

2� = �

5

3

6�

einander multipliziert werden.

Dividieren

Ein Bruch wird durch einen 2. Bruch dividiert,�3

8� : �

5

4� = �

3

8� · �

4

5� = �

1

4

2

0� = �

1

3

0�;

indem der 1. Bruch mit dem Kehrwert des �b

a� : �

d

c� = �

b

a� · �

dc

� = �a

b

·

·

d

c�

2. Bruchs multipliziert wird. �13

� : 5 = �13

� : �51

� = �13

� · �15

� = �115�;

Ganze Zahlen können als Bruch mit dem a = �

a1

� 7 : �74

� = �71

� · �47

� = �71

··47

� = 4Nenner 1 geschrieben werden.

3R yR · 4 xR��

xR · yR

1. Fassen Sie

zusammen: a) �4

8

9� + �

5

6

6� – �

3

8� b) 3 �

2

6

5� – 18 �

1

7

0� + 24 �

3

5� c) �

4

8

a

x

+

+

6

4

b

y� + �

9 b

9

+

x

6 a� – �

5

3�

2. Multipli-

zieren Sie: a) �7

6� · �

1

3

4� b) �

1

8

1� · �

2

4

2� c) 5 · �

2

3� · �

3

5� d) 1 �

5

6� · 3 �

1

3

5� e) �

9

5

a

y

b� · �

1

1

5

2

x

a�

2. Dividie-

ren Sie: a) �1

2� : �

1

3� b) �

7

2� : �

1

7

6� c) �

9

5� : �

1

1

2

5� d) 3 xy : �

1

2� z e) �

2

9

x

y� : �

4

3

x

y� f) �

2

3

6

3

a

u

b� : �

1

2

3

2

a

v�

4. Berechnen

Sie bzw. a) 14 · ��1

7

2� + �

5

8�� b) 42 · �

7

6� + �

2

9

2� c) �

8

3

x

r –

+

3

8

s

y� : �

4

9

x

r –

+

9

4

s

y�

fassen Sie

soweit alsd) ��

1

1

1

5� – �

1

6

0�� · 8 e) �

5 a

6

–

n

3 b� + �

5 a

3

–

m

3 b� f) 5 �

1

2� – ��

6

5� – �

1

2

0�� · �5 : ��

2

3

1� – �

1

2

0���möglich

zusammen

g) 4 �2

3� · 3 �

8

5� h) �12 : 2 �

2

3�� : �

7

9� i) ��ul +

+

k

v� + �

3

2

(

(

u

l +

+

kv)

)� – �

5

3

(

(

u

k

–

+

vl))

�� · �1

2�

Aufgaben zum Bruchrechnen

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 15

Definition des PotenzbegriffsBesteht ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren, so kann

es abgekürzt als Potenz (engl. power) geschrieben werden.

Der Exponent (Hochzahl) gibt an, wie viel Mal die Basis (Grund-

zahl) mit sich selbst multipliziert wird.

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 (gesprochen: 2 hoch 5)

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

Die Potenzwerte von Potenzzahlen werden mit dem Taschen-rechner berechnet. Dazu haben die Taschenrechner eine

Potenziertaste oder .

Vorzeichen beim Potenzieren(+ 2)2 = (+ 2) · (+ 2) = + 4; (+ 2)3 = (+ 2) · (+ 2) · (+ 2) = + 8; (– 2)4 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = +16

(– 2)2 = (– 2) · (– 2) = + 4; (– 2)3 = (– 2) · (– 2) · (– 2) = – 8; usw.

Potenzen mit negativem ExponentenEine Potenz mit negativem Exponenten (z. B. a –n) kann auch als Kehrwert der

gleichen Potenz mit positivem Exponenten geschrieben werden.

Umgekehrt kann eine Potenz mit positivem Exponenten im Zähler eines Bruchs

als Potenz mit negativem Exponenten im Nenner des Bruchs gesetzt werden.

5–3 = �5

13� = �

1

1

25� = 0,008; �

3

4

–

–

4

2� = �4

3

2

4� = �1

8

6

1� = 0,1975; �

m

1

in� = min– 1

Sonderfälle bei PotenzenPotenzen mit Basis 1 12 = 1 · 1 = 1; 13 = 1 · 1 · 1 = 1

Merke: Jede Potenz mit der Basis 1 hat immer den Potenzwert 1.

