Thermodynamik von Strömungsmaschinen

download Thermodynamik von Strömungsmaschinen

of 49

Transcript of Thermodynamik von Strömungsmaschinen

SKRIPT

zur Vorlesung

THERMODYNAMIK VON STRMUNGSMASCHINEN

Version 0.0.1

INHALTSVERZSICHNIS

i

INHALTSVERZEICHNIS

GRUNDBEGRIFFE ................................................................ ............................................... 1 THERMODYNAMISCHE GRUNDBEGRIFFE ................................ ................................ ............... 1

1.1 THERMISCHE ZUSTANDSGREN ................................................................................... 3

1.1.1 Volumen V ................................................................................................................ 3 1.1.2 Druck p..................................................................................................................... 3 1.1.3 Temperatur T............................................................................................................ 5

1.2 ALLGEMEINE ZUSTANDSGLEICHUNG IDEALER GASE ............................................................ 61.2.1 Das Gasgesetz von Gay-Lussac ................................................................................. 6 1.2.2 Das Gesetz von Boyle-Mariotte.................................................................................. 7 1.2.3 Zustandsgleichung idealer Gase ................................................................................ 7 1.2.4 Kinetische Energie idealer Gase ................................................................................. 9

1.3 PROZESSGREN WRME UND ARBEIT .......................................................................... 10

1.3.1 Wrme .................................................................................................................... 10 1.3.2 Mechanische Arbeit ................................................................................................. 11 1.4.1 Innere Energie......................................................................................................... 12 1.4.2 Enthalpie................................................................................................................. 13 1.4.3 Entropie .................................................................................................................. 14

1.4 KALORISCHE ZUSTANDSGREN ................................................................................. 12

1.5 ZUSTANDSNDERUNGEN IDEALER GASE ........................................................................ 141.5.1 Isochore Zustandsnderung .................................................................................... 15 1.5.2 Isobare Zustandsnderung ...................................................................................... 16 1.5.3 Isotherme Zustandsnderung .................................................................................. 18 1.5.4 Adiabate Zustandsnderung .................................................................................... 19

1.6 KREISPROZESSE....................................................................................................... 22

1.6.1 Carnot-Prozess ....................................................................................................... 22 1.6.2 Stirling-Prozess ...................................................................................................... 25 1.6.3 Ericsson-Prozess..................................................................................................... 27

1.7 GLEICHDRUCKPROZESS ............................................................................................. 30........................................ 2 GRUNDLAGEN DER STRMUNGSMECHANIK ................................ ................................ ........ 31 STRMUNGSMECHANIK ................................................................

2.1 KONTINUITTSGLEICHUNG (MASSENERHALTUNG)............................................................ 31 2.2 BERNOULLI-GLEICHNUNG (ENERGIEERHALTUNG)............................................................. 322.2.1 Magnus-Effekt ........................................................................................................ 34

2.3 AUFTRIEB AN UMSTRMTEN KRPERN .......................................................................... 34.................................................................................................................... 3 GASTURBINE................................................................ ................................ .................... 37 GASTURBINE ................................ ................................................................

3.1 AUFBAU UND WIRKUNGSWEISE.................................................................................... 37 3.2 OFFENE GASTURBINE ............................................................................................... 39 3.3 GASTURBINE MIT WRMETAUSCHER ............................................................................. 41................................................................................................................ ................................................................ 4 VERBRENNUNG ................................ ................................ ................................ ................ 43

4.1 HEIZWERT (VERBRENNUNGSWRME)............................................................................. 43 4.2 VERBRENNUNGSGLEICHUNGEN .................................................................................... 44LITERATUR ......................................................................................................................... 47 ......................................................................................................................... ................................ ................................

1.Thermodynamische Grundbegriffe

1

1 Thermodynamische GrundbegriffeDie Thermodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, welches die Zustnde und deren nderungen infolge der Wechselwirkungen mit der Umgebung von makroskopischen Systemen durch eine geringe Anzahl von Variablen, wie z.B. Druck oder Temperatur, beschreibt.

Die phnomenologische Thermodynamik geht von den makroskopisch direkt beobWrmemenge neu eingefhrt.

achtbaren Phnomenen aus. Dabei werden die physikalischen Gren Temperatur und

Die kinetische Gastheorie versucht unter Einfhrung statistischer berlegungen die

thermodynamischen Phnomene mikroskopisch zu erklren. Die physikalischen Eigenschaften der Gesamtmenge eines Gases werden aus den mechanischen Bewegungsvorgngen der einzelnen Molekle abgeleitet. Die Molekle werden als vollkommen elastische Kugeln der Masse m angenommen. Sie bewegen sich voneinander unabhngig mit

rhren. Beim Zusammensto tauschen sie Impuls und Energie aus.

der Geschwindigkeit v ohne Krfte aufeinander auszuben, solange sie sich nicht be-

Ein thermodynamisches System1 kann mit seiner Umgebung in Wechselwirkung stehen: Findet kein Austausch von Energie und Masse ber die Systemgrenzen statt, so Ein adiabates System liegt vor, wenn nur die Arbeit (z.B. mechanische, elektrische Arbeit) ausgetauscht wird. ist das System geschlossen. geschlossen Wenn ein Austausch von Wrme und Arbeit ber die Systemgrenzen stattfindet, Wenn zustzlich zur Arbeit und Wrme ein Materieaustausch vorliegt, wird das System als offen bezeichnet bezeichnet.Bezeichnung des Systems offen geschlossen adiabat abgeschlossen

ist das System abgeschlossen abgeschlossen.

