Technische Universität Berlin

Fakultät V

Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie LKM

Wissenschaftliche Arbeit zur

Erlangung des Grades eines Bachelor-Ingenieurs

an der Technischen Universität Berlin

Analyse der temperaturabhängigen Zugprüfung mittels Finite

Elementen Methode

Von

Cand. B. Sc. Ayman Khodor

Matr. -Nr. 310943

Betreuer

Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang. H. Müller

M. Sc. Emek Abali

Berlin, 11 November 2011

2

Inhaltverzeichnis

Inhaltverzeichnis ........................................................................................................................ 2

Abbildungsverzeichnis ............................................................................................................... 4

Tabellenverzeichnis .................................................................................................................... 5

Danksagung ................................................................................................................................ 6

Einleitung ................................................................................................................................... 7

1 Wärmetransport in einem Festkörper ................................................................................. 9

1.1 Festkörper .................................................................................................................... 9

1.1.1 Festkörpern mit kristalliner Struktur .................................................................... 9

1.1.2 Festkörper mit amorpher Struktur ...................................................................... 10

1.2 Wärmetransport ......................................................................................................... 10

1.2.1 Wärmeleitung ..................................................................................................... 11

1.2.2 Konvektion ......................................................................................................... 11

1.2.3 Wärmestrahlung ................................................................................................. 12

2 Verfahren zur Temperaturmessung .................................................................................. 13

2.1 Berührungsbehaftete Temperaturmessung ................................................................ 13

2.1.1 Thermoelement ................................................................................................... 13

2.2 Berührungsfreie Temperaturmessung ........................................................................ 14

2.2.1 Pyrometer ........................................................................................................... 14

3 Wärmeleitfähigkeit ........................................................................................................... 16

3.1 Stationäre Messmethoden .......................................................................................... 16

3.2 Nichtstationären Messmethoden ................................................................................ 16

3.3 Vergleich von stationären und instationären Messmethoden .................................... 17

3.4 Angewendete Messverfahren zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit. .................. 17

3.4.1 Berührungsbehaftete Messmethoden ................................................................. 17

3.4.2 Berührungsfreie Messmethoden ......................................................................... 21

3.5 Darstellung des Koordinatensystems ......................................................................... 24

3

3.5.1 Räumliche Darstellung ....................................................................................... 24

3.5.2 Materielle Darstellung ........................................................................................ 25

3.6 Aufteilen der Wärmeleitfähigkeitsmessmethoden nach dem materiellen und

räumlichen Koordinatensystem ............................................................................................ 26

3.7 Wirkung auf die Messergebnisse ............................................................................... 27

4 Die Variationelle Form und die numerische Berechnung ................................................ 28

4.1 Variationelle Formulierung ....................................................................................... 29

4.2 Numerische Lösung der Differentialgleichung ......................................................... 30

4.2.1 Erstellung des FE-Modells ................................................................................. 31

4.2.2 Importieren im FEniCS ...................................................................................... 31

4.3 Daten des verwendeten Materials .............................................................................. 32

4.4 Simulationsergebnisse ............................................................................................... 32

4.4.1 Plausibilitätsprüfung ........................................................................................... 34

5 Zusammenfassung ............................................................................................................ 37

Anhang ..................................................................................................................................... 38

Eidesstattliche Erklärung .......................................................................................................... 40

Quellenverzeichnis ................................................................................................................... 41

4

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Vergleich der Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit der Temperatur zwischen

reinen und legierten Metallen [4] ............................................................................................... 9

Abbildung 2: Wärmeleitfähigkeit für amorphe und kristalline Körperstruktur bei

verschiedenen Temperaturen [1] .............................................................................................. 10

Abbildung 3: Schema des Seebeck-Effekts ............................................................................. 13

Abbildung 4: Grundschaltung von Thermoelement [15] ......................................................... 14

Abbildung 5: Funktionsprinzip von Pyrometer [16] ................................................................ 15

Abbildung 6: Aufbau eines Einplattengeräts [10] .................................................................... 18

Abbildung 7: Aufbau eines Zweiplattengeräts [10] ................................................................. 19

Abbildung 8: Rohrapparatur [10] ............................................................................................. 20

Abbildung 9: Messung mithilfe von Heizdrahtverfahren ........................................................ 21

Abbildung 10: Laser-Flash-Methode [12] ................................................................................ 21

Abbildung 11: Messung mit einem Thermoscan [14] .............................................................. 22

Abbildung 12: Verlauf der Temperatur im Bezug zur Fokuslinie bei Thermoscan[14] .......... 23

Abbildung 13: Paramagnetisches Messgerät [5] ...................................................................... 24

Abbildung 14: Räumliche Darstellung bei der Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit ............. 25

Abbildung 15: Materielle Darstellung bei der Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit .............. 26

Abbildung 16: Wärmeleitfähigkeitsbestimmung für drei Messverfahren in Abhängigkeit der

Temperatur [14] ........................................................................................................................ 27

Abbildung 17: Aufsicht des Experimentaufbaus ..................................................................... 30

Abbildung 18: Geometrieerstellung in 2D ............................................................................... 31

Abbildung 19: Vernetzung der Probe ....................................................................................... 31

Abbildung 20: Temperaturverlauf des Modells bei der vorgegebener Belastungstemperatur . 33

Abbildung 21: Schnittansicht des Modells ............................................................................... 33

Abbildung 22: Temperaturverlauf der Ist-Temperatur für =0 ............................................... 34

Abbildung 23: Plausibilitätstest für =0 .................................................................................. 35

Abbildung 24: Plausibilitätstest für unendlich größer als ................................................. 35

5

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Vergleich zwischen stationären und instationären Messmethoden [11] ................. 17

Tabelle 2: Sortieren der genannten Messmethoden nach drei Kategorien ............................... 26

Tabelle 3: Materialdaten von der Probe [7][6] ......................................................................... 32

6

Danksagung

Diese Bachelorarbeit wurde im Rahmen meines Ingenieurstudiums im Studiengang Maschi-

nenbau an der Technischen Universität Berlin im Zeitraum vom 11.08.2011 bis zum

11.11.2011 verfasst.

Mein herzlicher Dank gilt Prof. Dr. rer. nat. W. H. Müller und Dipl.-Ing. Holger Worrack für

die Möglichkeit zur Durchführung dieser Arbeit. Des Weiteren bedanke ich mich bei M.Sc.

Emek Abali für die hervorragende Betreuung und für die ausgezeichnete Unterstützung wäh-

rend dieser Zeit.

