Theoretische Physik I

Theoretische Physik I

fur Lehramtsstudiengange mit Fach Physikund Diplomstudiengange mit Nebenfach Physik

- Skriptum zur Vorlesung -

Prof. Dr. H.-J. Kull

Fraunhofer Institut fur Lasertechnikund

Lehr- und Forschungsgebiet LaserphysikInstitut fur Theoretische Physik A

Rheinisch-Westfalische Technische HochschuleAachen

28. Juli 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Newtonsche Mechanik 1

1.1 Bewegung von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.6 Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Newtonsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Axiom 1: Tragheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Axiom 2: Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Axiom 3: actio=reactio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Vektordifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5 Vektordifferentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Eindimensionale Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Zeitabhangige Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

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1.5.2 Geschwindigkeitsabhangige Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.3 Ortsabhangige Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Bewegung im Zentralpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Zentralpotential und Zentralkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.4 Bewegung und Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6.5 Radialbewegung im effektiven Potential . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.6 Winkelbewegung um das Kraftzentrum . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.1 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.2 Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7.3 Ellipsenbahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7.4 Coulomb-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.5 Stoßgeschwindigkeit und Stoßparameter . . . . . . . . . . . . 36

1.7.6 Ablenkwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.7 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.8 Streuung an harten Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.9 Rutherfordscher Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8 Zweikorperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.1 Schwerpunkts- und Relativkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.2 Schwerpunkts- und Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8.3 Elastische Stoße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Lagrangesche Mechanik 46

2.1 Systeme mit Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.1 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.2 Zwangskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Lagrangegleichungen erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Konfigurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Holonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.3 D’Alembertsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.4 Bewegungsgleichungen mit Zwangskraften . . . . . . . . . . . 52

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2.3 Lagrangegleichungen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.1 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.2 D’Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordinaten . . . . 53

2.3.3 Generalisierte Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.4 Generalisierte Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.5 Generalisiertes Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.6 Lagrangegleichungen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.7 Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.8 Massenpunkt auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.9 Zyklische Koordinaten und generalisierte Impulse . . . . . . . 58

2.3.10 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.1 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.3 Schwingungen mit kleinen Amplituden . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.4 Entwicklung um die Gleichgewichtslage . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.5 Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.6 Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5 Orthogonale Transformationen, Drehungen und Spiegelungen . . . . . 71

2.5.1 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.2 Aktive und passive Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5.3 Endliche Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.4 Eulersche Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.5 Infinitesimale Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.6 Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.6 Starrer Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.2 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.6.3 Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.4 Eulersche Kreiselgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.6.5 Kraftefreie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6.6 Schwerer symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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3 Thermodynamik 92

3.1 Thermodynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.1 Spezifische Warme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.2.2 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3 Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3.1 Postulat von Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3.2 Postulat von Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4 Thermodynamischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.1 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.2 Aquivalenz der Aussagen von Kelvin und Clausius . . . . . . . 101

3.4.3 Carnot-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.5 Thermodynamische Temperaturdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6.1 Beliebige Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6.2 Eigenschaften der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.6.3 Gleichgewicht bei Warmeaustausch . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.6.4 Gleichgewicht bei Teilchenaustausch . . . . . . . . . . . . . . 110

3.6.5 Chemische Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6.6 Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Relativistische Mechanik 113

4.1 Relativitatsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3 Der Abstand von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.1 Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.2 Langenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3.3 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.4 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.5 Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.6 Additionstheorem der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4.1 Lorentz-Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Theoretische Physik I, SS 05, H.-J. Kull vii

4.4.2 Lorentz-Poincare-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.4.3 Vierer-Vektoren und Lorentz-Skalare . . . . . . . . . . . . . . 125

4.5 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.1 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.2 Kovariante Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Kapitel 1

Newtonsche Mechanik

1.1 Bewegung von Massenpunkten

Die Theoretische Physik beschreibt physikalische Beobachtungen durch mathema-tische Modelle. Das mathematische Modell stellt eine Idealisierung dar, die i.a. nurinnerhalb eines gewissen Gultigkeitsbereichs anwendbar ist. Im Rahmen des mathe-matischen Modells sind exakte Vorhersagen moglich.

Zwischen den physikalisch beobachtbaren Großen und den mathematisch definiertenGroßen gibt es eine eindeutige Zuordnung, die einen Vergleich der Theorie mit demExperiment erlaubt. In der klassischen Mechanik wird die Lage eines physikalischenKorpers im Raum durch den Ortsvektor eines Massenpunktes in einem euklidischenRaum definiert. Zwischen Beobachtung und mathematischem Modell besteht hieralso die Zuordnung:

physikalische Observable mathematische Große

Raum ←→ euklidischer RaumKorper ←→ MassenpunktLage ←→ Ortsvektor

1

Theoretische Physik I, SS 05, H.-J. Kull 2

1.1.1 Euklidischer Raum

Ein euklidischer Raum ist ein Raum in dem die euklidische Geometrie gultig ist.Insbesondere ist die Summe der Innenwinkel im Dreieck gleich 180o. Man bezeichneteuklidische Raume als flach, nichteuklidische Raume als gekrummt. Die Oberflacheeiner Kugel ist z.B. ein zweidimensionaler nichteuklidischer Raum.

Der dreidimensionale physikalische Raum ist in guter Naherung euklidisch. Dies wur-de zuerst von dem Mathematiker Gauß uberpruft, der die Winkelsumme eines vondrei Bergspitzen gebildeten Dreiecks (Inselsberg, Brocken, Hoher Hagen) vermessenlies. Nach der Einsteinschen Gravitationstheorie krummen Massen den Raum. Dieshat z.B. den Effekt, dass Lichtstrahlen von der Sonne um wenige Bogensekundenvon ihrer geradlinigen Ausbreitung abgelenkt werden.

1.1.2 Massenpunkt

Ein Massenpunkt bezeichnet einen Korper mit der Massem, dessen Lage durch eineneinzigen Punkt reprasentiert wird. Große, Form, Drehungen und Deformationen desKorpers werden bei dieser Idealisierung vernachlassigt (Abb.1.1). Der Gultigkeits-bereich der Punktmechanik wird im Rahmen der Mechanik starrer Korper und derKontinuumsmechanik auf ausgedehnte Korper erweitert.

m

mAbbildung 1.1: AusgedehnterKorper und Massenpunkt.

1.1.3 Kartesisches Koordinatensystem

Der Ort eines Korpers laßt sich nur relativ zu einem Bezugssystem angeben. Im eu-klidischen Raum kann als Bezugssystem ein kartesisches Koordinatensystem gewahltwerden. Ein kartesisches Koordinatensystem wird durch drei orthogonale Koordina-tenachsen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt O(0|0|0) gebildet. Die Koordinaten-achsen (x,y,z) bzw. (x1,x2,x3) bilden ein Rechtssystem (Abb.1.5). Ein Punkt P wird


durch die Angabe seiner kartesischen Koordinaten xP , yP , zP eindeutig bestimmtund mit P(xP |yP |zP ) bezeichnet.

x

y

z

eee

x

yz

Abbildung 1.2: KartesischesKoordinatensystem. Werdendie Finger der rechten Handvon der x-Achse zur y-Achsegedreht (Pfeilrichtung), so zeigtder Daumen in Richtung derz-Achse.

Einheitsvektoren (ex, ey, ez) bzw. (e1, e2, e3) entlang der Koordinatenachsen bildeneine kartesische Basis. Man verwendet hierfur auch die Spaltenvektoren

e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

. (1.1)

1.1.4 Ortsvektor

Der Ortsvektor r eines Punktes kann als Linearkombination der Basisvektoren an-gegeben werden

r = xex + yey + zez =3∑i=1

xiei (1.2)

Die Komponenten des Ortsvektors bezuglich einer kartesischen Basis lassen sich zueinem Spaltenvektor zusammenfassen,

r = x

100

+ y

010

+ z

001

=

xyz

. (1.3)

1.1.5 Zeit

Zeitintervalle konnen durch periodische Vorgange gemessen werden. Je nach Genau-igkeit kann man als Uhr z.B. den Pulsschlag, die Erdrotation oder eine Atomfrequenzbenutzen. Die Zeit wird entlang einer weiteren in gleiche Intervalle unterteilten Ko-ordinatenachse t angegeben.


1.1.6 Bewegung

Die Bewegung eines Massenpunktes wird durch eine Abbildung t −→ r(t) darge-stellt. Das Bild der Abbildung ist die Bahnkurve.

r(t)

Abbildung 1.3: Bahnkurve eines Massenpunktes

Die Abbildung besitzt folgende Eigenschaften:

• Eindeutigkeit: Ein Massenpunkt befindet sich zu einer Zeit t an genau einemOrt r(t).

• Stetigkeit: Die Stetigkeit der Bahn entspricht der Erfahrungstatsache, dassin der Natur keine Sprunge auftreten (Natura non facit saltus).

• Differenzierbarkeit: Die ersten beiden Ableitungen der Funktion r(t) defi-nieren die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massenpunktes. Zeitablei-tungen werden durch einen Punkt gekennzeichnet.

v(t) = r =dr

dt= lim

ε→0

r(t+ ε)− r(t)

ε,

a(t) = v =dv

dt= lim

ε→0

v(t+ ε)− v(t)

ε.


r(t)

r(t+dt) drv(t)

v(t+dt)

dv

Abbildung 1.4: Anderungen des Ortsvektors und des Geschwindigkeitsvektors

1.2 Newtonsche Gesetze

Die Mechanik beschreibt die Bewegung von Massenpunkten unter der Einwirkungvon Kraften. Eine Kraft besitzt Betrag und Richtung und wird daher durch einenVektor F dargestellt. Die Grundgesetze der Mechanik werden durch die Newton-schen Axiome definiert.

1.2.1 Axiom 1: Tragheitssatz

Ein Korper, auf den keine Krafte einwirken (F = 0) befindet sich entweder inRuhe (v = 0) oder er bewegt sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit(v = const 6= 0):

F = 0 =⇒ v = const (1.4)

• Die Aussage ist bezugssystemabhangig. Sie gilt nicht in beschleunigten Be-zugssystemen (Karusell).

• Ein Bezugssystem in dem das erste Axiom gultig ist, wird als Inertialsystembezeichnet. Inertialsysteme werden je nach Genauigkeit durch ein Labor, dieErde, oder den Fixsternhimmel realisiert.

• Es gilt das Galileische Relativitatsprinzip: Ein Bezugsssystem, das sich rela-tiv zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist selbst


wieder ein Inertialsystem. Daher gibt es unendlich viele unterschiedliche Iner-tialsysteme. Alle Inertialsysteme sind gleichwertig.

1.2.2 Axiom 2: Impulssatz

Eine Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, besitzt den Impuls p =mv. Das wichtigste Grundgesetz der Mechanik besteht in der Aussage, dass zurzeitlichen Anderung des Impulses eine außere Einwirkung in Form einer Kraft Fnotwendig ist:

dp

dt= F . (1.5)

Bei konstanter Masse gilt das Beschleunigungsgesetz

ma = F , a = v = r. (1.6)

Der Impulssatz wird auch Newtonsche Grundgleichung der Mechanik oder Newton-sche Bewegungsgleichung genannt. Er ist gleichzeitig Definition der Masse, Definitionder Kraft und ein deterministisches Bewegungsgesetz.

Definition der Masse: Es gibt verschiedene Moglichkeiten mit Axiom 2 die Massezu definieren.

(i) Laßt man auf zwei verschiedene Massen m1 und m2 dieselbe Kraft F1 = F2

einwirken, so giltm1a1 = m2a2

Wahlt man m1 als Masseneinheit, so kann m2 durch Beschleunigungsmessungenbestimmt werden.

(ii) Beim Stoß zweier Massen wirken entgegengesetzt gleiche Krafte: F1 = −F2, d.h.

m1v1 +m2v2 = 0, m1v1 +m2v2 = const.

In diesem Fall ist der Gesamtimpuls erhalten und man kann m2/m1 durch Geschwin-digkeitsmessungen bestimmen. Bei einem zentralen Stoß mit den Anfangsgeschwin-digkeiten v1 6= 0, v2 = 0 besitzt Masse m2 nach dem Stoß die Geschwindigkeit

v′2 =2m1

m1 +m2

v1


G

m

m

m

m

1,2

1,2

1,2

1,2

1

11

2

2v

R

w

Z

F

F F

=

= -

Abbildung 1.5: Massenbestim-mung durch (i) Beschleunigungs-messung, (ii) Geschwindigkeits-messung oder (iii) Messung derZentrifugalkraft.

(iii) Schließlich kann man auch die Zentrifugalkrafte Z1,2 = m1,2aZ bei gleicherZentrifugalbeschleunigung aZ bestimmen und erhalt daraus

m2

m1

=Z2

Z1

.

Definition der Kraft: Nachdem Masse und Beschleunigung als Meßgroßen defi-niert sind, legt Axiom 2 die Kraft als Meßgroße fest. Ihre Einheit ist das Newton:

1N = 1kgm

s2

Deterministisches Bewegungsgesetz: Im Rahmen der Mechanik besitzen Kraftedie allgemeine Form

F = F (r,v, t).

Die Bewegung eines Massenpunktes wird eindeutig durch die Bewegungsgleichungund Anfangswerte fur den Ort und die Geschwindigkeit bestimmt. Man spricht voneiner deterministischen Bewegung. Mathematisch handelt es sich um ein Anfangs-wertproblem fur ein Differentialgleichungssystem 2. Ordnung

r =1

mF (r,v, t), r(0) = r0, v0 = v0. (1.7)

Unter recht allgemeinen Voraussetzungen existiert eine eindeutige Losung r =r(t, r0,v0).


Gultigkeitsgrenzen der Mechanik

Die Bewegungsgesetze der Mechanik erlauben im Prinzip die exakte Vorhersageder zukunftigen Entwicklung des Systems. Sie sind streng deterministisch, d.h. derzukunftige Zustand wird eindeutig durch die Kenntnis des Anfangszustandes zueinem Zeitpunkt bestimmt.

Die Erfolge der Newtonschen Mechanik haben anfanglich zu der Ansicht gefuhrt,dass alle Naturvorgange exakt den mechanischen Gesetzen gehorchen und durchdiese erklart werden konnen (mechanistisches Weltbild). Heute wissen wir, dass dieMechanik ein mathematisches Modell ist, welches empirische Beobachtungen nurinnerhalb bestimmter Gultigkeitsgrenzen beschreiben kann. Die folgenden Beispielesollen dies verdeutlichen:

• Die Vorhersagbarkeit eines Systems wird durch die Quantentheorie (Unschar-ferelation) prinzipiell eingeschrankt. Die Große der Quanteneffekte wird durchdas Plancksche Wirkungsquantum ~ charakterisiert. Man unterscheidet daherzwischen klassischer Mechanik (~→ 0) und der Quantenmechanik (~ 6= 0).

• Fur Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit cmussen die Gesetze derMechanik entsprechend der speziellen Relativitatstheorie modifiziert werden.Man unterscheidet hierbei die nichtrelativistische Mechanik (v c) und dierelativistische Mechanik (v ≈ c).

• In starken Gravitationsfeldern ist die Newtonsche Theorie der Gravitations-krafte nicht mehr anwendbar. Die relativistische Gravitationstheorie von Ein-stein fuhrt Gravitationskrafte auf Tragheitskrafte zuruck, die infolge derKrummung des Raumes durch Massen auftreten.

• Die Theorie der nichtlinearen Dynamik zeigt, dass der Vorhersagbarkeit einesnichtlinearen Systems bereits im Rahmen der Newtonschen Mechanik prinzi-pielle Grenzen gesetzt sind. Die Losungen nichtlinearer Bewegungsgleichungenhangen i.a. in komplizierter Weise von den Anfangsbedingungen ab und konnenbei beliebig kleinen Anderungen des Anfangszustandes zu ganz unterschiedli-chen Ergebnissen fuhren (deterministisches Chaos).

1.2.3 Axiom 3: actio=reactio

Schwache Form: Das actio=reactio Axiom in der schwachen Form postuliert dieGleichheit von Kraft und Gegenkraft. Sei F12 die Kraft, die der Massenpunkt 2 aufden Massenpunkt 1 ausubt und F21 die Gegenkraft, die der Massenpunkt 1 auf denMassenpunkt 2 ausubt. Dann gilt

F12 = −F21. (1.8)


Dies gilt auch fur eine grosse Masse (Erde) und eine kleine Masse (Apfel). Aufbeide Massen wirkt betragsmassig dieselbe Kraft, die Beschleunigungen sind aberumgekehrt proportional zur Masse. Eine unendlich grosse Masse erfahrt keine Be-schleunigung.

Starke Form: In der starken Form verlangt das actio=reactio Axiom zusatzlichdie Gleichheit von Drehmoment und Gegendrehmoment. Sei N12 = r1 × F12 dasDrehmoment, das der Massenpunkt 2 auf den Massenpunkt 1 ausubt und N21 =r2 × F21 das Gegendrehmoment, das der Massenpunkt 1 auf den Massenpunkt 2ausubt. Dann gilt

F12 = −F21 und N12 = −N21. (1.9)

Die Summe der Drehmomente ergibt

r1 × F12 + r2 × F21 = (r1 − r2)× F21 = 0. (1.10)

Daraus folgt, dass die Wechselwirkungskrafte entlang der Verbindungslinie der bei-den Massenpunkte gerichtet sein mussen.

Abbildung 1.6: Links: Actio=reactiogilt fur die Krafte aber nicht fur dieDrehmomente. Rechts: Actio=reactiogilt fur die Krafte und fur die Drehmo-mente. Die Krafte sind in diesem Fallnicht nur entgegengesetzt gleich son-dern auch entlang der Verbindungslinieder Massen gerichtet.

Zusatz

Greifen an einem Korper mehrere Krafte an, so addieren sich diese vektoriell,

F =∑i

F i. (1.11)


Dies wird als Superpositionsprinzip der Krafte oder als Regel vom Parallelogrammder Krafte bezeichnet. Es wurde von Newton als Zusatz zu den Bewegungsgesetzenangegeben.

1.3 Vektoren

1.3.1 Vektor

Ein Vektor ist eine Große, die durch einen Betrag und eine Richtung festgelegt wird.Vektoren unterscheiden sich dadurch von Skalaren, wie z.B. der Masse, die nur einenBetrag aber keine Richtung besitzen. Vektoren konnen als eine geradlinige Verschie-bung eines Punktes betrachtet und in Form eines Verschiebungspfeils dargestelltwerden. Im folgenden wird die Notation a fur Vektoren benutzt. Gebrauchlich sindauch die Schreibweisen a oder −→a .

Addition

1. Vektoraddition: a + b = c

Die Addition ist definiert als Hintereinanderausfuhrung zweier Verschiebun-gen a und b. Das Ergebnis c ist wieder eine Verschiebung. Sie entspricht derDiagonalen in dem durch die beiden Vektoren a und b aufgespannten Paral-lelogramm.

2. Nullvektor: a + 0 = a

3. Inverser Vektor: a + (−a) = 0

Die Subtraktion a − b ist definiert als die Addition des inversen Vektors:a + (−b)

4. Kommutativgesetz: a + b = b + a

5. Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c

Vielfaches

Sei α 6= 0 eine reelle Zahl. Der Vektor αa besitzt den α-fachen Betrag von a undist parallel (α > 0) oder antiparallel (α < 0) zu a gerichtet.

1. α(βa) = (αβ)a

2. α(a + b) = αa + βb

3. (α+ β)a = αa + βa


1.3.2 Skalarprodukt

Fur zwei Vektoren a und b, die den Winkel ϕ einschließen, wird das Skalarprodukt(Innere Produkt) definiert durch

a · b = ab cosϕ. (1.12)

Hierbei bezeichnet a den Betrag von a, b cosϕ den Betrag der Projektion von b aufa. Der Betrag eines Vektors a wird auch mit |a| bzw. ‖a‖ bezeichnet.

a

bAbbildung 1.7: Skalarprodukt: Multi-plikation von a mit der Komponenteb cosϕ von b in Richtung von a.

1. a · b = b · a

2. (αa) · b = a · (αb) = α(a · b)

3. (a + b) · c = a · c + b · c

4. Orthogonalitatsbedingung: a · b = 0 ⇐⇒ a ⊥ b

5. Betrag: a =√

a · a

Orthonormalbasis

Ein Einheitsvektor e ist ein Vektor mit Betrag e = 1. Die Einheitsvektoren ent-lang der kartesischen Koordinatenachsen bilden eine orthonormale Basis, d.h. dieBasisvektoren sind Einheitsvektoren, die paarweise zueinander orthogonal sind,

ei · ej = δij =

0 i 6= j1 i = j

(1.13)

Man nennt δij das Kroneckersymbol. Es bezeichnet die Elemente der Einheitsmatrix.


Komponentendarstellung

Ein Vektor kann durch seine Komponenten in einer orthonormalen Basis dargestelltwerden

a =∑i

aiei, ai = a · ei (1.14)

Fur das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt die Darstellung

a · b =∑i

aibi. (1.15)

Dies folgt aus:

a · b =

(∑i

aiei

)· b =

∑i

ai (ei · b) =∑i

aibi.

1.3.3 Vektorprodukt

Fur zwei Vektoren a und b, die den Winkel ϕ einschließen, wird das Vektorprodukt(Außere Produkt, Kreuzprodukt) definiert durch

a× b = ab sinϕ e. (1.16)

Hierbei bezeichnet e einen Einheitsvektor, der auf a und b orthogonal ist und mitdiesen ein Rechtssystem bildet. Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Flachedes von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Die Richtung desVektorprodukts ist die Richtung der Flachennormale.

1. a× a = 0

2. a× b = −b× a

3. α(a× b) = (αa)× b = a× (αb)

4. a× (b + c) = a× b + a× c

5. Parallelitatsbedingung: a× b = 0 ⇐⇒ a‖b


a

b

a

Abbildung 1.8: Vektorprodukt:Multiplikation von a mit derKomponente b sinϕ von b senk-recht zu a. Das Produkt ist gleichdem Flacheninhalt des von a undb gebildeten Parallelogramms

Vektorprodukt der Basisvektoren

e1 × e2 = e3, e2 × e1 = −e3,

e2 × e3 = e1, e3 × e2 = −e1, (1.17)

e3 × e1 = e2, e1 × e3 = −e2.

Allgemein definiert die i-te Komponente des Kreuzproduktes des j-ten mit demk-ten Einheitsvektors den Levi-Civita-Tensor (Epsilon-Tensor):

ei · (ej × ek) = εijk =

1 zykl. Vertauschung von 123−1 anitzykl. Vertauschung von 1230 sonst

. (1.18)

Komponentendarstellung

a× b =∑ijk

εijkajbkei =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

(1.19)


Dies folgt aus:

ei · (a× b) = ei ·

(∑j

ajej

)×

(∑k

bkek

)=

∑jk

ajbkei · (ej × ek)

=∑jk

εijkajbk.

Doppelte Produkte

1. Spatprodukt: a · (b× c) = c · (a× b) = b · (c× a)

a · (b× c) =∑ijk

εijkaibjck = det

∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣2. Grassmannprodukt: a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b)

3. Lagrangeprodukt: (a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (b · c)(a · d)

1.3.4 Vektordifferentiation

Fur vektorwertige Funktionen a(t), b(t) gilt

1. Differentiation: dadt

= a =∑i

aiei

2. Produktregel: ddt

(a · b) = a · b + a · b, ddt

(a× b) = a× b + a× b .

Die Produktregel und andere Ableitungsregeln konnen durch komponentenweise Be-rechnung leicht bestatigt werden.

1.3.5 Vektordifferentialoperatoren

Fur skalare Felder U(x) und Vektorfelder a(r) definiert man die Differentialopera-toren:

1. Nabla-Operator: ∇ = ex∂∂x

+ ey∂∂y

+ ez∂∂z

2. Gradient: ∇U = ex∂U∂x

+ ey∂U∂y

+ ez∂U∂z


3. Divergenz: ∇ · a = ∂ax

∂x+ ∂ay

∂y+ ∂az

∂z

4. Rotation:

∇× a =∑ijk

εijk∂ak∂xj

ei =

∂az

∂y− ∂ay

∂z∂ax

∂z− ∂az

∂x∂ay

∂x− ∂ax

∂y

1.4 Erhaltungssatze

Gegeben sei ein Systems von N Massenpunkten, die sich unter dem Einfluss einerexternen Kraft und von paarweisen Wechselwirkungskraften bewegen. Die Bewe-gungsgleichungen lauten

mν rν = Fν , ν = 1, 2, 3 · · · , N . (1.20)

Fν = Fνe +∑µ,µ 6=ν

Fνµ.

Hierbei ist Fνe die externe Kraft auf mν und Fνµ die Wechselwirkungskraft von mµ

auf mν .

Im Rahmen der Newtonschen Axiome lassen sich fur ein System von MassenpunktenErhaltungssatze fur den Impuls, den Drehimpuls und die Energie ableiten.

1.4.1 Impulssatz

Fur die Impulsanderung des ν-ten Massenpunktes gilt (1.20). Summiert man beideSeiten uber ν, so folgt der Impulssatz fur das Gesamtsystem

P = Fe, P =∑ν

mνvν , Fe =∑ν

Fνe. (1.21)

Hierbei bezeichnet P den Gesamtimpuls und Fe die externe Gesamtkraft. Die interneGesamtkraft verschwindet wegen des 3. Axioms (schwache Form)∑

ν,µ, ν 6=µ

Fνµ =∑ν<µ

Fνµ +∑ν>µ

Fνµ

=∑ν<µ

Fνµ +∑ν<µ

Fµν =∑ν<µ

Fνµ + Fνµ = 0. (1.22)

Gibt es keine außeren Krafte, so bezeichnet man das System als abgeschlossen. Furein abgeschlossenes System ist der Gesamtimpuls erhalten,

F e = 0⇒ P = P 0 = const. (1.23)


1.4.2 Drehimpulssatz

Der Drehimpuls Lν und das Drehmoment Nν des ν-ten Massenpunktes bezuglichdes Koordinatenursprungs werden definiert durch

Lν = mνrν × vν , Nν = rν × Fν . (1.24)

Der Drehimpulssatz fur den ν-ten Massenpunkt lautet

Lν = mν rν × vν +mνrν × vν = rν × Fν = Nν . (1.25)

Summiert man auch hier uber alle Massepunkte, so folgt der Drehimpulssatz fur dasGesamtsystem,

L = N e, L =∑ν

mνrν×vν , N e =∑ν

rν×F νe . (1.26)

Hierbei bezeichnet L den Gesamtdrehimpuls und N e das externe Gesamtdrehmo-ment. Das interne Gesamtdrehmoment verschwindet wegen des 3. Axioms (starkeForm). Dies folgt analog zu (1.22), indem man dort Fνµ durch Nνµ ersetzt.

Wird auf das System kein externes Drehmoment ausgeubt, dann gilt der Drehim-pulserhaltungssatz

N e = 0 ⇒ L = const. (1.27)

Flachensatz: Eine geometrische Deutung der Drehimpulserhaltung fur einen Mas-senpunkt gibt der Flachensatz. Der Ortsvektor zum Massenpunkt uberstreicht ingleichen Zeiten gleiche Flachen.