Kennzeichen der Systemgrenzen Durchlssig fr Materie und Energie Durchlssig fr Energie Durchlssig fr mechanische Arbeit Undurchlssig

Tabelle 1: Thermodynamische Systeme

1

Ein rumlich abgrenzbarer Bereich, der herausgelst aus seiner Umgebung betrachtet wird.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

2

Die Beschreibung des Zustands eines Systems2 in der Thermodynamik erfolgt mit Hilfe von Zustandsgren Es wird zwischen den thermischen Zustandsgren Zustandsgren. Druck p

Volumen V

Temperatur T

und den abgeleiteten kalorischen Zustandsgren Innere Energie U Entropie S Enthalpie H

unterschieden. Das System befindet sich in einem Gleichgewichtszustand, wenn die Zustandsgren zeitlich konstant bleiben. Der Zustand eines Systems kann auf verschiedene Weise verndert werden, wie z.B. durch Wrmezufuhr von auen. Die nderung einer Zustandsgre ist unabhngig von der Art der Prozessfhrung, sie hngt nur vom Anfangs- und Endzustand ab (Beispiel: T=T2-T1). Im Gegensatz zu den oben erwhnten wegunabhngigen Zustandsgren sind Wrme und mechanische Arbeit die von dem Verlauf des Prozesses wegabhngigen ProzessProzessgren. gren

abhngig. Diese Gren, wie z.B. innere Energie oder Enthalpie, werden als extensive Zustandsgren bezeichnet. Andere Gren, wie z.B. Druck oder Temperatur, sind von der betrachteten Menge unabhngig und werden als intensiven Gren bezeichnet. Wird eine extensive Gre durch die Substanzmenge dividiert, so ergibt sich eine intensive Gre. Eine spezifische Gre ergibt sich, wenn eine extensive Gre X durch die Masse m des Systems dividiert wird:

Viele thermodynamische Gren sind von der Substanzmenge (Masse m) des Systems

x=

X m

Der Quotient aus einer extensive Gre X und der Stoffmenge n (n ist die Anzahl der Mole) ist die molare Gre, die durch den Index m gekennzeichnet wird:

xm =

X n

Nach Avogadro befindet sich bei allen Gasen im Mol-Volumen Vmn = 22,414dm3 bei 0C und 1,0132bar Umgebungsdruck dieselbe Anzahl von Moleklen NA3

2

Unter dem Zustand eines Systems versteht man die Gesamtheit seiner Eigenschaften, die durch uere NA Avogadrosche Konstante

Bedingungen festgelegt sind.3

1.Thermodynamische Grundbegriffe

3

N A = 6,022045 1023

1 mol

Zwischen der Masse m und der Molzahl n besteht die Beziehung

Die Molmasse M der Einzelmolekle verschiedener Gase ist jedoch unterschiedlich.

m = M nwobei m die Gesamtmasse, M die Masse eines Mols und n die Anzahl der Mole ist.

1.1 Thermische Zustandsgren1.1.1 Volumen Vvon diesem vollstndig ausgefllt. Durch den Bezug auf die Masse eines Gases erhlt Raumes an, die 1kg eines Gases einnimmt und ist der Kehrwert der Dichte eines Stoffes. Das Volumen V bezeichnet den Raum, der einem Gas zur Verfgung steht und wird

man das spezifische Volumen v in m3/kg. Das spezifische Volumen gibt die Gre des

1.1.2 Druck peine Begrenzungsflche A wirkt, definiert. Da die kinetische Gastheorie die Gesetze der durch, dass die Teilchen bei ihren Zusammensten mit der Wand an diese einen bestimmten Impuls bertragen und dadurch eine Kraft ausben. Masse m befindet: Betrachtet wird ein Wrfel der Kantenlnge a als Gef in dem sich ein Molekl der Der Druck p ist in der klassischen Mechanik als Quotient der Kraft F, die senkrecht auf

Mechanik anwendet, entsteht der Druck4 den ein Gas auf die Gefwand ausbt da-

Das Molekl bewegt sich mit der Geschwindigkeit vx in die x-Richtung und trifft auf die rechte Wand des Wrfels. Der Impuls5 des Molekls vor dem Sto ist gegeben durch:

4 5

Diese Erklrung des Druckes, den ein Gas auf die Gefwand ausbt, wurde von Bernoulli 1738 erwhnt. Das zweite Newtonsche Axiom

1.Thermodynamische Grundbegriffe

4

I vor = m vxNach dem das Molekl elastisch an die Wand gestoen ist, bewegt es sich in die andekls nach dem Sto betrgt re, die negative x-Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit vx. Der Impuls des Mole-

I nach = m vx

wobei durch das Minusvorzeichen die nderung der Bewegungsrichtung bercksichtigt wird.

