Teoría - Ing Drelichman

8/19/2019 Teoría - Ing Drelichman

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Mecánica

de los

luidos

Ing Oscar Drelichman

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSAFACULTAD DE RECURSOS NATURALESINGENIERÍA CIVIL


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U. Na. F. – F. R. N.Carrera: Ingeniería CivilCátedra: Mecánica de los fluidos Profesor Titular: Ing. Oscar Drelichman

1 R

Mecánica de los fluidos

Las propiedades que se estudiarán a continuación corresponden a porciones fluidas lo suficientementegrandes para poder admitir que son el promedio de las leyes más íntimas de la materia.

Etimológicamente “fluido” es lo que fluye, lo que escurre, es decir que son fluidas aquellas sustanciascuyas porciones pueden moverse unas con respecto a otras, de manera que quede alterada la forma, sin que paraello sea necesario el empleo de grandes fuerzas.

Por otra parte, la deformación en un fluido no encuentra en él una apreciable tendencia a restaurar laconformación primitiva, aunque la fuerza capaz de provocarla sea pequeña.

Como no resulta fácil presentar una definición de fluido real, se ha hecho una abstracción definiendo unente ideal que se llama “fluido perfecto” y que se caracteriza por la falta absoluta de resistencia a los cambios deconformación. Más adelante llamaremos a esa resistencia “viscosidad”, con lo que un fluido perfecto es el que

no tiene viscosidad alguna.

Dentro del concepto de fluido, cabe distinguir todavía los que presentan una enorme resistencia a loscambios de volumen, que son los líquidos, y los que pueden ser comprimidos más o menos fácilmente: losgases. Los primeros no tienden a llenar íntegramente los recipientes que los contiene, mientras que los segundosocupan todo el volumen libre.

Esto ha motivado también la necesidad de definir un líquido perfecto que sea un fluido perfecto, esto es noviscoso y además incompresible, y un gas ideal que como el anterior sea fluido perfecto, pero que seacompresible según la clásica ley de Boyle - Mariotte.

Propiedades físicas de los fluidos

Peso específico y densidad:

El peso específico es el peso de la unidad de volumen del líquido considerado, se medirá en 3/ Kg m

,3/ gr cm

etc.

De la misma definición se desprende que el peso específico será variable para un mismo líquido con su posición sobre la superficie terrestre, aún en paridad de otra circunstancia, pues la atracción terrestre depende dela altura sobre el nivel del mar y de la latitud.

También es sabido que el calor, en igualdad de toda circunstancia, es capaz de hacer cambiar el pesocontenido en la unidad de volumen. Para el agua, el peso específico máximo se obtiene a los 4,00ºC sobre cero.

La presión, finalmente, hace variar al peso específico de los líquidos, pero en medida muy pequeña dadasu escasa compresibilidad.

Entonces, con el fin de obtener un patrón de medidas de pesos y pesos específicos, se ha adoptado comounidad, el peso de un decímetro cúbico de agua a 4ºC y al nivel del mar, o sea con una presión de 760mm de Hg.

Esto es el kilogramo Kg

. En consecuencia, el peso específico del agua en estas condiciones es 1.000

kg

/ 3m .La densidad es la masa específica, la masa de la unidad de volumen, esto es el cociente del peso

específico por la aceleración de la gravedad en el lugar donde ha sido medido aquél. Así pues, esta magnitud nodependerá de la variación de la aceleración de la gravedad.

En igualdad de temperatura y presión, la densidad del agua es constante con respecto a la altitud. Debemos

además establecer un límite en los desarrollos de la Mecánica de los Fluidos, un límite que se diría newtoniano.Todos nuestros estudios se referirán a movimientos en los que las velocidades serán absolutamente


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R2

despreciables respecto a la de la luz, por lo que se ha considerado la invariación de la masa con respecto alestado de movimiento del sistema considerado.

La densidad del agua a 4ºC y 760mm de Hg de presión es pues el cociente:

3 2

42

1000 /102

9,808 /

Kg m Kg seg

g mm seg

Viscosidad:

Hemos dicho que en un fluido perfecto no puede haber esfuerzos tangenciales entre dos partes contiguas,ya sea que estén en reposo o que haya movimiento relativo entre ellos. Esto no ocurre con los fluidos reales.

En general, e admite que estos últimos no tienen elasticidad de deformación, es decir, que no sedesarrollan esfuerzos tangenciales que se opongan a una deformación permanente, o por lo menos esta

resistencia es tan pequeña que puede despreciarse en todos los casos.Además, cuando un fluido real está en reposo, las fuerzas ejercidas entre volúmenes contiguos estarán,como en los fluidos perfectos, dirigidos normalmente a la superficie de separación. Se verá más adelante que,en tales condiciones, la presión en un punto tiene magnitud constante, cualquiera sea la dirección que seconsidere. Se dice pues, que la distribución de presiones es isotrópica en cada punto y que solo es función de la

posición pero no de la dirección considerada.Ahora bien, el comportamiento de los fluidos en movimiento es muy diverso, pues se observa claramente

que las fuerzas entre volúmenes contiguos pueden ser oblicuas a la superficie que los limita.Hay una tendencia a disminuir la velocidad de deformación, de suerte que a mayor velocidad de

deformación se observan mayores esfuerzos tangenciales entre las partículas.Así como los esfuerzos que se oponen a un cambio real de forma son propios en mayor grado de los

sólidos, los que se oponen a la velocidad de deformación son privativos de los fluidos reales. Los esfuerzosdesarrollados en los fluidos no dependen de la magnitud de la deformación, sino precisamente de su velocidad.Esta propiedad de los fluidos es lo que se conoce con el nombre de frotamiento interno o viscosidad.

Se puede comprobar esto por medio de dos placas con una capa delgada de líquido en el medio, para

mover la placa superior debemos aplicar una fuerza F

:

Como se ve, existe una delgada capa de contacto con la pared sólida (fija), que según Meyer no puededesarrollar frotamiento o deslizamiento, esta capa es conocida como capa límite y tiene viscosidad cero.

La separación de placas es pequeña para que la distribución de velocidades pueda considerarse lineal.

C

B A

D

nD

F r

vr

vv rr

D+ A

Avr


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R3

Consideremos una porción de fluido, muy pequeña ABCD que en un tiempo t D pasa a otra posición y se deforma:

n

A

C

B

D

A´ B´

C´D´

(V + V) t A

V t A

D´´

0 0

( )

n v t

v si t n

t nd d

velocidad de deformacióndt dn

D D D D

D D D D

D D

α v

De acuerdo a lo ya dicho, existe proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad de deformación:

: Fuerza tangencial por unidad de superficie

dvdn

: Gradiente transversal de velocidad o velocidad de deformación

: Viscosidad dinámica o factor de proporcionalidad A : Área de la superficie de la placa superior

F

: Fuerza de corte

Si despejamos de la expresión de Newton la viscosidad tendremos que:

1 1

2 2

F dn M L L T M L T

A dv T L L

En el sistema c.g.s. su unidad fundamental es el poise: gr cm seg poisse La viscosidad cinemática relaciona la viscosidad dinámica de un fluido con su densidad y viene dada por laecuación:

1 12 1

3

M L T L T

M L

Su unidad fundamental en el sistema c.g.s. es el Stokes:

2

3

gr cm seg cmStokes

gr cm seg

:

dv

dn

dvSegún Newtondn

dv F A A

dn


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R4

Hidrostática

Recibe este nombre la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los fluidos que se encuentran en reposo.

En general se toma como sistema de referencia para definir estos estados de equilibrio, cualquier terna de elessolidaria a la tierra o que esté animado con respecto a una de esas ternas, de movimiento rectilíneo y uniforme(sistemas galileanos o inerciales).

Los fluidos en estudio se consideran como un continuo, estará en equilibrio únicamente cuando la resultante dela totalidad de las fuerzas que actúan en cada una de sus partes es nula.

Para aplicar este principio fundamental a una masa fluida cualquiera(o a una porción de la misma), se deberánconsiderar las fuerzas que actúan sobre la superficie que encierra todo el fluido (o una parte del mismo), y las queactuando sobre cada una de sus partículas son proporcionales a su masa o a su volumen. Las fuerzas del primer tipose denominan fuerzas superficiales; y fuerzas de masa o de volumen las del segundo.

De esto se deduce que en un fluido en equilibrio no existen fuerzas de fricción, o sea esfuerzos tangenciales.La fuerza superficial normal por unidad de área se denomina presión:

AD : Área del elemento de superficie. E D . Fuerza total sobre la superficie de área AD .

