Theorie der Darstellungen - cs.uni-potsdam.de · 3.2 Topologische Eigenschaften von Darstellungen...

Theorie der Darstellungen

und ihre Anwendungen

in DER

konstruktiven Analysis

Vom Fachbereich Mathematik und Informatik der

FernUniversität Hagen genehmigte Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktors der Naturwissenschaften

von

Diplom-Informatiker CHRISTOPH KREITZ

aus Düsseldorf

Erster Gutachter : Prof.Dr. K.Weihrauch

Zweiter Gutachter: Prof.Dr. B.Schinzel

Tag der mündlichen Prüfung: 14. Dezember 1984

Inhalt

Einleitung 1

Typ-2 Rekursionstheorie 9

Theorie der Darstellungen 23

3.1 Darstellungen - Stetigkeit, Berechenbarkeit undReduzierbarkeit 23

3.2 Topologische Eigenschaften von Darstellungen 31

3.3 Abschlußkonstruktionen auf Darstellungen 38

3.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften - Berechenbare Elemente 51

3.5 Beispiele für Darstellungen spezieller Räume 59

Darstellungen in der konstruktiven Analysis 71

4.1 Darstellungen der reellen Zahlen 71

4.2 Darstellungen offener und abgeschlossenerTeilmengen von IR 37

Kompaktheit in der konstruktiven Analysis 97

5.1 Kompakte Mengen - der Satz von Heine-Borel 97

5.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen 1o4

Schlußbetrachtungen 113

Anhang: Fußnoten 118

Literaturverzeichnis 122

1. Einleitung

Das Unbehagen an der herkömmlichen "idealistischen" Mathematik,

in der meist nichtkonstruktiv definierte Objekte (Mengen, Elemente,

Funktionen etc.) untersucht und Bev/eise nicht konstruktiv geführt

werden, führte zu Beginn dieses Jahrhunderts zu einer tiefgreifen

den Kritik an den Grundlagen der Mathematik. Sie wurde ausgelöst

durch L.E.J. Brouwer, der zugleich auch einer ihrer entschiedensten

Vertreter war. Die mathematische Fachwelt hat diese Kritik zwar

durchaus akzeptiert, die zahlreichen Versuche aber, die Mathematik

auf einen konstruktiven Teilbereich zu beschränken, fanden allgemein

nur wenig Anklang, da auch ihre Grundlagen nicht unproblematisch

sind. So entwickelte z.B. Brouwer selbst Grundlagen für eine

"intuitionistische" Mathematik ( [4]), die aber nicht zuletzt

wegen einiger recht unklarer Definitionen nur auf geringe Reso

nanz traf. Nichtsdestotrotz erhielt er einige interessante Ergeb

nisse bezüglich Konstruktivität in der Analysis und gab damit

Anstoß zur Entwicklung einer neuen "intuitionistischen" Logik,

in der z.B. das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gilt.

Später erschienene Arbeiten (Lorenzen [28], Bishop I2], Bridges

[3J ), die zeigten, daß ein Großteil der klassischen Analyse auch

konstruktiven Methoden zugänglich ist, sind etwas überzeugender

als diejenigen von Brouwer, aber auch gegen sie läßt sich als

Haupteinwand vorbringen, daß ausschließlich konstruktive Objekte

und Beweise betrachtet werden, und daß damit die Theorie keinerlei

Gegenbeispiele zuläßt.

1 -

Durch die Entwicklung der Rekursionstheorie in den dreißiger

Jahren wurde ein neuer Zugang zum Bereich des Konstruktivismus

eröffnet, der wiederum zu (mindestens) zwei verschiedenen Rich

tungen einer rekursiven Analysis führte. In beiden Ansätzen defi

niert man berechenbare Objekte (Zahlen, Mengen, Funktionen, ...)

und untersucht dann ohne Einschränkung der Beweismethoden, welche

Objekte berechenbar sind.

Die "russische Schule" der rekursiven Analysis {Ceitin [5],

Kushner [27], Aberth (1 ]) betrachtet dabei ausschließlich be

rechenbare reelle Zahlen (bezeichnet als "Elemente von HR ")c

und überträgt mittels einer "effektiven" Numerierung die Standard

theorie der Berechenbarkeit von den natürlichen Zahlen (IN ) auf

IRc. Hier treten jedoch einige seltsame Phänomene auf, die inner

halb der Theorie unerklärlich bleiben. So gibt es z.B. eine

stetige Funktion f: [0;1] - TR , die nicht gleichmäßig stetig

ist (s. Aberth [ 1] § 7.2). Diese paradoxe Erscheinung findet

erst außerhalb dieser Theorie eine Erklärung. In klassischer

Formulierung ist nämlich f eine Funktion von [0;1] n mc

nach lRc und läßt sich auch nicht zu einer stetigen Funktion

auf [0;1] fortsetzen.

Die "polnische Schule" der rekursiven Analysis (Grzegorczyk [111,

Klaua [18] etc.) dagegen definiert Berechenbarkeit auf der Grund

lage aller reellen Zahlen und vermeidet damit die obengenannten

Probleme. Im wesentlichen wird hier bereits das Darstellungs

konzept angewandt (, das im Prinzip auch schon durch Brouwers

- 2 -

[ 4] "Wahlfolgen" angedeutet wurde), d.h. eine reelle Zahl wird

beschrieben durch eine unendliche approximierende Folge rationaler

Zahlen (also endlicher Objekte), und Berechenbarkeit auf 3R wird

mit Hilfe berechenbarer Funktionale auf diesen Folgen erklärt.

Eine neue Bedeutung hat dieses Modell durch Arbeiten von Ker-I Ko

[2o] (1982) erhalten, in denen der Rechenaufwand (Komplexität) kon

kreter reeller Funktionen anhand von Orakel-Turing-Maschinen unter

sucht wird. Die "polnische Schule" verwendet das Darstellungskon

zept aber noch nicht konsequent genug, da sie zur Definition

berechenbarer Operatoren auf (berechenbaren) reellen Funktionen

(wie z.B. Integration) oder auf "effektiven" Teilmengen von TR

jeweils ein neues Berechenbarkeitsmodell aufstellt. Bei einer ge

naueren Betrachtung stellt man fest, daß diese Modelle immer wieder

von dem gleichen Prinzip ausgehen (z.B. von der Orakel-Turing-

Maschine) und somit ein eigentlich unnötiger Aufwand getrieben

wird. Sinnvoller erscheint es, dieses Prinzip zu einer Standard

theorie der Berechenbarkeit auf einer festgewählten Menge auszu

bauen und analog zum Konzept der Numerierungsberechenbarkeit diese

Theorie dann mit Hilfe von "Darstellungen" auf andere Mengen zu

übertragen.

In der vorliegenden Arbeit soll nun gezeigt werden, daß dieser

Gedanke sich eignet als Grundlage für eine einheitliche Theorie

der Berechenbarkeit auf kontinuumsmächtigen Mengen ("Typ 2

Theorie"), insbesondere also auch für die konstruktive Analysis.

Dabei legt die Beschreibung reeller Zahlen durch approximierende

Folgen nahe, als Grundmenge für die Standardtheorie einen mög

lichst einfachen Folgenraum, also z.B. die Menge der unendlichen

- 3 -

Folgen natürlicher Zahlen (bezeichnet durch das Symbol TF) , zu

verwenden. Gegenüber anderen Grundstrukturen wie der Menge P

aller Teilmengen von IN oder CPO's (s. § 3.5) hat dies den

Vorteil, daß ein Berechenbarkeitsmodell sehr einfach und anschau

lich ausfällt und zudem noch Komplexitätsbetrachtungen direkt

ermöglicht werden. Die Elemente von 1F sollen also als Namen

für Elemente einer abstrakten Menge M aufgefaßt werden, aus

denen man schrittweise immer mehr Informationen über das be

zeichnete Objekt erhält. Die surjektive (möglicherweise partielle)

Abbildung 6 von 3F auf M, welche die Zuordnung zwischen dem

Namen eines Objektes und dem Objekt selbst vornimmt, wird

"Darstellung der Menge M" genannt. Damit sind Darstellungen

die natürlichen Verallgemeinerungen von Numerierungen für den Fall

der kontinuumsmächtigen Mengen. Darstellungen wurden bereits von

Hauck ([13] ,[14]) untersucht. Er beschäftigte sich aber mehr mit

Effektivitätseigenschaften und der Struktur von Darstellungen

effektiver Räume, während uns in dieser Arbeit eher die von

Darstellungen induzierte Berechenbarkeitstheorie unabhängig

von Effektivitätseigenschaften des dargestellten Raumes interes

siert.

Schon früh hat sich in der rekursiven Analysis herausgestellt,

daß Stetigkeit eine wichtige Voraussetzung für Berechenbarkeit

ist, und eine genauere Untersuchung zeigt, daß viele bedeutende

Fragen eigentlich weniger mit Berechenbarkeit als mit Stetigkeit

zu tun haben. Nichtberechenbarkeit bedeutet meist auch Unstetig-

keit; und Stetigkeit hat oft sogar eine "leichte" Berechenbarkeit

- 4 -

zur Folge. Aus diesem Grunde werden wir Stetigkeit als allge

meinere und Berechenbarkeit als speziellere Form von Effektivi

tät auffassen und die Theorie des Konstruktivismus simultan

in zwei Versionen, einer topologischen und einer berechenbaren,entwickeln.

Die von Weihrauch, Dettki /Schuster ([38] ,[ 8 ]) im Jahre 1983

entwickelte Berechenbarkeitstheorie auf TF ist formal der

"klassischen" Rekursionstheorie auf IN sehr ähnlich, zerfällt

aber ebenfalls in eine topologische und eine berechenbare Version.

Diese Standardtheorie wird die Grundlage für unsere Darstellungstheorie bilden. Im Kapitel 2 werden die für uns wesentlichen

Teile davon kurz vorgestellt.

Die Theorie der Darstellungen, mit der sich das dritte Kapitelbeschäftigt, bildet den Schwerpunkt dieser Arbeit. In Abschnitt

3.1 definieren wir Stetigkeit und Berechenbarkeit relativ zu

Darstellungen und untersuchen diese Begriffe im Zusammenhangmit Reduzierbarkeit. Abschnitt 3.2 behandelt topologische Eigenschaften von Darstellungen, wobei besonders die Finaltopologie,d.h. die von einer Darstellung einer Menge M induzierte Topo-logie auf M, von Interesse ist. Wesentlich ist die Definition

einer Standard-Darstellung eines separablen To-Raumes (M,r).Es stellt sich heraus, daß die von diesen Darstellungen indu

zierte Stetigkeitstheorie (offene Mengen, stetige Funktionen

etc.) genau der üblichen topologischen Stetigkeitstheorie ent

spricht. Gleiches gilt auch für alle zu einer Standard-Darstel

lung äquivalenten Darstellungen, die wir deshalb als "zulässig"

- 5 -

(d.h. besonders geeignet) für die Erforschung von Konstruktivi-

tät ansehen, im dritten Abschnitt von Kapitel 3 stellen wir

einige Konstruktionen vor, die aus vorgegebenen Darstellungen

neue Darstellungen erzeugen, und untersuchen, welche Eigen

schaften sich dabei fortpflanzen. Wir erhalten auf diese Art

Darstellungen von (endlichen und unendlichen) Produkten, ste

tigen Funktionen, offenen und clopenen (d.h. zugleich offenen

und abgeschlossenen) Mengen und ein Standardsupremum und

-infimum einer endlichen Menge von Darstellungen. Für Dar

stellungen von Mengensystemen werden außerdem noch "duale"

Darstellungen betrachtet. Anhand des Begriffs "fastvollständig"

wollen wir im Abschnitt 3.4 zeigen, daß auch rein rekursions-

theoretische Eigenschaften von Darstellungen denen der Numerie

rung in der Rekursionstheorie entsprechen. Ein Rekursionssatz

und eine Variante des Satzes von Rice sind unmittelbare Folge

rungen der Fastvollständigkeit. Wir diskutieren außerdem kurz

berechenbare Elemente, ihre durch Darstellungen induzierten

Numerierungen und den Zusammenhang zwischen Darstellungs- und

Numerierungsberechenbarkeit. Abschnitt 3.5 betrachtet schließ

lich als einfache Anwendungsbeispiele die-Mengen P undCO

IP = {f: IN —- IN} , metrische Räume und CPO's und zeigt, daß

für geeignete zulässige Darstellungen die induzierte Berechen

barkeit auf diesen Räumen genau mit der von verschiedenen Autoren

explizit definierten Berechenbarkeit übereinstimmt.

Die nächsten zwei Kapitel befassen sich mit Anwendungen der

Darstellungstheorie auf die konstruktive Analysis. Im Abschnitt

- 6

4.1 untersuchen wir verschiedene gebräuchliche Darstellungen

der reellen Zahlen hinsichtlich ihrer Verwendbarkeit für die

konstruktive Theorie und zeigen, daß die wesentlichen Unter

schiede dieser Darstellungen bereits topologischer Natur sind

und damit nicht von irgendeinem Berechenbarkeitsmodell abhängen.

Abschnitt 4.2 behandelt Darstellungen von Teilmengen der reellen

Zahlen, insbesondere von offenen und abgeschlossenen Mengen.

Unterschiede zwischen diesen Darstellungen zeigen sich insbe

sondere an der verschiedenartigen aus einem Namen (in endlich

vielen Schritten) zugänglichen Informationen über die benannte

Menge. Auch Bishops [ 2] Konzept der "located sets" findet

hier sein natürliches Gegenstück.

Im Kapitel 5 untersuchen wir Sätze der klassischen Analysis

in bezug auf Effektivität. Wir beschränken uns dabei auf den

Themenkomplex Kompaktheit. Im ersten Abschnitt wird gezeigt,

daß zumindest zwei verschiedene Aspekte der Kompaktheit sinn

voll formuliert werden können. Zwei Versionen des Satzes von

Heine-Borel resultieren daraus, jeweils ausgedrückt durch eine

einfache Äquivalenz von Darstellungen. Der zweite Abschnitt

schließlich hat stetige Funktionen auf kompakten Mengen zum

Thema. Wir untersuchen Sätze über gleichmäßige Stetigkeit,

Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen, Suprema

von Funktionen auf kompakten Mengen und den Zwischenwertsatz

auf mögliche konstruktive Versionen. Im Falle negativer Ergeb

nisse ist immer eine einfache Unstetigkeit der Grund, so daß

der Verdacht naheliegt, daß für "natürliche" Probleme der

Analysis Stetigkeit und Berechenbarkeit zusammenfallen.

- 7 -

Kapitel 6 beinhaltet ein kurzes Resümee und diskutiert weitere

Anwendungsmöglichkeiten der Darstellungstheorie.

Einige aufwendige technische Details wurden der Übersichtlichkeit

wegen aus den Beweisen und dem normalen Text herausgenommen. Fuß

noten verweisen auf die entsprechenden Punkte im Anhang.

Als Referenz für die gewöhnliche Rekursionstheorie verwenden wir

das Buch von Rogers [31] , dem im wesentlichen auch unsere Notation

entspricht. Mit W( IN ) bezeichnen wir die Menge aller endlichen

Worte über IN. lg(w) sei die Länge des Wortes w. Ist

w = x0--xn G W(3N) mit xi eiN, so sei w(i) := x.. Mit (,> kenn

zeichnen wir Tupelfunktionen. So schreiben wir z.B. 1 n

anstatt n(n)(ij,..,in) (n<n): INn - IN ist die Cantor'sehe Bijek-tion) und für w = x ..x , v = y ..y e w(3N) sei <w,v) :=

xovo,-Xnyn* Es sei m:= !F u W(IN) die Menge der endlichen

und unendlichen Folgen in IN. Für a,b gib gelte a s b «* a ist

Präfix von b. Für p e if, i e in sei p[i] := p(o) ..p(i-1) e w( IN)

und umgekehrt sei [v] := {p e if |v <= p} für v e w( IN ) . Wir ver

wenden auf IB eine Topologie, die durch die Basis {0 Iv e W(IN)}

mit 0v:= {b eißlv = b] definiert ist. Die hierdurch auf IF in

duzierte Topologie xw (mit Basis {[v] |v € w( IN )} ) ist genau die

Baire'sche Topologie. Auf U betrachten wir die diskrete Topologie.

Partielle Funktionen werden mit f:A—-B, totale mit f:A-B bezeichnet.

Solange Eindeutigkeit besteht, werden wir bei Numerierungen und

Darstellungen auf die Klammern um das Argument verzichten oder dieses

in den Index setzen.

Teile der vorliegenden Arbeit wurden bereits in eigenen Berichten

veröffentlicht. Der Vollständigkeit halber sind diese im Literatur

verzeichnis unter den Nummern 23, 24, 25 und 4o aufgeführt.

- 8 -

2. Typ-2 Rekursionstheorie

Im Gegensatz zur Typ-1 Rekursionstheorie, d.h. zur Theorie der

rekursiven Funktionen von IN nach IN , gibt es für die Berechen

barkeit von Funktionalen höheren Typs bisher keinen einheitlichen

Formalismus, sondern nur eine Reihe von expliziten Definitionen

( siehe z.B. Egli & Constable [ 9] , Ershov [ 42] , Kleene [ 43] ,

Normann [44], Rogers [31], Scott l33] ), die im wesentlichen äqui

valent sind. In diesem Kapitel wollen wir den Ansatz von Weihrauch,

Dettki & Schuster ( [38] bzw. [8]) skizzieren, der formal der

gewöhnlichen Rekursionstheorie sehr ähnlich ist. Aus Gründen der

Übersichtlichkeit werden Beweise hier meist nur angedeutet oder ganz

ausgelassen. Eine ausführliche Darstellung dieser Typ-2 Theorie

findet man in den obengenannten Originalarbeiten.

Fundamental für die Typ-2 Rekursionstheorie ist die Definition

einer "effektiven" Darstellung 4» der Menge [F - m] aller steti

gen totalen Funktionen von IF nach B , welche für die Typ-2 Theorie

in etwa die gleiche Bedeutung besitzt wie die Standardnumerierung

cp der partiell-rekursiven Funktionen in der gewöhnlichen Rekursions-

theorie. Die entsprechenden Definitionen und Aussagen über Funktionen

T:3F—- IF bzw. E:F—* IN lassen sich hieraus unmittelbar ableiten.

Eine grundlegende Rolle spielt hierbei das folgende Lemma.

2.1 Lemma

(1) Es sei y:W(K) -W(IN) eine (bezüglich s) monotone Ab

bildung. Dann ist die Funktion y :TF -B definiert durch

Y(p) := sup{ y(w) |wsp } stetig.

- 9 -

(2) Zu jeder stetigen Funktion T:F -B gibt es eine monotone

Abbildung y:W(W) - W(IN) mit r = y .

Beweis

(1) Sei y(P) =q für p e 3F , q eB . Man rechnet leicht nach, daß für jede

Umgebung O von q eine Umgebung w von p existiert mit vCw] c o .v v

(2) Sei T:F - B stetig. Für weW(M) sei

M := {veW(W) | lg(v)£lg(w) und r[w]cO }. Da max(M ) für allew vw

weW(M) existiert, ist durch •y(w):=max(M ) eine (isotone) Funktionw

Y:W(EJ) - W(M) definiert und es gilt für alle peF, ve W(BJ) :

v e y(p) ° v - r(p) also y = r.

Ist also T:IF - IB stetig und y:W(IN) - W(W) monoton mit r = y,

so kann für alle p e IF der Wert r(p) beliebig genau durch Präfixe

Y(w) approximiert werden, wobei w€ W(IN) ein Anfangsstück von p

sein muß. Aufgrund von Lemma 2.1 ist die Funktion y**Y eine sur-

jektive Abbildung von der Menge {y:W(IN) - W(IN) | y monoton} auf

[IF - IB] . Diese Abbildung kann in eine Darstellung i]>:IF - [IF - IB]

(d.h. ili ist surjektiv) transformiert werden, indem y:W(IN) -W(IN)

durch p:= vM yv^gif (mit einer bijektiven Numerierung v von

W(IN) ) ausgedrückt und die so entstandene partielle Funktion von IF

nach [IF-IB] zu einer totalen Funktion fortgesetzt wird. Letzteres

läßt sich am einfachsten über die Charakterisierung der berechen

baren Funktionen durch Orakel-Turing-Maschinen erreichen. Hierzu sei

explizit eine bijektive Standardnumerierung v :IN -W(IN) definiertIN

durch: v (0):= e (leeres Wort), v (<x ,..,x ) +1):= x ..x .IN JN o n 0 n

- 10 -

Definition

(1) Eine Funktion Y:W(1N) -W(IN) heißt berechenbar genau dann,

wenn v^J yvw partiell-rekursiv ist.

(2) Eine stetige Funktion T:IF - B heißt berechenbar genau dann,

wenn r = y für ein berechenbares y:W(IN) -W(IN) gilt.

Berechenbare Funktionen von IF nach B können sehr einfach

auch über Orakel-Turing-Maschinen (kurz: OTM's) beschrieben werden.

Diese Charakterisierung erlaubt informale aber zuverlässige Beweise

und Spezifikationen berechenbarer Funktionen. Dabei wird als Orakel-

Turing-Maschine eine Turing-Maschine T mit den folgenden Besonder

heiten verstanden:

- T hat ein (einseitiges) unendliches Eingabeband, auf dem die

Werte p(0),p(1),p(2)... der Eingabe pe if stehen,

- T besitzt die üblichen Arbeitsbänder,

- T hat ein (einseitiges) unendliches Ausgabeband, auf das nach

und nach die Werte q(0),q(1),... der Ausgabe q e IB geschrieben

werden.

Die Maschine startet mit Eingabe pe if auf dem Eingabeband, leerem

Ausgabeband und Schreib- bzw. Lesekopf in Position 0. Die Maschine

kann unendlich lange rechnen. Das Ergebnis (bezeichnet mit f (p) )

ist die Folge von Zahlen (endlich oder unendlich), welche T während

der Berechnung auf das Ausgabeband schreibt.

2.2 Lemma

Eine Funktion r-.IF -B ist genau dann berechenbar, wenn eine

Orakel-Turing-Maschine T existiert mit r = f .

- 11 -

Beweis

Es sei T<*y.lF * IB berechenbar. Dann sei T eine OTM, welche bei Eingabe

von per in Schritten n = 0,1,2,... wie folgt arbeitet:

Stufe n: Lese w := p(0)..p(n) und bestimme y(w). Ist v das bisherige

Wort auf dem Ausgabeband, so schreibe xeW(JN) mit y(w) =vx

auf die Ausgabe.

Es ist unmittelbar einsichtig, daß T = £ ist.T

Sei nun umgekehrt r = f für eine OTM T. Für weW(W) sei y(v) der

Inhalt des Ausgabebandes nach lg(w) Schritten, wenn w am Anfang des Ein

gabebandes steht. (In lg(w) Schritten kann T keine Information von der

Eingabe lesen, die länger als w ist.) Dann ist Y:W(W) * W(W) wohl

definiert, berechenbar, monoton und es gilt y = T.

Für die Forraalisierung der Typ-2-Theorie spielen wie in der gewöhn

lichen Rekursionstheorie Tupelfunktionen eine wichtige Rolle.

Definition

(1) Tupelfunktionen n(k):lF - IF seien definiert durch:

n<»<e) == p.

n<k*"«v-w» =.jn""(p.-'p*),jl £alls i =2^l Pk+i(j) falls i = 2j+1.

(2) n(o>) :TFW - IF sei erklärt durch n(oo) (p ,p ,...)<i,j> := p (j)(3) Es sei n<IN>:INxiF -IF definiert durch:

n(IN) (i,p)(n) := (i falls n=0, p(n-1) sonst ).

Solange keine Verwechselung entsteht, werden alle diese Funktionen

durch das Symbol ( ,> ausgedrückt, d.h. es wird geschrieben

- 12 -

<P./«-/Pk> statt n(k)(p ,..p ) und <p.> ,(i,p> entsprechendfür n(m) und n<IN) . Die wichtigsten Eigenschaften der Tupelfunk

tionen sind in dem folgenden Lemma zusammengefaßt.

2.3 Lemma

(k)n* ist ein Homöomorphismus und für alle i (1 £i < k) ist

die Abbildung <P,»««#Pk> -P. berechenbar.

Entsprechendes gilt für n und n .

V TN(Dabei sei auf IF% IF und IN xIF die entsprechende Produkt-

topologie zugrundegelegt.)

Der Beweis ergibt sich durch simples Nachrechnen und Konstruktion

geeigneter OTM's.

(k \ (ool ( TN)Mit Hilfe von IT ' ( IT ', nv ' ) kann jede k-stellige Funktion

p.jp » M eindeutig durch eine einstellige Funktion, nämlich durch

(k) -1r* := r°(n ) , ausgedrückt werden. Aus diesem Grunde reicht es,

einstellige Funktionen zu betrachten.