Potenzen mit dem Exponent 0 �2

2

3

3� = 23 – 3 = 20 = 1, da �

2

2

3

3� = �

8

8� = 1

Merke: Jede Potenz mit dem Exponent 0 hat den Wert 1.

Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen)Sehr große und sehr kleine Zahlen können als Vielfaches der Potenzen der Basis 10 (Zehnerpotenzen)

geschrieben werden.

Große positive Zahlen werden als Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten ausgedrückt.

100 000 000 = 108 ; 7 200 000 = 7,2 · 1 000 000 = 7,2 · 106

Sehr kleine Zahlen werden als Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten geschrieben.

0,0085 = 85 · 10–4 ; 0,0002938 = 2938 · 10–7 = 2,938 · 10–4Beispiele:

Beispiele:

Beispiel:

Beispiel:

Beispiele:

Beispiele:

ëyx

Beispiele:

16

.

1.6 Rechnen mit Potenzen

gleicheBasis Exponent

Faktoren

a · a · a · … = an = c

Produkt Potenz Potenz-wert

Eingabe 3,25 3

Anzeige 3.25 3.253

34.328 125

=yx

ò t

Merke: ● Ist die Basis positiv, so ist der Potenzwert immer positiv.

● Ist die Basis negativ und der Exponent eine gerade Zahl, so ist der Potenzwert positiv.

● Ist die Basis negativ und der Exponent eine ungerade Zahl, so ist der Potenzwert negativ.

a–n = �a

1n�

�b

ax

y� = �b

a–

–

x

y

�

Es ist zu berechnen: 3,253Beispiel:

1n = 1

a0 = 1

1. Schreiben Sie in 2. Berechnen Sie den 3. Schreiben Sie als

Potenzform: Potenzwert: Zehnerpotenz:

a) 2 § · 4 § · 8 § b) 2a · 3b · 2a · 3b a) 212,5 b) (– 6,3)3 a) 5 000 000 b) 0,0023

c) 1,5 cm · 2,3 cm · 1,4 cm c) ��1

2��

–7

d) 2,43,5 c) 96 485 d) 0,000 082

Aufgaben

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 16

17

.

Rechenregeln beim Potenzieren Formeln Beispiele

Addieren und Subtrahieren von Potenzen

Potenzen können addiert oder subtrahiert 9 · 34 – 6 · 34 + 2 · 33

werden, wenn sie sowohl dieselbe Basis x · an + y · an = (9 – 6) · 34 + 2 · 33

als auch denselben Exponenten haben. = (x + y) · an = 3 · 34 + 2 · 33

Potenzausdrücke zuerst ordnen und dann die 4,2 cm2 + 5,8 cm2

gleichnamigen Glieder zusammenfassen. = (4,2 + 5,8) · cm2 = 10,0 cm2

Multiplizieren von Potenzen

Potenzen mit gleicher Basis werden multi- 22 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

pliziert, indem die Basis beibehalten und mit an · am = an + m oder 22 · 23 = 2(2+3) = 25

der Summe der Exponenten potenziert wird. 10–3 · 106 · 10(– 3 + 6) = 103

Potenzen mit gleichen Exponenten werden m3 · m–2 = m(3 – 2) = m1 = m

multipliziert, indem ihre Basen multipliziert an · bn = (a · b)n 53 · 23 = (5 · 2)3 = 103 = 1000

und der Exponent beibehalten wird. 4,03 · cm3 = (4,0 · cm)3 = 64 cm3

Dividieren von Potenzen

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, �2

2

6

2� = 26 – 2 = 24

indem die Basis beibehalten und mit der �aa

m

n

� = an – m

Differenz der Exponenten potenziert wird. �m

m

5

2� = m5 – 2 = m3

Potenzen mit gleichen Exponenten werden

dividiert, indem ihre Basen dividiert und der �ban

n� = ��

b

a��

n

�1120

3

3� = ��1120��

3

= ��65

��3

= 1,728

Exponent beibehalten wird.

