Partielle Information in der Entscheidungstheorie

em.o.Univ. Prof. Dkfm. Dr. Wolfgang Janko, WU

Grundmodell der Entscheidungstheorie

Handlungsalternativen Umweltzustände

z1 z2 … zm

Konsequenzen

a1 x11 x12 … x1m

a2 x21 x22 … x2m… … … … …

an xn1 xn2 … xnm

Umweltzustände

z1 z2 … zm

Handlu

ngsaltern

ativen a1 u(x11) u(x12) … u(x1n)

a2 u(x21) u(x22) … u(x2n)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am u(xm1) u(xm2) … u(xmn)

Nutzenmatrix

Informationssystem:

Umweltzustände

Nachrichten

y1 y2 … yk

Wahrscheinlichkeiten

z1 w(y1│z1) w(y2│z1) … w(yk│z1)

z2 w(y1│z2) w(y2│z2) … w(yk│z2)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

zm w(y1│zm) w(y2│zm) … w(yk│zm)

Bayes‘sches Theorem:

m

i

iijj zwzywyw0

)()()(

n

i

iij

iij

ji

zwzyw

zwzywyzw

0

)()(

)()()(

Informationsbeschaffung

a. Entscheidungstheorie formuliert auch Abbildungen von Nachrichten in den Aktionenraum (die auch randomisiert werden können; s. Ferschl, Nutzen-und Entscheidungstheorie,Opladen,1975).Statt für Aktionen wird das Problem nun für Entscheidungsfunktionen betrachtet und liefert den Wert des Informationssystems.

Igz zu vollständigen Aktionenmengen wird hier die Aktionenmenge als nur teilweise bekannt und zu Kosten c erweiterbar angesehen:

a. Einstufig

b. mehrstufig (sequentielle Beschaffungsmodelle)

Aktionensuche:

Alternativensuchmodelle

+viele andere Modelle

Optimale Politik bei einfacher Alternativensuche und bekannter Verteilung des (Geld-)Nutzens

F(u) mit Dichte f(u):

Ermittlung von v* = erwarteter Wert bei optimaler Fortsetzung der Suche

Stoppen wenn u ≥ v*!

Ermittlung:

Wir erhalten v* als Nullstelle: TF(v)-cs=0

Bsp.:

Für G(u,s) gilt: TF(v)-f(v)-v(1-F(v))

Für N [0,1] gilt: TF(v)=(v²+1)/2-v und v* = 1-√2cs

(cs < ½)

s

v

s

vv

s

v

v

s

v

s

cduufvuv

cduufuduufvvcduufuvvF

cduufuduuvf

cvuEv

)()(

)()()()(

)()(

,max

TF(v)

Aktionensuche

Konjugierte Familie: a priori Verteilung = a posteriori Verteilung ,

Beispiele:

Parameter Konjugierte Familie

Bernoulli-Verteilung Beta-Verteilung

NormalverteilungGamma-Verteilung

Normal

Poisson-Verteilung Gamma-Verteilung

Negative Binomialverteilung Beta-Verteilung

Gleichverteilung Pareto-Verteilung

Multinomialverteilung Dirichlet-Verteilung

mehrdimensionaleNormalverteilung

Wishart-Verteilung

Sequentielle Alternativensuchemit Datenpräzisierung

Bekannt: 3-dimensionale Verteilung der ZV X = (x1, x2, x3)

Entscheider kann:

X1 mit Suchkosten c1 beobachten,

X2 mit Testkosten c2 beobachten.

Er kann in jedem Fall akzeptieren oder mit der Suche fortfahren.

Den wahren Wert X3 kennt er erst nach Akzeptanz.

Wir nehmen an X ist multivariat normalverteilt mit den Parametern und der Korrelationsmatrix M.

Der Such- und Testprozess

Verwerfen

Verwerfen

X1 Beobachten X2 Testen

c1c2

Akzeptieren

X3

Optimale Politik

Es muss untersucht werden, ob Testen überhaupt sinnvoll ist. Wenn nicht, dann ermittelt man den Wert der Politik v0 wie bei einer sequ. Politik.

