Thermische Turbomaschinen || Elementare Theorien der Stufe

5 Elementare Theorien der Stufe

5.1 Vorbereitende Untersuchungen

Wenn wir auf einer Stromlinie einer stationären isoenergetischen Strömung zwei Punkte 1 und 2 herausgreifen, so sind die Enthalpien hl und ha und die Geschwindigkeiten Cl und Ca durch die Energiegleichung miteinander verbunden, die nach GI. 3.2(31) in der Form

2 2 h + C2 - h + Cl

'I. 2- 1 2 5.1(1)

geschrieben werden kann. Bei der Behandlung von Laufradströmungen wird es zweckmäßig sein, die Strömung relativ zum Laufrad zu betrachten, d. h. man bezieht sich auf ein mitrotierendes Koordinatensystem. Da dieses aber kein Inertialsystem ist, muß man nach den Sätzen der Mechanik ideelle Feldkräfte - Zentrifugalkraft und Corioliskraft - einführen, weshalb die Strömung im allgemeinen nicht mehr isoenergetisch sein kann.

Abb. 5.1.1 Rotierender Stromfaden.

An Hand von Abb. 5.1.1 werde aufgezeigt, welche Form die Energiegleichung in einem mit der Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Koordinatensystem annimmt. Längs des dargestellten Stromfadens herrsche in dem durch -;:1 gekennzeichneten Punkt die Relativgeschwi'ndigkeit wl ' in dem durch -;:2 gegebenen Punkt die Relativgeschwindigkeit w2• Im allgemeinen Punkt r ist die Relativgeschwindigkeit w. Die Strömung sei adiabatisch und bezüglich des rotierenden Koordinatensystems stationär. Die auf die Masseneinheit bezogenen Feldkräfte sind identisch mit den Feldbeschleunigungen, d.h. mit der Zentrifugal-beschleunigung bz = r wa und der Coriolisbeschleunigung be = 2[w X w]. Die spezifische

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

lß2 5 Elementare Theorien der Stufe

Arbeit der Zentrifugalkraft längs des Wegelementes da ist

da. = (t. , da) = b. da cos v = b. clr = w2r clr,

die gesamte spezifische Fliehkraftarbeit vom Punkte 1 bis zum Punkte 2 also

r. 2 2 2 2 2 J d . 2 r2 - rl U2 - U1 a. = w r r = w --- = ---,

r, 2 2 5.1(2)

wo allgemein U = rw. Die Arbeit der Corioliskraft längs da ist

dae = (be, dCi) = 2([wX w], dCi) = 2([wx w], w) dt = 0,

da ja das skalare Produkt zweier aufeinander senkrechtstehender Vektoren verschwindet. Nur die Fliehkraft leistet also einen Beitrag zur Feldkraftarbeit. Damit lautet die Energiegleichung im rotierenden Koordinatensystem

.2 2 2 2 1 + W2 _ h + W1 U? - U 1 !t2 2 - 1 2 + 2 . 5.1(3)

Die Gln. 5.1(1) und (3) sind hergeleitet worden für einen einzelnen Stromfaden. Sie gelten aber nach GI. 3.2(14) auch für Gesamtströmungen durch kanalartige Gebilde, wenn man unter den in den Gleichungen auftretenden Größen geeignet gebildete Mittelwerte versteht. In diesem Sinne werden die Gleichungen in den nachfolgenden Abschnitten verwendet. Eine genauere Analyse dieser Fragen findet sich unter 5.4.

JIU- _LJIL Abb. 5.1.2 Hingquerschnitt einer Turbo· maschine.

Betrachten wir einen Ringquerschnitt Q, Abb. 5.1.2, welcher der Ein- oder Austrittsquerschnitt eines Schaufelkranzes sein kann, so erhebt sich die Frage, welches der maßgebende Radius sei, für den die Umfangsgeschwindigkeit angegeben wird. Das ist bis zu einem gewissen Grade eine Sache der Konvention. Sehr häufig wird der mittlere Radius rm = (rN + rs )/2 gewählt (rN und rs Naben- und Spitzenradius). Als noch zweckmäßiger erweist sich der Radius r des Kreises, der die Ringfläche in zwei gleiche Teile einteilt. Er ist gegeben durch

r = Vr~ ~ r1,r . 5.1(4)

Bei Axialmaschinen ist die radiale Schaufellänge eine sehr wichtige Konstruktionsgröße, und zu ihrer Kennzeichnung sind die folgenden Verhältniszahlen im Ge brauch:

Schaufellängenverhältnis l/Dm = l/2r m ) Radienverhältnis Y rS/rN

Nabenverhältnis v = rN/rS

5.1(5)

5.2 Eindimensionale Theorie der Turbinenstufe 163

Hier ist 1 die Schaufellänge (bzw. radiale Kanalhöhe), Dm = 2rm der mittlere Durchmesser. Wie aus der geometrischen Situation leicht zu erkennen ist, gilt

_ _ 1/ (l)2 _ V' Y2 + 1 _ / 1 + v2 r - rm V 1 + Dm - rN 2 - rs l--2-

1+Y 1+v rm = rN--2-= rs-2-·

5.1(6)

5.1(7)

Die verschiedenen Verhältniszahlen hängen durch die folgenden Relationen miteinander zusammen:

Y-1 1-v Dm Y + 1 -1 + v·

3 1"-

"'-v -. ---

:"r-,. / 0,8 -

Abb.5.1.3 Nabenverhältnis v", Radienverhältnis Y und Radienverhältnis 'firm in Funktion des Schaufellängenverhält-

nisses I/Dm.

0,2

o 7

V L-

V V --o

~ 'Y;

"""" r-... V

V i'---,/ V 1/

./ V Vr/T", ./

V

V

0,2 0,3 0,1, ZlO",-

/ 1,2

V

/

........

J,O 0,5

5.1(8)

In Abb. 5.1.3 sind Y, 'V und r/rm in Funktion von I/Dm angegeben. Man erkennt, daß r und rm nur für verhältnismäßig große Schaufellängenverhältnisse wesentlich voneinander abweichen.

Gibt man sich r und kennt aus der Kontinuitätsgleichung den Ringquerschnitt . .Q, so ist

rN = VF - ~n' rs = Vr2 + 2~ . 5.1(9)

Man beachte, daß GI. 5.1(4) auch gilt, wenn der betrachtete Durchflußquerschnitt nicht achs normal liegt, sondern etwa Kegelgestalt hat, wie in Abb. 5.1.2 ebenfalls angegeben.

5.2 Eindimensionale Theorie der 'l'urbinenstufe

Wir betrachten eine adiabatisch durchströmte Turbinenstufe. Sie ist in Abb. 5.2.1 als axiale Kammerstufe dargestellt, doch gelten die Überlegungen sinngemäß auch für andere Bauformen. Die drei Kontrollflächen vor Leitrad, vor Laufrad und nach Laufrad werden durch die Nummern 0, 1, 2, gekennzeichnet. Zustandsgrößen und Geschwindigkeiten in diesen Kontrollflächen - immer als geeignete Mittelwerte aufzufassen - tragen diese Nummern als Indices.

Die Energiegleichung des Leitrades lautet 2 2

h1 + Cl = ho + Co 5.2(1) 2 2

oder mit L1h' - ho - h) (s. auch Abb. 5.2.2)

1 L1h' = - (ci - c5)· 2

5.2(2)

164 5 Elementare Theorien der Stufe

Da der Vorgang reibungsbehaftet ist, wird eine gewisse Energie dissipiert. Der Betrag Llh~ der resultierenden Energiedissipation im Leitrad ist die Differenz zwischen der tatsächlichen Enthalpie hl und dem Wert, den sie bei reibungsfreier, also isentroper Entspannung auf PI annehmen würde. Es ist also (vgI. Abb. 5.2.2)

Llh~ = (Llh~ + ~~)- cJ.

Abb. 5.2.1 Axiale Turbinenstufe.

5

Abb.5.2.2 ha-Diagramm der Zustands· änderung in der Turbinenstufe.

Llh~ läßt sich charakterisieren durch eine Verlustzahl C', die durch die Gleichung

Llh~ = C' (Llh; + c:)

5.2(3)

5.2(4)

implizite definiert ist. Die in der Klammer geschriebene Größe ist die dem Leitrad verfügbare Totalenthalpie, d.h. es ist die Totalenthalpie, vom Zustand der verlustfreien Entspannung auf Pl aus gerechnet. Die damit gegebene Definition von C' ist naheliegend, einfach und stets sinnvoll; sie versagt in keinem Grenzfall und gibt stets ein anschauliches Kriterium für die Verluste. - Setzt man den Ausdruck GI. 5.2(4) in 5.2(3) ein und definiert mit

rj' = 1 - C' 5.2(5)

einen Leitradwirkung8grad, so entsteht die Gleichung

er = I (Llh' + C~) 2 'YJ , 2· 5.2(6)


Die Energiegleichung des Laufrades wird zweckmäßig im rotierenden Koordinatensystem angegeben und lautet nach GI. 5.1(3)

2 0 2 2 Z + 102 = 1 + 1O'{ + U2 - u 1 12 2 fl1 2 2 5.2(7)

oder mit L1h" = h1 - h2 auch

Al" 1 (2 2 + 2 2) IJ /, ="2 U'2 - 101 u 1 - 71 2 • 5.2(8)

Die Geschwindigkeiten sind hier auf einen Radius zu beziehen, der durch Konvention festgelegt wird, z.B. der jeweilige Mittelkreisradius rm oder der unter 5.1 eingeführte Radius r. Die Energiedissipation L1h~ im Laufrad (vgI. Abb. 5.2.2) ist

( 2 2+ 2 2

Llh" = L1h" + 101 - 111 U 2 ) _ 102 d 8 2 2 ' 5.2(9)

denn der Ausdruck in der Klammer ist wieder die vom Endpunkt der isentropen Entspannung aus gerechnete Totalenthalpie am Laufradeintritt, hier noch vermehrt um die Arbeit des Fliehkraftfeldes. In Analogie zu GI. 5.2(4) definieren wir die Verlustzahl e" des Laufrades durch

Llh~ = C" (L1h;' + 10r - ~r + U~). 5.2(10)

Aus 5.2(9) und (10) folgt mit

r( ._ 1 - eil, 5.2(11)

u2 = " Llh" + 101 - U1 712 ,2 ( 2 2 + 2) 2 'YJ 8 2 . 5.2(12)

Die L1h~ und L1h~' sind die Energiemengen, die in den Schaufelkränzen selbst dissipiert werden. Sie umfassen noch nicht zusätzliche Verluste, die z.B. durch die Leckströmungen in den Labyrinthdichtungen von Leit- und Laufrad entstehen. Arbeitsumsatz und Stufenwirkungsgrad, die nur unter Berücksichtigung von L1h~ und L1h~' berechnet werden, sind also Werte, die nur die aerodynamische Qualität der Schaufelung kennzeichnen, was durch den Index a angedeutet werden soll. So wird die statische Enthalpiedifferenz in der Stufe unter Beachtung der GIn. 5.2(2) und (8)

L1ha = L1h' + L1h" = ~ (c i- c5 + 1o~ - 10i +ui - u~). 5.2(13)

Die spezifische aerodynamische Stufenarbeit ist

- = (h + C5) _ (h + C~) = Ll h + ca - c~ aa 0 2 2 2 a 2 5.2(14)

oder mit GI. 5.2(13)

5.2(15)

Der Querstri,ch über a besagt, daß es sich um eine "technische" Arbeit handelt, vgI. die Ausführungen unter 1.3.

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen

10r = ci + ur - 2UICl COS 0<1

1o~ = c~ + u~ - 2U2C2 COS 0<2' 5.2(16)

vgI. Abb. 5.2.3, erhält man durch Einsetzen in GI. 5.2(15) auch

5.2(17)


Hier sind 5.2(18)

CU2 (negativ)

Abb. 5.2.3 Geschwindigkeitsplan der Turbinenstufe.

die Umfangskomponenten der Geschwindigkeiten vor und nach Laufrad (positiv gerechnet, wenn sie in die Richtung der Raddrehung weisen), womit sich GI. 5.2(17) auch in der Form

0.2(19)

schreiben läßt. Diese grundlegende Gleichung der Turbinentheorie ist als Eulersche M 0-

mentengleichung bekannt. Sie läßt sich auch auf andere Weise gewinnen. Mit 111, als Massenstrom wird die der spezifischen Arbeit aa entsprechende Leistung 111,ila• Sie ist aber zugleich das Produkt aus Drehmoment M und Winkelgeschwindigkeit w, also

. M - Mw mäa = w ... aa = -. - . m

5.2(20)

Nun ist der ins Laufrad eintretende Drallstrom mr1cUl ' der austretende Drallstrom 111,rZCu2 ,

mithin nach dem Drallsatz das Drehmoment

~lf = m(rlcUl -- T2cu2)'

Dies in GI. 5.2(20) eingesetzt liefert

in Übereinstimmung mit GI. 5.2(19).

5.2(21)

Es mag überraschen, daß die Eulersche Gleichung auf zwei scheinbar unabhängige Arten herleitbar ist, nämlich einerseits aus einer Energiebetrachtung, anderseits aus dem Drallsatz, der eine Form des Bewegungsgesetzes ist. Das bestätigt aber die unter 3.2 gefundene Aussage, wonach bei gegebener Bahnkurve und einer festen Annahme über die Zustandsänderung zugleich mit der Energiegleichung auch die Bewegungsgleichung erfüllt ist.

Im Sonderfall, wo der Durchtritt durch die Stufe genau axial erfolgt, also U2 = Ul = u schreibt sich die Eulersche Gleichung mit L1cu = cUl -- Cu2 auch in der besonders einfachen Form

äa = u L1cu . 5.2(22)

Die Größe L1cu wird auch gelegentlich als "Leistungsstrecke" bezeichnet, vgl. die Darstellung im Geschwindigkeitsplan, Abb. 5.2.4.

Abb.5.2.4 Geschwindigkeitsplan einer rein axialen Turbinenstufe, Leistungs

strecke.


Da durch die angegebenen Beziehungen Zustandsänderungen und Arbeitsumsatz in der Stufe bekannt sind, lassen sich für die Turbinenstufe auch die verschiedenen unter 1.9 definierten Wirkungsgrade angeben. Die drei naheliegendsten Bildungen sind

Llha r)sa = Llh '

s

° _ Llh~ ä a qa r)sa = Llho = Llho ~ c2 _ c2 '

s s Llh + _0 __ 2 s 2

L1h~ aa fJ~~) - 2 = -----:l'

Llh + Co Llh + Co s 2 s 2

pz $

(tsJ I TJsa =a,c

Pz

Po

$-

TJsa = die Abb. 5.2.5 Veranschaulichung der Definition der Wirkungsgrade 11~' 11~t) und 11sa'

5.2(23)

5.2(24)

5.2(25)

die den GIn. 1.9(1) -(3) entsprechen, vgl. auch die Darstellung in Abb. 5.2.5. Hier ist fJ.a der isentrope aerodynamische Wirkungsgrad, der ein Charakteristikum der thermodynamischen Zustandsänderung darstellt. fJ~a und fJ~~) sind aerodynamische Arbeitswirkungsgrade, und zwar vergleicht fJ~a die Stufenarbeit mit der Arbeit einer verlustfreien Stufe, die das Fluid vom Totalzustand hg, pg auf den Totaldruck pg isentrop expandieren würde, vgl. Abb. 5.2.5. Der Ausdruck

C5 - c~ Jh. + -2-

ist mit Llh~ nicht streng identisch, doch sind die Unterschiede verschwindend klein.r)~~) vergleicht die Arbeit mit derjenigen einer Idealstufe, bei der das Fluid mit unendlich kleiner Geschwindigkeit C2 abströmen würde, so daß am Stufenaustritt Totalzustand und statischer Zustand identisch würden. Das ist sinnvoll, wenn die Bewegungsenergie c~/2 der Stufe als Verlust zur Last gelegt werden soll (z.B. einstufige, diffusorlose Maschine, Regelstufe von Dampfturbine).

Wie schon erwähnt, ist mit L1h~ und Llh'l noch nicht die gesamte Energiedissipation in der Stufe erfaßt, weshalb auch die durch 5.2(23) -(25) definierten aerodynamischen Wirkungsgrade den Charakter von Basiswerten haben, an denen noch weitere Abzüge zu machen sind. Bei der Anordnung nach Abb. 5.2.1 entstehen z.B. Leit- und Laufradspaltverluste infolge der Leckströmungen durch die Labyrinthdichtungen an beiden Schaufelkränzen. Durch diese Leckströmungen entzieht sich ein Teil des Fluids der Arbeitsleistung und außerdem wird die Hauptströmung in den RandzoneiJ. zusätzlich gestört. Weiter entsteht Energiedissipation durch Reibung der Seitenflächen der Laufradscheibe am Fluid. Wenn die Stufe überdies mit Teilbeaufschlagung arbeitet, entsteht ein großer Verlust dadurch, daß der Laufschaufelkranz im nichtbeaufschlagten Teil das Fluid in wirbelnde Bewegung versetzt; dies wird als Ventilationsverlust bezeichnet. Jeder dieser Verluste


bedeutet eine Verminderung der spezifischen (auf die Masseneinheit der gesamten die Stufe durchsetzenden Arbeitsmittels bezogenen) Arbeit, was sich in Enthalpieerhöhungen äußert, die diesen Arbeitsverlusten gleich sind. So seien Llh;]i und Llh~~ die Enthalpieerhöhungen durch die Leit- und Laufradspaltverluste, während LlhR den Radreibungsverlust und Llhv den Ventilationsverlust darstellen mögen. Die gesamte Enthalpieerhöhung durch diese Zusatzverluste ist also im allgemeinsten Falle

Llhz = Llh;p + Llh~~ + LlhR + Llhv . 5.2(26)

Llhv fehlt bei Vollbeaufschlagung, und LlhR ist in den meisten Fällen verschwindend klein. Abb. 5.2.6 zeigt die Zustandsänderung, wie sie sich unter Berücksichtigung der Zusatzverluste ergibt. Es ist

h

Jtj

"

5

Abb. 5.2.6 hs.Diagramm der Zustands· änderung in der Turbinenstufe unter

Einschluß der Zusatzeffekte.

5.2(27)

wobei es von der baulichen Gestaltung abhängt, wie sich Llhz in den beiden in Abb. 5.2.6 dargestellten Anteile Llh; und Llh;' aufteilt. Die resultierende effektive Enthalpiedifferenz in der Stufe ist

Llh = Llh" - Llhz = Llh" - Llh;p - Llh;; - LlhR - Llhv ,

die resultierende spezifische Stufenarbeit

5.2(28)

a = a" - Llhz = a" - Llh;p - Llh;; - LlhR - Llhv . 5.2(29)

Damit lassen sich in Analogie zu GI. 5.2(23) -(25) die folgenden Stufenwirkungsgrade defi-nieren

5.2(30)

5.2(31)

5.2(32)


siehe Abb. 5.2.6. f). ist der isentrope Stufenwirkungsgrad, während f)~ und f)~t.) die beiden verschieden definierten auf die Isentrope bezogenen Arbeitswirkungsgrade der Stufe sind. Definiert man durch

5.2(33)

Verlustzahlen, so läßt sich GI. 5.2(30) auch schreiben

5.2(34)

Diese Gleichung ist strenggenommen nur eine - allerdings gute - Näherung, denn bei gegebe:rlen Geschwindigkeitsdreiecken ist L1h8 in GI. 5.2(23) und (30) nicht exakt gleich groß, vg1. Abb. 5.2.5 und 6.

Bei einer Anordnung, bei der Leit- und Laufräder mit Labyrinthdichtungen versehen sind, ergibt sich die Einführung dieser Zusatz verluste in natürlicher Weise, derin man könnte sie nicht sinnvoll in die Radwirkungsgrade f)' und 'Tj" einschließen. Bei einer Trommeltur· binenstufe mit frei endigenden Schaufeln, vg1. Abb. 5.2.7, ist es durchaus möglich, die Radwirkungsgrade so zu definieren, daß sie die Spaltverluste - die hier durch die Spaltströmung am Schaufelende entstehen - bereits mitumfassen. Da Radreibungs- und Venti-

Abb. 5.2.7 Trommelstufe mit frei endi. genden Schaufeln.

lationsverluste hier ohnehin nicht auftreten, werden dann die aerodynamischen Wirkungsgrade identisch mit den Gesamtwirkungsgraden der Stufe, die durch die Gin. 5.2(30) -(32) gegeben sind. Dieses Verfahren hat aber Nachteile. Im Rahmen einer Verlustanalyse ist es zweckmäßig, den Spaltverlust, der bei dieser Bauart in der Regel der größte Einzelverlust ist, auszusondern, und die aerodynamischen Wirkungsgrade zu definieren als Grenzwerte der Gesamtwirkungsgrade der Stufe bei nach Null strebenden Schaufelspielen. Tut man dies nicht, so rechnet man mit entsprechend verminderten Mittelwerten Cul und CU2' denkt sich also die sehr starken lokalen Effekte der Schaufelspalte quasi über die ganze Schaufelhöhe verteilt, womit die Geschwindigkeitsdreiecke weniger repräsentativ werden. Außerdem ist es dann schwierig, einheitliche Berechnungsgrundlagen zu schaffen und Vergleiche mit anderen Schaufelungstypen anzustellen. Deshalb hat es Vorteile, die Spalteffekte auch bei frei endigenden Schaufeln nicht in die Radwirkungsgrade einzuschließen, sondern gemäß GI. 5.2(34) getrennt in Rechnung zu setzen.

Die Kontinuitätsgleichung läßt sich für die drei Kontrollquerschnitte 0, 1, 2 wie folgt formulieren. Es seien 111, der die Stufe durchsetzende Massenstrom, vo, Vi> Va die spezifischen Volumina in den Zuständen 0,1,2 und Do, Dl> Da die Ringflächen der Kontrollquerschnitte, ferner 80,81.8'1. die in Abb. 5.2.1 und 7 angegebenen Winkel. Schließlich sei (vg1. Abb. 4.1.4)

8 - 'Y b = 3600 5.2(35)

170 !) Elementare Theorien der Stufe

das Beaufschlagung"werhältni:;, das bei Vollbeaufschlagung den Wert 1 hat. Dann gilt

muo = cuQ{)kof:o sin NO cos co'

'1i~Vl = cb!.2lkl f: l sin IX l cos cl'

mV2 = Cb[J2k2W2 sin ß2 cos c2'

5.2(36)

5.2(37)

5.2(38)

Die Einführung der Faktoren ko' kl> k2 ist stets sinnvoll bei Anordnungen mit Labyrinthdichtungen an Leit- und Laufrädern, z.B. Abb. 5.2.1. Da hierbei die durch die einzelnen Schaufelkränze strömenden Massenströme um die Leckmengen kleiner sind als der Gesamtmassenstrom, ist in der angegebenen Form der Kontinuitätsgleichung ein Faktor k > 1 einzuführen, denn links steht der Gesamtmassenstrom. Bei der Anordnung mit frei endigenden Schaufeln, Abb. 5.2.7, kann man den k-Faktor auch weglassen, muß dann aber eine Abhängigkeit der Strömungswinkel von den Spaltweiten 0' und 0" einführen, da ja größere o-Werte größeren Durchsatz, also größere Mittelwerte der Winkel zur Folge haben. Will man mit spaltunabhängigen Winkeln rechnen, so muß man auf die angegebene Form mit k-Faktoren zurückgehen. Dies führt auf einen einheitlicheren Aufbau der Turbomaschinentheorie, zumal die Einführung von k-Faktoren beim Axialverdichter unabdingbar wird. Die ganze Frage hängt eng mit dem Problem der Mittelwertsbildung zusammen, wie unter 5.4 genauer erörtert wird.

