Technische MechanikTechnische Mechanik

Jürgen Dankert ⋅ Helga Dankert

Technische Mechanik

Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik

7. ergänzte Auflage

Mit 1102 Abbildungen, 128 Übungsaufgaben,zahlreichen Beispielen und weiteren Abbildungenim Internet

,

Jürgen DankertHelga DankertHAWHamburg, Deutschland

ISBN 978-3-8348-1809-6 ISBN 978-3-8348-2235-2 (eBook)DOI 10.1007/978-3-8348-2235-2

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Lektorat:Thomas Zipsner, Ellen Klabunde

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Prof. Dr.-Ing. HelgaDankert, geb. 1939, von 1957 bis 1963 StudiumdesMaschinenbaus an der TechnischenHochschule Magdeburg, 1967 Promotion zum Dr.-Ing. Von 1971 bis 1981 Dozentin für Technische Me-chanik an der THMagdeburg, 1981 bis 1986 verschiedene Tätigkeiten in der Industrie (Vakoma, Hewlett-Packard). Ab 1986 Professorin für Technische Mechanik an der HAW Hamburg, seit 2002 im Ruhestand.

Prof. Dr.-Ing. habil. Jürgen Dankert, geb. 1941, von 1961 bis 1966 Studium des Maschinenbaus an derTechnischenHochschuleMagdeburg, 1971 Promotion zumDr.-Ing., 1979 Habilitation. Von 1974 bis 1981Leiter eines Entwicklungsteams eines FEM-Programmsystems, ab 1981 Industrietätigkeit (Takraf, Hewlett-Packard). Ab 1987 Professor für Technische Mechanik an der FH Frankfurt a. M., seit 1990 Professor fürInformatik an der HAW Hamburg.

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Vorwort

Auf die Frage „Lehrbuch oder Internet?“ gibt es für die Technische Mechanik nur eine Antwort:„Beides, möglichst oft im Wechselspiel.“ Nach 15-jähriger Erfahrung mit der Kombination Lehr-buch/Internet hatten wir die 5. Auflage in vielen Passagen völlig neu geschrieben. Die 6. Auflageberücksichtigte alle Erkenntnisse, die damit speziell hinsichtlich der Frage „Was gehört ins Buch,was sollte man im Internet ansiedeln?“ zu gewinnen waren. Wir haben uns bemüht, den Umfangdes gedruckten Buchs bei allen Veränderungen nicht zu vergrößern, das Internetangebot ist aller-dings deutlich umfangreicher geworden (die Anzahl der Internetseiten übersteigt die Anzahl derBuchseiten erheblich). Die vorliegende 7. Auflage enthält wesentlich mehr Internet-Verweise alsdie Vorgänger, insbesondere ist der Bereich TM-interaktiv erheblich erweitert worden.

Die Zielgruppe sind nach wie vor die Studenten aller Ingenieur-Studiengänge an Universitätenund Fachhochschulen, die Kombination Lehrbuch/Internet gestattet jedoch auch, stets die meistanspruchsvolleren Probleme der Praktiker mit im Blick zu haben. Und die Ausgangslage ist auchungeändert: In keinem anderen Fach muss dem Studenten so früh und so umfassend der gesamteschwierige Weg der Lösung von Ingenieur-Aufgaben zugemutet werden wie in der TechnischenMechanik. Er muss Probleme analysieren, das Wesentliche erkennen und ein reales Objekt in einphysikalisches Modell überführen. Das sich daraus ergebende mathematische Problem muss ge-löst werden, und die Deutung der Ergebnisse, die wieder den Zusammenhang zum realen Objektherstellt, schließt den Kreis.

Auf einem schwierigen Teilstück dieses Weges ist der Computer zu einem starken Helfer ge-worden. Die Zeit, die früher dem mühsamen Einüben von Lösungsalgorithmen geopfert werdenmusste, steht heute für die Problemanalyse und das Studium des Grundlagenwissens zur Verfü-gung, das Trainieren der (so eleganten wie aufwendigen) grafischen Verfahren gehört der Vergan-genheit an. Den Bitten zahlreicher Fachkollegen folgend, die Verfahren nicht einfach nur aufzu-listen, haben wir deutlich mehr Wertungen der Lösungsverfahren aufgenommen, Empfehlungenauch dann, wenn sie negativ ausfallen („. . . besonders geeignet“, „. . . nicht mehr zeitgemäß“,„. . . spielt praktisch keine Rolle mehr“, „Koppeltafeln haben ausgedient.“ . . .).