Ist Testen sinnvoll, so werden die Werte x* (<) und y* ermittelt, die das Testintervall definieren. Für x>y* nehme an, für x<x* verwerfe und für x*<x<y* teste. Mit v* errechnet man den Wert der Politik.

Tabelle 1: The influence of search costs c1 on the optimal policy

c2

0.4 0.6 0.4 10 10 10 10 10 10 1

c1 x* y* v* x0 v0

0.01 30,065 41,262 20,265

0.05 24,957 36,152 18,222

0.1 21,865 33,063 16,986

0.2 18,828 30,024 15,770

0.5 13,708 24,905 13,723

0.7 11,563 22,763 12,866

1.0 9,051 20,249 11,860

1.3 7,053 18,248 11,059

1.5 5,854 17,053 10,582

1.7 4,805 16,004 10,162

2.0 3,334 14,532 9,573

2.2 2,437 13,636 9,215

2.5 1,169 12,368 8,708

4.0 -4,193 6,563 7,005

Tabelle 2: The influence of testing costs on the optimal policy

c1

0.6 0.6 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1

c2 x* y* v* x0 v0

0,01 15,535 47,098 22,787 - -

0,05 18,792 42,883 22,505 - -

0,1 20,352 40,776 22,333 - -

0,2 21,846 38,169 22,005 - -

0,35 23,011 36,629 21,593 - -

0,5 23,785 33,83 21,284 - -

0,7 24,523 31,947 20,947 - -

1, 25,51 29,861 20,611 - -

1,5 27,027 27,478 20,352 - -

1,7 - - - 27,3724 20,424

2, - - - 27,373 20,424

2,2 - - - 27,3739 20,4243

2,5 - - - 27,3748 20,4249

yx-xx = konstant

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

0.0

1

0.0

5

0.1

0.2

0.5

0.7

1.0

1.3

1.5

1.7

2.0

2.2

2.5

4.0

x*

y*

v*

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0.0

1

0.0

5

0.1

0.2

0.3

5

0.5

0.7 1

.

1.5

1.7 2

.

2.2

2.5

x*

y*

v*

x0

v0

Tabelle 3: The influence of the ratio c 1 /c 2 on the optimal policy

c1 + c2

0.6 0.8 0.4 10 10 10 10 10 10 0.4

c1 c2 c1/c2 x* y* v*

0,005 0,395 0,01266 29,195 52,205 28,413

0,01 0,39 0,0256 28,417 51,559 27,993

0,05 0,35 0,1428 23,155 47,367 25,163

0,1 0,3 0,3333 20,291 46,022 23,891

0,15 0,25 0,6 17,095 45,381 22,987

0,18 0,22 0,8182 16,360 45,020 22,418

0,2 0,2 1,0 15,582 45,136 22,215

0,22 0,18 1,222 14,797 45,296 22,027

0,25 0,15 1,667 13,584 45,669 21,770

0,3 0,1 3,0 11,267 46,775 21,416

0,35 0,05 7,0 8,100 49,079 21,156

0,39 0,01 39,0 2,336 54,194 21,014

0,395 0,005 79,0 0,483 56,347 21,010

Tabelle 4: The influence of the mean value 1 of x1 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.6 0.4 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

3 14,846 31,169 22,005 - -

5 16,846 33,169 22,005 - -

10 21,846 38,169 22,005 - -

15 26,846 43,169 22,005 - -

20 31,846 48,169 22,005 - -

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

0.0…

0.0

1

0.0

5

0.1

0.1

5

0.1

8

0.2

0.2

2

0.2

5

0.3

0.3

5

0.3

9

0.3…

c2

c1/c2

x*

y*

v*

Hohe Testkosten c2 weniger Einfluss als hoheSuchkosten c1

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

3 5 10 15 20

x*

y*

v*

Erwarteter Ertrag vx bleibt gleich bei unverändertem Rest Testbereich verschiebt sich exakt um Mittelwertverschiebung