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man die (am)n

= am · n (32)3 = 32 · 3 = 36 = 729

Exponenten multipliziert. (r 2)x

= r 2 · x = r 2 x

Potenzieren von Summen aus Zahlen

Eine Summe oder eine Differenz aus Zahlen wird zuerst ausge- (2 + 5)2 = 72 = 49

rechnet und dann potenziert. (9 – 3)3 = 63 = 216

1. Addieren und Subtrahieren von Potenzen

a) 4r 3 + 12r 2 – 2r 3 + 3r 3 + 3r 2 b) 12 m2 + 7 m3 – 7 m2 + 5 m3 c) 6,2 x 4 + 3,4y 2 + 7,5x 4 – 3,4y 2

d) 2,8 πr 2h + �5

4� πr 3 – 1,75 πr 3 + 2,2hr 2π e) –14,3 · 73 + 6,9 · 114 + 1715 · 7–3 + 1,1 · 114 + 8,7 · 73

2. Muliplizieren von Potenzen

a) 107 · 102 · 10–5 b) 0,4a 4 · 0,5a5 c) 2,5 · 105 · 2,5 · 10–2 d) (r3 – 2,5r 2) · 2r 2

e) d 0,5 x · d 7x+3 f) x a– n · xa+n g) (r + s)2 · (r + s)3 h) (x + y)a · (x + y)b

3. Dividieren von Potenzen

a) �1

1

0

0

3

2� b) �

1

1

0

0

3

·

·

1

1

0

03

2

� c) �2

1

2

5

53

3

� d) �7

3

8

9

0

yx5

5

� e) �3

2

ar3

2� · �

1

1

2

6

a

r3

2

� f) �xn3

4� : �

n3

a

· x4

�

4. Potenzieren von Potenzen

a) (53)2 b) (103)–2

c) (42 · axy 2)3

d) 5 · (u2v 3)5

e) (17)2

· (30)3

f) (72)3 · ��1

7��3

5. Potenzieren von Summen

a) (3 + 7)3 b) (22 – 17)5 c) (23 – 14)5 d) (5 + 9)4

Aufgaben zum Rechnen mit Potenzen

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 17

18

.

Definition des WurzelbegriffsDas Wurzelziehen, auch Radizieren genannt, ist die Umkehrung

des Potenzierens.

Durch Wurzelziehen (engl. extraction) soll ermittelt werden,

welche Zahl (x) z. B. ins Quadrat (Exponent 2) erhoben werden

muss, um den Potenzwert (25) zu erhalten. Als Operatorzeichen

für das Wurzelziehen verwendet man das Wurzelzeichen 2y0�,

kurz Wurzel genannt.2y16� = ?;

2y16� = 4, da 42 = 162y9� = ?;

2y9� = 3, da 32 = 9

Ein Wurzelausdruck besteht aus dem Wurzelzeichen mit Wur-

zelexponent und der darunter stehenden Basis. Das Ergebnis ist

der Wurzelwert.

Es gilt eine Einschränkung auf bestimmte Zahlen: Um Probleme

beim Rechnen zu vermeiden, müssen die Basis a und der Wur-

zelwert c positive Zahlen und der Wurzelexponent n eine natür-

liche Zahl sein.

Verschiedene WurzelexponentenDa es bei Potenzen verschiedene Exponenten gibt (2, 3, 4, …),

gibt es auch Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

(2, 3, 4, …).

Die einfachste Wurzel hat den Wurzelexponenten 2. Sie heißt

Quadratwurzel oder einfach Wurzel. Beim Schreiben wird der

Wurzelexponent 2 im Wurzelzeichen meist weggelassen: y0�.

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 heißt Kubikwurzel oder

3. Wurzel.

Ab dem Wurzelexponent 4 wird der Wurzelname nur noch mit

dem Wurzelexponent gebildet, also 4. Wurzel �4y0��, 5. Wurzel �5y0��usw.

Außer bei 2 muss der Wurzelexponent immer geschrieben wer-

den.

Wurzeln in PotenzschreibweiseEin Wurzelausdruck kann auch in Potenzschreibweise geschrie-

ben werden. Dem Wurzeloperator entspricht ein Potenzbruch.

Der Zähler des Potenzbruchs ist der Exponent der Basis und sein

Nenner ist der Wurzelexponent.

Da das Wurzelzeichen die Umkehrung des Potenzierens ist, heben

sich Wurzelziehen (Radizieren) und Potenzieren mit demselben

Exponenten auf.

In umgekehrter Reihenfolge gilt das bei negativen Zahlen nicht

immer.

Berechnen von WurzelzahlenDer Wurzelwert von Wurzelzahlen wird mit dem Taschenrech-

ner berechnet.

Zur Berechnung von Quadratwurzeln haben die Taschenrech-

ner eine Quadratwurzeltaste, z.B. oder .