Das Vorgehen bei der Berechnung einer Turbinenstufe kann jetzt überblickt werden. Stets sei angenommen, daß für die betreffende Schaufelungsart die Radwirkungsgrade 1]'

und 1]/1, die k-Faktoren und die durch GI. 5.2(33) definierten Verlustzahlen aus empirisch gewonnen Unterlagen bekannt seien. Es kommen vor allem folgende Verfahren in Frage:

a) Vorgeschrieben: m, Po' ho, co' PI' Pz' Ul> u2' exo, exl> ß2' n. (sekundliche Drehzahl). Vorgehen: Aus hs-Tafel L1h~, aus GI. 5.2(6) Cl' aus GI. 5.2(2) L1h', aus hs-Tafel Punkt 1. Mit den GIn. 5.2 (26), (27), (33) die L1h~ und L11(. Aus Punkt 1 undLlh~Punkt 1 *, Abb.5.2.6. Aus Cl' ex l , U I liefert Geschwindigkeitsdreieck WI. Dann aus hs-Tafel L1h;', aus GI. 5.2(12) w2' aus GI. 5.2(8) L1h" (Anfangspunkt 1 *), aus hs-TafelPunkt 2, mit L1h~' Punkt 2*. Weiter liefern die Kontinuitätsgleichungen 5.2(36) -(38) die CbQO, CbQI' Cb Q 2' Je nach baulicher Anordnung und Lage der Kontrollflächen sind für VI und Vz die Werte in den Punkten 1, 2 oder 1*, 2* einzusetzen. Den Beaufschlagungsgrad C wählt man nur in Sonderfällen von 1 verschieden (Regelstufe, extrem kleiner Volumenstrom). Aus den Qi findet man die Schaufellängen 1o, 1l> 12 , da ja die Durchmesser mit den Umfangsgeschwindigkeiten gegeben sind, vgl. auch Abschnitt 5.1.

b) Vorgeschrieben: m, Po, ho, co' vollständige Geschwindigkeitsdreiecke, n •. Vorgehen: Aus GI. 5.2(6) L1h;, aus hs-Tafel PI' aus GI. 5.2(2) L1h', aus hs-Tafeln Punkt 1, L1h;, L1h~' bestimmen wie unter a), aus Punkt 1 und L1h~ Punkt 1*, aus GI. 5.2(12) L1h;', aus hs-Tafel Pz' aus GI. 5.2(8) L1h", aus hs-Tafel Punkt 2, mit L1h;' Punkt 2*. Aus den Kontinuitätsgleichungen 5.2(36) -(38) die 1o, 11 , 12 wie unter a).

c) Vorgeschrieben: m, Po' ho' exo' Pl> Pa' alle Durchmesser und Schaufelhöhen, n., damit auch ~tl> uz' hier immer Cb = 1. Vorgehen: Aus GI. 5.2(36) co' aus der hs-Tafel L1h., aus GI. 5.2(6) cl> aus GI. 5.2(2) L1h', aus hs-Tafel Punkt 1, L1h;, L1h;' bestimmen wie unter a), aus Punkt 1 und L1h; Punkt 1*, aus Gl. 5.2(37) exI, wobei je nach Gegebenheiten für VI der Wert in Punkt 1 oder 1 * einzusetzen ist; aus cl> Uv ex l mit Geschwindigkeitsdreieck Wv aus hs-Tafel L1h;', aus GI. 5.2(12) W 2, aus Gl. 5.2(8) L1h", aus hs-Tafel Punkt 2, aus GI. 5.2(38) ßz, wobei Vz entsprechend Punkt 2 oder 2*.

Da bei allen diesen Rechnungen die Radwirkungsgrade, Verlustzahlen und k-Faktoren, wie übrigens auch die Winkel Ci' von der Geometrie der Stufe abhängen, muß man iterieren. Die genaue Verteilung des L1hz auf L1h; und L1h;' ist dabei übrigens nicht sehr wichtig, weil das Ergebnis davon kaum merklich abhängt. Sehr häufig ist L1h~ = L1h;p, L1h;' = L1h;~, L1hR = L1hv = 0, besonders bei Trommelstufen. Bei frei endigenden Schaufeln sind in die


Kontinuitätsgleichungen die spezifischen Volumina in den Punkten 1 * und 2* einzusetzen, denn die tatsächliche Zustandsänderung nimmt den Verlauf 01 *2*, während dIe Punkte 1 und 2 in diesem Falle nur ideellen Charakter haben.

Sind die Abmessungen der Stufe und die definitive Zustandsänderung gefunden, so können die spezifische Stufenarbeit a und alle Stufenwirkungsgrade berechnet werden, die interessieren mögen.

Bei der Beschreibung des Vorgehens ist angenommen worden, daß die Untersuchung an Hand einer Entropietafel durchgeführt werde. Man wird aber meist rechnerisch vorgehen, was unter Verwendung der Theorie des idealen Dampfes (und damit auch Gases) besonders einfach wird. Mit Pe als Entspannungsfunktion siehe Gl. 1.5(25) und mit j als Normalenthalpie wird dann

Lfh;=NPe(~>x), 5.2(39') Lfh;'=NPe(~:,X)' 5.2(39")

jl = jo - Lfh', 5.2(40') j2 = ji - Lfh", 5.2(40")

5.2(41') x -1 ja

va=--U Pa

5.2(41")

Das Zeichen * verweist auf den Zustandspunkt 1 *, Abb. 5.2.6. Mit diesen Gleichungen sind alle Schritte, die mit der Entropietafel durchgeführt werden können, auch rechnerisch ausführbar.

Geht der betrachteten Stufe keine andere voraus, so ist im allgemeinen Co unbekannt. Dies stört jedoch nicht, denn für die Durchführung der Rechnung genügt es, den Staupunktszustand vor der Stufe zu kennen, also hg = ho + c~/2 und das zugehörige pg, siehe Abb. 5.2.6. Bei gegebenem PI liegt dann im hs-Diagramm sogleich Lf'h; + c~/2 fest, oder diese Größe kann aus Gl. 5.2(6) ermittelt werden, wenn Cl vorgeschrieben ist, womit dann umgekehrt PI auffindbar ist. Weiter liefert Gl. 5.2(2) Lfh' + c~/2, womit ausgehend vom Punkt pg, hg der Zustandspunkt 1 festliegt. Meist ist es in solchen Fällen zweckmäßig, Zo = 11 zu wählen und Co nachträglich aus der Kontinuitätsgleichung zu berechnen.

Zur Auslegung einer Stufe werden dreierlei Uriterlagen gebraucht, nämlich solche über die Verluste, solche über das Durchflußverhalten und solche über die Ablenkungseigenschaften der Schaufelungen, d. h. also über die Frage, wie die Schaufeln zu gestalten sind, damit man vorgeschriebene Winkel (Xl und ßa erhält oder wie diese Winkel bei gegebener Schaufelgeometrie sich einstellen. Dies ist das in Kapitel 6 behandelte Problem der Gittertheorie.

Die hier verwendeten Radwirkungsgrade rj' und 1)" hängen mit den in der Dampfturbinenliteratur gelegentlich angegebenen Leit- und Laufradkoeffizienten cp und 1p in einfacher Weise zusammen; es ist cp = V1, 1p = V1'. Diese Art, die Verluste innerhalb der Schaufelung selbst in die Rechnung einzuführen, ist nicht nur naheliegend und anschaulich, sondern sie ist zugleich die einfachste, die universell anwendbar ist. Die Bezugnahme auf die Polytrope, wobei z.B. an die Stelle der GI. 5.2(6) die Beziehung

cJ = 1)' (y' + C;) = 1)' [}' v dp + cn treten würde, ist zwar möglich, führt aber auf rechnerische Komplikationen. Eine formal einfache Theorie ergibt sich, wenn man direkt mit polytropen Radwirkungsgraden rechtnet, die implizite definiert sind durch

" ~ Lfh' = 1)~ J v dp, Lfh" = 1)~' J v dp. 5.2( 42) Po P1

Sie ist aber nicht universell verwendbar. So wird z. B. wenn U l = U a, W1 = Wa der polytrope Laufradwirkungsgrad 'YJ~' = 0, unabhängig von der Größe der Verluste, und bei PI = Pa wird gar 'YJ~' = - (Xl. Polytrope Radwirkungsgrade können also nur verwendet werden, wenn man weit von diesen Sonderfällen entfernt ist, d. h. bei Schaufelungen mit genügend


hoher Reaktion: Das gleiche gilt übrigens auch für isentrope Radwirkungsgrade, die gemäß GI. 1.9(1) definiert wären. Die Bezugnahme auf die Isentrope kommt in der dargelegten Theorie dort vor, wo von den Drucken auf die Enthalpiedifferenz geschlossen wird oder umgekehrt. Jeder Formalismus, der dies in allen Fällen ohne Bezugnahme auf die Lqentrope leistet, wird komplizierter und läßt sich im Entropiediagramm nicht ebenso einfach darstellen.

Hingegen ist es bei jeder Stufen bau art möglich und sinnvoll, anstatt der durch 5.2(23) - (25) und (30) - (32) definierten isentropen Stufen wirkungsgrade die entsprechenden polytropen Wirkungsgrade einzuführen, also z.B.

mit

Llh 1)p --,

y

0_ a 1)p = --2---2 '

Co - C2 y+--2

a 1)(t8) = __ _

l' -- 2

+ Co y -2

p,

y = J v dp. p,

5.2(43)

5.2(44)

5.2( 45)

5.2(46)

Die Werte dieser Wirkungsgrade unterscheiden sich von denen der entsprechenden isentropen Wirkungsgrade nur sehr wenig. Selbst bei dem hohen Stufendruckverhältnis PO/P2 = 2 entspricht 1)p = 0,85 höchstens etwa 1)8 = 0,862; bei kleineren Druckverhältnissen sind die Unterschiede noch bedeutend kleiner. Im Sinne der Ausführungen des Abschnittes 1.8 kann in GI. 5.2(46) das v der wirklichen Zustandslinie oder das einer die Endpunkte verbindenden Polytrope eingesetzt werden, was auf verschiedene 1)p führt, die unter 1.8 mit 1)pm und 1)p bezeichnet wurden. Diese Feinheit müßte dort, wo sie von Belang ist, angegeben werden.

5.3 Eindimensionale Theorie der Verdichterstufe

Wiederum werde die adiabatisch arbeitende Stufe betrachtet, wobei die Bauart - axial oder radial - für die allgemeine Theorie unwesentlich ist. Abb. 5.3.1 stellt daher eine Zwischenform dar, die ja auch möglich ist.

Die Energiegleichung des Laufrades, welche die Zustandsgrößen in den Kontrollflächen 1 und 2 miteinander verknüpft, lautet

u:2 w2 u2 u2

h2 + 22 = h1 + -t + 2; 1 5.3(1)

oder mit Llh" - hz - hv vgl. Abb. 5.3.2, auch

5.3(2)

Der Verdichtungsprozeß ist mit Energiedissipation verbunden, und zwar ist die dissipierte Energie am Laufradende, wie das Entropiediagramm zeigt

Llh',( = Llh" - Llh;' . 5.3(3)

Wir definieren implizite eine Verlustzahl C~ durch die Setzung

A h" 1 ( 2 + 2 2) 7"" LI d ="2 Wl U2 - Ul <"D, 5.3(4)

5.3 Eindimensionale Theorie der Verdichterstufe 173

d. h. ,~ setzt die dissipierte Energie ins Verhältnis zur gesamten dem Verdichtungsprozeß im Laufrad verfügbaren Energie (Bewegungsenergie am Eintritt + Arbeit des Fliehkraftfeldes). Die Größe

Abb. 5.3.1 Verdichterstufe mit Geschwindigkeitsplan.

5.3(5)

ist der Diffusorwirkungsgrad des Laufrades. Er wird mit dem unter 5.2 eingeführten Laufradwirkungsgrad r( identisch wenn W 2 = W v U 2 = U 1 und nur in diesem Falle. - Wenn man Gl. 5.3(3) nach Llh;' auflöst, Llh" und Llh~' durch die Ausdrücke nach Gl. 5.3(2) und (4) ersetzt und GI. 5.3(5) beachtet, erhält man

Ah" 1 [ "( 2 + 2 2) 2] LJ 8 = '2 1]D Wl Uz - Ul - W2 . 5.3(6)

Mit Llh' = ha - hz wird die Energiegleichung des Leitapparates oder Diffusors (das dem Laufrad nachfolgende Bauelement hat nicht notwendig die Form eines Schaufelkranzes, sondern es kann sich um einen ungeschaufeltenRingdiffusor handeln)

Llh' = ; (c~ - c§). 5.3(7)

Die mit dem Prozeß verbundene Energiedissipation ist

Llhd = Llh' - Llh;.

Die entsprechende Verlustzahl ,~ sei definiert durch 2

LlZ' C2 ~, id = 2 ~D

5.3(8)

5.3(9)


und der zugehörige Diffusorwirkungsgrad durch

1]~ - 1 - '~. 5.3(10)

Aus den GIn. 5.3(7) -(10) folgt die zu 5.3(6) analoge Gleichung

Ah' _ 1 [ '2 2] LJ 8 -"2 1] nC2 - Ca • 5.3(11)

Wir fassen die Llh~ und Llh~' wiederum auf als die in den Strömungskanälen selber dissi pierten Energien, die solche Effekte wie Reibung von Radscheiben oder die Energiedissipationen durch außerhalb der Strömungskanäle erfolgende Spaltströmungen nicht einschließen. In diesem Sinne sprechen wir von den aerodynamischen Verlusten in den Strömungskanälen selber und bezeichnen die so gebildeten Größen mit dem Index a. So wird die (im allgemeinen ideelle) Enthalpiedifferenz Llha = h3 - hll die nur diese aerodynamischen Verluste berücksichtigt

Llh - Llh" + Llh' -..!.. (w2 - u·2 + u2 - u2 + c2 - c2) a- -2 I 2 2 I 2 3'

Die aerodynamische Stufenarbeit ist 2 2

- _ Llh + Ca - Cl aa - a 2

oder mit GI. 5.3(12) 1

tZa = "2 (wi - u·~ + u~ - ui + c~ - ci)·

Die trigonometrische Umformung dieses Ausdruckes führt mit

Cul Cl COS iX}> Cu2 - C2 COS iX2

auf die Eulersche Momentengleichung

die sich im Sonderfalle U 2 = Ul = u mit Llcu = Cu2 - Cul auch schreiben läßt

aa = u !lcu .

11,

s

Abb. 5.3.2 hs.Diagramm der Zustandsänderung in der Verdichterstufe.

5.3(12)

5.3(13)

5.3(14)

5.3(15 )

5.3(16)

5.3(17)


Wie bei der Turbinenstufe lassen sich auch hier wieder aerodynamische Stufenwirkungsgrade definieren, welche die strömungstechnische Hochwertigkeit der Schaufelungen bzw. der Strömungskanäle selbst kennzeichnen. Entsprechend den GIn. 1.10(1)-(3) erhalten wir folgende drei Definitionen (vgl. auch Abb. 5.3.2):

iJh. 1]sa == iJh '

a

ci ci iJhs -"2 iJhB -"2

1](/8) = ---- - ----Ba - iJh~ - aa

5.3(18)

5.3(19)

5.3(20)

'fJ8a ist der isentrope aerodynamische Wirkungsgrad, 1]~a der aerodynamische Arbeitswirkungsgrad der Stufe, während 1]~~) zutreffend als aerodynamischer Arbeitswirkungsgrad der frei ausblasenden Verdichterstufe bezeichnet werden kann. Seine Angabe ist dann sinnvoll, wenn eine Dissipation der Geschwindigkeitsenergie am Austritt zu erwarten ist und der Stufe zur Last gelegt werden soll.

Außer der Energiedissipation in den durchströmten Schaufelungen oder Kanälen treten - mindestens bei gewissen Anordnungen - noch zusätzliche Verluste auf. So wird bei einem Radialverdichter nach Abb. 5.3.3 noch Energie dissipiert durch Rückströmungen

Abb. 5.3.3 Radialverdichterstufe.

durch die Labyrinthdichtungen an der Deckscheibe und an der Welle. Die Enthalpieerhöhungen, die durch diese Energiedissipationen gegeben sind seien Llh;p (Dichtung an Welle, gibt eine Rückströmung am Leitapparat) und iJh;~ (Dichtung an Deckscheibe, gibt eine Rückströmung am Laufrad). Außer diesen "Spaltverlusten" treten noch Radreibungsverluste an den beiden Radscheiben auf, die auf eine Enthalpieerhöhung LlhR führen. Durch

1"' = Llh;p 1"" =~ iJh~~ I" = LlhR ~8P - iJhs ' ~.p - Llhs ' ~R - Llhs ' 5.3(21)

können die entsprechenden Verlustzahlen eingeführt werden. Die resultierende zusätzliche Enthalpieerhöhung

5.3(22)


tritt beachtenswerterweise zum Teil vor dem Laufrad in Erscheinung (Anteil Llh;', Abb. 5.3.4), da ja Rückströmung auftritt. Die restliche Erhöhung Llh; erfolgt nach dem Laufrad, da dort die entsprechende Leckströmung in den Hauptstrom zurückgelangt. Es ü;t

5

Abb. 5.3.4 ha-Diagramm der Zustandsänderung in der Verdichterstufe unter

Einschluß der Zusatzeffekte.

5. tl( 23)

und unter den in ALb. 5.3.3 dargestellten Bedingungen ist

A7' Ah' LlhR LJ Iz = LJ sp + -2-' 5.3(24)

Ah" _ Ah" + LlhR LJ z - IJ Sp 2' 5.3(25)

wenn angenommen wird, daß sich die Radreibung gleichmäßig auf Leide Scheiben verteilt. Damit ergeben sich die folgenden, alle Verluste umfassenden Stufenwirkungsgrade :

1]s - ~~s, 5.3(26)

2 Llh _ Cl

8 2 11(t8) = ___ _ .,. - Llho

2 I1h _ Cl

8 2

ä

5.3(27)

5.3(28)

1]8 ist der isentrope Stufenwirkungsgrad, 1]~ der Arbeitswirkungsgrad der Stufe, 1]~(8) der Arbeitswirkungsgrad der frei ausblasenden Stufe. Aus GI. 5.3(18), (21) und (26) folgt mit

Llh = Llha + Llh;p + Llh~p + LlhR 5.3(29)

auch

1 1 ;-, ;-" ;-__ R::! - + ~8P + ~8P + ~1l' 1}8 1)sa

5.3(30)


was mit großer, aber nicht absoluter Genauigkeit zutrifft, da Llh. in GI. (18) und (26) bei gegebenen Geschwindigkeitsdreiecken nicht genau gleich sind, wie aus Abb. 5.3.2 und 3 zu entnehmen ist.

Bei Schaufelkränzen mit frei endigenden Schaufeln oder bei halboffenen Radialrädern ist es durchaus möglich, die Spalt verluste sogleich in die 1)~ und 1)~ einzuschließen. Besonders beim Axialverdichter ist es aber doch oft wünschbar, den Einfluß der Radialspalte auf den Wirkungsgrad für sich zu kennen. Dann wird es sinnvoll, einen Basiswirkungsgrad anzugeben, der Spalteffekt wie auch allfällige Radreibung nicht mitumfaßt, d.h. also den Wirkungsgrad, den wir den aerodynamischen genannt haben, womit man aber wieder zum angegebenen Formalismus zurückkommt.

Sind !J1, !Jz, !Ja die Ringquerschnitte der Kontrollflächen und el> ez, ea die Winkel nach Abb. 5.3.1, so lautet die Kontinuitätsgleichung in den drei Kontrollflächen

mVl = !Jlklcl sin <Xl cos el'

mV2 = !Jzk2wZ sin ßz cos 8 2 ,

mV3 = [J3k3C3 sin <X 3 cos C3'

5.3(31)

5.3(32)

5.3(33)

Für die spezifischen Volumina am Eintritt und Austritt des Laufrades sind je nach der Lage der Kontrollquerschnitte und den Besonderheiten der Bauart die Werte in den Zustandspunkten 1 oder 1 * bzw. 2 oder 2* einzusetzen. Die Einführung der Faktoren k i ist vor allem bei der Axialverdichterstufe dringend zu empfehlen. Sie berücksichtigen hier vor allem die Verdrängungswirkung der Seitenwandgrenzschichten. Läßt man sie weg, so fälscht man die Strömungswinkel, was sehr kritisch ist, weil bei diesen Schaufelungen Arbeitsumsatz und Druckerzeugung äußerst empfindlich von diesen Winkeln abhängen.

Hinsichtlich des Vorgehens bei der Berechnung ist hier die Lage insofern anders als bei der Turbinenstufe, als es unzweckmäßig wäre, Drucke beliebig anzunehmen und Geschwindigkeitsdreiecke aufzufinden, denn hierbei liefe man Gefahr, auf Strömungsverzögerungen und Ablenkungen geführt zu werden, die nicht gleichzeitig beherrscht werden können. Deshalb geben wir hier nur das Verfahren an, bei dem die gesamten Geschwindigkeitsdreiecke und Ca von vornherein gegeben werden. Ebenso ist natürlich der Zustand vor dem Laufrad Pl> hl> der Massenstrom und die sekundliehe Drehzahl gegeben. Schließlich müssen Unterlagen vorliegen, die die 1)~, 1)';; und die' in Funktion der Stufengeometrie zu bestimmen gestatten. Das Vorgehen kann dann folgendermaßen beschrieben werden:

Ausgehend von Punkt 1 wird mit geschätztem Llh~' Punkt 1* (Abb. 5.3.4) gefunden, aus GI. 5.3(6) Llh;', aus hs Diagramm Pz, aus GI. 5.3(2) Llh", somit Punkt 2, mit geschätztem Llh; Punkt 2*, aus GI. 5.3(11) Llh~, aus hs-Diagramm P3' aus GI. 5.3(7) Llh', somit Punkt 3. Aus den nunmehr bekannten Zustandspunkten folgen die spezifischen Volumina und damit aus den Gin. 5.3(31) -(33) die Querschnitte !J1 -;- !Ja. Damit sind die Schaufelhöhen oder Radbreiten berechenbar. Aus den jetzt in erster Näherung bekannten Maschinenproportionen folgen genauere Werte von 1)~, 1)';, ';p, ,;;, 'R' kl> kz' ka, mit denen die Rechnung zu wiederholen ist.

Ist die Stufe so proportioniert. so können alle weiteren Größen berechnet werden, die interessieren mögen, insbesondere die Wirkungsgrade nach GI. 5.3(26) -(28). Bei diesem Verfahren läßt sich der Enddruck P3 nicht vorschreiben, sondern er wird gefunden. Man kann sich indessen den Enddruck vorschreiben und ohne Probieren zum Ziele gelangen durch Benutzung der unter 5.5 eingeführten dimensionslosen Kenngrößen.

Die Diffusorwirkungsgrade 1]~ und 1]';; sind Charakteristika der Strömung in den Schaufelungen oder Kanälen, die in keinem Grenzfall versagen oder unanschauliche Größenordnungen annehmen. In der angegebenen Definitionsweise nehmen sie auf isentrope Enthalpiedifferenzen Bezug, da bei Bezugnahme auf polytrope Integralausdrücke y rechnerische Komplikationen entstehen würden. Formal einfacher ist es, für Leit- und Laufrad unmittelbar polytrope Wirkungsgrade anzugeben, doch ist das Verfahren dann nicht mehr universell anwendbar, denn bei Reaktionsgrad 1 wird der polytrope Leitradwirkungs-


grad unabhängig von der Größe der Verluste Null, und er wird deshalb auch in benachbarten Fällen eine sehr unzweckmäßige Rechengröße. Die Verwendung polytroper Wirkungsgrade hat den Vorteil, daß die y im Gegensatz zu den Llh, streng additiv sind, d.h. es ist

y = y' + y". 5.3(34)

Keine Schwierigkeiten entstehen beim Ersatz der durch die Gln. 5.3(26) -(28) definierten Wirkungsgrade durch entsprechende auf die Polytrope bezogene Ausdrücke:

mit

- y 1]p = Llh'

+ c§ - ci y --2-

1]~-----a

ci Y-2

1]~ts) = -_a

p.

y J vdp. PI

5.3(35)

5.3(36)

5.3(37)

5.3(38)

Auch hier bestehen, wie bei der Turbinenstufe gemäß Abschnitt 1.8, die beiden Möglichkeiten, v entsprechend der wirklichen Zustandslinie oder entsprechend einer ideellen Polytrope einzusetzen, welche die Endpunkte der Zustandsänderung verbindet, was auf die unterschiedlichen Definitionen führt, die unter 1.8 mit 1]pm und 1]p bezeichnet wurden. Wo der Unterschied bedeutsam würde, müßte angegeben werden, welche Definition man verwendet.