Die Kraft, die auf die Gefwand ausgebt wurde, kann als die zeitliche nderung des Impulses berechnet werden:

F=

I I vor I nach m vx ( m vx ) 2m vx = = = t t t t

Die Zeit t, die zwischen zwei Sten an die Wand vergeht, kann aus der Geschwindigkeit des Molekls und der Strecke, die dabei zurckgelegt wird, berechnet werden. der doppelten Kantenlnge des Wrfels (hin und zurck) 2a. Die zurckgelegte Strecke zwischen beiden Kraftsten auf die rechte Wand entspricht

t =

2a vx

2 2m vx m vx = F= 2a a vx

Wie bereits erwhnt, kann der Druck als Quotient der Kraft, die senkrecht auf die Begrenzungsflche A (A=a2) wirkt, berechnet werden:

p=

2 2 2 F m vx m v x m vx = = 3 = A Aa a V

Ein Teilchen bewegt sich nicht nur in eine Richtung, sondern die Bewegung kommt in allen Raumrichtungen gleichmig vor. Die Gesamtgeschwindigkeit des Molekls betrgt

1.Thermodynamische Grundbegriffe

5

2 2 v 2 = vx + v y + vz2

mit2 2 vx = v y = vz2

2 v 2 = 3 vx

bzw.

1 2 vx = v 2 3 1 m v2 p= 3 V

Demnach erhlt man fr den Druck eines Molekls

bzw. fr N-Teilchen

p=

N m v2 3 V

(Gleichung 1)

Diese Grundgleichung der kinetischen Gastheorie ist sowohl bei beliebiger Gefform gltig als auch wenn Zusammenste zwischen den Teilchen stattfinden.

1.1.3 Temperatur TDie Temperatur wird mit Begriffen wie hei und kalt umschrieben und ist direkt fhlbar. Bringt man zwei Krper unterschiedlicher Temperatur in Berhrung, so kann festgestellt werden, dass der wrmere Krper klter und der kalte Krper wrmer wird. Dieser Temperaturausgleich wird erst dann beendet, wenn beide Krper die gleiche Temnamischen Gleichgewicht haben alle Bestandteile eines Systems dieselbe Temperatur. und die Kelvin7-Skala. Bei der Celsius-Skala dienen als Fixpunkte der Schmelz- und der Siedepunkt des Wassers unter Normdruck und die Skala ist zwischen diesen zwei Punkten in 100 Skalenanteile Grad Celsius unterteilt. Die von Lord Kelvin eingefhrte absolute Temperaturskala verwendet den absoluten Nullpunkt und den Tripelpunkt8 des Wassers als Fixpunkte und hat dieselbe Skalenteilung wie die Celsius-Skala (1C = 1K). Seit 1967 dient Kelvin als die Einheit fr die Temperatur. Der Zusammenhang zwischen der absoluten Temperatur T in Kelvin und der Temperatur in Celsius ist gegeben durch: peratur aufweisen und dadurch ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Im thermodythermody-

Die gebruchlichen zur Temperaturmessung verwendeten Skalen sind die Celsius6-

T ( K ) = (C ) + 273,15

6 78

Anders Celsius (1701-1744) W. Thomson Lord Kelvin (1824-1907) Der Tripelpunkt ist der Zustand, bei dem sich der feste, der flssige und der gasfrmige Ag-

gregatzustand im Gleichgewicht befinden.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

6

1.2 Allgemeine Zustandsgleichung idealer GaseZustandsgleichungen beschreiben den mathematischen Zusammenhang zwischen Zustandsgren. Da die Zustandsgren nur fr Gleichgewichtszustnde konstante Werte annehmen, werden mit einer Zustandsgleichung nur Gleichgewichtszustnde beschrieDie thermische Zustandsgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den therZustandsgleichung treten kalorische Zustandsgren wie z.B. die Enthalpie H oder die Die ideale Gasgleichung gibt den Zusammenhang zwischen p, V und T fr ideale Gase Entropie S auf. mischen Zustandsgren Druck p, Volumen V und Temperatur T; bei der kalorischen ben. Man unterscheidet zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen.

an. Das Gesetz wurde experimentell von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac ermittelt.

1.2.1 Das Gasgesetz von Gay-LussacDas Gesetz von Gay-Lussac9 behandelt die Wrmeausdehnung von Gasen bei konstaneines Gases linear mit der Temperatur variiert: =konst.) tem Druck. Das Gesetz besagt, dass bei konstantem Druck (p=konst. das Volumen

V ( ) = V0 (1 + )wenn V0 das Volumen bei 0C ist. Der Raumausdehnungskoeffizient kann experimentell ermittelt werden und hat fr fast alle Gase den Wert

=

1 273,15K

Wird die Gleichung 1 in Kelvin ausgedrckt, erhlt man folgende Beziehung:

V ( ) = V0 (1 +

273,15 K + T ) V (T ) = V0 ( ) = V0 273,15 K 273,15 K T0 V (T ) V0 = = konst. T T0(Gleichung 2)

bzw.

idea Abbildung 1: Zusammenhang zwischen dem Volumen und der Temperatur eines idealen Gases Volumen bei konstantem Druck

9

J. L. Gay-Lussac (1778-1850)

1.Thermodynamische Grundbegriffe

7

1.2.2 Das Gesetz von Boyle-MariotteDas Gasgesetz von Boyle-Mariotte verknpft das Volumen V und den Druck p einer definierten, abgeschlossenen Menge eines idealen Gases bei konstanter Temperatur =konst. onst.). (T=konst.

Boyle leAbbildung 2: Gesetz von Boyle-Mariotte

Je strker man ein Gas zusammenpresst, umso hher steigt der Druck. Voraussetzung dafr, dass der Prozess als isotherm bezeichnet werden kann ist, dass der Vorgang gengend langsam abluft. Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass bei gleicher Menge eines Gases und konstanter Temperatur das Produkt aus Volumen und Druck konstant ist:

p V = const.