La presión es independiente de la orientación del plano sobre la que seejerce

Partiendo del principio que rige el equilibrio de los fluidos y del hecho ya explicado de que en estos, en estadode equilibrio, no existen tensiones tangenciales, vamos a demostrar que la presión en un unto cualquiera de un fluidoen equilibrio, es igual en todas las direcciones.

Sea un volumen elemental cualquiera de formatetraédrica de una masa fluida en equilibrio. Tal como loexige el principio fundamental enunciado anteriormente,las fuerzas que actúan sobre este tetraedro deben tenerresultante nula, o lo que es lo mismo; las proyecciones dedichas fuerzas sobre cada uno de los ejes coordenadostambién deben ser iguales a cero.

Las únicas fuerzas que se considerarán son las

superficiales, ya que las fuerzas de masa se puedendespreciar. En efecto las fuerzas superficiales, como severá, son proporcionales al producto de dos aristas deltetraedro, las fuerzas de masa resultan proporcionales a

dz dydx , siendo por consiguiente infinitésimo de orden superior respecto a las primeras, lo que permitedespreciarlas sin cometer error.

Las fuerzas superficiales que actúan en cada una de las caras son, tal como se ven en la figura:

dA p ;

2

dz dy p x

;

2

dz dx p y

;

2

dydx p z

0 A

E dE p

dA Alim

D

D

D

x

y

z

p dA

··

2 x

dy dz p

··

2 z

dx dy p

··

2 y

dx dz p

B

dz

dy

dx

C

A


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R5

Si dA es el área de la superficie de la cara ABC, y p x, p y, p z las presiones que actúan sobre cada una de lasresultantes.

Proyectando dichas fuerzas sobre los ejes coordenados y teniendo en cuenta que:

cos ; cos ; cos2 2 2

dy dz dx dz dx dydA dA dA

En las que cos ,cos , cos son los cosenos directores de la fuerza p dA

(normal al plano ABC), sededuce que:

coscos dA pdA p x x p p

coscos dA pdA p y y p p

coscos dA pdA p z z p p

p p p p z y x

Como la terna de ejes y el elemento de fluido utilizado en el desarrollo fueron elegidos arbitrariamente, quedademostrado que en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio, la magnitud de la fuerza por unidad de área esindependiente de la orientación de ésta.

De lo anterior se deduce que la magnitud de las presiones en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio puede representarse por los radios de una esfera cuyo centro coincide con el punto considerado.

Ecuación Fundamental de la HidrostáticaEsta ecuación nos permitirá establecer las relaciones necesarias para resolver muchos de los

problemas que se relacionan con el equilibrio de los líquidos.Como en los casos anteriores, la

demostración parte del principiofundamental del equilibrio de los fluidos,estableciendo las condiciones deequilibrio de un paralelepípedo elementalcualquiera perteneciente a una masalíquida sometida a la acción de fuerzas de

masa y presiones superficiales.

En efecto, consideramos el paralelepípedo elemental de la figura, sea su densidad y − − lascomponentes según los ejes coordenadosde las fuerzas por unidad de masa queactúan sobre el mencionado elemento.

Las presiones que actúan sobre sus caras son:

; + ; + ; +

· p dxdy

· p dydz

· p

p dy dxdz y

+

· p

p dx dydz x

+

· p

p dz dxdy z

+

· p dx dz


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R6

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio para cada dirección coordenada, resulta:

·

−+

·

+

·

·

= 0

· − + · + · · = 0 · −+ · + · · = 0

De donde se tiene finalmente:

·

=

· = (2) · =

Multiplicando ambos miembros de estas igualdades respectivamente por y sumandoresultará:

+

+

=

+

+

(3)

Como = (;; ) el segundo miembro de la ecuación (3) es su diferencial exacta: + + = (4)

Superficies de Nivel

En un líquido en equilibrio, se denomina “superficie de nivel” a los lugares geométricos de los puntos de igual presión hidrostática. La superficie libre de un líquido es un ejemplo de superficie de

nivel.Demostraremos ahora que las fuerzas de masa son normales a las superficies de nivel.En efecto por ser el segundo miembro de la ecuación (4) una diferencial exacta, también debe serlo

el primero. Existirá pues una función ; ; tal que:;; = ; ; /

= + + = + + (5)

∴ = = ; = = ; = = (6)

Ecuación Fundamental dela Hidrostática


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R7

Comparando (4) con (5):

=

(7)

En una superficie de nivel, donde se verifica que = 0 porque las presiones son iguales entodos los puntos, la expresión resultará: = 0 ∴ ;; = ; ; = .

Es decir, en todos los puntos de una superficie de nivel, la función ; ; tiene un valorconstante, y como es evidente la ecuación de la referida superficie es la función:

;; = ; ; = .Los cosenos directores de las normales a dicha superficie están dados por las fórmulas:

cos = 2 + 2 + 2

cos

=

2

+ 2

+ 2

cos = 2 + 2 + 2

Expresiones que de acuerdo con las igualdades en (6) se convierten en:

cos = 2 + 2 + 2 cos = 2 + 2 + 2 cos = 2 + 2 + 2

Estos valores coinciden con los cosenos directores de las fuerzas por unidad de masa, cuyas

componentes según los ejes coordenados son . Con eso queda demostrado que las fuerzas demasa son normales a las superficies de nivel.


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R8

La función (;; ) se denomina “ función potencial ”. El campo de las fuerzas de masa, cuyas componentes son las derivadas parciales de , se

llama “campo potencial ”

Presión en un Punto de una Masa Líquida en Equilibrio

La expresión que nos da el valor de la presión hidrostática en un punto de una masa líquida enequilibrio, sometida únicamente a la acción de la gravedad, puede deducirse de la ecuaciónfundamental (4). Haciendo coincidir el eje de las “ z” con la dirección de las fuerzas de atracciónterrestre, se verifica:

= 0 ; = 0 ; = −

∴

−·

·

=

7

Y como: = = − · + C (8)

La constante de integración C puededespejarse conociendo la presiónhidrostática en un punto R 0 de la masa delfluido. Por lo que resultará.

0 =

−

0 +

⟹ = 0 + · 0 Sustituyendo en (8) tenemos:

= − · + 0 + · 0 ∴ − 0 = 0 − (9)

=

0 +

0

− =

0 +

·

(10)

Fórmula que nos da la presión hidrostática en un punto cualquiera (;; ) en función de laexistente en otro punto de la misma masa líquida.Conviene en general tomar como punto de referencia (R 0) uno que se encuentre sobre la superficie

libre, si la hay. La presión 0 en este caso será, en la mayoría de nuestros problemas, la presiónatmosférica y la diferencia = 0 − será la profundidad del punto considerado (R) por debajo del

plano de la superficie libre.Las ecuaciones (9) y (10) son válidas indistintamente para fluidos ideales o viscosos y en todos los

casos en que pueda pasarse de un punto a otro de la masa líquida sin salir de la misma.

x

y

0 R

R0 z z h

0 z

0 x

0 y


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R9

Empuje sobre Superficies Planas

Analizaremos el caso de una figura plana sumergida en un líquido en equilibrio, el empuje total

que se ejerce sobre ella será.

y

C y

G yh

Gh

C h

dE p dA

q

y

x

A

G

C

hC Gh

G

C

A

B B

dA A

O

= En la que es la presión en cada punto y es el área de un elemento de superficie.Además = · y = · sen , por lo que resulta:

= = · sen (28) Pero es el momento estático de la superficie con respecto a “O” intersección del plano

que contiene A con la superficie libre del líquido, por lo que:

= · En la que es la distancia entre el baricentro de A y el eje “O”

∴ = · sen · · = · · (29)En la que es la presión en el baricentro de la superficie considerada.Podemos decir entonces que “el empuje total que un líquido en equilibrio ejerce sobre una

superficie plana es igual al producto de su área por la presión hidrostática que se ejerce sobre sucentro de gravedad ”.


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R10

Centro de empujes. Determinación

Para determinar el punto de aplicación del empuje total, bastará con tomar momentos con respecto

al eje “O” de los esfuerzos elementales y dividir dicho momento por el valor del esfuerzo total:

· = y como: = sen ∴ = = =

sen 2 sen = sen 0 sen 0

En donde 0 es el momento de inercia con respecto al eje “O”, y 0 es el momento estático de lasuperficie con respecto al eje de traza “O”.

= 00 Si escribimos la expresión anterior en función del radio de inercia (o de giro) de la superficie con

respecto al eje de baricéntrico paralelo a “O” tendremos:

0 = · 02 ∴ 0 = 2 + 2 ∴ = 2 + 2 = +

2

(33´) Debe observarse que en todos los casos, según la (33´) el centro de presión ocupa una posición más

profunda que el baricentro de la superficie plana sometida a la presión hidrostática. Esto se debe porsupuesto a la circunstancia de que al presión crece hacia abajo.