Beim angegebenen Berechnungsverfahren kann unter Voraussetzung idealen Gases oder Dampfes der Gebrauch der Entropietafel auf einfache Weise durch die Rechnung ersetzt werden. Die dann zusätzlich benötigten Gleichungen lauten

Ah" ·*ITf (P2) 5.3(39") Ah' ·*ITf (Pa ) LI , = JI r k PI' U , LI " = J2 r k P2' U , 5.3(39')

j2 = ji + Llh", 5.3(40") js = j: + Llh', 5.3(40')

U - 1jz 5.3(41") U - 1ja 5.3(41') V 2 =-u-Pz' va =-u-Pa

Hier istj die Normalenthalpie nach Definitionsgleichung 1.6(5), lJIk die Kompressionsfunktion nach GI. 1.5(24).

5.4 Mittelwertsbildungen In den Abschnitten 5.2 und 5.3 bedeuten die Zustandsgrößen und Geschwindigkeiten

stets geeignet gebildete Mittelwerte über die jeweiligen Kontrollquerschnitte. Daraus ergibt sich die Frage, wie diese Mittelwerte gebildet werden müssen, damit die angegebenen Gleichungen streng gültig sind. Das Problem geeigneter Mittelwertbildungen ist schon in Abschnitt 3.14 erörtert worden. Was die Mittelung thermodynamischer Zustandsgrößen angeht, so erweist sich im Turbomaschinenbau in der Regel das dort als "Verfahren a.)" angegebene Vorgehen als das zweckmäßigste. Demgemäß ist

_ 1 P = t!} J P dQ dt, 5.4(1)

o 1

h = -:----n J (lcnh dQ dt, m!Jto~':

V = v(p,1i) ,

8 = s(p, h).

5.4(2)

5.4(3)

5.4(4)

5.4 Mittelwertsbildungen 179

Die Schreibweise der Integrale ist die unter 3.14 angegebene, d.h. es ist über die ganze Kontrollfläche zu integrieren und außerdem über die Zeitspanne to, über die gemittelt wird. Das cn ist hier die Normalkomponente der Geschwindigkeit zur Kontrollfläche Q, die meist die volle Ringfläche ist, bei Teilbeaufschlagung die Sektorfläche; ma ist der effektiv durch Q tretende Massenstrom, enthält also nicht Leckströme, die den Kontrollquerschnitt umgehen. Die Gln. 5.4(3) und (4) sagen aus, daß v und '8 nach thermodynamischen

Zustandsgleichungen aus Ti, und '8 bestimmt wird. Mit V == mav ist dann - 1 V ~ - J cn dQ dt 5.4(5)

to

keine exakte Gleichung, doch ist die Ungenauigkeit so klein, daß sie selbst im Rahmen der günstigsten Meß- und Rechengenauigkeit belanglos ist.

Unter den in Abschnitt 3.14 eingeführten Geschwindigkeitsmittelwerten haben die aus dem Bewegungsgesetz abgeleiteten eine ausgezeichnete Bedeutung. Gegebenermaßen wird bei dem in der Turbomaschine vorliegenden Strömungstyp das Bewegungsgesetz in Umfangsrichtung in Form des Drallsatzes ausgesprochen. Mit Cu als örtlicher U mfangskomponente der Geschwindigkeit ist

5.4(6)

der Mittelwert des Drallstromes, der den Kontrollquerschnitt durchsetzt. Der Mittelwert des spezifischen Drallstromes sei mit rcu bezeichnet und ist offenbar

rcu = ~ D = t~ J (}cncur dQ dt. ma oma

5.4(7)

Eine analoge Gleichung läßt sich auch für den spezifischen Drallstrom im rotierenden Koordinatensystem angeben;

rwu = t~ J (}cnwur dQ dt, oma

was sich mit Wu = Cu - u auch schreiben läßt

rwu = ~ J (}cnr(cu - u) dQ dt = ~- [f (}cnrcu dQ dt - J (}cnru dQ dt] toma loma

= rcu - t~ J (}cnru dQ dt. oma

5.4(8)

5.4(9)

Wenn man diesen zuletzt geschriebenen Integralausdruck mit ru erweitert, so erscheint unter dem Integralzeichen der Faktor rru = u, d. h. der Ausdruck nimmt die Form

an. Wir definieren

ifA = t~ J (}CnU 2 dQ dt oma

und können damit GI. 5.4(9) in der Form -2 __ u

rwu=rcu -ru

schreiben. Es werde nun weiter ein Radius r definiert durch

5.4(10)

5.4(11)

5.4(12)


der Eulerradiu8 genannt sei. Wenn man noch setzt

- rcu 1 J dn d Cu = -=- = -_-.- (lcnrcu ~4 t, r rtomn

5.4(13)

- rwu 1 J dn d Wu-~=---'- (lcnrwu ~4 t, r rtomn

5.4(14)

schreibt sich GI. 5.4(11) in der Form

oder W u = Cu - ü. 5.4(15)

Damit ist ein sehr bedeutsames Ergebnis gewonnen: Wenn man nach der Vorschrift GI. 5.4(12) einen mittleren Radius r bestimmt, aus ü = rm eine mittlere Umfangsgeschwindigkeit und aus den Gln. 5.4(13) und (14) die Mittelwerte Cu und Wu' so erfüllen die so definierten Mittelwerte die GI. 5.4(15), also die gleiche kinematische Relation, die für lokale Geschwindigkeiten gilt. Es folgt daraus, daß eine Mittelung auf Grund des Bewegungsgesetzes (Drallsatz) auf Geschwindigkeiten führt, mit denen Geschwindigkeitsdreiecke gebildet werden können. Bei energetisch gemittelten Geschwindigkeiten würde das nicht zutreffen, wie folgende überlegung zeigt. Es ist definitionsgemäß

-2 _ 1 J 2 dn d Ceu - -.- (lCnCu ~4 t, tomn

5.4(16)

W;u= -~-J (lCnw~dQ dt = -~-J (lCn(Cu - u)2dQdt tomn tomn

= ~ J (!Cn(c; - 2ucu + u) dQ dt = C;u - ~ f (lCnUCu dQ dt + ü~, 5.4(17) tomn tomn

womit auch üe definiert ist. Nun ist aber anderseits

2 (ceu - Üe)2 = c;u - 2üeceu + ü; = c;u - -. -. - V J (lCnu 2 dQ dt V J (lCnC~ dQ dt + u;. 5.4(18)

tomn

Der Vergleich der GIn. 5.4(17) und (18) zeigt, daß weu =l= ceu - Ue , 5.4(19)

da ja die bei den rechten Seiten offensichtlich verschieden sind. Damit bestätigt sich, daß aus energetisch gemittelten Geschwindigkeiten keine Geschwindigkeitsdreiecke gebildet werden können.

Mit den aus dem Drallsatz hergeleiteten Cu und ü ist auch die Eulersche Momentengleichung streng erfüllt, denn mnrcu ist der Drallstrom, folglich

5.4(20) das Drehmoment und

5.4(21)

die spezifische Arbeit. Auf diese bevorzugten Eigenschaften der Mittelwertbildung nach dem Drallsatz hat zuerst Dzung [8] hingewiesen.

Führt man die Mittelung der Umfangskomponenten nach dem Drallsatz durch, so ist es naheliegend, auch die anderen Geschwindigkeiten nach dem Bewegungsgesetz zu mitteln, denn so entsteht die theoretisch einwandfreiste Bedeutung der Geschwindigkeitsdreiecke. Sie sind eigentlich Impulsdreiecke. Wir setzen also für die mittlere Normalkomponente cn und die mittlere Querkomponente cq (in der Kontrollfläche selbst)

cn - -t ~ J (lC~ dQ dt, 5.4(22) omn

5.4(23)


Mit den durch GI. 5.4(12), (13), (14), (22), (23) definierten Geschwindigkeitsmittelwerten sind die h, v und 8 nach GI. 5.4(2), (3), (4) nur dann streng kompatibel, wenn in der Energiegleichung Formfaktoren eingesetzt werden. Will man dies vermeiden, so muß man nach den Ausführungen unter 3.14 die statische Enthalpie interpretieren als der dort eingeführte Wert

womit dann

-::2

h* = h + [(1 + f e)2 - 1] c2 '

v* = v(p, h*), 8"* = s(p, h*).

5.4(24)

5.4(25)

5.4(26)

Man rechnet also mit den in Abb. 3.14.4 dargestellten ideellen Zuständen. Da nun aber

mDv* =F cnD, 5.4(27)

muß in die Kontinuitätsgleichung ein Formfaktor eingeführt werden, d. h. es ist zu setzen

mDv* = (1 - fk) cnD. 5.4(28) Auch dies kann vermieden werden durch den Formalismus, der durch die GIn. 3.14(45)(49) gegeben ist, d.h. man setzt für cn nicht den Ausdruck nach GI. 5.4(22), sondern das Kontinuitätsmittel Ckn' Ist dann

C'2 - ~ + ~ + ~n' dann hat man als statische Enthalpie den Wert

zu verwenden und weiter

-2 -'2 h: = h + (1 + f e)2 C2 - c2

v' = v(p, h'),

"8' = s{p, h')

für spezifisches Volumen und Entropie. Die Kontinuitätsgleichung lautet nun

mDv' = CknD.

5.4(29)

5.4(30)

5.4(31)

5.4(32)

5.4(33)

Damit ist der Formalismus selbst einfacher als der unter 3.14 ebenfalls beschriebene von Dzung [8] und hat jenem gegenüber den Vorteil, mit dem reellen statischen Druck nach GI. 5.4(1) zu arbeiten. Hingegen liefert das Vorgehen von Dzung bei Axialschaufelungen den exakten Wert der Axialkraft, was hier nicht der Fall ist, wohl aber dann, wenn mancn nach GI. 5.4(22) verwendet und die Kontinuitätsgleichung in der Form 5.4(28) schreibt.

Um eine Vorstellung zu erhalten über die Größe der Unterschiede zwischen diesen Mittelungsverfahren und die Größenordnung der Formfaktoren sei das einfache Beispiel der in Abb. 5.4.1 veranschaulichten Parallelströmung betrachtet. Über 1/4 des Strömungsquerschnittes herrsche eine Geschwindigkeit c, die gegenüber der sonst im Querschnitt vorhandenen Geschwindigkeit Co vermindert sei. Im Bild sind das Kontinuitätsmittel Ck' das Impulsmittel c und das Energiemittel Ce in Funktion von clco dargestellt. Bei großen clco' die für ausgeglichene, günstige Strömungsformen repräsentativ sind, erweisen sich die Unterschiede als äußerst gering; die Formfaktoren werden von 1 nur ganz wenig verschieden. Anders jedoch, wenn clco klein oder gar Null wird. Dann wird Ck sehr viel kleiner als C und Ce, und demnach ist Bk nicht mehr vernachlässigbar. Dies ist der Fall des Strömungstyps "Strahl plus Totwasser" , der vor allem abgelöste Strömungen kennzeichnet und in Turbomaschinen auftreten kann. Unter diesen Bedingungen also treten die Unterschiede der verschiedenen Mittelungsverfahren deutlich in Erscheinung, während sie sonst meist belanglose Feinheiten sind. Der Unterschied zwischen der energetischen Mittelung und der Impulsmittelung, der bei der betrachteten Parallelströmung stets gering ist, kann allerdings bei gewissen Schaufelungstypen selbst bei günstigen Strömungszuständen be-


trächtlich sein. Der Arbeitsumsatz wird aber bei Verwendung der nach dem Bewegungsgesetz gemittelten Geschwindigkeiten vermöge der Eulerschen Momentengleichung stets korrekt, doch kann der Unterschied zwischen C und Ce in Extremfallen bewirken, daß v* (oder v') vom wahren Mittelwert v merklich abweicht.

W .Mb =0.25 ~

1 ) 1f)

1

0

f---.d-b

1.00,.....---,---,---,----,.

O,%~~~~~~~T-~

f 0,90~-+----r~-+-~ I~I~ 1'-' 1~0,85 ~-+--/-'-+--t---l

1~1~c:,

0.5 c/co-

1.0

Abb.5.4.1 Verschiedene Mittelwertsbildungen der Geschwindigkeit in einer

Parallelströmung mit zwei Zonen.

Die Mittelwertbildung der Umfangskomponenten nach dem Drallsatz führt in jeder Kontrollfläche auf einen bestimmten, durch GI. 5.4(12) gegebenen Bezugsradius r, der auch in der Eulerschen Momentengleichung zu verwenden ist. Dieser ausgezeichnete Radius sei daher Eulerradiu8 benannt. Er läßt sich berechnen, wenn man die Verteilung von eCn über den Ringquerschnitt kennt. Wenn man annimmt, daß ec,. nur von r abhänge, und zwar linear, und wenn man durch Index m die auf den Mittelkreis sich beziehenden Größen kennzeichnet, so ist die genannte Verteilung durch den Parameter

rm d(ec,.) iX=----

(eC,.)m dr

y-

W r1.O-.-,1',2 -n1.r* -.-,1.6,-',.8ro2.,O _21"""1,2

1,12 ~+--+----JI----+--+~I----+---A

1.10 I---+--+--II----+--+--II--"'--*-,l

t 4~r-~~~--r-~-+.~~ ~1.06~-l---l--+--+--~~~~~ Ii::

1,0* I---+----+--+--+,~~"+-~'---l

1,0 2 r---t---+---:~,*"c:::7'1"-------I=-""'---l

1.000 0.1 0.2 0.3

Abb.5.4.2 Diagramm zur Bestimmung 0.* des Eulerradius r.

VD71/,-


charakterisiert. Abb. 5.4.2 zeigt unter dieser Voraussetzung berechnete Werte von "i/rm in Funktion des Schaufellängenverhältnisses. Für den Parameterwert Null, also für (!Cn = const, wird "i identisch mit dem durch GI. 5.1(4) gegebenen Radius des Kreises, der die Ringfläche halbiert. Dieser Radius des flächenhalbierenden Kreises ist meist eine sehr gute Näherung für den Eulerradius, denn beide weichen nur unter extremen Bedingungen wesentlich voneinander ab.

Wenn man die Mittelung der Cn so durchführt, daß in der Kontinuitätsgleichung ein Formfaktor auftritt, so geht dieser in die k-Faktoren ein, die in den Gin. 5.2(36) -(38) und 5.3(31) -(33) geschrieben wurden, doch sind die k-Faktol'en im allgemeinen mit dem Faktor (1 - Bk) der GI. 5.4(28) nicht identisch. Die k-Fa.ktoren der Abschnitte 5.2 und 3 berücksichtigen vor allem die Leckströmungen, die bei Schaufelungen mit Labyrinthdichtungen (z.B. Abb. 5.2.1) den Schaufelkranz umgehen. In den Gleichungen der Abschnitte 5.2 und 3 ist m der die ganze Stufe durchsetzende Massenstrom, während in diesem Abschnitt absichtlich mn geschrieben wurde, um anzudeuten, daß nur der den Querschnitt Q wirklich durchsetzende Massenstrom betrachtet wird. Trotzdem kann es auch bei Anordnungen mit frei endigenden Schaufeln zweckmäßig sein, k-Faktoren einzusetzen, obwohl hier m = mn. Besonders trifft dies beim Axialverdichter zu.

Abb. 5.4.3 stelle ein Axialverdichterlaufrad dar, wobei im Kontrollquerschnitt Q1 die gezeigte Verteilung der Normalgeschwindigkeit (bei e = const) herrsche. Die strichpunktierte Linie On entspreche dem Mittelwert, wobei es übrigens meist sehr wenig ausmacht, ob man das Kontinuitätsmittel oder das Impulsmittel nimmt. Würde man nun aber ausgehend von diesem cn aus den - theoretisch oder experimentell ermittelten - Eigenschaf-

Abb. 5.4.3 Axialverdichterlaufrad, Verdrängungsdicken der Seitenwandgrenz

schichten.

%~W2

-c-----------ten der in den verschiedenen Radien erscheinenden Laufradschnitte Ablenkung und Arbeitsumsatz berechnen, so würde über einen weiten mittleren Bereich eine beträchtliche Fälschung des Ergebnisses entstehen. Dieser Fehler würde nicht ausgeglichen durch entgegengesetzte Abweichungen in den Randzonen, denn dort ist die Strömung so stark gestört, daß sie sich einer solchen Rechnung entzieht. Will man den Arbeitsumsatz richtig vorausrechnen, so muß man von einer ideellen Geschwindigkeitsverteilung ausgehen, die sich der wirklichen abgesehen von den Randzonen ungefähr anschmiegt, aber nicht bis zu den Wandungen fortgesetzt wird, sondern in Abständen 61N und 618 abbricht, die den Verdrängungsdicken der Seitenwandgrenzschichten entsprechen (vg1. gestrichelte Eintragung). Da man in die Kontinuitätsgleichung den wirklichen Ringquerschnitt Q e-insetzen wird, muß man die Grenzschichtverdrängungsdicken durch Einführung eines Versperrungsfaktors berücksichtigen, und dies ist der k-Faktor. Die Verdrängungsdicken hängen übrigens auch von den Radialspaltweiten zwischen festen und beweglichen Teilen ab, deren Einfluß so in die Kontinuitätsgleichung eingeht.

Die am Beispiel des Axialverdichters durchgeführten überlegungen gelten im Prinzip auch für Turbinen der in Abb. 5.2.7 dargestellter Art, nur liegen dort die Größenordnungen ganz anders. Die Verdrängungsdicken sind dort der beschleunigten Strömung wegen klein, und die Radialspalte bewirken eine lokale Vergrößerung der Durchtrittsgeschwindigkeit, weshalb resultierend keine Versperrung entsteht, sondern das Gegenteil, was durch einen Faktor k > 1 berücksichtigt werden kann. Man kann darauf verzichten, indem man einen


entsprechend vergrößerten Strömungswinkel einsetzt, nämlich denjenigen, den man aus einem Mittelungsverfahren ohne Formfaktoren, wie oben beschrieben, erhält. Dieser Strömungswinkel ist aber spaltabhängig und kann wesentlich von dem abweichen, der aus Gitteruntersuchungen folgt. Die Schwierigkeit bei der Übertragung von Gitterdaten auf die Stufenberechnung, die beim Axialverdichter die Einführung des 7c dringend nahelegt, besteht also auch bei der Turbine, doch sind die Zusammenhänge viel weniger empfindlich, so daß ein "direktes" Verfahren mit über die Randzonen hinweg gemittelten Winkeln ebenfalls in Frage kommt.

Aus diesen Gründen ist die Einführung der 7c-Faktoren in eine allgemeine Theorie zweckmäßig, denn sie können stets dazu dienen, bei der theoretischen Untersuchung Randeffekte (Leckströmungen, Verdrängungswirkungen dicker Grenzschichten, große lokale Winkelabweichungen) auszusondern. Wenn Gründe dafür bestehen, einen Formfaktor (1 - Ck)

einzuführen, - z. B. zu empfehlen bei abgelösten Strömungen wie etwa Nabentotwasser - dann ist dieser ebenfalls in keinzuschließen.

Im Zusammenhang mit der Eulerschen Momentengleichung ist noch eine Feinheit zu beachten, die meist belanglos ist, in gewissen Fällen aber nicht unbeachtet bleiben darf. Sie sei am Beispiel der Radialverdichterstufe behandelt, wo sie deutlich in Erscheinung tritt. Um die bei den Laufräder, Abb. 5.4.4a) und b), denken wir uns rotationssymmetrische

K

a h

Abb. 5.4.4 Kontrollflächen zur Betrachtung des Drehmomentes an einem

Radialrad.

Kontrollflächen K gelegt. Die sämtlichen an einer solchen Kontrollfläche angreifenden Schubspannungen 7: erzeugen bezüglich der Drehachse ein Drehmoment, das sich additiv zusammensetzt aus einem Anteil M,n, herrührend von den 7: in den Ringquerschnitten Ql

und Q2' und einem Anteil M:, herrührend von den 7: an den restlichen Teilen von K (Ql

und Q'}. sind Teile von K). Sind D1 = msi1cU1 und D2 = ms/i'2cU2 die Drallströme in Ql und Q2' so ist das Drehmoment, das vom Laufrad auf das Fluid auszuüben ist

M = mQCr2cu2 - rlcul) + M,n + M:. 5.4(34) Dies unterscheidet sich von GI. 5.4(20) durch die Zusatzglieder M,Q und M:. Nur wenn man diese wegläßt, wird man durch Multiplikation mit m!mQ auf die Eulersche Momentengleichung zurückgeführt. Bei Anordnungen wie Ab b. 5.4.4 b) ist M: allerdings das Moment der reinen Rad- und Deckscheibenreibung, das in den Unterschied zwischen äa und ä eingeht. Bei Anordnungen wie Abb. 5.4.4a) hingegen enthält M: noch die Reibung des Fluids an der äußeren Meridianbegrenzung des Laufradraumes. Diese Situation liegt grundsätzlich bei jedem Laufrad mit frei endigenden Schaufeln vor. In den meisten praktischen Fällen ist M: klein. Es kann, soweit Scheibenreibung in Frage kommt, explizite in die Stufenrechnung eingeführt werden, wie unter 5.2 und 3 gezeigt. Die Meridianwandreibung bei Anordnungen nach Abb, 5.4.4a) geht gleichzeitig auf zwei Arten in die Rechnung ein, nämlich die dadurch bedingte Energiedissipation in den Laufradwirkungsgrad und das resultierende Moment in die Ablenkungseigenschaften des Rades (beim Radialrad, wo der Effekt spürbar wird, in den "Minderleistungsfaktor"). Das Moment M,n wird beim Radialverdichter merklich, da dort die außerordentlich starken Fluktuationen am Laufradaustritt einen entsprechenden Impulsaustausch bewirken. Es entsteht dadurch ein nicht vernachlässigbarer Verlust, vgI. die Ausführungen in Abschnitt 8.6d). Bei Axialmaschinen dürfte M'fJ in der Regel sehr klein sein.

5.5 Umrechnung von Strömungswirkungsgraden 185

Zusammenfassend läßt sich sagen, daß die elementare Theorie der Stufe, wie sie unter 5.2 und 3 entwickelt ist, exakte Relationen zwischen geeignet definieren integralen Mittelwerten liefert. In der angegebenen Form ist sie so anpassungsfähig, daß man alle Effekte, die auf Druckänderung, Arbeitsumsatz und Massenstrom einwirken, in integraler Form einschließen kann. Damit wird diese sog. eindimensionale Theorie auch eine brauchbare Basis zur Nachrechnung geänderter Betriebszustände.

5.5 Umrechnung von strömungswirkungsgraden

Unter 5.2 sind zur Kennzeichnung der Verluste in Leit- und Laufrad der Leitradwirkungsgrad rJ' und der Laufradwirkungsgrad rt eingeführt worden, die identisch sind mit den Quadraten der früher oft angegebenen Leit- und Laufradkoeffizienten. Diese Radwirkungsgrade lassen sich leicht umrechnen in die isentropen oder polytropen Wirkungsgrade, die die Zustandsänderungen in diesen Elementen kennzeichnen.

Abb. 5.5.1 Strömungskanäle mit beschleunigter und verzögerter Strömung

Liegt irgendein durchströmter Kanal vor, in dem die Geschwindigkeit von Cl auf c2

beschleunigt wird, vgl. Abb. 5.5.1, so lautet die Definition des Strömungswirkungsgrades 'YJ, die den Definitionen von rj' und 'YJ" entspricht

Abb.5.5.2 Entropiediagramm für a) beschleunigte, b) verzögerte Strömung.

c~ 2"

'YJ = 2' Jh + Cl

• 2

h

a

5.5(1)

Der isentrope Wirkungsgrad der Zustandsänderung im Kanal ist (vgl. Abb. 5.5.2)

Jh 'YJ8 = Jh ' 5.5(2)

I


und da 2 2

Ah _ C2 - Cl LJ - 2 ' 5.5(3)

folgt, wie leicht nachzuprüfen

5.5(4)

1,0

~ ~ l.......: ~ ~ r'l' V

~ ~ ~ ~ V/ j I~~~~~ ~ ~ V/ V V

C~~....-;~ :/ V I ~~~if.:: V /

7""""':: ~ ~ ~-/:/jVV / J 1~ ./

~ :::.:; ~ V ..... ./ /P1~V V V / f"'" ~" ........ V )7 /

6" /

V" V V" ,,~~ / ./

" V ........ / cjC', 5 L'

./ V /v

0,8

V V 'I

0,8 0,9

Abb.6.6.3 lsentroper Wirkungsgrad in Funktion des durch GI. 6.6(1) definierten Strömungswirkungsgrades (beschleunigte Strömung).

womit der Zusammenhang zwischen dem Strömungswirkungsgrad 1] und dem isentropen Wirkungsgrad hergestellt ist. Er ist in Abb. 5.5.3 dargestellt. Man beachte, daß 1]. = 0 wird, sobalq Ca/Cl = 1, während bei (ca/cSA = 1] (Gleichdruckgitter) selbst 1]. = - 00

würde, womit sich zeigt, daß in Grenzfällen der isentrope Wirkungsgrad keine sinnvolle Bildung mehr ist. Das gleiche gilt vom zugehörigen polytropen Wirkungsgrad, der durch

1]p = (1 +/00) 1]8 5.5(5)

gegeben ist. GI. 5.5(4) kann auch auf rein axial durchströmte Laufräder angewandt werden, wobei

lediglich die Relativgeschwindigkeiten WI' wa an die Stelle der Cl' Ca treten. Ist hingegen die Durchtrittsrichtung nicht axial, d.h. ist ua =1= uI ' so lautet die entsprechende Verallgemeinerung

" 1]" (w~ - w~ + u~ - u~) 1]8 = W~ - 1]"(W~ - u~ + u~)' 5.5(6)

die mit ua = U1 wieder in die Form 5.5(4) übergeht; 1]" ist dabei durch GI. 5.2(12) implizite definiert.