Beweis: Im Zeitintervall dt bewegt sich der Massenpunkt um dr = vdt. Hierbeiuberstreicht der Ortsvektor die Flache

dS =1

2|r×dr| = 1

2mLdt. (1.28)

Bei konstantem Drehimpuls ist die Flachenanderungsrate dS/dt konstant.

1.4.3 Energiesatz

Die kinetische Energie eines Massenpunktes mit der Masse m und der Geschwindig-keit v wird definiert durch

T =1

2mv2 . (1.29)


Abbildung 1.9: Ist der Drehimpuls erhalten,so werden vom Ortsvektor r in gleichen Zei-ten gleiche Flachen uberstrichen.

Die kinetische Energie ist richtungsunabhangig. Sie hangt nur vom Betragsquadratv2 = v · v ab.

Fur die zeitliche Anderung der kinetischen Energie erhalt man mit Hilfe der Bewe-gungsgleichung

dT

dt= mv · v = F · v.

Man bezeichnet diese Anderung als die von der Kraft verrichtete Leistung

P = F · v . (1.30)

Im Zeitintervall dt andert sich der Ort des Massenpunktes um dr = vdt. Manbezeichnet

dW = Pdt = F ·dr . (1.31)

als die von der Kraft F langs des vektoriellen Wegelementes dr geleistete Arbeit.Nur die Kraftkomponente parallel zum Wegelement verrichtet Arbeit. Zum Beispielverrichtet die Lorentzkraft keine Arbeit, wenn sich eine Ladung q in einem Magnet-feld B mit der Geschwindigkeit v bewegt:

dW = F ·vdt =q

c(v×B)·vdt = 0.

Die Ladung bewegt sich hier auf einer Kreisbahn und die Kraft verandert daher nurdie Richtung aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit.

Bewegt sich der Massenpunkt zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 von einem An-fangspunkt r0 zu einem Endpunkt r1 entlang einer Kurve γ, so erhalt man fur diesen


Abbildung 1.10: Fur jedes Wegelement dr verrichtet die Tangentialkomponente derKraft F die Arbeit dW = F ·dr (links). Die Gesamtarbeit, die zwischen einemAnfangspunkt 1 und einem Endpunkt 2 verrichtet wird, hangt im allgemeinen vomWeg ab (rechts). Fur den Weg γ1 ist die Tangentialkomponente der Kraft immerkleiner als fur den Weg γ2.

Weg den Energiesatz

T1 − T0 =

∫γ

F ·dr =

t1∫t0

F (r(t),v(t), t)·v(t)dt . (1.32)

Die Anderung der kinetischen Energie ist gleich der gesamten von der Kraft aufdem Weg verrichteten Arbeit. Im allgemeinen hangt die von einer Kraft F =F (r(t), r(t), t) verrichtete Arbeit vom Verlauf der Bahnkurve r(t) ab (Abb. 1.10).

Energieerhaltung

Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die Arbeit wegunabhangig ist, d.h. fur alleWege zwischen zwei Endpunkten hangt die Arbeit nur von der Lage der Endpunk-te ab. In diesem Fall gibt es einen Energieerhaltungssatz und die Kraft wird alskonservativ bezeichnet.

Ein Beispiel einer konservativen Kraft ist die Schwerkraft. Fur einen beliebigen Wegvon der Hohe z0 auf die Hohe z1 verrichtet die Schwerkraft G = −mgez immer dieArbeit

W =

r1∫r0

dr·G =

z1∫z0

dz(−mg) = −mg(z1 − z0) = U(z0)− U(z1).


Hierbei ist U(z) = mgz die potentielle Energie, die nur von der Hohe des Korpersabhangt.

Ist die Arbeit wegunabhangig, so kann man allgemein eine potentielle Energie

U(r) = −∫

F ·dr (1.33)

definieren. Ohne Einschrankung kann man einen beliebigen Weg wahlen und ent-lang dieses Weges mit der Bogenlange als Kurvenparameter eine Stammfunktionberechnen,

U(r) = −∫

(F ·t) ds , t =dr

ds.

Die Arbeit ist dann die Differenz der potentiellen Energien in den Endpunkten desWeges,

W =

r1∫r0

F ·dr = −U(r)

∣∣∣∣r1

r0

= U(r0)− U(r1) . (1.34)

Aus dem Energiesatz (1.32) folgt mit (1.34)

T1 + U(r1) = T0 + U(r0) = E.

Da der Endpunkt beliebig gewahlt werden kann, bleibt die Gesamtenergie E beider Bewegung r = r(t) mit der Geschwindigkeit v = v(t) konstant und es gilt derEnergieerhaltungssatz

1

2mv2 + U(r) = E (1.35)

Konservative Krafte

Es stellt sich nun die Frage, welche Krafte konservativ sind, d.h. ein Potential be-sitzen. Dazu nehmen wir an, dass ein Potential existiert und leiten daraus die allge-meine Form des zugehorigen Kraftfeldes her.

Es existiere ein Potential U(r), so dass die Arbeit wegunabhangig ist und der Ener-giesatz (1.35) gilt. Dann erhalt man durch Zeitableitung

dT

dt+dU

dt= (F + ∇U)·v = 0 . (1.36)

Allgemein kann das Differential einer Funktion f(r) mit Hilfe des Gradienten ange-geben werden,

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz = dr·∇f. (1.37)


Aus (1.36) folgt, dass der Vektor F +∇U senkrecht auf der Geschwindigkeit v steht.Mit einem beliebigen Vektor A gilt daher fur konservative Krafte

F = −∇U + v×A. (1.38)

Insbesondere haben geschwindigkeitsunabhangige konservative Krafte die einfacheForm

F = −∇U . (1.39)

Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafur, dass eine geschwindigkeitsun-abhangige Kraft in einem einfach zusammenhangenden Gebiet konservativ ist, lautet

∇ × F = 0. (1.40)

Die Bedingung ist notwendig. Ist F konservativ, so folgt daraus notwendig (1.40).Denn eine konservative ortsabhangige Kraft ist nach (1.39) aus einem Potentialableitbar und die Rotation des Gradienten verschwindet:

(∇ × F )i = −∑jk

εijk∂2U

∂xj∂xk= −

∑kj

εikj∂2U

∂xk∂xj=∑jk

εijk∂2U

∂xj∂xk= 0.

Umgekehrt kann man auch zeigen, dass die Bedingung (1.40) hinreichend dafur ist,dass die Arbeit wegunabhangig ist. Dies folgt aus dem Stokeschen Integralsatz, derin der Vektoranalysis und in der Elektrostatik behandelt wird.

1.5 Eindimensionale Bewegungen

Im folgenden betrachten wir eindimensionale Bewegungen x = x(t), die einer Bewe-gungsgleichung 2. Ordnung

mx = F (x, x, t)

mit den Anfangsbedingungen

x(0) = x0, v(0) = v0

genugen. Die wesentliche physikalische Einschrankung ist hierbei, dass die x-Komponente der Kraft F (x, x, t) unabhangig ist von den restlichen Koordinaten y,z und Geschwindigkeiten y, z des Massepunktes. Die Bewegung in der x-Richtungist dann unabhangig von der Bewegung in der y oder z Richtung.


1.5.1 Zeitabhangige Kraft

Hangt die Kraft nur von der Zeit ab, F = F (t), so kann die Bewegungsgleichungdurch Integration direkt gelost werden,

v(t) = v0 +1

m

t∫0

dt′F (t′)

x(t) = x0 +

t∫0

dt′v(t′)

1.5.2 Geschwindigkeitsabhangige Kraft

Ist die Kraft nur von der Geschwindigkeit abhangig, F = F (v), so bestimmt manzunachst die Funktion t = t(v) durch

dt(v)

dv=

1

v=

m

F (v)

t =

v∫v0

dv′m

F (v′)(1.41)

Die gesuchte Funktion v = v(t) ist die Umkehrfunktion von t = t(v). Die Umkehr-funktion existiert lokal in der Umgebung eines Punktes v∗ falls t′(v∗) 6= 0. Dannist dt = t′(v∗)dv nach dv = dt/t′(v∗) auflosbar. Mit v(t) erhalt man x(t) durchIntegration

x(t) = x0 +

t∫0

dt′v(t′). (1.42)

1.5.3 Ortsabhangige Kraft

Besondere Bedeutung haben Krafte F = F (x), die nur vom Ort abhangen. Furdiese Krafte existiert ein Energieerhaltungssatz. Multipliziert man die Bewegungs-gleichung mit x, so gilt

mxx = F (x)x,

d

dt

(1

2mx2

)=

d

dt

x(t)∫a

dx′F (x′)

.


Definiert man die kinetische Energie T (v) und die potentielle Energie U(x) durch

T (v) =1

2mv2, U(x) = −

x∫a

dx′F (x′), U(a) = 0 (1.43)

mit einem beliebigen Bezugspunkt a, so folgt daraus der Energieerhaltungssatz

d

dt(T + U) = 0, T (v) + U(x) = E. (1.44)

Die Gesamtenergie E ist eine Konstante, die bei der Bewegung, x = x(t), v = v(t)erhalten bleibt.

Bewegung im Potential, Umkehrpunkte, Gleichgewichte

Aus dem Energiesatzes konnen wichtige Folgerungen fur die Bewegung des Masse-punktes gezogen werden. Dazu verwendet man haufig eine graphische Darstellungder Energie als Funktion der Koordinate x (Abb. (1.11)). Die potentielle Energiey = U(x) ist eine Funktion von x, die Gesamtenergie y = E eine vorgegebene Kon-stante. Die kinetische Energie am Ort x ergibt sich aus der Differenz T = E−U(x).Da die kinetische Energie nie negativ sein kann, ist die Bewegung auf Gebiete mitE−U(x) > 0 eingeschrankt, d.h. auf diejenigen Gebiete in denen die Potentialkurvey = U(x) unterhalb der horizontalen Geraden y = E verlauft.

Die Umkehrpunkte x = xu der Bewegung werden definiert durch die Nullstellen von

E − U(xu) = 0. (1.45)

An den Umkehrpunkten gilt T = 0 und daher auch v = 0. Im Umkehrpunkt istdie Kraft i.a. ungleich Null, so dass die Bewegung nicht zur Ruhe kommt, sondernnur ihre Richtung umkehrt. Aus der Definition des Potentials folgt, dass die Kraftimmer in der Richtung des abnehmenden Potentials gerichtet ist,

F (x) = −dU(x)

dx. (1.46)

Verlauft eine Bahn zwischen zwei Umkehrpunkten, so ist die Bewegung periodisch.

Gleichgewichtspunkte x = xg, die eine mogliche Ruhelage darstellen, werden defi-niert durch die Nullstellen der Kraft, bzw. die Extrema des Potentials,

F (xg) = −dU(xg)

dx= 0 . (1.47)


Um die Stabilitat eines solchen Kraftegleichgewichts zu untersuchen, entwickelt mandas Potential um den Gleichgewichtspunkt bis zur zweiten Ordnung,

U(x) = U(xg) +dU(xg)

dx(x− xg) +

1

2

d2U(xg)

dx2(x− xg)2.

Wegen der Gleichgewichtsbedingung (1.47) verschwindet die erste Ordnung, so dassdie Kraft durch die zweite Ordnung bestimmt wird,

F (x) = −d2U(xg)

dx2(x− xg).

Abhangig vom Vorzeichen der zweiten Ableitung des Potentials unterscheidet manstabile und instabile Gleichgewichte,

d2U(xg)

dx2> 0, stabil

d2U(xg)

dx2< 0, instabil

Ein stabiles Gleichgewicht entspricht also einem Potentialminimum, ein instabileseinem Potentialmaximum.

x

U(x)

EE

EE

E

1

2

3

4

5

yy= Abbildung 1.11: Bewegung im Poten-

tial U(x) bei verschiedenen Energien.E1: Stabiles Gleichgewicht, E2: Peri-odische Bewegung im linken Poten-tialminimum, stabiles Gleichgewicht imrechten Potentialminimum, E3: Peri-odische Bewegungen in beiden Minima,E4: Instabiles Gleichgewicht, Grenzkur-ve zwischen den periodischen Bewegun-gen unterhalb und oberhalb des Poten-tialmaximums, E5: Periodische Bewe-gung oberhalb des Potentialmaximums.

Phasenebene

Der Phasenraum einer eindimensionalen Bewegung ist die durch (x, p) aufgespanntePhasenebene. Die Kurven, die eine Bewegung in der Phasenebene durchlauft, werdendurch den Energiesatz bestimmt,

p2

2m+ U(x) = E, p = ±

√2m(E − U(x)).


Abbildung (1.12) zeigt die der Potentialdarstellung (1.11) entsprechenden Kurvenin der Phasenebene. Die Kurven werden im Uhrzeigersinn durchlaufen. Kurven zuverschiedenen Energien durfen sich nicht schneiden, da sie durch eine Anfangsbedin-gung (x, p) bereits eindeutig festgelegt sind. Sie bilden daher ein System ineinandergeschachtelter Ringe um die stabilen Gleichgewichtspunkte. Die Kurve durch den in-stabilen Gleichgewichtspunkt nennt man Separatrix, da Sie Bereiche mit qualitativverschiedenen Kurven voneinander trennt.

x

pAbbildung 1.12: Bewegung in der Phase-nebene. Die einzelnen Kurven entsprechenden Energien in Abbildung (1.11). Die aufder x-Achse hervorgehobenen Punkte sind dieGleichgewichtspunkte. Durch den mittlereninstabilen Gleichgewichtspunkt geht die Se-paratrix.

Zeitabhangigkeit der Bewegung, Periode

Ausgehend vom Energiesatz erhalt man fur die Geschwindigkeit den Ausdruck,

v =dx

dt= ±

√2

m(E − U(x)).

Das Vorzeichen wird durch das Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeit und nach-folgende Vorzeichenwechsel an den Umkehrpunkten bestimmt. Damit lasst sichzunachst die Funktion t = t(x) als Integral darstellen

dt

dx=

1dxdt

=1

v(x,E)

t(x) =

x∫x0

dx′

±√

2m

(E − U(x′)). (1.48)

Durch die Bildung der Umkehrfunktion erhalt man aus t = t(x) die gesuchte Bewe-gung x = x(t). Die Umkehrfunktion existiert lokal fur t′(x) = 1/v 6= 0.


Ist die Bewegung periodisch so erhalt man die Periode T durch eine Integration ubereinen Umlauf. Sind die beiden Umkehrpunkte der Bahn x1 und x2, dann gilt

T =

x2∫x1

dx√2m

(E − U)+

x1∫x2

dx

−√

2m

(E − U)

= 2

x2∫x1

dx√2m

(E − U)(1.49)

1.6 Bewegung im Zentralpotential

Die Bewegung eines Massenpunktes unter Einwirkung einer konservativen isotro-pen Kraft stellt ein Grundproblem der klassischen Mechanik dar, das aufgrund vonErhaltungssatzen vollstandig gelost werden kann.

Bei der Bewegung einer kleinen Masse um eine große Masse ist wegen der Gleich-heit von actio und reactio die Beschleunigung der großen Masse sehr viel kleinerals die der kleinen Masse. Daher kann man die Bewegung der kleinen Masse nahe-rungsweise als Einkorperproblem mit einem festen Kraftzentrum behandeln. Auchdas allgemeine Zweikorperproblem kann auf ein Einkorperproblem reduziert werden,bei dem sich dann aber eine effektive Masse um den gemeinsamen Schwerpunkt be-wegt.

1.6.1 Zentralpotential und Zentralkraft

Ein Zentralpotential bezeichnet ein radialsymmetrisches Potential, das nur vom Ab-stand zum Koordinatenursprung abhangt:

U = U(r), r =√x2 + y2 + z2. (1.50)

Die Aquipotentialflachen sind Kugelflachen.

Beispiele:

• Isotroper harmonischer Oszillator (Schwingungen)

U =1

2kr2, k = const,

• Gravitationspotential (Massen) bzw. Coulombpotential (Ladungen):

U =α

r, α = const


• Yukawapotential (Atomkerne):

U =α

rexp(−κr), α, κ = const

• Lennard-Jones Potential (Molekule):

U =λ

r12− µ

r6, λ, µ = const

Die durch ein Zentralpotential definierte Kraft heißt Zentralkraft. Der Gradientzeigt in Richtung der Flachennormalen von U = U(r). Die abgeleitete Zentralkraftist daher in radialer Richtung gerichtet und hangt betragsmaßig nur vom Abstandab,

F = −∇U(r) = F (r)rr, F (r) = −dU(r)

dr. (1.51)

Die kartesischen Komponenten des Gradienten von U(r) wurden hierbei nach derKettenregel berechnet

∂U(r)

∂xi=dU(r)

dr

∂r

∂xi=dU(r)

dr

1

2r(2xi) =

dU(r)

dr

xir. (1.52)

Die Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralpotential wird durch das An-fangswertproblem

mr = F (r)r

r, r(0) = r0, v(0) = v0 (1.53)

beschrieben. Die allgemeine Losung der Bewegungsgleichung enthalt 6 Integrati-onskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Zur Losungwerden die Erhaltungssatze fur den Drehimpuls und die Energie ausgenutzt. Die-se legen 4 Integrationskonstanten fest. Nach Ausnutzung der Erhaltungssatze sinddaher nur noch zwei Integrationen auszufuhren.

1.6.2 Drehimpulserhaltung

Eine Zentralkraft ubt bezuglich des Koordinatenursprungs kein Drehmoment aus,

N = r × F = F (r)r × r = 0. (1.54)

Daher ist der Drehimpuls

L = mr × v = mr0 × v0 (1.55)


erhalten. Ist L = 0, so sind r0 und v0 parallel gerichtet, d.h. die Bewegung erfolgtin radialer Richtung. Dieser Sonderfall entspricht einer eindimensionalen Bewegungmit einer ortabhangigen Kraft (Abschnitt 1.5.3).

Bahnebene: Ist L 6= 0, so steht der Drehimpuls senkrecht auf der Bahnebene, diedurch die Vektoren r0 und v0 aufgespannt wird. Wahlt man ein Koordinatensystem,dessen z-Achse in Richtung des Drehimpulses gerichtet ist, so verlauft die Bahn inder xy-Ebene. Wegen der Radialsymmetrie des Potentials ist es zweckmaßig in derBahnebene Polarkoordinaten (r, ϕ) einzufuhren,

x = r cosϕ,

y = r sinϕ. (1.56)

Der Bewegung (x(t), y(t)) des Massenpunktes in kartesischen Koordinaten entsprichteine Bewegung (r(t), ϕ(t)) in Polarkoordinaten. Die Geschwindigkeitskomponententransformieren sich gemaß

x = r cosϕ− rϕ sinϕ,

y = r sinϕ+ rϕ cosϕ . (1.57)

Mit den Transformationsgleichungen (1.56), (1.57) erhalt man fur den Drehimpulsdie Beziehung

L = m(xy − yx) = mr2ϕ . (1.58)

Dieser bestimmt die Winkelgeschwindigkeit ϕ als Funktion des Abstandes vomKraftzentrum

ϕ =L

mr2. (1.59)

1.6.3 Energieerhaltung

Da die Zentralkraft aus dem Zentralpotential ableitbar ist, gilt der Energierhaltungs-satz

E =1

2mv2 + U(r) =

1

2v2

0 + U(r0). (1.60)

Fur das Betragsquadrat der Geschwindigkeit gilt

v2 = x2 + y2 = r2 + r2ϕ2 = r2 +L2

m2r2. (1.61)


Im letzten Schritt wurde die Winkelgeschwindigkeit mit Hilfe des Drehimpulses eli-miniert. Definiert man ein effektives Potential durch

Ueff (r) =L2

2mr2+ U(r) . (1.62)

so erhalt man einen Energiesatz fur die Radialbewegung r = r(t),

E = 12mr2 + Ueff (r) . (1.63)

Differenziert man (1.63) nach der Zeit, so erhalt man die Bewegungsgleichung

mr = −dUeffdr

=L2

mr3+ F (r) = mϕ2r + F (r). (1.64)

Als Kraft in radialer Richtung wirkt neben der Zentralkraft F (r) auch die Zentri-fugalkraft mϕ2r. Der Zentrifugalkraft entspricht das Zentrifugalpotential L2

2mr2im

effektiven Potential.

1.6.4 Bewegung und Bahnkurve

Die Erhaltungssatze (1.59), (1.63) bilden ein System von 2 gekoppelten Differential-gleichungen 1. Ordnung fur die Funktionen r(t) und ϕ(t). Zur eindeutigen Festlegungeiner Losung sind noch zwei Anfangsbedingungen

r(0) = r0, ϕ(0) = ϕ0 (1.65)

erforderlich.

Man kann die Radialbewegung r = r(t) als eine eindimensionale Bewegung in einemeffektiven Potential Ueff (r) auffassen und entsprechend integrieren

r = ±√

2

m(E − Ueff ), t = ±

∫ r(t)

r0

dr′√2m

(E − Ueff ).

Die Losung t = t(r) bestimmt implizit die Radialbewegung r = r(t). Damit kanndie Winkelbewegung ϕ = ϕ(t) ebenfalls integriert werden,

ϕ(t) = ϕ0 +

t∫0

L

mr2dt′. (1.66)


Die Bewegung r = r(t), ϕ = ϕ(t) stellt eine Parameterdarstellung der Bahnkurver = r(ϕ) mit dem Kurvenparameter t dar. Die Bahnkurve kann wegen

dϕ

dr=ϕ

r= ± L

r2√

2m(E − Ueff )(1.67)

auch direkt durch das Integral

ϕ = ϕ0 ±∫ r(t)

r0

Ldr

r2√

2m(E − Ueff ), (1.68)

dargestellt werden. Die Umkehrung von ϕ = ϕ(r) ergibt r = r(ϕ).

1.6.5 Radialbewegung im effektiven Potential

Die Radialbwegung wird durch das effektive Potential Ueff (r) bestimmt. Abbildung(1.13) zeigt das effektive Potential fur die Potentiale U = αr2 und U = −α/rmit α > 0. Die Radialbewegung ist auf die Bereiche mit E > Ueff eingeschrankt.Punkte, in denen E = Ueff sind Umkehrpunkte der Radialbewegung. Falls die Be-dingung E > Ueff nur in einem endlichen Intervall rmin < r < rmax erfullt ist,spricht man von einer gebundenen Bahn. Bei einer gebundenen Bahn verlauft dieRadialbewegung zwischen zwei Umkehrpunkten rmin und rmax.

Abbildung 1.13: Effektives Potential Ueff = U + L2/2mr2 fur U = αr2 und U =−α/r.

An den Umkehrpunkten der Radialbewegung gilt r = 0 aber ϕ 6= 0, nach (1.59).Daher dreht sich der Ortsvektor an diesen Umkehrpunkten in der Bahnebene weiter.


Bei einer ungebundenen Bewegung kommt die Bahn aus dem Unendlichen, nahertsich dem Kraftzentrum bis auf einen minimalen Abstand r0 und entfernt sich dannwieder ins Unendliche.

Abbildung 1.14: Bahnkurven ei-ner ungebundenen Bewegung ineinem anziehenden (rechts) undeinem abstoßenden (links) Zen-tralpotential. Die Bahn nahertsich dem Zentrum bis zum mini-malen Abstand r0.

1.6.6 Winkelbewegung um das Kraftzentrum

Einem Umlauf im effektiven Potential von rmin nach rmax und zuruck nach rminentspricht ein Winkelzuwachs

∆ϕ =

∫ rmax

rmin

2Ldr

r2√

2m(E − Ueff )(1.69)

fur den Umlauf des Teilchens um das Kraftzentrum. Die Bahn des Teilchens verlauft,wie in Abb. (1.15) dargestellt innerhalb eines Kreisringes, wobei sich die Radienzu zwei aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten der Bahn am außeren bzw. innerenRand des Ringes um den Winkel (1.69) drehen. Die Bahn ist geschlossen, falls furganzzahlige m und n die Bedingung

m∆ϕ = n2π (1.70)

erfullt wird. Dann schließt sich die Bahn nach m Umlaufen im effektiven Potentialbzw. n Umlaufen um das Kraftzentrum (Rosettenbahn). Ist ∆ϕ kein rationales Viel-faches von 2π, so ist die Bahn offen und erfullt nach beliebig vielen Umlaufen dengesamten Kreisring. Man kann zeigen, dass sie jedem Punkt des Kreisringes beliebignahe kommt und bezeichnet solche Bahnen als ergodisch.


Abbildung 1.15: Bahnkurve einer gebunde-nen Bewegung in einem Zentralpotential. DieBahn verlauft innerhalb des Kreisringes zwi-schen rmin und rmax. Die Teilstucke der Bahnzwischen 2 Umkehrpunkten sind jeweils spie-gelsymmetrisch bezuglich der vom Zentrumzu den Umkehrpunkten gerichteten Radienrmin bzw. rmax.

1.7 Kepler-Problem

Die Bestimmung der Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralfeld der Form

U(r) = −αr, F = − α

r2

r

r, α = const, (1.71)

wird als das Kepler-Problem bezeichnet. Fur α = γmM ist es auf die Planetenbe-wegung (Masse m) um die Sonne (Masse M) anwendbar, wobei die Sonne als festesZentrum behandelt wird. Im Rahmen der Newtonschen Theorie konnen die Kep-lerschen Planetengesetze hergeleitet und durch das universelle Gravitationsgesetz(1.71) begrundet werden. Dies war einer der großten und uberzeugendsten Erfolgeder Newtonschen Mechanik.

1.7.1 Keplersche Gesetze

1.) Die Planetenbahnen sind Ellipsen. Die Sonne befindet sich in einem Brenn-punkt der Ellipse.

2.) Der von der Sonne zum Planeten gerichtete Vektor uberstreicht in gleichenZeiten gleiche Flachen.

3.) Fur 2 Planetenbahnen verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten wie dieKuben der großen Halbachsen.

Das zweite Keplersche Gesetz ist der Flachensatz (1.28), der allgemein aus der Dreh-impulserhaltung folgt. Das erste und dritte Gesetz werden im folgenden aus derLosung des Kepler-Problems abgeleitet.


Effektives Potential

Abbildung 1.16: Effektives Po-tential fur ein anziehendes 1/r-Potential. Fur negative Energi-en sind die Bahnen gebunden.Die Radialbewegung verlauft zwi-schen den Umkehrpunkten rminund rmax. Fur positive Energi-en existieren keine gebundenenBahnen. Ein einfallendes Teil-chen wird am Kraftzentrum ge-streut und entfernt sich danachwieder beliebig weit.

Das effektive Potential

Ueff = −αr

+L2

2mr2(1.72)

besitzt das in Abb.(1.16) dargestellte Verhalten. Fur L 6= 0 existiert ein Minimumbei

r∗ =L2

mα, U∗ = −1

2

mα2

L2. (1.73)

Demnach gibt es gebundene Bahnen fur negative Energien im Intervall

−mα2

2L2≤ E < 0. (1.74)

Fur positive Energien sind die Bahnen ungebunden.