Tabelle 5: The influence of the mean value 2 of x2 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.6 0.4 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

5 21,846 38,169 22,005 - -

10 21,846 38,169 22,005 - -

20 21,846 38,169 22,005 - -

Tabelle 6: The influence of the mean value 3 of x3 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.8 0.6 10 10 10 10 10 0.2 1.0

x* y* v* x0 v0

0 20,873 30,980 9,547 - -

5 20,819 30,960 14,535 - -

10 20,831 30,958 19,538 - -

12 20,817 30,957 21,533 - -

15 20,817 30,957 24,533 - -

20 20,825 30,963 29,536 - -

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

5 10 20

x*

y*

v*

Kein Einfluss bei sonst gleichen Werten

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0 5 10 12 15 20

x*

y*

v*

vx steigt mit 3 gleichmäßig parallel

Tabelle 7: The influence of the standard deviation of x1 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.8 0.6 10 10 10 10 10 0.2 1.0

x* y* v* x0 v0

5 15,415 20,483 19,539 - -

7 17,582 24,676 19,539 - -

10 20,831 30,966 19,539 - -

13 24,079 37,256 19,539 - -

15 26,246 41,450 19,539 - -

20 31,661 51,934 19,539 - -

Tabelle 8: The influence of 2 the standard deviation of x2 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.8 0.6 10 10 10 10 10 0.2 1.0

x* y* v* x0 v0

5 20,830 30,967 19,539 - -

10 20,830 30,967 19,539 - -

15 20,830 30,967 19,539 - -

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

5 7 10 13 15 20

x*

y*

v*

1 kein Einfluss auf Ertrag, Testbereich wächst mit steigenden 1

0.0

20.0

40.0

5 10 15

x*

y*

v*

2 hat keinen Einfluss auf Testbereich und vx.

Tabelle 9: The influence of 3 the standard deviation of x3 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.8 0.6 10 10 10 10 10 0.2 1.0

x* y* v* x0 v0

2,5 - - - 17,404 11,110

5 20,501 21,834 13,350 - -

7 20,432 26,270 15,607 - -

10 20,831 30,966 19,539 - -

13 21,454 34,518 24,029 - -

15 21,717 36,296 27,106 - -

20 22,187 39,667 35,116 - -

Tabelle 10: The influence of the correlation 13 of x1 and x3 on the optimal policy

c1 c2

0.4 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

0,2 13,316 54,855 14,817 - -

0,3 17,683 40,568 15,738 - -

0,4 20,677 34,351 17,077 - -

0,5 23,364 31,643 18,751 - -

0,6 25,249 30,061 20,593 - -

0,7 26,778 29,239 22,605 - -

0,8 27,928 28,809 24,695 - -

0,9 - - - 28,978 27,081

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

2.5 5 7 10 13 15 20

x*

y*

v*

x0

v0

Mit abnehmendem 3 wird nicht mehr getestet!Mit zunehmendem 3 erweitert sich der Testbereich; v*steigt mit 3.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x*

y*

v*

x0

v0

Testbereich wird kleiner mit wachsendem 13 bis kein Test mehr;Wert der Politik steigt (Testkosten relativ klein)

Tabelle 11: The influence of the correlation 3 of x1 and x3 on the optimal policy

c1

0.4 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1

c2 x* y* v* x0 v0

0,4 0,5 22,847 29,679 16,504 - -

0,6 0,5 26,594 28,046 20,393 - -

0,8 0,5 - - - 28,522 24,818

0,4 1,0 25,177 25,628 16,161 - -

0,6 1,0 - - - 27,370 20,422

0,8 1,0 - - - 28,506 24,805

0,4 2,0 - - - 25,687 16,275

0,6 2,0 - - - 27,373 20,424

0,4 3,0 - - - 25,687 16,275

0,6 3,0 - - - 27,376 20,425

Tabelle 12: The influence of 13 in the extreme situation of 23 = 1 with 12 = 0,4

c1 c2

1.0 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

0,1 -18,782 333,50 24,740 - -

0,2 2,723 169,664 25,232 - -

0,3 9,039 114,361 25,560 - -

0,4 12,423 86,948 25,876 - -

0,5 14,926 70,987 26,479 - -

0,6 16,931 60,712 27,293 - -

0,7 18,701 53,721 28,343 - -

0,8 20,178 48,668 29,537 - -

0,9 21,467 44,888 30,855 - -

1 22,678 42,033 32,333 - -

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0 2 4 6 8 10 12

x*

y*

v*

x0

v0

Größe der Testkosten zu vx bestimmend für Testbereich;c2 groß führt zum reinen Suchen.