7

Einleitung

Im technischen Sinne befasst sich die Aufbau- und Verbindungstechnik in der Mikroelektro-

nik mit der stoffschlüssigen Verbindung zwischen mindestens zwei Fügepartnern. Heutzutage

sind die Lotverbindungen in der Leistungselektronik eingesetzt. Er dient dazu kleine Bauele-

mente wie Kondensatoren mit dem Chip zu verbinden. Die Anwender heutiger Elektronik-

produkte, wie beispielsweise Computer und Handys, verlangen eine komfortablere Herstel-

lung. Das bedeutet kleinere und leichtere Bauteile mit leistungsstarken Fähigkeiten. Das er-

fordert eine höhere thermische und mechanische Belastbarkeit des Lotmaterials. Um die Ma-

terialverhalten untersuchen zu können, wird ein Experiment durchgeführt, nämlich ein Mikro-

zugtest unter verschiedenen Temperaturen. Dadurch lässt sich der temperaturabhängige Elas-

tizitätsmodul bestimmen. Er bezeichnet wie viel Widerstand ein Material seiner Verformung

entgegensetzt.

Dazu werden eine Spule zur Temperaturerhöhung und ein Ventilator zur besseren Wärme-

konvektion, zusammen mit der Probe in eine geschlossene Kammer eingesetzt. Zur Beginn

der Testdurchführung entspricht die Probentemperatur der Temperatur der Kammer. Diese ist

als 299 Kelvin (Raumtemperatur) vorausgesetzt. Mit der Erhöhung der Temperatur steigt zu-

gleich die Temperatur der Probe, angefangen von der Oberfläche. Das Ziel der Arbeit ist zu

definieren, wie schnell sich die Probe auf die Kammertemperatur ankommt. Die Versuchs-

durchführung darf erst ausgeführt werden, wenn man die Temperaturverteilung in der Probe

nach bestimmter Zeit erkannt hat.

In Kapitel 1 werden die Kriterien behandelt, wonach Festkörpern klassifiziert werden. Diese

Unterteilung beruht auf der inneren Strukturform des Körpers. Die verschiedenen Wärme-

transportmechanismen sind auch in diesem Kapitel erklärt. Kapitel 2 behandelt die Arten der

Temperaturmessungen. In Kapitel 3 sind die Verfahren zur Messung der Wärmeleitfähigkeit

eines Systems erklärt, welche die Wärmeübertragung im Festkörper bestimmen. Es gibt zwei

Darstellungen des Koordinatensystems. Die räumliche oder materielle Beschreibung des Sys-

tems und die Unterteilung der beschriebenen Messverfahren beendet Kapitel 3 mit einer Dis-

kussion über den möglichen Einfluss auf die Messung. Die Wärmeleitfähigkeit ist eine tempe-

raturabhängige Funktion, die von der Auswahl der Darstellung unabhängig ist. In Kapitel 4 ist

die Bilanz der Energie auf die variationelle Form gebracht, welche durch numerische Verfah-

ren, Methode der finiten Elementen (FEM) im Ort und Methode der finiten Differenzen in der

Zeit, auf eine approximative Lösung führt. Zur Programmierung und Berechnung sind FE-

8

niCS1 frei verfügbare Pakete angewendet und der Code zur Arbeit angehängt. Wegen der

Mangel dieser Pakete zur Beschreibung der komplizierten Geometrie, ist das Model in Aba-

qus2 gefertigt. Alle Ergebnisse der Simulation sind durch ParaView

3 dargestellt.

1 http://fenicsproject.org/

2 http://www.simulia.com/products/abaqus_fea.html

3 http://paraview.org

9

1 Wärmetransport in einem Festkörper

1.1 Festkörper

Festkörpern zeichnen sich dadurch aus, dass sich Moleküle oder Atome durch anziehende

Kräfte eine räumlich feste Lage zueinander haben (unbewegliche Atome)[20]. Festkörpern

können nach unterschiedlichen Kriterien in Klassen eingeordnet werden. Hier wird zwischen

2 Klassen der Festkörperstrukturen unterschieden. Eine Klasse ist für Festkörper mit kristalli-

ner Struktur, welche eine regelmäßige Anordnung (Gitter) aufweist, z.B. Metalle, Legierun-

gen und Keramikmaterialien gehören dazu. Eine andere Klasse bilden die Festkörper mit

amorpher Struktur, welche keine erkennbare Symmetrie der Lage zeigt, wie z.B. bei den

Kunststoffe und Polymeren.

1.1.1 Festkörpern mit kristalliner Struktur

Diese besitzen eine höhere thermische Leitfähigkeit. Der Wärmetransportmechanismus ge-

schieht durch Elektronen und durch Gitterschwingungen (Phononen). In reinen Metallen ist

der Anteil der Wärme durch Elektronentransport überwiegend. Deshalb ist der Anteil durch

Phononen meist vernachlässigbar [1]. Die Wärmeleitfähigkeit ist eine Größe zur Wärmeüber-

tragung bei diesen Körpern. Bei Strukturen, besonders von reinen Metallen, liegt sie in einem

hohen Bereich zwischen 100 W/(m K) und 8000 W/(m K) wie in Abb. 1 zu sehen ist.

Abbildung 1: Vergleich der Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit der Temperatur zwischen reinen und

legierten Metallen [4]

10

1.1.2 Festkörper mit amorpher Struktur

Im Vergleich zu kristalliner Struktur hat die Amorphe eine schlechte thermische Leitfähigkeit.

Die Fortleitung der Wärme beruht dabei auf die Molekülbewegung. Selbst bei freier Beweg-

lichkeit in der Schmelze ist sie dann für eine gute Wärmeleitung nicht ausreichend. Die Wär-

meleitfähigkeit von Kunststoffen liegt im Bereich von kleiner Ordnung (zwischen 0.15W/(m

K) und 0.3W/(m K))[3]. Für amorphe und kristalline Materialien sind die temperaturabhängi-

gen Wärmeleitfähigkeiten quantitativ in Abb. 2 dargestellt.

Abbildung 2: Wärmeleitfähigkeit für amorphe und kristalline Körperstruktur bei verschiedenen Tempe-

raturen [1]

1.2 Wärmetransport

Es wird zwischen drei Arten des Wärmetransports unterschieden:

Wärmetransport durch Leitung – Wärmeleitung

Wärmetransport durch freie oder erzwungene Konvektion

Wärmetransport durch Strahlung – Wärmestrahlung

11

1.2.1 Wärmeleitung

Die Wärmeleitung ist ein Wärmetransportmechanismus und bezeichnet die Wärmeleitung

durch Kontakt. Die Wärme wird dabei von einer Oberfläche höherer Temperatur zu einer an-

deren mit niedrigerer Temperatur die Ursache eines Temperaturgradientes[19]. Bei diesem

Wärmetransport ist zu unterscheiden, welche Körperinnenstruktur betrachtet wird. Hier wird

wie oben ausgeführt zwischen Leitung durch Elektronen und Phononen unterschieden.

