Teil 1: Analysis 1, Wahrscheinlichkeiten - sharp.de · Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII –...

lehrerhandreichungFür den effizienten Einsatz im Unterricht

Teil 1: Analysis 1, Wahrscheinlichkeiten

EL-9900G SIIGrafikrechner

Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten

1

Inhaltsverzeichnis Vorwort.............................................................................................................................3

Vorbemerkungen .............................................................................................................5

Einführung in das Rechnen mit dem EL-9900..............................................................9

Wurzeln und Potenzen .................................................................................................10

Lösen von Gleichungen / LGS.....................................................................................11

Lineare Gleichungs-Systeme .......................................................................................11

Beliebige Gleichungen (1) ...........................................................................................12

Formeln auswerten .......................................................................................................14

Schaubilder von Funktionen ........................................................................................15

Kurvenscharen..............................................................................................................17

Beliebige Gleichungen (2) ...........................................................................................18

Materialien zum Lehrplan ............................................................................................20

Geraden ........................................................................................................................20

Schnittpunkte von Geraden ..................................................................................... 20 Orthogonale Geraden............................................................................................... 21 Betragsfunktionen.................................................................................................... 25 Gauß’sche Klammerfunktion .................................................................................. 25 Abschnittweise definierte Funktionen..................................................................... 25 Geradenscharen ....................................................................................................... 27 Eine Anwendung ..................................................................................................... 28

Variationen von Funktionen.........................................................................................29

Potenzfunktionen..........................................................................................................30

Ganzrationale Funktionen ............................................................................................31

Symmetrie ....................................................................................................................33

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt ................................................................34

Nullstellen ....................................................................................................................35

Vielfachheit von Nullstellen / Linearfaktorzerlegung............................................. 37 Differenzenquotient / Änderungsrate...........................................................................38

Zugang 1: Mittlere Änderungsrate .......................................................................... 38 Zugang 2: Steigung der Tangente............................................................................ 42 Zugang 3: Tangentengleichung ............................................................................... 45 Der Differenzenquotient.......................................................................................... 47 Zeichnen der Ableitungsfunktion............................................................................ 48

Tangenten und Normalen.............................................................................................50

Ableitungsregeln ..........................................................................................................51

Faktorregel............................................................................................................... 52 Summenregel ........................................................................................................... 53 Höhere Ableitungen................................................................................................. 54 Eine wichtige Anwendung ...................................................................................... 54

© 2011, Sharp Electronics (Europe) GmbH


2

Grafische Funktionsuntersuchung................................................................................55

Nullstellen................................................................................................................ 56 Extrema.................................................................................................................... 57 Wendepunkte ........................................................................................................... 58 Wertetabelle............................................................................................................. 58 Funktionenscharen................................................................................................... 59

Eine anspruchsvolle Aufgabe – komplett mit dem GTR .............................................61

Modellierung – Bestimmung eines Funktionsterms ....................................................63

Extremwerte mit Nebenbedingungen...........................................................................66

Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich ..................................................69

Regressionsgeraden......................................................................................................70

Wahrscheinlichkeiten ....................................................................................................73

Kombinatorik ...............................................................................................................73

Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung (Fakultät)...................................... 73 Anordnung ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Permutationen) ....................................................................................................... 73 Anordnung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Kombinationen - Binomialkoeffizienten n über r ................................................... 74

Binomialverteilung.......................................................................................................75

Binomialverteilung als Schaubild ........................................................................... 76 Anwendungen der Binomialverteilung ................................................................... 82

Normalverteilung .........................................................................................................84

Schlussbemerkung: ......................................................................................................88

STICHWORTVERZEICHNIS ....................................................................................89



3

Vorwort Mit dem Modell SHARP EL-9900G SII und der ROM-Version 4.1 (oder höher) steht ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) zur Verfügung, der alle für den Schuleinsatz erforderlichen Funktionen zur Verfügung stellt. Als Nachfolger des bewährten EL-9650 besitzt der EL-9900G ein verbessertes Display mit höherem Kontrast, mehr Speicher, einen schnelleren Bildaufbau, höhere Rechenleistung und einige zusätzliche Funktio-nen, die mit Einführung der ROM-Version 4.1 nochmals erweitert wurden. Das berührungsempfindliche Display des Vorgängermodells wurde durch die Wende-tastatur ersetzt, so dass man den EL-9900G mit vermindertem Funktionsumfang in der SI (grüne Tastatur) und dem vollen Umfang (blaue Tastatur) in der SII einsetzen kann. Zu beachten ist dabei, dass der Winkelmodus beim Einschalten (nach Reset) bei der grünen Tastatur auf DEG (Grad), bei der blauen Tastatur auf RAD (Bogenmaß) steht. (vergl. ; ) Für das Gerät existiert bereits neben dem Bedienerhandbuch eine Lehrerhandreichung mit Beispielen für die SI sowie ein Lehrerhandbuch, in dem insbesondere die neuen Funktionen beschrieben werden. Doch für die SII enthalten diese kaum Materialien für den direkten Unterrichtseinsatz. Diese Lücke soll durch die vorliegende „Lehrerhand-reichung für den effizienten Einsatz im Unterricht“ in 3 Teilen geschlossen werden. Teil 1: Analysis 1, Wahrscheinlichkeiten (kurz: Analysis 1) Teil 2: Analysis 2 Teil 3: Analytische Geometrie Die Handreichung orientiert sich zwar am Lehrplan von Baden-Württemberg für die Klassen 10 - 12, ist aber sicherlich in anderen Bundesländern ebenfalls brauchbar. Alle Beispiele sind überprüft, was aber nicht ausschließt, dass sich der eine oder andere Fehler eingeschlichen hat. Die Kolleginnen und Kollegen mögen dies verzeihen. Mir geht es darum aufzuzeigen, wie der SHARP GTR in der SII effizient eingesetzt werden kann, um die Anforderungen des Lehrplans zu erfüllen. Deshalb wird aus-schließlich die blaue Tastatur verwendet. In der Hand des Lehrers kann der GTR zusätzlich zur weitergehenden Visualisierung verwendet werden. Dazu stehen ihm optional zur Verfügung:

- Das Lehrergerät mit OHP-Display (EL-99T) - Das PC-Link-System CE-LK4 zum Austausch von Daten und Bildern mit dem PC - Die Simulationssoftware EL_9900GS2_Simulator, die bei Sharp unter

http://www.sharp.de/cps/rde/xchg/de/hs.xsl/-/html/5206.htm heruntergeladen werden kann. Diese eignet sich für den Unterrichtseinsatz, wenn ein PC mit Pro-jektor oder ein interaktives Board zur Verfügung steht. Außerdem können die An-zeigen im Display abgespeichert und so für Arbeitsblätter weiterverwendet wer-den.


http://www.sharp.de/cps/rde/xchg/de/hs.xsl/-/html/5206.htm


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Einige der vorgestellten Beispiele sind in Anlehnung an eine Arbeitshilfe des Seminars Weingarten entstanden, dem ich für die Zustimmung zur Veröffentlichung danke. Die Materialien des Seminars Weingarten sind unter www.sembs.rv.bw.schule.de/pfeiffer/gtr/ abrufbar. Weitere Beispiele, Anregungen und Arbeitsblätter finden Sie auf dem Lehrerrechner des Oberschulamts Karlsruhe, z. Zt. unter www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/material.html

Bernhard Schäffer, Mannheim


http://www.sembs.rv.bw.schule.de/pfeiffer/gtr/

http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/%7Eza242/osa/material.html


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Vorbemerkungen Die meisten Tasten des GTR sind 3-fach belegt. Neben der Hauptbelegung findet sich

eine Zweitbelegung in Gelb, die über den vorherigen Aufruf von @ erreicht wird.

Die violette Drittbelegung ist dem Alphabet und einigen Sonderzeichen vorbehalten und

wird über die violette A - Taste aufgerufen.

Beispiele:

1. Hauptbelegung: Aufruf der Funktion „integer“ (Ganzzahl) aus dem M -Menü

M B 5 (int) (Bezeichnung der Funktion)

Taste auf dem GTR

Auswahl des 1. Untermenüs

Auswahl des 2. Untermenüs

Die Auswahl kann erfolgen durch... ... Drücken der Tasten in der abgegebenen Reihenfolge:

M B (ohne A ) 5

...Drücken der M - Taste und Navigation mit den Cursor-Tasten:

M }'}}}} E

2. Zweitbelegung: Die Nullstellen eines Polynoms 3. Grades sollen bestimmt wer-den (aus dem [ der gelben Zweitbelegung) Dazu müssen gedrückt werden: @ M C 3 (Poly 3) Anstelle der 2 Tasten @ M wird die Schreibweise [ verwendet.

Nach [ kann auch mit den Cursortasten navigiert und mit E aus-gewählt werden.



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3. Drittbelegung: Alle violetten Buchstaben und Zeichen werden über die A - Taste aufgerufen. z.B.: Eingabe des Buchstabens C : A t Anstelle der 2 Tasten wird die Taste durch C beschrieben. Meist werden Ziffern und Buchstaben jedoch ohne die Tastensymbole angegeben.

Hinweise: Für Buchstabenfolgen kann über . , d.h. @ A der

ALPHA-Modus verriegelt werden (bis wieder A gedrückt wird).

Die notwendige Benutzung der @ bzw. A Taste wird im

Folgenden nicht mehr gesondert erwähnt. Tasten mit abgerundeten Ecken

finden sich auf der Haupttastatur, solche mit scharfen Ecken stellen eine

Mehrfachbelegung dar.

4. Die blaue Taste # mit den 4 Grundrechenarten ruft den Berechnungsbild-schirm auf, der oft auch HOME - Bildschirm genannt wird.

5. Anstelle der Taste X, mit der die Variable eingegeben wird, wird meist nur X bzw. T oder n angegeben.

Korrektur von Fehlbedienungen: Falsches Menü gewählt: C (Rückkehr zum HOME) oder das richtige Menü aufrufen. Fehler in der Eingabe: Die Stelle mit den Cursor-Tasten anfahren.

D löscht das Zeichen unter dem Cursor

B löscht das Zeichen links vom Cursor

C löscht die komplette Eingabe bzw. den ganzen Schirm

An der gelöschten Stelle kann nun neu eingegeben werden. (An manchen Stellen muss zuvor i gedrückt werden.) Berechnung/Zeichnung zu früh gestartet: Die Taste O bricht laufende Berech-nungen ab.



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Weitere Hinweise: Einschalten/Ausschalten Die O Taste schaltet den GTR ein, o schaltet ab. Dabei bleiben alle Ein-stellungen erhalten. Nach dem erneuten Einschalten befindet man sich wieder an der Stelle, an der man den GTR abgeschaltet hat. Kontrast Der Bildschirmkontrast kann über p A und + bzw. - geregelt wer-den. Reset Wenn der GTR Fehlfunktionen zeigt, hilft p E 1 (reset - default set).

Mit p E 2 (reset - all memory) können alle Speicher gelöscht werden (z. B. vor Klausuren). Wenn gar nichts mehr geht, so hilft nur ein Hardware-Reset: Batteriefach kurz öffnen – wieder schließen – einige Sekunden warten. Dann wird der Rechner wieder ganz normal eingeschaltet. Mit C werden alle Einstellungen und Daten gelöscht (gut für einen

Reset vor einer Klausur), mit O bleibt alles erhalten. In einigen ganz hartnäckigen Fällen, in denen dies alles nichts hilft, kann Folgendes den Rechner wieder zum Leben erwecken (Bedienungsanleitung S.29):

- Batteriefach öffnen - Reset-Knopf zwischen den Batterien (mit einem Stift, der nicht abbrechen kann)

und O gleichzeitig für einige Sekunden drücken. - Batteriefach schließen und Rechner einschalten.

Fehlermeldungen Endet eine Rechnung mit einer Fehlermeldung kann meist mit ◄►der Fehler lokali-siert werden. Immer kommt man mit C zurück. Zugriff auf das vorherige Ergebnis Über b hat man Zugriff auf das letzte berechnete Ergebnis. Der GTR ruft dies automatisch auf, wenn eine neue Berechnung nicht mit einem Wert, sondern einer Ope-ration beginnt.



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Zugriff auf die vorherigen Eingaben Über e hat man Zugriff auf die letzte Eingabe, welche nun editiert werden kann (spart viel Tipparbeit). Mehrfacher Aufruf von e ruft auch länger zurückliegende Einträge (meist) wieder auf. Minus-Zeichen Der GTR unterscheidet zwischen dem Minus-Rechenzeichen - und dem Minus-

Vorzeichen _ . Bitte beachten.

Setup Über ; können wichtige Voreinstellungen getroffen werden. A Anzeige der eingestellten Optionen B Deg / Rad / Grad C Anzeigeformat für Zahlen D Dezimalstellenzahl E Wahl des Koordinatensystems F Art der Ausgabe von Zahlen (Mixed =

gemischte Schreibweise) G Art der Eingabe (Equation = Schreibeweise wie gewohnt) H Automatisches Kürzen oder Kürzen erst nach [Simp] (im j ). Format Über f werden wichtige Voreinstellungen für die Grafik-Ausgabe getroffen. A Anzeige der eingestellten Optionen B Anzeige der Funktionsgleichung im Trace- Modus on/off C Anzeige des Wertes der 1. Ableitung im

Trace- Modus on/off D Anzeige der Koordinatenachsen on/off E Anzeige eines Rasters on/off F Einstellung der Koordinatenanzeige – rechtwinklig oder polar



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Einführung in das Rechnen mit dem EL-9900 Normales Taschenrechner - Rechnen findet auf dem HOME-Bildschirm # statt. Dabei hat der einen entscheidenden Vorteil gegenüber vielen anderen GTR: Er kann Berechnungen so darstellen, wie Schüler es von der Tafel oder Büchern her kennen. Etwas aufpassen bei der Eingabe muss man allerdings, da grundsätzlich an der Cursor-Position geschrieben wird, welche immer zu überprüfen ist. Der GTR rechnet mit Brüchen b, wobei gemischte Schreibweise bei der Eingabe

möglich ist d. Die Ausgabe erfolgt je nach Einstellung unter ; F (Answer).

Dabei ist 2 (Mixed) die weitest gehende Einstellung, weil damit auch gemischte Zahlen ausgegeben werden.