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x*

y*

v*

vx wächst mit 13;Testintervall wird mit zunehmendm 13 kleiner.

Tabelle 13: The influence of 13 with 23 = 0 and variable 13

c1 c2

0 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

0,1 - - - 19,016 10,902

0,3 21,930 27,686 14,447 - -

0,5 23,364 31,643 18,753 - -

0,7 24,117 33,925 23,315 - -

Tabelle 14: The influence of 13 on the optimal policy with highly correlated variables x1 and x2

c1 c2

0.4 0.9 10 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v*

0,1 -3,941 211,868 19,391

0,2 11,334 79,123 16,953

0,3 17,816 39,915 15,659

0,4 24,557 26,560 16,223

0,5 25,091 27,745 18,208

0,6 22,855 35,152 21,402

0,7 21,229 42,088 25,162

0,8 20,231 48,342 29,429

From this results the conclusion that it seems reasonable that we require f < 0.

0,14 12,300

0,23 20,860

0,32 28,110

-0,13 22,100

-0,04 2,000

0,05 2,654

f = 12 13 - 23 Testbereich

-0,31 215,800

-0,22 67,800

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

0.1 0.3 0.5 0.7

x*

y*

v*

x0

v0

Ergebnis nicht verständlich! Wozu testen?

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

-0,3

1

-0,2

2

-0,1

3

-0,0

4

0,0

5

0,1

4

0,2

3

0,3

2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

x*

y*

v*

Testbereich

Nicht plausibel für f > 0f= 13 12- 23

Tabelle 15: The influence of 12 on the optimal policy 12 ≠ 1) according to the preconditions

0.6 0.8 10 10 10 10 10 10

x* y* v*

0,10 17,802 55,896 26,104

0,20 18,265 53,131 25,418

0,40 19,169 48,713 24,362

0,60 19,766 45,484 23,379

0,80 20,032 44,724 23,430

0,95 17,869 55,497 26,006

0,98 14,901 74,862 30,934

37,601

59,961

Testbereich

38,094

34,866

29,544

25,718

24,702

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 0.95 0.98

x*

y*

v*

Testbereich

Nicht plausibel, da für große 12 ein Testen nicht sinnvoll erscheint.

!

Tabelle 16: An investigation into the role of f and 12 23 - 13 on the optimal policy

x* y* v* x0 v0

0,20 11,334 79,123 16,953 - -

0,30 17,816 39,915 15,659 - -

0,32 19,168 35,780 15,593 - -

0,34 20,571 32,524 15,626 - -

0,35 21,257 31,153 15,671 - -

0,37 22,614 28,883 15,827 - -

0,39 23,945 27,207 16,074 - -

0,41 25,125 26,035 16,388 - -

0,43 - - - 25,994 16,877

0,44 - - - 26,185 17,079

0,444 - - - 26,129 17,161

0,45 - - - 26,185 17,283

0,47 26,034 26,123 17,557 - -

0,49 25,406 27,144 17,975 - -

Tabelle 17: The influence of 23 on the optimal policy

c1 c2

0.6 0.4 10 10 10 10 10 10 0.1 0.2

x* y* v* x0 v0

0,28 - - - 27,367 20,420

0,3 27,079 27,522 20,380 - -

0,4 25,249 30,061 20,593 - -

0,6 21,846 38,169 22,005 - -

0,8 19,169 48,713 24,362 - -

0,9 18,017 54,575 25,775 - -

1,0 16,931 60,712 27,293 - -

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

x*

y*

v*

x0

v0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

0.28 0.3 0.4 0.6 0.8 0.9 1.0

x*

y*

v*

x0

v0

MacQueen (1964) zeigt, daß1) Eine Interpretation der Lösung als 2facher Test möglich ist und2) hiedurch die optimale Ausschöpfung eines beschränkten Budgets für