Aber der Computer bleibt für den Ingenieur nur ein Werkzeug. Die eigentlichen Schwierigkeiten,die im Erfassen der Zusammenhänge, dem Beherrschen von Methoden zur Analyse und Lösungvon Problemen liegen, kann er ihm nicht abnehmen. Er kann ihn aber von dem Ballast befrei-en, dessen Bewältigung früher häufig so dominierend war, dass der Lernende nicht mehr zumKern des Problems vordringen konnte. Der Ingenieur in der Praxis mit den „nicht-akademischenProblemen“ stand sogar oft vor unüberwindlichen Schwierigkeiten.

Auf keinen Fall darf man das Verstehen der Zusammenhänge durch das Erlernen des Umgangsmit der Benutzeroberfläche eines Rechenprogramms ersetzen, im Gegenteil: Man sollte den Zeit-gewinn, den der Computer verschafft, gerade für die intensive Auseinandersetzung mit den häu-fig nicht ganz einfachen Problemen nutzen. Dieser Zeitgewinn ergibt sich genau dort, wo nachder Analyse der mechanischen Probleme und der Formulierung des mathematischen Modells deraufwendige, aber formale Teil der mathematischen Lösung abgearbeitet werden muss. Ein an-genehmer Nebeneffekt ist, dass der Zwang zur Beschränkung auf die einfachen Probleme, die

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der Handrechnung zugänglich sind, entfällt. Der Student kann praxisnahe Probleme lösen, demIngenieur in der Praxis wird damit unmittelbar geholfen.

Weil es aber häufig sogar noch viel einfacher geht, wird eine Frage von Studenten immer öftergestellt: „Warum muss ich das denn alles lernen, wenn es mit ein paar Mausklicks so bequemzu erledigen ist?“ Diese Frage wird von uns an verschiedenen Stellen beantwortet, und wir ge-hen sogar noch einen Schritt weiter und offerieren über die wesentlich erweiterte Internet-Sitewww.TM-interaktiv.de die Möglichkeit, Standardaufgaben der Technischen Mechanik genau aufdiesem Weg zu erledigen, um auf ein in der Vergangenheit oft stark vernachlässigtes Problemaufmerksam zu machen: Dem Thema „Verifizieren von Computerrechnungen“ widmen wir eineigenes Kapitel.

Wir versuchen, das Zusammenspiel „Lehrbuch und Internet“ auf eine neue Stufe zu heben. DasLehrbuch enthält alle Themen, die üblicherweise im Grundkurs Technische Mechanik behan-delt werden und geht an vielen Stellen auch darüber hinaus. Überall dort, wo sich Vertiefungen,Erweiterungen, Ergänzungen anbieten, bieten wir den „Abzweig ins Internet“ an. Der Leser fin-det jetzt noch deutlich mehr von solchen Verzweigungspunkten im Text, auch hier gilt: Es wirdständig erweitert und ergänzt. Den Studenten, die nach dem Grundkurs in Vertiefungsfächernoder bei Problemen aus der Praxis merken, dass sie noch tiefer in bestimmte Themen eindringenmüssen, soll auf diesem Wege geholfen werden.

Technische Mechanik ist immer auch sehr viel Mathematik. Auch hier versuchen wir zu trennen:Was zum unmittelbaren Verständnis beiträgt, findet sich im Buch, und auf der Internet-Site „Ma-thematik für die Technische Mechanik“ werden die mathematischen Grundlagen, Ergänzungenund Vertiefungen im Sinne der Ingenieur-Mathematik behandelt.

Die Mechanik ist die Lehre von der Bewegung, die leider nach wie vor auf dem Papier nursehr schwierig demonstriert werden kann. Deshalb finden sich zu fast allen Mechanismen, diein diesem Buch beschrieben werden, die passenden Animationen im Internet. Damit wird dieVorstellung der Bewegung erleichtert, die mathematisch zu formulierenden Bewegungsgesetze,Diagramme und Differenzialbeziehungen vereinfachen sich dadurch allerdings nicht.

Weil es inzwischen durchaus sinnvoll ist, auch das Smartphone neben dem Lehrbuch liegen zuhaben, findet man von den 215 Internet-Verweisen nun 151 auch als QR-Codes (wir akzeptie-ren die Abneigung, Adressen über die Tastatur einzugeben). Einen kompakten Überblick allerInternetangebote findet man unter facebook.com/TechnischeMechanik (QR-Code auf Seite X).