5.5 Umrechnung von Strömungswirkungsgraden 187

Der unter 5.3 eingeführte Diffusorwirkungsgrad ist für einen beliebigen Diffusorkanal, in dem die Geschwindigkeit von Cl auf C2 verzögert wird (vgl. Abh. 5.5.1)

'YJn

2 Llh + C2

8 2

Mit dem isentropen Wirkungsgrad der Diffusorströmung, der durch

Llh8

'YJ8 = Llh

definiert ist (vgl. auch Abb. 5.5.2), hängt er wegen 2 2

Llh = Cl - C2

2

zusammen gemäß 1 - 'YJn

'YJ, = 1 - ,

1 - (~~r 1.0

0.9

0.8

t 0.7

I 0.6

~ 0.5

0.4

0.3

0.2

'/ v/ /

V

/ )I~

A/. ~;"-7V 17 17

'~~~I 1/ J '/~J~~;/

<.) ~~ / /~.

V J ~ V Y

/.

~ 'J

17

/

5.5(7)

5.5(8)

5.5(9)

5.5(10)

.~ I A. ~ '/1/

h B0 r/ / f'l: J / / 1 :/ 1/ 1/ 1/ I / J 11

/ / Ij

J / ~I rr " I ~

~ 0.1 I/i Abb. 5.5.4 Isentroper Wirkungsgrad in

Funktion des durch GI. 5.5(7) definierten Diffusorwirkungsgrades. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

7Jo-

welcher Zusammenhang in Abb. 5.5.4 wiedergegeben ist. Weiter ist

'YJ, 'YJP = 1 + 100' 5.5(11)

Der in der Literatur über Diffusoren sehr häufig benutzte Umsetzungsgrad ist definiert durch

5.5(12)

Er vergleicht das L1h" das die wirkliche Druckerhöhung kennzeichnet, mit der Enthalpieerhöhung einer iSentropen Verzögerung auf Geschwindigkeit Null, die ja die höchstmögliche Druckerzeugung liefern würde. Der Zusammenhang zwischen An und 'fjn ist offensichtlich gegeben durch

5.5(13)


Bei der Relativströmung durch ein nicht rein axial durchströmtes Laufrad lautet die Definition des Diffusorwirkungsgrades gemäß GI. 5.3(6)

" 2Jh;' + w~ 'f} D - w2 + u2 _ u2

1 2 1 5.5(14)

und die zu GI. 5.5(10) analoge Transformationsgleichung läßt sich in der Form 2 + 2 2 ..,;' = 1 _ Wl U2 - ~ll (1 _ ..,")

·1 w~ _ w~ + u~ _ u~· ·IJ) 5.5(15)

schreiben.

5.6 Kennzahlen der Stufe

Sowohl zur Auslegung von Turbomaschinen und einzelnen Stufen als auch zur Kennzeichnung der Arbeitsweise einer Stufe verwendet man oft zweckmäßig gewisse Kennzahlen. Solche wurden in großer Zahl vorgeschlagen und benutzt, und es besteht leider weder bezüglich ihrer Definition noch bezüglich der Bezeichnungen Einheitlichkeit, vgI. hierüber etwa Borel [1], Eckert [2], Marcinowski [3]. Gewisse ältere Festlegungen führen nicht auf dimensionslose Zahlen, so die "spezifische Drehzahl" im hydraulischen Maschinenbau und die "Parsonssche Kennzahl" im Dampfturbinenbau. Vom modemen Standpunkt aus sind solche Definitionen unzweckmäßig und sollten nicht mehr verwendet werden.

Eine Kenngröße, die bei einer Turbinen- oder Verdichterstufe die Auf teilung des Druckumsatzes auf Leit- und Laufrad kennzeichnet, ist der Reaktionsgrad, der üblicherweise durch·

Jh" r = Jh' +BJh" 5.6(1)

B •

definiert wird. Die isentropen Enthalpiedifferenzen werden aus den durch GI. 5.4(1) gegebenen Druckmittelwerten bestimmt. An ihrer Stelle kann man auch die für den jeweiligen Schaufelkranz gebildeten Größen

y fvdp 5.6(2)

verwenden, also setzen

y" y" rp y' + y" = y' 5.6(3)

was polytroper Reaktionsgrad genannt werden möge. Man beachte, daß der Integralwert y der ganzen Stufe streng durch y = y' + y" gegeben ist, während die Relation Jh. ~ Jh; + Jh;' nur eine Näherung ist. Der Wert von rp unterscheidet sich von demjenigen des Reaktionsgrades üblicher Definitionsweise nur sehr wenig.

Da nun an einer Turbomaschinenstufe vor allem drei Größen interessieren, nämlich der Durchsatz, der Druckumsatz und der Arbeitsumsatz, sind für diese dimensionslose Kennzahlen eingeführt worden. Die Durchsatzzahl oder Liejerzahl ist definiert durch

5.6(4)

mit V als Volumenstrom, Bb als Beaufschlagungsverhältnis (bei Vollbeaufschlagung Bb = 1), {J als Ringquerschnitt und u als Umfangsgeschwindigkeit. In welcher Kontrollfläche V und {J zu bestimmen sind, ist eine Sache der Konvention. In diesem Buch ist es stets, wenn nichts anderes angegeben wird, der Austrittsquerschnitt des Laufrades, also V = Vz, {J = {Jz. Auch u wird in einem ausgezeichneten Radius bestimmt, der durch Konvention festgelegt wird.

Der Druckumsatz kann gekennzeichnet werden durch die Druckzahl, die aber noch in verschiedener Weise gebildet werden kann. Man kann die Änderung des statischen Druckes

5.G Kennzahlen der Stufe 189

oder des Totaldruckes betrachten, und beide können noch durch Llh. oder y gekennzeichnet werden, was auf die folgenden vier Möglichkeiten führt:

1fJ •. ~ ~~" 5.6(5)

Y ljJp - u2 ' 5.6(6)

o _ Llh~ 1fJ8 = u2 '

5.6(7)

5.6(8)

Dabei können y und yO längs der wirklichen Zustandsänderung oder längs einer ideellen mittleren Polytropen berechnet werden, was nur geringe Unterschiede ergibt und nötigenfalls spezifiziert werden müßte.

Die Arbeit8kennzahl, auch Lei8tung8zahl genannt, kann gebildet werden mit der aerodynamischen Stufenarbeitaa , GI. 5.2(19) bzw. 5.3(16), oder mit der resultierenden spezifischen Stufenarbeit Ci, die sämtliche weiteren Verluste (Spaltverluste, Radreibung, Ventilation) umfaßt:

5.6(9)

5.6(10)

Von diesen beiden Definitionen ist die erste die bedeutsamere wegen ihres unmittelbaren Zusammenhanges mit den Geschwindigkeitsdreiecken.

Sowohl bei den 1fJ als auch bei den A war es weithin gebräuchlich, im Nenner u2/2 zu setzen, wie dies durch Keller [4] eingeführt worden ist (auch in den früheren Auflagen dieses Buches wurde diese Definitionsweise benutzt). Dieses Vorgehen war nahegelegt worden durch die in der flugtechnischen Aerodynamik übliche Bezugnahme auf Staudrucke. In der Turbomaschinentheorie geht man aber in zunehmendem Maße auf die oben angegebene Festlegung über, die sich als praktischer erweist. Die Umfangsgeschwindigkeit u wird gegebenermaßen gleich festgelegt wie bei <p, d. h. bevorzugt mit einem ausgezeichneten Radius des Laufradaustrittsquerschnittes (mittlerer Radius, Eulerradius, Nabenradius, Spitzenradius) berechnet.

Wenn man <p mit V2 und fJ2 bildet, folgt aus GI. 5.6(4) und der Kontinuitätsgleichung auch

Da ferner im Falle der Turbine

1 Llha = '2 (cr - c5 + w~ - wr + ur - u~),

ergibt sich mit GI. 5.6(5) auch

1fJ - - -..!. - -'!.. + ~ - -.! +.....!. - 1 1 [( C)2 (C)2 (W)2 (W )2 (U)2 ] 8 - 2'f/sa u2 1"z Uz 1tz U2 .

Die entsprechende Gleichung für den Verdichter würde lauten

1fJ. = 'f/sa [(W1.)2 _ (wz)2 + (cz )2 _ (C3)2 _ (lt1)2 + 1]. 2 u2 Uz ~l2 1lz Uz

5.6(11)

5.6(12)

5.6(13)


Hierbei ist stillschweigend vorausgesetzt, daß "Ps mit der Umfangsgeschwindigkeit im Eulerradius des Laufradaustrittsquerschnittes gebildet wird. Mit der gleichen Konvention wird Ä bei der Turbine

Ä = (::) (~~) _ (~:2) 5.6(14)

und beim Verdichter

5.6(15)

wie aus der Eulerschen Momentengleichung unmittelbar hervorgeht. Die GIn. 5.6(11) -(15) zeigen, daß die Kenngrößen qJ, "Ps und Ä im wesentlichen durch

die Geometrie der Geschwindigkeitsdreiecke gegeben sind, d. h. für Stufen mit geometrisch ähnlichen Geschwindigkeitsplänen nehmen sie die gleichen Werte an. In der Ta,t stehen in den Gleichungen nur Geschwindigkeitsverhältnisse. Eine Einschränkung dieser Aussage ergibt sich nur daraus, daß die Gleichungen auch noch ?'J8(/, und ka enthalten. Da diese Größen aber für zwei geometrisch ähnliche Stufen unter analogen Betriebsbedingungen auch gleich si.nd, kann man das folgende festhalten :

Arbeiten geometrisch ähnliche Stufen unter physilcalisch ähnlichen Betriepsbedingungen (insbes. ähnliche Geschwindigkeitsdreiecke), so sind ihnen in diesen Betriebszuständen gleiche Werte der dimensionslosen Kenngrößen zugeordnet. Dies wurde hier aufgezeigt für qJ, "P8 und Ä,

gilt aber für alle Kenngrößen, denn entsprechende Formeln lönnen auch für die übrigen angegeben werden. Auch ändert sich an diesem Sachverhalt nichts, wenn die Kenngrößen mit einer anderen Umfangsgeschwindigkeit als derjenigen im Eulerradius des Laufradaustrittsquerschnittes gebildet werden. Wählt man dafür einen Wert u*, so erhält man die sämtlichen "P aus den mit U2 berechneten durch Multiplikation mit (U2/U*)2 und analog für qJ und Ä. Jede Stufe hat in dem Betriebszustand, für den sie ausgelegt wurde, bestimmte Werte der Kennzahlen, und diese sind damit typisch für die Ausbildung der Stufe.

Eine weitere Kennzahl, welche die Enthalpieänderung kennzeichnet, ist die Enthalpiezahl

5.6(16)

Die analoge Setzung, mit der Totalenthalpiedifferenz gebildet, führt auf Ä zurück. Wie eingangs erwähnt, gibt es noch eine größere Zahl weiterer Kenngrößen dieser Art.

Der Turbinenbau verwendet z. B. oft die folgenden:

V Schluckzahl: p, = V

ebQ 2L1h8 u

Laufzahl : 'JI - V- . . 2L1h,

mv 5.6(17)

e~ V2L1h8 '

5.6(18)

Der im Nenner stehende Wurzelausdruck ist die ideelle Geschwindigkeit, die bei reibungsfreier Expansion vom statischen Anfangszustand zum Enddruck entstände. Unter Benutzung von GI. 5.6(5) wird

u 1 'JI.=

V2"P8~t2 = V2"P8 .

Ebenso ist mit GI. 5.6(4) und (17)

ebQqJu p,=-~==~

ebQ V2L1hs

5.6(19)

5.6(20)

die p, und 'JIlassen sich also auf qJ und "PB zurückführen und enthalten dieselbe Information wie diese. Die Benutzung von p, und 'JI hat im Turbinenbau bei der Darstellung des Verhal-

5.6 Kennzahlen der Stufe 191

tens einer Stufe unter vom Auslegungszustand abweichenden Betriebsbedingungen den Vorteil, daß fl nur sehr wenig vom Betriebszustand abhängt. - Im Verdichterbau benutzt man zur Darstellung des Verhaltens unter geänderten Betriebsbedingungen oft mit Vorteil die Drosselzahl, vgl. Eckert [5], die durch

5.6(21 )

definiert werden kann. - Weitere Kennzahlen, die als Sclmelläufigkeit, spezifischer Durchmesser usw. bezeichnet wurden, vgl. auch Cordier [6], Keller [4], Marcinowski [3], Petermann [7], streben eher eine Klassifizierung der Turbomaschinen an und lassen sich bilden aus den hier angegebenen, gegebenenfalls noch unter Beiziehung geometrischer Stufenparameter wie etwa des Radienverhältnisses Y.

Die nachfolgenden Zahlentafeln geben einige Richtwerte von Kennzahlen im Auslegungspunkt der betreffenden Stufen wieder. Sie geben nur die ungefähre Größenordnung und besagen nicht, daß nicht auch Werte außerhalb der angegebenen Bereiche vorkommen. Die Angabe 1Jl kann stets 1Jls' 1Jlp' 1Jl~, 1Jl~ bedeuten, da die Werte dieser Druckzahlen nur wenig voneinander abweichen. Bei den Turbinenstufen mit Ausnahme der Zentripetalturbine sind die Kennzahlen gebildet mit der Umfangsgeschwindigkeit im Eulerradius des Austrittsquerschnittes aus dem Laufrad. Nur bei der Zentripetalstufe sind der Laufradeintrittsquerschnitt und sein Radius die Bezugsgrößen. - Die Angaben über die Axial-

Zahlentafel 5.6.1 Turbinenstufen

r rp "P A f1 v sin <Xl sin ßz

Gleichdruck (0) 0,4 1,9 1,7 0,16 0,38 0,21 0,35 0,05 0,5 3,5 3,0 0,23 0,51 0,25 0,40 0,20 (1,2) (0,6) (0,50) (0,70)

überdruck 0,5 0,35 1,1 1,0 0,20 0,48 0,25 0,25 0,45 2,2 2,0 0,30 0,68 0,35 0,35

(1,2) (0,8) (0,7) (0,7)

Curtis (2kränzig) 0,05 0,4 8 6,5 0,10 0,20 0,20 (0,15) (0,9) 12 10 0,22 0,25 0,25

Zentripetal turbine 0,4 0,30 1,2 1,1 0,17 0,56 0,25 0,5 0,65 1,6 1,4 0,42 0,65 0,45

Zahlentafel 5.6.2 Axialverdichterstufen

r 0,5 1

rp "P A "P A

0,5 0,26-0,32 0,29-0,36 0,32-0,40 0,36-0,45 0,7 0,40-0,50 0,44-0,55 0,38-0,47 0,42-0,52 0,9 0,56-0,70 0,62-0,78 0,46-0,57 0,50-0,63 1,1 0,72-0,90 0,80-1,00 0,58-0,72 0,64-0,80

Zahlentafel 5.6.3 Radialverdichterstufen

r rp "P Cu2/U2 <Xl ßz Dz/Dl D3/Dz

Halboffenes Rad 0,50 0,25 0,7 0,9 90° 70° 1,6 1,4 0,65 0,50 0,8 80° 2,5 2,0

Geschlossenes Rad 0,65 0,20 0,5 0,6 90° 30° 1,6 1,5 0,90 0,35 0,65 0,8 55° 2,0 2,0


verdichterstufe beziehen auf den Austrittsquerschnitt des Laufrades und auf die dort im Nabenkreis auftretende Umfangsgeschwindigkeit. Das ist damit begründet, daß an der Nabe Verzögerung und Umlenkung am größten werden, so daß die dortigen Verhältnisse den Druckumsatz begrenzen. - Die Kennzahlen der Radialverdichterstufen sind ebenfalls auf Laufradaustritt bezogen.

Beim Axialverdichter sind die verschiedenen Schaufelungstypen, die sich durch ihren Reaktionsgrad unterscheiden, nicht mehr so scharf geschieden wie ursprünglich. In Zahlentafel 2 ist r der Reaktionsgrad an der Nabe, der je nach Gestaltung der Schaufelung etwa zwischen 0,4 und 1,3 variieren kann. Wenn früher angenommen wurde, daß hoher Reaktionsgrad auch große Druckzahl ermögliche, so ist das nur bedingt richtig. Wie die Angaben zeigen, ist es vor allem die Entwicklung zu hohen Durchsatzzahlen, die auch eine Steigerung der Druckzahlen brachte.

5.7 Das Stufenelement, allgemeine Grundlagen

Betrachten wir die Strömung durch die Kontrollebene 0 der in Abb. 5.7.1 dargestellten Turbomaschinenstufe. Der zwischen einem beliebigen Radius r und dem Nabenradius rNO

durchtretende Massenstrom sei m(r), während der ganze die Stufe durchsetzende Massenstrom mo benannt sei. Definierend setzen wir

ITi ( ) = m(r) TO r - ..

mo

-4-.-6-.-4-.- _-lJ_l Abb. 5.7.1 Meridianstromlinien und 8tu· fenelement einer axialen Turbinenstufe.

5.7(1)

In gleicher Weise kann man in den Kontrollebenen 1 und 2 vorgehen, wo m(r) im allgemeinen einen anderen Verlauf nehmen wird und somit Funktionen P1(r) und P2(r) entstehen, die von Po(r) abweichen, aber wie dieses von Nabe bis Gehäusewand die Werte 0 bis 1 durchlaufen. Das gleiche kann wiederholt werden für jede beliebige achsnormale Kontrollfläche in der Stufe und liefert die Funktion PAr), wo z die axiale Koordinate innerhalb der Stufe sei. Die Setzung

5.7(2)

wo Pein Festwert zwischen 0 und 1 ist, liefert alsdann eine feste Zuordnung der Radien in den verschiedenen Kontrollflächen, d.h. in Abb. 5.7.1 eine Kurve. Jedem Wert P entspricht eindeutig eine solche Kurve, die daher auch als P-Linie bezeichnet werden kann.

Wäre die Strömung durch die Stufe genau rotationssymmetrisch, so wäre dieses P identisch mit der unter 3.4 eingeführten Stokesschen Stromfunktion, was auch durch die Gleichheit der Bezeichnung angedeutet ist. Nun ist aber bei der hier gegebenen Definition keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt, da diese in der Turbomaschine der endlichen

5.7 Das Stufenelement, allgemeine Grundlagen 193

Schaufelzahlen und anderer Unregelmäßigkeiten wegen nicht genau verwirklicht ist. Die durch Rotation einer 'l'-Linie um die Drehachse entstehende Fläche ist daher keine Stromfläche im eigentlichen Sinne dieses Wortes, denn die lokalen Geschwindigkeitsvektoren sind nicht notwendig Tangenten an die Fläche, sondern besitzen auch Komponenten normal zu dieser. Bildet man aber in irgendeinem Kreise, dessen Zentrum auf der Drehachse liegt, das Integral der Massenstromdichte senkrecht zur 'l'-Fläche, so verschwindet es stets, d.h. es tritt durch die 'l'-Fläche hindurch der gleiche Massenstrom nach außen wie nach innen. Während also in jedem Punkt einer Stromfläche die Normalkomponente der Massenstromdichte verschwindet, trifft dies bei der 'l'-Fläche nur im Integralmittellängs des Umfanges zu. In diesem Sinne kann die 'l'-Fläche als verallgemeinerte Strom fläche, die 'l'-Funktion als verallgemeinerte Strom funktion bezeichnet werden.

Greifen wir nun zwei unendlich benachbarte dieser 'l'-Flächen heraus, Abb. 5.7.1, so schließen diese ein Stufenelement ein. Bei einem solchen kann man in jeder Kontrollfläche alle Größen längs des Umfanges mitteln, wobei in sinngemäß abgewandelter Form die unter 5.4 besprochenen Mittelungsfragen wiedererscheinen. Die durch diese Mittelungen entstehende ideelle Strömung ist rotationssymmetrisch und kann eindimensional behandelt werden, wobei allerdings zunächst gewisse Komplikationen entstehen.

Wenn wir voraussetzen, daß die Leistungen der Schubspannungen in den Kontrollebenen 0 und 1 vernachlässigbar klein seien, läßt sich die Energiegleichung für den zwischen diesen Ebenen liegenden Ausschnitt des Stufenelementes in der Form

5.7(3)

schreiben. Hier ist e01 die auf die Masseneinheit durchtretenden Fluids bezogene Energie, die resultierend durch die beiden begrenzenden 'l'-Flächen hindurch auf ein von 0 bis 1 weiterschreitendes Teilchen übertragen wird. Solche Energieübertragung kommt auf verschiedene Weise zustande. Ein Anteil ist die Wärmeübertragung durch Temperaturdifferenzen, die in der Regel gering ist. Weiter kommt die Arbeitsübertragung durch Schubspannungen in den 'l'-Flächen in Frage und ebenso der Energie-Quertransport durch jene Querbewegungen, durch die sich die wirkliche Bewegung von der ideellen rotationssymmetrischen unterscheidet. Schließlich ist noch ein Effekt zu beachten, der bislang unbeachtet geblieben ist; er möge an Hand Abb. 5.7.2 verständlich gemacht werden.

Der dargestellte gekrümmte Kanal sei - von den turbulenten Schwankungen abgesehen - stationär durchströmt und es sei 8 eine Stromlinie. In einem Punkt A sei c das zeitliche Mittel der Geschwindigkeiten. Damit ein mit c bewegtes Teilchen auf der Bahn-

Abb. 5.7.2 Durchströmter Kanal; zur Erklärung der Energieschichtung bei

hoher Turbulenz.

194 [, Blementare 'fheorien der Stufe

kurve 8 bleibt, muß ihm eine Normalbeschleunigung erteilt werden, die durch den Druckgradienten (8pj8n) zustande kommt. So baut sich ein entsprechendes Druckfeld im Kanal auf. Nun ist aber die Geschwindigkeit in A turbulenten Schwankungen unterworfen und nimmt zeitweilig momentane Extremwerte e + c' und e - c' an. Strömt ein Teilchen mit e + c', so genügt der Druckgradient nicht, um es auf der Bahn zu halten, und es bewegt sich von der Linie 8 weg zur konkaven Kanalwand hin. Strömt es hingegen mit e - c', so ist der Druckgradient zu groß, und es wird gegen die konvexe Kanalseite hin abgedrängt. So findet in einer turbulenten Strömung unter dem Einfluß eines Druckgradienten eine Energieschichtung statt, bei der die energiereichen Teile ins Gebiet hohen Druckes, die energiearmen ins Gebiet tiefen Druckes wandern. Dieser Effekt ist naheliegenderweise um so stärker, je höher der Turbulenzgrad und je stärker der Druckgradient quer zur Strömungsrichtung. Er ist normalerweise sehr gering in verlustarmen Betriebszuständen der Axialmaschinen, hingegen dominierend bei Radialverdichtern. - Man kann diesen Mechanismus der Energieübertragung auch wiedergeben durch Einführung ideellerSchubspannungen, was aber insofern nicht Eehr anschaulich ist, als diese so geartet sein können, daß langsamer strömende Stromfaden Schleppwirkungen auf schneller strömende ausüben.