1.2.1.1 Wärmeleitung durch Elektronen

Die innere Struktur eines Metalls besteht aus einem festen, angeordneten Gitter positiv gela-

dener Bausteine und Atomkerne. Dazwischen befinden sich Elektronen, die negativ geladen

und frei beweglich sind. Sie sind jedoch nicht nur zum Transport eines elektrischen Stroms

sondern auch zum Transport vom Wärmestrom geeignet. Im Fall von Wärmestrom diffundie-

ren die Elektronen in Gebiete mit niedrigerer Temperatur, sie bringen eine zusätzliche Energie

und erhöhen dort die Temperatur[1].

1.2.1.2 Wärmeleitung durch Elektronen und Wechselwirkung der Gitterbausteine

Im Gegenteil zu reinen Metallen ist die Wärmeleitung durch Gitterwellen oder Phononen in

Legierungen oder Halbleitern nicht zu vernachlässigen. Dabei ist der Anteil der Wärmelei-

tung, der durch Elektronen übertragen wird, gegenüber dem Anteil der Wärmeleitung durch

Phononen gleich groß sogar kleiner[1].

1.2.2 Konvektion

Der Wärmetransport durch Konvektion kann in Fluiden beobachtet werden. Sie beschreibt

den Transport von der Wärmeenergie, die mit der Bewegung des Partikels stattfindet. Dabei

unterscheidet man zwischen freier und erzwungener Konvektion.

1.2.2.1 Freie Konvektion

Es wird als Folge von Massendichtegradienten innerhalb eines Stoffes eine Strömung einge-

stellt. Bei allen Materialien hängt die Massendichte von der Temperatur ab, wobei sie bei zu-

nehmender Temperatur sinkt. Deshalb existiert bei Temperaturgradienten in flüssigen oder

gasförmigen Stoffen immer eine freie Konvektion[17], welche abhängig von den intermoleku-

laren Kräften bei festen Stoffen nicht auftritt.

12

1.2.2.2 Erzwungene Konvektion

Die erzwungene Konvektion entsteht, wenn die Strömung eines Mediums von äußeren Kräf-

ten wie z.B. von Pumpen eingeprägt ist[18].

1.2.3 Wärmestrahlung

Die Wärmestrahlung beruht darauf, dass jeder Körper Strahlung emittiert und absorbiert. Die-

se Strahlung ist in Form elektromagnetischer Strahlung ausgesendet oder absorbiert[18].

Wenn ein Körper eine höhere Temperatur als seine Umgebung besitzt, so emittiert er mehr als

absorbiert.

13

2 Verfahren zur Temperaturmessung

Die Messung der Temperatur eines zu untersuchenden Systems ist die Methode zur Bestim-

mung seiner Temperatur. Dies kann entweder eine berührungsbehaftete oder berührungsfreie

Messmethode sein.

2.1 Berührungsbehaftete Temperaturmessung

Bei den berührungsbehafteten Temperaturmessungen handelt es sich um ein thermisches

Gleichgewicht zwischen dem Messgerät und dem System. Ein Beispiel dafür ist das Thermoe-

lement.

2.1.1 Thermoelement

Dieses Verfahren basiert auf temperaturabhängigen Eigenschaften von Metallen. Der Effekt

des Thermoelementes wird dadurch ausgenutzt, dass in einem geschlossenen Kreis, das aus

zwei metallischen Leitern unterschiedlicher Materialien besteht, ein elektrischer Strom fließt.

Die Stärke der Temperaturdifferenz dieses Stroms zwischen den beiden Verbindungsstellen

soll dabei proportional sein (Seebeck-Effekt, s. Abb. 3)[8].

Abbildung 3: Schema des Seebeck-Effekts

Grundschaltung: Zwei Drähte aus unterschiedlichen Metallen A und B bilden zusammen über

ihre Verbindungsstelle einen Stromkreis. Eine Verbindungsstelle gilt als Messstelle und ist im

Kontakt mit der Probe, während die zweite Verbindung als Vergleichsstelle dient.

14

Abbildung 4: Grundschaltung von Thermoelement [15]

Die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Stellen führt dazu, dass ein Strom in einem

geschlossenen Kreis fließt. Die maßgebliche Größe bei der Temperaturmessung ist die elekt-

rische Spannung, die zur Temperaturdifferenz zwischen den beiden metallischen Leitern pro-

portional ist. Zur Messung dieser Thermospannung wird ein Spannungsmessgerät an die

Vergleichsstelle angeschlossen. Die Temperatur an der Messstelle ( in Abb.4) lässt sich

dadurch berechnen, wenn die Temperatur ( in Abb.4) an der Vergleichsstelle sowie der

charakteristische Thermospannungskoeffizient für ausgewählte Materialien bekannt

sind[8]. Dann gilt folgende Gleichung für Bestimmung der :

21

1TUT T

T

[8] (1)

2.2 Berührungsfreie Temperaturmessung

Dies ist eine Bestimmung der Oberflächentemperatur eines Körpers. Durch das Messen der

Strahlung an der Oberfläche kann durch das Stefan-Boltzmann’schen Gesetz die Temperatur

berechnet werden. Pyrometer hält sich als ein gutes Beispiel zur Darstellung der berührungs-

freien Temperaturmessung.

2.2.1 Pyrometer

Pyrometer ist ein Instrument zur optischen Temperaturbestimmung. Dies ist ein Thermoele-

ment, wobei an der Messstelle die Temperatur nicht durch Kontakt sondern über die Strah-

lung der Oberfläche erzeugt wird. Man unterscheidet zwischen einem subjektiven und objek-

tiven Pyrometer. Die Bewertung der Temperatur bei den subjektiven Pyrometern erfolgt über

15

das menschliche Auge. Während bei dem objektiven erfolgt die Bewertung über das Verwen-

den eines Empfängers wie z.B. ein Thermoelement[9].

Abbildung 5: Funktionsprinzip von Pyrometer [16]

In Abb.5 ist das Prinzip des Pyrometers dargestellt. Die Strahlung erreicht nach dem Passieren

der Objektlinse das Thermoelement . Sie führt dort zur Bildung einer Thermospannung,

die als Ausgangssignal zur Verfügung steht. Das Signal kann direkt an einem Messgerät auf-

gearbeitet werden. Durch die Annahme, dass der Messkörper ein schwarzer Strahler sei, folgt

das Stefan-Boltzmann’schen-Strahlungsgesetz:

4ATP [9] (2)

wobei P die Leistung der Strahlung, die Stefan-Boltzmann-Konstante und A die Fläche der

Körperoberfläche mit zur gemessenen Temperatur bedeuten.

16

3 Wärmeleitfähigkeit

Ein Maß für die Größe der Wärmeübertragung im festen Körper ist die Wärmeleitfähigkeit.

Sie hängt davon ab, wie schnell die Wärmeenergie zwischen den Partikeln des Stoffes ausge-

tauscht werden kann[2].