1.7.2 Bahnkurven

Die Bahnkurve r = r(ϕ) wird durch das Integral

ϕ =

∫L dr

r2

√2m(E + α

r)− L2

r2

(1.75)

bestimmt. Es ist hilfreich mit Hilfe von (1.73) die Parameter p = r∗ und ε =√(U∗ − E)/U∗ einzufuhren. Explizit lautet diese Definition

p =L2

mα, ε =

√1 +

2EL2

mα2. (1.76)


Damit erhalt man durch quadratische Erganzung

2m(E +α

r)− L2

r2

=m2α2

L2

(2EL2

mα2+

2p

r− p2

r2

)=

L2

p2

[ε2 −

(pr− 1)2]

=L2ε2

p2

[1−

(p/r − 1

ε

)2].

Mit der Substitution

ξ =p/r − 1

ε, dξ = −p

ε

1

r2dr,

der Integrationsvariablen folgt

ϕ = −∫

dξ√1− ξ2

= arccos ξ + const.

Die hierbei auftretende Integrationskonstante kann Null gesetzt werden. Dies ent-spricht einer Drehung des Koordinatensystems, so dass der Wert ξ = 1 fur ϕ = 0angenommen wird. Lost man nach r auf, so erhalt man die Bahnkurve:

r =p

1 + ε cosϕ(1.77)

Sie beschreibt Kegelschnitte mit Parameter p und Exzentrizitat ε. Fur ε < 1 sinddies Ellipsen, fur ε > 1 Hyperbeln, fur ε = 1 Parabeln. Eine Kreisbahn (ε = 0)ist ein Spezialfall einer Ellipse.

1.7.3 Ellipsenbahnen

Fur ε im Intervall 0 < ε < 1 sind die Bahnkurven Ellipsen. Dieses Intervall ent-spricht dem Energieintervall (1.74) fur gebundene Bahnen im effektiven Potential.Der Grenzfall ε = 0 entspricht dabei der Kreisbahn im Minimum des effektivenPotentials.

Nach Abbildung (1.17) und gemaß der Polargleichung (1.77) bestehen fur die Para-


meter der Ellipse folgende Relationen,

2a = r1 + r2

rmin = r(0) =p

1 + ε, rmax = r(π) =

p

1− ε, p = r(π/2)

a =1

2(rmin + rmax) =

p

2

(1

1 + ε+

1

1− ε

)=

p

1− ε2.

∆ =1

2(rmax − rmin) =

p

2

(1

1− ε− 1

1 + ε

)=

εp

1− ε2= εa .

b2 + ∆2 = a2, b =√

1− ε2a

Abbildung 1.17: Ellipse mitHalbachsen a, b, Halbpara-meter p und Exzentritat ε.

Daraus erhalt man fur die große Halbachse

a =p

1− ε2=

L2

mα

mα2

2|E|L2=

α

2|E|(1.78)

und fur die kleine Halbachse

b =√

1− ε2a =

√2|E|L2

mα2

α

2|E|=

L√2m|E|

. (1.79)

Der Halbparameter p ist eindeutig durch L bestimmt. Die große Halbachse a isteindeutig durch E bestimmt. Abbildung (1.18) zeigt schematisch die Ellipsenbahnenals Funktion des Drehimpulses bei fester Energie und als Funktion der Energie beifestem Drehimpuls.


Abbildung 1.18: Links: Bahnellipsen bei festem E und Variation von L. Die Kreis-bahn besitzt den großtmoglichen Drehimpuls. Rechts: Bahnellipsen bei festem L undVariation von E. Die Kreisbahn besitzt die kleinstmogliche Energie.

Umlaufperiode

Aufgrund des Flachensatzes (1.28) gilt fur eine Umlaufperiode T

S = πab =L

2mT

T =2m

Lπab =

2πm

L

α

2|E|L√

2m|E|= 2π

√m

αa

32

Mit α = γmM ergibt sich fur die Umlaufperiode T und die große Halbachse a derZusammenhang.

T 2 =(2π)2

γMa3 (1.80)

Da die Proportionalitatskonstante fur alle Planeten und fur alle Drehimpulse gleichgroß ist, erhalt man hieraus das dritte Keplersche Gesetz.


1.7.4 Coulomb-Streuung

Fur ε > 1 sind die Bahnkurven Hyperbeln. Sie beschreiben die Streuung von Teilchenmit Energien E > 0. Ein wichtiges Anwendungsbeispiel ist die Streuung geladenerTeilchen im Coulomb-Feld. Wir berechnen zunachst den Ablenkwinkel bei der Streu-ung eines einzelnen Teilchens und dann den differentiellen Wirkungsquerschnitt furdie Streuung eines Teilchenstrahls in das Raumwinkelelement dΩ.

1.7.5 Stoßgeschwindigkeit und Stoßparameter

Die Streuung eines Teilchens an einem festen Potential wird vollstandig durch dieStoßgeschwindigkeit v0 und den Stoßparameter s des einfallenden Teilchens be-stimmt. Der Stoßparameter ist der Abstand des Streuzentrums von der geradlinigenBahn, auf der sich das Teilchen ohne Streuung bewegen wurde. Diese Parameterlegen die Energie und den Drehimpuls der Bahn fest. Bewegt sich das einfallendeTeilchen asymptotisch in konstantem Abstand s von der x-Achse, r = x(t)ex + sey,mit der Geschwindigkeit v = v0ex so gilt

E =1

2mv2

0, L = mr × v = −msv0ez. (1.81)

Mit L2 = 2ms2E erhalt man fur die entsprechenden Werte des Halbparamaters pund der Exzentrizitat ε

p =L2

mα=

2Es2

α,

(1.82)

ε =

√1 +

2EL2

mα2=

√1 +

(2Es

α

)2

.

1.7.6 Ablenkwinkel

Das auslaufende Teilchen bewegt sich asymptotisch ebenfalls entlang einer Geraden.Diese ist gegenuber der x-Achse um den Ablenkwinkel ϑ geneigt. Fur abstoßendeWechselwirkung gilt gemaß (1.82) und (1.77),

α < 0, p < 0, 1 + ε cosϕ < 0, ϕ(rmin) = π. (1.83)

Die Polarkoordinaten sind so zu wahlen, dass ϕ = π fur r = rmin gilt. Die Achse desPolarkoordinatensystems ist also von rmin zum Ursprung gerichtet (Abb. (1.19)).Bei anziehender Wechselwirkung gilt entsprechend

α > 0, p > 0, 1 + ε cosϕ > 0, ϕ(rmin) = 0. (1.84)


Abbildung 1.19: Streuung an einem abstoßenden Coulomb-Potential.

Abbildung 1.20: Streuung an einem anziehenden Coulomb-Potential.


Hier zeigt die Achse des Polarkoordinatensystems vom Ursprung zum Punkt rmin(Abb. (1.20)). In beiden Fallen besteht zwischen dem Polarwinkel ϕ = ϕ0 und demAblenkwinkel ϑ der auslaufenden Asymptote der Zusammenhang

ϑ = 2ϕ0 − π, ϕ0 =ϑ

2+π

2. (1.85)

Der Ablenkwinkel bei der Coulomb-Streuung laßt sich nun einfach bestimmen. Ausder Polargleichung (1.77), ergibt sich fur die auslaufende Asymptote (r → ∞) dieBedingung

1 + ε cosϕ0 = 1 + ε cos

(ϑ

2+π

2

)= 1− ε sin ϑ

2= 0.,

und fur den Ablenkwinkel die Beziehung

sinϑ

2=

1

ε. (1.86)

Ersetzt man ε mit Hilfe von (1.82), so folgt

ε2 =1

sin2(ϑ/2)(2Es

α

)2

=1

sin2 ϑ/2− 1 =

1− sin2 ϑ/2

sin2 ϑ/2=

(cosϑ/2

sinϑ/2

)2

(1.87)

Daraus ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen dem Ablenkwinkel unddem Stoßparameter bei der Coulomb-Streuung

tan

(ϑ

2

)=s⊥s, s⊥ =

|α|2E

. (1.88)

Hierbei bezeichnet s⊥ den Stoßparameter fur eine 90o-Ablenkung (ϑ = π/2).Vorwartsstreuung (ϑ = 0) entspricht dem Grenzfall s → ∞, Ruckwartsstreuung(ϑ = π) dem Grenzfall s→ 0.

1.7.7 Wirkungsquerschnitt

Die Teilchen eines Teilchenstrahls konnen durch Stoße mit einem anderen Teilchenabgelenkt und als Funktion des Ablenkwinkels mit einem Detektor nachgewiesenwerden. Diesen Vorgang nennt man Streuung. Wir betrachten hier die Streuungeines Teilchenstrahls an einem festen Streuzentrum.


Abbildung 1.21: Streuung vonTeilchen aus dem Flachenelementdσ = sdsdϕ in das Raumwinkel-element dΩ = sinϑdϑdϕ.

Zur Definition des Wirkungsquerschnittes betrachte man einen Strahl monoenerge-tischer Teilchen, die von einem Streuzentrum in ein Raumwinkelelement gestreutwerden (Abb. 1.21). Der Abstand der Bahn des ungestorten Teilchens vom Streu-zentrum wird als Stoßparameter s bezeichnet. Teilchen, die durch den Kreisringzwischen s und s + ds hindurchtreten werden um einen Winkel zwischen ϑ undϑ+ dϑ abgelenkt.

Einfallender Teilchenstrom: Die Anzahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit durchdie Flache dσ hindurchtreten, sei

dIein = jdσ; dσ = s|dϕ||ds| (1.89)

Die Flache wird hierbei immer positiv gezahlt.

Detektorflache: Im Abstand R vom Streuzentrum werden die gestreuten Teilchenmit einem Detektor nachgewiesen. Die Detektorflache ist

dO = R2 sinϑ|dϑ||dϕ| = R2dΩ (1.90)

Sie wird ebenfalls positiv gezahlt.

Raumwinkelelement: Da die Flache vom Abstand R abhangt, verwendet manbesser das Raumwinkelelement

dΩ =dO

R2= sinϑ|dϑ||dϕ| (1.91)

Gestreuter Teilchenstrom: Sei N die Rate der Teilchen, die in den RaumwinkeldΩ gestreut werden

dIaus = NdΩ = N sinϑ|dϑ||dϕ| (1.92)

Differentieller Wirkungsquerschnitt: Da bei der Streuung keine Teilchen ab-sorbiert werden sollen, gilt die Bilanz

dIein = dIaus

jdσ = NdΩ

N

j=

dσ

dΩ


Dieses Verhaltnis bezeichnet den differentiellen Wirkungsquerschnitt und besitzt dieDimension einer Flache. Experimentell misst man das auf der linken Seite stehendeVerhaltnis N/j. Theoretisch berechnet man die rechte Seite mit der aus der Bahn-kurve resultierenden Funktion s = s(ϑ)

dσ

dΩ=

s|ds||dϕ|sinϑ|dϑ||dϕ|

=s

sinϑ

∣∣∣∣ dsdϑ∣∣∣∣ =

s

sinϑ

1∣∣dϑds

∣∣ . (1.93)

1.7.8 Streuung an harten Kugeln

Abbildung 1.22: Streuung eines Teilchens aneiner harten Kugel mit Radius a.

Ein Teilchen werde an einer harten Kugel mit Radius a gestreut (Abb. 1.22). DieBeziehung zwischen dem Stoßparamter und dem Ablenkwinkel ergibt sich aus derAbbildung zu

s = a sinϕ0 = a sinπ − ϑ

2= a cos

ϑ

2.

Damit kann der Differentielle Wirkungsquerschnitt wie folgt berechnet werden:

ds = −a2

sinϑ

2dϑ

dσ

dΩ= −

a cos ϑ2

sinϑ

(−a

2

)sin

ϑ

2=a2

4, mit: sin ϑ

2cos ϑ

2= 1

2sinϑ. (1.94)

Durch Integration uber den Raumwinkel erhalt man den totalen Wirkungsquer-schnitt. Er entspricht hier der Querschnittsflache der Kugel:

σ =

∫dΩ

dσ

dΩ=a2

4· 4π = πa2. (1.95)


1.7.9 Rutherfordscher Wirkungsquerschnitt

Bei der Coulomb-Streuung wird der Zusammenhang zwischen dem Ablenkwinkelund dem Stoßparameter (Abb.1.23) durch die Formel (1.88) bestimmt. Damit ergibtsich folgende Berechnung des Wirkungsquerschnittes.

Abbildung 1.23: Ablenkung eines Teilchensum einen Winkel ϑ bei einem Stoß mit Stoß-parameter s.

Ableitung ds/dϑ:

ds

dϑ=|α|2E

−12sin2 ϑ/2− 1

2cos2 ϑ/2

sin2 ϑ/2= −|α|

4E

1

sin2 ϑ/2(1.96)

Differentieller Wirkungsquerschnitt:

dσ

dΩ= −|α|

2E

cosϑ/2

sinϑ/2

1

sinϑ

(−|α|

4E

)1

sin2 ϑ/2; sinϑ = 2 sin

ϑ

2cos

ϑ

2,

=( α

4E

)2 1

sin4 ϑ/2. (1.97)

Beispiel: Im Rutherfordschen Streuexperiment wurden α-Teilchen (Z1 = 2;E ≈4 − 8MeV ) an Goldkernen (Z2 = 79) gestreut. Mit α = −Z1Z2e

2 erhalt man denRutherfordschen Wirkungsquerschnitt

dσ

dΩ=

(Z1Z2e

2

4E

)21

sin4(ϑ2

) (1.98)

Wird der Rutherfordsche Wirkungsquerschnitt im Experiment gemessen, so kanndaraus geschlossen werden, dass die Streuzentren naherungsweise punktformig seinmussen. Der Kernradius ist also kleiner als der minimale Stoßparameter rmin ≈30 . . . 60fm (1 fm = 10−15 m). Dadurch wurde das Rutherfordsche Atommodellbestatigt: Die Masse des Atoms ist in einem Atomkern konzentriert, dessen Aus-dehnung sehr viel kleiner ist als die der Elektronenhulle (rAtom ≈ 1A, 1A=10−10 m).


Totaler Wirkungsquerschnitt:

σ =

∫dΩ

dσ

dΩ=

2π∫0

dϕ

π∫0

dϑ sinϑdσ

dΩ= 2π

π∫0

dϑ sinϑdσ

dΩ(1.99)

Wegen der unendlichen Reichweite der Coulombwechselwirkung divergiert der totaleWirkungsquerschnitt. Man erhalt einen endlichen Wirkungsquerschnitt, wenn mandie Abschirmung der Ladung durch die Atomhulle berucksichtigt.

1.8 Zweikorperproblem

Wir behandeln nun ein abgeschlossenes System aus zwei Massenpunkten, die mit-einander wechselwirken. Dieses Zweikorperproblem kann mit Hilfe des Impulserhal-tungssatzes auf ein Einkorperproblem zuruckgefuhrt werden.

Die Bewegungsgleichungen der beiden Teilchen besitzen die Form

m1r1 = F 12, m2r2 = F 21. (1.100)

Die Wechselwirkungskrafte sollen nur vom Abstand der Teilchen abhangen und dasGesetz von actio=reactio erfullen:

F 12 = F 12(|r1 − r2|), F 12 = −F 21. (1.101)

1.8.1 Schwerpunkts- und Relativkoordinaten

Das Gleichungssystem (1.100) kann durch die Einfuhrung von Schwerpunkts- undRelativkoordinaten entkoppelt werden. Die Koordinatentransformation und ihreUmkehrtransformation werden durch die Vektorgleichungen

R =1

M(m1r1 +m2r2) , r = r2 − r1 (1.102)

r1 = R− µ

m1

r, r2 = R +µ

m2

r, (1.103)

mitM = m1 +m2, µ =

m1m2

m1 +m2

definiert. Man bezeichnet µ als die reduzierte Masse. Bei stark unterschiedlichenMassen entspricht die reduzierte Masse naherungsweise der kleineren Masse, d.h.


Abbildung 1.24:Laborsystem undSchwerpunkts-system.

µ ≈ m2 fur m2 m1. Bei gleichen Massen gilt m1 = m2 = 2µ, d.h. µ ist gegenuberden Massen m1,2 um den Faktor 1/2 reduziert.

Der Relativvektor r ist vom Massenpunkt r1 zum Massenpunkt r2 gerichtet. DieOrtsvektoren im Schwerpunktssystem sind

r′1 = − µ

m1

r, r′2 =µ

m2

r.

Fur die Impulse der Massenpunkte gilt die Transformation

p1 = m1V − µv, p2 = m2V + µv, (1.104)

mitV = R, v = r.

1.8.2 Schwerpunkts- und Relativbewegung

Durch die Addition der beiden Bewegungsgleichungen in (1.100) ergibt sich die Be-wegungsgleichung fur den Schwerpunkt:

m1r1 +m2r2 = M V = F 12 + F 21 = 0

(1.105)

Da die Gesamtkraft verschwindet, ist der Gesamtimpuls erhalten und der Schwer-punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.


V = V 0 = const, R = R0 + V 0t. (1.106)

Fur die Relativbewegung erhalt man mit (1.104) und (1.106) die Bewegungsglei-chung

p2 = µr = F 21(r) (1.107)

Hierbei handelt es sich um ein Einkorperproblem fur ein fiktives Teilchen mit derreduzierten Masse µ und dem Ortsvektor r unter Einwirkung der Kraft F 21(r).

Schwerpunktsystem (SS): Ein Bezugssystem in dem der Schwerpunkt im Ko-ordinatenursprung ruht, R = V = 0, wird Schwerpunktsystem genannt. Fur dieTeilchenbewegung im SS gilt:

r1(t) = − µ

m1

r(t), r2(t) =µ

m2

r(t)

(1.108)

p1 = −µv, p2 = µv.

Die Impulse der beiden Teilchen sind entgegengesetzt gerichtet und betragsmaßiggleich groß.

1.8.3 Elastische Stoße

Bei elastischen Stoßen zweier Massen m1 und m2 gelten die Erhaltungssatze furEnergie und Impuls. Die Geschwindigkeiten der Teilchen vor dem Stoß seien v1 undv2. Ziel ist die Bestimmung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß v′1 und v′2. Auf-grund der Erhaltungssatze besteht das Ergebnis des Stoßes im Schwerpunktsystemin einer Drehung der Richtung der Relativgeschwindigkeit um den Ablenkwinkel ϑ.Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind daher durch die Transformationsgesetzezwischen Labor- und Schwerpunktssystem und den Ablenkwinkel bestimmbar.

Impulserhaltung: Aufgrund der Impulserhaltung kann sich beim Stoß nur dieRelativgeschwindigkeit andern. Die Schwerpunktgeschwindigkeit bleibt erhalten:

V = V ′. (1.109)

Der Strich kennzeichnet Großen nach dem Stoß. Im Schwerpunktsystem verschwin-det der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß:

P = µv − µv = 0, P ′ = µv′ − µv′ = 0. (1.110)


Energieerhaltung: Aufgrund der Energieerhaltung kann sich beim Stoß nur dieRichtung der Relativgeschwindigkeit andern. Die Relativgeschwindigkeit vor demStoß sei v = vt, nach dem Stoß v′ = v′t′ mit Einheitsvektoren t bzw. t′ in Richtungder Relativgeschwindigkeit. Im Schwerpunktssystem lautet der Energieerhaltungs-satz

E = E ′, E =µv2

2, E ′ =

µv′ 2

2. (1.111)

Daraus folgt, dass der Betrag der Relativgeschwindigkeit erhalten ist,

v = v′.

Der noch unbestimmte Winkel zwischen t und t′ wird als Ablenkwinkel ϑ bezeichnetund hangt vom speziellen Wechselwirkungsgesetz ab.

Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind im Schwerpunktssystem

v′1 = − µ

m1

vt′, v′2 =µ

m2

vt′, (1.112)

und im Laborsystem

v′1,L = V − µ

m1

vt′, v′2,L = V +µ

m2

vt′. (1.113)

Kapitel 2

Lagrangesche Mechanik

Die Behandlung von Systemen von Massenpunkten mit Zwangsbedingungen erfor-dert eine Erweiterung der Newtonschen Mechanik. Die Einfuhrung von Zwangs-kraften fuhrt zu den Lagrangegleichungen erster Art, die von generalisierten Koor-dinaten zu den Lagrangegleichungen zweiter Art.

2.1 Systeme mit Zwangsbedingungen

2.1.1 Zwangsbedingungen

Ein System aus N freien Massenpunkten besitzt 3N Freiheitsgrade. Diese entspre-chen den Lagekoordinaten der Massenpunkte im dreidimensionalen Raum. Ist einMassenpunkt Teil eines mechanischen Systems, so kann die Zahl seiner Freiheitsgra-de durch außere Vorgaben eingeschrankt sein. Beim ebenen Pendel bewegt sich dieMasse auf einer Kreisbahn und besitzt daher nur noch einen Freiheitsgrad. Bedin-gungen, die die Zahl der Freiheitsgrade einschranken, werden Zwangsbedingungengenannt.

Physikalische Systeme mit Zwangsbedingungen sind in der Technik sehr verbreitet.Bei mechanischen Maschinen werden die beweglichen Teile, wie Kolben und Rader,so gefuhrt, dass meist schon ein Freiheitsgrad ausreicht um deren Stellung anzuge-ben.

Die Reduktion der Anzahl der Freiheitsgrade auf wenige relevante Freiheitsgrade istvon prinzipieller Bedeutung. Viele Probleme werden erst auf diese Weise behandel-bar. Ein starrer Korper besteht z.B. aus unendlich vielen Massenpunkten. Da wiraber wissen, dass die Abstande zwischen den Massenpunkten bei der Bewegung festbleiben, reduziert sich das Problem auf eine Bewegung mit den sechs Freiheitsgradender Translation und Rotation.

Die folgenden Beispiele zeigen einige typische Zwangsbedingungen:

46


• Massenpunkt mit Ortsvektor r auf ei-ner Ebene mit Normalenvektor n:

n · r = 0.

• Massenpunkt mit Ortsvektor r aufoder oberhalb einer Ebene mit Norma-lenvektor n:

n · r ≥ 0

• Massenpunkt auf der Oberflache einerKugel mit Radius R:

r −R = 0

• Starr verbundene Massenpunkte mitAbstanden rij:

(ri − rj)2 − r2

ij = 0

• Massenpunkt auf rotierender Stangemit Richtung e(t).

r × e(t) = 0


• Mittelpunkt des rollenden Rades:

x−Rϕ = 0, z −R = 0

2.1.2 Zwangskrafte

Zwangsbedingungen fuhren zu einer Erweiterung der Newtonschen Mechanik. Umdie Zwangsbedingungen erfullen zu konnen, werden in den Bewegungsgleichungenzusatzliche Krafte eingefuhrt. Diese Krafte werden als Zwangskrafte bezeichnet.

Die Bewegungsgleichung eines Massenpunktes mit einer Zwangskraft Z lautet

mr = F + Z.

Die Rolle der Zwangskraft soll zuerst an dem folgenden Beispiel illustriert werden.

Schiefe Ebene

Abbildung 2.1: Schiefe Ebe-ne mit Schwerkraft G undZwangskraft Z.

Ein Massenpunkt bewege sich unter Einwirkung der Schwerkraft G = −mgez aufeiner um den Winkel α geneigten schiefen Ebene (Abb.2.1). In einem um den Winkelα gedrehten Inertialsystem S ′ lauten die Bewegungsgleichungen

mx′ = −mg sinα+ Z ′x

mz′ = −mg cosα+ Z ′z (2.1)


Um die Zwangsbedingung z′ = 0 zu erfullen, kann die Zwangskraft

Z ′x = 0, Z ′

z = mg cosα .

gewahlt werden. Dabei ist die Normalenkomponente Z ′z eindeutig durch die Zwangs-

bedingung bestimmt. Die Tangentialkomponente wird zu Null gewahlt, da in dieserRichtung keine Zwangsbedingung vorliegt. Die Zwangskraft kompensiert hier geradedie Komponente der Schwerkraft in Richtung der Flachennormale.

2.2 Lagrangegleichungen erster Art

2.2.1 Konfigurationsraum

Fur ein System von N Massenpunkten wird die Lage der N Massen durch 3NKoordinaten festgelegt. Eine gegebene Konfiguration kann daher durch einen Punktin einem 3N -dimensionalen Raum, dem Konfigurationsraum, angegeben werden. ImKonfigurationsraum werden der Ortsvektor x, die Kraft F und die Zwangskraft Zin folgender Weise definiert

x =

x1

y1

z1

x2

y2

z2

· · ·xNyNzN

, F =

Fx,1Fy,1Fz,1Fx,2Fy,2Fz,2· · ·Fx,NFy,NFz,N

, Z =

Zx,1Zy,1Zz,1Zx,2Zy,2Zz,2· · ·Zx,NZy,NZz,N

. (2.2)

Außerdem sei m eine 3N × 3N -Diagonalmatrix, die durch die Massen M1, · · · ,MN

der Massenpunkte auf folgende Weise definiert ist,

m =

M1 0 · · ·0 M1 0 · · ·· · · 0 M1 0 · · ·

· · · 0 M2 0 · · ·· · · 0 M2 0

· · · 0 M2

· · ·MN 0 · · ·0 MN 0· · · 0 MN

. (2.3)


Mit dieser Notation lauten die Bewegungsgleichungen der Massenpunkte in Vektor-und Koordinatenform

m · x = F + Z ⇐⇒ mixi = Fi + Zi, i = 1, · · · , 3N . (2.4)

wobei mi das i-te Diagonalelement von m bezeichnet.

2.2.2 Holonome Zwangsbedingungen

Unter holonomen Zwangsbedingungen versteht man Zwangsbedingungen, die sichin Form einer Gleichung zwischen den Lagekoordinaten und eventuell der Zeit aus-drucken lassen. Im allgemeinen wird die Bewegung eines Systems durch mehrereholonome Zwangsbedingungen eingeschrankt,

gl(x, t) = 0, l = 1, 2, 3, · · · , k. (2.5)

Hierbei ist k die Anzahl der Zwangsbedingungen und l ist ein Index fur die unter-schiedlichen Zwangsbedingungen. Zeitabhangige Zwangsbedingungen, g = g(x, t),heißen rheonom, zeitunabhangige, g = g(x), skleronom. Im folgenden werden k ho-lonome Zwangsbedingungen vorausgesetzt.

Hyperflachennormale und virtuelle Verruckungen

Eine holonome Zwangsbedingung definiert eine Hyperflache im Konfigurationsraum.Eine virtuelle Verruckung bezeichnet eine infinitesimale Verschiebung δx eines Punk-tes auf einer momentanen Hyperflache, die zu einer festen Zeit t = t0 vorliegt.Virtuelle Verruckungen mussen von den tatsachlichen Verschiebungen dx der Mas-senpunkte in einem Zeitintervall dt unterschieden werden, da sich in dieser Zeit dieZwangsbedingungen andern konnen. Fur virtuelle Verruckungen gilt

gl(x+ δx, t0)− gl(x, t0) =3N∑i=1

∂gl(x, t0)

∂xiδxi = 0 (2.6)

da sowohl x+ δx als auch x auf der Hyperflache liegen. Der Gradient

Al(x, t) =∂gl(x, t0)

∂x. (2.7)

bzw. in Komponentenschreibweise

Ali(x, t) =∂gl(x, t0)

∂xi,

ist orthogonal zu beliebigen virtuellen Verschiebungen. Er definiert daher die Rich-tung der Hyperflachennormalen.