3 b 4 ' + 7 b 3 E

2 d 3 } 5 ' | 5 b 7 E

Versuchen Sie gleich einmal über e den letzten Term zurückzuholen und zu ver-ändern. Mit E wird neu berechnet. Versuchen Sie, mit dem letzten Ergebnis weiter zu rechnen: + 4 b 5 E

5 - b E

Achtung: Ohne Benutzung der Cursortasten erhält man: 3 b 7 + 4 b 3 + 1 b 2



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Wurzeln und Potenzen

Die Quadratwurzel aus 3² + 4²

+ 3 y + 4 y E Die 3. Wurzel aus 16: 3 _ 16 E

5 hoch 3: 5 a 3 E

Oder: + 18 - 3 + 7 E

+ 18 ' - 3 + 7 E

Alle Ergebnisse können unter den Variablennamen A – Z abgespeichert werden und später durch Verwendung des Namens verwendet werden. Es sollten aber die Variablen X, Y, T und Θ vermieden werden, da diese intern vom GTR bei einigen Funktionen verändert werden.

3.5 + 2.6 R A E

A + 3 E + A E

Mehrere Befehle oder Eingaben können durch : getrennt in einer Zeile eingegeben werden. Nur die Auswertung der letzten Eingabe wird angezeigt.

2 R A / 5 R B

/ 4 R C E

( A + B )

| C E A C + B C E



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Lösen von Gleichungen / LGS

2./3.Grades

In [ steht die Möglichkeit zur Verfügung, Gleichungen zweiten Grades ax² + bx + c = 0 bzw. dritten Grades ax3 + bx² + cx + d = 0 zu lösen. [ C (POLY) 2 bzw. 3 E

Eingabe der Koeffizienten erfolgt - wenn der Cursor auf dem Koeffizientennamen steht, gefolgt von E. Sind alle Koeffizienten eingegeben, wird die Berechnung mit h ausgelöst. Hinweis: Auch komplex-zahlige Lösungen werden angezeigt.

Lineare Gleichungs-Systeme

Solange den Schülern das Gauß-Verfahren mit Hilfe von Matrizen nicht bekannt ist, bietet der GTR eine andere Möglichkeit zur Lösung (lösbarer) Linearer Gleichungs-Systeme.

[ B (SYSTEM) n (Grad) E Die Gleichungen müssen aber in der Form aX + bY + cZ = d (n=3) gelesen werden, wobei X,Y,Z bestimmt werden. Zuerst werden a,b,c für jede Gleichung der Reihe nach mit E eingegeben... ... und die Lösung mit h abgerufen.



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Die Ergebnisse sind zur Weiterverwendung kurzzeitig unter X,Y,Z... gespeichert. Wenn man sie weiterverwenden will, empfiehlt es sich, sie umzuspeichern. (z.B. im # - Bildschirm: X RA E

Y RB E etc.). Man kann die Lösungen auch in einer Liste abspeichern und diese als Ganzes in Brüche verwandeln lassen.

{X,Y, Z} E j a_b/c E

Beliebige Gleichungen (1)

Eine Möglichkeit, beliebige Gleichungen zu lösen, bietet der '. Dieser kann drei Verfahren benutzen:

Lineare Gleichungen können direkt aufgelöst werden Newton-Verfahren grafisches Verfahren

Das Verfahren kann durch nochmaligen Aufruf von ' eingestellt werden. Der GTR kann aber auch selbst über das Verfahren bestimmen - i.d.R kommt das Newton-Verfahren zum Einsatz. Auch im ' können Brüche, Wurzeln etc. in der vertrauten Form geschrieben werden (wenn ; G 1 (Equation) eingestellt ist = Grundeinstel-lung). Der ' ist in der Bedienungsanleitung ausführlich beschrieben. Bei der Ar-beit mit Integralfunktionen oder Ableitungsfunktionen muss man die Lösung durch ein eigenes grafisches Verfahren bestimmen, welches später beschrieben wird. Dieses Ver-fahren würde ich generell bevorzugen. Für Schüler (und Lehrer) bietet dies die Mög-lichkeit, Gleichungen zu lösen, die mit normalen Methoden nicht gelöst werden können (z.B. auch nach einem Rechenfehler, der eine zunächst leicht lösbare Gleichung „unlös-bar“ macht).



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Aufgabe: Löse die Gleichung 12 x² - 5x = x + 3

Hinweis: Im SOLVER muss die Variable X durch die Taste X eingeben werden.

' (kurz warten, bis der Bildschirm leer ist oder die letzte Gleichung erscheint – diese mit C löschen - dann Gleichung eingeben.)

1 b 2 'Xy- 5

X=X++ 3 E oder h

Der GTR schlägt als Startwert die letzte Belegung von X vor. Er kann geändert werden, muss aber nicht. Mit h wird das Verfahren gestartet. Entscheidet der GTR sich nun für das Newton-Verfahren, schlägt er nochmals einen Startwert vor und eine Schrittweite. Wir übergehen dies (oder ändern ab) und geben nochmals h ein. (Oftmals hilft es, mit C einen Schritt zurück zu gehen und den Startwert neu zu definieren Wenn die Gleichung allerdings keine Lösung hat, zeigt der GTR eine Fehlermeldung an.) Der GTR liefert eine Lösung, zeigt zusätzlich die Werte der linken und der rechten Seite sowie die Differenz L-R an, um die Genauigkeit abzuschätzen. Um weitere Lösungen zu erhalten, muss der Startwert geändert werden (mit C zurück).

Es ist also sinnvoll, sich durch andere Methoden (z.B. grafische Darstellung) die unge-fähre Lage der Lösungen zu beschaffen.



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Formeln auswerten

Eine gerade in der Physik brauchbare Anwendung liefert der ', wenn Formeln ausgewertet werden sollen. Der Schüler hat z.B. einen physikalischen Ansatz korrekt in Formeln gepackt, hat aber Probleme beim Auflösen. Aufgabe: (Schiefe Ebene mit Reibung) :

Die Gleichung m·g·h + fgl·m·g·cos30° = 12 m·v² ist nach f aufzulösen. gl

Wir geben die Gleichung genau so in den SOLVER ein. (Den Gradmodus in ; B 1 auf [Deg] stellen !) Nach E fragt der SOLVER alle Unbekannten ab. Wir geben alle bis auf fgl ein und stellen den Cursor auf F.

Mit starten wir die Lösung. Bemerkungen:

- Mit C kommt man im SOLVER immer eine Ebene nach oben. - Mit erneutem Aufruf von ' kommt man im SOLVER in das Unter-

menü, in dem man die Wahl des Verfahrens selbst bestimmen kann und auch eingegebene Gleichungen abspeichern, abrufen oder umbenennen kann.

- Auch die grafische Methode hat ihren Reiz, weil man hier ein Intervall

angeben kann, in welchem die Lösung gesucht werden soll.

- Gleichungen in x können auch als Schnitt zweier Funktionsschaubilder in-terpretiert werden und (ohne SOLVER) grafisch gelöst werden.



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Schaubilder von Funktionen

Zuerst geben wir im Funktionseditor Y den Funktionsterm ein.

1 b 2 'Xy- 2

und lassen das Schaubild zeichnen: G

Den gezeichneten Ausschnitt können wir verändern.

Z A 1 (- 9) E

Auto Nach Eingabe von Xmin und Xmax in W und Aufruf dieser Option, bestimmt der GTR den optimalen y-Bereich automatisch

Box Mit den Cursor-Tasten (und E) wird erst eine Ecke, dann die andere Ecke des Ausschnitts gewählt.

In Der unter Z B (Factor) eingestellte Faktor wird verwendet.

Out Wieder zurück

Default Grundeinstellung des Rechners

Square x und y im gleichen Maßstab

Dec x – Schrittweite in Zehntel

Int x – Schrittweite 1

Stat für statistische Auswertungen

Die übrigen Einstellungen Z C – F sind für die angegebenen Funktionstypen

optimiert. G bzw. H dienen zum Speichern und Abrufen von Einstellungen. Wir wählen vorläufig die Default-Einstellung und geben noch einen zweiten Funktions-term ein.



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Dazu setzen wir den Cursor in Y auf Y2=, geben

X + 3 ein und zeichnen mit

G beide Schaubilder.

TIPP: Um das Schaubild einer eingegebenen Funktion nicht zeichnen zu lassen, müssen wir es deaktivieren. Dazu setzen wir im Y-Editor den Cursor auf das entsprechende = Zeichen und drücken E. Das = Zeichen ist danach nicht mehr dunkel hinterlegt. Genauso können wir die Funktion wieder aktivieren. Neben dem Zoom haben wir auch die Möglichkeit, mit W die Einstellungen des GRAPH-Fensters zu verändern. Die Werte der Reihe nach eingeben und mit E oder den Cursor-Tasten weiter-gehen. Xscl bzw. Yscl legen die Markierungsstriche auf den Achsen fest. Dann mit G zeichnen lassen. Mit U können nun die Schaubilder mit ;

und ' abgetastet und Werte abgelesen werden. Mit { und } wird zwischen den Schaubildern gewechselt.

ZOOM : erst Dec, dann Auto ergibt: x von -6.3 bis 6.3

Ist f C Express 1 ON geschaltet, wird der aktive Funktionsterm eingeblendet.

Bei f D Y’ 1 ON wird auch der Ableitungswert eingeblendet. Insbesondere bei Funktionen mit unbekanntem Wertebereich ist Z A 1 Auto

hilfreich. Dazu muss zunächst der gewünschte Zeichenbereich unter W eingestellt werden (Xmin und. Xmax eingeben - wenn der Curser ganz links steht, geht es am schnellsten). Dann wird Z A 1 Auto ausgewählt. Der GTR wählt den passen-den Wertebereich so, dass alle Werte auf dem Bildschirm sind. Manchmal ist es sinn-



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voll, nachträglich unter W Ymin oder Ymax anzupassen, z.B. um die x-Achse auf den Schirm zu bekommen. Warnung: Liegt im Zeichenbereich eine Polstelle, so ist Z Auto meist ungeeig-net, weil der Wertebereich zu groß wird.

Kurvenscharen

Um mehrere Schaubilder der Schar mit ft(x) = t*x² - 2 zu zeichnen, fassen wir die ge-wünschten Parameter in einer Liste zusammen. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten: a) Wir können die Liste im #-Schirm erstellen. Dazu wird sie in geschweifte Klammern durch Komma getrennt eingegeben und unter einem Listennamen z.B. L1 abgespeichert.

#{ 1 , 2

,_ 1 }

R2E b) Im S – Modus A (Edit) E können die Werte direkt in Liste 1 eingegeben werden. Dabei wird die eingegebene Zahl mit E an die unterlegte Position geschrieben. Zum Zeichnen gehen wir in den Y-Editor, löschen zunächst Y1 und Y2 mit C und geben bei Y1 der Term L1*X² - 2 ein. Über W und/oder Z können wir noch den gewünschten Bereich einstellen.

YC}C{ 1|Xy- 2

G



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Hinweise: Im Folgenden wird statt X meist nur der Buchstaben X (bzw. T, , n) verwendet. Ziffern, Rechenzeichen, Buchstaben u. ä. werden nicht durch die entsprechende Taste dargestellt. Die Verwendung von y wird nicht immer gesondert erwähnt, d.h. für

1|Xy- 2

wird oft nur L1*X² - 2 angegeben.

Beliebige Gleichungen (2)

Die grafische Lösungsmethode können wir über den Y-Editor leicht nachbilden, wobei es keine Einschränkungen für die verwendeten Funktionen gibt. Auch Integral- und Ab-leitungsfunktionen können verwendet werden. Zunächst aber ein einfaches Beispiel: Löse die Gleichung x·ex = 5. Dies heißt umformuliert: Für welches x hat die Funktion f(x) = x·ex den Wert 5? Zunächst geben wir die beiden Seiten der Gleichung x·ex = 5 getrennt in den Y-Editor ein:

Y Y1= X|@XE

} Y2= 5E

G

Falls nötig, kann zuerst der erwartete x-Bereich in W eingegeben und mit Z Auto gezeichnet werden.



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Ist der Schnittpunkt auf dem Schirm sichtbar, so wird er mit k 2 (Intsct) bestimmt. Mit dieser Methode kann jede Gleichung gelöst werden. Gibt es mehrere Schnittpunkte, so werden diese durch erneuten Aufruf von k 2 (Intsct) gefunden, sofern sie auf dem Schirm zu sehen sind. Gelegentlich findet k 2 (Intsct) den Schnittpunkt nicht, obwohl er ersichtlich vorhanden ist. Dann hilft meist das Verändern des Bildschirmausschnittes. Dies gilt entsprechend beim Auffinden von Nullstellen.



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Materialien zum Lehrplan

Geraden

Schnittpunkte von Geraden

Aufgabe: Gegeben sind die 3 Geraden durch die Gleichungen

y = - 12 x +

92 ; y =

34 x -

74 ; y = 7x + 42 .

Bestimme die Schnittpunkte. Zunächst geben wir in Y die 3 Gleichungen als Y1, Y2 und Y3 ein. Mit Z A 5 (default) oder G verschaffen wir uns einen ersten Überblick. Eine Veränderung des Ausschnittes erscheint nicht erforderlich. Im U - Modus setzen wir den Cursor links vor

den gesuchten Schnittpunkt und rufen k A 2 (Intsec) E auf. Dabei bewegen wir uns mit

; ' auf der Geraden, mit { } wechseln wir die Gerade. Nach einer Rechenpause erscheint das erste Ergebnis ( 5 / 2 ). Wiederholter Aufruf von k A 2 E liefert das nächste Ergebnis ( -5 / 7 ). Nun setzen wir den Cursor vor den dritten Schnittpunkt und rufen wieder k A 2 E auf: ( -7 / -7 )



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Hinweise: Mit Intersection wird auf dem gewählten Schaubild von links nach rechts gesucht. Befindet sich rechts der Startstelle kein Schnittpunkt mehr im Fenster, so wird vom linken Rand aus weiter gesucht. Schnittpunkte außerhalb des Fensters können so nicht gefunden werden. Bei einer Fehlbedienung kann durch O die laufende Aktion abgebrochen werden. Um den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden Y1 und Y2 zu berechnen, muss das Grad-Maß eingestellt sein: ; B 1 Deg E. Im Home-Bildschirm berechnen wir den Schnittwinkel (näherungsweise) als Betrag der Differenz der Steigungswinkel:

# C M B 1 abs( E

Zwischen die Betragsstriche geben wir die Formel ein:

| t _ 1b 2 '- t 3 b 4 | E

Orthogonale Geraden

Aufgabe: Gesucht ist eine Gerade, welche senkrecht zu der Geraden mit der Gleichung y = 2x + 3 steht. Zunächst definieren wir den Term 2x + 3 als Y1 und zeichnen die Gerade in der Einstel-lung Z A 5 default oder G. Y C 2 X + 3 Z A 5 default E oder G



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Die Schüler sollen nun durch Ausprobieren eine Gerade Y2 finden, die zu Y1 senkrecht steht. Viele Schüler versuchen zunächst y= –2x (+ c).