Mit t1h' = ho - h1 schreibt sich GI. 5.7(3)

5.7(4)

Wenn man durch die Setzung t1h~ - t1h' + eOl 5.7(5)

die ideelle Enthalpiedifferenz t1h~ einführt, kann man GI. 5.7(4) rein formal auch in die übliche Form

2 2 Cl = L1h~ + Co 2 2 5.7(6)

bringen. Mit t1h; als isentroper Enthalpiedifferenz der Druckänderung im betrachteten Abschnitt läßt sich in Analogie zu den Ausführungen unter 5.2 ein Wirkungsgrad rl des Leitradelementes durch

cr = ' (t1h' + C~) 2 n 8 2 5.7(7)

definieren. Aus den GIn. 5.7(6) und (7) folgt auch

t1h' _ t1h' = (2- _ 1) c~ = 1 - n' C~. 8 * n' 2 n' 2

5 .. 7(8)

Auch n' hat ideellen Charakter, da in t1h~ ja die Energieübertragungsgröße steckt. Wir setzen nun die folgenden Mittelwerte:

1

t1h; - f t1h; dlJ', o

_ 1 r Cuo - f =- Cuo dlJ',

o ro 1

eno - f CnOdlJ', o

~ = e~o + e~o, ::2 -2

Al,=C1- CO LJfb - 2 .

1

t1h~= J t1h~dlJ', o

_ 1 r cu1 = f =- cul dlJ',

o r1

1

Cn1 = J Cnl dlJ', o

er - e~l + ~1'

5.7(9)

5.7(10)

5.7(11)

5.7(12)

5.7(13)

Diese Geschwindigkeitsmittelwerte entsprechen genau den unter 5.4 angegebenen auf dem Bewegungsgesetz basierenden Mittelungen, wenn To und Tl die Eulerradien sind. Es lassen sich also aus diesen Geschwindigkeiten Geschwindigkeitsdreiecke konstruieren, und der Arbeitsumsatz wird korrekt.

5.7 Das Stufenelement, allgemeine Grundlagen 195

Definiert man durch

5.7(14)

einen globalen Radwirkungsgrad ij', so ergibt sich aus den Gln. 5.7(13) und (14) auch

5.7(15)

Für die weitere Herleitung sei nun für die durch Gi. 5.7(13) definierte Enthalpiedifferenz die Näherung

1

t1h' ~ J t1h' d'P 5.7(16) o

gesetzt. Dies wäre eine genaue Gleichung wenn die energetisch gemittelten und die nach dem Bewegungsgesetz gemittelten Geschwindigkeiten miteinander übereinstimmten. Der tatsächlich auftretende Fehler ist vor allem deshalb sehr klein, weil bei der Differenzbildung die am Ein- und Austritt entstehenden Differenzen sich großteils wegheben. Verwendet man aber Gi. 5.7(16), so folgt aus den Gln. 5.7(5) und (9)

1

t1h~ = t1h' + J e01 d'P. 5.7(17) o

Das hier erscheinende Integral der inneren Energieübertragungen zwischen den einzelnen Stufenelementen ist aber gleich der Energieübertragung durch Schubspannungen an den Grenzflächen, d. h. es ist

1 wM' J eOl d'P = _._T. 5.7(18) o m{J

Hier ist bei der in Abb. 5.7.1 gezeigten Anordnung M; das Moment der Schubspannungen an dem zwischen den Kontrollflächen 0 und 1 (in denen die Schubspannungen sehr klein sind) liegenden Teil der Läuferoberfläche. Die so entstehende spezifische Arbeit ist aber üblicherweise außerordentlich klein, und der Fehler wird zudem später ausgeglichen, wenn man solche zusätzliche Verlustarbeiten in den Reibungsverlust CR einführt, vgl. Gi. 5.2(34). Daher gilt mit hoher Genauigkeit

5.7(19)

folglich t1h~ = t1h' . 5.7(20)

Wenn man nun Gi. 5.7(8) über IJI mittelt, folgt mit 5.7(20) 11 I 2

t1h' - L1h' = J ~ Cl dlJf 8 0 rJ' 2

5.7(21)

und folglich wegen Gi. 5.7(15)

-=:, 'YJ = J ~ ~l d'P. 1 -, 11 I ( )2

'YJ 0 'YJ ~ 5.7(22)

Der so berechnete Mittelwert ij' liefert also - im Rahmen der gegebenen sehr guten Näherung - den korrekten integralen Verlust. Die Gln. 5.7(6) und (7), stimmen formal genau überein mit den GIn. 5.7(13) und (14) der elementaren Theorie der ganzen Stufe, und die gleiche überlegung könnte auch für das Turbinenlaufrad wie für den Verdichter wiederholt werden. Deshalb kann man folgendes festhalten :

Wenn man das einzelne Stufenelement formal gleich behandelt wie eine ganze Stufe, also ~deelle Enthalpiedifferenzen und Radwirkungsgrade einführt (im gezeigten Beispiel t1h~ und 'YJ'), die mit den elementaren Relationen auf die wirklichen Geschwindigkeiten führen, dann werden die über alle Stufenelemente erstreckten Mittelwerte dieser ideellen Größen identisch mit den physikali8ch reellen Größen.

196 5 Elementare Theorien der ::ltufe

Man erhält also ein korrektes Integralergebnis, was bedeutsam ist, da man ja die Energieübertragungsgrößen e im allgemeinen nicht kennen wird und daher auch nicht weiß, wie weit die Jh* von wirklichen Enthalpiedifferenzen abweichen. Die leichte Fälschung der spezifischen Volumina, die man erhält, wenn man mit ideellen Enthalpiedifferenzen rechnet, liegt völlig innerhalb der Genauigkeitstoleranz solcher Rechnungen und gleicht sich im Mittel überdies aus.

Für das Verständnis des Mechanismus der Strömung durch eine Turbomaschine ist es wesentlich. sich den Unterschied zwischen den ideellen Strömungswirkungsgraden in einem Stufenelement und den wahren Strömungswirkungsgraden klarzumachen, die nur die lokale Energiedissipation kennzeichnen würden. Besonders aufschlußreich ist dies im Falle des Axialverdichters. Dort wird ein mittleres Stufenelement durch Schubspannungen an seinen begrenzenden Stromflächen Arbeit abgeben an wandnahe Stufenelemente, die ihrerseits auf diese Weise Energie erhalten. Das ist Vorbedingung für ein reguläres Arbeiten der Stufe, da ja die Energiedissipation in den wandnahen Stufenelementen größer ist und die Teilchen den gegebenen Druckanstieg nur überwinden können, wenn ihnen auf diese Weise zusätzlich Energie zugeführt wird. Das bedeutet, daß die spezifischen Energieübertragungsgrößen e im mittleren Bereich negativ, in Wandnähe positiv sind. Bildet man also für die verschiedenen Stufenelemente die Diffusorwirkungsgrade r;~ und r;~ des Leitund Laufradelementes, so werden diese in der Mitte kleiner, als der dortigen Energiedissipation entspricht, in den Randgebieten aber größer. Eine Theorie, welche die einzelnen Stufenelemente formal so betrachtet, als ob sie unabhängig von einander wären, verteilt also Verluste auf den ganzen Strömungsraum, die in Wirklichkeit in Wandnähe konzentriert sind.

Im Prinzip können ideelle Strömungswirkungsgrade in Bereichen, wo e positiv und groß wird, sogar über 1 ansteigen, was allerdings in Axialmaschinen kaum je der Fall sein wird. Bei der Laufradströmung in Radialverdichtern führt hingegen der oben erläuterte Energieschichtungsmechanismus bei hohen Turbulenzgraden und Druckgradienten in gewissen Stromfäden auf derart große e-Werte, daß diese Situation gegeben ist. Will man daher beim Radialverdichter überhaupt über die elementare Theorie hinausgehen, so muß man den durch die Größe e beschriebenen Energietransport einführen, was bislang bei allen Versuchen zu einer Verfeinerung der Radialverdichtertheorie gefehlt hat.

Bei Axialmaschinen ist in der Regel eine Verlustunterteilung sinnvoll, die in folgender Weise gewonnen werden kann. Mit der Verlustzahl ,I = 1 - ~' erlaubt GI. 5.7(22) auch die Darstellung

C' I ,I (CI)2 --- = J -1 r' =- dT, 1 -" 0 - <" Cl

5.7(23)

was wegen C' ~ 1 mit sehr guter Näherung durch

5.7(24)

ersetzt werden darf. Nun sei C~ die sog. Projilverlustzahl, d. h. eine Größe, die genau so gebildet ist wie C nur daß sie ausschließlich die Reibung an dem Schaufelprofil erfaßt, das im betreffenden Schnitt erscheint. ,~ kennzeichnet also - für das Leitradelement -denjenigen Verlust, der sich unmittelbar aus einer Grenzschichtberechnung ergibt oder den man auch im Gitterversuch gut bestimmen kann. Die Verluste durch die oben erläuterte irreversible Energieübertragung zwischen den Stufenelementen, wie auch diejenigen durch Sekundärströmungen in der Nähe der Begrenzungswände sind also in C~ nicht eingeschlossen. Setzt man nun

5.7(25)

5.8 Energieumsatz und Wirkungsgrad des Stufenelementes 197

so ist damit die Restverlustzahl C;est definiert, die offenbar gerade die Energiedissipation durch diese durch C~ nicht erfaßten Effekte charakterisiert. Für das Laufrad lautet die entsprechende Gleichung

5.7(26)

Die Einführung dieses Restverlustes ist sinnvoll, wenn die Schaufelblätter so schlank sind, daß ein hinreichend breiter, von Endeffekten wenig gestörter Bereich der Strömung existiert.

Nachfolgend wird die Theorie des Stufenelementes auf der hier angegebenen Grundlage durchgeführt, d. h. die Enthalpiedifferenzen sind eigentlich ideelle Werte, was aber bei den weiteren Ausführungen nicht mehr durch das Zeichen * angedeutet werden soll. Da die Theorie dann formal identisch wird mit der elementaren Theorie der Stufe, beschreibt sie, sinngemäß angewandt auf die in den Eulerradien erscheinenden Geschwindigkeitsdreiecke, auch die Verhältnisse in der ganzen Stufe. In diesem Sinne kann auch ein mittleres Stufenelement als hinreichend genau repräsentativ für die Stufe betrachtet werden.

5.8 Energieumsatz und Wirkungsgrad des Stufenelementes

Die unter 5.6 angegebenen Kennzahlen, die für eine ganze Stufe, aber auch für ein Stufenelement berechnet werden können, hängen wie gezeigt maßgebend von Geschwindigkeitsverhältnissen ab, wie übrigens auch die Wirkungsgrade. Deshalb ist es vorteilhaft, diese Geschwindigkeitsverhältnisse unmittelbar in die Theorie einzuführen. In der Regel ist es zweckmäßig, sie zu bilden durch Division aller Geschwindigkeiten durch die U mfangsgeschwindigkeit u2 im Austrittsquerschnitt des Stufenelementes, d. h. man setzt

c w u C _-, W--, U --, 5.8(1)

u2 u2 u2

wo C, w, u irgendwelche Absolutgeschwindigkeiten, Relativgeschwindigkeiten oder Umfangsgeschwindigkeiten sind. - Bei Zentripetalturbinen ist es praktischer, u1 an Stelle von u2 zu verwenden, was in der Schreibweise der nachfolgenden Gleichungen naheliegende Änderungen nach sich zieht.

Vorbereitend für die nachfolgenden Untersuchungen sei bemerkt, daß man, gleichgültig ob Turbine oder Verdichter, stets setzen kann

Llh~ + Llh~' = (1 + f8) Llh., 5.8(2)

womit f8 definiert ist. Bei der nachfolgenden Entwicklung wird stets links die für die Turbine gültige Gleichung gesetzt, rechts diejenige für den Verdichter. Gemäß GI. 1.5(27) folgt aus GI. 5.8(2)

oder

5.8(3)

wobei stets die lJI' mit Druckverhältnis des Leitapparates, die lJI" mit dem des Laufrades, die 'l' mit dem der ganzen Stufe gebildet sind. Wenn wir setzen

(c )2 w~ q = c: ' q - w~ + u~ - u~' 5.8(4)

läßt sich mit Hilfe der unter 5.2 und 5.3 angegebenen Relationen leicht zeigen, daß

jl _ 1 _ 'lJI' 1 - q j2 - 1 + lJI'l ~ • - 'YJ. 1 ". - k 11 • Jo - 'YJ q Jt 'YJD - q 5.8(5)

198

t 0,04

~0,02

o

o

o

......

5 Elementare Theorien der Stufe

r = 0. 75 / / ~ /1 ~ r =0.50 / ~/ ~ 'YJ'=0,85"I/j / /:"0.90 V~ Ti' =0.85"" '/ / r,0,90

~I V "" O,_~ ~ ~/ ....... l;.....-

p ./ :/' v::: .... '~ t O,O I L --+-+-~~","I1>",-+/-+-71"-:;0'9..t"~-+-V--+~_., ""+-1 r- /',~/ /' /'

lu~' V ...

t:::--

~

LI' I~ ~

~ ~ ~ ~~~. -q=1/4

r---.I~~-+--+-+--+---1 o ~~ --- q=1/9

o r =0.25 L

C? ...-,::

/" V. ;.,

~ p'.

0.1 'P.'-

I !

0.2

'YJ'=0,8~X / ./ ~

1,0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

/' ~. "" - p,/Po("=!.3)

I I I

~ /'

:.---::: -; .... k. I:=="~ V ~ fo ......

~ .... ~

1,0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 M - p,/Po (,,=IA)

o -AI ~ :::::: P"" k-::: l-:-::: P

.-<I!!! -,;:::: ::::0

o 0.1 0.2 1JIe'-

0.95

, ! t ! J !. I

1,0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 OA 0.3 - P, /Po (1l=!.3)

I I ! I I ! I

1,0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 - p,/po (,,=1,4)

Abb.5.8.1 Ir für Turbinenstufen. Bei r = 0 wird 18 = O.

([=0.2 ([=0.8

I J L

rI'o =0.85 f r/o=o,90 V _V ~O V 1«-0.95

V V I-).-r-::::I - 0.95"", I--"'" I

/ V

~

I ,I J __ 'YJo~

~ 0.90-..- ~~ p -- ,~

I

'YJO~~ ..... V

/' 0,9qy I--~

/ ..... ..- 0.95 -L. ::....-: --I

/ 'r--'YJO = 0.90 k:::::

/ ......-'('.0.95

/ /

V ~

t V 1

~ - 0.90

'YJo~

..... ..- ........ ~

~ -- - 0.95..:..-= 1

~'YJo=0,90 / I

/ ..-..-r-"0,95

~ I---"" - 1

V-

V

~

o 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Y{'~ '1';'- '1'(,'-,

'---'---'-_--',_-','---',_ I ! I 1 ,

1,0 1.25 1,5 2,0 2,5 3,0 1,0 1,25 1,5 2,0 2,5 3,0 1,0 1,25 1,5 2,0 2,5 3,0 pz/p, ('X=1,4) - pz/p, (,,=w - pz/p, ('X = JA} -

Abb.5.8.2 18 für Verdichterstufe. Bei r = 1 wird I, = O.

r=0,5

r=0,6

r=0,75


Indem man dies in GI. 5.8(3) einsetzt, findet man

ljJl + [1 - ,'ljP 1 - q ]'P" - 'P 'P" + [1 + "P" ~1 'P' _ "P c I} e 1 _ '1/ q eck k r/iJ _ q k k 5.8(6)

18 = 'Pe ' 1. = 'Pk

In Abb. 5.8.1 und 2 ist 1. in Funktion der maßgebenden Parameter aufgetragen. Zu diesen gehört auch der Reaktionsgrad, der r = 'P" j'P. Man erkennt, daß 1 + 1. nur bei solchen Stufen merklich von 1 verschieden ist, in denen sehr große Druckänderungen vorgenommen werden. - Im folgenden werden Turbine und Verdichter gesondert behandelt.

a) Turbine

Abb. 5.8.3 zeigt den Geschwindigkeitsplan des Stufenelementes einer Turbine in der durch die GIn. 5.8(1) festgelegten dimensionslosen Darstellung. Es gelten die folgenden trigonometrischen Beziehungen (Cosinussatz) :

Wi = Ci + Vi - 2Cl Vl COS IXl>

W~ = q + 1 - 2C~ cos IXz,

C~ = W~ + 1 - 2WZCOSß2'

C2 COS IX 2 = 1 - W2 COS ß2.

Abb. 5.8.3 Dimensionsloser Geschwindigkeitsplan einer Turbinenstufe.

5.8(7)

5.8(8)

5.8(9)

5.8(10)

Berechnet man Llh; aus GI. 5.2(6), Llh~' aus GI. 5.2(12) und setzt ein in GI. 5.8(2), so findet man

_ 1 [cr 2 W~ 2 2 2 ] Llh. - 2 (1 + 1.) r/ - Co + r/, - WI + UI - 1(2

und nach Division durch u~ wegen "P. = Llh.ju~ _ 1 [Ci C2 W~ W2 V2 1]

"Ps - 2(1 + 1.) ?" - 0 + -:;:r - I + 1 - .

Ebenso ergibt sich durch Division von GI. 5.2(13)

lPh = ~ (Cr - C6 + W~ - Wi + Vi - 1)

und auf gleichem Wege aus GI. 5.2(17) oder (19)

A = VI Cl COS IXI - C2 COS IX 2 = VICI COS IXI + W2 COS ß2 - 1,

A = VIC"l - Cu2 .

Man beachte, daß gilt A C~ - C6

= lPh - 2

5.8(11)

5.8(12)

5.8(13)

5.8(14)

5.8(15)

5.8(16)

Die isentrope Enthalpiedifferenz vom Totalzustand am Stufeneintritt bis Totaldruck am Stufenaustritt läßt sich, wenn man idealen Dampf voraussetzt, mit jo als statischer Normalenthalpie am Stufeneintritt exakt ausdrücken durch

o _ A 1 [2 jo - Llh. 2] Llhs - LJhs + 2" Co - jo _ Llh c2 . 5.8(17)


Daraus folgt

5.8(18)

was fast stets mit großer Genauigkeit durch

o 1 0202 "PB ~ "Ps + '2 ( 0 - 2) 5.8(19)

ersetzt werden darf. Damit lassen sich die drei durch die GIn. 5.2(23)-(25) definierten Wirkungsgrade berechnen

;. + 21 (o~ - og) "Ph

17sa = - = ------"Ps "Ps ;. ;. r/ - - <=v --....,----

Ba - "P~ "" "Ps + ~ (og _ o~) ,

;. 1)~~) = --O"""""g .

"PB +2

5.8(20)

5.8(21)

5.8(22)

Da die Werte dieser Wirkungsgrade oft sehr nahe bei 1 liegen, ist es für die numerische Rechnung zweckmäßiger, 1 - 1) zu berechnen, was wie folgt geschehen kann. Die dissipierte Energie ist

Ah Ah 1 {[C~ 2 U'~ 2 2 2] 1 f 2 2 2 2 2 2 } LJ s - LJ a = '2 1)' - Co + r( - wl + '111 - '112 ( - s) - [Cl - Co + W2 - wl + '111 - '112]

was sich, weil I. klein ist, mit großer Genauigkeit wiedergeben läßt durch

5.8(23)

Der Ausdruck in runder Klammer ist identisch mit 2L1ha• Wenn man also beide Seiten durch L1hs dividiert, wird der Faktor von I. gleich L1halL1h., was hinreihend genau gleich 1 gesetzt werden darf, da I. klein ist. Mithin folgt

1 [1 - r( 2 1 - ri" 2 ] 1 - 1).a ~ 2L1h, -1)-' -Cl + -1)-'-' -W2 - I.

oder

1 [1 - 1)' 2 1 - 1)" 2] 1 - 1)sa ~ 2 --,-01 + --,-, - W2 -I.· "P. 1) 1)

In gleicher Weise findet man

1 - r( O~ 1 - 1)" W~ q ---+---+-1 _ (18) <=v 1)' 2 1)" 2 2 _ I

1)sa "" O~ Js'

"Ps + 2

5.8(24)

5.8(25)

5.8(26)

5.8(27)


Die mit der Polytrope gebildeten Kennzahlen und Wirkungsgrade lassen sich in folgender Weise gewinnen. Mit

Po Pl Po

y' f v dp, y" f v dp, y = f v dp 5.8(28) p, P.

definieren die Gleichungen

" 1 ( 2 2) l]py = 2" Cl - Co , 5.8(29)

5.8(30)

die polytropen Wirkungsgrade von Leit- und Laufrad. Dann ist, wie aus den Definitionsgleichungen 5.6(6) und (8) folgt

und damit

_ ~ [Ci - C5 W~ - Wi + Ur - 1] tpp - 2 ,+ " ,

~p ~p

o _ ~ [Ci - C5 W~ - Wi + Ui - 1 + C2 _ C2] tpp - 2 ,+ " 0 2

~p ~p

1 C2 2 Je + -2 ( 2 - Co) tph

~pa = - = ------tpp tpp

o _ Je ~pa - tpg'

(t8) _ Je ~pa - "Pp + (C5/2) ,

5.8(31)

5.8(32)

5.8(33)

5.8(34)

5.8(35)

Auch hier ist es aus numerischen Gründen zweckmäßig, die Verlustgrößen 1 - 1') anzugeben. Mit den Abkürzungen

tp~ - ~ (Cr - C5), tp~ = ~ (W~ - Wi + Ui - 1) 5.8(36)

erhält man

1 ' 1 " - ~p , + - ~p " -~-,- "Ph ~ tph

1 - ~pa = p p

tpl. + tp~ ~~ ~~

5.8(37)

5.8(38)

1 ' 1 " C2 - ~p , + - 'YJP "+ 2 ~tph ~tph 2"

1 - ~~"j = ,,, C2 "Pli .t "Pli +--2 ~~ ~~' 2

5.8(39)

Der Vorteil dieses von der Polytrope ausgehenden Formalismus besteht darin, daß man strenge Relationen erhält, ohne daß ein Rückgewinneffekt hineinspielt. Er ist hingegen unbrauchbar, wenn "P~' = 0 oder y" = 0 (Gleichdruck), da dann unbestimmte Ausdrücke

202 il Elementare Theorien der Stufe

entstehen. Der genannten Vereinfachung steht die Erschwerung gegenüber, daß bei kleiner Reaktion die Bestimmung oder Abschätzung von 'Y)'; umständlich wird.

'Weitere Charakteristika des Arbeitens eines Stufenelementes sind seine Reaktionsgrade Es ist

w~ _ W2 + U2 -1 'Y)" 1 1 5.S( 40)

2(1 + 18) lp.

_ y" h;/ f p =- =--11'

Y lpp'Y}p 5.8( 41)

_ ilh'; lp~ rk = ilh' + ilh" =-.

a a lph 5.8( 42)

Wir nennen r den isentropen Reaktionsgrad oder Reaktionsgrad schlechthin, rp den polytropen Reaktionsgrad, rk den kinematischen Reaktionsgrad.

Ein besonders einfacher Fall ist der des Repetierstulenelementes, das rein axial durchströmt ist und bei dem c2 nach Größe und Richtung gleich Co ist (folgen solche in der mehrstufigen Maschine, so repetiert sich von Stufe zu Stufe der gleiche Vorgang). Es ist dann

o _ 1 [Oi 02 w~ W2] 5 8 43 lp. i"'=1 lp. - 2(1 + I.) rr -2 + 7 - l' . ( )

5.8(44)

5.8(45)

5.8( 46)

An sich sind auch Repetierstufenelemente allgemeineren Typs denkbar, bei denen außer Co = c2 zwar auch Gleichheit der entsprechenden Radien ro und r2 besteht, wohingegen r1 =\= r2 • Meist ist dann aber der Unterschied zwischen r1 und'2 so klein, daß die angegebenen Formeln eine hinreichende Näherung darstellen.

b) Verdichter

Der allgemeine Geschwindigkeitsplan eines beliebigen Verdichterstufenelementes ist in Abb. 5.8.4 dargestellt. Die geometrischen Relationen GI. 5.8(7) -(10) gelten unverändert. Die weiteren Gleichungen ergeben sich in Analogie zu denen des Turbinenstufenelementes, basierend auf Abschnitt 5.3. So ist die isentrope Enthalpiedifferenz

Ah 1 ["( 2 + 2 2) 2 + '2 2] 5 8(47) LJ • = 2(1 + I.) 'Y)D W 1 U2 - Ul - W2 'Y)DC2 - Ca .

I I

I I I I I+Cu,--} I I I

~CUZ----1}

(/, Abb. 5.8.4 Dimensionsloser Geschwindigkeitsplan einer Verdichterstufe.