Abbildung 2.2: Hyperflache mit Normale undvirtueller Verruckung.

2.2.3 D’Alembertsches Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip ist ein Postulat uber die Richtung der Zwangskraft:

Z · δx =3N∑i=1

Ziδxi = 0. (2.8)

Die Zwangskraft ist orthogonal zu beliebigen virtuellen Verruckungen. Man sagtauch, die Zwangskrafte leisten keine virtuelle Arbeit. Hierbei ist aber zu be-achten, dass die virtuelle Arbeit i.a. nicht die tatsachliche Arbeit darstellt. Dasd’Alembertsche Prinzip definiert die Zwangskrafte. Daneben konnen in realen physi-kalischen Systemen auch andere Krafte, wie z.B. Reibungskrafte, durch den Kontaktmit Fuhrungselementen hervorgerufen werden.

Eine alternative Formulierung des d’Alembertschen Prinzips erhalt man, indem mandie Zwangskrafte mit Hilfe der Bewegungsgleichung eliminiert,

(F −m · x) · δx = 0. (2.9)

Ein Spezialfall des d’Alembertschen Prinzips ist das Prinzip der virtuellen Arbeit.Fur ein Kraftegleichgewicht, bei dem alle Koordinaten zeitunabhangig sind, gilt dieGleichgewichtsbedingung,

F · δx = 0. (2.10)

Im Gleichgewicht leisten die Krafte keine virtuelle Arbeit.


Als Beispiel fur das Prinzip der virtuellen Arbeit betrachten wir das Gleichgewichteines Hebels (Abb.2.3). Die virtuellen Verruckungen der Massen m1,2 bei einer Dre-hung um den vektoriellen Drehwinkel δϕ sind jeweils δr1,2 = δϕ×r1,2. Aus demPrinzip der virtuellen Arbeit folgt

F 1·(δϕ×r1) + F 2·(δϕ×r2) = δϕ·(r1×F 1 + r2×F 2) = 0.

Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente in Richtung der Dreh-achse zu Null addieren.

Abbildung 2.3: VirtuelleVerruckungen eines Hebelsaus der Gleichgewichtslage.

2.2.4 Bewegungsgleichungen mit Zwangskraften

Mit Mitteln der Variationsrechnung kann man aus dem d’Alembertschen Prinzip dieBewegungsgleichungen mit Zwangskraften herleiten. Wir wollen diese hier lediglichangeben. Fur jede Zwangsbedingung kann man die zugehorige Zwangskraft in derForm

Z l = λlAl (2.11)

mit (2.7) und noch unbestimmten Funktionen λl(t) ansetzen. Dieser Ansatz erfulltdas d’Alembertsche Prinzip, da die virtuellen Verruckungen definitionsgemaß denBedingungen

Al · δx = 0, l = 1, 2, · · · , kgenugen. Das zugehorige Gleichungssystem nennt man die Lagrangegleichungen er-ster Art,

m · x = F + Z, Z =k∑l=1

λlAl, gl(x, t) = 0. (2.12)

Dies sind 3N + k Gleichungen fur 3N Koordinaten xi und k Parameter λl.


2.3 Lagrangegleichungen zweiter Art

Fur Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen,

mixi = Fi + Zi, i = 1, 2, · · · , 3Ngl(x, t) = 0, l = 1, 2, · · · , k .

konnen die Zwangskrafte durch eine geeignete Koordinatenwahl eliminiert werden.Dies fuhrt zu den Lagrangegleichungen zweiter Art.

2.3.1 Generalisierte Koordinaten

Die Zwangsbedingungen bestimmten zu jedem Zeitpunkt eine Hyperflache im Kon-figurationsraum. Auf dieser Hyperflache konnen geeignete, i.a. krummlinige, Koor-dinaten q1, q2, · · · , qn, · · · , qf gewahlt werden, wobei f die Dimension der Hyper-flache bezeichnet. Solche Koordinaten werden als generalisierte oder verallgemei-nerte Koordinaten bezeichnet. Generalisierte Koordinaten auf einer Kugel sind z.B.die Winkel ϕ, ϑ der Kugelkoordinaten. Die Koordinatentransformation zwischen dengeneralisierten Koordinaten und den kartesischen Koordinaten besitzt die Form

xi = xi(q1, q2, · · · , qf , t), i = 1, 2, · · · , 3N (2.13)

Abkurzend verwenden wir auch die Notation x = x(q, t), wobei q fur die Argumenteq1, q2, · · · , qf steht.

2.3.2 D’Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordina-ten

Der Ortsvektor auf der momentanen Hyperflache wird durch (2.13) dargestellt. Ei-ne virtuelle Verruckung ist definitionsgemaß eine infinitesimale Verschiebung diesesOrtsvektors bei festgehaltener Zeit. Dafur erhalten wir durch Differentiation,

δxi =

f∑n=1

∂xi∂qn

δqn. (2.14)

Die Verruckungen δq auf der Hyperflache unterliegen keinen Einschrankungen mehr.Die Vektoren

an =∂x

∂qn, n = 1, · · · , f (2.15)

bilden in jedem Punkt der Hyperflache eine lokale Basis (Abb.2.4). Hierbei ist an

ein Tangentenvektor an die qn-Koordinate.


Abbildung 2.4: GeneralisierteKoordinaten und lokale Basis aufder Hyperflache.

Mit (2.14), (2.15) lautet das d’Alembertsche Prinzip (2.9),∑n

(m · x− F ) · anδqn = 0. (2.16)

Da die δqn unabhangig voneinander beliebig gewahlt werden konnen, muß jederKoeffizient einzeln verschwinden,

(m · x− F ) · an = 0, n = 1, · · · , f. (2.17)

Dies sind die Komponenten der Bewegungsgleichung entlang der lokalen Basis. Da-mit wurden genau f Bewegungsgleichungen fur die f Freiheitsgrade der Hyperflachegewonnen. Die Zwangskrafte wurden durch die Koordinatenwahl eliminert.

2.3.3 Generalisierte Geschwindigkeiten

In den Bewegungsgleichungen (2.17) mussen x und x durch die generalisierten Ko-ordinaten q ausgedruckt werden.

Fur die Geschwindigkeit erhalt man aus (2.14) das Transformationsgesetz

x =

f∑n=1

∂x(q, t)

∂qnqn +

∂x(q, t)

∂t= v(q, q, t) (2.18)

Man bezeichnet q = (q1, · · · , qf ) als generalisierte Geschwindigkeiten und behandeltin der Transformationsgleichung (2.18) q, q, und t als unabhangige Variablen. Dann


gilt

∂v

∂qn=

∂x

∂qn(2.19)

d

dt

∂x

∂qn=

f∑m=1

∂2x

∂qm∂qnqm +

∂2x

∂t∂qn=

∂v

∂qn. (2.20)

Der Beschleunigungsterm in der Bewegungsgleichung laßt sich damit wie folgt um-formen ∑

i

mixi∂xi∂qn

=∑i

d

dt

(mivi

∂xi∂qn

)−mivi

d

dt

(∂xi∂qn

)=

∑i

d

dt

(mivi

∂vi∂qn

)−mivi

(∂vi∂qn

)=

d

dt

(∂T

∂qn

)− ∂T

∂qn. (2.21)

Hierbei bezeichnet

T (q, q, t) =∑i

1

2mivi(q, q, t)

2

die kinetische Energie des Systems als Funktion der generalisierten Koordinaten undGeschwindigkeiten.

2.3.4 Generalisierte Kraft

Der Kraftterm in der Bewegungsgleichung wird als generalisierte Kraft,

Qn(q, q, t) = F · an (2.22)

bezeichnet. Damit lauten die auf generalisierte Koordinaten transformierten Bewe-gungsgleichungen

d

dt

(∂T

∂qn

)− ∂T

∂qn= Qn . (2.23)

2.3.5 Generalisiertes Potential

Falls die Kraft F aus einem Potential U(x) abgeleitet werden kann,

F = −∂U∂x

,


so gilt dies auch fur die generalisierte Kraft,

Qn(q, q, t) = F · an = −∂U(x)

∂x· ∂x∂qn

= −∂U(x(q, t))

∂qn. (2.24)

Allgemeiner nennt man eine Funktion U(q, q, t) ein generalisierte Potential, falls diegeneralisierte Kraft in der Form

Qn =d

dt

(∂U

∂qn

)− ∂U

∂qn(2.25)

darstellbar ist. Das geschwindigkeitunabhangige Potential (2.24) ist ein Spezialfallhiervon.

2.3.6 Lagrangegleichungen zweiter Art

Existiert ein Potential, so konnen die kinetische und die potentielle Energie in derBewegungsgleichung (2.23) zusammengefasst werden,

d

dt

(∂T

∂qn

)− ∂T

∂qn−Qn

=d

dt

(∂T

∂qn

)− ∂T

∂qn− d

dt

(∂U

∂qn

)− ∂U

∂qn

=d

dt

(∂(T − U)

∂qn

)− ∂(T − U)

∂qn.

Damit erhalt man aus (2.23)

d

dt

(∂L∂qn

)=∂L∂qn

, n = 1, · · · , f, (2.26)

mit

L(q, q, t) = T (q, q, t)− U(q, q, t).

Man nennt L(q, q, t) die Lagrangefunktion und (2.26) die Lagrangegleichungen zwei-ter Art. Dies ist ein System von f Differentialgleichungen zweiter Ordnung fur dieBewegung q(t) auf der Hyperflache. Es ist im allgemeinen einfacher zu behandelnals die 3N + k gekoppelten Lagrangegleichungen erster Art.


2.3.7 Losungsverfahren

Ein mechanisches System mit holonomen Zwangsbedingungen wird damitvollstandig durch die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q, durch Anfangsbe-dingungen (q0, q0) und durch die Angabe der Lagrangefunktion L(q, q, t) in diesenKoordinaten beschrieben. Dabei ist die Form der Gleichungen von der Koordinaten-wahl unabhangig.

Das Verfahren zur Losung eines mechanischen Problems mit den Lagrangegleichun-gen zweiter Art besteht aus den folgenden Teilschritten:

1. Angabe der holonomen Zwangsbedingungen

2. Wahl der generalisierten Koordinaten: q

3. Bestimmung der Koordinatentransformation: x = x(q, t)

4. Aufstellen der Lagrangefunktion. Hierzu mussen T und U als Funktion von q,q und t angegeben werden.

5. Herleitung der Bewegungsgleichungen aus den Lagrangegleichungen

6. Losung der Bewegungsgleichungen

7. Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anfangsbedingungen

2.3.8 Massenpunkt auf schiefer Ebene

Ein einfaches Beispiel ist die Bewegung eines Massenpunktes auf einer schiefen Ebenemit Neigungswinkel α im Schwerefeld (Abb.2.1). Verwendet man Polarkoordinaten(r, ϕ), so ist der Winkel durch die Zwangsbedingung, ϕ − α = 0 festgelegt. DerRadius kann als verallgemeinerte Koordinate q = r gewahlt werden. Die Koordina-tentransformation lautet

x = r cosα, z = r sinα .

Durch Ableitung erhalt man die Geschwindigkeiten

x = r cosα, z = r sinα

und damit die kinetische Energie

T =1

2m(x2 + z2) =

1

2mr2(cos2 α+ sin2 α) =

1

2mr2.

Die potentielle Energie ist

U = mgz = mgr sinα.


Die Lagrangefunktion besitzt damit die Form

L(r, r) = T − U =1

2mr2 −mgr sinα.

Mit den partiellen Ableitungen

∂L∂r

= mr,∂L∂r

= −mg sinα,

folgt aus (2.26) die Bewegungsgleichung

mr = −mg sinα .

Dasselbe Ergebnis hatten wir in (2.1) mit der Newtonschen Bewegungsgleichungabgeleitet. Die dort benotigte Zwangskraft tritt jetzt nicht mehr in Erscheinung.

2.3.9 Zyklische Koordinaten und generalisierte Impulse

Analog zur Impulserhaltung in der Newtonschen Mechanik folgt aus den Lagrange-gleichungen (2.26) der Erhaltungssatz

∂L∂qn

= 0 =⇒ pn =∂L∂qn

= const. (2.27)

Man bezeichnet die Große

pn =∂L∂qn

(2.28)

als generalisierten Impuls. Hangt die Lagrangefunktion nicht explizit von einer ge-neralisierten Koordinate qn ab, so nennt man diese Koordinate zyklisch. Fur jedezyklische Variable ist der zugehorige generalisierte Impuls erhalten.

2.3.10 Energieerhaltung

Der Energieerhaltungssatz kann in der Lagrangemechanik in der folgenden Formangegeben werden

∂L∂t

= 0 =⇒ E =∑n

pnqn − L = const. (2.29)


Ist die Lagrangefunktion nicht explizit zeitabhangig, so ist die Energie E erhalten.

Beweis: Differenziert man L(q, q, t) nach der Zeit und verwendet die Lagrangeglei-chungen (2.26), so folgt

d

dtL(q, q, t) =

∑n

∂L∂qn

qn +∂L∂qn

qn +∂L∂t

=∑n

pnqn + pnqn +∂L∂t

=d

dt

(∑n

pnqn

)+∂L∂t.

Damit gilt

d

dt

(∑n

pnqn − L

)= −∂L

∂t. (2.30)

Die Zwangsbedingungen seien nun skleronom und die potentielle Energie sei ge-schwindigkeitsunabhangig. Dann gilt fur die Energie die ubliche Beziehung

E =∑n

pnqn − L = T + U. (2.31)

Beweis: Fur skleronome Zwangsbedingungen ist die Koordinatentransformationx = x(q) zeitunabhangig. Mit (2.14) und (2.15) lauten die entsprechenden Transfor-mationen fur die Geschwindigkeit und die kinetische Energie,

v =∑n

∂x

∂qnqn (2.32)

T =1

2

∑n,m

µnmqnqm, (2.33)

mit

µnm(q) =∑i

mi∂xi∂qn

∂xi∂qm

.

Die kinetische Energie ist eine positiv definite quadratische Form mit einer sym-metrischen Matrix µnm = µmn. Fur geschwindigkeitsunabhangige Potentiale werdendie verallgemeinerten Impulse allein durch die kinetische Energie bestimmt

pn =∂L∂qn

=∂T

∂qn. (2.34)


Die Differentiation ergibt

pk =1

2

∑n,m

µnm(δnkqm + qnδkm)

=1

2

∑m

µkmqm +1

2

∑n

µnkqn

=1

2

∑m

(µkm + µmk)qm =∑m

µkmqm . (2.35)

Damit erhalt man die Gesamtenergie

E =∑k

pkqk − L = 2T − (T − U) = T + U. (2.36)

2.4 Schwingungen

Einfache schwingungsfahige Systeme sind ein mathematisches Pendel oder eine ela-stische Feder. Im allgemeinen treten Schwingungen in konservativen mechanischenSystemen dann auf, wenn man eine stabile Gleichgewichtslage etwas stort. Eindi-mensionale Schwingungen mit kleinen Auslenkungen werden durch das Modell desharmonischen Oszillators beschrieben. Kleine Schwingungen von Systemen mit vie-len Freiheitsgraden konnen als Uberlagerung der Schwingungen unabhangiger har-monischer Oszillatoren dargestellt werden.

2.4.1 Mathematisches Pendel

Ein mathematische Pendel besteht aus einem Massenpunkt m am unteren Endeeiner masselosen Stange der Lange l, deren oberes Ende drehbar aufgehangt ist. DieDrehachse sei parallel zur y Achse, die Schwerebeschleunigung g in Richtung dernegativen z-Achse gerichtet (Abb.2.5).

Die Bewegung des Pendels wird durch die Zwangsbedingungen y = 0 und r − l =0 auf eine Bewegung auf einer Kreisbahn eingeschrankt. Es handelt sich also umein Beispiel mit holonomen Zwangsbedingungen, das noch einmal die Methode zurAufstellung der Lagrangegleichungen 2.Art verdeutlicht.

Zur Angabe der Lage des Massenpunktes auf dem Kreis genugt ein Winkel ϕ, derausgehend von der unteren Gleichgewichtslage gezahlt und als verallgemeinerte Ko-ordinate gewahlt wird. Die kartesischen Koordinaten der Punkte auf dem Kreiskonnen einfach durch den Winkel ausgedruckt werden,

x = l sinϕ, z = −l cosϕ .


x

z

l

Abbildung 2.5: Koordinaten fur das Pendel.

Da die Pendellange l konstant ist, erhalt man fur die Geschwindigkeitskomponenten

x = lϕ cosϕ, z = lϕ sinϕ .

Zur Aufstellung der Lagrangefunktion benotigt man die kinetische und die potenti-elle Energie als Funktion der verallgemeinerten Koordinate ϕ und der verallgemei-nerten Geschwindigkeit ϕ,

T =1

2m(x2 + z2) =

1

2ml2ϕ2

V = mgz = −mgl cosϕ .

Damit erhalt man die Lagrangefunktion

L(ϕ, ϕ) = T − V =1

2ml2ϕ2 +mgl cosϕ . (2.37)

Mit∂L∂ϕ

= ml2ϕ,∂L∂ϕ

= −mgl sinϕ

erhalt man aus der Lagrangegleichung

d

dt

(∂L∂ϕ

)=∂L∂ϕ

die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels

ϕ+g

lsinϕ = 0 . (2.38)


Dies ist eine eindimensionale Bewegungsgleichung, wie sie bereits in Abschnitt(1.5.3) behandelt wurde. Ein erstes Integral liefert der Energieerhaltungssatz (2.29),

E =

(∂L∂ϕ

)ϕ− L(ϕ, ϕ) =

1

2ml2ϕ2 −mgl cosϕ (2.39)

Die Bahnen lassen sich durch die Energiewerte klassifizieren. Das Potential besitztMinima bei ϕ = 2πn mit der Energie E = −mgl und Maxima bei ϕ = π + 2πnmit der Energie E = +mgl. Diese entsprechen der unteren und der oberen Gleich-gewichtslage des Pendels. Im Intervall −mgl < E < +mgl schwingt das Pendel umdie untere Ruhelage. Wahlt man den Winkel im Intervall −π < ϕ < +π, so verlauftdie Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten, −ϕmax < ϕ < ϕmax mit ϕmax < π.Fur E > mgl gibt es keine Umkehrpunkte. Der Winkel nimmt monoton zu oder ab.In diesem Fall dreht sich das Pendel im gleichen Drehsinn um die y-Achse.

Der Energiesatz bestimmt die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels,

ϕ = ±√

2E

ml2+ 2

g

lcosϕ (2.40)

Damit kann die Losung des Pendelproblems als Integral angegeben werden

t =

ϕ(t)∫ϕ(0)

dϕ

ϕ. (2.41)

Im allgemeinen lasst sich dieses Integral nicht durch elementare Funktionen aus-drucken.

Fur kleine Auslenkungen aus der unteren Gleichgewichtslage kann man zu einereinfacheren linearen Schwingungsgleichung ubergehen. Setzt man in (2.38) sinϕ ≈ ϕfur ϕ << 1, so erhalt man die Schwingungsgleichung

ϕ+g

lϕ = 0 . (2.42)

Die allgemeine Losung von (2.42) lautet

ϕ(t) = a cos(ωt− α), ω =

√g

l(2.43)

mit beliebigen Integrationskonstanten a und α. Die Schwingungsperiode

T =2π

ω= 2π

√l

g(2.44)

hangt in einem vorgegebenen Schwerefeld nur von der Pendellange ab. Charakteri-stisch fur lineare Schwingungen ist die Unabhangigkeit der Schwingungsperiode vonder Amplitude der Schwingung.


2.4.2 Harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator fuhrt harmonische Schwingungen aus, die durch dieKreisfunktionen Sinus und Kosinus beschriebenen werden. Physikalisch wird derharmonische Oszillator in guter Naherung durch eine an einer elastischen Feder auf-gehangte Masse realisiert. Ein Pendel, das mit kleinen Auslenkungen schwingt, istebenfalls ein harmonischer Oszillator. Es gibt viele weitere physikalische Anwen-dungen, da das Modell allgemeine Eigenschaften eines Systems in der Nahe einesGleichgewichts beschreibt.

Ein Massenpunkt bewege sich in x-Richtung in einem beliebigen Potential U(x), dasbei x = x0 ein Minimum besitzt. Ohne Einschrankung kann man U(x0) = 0 wahlen,da das Potential nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist. Im Minimumgilt außerdem,

dU

dx

∣∣∣∣x0=0

= 0, k =d2U

dx2

∣∣∣∣x=x0

> 0. (2.45)

Die Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators erhalt man, indem man dieLagrangefunktion bis zur zweiten Ordnung in der Auslenkung ξ = x−x0 entwickelt.Fur das Potential lautet diese Entwicklung

U = U(0) +dU

dx

∣∣∣∣x=0

ξ +1

2

d2U

dx2

∣∣∣∣x=0

ξ2 =1

2kξ2. (2.46)

Die kinetische Energie ist wegen x = ξ von quadratischer Ordnung,

T =1

2mx2 =

1

2mξ2. (2.47)

Damit lautet die Lagrangefunktion bis zur quadratischen Ordnung

L(ξ, ξ) = 12mξ2 − 1

2kξ2. (2.48)

Die zugehorige Lagrangegleichung fur ξ ist

ξ + ω20ξ = 0, ω0 =

√km. (2.49)

Sie wird als die Bewegungsgleichung oder Schwingungsgleichung des harmonischenOszillators bezeichnet.

Eine Methode zur Losung der Schwingungsgleichung (2.49) beruht auf dem Expo-nentialansatz

x(t) = A exp(λt), (2.50)


mit Konstanten A und λ. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizi-enten,

Lx =n∑i=0

cidix

dti= 0,

konnen durch diesen Ansatz gelost werden. Die Ableitungen werden hierbei durchPotenzen von λ ersetzt. Die Differentialgleichung definiert damit ein charakteristi-sches Polynom P (λ), dessen Nullstellen die moglichen Werte von λ bestimmen,

P (λ)x =

(n∑i=0

ciλi

)x = 0.

Sind alle Nullstellen verschieden, so bestimmen diese genau ein Basissystem linearunabhangiger Losungen der Differentialgleichung. Bei mehrfachen Nullstellen mußder Ansatz erweitert werden. Im Fall der Schwingungsgleichung (2.49) folgt

P (λ) = λ2 + ω0 = (λ− iω0)(λ+ iω0)

mit den beiden Nullstellen,λ1,2 = ±iω0.

Die allgemeine Losung ist die Linearkombination

x(t) = A1 exp(iω0t) + A2 exp(−iω0t). (2.51)

Die Anfangsbedingungen

x(0) = x0 = A1 + A2, v(0) = v0 = iω0(A1 − A2)

bestimmen die Konstanten A1,2 zu

A1 =1

2

(x0 +

v0

iω0

), A2 =

1

2

(x0 −

v0

iω0

)Wie in Abbildung (2.7) dargestellt, konnen die komplexen Amplituden durch ihrenBetrag und ihre Phase ausgedruckt werden

x0 + iv0

ω0

= a exp(iϕ0)

a =

√v2

0

ω20

+ x20, (2.52)

tanϕ0 =v0

ω0x0

.

Damit folgt die Losung

x(t) = a cos(ω0t− ϕ0). (2.53)


Alternativ kann man A1,2 direkt in (2.51) einsetzen und erhalt dann das Ergebnis

x(t) = x0 cos(ω0t) +v0

ω0

sin(ω0t). (2.54)

Abbildung 2.6: Polarkoordinaten a, ϕ

2.4.3 Schwingungen mit kleinen Amplituden

Gegeben sei ein konservatives System mit f Freiheitsgraden, das sich in einem sta-bilen Gleichgewicht befindet. Bei kleinen Auslenkungen der Massenpunkte aus ihrerGleichgewichtslage fuhrt das System Schwingungen aus. Diese konnen als Uberla-gerung von Normalmoden dargestellt werden, denen jeweils eine charakteristischeSchwingungsfrequenz zugeordnet ist.

2.4.4 Entwicklung um die Gleichgewichtslage

Sei ξ = q − q0 eine Auslenkung des Systems aus der Gleichgewichtslage q0. Wirwahlen diese Auslenkungen als verallgemeinerte Koordinaten und entwickeln diekinetische und die potentielle Energie bis zur quadratischen Ordnung in ξ.

Die kinetische Energie eines konservativen Systems besitzt die Form (2.32). Da imGleichgewicht q0 = 0 gilt, ist q = ξ. In quadratischer Ordnung ergibt sich fur diekinetische Energie der Ausdruck

T =1

2

f∑n,m=1

µnm ξnξm mit µnm =∑i

mi

(∂xi∂qn

∂xi∂qm

) ∣∣∣∣q=q0

.


Da das Produkt der Geschwindigkeiten bereits von quadratischer Ordnung ist, kannµnm im Gleichgewicht ausgewertet werden. In dieser Naherung ist µnm eine konstanteMatrix. Diese ist symmetrisch laut Definition und positiv definit, da die kinetischeEnergie fur ξ 6= 0 positiv ist.

Im stabilen Gleichgewicht besitzt die potentielle Energie U = U(q) ein Minimum,d.h. es gilt

∂U

∂qn

∣∣∣∣q=q0

= 0.

Die Entwicklung der potentiellen Energie lautet daher

U = U(q0) +1

2

f∑n,m=1

knm ξnξm mit knm =∂2U

∂qn∂qm

∣∣∣∣q=q0

.

Ohne Einschrankung kann U(q0) = 0 gewahlt werden, da die Bewegungsgleichungennicht von einer additiven Konstante in der Lagrangefunktion abhangen. Die Matrixknm ist definitionsgemaß symmetrisch und positiv definit, da die potentielle Energienach Voraussetzung im Gleichgewicht ein Minimum annimmt.

Damit erhalt man in quadratischer Ordnung die Lagrangefunktion

L(ξ, ξ) =1

2

f∑n=1

(µnm ξnξm − knm ξnξm

). (2.55)

Zur Aufstellung der Lagrangegleichungen berechnen wir zuerst das totale Differentialvon L unter Berucksichtigung der Symmetrie von µnm und knm,

dL =1

2

f∑n,m=1

µnm

(dξnξm + ξndξm

)− knm (dξnξm + ξndξm)

=1

2

f∑n,m=1

(µnm + µmn) ξmdξn − (knm + kmn) ξmdξn

=

f∑n=1

µnmξmdξn − knmξmdξn.

Daraus erhalt man fur die verallgemeinerten Impulse und Krafte

∂L∂ξn

=

f∑m=1

µnmξm

∂L∂ξn

= −f∑

m=1

knmξm.