Wir definieren nun die Darstellung 4»:IF— [ IF -*• B ] über eine

universelle Funktion. Dazu sei eine OTM T definiert wie folgt:

Es sei (p,q) die Eingabe von T . T arbeite in Stufen n = 0,1,2,...

Stufe n Es sei veW(U) bereits auf das Ausgabeband geschrieben. Falls

w := max {v p(i) | i £n und v_, (i) E q}, sonst setze w := v.

Schreibe u £W(3N) mit w = vu auf das Ausgabeband.

- 13 -

Definition (Standarddarstellung von [IF- B] )

Sei ro: IF - TB die von T berechnete Funktion.

Die Standard-Darstellung ip:IF -» [ TF ~ B ] ist definiert durch

tpp(q) := iMp) (q) := ro<p,q>.

Das nächste Lemma zeigt, daß zwischen ij> und der durch Lemma 2.1

definierten Abbildung y •» Y ein enger Zusammenhang besteht.

2.4 Lemma

(1) iJ;:IF - [IF - B] ist wohldefiniert und surjektiv .

(2) Für alle monotonen Abbildungen y:W(IN) - W(IN) gilt

Y = ib(v yv ) •VIVIN ,vin '

(3) r:IF - B ist berechenbar genau dann, wenn r = iMp) für

ein rekursives pe IF ist.

(1),(2) Man macht sich leicht klar, daß aufgrund der Bedingung "(Vi,jsn).."

in jeder Stufe n die Werte u und v existieren. Daher ist ty wohldefi

niert. Sei nun Y:H<n) * w(w) monoton. Dann ist für p := v_1vv in jeder

Stufe die Bedingung "(Vi,jS n).." erfüllt und deshalb gilt:

* (q) = sup {vmP(i) |(3n) isn und v^dlsq) = Y(q)- Hieraus folgt (2)

und die Surjektivität von ty.

(3) Für ein rekursives p £F gibt es immer eine OTM T mit f (q) = <p,q>

für alle q. Die Komposition von T mit T ergibt dann eine OTM für i|i(p),

d.h. iji(p) ist berechenbar. Die Umkehrung folgt aus (2) und der Definition

berechenbarer Wortfunktionen.

- 14 -

Per Definition ist die universelle Funktion r von ijj berechenbar,

Diese Aussage bildet ein Äquivalent zum klassischen utm-Theorem für

die Standardnumerierung <p der partiell-rekursiven Funktionen. Auch

zur zweiten fundamentalen Effektivitätseigenschaft von cp - dem smn-

Theorem - gibt es ein entsprechendes Gegenstück bei iK Dies sei

hier als "ubersetzungslemma" formuliert.

2.5 Satz

(1) "utm-Theorem": Es gibt eine berechenbare Funktion r :IF - B

mit T^P/q) = ti» (q) für alle p,qGTF.

(2) "Ubersetzungslemma": Zu jedem berechenbaren r:IF -B gibt

es ein berechenbares E:IF - IB mit ränge E c TF und

»Jjj.. .(q) = T(p,q> für alle p,qeiF.

Beweis

(1) Folgt unmittelbar aus Lemma 2.2.

(2) Da für jedes berechenbare T:F - B ein rekursives re 3F mit V = *r

existiert, gilt r<p,q> = r (r,<p,q>>. Man konstruiert nun leicht E:F - B

mit <E(p),q> = <r,<p,q>> für alle p.qeF. E erfüllt (2).

Zwei andere Versionen des Ubersetzungslemma's, das uniforme smn-Theorem

und ein stetiges Ubersetzungslemma sind eine unmittelbare Konsequenz

von Satz 2.5.

- 15 -

2.6 Korollar

(1) Es gibt ein berechenbares E:IF - IB mit ränge ECjp, so daß

'£<P,q>(r) = V(2) Zu jedem stetigen T:IF -B gibt es ein stetiges A:IF -B

mit ränge A c IF und \\i (q) = T(p,q> für alle p,qeiF,

Utm- und smn-Theorem haben für die Darstellung ip die gleiche Bedeu

tung wie die entsprechenden Typ-1-Versionen für die Numerierung cp

der partiell-rekursiven Funktionen, d.h. durch diese beiden Theoreme

sind alle wesentlichen Eigenschaften von \\> festgelegt. Mit Hilfe

des Reduzierbarkeitsbegriffes für Darstellungen, der im nächsten

Kapitel genauer betrachtet wird, läßt sich diese Aussage als ein

Gegenstück zum Äquivalenzsatz von Rogers für effektive Gödelnumerier-

ungen formulieren:

Für je zwei Darstellungen 6 und 6' gelte

6 Sc 6' : (VpGdomö) öp = 6T(p) für ein berechenbares T:F-B,

6 =„ 6' : 6 < 6' und 6' £ 6.c c c

2.7 Satz (Äquivalenzsatz)

Eine Darstellung 6:1F-[F -B] erfüllt utm- und smn-Theorem

genau dann, wenn 6 = ip gilt.

Der Beweis verläuft formal analog zum entsprechenden Beweis für <p.

Bis auf berechenbare Äquivalenz ist i\> also die einzige "natürliche"

und "effektive" Darstellung der stetigen Funktionen von IF nach B.

- 16 -

Auf der Grundlage von utm- und smn-Theorem kann eine reichhaltige

Theorie der Stetigkeit und Berechenbarkeit auf [F - B ] entwickelt

werden, welche formal der gewöhnlichen Rekursionstheorie mit der

Standardnumerierung <p gleichkommt. Für eine Typ-2 Berechenbarkeits-

theorie interessanter als ip sind jedoch zwei hieraus abgeleitete

Darstellungen gewisser partieller Funktionen von IF nach IF bzw.

von IF nach IN.

Definition

(1) Eine Menge [F -» »1 ] c{r:F—«•IN} und eine surjektive Funktion

X:F - [ F -» H ] seien definiert durch

div falls \\i (q) = e e B ,*

P -IX (q) := X(P)(q) := { pdie erste Zahl der Folge $ (q) sonst.

P

(2) Die Menge [F-F] C{r:F—*IF} und eine Darstellung

<p:F - [ TF - F] seien definiert durch

(ilMq) falls i|j (q) e TF ,P P

div sonst

Diese Definition erweitert die bekannten Konzepte berechenbarer

Funktionale und Operatoren zu einem uniformen topologischen Konzept.

Die x-berechenbaren Elemente (d.h. die Funktionale T:F-— IN mit

r = xp für ein rekursives p ) sind genau die rekursiven Funktionale

auf F wie z.B. von Rogers ([31] §15.3) definiert und die totalen

(p-berechenbaren Operatoren sind genau die Einschränkungen der

"general recursive Operators" (Rogers [31] §9.8) auf F. Berechen

barkeit andersartiger Operatoren ( auf anderen Mengen) kann hieraus

mit Hilfe geeigneter Darstellungen abgeleitet werden. Dies wird in

den folgenden Kapiteln noch ausführlich untersucht werden,

c ist das leere Wort.

- 17 -

Genau wie die partiell-rekursiven Funktionen besitzen die Funktionen

aus [F -F] und |F - IN ] natürliche Definitionsbereiche. Mit

Hilfe des Darstellungsbegriffes läßt dies sich sogar effektiv for

mulieren.

Definition

Darstellungen w der offenen Teilmengen von F und E der

Gfi-Teilmengen von F seien definiert durch:

Up := a)(p) := udyi)] | i+1e ränge p } ,

Ep := £(p) := 0U{ [v^ <i,j>] I<i,j> +1e rängep} für alle p£ F,

2.8 Satz

Die Darstellungen co' und E' seien erklärt durch

0)'(p) := domx„ und E'(p) := domip für p£F.P P

Es gilt

(1) cj = w' und (2) £ h £•.

Die Aussage (1) entspricht im wesentlichen der Charakterisierung der

rekursiv-aufzählbaren Mengen als Definitionsbereiche der partiell-

rekursiven Funktionen einerseits und als Bildbereiche der total-

rekursiven Funktionen andererseits. Der Beweis der beiden Aussagen

ist eher technischer Natur, verläuft aber im Prinzip wie der Beweis

der eben erwähnten Gleichheit.

Aus Satz 2.8 resultiert auch die nun folgende Charakterisierung

von [F - F ] und [F - IN 1. Außerdem zeigt sich, daß im wesentlichen

alle stetigen Funktionen von F nach F (bzw. von F nach IN )

durch (p (bzw. x ) dargestellt werden.

- 18 -

2.9 Satz

(1)[F~IN] = {E: F—-N | domE ist offen t z stetig }.

(2) Für jedes stetige E:F—»M gibt es eine Fortsetzung E*e[F-IN].

(3) [F -• F] = {A :TF—-TF I domA ist eine G.-Menge , a stetig }

(4) Für jedes stetige A:F—-F gibt es eine Fortsetzung A'G[F-"-F].

Einen Beweis hierzu findet man z.B. bei Weihrauch [38].

Da die Darstellungen ip:F — [ F - F ] und x:3F — [ F -» IN] direkt aus

der Darstellung ip von [F-B] abgeleitet sind, besitzen sie auch

die gleichen grundlegenden Eigenschaften.

2.10 Satz

Die Darstellungen ip und x erfüllen das utm-Theorem, das Uber

setzungslemma, das smn-Theorem und den Äquivalenzsatz.

Per Definition gibt es Funktionen H und H', sodaß x = ü°ty und ip = H'ot|> .P P p P

Unter Verwendung dieser Funktionen kann Satz 2.5 in eine entsprechende Version

für x u"«3 <P umgewandelt werden. Die übrigen Behauptungen folgen unmittelbar.

Eine Funktion re[F -F] (bzw. [ F - IN ] ) heißt berechenbar, wenn sie

bezüglich (p (bzw. x ) einen berechenbaren Namen besitzt, d.h. wenn

T = (p (bzw. T = x ) für ein rekursives p gilt. Es ist leicht zuP P

sehen, daß für ein berechenbares re[F -F] und ein rekursives qedomr

auch das Resultat r(q) wieder rekursiv ist. Dies gilt sogar effektiv

- 19 -

bezüglich der Numerierung (p ( welche auch als partielle-Numerierung

der total-rekursiven Funktionen aufgefaßt werden kann).

2.11 Lemma

Es seien T:F *F und A:F—-IN berechenbar. Dann gilt

(1) Es gibt ein total-rekursives g mit Ttp. = (p falls <p tota

(2) die Restriktion von A auf die rekursiven Funktionen ist

( <p, id_, )-berechenbar.JN

Mit Hilfe des Modells der (Orakel-) Turing-Maschinen für berechenbare Opera

toren und rekursive Funktionen macht man sich leicht klar, daß die Abbildungen

<i»j> •* ( ftp,)(3) und i •» A(p. partiell-rekursiv sind. Mit dem smn-Theorem

der gewöhnlichen Rekursionstheorie folgt dann die Behauptung.

Man beachte, daß die Restriktion r" von r auf die rekursiven Funk

tionen i.A. nicht im strengen Sinne (tp,cp)-berechenbar ist. Dies gilt

nur, wenn r total ist.

Aus dem utm- und smn-Theorem lassen sich noch viele weitere

Aussagen ableiten, die formal Sätzen der gewöhnlichen Rekursionstheorie

entsprechen. So ist z.B. die Komposition auf [F ~F] effektiv

(d.h. ip °vp = ip_, s gilt für ein berechnbares E:F -F), einp q £'p»q'

Projektionssatz verbindet offene und "clopene" Mengen (entsprechend

den rekursiv-aufzählbaren bzw. rekursiven Mengen), ein Halteproblem

und ein Selbstanwendbarkeitsproblem existiert für x usw. (siehe

Weihrauch [38]). Im folgenden spielen diese allerdings nur eine unter

geordnete Rolle und werden daher nicht weiter diskutiert.

- 20 -

Für die Untersuchung rekursionstheoretischer Eigenschaften von Dar

stellungen ist dagegen das Konzept der effektiven Untrennbarkeit von

Bedeutung. Es läßt sich ebenfalls direkt aus der klassischen Rekur

sionstheorie übertragen.

Definition

Zwei Mengen A,BCF heißen t-(c-) effektiv untrennbar genau dann,

wenn eine stetige (berechenbare) Funktion T:F -TF existiert, so daß

für alle p,q£F gilt:

( ACa und BCu und (o n&i =0) =» r<p,q> e F \ (oo uu ).

Insbesondere sind effektiv untrennbare Mengen auch nicht clopen

(d.h. zugleich abgeschlossen und offen - englisch: closed & open).

2.12 Satz

(1) Die Mengen {p lxo(p) = 0} und {p Ix (p) =1} sinde p

c-effektiv untrennbar .

(2) Sind A und B t-(c-) effektiv untrennbar und gilt

ACA', BCB', so sind auch A' und B' t-(c-) effektiv

untrennbar .

(3) Ist T:F-»F stetig (berechenbar) und A und B

t-(c-) effektiv untrennbar, so gilt dies auch für r(A)

und T(B).

Auch hier entspricht der Beweis dem des entsprechenden Typ-1 Satzes.

- 21

Theorie der Darstellungen

3.1 Darstellungen - Stetigkeit, Berechenbarkeit und Reduzierbarkeit

Für die Menge F der Folgen natürlicher Zahlen ist im vorigen

Kapitel eine Theorie der Berechenbarkeit vorgestellt worden. Wir

v/ollen nun dazu übergehen, diese Theorie auch auf andere (höchstens

kontinuumsmächtige) Mengen zu übertragen. Dazu werden wir jetzt die

Elemente von F als Namen für "abstrakte" Objekte verwenden, d.h.

diese Objekte werden durch Folgen aus IF dargestellt.

Definition

Sei M eine höchstens kontinuumsmächtige Menge.

Eine Darstellung von M ist eine (möglicherweise partielle)

surjektive Abbildung 6:F —-M.

Wir sagen oft, daß pelF ein ö-Name für xSM ist, wenn

6p = 6(p) = x gilt. Man beachte, daß jedes Element x von M

mehr als nur einen Namen haben kann und daß nicht jedes p e TF ein

gültiger Name sein muß.

Wir geben nun einige Beispiele, die für das Folgende von Bedeutung

sind.

(1) Definiere IM: F-P durch IM(p) := IM := {i6M li+1 e ränge p}u P

M ist die AufZählungsdarstellung von P .

- 23 -

(2) Im Kapitel 2 haben wir die Homöomorphismen n*k':Fk- F (k>l),

n^-F^-F und D(M):MxF*F vorgestellt. Die Umkehrungen

17 := (n(k,)_1, n := <n(a,))-1 und n := (n**")"1 sind dieK 3N

Standard-Darstellungen von Fk , ffM und IN * F .

(3) Die im vorigen Kapitel definierten Abbildungen ip:F- [F - B ],

{p:IF-[F-F] und X:F-[IF-INl sov/ie w, co', £ und £•

sind Darstellungen.

Weitere Beispiele werden im Abschnitt 3.5 angegeben.

Hauptanliegen einer Berechenbarkeitstheorie ist es, die Effektivität

von Funktionen, Prädikaten, Mengen etc. und auch von mathematischen

Sätzen zu untersuchen. Um diese Begriffe formal zu präzisieren,

führen wir Korrespondenzen (d.h. mehrdeutige Funktionen) ein und

definieren hierfür Effektivität explizit. Die anderen Effektivitäts

begriffe ergeben sich hieraus dann direkt durch Wahl geeigneter

Korrespondenzen.

Eine Korrespondenz ist ein Tripel f = (M,M* ,P) mit PCMxM'.

Es sei definiert: dorn f := [ x g M I(3yG m' ) (x,y) ep),

rängef := {xGm' I(3xGh) (x,y) e P).

Definition ( Effektivität von Korrespondenzen )

Es seien 5, 6' Darstellungen von M bzw. M* und f = (M,M',P)

eine Korrespondenz, f heißt schwach (6,6')-t-effektiv (-c-effektiv)

genau dann, wenn es ein (berechenbares) r g [TF -IF] gibt mit

(öp , 6T(p) )GP für alle p G ö_1 dorn f .

Ist zusätzlich r(p) für alle pG ö_1(m \dom f } nicht definiert,

so heißt f (6,5')-t-effektiv (bzw. -c-effektiv).

- 24 -

Für totale Korrespondenzen (dornf = M) fallen die beiden t-(c-)Effek

tivitätsbegriffe zusammen.

Analog definiert man (6,v)-Effektivität von Korrespondenzen

f = (M,S,P) wobei v eine Numerierung der (abzählbaren) Menge S

ist. Hierzu ersetze man in der obigen Definition 6' durch v und

[TF - F ] durch [ TF - IN ]. Zum besseren Verständnis werden wir oft

"stetig" sagen anstelle von "t-effektiv" und "berechenbar" anstatt

"c-effektiv".

Ist eine Korrespondenz f= (M,M*,P) rechtseindeutig (d.h. es gilt

((x,y) gp und (x,z) g p) => y = z ), so heißt sie partielle Funktion

und wird mit " f:M—-M' " bezeichnet. Die Definition der Effektivität

ist daher unmittelbar auf Funktionen anwendbar. In diesem Spezialfall

kann sie auch durch das folgende Diagramm veranschaulicht werden.

Die Funktion ist (schwach) (6 ,6')-t-(c-)effektiv, wenn das Diagramm

für ein stetiges (bzw. berechenbares) re[iF-»F] kommutiert, d.h.

wenn f6 p = 6T(p) für alle pedomf gilt. Die zusätzliche Be

dingung an ("stark"-) effektive Korrespondenzen besagt, daß r den

Definitionsbereich von f zu respektieren hat und daß effektive

Korrespondenzen damit auch natürliche Definitionsbereiche besitzen.

Auf dieser Tatsache basiert auch die folgende Definition.

- 25 -

Definition

Es sei 6 eine Darstellung von M. Für ACm setze e := (M,TN, A*IN)

und cA:= (M,IN , {(x,0) |x£A) u {(y,1) |y£M\A] ).

(1) A heißt 6-(c-)offen gdw. eA (6,id^ )-t-(c-)effektiv ist.

(2) A heißt 6-(c-)clopen gdw. c (6,idm, ) t-(c-)effektiv ist.A JN

Man macht sich leicht klar, daß eine Menge A genau dann 6-offen

ist, wenn A = dornf für eine t6'10^ )-stetige Funktion f:M—- IN

gilt, und daß A genau dann 6-clopen ist, wenn gilt A = g-1[0}

für eine (6,id^ )-stetige totale Funktion g:M-JJ. Aus diesem

Grunde sagen wir in Anlehnung an die gewöhnliche Rekursionstheorie

meist "beweisbar" bzw. "entscheidbar" anstelle von "c-offen" bzw.

"c-clopen".

Auch die folgende Charakterisierung darstellungsoffener Mengen er

weist sich häufig als sehr nützlich.

3.1 Lemma

Es sei 6 eine Darstellung von M und AC m.

A ist 6-offen genau dann, wenn 6_1A offen in domo ist.

(Entsprechendes gilt für "clopen", "beweisbar" und "entscheidbar")

Bewei s

Aus den vorausgegangen Definitionen ergibt sich:

A 6-offen

o OreO-H]) (6p ,r(p) UAxM für pc6_1dome =6_1AA

und T(p) ist nicht definiert für pe 5_1(M\A)

« (31" iO -W ]) domr n6_1M = 6_1A

** 6 A offen in dorn6 = 6 M.

- 26 -

Wir wollen als erstes das Verhalten effektiver Korrespondenzen unter

Komposition untersuchen. Dabei ist die Komposition zweier Korrespon

denzen f = (M.,M ,P) und g = (M2,M.,Q) erklärt durch

g°f := (M1,M3,Q»P) mit Q«P = {(x^zJGM^M^I(3yGM2) (x,y)GP a (y,z)GQ}

3.2 Satz (Komposition von Korrespondenzen)

Es seien 6. Darstellungen von M (i=1,2,3).

f = (M ,M ,P) sei rechtseindeutig und (6 ,6 )-berechenbar,

g = (M2,M3,Q) sei (62,63)-berechenbar.

Dann ist auch gof (6 ,6.)-berechenbar.

Beweis

Es seien r,Ae[3F-3F] berechenbare Funktionen, welche f bzw. g berech

nen. Definiere E:= r«A. Da f rechtseindeutig ist, gilt für pcö dorn gof

(Ö.P, 6 A(p))cP und 6 A(p)c domg, also (6 p,6 E(p))e Q°P.

Für pe 6 (M \ dorn gof ) gilt dagegen

pe 6~ (M \ domf ) oder (3y c M ) ( (6 p,y) e P A y { domg )

bzw. p i dorn A oder A(p) (domT , d.h. p^domE .

Es folgt g°f ist (6 ,6 )-berechenbar mittels E.

Entsprechendes gilt wiederum für die anderen Fälle ("stetig", "schwach

berechenbar" und "schwach stetig"). Damit ist insbesondere die Kompo

sition effektiver Funktionen wieder effektiv. Für beliebige Korrespon

denzen gilt dies jedoch i.A. nicht, da dann für pGdomg-f und

(6 p,6 A(p)) GP nicht garantiert werden kann, daß 6 A(p) in domg

liegt (wobei A die Korrespondenz f berechne).

27 -

Ein ähnlicher Satz gilt auch für die Komposition einer schwach-

(ö1,ö2)-effektiven Korrespondenz f und einer schwach-(ö ,v)-

effektiven Korrespondenz g. Wegen der unterschiedlichen Defini

tionsbereiche der Funktionen aus [F - F] (Gfi-Mengen) und [F - IN ]

(offene Mengen) ist aber für den Fall der "starken" Effektivität

eine entsprechende Aussage nicht mehr richtig.

Aufgrund von Satz 3.2 besteht auch die Möglichkeit, eine Dar

stellung zu modifizieren, ohne das dies Einfluß auf die induzierte

Effektivitätstheorie hat. Diese Veränderungsmöglichkeiten v/erden

durch die bereits im vorigen Kapitel angesprochene Reduzierbarkeit

und Äquivalenz von Darstellungen ausgedrückt.

Definition ( Reduzierbarkeit von Darstellungen )

Für zwei Darstellungen 6, 6' von M bzw. M' sei definiert

5 < 6' :<> MCM' und id„ „, ist (6,6')-t-effektiv,£ M, M '

6 =fc ö' :<> 6 <fc 6' und 6' £fc 6.

Berechenbare (c-)Reduzierbarkeit "< " und Äquivalenz "= " seic ^ c

analog definiert.

Wir werden in Anlehnung an die Theorie der Numerierung an Stelle von

" idM M, ist (6,6')-effektiv " häufig auch benutzen " Es gibt ein

re[JF-IF] mit 6p = 6T(p) für alle pedomö " ( kurz "65 6'

mittels r" ). Die Äquivalenz dieser Charakterisierungen ist un

mittelbar einzusehen.

- 28 -

3.3 Lemma

Seien 6, 6' Darstellungen von M. Dann ist äquivalent

(1) 6 <c 6' ,

(2) für jede Darstellung 6 :F—-M und jedes f:M—-M gilt

f (schwach) (6 ,6 )-c-effektiv

=» f (schwach) (6 ,6')-C7effektiv,

(3) für jede Darstellung 6,:IF—-M und jedes g:M—-M gilt

g (schwach) (6',6 )-c-effektiv

=* g (schwach) (6 ,6 )-c-effektiv.

(1)=»(2), (1) •» (3) folgt direkt aus Satz 3.2 ,

(2)=»(1): Wähle <5,: =6 und f := id .1 M

id .M

Lemma 3.3 gilt für topologische Reduzierbarkeit entsprechend.

Eine unmittelbare Konsequenz ist, daß zwei Darstellungen genau dann

c- (bzw. t-)äquivalent sind, wenn sie die gleiche Berechenbarkeits-

(bzw. Stetigkeits-) Theorie auf M induzieren. Insbesondere

definieren äquivalente Darstellungen die gleichen berechenbaren

(bzw. stetigen) Funktionen und die gleichen beweisbaren und entscheid

baren (bzw. offenen und clopenen) Mengen.

- 29 -

3.4 Korollar

Es seien 6± (6|) Darstellungen von M und es gelte

6i Sc 6i U=1'2). Dann gilt

(1) eine Funktion f^—M2 ist (schwach) ^,62)-c-effektiv,

g.d.w. sie (schwach) (6J»ö^)-c-effektiv ist,

(2) eine Menge ACM1 ist 6 -c-offen (c-clopen), g.d.w. sie

6j-c-offen (bzw. c-clopen) ist.