Si fuera uniforme, ambos centros coincidirían, como es el caso de una superficie horizontal.

Empujes sobre Superficies Alabeadas

Pasamos a determinar ahora el empuje que un líquido en equilibrio ejerce sobre una superficiecurva.

El esfuerzo total puede considerarse como la suma de los esfuerzos parciales que actúan sobrecada uno de los elementos de área elemental. Este sistema de fuerzas parciales no se compone engeneral por fuerzas paralelas o contenidas en un plano, por lo que podrá reducirse en principio, a unaresultante de traslación y a un par que se aplica según leyes de la estática.

Si llamamos ; ; a los ángulos que forman las normales a la superficie considerada conlos ejes coordenados, las componentes de los esfuerzos elementales serán:


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R11

= · · cos = · · cos = · · cos

O también puede pueden ser:

= · − · · cos = · − · · cos

= · − · · cos Por lo tanto las proyecciones dela resultante de traslación son:

= − cos ; = − cos ; = − cos Integrales que se resuelven en casos particulares, teniendo en cuenta la ecuación analítica de la

superficie curva que se considera.Si nos fijamos en la figura,

cos

es la proyección de la superficie elemental de área

sobre el plano coordenado " " , y el producto − cos resulta el peso de un prismalíquido elemental ubicado entre la superficie curva y la superficie libre del líquido, por lo tanto: = − cos

Es el peso de la columna líquida que gravita sobre la superficie curva que se considera.Con respecto al empuje puede hacerse un razonamiento similar:

=

− cos

Pero como cos es la proyección del elemento sobre el plano "" , puede escribirse: = −

O también: = · ( − ) · En la que (

− )

es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficie

considerada sobre el plano , y es el área de dicha proyección.

z

x

y

Z dE

ydE

dA¬¾¾

x

y

z

p dA

A X

dE

h

·cosi

dA ^


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R12

Idéntico razonamiento puede hacerse con respecto al empuje llegándose a su expresión: = · ( − ) ·

En la que ( − ) es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficieconsiderada sobre el plano , y es el área de dicha proyección.Por lo tanto, el empuje horizontal según una dirección dada es igual al área de la proyección de la

superficie que se considera sobre un plano vertical normal a dicha dirección, multiplicada por la presión hidrostática a la profundidad del baricentro de esa proyección.

El par resultante puede obtenerse teóricamente, estableciéndose las expresiones del momento delsistema de fuerzas elementales, con respecto al centro de reducción elegido.

Estabilidad de Cuerpos Totalmente Sumergidos y de Cuerpos Flotantes

Se sabe por el “Principio de Arquímedes” que un cuerpo sumergido en un fluido pierde

aparentemente, de su peso tanto como pesa el fluido por él desalojado. O lo que es igual: Un cuerposumergido total o parcialmente en un fluido está sujeto a un empuje de abajo hacia arriba, cuyamagnitud es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Se deduce de este principio que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo total o parcialmentesumergido en una masa fluida son los siguientes:

a) El peso del cuerpo. Esta fuerza tiene dirección vertical, sentido: de arriba hacia abajo, y su punto de aplicación es el baricentro del cuerpo.

b) El empuje que ejerce el fluido, y que está aplicado en el centro de gravedad de la masa fluida

desplazada por el cuerpo (o sea, el centro de volumen de la parte sumergida del sólido). Este punto de aplicación del empuje se denomina en general, “Centro de Empuje”, y toma tambiénel nombre de centro de flotación o centro carena en el caso particular de los cuerpos

parcialmente sumergidos. El empuje tiene también dirección vertical pero su sentido esopuesto al del peso del cuerpo.

Resulta evidente, por tanto, que para que un cuerpo total o parcialmente sumergido este enequilibrio, es necesario que las fuerzas antes citadas tengan igual intensidad, y que sus puntos deaplicación se encuentren sobre la misma vertical

Pero estas consideraciones no resultan suficientes por si solas paraestablecer el carácter de de equilibrio referido. Para determinar si uncuerpo total o parcialmente sumergido esta en equilibrio estable,

inestable o indiferente, resulta necesario estudiar si el cuerpo después deexperimentar un cambio de posición bajo la acción de una fuerzaaccidental, vuelve a su posición primitiva de equilibrio una vez que dejade actuar dicha fuerza. Si tal caso ocurre el equilibrio en el que estaba elcuerpo era estable; si por el contrario, continua alejándose de su posición inicial, el equilibrio esinestable y si permanece en la nueva posición una vez que la fuerza accidental deja de actuar, elequilibrio es indiferente.

Antes de entrar a analizar la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos,recordaremos que todo desplazamiento puede descomponerse en una traslación y una rotación. Lastraslaciones, tanto horizontales como verticales, no alteran las condiciones de estabilidad de loscuerpos total o parcialmente sumergidos.

C

G

E r

P r


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R13

Por consiguiente en el estudio de la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos“ solo interesa considerar las rotaciones en que puede descomponerse cualquiera de losdesplazamientos que eventualmente puede experimentar el cuerpo”.

1)

Estabil idad de los cuerpos totalmente sumergidos

Si analizamos el caso de la figura, vemos que si el centro de gravedad del cuerpo está por debajodel centro de empuje, el par que se origina al producirse el desplazamiento tiende a restablecer al

cuerpo en su primitiva posición. Por ello el equilibrio es estable.Si el centro de gravedad en cambio se halla por arriba del centro de empuje, el par producido a raíz

de la votación tiende a alejar alcuerpo de su posición primitiva. Elequilibrio es por lo tanto inestable.

Si el centro de gravedad delcuerpo y el centro de empujecoincidieran el equilibrio seria

indiferente. Por lo que se deduceque un cuerpo homogéneo (dedensidad uniforme) totalmentesumergido, de estar en equilibrio, este solo puede ser indiferente.

2) Estabil idad de cuerpos parcialmente sumergidos (F lotantes)

El estudio de la estabilidad de cuerpos flotantes si bien es lo fundamental se realiza en formaanáloga a la expuesta para el caso de cuerpos totalmente sumergidos, ofrece ciertas complicaciones queobligan a introducir nuevos conceptos para definir si el cuerpo flota en equilibrio estable o inestable.

C

G

C

G

O O1 2

56

1

6

3

2

4

5

d q

M

´C

Sea el caso de un cuerpo cualquiera con dos ejes de simetría (un caso común en la ingeniería práctica) que se encuentra en equilibrio, en este caso no puede enunciarse una regla tan sencilla como la

C

G

E

P

C

G

E

P

M

C

G

E

P

C

G

E

P

M


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R14

deducida para los cuerpos totalmente sumergidos que permitía establecer la condición de equilibrio enfunción de la posición relativa en altura de los centros de gravedad y de empuje.

Ello se debe a que un desplazamiento del cuerpo provoca un cambio de la posición del centro decarena, cambio de posición que en ciertas circunstancias es de tal naturaleza que el equilibrio puede ser

estable aun estando el centro de carena por debajo del de gravedad.Analizamos la estabilidad de la figura del dibujo, con respecto a una rotación que se efectúa

alrededor de un eje de traza “O” contenido en el plano de simetría longitudinal. Como se parte de lahipótesis de que el cuerpo está en equilibrio, es necesario que se verifique que el centro de gravedad“G” y el centro de empujes o de carena “C ” se hallen sobre la misma vertical.

Al producirse una rotación infinitesimal alrededor del eje longitudinal de traza “O”, una partedel cuerpo se sumergirá y otra de igual volumen emergerá. Por consiguiente la porción sumergidacambiará de forma, experimentando el centro de carena un desplazamiento con respecto al cuerpo. Enestas circunstancias las fuerzas que actúen sobre el cuerpo, peso propio y empuje del agua, al no actuarsobre una misma recta, formarán un par cuyo signo determinará que el cuerpo vuelva a su posicióninicial, o bien gire hasta alcanzar una posición de equilibrio diferente a la anterior.

En la figura se puede apreciar que si el punto “ M ” (intersección de la dirección del empuje del aguay del plano de simetría del cuerpo) o “metacentro” está por arriba de “G”, centro de gravedad delcuerpo, el equilibrio es estable, y es inestable si está por debajo del mismo. El segmento se llamaaltura metacéntrica, su magnitud es en cierta forma la medida de la estabilidad del cuerpo, pues tantomayor cuanto mayor es el brazo de palanca del par estabilizador. Determinaremos el valor de la alturametacéntrica :

´ = · ⟹ = ´ = (44)

=

− = ´

− =

− (45)

En la que ´ es la proyecciónhorizontal del desplazamiento que haexperimentado el centro “C ” delempuje hidrostático. Su valor puededeterminarse mediante métodos de laestática para determinar centro degravedad.