2.4.5 Schwingungsgleichung

Die zugehorigen Lagrangegleichungen stellen ein Gleichngssystem von f gekoppeltenlinearen Oszillatoren dar,

f∑m=1

µnmξm + knmξm = 0 (2.56)

In Vektornotation gilt

µ · ξ + k · ξ = 0. (2.57)

Die Bewegungsgleichungen (2.57) bilden ein Differentialgleichungessystem mit kon-stanten Koeffizienten, das durch einen Exponentialansatz,

ξ = Ae−iωt, (2.58)

gelost werden kann. Mit diesem Losungsansatz folgt ein homogenes algebraischesGleichungssystem (

k − ω2µ)· A = 0. (2.59)

Nichtverschwindende Losungen existieren nur fur bestimmte Werte von ω2 die durchdie Losbarkeitsbedingung des linearen Gleichungssystems

D(ω2) = det∣∣k − ω2µ

∣∣ = 0 (2.60)

bestimmt werden. Hierbei ist D(λ) ein Polynom vom Grad f , das f komplexe Null-stellen besitzt. Diese seien

λk, k = 1, · · · , f .

Treten Mehrfachnullstellen auf, so sind einige der λk gleich. Zu einer r-fachen Null-stelle bestimmt das Gleichungessystem

(k − λkµ) · A(k) = 0 (2.61)

einen r-dimensionalen Losungsraum, d.h. r der Komponenten von A(k) konnen belie-big gewahlt werden, die restlichen Komponenten sind dann durch das Gleichungssy-stem eindeutig bestimmt. Insgesamt findet man auf diese Weise f LosungsvektorenA(k).


Eigenfrequenzen

Zu jeder Nullstelle λk gibt es eine Frequenz ωk =√λk. Diese werden auch als

Eigenfrequenzen bezeichnet. Wir zeigen, dass die Eigenfrequenzen fur ein stabilesGleichgewicht reell sind.

Im allgemeinen besitzt ein Polynom komplexe Nullstellen. Aus der Symmetrie derMatrizen folgt jedoch, dass die Nullstellen λk reell sind. Um dies zu zeigen, nehmenwir zunachst an, es gabe eine komplexe Nullstelle λ und einen zugehorigen komplexenLosungsvektor A. Durch skalare Multiplikation von (2.61) mit A∗ erhalt man

λ =A∗ · k · AA∗ · µ · A

.

Die konjugiert komplexe Gleichung ist

λ∗ =(A∗ · k · A)∗

(A∗ · µ · A)∗

Fur eine hermitesche Matrix, Mmn = M∗nm, ist

(A∗ ·M · A)∗ = A ·M∗ · A∗ = A∗ ·M · A

reell. Die reellen symmetrischen Matrizen µmn und kmn sind auch hermitesch. Darausfolgt λ∗ = λ, so dass λ tatsachlich reell ist. Damit konnen auch die LosungsvektorenA reell gewahlt werden. Da die Matrizen außerdem positiv definit sind, folgt sogar,dass alle Nullstellen positiv sind. Daher konnen auch die Eigenfrequenzen ωk reellund positiv gewahlt werden.

Eine Sonderrolle spielt die doppelte Nullstelle ω2k = 0. Wegen ξ = −ω2ξ entspricht

diese Losung einer gleichformigen Bewegung

ξ = ξ0 + ξ0t.

Normalmoden

Die Losungen der Schwingungsgleichung fur ωk > 0 besitzen die Form

ξ(k) = A(k)<(Cke

−iωkt)

= A(k)Bk cos(ωkt+ αk), (2.62)

wobei Ck = Bke−iαk eine komplexe Integrationskonstante darstellt und die Losungs-

vektoren A(k) durch eine Normierungsvorschrift

A(k) · µ · A(l) = δkl (2.63)


festgelegt wurden. Dies sind Schwingungen mit genau einer Eigenfrequenz, die alsNormalmoden bezeichnet werden.

Die allgemeine Losung des linearen Gleichungssystems ist eine Superposition allerNormalmoden,

ξ =

f∑k=1

A(k)Bk cos(ωkt+ αk) . (2.64)

Die hierbei auftretenden 2f Integrationskonstanten werden durch die Anfangsbe-dingungen ξ(0) = ξ0 und ξ(0) = ξ0 bestimmt.

2.4.6 Gekoppelte Pendel

Als Beispiel betrachten wir ein System von zwei gleichen Pendeln (Pendellange:l, Massenpunkte: m), die durch eine elastische Feder (Federkonstante: f , Gleichge-wichtsange: L) miteinander verbunden sind. Die Schwingungsebene sei die xz-Ebene,die Aufhangepunkte seien P1(0, 0) und P2(L, 0). Die Feder verbindet die Massen-punkte m an den unteren Enden der Pendel. In der unteren Gleichgewichtslagehangen die Pendel nach unten und die Feder ist entspannt.

xxz

z

l l

1

1 2

1

L

f

Abbildung 2.7: Koordinaten des Doppelpendels

Die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage wird durch den Winkel ϕ1 fur Pendel1 und ϕ2 fur Pendel 2 bestimmt. Die kartesischen Koordinaten der Massenpunktesind

x1 = l sinϕ1, z1 = −l cosϕ1 ,

x2 = L+ l sinϕ2, z2 = −l cosϕ2 .


Ihr Abstand ist

d =√

(x2 − x1)2 + (z2 − z1)2

=√

(L+ l sinϕ1 − l sinϕ2)2 + (l cosϕ2 − l cosϕ1)2.

Fur kleine Auslenkungen gelten die Naherungen

x1 = lϕ1 +O(ϕ2), z1 = l(−1 +1

2ϕ2

1) +O(ϕ4)

x2 = L+ lϕ2 +O(ϕ2), z2 = l(−1 +1

2ϕ2

2) +O(ϕ4)

d = L+ l(ϕ2 − ϕ1) +O(ϕ2).

Die kinetische Energie ist die Summe der kinetischen Energien (2.37) fur die einzel-nen Pendel

T =1

2ml2ϕ2

1 +1

2ml2ϕ2

2.

Die potentielle Energie besteht aus den Beitragen

U = mgz1 +mgz2 +1

2f(d− L)2.

Die Entwicklung der potentiellen Energie bis zur quadratischen Ordnung in denAuslenkungen ϕ1,2 ergibt

U = −2mgl +1

2mgl(ϕ2

1 + ϕ22) +

1

2fl2(ϕ2 − ϕ1)

2.

Damit kann die Lagrangefunktion fur kleine Schwingungen in der Form

L =1

2ml2(ϕ2

1 + ϕ22)−

1

2mgl(ϕ2

1 + ϕ22)−

1

2fl2(ϕ2 − ϕ1)

2.

gewahlt werden. Die Ableitung der Bewegungsgleichungen nach dem Lagrangever-fahren ergibt das Gleichungssystem (2.57) wobei die Koeffizienten durch die Matri-zen

µ =

(ml2 00 ml2

)k =

(mgl + fl2 −fl2−fl2 mgl + fl2

)gegeben sind. Mit dem Exponentialansatz (2.58) ergibt sich daraus das algebraischeGleichungssystem(

−ω2 + gl+ k

m− km

− km

−ω2 + gl+ k

m

)·(ϕ1

ϕ2

)=

(00

).


Als Losungen erhalt man die beiden Schwingungen(ϕ1

ϕ2

)=

(11

)C1 cos(ω1t+ α1), ω1 =

√g/l (2.65)(

ϕ1

ϕ2

)=

(1−1

)C2 cos(ω2t+ α2), ω2 =

√g/l + 2f/m. (2.66)

Bei der ersten Schwingungsmode schwingen die Massen in Phase mit der Pendel-frequenz. Die Feder bleibt dabei entspannt. Bei der zweiten Mode schwingen dieMassen gegeneinander. Die Frequenz ist dann eine Kombination aus der Pendel-und der Federfrequenz.

2.5 Orthogonale Transformationen, Drehungen

und Spiegelungen

2.5.1 Basistransformationen

Eine Basis ei heißt Orthonormalbasis, wenn die Basisvektoren normiert und paar-weise orthogonal zueinander sind (Abschnitt 1.3.2). Die Einheitsvektoren bilden einRechtssystem, falls sie nach der ”rechte-Hand-Regel” orientiert sind (Abb. 1.5). DieSpatprodukte von jeweils drei Basisvektoren eines Rechtssystems bilden die Elemen-te des Levi-Civita-Tensors (1.18).

Wir untersuchen nun die Eigenschaften von Transformationen, die eine gegebeneOrthonormalbasis ei in eine neue Orthonormalbasis e′i uberfuhren. Jeder Ba-sisvektor der neuen Basis kann als Linearkombination der Basisvektoren der altenBasis geschrieben werden,

e′i =3∑j=1

αijej, αij = e′i·ej = cos(ϕij). (2.67)

Die Entwicklungskoeffizienten αij werden als Richtungskosinus bezeichnet, da siedurch den Kosinus des Winkels ϕij zwischen der i-ten neuen und der j-ten altenRichtung dargestellt werden.

Das Skalarprodukt von jeweils zwei Basisvektoren transformiert sich gemaß

e′i·e′j =∑n,m

αinαjmen·em

An die Basistransformation (2.67) muss man die Forderung stellen, dass die Ortho-normalitat der Basis erhalten bleibt,

e′i · e′j = ei · ej = δij.


Daher mussen die Koeffizienten αij den Bedingungen

∑n

αinαjn = δij ⇔ α·αT = I, ⇔ α−1 = αT . (2.68)

genugen. Hierbei bezeichnet α die Matrix mit den Matrixelementen αij, αT die trans-

ponierte Matrix mit den Elementen αTij = αji und α−1 die Umkehrmatrix. Matrizenmit der Eigenschaft (2.68) nennt man orthogonale Matrizen. Die Umkehrmatrixeiner orthgonalen Matrix ist gleich der transponierten Matrix.

Alternativ kann man die Orthogonalitatsbedingungen auch in der Form

αT ·α = I (2.69)

schreiben. Denn fur eine invertierbare Matrix mit β · α = I. folgt wegen (2.68)

β = β · I = β · (α·αT ) = (β · α)·αT = αT .

Die Elemente der Umkehrmatrix bestimmen die Entwicklungskoeffizienten eines al-ten Basisvektors nach der neuen Basis,

ei =3∑j=1

α−1ij e′j, α−1

ij = ei·e′j = αji. (2.70)

Die Orthogonalitat der Matrix bedeutet, dass gemaß (2.68) die Zeilen und ebensogemaß (2.69) die Spalten jeweils paarweise orthogonal zueinander sind. Dies sind ins-gesamt 6 Bedingungen an die 9 Matrixelemente αij dar. Eine allgemeine orthogonaleTransformation wird durch die verbleibenden 3 freien Parameter festgelegt.

Eine orthogonale Matrix besitzt die Determinante

detα = ±1 . (2.71)

Dies folgt aus (2.68) wegen

det(α · αT ) = (detα)(detαT ) =(detα

)2= 1 .

Das Vorzeichen der Determinante bestimmt, ob das neue Basissystem ein Rechtssy-stem (+1) oder ein Linkssystem (−1) darstellt, denn es gilt

e′1·(e′2×e3)′ =∑i,j,k

α1iα2jα3kei·(ej×ek) =∑i,j,k

εijkα1iα2jα3k = detα. (2.72)


Die Menge aller orthogonalen n × n Matrizen heißt orthogonale Gruppe O(n), dieMenge aller orthogonalen n × n Matrizen mit detα = +1 spezielle orthogonaleGruppe SO(n).

Durch eine stetige Variation der Parameter einer orthogonalen Transformation kannsich das Vorzeichen der Determinante nicht sprunghaft andern. Die Drehungen einesdreidimensionalen Rechtssystems sind demnach Elemente der Gruppe SO(3).

Beim Ubergang von einem Rechtssystem zu einem Linkssystem muss zusatzlich eineKoordinatenachse gespiegelt werden. Raumspiegelungen stellen keine exakte Sym-metrie der physikalischen Gesetze dar. Diese Symmetrie wird durch die schwacheWechselwirkung gebrochen.

2.5.2 Aktive und passive Drehungen

Drehungen konnen als aktive oder als passive Drehungen aufgefasst werden. Bei eineraktiven Drehung werden die Vektoren des physikalischen Systems gedreht, das Be-zugssystem bleibt fest. Bei einer passiven Drehung wird das Bezugssystem gedreht,die Vektoren des physikalischen Systems bleiben fest. Mathematisch wird das physi-kalische System durch einen Vektorraum, das Bezugssystem durch einen Dualraumreprasentiert. Aktive Drehungen sind Abbildungen der Elemente des Vektorraums,passive Drehungen Abbildungen der Elemente des Dualraums.

Dualraum

Durch das Skalarprodukt wird jedem Vektor u ein lineares Funktional

ϕu : R3 → R, ϕu(x) = u · x. (2.73)

zugeordnet. Diese Funktionale bilden die Elemente des Dualraums. Sie sind denVektoren eindeutig zugeordnet und werden daher haufig nicht von diesen unter-schieden. In Komponentenschreibweise wird die Unterscheidung deutlich, wenn manVektoren als Spalten, Funktionale als Zeilen schreibt und diese nach der Regel derMatrizenrechnung multipliziert

ϕu(x) = u · x = (u1, u2, u3) ·

x1

x2

x3

.

Einer Orthonormalbasis ei des Vektorraums entspricht eine Basis di des Dual-raums. Die Basisfunktionale werden durch ihre Wirkung auf die Einheitsvektorendefiniert

di · ej = δij .


In Komponentenschreibweise gilt

d1 = (1, 0, 0) , d2 = (0, 1, 0) , d3 = (0, 0, 1) .

Durch Anwendung des i-ten Basisfunktionals di auf einen beliebigen Vektor v erhaltman die i-te Komponente des Vektors bezuglich der Orthonormalbasis

di · v =∑j

vjdi · ej = vi .

In diesem Sinn definiert die Dualbasis ein Bezugssystem fur die Vektoren.

Aktive Drehungen

Durch eine aktive Drehung werden die Basisvektoren auf neue Basisvektoren abge-bildet, die Dualbasis bleibt fest

e′j = a · ej, d′j = dj . (2.74)

Die Matrix a der aktiven Drehung hat nach (2.67) und (2.80) die Elemente

aij = di · a · ej = di · e′j = αji . (2.75)

Damit gilt

a = αT = α−1 . (2.76)

Transformation von Vektoren

Ein beliebiger Vektor v transformiert sich wie die Basisvektoren

v′ = a · v (2.77)

In Komponentenschreibweise erhalt man

v′i =∑j

aijvj =∑j

αTijvj , v′i = di · v′ vi = di · v . (2.78)


Transformation von Skalaren

Bei orthogonalen Transformationen bleiben Langen von Vektoren und die Winkelzwischen Vektoren invariant. Dies folgt aus der Invarianz des Skalarproduktes. Seienu′ = a · u und v′ = a · v die Bilder der Vektoren u und v bei einer orthogonalenTransformation a. Dann gilt

u′ · v′ = (a · u) · (a · v) = (aT · a · u) · v = u · v. (2.79)

Passive Drehungen

Durch eine passive Drehung wird die Basis des Dualraumes auf eine neue Basisabgebildet, die Basis des Vektorraumes bleibt fest

d′i = di · p, e′i = ei . (2.80)

Die Matrix p der passiven Transformation hat die Elemente

pij = di · p · ej = d′i · ej = αij . (2.81)

Bei einer passiven Drehung bleibt ein beliebiger Vektor v′ = v fest. Es andern sichaber seine Komponenten beim Wechsel der Dualbasis,

v′i =∑j

pijvj =∑j

αijvj, v′i = d′i · v, vi = di · v . (2.82)

2.5.3 Endliche Drehungen

Eine Drehung wird durch eine Drehachse n und einen Drehwinkel ϕ definiert.

Drehung um eine beliebige Achse

Bei einer Drehung um eine beliebige Achse n werde der Vektor V in den Vektor V ′

uberfuhrt. Die Komponente V‖ parallel zur Drehachse bleibt invariant, die Kompo-nente V⊥ senkrecht zur Drehachse wird um den Winkel ϕ gedreht,

V ′‖ = V‖ = (V · n)n, V ′

⊥ = V⊥ cosϕ+ n× V⊥ sinϕ .


n

V V’

Abbildung 2.8: Drehung eines Vektors V umdie Drehachse n.

Zusammen ergibt dies mit V⊥ = V − V‖ die Abbildung

V ′ = V cosϕ+ (V · n)n(1− cosϕ) + V × n sinϕ . (2.83)

Der Vektor dreht sich auf einem Kegelmantel um die Drehachse (Abb.2.8).

Drehung um eine Koordinatenachse

Das Koordinatensystem x1x2x3 werde durch eine Drehung um die x3-Achse in dasKoordinatensystem x′1x

′2x

′3 uberfuhrt. Nach Abb.(2.9) erhalt man die Richtungsko-

sinuse

α11 = α22 = cosϕ,

α12 = cos(ϕ− π/2) = sinϕ, α21 = cos(ϕ+ π/2) = − sinϕ,

α33 = 1, α13 = α23 = α31 = α32 = 0.

Sie ergeben die orthogonale Matrix

α =

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

. (2.84)


Abbildung 2.9: Drehung deskartesischen Koordinaten-systems um den Winkel ϕ.

2.5.4 Eulersche Winkel

Ein Koordinatensystem xyz werde durch eine Drehung in ein Koordinatensystemx1x2x3 uberfuhrt. Jede Drehung kann durch die Hintereinanderausfuhrung der dreifolgenden Drehungen dargestellt werden. Die entsprechenden Drehwinkel φ, θ, ψwerden als Eulerwinkel bezeichnet. Die xy Ebene des ursprunglichen Koordinaten-systems schneidet die x1x2 des gedrehten Systems entlang einer Geraden, die alsKnotenlinie bezeichnet wird. Die erste Drehung ist eine Drehung um die z-Achseum den Winkel φ, so dass die x-Achse mit der Knotenlinie zur Deckung gebrachtwird. Der Einheitsvektor der gedrehten x-Achse zeigt entlang der Knotenlinie undwird mit eK bezeichnet. Die zweite Drehung ist eine Drehung um die Knotenlinieum den Winkel θ, so dass die z-Achse mit der x3-Achse zur Deckung kommt. Beider dritten Drehung um die x3-Achse um den Winkel ψ wird schließlich die x-Achsevon der Knotenlinie bis zur x1-Achse gedreht. Damit sind die Achsen des Koordina-tensystems xyz in die Achsen des Koordinatensystems x1x2x3 uberfuhrt worden.

Die Einheitsvektoren der drei Drehachsen besitzen im korperfesten System die Dar-stellung

nφ = ez = sin θ sinψe1 + sin θ cosψe2 + cos θe3

nθ = eK = cosψe1 − sinψe2 (2.85)

nψ = e3

2.5.5 Infinitesimale Drehungen

Infinitesimale orthogonale Transformationen weichen nur in linearer Ordnung ineinem kleinen Parameter dϕ von der Einheitsmatrix ab,

α = I +Ndϕ . (2.86)


Abbildung 2.10: Eulerwin-kel

Die Matrix N ist antisymmetrisch,

NT = −N . (2.87)

Letzteres folgt aus der Orthonormalitatsbedingung

α · αT − I = (I +Ndϕ) · (I +NTdϕ)− I =(N +NT

)dϕ = 0 . (2.88)

Eine antisymmetrische 3 × 3 Matrix besitzt nur drei unabhangige Elemente. Diesekonnen den drei Elementen eines Vektors n auf folgende Weise zugeordnet werden,

Nij = (ei×ej)·n =∑k

εijknk . (2.89)

Die zugehorige Matrix besitzt die Form

N =

0 n3 −n2

−n3 0 n1

n2 −n1 0

. (2.90)

Unter Verwendung von (2.86) und (2.89) erhalt man fur die Anderung der Basis-vektoren,

dei =∑j

Nijdϕej =∑j

n·(ei×ej)ej dϕ

=∑j

(n×ei)·ejej dϕ = n×ei dϕ . (2.91)


Ein Vergleich mit (2.83) zeigt, dass es sich hierbei um eine Drehung um die Drehachsen um den infinitesimalen Winkel dϕ handelt. Sie wird vollstandig durch den Vektordϕ = ndϕ bestimmt. Fur einen beliebigen Vektor V gilt entsprechend

dV = dϕ×V . (2.92)

Allgemeiner zeigt das Eulersche Theorem, dass jeder orthogonalen Transformationder Gruppe SO(3) genau eine Drehung um eine Drehachse entspricht. Den Beweisfur das Eulersche Theorem findet man z.B. in Goldstein et al., Classical Mechanics.

Bei der Hintereinanderausfuhrung zweier infinitesimale Drehungen mit den Drehvek-toren dϕ1 und dϕ2 sind diese additiv, d.h. es gilt fur den Drehvektor der gesamtenDrehung

dϕ = dϕ1 + dϕ2 . (2.93)

Dies folgt aus

dr1 = dϕ1×r

dr2 = dϕ2×(r + dr1) = dϕ2×r

dr = dr1 + dr2 = (dϕ1 + dϕ2)×r = dϕ×r .

2.5.6 Rotierende Bezugssysteme

Ein rotierendes Bezugssystem wird durch eine zeitabhangige Orthonormalbasise′i(t) dargestellt, die sich gegenuber der festen Orthonormalbasis ei eines In-ertialsystems dreht. Zu jedem Zeitpunkt ist die Transformation der Basis eine or-thonormale Transformation, d.h. es gilt

e′i(t) =∑j

αij(t)ej. (2.94)

Zur Berechnung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines Massenpunktesim rotierenden System benotigt man die zeitliche Anderung der Basisvektoren. Zujedem Zeitpunkt laßt sich die Anderung der Basisvektoren durch ein infinitesimaleDrehung der Form (2.91) angeben. Setzt man dei(t) = ei(t)dt und dϕ(t) = ω(t)dt,so gilt fur die Anderungsgeschwindigkeit der Basisvektoren,

ei(t) = ω(t)×ei(t). (2.95)

Hierbei bezeichnet ω(t) = ω(t)n(t) den Vektor der momentanten Winkelgeschwin-digkeit.


Bewegung im rotierenden System

Der Ortsvektor eines Massenpunktes sei r im Inertialsystem S und r′ im rotierendenSystem S ′. Da es sich um denselben Vektor handelt gilt

r′ = r. (2.96)

Der Ortsvektor besitzt jedoch in beiden Systemen unterschiedliche Koordinatendar-stellungen

r =∑i

xi(t)ei(t) , r′ =∑i

x′i(t)e′i(t) . (2.97)

Die Geschwindigkeit des Massenpunktes wird in beiden Systemen unterschiedlichdefiniert. Ein Beobachter im rotierenden System bestimmt die Geschwindigkeit desMassenpunktes anhand der Koordinatendarstellung in S ′,

v′ =∑i

x′ie′i . (2.98)

Die Geschwindigkeit des Massenpunktes in S ist aber

v = r = r′ =∑i

x′ie′i + x′ie

′i =

∑i

x′ie′i + ω×x′ie

′i . (2.99)

Damit ergibt sich fur die Geschwindigkeit das Transformationsgesetz

v = v′ + ω × r′ . (2.100)

Der Unterschied der Geschwindigkeiten ist die Rotationsgeschwindigkeit des Sy-stems. Dieses Transformationsgesetz gilt nicht nur fur die Zeitableitung des Orts-vektors, sondern genauso fur die Zeitableitung eines beliebigen Vektors. Daher kannman es auch als Transformationsgesetz fur die Zeitableitung auffassen,

d

dt=

d

dt

′+ ω×, (2.101)

die links auf die Darstellung im Inertialsystem S und rechts auf die Darstellung imrotierenden System S’ wirkt.

Das Transformationsgesetz fur die Beschleunigungen erhalt man durch zweimaligeAnwendung von (2.101),

d2

dt2r =

(d

dt

′+ ω×

)(d

dt

′+ ω×

)r′

= a′ + 2ω × v′ + ω×(ω × r′) +dω

dt

′×r′. (2.102)


Die Beschleunigung im rotierenden System wird hierbei definiert durch

a′ =∑i

x′ie′i.

Mit dem Transformationsgesetz fur die Beschleunigungen erhalt man fur die New-tonsche Bewegungsgleichung im rotierenden System

mr′ = F + F C + F Z + F A. (2.103)

Hierbei treten die folgenden Scheinkrafte auf

F C = −2mω × v′

F Z = −mω×(ω × r′)

F A = −mω×r′.

Man bezeichnet F C als Corioliskraft, F Z als Zentrifugalkraft. Bei einer beschleu-nigten Drehbewegung wirkt noch die Kraft F A.

2.6 Starrer Korper

2.6.1 Freiheitsgrade

Ein Korper wird als starrer Korper bezeichnet, wenn alle Punkte der Massen-verteilung feste Relativabstande zueinander besitzen. Die Massenverteilung kannpunktformig oder kontinuierlich vorgegeben sein.

Ein Punkt Pν eines starren Korpers kann in einem Inertialsystem S durch den Orts-vektor

rν,S = r0 + rν (2.104)

dargestellt werden. Hierbei bezeichnet r0 einen beliebigen Bezugspunkt im starrenKorper, der den Ursprung eines korperfesten Bezugssystems K bildet. Der Ortsvek-tor von Pν im korperfesten System ist rν . Die Basisvektoren und die Koordinatenin den beiden Bezugssystemen werden durch folgende Notation unterschieden:

S : rS = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez,

K : r = x1e1(t) + x2e2(t) + x3e3(t).

Ein starrer Korper besitzt 6 Freiheitsgrade, drei Freiheitsgrade der Translation unddrei Freiheitsgrade der Rotation. Die Lage seiner Punkte kann dementsprechenddurch die 3 Komponenten des Bezugspunktes und durch die 3 Winkel der Drehungvon K relativ zu S angegeben werden.


2.6.2 Winkelgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit eines Punktes Pν ist

vν,S = v0 + ω × rν . (2.105)

Der erste Term bezeichnet die Geschwindigkeit des Bezugspunktes, der zweite dieGeschwindigkeit der Drehung um den Bezugspunkt. Die Komponenten der vektori-ellen Winkelgeschwindigkeit ω im korperfesten System werden mit

ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3. (2.106)

bezeichnet. Sie konnen in folgender Weise durch die Euler-Winkel ausgedruckt wer-den. Die infinitesimale Drehung um dϕ = ωdt im Zeitintervall dt kann additiv ausden Drehungen um die drei Eulerwinkel zusammengesetzt werden,

ω = φez + θeK + ψe3. (2.107)

Die Komponenten von ω in K berechnen sich damit zu

ω1 = ω · e1 = φ sin θ sinψ + θ cosψ

ω2 = ω · e2 = φ sin θ cosψ − θ sinψ (2.108)

ω3 = ω · e3 = φ cos θ + ψ

e

e e

e

ee

ee

ee

e

x

3

1

2z

z

K

K

K’

K’

ysin

Abbildung 2.11: Komponenten der Drehachsen eK und ez im korperfesten System


2.6.3 Tragheitstensor

Kinetische Energie

Die kinetischen Energie des starren Korpers kann durch Momente der Massenver-teilung, die Gesamtmasse M , den Schwerpunkt R, und den Tragheitstensor

Θ =∑ν

mν

(r2νI − rνrν

)(2.109)

ausgedruckt werden. Man findet

T =1

2Mv2

0 +1

2ω·Θ · ω + ω·(R×Mv0). (2.110)

Der erste Anteil ist die Translationsenergie des Bezugspunktes, der zweite die Rota-tionsenergie um den Bezugspunkt. Als neue Große tritt hierbei der Tragheitstensorauf. Der dritte Anteil ist ein Mischterm. Er verschwindet, wenn entweder der Be-zugspunkt ruht (v0 = 0) oder wenn der Schwerpunkt als Bezugspunkt gewahlt wird(R = 0).