Die im Vorwort übliche Danksagung kann auch für diese Auflage kurz ausfallen. Der Inhaltentstammt unseren eigenen Vorlesungen, wir haben Text und Zeichnungen eigenhändig in denComputer gebracht, jede Internetseite selbst erzeugt und jede Programmzeile der bereitgestelltenProgramme selbst geschrieben. Bleibt eigentlich nur ein herzlicher Dank an die Studenten unddie Fachkollegen, die sich mit zahlreichen Hinweisen zu den früheren Auflagen geäußert haben,und an Herrn Thomas Zipsner vom Verlag Springer Vieweg für sein Engagement, dass das Buchin dieser Form erscheinen kann.

Jesteburg, Herbst 2012 Helga und Jürgen DankertE-Mail: D@nkert.de

http://www.TM-interaktiv.dehttp://www.TM-Mathe.dehttp://www.TM-Mathe.dehttp://www.facebook.com/TechnischeMechanik

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WWW - Internet-Service zum Buch - WWW

Dieser Service bezieht sich auf die Auflagen 5 bis 7. Für Leser älterer Auflagenwird auf den Link im Menü oben rechts verwiesen. Man kann die passendenErgänzungen (inhaltliche Vertiefungen und Erweiterungen, ausführlicheRechnungen, Scripts für die Mathematik-Programme, Animationen, . . .) auf zweiWegen finden:

• Über die Seitennummer in der 5. bis 7. Auflage kommt man direkt zu derpassenden Internet-Seite:

• Über ein geeignetes Stichwort wird man zu der passenden Seite odereventuell zu einer weiteren Auswahl geführt:

Über die Menüangebote oben links erreicht man zusätzliche Internet-Serviceszum Lehrbuch: „Interaktive Lösung von Aufgaben“, „Mathematik für dieTechnische Mechanik“, „Ergänzungen, Vertiefungen“ und die Lösungen derÜbungsaufgaben aus dem Buch.

Bewegungssimulationen, auf die imBuch verwiesen wird, findet man überdiesen Link:

Animationen

Über folgende Links findet manAufgabensammlungen ...

Für Studenten, die sich auf eine Klausur vorbereiten, gibt es eine Sammlung von 147 Aufgaben, die die Autoren des Lehrbuchsihren eigenen Studenten zugemutet haben, es sind also typische Klausuraufgaben für die ...

Die Internet-Site www.TM-aktuell.deist die zentrale Drehscheibe für alle Online-Services zu diesem Buch. DerBildschirm-Schnappschuss der Homepage zeigt die wichtigsten Links:• Ein Verteiler verzweigt direkt über die Seitennummer im Buch zu der zugehörigen Inter-

netseite (in der Regel wird im Buch darauf verwiesen, dass eine solche Seite existiert).

• Man kann auch über einfache Stichwortsuche zu den entsprechenden Seiten kommen.

• Die kleine Animation am rechten Rand führt zu bewegten Bildern von Mechanismen, diesich in der Papierversion des Buches leider (noch) nicht bewegen können.

• Darunter findet man die Links zu den drei ergänzenden Aufgabensammlungen.

• Es gibt "ganz typische Klausuraufgaben": Mit der Lösung der Aufgaben muss der Studentnachweisen können, die wesentlichen Probleme verstanden zu haben (Aufgaben dürfen nicht

http://www.TM-aktuell.dehttp://www.TM-aktuell.de

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m WWW - Internet-Service zum Buch - WWW mzu leicht sein), andererseits müssen sie unter Klausurbedingungen erledigt werden können(sie dürfen auch nicht zu schwierig sein). Deshalb werden im unteren Teil der HomepageLinks zu solchen Aufgaben angeboten.

In der oberen Menüleiste findet man u. a. Links zu weiteren Online-Services zu diesem Buch:

• Die Homepages von TM-Interaktiv und TM-Mathe werden nachfolgend vorgestellt.

• Unter „Ergänzungen, Vertiefungen“ findet man Erweiterungen zu dem im Buch behandeltenStoff, zusätzlich werden Themen behandelt, die im Buch keinen Platz gefunden haben.