Y}_2X -1 G

Die angegebene Lösung scheint richtig zu sein. Lässt man die Schüler die „Lösung“ ins Heft zeichnen, so können sie erkennen, dass irgendetwas nicht stimmt. Aber was ? Der Grund liegt in der Tatsache, dass der GTR in der Default-Einstellung die beiden Achsen unterschiedlich skaliert. Um dies auszuschalten, ist die Einstellung Z A 5 (Square) nötig, welche beide Achsen

gleich skaliert. In dieser Einstellung können die Schüler aus-

probieren, dass die Lösung y = – x (+c) richtig sein könnte. Zur Überprüfung verschieben wir die beiden Geraden durch den Ursprung ( Y Y3 und Y4 ).

G

Die Schüler können erkennen, dass die Orthogonalität der Geraden nur von der Stei-gung abhängt.



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Um herauszufinden, wie die Punkte von Y3 bei der Drehung um 90° auf Y4 abgebildwerden, können

et wir einen Kreis einzeichnen lassen, der z.B. durch (1/2) verläuft. Zu-

erhalten wir den efehlsanfang a f den Schirm, welchen wir

le(0,0,

nächst deaktivieren wir in Y die Schaubilder von Y1 und Y2 und rufen den Home-

Bildschirm # auf. Mit d A 9 Circle EB uergänzen:

Circ 5 ) E

ach Z A 3 (In) E ist der Kreis leider erschwunden wechseln nochmals auf den Home-

Z A 7 (Dec) E.

ber die Cursor-Tasten (mit oder ohne U) rufen ir die Koordinaten der Punkte ab und erkennen, dass

ur genauen Überprüfung haben wir zwei Möglichkeiten.

aten, um zu erkennen, dass ( 1 / 2 ) und ( -2 / 1 )

Nv . WirBildschirm und rufen mit e den Circle-Befehlnochmals ab und lassen mit E zeichnen. Noch besser ist allerdings die Einstellung

Üwder Punkt ( 1 / 2 ) auf ( -2 / 1 ) gedreht wird. Z a) Wir nehmen die Wertetabelle T zu Hilfe. Blättern mit den Cursortasten liefert alle nötigen Dzusammengehören.



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Hinweis: Über y (alle Eingaben mit E bestätigen) können wir das Aussehen

urde in y der Eintrag User gewählt, so ist die

tung für

ie Schüler könnten nun in Gruppen weitere Paare orthogonaler Geraden finden und

) Wir „verraten“ den Schülern die Kreisgleichung und lassen einen Halbkreis zeichnen.

YC+ 5-

k A 2 Intsct E

k A 2 Intsct E

der Tabelle beeinflussen. Mit T kommen wir in die Tabelle zurück. Mit den Cur-sor-Tasten kann in der Tabelle navigiert werden. WTabelle zunächst leer. Durch Eingabe verschiedener XE können schnell die gewünschten Funktionswerte abgerufen und die Vermuweitere Punkte überprüft werden. Deine Vermutung über zugehörigen Steigungen aufstellen. bHierbei kann man die Probleme des GTR mit manchen Gleichungen erkennen.

XyEG



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Betragsfunktionen

Y

Y1 : M B 1 abs EX} Y2 : M B 1 abs EX-

2 G

Oder

Y M B 1 abs EM B 1 abs

EX'-1 G

Gauß’sche Klammerfunktion

x [x] ordnet jedem x die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x zu.

Y M B 5 int E (X)

Um die „senkrechten“ Linienanteile wegzubekommen, kann man unter d D (Line) E den Linientyp von Y1 auf gepunktete Linie

stellen mit 'E . Dann wird mit G neu gezeichnet. Für andere Anwendungen sollte man dies wieder zurücksetzen. Abschnittweise definierte Funktionen

Mit einem kleinen Trick kann der GTR auch solche Funktionen darstellen. Dazu multip-lizieren wir den Funktionsterm mit z.B. ( x ≥ a ), da dieser für x ≥ a den Wert 1, an-sonsten den Wert 0 hat. Die benötigten Zeichen finden sich unter M F (INEQ).



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Da die Funktion dadurch im nicht gewünschten Teil den Wert 0 annimmt, würde eine unerwünschte Linie von f(a) zu 0 mitgezeichnet.

Y (X+2)| (XM F INEQ 6 ) E

G

Um dies zu vermeiden, kann man die Linie als Punktlinie einstellen.

d D E Wir setzen den Cursor für die gewünschte Funktion auf die Punkte und bestätigen mit E Der erneute Aufruf von G bringt das gewünschte Ergebnis. Ein Beispiel: Will man die Linieneinstellung auf Punkte vermeiden, so definiert man eine Funktion Y4 = Y1 + Y2 + Y3 und deaktiviert Y1 bis Y3.



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Hinweise: Zum Deaktivieren setzt man den Cursor auf = und drückt E. Die Funktionsbezeichnungen Y1,

Y2 und Y3 findet man unter z A E. Geradenscharen

a) Geraden durch (2/1): y = tx + 1 –2t # Y G

b) y = tx – t² Beachte: entsteht durch R1E Nach einer Änderung der Liste ist ein d A 1 ClrDraw E erforderlich. Damit können noch einmal die Auswirkungen der Steigung bzw. des y- Achsenab-schnittes auf das Schaubild verdeutlicht werden: c) y = mx (m aus Liste) d) y = 2x + c (c aus Liste)



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Hinweis : Die Listenwerte können auch über S A Edit List E

eingegeben und verändert werden. Es erscheint der Listeneditor, in dem die Werte eingetragen werden. Der eingegebene Wert steht zunächst in der Fußzeile und wird mit E oder Cursortaste in die Liste übernommen. Eine Anwendung

Es ist durchaus sinnvoll, sehr früh mit Optimierungsaufgaben zu beginnen. Aufgabe: Auf der x-Achse bewegt sich ein Punkt A, auf der y-Achse ein Punkt B mit konstanter Geschwindigkeit. Zum Zeitpunkt t befindet sich A bei x = t und B bei y = 3t – 5 . Bestimme den Zeitpunkt, für den die Entfernung der beiden Punkte minimal ist. Zunächst kann man die Punkte und ihre Entfernung zu verschiedenen Zeiten zeichnen. Dies sollte an der Tafel bzw. im Heft geschehen. Es ist aber auch möglich, den GTR dafür zu verwenden. Dazu muss zunächst der benötigte Bildausschnitt ein-gestellt werden, damit gezeichnete Grafiken nicht ge-zoomt werden können. Eventuell vorhandene Funkti-onsterme sind zu löschen. Die beiden Punkte haben die Koordinaten A( t / 0 ) und B( 0 / 3t-5). Für verschiedene t muss nun die Strecke AB gezeichnet werden. Zunächst wird T mit einem Wert belegt: -1 R T E Der zum Zeichnen benötigte Befehl Draw Line befin-det sich in d A 2 E und wird im # - Bildschirm entsprechend ergänzt

Line(x1,y1,x2,y2)

Nach E schaltet der GTR auf den Grafikschirm und zeichnet die Linie.



29

Wir schalten zurück # und geben den nächsten Befehl ein. Dazu können die letzten Eingaben durch e zurückgerufen (notfalls mehrmals) und ergänzt werden. Das letzte Bild zeigt die Grafen für

T = -1, 12 , 1, 2, 3 .

Die Frage nach der kürzesten Entfernung führt über die Abstandsberechnung auf die Gleichung d = (3t - 5 - 0)² + ( 0 - t)² . Diesen Zusammenhang können wir (unter Ver-wendung der Variablen X) grafisch darstellen lassen. Wir geben die Gleichung als Y1 ein Y und wählen zunächst Z A 5 default E und dann evtl. einen pas-senden Ausschnitt. Deutlich ist das Minimum zu erkennen. Über k A 3 (Minimum) E lassen wir uns das Minimum suchen ( T = X = 1,5 ).

Variationen von Funktionen

Am Beispiel der Parabel kann gezeigt werden, welche Auswirkungen die Veränderung des Funktionsterms haben bzw. welche Änderungen vorgenommen werden müssen, um eine bestimmte Veränderung zu erzielen. Die Schüler können z.B. ausprobieren, wie der Term Y1 = X² zu verändern ist, damit

- das Schaubild um 2 nach unten verschoben wird (Y2)

- das Schaubild um 2 nach rechts verschoben wird (Y3)

- das Schaubild an der x-Achse gespiegelt wird (Y4)

- das Schaubild von Y3 an der y-Achse gespiegelt wird (Y5)

- das Schaubild von Y4 gestaucht wird (Y6)



30

Um Y2=Y1 - 2 eingeben zu können, müssen wir auf die Variable Y1 zurückgreifen. Wir setzen den Cursor also hinter Y2= und rufen z auf. Die

gesuchte Variable versteckt sich hinter A (XY) (Graph equation). Wir drücken E.

Nun wählen wir 1 (Y1) gefolgt von E. Die gewünschte Variable Y1 erscheint im Editor. Wir ergänzen - 2 . Entsprechend rufen wir die anderen Funktionsvariablen auf. Das letzte Beispiel zeigt die Wirkung der Betragsfunktion, bei der alle Teile unterhalb der x-Achse an dieser gespiegelt werden. Sind alle Funktionen definiert, ist es einfach, in Y1 einen anderen Term einzugeben und zu sehen, dass die Variationen auf dieselbe Art erfolgen. Die Auswirkungen können auch in der Wertetabelle betrachtet werden. Um z. B. die Auswirkung der Verschiebung Y3 = Y1(X-2) zu beobachten, deaktivieren wir alle Terme außer Y1 und Y3 und schalten mit T in die Wertetabellen. Dort ist zu erkennen, dass die Werte von Y3 denen von Y1 entsprechen, um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

Potenzfunktionen

Die grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktionen x xn , x R für gerade bzw.

ungerade n N können beobachtet werden.



31

a) gerade n b) ungerade n # Y

W G

Ganzrationale Funktionen

Je nach Situation kann es unterschiedlich sein, wofür man sich bei einer gegebenen Funktion interessiert. Dies kann das Verhalten für große Werte von | x | oder der Verlauf der Kurve nahe beim Ursprung sein. Dies soll am Beispiel der Funktionsgleichung

y = 140 x – x² + 5 veranschaulicht werden. 4

Y 1b 40 'Xa 4 '-Xy+ 5

Nach dieser Eingabe der Gleichung in Y stellen wir den gewünschten Definitions-

bereich in W ein (nur Xmin, Xmax eingeben) und lassen über Z A 1 (Auto)

E den Ausschnitt berechnen und zeichnen.



32

Zum Vergleich lassen wir das Schaubild von y= 140 x mit einzeichnen, welches das

gleiche Verhalten zeigt.

4

Y f G Wir löschen oder deaktivieren Y2 und lassen Y1 im Bereich –4 bis 4 zeichnen. Wj Z A 1

E

Hier lassen wir zum Vergleich das Schaubild von y = - x2 + 5 mitzeichnen.

Y f G

Dieser Term beschreibt das Verhalten um den Ursprung.



33

Symmetrie

Bei der Symmetrie ist entweder f(x) = f(-x) (Achsensymmetrie) oder f(x) = -f(-x) (Punktsymmetrie zum Ursprung) zu überprüfen. Aufgabe: Zeige numerisch und grafisch, dass das Schaubild von f(x) = - 5x4 + 3x² + 5 achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Dazu geben wir den Funktionsterm von f(x) bei Y1 und den von f(-x) bei Y2 ein. Um Y2=Y1(-X) eingeben zu können, müssen wir auf die Variable Y1 zurückgreifen. Wir setzen den Cursor also hinter Y2= und rufen auf:

z A 1 E Die gewünschte Variable Y1 erscheint im Editor. Wir ergänzen

-X .

Mit T rufen wir die Wertetabellen ab und können Y1 mit Y2 vergleichen. Für den grafischen Vergleich ist es sinnvoll, Y2 dick zu zeichnen. Wir wählen d D E (select line type). Dort stellen wir Y2 auf die fette Linienart, gefolgt von E. Nach Eingabe des gewünschten Bereichs unter W ... zeichnet der GTR mit G die beiden Schaubilder nacheinander sichtbar übereinander. Entsprechend kann die Punktsymmetrie zum Ursprung überprüft werden.



34

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Aufgabe: Überprüfe, ob das Schaubild von f(x) = x3 – 3x² punktsymmetrisch zu (1/-2) verläuft. Methode 1: Wir verschieben das Schaubild von Y1 um 1 nach links und 2 nach oben. Als Y3 definieren wir -Y2(-X). (Y1 und Y2 über z abrufen !) Y1 lassen wir normal zeichnen, Y2 gepunktet und Y3 dick (unter d D). Im entsprechenden Ausschnitt erscheinen wieder nacheinander die 3 Schaubilder, wobei Y2 und Y3 übereinander liegen. Methode 2: Wir lassen als Y2 den Mittelwert der y-Koordinaten zweier zu (1/-2) liegender allgemeiner Punkte berechnen. (Y1 über z abrufen !) In der Wertetabelle T überprüfen wir, ob sich überall der Wert –2 ergibt.



35

Nullstellen

Für die Bestimmung der Nullstellen haben wir verschiedene Möglichkeiten. 1. Die Nullstellen von Polynomen 2. und 3. Grades können exakt berechnet werden, wobei auch komplexe Lösungen ausgegeben werden. Das entsprechende Hilfsmittel

[ C 2 bzw. 3 (Poly) E. Die Koeffizienten der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 werden nacheinander eingeben (am besten, wenn der Cursor auf dem Buchstaben blinkt), gefolgt von E. Die Nullstellenberechnung wird mit h gestartet. Der GTR verwendet die Lösungsformel für Gleichungen 2. bzw. 3. Grades. 2. Das Schaubild der zugehörigen Funktion kann gezeichnet und die Nullstellen bestimmt werden. Nach Eingabe des Terms in Y lassen wir

zunächst mit W und G einen passenden Ausschnitt zeichnen. Dazu rufen wir auf: k A 5 (X_Incpt) E Der GTR liefert die Nullstelle numerisch.