5.8 Energiel1msatz und Wirkungsgrad des Stufenelementes

und damit die isentrope Druckzahl

1 [, "(W2 1 U2) W2 I C2 C2] "Ps = 2(1 + I.) Iin 1 + - 1 - 2 + 'YJn 2 - 3'

Enthalpiekennzahl und Arbeitskennzahl ergeben sich aus GI. 5.3(12) und (14) zu

womit auch

"Ph = ~ (Wi - W~ + 1 - Ur + C~ - Ci),

A = C2 COS (X2 - UlCl COS (Xl = 1 - W2 COS ß2 - UlCl COS (Xl'

A = Cu2 - UlCul ,

203

5.8(48)

5.8( 49)

5.8(50)

5.8(51)

5.8(52)

Die vom Totalzustand am Laufradeintritt zum Totaldruck am Stufenaustritt reichende isentrope Enthalpiedifferenz ist exakt

Aho _ Ah 1 fjl + Lihs 2 2] LJ • - LJ • + "2ljl + Lih Ca - Cl , 5.8(53)

wo jl die statische Normalenthalpie vor Laufradeintritt iilt. Die mit Lihs gebildete Druckzahl wird damit

o _ 1 [1 + "PS(UWl) C2 C2] "P8 - "P8 +"2 1 + "Ph(u~/jl) 3 - l'

5.8(54)

was fast stets mit ausreichender Näherung wiedergegeben werden kann durch

° 1 C2 C2 "P. ~ "Ps + "2 ( 3 - 1) • 5.8(55)

Damit ergeben sich für die nach GI. 5.3(18) -(20) definierten Wirkunsgrade die Formeln

5.8(56)

5.8(57)

5.8(58)

Für die Verlustgrößen 1 - r; erhält man hieraus die Näherungsformeln

1 _ ".., (1 - r;~) (Wi + 1 - Ui) + (1 - 1J~)C~+f 'YJsa >'V 2A + C2 _ C2 .'

1 a 5.8(59)

1 _ 0 "'" (1 -1J~)(Wr + 1 - Ur) + (1 - 'YJ~)C~+f r;.a >'V 2A .' 5.8(60)

1 _ (18) "'" (1 - 'YJ~)( Wi + 1 - Ur) + (1 - 'YJ~) C~ + C~ + f 'YJ8a "" 2A s . 5.8(61)

Will man auf die Polytrope Bezug nehmen, so ist auszugehen von p, p, p,

y" - f v dp, y' - f vdp, y= f vdp. 5.8(62) Pt p, Pt


Die polytropen Radwirkungsgrade 'Y};' und t7; sind dann definiert durch

1 IC~-C~ Y = 17p --2-'

Damit gewinnt man die polytropen Druckzahlen

1f1p = ~ [17~/(Wi - W~ + 1 - Ur) + 'Y}~(G~ - Gm,

1f1~ = ~ ['Y}~'(Wi - W~ + 1 - Ur) + 17~(G~ - G§) + G~ - Gi].

Die durch die GIn. 5.3(18) - (20) definierten Wirkungsgrade werden damit

'" _1f1P._ 1f1p 'Ipa- -1f1h A - 2. (G§ - Gr)

2

G2 1

1f1p -"2 17~~) =--

A

o G~ 1f1p -2

5.8(63)

5.8(64)

5.8(65)

5.8(ö6)

5.8(67)

5.8(68)

5.8(69)

Zur Angabe der Formeln für die Verlustgrößen 1 - 'Y} ist die Einführung der folgenden Abkürzungen zweckmäßig:

1f1~' - ~ (Wi - W~ + 1 - Ur), 1f1~ - ~ (G~ - G~). 5.8(70)

Damit ergibt sich

1 _ _ (1 - 'Y}';) 1f1~ + (1 - 'Y}~) 1f1h 'Y}pa - 1 + ,,," ' 1f1,. ,h

5.8(71)

1 0 _ (1 - 'Y}';) 1f1~' + (1 - 'Y}~) 1f1~ - 17pa - A ' 5.8(72)

1 (ta) _ (1 - 'Y}';) 1f1~' + (1 - 'Y}~) 1f1~ + (G§J2) - 'Y}pa - A • 5.8(73)

Der isentrope, polytrope und kinematische Reaktionsgrad, die mit r, rp ' r" bezeichnet seien, sind gegeben durch

L1h ll ","( W2 + 1 - U2) - W2 r = __ 8 ___ 'ID 1 1 2

- L1h;' + "1h; - 2(1 + 18) 1f18 ' 5.8(74)

_ y" 17'; 1f1~' rp == -=--,

y 1f1p 5.8(75)

L1h" " ,. _ a _1f1h k = iJh;: + L1h~ - --;;; .

5.8(76)

5.9 Besondere Untersuchungen über das Stufenelement 205

Im Sonderfall des zylindrischen Repetierstujenelementes erhält. man mit Oa = 0 1 und U 1 = 1 die Gleichungen

",.0 f':::I "'. = 1 (i'l" W2 W2 + i'l' 0 2 02) T T 2(1 + j.) 'ID 1 - 2 'ID 2 - l' 5.8(77)

Je ="Ph = ~ (Wr - W~ + O~ - On = 0"2 - 0ul = LlOu, 5.8(78)

° "" _ "Ps 1)8a"" 1)sa - J:' 5.8( 79)

0_ _ 1 ["(W2 W2) + '(02 02)] "PP - "PP -"2 'Y}p 1 - 2 'Y}p 2 - 1 , 5.8(80)

,)0 _ ') _ "PP 'pa - 'pa - J:' 5.8(81~

Reaktionsgrade vom Wert 0 oder wenig darüber kommen in normalen Verdichterstufen nicht vor, wohl aber Reaktionsgrade von der Größenordnung 1. Bei diesen aber wird der Formalismus, der von der Polytrope ausgeht, unzweckmäßig oder er versagt gar vollständig (ca = C2 führt auf rl~ = - CXl, während y' = 0 stets auf 'f}~ = 0 führt). Dem Fehlen der Komplikation durch den Erhitzungsverlust steht auch hier der Nachteil der nicht universellen Verwendbarkeit gegenüber.

5.9 Besondere Untersuchungen über das Stufenelement

a) Turbine

Bei der nachfolgenden Untersuchung vernachlässigen wir den Rückgewinneffekt innerhalb der Stufe, da er in diesem Zusammenhang nicht wesentlich ist. Dann läßt sich setzen

Ah' _ 1 Ah _ 1 (ci 2) LJ s - ( - r) LJ 8 -"'2 'f}' - Co ,

woraus

(1 - r) "Ps = ~ (~,i - 06)'

0i = r)'[2(1 - r) "Ps + 06]. 5.9(1)

Analog findet man

W~ = 'Y}"[2r"Ps + Wi - Ur + 1]. 5.9(2)

Nun ist aber

Llh } (ci - c5 + w~ - wr + ui.- u~) 'Y}8a = Ah = Alt

L.J 8 L.J '8

er - 05 + W~ - Wi + Ur - 1 2 "Ps

folglich nach Einsetzen der Ausdrücke GI. 5.9(1) und (2)

1)'[2(1 - r) "Ps + 05] - 06 + r([2r"Ps + Wr - Ur + 1] - Wi + Ur - 1 'f}sa = 2 "Ps

oder

_ '(1 ) +' (1 - 'Y}') 05 + (1 - 1n [Wi - Ur + 1] 1)sa - 'Y) - r 11 r - 2 .

"Ps 5.9(3)

In dieser Gleichung erscheint 'Y}sa als gewogenes Mittel zwischen den 'Y}' und 'Y}", von dem noch ein Zusatzglied abzuziehen ist. Dieses Zusatzglied kann aber bei genügend großem U1

selbst negativ sein, was günstig ist. Die Zentripetalturbine, bei der U1 > 1 (die Bezugsgeschwindigkeit ist ja u2 ), erweist sich hier als besonders günstiger Fall, was man folgender-


maßen anschaulich verstehen kann. Eine Zentripetalturbine mit senkrechtem Austritt (Cu2 = 0) hat den spezifischen Arbeitsumsatz aa = U1Cul ' Ferner ist w~ = C~2 + u~. Eine mit senkrechtem Austritt arbeitende Axialstufe, deren U gleich dem U I der Zentripetalturbine ist, hat äa = UCul' Soll sie gleich viel leisten wie die Zentripetalturbine, so muß ihr cUl gleich dem der Zentripetalturbine sein. Damit ist aber auch wl in beiden Fällen gleich. Dagegen ist bei der Axialturbine w~ = C~2 + u2 = C~2 + ui, und dies ist offensichtlich größer als das w~ der Zentripetalturbine. Wählt man hingegen U der Axialturbine gleich groß wie das U2 der Zentripetalturbine, so muß man dafür CUl um den Faktor U 1!U2 vergrößern um dasselbe aa zu erhalten. Es ist also Cl und damit wl größer als bei der Zentripetalturbine, wogegen jetzt w2 gleich groß ist wie bei jener. Abb. 5.9.1 stellt diese Verhältnisse dar. Stets braucht also die Axialturbine für einen gegebenen Arbeitsumsatz größere Strömungsgeschwindigkeiten als die Zentripetalturbine und ist daher grundsätzlich ungünstiger. Der Fall Abb. 5.9.1c würde übrigens auf eine starke Verzögerung im Laufrad führen, ist also praktisch unbrauchbar.

a

b Abb. 5.9.1 Geschwindigkeitspläne für drei Turbinenstufen mit gleichem Arbeits-

umsatz. a) Zentripetalturbine; b) Axialturbine, Umfangsgeschwindigkeit gleich groß wie U 1 der Zentripetalturbine ; c) Axialturbine, Umfangsgeschwindigkeit gleich groß wie

U2 der Zentripetalturbine.

Dieser Vergleich beleuchtet nur eine gewisse Tendenz. Die grundsätzliche Überlegenheit der zentripetal durchströmten Turbinenstufe kann nur dann praktisch in Erscheinung treten, wenn die Radwirkungsgrade 1)' und 1)" gleich sind wie bei der Axialstufe. Gerade dies trifft aber im allgemeinen nicht zu, sondern die Axialstufen haben in der Regel günstigere Radwirkungsgrade, weshalb sie bei günstiger Proportionierung sogar den Zentripetalturbinen überlegen sind.

Ein theoretisch besonders übersichtlicher Fall entsteht dann, wenn bei einem Repetierstufenelement auch noch die normale Durchtrittsgeschwindigkeit konstant gehalten wird. Wir nennen solch ein Stufenelement, in dem die einfachsten Bedingungen herrschen,

~-------~1---------4

~------~4~--+---~~~ cU21 T'k

I Abb. 5.9.2 Dimensionsloser Geschwindigkeitsplan eines Normalstufen

elementes.


nämlich c2 = co' "'2 = "'0' u2 = ul ' C"O = Cnl = Cn2 = cn ' ein NormalstuJenelement. Es ist häufig eine sehr gute Annäherung an die Wirklichkeit. Abb. 5.9.2 stellt den dimensionslosen Geschwindigkeitsplan eines Normalstufenelementes dar. Es gelten hier vorab die GIn. 5.8(43) -(46). Aus GI. 5.8(13), (36) und (42) folgt hier weiter

W~ - Wi r" = q _ q + W~ _ W~· 5.9(4)

Da aber die Normalkomponenten aller hier erscheinenden Geschwindigkeiten einander gleich sind, kann man auch überall die Umfangskomponenten allein einsetzen, also schreiben

W~2 - W~l W~2 - W~l rk = O~l - 0~2 + W~2 - W;l = (Wul + 1)2 - (Wu2 + 1)2 + W~2 - W;l

(Wu2 + Wul ) (WU2 - Wul ) 2(WU1 - Wu2)

wobei zu beachten ist, daß Wu2 negativ, weil der Radbewegung entgegengesetzt ist. Somit folgt schließlich

Wul + Wu2 rle= -----. 2 5.9(5)

Dies hat aber, wie im Geschwindigkeitsplan dargestellt, eine anschauliche Bedeutung, denn rk ist die mit umgekehrtem Vorzeichen genommene Umfangskomponente einer Geschwin-digkeit W 00' die durch

5.9(6)

definiert ist. Die Bezeichnung von W 00 wird aus der gittertheoretischen Bedeutung dieser Geschwindigkeit klar, die unter 5.10 dargelegt wird.

Nach GI. 5.9(5) ist unter Beachtung des Geschwindigkeitsplanes

Wul = -WU2 - 2rk = 1 - 0;"2 - 2r",

0ul = 1 + Wul = 2(1 - TIe) - 0,,2,

.1 = LW" = O"l - 0"2 = 2(1 - r le - 0"2)' 5.9(7)

Bei gegebenem 0"2 ist demnach der spezifische Arbeitsumsatz in einer Stufe um so größer, je kleiner der Reaktionsgrad, und zwar ist der Zusammenhang linear, wenn man den kinematischen Reaktionsgrad verwendet. Diese formale Einfachheit der Relationen auf die er führt, ist ein Vorteil des kinematischen Reaktionsgrades. Verschwindet er, so wird der Reaktionsgrad r immer noch leicht positiv, d.h. mit der Vorschrift r" 2: 0 stellt man sicher, daß stets ein leichter Druckabfall im Laufrad auftritt. Wenn man sich auf kleine Stufengefälle beschränkt, so daß J, ~ 0, geht mit "P, = A./rJsa aus GI. 5.8(24) hervor

1 - rJ,a = J:.. [1 - rJ' 02 + 1 - rJ" W2] 5.9(8) rJ Ba 2.1 rJ' 1 rJ" 2'

mit der vereinfachenden Setzung rJ' = rJ" = rJ also auch

Da weiter

1 - rJBa 1 - rJ 0i + W~ ----;;;::- = -17- 2.1

Ci = 0;1 + 0;= (~ + 1 - rler +0;, W~= (r" + ~r + O~, wie sich aus der Geometrie der Geschwindigkeitsdreiecke ergibt, ist auch

1 - rJ8a 1 - rJ (~ + 1 - r" r + (TA: + ir + 20; ---;:;;;- = -rJ- 2.1

5.9(9)

5.9(10)


was sich in die Form

5.9(11)

bringen läßt. Abb. 5.9.3 zeigt unter der Annahme rj' = r( = 0,94 den aerodynamischen Wirkungs

grad 'fJsa des Stufenelementes in Funktion von 'A:, On und Ä.. Hält man Ä. fest und variiert 'A:, so liegt das Optimum stets bei'A: = 0,5. Schreibt man sich jedochOu2 ' d.h. den Austrittsdrall vor, so tritt der optimale Wirkungsgrad je nach den sonstigen Bedingungen bei anderen Reaktionsgraden auf, vgl. Abb. 5.9.4. Abb. 5.9.5 schließlich stellt noch die besonderen Verhältnisse bei 'A: = , = 0,5 dar. Sehr deutlich ist stets der Einfluß von 011' Daß eine Zunahme von On eine Verschlechterung des Wirkungsgrades mit sich bringt, ist dadurch bedingt, daß ein gegebener spezifischer Arbeitsumsatz auf um so größere Strömungs-

0,91,

t 0.92

" ~ ''.,0,90 ~

0,88

t 0,91,

,,0,92 ~ " " r$ 0,90

t 0.91,

~0.92 " " r$

0.90

0.1,

o

-l--

l--l--

_i--

V V

I-J.---I-- ...-

I--

J--

......

......

t- to-

......

t-.

I Cn =0,3

l--1....- 0,5t-

P 0.7

i--~ F'"

0,9

F-

Cn= 0,1

~ I--I-- 0.5

- 0,7 J.--

0,9 I-

I Cn= 0.3

0,5 0,7 0,9

I-t-+-.. A= 1.0 I-1-1-

..... r- t-t-1-1- t---~ t-.

t-t-fll -t---

t-t---

-0.8 o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

A=7,0

r--

A= 7,5

--

Ä=2,0

t- t---t- -t--t-

I-. --t---r-0.6 0.7

Abb.5.9.3 Aerodynamischer Wirkungsgrad des Normalstnfenelementes einer Turbine in Funktion von "g, On und A bei 1)' = t/' = 0,94. Unten Ott2 in Funktion von TA: und A.


gechwindigkeiten führt, je größer die Durchsatzgeschwindigkeit. Lösungen, bei denen 0 .. 2

einen stark negativen Betrag hat, sind innerhalb mehrstufiger Schaufelungen nicht auszuschließen, sollten aber bei Endstufen des großen Austrittsverlustes wegen nicht verwendet werden.

Die hier angegebenen Diagramme können nur grundsätzliche Tendenzen wiedergeben, da sie auf konstanten Radwirkungsgraden basieren, während diese in Wirklichkeit stark von der Gestalt der Geschwindigkeitsdreiecke abhängen. So werden die 1]" bei kleinen Reaktionsgraden der scharfen Ablenkung wegen schlechter und bewirken ein stärkeres Abfallen von 1]8a. Ferner verschlechtern sich die Radwirkungsgrade bei sehr kleinen Winkeln, weshalb kleine On - etwa unter 0,5 - den theoretisch erwarteten Vorteil nicht bringen, sondern sogar nachteilig werden können.

Da den Reaktionsgraden 0 und 0,5 besondere Bedeutung zukommt, seien für Normalstufenelemente mit diesen Reaktionsgraden die maßgebenden Beziehungen angegeben. Die klassische, auf Parsons zurückgehende tJberdruckstuje ist gekennzeichnet durch

1,00

0,98

0~6

0,9*

0,92

0,9

0,88

0,86

0

0

OjJ8

0,96

0,9*

t 0,92 t:! ~O,s, () 11

t:! o,B8 ~

0,86

0 ~O

0,98

0,96

0,9*

0,92

0,90

tJ

G

*

-

Cn=o,J 0.5

07 -1 r- --]"'--..

Cn=O,J o.~

0,7

1

Cn-0,3 0,5

07 1

0,2

CuZ=+O,25

I""""""--l"-r----. i"-. --t'- r"\ " " J"...

..... I\. \ ~ 1

Cu2=O

r-t-. r-r- b",

1"--b:: r-- -......... r-r- r-... -....

"" "-CU2=-O,25

-r-'""""---I--

0,5

Abb.5.9.4 Aerodynamischer Wirkungsgrad des Normalstufenelementes einer Turbine in Funktion von 'Je bei festgehaltenen 0 .. 2 und On.


Dann gehen die GIn. 5.8(42) und (24) über in

50 0

40 0

0

0

10 0

0 1,0

'---

~-

8

+o,~

0_ _ 1 [Ci C2] 'lJ!s - 'IJ!. - 1 + 18 -:;r - 2'

o (L - 1]') Cr f 1 - 1]sa R::i 1 - 1]sa = -C'2 'C2 (1 + B)'

I - 'I') 2

r-..... .......... t"'"-.... ;::t--~~7.1 t--......

............ 1"---

.......... t-- ........ ~r-. 1-...... ~ -......... q8 :--r-r-:: r--.... ............ r--~---r- t..... ........ r--.... ....... r--a6' --r-- --r-

........... ---...,., r- t--. ~ -......... r- --r--r--r-. 'hr-- ........... r--

-......... l-r--r--t--. ~"<-OJ' r---l--r--r--r-- t::=

Cn"'~ I--..... ..... ~ ~ --!--r--

-V I--~ ./

...-V ~ 17 --- _.

/ 1/

------r--

r----

2 /c-

J

I !

+0,3 +0,2 +- 0,1 0 -0,1 -0,2

-CU2

5.9(12)

5.9(13)

Abb. 5.9.5 Aerodynamischer Wirkungsgrad des Normalstufenelementes einer Turbine für symmetrische Schaufelung (50% Reaktion).

In der Mehrzahl der Fälle ist hier 18 vernachlässigbar. Die Gin. 5.8(45) und (46) reduzieren sich auf

5.9(14)

r;~a == r]pa == 1)~ === 'Y)~'. 5.9(15) Die Einfachheit dieser Relationen macht das Arbeiten mit der Polytrope bei der Überdruckturbine zweckmäßig.

Das rein axial durchströmte Gleichdruckstulenelement ist gekennzeichnet durch

W2 = W1 V~· 5.9(16)


Es ist dann

_ ~ [Ci _ C2] (t8) = LJh~ta) _ Cr "PB - 2 r/ 0' "PB - t~a - 21']' . 5.9(17)

Weiter ist unter Verwendung von GI. 5.8(7)

Ä. = Cl COS IXI + W2 COS ß2 - 1 = Cl COS IXI + COS ß2 V1]"(Ci + 1 - 2Cl cos IXl) - 1,

Ferner ist

Mit

1 ~, 1]' Ci + (1 - 1]") [Ci + 1 - 2C\ cos IXI]

1 - 1]Ba == --~----------~C~i2'---------------+ - 05 1]

(ta) _ ___ Ä.__ _ 2 ' C\ COS IXI + W 2 COS ß2 - 1 1].a - 02/2 ' - 1] 0 2 •

1 1] 1

W ß V-" W ß V-" W ß COS ß2 2 COS 2 = 1] I COS 2 = 1] I COS I --ß-COS I

= (0 cos IX - 1) COS ß2 V-;-7" I I COS ßI

läßt sich dies auch überführen in die Form

1]~~) == d: (cos IX I - ~J (1 + v;r ::: ~:) oder auch

1]~~) == 21]' - COS IX I - --.:. /1 + V 1]" __ 2 • u ( 1l) I - cos ß ) Cl Cl \ COS ßI

5.9(18)

5.9(19)

5.9(20)

5.9(21)

Dies ist die klassische, von Stodola [9] angegebene Beziehung. Bei festem Verhältnis cos ß2JCOS ßl wird der optimale Wert erhalten bei uJcI = (cos IXI )/2, da dann Ca am kleinsten wird; es ist dann

r7(t8) - 1]' cos2 IX (1 + V-:;:;;;- cos ß2) 5.9(22) sarnax - 2 I ./ COS ßI •

Setzt man 1]' und 1]" konstant, so ist GI. 5.9(21) die Gleichung einer Parabel, vg1. Abb. 5.9.6. Da negative Reaktionsgrade im Hinblick auf die Gefahr der Ablösung möglichst ver

mieden werden sollen und der Reaktionsgrad normalerweise von Nabenradius bis Außenradius zunimmt, sollte der Grenzfall der Reaktion Null höchstens in Nabennähe herangezo-

Abb. 5.9.6 Theoretische Wirkungsgrad. parabel einer reinen Gleichdruckstufe. !!:..

c,


gen werden. Dimopoulos [10] gibt ein Verfahren zur Wahl des Reaktionsgrades, wenn man sich zur Erzielung einer günstigen Laufradströmung das Verhältnis 'WZ!w1 vorschreibt.

Die Curtisturbine wird fast stets mit so kleinem l/Dm ausgeführt, daß die Berechnung der ganzen Stufe auf die des mittleren Stufenelementes zurückgeführt werden kann. Den dimensionslosen Geschwindigkeitsplan zeigt Abb. 5.9.7. Analog zu den früher angegebenen Gleichungen ist hier

_ 1 [Ci 0 2 W~ W2 O~ 02 W~ 2] "P. - 2(1 + f.) rr - 0 + r( - I + 1" - 2 + r(" - Ws, 5.9(23)

I----~------------------------ ---------~---

~ ~ t.j

~------------A~I----------------------~

Abb. 5.9.7 Dimensionsloser Geschwindigkeitsplan eines Curtisstufenelementes.

wobei n'" und n'''' die Strömungswirkungsgrade des Umlenkrades und des zweiten Laufrades sind. f. ist meist vernachlässigbar und läßt sich notfalls aus Abb. 5.8.1 entnehmen, wobei die Größe

r = W~N' - W~ + O~N" - q - WVr(" - W§ c - 0i/1]' - C~ + W~N' - W~ + O~N" - O~ + W~1]"" - W~

5.9(24)

an die Stelle von r tritt. Für die praktische Anwendung bedeutsam ist im Falle der Curtisstufe besonders die Druckzahl "P~ts) = t1h~ts) Juz, die durch

(18) _ 1 [O~ W~ W2 O~ 2 W~ 2] 1p8 - 2(1 + f.) rr + l' - I + 1" - O2 + 1]"" - Ws

gegeben ist. Mit

ist dann

A. 1]~a = "P~t8) - (OV2) ,

b) Verdichter

(18) _ ~ 1] Ba - "P~IA)'

5.9(25)

5.9(26)

5.9(27)

Die Untersuchung, die zur Einsicht geführt hat, daß bei festen Radwirkungsgraden der Wirkungsgrad der zentripetal durchströmten Turbinenstufe höher liegt als derjenige der Axialstufe läßt sich auf den Verdichter übertragen. Hier ergibt sich auf gleiche Weise, daß die zentrifugal durchströmte Verdichterstufe grundsätzlich günstiger sein müßte als die axiale. Der Grund ist in beiden Fällen der gleiche: Das Radialrad bewältigt eine gegebene Druckumsetzung mit kleineren Relativgeschwindigkeiten als das Axialrad. - Die häufig anzutreffende Darstellung, die Radialmaschine ,nütze die Fliehkraft aus' trifft den Kern der Sache nicht, denn die Fliehkraft ist ja ein ideelles Kraftfeld, das man einführen muß, wenn man im rotierenden Koordinatensystem rechnet. - In Wirklichkeit ist diese überlegenheit auch beim Radialverdichter nicht vorhanden, weil es die Geometrie der Radialstufen mit sich bringt, daß die Radwirkungsgrade wesentlich schlechter sind.