Auch hier gilt wieder eine entsprechende topologische Variante. Wir

werden hierauf bei der Untersuchung der induzierten Darstellungen

der darstellungsoffenen bzw. -clopenen Mengen und der darstellungs

stetigen Funktionen im Abschnitt 3.3 noch einmal zurückkommen.

- 30 -

3.2 Topologische Eigenschaften von Darstellungen

In den verschiedenen Ansätzen für eine Effektivitätstheorie

auf kontinuumsmächtigen Mengen - z.B. auf reellen Zahlen (Grzegor-

czyk [11] ), auf CPO's (Scott [33] , Egli & Constable [9 ], Weihrauch

& Deil [39] ), auf den Lp-Räumen (Pour-El & Richards [30] ) und auf F.-

zeigt sich immer wieder, daß topologische Stetigkeit eine bedeutende

Rolle spielt. Aufgrund der Definitionen des vorigen Abschnitts indu

ziert jede Darstellung einer Menge M einen Stetigkeitsbegriff auf M.

Der Zusammenhang zwischen diesen Begriffen soll nun in diesem Ab

schnitt näher untersucht werden.

Dazu sei 6:TP—M eine Darstellung. Da auf F bereits eine Topo

logie erklärt ist, definiert 6 auf M eine Topologie t& durch

xex6 J*» 6" X = An dorn 6 für ein offenes ACif.

Tfi wird häufig auch als Finaltopologie von 6 bezeichnet. Nach

Lemma 3.1 besteht Tfi genau aus den 6-offenen Teilmengen von M.

Die folgenden Beispiele beschreiben die Finaltopologien einiger

Darstellungen (vgl. Abschnitt 3.1 ).

(1) Sei M die AufZählungsdarstellung von P . Für eine endliche

Menge e c in sei 0 := {xgp| ecx}.

Die Menge {0e Iec in , e endlich} bildet eine Basis von PCd

und IM ist bezüglich Tm eine offene Abbildung.

(2) Die Finaltopologien der Darstellungen IIk, n^ und n sind

genau die entsprechenden Produkttopologien von F und INk DJ

auf TF , IF und in *F . Auch diese Darstellungen sind offen.

- 31 -

(1) Man rechnet leicht nach, daß die Menge {0 | ecw, e endlich} Basise

einer Topologie t auf P ist. Für endliches ecw gilt außerdem

3M~ (0e) = U{[w] |(Viee)(3j) w(j) =i+l}eT und umgekehrt gilt für

W£W(W): M(Cw]) = 0 mit e(w):= {i£l I(3j) w(j)=i+l} . Also ist

3M stetig und offen bezüglich t und insbesondere gilt x = x .TU

(2) Folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß n , II und II Umkehr-k » M

abbildungen von Homöomorphismen sind.

Das nächste Lemma beschreibt das Verhalten von Finaltopologien unter

topologischer Reduktion.

3.5 Lemma

Es seien 6, 6' Darstellungen von M bzw. M' mit Final

topologien t und t'. Dann gilt

6 £ 6' •» T'i :={XnM | XGT'} C T.u 'm

Beweis

Es gelte 6 S 6' mittels Tc [F * 3F] . Dann gilt für Xc M*

xex' °» 6'" X = An dorn6' für ein offenes Acf

«» 6~ (xnM) o r~ 6,-1xndom« ist offen in dorn 6

•» X nM e x.

- 32 -

Aus Lemma 3.5 folgt insbesondere, daß äquivalente Darstellungen

die gleiche Finaltopologie haben. Es sei jedoch bereits an dieser

Stelle bemerkt, daß die Umkehrung hiervon im Allgemeinen nicht gilt.

Beispiele hierfür sind die Dezimaldarstellung und die "Standard"-

Darstellung der reellen Zahlen, welche im vierten Kapitel vorge

stellt werden.

Wir haben bisher zu vorgegebenen Darstellungen die Finaltopologien

beschrieben. Häufig liegt aber genau die umgekehrte Problemstellung

vor, d.h. gegeben ist ein topologischer Raum (M,x) und gesucht

ist eine geeignete Darstellung 6, welche diesen respektiert (d.h.

t6 = x). Im Falle separabler TQ-Räume können wir hierfür eine

Standardlösung angeben. ( Ein topologischer Raum ist separabel

g.d.w. er eine abzählbare Basis besitzt; er ist ein T -Raum q.d.w.o 3

je zwei Elemente durch offene Mengen voneinander unterschieden

werden können.)

Definition ( Standard-Darstellung eines separablen T -Raumeso

)

Es sei (M,x) ein separabler TQ-Raum und U Numerierung einer

Basis B von x. Für xGM sei ey (x) := {ieIN |xg u }.

Die Darstellung ö^F M sei erklärt durch

domöy := {p I(3xGM) IM = e^x)} und

6up := e"1 TM falls pGdomö .6 heißt Standard-Darstellung von (M,x).

Da t die T -Eigenschaft besitzt, ist e„:M-P injektiv. Daherw Um

ist 6 wohldefiniert.

- 33 -

Eine Standard-Darstellung besitzt einige bemerkenswerte Eigenschaften.

3.6 Satz

Es sei &u eine Standard-Darstellung von (M,x). Dann gilt

(1) 60 ist eine stetige und offene Abbildung bezüglich x.

Insbesondere ist x die Finaltopologie von 6 ,

(2) für jeden topologischen Raum (M',x') und jede

Abbildung H:M M« gilt: H»6u stetig => H stetig,

(3) für jede stetige Funktion C:F—M gilt C £ 6•3 ^ t U'

(Man beachte, daß £ eine Darstellung von ränge £ cm ist.)

Beweis

(1) Mit den Bezeichnungen aus Beispiel (1) folgt für jede endliche Menge

ec]N: ey (0e) = {^liee} und umgekehrt ^V =°{i} für alle i-EU:M~Pu ist also steti9 und offen wie W :IF - P . Hieraus folgt (1).

(2) Sei Ho6w stetig und O'c m' offen. Dann gibt es ein offenes O c ff

mit H (0-) =^(Hfiy)"1^1) =öyi-O^ndomH. Mit Teil (1) folgt dieBehauptung.

(3) Sei C:3F—"M stetig. Dann gilt C(p)£U *»(3k) sCp^üeu fürn n

alle n tu, pe dorne . Man konstruiert nun leicht ein Ae[3F - F] mit

mA(p)= {n ' Up) €Un} =euC<P) als° C\ 6U mittels A-

Eine Konsequenz dieses Satzes ist, daß alle Standard-Darstellungen

eines separablen T0-Raumes (m,t) topologisch äquivalent sind. Dies

hat wiederum zur Folge, daß die Klasse der zu einer Standard-Dar

stellung 6XJ topologisch äquivalenten Darstellungen unabhängig vonder Wahl der Basis und der Basisnumerierung u ist.

- 34 -

Da t-äquivalente Darstellungen die gleiche Stetigkeitstheorie indu

zieren, sind für die Untersuchung von (M,t) alle zu einer Standard-

Darstellung t-äquivalenten Darstellungen geeignet.

Definition ( Zulässige Darstellung eines separablen T -Raumes )

Es sei (M,x) ein separabler T -Raum. Eine Darstellung 6:TF—-M

heißt zulässige ("t-effektive") Darstellung von (M,x), g.d.w.

6 =t 60 für eine Standard-Darstellung 6 von (M,x) gilt.

Es ist klar, daß für eine zulässige Darstellung 6 von (M,x) die

Finaltopologie genau die Topologie x ist.

Die zulässigen Darstellungen lassen sich aufgrund von Satz 3.6 wie

folgt charakterisieren.

3.7 Korollar

Sei 6 Darstellung eines separablen T -Raumes (M,x).

Dann ist äquivalent:

(1) 6 ist zulässig,

(2) 6 ist stetig und für jede stetige Abbildung £:TF—-M

gilt C St ö,

(3) 6 ist stetig und 60 £fc 6 gilt für eine Standard-

Darstellung 6y von (M,t).

- 35 -

Beispiele für zulässige Darstellungen sind:

(1) Die Aufählungsdarstellung IM von Ptd*

(2) Die Darstellungen n^TF-F*, n<x>:F - F™ und n :F-INxif.

Beweis

Durch U := 0 ist eine Numerierung einer Basis von t definiert. Wir

zeigen, daß 6 < M gilt:U c *

Per Definition gilt 6 o = e"lM = {d |ieM } für pedomö .Es seiu u p x p u

k+1 falls p(j)=i+l und keD.,r(p)<i,j,k> := ,

0 sonst

Dann ist T-.JF * ff berechenbar und es folgt 6 s m mittels rU c

Da nfc ein Homöomorphismus ist, gilt für jede stetige Abbildung £:!•—-JF^-(k)(Vpe dorne) c(p) = IL( nl 'c)(p) also es H, .

K c k

Der Beweis für II und II. verläuft ähnlich.09 Jj

Weitere Beispiele werden im Abschnitt 3.5 und im Kapitel 4 gegeben.

Natürlich gibt es auch Darstellungen separabler T -Räume, die nicht

zulässig sind. Die Dezimaldarstellung der reellen Zahlen (s. §4.1)

ist ein Beispiel hierfür.

Für zulässige Darstellungen besteht ein enger Zusammenhang zwischen

Darstellungsstetigkeit und topologischer Stetigkeit. Dies gibt Grund

zu der Annahme, daß sich für die Entwickling von Stetigkeits- und

Berechenbarkeitstheorien auf kontinuumsmächtigen Mengen zulässige

Darstellungen besonders gut eignen.

D sei die Standardnumerierung der endlichen Teilmengen von TU (s. Rogers [31] §5.6)

- 36 -

3.8 Satz ( Hauptsatz über zulässige Darstellungen )

Seien 6, 6' zulässige Darstellungen von (M,x) bzw. (M',x')

und f:M -M'. Dann gilt

(1) f (T,x')-stetig o f schwach (6,6')-stetig,

(2) [f (x,x')-stetig und domfGG^x)] - f (6,6') -stetig.

Es seien o.B.d.A. 6 und 6' Standard-Darstellungen.

(1) Sei f (t,t')-stetig und £:= fö . Dann ist £ stetig und wegen

Satz 3.6(3) folgt t. £ 6", d.h. föp = 5T(p) gilt für ein I"e[3F * F ]

und alle pedomf . Sei umgekehrt f schwach (6,6*)-stetig, d.h. es gilt

f6 = 6T für ein stetiges T.-IF—-»JF . Da 6* stetig ist, ist auch f6

stetig und nach Satz 3.6(2) auch die Funktion f.

(2) Sei f (t,t')-stetig und domfeG.(T), d.h. domf = n{0. | i e W} für

gewisse 0^ c x. Aufgrund der Stetigkeit von 6 gibt es in F offene

Mengen V^ mit domf6 = n <V± | ieN}ndom6 . Nach (1) gibt es ein stetiges

rcßF-iF] mit f6p= 6T(p) für pedomf6 . Sei nun E die Restriktion

von I* auf die Gfi-Menge fl{v. | i£M). Dann gilt EcCff-ff], f6p= 6'E(p)

für alle pedomf 6 und domE n dorn 6= domf6 . Also ist f (6,6')-stetig.

Die Umkehrung von (2) gilt in einigen Fällen ebenfalls (s. §5.2).

Wie man sieht, genügt für den Beweis von Satz 3.8 neben der Stetig

keit von 6, 6' die Eigenschaft 3.6(2) für 6 und 3.6(3) für 6'.

Damit ließe sich der Satz im Prinzip auch verallgemeinern auf

gewisse Darstellungen von Räumen, die keine separablen T -Räume sind.

Wir wollen im Rahmen dieser Arbeit hierauf jedoch nicht näher

eingehen.

- 37 -

3.3 Abschlußkonstruktionen auf Darstellungen

In diesem Abschnitt wollen wir einige Konstruktionen vorstellen,

mit denen aus vorgegebenen Darstellungen weitere Darstellungen er

zeugt werden können, und untersuchen, welche Eigenschaften der

ursprünglichen Darstellungen sich auf die neuen vererben.

Wir beginnen mit Darstellungen von Produkt- und Folgenräumen. Diese

ergeben sich nahezu kanonisch unter Verwendung von n , n und n .k » TN

Definition

Es seien 6A Darstellungen von M. (ieaj), v sei eine Numerier

ung der Menge S.

(1) Die Darstellung [6.] des Folgenraumes M xm xm x...

ist definiert durch:

<p. >. 6 dorn [6J. :«» (ViG M ) p e dorn6. ,ii ii i i

[6i]i (p^ := (60P0,6lPl ,62p ,... ).

(2) Die Darstellung [6,,..,6 ] des endlichen Produktesl n

M,x..xm ist erklärt durchl n

<P1/../Pn> Gdomlöj ,..,6n] :<> (vi,lsi«sn) p g dorn 6.

[6l,..,6n]<p1,..,pn) := (6lPr,..,6nPn).

(3) Die Darstellung [v,6] von Sxm sei definiert über

<i,p> G dorn [ v,6 ] :<* \ i G dorn v und pG domo ) ,

[v,6j]<i,p) := (vi ,6lP ).

Für einige Spezialfälle werden wir vereinfachte Schreibweisen ver

wenden. Gilt 6i = 6 für alle i, so schreiben wir kurz 6°° statt

[6 ] bzw. 6n anstelle von [6,,..,6 ]. Außerdem steht kurz•*• *• in

38 -

[v0,v1,..,vn,6] für [vQ,[v1,[ ..[ vn,6] ..]] . Ist in (3) M ein-

elementig und 6 total, so ist S xm isomorph zu S und wir

schreiben 6 :TF—-S anstelle von [v,6].

Reduzierbarkeit und Äquivalenz von Darstellungen kann unmittelbar

auf die entsprechenden Produkte übertragen werden.

3.9 Lemma

Es seien 6± (bzw. 6|) Darstellungen von M. (bzw. M!) für iGJN

und v (bzw. v') eine Numerierung von S (bzw. S'). Dann gilt

(1) <(vi,1<isn) 6. <fc 6p =» [61,..,6n] <=t [öj,..^] ,

(2) ((Vi) 6, <t 6') •> [6i]i st [6'llf

(3) (v S v' und 6Q St 6^) => [v,60] ^ [v> ,6^] .

Beweis

Es seien jeweils r± eCff * ff ], so daß 6.p=6;r (p) für pe dorn 6 und es

sei q partiell-rekursiv mit vi= v'q(i) für i e domv . Dann definiere

zu (i) r := <r (P ),..,r (P )> ,In 11 n n

(2) r<P.>i := <r.(Pi)>i ,

(3) r<i,p> := (q(i),rQ(p)> .

I" e Cf - IF] ist dann die jeweils gesuchte Reduktionsfunktion.

Aus dem Beweis ist ersichtlich, daß (1) und (3) entsprechend auch im

berechenbaren ("c") Fall gelten, während die berechenbare Version von

(2) eine in i uniforme Reduzierbarkeit ( r (p)=A<i,p> für ein be

rechenbares A) verlangt. Wir formulieren daher nur die einfachere

Version: (2') 6, <; 6! •» ö" £ 6?".1 c 1 1 c 1

- 39 -

Das nun folgende Lemma drückt das Verhalten der Finaltopologien

unter Produktbildung aus.

3.10 Lemma

Es seien 6± Darstellungen von M± mit Finaltopologien x(i gin) . Dann gilt

Tl Ä-'8Tn C T[6...,6 ] und • T± C xIn i iJi

( © bezeichne die Bildung von Produkttopologien).

Beweis

Es seien Oj, ex^ d.h. 6~1oi =U±n dorn &L für gewisse offene U. cb\ (i 6»),Da II eine offene Abbildung ist, gilt :

C61,..,6n]"1(01x..xo ) =n(nJ(6"1ox..«"1oj ist offen in dorn [6 ,..,6 ]i n n In

also 01x..x0n ext6 ^ 6 y Entsprechend ergibt sich für alle keM:1 n

0 x..xo xm xm x... £TO k-1 k k+1 '•öi^i* Hieraus folgen die Behauptungen.

Wir zeigen jetzt, daß Produktbildung zulässige Darstellungen wieder

in zulässige Darstellungen transformiert, und erhalten somit eine

erste wichtige Abschlußeigenschaft der Zulässigkeit.

3.11 Satz

Sind 6L zulässige Darstellungen von (M£ ,t ) (iGiN), so gilt

(1) I61#..,6n] ist eine zulässige Darstellung des Raumes

(M x..xm ,T,®..®x ) ,1 n 1 n

(2) [6i]L ist eine zulässige Darstellung von (xm ,®x ).

- 40 -

Insbesondere gilt in Lemma 3.10 für zulässige Darstellungen auch

die Gleichheit.

Beweis

(2) Aufgrund von Lemma 3.10 ist [6 ]. stetig. Es sei r:F—• x M einei i i i

beliebige stetige Abbildung und r :=pr.?:F—-*M. für IcN. Dann sind alle

Qi stetig und folglich gilt für alle ie3N : ? s 6 mittels einer Funk

tion I\e [F- F]. Definiere T(p):= <I\(p)>.. Dann liegt T in [ff - ff]

und für alle pedom? folgt ?(p)=(yo(P)(«.r.(p),... )=C6]r(p).

Aus Korollar 3.7 ergibt sich nun die Zulässigkeit von [6 ] .i i

(1} Analog zu (2).

Als nächstes untersuchen wir Darstellungen von (darstellungs-)

stetigen Funktionen sowie von offenen und clopenen Mengen. Diese erhält

man mit Hilfe der Darstellungen (p:TF - [TF - F ] und x:IF - [3F - IN ]

unmittelbar aus den Definitionen der Begriffe "darstellungsstetig",

"darstellungsoffen" und "darstellungsclopen" (s. §3.1).

Definition

Es seien 6 und 6' Darstellungen von M bzw. M'.

(1) Die Darstellung [6-6'] aller (6,6')-stetigen Funktionen sei

definiert durch

ip (dorn 6 ) C dorn6' und(ip (dornp

(vq,q'

([6-6'] p) (x) := 6'(p (q) für ein beliebiges qG6_1{x}.

G domo )(6q=6q* =» 6'<p (q) = 6'(p <q'),P P

- 41 -

(2) Die Darstellung u& aller 6-offenen Teilmengen von M ist

erklärt durch

pGdom&k ••** (Vq,q' Gdomö ) (6q=6q' •» x (q) = x(q') ),

(ü.p := 6 (dorn x) für pGdomco,.o Po

(3) Eine Darstellung Efi der 6-clopenen Teilmengen von M sei

definiert durch

pGdom£fi :«• ( pG domo und domo c dornx )/

£6P := (6q IX (q) = 0} für pGdomg, .

Im Abschnitt 3.1 hatten wir die Auswirkungen der Reduzierbarkeit

von Darstellungen auf die induzierte Stetigkeits- und Berechenbar

keitstheorie untersucht. Hierbei zeigte sich z.B., daß die Menge der

darstellungsstetigen Funktionen von M nach M nicht kleiner

wird, wenn man die Darstellung von M, "verkleinert" und die von M1 2

"vergrößert" (Lemma 3.3). Damit führen (c-) äquivalente Darstellungen

auch zu den gleichen stetigen (berechenbaren) Funktionen und zu den

gleichen offenen (beweisbaren) und clopenen (entscheidbaren) Mengen.

Diese Aussage läßt sich mit Hilfe der oben definierten Darstellungen

sogar effektiv (d.h. in Form einer Darstellungsreduzierbarkeit)

formulieren.

3.12 Satz

Es seien 6^, , 6| Darstellungen von M bzw. M' für i=1,2.

Dann gilt

(1)(6J *c &i und 62 Sc 6') - lö^öal *c [6J-6- ](2) (6J 5c 61 und Kt = Mj ) =» u& £c ^, und Efi f

(Man achte auf die Reihenfolge der Reduktionen.)

- 42 -

Beweis

Es seien jeweils T :F—-F berechenbar, so daß 6'p = 6 T (p) und

62q = 52F2(q) fÜr alle Pedom*J ' qedomÖ .

(1) Aufgrund des utm- und smn-Theorems gibt es ein berechenbares E:ff •» F

mit ^£(p)<q) = r2^pri(q) fÜr alle P'1€lF' Hieraus folgt für pedom[6-»6 ],xeM und qeff mit 6"q = x:

([6^6^ p)(x) =*2r2Vl<q) = 62*Z(p)(q) = tWi-'p^tPWW-(2) Mit Hilfe einer geeigneten OTM läßt sich ein Te [ff - W ] konstruieren

mit T(p,q) = xriq) für alle qedomr . Nach dem Ubersetzungslemma für x

gibt es daher ein berechenbares A:ff - F , so daß y (q)=T(p,q> = x T (q)

für alle pedomT gilt. Für p e dorn w, folgt nun A(p) e dorn w und6I 6i

-4,Ä(p) - 6; (dorn x&(p)) = ö^^dom xA(p) n dorn «j)= 6^ (dorn y ri) n 6 r (dorn 6')

= 61(dom v ) n erränge I* ) n 6 T (dorn 6!) =w p.

Also gilt w, S w,, mittels A.61 ° 61

Analog zeigt man, daß auch £, s £.. mittels A qilt.«t c 6

Auch hier gilt - wie immer - eine entsprechende topologische Version.

Aus dem vorigen Abschnitt ist bekannt, daß für eine zulässige Darstel

lung 6 die 6-offenen Mengen einen separablen T -Raum bilden. Zur

Beschreibung separabler topologischer Räume (auch ohne T -Eigenschaft)

ist auch die folgende AufZählungsdarstellung w üblich:

Sei U Numerierung einer Basis von x. Dann ist <o :F-t

definiert durch w p := u {u | iemj.

43 -

Es zeigt sich, daß für eine zulässige Darstellung 6 die Darstellung

o>6 äquivalent zu dieser "natürlichen" Darstellung ist (vgl. Satz 2.8)

3.13 Lemma

Es sei 6 eine zulässige Darstellung von (M,x) und U eine

Numerierung einer Basis von x. Dann gilt co = ü>6 "t "V

(Insbesondere sind alle AufZählungsdarstellungen u topologisch

äquivalent.)

Beweis

Es sei o.B.d.A. 6 = 6y. Da 6 stetig ist, gilt für alle pedom6 ,qeff

5p e"„q ° (3ie M )(3j) 6[p 3]c u±. Unter Verwendung des smn-Theorems kannman nun leicht ein stetiges E:F» F konstruieren, so daß für alle q eff gilt:

d0m XE(q) = *P 'Äp£uDq' alS° M6Z(q) =uuq* Umgekehrt gilt für pedomo :u^p = U{6[w] |[w] c dorn x )• Es gibt nun ein stetiges r:ff* ff mit

Mr(p) = fj '<3C«3C clom x) U c5[w] }. Da 6 eine offene Abbildung ist,folgt w„r(p) = u p für alle p e dorn <d„.

u o 6

Die Aussage von Lemma 3.13 kann man übrigens auch als eine weitere

Verallgemeinerung der Charakterisierung von rekursiv-aufzählbaren

Mengen durch Bilder total-rekursiver Funktionen (g>0) einerseits und

durch Definitionsbereiche partiell-rekursiver Funktionen (u.) anderer-

seits interpretieren. Wie man an dem Beweis ersieht, gilt die Aussage

sogar für alle Darstellungen eines separablen topologischen Raumes,

die äquivalent zu einer stetigen und offenen Darstellung sind.

- 44 -

In einer neueren Arbeit haben L.Hay und D.Miller [151 die Finaltopo

logie x der Darstellung u von x := {BCF I B offen} (vgl. §2)

charakterisiert. Eine Menge ACt ist w-offen, g.d.w. es eine ab

geschlossene Menge B C if gibt mit ü>~ A = u {C IpGß} (DabeiK (p)

ist K eine Darstellung der kompakten Teilmengen von TF und

cv/„» = tq^F IK(p)Cu } ). Es ist zu vermuten, daß x keine abzähl-*-\P) q u

bare Basis besitzt und damit kein separabler topologischer Raum ist.

Die Eigenschaft der Zulässigkeit wird sich daher wahrscheinlich i.A.

nicht auf die induzierte Darstellung der offenen Mengen vererben.

Eine weitere Möglichkeit, aus vorgegebenen Darstellungen neue

Darstellungen zu konstruieren, liefert der Reduzierbarkeitsbegriff.

Wie man aus der Definition leicht ersehen kann, bildet die Klasse

aller Darstellungen zusammen mit der Relation < (bzw. 5 ) einet c

Vorordnung, d.h. die Relation ist reflexiv und transitiv. Deshalb

sind für jede beliebige Menge X von Darstellungen die folgenden

Mengen wohldefiniert:

SupfcX := {616 ist bzgl. <fc eine kleinste obere Schranke von X} ,

InffcX := {6|6 ist bzgl. £t eine größte untere Schranke von X}

und entsprechend auch Sup X bzw. Inf X. Es ist leicht einzusehen,

daß die Mengen SuptX bzw. Inftx entweder leer sind oder aus genau

einer Äquivalenzklasse bestehen.