Zur Herleitung dieses Ergebnisses summiert man die kinetischen Energien der ein-zelnen Massenpunkte mit den Geschwindigkeiten (2.105),

T =1

2

∑ν

mν(v0 + ω × rν)2

=1

2

∑ν

mν

(v2

0 + 2v0·(ω × rν) + (ω × rν)2)

=1

2Mv2

0 + ω·(R×Mv0) +1

2

∑ν

mν(ω × rν)2.

Der letzte Term stellt die Rotationsenergie dar. Sie kann auf folgende Weise umge-formt werden,

Trot =1

2

∑ν

mν(ω × rν)·(ω × rν)

=1

2

∑ν

mνω· rν× (ω × rν))

=1

2

∑ν

mνω·r2νω − (ω · rν) rν

=

1

2ω·∑

ν

mν

(r2νI − rνrν

)·ω. (2.111)


Der in Klammern stehende Ausdruck ist der Tragheitstensor.

Koordinatendarstellung des Tragheitstensors

Definiert man die Koordinaten des Punktes Pν durch xνi = rν·ei, so lautet dieKomponentendarstellung des Tragheitstensors

Θik = ei·Θ · ek =∑ν

mν

(r2νδik − xνi xνk

)(2.112)

Die entsprechende Darstellung der Rotationsenergie lautet

Trot =1

2

3∑i,k=1

Θikωiωk

Fur eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Massendichte γ(r) kann die Sum-mation durch eine Integration ersetzt werden,

M =

∫dV γ(r), Θik =

∫dV γ(r)

(r2δik − xixk

). (2.113)

Tragheitsmomente

Eine einfachere Darstellung erhalt man, indem man die Drehachse n als eine Koor-dinatenachse wahlt. Hier gilt

Trot =1

2Θnω

2, Θn = n · Θ · n, ω = ωn.

Hierbei wird Θn als das Tragheitsmoment des starren Korpers bezuglich der Dreh-achse n bezeichnet. Es kann nach der Formel

Θn =∑ν

mν(n × rν)2 =

∑ν

mνr2ν sin2 ϑν

berechnet werden, wobei ϑν den Winkel zwischen rν und n bezeichnet.

Haupttragheitsmomente

Der Tragheitstensor ist symmetrisch und besitzt daher in einem beliebigen Koordi-natensystem 6 unabhangige Elemente. Eine symmetrische Matrix kann durch eineDrehung der Koordinatenachsen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dieses


Koordinatensystem heißt Hauptachsensystem des Tragheitstensors, die Diagonal-elemente der Matrix sind die Haupttragheitsmomente. Die Hauptachsen xi und diezugehorigen Haupttragheitsmomente Θi findet man als Losungen des Eigenwertpro-blems

Θ · xi = Θixi, det |Θik −Θiδik| = 0. (2.114)

Sind allle Haupttragheitsmomente verschieden, so nennt man den starren Korpereinen unsymmetrischen Kreisel. Sind zwei Haupttragheitsmomente gleich, so han-delt es sich um einen symmetrischen Kreisel. Sind alle drei Haupttragheitsmomentegleich, so spricht man von einem Kugelkreisel.

Drehungen um den Schwerpunkt

Bisher wurden Drehungen um einen beliebigen Bezugspunkt r0 betrachtet. Meistwahlt man als Bezugspunkt jedoch den Schwerpunkt R. Im korperfesten Bezugssy-stem, dessen Ursprung im Bezugspunkt r0 liegt, sei a der Ortsvektor des Schwer-punktes und rν = a + r′ν der Ortsvektor des ν-ten Massenpunktes. Hierbei ist r′νder Ortsvektor des ν-ten Massenpunktes im Schwerpunktssystem und es gilt daher∑

ν

mνr′ν = 0 . (2.115)

Durch Substitution der Ortsvektoren erhalt man unter Beachtung von (2.115) furden Tragheitstensor das Transformationsgesetz

Θ =∑ν

mν

[(a + r′ν)

2I − (a + r′ν) (a + r′ν)

]= Θa + Θ′ (2.116)

mit

Θa = M(a2I − aa), M =∑ν

mν , Θ′ =∑ν

mν

(r′2ν I − r′νr

′ν

).

Das Tragheitsmoment bezuglich einer Drehachse n transformiert sich gemaß demSatz von Steiner:

Θn = Θ′n +Ma2

⊥, a⊥ = |n× a| . (2.117)

Hierbei bezeichnet a⊥ den Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse durchden Punkt r0 und Θ′

n das Drehmoment um eine dazu parallele Achse durch denSchwerpunkt.


Drehimpuls

Der Drehimpuls des starren Korpers um den Bezugspunkt r0 kann ebenfalls mitHilfe des Tragheitstensors angegeben werden,

L = R×Mv0 + Θ · ω. (2.118)

Der erste Term verschwindet, wenn der Bezugspunkt ruht oder wenn der Schwer-punkt als Bezugspunkt gewahlt wird. Unter diesen Voraussetzungen gilt

L = Θ · ω. (2.119)

Der Tragheitstensor ist eine lineare Abbildung der Winkelgeschwindigkeit auf denDrehimpuls. Nur bei Drehungen um eine Haupttragheitsachse ist L parallel zu ω.

Zur Herleitung von (2.118) summiert man wieder die Einzeldrehimpulse,

L =∑ν

rν×mν(v0 + ω × rν)

=∑ν

(mνrν)×v0 +mνrν×(ω × rν)

= R×Mv0 +

∑ν

mν

(r2ν − rνrν

)·ω. (2.120)

2.6.4 Eulersche Kreiselgleichungen

Die Anderungen des Gesamtimpulses P und des Gesamtdrehimpulses L eines star-ren Korpers genugen im Inertialsystem S den Gleichungen

d

dtP = F ,

d

dtL = N . (2.121)

Hierbei bezeichenF =

∑ν

F eν , N =

∑ν

rS,ν×F eν (2.122)

die Summe der außeren Krafte bzw. Drehmomente. Wir beschranken uns auf denFall, in dem die von außen einwirkende Gesamtkraft verschwindet, so dass

F = 0, N =∑ν

(r0 + rν)×F eν =

∑ν

rν×F eν


gesetzt werden kann. Damit ist der Gesamtimpuls erhalten. Das Drehmoment kannwie angegeben auf das korperfeste System bezogen werden.

Zur Vereinfachung des Drehimpulssatzes sei der Bezugspunkt so gewahlt, dass furden Drehimpuls (2.119) gilt. Die Achsen des korperfesten Bezugssystems konnennoch so gewahlt werden, dass das korperfeste System ein Hauptachsensystem dar-stellt. Die Transformation der Drehimpulsanderung auf das korperfeste System er-gibt dann,

dL

dt

∣∣∣∣S

=dL

dt

∣∣∣∣K

+ ω × L

= Θ·(dω

dt

) ∣∣∣∣K

+ ω× (Θ · ω) (2.123)

In Komponentenschreibweise lautet das Gleichungssystem

Θ1ω1 + (Θ3 −Θ2)ω2ω3 = N1

Θ2ω2 + (Θ1 −Θ3)ω3ω1 = N2 (2.124)

Θ3ω3 + (Θ2 −Θ1)ω1ω2 = N3.

Hierbei sind die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit durch (2.108) und dieHaupttragheitsmomente durch (2.114) definiert. Diese Gleichungen werden als Eu-lersche Kreiselgleichungen bezeichnet. Sie bestimmen die Eulerwinkel und damit dieOrientierung des starren Korper als Funktion der Zeit.

2.6.5 Kraftefreie Bewegung

Bei der Diskussion der Eulerschen Kreiselgleichungen beschranken wir uns auf denkraftefreien Fall. Hier verschwindet das Drehmoment N auf der rechten Seite von(2.124).

Gleichformige Rotation eines unsymmetrischen Kreisels

Wir untersuchen zuerst unter welchen Bedingungen ein unsymmetrischer Kreisel umeine korperfeste Achse gleichformig rotieren kann. Unter der Voraussetzung ω = 0folgt aus (2.123), dass der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit gerichtetsein muß,

L = Θ · ω = Θiω

Dies ist die Bedingung fur eine Haupttragheitsachse. Somit sind gleichformige Ro-tationen nur um Haupttragheitsachsen moglich.

Die Drehachse sei nun nahezu parallel zu einer Haupttragheitsachse. Ohne Ein-schrankung sei dies die Achse mit dem Haupttragheitsmoment Θ1, so dass ω2 << ω1


und ω3 << ω1 gilt. In diesem Fall konnen die Bewegungsgleichungen (2.124) durchLinearisierung in den kleinen Großen ω2 und ω3 vereinfacht werden,

Θ1ω1 = 0

Θ2ω2 + (Θ1 −Θ3)ω1ω3 = 0 (2.125)

Θ3ω3 + (Θ2 −Θ1)ω1ω2 = 0.

Aus der ersten Gleichung folgt, dass ω1 = ω10 als konstant angenommen werdenkann. Aus den beiden anderen Gleichungen erhalt man die Schwingungsgleichungen

ω2 +Hω2 = 0, ω3 +Hω3 = 0, H =(Θ1 −Θ3)(Θ1 −Θ2)

Θ2Θ3

ω210.

Fur H > 0 ist die Drehung um die Haupttragheitsachse stabil, fur H < 0 instabil.Stabile Drehungen erfolgen daher um die Haupttragheitsachsen mit dem kleinstenund dem großten Tragheitsmoment. Die Drehung um die Haupttragheitsachse mitdem mittleren Tragheitsmoment ist instabil.

Symmetrischer Kreisel

Gegeben sei nun ein symmetrischer Kreisel mit der Symmetrieachse x3. Die Sym-metrieachse wird als Figurenachse bezeichnet. Setzt man

Θ1 = Θ2, w =(Θ1 −Θ3)

Θ1

ω3

so reduzieren sich die Bewegungsgleichungen (2.124) auf die Form

ω1 − w ω2 = 0

ω2 + w ω1 = 0 (2.126)

ω3 = 0.

Die Losung bestimmt die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im korperfestenSystem,

ω1 = φ sin θ sinψ + θ cosψ = a sin(wt+ ψ0),

ω2 = φ sin θ cosψ − θ sinψ =p

w= a cos(wt+ ψ0), (2.127)

ω3 = φ cos θ + ψ = ω30,

mit Integrationskonstanten a, ψ0 und ω30. Die Winkelgeschwindigkeit ω bildet einenfesten Winkel γ mit der Figurenachse, der durch tan γ = a/ω30 bestimmt ist. Dabeilauft sie auf einem Kegel, dem Polkegel, um die Figurenachse um.


Abbildung 2.12: Prazessioneines kraftefreien symmetri-schen Kreisels.

Im Inertialsystem ist der Drehimpuls erhalten. Wahlt man die z- Achse des Inerti-alsystems in Richtung des Drehimpulsvektors, so gilt L = L0ez. Die Komponentenvon L im korperfesten System sind dann L1

L2

L3

= L0

ez·e1

ez·e2

ez·e3

= L0

sin θ sinψsin θ cosψ

cos θ

=

θ1ω1

θ2ω2

θ3ω3

. (2.128)

Wegen θ3ω30 = const folgt aus der dritten Komponente L3 = L0 cos θ = θ3ω30, dassder Eulerwinkel

θ = θ0

konstant ist. Daher lauft die Figurenachse auf einem Kegel mit Offnungswinkel 2θ0

um die raumfeste Drehimpulsachse um. Dieser Kegel wird als Prazessionskegel be-zeichnet. Die Drehachse ω = φez + ψe3 bildet mit der Drehimpulsachse ebenfallseinen festen Winkel. Sie lauft auf dem sogenannten Spurkegel um die Drehimpulsach-se um. Anschaulich ergibt sich die Prazession der Figurenachse, indem der Polkegelauf dem Spurkegel abrollt.

Die restlichen beiden Eulerwinkel konnen durch die ersten beiden Gleichungen von(2.127) bestimmt werden. Man erhalt

φ2 sin2 θ0 = a2 =⇒ φ = φ0 +a

sin θ0

t

φ sin θ0 sinψ = a sinψ =⇒ ψ = ψ0 + wt.

2.6.6 Schwerer symmetrischer Kreisel

Gegeben sei ein symmetrischer Kreisel mit den Haupttragheitsmomenten Θ1 = Θ2

und Θ3 bezuglich eines Bezugspunktes auf der Figurenachse e3.


sMg

x

z

3

Abbildung 2.13: Drehung eines symmetrischen schweren Kreisels um einen festenBezugspunkt im Koordinatenursprung. Der Schwerpunkt liegt auf der Figurenachsex3 im Abstand s vom Ursprung. Die Figurenachse ist gegen die z-Achse um denEulerwinkel θ geneigt.

Als Normalkoordinaten fur die Drehung des Kreisels um den festen Bezugspunktwerden die Eulerwinkel verwendet. Mit den entsprechenden Komponenten der Win-kelgeschwindigkeit (2.108) erhalt man fur die kinetische Energie

T =1

2ω ·Θ · ω

=1

2Θ1ω

21 +

1

2Θ1ω

22 +

1

2Θ3ω

23

=1

2Θ1(φ

2 sin2 θ + θ2) +1

2Θ3(φ

2 cos θ + ψ)2 . (2.129)

In einem Schwerefeld g = −gez erhalt man fur die potentielle Energie

U = −∑ν

mνg · rν = −Mg ·R = Mgs cos θ . (2.130)

Hierbei bezeichnet s den Abstand des Schwerpunktes vom Bezugspunkt. Aus (2.129)und (2.130) ergibt sich die Lagrangefunktion

L =1

2Θ1(φ

2 sin2 θ + θ2) +1

2Θ3(φ

2 cos θ + ψ)2 −Mgs cos θ . (2.131)

Da die Winkel φ und ψ zyklische Koordinaten sind, sind die zugehorigen Drehim-


pulse erhalten,

Lz =∂L∂φ

= Θ1 sin2 θφ+ Θ3(φ cos θ + ψ) cos θ ,

L3 =∂L∂ψ

= Θ3(φ cos θ + ψ) .

Da die Lagrangefunktion zeitunabhangig ist, ist auch die Energie eine Erhaltungs-große

E =∂L∂φ

φ+∂L∂θθ +

∂L∂ψ

ψ − L

=1

2Θ1(φ

2 sin2 θ + θ2) +1

2Θ3(φ

2 cos θ + ψ)2 +Mgs cos θ .

Die Winkelgeschwindigkeiten φ und ψ werden durch die Drehimpulserhaltung be-stimmt,

φ cos θ + ψ =L3

Θ3

φ sin θ =Lz − L3 cos θ

sin θ Θ1

.

Eliminiert man diese Winkelgeschwindigkeiten aus dem Energiesatz, so erhalt maneinen Energiesatz fur die θ-Bewegung,

E ′ =1

2Θ1θ

2 + Ueff (θ) (2.132)

mit

E ′ = E − 1

2

L23

Θ3

−Mgs = const

Ueff =(Lz − L3 cos θ)2

2Θ1 sin2 θ−Mgs(1− cos θ) . (2.133)

Das effektive Potential Ueff besitzt im Intervall zwischen 0 und π ein MinimumUeff,min. Wird E ′ = Ueff,min gewahlt, so kann der Kreisel eine Prazessiosbewegungmit einem festen Winkel θ0 ausfuhren. Fur E ′ > Ueff,min andert sich θ periodisch ineinem Winkelintervall θ1 ≤ θ ≤ θ2. Diese Bewegung wird als Nutation bezeichnet.Sie ist der Prazessionsbewegung um die z-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit φuberlagert. Der Durchstoßpunkt der Figurenachse durch eine Kugel um den Bezugs-punkt beschreibt hierbei eine periodische Bahn zwischen zwei Breitenkreisen.

Kapitel 3

Thermodynamik

Die Thermodynamik ist eine phanomenologische Theorie der Warme. Zur Beschrei-bung eines thermodynamischen Systems werden Grundgroßen wie Temperatur,Druck, Volumen, innere Energie und Entropie eingefuhrt. Sie legen den thermo-dynamischen Zustand des Systems eindeutig fest. Dieser Zustand kann durch dieZufuhr von Warme oder Arbeit geandert werden. Die moglichen Zustandsanderun-gen werden durch die Hauptsatze der Thermodynamik beschrieben.

Ein thermodynamisches System ist im Prinzip ein Vielteilchensystem, dessen Dyna-mik den Gesetzen der Mechanik bzw. der Quantenmechanik unterliegt. Unter geeig-neten Annahmen konnen thermodynamische Eigenschaften aus mechanischen undstatistischen Gesetzen abgeleitet werden. Eine solche mikroskopische Begrundungder Thermodynamik ist Gegenstand der statistischen Mechanik.

3.1 Thermodynamische Systeme

Mikroskopischer Zustand: Der mikroskopische Zustand eines Systems wird inder klassischen Mechanik durch die Angabe der Orte und Geschwindigkeiten allerTeilchen festgelegt. Bei N Teilchen erfordert dies 6N Variablen.

Makroskopischer Zustand: Makroskopische Systeme bestehen aus einer großenZahl von Teilchen (N ≈ 1023). Es ist praktisch nicht moglich den mikroskopischenZustand eines makroskopischen Systems festzulegen. Tatsachlich ist man meist nuran Mittelwerten weniger Großen interessiert. Die Großen, die den makroskopischenZustand eines Korpers charakterisieren nennt man thermodynamische Variablen.Zum Beispiel kann der thermodynamische Zustand eines Gases durch die Tempera-tur t, das Volumen V und den Druck p festgelegt werden. Diese Variablen sind i.a.nicht unabhangig voneinander. Eine Beziehung zwischen p, V , und t,

f(p, V, t) = 0 (3.1)

92


nennt man die Zustandsgleichung. Der makroskopische Zustand des Gases wird alsobereits durch zwei unabhangige thermodynamische Variablen vollstandig bestimmt.

Gleichgewichtszustand: Zustande, die sich bei unveranderten außeren Bedin-gungen nicht andern, werden als Gleichgewichtszustande bezeichnet, z.B. ein Gasbei konstantem Druck und konstanter Temperatur in einem vorgegebenem Volumen.

Zustandsanderung: Eine Zustandsanderung von einem Anfangszustand p1, V1 zueinem Endzustand p2, V2 wird durch eine Kurve in der (p, V )-Ebene beschrieben.Spezielle Zustandsanderungen sind

Isotherme: Kurve in der (p, V )-Ebene zu einer festen Temperatur t = const.Isochore: Kurve in der (p, t)-Ebene zu einem festen Volumen: V = const.Isobare: Kurve in der (V, t)-Ebene zu einem festen Druck: p = const.

Eine Zustandsanderung heißt reversibel, wenn sie durch eine Folge von Gleich-gewichtszustanden beschrieben wird. Eine reversible Zustandsanderung kann durcheine quasistatische Anderung eines Parameters, z.B. des Volumens V , erfolgen undsie ist umkehrbar indem man quasistatisch zum Ausgangszustand zuruckkehrt.

Befindet sich ein System zu irgendeinem Zeitpunkt in einem Nichtgleichgewichtszu-stand, so geht es mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit im Verlauf der weiteren Entwick-lung in einen Gleichgewichtszustand uber. Eine Umkehrung dieser Zustandsande-rung ist praktisch nicht moglich. Der Ubergang von einem Gleichgewichtszustand inden Nichtgleichgewichtszustand erfolgt nur mit einer verschwindend geringen Wahr-scheinlichkeit (Beispiel: Temperatur- oder Dichteausgleich). Solche Zustandsande-rungen heißen irreversibel.

Arbeit: Wir betrachten als System einen mit Gas gefullten Kolben mit einem be-weglichen Stempel der Flache A. Wird der Stempel aufgrund des Gasdruckes p umeine infinitesimale Strecke dh verschoben, so leistet das System die Arbeit

dW = −pAdh = −pdV (3.2)

Hierbei gilt folgende Vorzeichenkonvention: Arbeit, die die Umgebung am Systemverrichtet wird positiv gezahlt. Arbeit die das System an seiner Umgebung verrichtetwird negativ gezahlt.

Bei einer allgemeinen Volumenvergroßerung von A nach B verrichtet das System,unabhangig von der Form des Volumens, die Arbeit

∆W = −VB∫VA

pdV. (3.3)

Zyklische Zustandsanderung: Ist der Endzustand gleich dem Anfangszustand,so spricht man von einer zyklischen Zustandsanderung oder von einem Kreisprozess.Die verrichtete Arbeit, ist die von der geschlossenen Kurve eingeschlossene Flache.


Abbildung 3.1: Bei einer Ver-schiebung des Stempels um dieStrecke dh verrichtet das Gas dieArbeit (3.2).

Abbildung 3.2: Der Arbeit |∆W |entspricht im (p,V)-Diagrammdie Flache unterhalb der Kurvep = p(V ) zwischen dem Anfangs-punkt A und dem Endpunkt B.

Abbildung 3.3: Bei einem Kreis-prozeß durchlauft das Systemeinen geschlossenen Weg. Die vonder Kurve eingeschlossene Flacheentspricht der vom System ver-richteten Arbeit. Bei der Expan-sion (dV > 0) ist dW negativ,bei der Kompression (dV < 0) istdW positv.


3.2 Erster Hauptsatz

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist der Energieerhaltungssatz fur thermo-dynamische Systeme.

Abgeschlossenes konservatives System: In einem abgeschlossenen mechani-schen System mit konservativen Kraften ist die Energie erhalten, d.h. die Ener-gie Ua im mikroskopischen Zustand a und die Energie Ub in einem nachfolgendenmikroskopischen Zustand b sind gleich:

Ua = Ub. (3.4)

Makroskopische Systeme sind in der Regel nicht abgeschlossen, da sie Energie mit derUmgebung austauschen konnen. Beschrankt man sich auf Energieaustausch durchdie Arbeitsleistung außerer Krafte, so nennt man ein System thermisch isoliert.Arbeit ist dadurch charakterisiert, dass ein makroskopischer Parameter, wie z.B.das Volumen durch eine Kraft geandert wird.

Thermisch isoliertes System: Wird am System vom Anfangszustand A zumEndzustand B die Arbeit ∆W verrichtet, so ist die Energieanderung

∆U = UB − UA = ∆W. (3.5)

In der Regel gibt es weitere Moglichkeiten des Energieaustausches durch mikroskopi-sche Prozesse bei denen kein makroskopischer Parameter geandert wird. Die Energiewird direkt in ungeordnete Bewegung umgewandelt. Diese Form der Energiezufuhrbezeichnet man als Warme.

System im thermischen Kontakt: Fur ein System, das nicht thermisch isoliertist, lautet der Energieerhaltungssatz

∆U = ∆W + ∆Q erster Hauptsatz (3.6)

Hierbei bezeichnet ∆U die Anderung der inneren Energie des Systems, ∆W die amSystem verrichtete Arbeit und ∆Q die dem System zugefuhrte Warme.

Aquivalenz von Warme und Arbeit: Wasser kann auf zwei unterschiedlicheArten von einer Anfangstemperatur tA auf eine Endtemperatur tB erwarmt werden:

(i) Mechanische Arbeit (Rotor)(ii) Warmezufuhr (Flamme, Kochplatte)

Da im Fall (i) eine Energieanderung durch die geleistete Arbeit eintritt, muß diezugefuhrte Warme im Fall (ii) der gleichen Energieanderung entsprechen. Das me-chanische Warmeaquivalent wurde zuerst 1842 von Robert Mayer bestimmt. We-sentlichen Anteil an der Formulierung des ersten Hauptsatzes hatten Robert Mayer


und James Prescott Joule. Die Erkenntnis, dass Warme eine Energieform darstellt,loste die Vorstellung von einem Warmestoff ab.

Infinitesimale Energieanderung: dW = −pdV

dU = −pdV + dQ (3.7)

Kreisprozesse: ∆U = 0 Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsanderungenbei der das System wieder in den Anfangszustand zuruckkehrt. Nach einem Umlaufgilt

∆U = 0, W = Q, W =

∮pdV, Q =

∮dQ. (3.8)

Die wahrend eines Kreisprozesses vom System geleistete Arbeit W ist gleich der vomSystem absorbierten Warmemenge Q. Bei Kreisprozessen ist es ublich die in einemUmlauf geleistete Arbeit positiv zu zahlen.

3.2.1 Spezifische Warme

Die Warmemenge, die notwendig ist, um die Temperatur eines Korpers um eineTemperatureinheit zu erhohen,

C =dQ

dT(3.9)

heißt Warmekapazitat. Da die Warmekapazitat von der Masse abhangt, verwendetman meist die “spezifische Warme” pro Masseneinheit, Volumeneinheit oder proMol der Substanz. Die Warmekapazitat hangt davon ab, welche Variablen konstantgehalten werden.

1. U = U(T, V ) :

dU =

(∂U

∂T

)V

dT +

(∂U

∂V

)T

dV

dU = −pdV + dQ

dQ =

(∂U

∂T

)V

dT +

p+

(∂U

∂V

)T

dV

CV =dQ

dT

∣∣∣∣∣V=const

=

(∂U

∂T

)V

(3.10)


2. U = U(T, p) :

dU =

(∂U

∂T

)p

dT +

(∂U

∂p

)T

dp

dU = −p(∂V

∂T

)p

dT − p(∂V

∂p

)T

dp+ dQ

dQ =

(∂U

∂T

)p

+ p

(∂V

∂T

)p

dT +

(∂U

∂p

)T

+ p

(∂V

∂p

)T

dp

Cp =dQ

dT

∣∣∣∣∣p=const

=

(∂U

∂T

)p

+ p

(∂V

∂T

)p

(3.11)

3.2.2 Ideale Gase

Zustandsgleichung: (kB: Boltzmann-Konstante)

pV = NkBT (3.12)

Isotherme Zustandsanderung:

pV = const.

∆W = −V2∫V1

pdV = NkBT

V2∫V1

dV

V

= −NkBT lnV2

V1

= −NkBT lnp1

p2

(3.13)

Innere Energie:

U = U(T ) = Nf

2kbT (3.14)

Anzahl der Freiheitsgrade:

f = 3 : monoatomares Gas

f = 5 : diatomares Gas

Spezifische Warme bei konstantem Volumen:

CV =

(∂U

∂T

)V

=dU(T )

dT= N

f

2kB

cV =CVNm

=f

2

kBm

pro Masseneinheit (3.15)


Spezifische Warme bei konstantem Druck:

Cp =

(∂U

∂T

)p

+ p

(∂V

∂T

)p

= CV +NkB =

(f

2+ 1

)NkB (3.16)

cp =CpNm

= cV +kBm

=f + 2

2

kBm

pro Masseneinheit (3.17)

Adiabatische Zustandsanderung: dQ = 0

dU + pdV = 0; dU = CV dT ; pV = NkBT

CV dT +NkBTdV

V= 0,

dT

T+

2

f

dV

V= 0.