36

Erneuter (mehrfacher) Aufruf von

k A 5 (X_Incpt) E liefert die nächsten Nullstellen. Hinweise: Nullstellen außerhalb des Bildschirmbereichs können so nicht gefunden werden. Die Schüler sind oft über den y-Wert ≠ 0 überrascht. Ein Hinweis auf die Rechenunge-nauigkeit ist hier erforderlich: Der Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner im Mathematik-Unterricht soll nicht nur bestimmte Rechnungen beschleunigen, sondern bietet gleichzeitig die Möglichkeit, ein Gespür für Numerik und deren Grenzen zu entwickeln. Im Gegensatz zu einer algebraischen Berechnung sind numerische Re-chenergebnisse generell mit Ungenauigkeiten behaftet. Je nach Verfahren und den zur Verfügung ste-henden Ressourcen sind die Abweichungen vom exakten Ergebnis mehr oder weniger groß, aber sie sind - im Gegensatz zu algebraischen Verfahren - immer vorhanden. Die Schüler müssen also lernen, Ergebnisse korrekt zu interpretieren. 3. Verwendung des SOLVERS Der SOLVER verwendet i.d.R. das Newton-Verfahren, erwartet also einen Startwert als erste Näherung. Deshalb sollte man sich über den Verlauf des Schaubildes bzw. die zu erwartenden Nullstellen grob im Klaren sein. Wir rufen ' auf, warten kurz und löschen die vorhandene Gleichung. Nun geben wir die zu lösende Gleichung ein. Die Angabe = 0 ist optional. Mit E geht es weiter. Der GTR schlägt den letzten gespeicherten X-Wert als Lösung vor. Wir geben unseren Vorschlag ein und starten die Berechnung mit h. Falls keine einfache lineare Gleichung (Equation) vorliegt, wechselt der Rechner zum Newton-Verfahren und will nochmals einen Startwert. Da wir diesen aber schon übergeben haben, gehen wird mit h weiter. (Wir hätten die Schrittweite noch verändern können.). Der GTR liefert sein Ergebnis, sowie eine Abschätzung der Genauigkeit (linke Seite – rechte Seite).



37

Mit C kommen wir eine Ebene zurück und können den nächsten Startwert einge-ben und das Verfahren wiederholen (jeweils mit h auslösen).

Vielfachheit von Nullstellen / Linearfaktorzerlegung

Anhand der Parabel y = x² - 4x + c mit z.B. c von 2 bis 4 und der Tatsache, dass eine quadratische Gleichung „normalerweise“ 2 Lösungen besitzt, kann gezeigt werden, wie zwei einfache Nullstellen zu einer doppelten Nullstelle werden – mit den entsprechen-den Auswirkungen auf das Schaubild. y = x² - 4x + 2 y = x² - 4x + 3 y = x² - 4x + 3,9 = (x – 1)(x – 3) (nach Zoom)

und zum Schluss: y = x² - 4x + 4

= (x – 2)² Das Aussehen einer einfachen, doppelten, dreifachen Nullstelle kann gezeigt werden:



38

Mit diesem Wissen können den Schülern Schaubilder vorgelegt werden, für die sie den Funktionsterm bestimmen und mit dem GTR überprüfen sollen. Umgekehrt können auch Terme angegeben werden. Die Schüler bestimmen die Nullstellen, skizzieren das Schaubild und überprüfen sich selbst mit dem GTR. z. B: Wie lautet der Funktionsterm (alle Nullstellen sichtbar), wenn f(1) = -1 ist ?

Differenzenquotient / Änderungsrate

Zugang 1: Mittlere Änderungsrate

Das Beispiel soll den Begriff der Änderungsrate einführen. Dabei ist hier der Grenz-übergang zur momentanen Änderungsrate zunächst absichtlich nicht thematisiert, da er für die Begriffsbildung eine zusätzliche Last wäre. Die Intervalllängen für die Berech-nung mittlerer Änderungsraten lassen sich (wie in vielen anderen Beispielen auch) so wählen, dass ein Unterschied zur momentanen Änderungsrate bei den hier gestellten Fragen unwesentlich ist. Ein GTR hilft, eine auf der Basis von mittleren Änderungsra-ten definierte Funktion (als Ersatz für die exakte Ableitungsfunktion) zu veranschauli-chen und den Ableitungsbegriff vorzubereiten. Mitunter findet man über den Wetterdienst Daten über die Niederschlagsmenge an einem bestimmten Ort in Abhängigkeit von der Zeit.

3

6

9

12

15

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit t in Stunden

Wassermenge w in Liter

Die abgebildete Kurve zeigt die Niederschlagsmenge pro Quadratmeter in Karlsruhe am 5.7.1999, gemessen ab 18 Uhr. Wann hat es an diesem Abend besonders stark geregnet?



39

In der Zeit von t1=0 bis t2=10 (in Stunden ab 18 Uhr) sind etwa 17,5 Liter Wasser nie-dergegangen.

Der durchschnittliche "Wasserstrom" (Zeitdauer

eWassermeng ) auf einen Quadratmeter war also

1,75 Liter/Stunde. Zeitweise war der Wasserstrom aber deutlich größer. Zwischen t1=2,5 und t2=3 gingen etwa 3 Liter Wasser auf einen Quadratmeter nieder. Also war der mittlere Wasserstrom 6 Liter/Stunde. Hier lassen sich Fragen anschließen, wie: Wann war der Wasserstrom am stärksten und wie lässt sich der Maximalwert bestimmen? Die Antworten findet man z.B. durch grafi-sches Differenzieren.

Die algebraische Kenntnis der Funktion würde das Berechnen der Stromstärkewerte erleichtern. Nun lässt sich die reale Kurve aber nur sehr aufwendig durch abschnittsweise Definition des Funktionsterms beschreiben. Um den Blick der Schüler auf das Wesentliche nicht dadurch zu verstellen, wird eine einfachere Regen-kurve betrachtet.

eWassermengt

Die Funktion f gebe die pro Quadratmeter niedergegangene Wassermenge (in Liter) einer theoretisch angenommenen Regenphase an.

765432 0001,00029,011,01,152,421,71,0: xxxxxxxxf , (x in Stunden) Y W G

Der Funktionsterm steht in der ersten Zeile - allerdings nicht komplett sichtbar.

Mit @ und Cursor kann zum Anfang/Ende gesprungen werden.

Tipp: Nach Eingabe eines Exponenten die Pfeiltaste nach rechts drücken.

Die Kurve zeigt die nieder geregnete Was-sermenge auf einen Quadratmeter

Hinweis: Bei diesem Funktionsterm muss darauf geachtet werden, dass alle Schüler ihn korrekt eingegeben haben. Deshalb können die Überlegungen auch an Hand eines verein-fachten Terms vorgenommen werden. Dieser könnte im Bereich 0 bis 6 lauten:

32

3

13 xxxf : , (x in Stunden).

Wir verwenden im Folgenden den ersten Term. Im # wird der Funktionswert bei x = 7 berechnet.

(Y1 aus z A 1)



40

Die im gesamten Beobachtungszeitraum ( 70 x ) niedergegangene Wassermenge beträgt also ungefähr 19,5 Liter. Wie viel Wasser ist z.B. in den Zeitspannen [4; 7], [4; 6], [4; 4,5] auf einen Quadratmeter herab- geregnet? Tipp: Durch e nach der ersten Berechnung wird die letzte Eingabezeile zurück-geholt. Dann kann z.B. die 7 durch 6 verändert werden (Pfeiltasten und D verwen-

den / i schaltet in den Einfügemodus). Berechnung mit E ausführen. Der damit verbundene mittlere Wasserstrom auf einen Quadratmeter in den Zeitspannen [4; 7], [4; 6], [4; 4,5] wird berechnet.

Alternative Eingabe:

( )f 4.1 ( )f 44.1 4 ist die mittlere Wasserstromstärke im

Zeitintervall [4; 4,1]. Sie beschreibt ungefähr, wie stark es näherungsweise zum Zeitpunkt 4x regnet. Eine noch bessere Angabe zur Regenstärke bei 4x ist vermutlich durch kleinere Wahl des Zeitintervalls [4;4+z] zu erhalten.

Ist die Befehlszeile zu lang, wird leider nicht immer alles ange-zeigt. Hier z.B. wurde (Y1 aus dem Fenster geschoben.

Zu berechnen ist jeweils z

fzf )4()4( .

Für die Zeitspanne z werden nun die Werte 0,01, 0,001 und 0,0001 eingesetzt.



41

Eine andere Möglichkeit der Annäherung an x = 4 ergibt sich, wenn man mit der Vari-ablen Z arbeitet. Der / erlaubt es, zwei Befehle in eine Zeile zu schreiben. E führt beide Befehle aus. Mit e wird der Ausdruck zurückgeholt und 0.1

R Z wird gelöscht und durch Z/10 R Z ersetzt. Nun kann durch mehrfaches E diese Zeile wiederholt abgearbeitet werden, wobei Z die Werte 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 durchläuft. Achtung: Wird dieser Schritt zu oft wiederholt, so stößt man an die Grenzen der Rechengenauigkeit! Offenbar kann die Regenstärke zum Zeitpunkt 4x mit ca. 2,3 Liter/Stunde angegeben werden.

Der mit dem Differenzenquotienten 0001,0

)()0001,0( xfxf berechnete mittlere Wasser-

strom scheint ein guter Wert für die momentane Regenstärke zum Zeitpunkt x zu sein. Viele solche Werte, über x aufgetragen, zeigen den Verlauf der Regenstärke über eine längere Phase. Y2 berechnet deshalb die mittlere Wasserstromstärke im Intervall [x;x+0,0001]. Mit G wird die gegebene Regenkurve (Y1) und die (ungefähre) Regenstromstärke (Y2) in Abhängigkeit von der Zeit gezeichnet.



42

Um nur Y2 darzustellen, setzen wir im Y-Editor den Cursor auf das Gleichheitszeichen von Y1 und drücken E. Eine veränderte W Einstellung bringt uns eine ver-größerte Darstellung der Regenstärke.

Zugang 2: Steigung der Tangente

Die Eigenschaft, dass jede Kurve lokal näherungsweise als eine Gerade angesehen wer-den kann, lässt sich mit dem GTR leicht veranschaulichen, wenn nur der Ausschnitt hinreichend vergrößert wird. Das nebenstehende Bild zeigt einen Ausschnitt des Schaubild vom f(x) = x² . Ausgehend von W (Xmin=1, Xmax=3)

und Z A1 (Auto) E wird der Cursor

im U-Modus in die Nähe von x=2 gestellt und der Ausschnitt mehrfach mit Z A3 (In) vergrößert und mit U kontrolliert. Hinweis: Bei Z A3 wird die Cursorposition als Bildmitte verwendet. Es stellt sich die Frage, wie die Gleichung der Geraden lautet, welche f(x) lokal ersetzen kann. Für den Punkt P( 2 / 4 ) ergibt sich die Gleichung y = M*( x – 2 ) + 4 , wobei M noch zu bestimmen ist. Wir definieren also neben Y1 = X² als 2. Funktion Y2 = M(x-2)+4. M kann näherungsweise durch die Steigung einer Sekante durch P und Q bestimmt werden, wobei Q ( 2 + H / f( 2 + H ) ) gewählt wird.

Mit f(x) = Y1 gilt also für M: M = Y1(2+H) - Y1(2)

H . Der Wert von M ist umso besser, je

näher H bei 0 liegt. Man kann also z.B. für H den Startwert 1 verwenden und dann H immer halbieren.



43

Dazu geben wir nach # C ein:

1 R H E

H/2 R H / H

YHY )2(1)2(1 R M E

Mit diesem berechneten und gespeicherten M rufen wir nun mit Z A5 E das gemeinsame Schaubild auf. Was aber auf den ersten Blick ganz brauchbar aussieht, erweist sich in entsprechender Vergrößerung als sehr ungenau. Um das zu erkennen, passen wir das Fenster genau unseren Bedürfnissen an. Wir stellen z.B. in W die nebenstehenden Werte

ein, wählen Z A5 (Auto) E und erhalten einen geeigneten Ausschnitt. Um ein neues, besseres M zu bestimmen, schalten wir nach # zurück. Wir rufen mit

e die letzte Befehlszeile zurück und führen sie mit E aus. Nun ist das neue M berechnet. Um die neue Zeichnung zu erhalten, muss die alte zuerst gelöscht werden (ein Aufruf von G ruft nur die Zeichnung ab, da an den Funktionsgleichungen nichts geändert wurde).

d A 1 (ClrDraw) E löscht und zeichnet sofort neu. Da wir den Ausschnitt nicht verändert haben, ist sofort erkennbar, dass die Näherung besser wurde. Mit Z A 3 (In) E werden die Unterschiede wieder deutlicher. Dieses „Spielchen“ kann nun weitergetrieben werden:

#eE (Neuberechnung von M für H/2)

Gd A 1 (ClrDraw) (Neuzeichnen)

Z In (Vergrößern)



44

Man kann aber auch einige Zeichnungen überspringen. Hat man nämlich durch #eE einen neuen M-Wert berechnet, so können durch wiederholtes Drücken von E weitere Näherungswerte berechnet werden, da jedes Mal die letzte Zeile neu berechnet wird. An geeigneten Stellen kann das Schaubild betrachtet werden. Mit U kann zwischen den Schaubildern gewechselt werden. Der Unterschied zwischen den Schaubildern von f und der Näherungsgeraden wird immer geringer. Mit # e EEEE . . . können immer weitere Näherungswerte abgerufen werden, die offensichtlich gegen 4 streben. Zur Absicherung führen wir das Verfahren zumindest rechnerisch für H < 0 durch. Mit _ 1 R H EeeEE erreichen wir die ersten Näherungen von links. Mit weiteren E können wir die Annäherung an den Wert 4 beobachten. Der Übergang zur Tangente und ihrer Steigung sollte nun kein Problem mehr darstellen.