Wir werden nun zeigen, daß jede endliche Menge von Darstellungen

Supremum und Infimum (bezüglich £,. und S ) besitzt und daß eint c

Standardvertreter dieser Klassen effektiv gewonnen werden kann. Dazu

seien für je zwei Darstellungen 6:F—-M und 6':F—- M' die

Darstellungen 6n6':F—-MnM* und 6u6':F—-MuM* wie folgt

definiert:

- 45 -

(6 n 6') (p,q>

3.14 Satz

6 q falls p = 2q und q G dorn 6 ,

(6u6')p := ^6'q falls p= 2q+1 und qGdomö* ,

div sonst,

••[6p falls pGdomö, qGdomö* und 6p = 6'q,

div sonst.

Für beliebige Darstellungen 6 und 6' gilt

(1) 6 u6' GSupc{6,6'} CSupt{6,6'} ,

(2) 6n6' €inf {6,6'} c Inf {6,6'} .c t

Beweis

Zur Vereinfachung sei 6:= 6uö' , 6:= 6 n 6'.

(1) Es sei r(p):=2p und T'(p) :=2p+l. Dann sind I\r':ff-F berechenbar

und es gilt 6 £ 6 mittels I* und 6•S 6 mittels T•. Es sei nun 6c 1

eine Darstellung, für die 6$c 5( und 61 ^ 6j gilt mittels A bzw. A'

und E:ff---ff berechenbar mit E(2p)=r(p) und E(2p+l)=r•(p) für alle p.

Dann folgt 6(2p) =6p=61A(p) =6^1 (2p) für pedom6 und

6(2p+l) =6'p= öjA'tp) =6 E(2p+1) für pe dorn 6'.

Dies bedeutet ^sc61 also auch 6e Sup {6 ,6 •}.

6eSupt(6,6*} folgt analog und damit auch die angegebene Inklusion.

(2) 6^5 und Js^' ist direkt einzusehen. Sei 6 eine Darstellung

mit fij^ä und «1Sc6> mittels fj bzw. «'.Setze J^ (p) :=<fj (p) ,fi- (p)> .Dann ist f^ berechenbar und es folgt 6 S 6 mittels JJ und damit

lc— i

i eInfc(6,6'}. Entsprechend folgt 6elnf {6,6'}.

p=2q bedeutet: p(i)=2q(i) für alle i. Entsprechendes gilt für Worte über IN.

- 46 -

Aufgrund von Satz 3.14 nennen wir 6 u6' auch das Standardsupremum

und 6n6' das Standardinfimum von 6 und 6'.

Wir wollen nun das Verhalten von Finaltopologien unter Supremums- und

Infiraumsbildung untersuchen. Dabei verwenden wir zur Vereinfachung die

folgenden Schreibweisen:

Für zwei topologische Räume (M,x) und (M* ,t') sei

sup(x,x') := (XCMuM1 iXnMGx und XnM'Gx'} ,

inf(x,x') := Die von der Basis {XnX' | XGx, X' G x' }

erzeugte Topologie.

3.15 Lemma

Es seien 6, 6' Darstellungen von M und M' mit Finaltopo

logien x und x'. Dann gilt

(1) sup(x,x') = x(6u6l),

(2) inf(x,x') c T{4n6i).

(1) Sei Xesup(T,i'). Dann gilt S~ (XnM) = U(Cw] | we.v] n dom6 für ein

Vcw(W) und entsprechend 6' (xnM1) = U{[w] I w <= V} n dom6" mit Vcw(M)

Setze W:= {2w | we v} u {2w+l |weV'}. Dann folgt

(6u6') x= U{[w] I we W} ndom{6 u 6*) also Xex * .... Umgekehrt(6 us1) *

liefert Lemma 3.5: Xet y , => ( xnM et und XnM' et') *> Xesup(x,T').

(2) Sei Y o xnX' mit Xe t, X'a1. Dann folgt mit Lemma 3.5

{xnM',X'nM} ct also Y = xnM'nx'OM ex,, ,. .(6 n6') (6 nä')

- 47 -

Für zulässige Darstellungen gilt auch in 3.15(2) die Gleichheit, da

Zulässigkeit sich unter Infimumsbildung vererbt.

3.16 Satz

Es seien 6 und 6' zulässige Darstellungen von (M,x) und

(M',x'). Dann ist jede Darstellung fieinf {5,6'} zulässig.

Beweis

Sei 6elnft{6,6'}. Dann folgt inf(T,T')cT)S d.h. 6 ist stetig bezüglichdes separablen ^-Raumes (MnM\inf (t,!1) ). Da 6 und 6' zulässig sind,

gilt nach Korollar 3.7(2) für jede stetige Abbildung ?.-ff MnM': ^ < 6

und C Sfc 6' und damit auch c s 6. Also ist 6 zulässig.

Für das Supremum zweier zulässiger Darstellungen gilt ein Vergleich

bares Ergebnis im allgemeinen nicht, da der Raum (MuM*,sup(x,x') )

nicht notwendig ein TQ-Raum sein muß, wenn dies für (M,x) und

(M',x') erfüllt ist. Ein Gegenbeispiel hierzu liefern die Cut- •

Darstellungen p,. und p> von TR , die in Kapitel 4 vorgestellt

werden. Die Finaltopologien dieser Darstellungen (s. Satz 4.4)

x< = {(x;~) I xg mu{-o»,=o } } und T> = {(-».x) | xg TRu {-»,»} } sind

separable TQ-Räume, was für sup(x<,x>) = {0,m} jedoch nicht mehr

gilt.

- 48 -

Zum Schluß dieses Abschnitts wollen wir noch kurz eine Konstruk

tion vorstellen, die auf Darstellungen von Mengensystemen (z.B. von

P^ oder von den offenen Teilmengen von TR) anwendbar ist. Hierbei

wird eine Darstellung 6 in eine "duale" Darstellung 6C (z.B. der

abgeschlossenen Mengen in TR) überführt, welche im wesentlichen die

gleichen Eigenschaften wie 6 besitzt. Bei unseren Untersuchungen

wollen wir uns auf den Aspekt der Zulässigkeit beschränken.

3.17 Satz

Es sei M eine Familie von Teilmengen einer Menge N und 6

eine zulässige Darstellung des Raumes (M,x). Die Darstellung

6C:F Mc := {X cN |N\X GM} sei definiert durch 6cp:=N\6 p.

Dann ist 6C eine zulässige Darstellung von (Mc,xc) wobei

x° := {0C|0€t} mit 0° := {X€MC IN\X GO} .

Beweis

Offensichtlich ist mit (M,x) auch (M ,t ) ein separabler T -Raum.und für

jede Numerierung u einer Basis von t ist durch UC(i):=(u(i))C eine

Numerierung einer Basis von t definiert. Für die zugehörigen Standard-Dar

stellungen 6 :ff—M und 6 :ff-~*MC und für XeMC gilt nun:U Uc

(X«6 p)o(IMp= {i |XeüC(i)} ={i | N\XeU(i)}) o(N\X - 6^>) .Damit ist 6=6 eine Standard-Darstellung des Raumes (MC,x°).

° ucDa weiterhin für je zwei Darstellungen 6, 6* von M gilt

6 St 6' <• Or« [ff ~F])(vp edomö ) 6p <= 6T(p)

• OTe [ff -ff]) (Vpe dom6C ) 6°p = N 6T(p) = 6,Cr(p)

• 6C s 6,C

folgt aus der Zulässigkeit von 6 (6 = 6 ) auch die von 6°.

- 49 -

Mit Hilfe des Standardinfimums läßt sich aus einer zulässigen Dar

stellung 6 eines Mengensystems neben der Darstellung 6C noch eine

dritte zulässige Darstellung -nämlich 6 n6C- erzeugen. Diese stellt

diejenigen Elemente dar, die sowohl die durch 6 beschriebene Eigen

schaft als auch die hierzu duale Eigenschaft besitzen. Als ein inter

essantes Randergebnis erhält man auf diese Art E e Inf f<o ,tiic1 für6 cl 5 6J

jede beliebige Darstellung 6. Wir wollen dies jedoch hier nicht

weiter vertiefen.

- 50

3.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften - Berechenbare Elemente

Anhand des Begriffs "fastvollständig" wollen wir nun demons

trieren, daß rekursionstheoretische Eigenschaften von Darstellungen

denen der Numerierungen in der Typ-1 Rekursionstheorie (Ershov [10])

entsprechen. Unmittelbare Konsequenzen der Fastvollständigkeit sind

auch bei uns ein Rekursionssatz und eine Variante des Satzes von Rice.

Wie immer erhalten wir jedoch eine allgemeine topologische und eine

speziellere berechenbare Version.

Definition

Eine Darstellung 6:TF—- M heißt t-(c-)fastvollständig, g.d.w. für

jedes (berechenbare) TG[f - F] ein totales (und berechenbares)

AG[F-F] existiert mit 6r(p) = 6A(p) für alle p e dorn r .

Wir geben zunächst einige Beispiele für fastvollständige Darstellungen.

(1) Die AufZählungsdarstellung IM von P ist c-fastvollständig,

(2) Die Darstellungen tp, ip und x sind c-fastvollständig.

Beweis

(1) Es sei T:ff—»ff berechenbar und T eine OTM, welche r berechnet.

Wir definieren ein berechenbares A:F-» F durch

k falls T bei Eingabe von p e F im Schritt i die

...... __ , Zahl k auf das Ausgabeband schreibt,

O sonst.

Dann gilt für p e dorn T : ränge A(p) c(ränge T(p))u{o} d.h. M = IMT(p) A(p)

- 51 -

(2) Es sei r:F ff berechenbar. Dann gibt es ein monotones y.W(Xl) *W(U)

mit r(p) =9(p) für alle pedornr. Sei 1^=y„ die universelle Funktionvon t|). Definiere E:F - B durch

E(p,q> := sup{Yu<(r(p))Ci;lfqCi:l>| i«;lg<r(p))} .Dann ist E berechenbar und für pe domT , qe F gilt E<p,q> = r <r(p),q>.

Nach dem ubersetzungslemma existiert ein berechenbares A:F - F mit

'''A(D) <q) = E<P,q> für alle P'"3€ w' insbesondere also fastvollständig.

Die Fastvollständigkeit der Darstellungen $ und x folgt hieraus unmittelbar.

Es ist leicht nachzurechnen, daß eine Darstellung 6:F— M fastvoll

ständig ist, wenn sie sich schreiben läßt als 6 = Ho6*, wobei

6':F M' eine fastvollständige Darstellung und H:M'—« M eine

beliebige surjektive Funktion ist. Aus diesem Grunde sind alle auf

diese Art aus IM, iP, (p und x abgeleiteten Darstellungen - insbe

sondere alle Standard-Darstellungen separabler T -Räume und die

Darstellungen [6-6'],^ und gfi U für beliebige Darstellungen 6und 6« - fastvollständig. Man beachte jedoch, daß Fastvollständigkeitsich im allgemeinen nicht auf äquivalente Darstellungen vererbt. So

sind z.B. die Darstellungen nn, n„ (Folgerung aus Satz 3.19) und die

Darstellung p der reellen Zahlen (s. §4.1) nicht fastvollständig,obwohl sie zulässig, d.h. äquivalent zu einer (fastvollständigen)

Standard-Darstellung sind. Hinreichend ist (wie bei der m-Äquivalenz

von Numerierungen) nur Äquivalenz mit Hilfe totaler Funktionen aus[ F'- F] .

- 52 -

Wie in der Theorie der Numerierungen ist Fastvollständigkeit einer

Darstellung 6 äquivalent zur Gültigkeit des Rekursionssatzes für 6.

Definition

Eine Darstellung 6:F—- M erfüllt den t-(c-)Rekursionssatz, g.d.w.

es ein totales (und berechenbares) OG[F -F] gibt,sodaß gilt

(vpGF) (p total => 6 0(p) = 6(p ß(p) .

3.18 Satz

Eine Darstellung 6:F—»M ist t-(c-)fastvollständig genau dann,

wenn sie den t-(c-)Rekursionssatz erfüllt.

Beweis

Sei 6 c-fastvollständig. Da die Funktion T:ff—- IF mit T(p) = \f> (p)P

berechenbar ist, existiert ein totales berechenbares A:IF - F mit

6A(p) = 6$ (p) falls p e dorn ip . Nach dem ubersetzungslemma gibt es ein

berechenbares E:ff-* F mit ip_, = (p A für alle pe F. Setzt man nunE(P) p

fl := AoE, so ist fl berechenbar und für totale ip folgtP

6$ fi(p) = 6$ AE(p) = 6$_, vE(p) = 6AE(p) = 60(p).P P MP)

Also erfüllt 6 den c-Rekursionssatz.

Für die Umkehrung erfülle nun 6 den c-Rekursionssatz mittels fl:ff •» F. Für

jedes berechenbare T:ff—-♦ IF gibt es nach dem Ubersetzungslemma ein berechen

bares E:ff»F mit ip (q) = T(p) für alle p,qe F. Für dieses E ist

*E ) total falls pe domT und folglich gilt 5flE(p) = 6$ «E(p> = 6T(p)

für alle pedomf . Damit hat A:= 0»E die gewünschten Eigenschaften.

- 53 -

Für fastvollständige Darstellungen sind - wie im Falle der Numerier

ungen - die Äquivalenzklassen der Namen effektiv untrennbar (vgl. §2)

3.19 Satz

Sei ö:TF h eine t-(c-)fastvollständige Darstellung und x,yeMmit x^y. Dann sind ö"1{x} und ö"1 {y} t-(c-)effektiv untrenn-bar.

Beweis

r-lr > ... ,-1Sei qe6 (x), q'c 6 (y>. Es gibt ein berechenbares IMF—• r mit

l falls x <P) = 0,

T(p) = ( q' falls x (P) = 1#P

div sonst.

Nach Satz 2.12(1} sind die Mengen A ={p |x (p) =o} und A ={p |x (p) =1}P 1 p

effektiv untrennbar. Offensichtlich gilt r(AQ)c6"i{x} und r(A)c6_1{y}.Aufgrund der Fastvollständigkeit von 6 gibt es ein berechenbares A: ff - ff

mit 6A(p) =6r(p) für alle pe domT , insbesondere also für puuA.Es1 ol"

folgt A(Ao)c6~ {x}, /KAjJcrty) Und mit Satz 2.12{2)/(3) die Behauptung.

Eine direkte Konsequenz von Satz 3.19 ist das Rice«sehe Theorem, wir

formulieren hier nur die topologische Version, da diese die berechenbare beinhaltet.

- 54 -

3.20 Korollar (Satz von Rice)

Sei 6:F—- M topologisch fastvollständig und X£m nichtleer.

Dann ist 6~ X nicht clopen in domo .

(D.h. es gibt kein äcf, A clopen mit ö-1X = Andorn6 .)

Ist 6 X clopen, so gibt es p,q c ff mit 6 X c u , 6~ (M\X) c u undP q

o) = ff\ü) . Da ü) und u nicht effektiv untrennbar sind, kann dies auchP q P q

nicht für 6 X und 6 (M\X) gelten, was aber Satz 3.19 /2.12(2) widerspricht.

Ist also ö:F—- M fastvollständig, so kann keine nichttriviale

Eigenschaft auf M relativ zu 6 mit einem immerhaltenden stetigen

Verfahren entschieden werden. Für totale Darstellungen bedeutet der

Satz von Rice sogar, daß keine nichttriviale Teilmenge von M

6-clopen ist. Diese verschärfte Version des Satzes gilt auch für

einige andere Darstellungen, z.B. für zulässige Darstellungen von IR

(mit der Standard-Topologie auf TR). Wir werden im vierten Kapitel

hierauf noch einmal zurückkommen.

Für die Berechenbarkeitstheorie auf einer dargestellten Menge M

spielen berechenbare Elemente, d.h. Elemente mit rekursiven Namen,

eine wichtige Rolle, da bei ihnen ein sinnvoller Zusammenhang zwischen

Darstellungs- und Numerierungsberechenbarkeit gewährleistet ist. Eine

kanonische Numerierung dieser Elemente ergibt sich unmittelbar aus der

vorgegebenen Darstellung und der Standard-Gödelnumerierung <p.

55 -

Definition ( Berechenbare Elemente )

Es sei 6 eine Darstellung von M.

(1) xGM heißt 6-berechenbar g.d.w. x=6p für ein rekursives p.

(2) Sei Mc 6 := {xgm| x 6-berechenbar}. Die induzierte Numerierung

vfi von Mc 6 ist definiert durch v := 6°<p.

(Liegt 6 fest, so schreiben wir kurz M anstatt M )c c,6

Da cp bekanntlich eine fastvollständige Numerierung ist, gilt dies

auch für die hieraus abgeleitete Numerierung v , d.h. für jedes

partiell-rekursive p:TN—•IN gibt es ein total-rekursives q:U .. IN

mit vßp(i) = v6q(i) für alle iG domp. Dabei ist es unbedeutend,

ob die Darstellung 6 selbst fastvollständig ist oder nicht. Eine

Konsequenz ist auch hier wieder die Gültigkeit des Rekursionssatzes

und des Satzes von Rice für jede induzierte Numerierung v (vgl. Deil

[6] §2).

In den folgenden Beispielen charakterisieren wir die berechenbaren

Elemente einiger Darstellungen.

(1) Für die AufZählungsdarstellung M:F -. P und xc P gilt:Cd tu

X ist IM-berechenbar g.d.w. X rekursiv-aufzählbar ist,

VM ist m-äquivalent zur Standardnumerierung W der rekursiv-

aufzählbaren Mengen (definiert durch W. := domtp ).

(2) Für Darstellungen 6, 6' von M bzw. M', f:M—M' und Acm gilt:

f ist [6-6']-berechenbar ~ f ist (6,6')-berechenbar,

A ist Oj-berechenbar ~ a ist 6-beweisbar,

A ist E6-berechenbar « a ist 6-entscheidbar.

- 56 -

Diese Aussagen ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Defi

nitionen und aus Sätzen der klassischen Rekursionstheorie. Das zweite

Beispiel zeigt insbesondere, daß die Definition der Darstellungen

[6-6'] , co. und g. auch bezüglich Berechenbarkeit sinnvoll ist.0 o

Im Kapitel 2 ist bereits ein Zusammenhang zwischen Berechenbarkeit in

[TF-F] und Berechenbarkeit auf den rekursiven Funktionen (relativ

zu cp) untersucht worden. Die dort getroffenen Aussagen lassen sich

direkt auf Darstellungen verallgemeinern.

3.21 Lemma

Für Darstellungen 6,6" von M bzw. M', f:M • M' und ACM gilt:

(1) f (6,6')-berechenbar •* fl schwach (v. ,v., )-berechenbar,M . 0 01 c,6

(2) A 6-beweisbar •» An M . v,-beweisbar,c i o o

(3) A 6-entscheidbar •» A<~>m , v -entscheidbar.C , 0 o

Der Beweis folgt aus Lemma 2.11 und der Definition von v .

Darstellungsberechenbarkeit erzwingt also unmittelbar die Berechenbar

keit bezüglich der induzierten Numerierungen berechenbarer Elemente.

Eine berechenbare Funktion wird aufgrund des smn-Theorems allerdings

immer durch eine total-rekursive Funktion p beschrieben, d.h. der

Definitionsbereich von f wird bei der Numerierungsberechenbarkeit

im allgemeinen nicht mehr respektiert. Dies wirkt sich bei der Redu

zierbarkeit wiederum positiv aus, denn es gilt 6^6' *» v, < vfil ,

und auch Infimums- und Supremumsbeziehungen übertragen sich auf die

induzierten Numerierungen, wie man leicht nachrechnet. Insbesondere

- 57 -

definieren c-äquivalente Darstellungen die gleichen berechenbaren

Elemente und m-äquivalente Numerierungen hiervon.

Die Umkehrung der Aussagen von Lemma 3.21 läßt sich im allgemeinen

nicht mehr beweisen,* jedoch ergibt sich z.B. aus dem Satz von Myhill/Shepherdson (29], daß für bestimmte Darstellungen (z.B. von P ,CPO's

etc.) und totale Funktionen die Berechenbarkeit bezüglich induzierter

Numerierungen auch die entsprechende Darstellungsberechenbarkeit

induziert. Für metrische Räume liefert der Satz von Kreisel/Lacombe/

Shoenfield [21] (bzw. Ceitin [5]) ebenfalls gewisse Teilerfolge. Im

Rahmen dieser Arbeit wollen wir dieses Thema allerdings nicht weiter

vertiefen.

Ein Gegenbeispiel wurde 1958 von Friedberg für Funktionale auf ff geliefert( s. Rogers [31]).

- 58 -

3.5 Beispiele für Darstellungen spezieller Räume

Für Berechenbarkeitsmodelle höheren Typs werden neben dem Raum

TF der totalen arithmetischen Funktionen häufig auch andere Strukturen

als Grundlage verwandt. Hierzu zählen insbesondere P (Menae allerw

Teilmengen von IN), F (Menge der partiellen und totalen arithme

tischen Funktionen) metrische Räume und CPO's. Für diese speziellen

Räume wollen wir in diesem Abschnitt einige geeignete Darstellungen

vorstellen.

Teilmengen der natürlichen Zahlen können auf verschiedenste Arten

durch arithmetische Funktionen beschrieben werden. Schon die gewöhn

liche Rekursionstheorie verwendet für rekursive und rekursiv-aufzähl

bare Mengen die Charakterisierung durch Bild, Graph oder Nullstellen

menge einer totalen Funktion. Während durch Graphen von Funktionen nur

die sogenannten "single-valued sets" beschrieben werden können, führen

die anderen Charakterisierungen unmittelbar zu Darstellungen von P :0)

(1) Die AufZählungsdarstellung IM:F-P ist definiert durchcd

TM(p) := 3M := [ie IN | (3j) p(j) = i+1} ,

(2) Die Darstellung von P durch charakteristische Funktionen

&cf :F - P^ ist definiert durch 6 (p) := {i e IN |p(i) = O} .

Die AufZählungsdarstellung IM ist bereits häufiger vorgekommen. Wir

fassen hier noch einmal kurz ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen.

59 -

3.22 Korollar

(1) IM ist eine zulässige Darstellung von P .u

(2) Eine Basis der Finaltopologie von IM bildet die Menge

{0 leCiN, e endlich} wobei O := [XGP lecXl.e e tu

(3) IM ist eine offene Abbildung.

(4) IM ist fastvollständig - IM erfüllt den Rekursionssatz.

(5) Ein Element von P^ ist IM-berechenbar, g.d.w. es eine

rekursiv-aufzählbare Teilmenge von TN ist. Die zugehörige

Numerierung \^:= iMoq) ist m-äquivalent zur Standard-

Numerierung W der rekursiv-aufzählbaren Mengen.

Es ist leicht einzusehen, daß 6rf und IM verschiedene Aspekte einer

Teilmenge von IN beschreiben. Wir wollen diese Tatsache ausnutzen, um

zu demonstrieren, daß Effektivität auf einer (abstrakten) Menge M

nicht von der Menge allein, sondern sehr stark von der stetig zugäng

lichen Information über die Elemente von M abhängt. Man betrachte

z.B. die beiden Fragen, ob Komplement oder abzählbare Vereinigung in

Pu effektiv ist. Eine absolute Antwort hierauf wird es nie geben

können, sondern nur eine Antwort relativ zu einer vorgegebenen Dar

stellung.

3.23 Lemma

(1) Die Abbildung U: (p )" -. p mit u(A ,A ,.. ) := yA. ist(IM ,IM)-berechenbar, aber nicht einmal schwach stetig

relativ zu 6 , •cf

(2) Die Funktion C:P - P mit <T(A) := 3N\ A ist (6 ,6 )-" <o cf ' cf

berechenbar aber nicht schwach (IM ,IM) -stetig.

- 60 -

(1) Aus der Definition von IM folgt direkt U(M ) = M füri i i i

alle <pi>ieff, also die (IM ,1M) - Berechenbarkeit von U.

Es sei nun angenommen, daß U(6 f(p)) = 6 ,r(p) für ein re[ff-ff] und

alle p e IF gilt. Wir wählen ein pe IF mit 0< U(6°° (p)). Dann folgt

Hp) (0) ?* 0 und wegen der Stetigkeit von r gilt r(q) (0) f 0 für alle

q£ [p ] und ein it JN. Da andererseits für alle i ein qe [p ] mit

0eU{6cf(q)) existiert (wähle q<i,0>:=0) ergibt sich ein Widerspruch.