Aplicamos en los centros degravedad de las superficies ovolúmenes, vectores paralelos entresí y proporcionales a sus respectivosvolúmenes. Tomamos momentoestático con respecto al punto “C ́”situado en la recta de acción delempuje.

· − ´ · = 0 ∴ · = ´ ·

En la que es el volumen del líquido que desplaza el cuerpo, ´ es el volumen de las cuñassombreadas y

´ ·

su momento:

´ · = · · · = 2 = ·

C

G

O

1

6

3

2

4

5

d q

M

´C

´V

´V

V

a

l

dA

y d q


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R15

En la que es el momento de inercia de la superficie limitada por la línea de flotación conrespecto al eje x (de traza “O”); · · es el volumen de un prisma elemental de base y altura ; e es el brazo de palanca para cada prisma elemental.

· = ´ · = · ⟹ = · Por lo tanto:

= = (44´) Finalmente:

= −

(45´)

Si se cumple que: > Entonces el equilibrio es estable.Es decir que > 0 para que el equilibrio sea estable


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R16

Cinemática de los fluidos

Generalidades:

Estudiaremos ahora el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, es decir, sin entrar a laconsideración de las causas que la originan, que se verán al abordar la dinámica.

Es necesario el conocimiento del aspecto de un fluido en movimiento, de las líneas descriptas por las partículas,de las que pueden trazarse en el campo ocupado por el escurrimiento cuando se conocen las velocidades, etc. Pero

previamente precisaremos el concepto de partícula, noción, ésta, fundamental en Mecánica de los Fluidos. Sumagnitud es tal que no es posible imaginar discontinuidades entre una y otra, el número de moléculas que poseandebe ser el suficiente para darle el carácter de las grandes masas de fluido. Pero al mismo tiempo el volumenocupado por cada partícula debe ser despreciable con respecto al de la masa total del fluido estudiado.

Puesto que las partículas deben estar siempre en contacto, consideremos imposible el choque entre unas y

otras.

Métodos de descripción

Para conocer el estado de movimiento de un fluido, en cada instante de tiempo, pueden emplearse dosmétodos. El primero es conocido con el nombre de “Lagrange” y el segundo con el de “Euler”.

Cualquiera sea el procedimiento que se emplee, el propósito es estudiar lo mejor posible las relaciones entre la posición de la partícula y el tiempo.

a) Método de Lagrange:

El método de Lagrange describe el movimiento de cada partículadurante su viaje. Entonces lo primero que es necesario conocer es el camino que ha recorrido, que se llamatrayectoria. Dada la abstracción hecha antes, podemos imaginar que las partículas no tienen dimensiones, es decir,asimilarlas a un punto material, y por esto el camino que recorran en el espacio será, a su vez, asimilable a una línea.

Podemos pues, definir las trayectorias como las líneas descriptas por las partículas en su movimiento.En un espacio triplemente infinito y referido a un sistema cartesiano coordenado, podemos definir

escalarmente la trayectoria como.

0 0 0( , , , ) X x x y z t 0 0 0( , , , )Y y x y z t 0 0 0( , , , ) Z z x y z t

Los valores 0 0 0, , x y z definen la posición inicial de la partícula en un instante t0.

Vectorialmente la trayectoria queda expresada por una solaecuación, el vector posición se expresa:

0 0 0 0 0; ; ; x y z t r r

(1)

0 0 0 0 x y z + +r i j k

0;t r r r

(2)

Entonces las componentes de la velocidad según lo ejes

r Duurz

x

y

z0

y0x0

0 0 0 0 0; ; ;r r x y z t ur ur


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R17

coordenados serán:

0

0

0

xt

yt

z t

x xim

t t

y yimt t

z z im

t t

D

D

D

D

D

D D

D

D

v i

v j

v k

(3)

b) Método de Euler:

El método de Euler no sigue a cada partícula como el método anterior, sino

que observa todos los que pasan por un punto del espacio através del tiempo. Entonces la velocidad que calculemosserá función del punto considerado y del tiempo, se tendráque:

0 0 0; ; ; x x y z t xv v

0 0 0; ; ; y y x y z t v v

(5)

0 0 0; ; ; z z x y z t v v

;r t v v (5´)

; ; x y z

dx dy dz v v v

dt dt dt (6)

Estas expresiones son derivadas totales porque, ahora con la salvedad de que seguimos a una partícula (x0; y0;z0), son funciones exclusivas de t .

Trayectorias y Líneas de Corrientes:

Ya hemos definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una de las partículas.Una familia de curvas tales que en ese mismo instante t sean tangentes en todos los puntos a las velocidades

v

r

, constituye el conjunto de líneas de corrientes . Estas no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucedierala partícula que pasara en el instante t por el punto de intersección, tendría simultáneamente dos velocidadesdiferentes.

Supongamos que en el campo de velocidades haya una curva cerrada, que no sea línea de corriente y que todaslas líneas de corrientes la corten en un instante dado. Si el campo de velocidades es continuo, formaran un tubo decierta longitud que llamaremos Tubo de Flujo y que no puede ser atravesado por el fluido, en ese instante, pues laslíneas de corrientes no pueden cortarse. El fluido escurre pues como por entre paredes impermeables, es decir, comosi fuese un tubo real.

El fluido interior a un tubo de flujo de directriz infinitesimal se denomina Filamento de Corriente .

z

x

y

z0

yx0

t r vv ;

t z y x ;;; 0000 0 r r


19/82


R18

Filetes:

Además de las trayectorias y líneas

de corrientes, debemos considerar otraclase de líneas características delescurrimiento. Definiremos pues comofiletes a las líneas que unen las posicionesinstantáneas de las partículas que pasarano pasarán por cada punto del espacio.

Movimientos Permanentes y No Permanentes

Todo lo anterior se refiere a aquellos movimientos que estudiados con el criterio de Euler, presentan la propiedad de que la velocidad es función del punto y el instante considerados. O en otras palabras, aquellosmovimientos en que la velocidad en cada punto cambia con el tiempo. Estos se designan con el nombre de “no

permanentes”; para los cuáles se cumple la circunstancia de que “trayectoria”, “línea de corriente” y “filete” sondistintos.

En cambio, cuando la velocidad es función del punto pero no del tiempo; el movimiento se llama “permanente”o “estacionario”. Durante su desarrollo se observa que las tres clases de líneas coinciden, y su posición es invariable

con el tiempo.En particular, cuando el vector velocidad no depende del tiempo ni de la posición elegida, el movimiento

permanente se llama “uniforme”. Las trayectorias son entonces rectilíneas y paralelas, y la velocidad de las partículas es constante a lo largo de aquellas.Para este caso, pues, se podrá hablar indistintamente de “trayectoria” o “filete” o “línea de corriente”.

Caudal: Definición

Hemos descrito al movimiento en su aspecto íntimo, sin embargo pese a que es esencial conocer lastrayectorias, velocidades, aceleraciones, etc. de las partículas, no podemos dejar de reconocer que la primeraimpresión que produce en nosotros una corriente fluida en la realidad, está generalmente alejada de estas cuestionesmatemáticas.

Cuando se observa el agua que pasa por un río, o se piensa en la que lleva una cañería, la primera pregunta quese suele formular es ¿cuánta agua pasa o conduce esa corriente?

Observemos que esta idea de cantidad de agua conducida tiene carácter integral, pues no nos interesa cual es lavelocidad de cada partícula, sino el conjunto de todas.

La cantidad de fluido solo ha de medirse como cantidad de materia o mejor, como cantidad de masa. Como ladensidad es constante en los fluidos incompresibles, puede hacerse abstracción de la masa y pensar en el volumen,que le es en todo momento proporcional.

Por consiguiente, la pregunta formulada más arriba deberá contestarse en términos de una cierta cantidad dekilogramos masa o de metros cúbicos, o de litros que pasan por cada unidad de tiempo elegido para este cómputo.

A esto se llama caudal, flujo o gasto de la corriente que pasa por cierta sección transversal y que se designa conla letra “Q”.

Tubo de Flujo

Líneas deCorrientes


20/82


R19

Para los líquidos, las unidades elegidas suelen ser:

Metros cúbicos por segundo Q (m3 /seg.) Litros por segundo Q (lts/seg.)

Metros cúbicos por día Q (m3 /día) Hectómetros cúbicos por día Q (Hm3 /año), etc.

Veamos ahora como se puede referir esta imagen familiar de la corriente a la que surge del estudio de losartículos anteriores.

Sea un campo vectorial cualquiera y una superficie de área A dentro

de éste. Llamaremos flujo del vector v a través de una superficie muy pequeña AD contenida en la otra al producto escalar:

AQ DD nv rr

En la que nr

es el vector normal a la superficie.