Je nach den spezifischen Eigenschaften von Proben und Randbedingungen gibt es in der Re-

gel optimale Messmethoden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit. Man unterscheidet ge-

nerell zwischen stationäre und nicht stationäre Messmethode.

3.1 Stationäre Messmethoden

Es wird von einer Seite einer Probe Wärmestrom zugeführt und an einem anderen Ende ent-

zogen. So entsteht ein Temperaturgefälle in Richtung des Wärmestromes, dessen Betrag über

die Temperaturdifferenz zwei definierten Punkten bestimmt werden kann. Die Bestimmung

der Wärmeleitfähigkeit erfolgt aus dem Quotient der pro Zeit und pro Fläche zugeführten

Wärme und dem Betrag des Temperaturgradienten:

TA

xq

.

(3)

3.2 Nichtstationären Messmethoden

Es wird eine Störung des Temperaturgleichgewichts durch einen einmaligen Impuls oder

durch eine periodische Heizung erzeugt. Die Störung breitet sich in der Probe mit einer be-

stimmten Geschwindigkeit aus. Die Laufzeit der Störung und ihre Abnahme werden dadurch

gemessen, dass an verschiedenen Stellen Temperaturfühlern angebracht werden[2]. Die Be-

handlung dieser Methode erfolgt nun mit Hilfe der folgenden Differentialgleichung:

2

2

x

T

ct

T

[2] (4)

17

3.3 Vergleich von stationären und instationären Messmethoden

Ein Vergleich zwischen stationären und instationären Messmethoden ist in der Tabelle 1 zu

sehen.

Tabelle 1: Vergleich zwischen stationären und instationären Messmethoden [11]

Instationäre Messmethoden Stationäre Messmethoden

Aufwändige Lösung der Wärmeleitungsglei-

chung

Direkte Lösung der Gleichung

Instationärer Wärmestrom – kurze Messzei-

ten

Stationärer Wärmestrom – lange Messzeiten

Inhomogene Proben sind kritisch im Experi-

ment

Probeninhomogentitäten wirken sich kaum

oder gar nicht aus

Geringe Probendimension Große Probendimension

Kurze Messzeiten erfordern höheren Mess-

technischen Aufwand

Zeitliche Zuordnung der Messwerte unkri-

tisch

Wärmeübergangskoeffizienten unkritisch Wärmeübergangskoeffizienten kritisch

3.4 Angewendete Messverfahren zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit.

Wie bei der Temperaturbestimmung, gibt es berührungsbehaftete sowie berührungslose

Messmethoden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit.

3.4.1 Berührungsbehaftete Messmethoden

Verschiedene Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit mit Kontakt wie:

Guarded-Hot-Plate-Verfahren

Rohrapparatur

Heißdrahtverfahren,

werden erklärt, um eine Unterscheidung dazwischen diskutieren zu können.

18

3.4.1.1 Guarded-Hot-Plate-Verfahren(GHP)

GHP ist ein stationäres Messverfahren zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit. Es wird in

zwei Ausführungen, als Ein- oder Zweiplattengerät, verwendet.

Einplattengerät: Es besteht aus einer Heiz- und Kühlplatte und einem Probekörper, der zwi-

schen den beiden Platten liegt. Durch die zugeführte elektrische Leistung der Heizplatte ent-

steht ein Wärmestrom, der durch die Probe fließt.

Abbildung 6: Aufbau eines Einplattengeräts [10]

Die in Abb.6 angezeigte Messanordnung stellt den Aufbau eines GHP-Einplattengeräts dar.

Zu sehen ist, dass die obere Ebene der Probe unter der Heiz- und Schutzheizplatte liegt und

die untere Ebene oberhalb der Kühlplatte ist. Zwei Dickenmessschrauben dient zur Bestim-

mung der Dicke der Probe. Die Thermostate werden angewendet, um die Temperatur in den

Wasserkreisläufen der Kühl- und Schutzheizplatte konstant zu halten und somit eine definier-

te Temperaturdifferenz über die Probendicke aufzuprägen. Die elektrische Leistung der

Heizplatte wird so geregelt, dass es zwischen Heiz- und Schutzheizplatte keine Differenz

existiert. Die Abdeckung sorgt für das Vermeiden von Wärmeverluste.

Die Wärmeleitfähigkeit lässt sich bei dieser Messung nach der folgenden Gleichung bestim-

men:

)( 21

.

TTA

Qs

(5)

Wobei der Wärmestrom bezeichnet, die Temperatur am oberen Punkt der Probe, am

unteren Punkt und deren Fläche.

Zweiplattengerät: Zum Aufbau eines Zweiplattengeräts sind zwei Probenkörper gleicher

Dicke zwischen einer Heizplatte und zwei Kühlplatten anzuordnen. Der zugeführte Wärme-

strom lässt sich gleich auf beiden Probenkörpern aufteilen.

19

Abbildung 7: Aufbau eines Zweiplattengeräts [10]

Es ist in der Abb.7 zu sehen, dass die Messplatte in zwei Bereichen geteilt ist. Das Teil, das

sich im Zentrum befindet, bildet die eigentliche Messfläche. Das zweite Teil ist vom inneren

Schutzheizring eingenommen, der ebenfalls zur Beheizung dieser Apparatur dient. Damit es

zu einem eindimensionalen Wärmetransport durch die Proben kommt, muss die Temperatur-

differenz zwischen den beiden Bereichen Null sein, was auch gleich von den äußeren elektri-

schen Schutzheizringe zu erzielen ist. Die beiden Kühlplatten sind beweglich. Ihre Beweg-

lichkeit ermöglicht nach dem Einlegen des Probenkörpers einen guten Kontakt zwischen

Heizplatte und Proben sowie Kühlplatten und Proben. Der Umwälzkühler dient dazu, die äu-

ßeren Messbedingungen konstant zu halten. Die mittlere Wärmeleitfähigkeit lässt sich dann

aus der zugeführten elektrischen Leistung der Heizplatte sowie den Temperaturgradienten im

stationären Zustand in den beiden Platten berechnen[10].

3.4.1.2 Rohrapparatur

Die Rohrapparatur wird für die stationäre Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit eines festen

Körpers verwendet. Als Probekörper ist dann ein Hohlzylinder anzuwenden, in dessen Inne-

ren ein Heizstab als Wärmequelle zentrisch angeordnet ist. Im Außen ist ein Kalorimetersys-

tem, das aus drei Teilen besteht, angeordnet(siehe Abb.8).

Nach Erreichen des stationären Zustandes, werden Temperaturen an zwei verschiedenen

Messradien mit Hilfe von zwei angeschlossenen Thermoelementen ermittelt. Es gilt dann für

die Wärmeleitfähigkeit die folgende Gleichung[10]:

)(2

)ln(

21

.

2

1.