Wurzeln mit höheren Wurzelexponenten werden mit den ent-

sprechenden Rechnertasten berechnet, z.B. , oder

.yxlNV

xy�yxy�

yx�y�

Lösung :

Lösung :Beispiele:

1.7 Wurzeln

Wurzelexponent Wurzelzeichen

Basis Wurzelwert(Radikant)

a, c á 0

n → natürliche Zahl

nya� = c

Potenzieren

52 = 5 · 5 = 25

Wurzelziehen

x2 = 25; x = ?

Schreibweise mit Wurzelzeichen: 2y25� = ?

Lösung:2y25� = 5, da 52 = 25

Beispiel:

Beispiel:

Quadratwurzel2y36� = y36� = 6

(sprich: Wurzel aus 36 ist 6)

Kubikwurzel3y64� = 4 (da 43 = 64)

(sprich: Kubikwurzel oder 3. Wurzel

aus 64 ist 4)

4. Wurzel4y16� = 2 (da 24 = 16)

Beispiel:

Beispiel:

Beispiel:

Aufheben des Wurzelziehens

�nya��n

= a

Wurzel als Potenzausdruck

nya� =nya1� = a

�n1

3y27� =3y33� = 3

�333 = 31 = 3Beispiel:

�3y64��3

= 64Beispiel:

a) Eingabe 4 39,0625

Anzeige 44y000�

4y39.062�5� 2.5000

=xy�

Es ist zu berechnen:4y39,06�25�

Beispiel:

TML 008-033 20.03.2009 8:55 Uhr Seite 18

1. Berechnen Sie den Wurzelwert:

a) y45 796� b) y0,006�5324� c) y1432,�6225� d)3y39,78�5� e)

4y42,42�4� f) yπ�2. Berechnen Sie, nachdem Sie möglichst weit zusammengefasst haben:

a) 2,8 · y3� + 1,9 · y5� – 2,1 · y5� – 1,6 · y3� b) �15

� · 3y216� + �

23

� · 3y125� – �

12

� · 3y64� c) y10� · y22,5�

d) (7 + 4 y3�) · (7 – 4y3�) e) a�

19

��

f) �3y35

43�� g) �

7 x ·3y

3y4�108�

� h)3y274� i) 125

�23

�

3. Berechnen Sie:

19

.

Rechenregeln beim Wurzelziehen Formeln Beispiele

Addieren und Subtrahieren von Wurzeln

Es können nur Wurzeln mit gleichen Wurzel-

exponenten und gleicher Basis (so genannte

gleichnamige Wurzeln) addiert oder subtra-

hiert werden. 5 · 3y125� + 12 ·

3y125� – 14 · 3y125�

Man klammert die gleichnamige Wurzel aus x · nya� + y ·

nya�= (5 + 12 – 14) ·

3y125�und addiert bzw. subtrahiert die Beizahlen

(Koeffizienten). = (x + y) · nya� = 3 ·

3y125� = 3 · 5 = 15

Radizieren von Produkten

Ein Produkt wird radiziert, indem y36 · 8�1� = y2916� = 54

● entweder der Produktwert radiziert wird nya · b ·�c� =

nya� · nyb� ·

nyc� oderoder y36� · y81�

● jeder einzelne Faktor des Produkts radiziert

wird. = 6 · 9 = 54

Radizieren von Quotienten (Brüchen)

Ein Quotient wird radiziert, indem a�6

1

4

6�

�= y4� = 2

● entweder der Quotientenwert radiziert wird n

a�ba

��

=oderoder

● Zähler und Nenner getrennt radiziert a�6

1

4

6�

�= �yy6

1

4�

6�� = �

8

4� = 2

werden.

Radizieren von Potenzen

Eine Potenz wird radiziert, indem man

● die Wurzel aus der Basis zieht und den nya�x = �nya��x y94� = �y9��4 = 34 = 81

Wurzelwert mit dem Exponenten der

Basis potenziert, odernya�x = a

�nx y94� =

2y94� = 9�42 = 92 = 81

● die Wurzel in Potenzschreibweise um-

wandelt.