(2) Mit r(p)(i):= l-p(i) folgt unmittelbar die (6 ^,6 _)-Berechenbarkeitet er

des Komplements. Der Beweis für die (IM, IM)-Unstetigkeit verläuft ähnlich

zum Widerspruchsbeweis aus (1). Er basiert auf der Tatsache, daß ein Operator

nicht in eindlich vielen Schritten beweisen kann, daß eine Zahl i e IN in

einer unendlichen Aufzählung nicht vorkommt.

Man macht sich übrigens leicht klar, daß die totalen (IM, IM)-berechen

baren Funktionen auf P^ genau die AufZählungsoperatoren von Rogers

([31] S.147) sind.

Mit den Konstruktionen aus Abschnitt 3.3 lassen sich aus der AufZähl

ungsdarstellung IM auch noch zwei weitere Darstellungen ableiten,

nämlich MC:IF-Pu mit IMC (p) :=IN \ IM und das Standard-InfimumIM n IMC dieser beiden Darstellungen. IMC besitzt im wesentlichen die

gleichen Eigenschaften wie IM , wobei die Finaltopologie jedoch durch

die Mengen V := {XGP | xciN\e} charakterisiert wird und diee u

1MC -berechenbaren Elemente genau die co-rekursiv-aufzählbaren Mengen

sind. Interessanter ist dagegen die Aussage des nun folgenden Lemmas.

- 61 -

3.24 Lemma

D

6 G Inf (TM ,IM )

6ef £c m und 5cf £c m ist leicht einzusehen. Da es einen berechenbaren

Operator Te[ff »ff ] gibt mit r<p,q)(i) = (o falls ieW , 1 sonst)P

für alle p,q<::i; mit IM =IMC(q) , folgtauch IM n MC S 6 .P c cf

Man sieht sofort, daß dies eine verallgemeinerte Version der Aussage

" XCin ist rekursiv, g.d.w. X und IN \ X rekursiv-aufzählbar ist"

bildet.

Eine Konsequenz von Lemma 3.24 sind die folgenden Eigenschaften von 6 .cf

3.25 Korollar

(1) 6 ist eine zulässige Darstellung.cf

(2) Die Finaltopologie von 6 besitzt die Basiscf

(u, I e,dCEJ, endlich} mit u, = (xep I dcxcu\eld,e d,e w v '

(3) Die rekursiven Mengen bilden genau die 6 -berechenbarencf

Elemente von P .

Weitere Darstellungen von P ergeben sich aus der Idee, die Teilmengen

von IN als offene bzw. abgeschlossene oder clopene Mengen (bezüglich

der diskreten Topologie auf 3N) aufzufassen. Dies führt aber nicht zu

wesentlich neuen Erkenntnissen, da die entstehenden Darstellungen

berechenbar-äquivalent zu IM bzw. 3MC oder 6 f sind.

- 62 -

II. TP :

Die Menge der partiellen Funktionen auf TN kann im Prinzip ähn

lich behandelt werden wie P , da sie sich mit den "single-valued sets'to "^

(d.h. mit Mengen S c in mit (<i,k>GS und <i,k>GS)=» j= k ) iden

tifizieren läßt. Die hierzu nötige Bijektion liefert die Abbildung

"graph" mit graph(f) = (<i,j> IiGdomf und f(i) = j}. Eine Dar

stellung öjp :F—- F ergibt sich hieraus durch:

domöjp := {pG TF !(3fG ip) Blp = graph(f)} und'JP " •" ""="~-6_ p := graph 'TM für pGdomö

IP

Man rechnet leicht nach, daß die wichtigsten Eigenschaften von IM

(Korollar 3.22) entsprechend auch für 6 gelten, d.h. es gilt

(1) 6^ ist eine zulässige Darstellung von TP und die Finaltopo

logie von 6^ wird gebildet durch die Basis

(Ue leCiN, e ist endlich und single-valued} mit

Ue = {fgd? I ec graph(f)} ,

(2) 6^, ist fastvollständig,

(3) ein Element f von F ist 6 -berechenbar, g.d.w. f partiell-

rekursiv ist, und v^ ist m-äquivalent zur Standard-Gödelnumer-ip

ierung tp.

Schließlich entsprechen die (6 ,6 )-berechenbaren Funktionen auf TPip ip

den "partiell-rekursiven Operatoren" von Rogers ([31] §9.8) bzw. den

"effektiv-berechenbaren Funktionalen" von Myhill/Shepherdson [29] .

Analog ergeben sich aus 6cf und ffl° weitere Darstellungen von TP.

Diese sind allerdings nur von geringer Bedeutung.

63 -

III. Metrische Räume

Es sei (M,d) ein vollständiger metrischer Raum, c eine abzähl

bare dichte Teilmenge von M und ß:lN—C eine Numerierung von C.

Dann ist M die Cauchy-Vervollständigung von C, d.h. alle Elemente

von M lassen sich durch Cauchy-Folgen in C beschreiben und zu

jeder Cauchy-Folge in C gehört genau ein Element von M. Dies führt

zu der folgenden Darstellung von M:

Die Cauchy-Darstellung 6C von M ist definiert durch

(Hmßp(i) falls (ßp(i)) Cauchy-Folge,

div sonst.

Diese Darstellung erweist sich jedoch als unbrauchbar für die Unter

suchung von M, da kein Name für ein Element x von M auch nur die

geringste stetig zugängliche Information über x enthält, d.h. die

Finaltopologie von 6C ist die indiskrete Topologie {0,M}. Dies ist

leicht einzusehen, wenn man bedenkt, daß zu jedem vGw(IN) und jedem

xGM ein Name P<=6C 00 existiert mit pG[v] und daß damit für

jede offene Teilmenge O von F gilt 6 (O) = M (siehe auch Satz 4.7)

Eine zusätzliche Anforderung an die Konvergenzgeschwindigkeit der

Cauchy-Folgen führt dagegen zu einem zufriedenstellenden Ergebnis.

Definition

Die normierte Cauchy-Darstellung 6„„ von M ist erklärt durchNC

dom6N(, := {p | (Vi) d(ßp(i) ,ßp(i+1)) <; 2_i} ,

6NCP := lim ßP(i) fUr Pedom6NC *

- 64 -

Bekanntlich induziert die Abstandsfunktion d auf M eine Topologie

xfl und die Mengen Bc := {xG mId(c,x) <2~j } für cGc, jG3Nbilden eine Basis von x .

d

3.26 Satz

6 ist eine zulässige Darstellung von (M,x ).

Es sei B(i .j := {xe M|d(ßifx) <2~3}. Dann ist B Numerierung einer Basisvon t und für die zugehörige Standard-Darstellung 6 gilt

dorn 6ß ={p|(3xeM) m ={<i,j> | d(ß.,x)< 2~j}} und{6ßp} =n(B(i } | <i,j> e im } für pe dorn 6 .

Zu zeigen ist 6 = 6 .NC t B

Dafür pe dorn 6NC und i, j eW gilt: 6^ eB^ }• (3k) dfß^ß )<2-i-2_k ,läßt sich leicht ein Te [ff * ff] konstruieren, so daß für pe-dom 6 gilt

NC

mT(p) " t<i'^> 'V:p,£B<i,j>} und damit auch 6ncp a6Br(p)- ES folgtfiNC st ÖB- Umgekehrt kann man ebenso leicht ein berechenbares A:ff—•IF

konstruieren mit A(p) (j) = uiC<i. j+l> eW ] für pe ff, je in . Sei nun

pe dorn6 . Dann folgt offensichtlich pe domA und d(ß ,ß 1< ?~3B A(p)(j)'0A(p)(j+l)' *

für alle je IN. Hieraus ergibt sich 6 p=6 A(p), d.h. 6 s 6 .f NC r" B c NC

Man beachte, daß an die Numerierung 0 keinerlei Effektivitätsan

forderungen gestellt wurden.

über die Darstellung 6^ induziert unser Konzept also für alle voll

ständigen metrischen Räume eine kanonische Theorie des Konstruktivis

mus. Wichtige Anwendungsbeispiele sind der Raum der reellen Zahlen

- 65 -

(siehe Kapitel 4 und 5) und die Lp-Räume (Pour-El/Richards [30] ).

Bei letzteren wird die Metrik bestimmt durch die Lp-Norm und für die

dichte abzählbare Teilmenge kann man (gleichwertig) verwenden:

Polynome der Form ^ akx mit akGtB, ngin , trigonometrische Poly

nome (mit sin(kx), cos(kx) anstatt xk), Treppenfunktionen oder

Polygonzüge. Bei Verwendung entsprechender Standard-Numerierungen

ergeben sich insgesamt vier c-äquivalente Darstellungen der Lp-Räume.

Auch eine konstruktive Maßtheorie ließe sich in diesem Rahmen ent

wickeln. So gibt es z.B. für die Menge B/N (B sei die Menge der

Borel-Mengen auf [0;1] , N die Menge der Elemente von B mit Maß 0)

eine "effektive" Darstellung mittels der folgenden Konstruktion:

Sei Vk := u{ (vffl(i);vffi(j)) |<i,j)G Dfc} n[0;1] mit

vffl<i,j,k> =-^-. Dann ist V eine effektive Numerierung einerMenge T von offenen Teilmengen von [0;1]. Durch

d(A,B) := u(A\BnB\A) (u sei daß Maß auf [0;1] ) wird auf T

eine Metrik definiert. Die Vervollständigung von T ist (im

wesentlichen) B/N. Die Konstruktion einer Darstellung von B/N

ergibt sich hieraus - über normierte Cauchy-Folgen - unmittel

bar.

IV. Stetige CPO's mit abzählbarer Basis

Zu Anfang der 70er Jahre wurden vollständige Halbordnungen (com-

plete fiartial orders) von D.Scott ([22] ,[23]) als geeignete Bereiche

vorgeschlagen, um Berechenbarkeit auf überabzählbaren Mengen zu unter

suchen. Seitdem haben mehrere Autoren diese Idee aufgegriffen und for

malisiert ( Egli/Constable [ 9], Kanda/Park [17], Smyth [35]). Eine

- 66 -

umfassende Darstellung dieses Konzepts und eine Reihe von Beispielen

findet man in dem Bericht von Weihrauch/Deil [39] . Zu den Anwendungs

beispielen zählen insbesondere CPO's für P , F und für die abge

schlossenen Intervalle auf TR (einschließlich der unendlichen Inter

valle) . Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe vor.

Es sei (D,e) eine Halbordnung. Eine Menge ACD heißt gerichtet,

g.d.w. A?0 und (Va,b G A) (3cG A) (a E c und b=c).

(D,5) heißt vollständig, g.d.w. für jede gerichtete Teilmenge

A von D das Supremum supA existiert. Eine CPO ist ein Tripel

5 := (D,s,i), wobei (D,?) eine vollständige Halbordnung und j.gd

das Minimum von D ist. Auf D ist eine zweistellige Relation

"<" (Scott [23]) definiert durch:

x<y ** (VAC D, A gerichtet) (y 5 supA =» (3aG A) x=a ). Eine

Teilmenge B von D heißt Basis der CPO 5, g.d.w. für alle

xG d die Menge ^x'-= (bG B Ib< x} gerichtet und x= supB

ist. Besitzt eine CPO eine Basis, so heißt sie stetig.

Es sei 5 eine stetige CPO mit Basis B. Dann ist auf D eine Topo

logie xD - die sogenannte Scott-Topologie - definiert durch ihre

topologische Basis {0 | b G B} , wobei für bGB 0== {xGD|b<x}

ist. Man macht sich leicht klar, daß (D,x ) ein separabler T -Raum

ist, wenn 5 eine abzählbare Basis besitzt.

Für effektive CPO's (d.h. stetige CPO's mit einer effektiven Basis

numerierung ß) haben K.Weihrauch und G.Schäfer [41] (berechenbar-)

zulässige totale Darstellungen mit Hilfe zweier Axiome beschrieben

und gezeigt, daß hierfür CPO- und Darstellungs-Berechenbarkeit über

einstimmt. Es zeigt sich, daß eine stetige Verallgemeinerung dieser

Axiome genau die (im Sinne von §3.2) zulässigen Darstellungen von

(D,x ) charakterisiert.

- 67 -

3.27 Satz

Es sei 5 eine stetige CPO mit abzählbarer Basis B und ß

eine beliebige Numerierung von B. Eine Darstellung 6:IF— D

ist zulässig bezüglich (D,xD) g.d.w. sie die folgenden zweiAxiome erfüllt.

(A1) Es gibt ein TG[F-F] mit (VpG dom.6 ) IM,, = .{ilß^öp},(A2) Es gibt ein EG [TF -F] mit der Eigenschaft

6E(p) = sup ß(mp) falls {ßi IiG Mp} gerichtet ist.

Insbesondere ist eine Darstellung genau dann zulässig, wenn sie

t-zulässig im Sinne von Weihrauch/Schäfer [41] ist.

Beweis

Sei 0^= {xeD |ß±< x}. Dann ist o Numerierung einer Basis von t und

die zugehörige Standard-Darstellung 6 erfüllt:

dom6Q ={p |(3xe D) IMp= {i |ßi< x}} und 6^= sup ßW falls pe dom6 .

Hieraus ist unmittelbar zu entnehmen, daß eine Darstellung 6:IF—*D das

Axiom (AI) genau dann erfüllt, wenn 6 S 6 gilt. Ebenso folgt direkt, daß

die Gültigkeit von (A2) für eine Darstellung 6 von D impliziert 6 s 6.

Es gelte nun 6Q Sfc 6 mittels Ae[ff* ff]. Da für jede gerichtete Menge

ßmp gilt ßi< supßmp <» (3j emp) ßi< ß3 *,gibt es ein totales SJe[ff -. ff]mit m«(p) ={i 'ßi< supßIMp) -insbesondere also 6Qfl(p) =supßM - fallsßlM gerichtet ist. Damit genügt 6 dem Axiom (A2) mit E:=A»n.

Für eine stetige CPO D mit Basis B gilt nach Scott [33]:

*istXcD gerichtet, so gilt y<supX<» (3xeX) y<x.

- 68 -

Aus dem Beweis folgt sogar für jede Darstellung 6:F • D

6 5 6 o 6 erfüllt (A1) (6 ist "analysierbar"),

6Q <fc 6 *> 6 erfüllt (A2) (6 ist "synthetisierbar").

Bemerkenswert ist, daß damit die Axiome (A1) und (A2) unabhängig von

der Wahl der Basis und ihrer Numerierung ß sind. Dies ändert sich

natürlich, wenn man zu der berechenbaren Version der Axiome übergeht,

da eine Numerierung und ihre Effektivitätseigenschaften die induzierte

Berechenbarkeitstheorie sehr stark beeinflußt (s. Kanda/Park [17]) .

Jedoch lassen sich durch zusätzliche Anforderungen an S auch ge

wisse Normalformen berechenbar zulässiger Darstellungen von CPO's

entwickeln. Näheres hierzu findet man in den Untersuchungen effektiver

CPO's durch Weihrauch und Schäfer 141].

- 69 -

Darstellungen in der konstruktiven Analysis

4.1 Darstellungen der reellen Zahlen

In der Vergangenheit wurden viele verschiedene Darstellungen

der reellen Zahlen im Hinblick auf ihren Nutzen für die rekursive

Analysis untersucht (siehe z.B. Turing [37], Specker [36 ] ,Grzegor-

czyk [11], Hauck [12], Ko [19] und Deil [ 6 ]).

Wir wollen in diesem Abschnitt einige typische Beispiele für Dar

stellungen von IR vorstellen: die (uneingeschränkte) Cauchy-Dar

stellung, die normierte Cauchy-Darstellung, die Dezimal-Darstellung

und die Darstellungen durch Aufzählung oder charakteristische Funk

tionen von Schnitten. Diese Darstellungen wurden bisher meist nur

in bezug auf Berechenbarkeitsaspekte miteinander verglichen. Hier

soll nun gezeigt werden, daß die wesentlichen Unterschiede dieser

Darstellungen bereits auf topologischen Gründen basieren und damit

nicht von der Church'sehen These oder irgendeinem Berechenbarkeits-

mode11 abhängen.

Auf der Menge IR der reellen Zahlen ist die Standard-Topologie t

definiert durch die Basis {(x;y) I x,y G (ß, x<y} der offenen Inter

valle in IR mit rationalen Endpunkten. Bekanntlich bildet der Raum

(IR ,x ) einen separablen T -Raum und besitzt damit auch zulässige

Darstellungen, durch die Stetigkeit auf IR hinreichend beschrieben

werden kann. Wir werden nun explizit eine zulässige Standard-Dar

stellung p von IR definieren, die sich auch für eine sinnvolle

Berechenbarkeits- und Komplex!tätstheorie auf IR eignet.

- 71 -

Hierzu sei für nG * V= ^.j-n, mejz} und ^.„y^, n€]N} dieMenge der dyadischen Rationalzahlen. 0>D kann numeriert werden durchv<i,j,k> := (i-j)-2~k. Es sei vD eine bijektive Numerierung von ffl ,die (m-)äquivalent zu v ist. Eine Numerierung I von offenen In

tervallen mit dyadischen Randpunkten sei definiert durch

^i.k) := 1<i'k> := (vD(i)-2-k;vD(i)+2-k).Man sieht sofort, daß fflD dicht in IR liegt und daß I Numerierungeiner Basis von xR ist. Die Numerierungen vß und I sind in einemgewissen Sinne effektiv, da alle grundlegenden Funktionen (bzw. Prä

dikate) berechenbar (bzw. entscheidbar) bezüglich vD und Isind.Nach Abschnitt 3.2 induziert I eine zulässige Darstellung 6des separablen TQ-Raumes (IR ,T ) durch

dom6x := {p | (3x6 IR) M = {j |xGI.} } undp 3

6jP := das XGIR mit {x} = n{Ij ,jeM } für pGdomö .Ebenso induziert nach Abschnitt 3.5 die Numerierung v eine zu

lässige normierte Cauchy-Darstellung des separablen metrischen Raumes

(3R ,1 I). Eine leichte Modifikation dieser Darstellung führt zu derfolgenden Definition.

Definition

Die Standard-Darstellung p von B ist definiert durch

domp := {p|(vk) (vQp(k) g^ a|vDp(k)-v p(k+1) |<2~{k+1)) },und pp := lim vDp(n) für pG domp .

Die Elemente des Definitionsbereiches von p lassen sich als Namen

für normierte Cauchy-Folgen auffassen. Dies wird in dem folgenden

- 72 -

Diagramm veranschaulicht. Jeder Name pG domp entspricht hierin

einem unendlichen absteigenden Pfad und umgekehrt gehört zu jedem

absteigenden Pfad genau ein pG domp .

Man sieht unmittelbar, daß für jedes x G ir die Menge der gegen x

konvergierenden Pfade einen endlich verzweigten Baum bildet. Diese

Aussage wird ausgedrückt im Teil (3) des folgenden Satzes, der die

wichtigsten Eigenschaften von p zusammenfasst.

4.1 Satz

, insbesondere ist p zulässig .

(2) domp ist c-abgeschlossen (d.h. F\ domp ist beweisbar).

(3) p K ist kompakt für jede kompakte Teilmenge K von IR

- 73 -

(1) Es gibt ein berechenbares T:F F, so daß für alle pedomp giltMr(P) ={J '<3i> CvD(i)-2-i;vD(i)+2-i]cI.} ={j, pp£y ^ damitPP = 6jr{p). umgekehrt lässt sich mit Hilfe einer Orakel-Turing-Maschine

ein berechenbares A: F-- F konstruieren mit der Eigenschaft:

Für alle pedomöj gilt A(p) edomp und für alle n gibt es ein

jeMp mit Ijc[vDA(p)(n)-2-n;vDA(p)(n)+2-n] ,also ^(p) =pA(p).(Man beachte, daß für pedorn «^ ,neK immer ein Intervall I mit

jeMp ,mit Durchmesser 2~n und mit xeI. existiert.)

(2) Per Definition gilt

IF \domp = U{[a ..a ]| v a *(ß v |v a -v a I> 2~n}o n D n T*n ' D n-1 D n' ' *

Damit ist domp c-abgeschlossen.

(3) Sei K eine kompakte Teilmenge von *. Es ist zu zeigen, daß p-1K

abgeschlossen und wachstums-beschränkt (d.h. es gilt p(n) Sq(n) für

alle pep-1K, neIN und ein festes qeff ) ist 2). Da p als zulässigeDarstellung insbesondere stetig ist, überträgt sich die Abgeschlossen

heit von K unmittelbar auf p_1K. Weiterhin ist K beschränkt in IR ,d.h. es gibt ein n eIN mit Kc [l-n;n-l] c m . Definiere q e ff durch

q(i) := max{j| vD(j)n ffiic[-n;n] } . Dann ist q eine Wachstumsschranke

für p K und damit ist p_1R kompakt.

Die Definitionsbereiche der Darstellungen p und 6X sind auch imBezug auf Berechenbarkeit sehr einfach, da die Mengen S und S

p l

mit Sp= {i| [v^i)] n domp ? 0 } und S^ {i| [^(i)] ndorn 6J. j* 0}entscheidbar sind. Zwei weitere Eigenschaften von p sind für technische Beweise von Bedeutung.

- 74 -

4.2 Lemma

(1) Sei p':F—-F» definiert durch

domp' := {pedompl(vn) lvDp(n) - vDp(n+2) |<2~(n+1'} ,p' p : = p p für p g dorn p' .

Dann gilt p = p?.c

(2) Für xG IR , pG domp , ie M gilt

|x - vDp(i) I<2~L o OqeP_1{x}) pLLl = qCi].

Beweis

(1) p's p gilt mittels der Identität auf ff. Für die Umkehrung definiere

E: F-* ff durch

(P(n)

min (i|v

falls v_p(n+3)e QE(p)(n) := { f n"1'

JD{i)eQnA IVpdJ-VpPtn+SJlS 2 vnT1'} sonst.

Dann ist E berechenbar und es gilt für alle pe domp , ne XI

und |vDE(p)(n)-VDE(P)(n+2)IS 2~{n+1) und|vD5:(p)(n)-vDE(p)(n+l)U2"(n+1) , also E(p)edomp'. 3)

Weiterhin gilt |v E(p)(n)-v p(n)|< 2~n für alle pedomp und damit

insbesondere p'E(p) = lim v E(p)(n) = pp .

(2) Folgt direkt aus |x-v p(i) |ä 2~X <> xep[p ].

Da p zulässig ist, gilt dies natürlich auch für die Produktdarstel

lungen pn von TRn und p™ der unendlichen Folgen in IR . Eine

unmittelbare Folgerung hieraus ist das Rice'sehe Theorem für pn.

4.3 Korollar (Satz von Rice)

Sei X c IR eine nichtleere Menge.

Dann ist (p ) X nicht entscheidbar und nicht abgeschlossen.

- 75 -

In diesem Fall ist der Satz von Rice nichts anderes als die wohlbe

kannte Tatsache, daß lRn keine nichttrivialen Teilmengen besitzt,

die zugleich offen und abgeschlossen sind. Dies hat zur Folge, daß

man in IRn auch keine nichttrivialen Eigenschaften entscheiden kann.

So gibt es z.B. kein berechenbares r:F—F (nicht einmal ein ste

tiges) mit T<p,q> = ( 0 falls pp =pq, 1 sonst). Gleiches gilt auch

für die Eigenschaft pp<pq. Allerdings ist die Menge {(x,y)| x< y}

p-beweisbar, was für {(x,y)| x< y} schon nicht mehr gilt. Man beachte,

daß der Satz von Rice bereits aufgrund topologischer Eigenschaften

der Darstellung p Gültigkeit hat, während Berechenbarkeitsargumente

hierfür keine Rolle spielen (p ist z.B. auch nicht fastvollständig,

da p {5} und p" {-5} effektiv trennbar sind). Gleiches gilt auch

für die meisten in der Literatur gebäuchlichen Darstellungen, da diese

(c-) äquivalent zu p sind. Beispiele hierfür sind die folgenden

Darstellungen (vgl. Deil [ 6]):

(1) Die von der polnischen Schule der rekursiven Analysis (Grzegor-

czyk [11]) verwandte Darstellung 6 :F-—«IR mit

6pq -x» (vn) IVQp(n) _ I < 1n+1 A| " n+1

(Dabei sei v eine "effektive" Numerierung der rationalen Zahlen)

(2) Die Intervalldarstellung ö^jtP—-TR (Weihrauch/Deil [39] ) mit

<p,q> Gdom &L:1 «»Die Folge (|vfflp(k) ;v q(k)] )fc ^ bildet eine

Intervallschachtelung,

6Q,]<P/q> := ^ vfflp(k) für <p,q>Gdomö, .

(3) Die Intervalldarstellungen 6( ,6 , und & mit offenen bzw.

halboffenen Intervallen.