• Unter „Lösungen der Aufgaben“ findet man alle Ergebnisse zu den Übungsaufgaben, die imBuch am Ende der einzelnen Kapitel zusammengestellt wurden.

Die Internet-Site www.TM-interaktiv.de(nebenstehend sieht man die Homepage) bietet die Möglichkeit, typischeAufgaben der Technischen Mechanik interaktiv zu lösen. Dieser Bereich isterheblich erweitert worden, was dem Grundanliegen dieses Lehrbuchs inhohem Maße entspricht:

Der Lernende soll möglichst seine Zeit dem Studium des Grundlagenwissens und der Problem-analyse der wahrlich nicht immer leichten Aufgaben widmen können und vom Ballast des Trai-nierens von Lösungsalgorithmen befreit werden. Deshalb findet man in den Internetergänzun-gen viele Beispiele mit detaillierten Hinweisen zur Nutzung leistungsfähiger Software-Produkte(Matlab, Maple, Derive, Excel, ...). Das hat sich nicht geändert.

Aber nun können fast alle mit Computerunterstützung zu lösenden Probleme auch interaktiverledigt werden. Ein vielfach (nicht ganz zu Unrecht) skeptisch gesehener Download einer Soft-ware ist nicht erforderlich. Alle unter www.TM-interaktiv.de verfügbaren Programmen könneninteraktiv direkt aus dem Browser bedient werden.

Die verfügbaren Programme können grob in zwei Gruppen unterteilt werden:

• Die eher der Ingenieurmathematik zuzuordnenden Programme (Lösen von Gleichungssys-temen, Matrizeneigenwertproblemen, Funktionsanalyse, numerische Integration von An-fangswertproblemen, ...) sollten benutzt werden, wenn ein Problem der Technischen Mecha-nik analysiert und in ein mathematisches Modell überführt worden ist, das man mit Compu-terunterstützung lösen sollte.

• Die Programme, denen man das Mechanikproblem interaktiv beschreibt, sollten der Nach-rechnung und Bestätigung eigener Lösungen dienen (Flächenschwerpunkte, Flächenträg-heitsmomente, Fachwerke, Biegeträger, Rahmen, ...).

http://www.TM-interaktiv.dehttp://www.TM-Mathe.dehttp://www.TM-interaktiv.dehttp://www.TM-interaktiv.de

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m WWW - Internet-Service zum Buch - WWW m

Dies ist ein Service zum Buch „Dankert/Dankert: Technische Mechanik“. Es sind Angebote, Grundaufgaben derTechnischen Mechanik direkt interaktiv zu lösen (Maus auf ein Bildchen legen, um genauere Informationen zu erhalten).

Flächenschwerpunkte Flächenschwerpunkte für Polygonflächen Gleichungssystem, Matrixinversion

Gleichungssystem mit Bandmatrix Überbestimmtes Gleichungssystem Cholesky-Verfahren

2 31100 250 250 400 100

2000N 4000N

20 50

Statisch bestimmte ebene Fachwerke Starrkörpersysteme als Fachwerke Gerade Biegeträger

121

Flächenträgheitsmomente Flächenträgheitsmomente (Polygonflächen) Statisch unbestimmte Fachwerke

Biege- und dehnsteife ebene Rahmen Elastisch gebettete Biegeträger Symm. Matrizeneigenwertproblem

Funktionen analysieren Anfangswertprobleme (numerisch) Ausgleichspolynom

Wenn Sie die grau unterlegten Angebote nutzen wollen, muss aufIhrem Computer Java installiert sein („Java Runtime Environment“JRE).

Natürliche Splines, Bézier-Splines Java kann kostenlos bezogen werden von http://www.java.com.

http://www.java.com

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WWW - Internet-Service zum Buch - WWW

Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, denn in ihr zeitigt man die Früchte der Mathematik.Leonardo da Vinci

Dies ist ein Service zum Lehrbuch „Dankert/Dankert: Technische Mechanik“. Das Verständnis für die mathematischenVerfahren, die in der Technischen Mechanik verwendet werden, ist für die erfolgreiche Anwendung wichtig und hilfreich.In einem Lehrbuch der Technischen Mechanik kann auf diese Themen nur in begrenztem Umfang eingegangen werden,weil sonst leicht das Verständnis für die Probleme der Mechanik, die im Allgemeinen für sich schwierig genug sind,verlorengehen kann. Deshalb wird in dem Buch „Technische Mechanik“ an zahlreichen Stellen auf dieses Internet-Angebotverwiesen.