Haciendo 0D A

dAvdAvdQ n cos (30)

Es decir, que el flujo a través de dA es el producto de dicha superficie elemental por la proyección del vectorsobre la normal a ella. En cuanto al signo, depende del sentido positivo elegido para la normal “n

r

”. Si la superficie

es cerrada adoptaremos como positivo el sentido de la normal entrante al volumen limitado.Vemos que las unidades del flujo son el producto de las de v

por las de A . Si v

es una velocidad, deben serun volumen partido por el tiempo.

Si el vector considerado fuera la velocidad de las partículas que pasan a través de la superficie, la (30) daría elcaudal elemental a través de dA , es decir, el volumen que atraviesa dA en la unidad de tiempo. Es evidente que esevolumen será tanto mayor cuanto mayor sea la velocidad normal a la superficie.

El caudal total, esto es el volumen que atraviesa la superficie de área total A , en la unidad de tiempo, seobtendrá sumando los caudales elementales a través de la superficie dA , luego:

· cos cos cosn x y z A A A

Q dA v dA v v v dA + + v n

(31)

ahora cuando el fluido es compresible utilizamos el caudal de masa, o sea la masa que atraviesa la superficie total por unidad de tiempo

A

n

A

dAvdAG nv rr

(32)

tanto “Q ” como “G ” son idénticamente nulos a través de las superficies libres o limítrofes de un escurrimiento.

En el caso particular de que la superficie atravesada fuera plana y normal a la velocidad, y esta fuera constantea través de ella, se tendría:

AvQ (33)

AvG Si =cte. (34)

dA

n

v


21/82


R20

La velocidad media del fluido que pasa por A es el cociente del caudal por el área de la superficie:

n A

m

A

v dA Qv

AdA

Teorema de Gauss

Consideremos un fluido cualquiera, animado de unmovimiento definido por su campo de velocidad. Sea unvolumen cualquiera “V ” limitado por una superficie

cerrada “ ”. Si se quiere conocer cuál es el caudal total de fluido

que pasa a través de la superficie de área A , analizamos el problema a través de un volumen elemental en que puedesubdividirse V :

Por comodidad y como no afecta la generalidad delrazonamiento, tomamos cubos elementales de lados oaristas dz dydx _ _ . Calculamos pues el flujo de v

através de las caras normales al eje x, con el convenio designos adoptado:

x x x x x

v vdQ v dy dz v dx dy dz dx dy dz

x x

+

Análogamente en las dos direcciones restantes:

dzdydx z

vdQdzdydx

y

vdQ z z

y

y

;

El flujo a través del cubo será:

dz dydx z

v

y

v

x

vdQ z

y x

+

+

(35)

El flujo a través de la superficie de área A será, en consecuencia:

Q y x z n

V

vv vv dA dV

x y z

+ +

(36)

Esta es la fórmula de Gauss o de Ostrogradski

La expresión escalar del vector v

se llama divergencia:

ˆ y x z vv v

div x y z

+ +

(v) (v)

dx x

vv x x

+

dz z

vv z z

+

dy y

vv

y

y

+

y

z

x

xv

z v

yv


22/82


R21

Por lo tanto, el flujo total o caudal de v a través de la superficie cerrada de área A, es igual a la integral de( )div v

extendida a todo el volumen V encerrado por A.Puede verse también, de la expresión (35), que la divergencia es el caudal por unidad de volumen que atraviesa

la superficie de área dA que limita al volumen infinitésimo dV situado en un punto donde la velocidad tiene unvalor v .( )div dQ dV v

(35 )́

Ecuación de continuidad

Hemos establecido que para el estudio de la mecánica de los fluidos se considerará la invariación de la masacon respecto al estado de movimiento y ello se traduce en la ecuación de continuidad. Estableceremos entonces quela materia no puede ser creada ni aniquilada por ningún proceso hidrodinámico.

Tratamos primero el caso de un fluido incompresible, es decir, un fluido

en el que la densidad es constante a través del tiempo. Entonces el principio dela conservación de la masa se traduce al de conservación del volumen.

Consideremos pues el caso de un escurrimiento en el seno de unasuperficie cerrada de área A que encierra un volumen V . Si esta superficie noes impermeable, será atravesada por el fluido y habrá partículas que ingresen y

partículas que salgan de dicho volumen. Para que la ecuación de continuidad secumpla deben ser iguales los flujos entrantes y salientes, porque de lo contrariohabrá producción o destrucción de materia en su interior dada la invariación dela densidad .

Surge de esto que:

Q= 0n A

v dA (36)

Esta expresión exige que la integral del segundo miembro sea nula:

ˆ ( ) 0 y x z

vv vdiv

x y z

+ +

(v) v

(37)

para todos los puntos del campo. Esta es la ecuación de continuidad de los fluidos incompresibles.Si en cambio es fluido es compresible, el caudal total de volumen o de masa a través de A puede no ser nulo,

pues el fluido que llena el volumen limitado puede estar más o menos comprimido. Pero es necesario que estecaudal no nulo sea exactamente compensado con la acumulación o disminución de masa por unidad de tiempo en elvolumen V . El caudal de masa total es:

V A

n dV dAvG )( vr

Por la fórmula de Gauss (38)

Ahora bien, la masa fluida que llena el volumen V es naturalmente:

dV M

V

A dA

n

v


23/82


R22

Por lo tanto, la variación de esta masa por unidad de masa debe ser igual a G :

V

M G dV

t t

= V

dV v

(39)

0)(0)( +

+

vv

rr

t dV

t V

Desarrollando )( v

( ) ( ) 0 grad divt

+ +

v v

(40)

0 x y z v v v divt x y z

+ + + + (v)

(40 )́

Es decir que si nos referimos al movimiento de una partícula, utilizando el criterio de Euler:

dt

dz v

dt

dyv

dt

dxv z y x ;;

variacion de laVariación de la densidad en función

densidad en el tiempo del camino o posición del punto,(variación local) cuando este es a su vez función del

tiempo (variac

dx dy dz

t x dt y dt z dt

+ + +

ión convectiva)

0div + (v)

0d

divdt

+ (v)

(41)

O lo que es igual:

0

+

+

+

z

v

y

v

x

v

dt

d z y x

(41 )́

Esta es la expresión más general de la “ Ecuación de Continuidad ”, en que es función de (x; y; z; t).Obviamente la ecuación (41) coincide con la ecuación (31) cuando el fluido es incompresible porque entonces seria:

0dt

d .


24/82


R23

Ecuación de continuidad referida a un tubo de flujo

Nos ocuparemos ahora de otra forma de la

ecuación de continuidad, que es la más utilizada en laMecánica de los Fluidos práctica.Supongamos primero un fluido incompresible y en él

un tubo de flujo de sección transversal “ A”, en generalvariable; el caudal que pasa a través de ella, escurre en cadainstante, lo mismo que si el tubo de flujo fuera sólido. Estecaudal será variable de sección a sección, pues el tuboexperimenta variaciones de tamaños durante el tiempotranscurrido para pasar de una a otra.

Supongamos un trozo de longitud “dl” en la dirección del escurrimiento medio, la velocidad es constante paratoda la sección del tubo si se elige “ A” lo suficientemente pequeño. Como Q es el caudal que pasa a través de la

sección inicial “ A1” el que pasa a través de “ A2” será: Q+ (Q/l) dl, y el volumen que sale por “A2” en el intervalodt es proporcional al caudal: [Q+ (Q/l) dl dt , mientas que el que entro por “ A1”es: Qdt , con el convenio designos, el volumen V comprendido entre A1 y A2tendrá durante dt una variación :

·Q

dV dt dl l

Pero este incremento puede expresarse igualmente si conocemos la variación de “ A”, pues V=A dl dt,

entonces dt dl t

AdV

, por lo tanto:

dt dl t

Adt dl l Q

De donde se tiene que:

0

+

t

A

l

Q (43)

Que es la ecuación de continuidad referida al tubo de flujo.Si el movimiento es permanente 0 A t , y la ecuación de continuidad se expresa por la invariación del

caudal a lo largo del tubo de flujo, que ahora es inmóvil y se comporta como si realmente fuera rígido eimpermeable.

Todo lo dicho precedentemente es aplicable al caso de los fluidos compresibles, con la salvedad de considerar,en lugar del caudal Q, por el caudal de masa G= Q, de la masa contenida en V .