- 76 -

(4) Die Darstellung 6 durch normierte Cauchy-Folgen in ffl mitNC

dorn 6NC := {p I(Vi) lvÄp(i) - v9p(i+1) l< -^6 pNC *

:= lim v p(i) für pe dorn 6. Q> NC

und

In der konstruktiven und rekursiven Analysis werden wir fast aus

schließlich auf p bzw. äquivalente Darstellungen zurückgreifen.

Von Interesse sind auch die folgenden zwei Darstellungen, welche

durch Aufzählung von links- bzw. rechtsseitigen Dedekind-Schnitten

entstehen.

Definition

Darstellungen p

domp

domp

P. P

und von IR seien definiert durch

= {p I v W ist nach oben beschränkt }

= sup v Mr D

= {p | v M ist nach unten beschränkt }

= inf v MD

für p£ domp

für p e dorn p

p^ ist die linksseitige, p? die rechtsseitige Darstellung der reellen

Zahlen. Beide Darstellungen sind zulässig bezüglich ihrer Finaltopologien.

4.4 Satz

Es seien x und x. die Finaltopologien von p bzw. p .

(1) T< = {(x;») | xGJRu {-«,»} }, x> = {(-»;x) | xeEu {-»,»} }.

(2) Durch üt := ( vD(i);°° ), V£ := ( -°°,vD(i) ) seien Numer

ierungen einer Basis von x bzw. x definiert.

Dann gilt 6 = p und 6 5pu c < v c >

Insbesondere sind p und p zulässig.

- 77 -

Beweis

Wir betrachten nur p< , da der Beweis für p analog verläuft.

Aus der Definition von 6 folgt:

dorn 6o ={p |(3x£K) Mp= {j| VQ(j)< x}} = domP< und insbesondere

•S..P = P, P für alle p £dorn S„ , d.h. 6 £ p .u KvDP(i)J = ^3 IP^«",} und somit p< p=<5 r(p).Damit ist (2) bewiesen. (1) folgt aus (2), da 6 eine Standarddarstellung

von (K,t ) ist.

Der folgende Satz beschreibt die Relationen zwischen p , ps und p

4.5 Satz

(1) p e Infc{p} .

(2) P< *t P ' P> *t P.(3) p< und p> sind bezüglich topologischer Reduzierbarkeit

unvergleichbar.

Beweis

(1) Es gibt ein berechenbares T: T - F, so daB für alle p £F , i £W gilt

vDr(p)U) = vDP(i) - 2 . Es folgt p<cP< mittels r. Analog zeigt man p<

Es sei nun 6 das Standardinfimum von p und p (Satz 3.14). Dann gilt

dorn 6= {<p,q> |pedomp< ,qedomp^ , pp= pq} und 6(p,q> = pp für

<P»q> edorn 6 . Es gibt nun eine berechenbare Funktion A: F—-*F mit

A<p,q>(n) = min{i|v (i)effln a (3j)(v d(j)e[v (i)-2_i;v (i)] )

A (3k)(vDq(k)£[vD(i)1-vD(i)+2~i] )} für <p,q)edom6Also gilt 6s p und damit die Behauptung.

- 78 -

c >

(2) und (3) folgen auu Lemma 3.5 und der Charakterisierung der Finaltopo-

logien von p, p und p .

Bei einer vorgegebenen Darstellung 6: IF—-M kann man sich fragen,

welche Informationen über ein x e M man in endlich vielen Schritten

aus einem 6-Namen p für x erhalten kann. Im Falle der Darstellung

M : IF - P ist z.B. jedes nGW stetig zugänglich aus dem Namen p

aber nicht ein einziges m<fc IM . Formalisiert bedeutet dies:P

Die Menge M+ := {(n,A) G BJxp^ | n6A) ist [id^ ,IM] -beweisbar aber

nicht [id^ ,IM] -clopen. Aufgrund von Korollar 3.7 lassen sich

zulässige Darstellungen - bis auf Äquivalenz - eindeutig durch

dieses Konzept der stetig zugänglichen Information charakterisieren.

Für die bisher vorgestellten Darstellungen von TR ergibt sich dabei

folgendes.

4.6 Lemma

(1) p< ist die größte Darstellung 6 von IR , für die

M< := {(d,x) GQ^x ir | d<x } l vD,6] -(c-)offen ist.

(2) p? ist die größte Darstellung 6 von IR , für die

M> := {(d,x) G^x m | d>x} [vD,6] -(c-)offen ist

(3) p ist die größte Darstellung 6 von B , für die

sowohl M^ als auch M lvD,5]-(c-)offen ist.

Man beachte, daß der Begriff "größte Darstellung" nur bis auf

t-(c-)Äquivalenz eindeutig ist.

- 79 -

Beweis

Nach Lemma 3.7 ist eine Darstellung & von (M,t) genau dann zulässig, wenn

sie die größte stetige Darstellung von (M,t) ist. Für eine Numerierung U

einer Basis B von t und eine Darstellung «5 von (M,t) gilt nach Lemma 3.5

6 ist stetig « 6 Sfc 6y «» {(b,x)e Bxm | xeB} ist [u,<S]-offen.

Mit den Basisnumerierungen aus Satz 4.4 folgt nun (1) und (2). Punkt (3) er

gibt sich hieraus mit Satz 4.5(1).

Wir wollen nun einige gebräuchliche Darstellungen diskutieren, die

bereits aus rein topologischen Gründen für die konstruktive Analysis

auf (IR,x ) unbrauchbar sind.

Die erste Darstellung dieser Art ist die uneigeschränkte Cauchy-Dar-

stellung (vgl. Abschnitt 3.5 - metrische Räume).

4.7 Satz (Cauchy-Darstellung)

Für die Cauchy-Darstellung 6 : IF—-IR mit

dom6c= {p I (vDP(i))i€jN ist eine Cauchy-Folge } und

6cp = lim vDp(i)

gilt

(1) die Finaltopologie t von ö ist trivial, d.h. t = {0,IR},

<2> P< Sc 6C ' P> *c 6C'

(3) 6c *t p< ' 6c *t p>' 6c *t p'

- 80 -

Beweis

(1) Sei XcB nichtleer und t -offen, d.h. es gibt ein AcW(U), A?«0 mit

6 X = { Cw] |w£ A } dorn 6 . Da für alle w e A, y c TR immer ein p« 6 {y}

mit p e[w] existiert (eine Cauchy-Folge kann beliebig spät konvergieren),

folgt X = R also x = {0,R }.

(2) Zeigt man durch Programmierung geeigneter Reduktionsfunktionen (Deil [6] )

(3) Folgt aus der Charakterisierung der entsprechenden Finaltopologien.

Die Darstellung 6 besitzt also die Eigenschaft, daß keine Infor

mation über eine reelle Zahl stetig zugänglich aus ihrem Namen

p Gdorn6 ist, denn ein Anfangsstück einer Cauchy-Folge liefert noch

keinerlei Information über ihren Grenzwert. 6 ist damit natürlichc

auch nicht zulässig. Aus diesem Grunde kann der Satz über die Charak

terisierung darstellungsstetiger Funktionen (3.8) auf 6 nicht an-C

gewandt werden. Stetigkeit relativ zur uneingeschränkten Cauchy-

Darstellung ist bis jetzt noch nicht voll verstanden. Zwar läßt sich

zeigen, daß jede (p,p)-stetige Funktion auch (6 ,6 )-stetig ist,

jedoch ist es nicht klar, ob die Umkehrung ebenfalls gilt.

Eine der häufigst benutzten Darstellungen der reellen Zahlen

ist die r-adische Darstellung ( rä2, oft r = 2,8 oder 10 ).

Bekanntlich liegen die endlichen r-adischen Brüche dicht in IR und

lassen sich daher als Approximationen für reelle Zahlen verwenden

(z.B ffl für r = 2 ). Die unendlichen r-adischen Brüche dagegen

sind für die Darstellung reeller Zahlen nicht sonderlich gut geeignet.

Wir wollen das hier am Beispiel r = 10 demonstrieren. Der allgemeine

Fall, kann ähnlich behandelt werden.

- 81 -

4.8 Satz ( Dezimal - Darstellung )

Die Dezimal-Darstellung &DBZ'- E"—"3R sei definiert durch

dorn 6DEZ:= {pl (Viä2) p(i) < 10} ,

*na P := <"1)P(0) *z P<i)'10-(i-l).i>0

Es gilt dann

(1) die Finaltopologie von 6^ ist die Standardtopologie auf IR,

(2) die Abbildung f := xt*3x ist nicht (6 ,6 )-stetig,DEZ DEZ

(3) 6DEZ ist nicht zulässig,

(4) 6DEZ SC P ' P *t 6DEZ '

Beweis

(1) Der Nachweis 6 s p ist eine einfache Programmierübung (s. Deil [6 ])

Damit folgt t^c t^^. sei nun xcj 6DE2_offen "«<* x£ X. Falls x kein

endlicher Dezimalbruch ist, so gibt es ein p£6"1 {x} mit p £ (wOOO...),

5DEZ steti9 (bezüglich T^DEZ

PI« (w999...) für alle weW(]N). Da 6 stetig (bezüglich T ) ist,

gibt es ein n mit 6DEZCP ]<=*• Aufgrund der Voraussetzungen an p ist

diese Menge eine (t^) -Umgebung von x. Ist x dagegen ein endlicher Dezi

malbruch, so gilt x = 6 p = 6 q für gewisse p,q£F mit p(i) = 0,iJCäCä DEZ

q(i) =9 für fast alle i. Wieder gibt es ein n mit 6 CpCn]] ex .Cn] DÖDEZ[q "]CX Und die Menge 6DEZ( tPCn]]u[qCn3]) ist eine TR -Umgebung

von x. Damit.besitzt jedes x eX eine Umgebung in X , d.h. xct

(2) Es sei angenommen: 6DEzr(P) =3-<SDEZP fflr ein r:IF—»IF und alle

pedom fiDEz. zwei Folgen (pn> und (q ) in F seien definiert durch

Pn :«= (0033^3300... ), q^ != (0033. .3400... ).

n^Jfi n-malDann gilt r(pn) = (0099..9900... ), r(q ) «. (0100?To200... )

für alle n. Dies bedeuted lim T(p )/ lim T(q ) obwohl lim p = lim q" " n n

ist. T kann also nicht stetig sein.

- 82 -

(3) Folgt direkt aus (2) mit Satz 3.8.

(4) £ £ p ist bereits bekannt, p £ £ widerspricht wegen (3) derDEZ C t Uuu

Zulässigkeit von p .

Es sei 6 die r-adische Darstellung ( r ä 2 ). Aus der Arbeit von

Deil [ 6] ist bekannt, daß 6 £ 6 genau dann gilt, wenn r eine

Potenz von s teilt. Auch hier beruht die Negativaussage bereits auf

rein topologischen Ursachen (z.B. Satz 4.8(2) ). Zwar ist, wie wir

gesehen haben, die Finaltopologie von 6 gerade die Standard-Topo-

logie auf IR , jedoch sind viele für die Analysis wichtige (stetige)

Funktionen nicht berechenbar, ja nicht einmal stetig relativ zu 6 .

Die r-adischen Darstellungen eignen sich daher nicht für eine kon

struktive Analysis.

Eine weitere Darstellung von IR ergibt sich durch charakteristische

Funktionen von Dedekind-Schnitten.

4.9 Satz ( Schnitt - Darstellung )

Es sei scm dicht (bezüglich Tp), v:IN -S eine Numerierung.

Die linksseitige Schnitt-Darstellung von IR (bezüglich v )

ist definiert durch:

dorn ö := (p |(3xe R ) (vi) p(i)=0 «• v < x } ,Lv i

6LvP := sup {v1lp(i)=0 )

6 ist zulässig und die Finaltopologie von 6T„ besitzt dieLv LV

Basis B := {(x;y) | x,yGS und x < y} .

Entsprechendes gilt für die rechtsseitige Schnitt-Darstellung °Rv-

- 83 -

Offensichtlich ist B Basis einer Topologie t auf R . Es sei

U(i,j> := ((vi;vj] falls vi Svj' ^ sonst) und £ die durch Uinduzierte Darstellung von (IR ,t ). Dann gilt

dorn £y •> {p |(3x£ R) M = {<i,j> |v. < x <Sv.} } undP i j

£„P ist das einzige Element x von D{(v. ;v.] |(i,j)eM } .i 3 p

Es gibt berechenbare Funktionen r, A:IF —. f, so daß für pedomfi , qedomfiLV

9ilt: ( <i»j> + 1 falls p(i)=o, p(j)A) ,T(p)<i,j>

( <i,j> + 1

i:

sonst

falls (3j) <i,j>e M ,A(q)(i) = l <J

falls (3j) <j,i>e M .q

Es folgt £ S fi mittels T und 6 s fiT mittels A. Also ist £ijv c u U c Lv Lv

zulässig und hat t als Finaltopologie.

Die Finaltopologie x von 6Lv ist damit feiner als die Standard-

Topologie TjR, denn die Mengen (x;y] mit x,yes, x<y liegen

nicht in xR . Man sieht leicht, daß x stark von der Wahl der

dichten Menge S abhängt. Daher liefern z.B. S = (fi und S = (D1 2 D

keine äquivalenten Schnitt-Darstellungen. Aufgrund der Zulässigkeit

VOn 5lv hän9fc die von 6L induzierte Stetigkeitstheorie zwar

nicht von der speziellen Numerierung v der Menge S ab, wohl aber

von der speziellen Wahl der dichten Menge S. Eine Darstellung, die

so empfindlich gegenüber relativ unbedeutenden Änderungen ist, kann

nicht sinnvoll sein. Man beachte an dieser Stelle, daß man an Stelle

von p, p< und p> immer t-äquivalente Darstellungen erhält, wenn

man in den entsprechenden Definitionen vQ durch irgendeine beliebige

Numerierung einer - bezüglich x^- dichten Teilmenge von IR ersetzt.

- 84 -

In einer neueren Arbeit hat K.Skandalis (34] eine bijektive Dar

stellung von H definiert, die berechenbar äquivalent zu einer rechts

seitigen Schnitt-Darstellung ist, und dabei eine effektive Numerierung

einer Teilmenge ffl' von ffi verwandt. Durch Satz 4.9 wissen wir nun,

daß die Finaltopologie dieser Darstellung von QT abhängt und daß

die Darstellung deshalb nicht sehr natürlich ist.

Es sei 6„D die Kettenbruchdarstellung von IR (siehe Deil [ 6 ] )KB

Dann gilt 6„_ e Inf {6,6 } für eine Standardnumerierung v derKB c LV Rv

rationalen Zahlen. Nach Satz 3.16 ist 6 also zulässig und die

Finaltopologie von 6 hat die Basis { [a;b] | a,bG Q)} , d.h. auch

sie ist abhängig von der dichten Teilmenge Q von H .

Für die Darstellung 6 von IR durch Faktoriellen-Folgen

(siehe Deil [ 6 l ) gilt 6„„ ^ 6^„ und 6r < 6 , 6^ £ 6FF c DEZ Lv c FF Rv c FF

( v wie oben). Damit besitzt 6 zwar die Standard-Topologie

als Finaltopologie (3.16), ist aber nicht zulässig.

Wir beenden diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen über

berechenbare reelle Zahlen. Aus Kapitel 3.4 ist bekannt, daß jede

Darstellung 6:F —«M eine Numerierung v. der 6-berechenbaren Ele-£

mente von M induziert durch v := 6tp. Dabei definieren nichtäqui-£

valente Darstellungen im Allgemeinen auch verschiedene Klassen be

rechenbarer Elemente. Es kann jedoch gezeigt werden, daß die Dar

stellungen p, 6 , 6 , 6 , 6 (wobei v eine effektive Numer-DEZ FF KV Lv

ierung von <D sei) und 6 die gleich Art berechenbarer Zahlen

erzeugen, obwohl die induzierten Numerierungen nicht äquivalent sind

(siehe z.B. Deil [ 6] ). Die p-berechenbaren Zahlen werden daher

meist allgemein "berechenbare reelle Zahlen" genannt. Die Darstel

lungen p und o., erzeugen dagegen eine andere Klasse berechenbarer

Elemente, die üblicherweise als links- bzw. rechtsrekursive reelle

Zahlen bezeichnet werden. Diese drei Zahlenklassen und die

- 85 -

entsprechenden aus p, P< und P> abgeleiteten Numerierungen sindfür die rekursive Analysis von besonderem Interesse.

Definition

Es sei n :=P und n> := P^. 3Rc := rangen

(]R<c := ran<3er\< , lR>c := ränger\> ) ist die Menge der berechenbaren(links- / rechtsberechenbaren) reellen Zahlen.

Das folgende Lemma beschreibt die Relation zwischc n, n< und r\>

4.10 Lemma

D

(1) nGmfc {1^,1^3

(2) 3Rc= nR<cnIR>c, IR<c(fjR>c, IR>cCflR<(

(1) Folgt aus p £ Inf (p ,p } und Lemma 3.21.c < >

(2) Sei K eine rekursiv-aufzählbare aber nichtrekursive Teilmenge von IN .

Dann ist xR := ^ 2x linksrekursiv aber keine berechenbare reelle Zahl 4)

Entsprechend folgt "*K £*<c \ K, .Mit (1) folgt hieraus die Behauptung.

Da n fastvollständig ist, gilt der Satz von Rice für berechenbare

reelle Zahlen, d.h. auch auf IRc ist keine nichttriviale Eigenschaft(relativ zu n) entscheidbar.

- 86 -

4.2 Darstellungen offener und abgeschlossener Teilmengen von IR

Die Menge aller Teilmengen von IR ist mächtiger als IF und

kann daher nicht durch Darstellungen beschrieben werden. Einige Aus

sagen der klassischen Analysis lassen sich aus diesem Grunde auch

nicht konstruktiv mit dem Darstellungskonzept formulieren. Hierzu

zählen z.B. Sätze wie "Jede beschränkte Teilmenge von IR besitzt

eine kleinste obere Schranke", da auch die Menge der beschränkten

Teilmengen von IR zu reichhaltig ist. Häufig kann man jedoch effek

tive Versionen klassischer Sätze beweisen oder zeigen, daß eine kon

struktive Version nicht gelten kann. Zuweilen gibt es sogar verschie

dene effektive Formulierungen desselben Satzes, die abhängig sind von

der jeweils zugänglichen Information über das betreffende Objekt, also

von der Darstellung. Wir werden in diesem Abschnitt für einige in der

Analysis gebräuchliche Klassen von Teilmengen von IR diverse "Stan-

dard"-Darstellungen definieren und miteinander vergleichen.

Wir beginnen mit Darstellungen der offenen Mengen (vgl. Abschnitt 3.3).

Definition

Die topologische Standard-Darstellung co :IF -x ist definiert durch

co := u(p) := U{lk |k£Mp) *

(Dabei ist I die Numerierung der offenen Intervalle mit dyadischen

Endpunkten aus dem vorigen Abschnitt.)

*

Die in Kapitel 2 definierte Darstellung der offenen Mengen in F wird der Ein-

- 87 -

Wir wollen nun die Finaltopologie x von w auf x charakter

isieren und zeigen, daß u zulässig ist.

4.11 Satz

Es sei ü := {XGx | K CX} (mit K, := U{I | n€ d. } * )J JK J 3 n j

und x die durch die Basis {v^ |j<= u} induzierte Topologieauf Tm . Dann gilt

C) (Tjß i t) ist ein separabler T -Raum,

(2) u =c 60 (die durch U induzierte Standard-Darstellung),

(3) o) ist zulässig.

Beweis

(1) Offensichtlich ist U Numerierung einer Basis einer Topologie auf xIR*

Sind A,B verschiedene Elemente von T , so gibt es (o.B.d.A.) ein x £R

mit x £A \B und damit gilt x £1 <= i =K.= A für gewisse j,n £W alson n 3

Aeu. und B <iu.. Hieraus folgt (1).

(2) Die Definition von £ besagt: dornfi = {p | (3X£T ) M = fi | x £U 11,u U 3RpLJ j

und für p £dom£ , j£IN: j£M*>KcäDU P j U*

Es gibt nun ein berechenbares T:F -*3F mit M , = fn | (3j eM ) n£ D \T(p) p j->"

Dafür A£Tm gilt A= UÜJi^A}, folgt ur{p) „ &^p für p£ta^(d'h* 6u 5c W" Für dio Urakehr«ng definiere A:F - F durch

!j+l falls K. c U{ I | n £M } ,D n p,i

O sonst.

wobei M := {n ! (3m£D ) p(m)=n+l}. Dann ist & berechenbar und, da Kj

für alle j kompakt ist, gilt für p£3F, j £ IN :

K3CV= U{ln,neMp} * <3i>< V U{Inln€Mp,i»~ jCMMP)-Es folgt « £ £ mittels A.

c U

(3) Ergibt sich unmittelbar aus (2).

* —

I„ ist der Abschluß von I .n

- 88 -

Die Charakterisierung von x ist eine Variante eines Resultats von

Hay & Miller [15], das die Finaltopologie der Darstellung co der

offenen Teilmengen von IF beschreibt. Die wohl wichtigste Eigen

schaft von co (und 6 ) ist, daß jede wahre Information "I, c co "

stetig aus dem Namen p gewonnen werden kann. Wir wissen außerdem

durch Lemma 3.13, daß co äquivalent zu der durch p induzierten

Darstellung co ist. Eine genaue Betrachtung des zugehörigen Beweises

zeigt, daß diese Äquivalenz sogar berechenbar ist.

4.12 Korollar

Es sei co : IF—• x„ definiert durchp IR

p Gdom cop : ~ (Vq,q* e dorn p) ( pq = pq' •> X (q) = X (q') ) ,

co p := p(domy ) für p £ dorn co .pf ^v *p' * p

Dann gilt co = co und co ist zulässig.^ p c p *

Eine neue Darstellung der offenen Teilmengen von IR erhält man durch

eine Betrachtung abgeschlossener Mengen, d.h. Komplemente offener Men

gen. Da IR vollständig ist, gilt für jede abgeschlossene Menge A c IR:

A= n u {I.. .|(j,n)eH ) mit M = (k |AnI ?f 0}. (Man beachte,n j •* ,n A A k

daß der Durchmesser des Intervalls I. . genau 2~(n~1) ist.)v 3 , n ;

A ist also durch M eindeutig festgelegt. Diese Beobachtung führtA

zu der folgenden Darstellung co von IR.

Definition

Es sei co :IF—• IR definiert durchc

p e dorn co : o TM = {k | I \B f 0} für ein B e x ,c p k IR

co p := m\nu jl. | <j,n> e MJ für pe dorn co .c n j v j , n ' F c

- 89 -

Der folgende Satz gibt die wichtigsten Eigenschaften von co wieder,

4.13 Satz

Es sei Vj := {X 6 TjR | (VkSD ) lfc\ X + 0} und x die

Topologie auf t^ mit der Basis {V.| je in }. Dann gilt

(1) (xm ,t) ist ein separabler T -Raum,

(2) co = 6 , d.h. co ist zulässig,c c V c

(3) co * co und co 1,. coet t c

(1) Man sieht sofort, daß die Menge (V | je W } Basis einer Topologie

T auf t bildet. Sind A,B£t , A f B so gibt es (o.B.d.A.) ein xeR

mit x £ A \ B und somit x c I c A für ein n e Jl . Für 1 mit D, = {n}n j

gilt also A^V und BeV (da x eI \ B), d.h. x ist separabel.

(2) Aus den Definitionen von u und fi„ folgt für X e x :c V IR

X = ü> p ** M ={k|I \X ? 0} und X = fi a o M = {j |(Vk eD.) I, \ X t 0}.c p k V q j K

Da es berechenbare Funktionen Z,r:F-» F gibt mit M ={j|DcM)E (p) j P

und W = {k |(3j £M ) k eD } folgt die Behauptung.

(3) Ergibt sich direkt aus der Unvergleichbarkeit der zugehörigen Final-

topologien.

Da co und coc unvergleichbar und zulässig sind, wird durch

co := co n coc eine weitere zulässige Darstellung von x definiert.

Die Finaltopologie von co besitzt nach Satz 3.16 die Basis

{u<i,j>' <i'3>G^N} mit U<lj) = {XeT]R| K. ex und (VkeD.) I c[:X}J k

Man beachte, daß D = 0 also V = x isto o m

- 90 -

Eine vierte Darstellung cö von x erhält man entsprechend über

das Standard-Supremum von co und co . Da aufgrund von Lemma 3.15

_ *

die Finaltopologie von co genau die diskrete Topologie {0,xm)

ist, kann co nicht zulässig sein.

Als nächstes betrachten wir abgeschlossene Teilmengen von IR .

Da Abgeschlossenheit und Offenheit zueinander duale Begriffe sind,

ergeben sich aus den Darstellungen co, co , co und co durch Komplemen

tieren unmittelbar vier verschiedene Darstellungen abgeschlossener

Mengen.