(Gleichung 3)

1.2.3 Zustandsgleichung idealer GaseAus den Gesetzen von Boyle-Mariotte und von Gay-Lussac lsst sich die gegenseitige Abhngigkeit von p, V und T herleiten.

BoyleGayAbbildung 3: Verknpfung der Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac

1.Thermodynamische Grundbegriffe

8

Ein ideales Gas wird ausgehend vom Zustand 1 mit p1, T1, V1 zunchst isotherm komprimiert (p2, T1, V *) und anschlieend zum Zustand 2 mit p2, T2, V2 isobar erwrmt. Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte gilt

p1 V1 = p2 V *und nach Gay-Lussac ist

bzw.

V * = V1

p1 p2

V * V2 = T1 T2

bzw.

V * = V2

T1 T2

Aus diesen Gleichungen ergibt sich

V1

p1 T = V2 1 p2 T2

p1 V1 p2 V2 = T1 T2

Die Zustandsgren Druck p, Volumen V und Temperatur T einer konstanten Stoffeinander verknpft.

menge eines idealen Gases sind stets mittels der Zustandsgleichung idealer Gase mit-

p V = konst. T

(Gleichung 4)

Die Konstante ist proportional zur Stoffmenge n bzw. zur Anzahl der Teilchen N. folgende Form an

Fr eine beliebige Teilchenzahl N nimmt die Zustandsgleichung der idealen Gase die

p V = N k Twobei k=1,3810-23 J/K als Boltzmann-Konstante10 bezeichnet wird.

(Gleichung 5)

kann die Zustandsgleichung der idealen Gase geschrieben werden als

Betrachtet man eine Stoffmenge von n mol, besteht sie aus N=nNA Moleklen. Damit

p V = n N A k TDie Konstanten auf der rechten Seite k und NA knnen zur universellen Gaskonstante R zusammengefasst werden, die fr alle Gase denselben Wert aufweist

p V = n R T R = 8,31441 J mol K

Wird die Anzahl der Mole n durch den Quotienten aus der Masse und der Molmasse m/M ersetzt und die spezifische Gaskonstante Ri eingefhrt, so erhlt man die spezifische Form der idealen Gasgleichung.

p V = m Ri TDie individuelle Gaskonstante Ri kann bei Kenntnis der Molmasse M des Gases aus der universellen Gaskonstante berechnet werden

10

L. Boltzmann (1844-1906)

1.Thermodynamische Grundbegriffe

9

Ri =

R M

Bei allen folgenden Betrachtungen wird von der Gasmenge 1mol ausgegangen. Die ideale Gasgleichung vereinfacht sich damit zu

p V = R T

(Gleichung 6)

1.2.4 Kinetische Energie idealer GaseWird die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie (Gleichung 1) betrachtet und in folgender Form geschrieben

p V =

N m v2 3

ist die hnlichkeit zur Zustandsgleichung idealer Gase

p V = N k Terkennbar. Durch Gleichsetzung der rechten Seiten dieser Gleichungen entsteht folgende Beziehung zwischen der Temperatur und der kinetischen Energie eines Teilchens:

EKin =

1 3 m v2 = k T 2 2

Die Temperatur ist also ein Ma fr die kinetische Energie der Teilchen. Bei dieser Betrachtung werden die punktfrmigen Teilchen mit jeweils f=3 Freiheitsgraden betrachtet. Da sich ein Teilchen gleichmig in alle drei Raumrichtungen bewegt (vx=vy=vz ), entfllt auf jeden Freiheitsgrad die mittlere kinetische Energie

EFreihetsgrad =

1 k T . 2

Diese Ergebnisse knnen verallgemeinert auch auf die Gase, die aus komplexeren Moleklen bestehen und mehr Freiheitsgrade aufweisen, angewandt werden. Nach dem so genannten Gleichverteilungsgesetz (quipartionsprinzip) betrgt die mittlere kinetische Energie eines Molekls mit f Freiheitsgraden

EKin =1.2.4.1. Freiheitsgrade

f k T 2

(Gleichung 7)

Molekle speichern Energie in Form von Bewegung. Man unterscheidet zwischen der Bewegung lngs der drei Raumrichtungen (Translation), der Rotation und den Schwingungen der Atome. Jede unabhngige Bewegungsmglichkeit der Molekle ist eine Mglichkeit der Energiespeicherung und wird als Freiheitsgrad f bezeichnet. Entsprechend ergeben sich fr die Translation drei Freiheitsgrade. Fr die Rotation ergeben sich ebenfalls drei mgliche Freiheitsgrade fr die drei mglichen Hauptrichtungen der

1.Thermodynamische Grundbegriffe

10

Drehachse. In Kristallen knnen sich die Atome nicht mehr im Raum bewegen oder rotieren, dafr knnen sie auf ihrem Gitterplatz hin und her schwingen.Translation 3 3 Rotation 2 Schwingung 3 5

3 3

3 2

2

6 7

Tabelle 2: Freiheitsgrade in Abhngigkeit von der Moleklgeometrie

1.3 Prozessgren Wrme und ArbeitBei Prozessgren sind die mit dem System ausgetauschten Energiebetrge vom Verlauf des Prozesses abhngig. Wrme und Arbeit sind Energieformen. Sie knnen ineinander umgewandelt und ber eine Systemgrenze hinweg ausgetauscht werden, ohne dass Materie ber die Systemgrenze fliet. Vorzeichenvereinbarung:

Energie die dem System zufliet hat ein positives Vorzeichen. Gibt das System Energie ab, hat diese ein negatives Vorzeichen.