Durch Integration erhalt man die Adiabatengleichungen

TV2f = const. bzw. pV κ = const. (3.18)

κ = f+2f

heißt Adiabatenindex. Wegen κ > 1 verlaufen die Adiabaten im (p,V)-Diagramm steiler als die Isothermen.

3.3 Zweiter Hauptsatz

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik bezieht sich auf die Moglichkeiten zurUmwandlung von Warme in Arbeit. Er schließt die Moglichkeit aus, der Umgebungpraktisch unbegrenzt Warme zu entziehen um diese in Arbeit umzuwandeln (Perpe-tuum mobile 2. Art). Zur genaueren Definition des Begriffs ‘Umgebung’ verwendetman den Begriff ‘Warmebad’.

Warmebad: Ein Warmebad ist ein Korper mit einer zeitlich konstanten und uber-all gleichen Temperatur, der durch thermischen Kontakt Warme aber keine Arbeitaustauschen kann.

Ein Warmebad wird durch eine große Wassermenge realisiert, die sich praktischnicht ausdehnt und deren Temperatur sich beim Austausch kleiner Warmemengenpraktisch nicht andert.

Der zweite Hauptsatz wurde um 1850 in unterschiedlicher Form durch Lord Kelvin(K) und durch Rudolph Clausius (C) formuliert. Nachfolgend wird gezeigt, dassbeide Aussagen aquivalent sind.


3.3.1 Postulat von Kelvin

(K) Ein Prozess, dessen einziges Ergebnis darin besteht, aus einemWarmebad Warme zu entnehmen und diese in Arbeit umzuwan-deln (Abb. 3.4), ist nicht moglich.

3.3.2 Postulat von Clausius

(C) Ein Prozess, dessen einziges Ergebnis darin besteht, aus einemWarmebad Warme zu entnehmen und diese an ein zweites Warme-bad mit einer hoheren Temperatur abzugeben (Abb. 3.4), ist nichtmoglich.

Abbildung 3.4: Warmemaschinen, die dem 2. Hauptsatz widersprechen: Die Warme-menge Q wird dem Warmebad mit Temperatur t entnommen und ohne sonstige An-derungen in die Arbeit W = Q umgewandelt (links). Die Warmemenge Q wird demWarmebad mit Temperatur t1 entnommen und an ein Warmebad mit Temperaturt2 > t1 abgegeben (rechts).

3.4 Thermodynamischer Wirkungsgrad

Definition (Wirkungsgrad): Bei einem Kreisprozess werde vom System pro Um-lauf die Warme QAufnahme aufgenommen, die Warme QAbgabe abgegeben und die


Arbeit W = QAufnahme − QAbgabe verrichtet. Der Wirkungsgrad des Kreispro-

zesses wird definiert als

η =W

QAufnahme= 1−

QAbgabe

QAufnahme. (3.19)

Definition (2-Temperaturprozess): Ein 2-Temperaturprozess sei ein Kreispro-zess, der pro Umlauf bei der konstanten Temperatur t2 die Warme Q2 aufnimmt,bei der konstanten Temperatur t1 < t2 die Warme Q1 abgibt und dabei die ArbeitW = Q2 −Q1 verrichtet.

Der Wirkungsgrad eines 2-Temperaturprozesses ist

η = 1− Q1

Q2

. (3.20)

3.4.1 Carnot-Prozess

Ein Carnot-Prozess ist ein reversibler 2-Temperaturprozess eines gasdynamischenSystems. Er durchlauft den von zwei Isothermen und zwei Adiabaten im p,V-Diagramm umschlossenen Zyklus (Abb. 3.5):

• Isotherme Expansion: Das System expandiert entlang einer Isotherme t =t2 von A nach B . Dabei wird vom System die Warmemenge Q2 aufgenommen.

• Adiabatische Expansion: Das System expandiert ohne Warmeaustauschentlang einer Adiabate von B nach D. Dabei erniedrigt sich die Temperaturvon t2 auf t1.

• Isotherme Kompression: Das System wird entlang einer Isotherme t = t1von D nach C komprimiert. Dabei gibt es die Warmemenge Q1 ab.

• Adiabatische Kompression: Das System wird entlang einer Adiabate vonC nach A komprimiert. Dabei erhoht sich die Temperatur von t1 auf t2.

Das System kehrt nach einem Zyklus wieder in seinen Anfangszustand mit der in-neren Energie UA zuruck. Nach dem ersten Hauptsatz wird in einem Zyklus dieArbeit

W = Q2 −Q1 (3.21)

verrichtet. Nach dem zweiten Hauptsatz kann Q1 nicht verschwinden, da sonst dieWarme Q2 ohne sonstige Anderungen in Arbeit umgewandelt worden ware. Nurein Teil der absorbierten Warme Q2 kann in Arbeit umgewandelt werden. Der Wir-kungsgrad der Umwandlung wird definiert durch

η =W

Q2

= 1− Q1

Q2

. (3.22)

Mit Hilfe eines Carnot Prozesses kann die Aquivalenz der Aussagen von Kelvin undClausius gezeigt werden.


Abbildung 3.5: CarnotscherKreisprozeß.

3.4.2 Aquivalenz der Aussagen von Kelvin und Clausius

Beweis: (K) ⇔ (C)

• (K) falsch ⇒ (C) falsch

Wenn (K) nicht gilt, kann man einem Warmebad mit Temperatur t1 dieWarmemenge Q entnehmen und diese in Arbeit W = Q umwandeln. DieArbeit kann man einem Warmebad mit der Temperatur t2 > t1 vollstandigin Form von Warme zufuhren (durch Reibung). Damit wird Warme aus ei-nem Warmebad niedrigerer Temperatur in ein Warmebad hoherer Temperaturubertragen, ohne dass sich der sonstige Zustand geandert hat. Also gilt (C)nicht. (Abb.3.6)

• (C) falsch ⇒ (K) falsch

Wenn (C) nicht gilt, kann man einem Warmebad mit Temperatur t1 eineWarmemenge Q2 entnehmen und an ein Warmebad mit Temperatur t2 > t1abgeben. Die Warme Q2 kann man einem Carnot-Prozess zufuhren, der dieseteilweise in Arbeit W umwandelt und die restliche Energie Q1 = Q2 − Wals Warme an das Warmebad 1 abgibt. Damit wird dem Warmebad 1 dieWarmemenge Q2 − Q1 entnommen und vollstandig in Arbeit umgewandelt,ohne dass sonstige Anderungen eingetreten sind. Also gilt (K) nicht. (Abb.3.7)

Wegen “(K) falsch” ⇔ “(C) falsch” gilt auch “(K) richtig” ⇔ “(C) richtig”.

3.4.3 Carnot-Theorem

Fur den Wirkungsgrad von 2-Temperaturprozessen gilt das folgende Theorem vonCarnot:


Abbildung 3.6: Falls Warmeaus einem Warmebad entnom-men und vollstandig in Arbeitumgewandelt werden kann, kanndiese dazu verwendet werden ei-nem Warmebad hoherer Tempe-ratur dieselbe Warmemenge zu-zufuhren. Dies widerspricht demPostulat von Clausius.

Abbildung 3.7: Falls die Warme-menge Q2 einem Warmebad ent-nommen und einem Warme-bad hoherer Temperatur zugefuhrtwerden kann, kann man dieselbeWarmemenge mit einem Carnot-Prozess wieder entnehmen undteilweise in Arbeit umwandeln.Dies widerspricht dem Postulatvon Kelvin.


(i) Alle reversiblen 2-Temperaturprozesse, mit gleichen Temperaturen habendenselben Wirkungsgrad.

(ii) Der Wirkungsgrad eines irreversiblen 2-Temperaturprozesses kann nie großersein als der Wirkungsgrad eines reversiblen 2-Temperaturprozesses mit glei-chen Temperaturen.

Beweis: Ein reversibler 2-Temperaturprozess verrichte die Arbeit W = Q2 − Q1.Ein zweiter beliebiger 2-Temperaturprozess verrichte die Arbeit W ′ = Q′

2 − Q′1.

Aus beiden Kreisprozessen kann der in (Abb.3.8) gezeigte kombinierte Kreisprozessgebildet werden. Die Richtung des reversiblen Prozesses wurde umgekehrt, so dassdieser die bei der oberen Temperatur durch den ersten Prozess absorbierte WarmeQ gerade wieder zuruckgibt. Nach einem Umlauf wurde nur dem unteren WarmebadWarme entzogen und insgesamt die Arbeit W ′ −W verrichtet. Nach dem zweitenHauptsatz (K) muß

W ′ −W ≤ 0 (3.23)

sein. Daher gilt:

η′ =W ′

Q≤ η =

W

Q(3.24)

Ist der zweite Prozess reversibel, dann erhalt man durch Vertauschung der beidenProzesse auch

η ≤ η′. (3.25)

Daher gilt dann η = η′.

Abbildung 3.8: Ein beliebiger 2-Temperaturprozess entnimmt bei der Temperatur t2die Warmemenge Q. Ein reversibler 2-Temperaturprozess, der in der umgekehrtenRichtung lauft, gibt bei der Temperatur t2 dieselbe Warmemenge ab. Die resultieren-de Arbeit beider Prozesse muß nach dem Postulat von Kelvin negativ sein. Darausfolgt das Carnot-Theorem.


3.5 Thermodynamische Temperaturdefinition

Empirische Temperaturdefinition: Die Ausdehnung einer Thermometersub-stanz als Funktion der Temperatur kann zur Festlegung einer empirischen Tem-peraturskala t verwendet werden. Diese Temperaturskala ist jedoch von den Eigen-schaften der Thermometersubstanz abhangig.

Gasthermometer: Gase haben als Thermometersubstanz den Vorteil, dass sie einebesonders einfache Zustandsgleichung besitzen:

pV = NkBT (3.26)

Durch Messung von p und V kann die Temperatur T bestimmt werden. Die sobestimmte Gastemperatur T kann zur Eichung anderer Thermometersubstanzenverwendet werden. Man erhalt so einen Zusammenhang der Temperaturskalen T =T (t). Aber auch bei Gasen kann es Abweichungen vom idealen Verhalten geben.

Absolute Temperaturdefinition: Eine substanzunabhangige Definition der Tem-peratur folgt aus dem Carnot-Theorem. Fur jeden reversiblen 2-Temperaturprozessist das Verhaltnis

Q1

Q2

= f(t1, t2) (3.27)

gleich, d.h. die Funktion f(t1, t2) ist eine universelle Funktion der beiden Arbeit-stemperaturen t1 und t2.

Betreibt man einen Carnot-Prozess mit einem idealen Arbeitsgas, so findet man furdiese Funktion

Q1

Q2

= f(t1, t2) =T (t1)

T (t2). (3.28)

Definiert man die absolute thermodynamische Temperatur entsprechend der miteinem idealen Gasthermometer gemessenen Temperatur durch T = T (t), so gilt furalle reversiblen 2-Temperaturprozesse:

Q1

Q2

=T1

T2

(3.29)

Die Temperaturmessung ist damit auf die Messung von Warmemengen zuruck-gefuhrt.

3.6 Entropie

3.6.1 Beliebige Kreisprozesse

Nach dem Carnot-Theorem giltη ≥ η′ (3.30)


wobei η den Wirkungsgrad eines reversiblen und η′ den eines beliebigen 2-Temperaturprozesses bezeichnet. Setzt man

η = 1− T1

T2

; η′ = 1− Q′1

Q′2

; (3.31)

so gilt die UngleichungT1

T2

≤ Q′1

Q′2

(3.32)

Q′2

T2

+(−Q′

1)

T1

≤ 0. (3.33)

Diese Beziehung kann fur beliebige Kreisprozesse verallgemeinert werden. Sei dQeine infinitesimal kleine Warmemenge, die bei der Temperatur T vom System auf-genommen wird. Dann gilt fur einen Umlauf:

∮dQ

T≤ 0 (3.34)

Fur reversible Prozesse gilt das Gleichheitszeichen.

Beweis:

Der Kreisprozess S nimmt bei der Temperatur T die Warmemenge dQ auf. Wirbetrachten einen Carnot-Prozess zwischen T und T0, der bei T die WarmemengedQ abgibt und die dafur erforderliche Warmemenge

dQ0 = dQT0

T(3.35)

bei T0 aufnimmt. Nach einem Umlauf erhalt man fur die gesamte vom WarmebadT0 abgegebene Warme

Q0 = T0

∮dQ

T(3.36)

Nach dem ersten Hauptsatz ist die aufgenommene Warme Q0 gleich der geleistetenArbeit W . Nach dem zweiten Hauptsatz ist W ≤ 0 und daher∮

dQ

T≤ 0 (3.37)

Falls S reversibel ist kann der Kreisprozess in umgekehrter Richtung durchlaufenwerden, wobei dQ durch −dQ zu ersetzen ist. Dann gilt auch

−∮dQ

T≤ 0 (3.38)

und damit ∮dQ

T= 0. (3.39)


Abbildung 3.9: Ein KreisProzess S entnimmt bei der Temperatur T eine infinitesi-male Warmemenge dQ. Ein in umgekehrter Richtung laufender Carnot-Prozess gibtdieselbe Warmemenge wieder ab und nimmt bei einer beliebigen ReferenztemperaturT0 eine Warmemenge dQ0 auf. Durch Integration von dQ uber einen Zyklus erhaltman die gesamte bei der Temperatur T0 entnommene Warme Q0.


3.6.2 Eigenschaften der Entropie

Definition (Entropie): Das Integral

S(A) =

A∫0

dQ

T(3.40)

uber einen reversiblen Weg von einem festen Referenzzustand 0 zum Zustand Aheißt Entropie. Die Entropie besitzt die folgenden wichtigen Eigenschaften:

Reversible Zustandsanderung: Bei einer reversiblen Zustandsanderung von Anach B andert sich die Entropie gemaß:

S(B)− S(A) =

B∫A

dQ

T

R

(3.41)

Dies bedeuted, dass die Entropieanderung genau durch die bei den jeweiligen Tem-peraturen ausgetauschten Warmen bestimmt wird.

Zustandsfunktion: Die Entropie ist eine Zustandsfunktion, d.h. sie hangt nur vomthermodynamischen Zustand des Systems ab. Betrachtet man zwei reversible Wegevon A nach B (Abb. 3.10), so gilt∮

dQ

T=

B∫A

dQ

T

I

+

A∫B

dQ

T

II

= [S(B)− S(A)]∣∣I− [S(B)− S(A)]

∣∣II

= 0. (3.42)

Abbildung 3.10: Integrationswegeim Fall zweier reversibler Zu-standsanderungen von A nach B.

Irreversible Zustandsanderung:

S(B)− S(A) ≥

B∫A

dQ

T

I

(3.43)


Abbildung 3.11: Ubergang von Anach B entlang einem reversiblen(R) und einem irreversiblen (I)Weg.

Beweis:

0 ≥∮dQ

T=

B∫A

dQ

T

I

−

B∫A

dQ

T

R B∫

A

dQ

T

R

= S(B)− S(A) ≥

B∫A

dQ

T

I

Die Entropieanderung ist großer als man es gemaß der auf dem irreversiblen Wegausgetauschten Warme erwarten wurde.

Thermisch isolierte Systeme: dQ = 0

S(B) ≥ S(A) (3.44)

Nach jeder Zustandanderung in einem isolierten System kann die Entropie des End-zustands nie kleiner sein als die Entropie des Anfangszustands. Der Zustand einesisolierten Systems andert sich solange, bis die Entropie auf den maximal moglichenWert angewachsen ist.

Warmeaustausch Q zwischen 2 Teilsystemen: Warme geht durch Warmelei-tung vom warmeren zum kalteren Korper uber. Dabei nimmt die Entropie zu:

∆S =Q

T1

− Q

T2

> 0; T1 < T2 (3.45)

Entropie idealer Gase:

Fur eine infinitesimale reversible Zustandsanderung gilt nach dem 1. Hauptsatz undnach der Entropiedefinition

dU = dQ− pdV, dQ = TdS. (3.46)

Fur ideale Gase gilt

U =3

2NkBT, p =

N

VkBT . (3.47)


Damit erhalt man fur eine infinitesimale Entropieanderung das Differential

dS = NkB

(3

2

dT

T+dV

V

). (3.48)

Es bestimmt die Zustandsfunktionen S=S(T,V) bzw. S=S(p,V) gemaß

S = S0 +3

2NkB ln(TV 2/3) = S ′0 +

3

2NkB ln(pV 5/3). (3.49)

Die Integrationskonstanten S0 bzw. S ′0 konnen im Rahmen der Quantenmechanikbestimmt werden. Als Ergebnis erhalt man dann fur die Entropie eines klassischenidealen Gases die Formel von Sackur und Tetrode

S = NkB ln

[e5/2V

N

(2πmkBT

h2

)3/2]

(3.50)

mit dem Planckschen Wirkungsquantum h.

3.6.3 Gleichgewicht bei Warmeaustausch

Bringt man zwei Systeme in thermischen Kontakt, so gleichen sich die Tempera-turen an. Im thermischen Gleichgewicht besitzt das Gesamtsystem eine konstanteTemperatur. Diese Gleichgewichtsbedingung folgt aus dem Extremalprinzip fur dieEntropie. Die innere Energie und die Entropie seien additiv, d.h. es gilt fur dasGesamtsystem

U = U1 + U2, S = S1(U1) + S2(U2) (3.51)

Hierbei wird vorausgesetzt, dass der Temperaturausgleich bei konstanten VoluminaV1,2 durchgefuhrt wird, so dass sich die Entropien nur als Funktion der inneren Ener-gien andern. Außerdem soll dem Gesamtsystem weder Warme noch Arbeit zugefuhrtwerden. Fur das Extremum der Entropie gelten dann die Bedingungen,

dS =dS1

dU1

dU1 +dS2

dU2

dU2 = 0 dU = dU1 + dU2 = 0 . (3.52)

Wegen dU1 = −dU2 folgtdS1

dU1

=dS2

dU2

. (3.53)

Nach dem ersten Hauptsatz gilt bei konstantem Volumen dU1,2 = dQ1,2. Im Gleich-gewicht nimmt daher

dS

dQ=

1

T(3.54)

in beiden Systemen den gleichen Wert an.


3.6.4 Gleichgewicht bei Teilchenaustausch

Gegeben seien nun zwei Systeme, die bei konstanter innerer Energie und konstan-tem Volumen Teilchen miteinander austauschen konnen, wobei die Teilchenzahl desGesamtsystems erhalten bleibt. Die Teilchenzahlen und die Entropien seien additiv,

N = N1 +N2, S = S1(N1) + S2(N2) . (3.55)

Die Extremalbedingung fur die Entropie lautet nun

dS =dS1

dN1

dN1 +dS2

dN2

dN2 = 0 dN = dN1 + dN2 = 0 . (3.56)

Im Gleichgewicht gilt alsodS1

dN1

=dS2

dN2

. (3.57)

Fur Systeme mit Teilchenaustausch laßt sich der erste Hauptsatz in der folgendenForm verallgemeinern,

dU = dQ+ dW + µdN , (3.58)

wobei das chemische Potential µ die Energieanderung pro Teilchen bezeichnet, wennweder Warme noch Arbeit zugefuhrt werden. Fur dU = dW = 0 gilt dQ = −µdN .Im Gleichgewicht nimmt also die Große

dS

dN= −µdS

dQ= −µ

T(3.59)

in beiden Systemen denselben Wert an.

Das chemische Potential eines idealen Gases kann mit Hilfe der Formel von Sackurund Tedrode (3.50) berechnet werden. Ersetzt man dort T durch die innerer EnergieU = 3

2NkBT so gilt

S = S(U, V,N) = kBN ln

[e5/2γV U3/2

(3/2)3/2N5/2

], γ =

(2πm

h2

)3/2

. (3.60)

Die Ableitung von S nach N bei festem U und V ergibt

∂S

∂N

∣∣∣∣U,V

= kB ln

[e5/2γV U3/2

(3/2)3/2N5/2

]− 5

2kB

= kB ln

[γV U3/2

(3/2)3/2N5/2

]= kB ln

[γV (kBT )3/2

N

].

Nach (3.59) folgt damit,

µ = kBT ln

[N

γV (kBT )3/2

]. (3.61)


3.6.5 Chemische Gleichgewichte

Die Gleichgewichtsbedingung bei Teilchenaustausch kann auf chemische Reaktionenangewandt werden. Eine chemische Reaktionsgleichung besitzt die allgemeine Form∑

νiAi = 0 (3.62)

wobei pro Reaktion jeweils νi Teilchen der Sorte Ai umgewandelt werden. Fur dieAusgangsstoffe wird νi positiv fur die Endprodukte negativ gezahlt. Nach n Reak-tionen ist die Anderung der Teilchenzahl des i-ten Stoffes dNi = nνi. Die Entropiealler Reaktanten sei additiv und nur von der Teilchenzahl abhangig,

S =∑

Si(Ni) . (3.63)

Im Gleichgewicht ist die Entropie extremal, d.h. es gilt

dS =∑ dSi

dNi

dNi =∑ dSi

dNi

nνi = 0 (3.64)

Mit dem chemischen Potential (3.59) erhalt man fur Reaktionsgleichgewichte dieBedingung ∑

µiνi = 0. (3.65)

Das chemische Potential (3.61) fur ideale Gase kann in der Form

µi = kBT (ln ci + ln p) + χi(T ),

ci =Ni

N, p =

N

VkBT, N =

∑Ni χi(T ) = −kBT ln

[γi(kBT )5/2

]angegeben werden, wobei ci die Konzentration der i-ten Teilchensorte bezeichnet.Setzt man diesen Ausdruck in (3.65) ein, so folgt∑

νi ln ci = −(∑

νi) ln p− 1

kBT

∑νiχi

(3.66)

Damit erhalt man das Massenwirkungsgesetz

∏cνii = K(p, T ), K(p, T ) = e

−P

νiχikBT

1

pPνi

(3.67)

Chemische Reaktionen werden meist bei konstantem Druck und konstanter Tempe-ratur durchgefuhrt. K(p, T ) wird als Massenwirkungskonstante bezeichnet.


3.6.6 Clausius-Clapeyron-Gleichung

Fur einen Phasenubergang zwischen einer Flussigkeit und einem Gas zeigen dieIsothermen das in Abb. (3.12) schematisch dargestellte Verhalten. Der Sattigungs-dampfdruck, bei dem Gas und Flussigkeit koexistieren, hangt nur von der Tempera-tur aber nicht vom Volumen ab, p = p(T ). Bei einer Vergroßerung des Volumens ver-dampft die Flussigkeit solange, bis der Sattigungsdampfdruck wiederhergestellt ist.Die Isotherme verlauft parallel zur V-Achse. Zur Bestimmung der Dampfdruckkurvep = p(T ) kann man einen Carnot-Prozess zwischen zwei infinitesimal benachbartenIsothermen im Phasenkoexistenzgebiet betrachten. Vergroßert man das Volumen beider oberen Temperatur vom Volumen VF der flussigen Phase zum Volumen VG derGasphase, so wird gerade die Verdampfungswarme Q = L aufgenommen. Bei derunteren Temperatur T − dT wird die Warmemenge Q− dQ wieder abgegeben. Furden gesamten Kreisprozess gilt dQ = dW , mit

dW = dp(VG − VF )

Q− dQQ

=T − dTT

; dQ = LdT

T.

Daraus folgt die Clausius-Clapeyron-Gleichung,

dp

dT=

L

T (VG − VF ), (3.68)

die die Steigung der Dampfdruckkurve p = p(T ) bestimmt.

Abbildung 3.12: Spezieller Carnot-Prozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.

Kapitel 4

Relativistische Mechanik

4.1 Relativitatsprinzip

Erfahrungsgemaß ist die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich groß:

c = 2.998 · 108 m

s≈ 300 000

km

s. (4.1)

Dies wurde zuerst 1887 im Experiment von Michelson und Morley nachgewiesen.Die beobachtete Konstanz der Lichtgeschwindigkeit steht jedoch im Widerspruchzum Galileischen Relativitatsprinzip der Newtonschen Mechanik.

Galileitransformation: Wir betrachten einen Vorschub des KoordinatensystemsS ′ mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung:

x′ = x− vt, t′ = t. (4.2)

Abbildung 4.1: Bewegtes Koord-inatensystem S ′. Der Ursprungvon S’ ist gegenuber S um vt ver-schoben.

113


Die Phase Φ = kx − ωt einer Lichtwelle bestimmt die Anzahl der Wellenlangeneines Wellenzuges. Sie muß daher unabhangig vom Bezugssystem sein. Aus dieserForderung ergibt sich

k′x′ − ω′t′ = k′x− (ω′ + k′v)t!= kx− ωt

k = k′, ω = ω′ + k′v. (4.3)

Im Vakuum breitet sich die Lichtwelle mit der Phasengeschwindigkeit ω′/k′ = ω/k =c aus. Aufgrund der Galileitransformation (4.3) erhalt man jedoch

c =ω

k=ω′ + k′v

k′=ω′

k′+ v = c′ + v (4.4)

Dies widerspricht der Beobachtung c = c′. Einstein hat diesen Widerspruch dadurchgelost, dass er die Forderung nach Galilei-Invarianz durch ein neues Relativitats-prinzip (Lorentz-Invarianz) ersetzt hat. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit wirddabei als physikalisches Grundprinzip eingefuhrt.

Einsteinsches Relativitatsprinzip (ER):

(E1) Alle Inertialsysteme sind gleichwertig.(E2) Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich groß.

Die Transformation zwischen Inertialsystemen, die dem ER genugen, nenntman Lorentz-Transformationen. Physikalische Gesetze, die gegenuber Lorentz-Transformationen invariant sind, nennt man lorentzinvariant oder relativistisch.

4.2 Lorentz-Transformation

Als Verallgemeinerung der Galileitransformation wird eine allgemeine lineare Trans-formation der Koordinaten angenommen:(

x0

x1

)′=

(Λ0

0 Λ01

Λ10 Λ1

1

)(x0

x1

)(4.5)

Koordinaten in S : (ct, x) ≡ (x0, x1)

Koordinaten in S’ : (ct′, x′) ≡ (x0′, x1′

)

Die 4 Konstanten Λαβ hangen nur von v ab. Sie werden durch folgende Forderungen

bestimmt:

1. Ursprung von S’: x1′= 0; x1 = vt = βx0; β = v

c

x1′= Λ1

0x0 + Λ1

1x1 = 0

x1

x0= −Λ1

0

Λ11

!= β (4.6)


2. Ursprung von S: x1 = 0; x1′= −vt′ = −βx0′

x1′

x0′ =Λ1

0

Λ00

!= −β (4.7)

3. Invarianz der Lichtgeschwindigkeit: x1′= x0′

, x1 = x0

x1′

x0′ =Λ1

0 + Λ11

Λ00 + Λ0

1

= 1 (4.8)

Damit sind 3 der 4 Konstanten festgelegt. Setzt man γ(v) := Λ00 fur die

verbleibende Konstante, so gilt(x0

x1

)′= γ(v)

(1 −β−β 1

)(x0

x1

),

Λ11 = Λ0

0 = γ; Λ10 = Λ0

1 = −βγ. (4.9)

4. Raumspiegelung: Eine Raumspiegelung x1 → −x1, x1′ → −x1′ist aqui-

valent zu einer Umkehr der Geschwindigkeit v → −v. Fuhrt man gleichzeitigeine Raumspiegelung und eine Geschwindigkeitsumkehr durch, so muß sich dasursprungliche Transformationsgesetz ergeben.(

x0

−x1

)′= γ(−v)

(1 ββ 1

)(x0

−x1

)(x0

x1

)′= γ(−v)

(1 −β−β 1

)(x0

x1

)Daraus folgt:

γ(v) = γ(−v). (4.10)

5. Inverse Transformation: Die inverse Transformation(x0

x1

)=

1

γ(v)

1

1− β2

(1 ββ 1

)(x0

x1

)′(4.11)

muß aquivalent sein zu einer Transformation mit der Geschwindigkeit −v.Daraus folgt:

γ(−v) =1

γ(v)

1

1− β2. (4.12)

Aus (4.10) und (4.12) folgt

γ =1√

1− β2. (4.13)


Die gesuchte Lorentz-Transformation ist,(x0

x1

)′= γ

(1 −β−β 1

)(x0

x1

); γ =

1√1− β2

; β =v

c(4.14)

In expliziter Form lautet sie:

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

, x′ =x− vt√1− v2/c2

. (4.15)

Fur kleine Geschwindigkeiten, v2/c2 1, geht die Lorentz-Transformation (4.15) indie Galileitransformation (4.2) uber.