• Grundregeln der Matrizenrechnung• Lineare Gleichungssysteme, Matrixinversion• Matrizeneigenwertprobleme• Analyse von Funktionen• Numerische Integration• Gewöhnliche Differenzialgleichungen• Differenzenverfahren• Numerische Integration von Anfangswertproblemen• „Bugs and Traps“ in Matlab• Spaß an der Mathematik

Die hier aufgeführten Themen aus der Mathematik werdenim Sinne der Ingenieurmathematik behandelt. ImVordergrund stehen Aussagen, Anwendungsempfehlungen,Beispiele.

Herleitungen der Aussagen und Beweise wurden nur dannaufgenommen, wenn aus ihnen Vorteile für das Verständnisder Aussagen und Anwendungsempfehlungen gezogenwerden können.

Der Zugang ist auch über die Auswahl eines Stichworts ausdem folgenden Angebot möglich:

Die Internet-Site www.TM-Mathe.deerklärt auf ihrer Homepage die Ziele und Inhalte selbst. Die Themen, dieim Sinne der Ingenieurmathematik behandelt werden und auch für andereIngenieurzweige und Naturwissenschaftler interessant sein dürften, werdenin der Regel an Beispielen aus der Mechanik veranschaulicht, die mit denanderen Internetsites kommunizieren.

http://www.facebook.com/TechnischeMechanikbietet einen umfassenden Überblick über alle ergänzenden Inter-netangebote, die zum Lehrbuch „Technische Mechanik"“ exis-tieren:

http://www.TM-Mathe.dehttp://www.TM-Mathe.dehttp://www.facebook.com/TechnischeMechanikhttp://www.facebook.com/TechnischeMechanikhttp://www.facebook.com/TechnischeMechanikhttp://www.facebook.com/TechnischeMechanik/app_141273032638621

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Statik 11.1 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Axiome der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Das Schnittprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Das zentrale ebene Kraftsystem 92.1 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Äquivalenz) 173.1 Grafische Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Parallele Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Kräftepaar und Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Das Moment einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.1 Versetzungsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Analytische Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Fazit zum Thema Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Schwerpunkte 294.1 Schwerpunkte von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Linienschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Experimentelle Schwerpunktermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Flächenschwerpunkte, Computer-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5.1 Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Fläche . . . . . . . . . . . 384.5.2 Durch zwei Funktionen begrenzte Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Volumen-, Flächen- und Linienlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems 475.1 Die Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Lager und Lagerreaktionen in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Statisch bestimmte Lagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

XII Inhaltsverzeichnis

6 Ebene Systeme starrer Körper 616.1 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Stäbe und Seile als Verbindungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4 Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4.1 Statisch bestimmte Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4.2 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4.3 Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 856.4.4 Starrkörpersysteme als Fachwerke, Leichtbau . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Schnittgrößen 937.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Differenzielle Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3 Ergänzende Aussagen zu den Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Räumliche Probleme 1098.1 Zentrales Kraftsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Räumliche Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3 Allgemeines Kraftsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.3.1 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.2 Das Moment einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.3.3 Äquivalenz und Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.4 Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9 Haftung 1339.1 Coulombsches Haftungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2 Seilhaftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10 Elastische Lager 14310.1 Lineare Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2 Gleichgewicht bei steifen Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.3 Gleichgewicht bei weichen Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.4 Beurteilung der Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11 Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien 15711.1 Das Seil unter Eigengewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15811.2 Das Seil unter konstanter Linienlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Grundlagen der Festigkeitslehre 16712.1 Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Inhaltsverzeichnis XIII

12.2 Spannungen und Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.3 Der Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.4 Hookesches Gesetz, Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

13 Festigkeitsnachweis 17313.1 Belastungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2 Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17513.3 Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.4 Zeitfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13.4.1 Spannungskollektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17913.4.2 Palmgren-Miner, Gaßner-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

14 Zug und Druck 18314.1 Spannung, Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.2 Statisch unbestimmte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18614.3 Temperatureinfluss, Fehlmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18814.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15 Der Stab als finites Element 19515.1 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19515.2 Fluchtende Stabelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19615.3 Ebene Fachwerk-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20315.4 Temperaturdehnung, Anfangsdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20715.5 Physikalische und mathematische Modelle, Nutzung von FEM-Programmen . . . 21015.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16 Biegung 21516.1 Biegemoment und Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21516.2 Flächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