TTL

r

rQ

(6)

20

Wobei und die zwei Radien, wo die Temperaturen und gemessen sind.

Abbildung 8: Rohrapparatur [10]

3.4.1.3 Heißdrahtverfahren

Heißdrahtverfahren ist eine instationäre Methode zur direkten Bestimmung der Wärmeleitfä-

higkeit. Diese Bestimmung basiert auf der Messung des Temperaturanstieges einer linienför-

migen Wärmequelle/Heißdraht (J) und bezeichnet die Messkreuzverfahren oder auf in einem

definierten Abstand von einer linienförmigen Wärmequelle/Heißdraht (J) und bezeichnet Pa-

rallelverfahren[11]. Die Abb.9.stellt den Aufbau eines Parallelverfahrens dar. Durch den zeit-

lichen Verlauf des Temperaturanstiegs zwischen Stelle 1 und Stelle 2 nach dem Einschalten

der elektrischen Heißdrahtleistung (J) lässt sich die Wärmeleitfähigkeit des untersuchten Ma-

terials bestimmen.

21

Abbildung 9: Messung mithilfe von Heizdrahtverfahren

3.4.2 Berührungsfreie Messmethoden

Mehrere Beispiele können für die berührungsfreie Wärmeleitfähigkeitsmessung angewendet

werden, wie zum Beispiel:

Nicht stationäre Laser Flash Methode

Thermoscan

Paramagnetische Verfahren

3.4.2.1 Nicht stationäre Laser Flash Methode

Eine indirekte berührungslose instationäre Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit ist die Laser

Flash Methode. Als Heizquelle dient bei diesem Verfahren die Strahlung eines Lasers. Dabei

liegt die untersuchende Probe bei einem bestimmten Abstand vor dem Laser und wird mit

einem kurzen Laserpuls erwärmt (siehe Abb.10). Daher entsteht eine Wärmeverteilung auf

der gesamten Probe, die zum Erwärmen der Probenrückseite führt. Mit Hilfe eines Infrarotde-

tektors, der gegenüber die Probenrückseite liegt, wird diese Erwärmung aufgezeichnet und

gemessen.

Abbildung 10: Laser-Flash-Methode [12]

22

Durch das zeitliche Messen und Aufzeichnen der entstandenen Erwärmung wird die Tempera-

turleitfähigkeit bestimmt, die die Messung der spezifischen Wärmekapazität sowie der Pro-

bendichte kombiniert. Dies führt zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit[12].

Pc

a

(7)

3.4.2.2 Thermoscan

Thermoscan ist eine berührungslose Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit. Sie beruht auf dem

gleichen Prinzip der Laser-Flash-Methode. Dafür werden ein Laser als Wärmequelle und eine

Infrarotkamera zur berührungslosen Aufnahme der Temperatur angewendet.

Abbildung 11: Messung mit einem Thermoscan [14]

Funktionsprinzip: Nachdem die Fokuslinie der Laserstrahlung über zwei Linsen einen Spiegel

trifft, trifft sie dann durch Reflektion den Probenkörper. Dadurch wird die Probe erwärmt.

Eine Infrarot Kamera liegt gegenüber der Probenrückseite um die Strahlung aufzunehmen und

daraus Bilder zu erstellen, genannt als Thermografie (siehe Abb.11) [13].

23

Abbildung 12: Verlauf der Temperatur im Bezug zur Fokuslinie bei Thermoscan[14]

Die Abb.12 zeigt, wie sich die Temperatur weitgehend der Fokuslinie verteilt. Es ist zu mer-

ken, dass je näher der Abstand zur Fokuslinie ist, desto größer die Temperatur ist. Die zeitli-

che Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur durch die Wärmestrahlung be-

zeichnet die Temperaturleitfähigkeit. Daraus lässt sich die Wärmeleitfähigkeit analog zur

nicht stationären Laser Strahl Methode bestimmen.

3.4.2.3 Paramagnetische Verfahren

Das paramagnetische Verfahren stellt eine berührungslose Messung der Wärmeleitfähigkeit

eines Feststoffes bei niedrigen Temperaturen. Im Experiment ist die Probe fest mit einem Hal-

ter aus Kupfer verbunden. Auf der oberen Fläche des Stabes befindet sich eine schwarze

Schicht aus CuO (Kupferoxid), um die Absorption des Lichtes zu verbessern. Somit gelangt

das Licht auf die obere Fläche über eine Glasfaser von der Leuchtdiode. Die Kombination von

Absorber und Leuchtdiode stellt den berührungsfreien Heizer. Weiterhin sind für die berüh-

rungsfreie Thermometrie zwei 3-Mikrometer dicke Filme aus als paramagnetische

Sensoren auf der Probe angebracht. Um die Änderung der Magnetisierung aufzunehmen, be-

finden sich um die -Sensoren Detektionsspulen, die in einem Hohlzylinder eingegos-

sen sind (siehe Abb.13).

24

Abbildung 13: Paramagnetisches Messgerät [5]

Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit: Die Messung der Wärmeleitfähigkeit erfolgt aus dem

gewonnenen Temperaturverlauf und lässt sich für die gemittelte Temperatur

)(2

121 TTT (8)

unter Verwendung folgende Gleichung:

)(

)(12

.

TT

Q

L

AT

(9)

bestimmen[5].

Wobei und die Temperaturen an den Filmen aus , die Fläche der Probe und L

der Abstand zwischen den beiden Filmen ist.

3.5 Darstellung des Koordinatensystems

Bei den oben genannten Messmethoden ist es zu merken, dass es ein Unterschied gibt, wie

man das Koordinatensystem der Messung darstellt. Man unterscheidet hier zwischen zwei

angewendeten Darstellungen:

3.5.1 Räumliche Darstellung

Bei der räumlichen Darstellung erfolgt die Messung der Wärmeleitfähigkeit an zwei konstant

25

gehaltenen Stellen und Raumpositionen, ohne zu berücksichtigen, ob sich die Probe durch das

Erwärmen bewegt (ausdehnt).

Abbildung 14: Räumliche Darstellung bei der Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

Der Wärmeleitungskoeffizient ist die Fähigkeit, wie schnell das Material die Wärmeenergie

übertragen kann und somit ist es abhängig von der Anzahl der Moleküle in der Probe. Bei der

Messung der Wärmeleitfähigkeit in räumlicher Darstellung, wird die Ausdehnung der Probe

nicht berücksichtigt. Dadurch sollten sich die Anzahl der Moleküle, die zwischen den beiden

Messstellen sind, kleiner sein. Das wird in Abb.14 dargestellt. Dies kann zur Erhöhung der

Wärmeleitfähigkeit führen, weil die Wärmeenergie schneller von einem Punkt zu einem ande-

ren übertragen wird.

