The adaptive time-dependent density-matrix ... The adaptive time-dependent density-matrix...

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Transcript of The adaptive time-dependent density-matrix ... The adaptive time-dependent density-matrix...

  • The adaptive time-dependent

    density-matrix renormalization-group

    method:

    development and applications

    Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften

    der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen

    zur Erlangung des akademischen Grades

    einer Doktorin der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation

    vorgelegt von

    Diplom-Physikerin Corinna Kollath B.Sc.

    aus Stirling (Großbritannien)

    Berichter: Universitätsprofessor Dr. Ulrich Schollwöck

    Universitätsprofessor Dr. Walter Hofstetter

    Tag der mündlichen Prüfung: 4. Juli 2005

    Diese Dissertation ist auf den Internetseiten

    der Hochschulbibliothek online verfügbar.

  • Contents

    Zusammenfassung 7

    1. Introduction 11

    2. The adaptive time-dependent density-matrix renormalization-group

    method 14

    2.1. Can DMRG be applied to time-dependent phenomena? . . . . . 14

    2.2. ‘Original’ density-matrix renormalization-group method . . . . . 16

    2.2.1. Density-matrix projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.2. DMRG algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3. Simulation of time-dependent quantum phenomena using DMRG 23

    2.4. Matrix-product states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5. TEBD simulation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6. DMRG and matrix-product states . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.7. Adaptive t-DMRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.8. Case study: time-dependent Bose-Hubbard model . . . . . . . . 40

    2.9. Sources of error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.10. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3. Ultracold atoms in optical lattices 46

    3.1. From Bose-Einstein condensation to strongly interacting Bose gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.2. Theoretical description: Bose-Hubbard model . . . . . . . . . . . 48

    3.3. Quantum phase transition in homogeneous systems . . . . . . . . 51

    3.3.1. Limit of weak interaction: superfluid phase . . . . . . . . 51

    3.3.2. Limit of strong interaction: Mott-insulating phase . . . . 52

    3.3.3. Quantum phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.3.4. Gutzwiller approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.4. Coexistence of phases in a trapping potential . . . . . . . . . . . 56

    3.5. Modifications to the finite DMRG treating confinement potentials 57

    3.6. One-particle density-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.6.1. Scaled one-particle density-matrix . . . . . . . . . . . . . 59

    3.6.2. Comparison to the hydrodynamical approach . . . . . . . 61

    3.7. Connection to experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.7.1. Interference pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.7.2. Comparison to experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3

  • Contents

    4. Evolution of density wave packets in ultracold bosons 71

    4.1. Perturbations: experiments and theoretical descriptions . . . . . 71

    4.2. Theoretical description of the density perturbation . . . . . . . . 72

    4.3. Preparation of the density perturbation . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.4. Analytical approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.5. Evolution of the wave packet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.6. Decay of the amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.7. Sound velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.8. Self-steepening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.9. Experimental observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.10. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    5. Spin-charge separation in cold Fermi gases: a real time analysis 87

    5.1. Fascinating physics in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.2. Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    5.3. Quantum phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    5.4. Spin-charge separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    5.5. Preparation of the perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5.6. Spin-charge separation: beyond small perturbations . . . . . . . 91

    5.7. Proposed experimental realization . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.8. Experimental parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.9. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6. Transport in spin-1/2 chains 99

    6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.2. Model and initial state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.3. Accuracy of the adaptive t-DMRG . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.3.1. Error analysis for the XX-model . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.3.2. Optimal choice of DMRG parameters . . . . . . . . . . . 108

    6.4. Long-time properties of the time evolution . . . . . . . . . . . . . 110

    6.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    7. Conclusion and outlook 120

    A. Higher order Suzuki-Trotter decompositions 123

    B. Ultracold atoms confined in optical lattices 125

    B.1. Interaction of neutral atoms with light fields . . . . . . . . . . . . 125

    B.2. Optical lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    B.3. Theoretical description of bosons in optical lattices . . . . . . . 128