45

Zugang 3: Tangentengleichung

Weil der GTR Möglichkeiten bietet, die früher nicht zur Verfügung standen, kann man diese nutzen, um einen neuen Einstieg in ein altes Thema zu finden. Unter d A (DRAW) 5 (T_line) bietet der GTR die Möglichkeit, an einer beliebi-gen Stelle die Tangente an das Schaubild einer Funktion zeichnen zu lassen und die Tangentengleichung auszugeben. Da der Tangentenbegriff für den Schüler geometrisch kein Problem darstellt, kann man die Frage stellen, wie der GTR dies macht. Das weite-re Vorgehen entspricht dann dem zweiten Zugang, wobei die gefundene „Tangente“ ständig mit der Tangente des GTR verglichen werden kann. Y C X y

Z A 5 (Default) E

Da es mit U nicht möglich ist, den Cursor genau auf (2/4) zu setzen, greifen wir zu einem Trick:

k A1 (Value) E (X=) 2 E

Dann rufen wir auf:

d A 5 (T_line) E E

Das Zeichnen von Tangenten muss zweimal mit E bestätigt werden. (Nach dem ersten E kann mit den Cursortasten der Punkt angesteuert werden, an dem die Tangente gezeichnet werden soll.) Die Tangente wird gezeichnet und ihre Gleichung ausgegeben: Y = 4X - 4 Hinweise: Verändert man den Bildausschnitt, so wird die Tangente nicht mitgezeichnet. Erst durch erneuten Aufruf von T_line wird sie wieder eingezeichnet. Alternativ kann der Zeichenbefehl auch von # durch T_line( Y1 , 2 ) E aus-gelöst werden.



46

Die Frage, wie der GTR die Steigung dieser Geraden bestimmt, führt sicherlich bald zu der Idee, diese durch eine Sekante anzunähern, da eine Geradensteigung eigentlich nur durch zwei bekannte Punkte berechenbar ist. Diese Vorgehensweise ist als Zugang 2 ausführlich beschrieben. Zusätzlich zu der so gefundenen Sekante kann immer wieder mittels T_line(Y1,2) die Tangente mitge-zeichnet werden. Alternativ kann aber auch die Steigung 4 als Grenzwert der Sekantensteigung mit fol-gender Überlegung erkannt werden: Wir erstellen eine Liste, in der sich die Zahlen der Zahl 2 nähern. Damit berechnen wir den Differenzenquotienten und erkennen, dass dieser sich dem Wert 4 annähert. S A edit list

E Es erscheinen leere Listen (wenn nicht, den Cursor auf den Listenkopf stellen und D drücken, mit E bestätigen). Der Reihe nach geben wir die Annäherungsfolge ein. Jeder Wert wird mit E bestätigt. Liste 2 wird für die Berechnung des Differenzenquotienten verwendet. Dazu stellen wir den Cursor auf den Listenkopf L2. Nun können wir in der untersten Zeile eingeben:

( Y1 (1)- Y1 ( 2 ))= (1- 2 )E

Damit wird L2 aufgefüllt und der Grenzwert 4 ersichtlich.



47

Der Differenzenquotient

Wie schon in vorangegangenen Zugang 3 der Ableitung dargestellt, kann man den Dif-ferenzenquotienten über Folgen berechnen. Um den Schülern das Vorgehen noch besser zu verdeutlichen, wird die Methode erweitert, indem 4 Listen verwendet werden. L1 - die Annäherungsfolge mit dem Grenzwert 2. L2 - der Zähler des Differenzenquotienten f(x) – f(2) für f(x) = x2 L3 - der Nenner des Differenzenquotienten x – 2 L4 - der Differenzenquotient. L1 wird wie im letzten Kapitel beschrieben eingegeben. Als Liste 2 berechnen wir die Differenz f(x) – f(x0), indem wir den Cursor wieder auf den Listennamen L2 setzen und Y1(L1) – Y1(2) bzw. L12 – 22 eingeben: Y1 ( 1 ) – Y1 ( 2 ) E und die Differenzen werden berechnet. Liste 3:

Als Liste 4 berechnen wir die Differenzenquotienten f(x) – f(x0)

x - x0 d.h.

L2/L3: Deutlich ist zu sehen, dass sowohl Zähler, als auch Nenner gegen 0, der Bruch aber ge-gen einen festen Wert strebt. Man kann auch die Annäherung durch h0 entsprechend darstellen: L1 : h L2 : f(2+h) – f(2) L3: L2/L1



48

Es gibt noch eine andere Möglichkeit, den Differenzenquotienten zu berechnen, indem

man den Term 0

0 )()(

xx

xfxf

als Funktionsterm definiert und die Annäherung xx0 in

der Tabelle (User) beobachtet. Dazu empfiehlt es sich, Y1 für die Tabelle zu deaktivieren (Cursor auf = setzen und E ). Y'E USER erlaubt es uns,

unter T für x bis zu 6 beliebige Zahlen einzugeben. Y2 zeigt den zugehörigen Wert des Differenzenquotienten. (Mehr als 5 Nachkommastellen werden nicht angezeigt.) Zeichnen der Ableitungsfunktion

a) Für ein sehr kleines H stellt g(x) = (Y1(X + H) - Y1(X))

H eine Funktion dar, welche je-

dem x näherungsweise die Steigung der Tangente an das Schaubild von Y1 zuordnet. Y W G

Für die Eingabe von Y1(X) genügt Y1.

b) Der GTR stellt eine eigene Funktion zur Verfügung, welche nach der mathemati-

schen Schreibweise ddx Y1 heißt. Sie befindet sich unter M A 05.

Diese kann im # aufgerufen werden, um einen einzelnen Steigungswert zu berech-nen.

#M A 05 E zE A 1 E ,2)E

Man kann aber auch statt Y1 den Funktionsterm angeben.



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Die Funktion kann auch verwendet werden, um die Ableitungsfunktion zu zeichnen.

Y bei Y2= eingeben:

M A 05 EzE A 1

E)E G

Unter U können die Werte im Schaubild angezeigt oder über T betrachtet und eine Vermutung über den Term der Ableitungsfunktion aufgestellt werden. Diese Vermutung kann als Y3 eingetragen und (evtl.) dick gezeichnet werden, so dass die Übereinstimmung mit Y2 beobachtet werden kann. Hinweis (für später): Auch die 2. Ableitungsfunktion kann mit Y3= d/dx(Y2) bestimmt werden. Stellt man f C (Y‘) auf ON, so können die

Ableitungswerte auch ohne Angabe von Y1= ddx Y1 im

Trace-Modus ausgegeben werden. Um eine bestimmte Stelle zu erreichen, kann diese über

bk A1 (Value) ausgewählt werden.


50

Tangenten und Normalen

Aufgabe: Gegeben ist das Schaubild der Funktion mit der Gleichung

f(x) = 14 x³ - 2x² + 4x. Gesucht ist die Tangente im Kurvenpunkt P( 1 /

94 ).

Wie in Zugang 3 zur Ableitung beschrieben, bietet der GTR die Möglichkeit, eine Tangente schnell zeichnen und deren Gleichung angeben zu lassen.

Es können mehrere Tangenten in ein Bild eingezeichnet werden.

Nach jeder Veränderung von W / Z wird zwar das Schaubild von Y1 neu gezeichnet, die Tangente aber nicht.

Die Tangente(n) können mit d A 1 (ClrDraw) gelöscht werden. Das Funktionsschaubild wird dabei neu gezeichnet.

Die Tangente kann auch gezeichnet werden, wenn man aus dem Schaubild her-aus den Befehl d A 5 (T_line) aufruft, den Cursor auf den entsprechen-den Punkt setzt (was nicht immer gelingt) und E drückt.

Schnittpunkte von Tangente und Kurve oder zweier Tangenten können aber so nicht bestimmt werden, da die Tangentengleichung zwar angezeigt, nicht aber als Funkti-onsgleichung gespeichert ist. Für die Weiterarbeit muss also die angezeigte Tangen-tengleichung abgeschrieben und in Y eingegeben werden. Man kann aber auch die Gleichung der Tangente selbst erzeugen. Die allgemeine Tan-gentengleichung lautet y = f’(x0)*( x – x0) + f(x0) .



51

Y2= ddx (Y1,1)*(X – 1) + Y1(1)

G

In welchem weiteren Punkt schneidet diese Tangente das Schaubild von f ? Dazu stellen wir im U-Modus den Cursor vor den gesuchten Schnittpunkt und

rufen k A 2 (Intsct) auf (oder ohne TRACE mehrfach CALC). Wir erhalten S( 6 / 6 ). Hinweis: Entsprechend können Normalen bestimmt werden. Die Gleichung lautet dann

y= – 1

f'(x0) ·( x – x ) + f(x ) . 0 0

Ableitungsregeln

Am Beispiel der sin-Funktion soll gezeigt werden, wie eine Ableitungsregel durch die Schüler gefunden und vom GTR visualisiert werden kann. Zunächst werden die abzuleitende Funktion und ihre Ableitung gezeichnet. Y C

Y1= s X

Y2= M A 05 (d/dx) E zE A 1 E )

(optional) Z E 1 (Trig-sin) E



52

Die Schüler vermuten: (sin x)’ = cos x .Deshalb wird eingegeben

Y

Y3= c X und (optional) der Linientyp über d D E festgelegt: Der Aufruf von G zeichnet zunächst die sin-Funktion normal, dann die Ablei-tungsfunktion gepunktet und genau darüber die cos-Funktion fett. Damit ist die Schü-lervermutung zumindest zeichnerisch bestätigt. Eine weitere Bestätigung kann der Vergleich der Wertetabellen bringen ( T ).

Faktorregel

Vergleicht man die Ableitungsfunktionen von

f(x) = x2 und g(x) = 12 x unter T,

so erkennt man, dass diese sich um den Faktor

2

12 unterscheiden.

Die Vermutung, dass (k·f(x))’ = k·f’(x) gilt, kann an einer komplizierteren Funktion f(x) überprüft werden.



53

Y1 = x3 – 2x2 – 1

Y2 = d

dx ( 13 · Y1) Y3 =

13 ·

ddx Y1

Y1 muss nicht, Y2 wird gestrichelt und Y3 fett gezeichnet:

d D (select line type) E

G Der GTR zeichnet zuerst Y2 und (innerhalb der Zeichengenauigkeit) genau darüber Y3. T

Ein Vergleich der Wertetabellen liefert dasselbe Resultat.

Summenregel

Nach dem gleichen Verfahren visualisieren wir die Summenregel. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)



54

Höhere Ableitungen

Im Schaubild sind die Funktion f und die ersten beiden Ableitungen von f (gepunktet) dargestellt. Je nach Interessenlage kann ein Teilschaubild fett gezeichnet werden.

Im U-Modus können auch die Ableitungen abgetastet oder mit k A1 Werte

abgerufen werden. Die Schaubilder können mit {} gewechselt werden. Eine wichtige Anwendung

Bestimme die Stellen, an denen die Funktion mit f(x) = 0,01ex/x die Steigung 5 hat.

Nach Eingabe der Funktion in Y1, des Befehls ddx Y1 als Y2 und der Linie Y3=5 de-

aktiviert man Y1 und bestimmt den Schnittpunkt von Y2 und Y3 : x =8,477…



55

Grafische Funktionsuntersuchung

Aufgabe: Untersuche das Schaubild von f mit f(x) = 16 *(x – 6x –8x – 3) auf Schnitt-

punkte mit den Achsen, Extrema und Wendepunkte.

4 2

Zuerst geben wir in Y den Funktionsterm ein.

Einen ersten Überblick verschaffen wir uns über Z A5 E

Dann wählen wir einen günstigeren Ausschnitt z.B. mit

W Xmin und Xmax einstellen und Z A1 (Auto)

Es ist möglich, die gefundene Einstellung abzuspeichern: Z G 1 (StoWin) E Sie kann jederzeit mit Z H 1 (RclWin) wieder abgerufen werden. Z H 2 (PreWin) erlaubt es, die letzte verwendete Fenstereinstellung wieder zurückzurufen.



56

Nullstellen

Wir rufen k A 5 (X_Incpt) E auf. Nach kurzer Rechenzeit liefert der GTR x = -1. Erneuter Aufruf von k A 5 liefert die nächste Nullstelle x = 3. Sind die Steigungen in den Nullstellen gefragt, so können wir entweder im # den Steigungswert bestimmen lassen . . . . #M A 5 EzE

A 1 E _1)E . . . . oder wir stellen unter f die Option D auf ON. Zurück mit G und

U oder k wird nun zu jeder Stelle auch y’ angezeigt. Mit k A 1E kann die gewünschte Stelle

z.B. X= 3 E auch direkt angegeben werden.

Hinweis: Setzt man mit U den Cursor kurz vor die gesuchte Nullstelle, geht die Be-rechnung schneller.



57

Schnittpunkt mit der y-Achse Dazu rufen wir k A 6 (Y_Incpt) E

auf. . . . . . . . oder berechnen im # den Wert Y1(0) E. Extrema

Wir vermuten nur ein Minimum. Wir rufen k A 3 (Minimum) E auf. Hinweis: Die Berechnung startet von ganz links. Das gesuchte Minimum muss aber in jedem Fall auf dem Bildschirm sichtbar sein. Der GTR liefert x= 1.999999758 und y = -4.5. Eine Verbesserung dieses Wertes (genau: x = 2) ist leider nicht möglich. (Siehe hierzu auch den Hinweis auf Seite 36.) Vermuten wir weitere Extrema im (unklaren) Bereich von –2 bis 0, so vergrößern wir zunächst diesen Ausschnitt ( W G oder in U den

Cursor auf x= -1 und Z A3). Sowohl das Schaubild als auch der Aufruf von k A 3 bzw. k A 4 bringen kein Ergebnis, was uns schlussfolgern lässt, dass sich im Bereich x=-2 bis x=0 keine weiteren Extrema befinden.



58

Wendepunkte

Wir wählen zunächst wieder die alte Fenster-Einstellung: Z H 1 (RclWin) E Mit k A 7 (Inflec) E können die Wendepunkte gesucht werden. Der erste Aufruf bringt (-1/0), der zweite Aufruf

bringt (fast) ( 1 / -83 ).

Wertetabelle

Der Aufruf von T bringt eine einfache Wertetabelle. Der Aufruf von " bringt Schaubild und Wertetabelle nebeneinander, wobei das Schaubild abgetastet werden kann. Eine Wertetabelle nach eigenen Vorstellungen kann man über y erreichen. Im Auto-Modus können Startwert (TBLStrt) und Schrittweite (TBLStep) eingegeben werden.

y } -4 E .5 E

T bringt dann die gewünschte Tabelle, die mit den Cursortasten erweitert werden kann. Mit y'E (User) T entsteht eine leere Tabelle, welche nach Eingabe in der x-Spalte ( E oder } ) vom GTR in der y-Spalte mit Werten gefüllt wird.