Definition

Die Darstellungen a, a , a und a der abgeschlossenen Teilmengen

von IR sind definiert durch:

(1) ap := u {IR\I. I k eiM } für alle pe if ,K p

(2) p<= dorn a :«• M = (k| I n A ji 0) für ein abgeschlossenes AC IR,

a p := n u [ i . I <j,n) e IM } für pe doma ,cr n j <3,n> -" p r c

(3) a:=ana , ä:=aua

Durch Anwendug von Satz 3.1.7 können die v/ichtigsten Eigenschaften

dieser Darstellungen direkt aus denen von co und co abgeleitet

werden.

Für alle i gilt : (0 c U.={x [ K. c x}) "-> K.=0 und Ec ü.

sowie (IRcV.={X | (VkcD.) Ii X}) =» D =0 und 0£V.i i k i l

Es folgt hieraus, daß x n x = {0, x } ist.u Cd R

- 91 -

4.14 Korollar

(1) Es sei Uj := (YC]R|y ist abgeschlossen und Y nK. = 0}.

Die Finaltopologie von a wird erzeugt durch die Basis

(U\ | j e IN } und a ist zulässig .

(2) Sei V := {Ycm |Y ist abgeschlossen und (vkSD ) I nY 4 01,j j k

Dann ist ac zulässig bezüglich der durch die Basis

{V. 1j 6 in } erzeugten Topologie .

(3) a und a sind unvergleichbar .

(4) a ist zulässig und die Finaltopologie von a wird erzeugt

durch die Basis {V? n v?| <i,j)eu} .

(5) Die Finaltopologie von ä ist die diskrete Topologie.

a ist nicht zulässig.

über Abstandsfunktionen dft := xn-d(x,A) := inf { |x-y| | y6A]

für nichtleere Mengen A c jr erhält man weitere Darstellungen der

abgeschlossenen (nichtleeren) Teilmengen von IR . Die Eigenschaft

dA = dß «• Ä = I induziert eine bijektive Relation A — d zwischen

den abgeschlossenen nichtleeren Mengen und den AbStandsfunktionen.

Da jede Abstandsfunktion stetig ist, ist sie insbesondere auch

( P, P)~, ( P# P<)- und ( p, p>)-stetig. Die Standard-Darstellungen

dieser Funktionen (s. Kapitel 3.3) liefern uns die folgenden Darstel

lungen abgeschlossener Mengen.

- 92 -

Definition

Darstellungen a^,, a> und a., der nichtleeren abgeschlossenen

Teilmengen von IR seien definiert über

pedom a< :«• (3A C m , a ? 0) (VqSdorn p ) d(pq, A) = p^,^ (q) ,

a.p := {x em I(Vqep"'{x) ) p<Ci (q) = 0} für pedoma< .a> und a sind analog definiert mit p bzw. p an Stelle von p

In Bishop's [ 2] konstruktiver Analysis wird eine Menge ACE

"located" genannt, wenn die Abstandsfunktion d "existiert". DaA

aus jedem a -Namen einer abgeschlossenen Menge A konstruktiv ein

Name der Abstandsfunktion d gewonnen werden kann (mittels id ),

wird die Eigenschaft "located" in unserer Theorie durch die Dar

stellung a^ bzw. durch die hieraus stetig erhältliche Information

ausgedrückt.

Wir zeigen nun, daß o^ und a bzw. a> und a , a und a im

wesentlichen -d.h. bis auf Namen der leeren Menge- äquivalent sind.

4.15 Satz

Es seien a' bzw. a' die Restriktionen von a bzw. a aufc c

die Namen nichtleerer Mengen. Dann gilt

(1) a< =c a' ,

(2) a = a' ;> c c

(3) ax e mf {a< , aj .

- 93 -

(1) Es gibt eine total-rckursive Funktion q:3N» IN mit der Eigenschaft

vD(i) = P*,^ für alle i£ W. Damit läßt sich nun leicht (unter Verwen

dung der Definition von Ps.) eine berechenbare Funktion A:F * F programm

ieren mit IMÄ(p) = {<i,j> |2"3 <P^ptcPg^j) =d(vD<i), a<P)}= (<i,j> I i, ,|Ha,p= (l] für alle pedoma .

'i»3' ** <

Es folgt a'A(p) = fHs^ . ,} ]i . n a p =0) =a p, also o Sa'.

Andererseits gilt für p£doma', q c domp , i £ in mit v (i) > O :

v (i) < d(pq , a'p) « Cp q -vfi) , p q+v (i) ] c u { I. | j c M } .u DD 3 P

Aufgrund der Kompaktheit beschränkter abgeschlossener Intervalle kann man

eine berechenbare Funktion r:3F *F programmieren, so daß für pc: dorn a' ,

qedomp gilt: IM p( g) = {i |vD(i) <d(p q,a'p)} d.h. pr<p,q> =d(pq,a'p)

Das smn-Theorem liefert nun eine berechenbare Funktion E:lF-«-F mit

r<p,q) ='I'j./pjfq)- Damit gilt a' < a mittels l.(2) Ahnlich zu (1).

(3) Wegen p £Inf {p<,p>} gibt es berechenbare Funktionen A , A , A:IF * F

mit pp= p^.Ajtp) = P>A2(p) und pA<q,r) = p<q für alle p c dorn p , q •• dorn p

r £ dorn p mit p q = p r.

Für pedoma folgt a p={x| (Vpcp_1{x}) p$ q=p A» q=p A„$ q = 0} .*• i P * 1 p > 2 p

Gilt umgekehrt a^ - a>r, so ergibt sich

c^q = {x I(Vpcp {x}) p<$ p =p^P = pA<iJ/ P,iJ»rP> =0}. Man wähle nunmit dem smn-Theorem r , r und r:lF- IF mit \b , . = A ffi ,1 2 rr*j (p) lyp'

*r (p) = A2*p und ^r<p,q> = ^%'^q ' DieS Uefert die gewünschten Reduktionsfunktionen .

- 94 -

Außer den offenen und abgeschlossenen Mengen lassen sich noch einige

größere Klassen von Teilmengen von IR durch Darstellungen beschrei

ben. So könnte man z.B. analog zum Kapitel 2 eine Darstellung der

G.-Teilmengen von IR angeben durch £Rp := n g I <JL .j. Entsprechend

wären auch die anderen Klassen der Borel-Hierarchie ( F -Mengen etc.)

darzustellen. Da diese jedoch nur eine geringe Bedeutung in der Ana

lysis besitzen, soll dieses Thema hier nicht weiter vertieft werden.

- 95 -

Kompaktheit in der konstruktiven Analysis

5.1 Kompakte Mengen - der Satz von Heine-Borel

In der klassischen und konstruktiven Analysis spielen kompakte

Mengen eine besondere Rolle. Wir werden daher Kompaktheit hier etwas

näher untersuchen und zeigen, daß in unserer Theorie zumindest zwei

verschiedene Aspekte von Kompaktheit formuliert werden können.

Bekanntlich ist eine Menge K c ir genau dann kompakt, wenn sie

abgeschlossen und beschränkt ist. Die Einschränkungen der Darstellungen

a , a und a (bzw. a , a und a ) auf beschränkte Mengen führen

daher unmittelbar zu Darstellungen a', a', a' von K(IR) , der Mengec —

der kompakten Teilmengen von IR. Es zeigt sich jedoch bereits bei

der Betrachtung des Supremums nichtleerer kompakter Mengen, daß diese

Darstellungen nicht genügend endlich zugängliche Informationen über

kompakte Mengen beinhalten.

5.1 Lemma

Der Operator sup:K(IR) \ {0} - IR ist nicht (o',p>)-stetig.

Beweis

Wir nehmen an, daß ein stetiges Te[TF-* IF] existiert mit p Tip) = supa'p

für alle pe domo' . Zu jedem pedoma' liefert V also in endlich vielen

Schritten eine obere Schranke v (i) für a'p, d.h. es gibt ein n e W, sodaßD 1

i£ D4n, . gilt für alle qe [p n ]ndomT . Da jedoch jedes Anfangsstück pr(q)

97 -

eines aJ-Naraens p nur Informationen über endlich viele Intervalle I. mit

IjCIR\a^p beinhaltet, gibt es immer ein qe [p[n]] ndomo' , sodaß v (i)keine obere Schranke von a'q ist. Für dieses q gilt also

VD(i) <supajq =P>I"(q) =infvDlMr(q) <; vD(i). Aufgrund dieses Widerspruchskann T nicht existieren.

Der Supremumsoperator ist damit nicht einmal stetig bezüglich der

Darstellungen a'<t c^ und a| einerseits und p bzw. p anderer

seits. Ähnlich verläuft auch der Beweis dafür, daß sup nicht stetig

relativ zu o.; und P< ist, da ein a'-Name p keine stetig zugäng

liche Information über Elemente x£^p enthält und somit untere

Schranken für sup ojp nicht stetig aus p gewonnen werden können.

Nimmt man allerdings Informationen über eine obere Schranke ebenfalls

hinzu, so erhält man ein positives Resultat.

5.2 Satz

Es gibt berechenbare Funktionen S, r, A:IF—- IF mit

P<S(p) = supc^p falls c^p nach oben beschränkt,

P>r<i,p> = supo^p falls i obere Schranke von a p,

pA<i,p> = supc^p falls i obere Schranke von a p.

Entsprechendes gilt für das Infimum kompakter Mengen.

- 98 -

Nach Satz 4.15 gibt es ein berechenbares fle [F -» F] ,. so daß für pe domo

gilt M ={<j,n>| I 1101^0). Für dieses fi folgt, falls supa p

existiert, v (j)-2 n< supa p <* (j,n>£ Mn/ ,. Damit läßt sich nun leichto > H(p)

ein berechenbares E programmieren mit IM = {j |v (j)< supa p) .

Es sei nun pedoma^. und i£IN sei eine obere Schranke von a p. Dann folgt

vD(j) >supai oder [vQ( j) ;i] cm\ a p ). Da nach Satz 4.15

IR\a p = U(I |jcM } für ein berechenbares hc [TF-* IF ] und zudem* J A(P)

CvD(j);i] kompakt ist, gibt es ein berechenbares I":IF - IF mit

Mr<i,p> ° ^ 'vd^} >suPa<pJ also P/U.P) " supa p falls i eine

obere Schranke von a p ist.

Die Existenz von A folgt jetzt direkt aus der Beziehung a e Inf {a ,a }.1 c * >

Wie wir gesehen haben, genügt es also nicht, zu wissen, daß eine

abgeschlossene Menge beschränkt ist, um ihr Maximum stetig oder gar

berechenbar zu bestimmen. Vielmehr ist die explizite Kenntnis einer

oberen Schranke dieser Menge hierfür unentbehrlich (vgl. Bishop's [21

Begriff von konstruktiver Kompaktheit bzw. Beschränktheit). Diese

Information über eine Schranke kann nun direkt in den Namen einer

kompakten Menge (analog zur Infimumsbildung) mit hineingenommen werden.

Definition

Die Darstellung ab:IF—- K(IR) sei definiert durch

<i,p>€domob :<> pedoma und apc[-i;i],

ab(i,p> := ap für (i,p)6domab.

Analog seien definiert ab, ab sowie <xb, ab und ab.c — < > i

- 99 -

Mit diesen neuen Bezeichnungen läßt sich die Aussage von Satz 5.2

jetzt sehr vereinfacht formulieren.

5.3 Korollar

(1) Der Operator sup:K(IR)\ {0} —- ir ist

(0^,0)- , (a<,p>)- und (^ ,p<)-berechenbar,

(2) Der Operator Inf : K(IR)\ {0} —- jr ist

(o^fp)- , (o^p^J- und (ab,p>)-berechenbar.

Eine andere Methode zur Charakterisierung kompakter Mengen lie

fert uns die Heine-Borel-Eigenschaft: "Zu jeder Familie offener

Mengen, die eine kompakte Menge K überdeckt, gibt es eine endliche

Teilfamilie, welche ebenfalls bereits eine Überdeckung von K ist."

Wir werden sehen, daß diese Charakterisierung zumindest zwei ver

schiedene konstruktive Versionen besitzt.

Da jede offene Menge eine Vereinigung offener Basisintervalle ist,

wollen wir Überdeckungen durch Familien von Basisintervallen be

schreiben.

Definition

Für p6 if, n€ in sei C := [t | jei iP j p

und Cp,n := djl <3ieDn> p(i) = 3+1>'

Ein stetiger Operator n.:IF—- IN beweist Kompaktheit von KCIR,

g.d.w. gilt (Vp)((KCUC o pedomfl) und (KCUC •> KCUC ) )p P P»n(p)' ' *

- 100 -

Man sieht leicht, daß ein Operator 0 zu [IF - IN ] gehört, wenn

er die Kompaktheit einer Menge K beweist, und daß zu jeder kom

pakten Menge KCIR durch n(p) := min {j IKCC ,} ein ne[iF~INlPrj

definiert wird, welches die Kompaktheit von K beweist. Dies

induziert die folgende Darstellung kompakter Mengen.

Definition (schwache (weak) Heine-Borel Darstellung von K(m) )

Die Darstellung <w der kompakten Mengen ist definiert durch:

domKw := {p Ix beweist Kompaktheit einer Menge KCffi),

<WP := n {ucp#x (q) Iqedomxp)* für pedomKw .

Die Äquivalenz der Charakterisierungen kompakter Mengen durch die

Eigenschaften "abgeschlossen" und "beschränkt" einerseits und durch

die endliche Überdeckungseigenschaft anderseits wird in der klas

sischen Analysis durch den Satz von Heine-Borel ausgedrückt. Eine

erste konstruktive Version dieses Satzes läßt sich in unserer

Theorie wieder durch eine einfache Äquivalenz von Darstellungen

beschreiben.

5.4 Satz (Heine-Borel - schwache Version)

< = abw c

•<c": Da für alle p <• dom^ gilt <wPcCid (wobei id(n)=n für alle n)

und weil cid,nc E-1'*^ entscheidbar ist, gibt es ein berechenbares

AeClF-IN] mit ^p c [-A(p);A(p) ] für alle p£ dorn k . Weiterhin gilt

Man beachte, daß eine kompakte Menge der Durchschnitt all ihrer endlichen offenenOberdeckungen ist.

- 101 -

K^p = n{3R \ i | i nk^> =0 } und

^-in,c^ = ^ ° Oq£domx ) In UC =03 ^ p j p»Xp(q)*> (3w£W(lN))On)( vfflpvjj(w) £[n] und I nUdjJOieDJ w(i)=k+l) =0 )Damit läßt sich nun leicht ein berechenbares T:F - F konstruieren mit

MT(p) =t j I Ij nK^p =0} also K^p =aT(p) für p£dorn* . Die Kombination von A und T liefert die gewünschte Reduktion k £ ab

w c

"i ": Für (l,p> £dorn« gilt ab(i,p) =[-i;i] \ u{l I j £M }. Da dasJ P

Intervall [-i;i] kompakt in IR ist, folgt

o <i,p>cUC o C-i;i]c UC UUC <» (3n) [-i;i]cUC u UC und<ä P q p,n q,n

C-i;i]cuc uUC • ab(i,p> c C-i,i] \ UC c UC .Da wiederump,n q,n p,n q,n

C-i;i]cUCp nuUCg n entscheidbar ist, gibt es ein berechenbares E mita <i,p> = k £<i,p> für alle <i,p>£ domab .

Da aufgrund dieses Satzes die Operatoren sup und inf : K(IR) •* IR

nicht (Kw,p)-stetig sind, nennen wir k die schwache Heine-Borel

Darstellung der kompakten Teilmengen von IR . Es ist jedoch bereits

bekannt, daß Namen bezüglich der Darstellung <xb (bzw. ab) mehr

stetig zugängliche Informationen über kompakte Mengen tragen als

a -Namen. Diese Information bewirkt, daß zu jeder Überdeckung C

einer Menge g. p effektiv eine minimale endliche Teilüberdeckung

C n gefunden werden kann (dabei wollen wir eine Überdeckung C

von K c IR minimal nennen, wenn sie keine überflüssigen Elemente

enthält, d.h. wenn für alle I ec gilt I nK ? 0). Diese

"starke" Heine-Borel-Eigenschaft wird durch die folgende Darstel

lung < ausgedrückt.

- 102 -

Definition (starke Heine-Borel Darstellung)

Die Darstellung k:IF—- K(JR) ist definiert, durch:

dornk := {p e dornk l(Vqe domx ) C , . ist minimale Überdeckung von k p},r w ^ q,x (q) ^ w*^'

P

k p := k p für p e dorn k .

Die durch k beschriebene starke Heine-Borel-Eigenschaft entspricht

übrigens dem Begriff "totally bounded", den Bishop [2] als Grundlage

für seinen Kompaktheitsbegriff (kompakt = totally bpunded + vollständig)

verwendet. Die Bishop'sche Version des Satzes von Heine-Borel: "Eine

Menge ist kompakt, g.d.w. sie abgeschlossen, beschränkt und

located ist" korrespondiert daher mit dem folgenden Satz.

5.5 Satz (Heine-Borel - starke Version)

bK = a

c —

b b"£ ": Wir wissen bereits, daß k £ a gilt (Satz 5.4). Zu zeigen ist < £ a .

c c c c

Dazu sei p £ dornte . Dann gilt

IjilKP t 0 « (3q£domXp) Ij£Cq#x (q)

*> (3we W{K))(3n) (« ,pv"J;(w)eCn] und (3ie D) w(i)=j+l ).in in n

Damit gibt es ein berechenbares A c [IF - F ] mit IM., ={j|l.nKpj*0}Mp) 3

für alle pedomK und es folgt < S a mittels A.c c

"a ": Da für (i,p,q> £ dorn a gilt W = {j !I. n a <i,p,q) ?£ 0} folgtc - q 3 -

a <i,p,q) c UC *» a (i,p,q) c U{l | j £ W n IM ). Es gibt ein berechenbares

T:IF-*IF mit IM,,, , = IM n IM und damit gilt a (i,p,q>cUC g.d.w.T<q,r> q r - v ^ r

C„, . eine minimale Uberdeckung von a <i,p,q> ist. Da nach Satz 5.4

a £ k gilt, folgt hieraus die Behauptung.

- 103 -

5.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Aufgrund der Zulässigkeit der Darstellung p:IF —- IR können

wir stetige Funktionen auf IR genau durch die schwach (p,p)-ste

tigen Funktionen beschreiben. Aus der Topologie (Kuratowski [26])

ist außerdem bekannt, daß die natürlichen Definitionsbereiche der

stetigen Funktionen auf IR genau die Gfi-Teilraengen von IR sind,

d.h. jede stetige partielle Funktion f:IR—- IR kann stetig auf

eine G^-Menge fortgesetzt werden. Nach Satz 3.8 sind stetige

Funktionen mit G^-Mengen als Definitionsbereich auch stark dar

stellungsstetig. Wir zeigen nun, daß für die Darstellung p auch

die Umkehrung dieser Aussage gilt.

5.6 Satz

Eine Funktion f:IR —• IR ist genau dann (p,p)-stetig, wenn

sie topologisch stetig ist und eine G^-Menge als Definitions

bereich besitzt.

Beweis

Wegen Satz 3.8 ist nur noch zu zeigen: f (p,p)-stetig •» domf G -Menge.

Es sei also f:IR—• IR (p,p)-stetig mittels r = y £ [IF»IF]. Für

ieSp ={j| [vm(j)]ndomp t 0} sei ü := (vD<j)-2_(k+1) ,v (j)+2~(k+1))wobei k= lg(v (i) und j = v (i) (k-1) *. Für neW setzen wir

0n := U^lieSp und (VJ£Sp)( Ui=Uj •» Igtyv^tj) )2n )}.Wir werden zeigen: domf = 00 (d.h. domf ist eine G -Menge).

n n £

-k.zuEs reicht im Prinzip aus, U± := Kern pCv^ (i)] = (v (j)-2 ;v (j)+2~K)

wählen. Die hier verwandte Form ist jedoch auch für die Konstruktion von

Stetigkeitsmodulen nützlich.

- 104 -

"c": Es sei n £ IN und XEdomf. Dann existiert für alle p £ p (x)

ein l(n,p)eIN mit lg(YP )>n. Offensichtlich wird p_1{x}

überdeckt von der Menge {[p ]| pep" {x}} und wegen der Kompakt

heit von p (x> gibt es eine endliche Teilmenge E c p~ {x} mit

P {x)c U(Cp n'P ]|p£E }. Insbesondere gilt lg(YP )2: n für alle

p£p (x), 1 2 l(n,x) :=max{l(n,p) | p £E }. Man wähle nun i£S mitx p

lg(v (i)):= 1 ai(n,x) und x £ U.. ( i existiert immer, wie man sichIN 1

z.B. an der Graphik in §4.1 klarmachen kann.) Dann gibt es für alle

J£S mit U =U ein p £p" {x} mit p =v(j) was zur Folge hatp i j n

lg(YV_,(J)) = lg(YP )än. Folglich gilt U.c o also X£0 .IN i n n

"=>": Sei xeflo . Wir konstruieren ein p£p {x} mit p £don>Y •n n

Wähle i £ S mit x e U, c o .o p i o

o

Ist i bereits bestimmt, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von y und

P ein i £S mit v (i ) ? v (i ) und x £ U. c o .. Setze nunn+1 p IN n IN n+1 i . n+1

n+1

p := sup{v (i ) | neu}. Dann gilt x = pp und für alle n gibt es ein

[m] [mlm mit p = v_, (i ) insbesondere also lg(YP ) ä n. Hieraus folgt

in n

pedomY d.h. x£domf.

Es sei (analog zu den Bezeichnungen aus §2) [IR-IR] die Menge der

stetigen reellen Funktionen mit einer G^-Menge als Definitionsbe

reich. Nach §3.3 induziert p eine kanonische Darstellung (p-p)

der (p,p)-stetigen Funktionen, die wir der Einfachheit halber kurz

mit p bezeichnen wollen. Satz 5.6 besagt also, daß p eine Dar

stellung von [IR-JR] ist. Man könnte leicht auch eine effektive

Form dieses Satzes beweisen, da die im Beweis verwandte Menge S

entscheidbar (§4.1) und für i€S die Menge {j | U = U } endlich

ist. Für das folgende ist dies jedoch ohne besondere Bedeutung.

- 105 -

Die Stetigkeit reeller Funktionen wird häufig auch durch Stetig

keitsmodule ausgedrückt:

Es sei f:IR —- IR , xedomf und IC domf . Eine Funktion p:IN - IN

heißt Stetigkeitsmodul von f in x, g.d.w. für alle y€domf ,

n€iN gilt |x-y| <; 2~p(n) - |f(x)-f(y)| £ 2~n . Ist p für

alle xei ein Stetigkeitsmodul, so heißt p auch Stetigkeits

modul von f auf I.

Der folgende Satz zeigt, daß Stetigkeitsmodule von Funktionen aus

IIR -IR] effektiv aus ihrem p-Namen konstruiert werden können.

5.7 Satz

Es gibt ein berechenbares re[ F ~F], sodaß für alle pe domp

und alle q£p" (dorn pp) gilt

r<p,q> ist ein Stetigkeitsmodul von f=pp in x=pq.

Beweis

Nach Lemma 4.2 gibt es ein berechenbares A:F—-IF,so daß für qfidomp

gilt A(q)£domp und (Vi) |vDA(q)(i) - pq| S3.2~(i+2). Man programmiertnun leicht ein r:F—*F mit r<p,q> (n) =min{i+2 | lg(v Pv^ (A(q))Ci:i)an+l >für alle p£domp, qedomA. Sei jetzt x:=pq e dompp, k:= T(p,q> (n),

ycdompp mit |x-y|<2~k "und y':= v^Pv^J,. Dann gilt|y- vDA(q)(k-2)| s |y-x|+ |x-vDA(q)(k-2)| s 2~k+3»2~k =. 2"(k~2>.Hieraus folgt mit Lemma 4.2(2) (3r£p_1{y}) rCk_23 = (A(q)) Ck~2;l. Damit

gilt |pp(x) -pp(y)|

* |pp(x) - vD(Y<Mq))Ck"2:l(n+l))| +l«D(YrCk"2](n+l))-?p(y)|S 2"<n+1) + 2'<n+1) =2"n.

T<p,q> ist also ein Stetigkeitsmodul von pp an der Stelle x.

- 106 -

Ein bekannter Satz der reellen Analysis besagt, daß das Bild einer

kompakten Menge unter einer stetigen Funktion wieder kompakt ist.

Im Rahmen unserer Darstellungstheorie können wir diese Aussage nun

auch effektiv formulieren.