    B.3.1. Influence of periodic structures . . . . . . . . . . . . . . . 128

    B.3.2. Bose-Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    Bibliography 133

    Acknowledgement 145

    List of publications related to the thesis 147

    4

  • Contents

    Curriculum vitae 149

    5

  • 6

  • Zusammenfassung

    Die theoretische Beschreibung zeitabhängiger Phänomene stellt nach wie vor eine große Herausforderung dar, zumal in den letzten Jahren deutliche Fort- schritte bei Experimenten zur Nichtgleichgewichtsphysik erzielt wurden. In die- ser Arbeit wird die numerische Methode der adaptiven zeitabhängigen Dichte- matrix Renormalisierungsgruppe (adaptive t-DMRG) entwickelt, die uns die Möglichkeit eröffnet, zeitabhängige Phänomene in stark korrelierten eindimen- sionalen Quantensystemen zu untersuchen. Die neue Methode ist eine Zusam- menführung der Ideen des ’finite-system DMRG’ Algorithmus und des ’time evolving block-decimation’ Algorithmus (TEBD). Sie beruht auf der Reduktion des Hilbertraumes auf geeignet gewählte Unterräume, die zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung schrittweise adaptiert werden.

    Wir zeigen die Anwendbarkeit, Effizienz und Genauigkeit der adaptiven t-DMRG, indem wir die zeitliche Entwicklung drei verschiedener Systeme diskutieren: ein bosonisches, ein fermionisches und ein Spin-System. Wir benutzen die Existenz einer exakten Lösung für das XX-Modell einer Spin 1/2-Kette, um eine detail- lierte Fehleranalyse durchzuführen. Der gesamte Fehler setzt sich aus zwei Beiträgen, dem ’truncation’ Fehler und dem Suzuki-Trotter-Fehler zusammen. Die Anzahl der Zustände und die Größe des Suzuki-Trotter-Zeitschritts geben eine gute Kontrolle über die Genauigkeit der Methode. Für typische Werte dieser Parameter finden wir, daß der Suzuki-Trotter-Fehler bei kleinen Zeiten dominiert, wohingegen für lange Zeiten der akkumulierte ’truncation’ Fehler überwiegt. Wir erwarten, daß dieses Verhalten sich auch auf andere Fälle übertragen läßt.

    Die adaptive DMRG ist somit eine gut kontrollierbare und sehr effiziente Me- thode zur Behandlung zeitabhängiger Phänomene.

    Die Ergebnisse der Anwendungen können wie folgt zusammengefaßt werden:

    Ultrakalte Bosonen Motiviert durch die großen experimentellen Fortschrit- te, die kürzlich auf dem Gebiet der ultrakalten Atome in optischen Gittern erzielt wurden, haben wir die adaptive t-DMRG auf diese Systeme angewen- det. Die Realisierung optischer Gitter eröffnet die Möglichkeit, Probleme aus der Festkörperphysik in einem System zu untersuchen, dessen Parameter bes- ser vorgegeben und zeitlich variiert werden können. Zunächst untersuchen wir den Einfluß des in den quantenoptischen Systemen unvermeidlichen Einschluß- potentials. In einem solchen Potential können gleichzeitig eine superflüssige und Mott-isolierende Phase räumlich voneinander getrennt auftreten. Wir zeigen, daß eine Charakterisierung dieser Phasen durch die zuvor skalierte Einteilchen-Dichtematrix möglich ist. Die skalierte Einteilchen-Dichtematrix

    7

  • zeigt, wie schon die Einteilchen-Dichtematrix im homogenen System, einen algebraischen Zerfall in der superflüssigen Phase und einen exponentiellen in der Mott-isolierenden Phase. Zur experimentellen Unterscheidung der beiden Phasen ist insbesondere eine Signatur in der Halbwertsbreite der Interferenz- bilder geeignet. Diese wurde inzwischen durch Experimente bestätigt.

    Als zeitabhängiges Phänomen untersuchen wir die Ausbreitung von Dichte- störungen. Insbes