Die Axialverdichterstufe läßt sich oft mit hinreichender Näherung nach der Theorie des Normalstufenelementes behandeln, das ein rein zylindrisches Repetierstufenelement ist, wobei Cl = Cs, /Xl = /Xs, Cnl = Cn2 = cn3 = Cn • Unter diesen Voraussetzungen ist wie bei der Turbine die GI. 5.9(5) herzuleiten, die ohne Änderung auch für den Verdichter


gilt. Abb. 5.9.8 zeigt die Geschwindigkeitsdreiecke. Man gewinnt daraus leicht die zu GI. 5.9(7) analoge Relation

Abb.5.9.8 Dimensionsloser Geschwin· digkeitsplan eines Normalstufenelementes

(Axial verdichter).

Im übrigen gelten die Gin. 5.8(77)-(81).

5.9(28)

Bei festgehaltenem Ä ergibt sich auch hier mit r", = 0,5 theoretisch der optimale Wirkungsgrad, doch ist diese Voraussetzung, wie auch die unveränderlicher Radwirkungsgrade hier so wenig sinnvoll, daß ein solches Ergebnis wenig besagt. Weit bedeutsamer ist die in Abb. 5.9.9 festgehaltene, aus der Geometrie der Geschwindigkeitsdreiecke folgende Abhän-

1,0 ).=0,3

0.9 ~

'= --

0.6

0.5 0.4

~il ---: 0.8

- 0.6

-~

0.6

).=0,45

"",.. ~ Cn= 1.0 r---Ii.

........ ........

1'-- 0.8

V "- 0.6

0.4 p.-..... '

r---0,8 /,0 0.4 0.6 0.8

rk-

).=0,6 ).=0,9

r--~ f;::: ~=~o

~ "'-0.. r-- 0.8

....... ........... Cn = 1.0

,'" I'-- .....6,0.6 r--~ .... - r-' r-- -, ......... -,...

..... 0.8 1'- .... 0,4 , 1--' ).

r-

........ 1,0 0.4 0.6 0.8 1,0 0.4 0.6 0.8 /,0

Abb.5.9.9 Verzögerungsverhältnis W 2/W1 eines Axialverdichter-Stufenelementes (Normalstufenelement) in Funktion von rk und On.

gigkeit des Verzögerungsverhältnisses WZ!w1 von Ä, rk und On. Als Richtwert für die in einer Schaufelreihe auf günstige Weise beherrschbare Verzögerung kann bei normalen Ausführungen etwa WZ!w1 ~ 0,7 gelten, vgL de Haller [11], während kleinere Werte nur bei besonderer Ausgestaltung möglich sind (eng geteilte Gitter großer axialer Abmessungen, u. U. Tandemgitter). Man erkennt, daß großes A nur mit großem On möglich ist. Daß hoher Reaktionsgrad großen spezifischen Arbeitsumsatz ermögliche, was in den Anfängen des Axialverdichterbaues als so bedeutsam hingestellt wurde, stimmt nur im Gebiet der kleinen OnWerte (etwa 0,4-0,5), in denen man sich ursprünglich einzig bewegte. Derart kleine On kommen im Nabenradius heute noch für Industrieverdichter in Frage, wo man oft vorteilhaft mit hohem Reaktionsgrad arbeitet.

Im Spitzenradius der ersten Stufe eines Axialverdichters ist die Machzahl ein maßgebender Parameter. Will man bei gegebener Umfangsgeschwindigkeit eine möglichst kleine Machzahl erzielen oder bei vorgeschriebener Machzahl eine möglichst hohe U mfangs-


geschwindigkeit, so muß WI möglichst klein sein. In Abb. 5.9.10 ist daher für A = 0,2, Cn = 0,4 und 0,5 (Werte wie sie etwa für den Spitzenradius typisch sind) WI in Funktion von rk aufgetragen. Es geht daraus hervor, daß kleine Reaktion im Hinblick auf die Machzahl günstig ist.

/2 )...--::: '/

~ /" --

/ -----t-- -cn,=oJ..-~

V t/ 114 V v Abb. 5.9.10 Bezogene Zuströmgeschwin.

05 06 07 oa 09 1,0 digkeit W 1 in Funktion von rk'

'k-

5.10 Gerades Schaufelgitter, Tragßügeltheorie

Ein abgewickelter zylindrischer Schnitt durch eine axial durchströmte Schaufelung hat die Gestalt einer unendlich ausgedehnten Profilreihe, wie sie Abb. 5.10.1 veranschaulicht. Man nennt eine solche Schaufelreihe ein gerades Schaujelgitter. Die Strömung durch ein solches Schaufelgitter (endlicher Ausdehnung senkrecht zur Bildebene) ist zwar kein genaues Abbild derjenigen durch die Schaufelung einer Maschine, doch besteht immerhin so weitgehende Ähnlichkeit, daß der Erforschung der Gitterströmung für den Turbomaschinenbau fundamentale Bedeutung zukommt.

Abb. 5.10.1 Axial durchströmtes Schaufelgitter.

Durch die Kontrollebene 1 des Gitters Abb. 5.10.1 strömt das Medium mit der Geschwindigkeit Cl unter dem Winkel <Xl zu derart, daß

Cul = Cl COS <Xl' 5.10(1)

Weiter betrachten wir die Kontrollebene 2, die so weit vom Gitter entfernt liege, daß sich die Strömung bereits wieder praktisch ausgeglichen habe, so daß die von den Schaufelaustrittskanten abgehenden Nachlaufgebiete nicht mehr bemerkbar sind und somit die Abströmgeschwindigkeit C2 und ihre Richtung <X2 konstant sind. Dann ist

5.10(2)

5.10 Gerades Schaufelgitter, Tragflügeltheorie 215

Greift man nun zwei um die Schaufelteilung tauseinanderliegende kongruente Stromlinien heraus, denen die Werte 1p und 1p + Ll1p der Stromfunktion entsprechen, so läßt sich durch diese Stromlinien und die Geraden 1 und 2 eine Kontrollkontur ABOD bilden. Längs dieser ist die Zirkulation r um die einzelne Schaufel leicht bestimmbar, da Anteile längs der Linien 1p und 1p + Ll1p sich wegheben. Im Uhrzeigersinn gebildet, wird sie positiv und beträgt offenbar

5.10(3) )

Nach dem Stokesschen Satz (vgl. Abb. 3.3.1) muß r gleich dem Integral der im umfa.hrenen Gebiet auftretenden Wirbelstärken sein. Nun kann gemäß den Ausführungen unter 3.5 angenommen werden, daß die Strömung im wesentlichen den Charakter einer Potentialströmung besitze (wenigstens bei günstiger Profilgestaltung, die Ablösungserscheinungen vermeidet und im Unterschallgebiet, wo keine Verdichtungsstöße entstehen). Wesentliche Wirbelstärken treten dann nur innerhalb der Grenzschichten an dem Profil auf. Geht man zum Grenzfall des reibungsfreien Mediums über, läßt also die Zähigkeit gegen Null streben, so strebt die Grenzschichtdicke () ebenfalls gegen Null (vgl. Abb. 5.10.2). Die Grenzschicht wird dann zur Unstetigkeitsfläche. Die längs eines kleinen Wegstückes ds an der Wand gebildete Zirkulation dr ist, wie Abb. 5.10.2 zeigt,

dr = cds

Abb. 5.10.2 Zur Berechnung der Zirkulation dr längs eines Wandstückes d.s.

c

5.10( 4)

c

und behält diesen Wert beim Grenzübergang bei. Längs eines ganzen Schaufelprofils er~ hält man daher als Zirkulation

A A r=~cds= fcds-fcds

E E Saug Druck

Abb. 5.10.3 Zur Berechnung der Zirkulation längs eines Profils.

5.10(5)

(vgl. Abb. 5.10.3); die beiden Integrale sind längs der Saug- bzw. Druckseite zu berechnen, wie durch obige Darstellung angedeutet ist. Die nach GI. 5.10(5) berechnete Zirkulation muß mit dem Wert nach GI. 5.10(3) übereinstimmen.

Man beachte, daß Grenzschichten bzw. Wirbelflächen nicht nur an den Schaufeloberflächen bestehen, sondern auch an den seitlichen Begrenzungswänden. Das ganze Wirbelsystem sieht aus wie in Abb. 5.10.4 veranschaulicht, vgI. auch [16]. - In dieser Darstellung sind Sekundärwirbel und ähnliche Komplikationen nicht berücksichtigt, sondern die durch


die Wirbellinien dargestellten Wirbelschichten entsprechen lediglich der ebenen Strömung durch das Schaufelgitter. Schrumpfen sie zu Wirbelflächen zusammen, so liegt die Potentialströmung vor, die durch Unstetigkeitsflächen begrenzt ist.

Besonders übersichtliche Verhältnisse liegen bei inkompressibler Strömung vor. Sehen wir vorerst von der Reibung ab, so gilt gemäß der Bernoullischen Druckgleichung 3.2(15-) für die Druckänderung im Gitter

Abb. 5.10.4 Durch Grenzschichten gebildetes Wirbelsystem in einem Schaufelgitter. PfeiIsinn der WirbeJIinien und Drehsinn der Wirbel nach Rechtsschrau-

benregel einander zugeordnet. 0= nach oben weisender Pfeil, ® = nach unten weisender Pfeil

Aus Kontinuitätsgründen gilt weiter für die Normalkomponente cn

5.10(6)

5.10(7)

Die Schaufel erfährt pro Einheit der Breite senkrecht zur Bildebene eine Kraft S, welche eine Normalkomponente N und eine Tangentialkomponente T besitzt (s. Abb.5.10.1). Wegen GI. 5.10(7) ist die Normalkomponente des Impulsstromes in der Ebene 2 gleich groß wie in der Ebene 1. Daher muß nach dem Impulssatz am Kontrollgebiet AßeD durch die n-Komponente der Druckkräfte der Schaufelkraftkomponente N das Gleichgewicht gehalten werden. Nun heben sich aber die längs der Stromlinien 1p und 1p + Lf1p angreifenden Druckkräfte gegenseitig weg, weil sie gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Also bleibt als Gleichgewichtsbedingung

N = t Lfp = t ~ (c~ - c~). 5.10(8)

Desgleichen kann die Tangentialkomponente T aus dem Impulssatz erschlossen werden. Die Tangentialkomponente des längs AB ins Kontrollgebiet eintretenden Impulsstromes ist tecnCul; der entsprechende längs CD austretende tangentiale Impulsstrom ist tecnCu2. Daraus folgt für die Tangentialkraft T

T = teCn(Cu2 - Cul). 5.10(9)

Für den Winkel '11, den S mit der Gitternormalen bildet (vgl. Abb. 5.10.1), gilt

5.10(10)

Da aber

5.10 Gerades Schaufelgitter, Tragflügeltheorie

wird GI. 5.10(10)

cn tan v = -1:;----'"---

'2 (Cu2 + Cul)

Wie aus Abb. 5.10.5 hervorgeht, ist somit

tan v = tan IX oe, V = IX 00 ,

Abb. 5.10.5 Richtung der SchllTufelkraft S bei reibungsfreier Strömung.

f------CU2----~

217

5.10(11)

5.10(12)

wenn IX oo der Winkel zwischen der Geschwindigkeit Coo und der Gitterachse ist. Die Geschwindigkeit Coo ihrerseits ist dadurch definiert, daß ihre Umfangskomponente Cuoo = 1 '2 (cu! + C"2) beträgt, während ihre Normalkomponente ebenfalls Cn ist. Es läßt sich dies

auch ausdrücken durch die Vektorgleichung

-+ 1 - -+ 10 c OO -'2(C1 +C2), 5. (13)

Wir erhalten daher den allgemeinen Satz: Bei reibungs freier inkompressibler Strömung durch ein gerades Schaufelgitter steht die Schaufelkraft S senkrecht auf der durch GI. 5.10(13) definierten Geschwindigkeit c 00'

Da weiter S = T (sin IX oo ' ist mit

S = t(!Cn(Cu2 - cUl)(sin IX oo

wegen cn(sin IX oo = Coo unter Beachtung von GI. 5.10(3) auch

S = (!Coor. 5.10(14)

Dies ist der Satz von Kutta-Joukowski, der sich hier für das Schaufelgitter in sehr einfacher Weise ergibt und allerdings nur für die reibungsfreie Strömung strenge Gültigkeit besitzt.

Da im reibungsfreien Fall Sauf Coo senkrecht steht, also keine Komponente in Richtung coo besitzt, muß eine in Wirklichkeit gleichwohl auftretende Komponente in Richtung Coo

Abb. 5.10.6 Auftrieb A und Widerstand W. a) Beschleunigungsgitter, b) Verzögerungsgitter.


auf die Reibung zurückgeführt werden. Dies führt dazu, die im reibungsbehafteten Falle auftretende Schaufelkraft S zu zerlegen in eine Komponente A senkrecht auf Coo (Auftrieb) und eine Komponente W in Richtung Coo (Widerstand). Dieses Vorgehen entspricht demjenigen in der Theorie des Tragflügels, aus der auch die in diesem Zusammenhang an sich nicht ganz sinnvolle Benennung "Auftrieb" entlehnt ist. Abb. 5.10.6 zeigt diese Kräftezerlegung im Falle des Beschleunigungsgitters (Druckabfall) und des Verzögerungsgitters (Druckanstieg). Ebenfalls im Sinne der Tragflügeltheorie führt man den Auftriebsbeiwert Ca und den Widerstandsbeiwert Cw ein durch folgende Definitionsgleichungen

A Ca = --, 5.10(15)

~C2 s 2 00

w Cw=--'

~C2 S 2 00

5.10(16)

wobei s die Sehnenlänge des Schaufelprofils ist. Unter der Gleitzahle versteht ma.n die Größe

5.10(17)

Je kleiner sie ist, desto günstiger das Gitter, denn für den reibungsfreien Grenzfall wird e = O.

Bei den Doppelvorzeichen in den nachfolgenden Gleichungen gilt stets das obere für das Beschleunigungsgitter, das untere für das Verzögerungsgitter. Gemäß Abb. 5.10.6 ist die Normalkomponente

N = A cos 1X 00 ± W sin 1X 00 = ~ C~8(Ca cos 1X 00 ± Cw sin IX",,).

Beachtet man N = t ,1p, so folgt mit GI. 5.10(17)

A _e2 8 ( ±. ) ap - '2 coo t Ca COS IX 00 e sm 1X 00 •

Ebenso ist

T = A sin IX 00 =f W cos 1X 00 = ~ C~8Ca (sin IX"" =f e cos IX (0) ,

nach GI. 5.10(9) aber auch

T = teCn(ClI2 - Cll l) = tecoo sin IX 00 ,1clI ,

ACII

so daß durch die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für T folgt

LlclI Ca 8 1 ) -=--( =fecotlX . Coo 2 t 00

5.10(18)

5.10(19)

Die Gln. 5.10(18) und (19) erlauben die Berechnung der Druckumsetzung und der Ablenkung in einem Gitter, wenn für das Profil in der gegebenen Gitteranordnung Ca und e (oder cw' was dasselbe bedeutet) bekannt sind. Damit ist auch die Energiedissipation bekannt, wie sogleich aufgezeigt werden soll. Allerdings wurde bei der gesamten Betrachtung die Reibung an den Seitenwänden nicht beachtet. Die überlegungen gelten also streng genommen nur für einen mittleren Ausschnitt aus einem Gitter, der von den heiden Begrenzungswänden weit entfernt ist. Wir erhalten demgemäß nur den Profilverlust ohne alle Randeffekte. Der Zusammenhang zwischen e und den Radwirkungsgraden sei am Beispiel des Verzögerungsgittersaufgezeigt, für das die Anwendung der Tragflügeltheorie im thermi-schen Turbomaschinenbau am ehesten in Frage kommt. Ist nD = 1 - CD der Diffusorwirkungsgrad eines verzögernden Schaufelkranzes, so läßt sich dieser Wert in gleicher

5.10 Gerades Schaufelgitter, Tragflügeltheorie 219

Weise durch Integration über die Stufenelemente gewinnen, wie unter 5.7 für das Beispiel der beschleunigten Strömung dargestellt ist, d.h. es ist analog zu GI. 5.7(24) und (25)

1 (C)2 1 (C \2 'tD = f 'D _1 d'P = f 'Dp _11 d'P + 'Drest. o Cl 0 Cl J

5.10(20)

Hier kennzeichnet 'np den reinen Profilverlust in der von Randgebieten ungestörten Strömung, und es ist dieser, der mit e in Verbindung zu bringen ist. In einer solchen Strömung ist unter Voraussetzung der Inkompressibilität

5.10(21)

woraus )- _ r,i - r,~ - 2!Jp/1! snp - 2 •

Cl 5.10(22)

Hier ersetzt man !Jp durch den Ausdruck GI. 5.10(18) und beachtet, daß ci - r,~ = C~l - C~2 und ci = C~l + c~, worauf man findet

, _ C~l - C~2 - C~(8/t) ca(cos IX 00 - e sin IX 00) np - c2 + c2 .

u1 'n

Weiter lassen sich die geometrischen Relationen

2 ( IfCu)2 ('u1 = C oo COS IX oo + 2 '

2 ? C" = c~ sln IX 00

einsetzen und schließlich noch Llcu durch GI. 5.10(19) ausdrücken. Dann geht die Gleichung über in

2e(Llculc oo ) 'np=~~--~------~77--~~~~------~~-=--~

(sin IX oo + e cos IX 00) [1 + (Llcu/c oo ) cos IX 00 + (!Jcu/2c oo )2]' 5.10(23)

Die Auflösung nach e liefert

'np sin IX oo[l + Llcu/c co ) cos IX co + (Llcu/2c oo)2] e = ~~~~~--~--~~~~~--=-~~~~~~~=-

(!Jcu/c oo ) (2 - 'np cos2 IX oo ) - 'np cos IX 00[1 + (!Jcu /2c oo)lI] 5.10(24)

Das gleiche Verfahren, auf das Beschleunigungsgitter angewandt, gibt folgenden Zusammenhang zwischen e und 'p

. 2e(Llcu /c ool !;p = [1 + (Llcuj2c oo)lI] (sin IX co - e cos IX 00) + (Llcu/c oo ) [sin IXooCOS (x 00 + e(l + sin2 (x 00)]'

5.10(25)

'p[l + (!Jcu/c oo ) cos (xco + (!Jc,,/2c oo )2] sin (X 00 e= ~--~~~---7~~~~~~--~~~--~~~~~77~~~~----

(Llcujc oo ) [2(1 - 'p) sin2 (X co + (2 - 'p) cos2 (X 00] + 'p[l + (!Jcu/2c oo )2] COS (X"" •

5.10(26)

Die Situation ist zusammengefaßt die folgende. Kennt man für ein Gitter Ca und e in Funktion von (xoo' so kennt man in Funktion von IX"" nach GI. 5.10(19) !Jcu/c oo - folglich IX I und (xz - und aus GI. 5.10(18) auch den Druckumsatz, womit implizite auch der Verlust gegeben ist. Somit hat man also die vollständige Information über Ablenkungseigenschaften und Profilverluste des Gitters. Das gleiche sagt man aus, wenn man den Abströmwinkel IXa und die Profilverlustzahl in Funktion von (Xl angibt. Beides sind nur formal verschiedene Darstellungen für einunddasselbe, und der Übergang von der einen Darstellung in die andere ist jederzeit möglich, wie die Gln. 5.10(23) -(26) zeigen. Die als Tragflügeltheorie bekannte Darstellung, die von Ca und e ausgeht, enthält keinerlei zusätzliche physikalische Information; einen wesentlichen Vorteil bietet sie dort, wo man sich über Ca und e leicht Unterlagen beschaffen kann.


Dies ist vorab der Fall bei Gittern mit sehr großem Teilungsverhältnis, etwa tls ~ 3, denn dann kann man für Tragflügelprofile Ca und e aus Profilbüchern entnehmen (etwa [12]). Dieses Vorgehen hat Bauersfeld [13], auf den diese Methode zurückgeht, vorgeschwebt, und sie ist z. B. von Keller [4] mit Erfolg auf propellerartige einstufige Axialgebläse angewandt worden. Rücken aber die Schaufeln enger zusammen, so beeinflussen sie einander gegenseitig so stark, daß man die Werte für Einzelflügel nicht mehr verwenden kann. Die Tragflügeltheorie in ihrer Urform ist dann nur noch auf Axialverdichterschaufelungen in beschränktem Umfang anwendbar, da man hier die Größenordnung von Cw und damit 8 einigermaßen gut zum voraus abschätzen kann (etwa 0,01 bis 0,02) und auch weiß, daß günstig ausgelegte Axialverdichtergitter im subsonischen Bereich ca-Werte von der Größenordnung 1 haben müssen. Damit liefert Gl.5.10(19) das zweckmäßige Teilungsverhältnis slt. Man pflegt dann allerdings vorteilhafter mit dem Zirkulationskoeffizienten Cr zu rechnen, der durch

LI Ca Cr 8

C:="2T 5.10(27)

implizite definiert ist und in seiner Größe von ca nur sehr wenig abweicht. - In gewissem Sinne eine Verallgemeinerung des Tragflügelformalismus schlagen Bidard [14] und Seippe1 [15] vor, was unter 5.11 dargestellt ist.

Daß hier Inkompressibilität vorausgesetzt wurde, schränkt die Anwendbarkeit der Theorie nicht so stark ein, wie man zunächst annehmen könnte. Ist die Dichteänderung mir gering, was sehr häufig zutrifft, und bildet man das Gitter so aus, daß eA = e212 womit Cnl = Cn2 = Cn , so ist die angegebene Form der Theorie mit hinreichender Näherung anwendbar.