1.3.1 WrmeWrme ist Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschieds zwischen zwei Systemen bertragen wird. Wrme fliet immer in Richtung niedrigerer Temperatur. Soll die Temperatur eines Gases um T erhht werden, muss eine Wrmezufuhr Q erfolgen.

Q = C TDer Zusammenhang zwischen der zugefhrten Wrme und der Temperaturerhhung wird als Wrmekapazitt C (J/K) bezeichnet. Sie ist das thermodynamische quivalent zur elektrischen Kapazitt11 einer Ladung. Fr die Wrmekapazitt gilt

C=

Q T

bzw. fr die spezifische und molare Wrmekapazitt in differentieller Schreibweise

11

Die elektrische Kapazitt entspricht dem Quotienten aus der Gesamtladung Q eines Krpers

und dem Potential U.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

11

cs =

1 dQ ( ) m dT

;

Cm =

1 dQ dq ( )= n dT dT

Wird ein Gas erwrmt, erhht man die Energie seiner Molekle. Die Wrmekapazitt ist direkt von der Anzahl der Freiheitsgrade abhngig. Je mehr Freiheitsgrade ein Molekl besitzt, desto mehr Mglichkeiten der Energiespeicherung hat es und umso grer ist seine spezifische Wrmekapazitt. Da die Zahl der Freiheitsgrade temperaturabhngig ist, ist auch die Wrmekapazitt eine Temperaturfunktion. Man spricht vom Auftauen der Freiheitsgrade bei bestimmten Temperaturen. Fr technische Anwendungen und die hierbei auftretenden Temperaturen knnen die spezifischen Wrmekapazitten allerdings als konstant angenommen werden. Bei Gasen muss auch die Art der Prozessfhrung bercksichtigt werden. Es wird zwischen der spezifischen Wrmekapazitt bei konstantem Volumen cV und bei konstantem Druck cP unterschieden.

Gas

MolekularMolekulargewicht (O2=32)

Nm3 in kg

Masse des

Gaskonstan Gaskonstante R J/kgK

Wrmekapazi Wrmekapazitt kapaz kJ/kg K 0oC, p=0 cp cv 3,161 0,318 10,11 0,743 0,656 0,743 0,630 1,637

Spez.

Wrmek Wrmekapazitt kJ/kmol K 0oC, p=0 Cp 20,93 20,93 28,72 29,13 29,26 29,13 36,04 34,66 CV

Molare

K

Helium (He) Argon (A) Wasserstoff (H2) Stickstoff (N2) Sauerstoff (O2) Kohlenoxyd (CO) Kohlendioxyd (CO2) Methan (CH4)

4,003 39,944 2,016 28,016 32,000 28,000 44,000 16,031

0,1786 1,7821 0,0894 1,2499 1,4276 1,2495 1,9634 0,7152

2078 208,2 4126,3 296,75 259,8 296,96 188,8 518,7

5,233 0,523 14,23 1,039 0,917 1,041 0,819 2,160

12,60 1,66 12,60 1,65 20,39 1,41 20,80 1,40 20,93 1,40 20,80 1,40 27,71 1,30 26,29 1,32

Tabelle 3: Spezifische und molare Wrmekapazitt einiger Gase

1.3.2 Mechanische ArbeitMechanische Arbeit in der Thermodynamik ist im Allgemeinen Volumenarbeit. Betrachtet wird ein Zylinder mit verschiebbarem Kolben, in dem sich ein Gas unter Druck p befindet.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

12

Abbildung 4: Mechanische Arbeit eines Gases gegen die uere Einwirkung Fa

ges s definiert

Die mechanische Arbeit wird als Wirkung einer Kraft F auf einen Kper lngs eines We-

W = Fa s bzw.

dW = Fa ds

Gases p auf die Kolbenflche A.

Die Kraft Fa, die von auen auf den Kolben ausgebt wird, entspricht dem Druck des

Fa = Fi = p A dW = p dV W = p dVV1 V2

dW = p A ds

1.4 Kalorische Zustandsgren1.4.1 Innere EnergieDie Innere Energie U des Systems ist die gesamte thermische Energie eines Systems, die in der ungeordneten Bewegung der Teilchen steckt. Da die innere Energie eine Zustandsgre ist, ist sie nur von dem augenblicklichen Zustand des Systems abhngig und nicht davon, wie das System in diesen Zustand gelangt ist. Bei idealen Gasen lsst sich die kinetische (thermische) Energie eines Systems berechnen als

U = N Ekin

mit

Ekin = f kT 2

f kT 2

U=N

Die innere Energie eines idealen Gases hngt nur von der Stoffmenge und der Temperatur ab.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

13

ERSTER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK

Der Erste Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz: Hauptsatz In einem abgeschlossenen System (kein Energieaustausch mit der Umgebung) bleibt die innere Energie E erhalten:

U = konst .Eine nderung der inneren Energie kann nur erfolgen, wenn ber die Systemgrenzen Energie mit der Umgebung ausgetauscht wird. Die Energiebertragung umfasst in unseren Betrachtungen lediglich Wrme und mechanische Arbeit, so dass fr die nderung der inneren Energie gilt:

U = Q + W

bzw.

dU = dQ + dW

(Gleichung 8)

Die nderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems entspricht der Summe von bertragener Wrme und mechanischer Arbeit.

