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09-Dec-19 1 Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Bahía Blanca – Argentina Conceptos de Inteligencia Artificial & Sistemas Inteligentes Artificiales Dr. Luciano H. Tamargo http://cs.uns.edu.ar/~lt Clase 18 – CIA Clase 11 – SIA Dinámica de creencias Temario Intuición Expansión Contracción Revisión

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1

Departamento de Ciencias e Ingeniería de la ComputaciónUniversidad Nacional del Sur

Bahía Blanca – Argentina

Conceptos de Inteligencia Artificial &

Sistemas Inteligentes Artificiales

Dr. Luciano H. Tamargohttp://cs.uns.edu.ar/~lt

Clase 18 – CIAClase 11 – SIA

Dinámica de creencias

Temario

Introducción

Intuición

Expansión

Contracción

Revisión

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Agentes deliberativos

Agente deliberativo

percibe información

realiza una acción

Creencias

Razonamiento y decisión

• Consideremos un agente con una base de creencias y que puede razonar para tomar decisiones a fin de elegir que acción realizar.

Cuando se percibe nueva información se pueden producir cambios en las

creencias del agente.

¿Dónde está el profesor?

oficina ¬ aula

Razonamiento

¿aula? no sé¿oficina? no séSentencias de lógica

proposicional

Derivación con Modus Ponens

• Consideremos que se utiliza lógica proposicional y Modus Ponens para hacer una derivación.

• Por ejemplo, el agente quiere determinar a donde dirigirse para encontrar a un profesor.

• La única información disponible es si el profesor está en su oficina no está en el aula.

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oficina ¬ aula

oficina

Razonamiento

¿Dónde está el profesor?

oficina

¿oficina? sí¿ ¬ aula? sí¿aula? no

• Ahora se produce un cambio: el agente adquiere la información que el profesor está en su oficina.

• Si agrega esa información a su base de creencias, entonces puede deducir y tomar una decisión.

Ir_a_oficina

oficina ¬ aula

oficinaaula

Razonamiento

¿Dónde está el profesor?

aula

¿aula? sí¿oficina? sí¿ ¬ aula? sí

¿ y ahora ?

• Ahora se produce otro cambio: el agente adquiere la información que el profesor está en su oficina.

• Si simplemente agrega esa información a su base de creencias, entonces se produce una inconsistencia.

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Para evitar que se puedan inferir conclusiones contradictorias hay dos grandes grupos de propuestas:

a) Mantener la base de creencias con potenciales contradicciones y disponer de una inferencia que permita decidir ante una contradicción (Ej. DeLP).

b) Mantener la base de creencias libre de contradicciones (consistente) y usar una inferencia clásica como Modus Ponens (Ej. modelo de teoría del cambio de AGM).

A continuación veremos los conceptos del modelo AGM.

Observación: el conjunto de hechos y reglas estrictas de un programa DeLPrequiere ser un conjunto libre de contradicciones y puede utilizar un modelo de cambio.

Dos grandes opciones

Dos grandes opciones

b) Mantener la base de creencias libre de contradicciones (consistente) y usar una inferencia clásica como Modus Ponens (Ej. modelo de teoría del cambio de AGM).

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Historia

b) Mantener la base de creencias libre de contradicciones (consistente) y usar una inferencia clásica como Modus Ponens (Ej. modelo de teoría del cambio de AGM).

• Los orígenes de la teoría de revisión de creencias (beliefrevision) se remontan hacia los 1970s, cuando Isaac Levi discutió los problemas que conciernen a este campo de investigación [Lev77].

• También, William Harper propuso una manera racional de relacionar algunos operadores de cambio de creencias [Har75].

Historia

b) Mantener la base de creencias libre de contradicciones (consistente) y usar una inferencia clásica como Modus Ponens (Ej. modelo de teoría del cambio de AGM).

• El principal avance en la teoría de cambio de creencias fue durante los 1980s cuando Carlos Alchourrón y David Makinson estudiaron los cambios en códigos legales [AM81] y Peter Gärdenfors abordaba los postulados racionales para operadores de cambio [Gär82].

• Este avance quedó marcado después de que los tres autores escribieran un artículo internacionalmente conocido como modelo AGM [AGM85].

• Este fue el marco de trabajo formal más general hasta ese momento para estudios de cambio de creencias y representa un punto de quiebre en la evolución de la teoría de cambio de creencias.

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Dos grandes opciones

b) Mantener la base de creencias libre de contradicciones (consistente) y usar una inferencia clásica como Modus Ponens (Ej. modelo de teoría del cambio de AGM).