59

Selbstverständlich können wir versuchen, die Funktionsuntersuchung auch „herkömmlich“ durchzuführen. Dazu lassen wir zunächst f’(x) und später (d.h. vorläufig noch deaktiviert) auch f’’(x) mit einzeichnen. (Man beachte die Ungenauigkeit von f ‘‘ in der Umgebung von 0) Im U-Modus setzen wir den Cursor irgendwo

links auf das Schaubild Y2 (}) der ersten Ableitung und rufen

k A 5 (X_Incpt) E

auf. Der GTR findet die Stelle –1 nicht, weil wegen der Ungenauigkeit der Steigungs-wert 0 nicht angenommen wird. Dafür findet er die Stelle 2 exakt. Ein Sprung auf Y1 (}) führt wegen der Ungenauigkeit und der Schrittweite beim Zeichnen (diese orientiert sich an den 126 Pixeln, die in der Breite zum Zeichnen zur Verfügung stehen und auf Xmax - Xmin verteilt werden) leider nicht auf den exakten y-Wert. Dieser ist besser in der Wertetabelle ablesbar. Lässt man die zweite Ableitung mit einzeichnen, so können deren Nullstellen auf die gleiche Art bestimmt werden. Allerdings stößt auch hier der GTR an seine Grenzen und liefert gelegentlich zusätzliche (falsche) Ergebnisse. Also besser: Finger davon. Hinweis: Siehe hierzu auch S. 36 über die Grenzen numerischer Verfahren. Die Schüler sollen anhand solcher Beispiele lernen, dass sich in der Numerik Fehler potenzieren, selbst bei Berechnungen mit einem Computer, es sei denn ein CAS-Verfahren wird verwendet. Eine numerisch be-rechnete Ableitung ist zwangsläufig fehlerbehaftet. Wird diese fehlerbehaftete Ableitung nochmals nume-risch abgeleitet, quadrieren sich die Fehler. Hierfür müssen die Schüler ein Bewusstsein und Gespür entwi-ckeln, damit sie sich in einem solchen Fall, in dem die zweite Ableitung ohne größeren Aufwand von Hand berechnet werden kann, für diese Variante entscheiden. Funktionenscharen

Aufgabe: Gegeben ist für t > 0 die Schar ft mit ft(x) = t2x - 127 x . 3

Bestimme die Gleichung der Kurve, auf der alle Hochpunkte der Kurvenschar liegen. Zunächst definieren L1 mit einigen Werten von t. S A E (edit List) E führt uns in den Listeneditor. Ist L1 nicht leer, so setzen wir den Cursor auf den Kopf (L1) und drücken

D und E und }.



60

Danach geben wir die Listenelemente der Reihe nach ein, gefolgt von } oder

E. Nun definieren wir die Funktionenschar

Y 1 y X – 1 b 27 ' X a 3

und lassen zeichnen Z A 5 (Default) E Wenn wir uns z.B. für die Hochpunkte interessieren, so legen wir einen anderen Zeichenbereich fest: W Mit

G können wir die Schar betrachten. Mit U und {} können wir die

einzelnen Schaubilder auswählen und mit k A 4 die Maxima bestimmen lassen. Die allgemeine Hochpunktbestimmung führt zu

H(3t / 2t2) und damit zu g(x) = 2

27 x mit x > 0.

Diesen Term verwenden wir als Y2 und lassen neu zeichnen.

3

Wir wechseln nun in den U-Modus, wählen eine

Kurve der Schar aus und lassen mit k A 2 den Schnittpunkt suchen. Der GTR zeigt, dass dieses genau auf dem Maximum der gewählten Scharkurve liegt. Gleiches gelingt mit anderen Kurven der Schar.



61

Eine anspruchsvolle Aufgabe – komplett mit dem GTR

Auch wenn die Daten nicht ganz realistisch sind:

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³+3x² Das Schaubild stellt im Bereich -2 ≤ x ≤ 4 den Querschnitt eines Kanals dar. Die sich anschließende Landfläche liegt auf der Höhe y=16. (Alle Angaben in Metern) a) Auf der rechten Landfläche soll eine Aussichtsplattform gebaut werden. In welcher Entfernung vom Kanalrand dürfte sie höchstens stehen, damit sie bei leerem Kanal jede Stelle des Kanals einsehen kann (Höhe der Plattform incl. Augenhöhe 5 m)? b) In welcher Entfernung vom Kanalrand dürfte diese Plattform höchstens stehen, da-mit man bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen kann? Lösung:

a) Nach Eingabe des Funktionsterms (1), Festlegen des Zeichenbereichs (2), und Zeichnung (ZOOM Auto) wird der Wendepunkt bestimmt (3 und 4).

1

2

3

4

Dann wird die Tangente im Wendepunkt bestimmt (DRAW T_Line) (5 und 6) und der angezeigte Funktionsterm in den y-Editor übertragen. Zusätzlich wird die Augenhöhe als weitere Funktion eingegeben (7). Der Fensterbereich wird entsprechend erweitert (8) und neu gezeichnet.

5

6



62

7

8

Mit TRACE den Cursor auf die Linie Y3=21 setzen und CALC Intsct bringt den Schnittpunkt (9). Die Plattform dürfte höchstens 0,166m vom Rand entfernt stehen.

b) Hierzu muss eine Tangente vom Tiefpunkt an das Schaubild gelegt werden.

Der Ansatz 0

0)()('

u

ufuf , umgeformt )()(' ufufu lässt sich mit dem GTR

als Schnitt von u*f‘(u) mit dem Schaubild von f(u) lösen. Wir geben deshalb

Y2=x* (Y1) ein (1) und bestimmen den Schnittpunkt (CALC Intsct) (2), las-sen dort gleich die Tangente zeichnen (DRAW T_Line) (3) und übernehmen die angezeigte Gleichung als Y3 sowie die Augenhöhe als Y4 (4). 1

2

3

4

Mit dem passenden Fenster bestim-men wir wieder den Schnittpunkt der Tangente mit der Augenhöhe. Die Plattform dürfte höchstens 0,66m vom Rang entfernt stehen



63

Modellierung – Bestimmung eines Funktionsterms

Aufgabe: Die Umrisslinie eines Modells ist durch

nebenstehende Kurve gegeben. Für

die weitere Bearbeitung muss ein Funktionsterm

erzeugt werden, der diese Linie

möglichst genau beschreibt.

1. Lösungsversuch / Regression Wir stellen eine ganzrationale Funktion 3. Grades auf, welche durch 4 typische Punkte der Linie verläuft. Mit dem Ansatz f(x) = ax3 + bx2 + cx + d erhalten wir folgende Gleichungen:

X Y Gleichung 0 0 a*0 + b*0 + c*0 +d = 0 4 2 a*43 + b*42 + c*4 + d = 2 7 4 a*73 + b*72 + c*7 + d = 4 10 4 a*103 + b*102 + c*10 + d = 4

Grundsätzlich bietet der GTR, neben der Lösung durch Matrizen, unter [ B die Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme lösen zu lassen. Leider werden dort die zu bestimmenden Variablen mit X,Y,Z,... und die Vorfaktoren mit a,b,c,... bezeichnet. Da dies beim Schüler schnell zu Verwirrung führt, ist davon abzuraten. Man kann die Schüler an dieser Stelle bereits mit der Matrizenschreibweise bekannt machen. Die erforderlichen Befehle werden in Heft 3 beschrieben. Wenn allerdings, wie hier, die Gleichungen aus Punktkoordinaten des Schaubilds ent-stehen, bietet sich eine einfache Möglichkeit an, die Gleichung zu bekommen – die Regression. Dazu werden die Punktkoordinaten in den beiden Listen L1 und L2 abgespeichert.

S E (edit list)



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Aus dem Home-Bildschirm # rufen wir S D 05 (Rg_x3) auf und erhal-ten die gesuchte Gleichung. Diese ist leider nicht abgespeichert. Um dies zu erreichen, ist es besser den vollständi-gen Befehl einzugeben.

S D 05 (Rg_x3)

(1,2,z

E'E)E Die Bildschirmausgabe ist identisch, aber in Y1 steht der gesuchte Funktionsterm, der in einem geeigneten Fenster sofort gezeichnet werden kann. Die Wertetabelle y USER zeigt die Übereinstimmung an den vorgegebenen Punkten. Legt man aber Vorgabe und Ergebnis übereinander, so sind aber doch Abweichungen zu erkennen. Es muss die Frage diskutiert werden, ob eine bessere Annäherung möglich ist.



65

2. Lösungsversuch / Regression mit mehr Punkten Wir vergrößern die Anzahl der vorgegebenen Punkte.

S E (edit list) Die Regression ergibt... ...und ist vielleicht etwas besser. Allerdings liegen die angegebenen Punkte nicht mehr genau auf der Kurve. Ein Versuch mit denselben Punkten und Rg_x4 ergibt dieses Bild: Mit einer Funktion 3. oder 4. Grades wird man keine bessere Annäherung erhalten. Ansätze höheren Grades unter Einbeziehung der Ableitungen führen aber i.d.R zu mehr Gleichungen, dass eine Lösung ohne Matrizen nicht sinnvoll ist. Hinweis: Wenn man eine Regression mit einem Polynom 4. Grades durchführt, hat man nur 4 Frei-heitsgrade. Man kann also 4 Punkte ganz genau treffen. Bei mehr vorgegebenen Punkten als Freiheits-graden sinkt mit jedem weiteren Punkt die Genauigkeit, die erreicht werden kann. Deshalb ist es in der Praxis üblich, abschnittsweise mit Polynomen zu interpolieren. Man wählt Intervalle und bestimmt für jedes Intervall ein Polynom, das die Punkte in diesem Intervall annähert und in den Grenzen in der 1. (und evt. 2.) Ableitung mit dem angrenzenden Polynom übereinstimmt.



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Extremwerte mit Nebenbedingungen

Aufgabe: Zu jedem Punkt P(u/0) mit 0<u<2 gibt es ein Rechteck, von dem 2 Seiten auf den Koordinatenachsen und eine Ecke auf dem Parabelbogens y = 4 – x2 liegen. Für welches u hat dieses Rechteck einen extremalen Umfang? Zunächst kann man sich die Aufgabenstellung veranschaulichen. Wir zeichnen in einem passenden Fenster das Schaubild von Y1= 4 – X2 . Mit etwas Aufwand ist es möglich, ein mögliches Rechteck einzuzeichnen. Dazu suchen wir über k A 1 oder mit U einen Punkt des Schaubilds. Mit

d A (DRAW) 3 (H_line) EE

lassen wir eine horizontale, mit d A (DRAW) 4 (V_line) EE

eine vertikale Linie einzeichnen. So kann das Rechteck sichtbar gemacht werden. Wir können es sogar auch noch schraffiert darstellen. Zunächst müssen wir auf den Home-Bildschirm.

# d A7 (Shade) E fordert zur Eingabe auf in der Form:

Shade(untere Grenze, obere Grenze [, Anfang, Ende]) E [optional].

Dabei können ‚untere Grenze’ und ‚obere Grenze’ auch Funktionen sein. Hinweise: Mit d erstellte Zeichnungen haben nur solange Bestand, als die Fens-

tergröße nicht neu bestimmt wird. Sie können mit d A 1 gelöscht werden. Ein

erzeugter Bildschirminhalt kann mit d F 1 abgespeichert (Bildnummer 0 – 9

eingeben und E ) bzw. mit d F 2 wieder abgerufen werden. Dabei können Bilder sogar übereinander gelegt werden.



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Als Zielfunktion ‚umfang’ = 2a+2b mit a = u und b=Y1(u) ergibt sich also: ‚umfang’(u) = 2u + Y1(u) Da der GTR Funktionen nur mit der Variablen X darstellen kann, muss die Variable u umbenannt werden. Als Zielfunktion verwenden wir also Y2(X) = 2X + Y1(X).

Y} 2 X + 2 zE A1 G

Ein kurzer Blick auf das Schaubild zeigt, dass wir einen größeren Ausschnitt wählen müssen. (Beachte: Das Rechteck ist verschwunden.)

G

Im U -Modus setzen wir den Cursor auf Y2 und starten

k A 4 (Maximum) E. Die Berechnung ergibt ein Maximum für x = u = 0,4999999 . Wir runden auf x=0,5 und erhalten somit x=0,5 mit dem Wert 8,5. Die (wenn auch hier nicht unbedingt nötige) Betrachtung der Ränder zeigt, dass sowohl für x gegen 0 also auch x gegen 2 keine größeren Werte erreicht werden können. Mit } können wir das Schaubild wechseln und, wie oben beschrieben, das maximale Rechteck einzeichnen. Im Unterricht scheiterten bisher viele praxisnahe Extremwertaufgaben an zu kompli-zierten Rechnungen oder (noch) nicht bildbaren Ableitungen. Der GTR beseitigt diese Hürde. Auf die exakte Rechnung muss zwar verzichtet werden, wir bekommen statt-dessen einen hinreichend guten Näherungswert aus dem Schaubild. Dies ist aber in der Praxis meist ausreichend und im Unterricht kann der Schwerpunkt der Aufgabe weg vom formalen Rechnen verschoben werden auf das Verstehen der Problemstellung, das Erstellen eines Modells und die Interpretation der Ergebnisse. Sicherlich kann der Wunsch nach exakten Lösungen als Motivation für die Suche nach geeigneten, forma-le Methoden dienen.



68

Aufgabe: Die Getränkedosen vieler Hersteller fassen 0,33 Liter. Sind die Dosen aus ökonomischer Sicht optimal geformt? Die Frage kann auch anders formuliert werden: Bei welchen Abmessungen hat eine Dose mit V = 0,33 (dm3) die kleinste Oberfläche, d.h. den kleinsten Materialverbrauch? Wir nehmen für die Dose modellhaft einen Zylinder an. Die Oberfläche beträgt 2·Grundfläche + Mantelfläche d.h. O = 2 r2 + 2r·h. Als Randbedingung erhalten wir V = r2 · h = 333 ( alle Maße in cm ). Ersetzen wir

also in O die Höhe h durch 333

r2 , so erhalten wir

O(r)= 2 r + 2 2

3332

r

r

= 2 r + 2 666r . Von dieser

Funktion muss das Minimum bestimmt werden. Wir verwenden wieder X als Variable. Wir erwarten einen Radius nicht größer als 5 cm und geben also in W ein: Xmin = - 1 und Xmax = 5 und rufen

Z A 1 (Auto) E auf. Das Schaubild lässt kein Minimum erkennen! Tastet man aber mit U das Schaubild ab oder

lässt mit k A3 ein Minimum suchen, so findet sich doch bei x ≈ 3,76 ein Minimum. Mit den abgelesenen Werten lässt sich ein brauchbares Fenster bestimmen. Mit G gezeichnet und mit

k A 3 das Minimum bestimmt ergibt sich wieder:



69

Bei einem Radius von 3,756 cm ist der Materialverbrauch minimal. Die Höhe müsste

dann 333

r2 =7,51 cm betragen.