3.5.2 Materielle Darstellung

Als Alternative zur räumlichen Darstellung, wird die Ausdehnung der Probe berücksichtigt,

wenn ein materielles Koordinatensystem ausgewählt wird. Die Zeit zur Übertragung der

Wärmeenergie zwischen den beiden Stellen soll unter Anwendung der materiellen Darstel-

lung nicht geändert werden. Dabei soll keine Änderung der Anzahl der Moleküle betrachtet

werden(siehe Abb.15). Dabei ist keine Veränderung auf dem Wert der Wärmeleitfähigkeit zu

betrachten.

26

Abbildung 15: Materielle Darstellung bei der Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

3.6 Aufteilen der Wärmeleitfähigkeitsmessmethoden nach dem materiel-

len und räumlichen Koordinatensystem

Die genannten Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit lassen sich in Tabelle 2 in

drei Kategorien unterteilen.

Tabelle 2: Sortieren der genannten Messmethoden nach drei Kategorien

Koordinatensystem Stationär/

Nicht stationär

Mit/Ohne Be-

rührung

Einplattengerät Materiell Stationär mit

Zweiplattengerät Materiell Stationär mit

Rohrapparatur Materiell Stationär mit

Heißdraht-

Verfahren

Materiell Nicht stationär mit

Nicht stationäre

Laser-Flash-

Methode

Räumlich Nicht stationär ohne

Thermoscan Räumlich Nicht stationär ohne

Paramagnetisches

Verfahren

Materiell Stationär ohne

27

3.7 Wirkung auf die Messergebnisse

Alle vorgestellten Messmethoden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit können zu unter-

schiedlichen Ergebnissen führen, wenn die Auswahl eines Messverfahrens durch den erfor-

derlichen Temperatur, Wärmeleitfähigkeitsbereich und Zeit– und Kostenaufwand nicht ge-

prägt ist[10]. In Abb.16 sind die Laser-Flash-Methode, das stationäre Plattengerät und das

Heißdrahtverfahren für die temperaturabhängige Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit darge-

stellt. Es ist gezeigt, in welchen Temperaturbereichen die Messverfahren geeignet sind.

Abbildung 16: Wärmeleitfähigkeitsbestimmung für drei Messverfahren in Abhängigkeit der Temperatur

[14]

Die Abweichungen der Messergebnisse kann sich auch auf folgendermaßen zurückführen:

Unzugänglichkeiten bei der Versuchsdurchführung

Phasenänderung[10]. Bei unterschiedlich höheren Temperaturen können bei Legie-

rungsmaterialen Phasenänderungen auftreten. Der Fall ist für Eisenlegierung mit Koh-

lenstoff, wenn es für unterschiedliche Temperaturbereiche und unterschiedlichen Koh-

lenstoffgehalt Phasen wie Perlit, Ferrit, Austenit und andere ausscheiden. Jede dieser

ausgeschiedenen Phasen besitzt eigenen mechanischen und thermischen Eigenschaf-

ten.

28

4 Die Variationelle Form und die numerische Berechnung

Die Aufheizung der Probe führt zu einer Änderung ihrer Wärmeenergie. Diese innere Energie

ist eine Erhaltungsgröße und kann durch eine Bilanzgleichung für den Körper, durch den

Wärmefluss über die Oberfläche und durch die volumetrische Zufuhr als:

dsnqxx

tdxu

Tiii

i

i )()(

(10)

aufgestellt werden.

Durch Einsetzen von (keine Laserstrahlung) und aus dem Satz vom Gauß folgt:

dx

x

qdxu

dt

d

i

i)( (11)

Durch die Annahme, dass sich die Partikeln nicht bewegen, folgt:

0))((

dxx

qu

t i

i (12)

Nach dem Fourier Gesetz kommt die Temperatur ins Spiel. Es gilt, dass:

i

ix

Tq

(13)

ist.

Unter der Bedingung, dass keine Funktion der Zeit ist, und nach Einsetzen von in der

Gleichung (12), gilt die folgende Gleichung:

0)(

2

dxxx

T

t

T

T

u

ii

(14)

Für ein raumfestes Medium mit konstantem Volumen und der Massendichte gilt, dass die

Änderung der spezifischen inneren Energie gleich dem Produkt der spezifischen Wärmekapa-

zität und der Temperaturänderung ist. Sie kann beim konstanten Volumen oder konstan-

ten Druck gemessen werden. Bei den Festkörpern sind beide gleich groß, wobei sich die spe-

zifische Wärmekapazität nach konstantem Druck einfacher messen lässt. Dann gilt es, dass

Tcu P (15)

ist.

Aus der Gleichung (15) folgt, dass die spezifische Wärmekapazität gleich der Änderung

der spezifischen inneren Energie über die Temperaturänderung ist, deshalb gilt es:

T

ucP

(16)

Nach Einsetzen von in der Gleichung (14), folgt:

29

0)(

2

dxxx

T

t

Tc

ii

P (17)

Die Gleichung (17) gilt als nicht stationäre Wärmeleitungsgleichung für das gesamte System.

Für die Bestimmung einer Temperaturverteilung in komplizierteren Geometrie mit mehrdi-

mensionaler Wärmeleitung werden numerische Lösungsmethoden. Nachfolgend sollen einige

wesentliche Grundlagen der numerischen Lösungsverfahren anhand der Methode der Finiten

Differenzen und Elementen beleuchtet werden.

4.1 Variationelle Formulierung

Die partielle Differentialgleichung (15) soll in der Zeit und im Ort diskretiziert werden, um

eine approximative Lösung zu berechnen. Durch Anwenden eines Rückwärtsdifferenzenver-

fahrens für die zeitliche Diskretizierung, was als Methode der finiten Differenzen bekannt ist,

folgt:

t

TTt

t

ttTtT

t

T

0)()()(

(18)

Danach wird die Form mit einer Testfunktion skalar multipliziert:

0))((

20 Tdx

xx

TTT

t

c

ii

P

. (19)

Durch Änderung zu den diskreten Funktionen ist die letzte Gleichung im Ort diskretiziert, die

als Methode der finiten Elemente genannt ist. Es gilt für die Produktregel folgendes:

iiiiii x

T

x

TT

xx

TT

x

T

x

2

)( . (20)

Daraus folgt:

.)(2

iiiiii x

T

x

TT

x

T

xT

xx

T

(21)

Nach Einschalten der partiellen Integration nach Gauß-Ostrogradskiy Theorem folgt:

.)(

2

dxx

T

x

TdxT

x

T

xTdx

xx

T

iiiiii

(22)

Durch das Umstellen der Gleichung (22) wird die Gleichung (23) gewonnen. Diese wird fol-

gendes ausgedrückt:

.