Die Koordinatenachsen (x0′ = 0, x1′ = 0) des bewegten Systems S’ erscheinen imInertialsystem S gegeneinander verdreht (Abb. 4.2). Punkte t > 0, die in S am Ortx = 0 beobachtet werden, erscheinen in S’ entlang der negativen x’-Achse. Punktex > 0, die in S zur Zeit t = 0 beobachtet werden, erscheinen in S’ zu fruheren Zeitent′ < 0.

Abbildung 4.2: Koordinatenlinien x0′ = const, x1′ = const eines bewegten Inertial-systems S’ (rechts) im Inertialsystem S (links).

4.3 Der Abstand von Ereignissen

4.3.1 Raumzeit

Ereignis: Die Ortskoordinaten x1, x2, x3 und die Zeitkoordinate x0 = ct eines In-ertialsystems bilden einen 4-dimensionalen Raum. Die Punkte (x0, x1, x2, x3) diesesRaumes nennt man Ereignisse. Betrachtet man nur Relativbewegungen in einer Ko-ordinatenrichtung (x1), so konnen die Ereignisse (x0, x1) in einer Ebene dargestelltwerden.


Weltlinien: Die Bahnkurve eines Teilchens im 4-dimensionalen Raum heißt Weltli-nie (Abb. 4.3). Die Weltlinien eines Photons, welches sich zur Zeit t = 0 im Ursprungbefindet, liegen auf dem Lichtkegel ct = r. Die Weltlinie x = vt eines Teilchens mitder Geschwindigkeit v < c liegt innerhalb des Lichtkegels. Ereignisse innerhalb desLichtkegels konnen vom Ursprung aus durch ein Signal, welches sich mit einer Ge-schwindigkeit v < c ausbreitet, erreicht werden. Ereignisse außerhalb des Lichtkegelssind so weit vom Ursprung entfernt, dass sie durch kein Signal mit v ≤ c erreichtwerden konnen.

Abbildung 4.3: Die Weltlinie ei-nes Teilchens mit der Geschwin-digkeit v.

Abstand: In Analogie zum 3-dimensionalen Abstandsquadrat r2 = (x1)2 + (x2)2 +(x3)2 definiert man das 4-dimensionale Abstandsquadrat

s2 = (x0)2 − r2. (4.16)

Das Vorzeichen von s2 ist Konvention. Der Vorzeichenwechsel bei den raumlichenund zeitlichen Abstandsquadraten macht jedoch einen signifikanten Unterschied zureuklidischen Geometrie aus, bei der alle Abstandsquadrate mit gleichem Vorzeicheneingehen. Das vierdimensionale Abstandsquadrat ist unabhangig von der Wahl desInertialsystems. Nach dem Relativitatsprinzip gilt fur ein Photon r = x0 und damits2 = 0 fur alle Inertialsysteme. Aufgrund der Lorentz-Transformation sind auchAbstande s2 6= 0 unabhangig vom Inertialsystem:

s′2 = (x0′)2 − (x1′

)2 = γ2[+(x0 − βx1)2 − (x1 − βx0)2]

= +(x0)2 − (x1)2 = s2. (4.17)

Nach dem Vorzeichen von s2 unterscheidet man:

s2 = 0 : Lichtartiger Abstand

s2 < 0 : Raumartiger Abstand (4.18)

s2 > 0 : Zeitartiger Abstand

Da s2 invariant ist, ist diese Unterscheidung unabhangig vom Inertialsystem. Beiraumartigen Abstanden kann ein Koordinatensystem gefunden werden, in dem das


Ereignis (x0, x1) gleichzeitig zum Ereignis (0, 0) stattfindet:

x0′ = γ(x0 − βx1)!= 0 ⇒ β =

x0

x1< 1. (4.19)

Bei zeitartigen Abstanden kann ein Koordinatensystem gefunden werden, in demdas Ereignis (x0, x1) am selben Ort wie das Ereignis (0, 0) stattfindet:

x1′ = γ(x1 − βx0)!= 0 ⇒ β =

x1

x0< 1. (4.20)

Abbildung 4.4: Der Lichtkegeltrennt raumartige von zeitartigenAbstanden.

4.3.2 Langenkontraktion

Ein Stab bewege sich im Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung(Abb.4.5a).

Langenmessung in S: Die Positionen x1, x2 der Stabenden werden in S zur gleichenZeit t1 = t2 gemessen:

∆x = x2 − x1 = l, ∆t = t2 − t1 = 0 (4.21)

Der Stab ruht in einem mit v bewegten Inertialsystem. Die Lange

∆x′ = x′2 − x′1 = l0 (4.22)

im Ruhesystem ist die Eigenlange des Stabes.

Lorentz-Transformation:∆x′ = γ(∆x− v∆t) (4.23)

Mit ∆x′ = l0, ∆x = l und ∆t = 0 folgt

l =√

1− v2/c2l0 (4.24)

Die Ereignisse der Messung der Stabenden finden in S ′ zu verschiedenen Zeiten statt

∆t′ = γ(∆t− v

c2∆x) = − v

c2l0 (4.25)


Abbildung 4.5: a) bewegte Maßstabe erscheinen verkurzt b) bewegte Uhren gehenlangsamer.

4.3.3 Zeitdilatation

Eine Uhr bewege sich in S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung. Zu den Zeit-punkten t1 und t2 wird der Stand der Uhr mit Uhren in S an den Orten x1 bzw.x2 = x1 + v(t2 − t1) verglichen (Abb.4.5b).

Zeitintervall im Ruhesystem S ′ der Uhr:

∆t′ = ∆τ, ∆x′ = 0 (4.26)

Zeitmessung in S:∆t; ∆x = v∆t (4.27)

Lorentz-Transformation

∆x′ = γ(∆x− v∆t) (4.28)

∆t′ = γ(∆t− v

c2∆x) (4.29)

Die Uhr wird in S an verschiedenen Orten abgelesen.

∆x′ = 0⇒ ∆x = v∆t. (4.30)

Damit gilt:

∆τ = γ(1− v2

c2)∆t =

√1− v2

c2∆t. (4.31)

Die bewegte Uhr geht gegenuber den Uhren, die im Laborsystem ruhen nach (Zeit-dehnung oder Zeitdilatation).


4.3.4 Eigenzeit

Die Eigenzeit τ einer Uhr wird definiert als die Zeit im Ruhesystem der Uhr:

v = 0⇒ ds2 = c2dτ 2; τ2 − τ1 =1

c(s2 − s1) (4.32)

Die Eigenzeit ist unabhangig vom Inertialsystem, da der Abstand s2 − s1 lorentzin-variant ist.

Zeit einer bewegten Uhr: Zur Zeit t bewege sich die Uhr in S mit Geschwin-digkeit v(t). Im infinitesimalen Zeitintervall dt bewegt sie sich mit der momentanenGeschwindigkeit v(t) uber eine Strecke dx = v(t)dt. In einem Inertialsystem S ′, wel-ches sich mit der konstanten Geschwindigkeit v0 = v(t) bewegt ist die Uhr momentanin Ruhe. Dem Zeitintervall dt entspricht das Eigenzeitintervall

dτ =1

cds =

1

c

√c2dt2 − dx2

=√

1− v2(t)/c2dt (4.33)

Fur ein endliches Zeitintervall von t1 bis t2 gilt daher

τ =

t2∫t1

√1− v2(t)

c2dt. (4.34)

Eine in S bewegte Uhr geht daher langsamer als eine in S ruhende Uhr.

Um den Zeitvergleich der beiden Uhren zur Zeit t1 und t2 ausfuhren zu konnen,mussen sich die Uhren zu diesen Zeitpunkten am selben Ort befinden. Dies ist nurmoglich, falls die bewegte Uhr im Zeitintervall zwischen t1 und t2 beschleunigt wur-de. Da in beschleunigten Bezugssystemen andere Gesetze gelten, ist die angezeigteZeitdifferenz der Uhren nicht im Widerspruch zum Relativitatsprinzip. Diejenige derbeiden Uhren, die beschleunigt wurde, geht nach.

(Zwillingsparadoxon, Lebensdauer schneller Myonen).

4.3.5 Gleichzeitigkeit

Nach dem Galileischen Relativitatsprinzip konnen sich die Zeiten t und t′ in zweiInertialsystemen nur durch eine Konstante t0 unterscheiden:

t′ = t+ t0 (4.35)

Daher sind Zeitdifferenzen zwischen 2 Ereignissen in allen Inertialsystemen gleichgroß:

∆t′ = ∆t (4.36)


Zwei Ereignissen, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, ∆t = 0, sinddann auch in jedem anderen Inertialsystem gleichzeitig: ∆t′ = 0. Durch das Ein-steinsche Relativitatsprinzip wird Gleichzeitigkeit zu einem relativen Begriff, dervom Inertialsystem des Beobachters abhangt.

Zwei gleichzeitige Ereignisse (∆t = 0), die in S im Abstand ∆x voneinander statt-finden, treten in einem bewegten Inertialsystem S ′ im zeitlichen Abstand

∆t′ = γ(∆t− v

c2∆x) = −γ v

c2∆x (4.37)

voneinander auf. Mit∆x′ = γ(∆x− v∆t) = γ∆x (4.38)

erhalt man in S ′ die Zeitdifferenz

∆t′ = −vc

∆x′

c. (4.39)

Eine absolute Bedeutung hat nur das Abstandsquadrat ∆s2 = c2∆t2 −∆x2.

4.3.6 Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Abbildung 4.6: Ein Teilchen be-wege sich in dem InertialsystemS ′ mit der Geschwindigkeit v′.

Ein Teilchen bewege sich in mit der Geschwindigkeit v′ in einem bewegten Bezugs-system S ′ und mit der Geschwindigkeit v im Laborsystem S. S ′ bewege sich mit derGeschwindigkeit u in S. Dann gilt fur die Transformation der Geschwindigkeit

x′ = γ(x− ut)

t′ = γ(t− ux

c2

)v′ =

x′

t′=x− utt− ux

c2

=v − u1− uv

c2

(4.40)


In umgekehrter Richtung gilt

x = γ(x′ + ut′)

t = γ

(t′ +

ux′

c2

)v =

x

t=x′ + ut′

t′ + ux′

c2

=v′ + u

1 + uv′

c2

. (4.41)

Fur uv′ c2 erhalt man naherungsweise das klassische Additionstheorem v = u+v′.Fur u → c oder v′ → c gilt immer v → c, so das die Lichtgeschwindigkeit nichtuberschritten wird.

4.4 Minkowski-Raum

Die Relativitatstheorie zeigt, dass Raum und Zeit bei Lorentztransformationen nichtunabhangig voneinander sind. Es ist naheliegend den dreidimensionalen Raum zueiner vierdimensionalen Raumzeit zu erweitern. Die Geometrie der Raumzeit er-weist sich als die grundlegende Eigenschaft zur Beschreibung der Gravitation. Imallgemeinen handelt es sich hierbei um nichteuklidische Geometrien, die durch dieVerteilung der Massen im Universum bestimmt werden. Nach dem EinsteinschenAquivalenzprinzip kann man jedoch immer lokal Inertialsysteme einfuhren, in de-nen keine Gravitation auftritt. Die spezielle Geometrie der Raumzeit eines lokalenInertialsystems wird als Lorentz-Minkowski Geometrie bezeichnet.

4.4.1 Lorentz-Minkowski-Metrik

Die Geometrie eines Raumes wird durch seine Metrik bestimmt. Die Metrik ist eineMatrix gαβ, die das Abstandsquadrat infinitesimal benachbarter Punkte in beliebi-gen krummlinigen Koordinatensystemen definiert,

ds2 =3∑

α=0

3∑β=0

gαβdxαdxβ ≡ gαβdx

αdxβ. (4.42)

Hier und im folgenden gilt die Summenkonvention, dass uber paarweise auftretendeuntere und obere Indizes summiert wird.

Der Minkowski-Raum ist ein vierdimensionaler Raum, in dem wir ein kartesischesKoordinatensystem mit den Raum-Zeit-Koordinaten xα wahlen. Die griechischenIndizes durchlaufen die Werte 0, 1, 2, 3. Im Minkowski-Raum ist das Abstandsqua-drat

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2. (4.43)


Die zugehorige Metrik ηαβ besitzt die Form

ds2 = −ηαβdxαdxβ, ηαβ =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (4.44)

4.4.2 Lorentz-Poincare-Gruppe

Nachdem die Geometrie der Raumzeit eines Inertialsystems festgelegt wurde, lassensich Lorentztransformationen als Koordinatentransformationen zwischen Inertialsy-stemen einfuhren. Eine Lorentztransformation ist eine lineare Koordinatentransfor-mation,

x′α = Λαβx

β, (4.45)

die ein Inertialsystem S in ein neues Inertialsystem S ′ uberfuhrt. Dabei bleiben Ab-standsquadrate zwischen beliebigen Ereignispunkten invariant. Da die Matrix Λα

β

unabhangig von xα ist, gilt fur alle Koordinatendifferenzen und Koordinatendiffe-rentiale dasselbe Transformationsgesetz (4.45). Es genugt daher die Invarianz desAbstandsquadrates fur infinitesimal benachbarte Punkte zu betrachten,

ds′2 = ds2 , (4.46)

ds′2 = −ηαβdx′αdx′β = −ηαβΛαµΛ

βνdx

µdxν

ds2 = −ηµνdxµdxν .

Aus einem Vergleich dieser Ausdrucke fur beliebige dxµ folgt fur eine Lorentztrans-formation die Bedingung,

ηµν = ηαβΛαµΛ

βν , η = ΛT · η · Λ. (4.47)

Lorentztransformationen stellen eine Verallgemeinerung der orthogonalen Transfor-mationen (2.68) dar. Wie diese bilden sie eine Gruppe. Die Gruppe der orthogonalenTransformationen (Drehungen, Spiegelungen) ist eine Untergruppe der Lorentzgrup-pe. Die Abgeschlossenheit der Elemente der Gruppe zeigt man in der folgendenWeise. Seien Λ und Λ′ zwei Lorentztransformationen. Dann ist auch das ProduktΛ′′ = Λ′ · Λ eine Lorentztransformation:

Λ′′T · η · Λ = ΛT · Λ′T · η · Λ′ · Λ = ΛT · η · Λ = η . (4.48)


Lorentz-Boost

Lorentztransformationen von einem Inertialsystem S in ein bewegtes InertialsystemS’ mit parallelen Achsen werden als Boost (Vorschub) bezeichnet. In dem speziellenKoordinatensystem in dem die Geschwindigkeit von S’ entlang der x1-Achse gerichtetist, gilt

x′0 = γ(x0 − βx1)

x′1 = γ(x1 − βx0)

x′2 = x2

x′3 = x3 . (4.49)

Ersetzt man hier x1 durch die Parallelkomponente des Ortsvektors r zum Vektor β

x1 =β(β · r)

β2

und schreibtx′1 = x1 + (γ − 1)x1 − γβx0

so folgt

x′0 = γ(x0 − β · r)

r′ = r + (γ − 1)β(β · r)

β2− γβx0 . (4.50)

Diese vektorielle Form des Lorentz-Boosts ist unabhangig von den Raumkoordinatenund gilt daher auch bei beliebiger Orientierung von β relativ zu den Koordinaten-achsen. Die zugehorige Abbildungsmatrix ist

Λ(v) =

γ −γβ1 −γβ2 −γβ3

−γβ1

−γβ2 δij +βiβj(γ−1)

β2

−γβ3

. (4.51)

Poincare-Transformation

Eine Koordinatentransformation

x′α = Λαβx

β + aα, (4.52)

wird als Poincare-Transformation bezeichnet. Hierbei wird der Ursprung xα = 0von S auf einen beliebigen Bezugspunkt x′α = aα abgebildet. Aus der Invarianz desAbstandsquadrats gegenuber Poincare-Transformationen ergibt sich dieselbe Bedin-gung wie in (4.47). Man bezeichnet auch Transformationen mit aα = 0 als homogeneLorentztransformationen und Transformationen mit aα 6= 0 als inhomogene Lorentz-transformationen.


4.4.3 Vierer-Vektoren und Lorentz-Skalare

Im Minkowski-Raum konnen 4-komponentige Vektoren eingefuhrt werden. Zum Bei-spiel konnen zwei infinitesimal benachbarte Ereignisse durch einen Verschiebungs-vektor

dx = (dxα) =

dx0

dx1

dx2

dx3

(4.53)

verbunden werden. Die Ereignisse und der Verschiebungsvektor haben eine koordi-natenunabhangige Bedeutung. Wahlt man ein anderes Inertialsystem als Bezugssy-stem, so andern sich aber die Komponenten des Vektors,

dx′α = Λαβdx

β . (4.54)

Die definierende Eigenschaft eines 4er-Vektors ist das Transformationsverhalten beiLorentztransformationen. Ein 4er-Vektor ist eine 4-komponentige Große, die sich beieiner Lorentztransformation wie die Koordinatendifferentiale transformiert,

a = (aα), a′α = Λαβa

β . (4.55)

Ein Beispiel ist der Vektor der 4er-Geschwindigkeit,

u =dx

dτ. (4.56)

Hierbei ist dx der Verschiebungsvektor entlang der Weltlinie eines Teilchens unddτ das Eigenzeitintervall, das im Ruhesystem des Teilchens gemessen wird. Da dasEigenzeitintervall lorentzinvariant ist, gilt bei Lorentztransformation,

u′α =dx′α

dτ ′=

Λαβdx

β

dτ= Λα

βuβ. (4.57)

Die Komponenten der 4er-Geschwindigkeit konnen durch die Teilchengeschwindig-keit v = dr/dt und die Lichtgeschwindigkeit c = dx0/dt ausgedruckt werden,

u =dx

dτ= γ

dx

dt= γ

(cv

). (4.58)

Der 4er-Impuls wird definiert durch

p = mu, (4.59)


wobei m die Masse im Ruhesystem des Teilchen ist. Da m lorentzinvariant ist, istauch der 4er-Impuls ein 4er-Vektor.

Großen, die invariant sind gegenuber Lorentz-Transformationen heißen Lorentz-Skalare. Beispiele sind die Lichtgeschwindigkeit c, die Ruhemasse m, das Abstand-sinterval ds bzw. das Eigenzeitinterval dτ . Fur zwei 4er-Vektoren a und b definiertman das Skalarprodukt

a · b = ηαβaαbβ = −a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 . (4.60)

Das Skalarprodukt ist ein Lorentz-Skalar, denn es gilt wegen (4.47)

ηαβa′αb′β = ηαβΛ

αµΛ

βνa

µbν = ηµνaµbν . (4.61)

Nachfolgend einige Beispiele fur Skalarprodukte mit der 4er-Geschwindigkeit. Manberechnet sie am einfachsten im Ruhesystem mit u0 = c und u1 = u2 = u3 = 0:

u · u = −c2, u · p = −c2m, u · dx = −c2dτ . (4.62)

Kovariante und kontravariante Vektorkomponenten

Vektorkomponenten aα mit oberem Index werden als kontravariante Komponentenbezeichnet und von den kovarianten Vektorkomponenten mit unterem Index unter-schieden. Die kovarianten Komponenten definiert man durch,

aα = ηαβaβ =

−a0

a1

a2

a3

. (4.63)

Umgekehrt erhalt man aus den kovarianten Komponenten die kontravarianten durch

aα = ηαβaβ =

−a0

a1

a2

a3

, (4.64)

wobei (ηαβ) die zu (ηαβ) inverse Matrix bezeichnet. Fur die spezielle Form der Metrikist ηαβ = ηαβ, denn es gilt

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

·−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.


Damit kann das Skalarprodukt in der ublichen Weise als Produkt eines kovariantenZeilenvektors mit einem kontravarianten Spaltenvektor geschrieben werden

a · b = ηαβaαbβ = aαa

α = (a0, a1, a2, a3) ·

a0

a1

a2

a3

. (4.65)

4.5 Relativistische Mechanik

4.5.1 Kovarianz

Gleichungen zwischen Skalaren, Vektoren oder allgemeiner Tensoren in der 4-dimensionalen Raumzeit sind gegenuber Lorentz-Transformationen forminvariant.Man nennt solche Gleichungen auch kovariant. Eine kovariante Gleichung ist z.B.

aµ = bµ. (4.66)

In einem anderen Inertialsystem S ′ gilt dann entsprechend

aµ′= bµ

′(4.67)

fur die transformierten Komponenten

aµ′= Λµ

νaν , bµ

′= Λµ

νbν . (4.68)

Aus dem Einsteinschen Relativitatsprinzip ergibt sich die weitreichende Forderung,dass die Newtonsche Bewegungsgleichung revidiert und durch eine kovariante Be-wegungsgleichung ersetzt werden muß.

4.5.2 Kovariante Bewegungsgleichung

Verallgemeinert man die Newtonsche Bewegungsgleichung auf 4er-Vektoren dannlautet sie,

dp

dτ= F . (4.69)

Die Ableitung eines 4er-Impulses nach der Eigenzeit ist ein 4er-Vektor, der einer4er-Kraft F gleichzusetzen ist. Die Komponenten der Viererkraft kann man im mo-mentanen Ruhesystem S ′ des Teilchens bestimmen, da dort die nichtrelativistischeForm gultig sein muss. In S ′ erhalt man aus (4.69)

dmc

dt′= 0,

dp

dt′= K


wobei K die Newtonsche Kraft darstellt. Damit besitzt die 4er-Kraft im momen-tanten Ruhesystem die Komponenten

F ′0 = 0, F ′ = K

In S ′ bewegt sich das Laborsystem S mit der Geschwindigkeit−v. Die Komponentender 4er-Kraft im Laborsystem S erhalt man mit (4.50),

F 0 = γ(F ′0 + β · F ′) = γβ ·K (4.70)

F = F ′ + (γ − 1)β(β · F ′)

β2+ γβF ′0 = K + (γ − 1)

v(v ·K)

v2.

Zusammengefasst gilt: Bewegt sich ein Teilchen in einem Inertialsystem S momentanmit der Geschwindigkeit v so wirkt auf das Teilchen die momentante 4er-Kraft,

F =

γv ·Kc

K⊥ + γv(v ·K)

v2

. (4.71)

Hierbei bezeichnet K die Newtonsche Kraft im momentanten Ruhesystem S ′ undK⊥ ihre Komponente senkrecht zur Bewegungsrichtung.

Komponenten der Bewegungsgleichung

Die kovarinate Bewegungsgleichung besitzt 4-Komponenten, die man in einem Iner-tialsystem S auf folgende Weise angeben kann. Dabei ist zu beachten, dass das Eigen-zeitintervall dτ mit dem Koordinatenzeitintervall dt gemaß (4.33) zusammenhangt.

0-Komponente:

γd

dt(mγc) = γ

v · K

c,

dγmc2

dt= v · K. (4.72)

Komponente ‖v:

γ

[d

dt(mγv)

]‖

= γK‖,

[d

dtp

]‖

= K‖. (4.73)

Komponente ⊥ v:

γ

[d

dt(mγv)

]⊥

= K⊥,

[d

dtp

]⊥

=1

γK⊥. (4.74)


Man definiert die relativistische Energie E und den relativistischen Impuls p durch

E = γmc2, p = γmv. (4.75)

Die zeitliche Komponente der Bewegungsgleichung stellt den Energiesatz, die raum-lichen Komponenten den Impulssatz dar.

Lorentz-Kraft

Die Bewegungsgleichung einer Ladung q im elektrischen Feld E und Magnetfeld Berhalt man in folgender Weise. Das elektrische Feld im momentanen Ruhesystemsei E′. Die Kraft auf eine ruhende Ladung wird ausschließlich durch das elektrischeFeld bestimmt,

K = qE′. (4.76)

In der Elektrodynamik wird gezeigt, dass sich elektrische Felder beim Ubergang inein bewegtes Bezugssystem ebenfalls transformieren. Die Transformation fur denUbergang von S nach S ′ lautet

E ′‖ = E‖, E′

⊥ = γ(E⊥ +1

cv ×B) (4.77)

Damit erhalt man die Komponenten der 4er-Kraft

F = γ

1cqv ·E

q(E + 1cv ×B)

. (4.78)

Der Energie- und Impulssatz lautet in diesem Fall

d

dt(mγc2) = qE · v.

d

dt(mγv) = q

(E +

v

c×B

). (4.79)

Energie-Impulsbeziehung

Der relativistische Impuls p = mγv und die relativistische Energie E = mγc2 sindKomponenten des 4er-Impulses,

p =

(E

cp

). (4.80)


Die Energie im Ruhesystem, ER = mc2, heißt Ruheenergie, E − ER = m(γ − 1)c2

heißt kinetische Energie. Zwischen Energie und Impuls besteht die relativistischeEnergie-Impulsbeziehung:

p · p = −E2

c2+ p2 = −m2c2

E =√m2c4 + p2c2 →

mc2 + p2

2m; p m

pc ; p m(4.81)

Bei der Bewegung eines einzelnen Teilchens ist die Ruheenergie nur eine additiveKonstante. Ihre wichtige Rolle erkennt man jedoch bei Reaktionen die zur Um-wandlung von Teilchen fuhren. Als Beispiel betrachte man ein ruhendes Teilchenmit der Masse M , das in zwei Teilchen mit den Ruhemassen m1 und m2 zerfallt.Beim Zerfall ist die relativistische Energie erhalten,

E = Mc2 = m1c2 +m1c

2 +m1(γ1 − 1)c2 +m2(γ2 − 1)c2. (4.82)

Die Ruhemasse ist dagegen keine Erhaltungsgroße,

M = m1 +m2 + ∆m, ∆m = m1(γ1 − 1) +m2(γ2 − 1). (4.83)

Der Massendefekt ∆m ist auf die unterschiedlich starken Bindungsenergien der ein-zelnen Teilchen zuruckzufuhren (Kernspaltung).

Theoretische Physik I

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