16.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22016.2.2 Einige wichtige Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22216.2.3 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22316.2.4 Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22416.2.5 Hauptträgheitsmomente, Hauptzentralachsen . . . . . . . . . . . . . . . 22716.2.6 Formalisierung der Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23016.2.7 Durch Polygonzüge begrenzte Flächen, beliebig berandete Flächen . . . 235

16.3 Gültigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele . . . . . . 23816.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

17 Verformungen durch Biegemomente 24917.1 Differenzialgleichung der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24917.2 Integration der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25117.3 Rand- und Übergangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25717.4 Einige einfache Biegelinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

XIV Inhaltsverzeichnis

17.5 Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26217.6 Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26817.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

18 Computer-Verfahren für Biegeprobleme 27318.1 Das Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

18.1.1 Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27418.1.2 Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 27518.1.3 Biegelinie bei veränderlicher Biegesteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 27918.1.4 Vermeiden von Übergangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28218.1.5 Einige spezielle Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

18.2 Der Biegeträger als finites Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28818.2.1 Element-Steifigkeitsmatrix für Biegeträger . . . . . . . . . . . . . . . . 28818.2.2 Element-Belastungen (Linienlasten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29318.2.3 Exakte Lösungen, Näherungslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29618.2.4 Biegesteife Rahmentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

18.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

19 Spezielle Biegeprobleme 30719.1 Schiefe Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30719.2 Der elastisch gebettete Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

19.2.1 Differenzialgleichung für den elastisch gebetteten Träger . . . . . . . . . 31219.2.2 Lösung der Differenzialgleichung der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . 31319.2.3 Lösung mit dem Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31719.2.4 Lösung mit der Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

19.3 Der gekrümmte Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32319.3.1 Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32319.3.2 Spannungen infolge Biegemoment und Normalkraft . . . . . . . . . . . 32719.3.3 Verformungen des Kreisbogenträgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33219.3.4 Numerische Berechnung der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . 338

19.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

20 Querkraftschub 34320.1 Ermittlung der Schubspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34320.2 Dünnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34920.3 Schubspannungen in Verbindungsmitteln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35420.4 Verformungen durch Querkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35620.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

21 Torsion 36121.1 Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36121.2 St.-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36621.3 St.-Venantsche Torsion dünnwandiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . 369

21.3.1 Dünnwandige geschlossene Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Inhaltsverzeichnis XV

21.3.2 Dünnwandige offene Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37621.4 Formeln für die St.-Venantsche Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38121.5 Numerische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38221.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

22 Zusammengesetzte Beanspruchung 38522.1 Modelle der Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38522.2 Der einachsige Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38722.3 Der ebene Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38922.4 Der räumliche Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39622.5 Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

22.5.1 Normalspannungs- und Schubspannungshypothese . . . . . . . . . . . . 40022.5.2 Gestaltänderungshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40122.5.3 Berechnung von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

22.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

23 Knickung 40523.1 Stabilitätsprobleme der Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40523.2 Stab-Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40623.3 Differenzialgleichung 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41423.4 Numerische Lösung von Knickproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41623.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

24 Formänderungsenergie 42124.1 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42124.2 Formänderungsenergie für Grundbeanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . 42324.3 Satz von MAXWELL und BETTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42524.4 Verfahren auf der Basis der Formänderungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . 42724.5 Statisch bestimmte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43424.6 Statisch unbestimmte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43724.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

25 Rotationssymmetrische Modelle 44525.1 Rotationssymmetrische Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44525.2 Spezielle Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45025.3 Dünnwandige Behälter (Membranspannungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45525.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

26 Kinematik des Punktes 45726.1 Geradlinige Bewegung des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

26.1.1 Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45726.1.2 Kinematische Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

26.2 Allgemeine Bewegung des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46326.2.1 Allgemeine Bewegung in einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

XVI Inhaltsverzeichnis

26.2.2 Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung . . . . . . . . 46626.2.3 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 47026.2.4 Koppelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47226.2.5 Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 47726.2.6 Allgemeine Bewegung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

26.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

27 Kinematik starrer Körper 48327.1 Die ebene Bewegung des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

27.1.1 Reine Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48327.1.2 Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48627.1.3 Der Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48827.1.4 Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

27.2 Ebene Relativbewegung eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49627.3 Bewegung des starren Körpers im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

27.3.1 Reine Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50127.3.2 Allgemeine Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50327.3.3 Relativbewegung eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