1.4.2 EnthalpieDie Enthalpie ist eine der wichtigsten Zustandsgren zur Beschreibung des Energiezustandes offener Systeme. Die Enthalpie wird als Summe aus innerer Energie und Volumennderungsarbeit definiert:

H = U + pV

bzw.

dH = dU + pdV + Vdp

obige Gleichung zu

Fr die Zustandsnderungen unter konstantem Druck (p=konst.) vereinfacht sich die

dH = dU + pdVNach der vereinbarten Vorzeichenkonvention ist die Volumennderungsarbeit definiert als

dW = pdVDamit kann fr die Zustandsnderungen unter konstantem Druck geschrieben werden:

dH = dU dW

(Gleichung 9)

Werden die Gleichungen 8 und 9 miteinander verglichen ist erkennbar, dass die bei einer isobaren Zustandsnderung umgesetzte Wrmemenge der nderung der Enthalpie entspricht.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

14

1.4.3 EntropieUm die Entropie eines Systems zu erklren mssen zunchst zwei Prozessarten definiert werden. Reversible Prozesse

Ein Prozess ist reversibel, wenn bei seiner Umkehr der Ausgangszustand wieder erreicht wird, ohne dass nderungen in der Umgebung zurckbleiben. Die ungedmpfte Schwingung eines Pendels ist ein Beispiel fr einen reversiblen Prozess. Nach dem Auslenken und Loslassen des Pendels wird die potentielle Energie des Pendels in kinetische umgewandelt und umgekehrt. Ein Prozess ist irreversibel, wenn seine Umkehr in den Ausgangszustand nur unter uerer Einwirkung erfolgt. Die Wrmebertragung bei einem Temperaturgeflle stellt einen irreversiblen Prozess dar. Wenn zwei Krper unterschiedlicher Temperatur in thermischen Kontakt gebracht werden, fliet solange eine Wrmemenge vom wrmeren Krper zum klteren, bis sich die Temperaturen beider Krper angeglichen haben. Die innere Energie des klteren Krpers erhht sich dabei um die Wrmemenge, die von dem wrmeren zugeflossen ist. Der umgekehrte Prozess, bei dem vom klteren Krper eine Wrmemenge zum wrmeren fliet und somit die Temperaturdifferenz erhht, oder dass nach dem Temperaturausgleich sich wieder ein Temperaturunterschied zwischen den beiden Krpern einstellt entsteht nie von selbst. Alle natrlichen und technischen Prozesse sind irreversibel. Diese Erkenntnis ist der Inhalt des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik Thermodynamik. Mathematisch wird der zweite Hauptsatz mit Hilfe der Zustandsgre Entropie beschrieben. Die Entropie S ist ein Ma fr die erreichte Irreversibilitt eines Zustandes. Irreversible Prozesse

S =

Q T

bzw.

dS =

dQ T

1.5 Zustandsnderungen idealer GaseDie Zustandsnderungen werden mit einem idealen Gas mit konstanter Teilchenmenge in einem geschlossenen System12 durchgefhrt. Das Gas befindet sich in einem dichten Gef mit verschiebbarem Kolben, die Bewegung des Kolbens ist reibungsfrei. Fr alle Prozesse wird anhand einer Darstellung in E,T-Diagramm und p,V-Diagramm die umgesetzte Energie berechnet.

12

Geschlossenes System durchlssig fr Energie, undurchlssig fr Materie

1.Thermodynamische Grundbegriffe

15

1.5.1 Isochore ZustandsnderungBei der isochoren Zustandsnderung bleibt das Volumen der eingeschlossenen Gasmenge konstant:

Abbildung 5: Isochore Wrmezufuhr

Die isochore Zustandsnderung entspricht dem Gesetz von Charles und Gay-Lussac:

p = konst . T

und im p,V-Diagramm einer vertikalen Gerade.

VAbbildung 6: Isochore Zustandsnderung im p, V-Diagramm

Da bei konstantem Volumen keine Volumennderungsarbeit mglich ist, dient die zugefhrte Wrme ausschlielich zur Erhhung der inneren Energie.

U = Q = cv T

1.Thermodynamische Grundbegriffe

16

Abbildung 7: Isochore Zustandsnderung im E, T-Diagramm

1.5.2 Isobare ZustandsnderungBei der isobaren Zustandsnderung muss der Druck konstant bleiben (p=konst.). Betrachtet wird ein Gef, das von oben mit einem sich reibungslos bewegenden Kolben verschlossen wird.

Abbildung 8: Isobare Wrmezufuhr

Wird dem Gas die Wrme Q zugefhrt, so dehnt sich das Gas aus und schiebt den Kolben nach oben.

Q = c p T

Die isobare Zustandsnderung entspricht dem Gesetz von Guy-Lussac:

V = konst. TDas bedeutet, dass die nderung des Volumens mit einer nderung der Temperatur des Gases verbunden ist. Im p,V-Diagramm wird die isobare Zustandsnderung als eine waagrechte Gerade dargestellt.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

17

VAbbildung 9: Isobare Zustandsnderung im p, V-Diagramm

Die Volumennderungsarbeit entspricht der Flche unter der Isobare und betrgt

W = p V = p (V2 V1 )Nach dem Energieerhaltungsgesetz wird die zugefhrte Wrme zur Verrichtung der mechanischen Arbeit (negatives Vorzeichen) und zur Erhhung der inneren Energie des Systems aufgewandt.