La ecuación de continuidad será entonces:

0

Q A

l t

+

(44)

Ecuación, ésta, útil en el estudio del golpe de ariete.En los líquidos la variación de” ” a lo largo de un tubo es sumamente pequeña y puede despreciarse sin error

sensible, por lo que la expresión anterior puede expresarse mas sencillamente:

0 AQl t + (44´)

1 A

2 A

V

dl 1 A

2 A

V

dl


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R24

Aceleración

La aceleración de una partícula es la variación de su velocidad por unidad de tiempo, su estudio puede hacerse

por dos caminos, según el método de Euler o el de LagrangeSe puede preguntar cuál es la variación de la velocidad de las partículas que pasan por un punto del espaciolleno de fluido, ó bien se puede calcular la variación de la velocidad de una partícula a lo largo de su trayectoria.

En el primer caso supondremos fijas las coordenadas del punto en cuestión y solo consideraremos la variacióncon respecto al tiempo, esta derivada se denomina local y naturalmente se anula cuando el movimiento es

permanente, su expresión es:

v

t

.

Supongamos que en vez de tratarse de la velocidad se calculase la variación de cualquier otra propiedad física

del fluido (por ejemplo la temperatura, densidad, etc.) entonces si estuviera en reposo no podría considerarse paracada partícula otra variación que la local, la que concierne al punto en que la partícula estaría durante todo el proceso.

Pero si se considera un fluido en movimiento, la variación local no será la única que cambie la propiedadmencionada , pues se consibe muy bien que esta varíe por el hecho de que la partícula cambie de posición. A estavariación se llama “convectiva” o de “convección”.

La derivada de convección depende en consecuencia de:1. La velocidad de la partícula en sí, o sea del vector velocidad2. La distribución espacial de la propiedad considerada.

Si se tratase de la velocidad, esta derivada se podría calcular cuando se conozcan los valores de:

z y x

v v v ;; Y z y x vvv :;

Que nos dan los componentes de la variación de v

a través del espacio y de la velocidad de la partícularespectivamente. En efecto si derivamos con respecto al tiempo la función vectorial velocidad, suponiendonula la derivada local, se tendrá:

dt

dz

z dt

dy

ydt

dx

x

+

+ v v v

O bien:

z y x v z

v y

v x

+

+

v v v

Que será la expresión de la derivada de convección, es decir, la variación de la velocidad de una partícula por elhecho de que cambia de posición.Si sumamos ambas derivadas (la local y la convectiva) obtendremos la derivada total de la velocidad conrespecto al tiempo, cuando se considera el movimiento de una partícula. A esta derivada se la conoce comoderivada sustancial y es la expresión aceleración de la partícula:

A

t

v x y z v v v

x y z

+ + +

v v v


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R25

También las componentes del vector A

según los tres ejes coordenados son:

x x y z v v v

t x y z

+ + +

x x x xv v v vA

y y y y y x y z v v v

t x y z

+ + +

v v v vA

(46)

z z z z z x y z v v v

t x y z

+ + +

v v v v

A

La Aceleración en coordenadas intrínsecas

Si l

es el versor tangente a la trayectoria l de una partícula enun punto P determinado, tangente también a la línea de corriente que

pasa por P en ese instante, el vector velocidad de aquella estará dado

por el producto del módulo “v” por l

, es decir:

v v l

Llamamos n

al versor normal principal, que es normal a lacurva y está contenida en el plano osculador.

Finalmente b

será el versor binormal, normal a l

y a n

.

La terna “ l

- n

- b

”. Se llama intrínseca, depende de la posición de la partícula sobre la trayectoria “l ” y esta posición del tiempo “t ”.

La aceleración de una partícula será por consiguiente:

( )d d v dv d v

dt dt dt dt

+

v l lA l

Pero como “l” es función del camino “s” que es a sus vesfunción del tiempo t para una trayectoria determinada, se tiene que:

d d ds d v

dt ds dt ds

l l l

(47)

Puesto que dt ds es el módulo de la velocidad. Además dl esun vector dirigido paralelamente a la normal principal “ n

r

”. En efecto está en el plano de dos tangentes sucesivas y

es el resultante de dos vectores de igual módulo cuyo ángulo es infinitésimo. Además puesto que “ l

” y “ d +l l

”

l r

dl l +r

d s l r

dl l +r

dl

d

x

y

ln

b

v

P

Triedro Intrínseco


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R26

son módulos iguales a la unidad, “ d l

”mide el ángulo de contingencia d . Por ello d dsl

es un vector cuyadirección es la de “n

r

” y cuyo módulo es igual a la curvatura “C ” de la trayectoria.

modd d

C

ds ds

l

1d

ds r

ln

(48)

En la que “r ” es el radio de curvatura local, entonces de (47) y (48) se tiene:

dl vn

ds r

De donde se tiene que:2

dv vdt r

+ A l n

Es decir que la aceleración de la par tícula no tiene componente según el eje binormal “b”. Sobre el eje “l ” la componente de la aceleración es dt dv que puede obtenerse sabiendo que v es función de

“ s ” y de “ t ”. Entonces:

s

v

t

vv

s

v

t

v

dt

ds

s

v

t

v

dt

dv

+

+

+

)(

2

1 2

Esta componente se llama “aceleración lineal”:

s

v

t

v Al

+

)(

2

1 2 Aceleración lineal

En cuanto a la componente sobre el eje “ n ” puede verse que es la aceleración centrípeta local:

2v An

0b A

Se comprueba que cuando un movimiento es rectilíneo la aceleración está dirigida como la trayectoria, puestoque como el radio de curvatura es infinito, la aceleración centrípeta es nula.


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R27

Dinámica de los fluidos

Esfuerzos en los sistemas continuos en movimiento

Consideremos un sistema continuo en movimiento con respecto a una terna de ejes y veamos que causas soncapaces de provocarlo. Estudiamos las condiciones de una porción fluida limitada por una superficie de área “ A ”enla cual supondremos contenida una cierta cantidad de partículas, y veamos las acciones que experimentan las

partículas contenidas y las que a su vez ellas transmiten a través del límite ideal. Ahora bien, estas fuerzas pueden serde dos clases esencialmente distintas, las primeras corresponden a las acciones que las

partículas exteriores, próximas al límite, transmiten a través de este, y la segunda a lasfuerzas que dependen de la masa contenida en el volumen interior. Analizaremos

primeramente las fuerzas superficiales (primer tipo mencionado), sea “dA” el área de

un elemento infinitésimo de superficie y admitamos que pueda suponerse aplicada a

dA una fuerza del mismo orden de magnitud. Si llamamos “ dATr

” a esta fuerzasuperficial elemental, el factor “T

r”será naturalmente finito.

Euler denominó “esfuerzo” a estas fuerzas superficiales, que son puesfuerzas y tienen dimensión de estas. El factor T

r se puede concebir en

cambio como el esfuerzo unitario que se ejerce sobre la superficie y en el punto de posición de “ dA”,

pero por cada unidad de área, suele llamarse también “esfuerzo especifico”. Hemos dicho que en el fluido perfecto la dirección de los esfuerzos no depende del estado de

movimiento, siendo siempre normales a las superficies sobre las que se ejercen. Pero es unaabstracción pues lo real es que la dirección puede ser cualquiera. Es conveniente enfocar el estudio delos esfuerzos por sus componentes normales y tangenciales, por lo que definiremos como esfuerzo

normal a la proyección de dAT

r

sobr e la normal a “ dA”. En cuanto a los signos, diremos que el esfuerzo específico normal es positivo cuando es una“presión”, o bien cuando su sentido coincida con el de la normal positiva. Cuando A sea el área de unasuperficie cerrada, se da el signo positivo a la cara interna a fin de que resulten positivas las presiones ejercidas sobreel fluido interior.

Definimos como empuje elemental al producto del esfuerzo normal por el elemento de área “n dAT

”, el

empuje total será:

n A

E dA T

Empuje resultante

Fuerzas de Masa y Fuerzas de D´Alembert

Es imprescindible definir claramente las fuerzas de masa y diferenciarlas de las llamadas fuerzasde D´Alembert o de inercia. Una fuerza de masa puede concebirse como la resultante de las acciones adistancia que se ejercen sobre los elementos de masa contenidos en una porción fluida. Estas fuerzasson proporcionales a la masa contenida, y naturalmente no se desarrollarían si el volumen consideradoestuviera vacío, véase la diferencia sustancial con los esfuerzos o fuerzas superficiales.

Así pues, las fuerzas de masa para un elemento de volumen dV serán:

dm dV F F

En la que “ Fr

” es la fuerza por unidad de masa que se desarrolla en el baricentro de dV .

·dATrn

r

dA

A


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R28

Acabamos de definir todas las clases de fuerzas que pueden presentarse en la Mecánica de losFluidos, es decir, que podrán ser superficiales o de masa exclusivamente.

Ahora bien, cuando un fluido está en reposo o en traslación uniforme, los principios de laHidrostática dicen que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la porción fluida considerada y la

suma de los momentos de las mismas con respecto a cualquier centro, deben ser nulassimultáneamente.