wiederholte Sequentialtests approx. möglich ist

DeGroot, M.,Optimal Statistical Decisions,McGraw-Hill Company,N.Y., 1970

MacQueen, J.B.,Optimal Policies for a Class of Search andEvaluation Problems, Operations Research, Vol. 8, No.3

Man kann zeigen: Diese Probleme lassensich vermeiden, wenn 12 23 - 13 ≤ 0 und 12 13- 23 ≤ 0 erfüllt wird!

Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang PANNYFull Professor (retired)Department of Information Systems and OperationsWU Vienna University of Economics and Business

Welthandelsplatz 1, 1020 Vienna, Austria Phone: +43-1-31336-5221, Fax: +43-1-31336-905221wolfgang.panny@wu.ac.at

Personal data Date of birth: August 5, 1948Citizenship: AustriaMarital Status: married

Education 2005 – 2007WU, Department of Information Systems and OperationsChair of Department

1987 – 1989WU, Department of Statistics and MathematicsAssociate Professor

1986 – 1987University of Bamberg (Germany), Department of Management Information SystemsFull Professor

1985 – 1986WU, Department of Statistics and MathematicsAssociate Professor

1976 – 1985WU, Department of Statistics and MathematicsAssistant Professor

1973 – 1976WU, Department of Statistics and MathematicsResearch and Teaching Assistant

Visiting positions Visiting Scientist, McMaster University (Hamilton, Ontario, Canada), Department of Mathematics and Statistics, 1987

Outside positions Austrian member of ISO/IEC JTC1/SC32/WG3 (Database Languages)

Research interests > Algorithms and data structures> Design and analysis of algorithms> Databases and database languages

Teaching experience > Algorithms and data structures> Databases and database languages> Information retrieval> MIS, expert systems> Analysis of algorithms

Research projects > IDIOM Information Diffusion Across Interactive Online Media; Partners:> MODUL University Vienna, TU Graz, Gentics Software, Austria.info Systems> GmbH, Prisma> RAVEN Relation Analysis and Visualization for Evolving Networks;> Partners: MODUL University Vienna, Know-Center, Gentics Software,> SmApper Technologies

Conference chairs > Section chair, Symposium Informationswirtschaft, Vienna 2003> Section chair, 4th International Conf. on Lattice Path Combinatorics and

Applications, Vienna 1998> Section chair, Operations Research, Vienna 1990> Host and Organizer, Working Group Meeting ISO/IEC JTC1/SC32/WG3, Vienna

2002> Scientific Committee, 6th International Conf. on Lattice Path Combinatorics and

Applications, Tennessee, USA, 2007

Refereeing Occasional refereeing (e.g. for Wirtschaftsinformatik, Teubner, Springer, Random Structures & Algorithms, The Computer Journal, Journal of Applied Probability, Journal of Statistical Planning and Inference, …)

Memberships > Austrian Computer Society > Austrian Mathematical Society> Austrian Statistical Society> GI-Special Interest Group for Information Retrieval> Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)> Institute of Combinatorics and its Applications (ICA)

Publications of the last years

W. PANNY: A Lattice Path Combinatorial Approach to Rothe Numbers and Related Convolution Results, Fundamenta Informaticae 117 (2012), 265-277.

E. ASCHAUER, E. EBERHARTINGER, W. PANNY: Cross-Border hybrid Finance and Tax Planning: Does International Tax Coordination Work? in: International Tax Coordination: An Interdisciplinary Perspective on Virtues and Pitfalls, ed.: M. Zagler (Routledge: London, 2010), 115-133.

W. PANNY: Deletions in Random Binary Search Trees: A Story of Errors, Journal of Statistical Planning and Inference 140 (2010), 2335-2345.