2

dxx

T

x

TTdsn

x

TTdx

xx

T

ii

i

iii

(23)

Auf der Oberfläche gilt die folgende Robin-Randbedingung:

30

).( Aii TThnq (24)

Durch Einsetzen dieser Bedingungen in die Fourier Gleichung folgt:

).( A

i

TTh

x

T

(25)

Einsetzen von (23) und (25) in (19) führt zu:

.0)((0 dx

x

T

x

TtTdsTT

htTdxTcTdxTc

ii

ApP

(26)

Durch Ausklammern von () ergibt sich die folgende Endgleichung des betrachten Systems.

.00 TdsthTTdxTcdx

x

T

x

TtTdsthTTdxTc AP

ii

P

(27)

4.2 Numerische Lösung der Differentialgleichung

Die Energiebilanzgleichung soll durch numerische Verfahren gelöst werden. Dafür sollen die

Randbedingungen des Experimentes festgelegt werden. Ventilator, Spule und Probe liegen

zusammen in einer geschlossenen Kammer. Die Probentemperatur hat am Anfang die Außen-

temperatur (Temperatur des Kammers). Zur Aufheizung, werden die Strahlungen aus der Spu-

le mit Hilfe des Ventilators die Probe treffen. Somit wird sie aufgeheizt, wie in Abb.17 zu

sehen ist.

Abbildung 17: Aufsicht des Experimentaufbaus

Die Temperaturbelastung ist nach Messung im Experiment wie folgt definiert:

.2.0297 ts

KKTAußen (28)

31

4.2.1 Erstellung des FE-Modells

Die zu untersuchende Geometrie wird in Abaqus generiert. Das erfolgt, nachdem bei Abaqus

ein 3D neues Modell erstellt wird. Danach wird eine 2D-Skizze mit den genauen Bemaßun-

gen für das Modell erstellt (siehe Abb.18).

Abbildung 18: Geometrieerstellung in 2D

Zum Schluss wird es nach Festlegung der Tiefe in 3D extrudiert. Das Netz soll eine tetraedri-

sche Form haben. Um die Vernetzung zu erstellen, muss eine Sektion definiert werden. Dabei

wird das Material zugewiesen (siehe Abb.19).

Abbildung 19: Vernetzung der Probe

4.2.2 Importieren im FEniCS

Aus dem generiertem Modell vom Abaqus wird eine Xml-Datei erstellt. Diese werden in

32

Python importiert, welche von Dolfin Paketen gelesen werden können. Der Pythoncode wird

mit FEniCS programmiert (Code im Anhang). Die Visualisierung der Ergebnisse erfolgt über

ParaView.

4.3 Daten des verwendeten Materials

Der Werkstoff des verwendeten Materials besteht aus Sn91Zn9. Sie sind zuerst im Code defi-

niert. In der Tabelle 13 sind die Werte der Materialdaten mit ihren Namen, Abkürzung und

Einheiten angegeben.

Tabelle 3: Materialdaten von der Probe [7][6]

Kenndaten von Sn91Zn9 Wert Einheit

Dichte

7200E-9 [kg/mm^3]

Spezifische Wärmekapazität

118.515E-6 [Mikrojoule/kg K]

Wärmeübergangskoeffizient

20E-3 [Mikrowatt/mm K]

Wärmeleitfähigkeit

91.5E-3 [Mikrowatt/mm k]

4.4 Simulationsergebnisse

In diesem Abschnitt werden die Simulationsergebnisse zu der vorhandenen Soll-Temperatur

von dem CAD-Modell präsentiert. Der Schwerpunkt der Arbeit ist die Bestimmung der Ist-

Temperatur von der Probe.

33

Abbildung 20: Temperaturverlauf des Modells bei der vorgegebener Belastungstemperatur

Abbildung 21: Schnittansicht des Modells

Die Simulationsergebnisse aus Abb.20 und Abb.21 zeigen, dass die berechnete Ist-

Temperatur, bezogen auf der bereits vorhandenen Soll-Temperatur, ungefähr bei dieser liegt.

Aufgrund der Wärmeübertragung in einer ruhenden Luft wird die Wärmeübergangszahl zwi-

schen der Oberfläche und der Umgebung so ausgewählt, dass sie im Bereich der Wärmeleit-

fähigkeit liegt jedoch kleiner ist. In der Schnittansicht ist die Temperaturergebnisse deutlich

zu sehen, dass es bei dieser dünnen kleinen Probengeometrie mit deren Materialeigenschaften

und den vorhandenen Randbedingungen fast keinen Unterschied nach 0.1 Sekunden der Tem-

peratur entsteht.

34

4.4.1 Plausibilitätsprüfung

Um zu überprüfen, ob die Ergebnisse der Energiebilanzgleichung richtig rausgekommen sind,

wird eine Änderung an den Vorgaben der Gleichungsrandbedingungen erfordert. Diese Vor-

gaben sollen da geändert werden, wo die Ergebnisse dieser Änderung im Voraus bekannt

sind. Dieses wird Plausibilitätstest genannt.

4.4.1.1 Plausibiltätstest 1

Die Wärmeleitfähigkeit bezeichnet die Wärmeübertragung in einem Körper. Durch das Vari-

ieren dieses Wertes ändert sich die Übertragung der Wärme in der Probe. Ist diese Größe mit

Null eingesetzt, so sollte innerhalb der Probe keine Erhöhung der Ist-Temperatur erfolgen. Es

wird nur eine Änderung der Oberflächentemperatur betrachtet.

Abbildung 22: Temperaturverlauf der Ist-Temperatur für =0

Die Simulationsergebnisse aus der Abb.22 zeigen, dass die berechnete Ist-Temperatur, bezo-

gen auf die vorhandene Soll-Temperatur und Wärmeleitfähigkeit, zu keiner Erhöhung der Ist-

Temperatur innerhalb der Probe sondern nur der Oberfläche führen. Die Ungenauigkeiten, die

besonders am Rand in dem Schnitt zu sehen sind, lassen sich darauf zurückführen, dass FE-

Programme bei einer gegebenen Vernetzung die Temperatur eines Elementes rausgeben und

die Temperatur zwischen den Knoten der Elemente approximieren.

35

4.4.1.2 Plausibilitätstest 2

Der Wärmeübergangskoeffizient taucht in der Robin-Randbedingung auf. Diese Größe

hängt von dem Umgebungsmedium ab. Wenn Null annähert, soll die Probe keine Tempera-

turerhöhung zur Folge haben. Das wird aber nicht so betrachtet, wenn diese Größe unendlich

größer als die Wärmeleitfähigkeit des Probenmaterials ausgewählt ist. Dabei soll sich die

Soll-Temperatur (Außentemperatur) mit der Ist-Temperatur (Probentemperatur) übereinstim-

men.

Abbildung 23: Plausibilitätstest für =0

Abbildung 24: Plausibilitätstest für unendlich größer als

36

Die Simulationsergebnisse in Abb.23 und Abb.24 sind Plausibel. Die erwarteten Ist-

Temperaturen stimmen in den beiden betrachteten Fällen mit der verwendeten Robin-

Randbedingung überein.