Esto no ocurre cuando el fluido experimenta una aceleración, el principio de D´Alembert diceentonces que el sistema estaría en equilibrio o a lo sumo en traslación uniforme (con respecto a unsistema galileano) si además de las fueras que realmente actúan, se introdujeran otras “ficticias” y

proporcionales a la masa acelerada cuya expresión para el volumen dV es el siguiente:

Ar

dV

En la que “ Ar

” es la aceleración, vector definido en cinemática y su signo (-) dice que esas fuerzasficticias se oponen a la aceleración.

Puede verse que Fr

debe tener también la dimensión de una aceleración.

Ecuaciones Indefinidas

Supongamos el movimiento de un continuo sometido a fuerzas de masa y superficiales, y sea “ Ar

”

la aceleración impresa a unelemento muy pequeño de volumen“ dV ” y masa “ dV ” que porcomodidad supondremos limitado

por las caras de un paralelepípedo

de aristas dx ; dy ; dz paralelas alos ejes coordenados, hipótesis éstaque no introduce limitación algunaen la validez de nuestros resultados.

Las fuerzas de masa y las deD´Alembert darán una resultanteaplicada en el baricentro “G ” del cubo y cuya expresión es lasiguiente:

( ) dV F A

En cuanto a las fuerzassuperficiales, comenzaremos por hallar la resultante de las que actúan sobre las caras normales al eje x ,será:

dz dy xTr

Y en la cara opuesta:

dz dydx x

+ )( xx

TT

r

r

Y la resultante será:

dV xdz dydx x

xx TT

rr

)(

y

z

x

xTr

x xTr

x z

x z dx x

+

TT

rr

x x

x x dx x

+

TT

rr

x x

dx x

+

TT

rr

x y

x y dx x

+

TT

rr

· ·dV r Fr

x z Tr

x yTr

· ·dV r Ar

O

Análisis del equilibrio dinámico de un paralelepípedo elemental

dy

dx

d z


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R29

A expresiones análogas se llegará con respecto a los otros ejes:

dV

y

yTr

dV

z

z

Tr

Las derivadas y

xTr

; y

yTr

; z

zTr

tienen carácter vectorial son fuerzas y pueden concebirse como

los esfuerzos resultantes por unidad de volumen que actúan sobre las caras normales a los ejescoordenados correspondientes. Por lo tanto de acuerdo al principio ya enunciado será:

0)(

dV

z dV

ydV

xdV ZYX

TTTAF

rrrr

(1)

O bien:

z y x

+

+

ZYX

TTTAF

rrrr

)( (1´)

Que es la primera ecuación indefinida del movimiento de los continuos.Si proyectamos la expresión anterior sobre los tres ejes coordenados, y llamamos X

r – Y

r- Z

r a las

componentes de la fuerza de masa Fr

, se tendrá:

z y x

X X X

+

+

ZYXX

TTTAX

rrrrr

)(

z y x

Y Y Y

+

+

ZYXX

TTTAY

rrr

rr

)( (1´´)

z y x

Z Z Z

+

+

ZYXX

TTTAZ

rrrrr

)(

La segunda condición de equilibriodinámico exige también que sea nulo el

momento resultante, con respecto a cualquier punto, de todas las fuerzas que actúan sobreuna determinada porción del continuo.Tomamos igual que el caso anterior un

paralelepípedo, y sea su centro coincidentecon el origen de coordenadas (porsimplicidad de cálculo). Respecto al eje Z tomamos momentos, los de las fuerzas demasa y de inercia serán nulos por sercoplanares, lo mismo ocurrirá con aquellosesfuerzos que también son coplanares con

dicho eje.

y

z

x1

2

y x

y x dy y

TT

r

r

1

2

x y

x y dx x

+

TT

r

r

1

2

y x

y x dy

y

+

TT

r

r

O

1

2

x y

x y dx x

TT

r

r


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32/82


R31

Caso en que las Fuerzas de Masa derivan de un Potencial

Todos los procesos reales en la hidráulica se desarrollan en el campo gravitatorio terrestre y porello reviste mucho interés el estudio de los movimientos en los que las fuerzas de masa derivan de un

potencial.Supongamos que “U ” sea la función escalar de un punto, de la que se deriva el campo de fuerzas

conservativo, cuya expresión en un punto cualquiera es “ Fr

”, en tal caso se sabe que:

( ) U U U

grad U x y z

+ +

F i j k

Por lo que las expresiones de Xr

– Yr

- Zr

serán:

k Z jYiXrrrrrr

z

U

y

U

x

U

,;

En consecuencia las ecuaciones de Euler se transforman en:

k A jAiA ZYXrrrrrr

z

p

z

U

y

p

y

U

x

p

x

U

1,

1;

1 (6)

O bien en lenguaje vectorial:1

( ) ( ) grad U grad p

A

(7)

Como caso particular, el de un líquido que se encuentra sometido a la acción de la gravedad. Como = cte. La expresión (7) puede escribirse así:

p grad U

A

(8)

Además resulta que 0U z g U + donde “ g ” es la aceleración de la gravedad y “ z” la cotageodésica sobre un plano de referencia X-Y en la que el potencial vale U 0, entonces:

; , · p p p

z g

x y z

+

X Y ZA i A j A k

(9)

O bien:

p grad z g

+

A

(10)

En la Mecánica de los Fluidos práctica (Hidráulica) suele escribirse de otra forma considerandoque “ g ” se mantiene constante en todo el campo:

p grad z

g

+

A

(11)

La magnitud “ p z + ” o cota piezométrica en Hidrostática se mantiene constante.


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R32

Proyección de las Ecuaciones de Euler sobre el Triedro Intrínseco

Veremos ahora el problema más general del movimiento en el que es cualquiera la repartición de

velocidades y presiones en el campo abarcado.En estas condiciones parece sumamente práctica la elección de una terna de referencia intrínseca ala trayectoria, pues permite expresar cómodamente la velocidad y la aceleración de la partícula, en elmovimiento de su paso por el origen.

La ecuación (11) establecía que:

p grad z

g

+

A

Ahora bien, si proyectamos esta ecuación vectorial sobre los ejes de la terna intrínseca tendremos:

Con respecto al eje binormal:

0b A p z g b

+

(12)

Con respecto al eje normal principal:

21n A

g

v p z

g r n

+

(13)

Con respecto al eje tangente:

21 1 1 ( )

2

l A dv v v p z g g dt g t l l

+ +

(14)

Si multiplicamos cada una de las ecuaciones por db , dn y dl y luego integramos, suponiendoque el fluido es incompresible, tendremos:

bC p

z +

Es decir que la cota piezométrica es siempre igual a una constante C b a lo largo de la binormal ala trayectoria, o en otras palabras que según esa dirección se cumple en todo punto de un líquido la leyde la Hidrostática.

Esta propiedad es absolutamente general, pues no hemos hecho hipótesis alguna sobre lascondiciones en que se desarrolla el movimiento.

21 p v z dn Cn

g r + + (15)

Así pues la cota piezométrica no es constante a lo largo de la normal a la trayectoria, si no es

constante la integral del segundo miembro de la expresión (15). Esto último puede ocurrir solo cuandola trayectoria es rectilínea, pues entonces 0dn y la integral es idénticamente nula.


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R33

En consecuencia, cuando un movimiento esrectilíneo la cota piezométrica a lo largo decualquier normal a un punto cualquiera de latrayectoria es constante. En el caso de un canal

se tiene que la profundidad “h ” del fondo es, para un escurrimiento rectilíneo, igual a la alturade presión de las partículas situadas allí. Porconsiguiente, si se toma el plano 0 z , de modoque pase por el fondo del canal, h mide la cota

piezométrica de todas las partículas que escurren por la sección considerada.

Integración de la Ecuación de Euler a lo largo de una trayectoria.Ecuación o Teorema de Bernoullí

Ahora integrando para un fluido perfecto compresible situado en un campo gravitatorio cualquierase tiene:

21 ( ) 1

2

v v U p

t l l l

+

Multiplicando ambos miembros por dl e integrando a lo largo de la línea de corriente se tiene:

2

2l l

dp v vU dl Cte

t

+ + +

(16)

En el campo gravitatorio terrestre, para un fluido incompresible será:

g z U 2

2l

p v v z g dl Cte

t

+ + +

O bien:

2 1

2 l

p v v z dl Cte

g g t

+ + +

(17)

Cuando el movimiento es permanente 0vt

y entonces llamando “ H ” al primer miembro, se

tiene:2

2

p v H z Cte

g + + (18)

La ecuación (18) expresa la ley establecida por Daniel Bernoullí, y es una de las ecuaciones básicas de la Hidrodinámica por cuanto establece que varían presiones y velocidades, en suinterdependencia recíproca.