U = cv T = c p T p VNach der Zustandsgleichung der idealen Gase fr ein Mol eines Gases gilt:

p V = R T

bzw.

p V = R T

Aus obigen Gleichungen erhlt man die Beziehung zwischen der isochoren und der isobaren molaren Wrmekapazitt:

cv = c p R

bzw.

R = c p cv

Abbildung 10: Isobare Zustandsnderung im E, T-Diagramm 10: T-

1.Thermodynamische Grundbegriffe

18

1.5.3 Isotherme ZustandsnderungBei der isothermen Zustandsnderung wird die Temperatur des Gases konstant gehalten. Dies hat zur Folge, dass auch die innere Energie des Gases konstant bleibt. Wird chanische Arbeit umgewandelt. unter diesen Umstnden dem Gas Wrme Q zugefhrt, so wird diese komplett in me-

11: Abbildung 11: Isotherme Expansion

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (siehe Gleichung 8) kann fr diese Zustandsnderungen geschrieben werden:

U = 0

Q = W

W = p(V ) dV ;V1

V2

p(V ) = R T

1 V

W = R T

V2

dV V = R T ln 2 V V1 V1

In bereinstimmung mit der Vorzeichenkonvention ist die abgefhrte Arbeit negativ, whrend die zugefhrte Wrme einen positiven Wert aufweist

Q = R T ln

V2 V1

Im E, T-Diagramm wird die Isotherme als vertikale Gerade dargestellt. Entspricht das Volumenverhltnis der Eulerschen Zahl e

V2 =e, V1

kann die zugefhrte Wrme als Differenz zwischen den beiden Geraden cpT und cvT abgelesen werden.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

19

Abbildung 12: Isotherme Zustandsnderung im E, T-Diagramm 12:

Im p, V-Diagramm entspricht die Isotherme einer Hyperbel.

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 T=400 K T=500K

Vol um e n V

13: Abbildung 13: Isotherme Zustandsnderung im p, V-Diagramm

1.5.4 Adiabate ZustandsnderungBei der adiabaten Zustandsnderung wird jeglicher Wrmebergang zur Umgebung unterbunden (Q=0). Dies bedeutet, dass bei der Verrichtung der mechanischen Arbeit die innere Energie des Gases kleiner wird, d.h. das Gas khlt ab.

U = W

bzw.

dU = dW

cv dT = p dV

10) (Gleichung 10)

1.Thermodynamische Grundbegriffe

20

14: Abbildung 14: Adiabate Expansion

Anhand der Zustandsgleichung idealer Gase kann der Druck eines Mols idealen Gases durch die anderen zwei Zustandsgren Temperatur und Volumen ausgedrckt werden:

p=

1 RT V

Damit kann die Gleichung 10 folgendermaen geschrieben werden:

cv cv T2

dT dV = R T VV

2 dT dV = R T V T1 V1

T V cv ln 2 = R ln 2 T1 V1Wird noch der Adiabatenexponent

T V 2 = 1 T V 1 2

cv

R

eingefhrt c = p cv

und bercksichtigt, dass R=cp-cv ist, so ergibt sich

T2 V1 = T V 1 2

1

bzw.

T V 1 = konst.

Mit Hilfe der Zustandsgleichung der idealen Gase lassen sich auch die Beziehungen len: zwischen Druck p und Temperatur T sowie zwischen Volumen V und Druck p herstel-

T p1 = konst. und p V = konst.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

21

200 180 160 140 120 Druck p 100 80 60 40 20 0 0 20 40 Volumen V 60 80 100

T=400K T=500K Adiabate

15: VAbbildung 15: Darstellung einer Adiabaten im p, V-Diagramm

Aus dem p, V-Diagramm ist zu erkennen, dass die Hyperbel der adiabatischen Zustandsnderung steiler als die der isothermen Zustandsnderung ist, da sich das Gas bei der adiabatischen Expansion abkhlt. Im E, T- Diagramm entspricht die nderung der inneren Energie der zugefhrten bzw. abgefhrten Arbeit.

16: TAbbildung 16: Adiabate Zustandsnderung im E, T-Diagramm

1.Thermodynamische Grundbegriffe

22

1.6 KreisprozesseEin Kreisprozess beschreibt ein System, das eine Folge von Zustandsnderungen so durchluft, dass der Endzustand dem Anfangszustand gleicht. Die nachfolgend beschriebenen Kreisprozesse sollen reibungsfrei durchlaufen werden, und das Gas soll sich stets im thermodynamischen Gleichgewicht befinden.

1.6.1 Carnot-ProzessDer Carnot-Prozess wurde nach dem franzsischem Ingenieur und Physiker Nicolas Lonard Sadi Carnot (1796-1832) benannt. Der Prozess besteht aus zwei isothermen und zwei adiabaten (isentropen) Zustandsnderungen.