Radizieren von Summen und Differenzen

Eine Summe oder eine Differenz kann nur

3y81 + 4�4� =3y125� = 5

radiziert werden, wenn vorher der Summen-nya + b� =

ny(a + b�)� y289 –�145� = y144� = 12

wert zahlenmäßig ausgerechnet oder zu y39 x2�y2 + 2�5 x2 y�2�

einem Produkt zusammengefasst wurde. = y64 x2�y2� = 8 xy

nya��nyb�

Aufgaben zum Rechnen mit Wurzeln

a) y1444�· 729� b)3y125 ·�343 ·�27� c) y642� d) 3 · a�

1

9�

�e) f)

4y816� g)

3

a��37

��6�

h) 4,3 · 3y343� – 3,8 ·

3y343� i) 1 �1

3� y3� + 2 �

2

3� y3� – 3 y3� j) a��3,9 m�

3– 2,7�m��2

+��

(0,3 m�

)2�

3y2560��

3y5�

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1.8.1 Definition des Logarithmus

Soll in einem Potenzausdruck an = c der unbekannte Expo-

nent n bestimmt werden, so ist das dazu erforderliche Rechen-

verfahren das Logarithmieren (engl. logarithm).

Man schreibt: n = loga c . Man spricht: n ist gleich dem Logarithmus von c zur Basis a .

Es besteht folgender Zusammenhang zwischen der Potenzrechnung, der Wurzelrechnung und dem

Logarithmieren:

Bei der Potenzrechnung: berechnet wird der Potenzwert c : c = an z.B. 100 = 102

Bei der Wurzelrechnung: berechnet wird die Basis a : a =nyc� z.B. 10 =

2y100�

Beim Logarithmieren: berechnet wird der Exponent n : n = loga c z.B. 2 = log10 100

log2 8 = 3 da 23 = 8; log2 32 = 5 da 25 = 32

log3 9 = 2 da 32 = 9; log3 27 = 3 da 33 = 27

log5 25 = 2 da 52 = 25; log5 125 = 3 da 53 = 125

log10 10 = 1 da 101 = 10; log10 100 = 2 da 102 = 100

log10 1000 = 3 da 103 = 1000 log10 10000 = 4 da 104 = 10000

log 10 0,1 = – 1 da 10–1 = �1

1

01� = 0,1 log10 0,01 = – 2 da 10–2 = �

10

1–2

� = 0,01

Alle Logarithmen einer Basis bilden ein Logarithmensystem. Als Basis kann außer 0 und 1 jede positive

Zahl verwendet werden.

LogarithmensystemeIn den Naturwissenschaften und der Technik sind zwei Logarithmensysteme in Gebrauch.

Das Logarithmensystem mit der Basis 10 ist rechnerisch am einfachsten zu handhaben und deshalb das

in der Technik und den Naturwissenschaften übliche Logarithmensystem.

Logarithmen der Basis 10 werden dekadische Logarithmen oder BRIGG’sche Logarithmen genannt. Man

schreibt sie entweder log10 oder vereinfacht nur lg.

Auf der Taschenrechnertastatur berechnet man dekadische Logarithmen mit der Taste: oder .

In den Naturwissenschaften, wie z.B. der Chemie oder Physik, wird außerdem ein Logarithmensystem

mit der Basis e angewandt: loge. Es wird natürlicher Logarithmus genannt und abgekürzt ln geschrie-

ben. (e ist eine Zahl, die zur Beschreibung natürlicher Wachstumsvorgänge benutzt wird. Sie beträgt

e = 2,7182818…; mit unendlich vielen Stellen.)

Auf dem Taschenrechner berechnet man natürliche Logarithmen mit der Taste: oder .

Die Logarithmen der beiden Systeme können mit einem Faktor ineinander umgerechnet werden (siehe

rechts).

LNln

LOGlog

Beispiele für Logarithmen:

20

.

1.8 Rechnen mit Logarithmen

. Numerus

n = loga c

Logarithmus - - BasisDer Logarithmus ist der Exponent n , mit dem die Basis a

potenziert werden muss, um den Numerus c zu erhalten.

Umrechnen der Logarithmen

lg x = 0,4342945 · ln x

ln x = 2,3025851 · lg x

Beispiel: Es soll der natürliche Logarithmus (ln) der Zahl 126 mit einem

Taschenrechner ermittelt werden, der nur eine -Taste

besitzt.

Lösung: Mit der -Taste wird bestimmt: lg 126 = 2,1003705

Mit der Umrechnungsgleichung folgt:

ln 126 = 2,3025851 · lg 126 = 2,3025851 · 2,1003705 = 4,8362819

log

log

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