0 z

1 p

h

1 z 1

ph

Movimiento rectilíneo con superficie libre: La cota piezométrica es constante a lo largo de la normal.


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R34

Recapitularemos brevemente las condiciones que hemos establecido en la deducción de lafórmula:

a) El fluido es perfecto b) El fluido es incompresible

c)

La integración se ha hecho a lo largo de una determinada trayectoria que ahora por d)coincide con la línea de corriente l

d) El movimiento es permanentee) El movimiento se desarrolla en el campo gravitatorio terrestre

De acuerdo con la a) no podrá ser válida la fórmula para un fluido real, pues no se ha tenido encuenta los frotamientos que producen tensiones tangenciales.

Por la b) no puede aplicarse con aproximación sino cuando se cumplan las condiciones para queun fluido se pueda considerar incompresible. Si no ocurriese así, será necesario utilizar la fórmulageneral deducida:

2

2

dp v

z Cte g + +

De acuerdo con la c) la constante de la (18) solo es válida en general para una trayectoria perodiferirá de otras trayectorias.

Según la d) la constante de (18) corresponde a una trayectoria permanente durante elescurrimiento cuando este es estacionario, pues si no hay que tener en cuenta la variación local de lavelocidad.

Finalmente, la e) nos impedirá utilizar la fórmula si se superpusiese al campo terrestre algún otrocampo. Además se ha supuesto constante este campo a lo largo de la trayectoria.

Con estas condiciones podemos afirmar que, a lo largo de una trayectoria cualquiera en un

movimiento permanente, la suma de la cota piezométrica y el término2

2v g es constante.En la figura se ha representado con línea continuaun filamento de corriente cuya forma es invariabledurante un movimiento estacionario. Si dQ es elcaudal infinitésimo que pasa a través del tubo y dAesel área de su sección transversal, se tiene que:

v dQ dA

Es el módulo de la velocidad media en el tubo,que podemos considerar constante, pues se trata de un

filamento de corriente.Si logramos conocer en esta forma el valor de v ,

nos será fácil calcular p para cada punto de latrayectoria, con tal que tengamos el valor de la constante. En otros términos, se deben conocer losvalores de los tres sumandos en un punto 1 R de la trayectoria para el cual:

2

1 11

2

p v H z

g + +

El término 2 2v g tiene dimensión de una longitud, como p y z , así que la formula hallada esdimensionalmente homogénea. Esta distancia es la que recorrería a lo largo de la vertical, un punto

material pesado que partiese del reposo cayendo en el vacío, hasta alcanzar la velocidad “ v ”, o biensería la altura hasta la que subiría si fuese lanzada hacia arriba con velocidad inicial “ v ”.

p

2

1 2v g

1 z

1 p

H

0 z

Tr ay e ct o r i a

Piezométr ica 2 2v g

1( ) R

( ) R


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R35

El Teorema de Bernoullí puede expresarse de esta manera: “ La suma de la altura geodésica ( z ),más la altura piezométrica ( p ), más la altura cinética ( 2 2v g ) es constante a lo largo de unatrayectoria”.

En la figura anterior se ha representado por una línea horizontal al plano de referencia a partir delque se miden las cotas y el diagrama de las cotas o cargas piezométricas o simplemente piezométrica dela trayectoria considerada.

Cuando en cada punto (considerado) de la trayectoria se suma a la cota piezométrica la altura

cinética 2 2v g , el Principio de Bernoullí establece que el diagrama resultante es una línea horizontal.Esta recta se llama línea de “cargas totales” o línea de las cargas hidrodinámicas.

Interpretación dinámica del Teorema de Bernoullí

En nuestros desarrollos hemos llegado a establecer el principio de Bernoullí sin recurrir nada más

que a la ley de D´Alembert, pero en esta forma hemos demostrado también el principio deconservación de la energía de la Mecánica de los Fluidos. Para mejor comprensión supondremosinversamente, que este principio sea válido y obtendremos la fórmula de Bernoullí tal como fueobtenida por él mismo.

Supongamos que un filamento líquido limitados porlas secciones A y B , en movimiento permanente, ocupeen un instante determinado la posición B A y se muevaen el sentido de A hacia B . v

A será la velocidad en A y

vB será la velocidad en B . AU será el potencial de las

fuerzas exteriores en A y BU en B .

Después de un instante, el trozo de un filamentoocupará la posición ´´ B A y si “m ” es la masa contenidaentre A y ´ A , también será “m ” la masa contenida entre B y ´ B por la ecuación de continuidad.

La energía cinética poseída por el fluido entre A y ´ A será muy aproximadamente igual a

“ 212 A

m v ” y entre B y ´ B “ 212 B

m v ”.

La energía potencial del fluido entre A y ´ A será “ AU m ” puesto que AU es la energía potencial

por cada unidad de masa en A , y entre B y ´ B se tendrá “ BU m ”.

En consecuencia el incremento de energía entre A y B será:

2 21 1

2 2 B B A Am v U m v U

+ +

Este incremento de energía debe ser igual al trabajo efectuado por las presiones. Como solo producirán trabajo las que tengan componentes paralelas a la dirección del movimiento, consideremosaquellas que actúan sobre los extremos del trozo.

El trabajo de las fuerzas de presión para el fluido comprendido entre A y ´ A será:

m pdV pdl dA p A A A A

Av

´ B B

´ A

A

Bv


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R36

Si dl es el camino infinitésimo recorrido entre A y ´ A , y dV el volumen comprendido entredichas secciones.

Por lo tanto el trabajo total realizado por las presiones será:

m pm p A B

Igualando al incremento de energía se tendrá, por unidad de masa:

2 21 1

2 2 A B

A A B B

p pv U v U

+ +

Que cuando Cte g z U + “potencial gravitatorio terrestre”, coincide con la fórmula deBernoullí:

2 21 1

2 2 A B

A A B B

p pv z g v z g

2 2

2 2 A A B B

A B

p v p v z z Cte

g g + + + +

2

2

v p H z

g + +

Donde podemos decir que:

z : Es la energía potencial que la unidad de peso del líquido en movimiento poseecuando pasa por el punto considerado.

p: Es el trabajo efectuado por las presiones, también por unidad de peso.

2

2

v

g : Es la energía cinética de la unidad de peso que se traslada con la velocidad v .

De esto se sigue, entonces, que en un fluido perfecto en movimiento estacionario, la suma de las

energías de posición (o potencial), de presión y cinética de una partícula se mantiene constante a lolargo de la trayectoria correspondiente.


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R37

Aplicaciones del teorema de Bernoullí:

a) Vena líquida que cae en la atmósfera

La superficie libre de la vena es isóbara si se desprecian lasvariaciones que la presión puede experimentar entre los diversos

puntos del recorrido (que por cierto es pequeña). Entonces laecuación de Bernoullí puede escribirse prescindiendo de la

presión, por lo menos para trayectorias superficiales:2

2

v z Cte

g +

Si suponemos que las trayectorias sonaproximadamente rectilíneas y verticales, la (15) nos

permite afirmar que la presión se mantiene constante encada sección transversal de la vena, que esaproximadamente plana y horizontal. Por estosupondremos que la expresión es válida para cualquiertrayectoria. Esta ecuación nos permite calcular lavelocidad en cada punto de cota conocida, siempre que setenga el valor de aquella en un punto arbitrariamenteelegido de la misma trayectoria.

Supongamos que la partícula parte prácticamente del reposo desde un punto situado a la cota z1, setiene entonces:

z1=Cte y2

12v z z h g

De modo que la velocidad a “ h ” metros aguas abajo del punto de partida será 2v g h , es

decir pr oporcional a la raíz cuadrada de “h”. Si se quiere conocer la forma de la vena habrá que recurrir a la ecuación de continuidad referida al

tubo de flujo de aquella. Se tiene para la cota z que2 2 2Q v A

, que es constante, puesto que el

movimiento es permanente. Se ha supuesto que la curvatura de las trayectorias es despreciable, y que puede considerarse constante la velocidad en la sección A2, por lo tanto:

2

2

2

12

Q h g A

y 2·

Q A2 g h

Con lo que 2 A resulta inversamente proporcional a h .

b) Movimiento permanente en un conducto de sección variable. Tubo deVenturi

Supondremos, como siempre, que el fluido sea perfecto y que la distribución de velocidades en

una sección transversal sea uniforme, además supondremos que no hay curvatura apreciable en lastrayectorias.

h

1 z 2 A

z vena libre

0 z


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R38

Sea pues, el tubo de la figura por el que circula un caudal Q, el c

Teoría - Ing Drelichman

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