27.4 Systeme starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50627.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

28 Kinetik des Massenpunktes 51528.1 Dynamisches Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51528.2 Kräfte am Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

28.2.1 Geschwindigkeitsabhängige Bewegungswiderstände . . . . . . . . . . . 51828.2.2 Massenkraft, das Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

28.3 Lösungen für Bewegungs-Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 52528.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52528.3.2 Numerische Integration von Anfangswertproblemen . . . . . . . . . . . 52628.3.3 Schrittweiten, Fehler, Kontrollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

28.4 Integration des dynamischen Grundgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53228.4.1 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53228.4.2 Der Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53428.4.3 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

28.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

29 Kinetik starrer Körper 54129.1 Reine Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54129.2 Rotation um eine feste Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54129.3 Massenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

29.3.1 Massenträgheitsmomente einfacher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 54729.3.2 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55029.3.3 Deviationsmomente, Hauptachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

29.4 Beispiele zur Rotation um eine feste Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Inhaltsverzeichnis XVII

29.4.1 Allgemeine Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55929.4.2 Auswuchten von Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

29.5 Ebene Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56829.5.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56829.5.2 Das Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57129.5.3 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57629.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

29.6 Räumliche Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58529.6.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58529.6.2 Körperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung . . . 58829.6.3 Das Kreiselmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

29.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

30 Kinetik des Massenpunktsystems 59730.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59730.2 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

30.2.1 Der gerade zentrische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60130.2.2 Der schiefe zentrische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60530.2.3 Der exzentrische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

30.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

31 Schwingungen 61131.1 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61131.2 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

31.2.1 Schwingungen mit kleinen Ausschlägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61431.2.2 Elastische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61631.2.3 Nichtlineare Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

31.3 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62031.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

31.4.1 Schwingungen mit harmonischer Erregung der Masse . . . . . . . . . . 62331.4.2 Erregung über Feder und Dämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62631.4.3 Unwuchterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62831.4.4 Biegekritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

31.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

32 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 63332.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63332.2 Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63732.3 Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64032.4 Biegekritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64332.5 Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64432.6 Kontinuierliche Massebelegung, unendlich viele Freiheitsgrade . . . . . . . . . . 648

32.6.1 Biegeschwingungen gerader Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64832.6.2 Analytische Lösung für Träger mit konstantem Querschnitt . . . . . . . . 649

XVIII Inhaltsverzeichnis

32.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

33 Prinzipien der Mechanik 65533.1 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65533.2 Prinzip der virtuellen Arbeit für Potenzialkräfte, Stabilität des Gleichgewichts . . 65933.3 Prinzip von d’Alembert in der Fassung von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 66533.4 Lagrangesche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

33.4.1 Generalisierte Kräfte, Potenzialkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66833.4.2 Virtuelle Arbeit der Massenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66933.4.3 Lagrangesche Gleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

33.5 Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . 67633.5.1 Das Verfahren von Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67933.5.2 Randwertproblem und Variationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 68333.5.3 Verfahren von Ritz mit bereichsweise geltenden Ansatzfunktionen . . . . 68733.5.4 Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . 689

33.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

34 Methode der finiten Elemente 69534.1 Zugang zur Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69534.2 Ein- bzw. zweidimensionale FEM-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

34.2.1 Elementauswahl, Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69934.2.2 Reduktion der Elementlasten, Realisierung der Lagerung . . . . . . . . . 70134.2.3 Die Element-Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

34.3 Weitere Elementtypen, Testrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70534.3.1 Scheibenelement mit 16 Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70534.3.2 Konische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70934.3.3 St.-Venantsche Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

34.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

35 Verifizieren von Computerrechnungen 71535.1 Allgemeine Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71635.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Sachwortverzeichnis 747

QR-Codes in einem Lehrbuch ...... sind sicher noch etwas gewöhnungsbedürftig. Sie sind allerdingsnicht nur ein Zugeständnis an die junge Generation, die mit ihren„Scheibenwischer-Computern“ eine starke Abneigung gegen das Eintippenvon Adressen entwickelt hat. Sie sollen vor allen Dingen auffordern, immermal zu den vielen Ergänzungen in das Internet zu wechseln.

Lieber Leser, probieren Sie es doch gleich einmal aus mit dem hier abgebildeten QR-Code, derSie zur Internetseite „Willkommen bei der Technischen Mechanik“ führt.

http://www.tm-aktuell.de/Willkommen.html

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