• La meta principal de la Teoría del Cambio es intentar modelar la dinámica de creencias.

• El modelo AGM presentado en 1985 es uno de los principales referentes de la teoría del cambio.

• Hansson

• Falappa

• Otros…

Modelo AGM

• El modelo AGM presentado en 1985 es uno de los principales referentes de la teoría del cambio.

• En este modelo las creencias son representadas por un conjunto K de sentencias en la lógica proposicional.

• Proponen tres operadores para modelar la dinámica de las creencias:

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Modelo AGM

• En este modelo las creencias son representadas por un conjunto K de sentencias en la lógica proposicional.

• Proponen tres operadores para modelar la dinámica de las creencias:

expansión: es una operación que incorpora información nueva sin ningún chequeo de consistencia.

contracción: es una operación que elimina creencias sin el agregado de ninguna nueva.

revisión: es una operación que permite agregar consistentemente una creencia a un conjunto de creencias.

+

÷

*

Modelo AGM para Teoría del Cambio

• Se denota con Cn(K) al conjunto de sentencias que se deducen del conjunto K, (Cn por Consecuencia)

• Cn(K) indica que la sentencia se deduce de K.• K es inconsistente si Cn(K) y ¬ Cn(K).

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Temario

Introducción

Ejemplos intuitivos

Expansión

Contracción

Revisión

• Considere un agente con la base K que figura a continuación:

Ejemplos: expansión.

a r

bK =

• La sentencia “a” puede agregarse a K sin producir inconsistencias:

a r

ba

K =

• “a b” puede agregarse a K sin producir inconsistencias:

a r

baa b

K =

Llamamos a esto expansión de K

Expansión de K

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• Considere un agente con la base K que figura a continuación:

Ejemplos: expansión.

a r

bK =

• ¿Qué debería pasar si agregamos “b” a K?:

a r

bK =

• Debería quedar como estaba

• Considere un agente con la base K que figura a continuación:

Ejemplos: contracción y revisión

a r

bK =

• Agregar la sentencia “¬ b” a K produce una inconsistencia.

- Opción 1: rechazo la sentencia nueva.

- Opción 2: revisión priorizada: considero que la información nueva tiene prioridad sobre la existente,

entonces elimino sentencias de K, con lo cual

puedo agregar “¬ b” y K se mantiene consistente.

a r

bK = a r K = a r

¬ bK = Revisión de K

• Eliminar sentencias de K se denomina contracción de K.

Contracción de K

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• Expansión de K por una sentencia (denotada K + ) :

Ejemplos con operadores de cambio

ExpansiónK = K =K + a

• Contracción de K por una sentencia (denotada K - ) :

ContracciónK = K =K - b

• Revisión de K por una sentencia (denotada K * ) :

RevisiónK = a r

¬ bK =K * ¬ b

a r

b

a r

ba

a r

ba r

a r

b

• Expansión de K por una sentencia (denotada K + ) :

Ejemplos de expansión

K aumenta y también aumenta

Cn(K)

a r

bK = a r

ba

K =K + a

b ya estaba en Cn(K)no aumenta K ni

Cn(K)

a r

ba

K = a r

ba

K =K + b

aumenta K y Cn(K) aunque b ya estaba

en Cn(K)

a r

ba

K = a r

baa b

K =K + ab

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Ejemplos de Contracción• Contracción de K por una sentencia (denotada K - ) :

a r

bK = a r K =K - bEn este caso “b” tiene

una sola derivación.

a r

bK =

a r

b K =K - aEn este caso aCn(K)

a r

bab r

K =

a r

b K =

K - r

En este caso “r” tiene dos derivaciones

b r

a K =

ab

K =

a rb r K =

Hay cuatro formas de contraer K por “r” eliminando la menor

cantidad posible de sentencias

Hay que elegir una forma de contraer.

K * b

• En la revisión priorizada, para que se preserve la consistencia al incorporar una sentencia a K debe eliminarse toda posible derivación de ¬en K (si es que existe).

• Esto hace de la revisión el operador más complejo de los tres, sin embargo, es posible definir la revisión en función de los otros dos operadores.

• La Identidad de Levi permite definir revisiones a partir de contracciones y expansiones:

Revisión priorizada

K * = (K − ¬) +

a r

¬ bK = a r K’ = a r

bK =

Revisión de K por b

Contracción de K por ¬b

K - ¬b K’+ b

Expansión de K’ por b

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Ejemplos de revisión

No cambia porque b ya estaba

a r

bK = a r

bK =K * b

• Identidad de Levi K * = (K − ¬) +

a r

bab r

K =K * ¬r

En este caso “r” tiene dos

derivaciones.