5.11 Verallgemeinerte Tragflügeltheorie des Sehaufelgitters

Die Tatsache, daß sich e bei Gittern aus tragflügelartigen Schaufeln bei günstiger Auslegung in verhältnismäßig engen Grenzen bewegt, legte den Gedanken nahe, die Tragflügeltheorie so zu verallgemeinern, daß sie auch auf Gitter anderer Gestalt anwendbar wird. Zunächst werde ein Gitter bei ebener Strömung und Inkompressibilität betrachtet. Abb. 5.11.1 stellt die Geschwindigkeiten und die Komponenten der Schaufelkraft S dar. Der Abfall des Totaldruckes ist

AO_A e(2 2) LJP - LJP - 2" Cz - Cl ,

I I

I I I I ---t----i I I

~i·------~cu-------~I

Abb.5.11.1 Geschwindigkeiten und Kräfte an einem Beschleunigungsgitter.

wo Llp die statische Druckabsenkung bedeutet. Nun gilt aber mit t als Teilung

~ (c~ - c~) = ~ (c2 + Cl) (cz - Cl) = eCaoo Llc" = eCn Llc" cot lX 00 ,

N T coty Llp = - = --- = eCnLlc"coty, t t

5.11(1)

5.11(2)

5.11(3)

5.11 Verallgemeinerte Tragflügeltheorie des Schaufelgitters 221

wobei in der letzten Gleichung T durch den Impulssatz ausgedrückt ist. Damit kann GI. 5.11(1) in der folgenden Form geschrieben werden:

Llpo -- = Cn Llc,,(cot Y - cot 1X 00} = Cn Llc,,[cot (1X 00 - e) - cot IX 00] •

e Da e ein sehr kleiner Winkel ist, kann dieser trigonometrische Ausdruck unter Verwendung bekannter Umformungen mit großer Genauigkeit durch ejsinS 1X00 wiedergegeben werden, also

LlpO Cn Llc" -=8---. e sinS IX 00

5.11(4)

Nach dem Vorschlag von Seippel [15] wird nun diese Gleichung, die für ein ganzes Gitter hergeleitet wurde, sinngemäß angewandt auf einen unendlich schmalen Streifen aus einem Gitter mit stark gekrümmten Schaufeln, Abb. 5.11.2. Die in diesem elementaren Streifen erscheinenden Schaufelabschnitte bilden also gewissermaßen ein elementares Gitter, in dem eine Totaldruckänderung dpo auftritt. Die entsprechende dissipierte Energie ist

dpo dhd = --,

e

Abb. 5.11.2 Gitter aus unendlich dünnen Schaufeln; zur Herleitung der mittle

ren Gleitzahl.

was sich nach GI. 5.11(4) schreiben läßt

dh _ endc" d - e sins IX'

5.11(5)

5.11(6)

Hier darf 1X 00 durch IX ersetzt werden, weil ja das Elementargitter eine unendlich kleine Ablenkung erzeugt. Mit

. c~ sln2 1X =---

c~ + c~ 5.11(7)

schreibt sich dies auch

5.11(8)

Diese Gleichung soll nun für das ganze Gitter integriert werden. Dabei darf e durch einen konstanten Mittelwert, die sog. mittlere Gleitzahl ersetzt werden. Einschneidend ist indessen die vereinfachende Annahme, daß auch Cn als konstant betrachtet werden dürfe. Das Gitter muß also nicht nur so gestaltet sein, daß die Variation seiner senkrecht zur Bildebene gemessenen Höhe gerade die (als klein vorauszusetzende) Dichteänderung ausgleicht, sondern die Schaufeln müssen auch, wie in Abb. 5.11.2 angedeutet, eine verschwindend kleine Dicke haben. Nur dann ist das als Mittelwert über die Teilung zu betrachtende Cn konstant.


Unter dieser Voraussetzung ist Cu die einzige variable Größe in GI. 5.11(8), und zwar variiert sie zwischen den Grenzen Cul und Cu2 ' die gegeben sind durch

Damit wird ~ A A2

Ah - I'- J ( 2 2 d _ LJCu ( 2 2 LJCu ) LJd - - Cn + Cu) Cu - I'- - Cuoo + Cn + 12 .

Cn cul Cn

Wenn man mit Bidard [14] die Gitterkennzahlen

C rn-~,

Llcu

einführt, so läßt sich diese Gleichung in der Form

Llhd I'- (2 2 1 ) Llc~ = n rn + n + 12

5.11(9)

5.11(10)

5.11(11)

5.11(12)

schreiben. Unter der Voraussetzung einer konstanten Normalkomponente Cn , die der Herleitung zugrunde liegt, sind rn und n unmittelbar durch die Zu- und Abströmwinkel IXI und IX2 gegeben. Es ist leicht aufzuzeigen, daß

1 1 sin2 IXI - sin2 IX2 rn= ,

2(cot IXI + cot IX2)2

5.11(13)

1 n=-------------cot IXI + cot IX2

5.11(14)

Abb. 5.11.3 veranschaulicht den Zusammenhang graphisch. Gibt man sich rn und n, so hat man im gezeigten Koordinatensystem nur den Punkt A mit den Koordinaten rn und n zu verbinden mit den Punkten PI und P 2 der Ordinatenachse und erhält die zugehörigen IXI und IX2•

m Beschleunigungsgitter

Verzögerungsgiller

Abb. 5.11.3 Zusammenhang zwischen den Winkeln C<l und C<2 und den Bidard·

sehen Gitterkennzahlen mund n.

Gemäß GI. 5.11(5) ist dhd identisch mit T ds, somit also Llha das Integral dieses Ausdrucks. Ebensogut läßt sich aber auch die Definition von I'- so auffassen, daß Llhd die resultierend dissipierte Energie·, d.h. der Unterschied zwischen der isentropen und der effektiven Enthalpiedifferenz wird. Da dieser ganze Formalismus ohnehin vor allem für Gitter mit kleiner relativer Druckänderung in Frage kommt, wird der numerische Unterschied zwischen den beiden Definitionsweisen verschwindend klein, und die letztere hat den Vor-

5.11 Verallgemeinerte Tragflügeltheorie des Schaufelgitters 223

teil, daß der Zusammenhang mit der Gitterverlustzahl Cp leicht herstellbar wird, denn es ist dann

Ah Cp c~ LJ d = 1 _ Cp "2'

Wenn man diesen Ausdruck in Gi. 5.11(12) einsetzt, folgt aus jener Gleichung

~ = 2L1~~ ~(m2 + n2 +.!) 1 - Cp c2 n 12

und mit L1c~ 1

c~ = n2 + (m + ~ r auch

Setzt man

so ist demnach

e = 1 ~ CpA ,

A ist in Abb. 5.11.4 dargestellt.

1,0

y ~~ ~

0,9

0,8

0,7

jj l//

Abb. 5.11.4 Funktion Azur Herstellung des Zusammenhanges zwischen der mitt· leren Gleitzahl.und der Gitterverlustzahl.

0.1,

0,3

0,2

0,1

o

f 6

0'

~ ,/

L'- ........ ,-

A. --J. ~ ~ :.--

/l

30' 60'

w /

V I 1/ /j / / ./

,/

,-

f--

90' !X1-

/ / I / 1/ /

1,0' I 3S' /

I 30'

/ V 2S'/

.A" V I

20' Y

I "'2; IS:"-

120'

5.11(15)

5.11(16)

5.11(17)

I I I

I il

/ 11

~ I--

--;;/-

ISO'


Die Verwendung von e an Stelle von Cp hat den Vorteil, daß sich e im Gegensatz zu Cp

auch für Gitter verschiedensten Typs in verhältnismäßig engen Grenzen bewegt. Für günstig ausgelegte Turbinengitter liegt es etwa zwischen 0,01 und 0,02. Allerdings ist eine gewisse systematische Abhängigkeit vom Gittertyp durchaus vorhanden. So wird e größer, wenn der Abströmwinkel "'2 kleiner wird und ebenso wirkt sich ein kleiner Zuströmwinkel "'1 (also scharfe Ablenkung) ungünstig aus. Beides hängt damit zusammen, daß bei der Entwicklung der Theorie die endliche Profildicke vernachlässigt wurde. Sie macht sich naheliegenderweise bei flachem Abströmwinkel und bei scharfer Ablenkung besonders stark bemerkbar (Gleichdruckgitter müssen z.B. eine erhebliche Dicke besitzen, soll der Schaufelkanal nicht örtlich stark divergieren). Daher wird das Integral in GI. 5.11(10) zu klein, was durch einen entsprechend größeren e-Wert auszugleichen ist.

Bei der Herleitung wurde von der Vorstellung ausgegangen, daß eine ebene Gitterströmung vorliege und die Gleitzahl nur den reinen Profilwiderstand kennzeichne. Man kann aber die mittlere Gleitzahl eines Leit- und Laufradelementes auch so auffassen, daß die Rückwirkungen der angrenzenden Stufenelemente eingeschlossen sind, vgI. die Ausführungen unter 5.7, und man kann den integralen Mittelwert über einen ganzen Schaufelkranz bilden. Analog zu den GIn. 5.7(24) und (25) ist dann

e = fe = dlJl = f ep = dlJl + erest· _ 1 (LlCu)2 1 (LlCu)2

o LI Cu 0 LlclI

5.11(18)

Hier bezieht sich Llcu auf den Eulerradius, ep kennzeichnet den Profilverlust allein, wie bei der Herleitung angenommen, e umfaßt die gegenseitigen Rückwirkungen der Stufenelemente, erest entspricht den Restverlusten und e ist der integrale Mittelwert.

Wenn GI. 5.11(10) auf ein Normalstufenelement (vgI. 5.9) angewandt wird, erhält man wegen Wn = Cn , Llwu = Llcu die gesamte Energiedissipation

Llh' + Llh" = Llc" [e' (c2 + c2 + LlC~) + e" (w2 + c2 + LlC~)] 5.11(19) 11 11 Cn uco n 12 uco n 12 .

Nun ist aber bei mäßigem Stufengefälle

5.11(20)

Wenn man folglich GI. 5.11(19) durch u Llcu dividiert, GI. 5.8(44) und die Ausführungen unter 5.9 über rk beachtet, geht GI. 5.11(19) in die folgende Form über

1 - 1},a ~ 1 - 1}pa = ~ [e'(l _ rä! + e"r~ + (e' + e") (O~ + A2 )J. 'IJ,a 'lJpa On 12

5.11(21)

Formuliert man diese Gleichung für den Eulerradius und setzt für e' und e" die nach 5.11(18) gebildeten Mittelwerte ein, so erhält man (1 - 'lJ8a)!'lJ8a der ganzen Stufe.

Abb. 5.11.5 zeigt das Ergebnis einer systematischen Auswertung dieser Gleichung unter der Annahme e' = e" = 0,025 (Restverluste eingeschlossen). Gegenüber Abb. 5.9.3 fällt auf, daß bei konstant gehaltenen e der Einfluß von On sogar umgekehrt ist wie bei konstant gehaltenen Radwirkungsgraden, d.h. hohe On erscheinen günstig. Auch hier ist aber zu beachten, daß die Schaufelgeometrie in komplizierter Weise die Restverluste beeinflußt, die in die E eingehen, so daß diese entsprechend variieren werden. Für schlanke Schaufeln, wo die Restverluste klein werden, gibt das Bild aber einen recht zutreffenden Anhaltspunkt.

Der Vorteil dieser verallgemeinerten Tragflügelthorie gegenüber der Darstellung, die mit Radwirkungsgraden arbeitet, besteht darin, daß die Geometrie der Schaufelung von vorn herein summarisch in die Theorie eingeht, was sich darin äußert, daß die maßgebende Verlustzahl - die mittlere Gleitzahl - nur in einem verhältnismäßig engen Bereich variiert. Dem steht der Nachteil gegenüber, daß die Theorie in strenger Weise nur anwendbar ist unter der Voraussetzung genau axialer Durchströmung und gleicher Durchtrittsgeschwindigkeit vor und nach jedem Schaufelkranz.

5.12 Grundsätzliches über die Wirkungsweise der Turbomaschinen 225

Die Theorie ist an sich auch auf den Axialverdichter übertragbar, wobei an die Stelle der GI. 5.11(21) die Beziehung

tritt.

0,96

t 0,94

J0,9Z

" " ~ 0,90

0,96

t 0,94

JO,9Z

" " ~ 0.90

0.96

t 0,94

J0,9Z

0,90

r---.""

V; V

t7

V V t7

/

V

V 1/ o

Turbine

~ °i ~ V ......

.,-

f<D.'4 V V ~[n =0,3

1

o.~ ~ V

V V V

V V 0,4 L

/ ~[n~0.3

~ -- I-

~ /' ~ ~ ./

./ v O,Z

5.11(22)

Verdichter

A=7,O 0,6 A= 0.30

:::--100 ~ ,

~- ~ ~::--r--- 0,8 --"" ~ 1.0 --r---. ~

~ [n = 0.4 ~

A= 7,5 f!J.

A= 0.45 t--:=

............ ~

p-- - ES:: t--... r--- 0.8

~ ~ 1.0 t--.. ..............

1'--. [,,=0,4"' ~ r----.. 1'-.

"

A=2,O 0,6

A= 0.60 r---

- t--

I- ~ ;;;;;-- t::-.... r--- 0,8

~ ~ 1,0 -r---~ ~

............ [,,= 0.4"', - .......... [n =0.3

"I'--~ 0,6 0,8 0.4 0.6 0.8 1,0

Abb.5.11.5 Aerodynamischer Wirkungsgrad eines Repetierstufenelementes in Funktion von Tk, On und ). für eine feste mittlere Gleitzahl von e = 0,025.

5.12 Grundsätzliches über die Wirkungsweise der Turbomaschinen Die folgenden Ausführungen mägen die Grundlagen der Turbomaschinentheorie noch

besser klären. Wir gehen aus von folgender Fragestellung, Bei einem Turbinenrad ist die Absolutgeschwindigkeit c2 am Austritt aus dem Laufrad kleiner als die Absolutgeschwin-


digkeit Cl am Eintritt in dasselbe. - Das Schwerefeld können wir im Falle der thermischen Turbomaschinen vernachlässigen, wie das auch bisher stillschweigend geschehen ist. Auch können wir für die grundsätzlichen Überlegungen dieses Abschnittes von der Reibung absehen. - Betrachten wir jetzt die Ab80lutströmung durch unser Laufrad, so liegt eine verzögerte Strömung (denn es ist Cz < Cl!) eines reibungsfreien Mediums im feldfreien Raum vor. Für eine solche Strömung wäre doch ein Druckanstieg zu erwarten. Wie kommt es also, daß doch Ps ~ PI erhalten wird 1

Die Turbomaschinentheorie umfährt diese begriffliche Schwierigkeit, indem sie die Relativströmung durch das Laufrad betrachtet. Für diese wird im Falle der Turbine Wa ~ wl und somit Pa < PI' Die Absolutströmung wird überhaupt nicht direkt berechnet, sondern nur kinematisch aus der Relativströmung erschlossen. Dieses Vorgehen ist selbstverständlich zweckmäßig, aber es verdeckt das oben angedeutete begriffliche Problem. Um zu einel tieferen Einsicht in die Zusammenhänge zu gelangen, betrachten wir eine Turbinenschaufelung, bei der Leit- und Laufrad aus einer sehr großen Zahl sehr dicht stehender Schaufeln bestehen (s. Abb. 5.12.1). Diese Schaufeln üben in jedem ihrer Punkte

Abb. 5.12.1 Turbinenschaufelung mit sehr dicht stehenden Schaufeln.

Kräfte auf das strömende Mittel aus, und zwar müssen diese bei fehlender Reibung senkrecht auf der örtlichen Richtung des Schaufelblattes stehen. Nun denken wir uns die Anzahl der Schaufeln nach Unendlich strebend. Dabei werden die Kräfte an der einzelnen Schaufel immer kleiner, und man nähert sich schließlich einem Grenzfall, wo die Kräfte im Raume stetig verteilt sind. Im Grenzfall werden daher Leit- und Laufrad gewissen Kraftfeldern äquivalent.

Nun betrachten wir die Bahnkurve b eines Teilchens (im ruhenden Koordinatensystem). Längs dieses Weges durchquert das Teilchen die beiden Kraftfelder, die Leit- und Laufrad entsprechen. Da aber die Richtung der Feldkraft in jedem Punkt senkrecht auf der Richtung der Schaufelfläche steht, stehen die Leitradfeldkräfte F' auch in jedem Punkt senkrecht auf der Bahnkurve des Teilchens. Somit wird das Teilchen bei der Durchquerung des Leitradgebietes weder Arbeit gegen das Feld leisten müssen noch solche von ihm empfangen. Anders liegen die Verhältnisse im Laufrad. Dort sind die Richtung der ab80luten Bahnkurve b und die Richtung der Schaufelblätter verschieden, weil sich jene mit der Umfangsgeschwindigkeit u bewegen. Die Richtung der Laufradfeldkraft F" steht wohl auf der Richtung der Schaufelblätter, nicht aber auch der Richtung von b senkrecht. Die Tangentialkomponente von F" zur Bahnkurve ist der Bewegungsrichtung des Teilchens entgegengesetzt, so daß dieses Arbeit gegen das Kraftfeld leisten muß. Dies ist die Arbeitsabgabe des Teilchens an das Laufrad. Die für stationäre, reibungsfreie Strömung längs jeder Bahnkurve geltende GI. 3.2(31) darf also im Falle des Laufrades nicht für den feldfreien Raum angeschrieben werden, sondern es ist die Arbeit aF des Kraftfeldes in der Gleichung beizubehalten. Bis Austritt Laufrad hat diese Arbeit die Größe -aa angenom-


men, so daß sich GI. 3.2(31) schreibt

5.12(1)

Die Abnahme der Totalenthalpie beim Durchtritt durch das Laufrad wird hier also korrekt erhalten. - Die ganze Überlegung überträgt sich natürlich mit entsprechender Vorzeichenumkehr auf den Verdichter.

Der Ersatz der Schaufelungen durch Kraftfelder erweist sich für gewisse theoretische Probleme als fruchtbar. Die Beantwortung der eingangs gestellten Frage ist damit aber noch nicht völlig befriedigend, denn wir arbeiten ja in Wirklichkeit mit endlichen Schaufelzahlen und nicht mit Kraftfeldern. Es muß offenbar möglich sein, den Arbeitsumsatz in der Turbomaschine - d. h. die Änderung der Totalenthalpie beim Durchtritt durch das Laufrad - zu verstehen, auch wenn wir die endliche Schaufelzahl beibehalten und die Betrachtung im ruhenden Koordinatensystem durchführen. In der Tat ist dies möglich, sobald wir beachten, daß von einem ruhenden Beobachter aus gesehen die Laufradströmung instationären Charakter aufweist. In einem festen Punkt des Raumes innerhalb des Laufrades werden in zeitlicher Folge immer wieder andere Zustände herrschen. Gegenüber dem Laufrad bewegt. sich ein im Raume fester Punkt längs g (Abb. 5.12.2), mit der Ge-

Abb. 5.12.2 Druckverlauf von Schaufel zu Schaufel in Umfangsrichtung.

a) Turbine; b) Verdichter.

a

u-

b

schwindigkeit u von links nach rechts. Da nun der Druck am Schaufelrücken stets kleiner ist als an der Inneneite der Schaufel, herrscht von einem ruhenden Beobachter aus gesehen ein zeitliches Abfallen des Druckes im Falle der Turbine und ein zeitliches Ansteigen im Falle des Verdichters, wie die p-Kurven in Abb. 5.12.2a und b erkennen lassen. Es gilt daher im wesentlichen im ganzen Laufradraum

:f < 0 für Turbine, :f> 0 für Verdichter.

Nun greifen wir zurück auf GI. 3.2(6), die für jede Strömung längs der Bahnkurve eines Teilchens gilt. Wir wenden sie an auf die absolute Bahnkurve eines durch das Laufrad strömenden Teilchens. Dabei ist es jetzt wieder korrekt, den Strömungsraum als feldfrei zu betrachten, und da wir von Reibung und allfälliger Wärmeübertragung absehen, bleibt von GI. 3.2(6)

d (h + C2) = 1. 8p dO' .

2 e 8t c 5.12(2)

wobei dO' das Bahnelement ist. Das Differential d(h + c2/2) ist die Änderung der Totalenthalpie, die das Teilchen erfährt, wenn es in der Zeit dt um das Wegstück dO' = c dt

228 5. Elementare Theorien der Stufe

weiterschreitet. Nach dem, was oben über das Vorzeichen von 8p/at gesagt wurde, nimmt folglich die Totalenthalpie beim Durchtritt durch das Laufrad im Falle der Turbine ab, im Falle des Verdichters zu. Damit ist die strenge Antwort auf die eingangs gestellte Frage gefunden.

Im Falle der nicht rein axial durchströmten Maschine tritt infolge des Überganges auf das rotierende Koordinatensystem eine weitere Frage hinzu, die noch der Klärung bedarf. Betra.chten wir als Beispiel den Radialverdichter. Für sein Laufrad gilt GI. 5.3(6), die wir hier, weil der Einfachheit halber reibungsfrei gerechnet wird, in der Form

1 Llh~' = -(wr - w~ + u~ - u~) 2

5.12(3)

schreiben. Hiernach hilft also das Fliehkraftfeld bei der Verdichtung mit, denn der Anteil u~ - u~ stellt ja gerade diesen Beitrag dar. Nun ist nicht ohne weiteres klar, wie man mit einem Fliehkraftfeld verdichten kann, da dieses Feld doch nur eingeführt werden muß, wenn wir im rotierenden Koordinatensystem arbeiten. Im ruhenden Koordinatensystem fehlt es, und es stellt sich die Frage, wie dann dieser Effekt der Verdichtung verstanden werden kann.

Abb.5.12.3 BahnkurvebeinesTeilchens und an ihm angreifende Druckkräfte im

Radialverdichterlaufraa..

Um dies zu untersuchen, betrachten wir ein Radialverdichterlaufrad, Abb. 5.12.3, dessen Ein- und Austrittsquerschnitte so bemessen sein sollen, daß Wa = Wv was durch entsprechende Wahl der Radbreiten bl und ba senkrecht zur Bildebene stets möglich ist. Dann ist nach GI. 5.12(3)

Ah" 1 (2 2) LI 8 = '2 U2 - Ul , 5.12( 4)

so daß wir den zu untersuchenden Effekt in reiner Form vor uns haben. Nun sei wiederum b die Bahnkurve eines Teilchens im ruhenden Koordinatensystem. Sie muß die angegebene Gestalt haben, denn am Laufradaustritt hat sie sicher die Richtung von ca' die aus Wa und Ua bestimmt ist. Damit das Teilchen tatsächlich auf dieser Bahn sich bewegt, müssen Kräfte auf es ausgeübt werden, denn erstens ist es längs des Weges von Cl auf Ca zu beschleunigen und zweitens ist es entsprechend der Bahnkrümmung abzulenken. Diese Kräfte können aber nur vom Druckfeld ausgeübt werden, da Feldkräfte nicht bestehen. P stellt die vom


Druckfeld auf das Teilchen ausgeübte Kraft dar. Sie ist nach der konkaven Seite von b gerichtet, hat aber auch eine Komponente in Bewegungsrichtung des Teilchens, da dieses ja zu beschleunigen ist. P kann zerlegt werden in eine Tangentialkomponente Pt und eine Radialkomponente Pr. Diese Radialkomponente besagt aber, daß der Druck im Rade von innen nach außen zunehmen muß. Hat also die Bahnkurve die Gestalt b, was man durch geeignete Wahl der Durchflußmenge (also Cl)' der Winkelgeschwindigkeit w und der Radgestalt erzwingen kann, so baut sich aus dynamischen Gründen im Rade ein Druckfeld auf, bei dem p außen größer ist als innen.

Das Vorhandensein der Komponente Pt besagt zudem, daß in der einzelnen Zelle des Rades der Druck in der Bewegungsrichtung des Rades abnimmt. Die dadurch an den Schaufelflächen entstehenden Druckdifferenzen (beidseitig der Fläche) bestimmen den Arbeitsaufwand zum Antrieb des Rades. Übrigens ist damit wieder der instationäre Charakter der absoluten Laufradströmung aufgedeckt, womit GI. 5.12(2) die exakte Begründung des Anstieges der Totalenthalpie und somit des Druckes beim Durchströmen des Laufrades liefert.

Auch hier ist es natürlich möglich, zu unendlich großer Schaufelzahl überzugehen und das Laufrad gedanklich durch ein Kraftfeld zu ersetzen. Da die Feldkraft überall senkrecht auf der Richtung der Schaufelfläche steht, besitzt sie eine radial nach außen gerichtete Komponente und bewirkt so die Verdichtung.

Für das Verständnis der energetischen Zusammenhänge beachte man noch das folgende: Bei der Herleitung der grundlegenden Relationen, wurde die Energiegleichung auf die relative Laufradströmung stets nur angewandt, um die Änderung der statischen Enthalpie zu bestimmen. Die statische Enthalpie ist aber eine Invariante gegen Koordinatentransformation. Hat man also für die Enthalpie auf irgendeinem Wege - z.B. durch eine im mitrotierenden Koordinatensystem durchgeführte Betrachtung - einen korrekten Ausdruck gefunden, so kann man diesen in jedem Zusammenhang weiterverwenden. Man kann daher jederzeit die Ausdrücke für die Änderungen der statischen Enthalpie in Leit- und Laufrad addieren, gleichgültig in welchen Koordinatensystemen sie berechnet wurden. Sobald man aber nach dem Arbeitsumsatz in einer Strömungsmaschine fragt, muß die Betrachtung im ruhenden Koordinatensystem durchgeführt werden. In der Tat ist die ganze Energiebilanz irgendeines Vorganges abhängig vom Koordinatensystem, in dem die Untersuchung durchgeführt wird (so haben z. B. die kinetischen Energien im bewegten und ruhenden Koordinatensystem verschiedene Beträge). - Die Herleitung der Eulersehen Momentengleichung ist in den beiden verschiedenen Weisen tatsächlich im ruhenden Koordinatensystem erfolgt.

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Thermische Turbomaschinen || Elementare Theorien der Stufe

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