37

5 Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich primär mit der Bestimmung der zeitlichen Temperaturver-

teilung in einer Materialprobe Sn91Zn9 aufgrund einer äußeren Temperaturbelastung. Zur

Erhöhung der Probentemperatur wurden eine Spule und ein Ventilator, die zu einer besseren

Wärmekonvektion führen, zusammen in einer geschlossenen Kammer eingesetzt. Dabei än-

dert sich die innere Probenenergie. Die Wärmeleitungsgleichung wurde durch das Aufstellen

der Energiegleichung des gesamten Systems hergeleitet. Die variationelle Formulierung die-

ser Gleichung erfolgte mittels der numerischen Verfahren, die mit der Methode der finiten

Elemente (FEM) im Ort und der Methode der finiten Differenz in der Zeit zusammengefasst

sind. Die aus der variationellen Formulierung resultierende Differentialgleichung wurde als

ein Code im Python geschrieben. Die dazugehörige Probengeometrie und ihre Vernetzung

wurden in Abaqus erstellt und als Xml-Datei in Python importiert. Der Code wurde in FE-

niCS programmiert und die Visualisierung der Ergebnisse in ParaView dargestellt. Die Simu-

lationsergebnisse der Temperaturverteilung zeigten, dass es bei dieser angewandten dünnen

Probengeometrie mit deren Materialeigenschaften und vorhandenen Randbedingungen fast

kein Unterschied nach 0.1 Sekunde der Temperatur entsteht. Um die Funktionsgenauigkeit

des Codes nachzuprüfen, wurden Drei Plausibilitätstests realisiert. Der erste Test wurde so

durchgeführt, dass die Wärmeleitfähigkeit ungefähr Null eingesetzt wurde. Die resultierten

Ergebnisse stimmen sehr gut mit den zu erwarteten Ergebnissen überein, da es innerhalb der

Probe keine Temperaturänderung zu sehen ist. Im zweiten und dritten Test wurde der Wär-

meübergangskoeffizient einmal ungefähr Null und ein anderes Mal unendlich größer als die

Wärmeleitfähigkeit ausgewählt. Die bestimmte Ergebnisse haben hier wieder die theoretisch

erwarteten Ergebnisse bestätigt. Im Fall des zweiten Tests sollte die Außentemperatur keinen

Einfluss auf die innere Probentemperatur haben. . Die Oberflächentemperatur der Probe über-

nimmt dabei die Außentemperatur. Im Gegenteil zum zweiten Test, wurde im Verlauf des

dritten Tests die gesamte Außentemperatur von der Probe übernommen.

Als Fazit kann man ausschließen, dass infolge einer Überprüfung des Codes nach Plausibilität

die Simulationsergebnisse als genaue Ergebnisse bezeichnet werden können. Das Probenma-

terial aus Sn91Zn9 stellt sich aufgrund seiner großen Wärmeleitfähigkeit als einen guten

Wärmeleiter dar. Neben der guten Wärmeleitung ist diese Probe auch sehr dünn und klein.

Anhand der Simulation konnte sie sehr schnell die Außentemperatur übernehmen. Zwischen

Soll- und Ist-Temperatur entsteht ein sehr kleiner Unterschied, der zu vernachlässigen ist.

38

Anhang

from dolfin import *

from abaqus2xml import *

#from numpy import array

rho=7200.0E-9 # Dichte der Materialien [kg/mm^3]

c=118.515E-6 # spezifische Wärmekapazität [Mikrojoule/kgK]

kappa=91.5E-3 # Wärmeleitfähigkeit [Mikrowatt/mmK]

h=20E-3 # Wärmübergangskoeffizient [Mikrowatt/mmK]

Ta=Expression("297+0.2*time") # Umgebungstemperatur [K]

# Create mesh and define function space

#convert('Job-1.inp', 'out.xml')

mesh = Mesh('out.xml')

mesh.order()

S= FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)

# time initializing

t=0.0

t_end=350.0

dt=0.5

# Define initial condition , interpolate 300.0 on the whole domain

initial = Expression("300.0")

T0=interpolate(initial , S)

#Define variational problem

T= TrialFunction(S)

dT=TestFunction(S)

Form = rho*c*T*dT*dx - \

rho*c*T0*dT*dx + \

dt*h*T*dT*ds - \

dt*h*Ta*dT*ds + \

kappa*dt*T.dx(i)*dT.dx(i)*dx

39

left=lhs(Form)

right=rhs(Form)

A = assemble(left) # non-changing by stepping

b = None # dynamically assembled acc. to time

T = Function(S)

file=File("temp-diffusion.pvd")

# time loop

while t <= t_end:

t += dt

Ta.time = t

print "Time ",t

b=assemble(right , tensor=b)

solve(A, T.vector(),b, 'lu')

file << (T,t)

T0.assign(T)

40

Eidesstattliche Erklärung

Die selbständige und eigenhändige Anfertigung versichere ich an Eides statt.

Berlin, den 11.11.2011

Ayman Khodor

41

Quellenverzeichnis

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12.Auflage, 2008.

[2] G. Fasching, Werkstoffe Für Die Elektrotechnik: Mikrophysik, Struktur, Eigenschaften.

Springer Wien New York, 3.Auflage, 2005. S. 218-221

[3] O. Krüger, Werkstoffkunde. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.

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2010.

[5] D. S. Rothfuß, Wärmeleitfähigkeit von metallischen Gläser bei sehr tiefen Temperaturen,

Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, Diplomarbeit, 2006. S.33-34.

[6] DR. JUNGER, Dichte. http://www.dr-junger-saiten.de/html/pages/de-lexikon-

saitenmachei-dichte.htm. (letzter Zugriff 25.10.2011)

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http://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html. (letzter Zugriff

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[9] S. Hesse, G. Schnell, Sensoren für die Prozess- und Fabrikautomation, Funktion - Ausfüh-

rung – Anwendung, Vieweg+Teubner-Verlag, 2009. S. 249-253.

[10] R. Wulf, Wärmeleitfähigkeit von hitzebeständigen und feuerfesten Dämmstoffen – Unter-

suchen zu Ursachen für unterschiedliche Messergebnisse bei Verwendung verschiedener

Messverfahren, Technische Universität Bergakademie Freiberg, Diplomarbeit, 2009. S. 15-38

[11]F. Kohlrausch: Praktische Physik, B.G. Teubner Stuttgart,24.Auflage,1996. S. 458-459

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http://www.zae-bayern.de/files/thermoscan.pdf. (letzter Zugriff 12.10.2011)

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Energieforschung, http://www.zae-bayern.de/files/v09_nanoenergy_2011_07_01.pdf.

20.07.2011. (letzter Zugriff 27.08.2011)

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42

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Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006.

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43