Hay que elegir una de las 4 forma de contraer

K por “r” y luego expandir por “¬r”

a rb r

¬r

K =

Esta es una de las posibles formas de revisar K por “¬r”.

Temario

Introducción

Ejemplos intuitivos

Expansión

Contracción

Revisión

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• Expansión de K por una sentencia (denotada K + ) :

Ejemplos de expansión

K aumenta y también

aumenta Cn(K)

a r

bK = a r

ba

K =K + a

b ya estaba en Cn(K)no aumenta K ni

Cn(K)

a r

ba

K = a r

ba

K =K + b

¿Cómo se implementa un operador de expansión?

Consideremos estas opciones:

• K + = K {}

• K +1 = {}

• K +2 = K {x, x }

¿Cómo debería comportarse un operador de expansión?

• Generalmente las operaciones de cambio se presentan mediante dos formas diferentes:• Modelos Constructivos. Se da una definición explícita de la operación

de cambio, indicando los diferentes pasos que deben seguirse para que la operación de cambio deseada se haga efectiva.

• Teoremas de Representación o Caracterizaciones Axiomáticas. Se define una operación de cambio en términos de propiedades o postulados y la trata como una “caja negra” en donde se conocen las propiedades de la misma pero se desconoce la forma en que se hace efectiva.

Contracción

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• Para caracterizar la expansión de K por (notada K + ) se indican cuales son las propiedades que debe satisfacer el operador. A estas propiedades se las llama postulados.

• A continuación se muestran algunos postulados que debe cumplir un operador de expansión (cualquiera sea su implementación):

• Éxito: (K + ) La expansión debe tener éxito en agregar

• Inclusión: K K + .No debe perderse información.

• Vacuidad: Si K entonces (K + ) = K .Si ya estaba incluido, la expansión no produce cambios.

• Monotonía: Si H K, entonces H + K + .

Caracterización de la expansión

Temario

Introducción

Ejemplos intuitivos

Expansión

Contracción

Revisión

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• Una contracción es una operación de cambio que consiste en la eliminación de una creencia sin el agregado de ninguna nueva.

• La contracción de K por generalmente se nota K - • Ejemplos:

Contracción

a r

a b r

bc w

a r

b r

bc w

a r

a b r

b

a r

a b r

bc w

K = K - a = K - (cw)= K - c = K

• Una contracción K - debe garantizar que no se infiera de la base resultante.

Contracción

a r

a b r

bc w

K = a r b rc w

K - r =

abc w

K - r =

a r

bc w

K - r =

ab rc w

K - r =

Distintas soluciones para K – r:

¿Cómo se implementa un operador de contracción?

Consideremos estas opciones:

• K -1 =

• K -2 = K \ {}

¿Cómo debería comportarse un operador de contracción?

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• Para caracterizar que es lo que se espera de un operador de contracción, se plantean postulados (propiedades) que el operador debería cumplir. A continuación se incluyen dos de estos postulados a modo de ejemplo:

• Éxito: Si no es una tautología, entonces la contracción debe tener éxito en la eliminación de , esto es, Cn(K-).

• Inclusión: K - K.La contracción no debe agregar nuevas sentencias.

• Por ejemplo, si el operador se implementa como: K-=K\{}, esta implementación no cumple con el postulado “éxito”.

• Además, en Teoría del Cambio se busca satisfacer el principio del mínimo cambio: el operador debe realizar el menor cambio posible. Esto evita soluciones no deseadas como K-= (que para eliminar propone eliminar todo).

Caracterización de la contracción

• A continuación se mostrará un operador de contracción que fue propuesto por Sven Ove Hansson en 1994 llamado Kernel contraction [2].

• Las contracciones de tipo kernel de K con respecto a consisten de:

1. Obtener los subconjuntos minimales de K que deducen .

2. Elegir de cada una de estas derivaciones mínimas sentencias a ser eliminadas con una función de incisión.

3. Eliminar las sentencias “seleccionadas” por la función de incisión.

Definición de un operador de contracción

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1. Obtener los subconjuntos minimales de K que derivan .

• Definición: Dado un conjunto K y una sentencia , el conjunto de kernels (kernel set) de K con respecto a , notado como ker(K,), se define como el conjunto de conjuntos H tales que:

- H K.

- Cn(H).

- No existe H’ tal que H’ H y Cn(H’).

• A cada elemento de ker(K,) se lo denomina -kernel.