5.8 Satz

Es gibt ein berechenbares T:IF - IF, so daß für alle p,q mit

tcqCdompp gilt (pp)(Kq) = KT<p,q>.

Wegen P =, £j gibt es ein berechenbares Ee[F * F], so daß für pe domp ,

r£F gilt (pp) (uCr) =UCJ;( }n dompp und zusätzlich für j mit

r(j)>0: <PP>~llr(j)_1 = U{lk | (3i) E(p,rXj,i> =k+l}ndompp. 5)Es sei nun tcq cdompp und (pp)(Kq)cUC . Dann gilt <q c UC ,

r E<p,r>

also E<p,r>£ domXg und CJ{ } zlpir> ist minimale Überdeckung von Kq.Sei TiTF- F berechenbar mit der Eigenschaft

DX , (r) = {j ' <3i) ll'i>€ ° T(D r>> för alle p,q,r €F. Dann istAr<p,q> v ; Xq"P«*'Cr,Y (r) eine miniraale Teilüberdeckung von (pp)(*q), denn es gilt

r(p,q>

x « (pp) (Kq) "> (3y £icq) (pp) (y) o x

- (3<j,i>eDx E<p/r>){3k)(«pfrXj,i>ok+l a yeik A x«{pp)(y) )

xr<P,q>(r) r(^~1•» xe UC

r,xr(p,q>(r) und

3eDv ,_, ** (3i#k)(E<p,rXj,i> = k+l und I, n Kq *0)Xr<p,q>(r) *

•* ^(j)-!0 (PPXieq) * 0.

Weiterhin gilt redomXr<pfq> «• E<p,r>£ domx « (pp)(icq)c UC also

r<p,q>£domK und icr(p,q> = (pp)(icq).

- 107 -

Satz 5.8 gilt entsprechend auch für die schwache Heine-Borel-

Darstellung. Eine unmittelbare Konsequenz dieses Satzes bilden

effektive Versionen von zwei weiteren Sätzen der reellen Analysis.

5.9 Korollar ("Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen

beschränkt")

Es gibt ein berechenbares Ae [IF - M], so daß pp auf k aw ^

beschränkt ist durch A<p,q> (d.h. (Vx eK q) |pp(x)| ^ A<p,q>)

falls k q cdompp.

5.10 Korollar ("Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten

Menge ihr Supremum und ihr Infimum an")

Es gibt berechenbare Operatoren E, fje(iF-IF] ,für die gilt

E<p,q> = sup(pp)Uq) und Q<p,q> = inf(pp)Uq)

falls Kq cdompp nichtleer ist.

Da sup und inf nicht (<W,P)-stetig sind, gilt Korollar 5.10

nur für die starke Heine-Borel Darstellung. Es stellt sich außer

dem heraus, daß zwar der Wert des Supremums (bzw. Infimums) einer

stetigen Funktion auf einer kompakten Menge uniform aus den ent

sprechenden Namen berechnet werden kann, nicht aber die Stelle,

an der die Funktion ihren Extremwert annimmt. Dieses ist nicht

einmal dann möglich, wenn man die kompakte Menge K und einen

K-Namen von K fest vorgibt..

- 108 -

5.11 Satz

Es gibt kein stetiges r-.IF —- Wf so daß für alle ^pe domp

mit J-1;1] cdompp gilt:

pp nimmt in pr(p) das Maximum auf ]-1;1] an.

Definiere f , g : K •<• IR durch f (x) := x«2 n, g (x) :=-x«2 . Dann sindn n n n

*fn'n c IN Und ^g * £ DJ konvergente Folgen von stetigen Funktionen und

es gilt limf = limg . Weiterhin nimmt f das Supremum auf [-1,1]n n n

in x=l- und g in y=-l an.

Es gelte nun (pp)(pr(q)) = sup{(pp)(x) | xe[-l»l]} für ein T:]F—- 3F

und alle p mit [-1;1]cdorapp. Mit der Definition von p (bzw. p, $

und v ) lassen sich leicht zwei konvergente Folgen (p )m ^ ., "n'neM' "n'neffl

in F konstruieren, für die gilt f = pp , g = pq und limo =liman n "n ^n *n n

Da dann für alle n gelten muß pT(p )= 1 und pT(q )= -1, kann T nichtn n

stetig sein.

(q_>.

Eine weitere wichtige Eigenschaft stetiger Funktionen auf kompak

ten Mengen ist die gleichmäßige Stetigkeit, also die Existenz

eines uniformen Stetigkeitsmoduls.

- 109 -

5.12 Satz

Es gibt ein berechenbares re [ IF - if] , für das gilt

T<p,q> ist ein Stetigkeitsmodul von f=pp auf k q, falls

k q c dompp ist.

Beweis

Es seien S , U wie im Beweis von Satz 5.6 (G.-Eigenschaft) und

°n,p:= UCUjJifS und (Vj cS )( u =ü =» lgjv^pti)) >n}. Dann giltdompp co für alle n £ IN, p£ domp (vgl. Satz 5.6). Da außerdem S

n,p p

entscheidbar und U = I für ein rekursives r ist, existiert ein

berechenbares A:IF—* F mit O . =U{I. IjeM.. .}= UC, .n+l,p j A<n,p> A(n,p)

für pfdomp . Es gelte nun k q cdompp . Dann folgt k q cUC., .w^ w^ A<n,p>

also k qc Uc . . , . für alle n£ IN. Man konstruiere nun einw A\n,p/,x Avn,p/

berechenbares IMF-—» IF mit

r<p,q>(n) = max {k | (3i)(3j£ D .( .) A<n,p>(j) = <i,k>+l>. Für p,qxq

mit K^q cdompp, x £ ^q» y £dompp und n £IN folgt dann: Es gibt ein i £ IN

mit r(i) £ {1| (3J£D fi<n#p>) A(n,p>(j) =1+1}, xc^cO^ und

tx-y|S2_r<P,q>(n) - (y£p[v ] und x£p[v (i)])31 IN

*> l(PP)(x)- (pp)(y)l s 2~n (vgl. 5.7)

r besitzt also die gewünschten Eigenschaften.

Aus der reellen Analysis ist bekannt, daß eine auf einem Intervall

(a;b] definierte stetige Funktion f mit f(a) ^ f(b) jeden Wert

zwischen f(a) und f(b) auf (a;b) annimmt. Wie schon im Falle

des Supremums ist jedoch eine effektive Version dieser Aussage

nicht gültig, was zur Konsequenz hat, daß auch der Zwischenwertsatz

- 110 -

und die Mittelwertsätze der Differential- und Integralrechnung in

ihrer allgemeinen Form keine konstruktive Variante besitzen.

5.13 Satz

Es gibt kein stetiges T:1F—- IF mit der Eigenschaft

PP hat eine Nullstelle in pr(p)S[-2;2] für alle p€ domp

mit (pp) (-2) < 0 < (pp) (2) .

Beweis (vgl. Aberth [1])

Definiere Funktionen f ,g :K - Jt durch f (x) :=min{x+l, max {x-l,2~n} }

und g (x) :=min{ x+1, max {x-l,-2~"}}. Dann sind (f ) und (g )n n n£ IN *n n£ N

konvergente Folgen stetiger Funktionen mit limf = limg . Außerdem giltn n

fn(-2) =g (-2)=-1 und f (2) =g (2) = 1 aber die Nullstelle von f liegtn n n

bei -1 und die von g bei +1.

Eine Abbildung, die fn und gfi die Nullstelle zuweist, ist daher nicht

folgenstetig und T kann damit nicht existieren. (Für die Formalisierung

betrachte man den Beweis von Satz 5.11.)

- 111 -

Eine eingeschränkte Version des Zwischenwertsatzes läßt sich

allerdings wieder effektiv formulieren und beweisen. So gibt es

z.B. ein Verfahren, welches zu jeder auf einem Intervall [a;b]

definierten stetigen Funktion f mit f(a)?*f(b), die auf keinem

Teilintervall von [a;b] konstant ist, und jedem Wert c echt

zwischen f(a) und f(b) ein xQe (a;b) konstruiert mit

f(xQ) = c (s. Aberth [ 1], Seite 63ff) . Dieses Verfahren kann

leicht in einen berechenbaren Operator re[IF - IF ] umgesetzt

werden, der entsprechendes auf den zugehörigen Namen durchführt.

- 112 -

6. Schlußbetrachtungen

Das Konzept der Darstellungen, das in dieser Arbeit

ausführlich präsentiert wurde, bildet die Grundlage für eine

universelle Theorie des Konstruktivismus und der Berechenbarkeit

auf kontinuumsmächtigen Mengen. Es liefert uns damit insbesondere

einen einheitlichen Ansatz zu einer konstruktiven und rekursiven

Analysis, der auch als Vermittler zwischen idealistischer und

intuitionistischer Mathematik dienen könnte. Von den Resultaten

hier ergibt sich dabei eine konstruktive Analysis im Sinne der

Intuitionisten (Brouwer [4], Bishop [2]), im Unterschied zu

diesen untersuchen wir Aussagen über Konstruierbarkeit gewisser

Objekte jedoch mit Mitteln der klassischen Logik. Neben der

konstruktiven Analysis (§4/5) bilden z.B. Effektivitätstheorien

auf P^, IP, metrischen Räumen -speziell LP-Räumen, CPO's (vgl.

die Beispiele in § 3.5) und auf der Menge ® der abzählbaren

Ordinalzahlen (hierzu wird demnächst eine Arbeit von H.J. Dettki

I7] erscheinen) interessante Anwendungen des Darstellungskon

zeptes. Sogar ein kanonischer Ansatz zu einer konstruktiven

Maßtheorie ist damit möglich (s. § 3.5).

Ein wesentliches Merkmal des vorgestellten Konzepts ist die

prinzipielle Flexibilität in der Wahl der Darstellung. Bei vor

gegebener Darstellung 6 von M ist durch jedes p e domo

das Element x = 6p gm eindeutig festgelegt, d.h. p enthält

die vollständige Information zur Identifizierung von x. Die

- 113 -

Grundidee des Konstruktivismus aber ist, daß Teile dieser

Information bereits aus endlichen Teilen (Anfangsstücken) von

p erhältlich sein müssen (was z.B. die uneingeschränkte

Cauchy-Darstellung der reellen Zahlen nicht erfüllt), und

daß x auch vollständig durch die aus den Anfangsstücken

erhältliche Information bestimmt ist. Diese Bedingungen ent

sprechen genau der Forderung nach der Stetigkeit von 6.

Stetige Darstellungen bilden daher eine Präzisierung des

intuitionistischen Existenzbegriffes (Bishop [2], Brouwer

[4]), der die Existenz eines Objektes mit seiner Konstruierbar-

keit gleichsetzt, wobei das Konstruktionsverfahren - die Dar

stellung - schrittweise (d.h. stetig) Informationen über dieses

Objekt liefert. In Art und Umfang solcher Informationen können

sich die verschiedenen Darstellungen einer Menge M unter

scheiden, was meist auch zu unterschiedlichen Theorien der

Effektivität auf M führt, wie das Beispiel in Lemma 3.23

zeigt. Es ist daher im allgemeinen nicht möglich, von der

Berechenbarkeitstheorie auf M zu sprechen, wenn man nicht

gleichzeitig (bis auf Äquivalenz, d.h. gleichartigen Infor

mationsgehalt) die Darstellung von M angibt. Die stetig

zugängliche Information über die zu untersuchenden Objekte

beeinflußt meist direkt die Wahl der Darstellung. Die Voraus

setzungen eines mathematischen Satzes können daher oft voll

ständig durch eine geeignete Darstellung ausgedrückt werden.

Beispiele hierfür findet man im fünften Kapitel.

- 114 -

Die im Rahmen der konstruktiven Analysis vorgestellten Sätze

und Unmöglichkeitsaussagen weisen immer wieder darauf hin, daß

zwischen Stetigkeit und Berechenbarkeit ein sehr enger Zusammen

hang besteht. Gilt von einer klassischen Aussage die effektive

Version nicht, so geschieht dies fast immer schon aus rein

topologischen Gründen (d.h. aufgrund von Unstetigkeiten).

Die in der Literatur häufig verwandte Methode, zum Beweis das

Halteproblem oder ein äquivalentes Problem der Rekursionstheorie

heranzuziehen, verschleiert nur die wirkliche Ursache. Auch um

gekehrt hat Stetigkeit meistens direkt auch Berechenbarkeit zur

Folge. Es scheint, abgesehen von künstlichen kombinatorischen

Konstruktionen, in der (klassischen) Mathematik keine "natür

lichen" Korrespondenzen zu geben, die stetig aber nicht berechen

bar bezüglich der (effektiven) Standard-Darstellungen sind.

Gegen den Grundsatz, Berechenbarkeit als Spezialisierung von

Stetigkeit anzusehen, den auch die vorliegende Arbeit vertritt,

werden zuweilen Einwände erhoben. Als "Gegenbeispiel" wird hier

zu oft vorgebracht, daß (einfache) Treppenfunktionen (auf IR)

intuitiv gesehen leicht zu berechnen sind, obwohl sie nicht zu

den stetigen Funktionen gehören. Diese Unstimmigkeit ist aus

der Sicht der Darstellungstheorie leicht zu lösen. Richtig ist

zwar, daß man den Funktionswert einer Treppenfunktion f an

der Stelle x leicht angeben kann, wenn man weiß, in welchem

der durch f bestimmten Intervalle (Treppenstufen) sich x

befindet, jedoch ist diese zusätzliche Information hierfür auch

unentbehrlich. Zur Berechnung einer Treppenfunktion muß also für

115 -

die Argumente eine andere Darstellung gewählt werden, aus

der auch diese Information stetig zugänglich ist. Relativ zu

dieser Darstellung ist Berechenbarkeit dann wieder ein Spezial

fall der Stetigkeit aber "klassische" Stetigkeit (relativ zur

Standardtopologie) und Darstellungsstetigkeit sind nicht mehr

dasselbe. Ursache der Einwände ist manchmal auch, daß bei

Funktionen "lokale" (6,5')-Berechenbarkeit mit "globaler"

Berechenbarkeit verwechselt wird. Im zweiten Fall ist die

Funktion ein berechenbares Objekt relativ zu einer Darstellung

spezieller Funktionen (z.B. Treppenfunktionen), bei denen man

sich nur für das globale Verhalten, nicht aber den Funktions

wert an bestimmten Stellen interessiert. Es ist leicht einzu

sehen, daß diese beiden Begriffe nicht immer zusammenfallen.

Bei der Vorstellung der Darstellungstheorie in dieser Arbeit

spielten im wesentlichen topologische Eigenschaften eine Rolle.

In einem zweiten Schritt müßte man für diejenigen Darstellungen,

die sich als topologisch günstig erwiesen haben, auch Berechen-

barkeitseigenschaften untersuchen. Dies kann geschehen, indem

man entweder explizit "effektive " Darstellungen wie IM, p, co

etc. definiert, oder - was bisher nicht geschehen ist - eine

gewisse Effektivität derjenigen Numerierungen verlangt, aus denen

die Standard-Darstellung gemäß § 3.2 erzeugt wird. So könnte man

z.B. fordern, daß für die Numerierung U der Basis eines topo

logischen Raumes die Relation "u c u n U " rekursiv oder1 j k

rekursiv-aufzählbar ist, oder daß relativ zur Numerierung v

der dichten Teilmenge eines metrischen Raumes (s. § 3.5) die

- 116 -

Abstandsfunktion ((v,v), v^)-berechenbar ist etc. Fast alle

von uns angegebenen Darstellungen besitzen solche Eigenschaften.

Eine weitere Vertiefung bildet die Untersuchung der Komplexi

tätseigenschaften von Darstellungen und die Entwicklung einer

Komplexitätstheorie auf dargestellten Mengen. Hierzu bietet

sich an, zunächst anhand des Modells der Orakel-Turing-Maschinen

auf IF eine (Zeit-)Komplexität berechenbarer Funktionen zu

definieren, und dann die entstehende Komplexitätstheorie - analog

zur Berechenbarkeitstheorie - mit Hilfe geeigneter Darstellungen

auf andere Mengen zu übertragen. Im Falle der reellen Zahlen er

weist sich dabei wiederum die Darstellung p als sinnvoll

(s. Ko [2o], [21], Kreitz/Weihrauch [22]). Was allgemein eine

bezüglich Komplexitätseigenschaften günstige Darstellung ist,

wäre noch zu untersuchen.

- 117 -

Anhang: Fußnoten

1) Zur Fastvollständigkeit von [6-6'] , co und £

Aufgrund der Forderungen f£p=6T(p) für pedomfö und r(p) =div für

p£dornfl\ dornffi gibt es eine eindeutige Zuordnung H zwischen [F - F]

und der Menge der (£,£')-stetigen Funktionen, für die gilt [£-£•] =h»$.

Definiert man Hj (D := ( 6(domr ) falls r£X(domtoö), div sonst ) undH2(D := ( ST {o} falls r£x(dom56), div sonst ), so ent

stehen to6 und 56 aus x durch die Abbildungen Hj und H. Aus der Fastvollständigkeit von $ und x folgt hieraus die von [£*£'], w und $.

£ fi"

2) Eine Menge Kc w ist überdeckungskompakt, g.d.w. sie abgeschlossen und wachstumsbeschränkt ist. (Da Kompaktheit in dompund Kompaktheit in IF für KCdomp identisch ist, gilt dieAussage dann auch für Kc dornp.)

Beweis

Es sei Kcif kompakt. Da für alle n£U gilt Kc U{ [w] | lg(„) =n} folgt

aus der Überdeckungseigenschaft direkt die Beschränktheit von K. Wir zeigennun, daß IF\ K offen ist. Dazu sei pe IF \ K. Dann gibt es für alle qe K

ein i mit p1 ?qi] und folglich ist Kq) :=min {i | qCi:l ,4 pCi^} wohl_definiert. Offensichtlich ist Kc UttJ^h Iq£K> und aufgrund der Kompaktheit von K gibt es eine endliche Menge Eck mit Kc u{[q[l(q):l]|q£E}.Wähle nun j:=max {l(q) |q£E}. „egen pCj] ^ qCJ] für alle qe K folgt dann[p D]nK=0, d.h. pe [pC:,:l]c f\ K. Damit ist IF \ Koffen und Kabge-schlössen.

Sei nun umgekehrt Kc IF abgeschlossen und beschränkt durch qe F und es

gelte Kc u{ [v^ (i)] | i e a} für ein Acjn.

- 118 -

Dann ist für alle m die Menge Q := Kn (IF \ U{[v (i)]| i £ A, ism})m IN

abgeschlossen und beschränkt und es gilt Q d Q = Q = Q a ... . Nimmt man

nun an, K sei nicht kompakt, so gilt Q £ 0 für alle m £ W und damit auchm

nQ = Kn (F\U{[v (i)] | i £ A)) £ 0, was ein Widerspruch zur Voraussetzungm IN

ist.

D

3) Zu den Abschätzungen im Beweis von Satz 4.2(1)

Es sei d := |v Z(p)(n) - v E(p)(n+1)|. Per Konstruktion gilt dann

1. Falls v D(n+3)£ ffi J_., v p(n+4)£ D n+1 D n+z D D

2. Falls ^^+3)4 ffln+1» vDp(n+4)t fin+2:

d<2"(n+1) +|vDp(n+3)-VDp(n+l)| , 2"(n+1) +3.2"(n+3) . 7-2-(n+3)Wegen d£Q folgt dS2_(n+1} .

3. Falls vjp(n+3)e ffi +1» Vop(n+4)4 ffin+2:

Wegen lv P(n+3) -v p(n+l)| < 2~(n+ ' folgt v p(n+3)= v p(n+l) und

p(n+3) =min{ i| vfi)£ m a |v (i)-v p(n+4)| < 2~(n+2)).D n+1 D D

Also d=|vDp(n)- VDp(n+l)| <2_(n+1).4. Falls v p(n+3)i ffl A,» v p(n+4)4 ffi :

D n+1 D n+2

"(n+1) . i.. _,_^, ,_^i + 2~{n+2) - .->-->-(n+4)

(n+1)

d< 2 l"T1'+ |vp(n+3)- v p(n+4)| +2 l '£ 13« 2 l . Wieder folgt aus

d £ ffi die Abschätzung d £ 2

Die Ungleichung für e := |v£(p)(n) - v E(p) (n+2)! verläuft analog:

Falls v p(n+3)£ ffi + , so gilt VDp(n+l)= VDp(n+2)= vDP(n+3).

Für vp(n+5)£ ffin+3 ist e= \v^[n) - vDp(n+2)! S 2~(n+l) .Sonst gilt e< 2~(n+1,+ |vDp(n+3) -VDP(n+5)| +2~(n+3) < 3-2~(n+2).

„ ^ -(n+2) „-(n+1)Mit e £ (B _ ergibt sich e £ 2« 2 =2

n+2

Falls v p(n+3) £ ffl ., so gilt für v p(n+5) £ ffi •.D n+1 D n+J

e< 2"(n+1)+ |vDp(n+3)- vDp(n+2)| S 5-2~(n+3) also e£2_(n+1),und für vj>(n+5)e ffl +3:

e< 2"(n+1)+ |vDP(n+3)-vDP<n+5)| +2~(n+3) <6.2_(n+3) also eS 2"(n+1>

- 119 -

4) Die Zahl xK:=E{2_:L | iGK} ist für nichtrekursives KCINkeine berechenbare reelle Zahl.

Beweis

Da K nicht rekursiv ist, sind K und U\K undendlich und für i£DJ,

P£p" {xK> folgt:

i£K ° "k* 2t2_3|j E{2~j | j< i und j£ K) +2_i und

i4K o (3n) vDP(n) +2"n< 2{2~j | j<i und j£ K) +2-i.

Hiermit kann man nun ein berechenbares F konstruieren mit der Eigenschaft

P {xK)cdomr und (VP£P_1{xK}) K= {i | T(p) (i) =0). Da für ein rekursivesp die Menge U | T<p) <i) =0} rekursiv ist, kann x nicht berechenbar sein.

5) Zur Konstruktion des im Beweis von 5.8 angegebenen Operators S.

Wir zeigen zunächst (*): Es gibt ein berechenbares T-.tf F , so daß für

p£dom[firfii] gilt ([£r£I]P)-1Wg =Ur(pq)ndom[fir6i]p.Es sei fii := [6.^-* &j. Nach Lemma 3.13 gibt es ein berechenbares fi mit

ti) = id. 0 . Es folgt1

•(iIPrlo>q =Vi (6lP)_uq = Vpl6I1(V (Definition von £)

" «i'iV««^ =ö^pldomxn(q) =6idon,(xfl(q)^p).Es gibt ein berechenbares A mit XA<p,q> (*> =Jc^,» *p(r> für r€dom$und aufgrund der Offenheit von 6 ein berechenbares r mit

Wr<p,q> =<* I<3[w]ndom xA(pfq)) I^w]} also ^^ =^dom^^Damit gilt (^P)"1^ =VdomXA<p,q>n don,«ip> =«r n̂ «t* •(Man beachte £_ (domÄp) c dornffi .)

I I yp

- 12o -

Wegen p = [fi » fi ] (Satz 3.12) und I. = io( 1+. ^ Q> folgt aus (*):

Es gibt ein berechenbares A mit

(pp)-1I. = wA< }n dompp = Udkl OD t\< j+l,p> (i) =k+l) ndompp.Definiere S durch £(p,r>(j,i) :=A(r(j),p>(i). Dann gilt

(PP)_1I ,-,_, " WA< /•») jO dompp = U(l I (3i) Z(p,r> <j,i> =k+l) ndompp ,(pp)_1UC =• U{(pp)_1I .... | r(j)> 0}n dompp = UC , >ndompp

für alle pcdomp,r£lF und j mit r(j)>0.

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LEBENSLAUF

Persönliche Daten:

Ausbildung:

April 1964 - Juli 1967

Juli 1967 - Juni 1976

Juni 1976

Juli 1976 - September 1977

Oktober 1977 - Dezember 1981

Dezember 1981

Januar 1982 - heute

Christoph Sebastian Maximilian KREITZ

geboren am 24. November 1957 in Düsseldorf

Grundschule

(Carl-Sonnenschein-Schule, Düsseldorf)

Gymnasium

(altsprachliches Humboldt-Gymnasium mitreformierter Oberstufe, Düsseldorf)

Reifeprüfung

Grundwehrdienst

(Psychologische Verteidigung in Clausthal-Zellerfeld und Andernach)

Studium der Informatik mit Nebenfach Physik

in Aachen

Abschluß der Diplomprüfung

wissenschaftlicher Angestellter im

DFG-Forschungsprojekt "Berechenbarkei t"

bei Professor Dr. K. Weihrauch

am Lehrgebiet Theoretische Informatik,

FernUniversität Hagen

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