Eine reale Dose hat einen Radius von 3,25 cm, was einen Mehrverbrauch von 5,33 cm2 pro Dose (ca. 2%) ausmacht.

Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich

Hier kann der GTR in 2 Richtungen eingesetzt werden. Den Schülern können Funktionsterme vorgelegt werden. Anhand der grafischen Dar-stellung können diese die Besonderheiten und Unterschiede herausarbeiten (wie z.B. Nullstellen, Asymptoten). Nach entsprechender Behandlung im Unterricht können die Schüler zusätzlich die Asymptoten einzeichnen. Dies geschieht entweder aus der Zeichnung heraus mit

d A 3 bzw. 4 E, setzen des Cursors mit den Pfeiltasten und E



70

oder nach Wechsel in # mit demselben Aufruf d A 3 bzw. 4 E und Eingabe der Koordinate, gefolgt von E.

Hinweise: Eine schiefe Asymptote muss als Y2 eingegeben werden. Mit d gezeichnete Linien verschwinden bei Wechsel des Fensters. Sie können

mit dA1 E gelöscht werden. Später können den Schülern Schaubilder vorgelegt werden, die sie am GTR nach-bilden sollen, indem sie den passenden Term herausfinden, eingeben und das Schau-bild erstellen lassen.

Regressionsgeraden

Im Physikunterricht z.B. liegen oft Messdaten vor, die auf einen linearen oder gar pro-portionalen Zusammenhang zweier Größen hinweisen. Diesen Zusammenhang zu fin-den bzw. zu überprüfen kann mit Hilfe des GTR geschehen, indem eine Funktion ge-sucht wird, durch welche die Daten approximiert werden. Diese Funktion wird i.d.R. so gewählt, dass die Abweichungen der Messwerte vom Funktionsschaubild nach ei-nem bestimmten Verfahren minimiert werden (Regression). Aufgabe: Prüfe, ob ein linearer Zusammenhang bestehen könnte: x 1 2 5 7 8 y 3,3 5,9 12,8 18 20,3 Zunächst werden die Daten in zwei Listen L1 und L2 eingegeben. Dies kann im #-Bildschirm oder im Listeneditor geschehen.

# { 1, 2, 5, 7, 8 }

R1E

{ 3.3 , 5.9 , 12.8 , 18 , 20.3 } R2E



71

oder:

S A E (edit list) und Daten eingeben. Hinweis: Eine Liste wird gelöscht, indem man den Cursor auf den Listennamen setzt und D E drückt. Zunächst betrachten wir uns das Schaubild: Wir rufen [

A (PLOT 1) E auf und stellen wie gezeigt ein:

PLOT 1 on mit Cursor und E

DATA XY mit Cursor und E

ListX: L1 (ist voreingestellt) ListY: L2 (ist voreingestellt)

Der Schaubildtyp ist auf Punktdarstellung voreingestellt und muss nicht geändert wer-den. Zur besseren Sichtbarkeit der Punkte kann man z.B. kleine Kreuze wählen: Dazu stellen wir den Cursor auf das G von GRAPH und rufen wir nochmals [ auf. Damit erscheint das Auswahlmenu für die verschiedenen Typen. Wir wählen G S.D (=Streudiagramm) und eine der Punktformen

(z.B. 2 Scattr +) E. Der GTR schaltet zurück. Nun formatieren wir die Grafik mit

Z A9 (Stat) E. Dabei wird das Fenster automatisch so eingestellt, dass alle Datenpunkte sichtbar wer-den.



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Leider ist die Darstellung nicht immer optimal. Deshalb kann man auch die Fenstereinstellung unter W anhand der vorgegebenen Punkte selbst

einstellen und das Schaubild mit G aufrufen. Hinweis: Sind im Y-Editor Funktionen aktiviert bzw. weitere Statistik-Plots auf ON geschaltet, so werden diese mitgezeichnet. Da dies hier nicht sinnvoll ist, müssen diese deaktiviert werden. Zur Berechnung der Regressionsgeraden wechseln wir zunächst nach # zurück. Unter

S D (REG) 02 (Rg_ax+b) E rufen wir den Befehl auf den Schirm und ergänzen:

{1,2,z

A E 1 E }E (d.h. in L1 stehen die x, in L2 die y; die Geradengleichung wird unter Y1 abgespeichert – andere Wahlen sind möglich) Der GTR gibt als Ergebnis a und b, sowie eine Restabschätzung r bzw. r2 aus. Da der Term ax+b nun unter Y1 abgespeichert ist (ein evtl. vorhandener Term wurde überschrieben) können nun mit G Datenpunkte und Regressionsgerade (notfalls Y1 wieder aktivieren) gemeinsam betrachtet werden. Im U-Modus können die Punkte bzw. das Schaubild abgetastet und zwischen ih-nen umgeschaltet werden. Leider kann eine Ursprungsgerade nicht erzwungen werden.



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Wahrscheinlichkeiten

Kombinatorik

Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung (Fakultät)

Anordnung ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Permu-

tationen)

Wie viele 5-stellige Zahlen können aus 7 verschiedenen Ziffern gebildet werden? Lösung a) Es gibt 7 6 5 4 3 = 2520 solche Zahlen

Lösung b) Es gibt )!(

!

kn

n

=

!2

!7 = 2520 solche Zahlen.

7 M C 5 Eb 2 M C 5

EE Lösung c)

7 M C 3 (nPr) E 5 E Hinweis: Auch für nPr ist bei n=69 Schluss. Abhilfe schafft ab ROM-Version 4.1 ein kleines Programm:

P A EXEC 02 (nPr)

finden wir unter M C (PROB) 5 (!) . Zur Berechnung von 12! Geben wir im Home-Bildschirm ein:

12 M C5 EE Hinweis: Die Fakultät kann für ganze Zahlen von 0 bis 69 berechnet werden.



74

Nach Aufruf des Programms und Eingabe von n E und r E wird nPr berechnet und unter der Variablen P abgespeichert. Damit sind die Grenzen für n hinausgeschoben, soweit das Ergebnis kleiner als 10100 ist. Warnung: Ist das Ergebnis zu groß, wird eine Feh-lermeldung des Systems ausgegeben. Diese ist mit C zu verlassen. „Goto error“ springt nämlich in den Programmcode, welcher nun verändert werden kann (auch unabsichtlich). Dann kann es zu Fehlfunk-tionen des Programms kommen. Erst durch Rückset-zen des Rechners ( pE2 ) funktio-niert es wieder richtig. Programme grundsätzlich mit C verlassen. Anordnung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Kombinationen - Binomialkoeffizienten n über r

Der Befehl zur Berechnung von lautet nCr und findet sich ebenfalls im PROB-

Teil des M-Menus. Ausgehend vom #-Bildschirm gibt man zur Berechnung

von ein:

r

n

5

7

7 M C 4 (nCr) 5 E

Auch hier kann für n > 69 auf ein kleines Programm zurückgegriffen werden.

P A EXEC 01 (nCr)



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Nach Aufruf des Programms und Eingabe von n E und r E wird nCr berechnet und unter der Variablen C abgespeichert. Beachten Sie die Warnung im vorigen Absatz.

Binomialverteilung

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit Bn;p(k) erfolgt nach der Formel von Bernoulli

P( X = k ) =

k

n · pk · (1 - p)n-k und kann natürlich auch so eingegeben werden:

Für n = 7 und p = 0,3 erhält man also P( X = 5 ) ausgehend vom #-Bildschirm durch

7 M C 4 (nCr) 5 | 0.3 a 5 ' | 0.7 a 2 E

Da diese Berechnung häufig benötigt wird, ist sie im GTR durch einen einzigen Befehl aufrufbar. Dieser befindet sich im S -Menu.

Ausgehend vom #-Bildschirm erzeugt

S F (DISTRI) 10 (pdfbin) den unvollständigen Ausdruck pdfbin( , den wir ergänzen durch

7 , 0.3 , 5 ) E. Neben den Einzelwahrscheinlichkeiten P( X = k ) sind auch die Summenwahrschein-lichkeiten P ( X k ) aufrufbar. Der Befehl lautet cdfbin , wobei c für „cumuliert“ steht.



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Aufgabe: Berechne für n=20 und p=0,3

a) die Wahrscheinlichkeit P(X 5) S F (DISTRI) 11 (cdfbin) ergänzt durch

20 , 0.3 , 5 ) E. b) die Wahrscheinlichkeit P( X > 5)

P( X > 5) = 1 – P ( X 5) d.h. 1 – b bzw. 1 – cdfbin(20,0.3,5)

c) die Wahrscheinlichkeit P( 4 X 7)

P( 4 X 7) = P(X 7) – P( 3) = cdfbin(20,0.3,7) - cdfbin(20,0.3,3)

Binomialverteilung als Schaubild

a) einer Funktion

Grundsätzlich lassen sich pdfbin und cdfbin auch als Funktionen verwenden. Dabei muss – je nach Anwendung - berücksichtigt werden, dass diese Befehle nur für ganzzahlige n definiert sind. Die Funktion Y1=pdfbin(20,0.3,X) liefert zwar kein Schaubild, allerdings ist es mög-lich, Werte in einer Wertetabelle für ganzzahlige x abzulesen, da dabei je nach den Einstellungen unter TblSet nur ganzzahlige Werte für x eingesetzt werden. YS F (DISTRI) 10 (pdfbin)

20 , 0.3 , X ) E

T



77

Ein Schaubild wird erst gezeichnet, wenn man das Argument X ganzzahlig macht. Dies gelingt durch

int(X) in M B 5 .

Mit einem passenden W erhält man ein Schaubild. Nicht jeder wird mit der Darstellung zufrieden sein, weil die gezeichneten Werte nicht mittig über den ganzzahligen X sitzen, sondern dazwischen. Um die gewohnte Darstellung zu erhalten können wir

a) das Schaubild einfach um 0,5 nach links verschieben (X+0.5 statt X) b) statt int(X) den Aufruf round(X,0) verwenden ( M B 2)

Nicht besonders schön, aber möglich sind mehrere Verteilungen in einem Bild ( p= 0,3 – 0,5 – 0,7 ):



78

b) einer Folge Wem diese Darstellung nicht gefällt, der kann auf Folgen zurückgreifen: Für die Darstellung von Folgen muss der GTR mit

; E (COORD) 4 (Seq) in den Folgenmodus geschaltet werden. Der Y -Editor bekommt nun eine andere Form. Unter u(n) kann der Term einer Folge eingegeben werden, wobei die Variable n durch die Taste X erzeugt wird. Zunächst steht der Cursor hinter dem = von u(n). Wir geben ein:

S F 10 (pdfbin) E 20 , 0.3, X)E

Nun steht der Cursor am Beginn der Zeile u(nMin)= Hier ist, wie normalerweise nur bei rekursiven Folgen, die Eingabe eines Startwertes erforderlich. Dieser wird vom GTR automatisch in {} gesetzt. Wir können im Home-Bildschirm den Wert berechnen oder ihn in unserem Fall näherungsweise auf 0 setzen.

0 E Falls gewünscht, können zwei weitere Folgen v(n) und w(n) definiert werden. Nun muss W (Seq) passend eingestellt werden. Alle Werte können eingegeben werden, wenn der Cursor am Beginn der Zeile steht, und werden mit E übernommen. nMin und nMax bestimmen den Definitionsbereich der Folgen für die Berechnung. PlotStart kann nicht auf 0 gesetzt werden; der Plot beginnt aber bereits bei n-1, so dass die Eingabe 1 aus-reicht.



79

PlotStep = 1 bedeutet, dass alle Folgenglieder ge-zeichnet werden. Xmin und Xmax geben den Bereich an, der auf dem Schirm dargestellt wird. Xscl gibt den Strichabstand auf der x-Achse an. Für die weiteren Einstellungen muss nach unten gescrollt werden. Ymin und Ymax geben den gezeichneten Wertebe-reich an. Yscl gibt den Strichabstand auf der y-Achse an. Mit G wird das Schaubild gezeichnet. Unter d D (LINE) E kann man den Line-Typ auf Punkte schalten. Im U-Modus kann die Folge abgetastet werden.

Unter T können

die Folgeglieder eingesehen werden.

Der Aufruf von " ermöglicht die kombinierte Darstellung, wobei mit den Cursortasten abgetastet werden kann. Durch die Möglichkeit, bis zu drei Folgen gleichzeitig darzustellen, können nun Ver-teilungen verglichen werden. Mit d D (LINE) E können verschiedene Linienarten ausgewählt werden. Damit kann sichtbar gemacht werden, wie sich die Verteilung bei Veränderung von n bzw. p verändert. So kann man feststellen,

dass die Lage des Maximums mit dem Erwartungswert der Binomialverteilung übereinstimmt,

dass bei steigendem n und gleichem p die Verteilung breiter und flacher wird, dass zu einer breiteren Kurve eine größere Varianz gehört.



80

Insbesondere aber wird auffallen, dass die Verteilungen alle im Prinzip die gleiche Form haben. Die führt uns zur Normalverteilung. Diese ist auch deshalb nötig, weil für große Werte von n der GTR die Binomialverteilung nicht mehr oder zumindest nur noch ungenau berechnen kann. Je nach p kann das bereits ab n = 77 (p=0,95) oder erst für n > 300 (p=0,5) sein.

c) als Histogramm Es ist auch möglich, wenn auch etwas umständlich, ein schönes Histogramm der Bi-nomialverteilung zu erzeugen. Dazu müssen zwei Listen erstellt werden. L1 enthält alle k, Liste zwei die Wahrscheinlichkeiten. Im Beispiel wird wieder n=20 und p=0,3 verwendet. Zunächst erzeugen wir eine Liste, welche alle Zahlen von 0 bis 20 enthält. Am schnellsten geht dies im Rechenbildschirm # mit

L A (OPE) 5 (seq) E gefolgt von

X , 0 , 20 ) E Diese Liste speichern wir als L1. R1E Man kann die Abspeicherung auch ohne Ausgabe der Zwischenergebnisse durchfüh-ren. Alternativ kann man unter S A (EDIT) L1 mit den Zahlen füllen. Nun erzeugen wir L2 als Liste der Wahrscheinlichkeiten.