MODELO CONSTRUCTIVO

Contracción tipo “Kernel”

• Definición: Sean K un conjunto de sentencias, una sentencia y ker(K,) el conjunto de kernels de K con respecto a . Decimos que “” es una función de incisión si y solo si:

- (ker(K,)) (ker(K,)).

- Si ≠ X y X ker(K,) entonces X (ker(K,)) .

• Observe que no se define una función concreta, sino que es lo que debe cumplir una función de incisión: elegir como mínimo un elemento de cada prueba minimal.

• Por ejemplo: 1 podría elegir el primer elemento en orden lexicográfico, y 2

podría elegir todos los elementos.

2. Elegir de cada una de estas derivaciones mínimas sentencias a ser eliminadas con una función de incisión.

Contracción tipo “Kernel”

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• Definición: Dado un conjunto K, una sentencia , y “” una función de incisión entonces la operación de kernel contraction “÷” de K con respecto a se define como:

K ÷ = K \ (ker(K,))

• El operador “÷” tiene como subíndice a “” ya que la contracción será diferente para cada “” concreta que se defina. Por ejemplo: ÷1 con 1 que elige el primer elemento en orden lexicográfico, o ÷2 con 2 que elige todos los elementos.

• Note que en ambos casos siempre se eligen elementos relevantes para la deducción de .

3. Eliminar las sentencias “seleccionadas” por la función de incisión.

Contracción tipo “Kernel”

Ejemplo: considere 1 que elige el primer elemento en orden lexicográfico, y supongamos que deseamos contraer con respecto a “b” (K ÷1 b).

Entonces:

• ker(K, b) = {K1,K2,K3}.

- K1={b}.

- K2={a, ab}

- K3={w, wa, ab}

• 1 (ker(K ,b)) = {b, a, ab} elije de cada Ki sentencias a ser quitadas.

• K ÷ 1 b = K \ (ker(K,b)) = {w, wa, c}

• Esto es, “corta” cada subconjunto Ki (prueba de b) para que en (K ÷ 1 b) no se derive “b”.

Contracción tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K = ww a

c

K =

K÷1 b

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Temario

Introducción

Ejemplos intuitivos

Expansión

Contracción

Revisión

• Las revisiones son operaciones de cambio que permiten agregar información a un conjunto o a una base de creencias respetando las siguientes premisas:

1. Preservar consistencia en el conjunto revisado.

2. Preservar tantas creencias del conjunto original como sea posible.

• Por lo tanto, la revisión tiene la propiedad de que permite incorporar creencias a un conjunto de creencias generando un nuevo conjunto de creencias consistente.

• Esta característica hace que la operación de revisión sea la más interesante dentro de la teoría de cambio.

• La revisión de K por la sentencia generalmente se indica con K *

Operación de revisión

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Revisión priorizada tipo kernelK * = (K ÷ ¬) + = K \ (ker(K, ¬)) {}

Contracción de tipo kernelde K por r, usando la

función 1 que selecciona el primero de cada kernel en

orden lexicográfico.

Expansión de K por ¬r

K * 1 ¬r

a r

bab rc r

K =

K ÷1 r

a rb r c r

K =a rb r

¬rc r

K =

K+ ¬r

Supongamos que deseamos revisar a K con respecto a “b” con

una revisión tipo kernel.

Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K = (K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

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Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K = (K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K =

(K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

ww aa b

aa b

b

ker(K, b)

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Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K =

(K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

ww aa b

aa b

b

ker(K, b) 1(ker(K, b))

a b

a

bConsidere 1

que elige el primer elemento en orden lexicográfico 1

Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

baa b

ww a

c

K =

(K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

1(ker(K, b))

a b

a

b

ww a

c

=

Esto es, “corta” cada subconjunto Ki (prueba de b) para que en K ÷1 b no se derive “b”.

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Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

(K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

ww a

c

Ejemplo de revisión tipo “Kernel”

(K ÷1b)+ bK *1 b = = K / 1(ker(K, b)) {b }

ww a

c

b b

ww a

c

=

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• Al realizar una revisión K * sobre un conjunto o base de creencias K se pueden tener dos políticas:

- Revisión priorizada: considera que la entrada tiene primacía sobre las creencias en K. Por lo tanto, la operación garantiza que luego de revisar, la base resultante K * es consistente, y se deduce de K * . Para garantizar la consistencia puede eliminar creencias que estaban en K.

- Revisión no priorizada: considera que la entrada no tiene primacía sobre las creencias de K. Entonces puede ocurrir que para garantizar la consistencia de K * , no se eliminen sentencias de K pero no se pueda garantizar que se deduce de K * ( puede ser “rechazada” ).

Operación de revisión

FIN

Gracias por su atención