S F 10 (pdfbin) E 20 , 0.3 , 1 ) E Diese Liste wird nach L2 gespeichert.

R2E Nun kann man die Zuordnung L1 L2 mit [ als Histogramm darstellen lassen.



81

Nach Anwahl von

[ A (Plot1) E wählen wir die Einstellungen PLOT1 on

DATA X ListX: L1 Freq: L2 (alles mit E bestätigen)

Der richtige Graph-Typ wird automatisch gewählt. Wichtig sind die richtigen W-Einstellungen. G zeichnet das Histogramm. Bemerkungen:

Im Y -Editor aktivierte Funktionen werden mitgezeichnet.

Im U -Modus kann die Verteilung abgetastet werden.

Da unter [ drei Plots definiert werden können, kann man auf die beschrie-bene Weise drei Schaubilder erzeugen, die übereinander gelegt werden, wenn sie auf on geschaltet sind.

Die Daten können unter S A (Edit List) E eingesehen werden.

Die statistischen Plots müssen wieder abgeschaltet werden : [ E 2 (PlotOFF) E



82

Anwendungen der Binomialverteilung

A) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Näheres siehe oben)

- P(X=10) = pdfbin(n,p,10) - P(X10) = cdfbin(n,p,10) - P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 - cdfbin(n,p,10) - P( 4 X 7) = P(X7) - P(X3) = cdfbin(n,p,7)- cdfbin(n,p,3)

B) Stichprobenumfang n bestimmen

Aufgabe: In einer Schule haben 12% der Schüler einen Migrationshintergrund. Wie viele Schüler dieser Schule muss man mindestens befragen, damit mit min-destens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens a) einer b) fünf davon Migrationshintergrund haben. Lösung: Die Anzahl X der Schüler mit Migrationshintergrund ist binomialverteilt mit p=0,12. N ist gesucht.

a) P(X≥1) = 1 – P(X=0) ≥ 0,95 d.h. P(X=0) ≤ 0,05 Wir stellen die Funktion Y1=pdfbin(X, 0.12, 0) auf und schauen die Tabelle an. Wir finden ab n=24 eine Wahrscheinlichkeit klei-ner als 5%. b) P(X≥5) = 1 – P(X≤4) ≥ 0,95 d.h. P(X≤4) ≤ 0,05 Wir verwenden die aufsummierten Wahrschein-lichkeiten Y1 = cdfbin(X,0.12,4). Die Bedingung ist ab n=74 erfüllt.



83

C) Trefferwahrscheinlichkeit p bestimmen

Aufgabe: In einer Bauteilreihe elektronischer Bauteile hat jedes Bauteil eine Ausfallwahrscheinlichkeit p. Wie groß darf diese höchstens sein, damit mit ei-ner Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% in einer Lieferung von 200 Bautei-len höchstens 20 ausfallen. Lösung: Die Zufallsvariable X für die Anzahl der ausfallenden Bauteile ist bi-nomialverteilt mit n=200 und unbekannten p. Es soll gelten: P(X≤20) ≥ 0,75 Wir verwenden die Funktion Y1 = cdfbin(200,X,20) Achtung: X steht nun für die Wahrscheinlich-keit p. Die Tabelle bringt uns nicht weiter. Wir lassen lieber zeichnen und zeichnen die Gerade Y2=0,75 mit ein. Mit dem passenden W erhält man die Lö-sung als Schnitt der beiden Schaubilder. k A 2 (Intsct) liefert X = p = 8,93%.

C) Ein Test In einer Firma besuchten bisher höchstens 36% der Belegschaft regelmäßig die Kantine zum Mittagessen. Nach einer Qualitätsoffensive für gesünderes Essen besteht die Vermutung, dass sich der Anteil vergrößert hat. An einem zufällig ausgewählten Tag soll festgestellt werden, wie viele der 200 Belegschaftsmitglieder die Kantine besuchen. a) Wenn mindestens 85 Belegschaftsmitglieder die Kantine besuchen, so geht man davon aus, dass sich der Anteil vergrößert hat. Wie groß ist die Wahr-scheinlichkeit, dass man sich dennoch irrt? b) Wie viele Belegschaftsmitglieder müssen an diesem Tag die Kantine besu-chen, dass man sich mit höchstens 5% Wahrscheinlichkeit irrt, wenn man da-von ausgeht, dass sich der Anteil der Besucher vergrößert hat? c) Bestimme den Ablehnungsbereich auf einem 2%-Signifikanzniveau.



84

Lösung: X sei die Anzahl der Besucher der Kantine. Überprüft werden soll die Alternativhypo-these H1 : p > 0,36 zur Nullhypothese H0: p ≤ 0,36. Bei wahrer Nullhypothese ist X im Extremfall binomialverteilt mit n=200 und p=0,36 . Große Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese, also haben wir es mit einem rechtsseitigen Test zu tun. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei gültiger Nullhypo-these mehr als 85 Kantinenbesucher gezählt werden, beträgt P(X≥85) = 1 – P(X≤84) = 3,38%. b) Gesucht ist die kleinste Zahl a mit P(X≥a) = 1 - P(X≤a-1) ≤ 0,05. Wir verwenden 1 – cdfbin(200, 0.36, X-1) und schau-en in der Tabelle nach. X steht hier für die Anzahl a. Wir erhalten a=84, d.h. die Nullhypothese wird abge-lehnt, wenn 84 oder mehr Besucher gezählt werden. c) Der Ablehnungsbereich beginnt bei 87.

Normalverteilung

Zunächst lässt sich feststellen, dass der GTR mit Hilfe von S F (DISTR) 01 (pdfnorm) eine Verteilung zeichnet, welche der zugehörigen Binomialverteilung sehr ähnlich ist. Im Gegensatz zur Binomialverteilung erwartet pdfnorm die Eingabe des

Erwartungswertes = n·p und der Standardabweichung = in der Form

pdfnorm(x, , ).



85

Wir vergleichen also die Binomialverteilung für n = 64 und p = 0,5 mit der Normal-

nen im Y-Editor Y eingegeben und ein passendes

... dann erst Y1 allein (Y2 deaktiviert), dann Y2 allein gezeichnet G ....

....und schließlich beide zusammen (auch als Tabelle T)

Dies kann noch an weiteren Verteilungen gezeigt werden. Manchmal ist der Unter-

ie sogenannte Gauß’sche Glockenfunktion φ ,σ(x) lässt sich numerisch integrieren:

asselbe Ergebnis liefert die GTR-Funktion telwert,

verteilung für =32 und =4. Zunächst werden beide Funktio

Fenster W eingestellt....

schied erkennbar.

D μ

20

4,32 )(x

30

Dcdfnorm(untere Grenze, obere Grenze, MitStandardabweichung), welche die Integration durch-führt ( c steht für cumulated).



86

Bemerkung: Manchmal will man das (unbestimmte) Integral von -∞ bis a berechnen.

ie der Vergleich mit der Binomialverteilung zeigt, ist es möglich, binomialverteilte

abei ist die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Form P(X = k) zwar möglich

ufgabe: Berechne für die obige Verteilung P(20 X 30)

ie Berechnung erfolgt ausgehend vom #–Bildschirm.

. Solange die Binomialverteilung mit dem GTR noch berechenbar ist:

) cdfbin(64,0.5,30) –

) (pdfbin(64,0.5,X),20,30)

Verwendung der Normalverteilung:

(pdfnorm(X,32,4),20,30)

inweis: Das Summenzeichen finden wir unter

(Term(x),a,b) =

Da der GTR dies systembedingt nicht kann, wählt man als linke Grenze z.B. -100 und kommt dem wahren Wert genau genug nahe. WWahrscheinlichkeiten auch über die Normalverteilung zu bestimmen. D(pdfnorm(k,32,4)), aber mathematisch nicht sinnvoll. Für die Praxis ist insbesondere die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten der Form P( a X b) erforderlich. Dies kann nun auf verschiedene Arten geschehen, wobei sich kleine Unterschiede im Ergebnis ergeben, welche auf die Genauigkeit des GTR, aber auch auf die Wahl des Verfahrens zurückführen lassen. A D 1 a

cdfbin(64,0.5,19)

b 2.

HM A (CALC) 08 mit der Syntax



87

3. Verwendung der cumulierten Normalverteilung cdfnorm:

F 02 E 20, 30, 32, 4 )

Das Ergebnis weicht deutlich vom erwarteten Wert ab. Die Ungenauigkeiten werden durch die Grenzen der jeweiligen Verfahren verursacht.

er korrekt. Bei einer Binomi-

Weiterhin bietet der GTR noch die Funktion InvNorm(Wert,Mittelwert,Standardabweichung)n, we he zu einer gegebenen Wahr

üF r unser Beispiel wäre dies

S

E

Für eine stetige Normalverteilung ist dieses Ergebnis abalverteilung muss nach der Näherungsformel von De Moivre-Laplace das Integrations-ntervall nach beiden Seiten um 0,5 erweitert werden. Den „richtigen“ Wert liefert alsoi

cdfnorm(19.5 , 30.5 , 32 , 4 ) .

scheinlichkeit (Wert) das k aus P(X k+0.5) be-a lc

stimmt. Beispiel: n=500 p=0,95 d.h. = 475 und = 23,75

b welchA em k ist P(X k) 0,305 ?

23.75 ' ) E

.h. k = 472.

S F 03 E 0.305, 475, +

d



88

chlussbemerkung:

er GTR stellt auch die Werte der Standard-Glockenfunktion zur Verfügung.

dfnorm(x) berechnet die sog. Normalverteilungsdichte, d.h. den Wert der Standard-auß-Funktion (x) an der Stelle x.

vNorm(x) stellt die Umkehrfunktion zu (x) dar, d.h.

eitere Beispiele und Ausführungen findet man in der LEHRERHANDREICHUNG – STOCHASTIK, SEK II“, ie ebenfalls bei SHARP bezogen werden kann.

S

D pG

cdfnorm(untere Grenze, obere Grenze) berechnet die „Summe“, d.h. das Integral der Gauß-Funktion von „untere Grenze“ bis „obere Grenze“. In

InvNorm(0.908240864) = 1.33 .

W„ d



89

TICHWORTVERZEICHNIS

A

Ableitungen 54 Ableitungsfunktion 48 Ableitungsregeln 51 Abtasten des Schaubilds 16 Alpha-Taste 6 Änderungsrate 38 Anordnung 73 Ans 7 Approximation 70 Ausschalten 7

B

Belegung der Tasten 5 Berechnungsbildschirm 6 Bestimmung eines Funktionsterms 63 Betrag 21 Bildschirm löschen 6 Binomialkoeffizienten 74 Binomialverteilung 75, 76 Bruchrechnung 9

C

Circle 23 ClrDraw 43

D

Differenzenquotient 38, 47 Drittbelegung 6

E

Eingaben editieren 6 Eingaben löschen 6 Einschalten 7 Einstellungen 8 Entry 8 Erwartungswertes 84 Extrema 57 Extremwertaufgaben 67 Extremwerte 66

F

Faktorregel 52 Fakultät 73 Fehlbedienung 6 Folgen 47, 78 Format 8 Funktionen 29, 69 Funktionenscharen 59 Funktionseditor 15 Funktionsterm bestimmen 63 Funktionsuntersuchung 55 Funktionsvariablen 30 Funktionswert 24, 39, 56 Funktionswerte 16

G

Ganzrationale Funktionen 31 Gauß’sche Klammerfunktion 25 gemischte Schreibweise 8, 9 Geradenscharen 27 Gleichungen 11 Gleichungen lösen 11 Gleichungs-Systeme 11 Grad 14 GRAPH 16

H

Hochpunkte 59 HOME - Bildschirm 6 HOME-Bildschirm 9 HOME-Bildschirm löschen 6 horizontale Linie 66

I

Intersection 21

K

Kombinatorik 73 Kontrast 7 Korrektur von Fehlbedienungen 6 Kurvenschar 59 Kurvenscharen 17

S



90 © 2011, Sharp Electronics (Europe) GmbH

L

Lineare Gleichungs-Systeme 11 Linearfaktorzerlegung 37

n 11

3

ren 12 Normalen 50

Potenzen 10 Potenzfunktionen 30

etrie 33, 34

quadratischer Bildschirmausschnitt 15

Regressionsgeraden 70 Reset 7

ieben 29 nkt mit der y-Achse 57

l 21

Setup 8 Shade 66 sin 52 S ER 12

eichung 84 ente 42

n 28 mm 71

keiten 75

Tangente zeichnen 45 Tangenten 50

rung 32

Wahrscheinlichkeit 75 Wendepunkte 58

58

Y1 -Variable 30

Zoom 15 Zweitbelegung 5

Lineare Funktion 70

Liste 17 Listeneditor 28 Lösen von Gleichunge

M

Minus-Zeichen 8 Modellierung 6

N

Newton-Verfah

Normalverteilung 84 Nullstellen 35, 37, 56

O

Optimierung 28

P

Permutationen 73

Punktsymm

Q

R

S

Schaubild 15 Schaubild verschSchnittpuSchnittpunkte 20 Schnittwinkeschraffiert 66 seq-Befehl 80

OLVSOLVERS 36 StandardabwSteigung der TangStrecke zeichneStreudiagraSummenregel 53 Summenwahrscheinlichsymmetrie 34 Symmetrie 33

T

T_line 45 Tabelle 24

TOOL 11 TRACE 16

V

Variablen 10 Verhalten um den Urspvertikale Linie 66

W

Wertetabelle 23,WINDOW 16 Wurzeln 10

Y

Z

Sharp Electronics (Europe) GmbHSonninstraße 3, 20097 Hamburg, Germany

Tel.: 0049 (0) 40 / 23 76-0 • Fax: 0049 (0) 40 / 23 76-1323

www.sharp.de

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Die Anfertigung einer notwendigen Anzahl von Fotokopien für den Einsatz in einer Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar durch den Referenten ist gestattet. Jede Verwertung in anderen als den genannten oder den gesetzlich zulässigen Fällen ist ohne schriftliche Zustimmung von Sharp nicht zulässig.

Bestellnummer: GTR-AnAlysis1

Weitere Informationen erhalten Sie auf: www.sharp-in-der-schule.de

GTR

-An

ALy

SIS1

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