17: Abbildung 17: Carnotscher Prozess

Zunchst wird das Gas, das sich auf Temperatur T1 befindet, isotherm komprimiert. Dabei wird die zugefhrte mechanische Arbeit W als Wrme Q abgefhrt:

W12 zu = R T1 ln

V2 V = R T1 ln 1 = Q12 ab V1 V2

Danach wird das Gas adiabatisch weiter komprimiert. Die zugefhrte mechanische Arbeit dient zur Erhhung der inneren Energie des Gases:

W 23 zu = c v (T 3 T1 ) = U 23Bei der anschlieenden isothermen Expansion auf der hohen Temperatur T3 wird durch Wrmezufuhr mechanische Arbeit geleistet:

Q34 zu = R T3 ln

V4 = W34 ab V3

Durch adiabate Expansion gelangt das Gas in seinen Anfangszustand:

W41ab = cv (T3 T1 ) = U 41Die Berechnung des thermischen Wirkungsgrades th erfolgt durch die Bildung des Quotienten zwischen der Nutzarbeit und der zugefhrten Wrme:

1.Thermodynamische Grundbegriffe

23

th =

W Nettoarbeit = Zugefhrte Wrme Qzu

Da bei der Berechnung der mechanischen Arbeit bereits bercksichtigt wurde, ob diese vom System geleistet bzw. zugefhrt wurde, wird die abgegebene Arbeit als Summe der einzelnen in jedem Schritt berechneten Arbeiten ermittelt:

W = W12 zu + W23 zu + W34 ab + W41ab W = R T1 ln V1 V V V + cv (T3 T1 ) R T3 ln 4 cv (T3 T1 ) = R T1 ln 1 R T3 ln 4 V2 V3 V2 V3

Fr die beiden adiabaten Zustandsnderungen gilt nach Kap.1.5.4:

T3 V3 1 = T1 V2 1 T3 V4 1 = T1 V1 1

(T2 = T1 ) (T4 = T3 )

T3 V2 1 V1 1 = = T1 V3 1 V4 1

V1 V4 = V2 V3

Schlielich kann die Nutzarbeit geschrieben werden als:

W = R lnVorzeichen auf.

V4 (T3 T1 ) V3

Da die Nutzarbeit vom System nach auen abgegeben wird, weist sie ein negatives Die Energiestrme, die bei dem Carnot-Prozess bzw. bei jeder Wrmekraftmaschine umgesetzt werden, sind in Abbildung 18 dargestellt

18: Abbildung 18: Energieflussdiagramm einer Wrmekraftmaschine

1.Thermodynamische Grundbegriffe

24

Von der zugefhrten Wrme kann nur ein Teil in mechanische Arbeit umgewandelt werden, der andere Teil wird als Abwrme abgefhrt. Aus dem Energieerhaltungsgesetz folgt die Bilanzierung:

| W |= Qzu | Qab |

11) (Gleichung 11)

Nach Gleichung 11 kann fr alle Wrmekraftmaschinen die abgegebene mechanische Arbeit als Differenz zwischen der zugefhrten und abgefhrten Wrme berechnet werden. Die Wrme wurde dem System nur bei der isothermen Expansion zugefhrt, es gilt:

Qzu = Q34 zu = R T3 ln

V4 V3

Damit wird der thermische Wirkungsgrad beim Carnot-Prozess

th =

W = Qzu

R ln

V4 (T3 T1 ) T T T V3 th = 3 1 = 1 1 V4 T3 T3 R T3 ln V3

Es ist erkennbar, dass der Carnot-Wirkungsgrad nur von der oberen und der unteren Temperatur abhngig ist. Unter der Annahme, dass das Kompressionsverhltnis bzw. das Expansionsverhltnis der Eulerschen Zahl entspricht, wird der Carnot-Prozess im E, T-Diagramm folgendermaen dargestellt.

19: CarnotT(1Abbildung 19: Darstellung des Carnot-Prozesses im E, T-Diagramm (1-2 isotherme Kompression; 2-3 adiabate Kompression; 3-4 isotherme Expansion; 4*-1* adiabate Expansion) ; 2; 3; 4*)

Im p, V-Diagramm ist die von der Maschine geleistete Netto-Arbeit die von den zwei isothermen und zwei adiabaten eingeschlossene Flche.

1.Thermodynamische Grundbegriffe

25

20: Carnotscher VAbbildung 20: Carnotscher Kreisprozess im p, V-Diagramm

1.6.2 Stirling-ProzessDer Stirlingprozess stellt den idealen Kreisprozess eines Heiluftmotors dar. Das Arbeitsmedium meist Luft - durchluft innerhalb eines Zylinders einen Kreisprozess. Das Gas wird durch den sogenannten Verdrngerkolben in dem Zylinder hin und her bewegt und gibt an den Arbeitskolben mechanische Arbeit ab. Der Stirling Prozess besteht aus zwei isothermen und zwei isochoren Zustandsnderungen. Zunchst wird das Gas, das sich auf der niedrigen Temperatur T1 befindet, isotherm komprimiert. Der Verdrngerkolben fhrt nach unten, der Arbeitskolben bleibt stehen, Wrme wird an die Umgebung abgegeben.

W12 zu = R T1 ln

V2 V = R T1 ln 1 = Q12 ab V1 V2

Danach erfolgt die Abwrtsbewegung des Verdrngerkolbens und des Arbeitskolbens. Das Gas wird durch den Regenerator geschoben und isochor auf die obere Arbeitstemperatur T3 erwrmt. Der Regenerator khlt sich dabei ab.

Q23 zu = cv (T3 T1 ) = U 23Im nchsten Schritt erfolgt durch Wrmezufuhr von auen die isotherme Expansion des Gases, der Arbeitskolben bewegt sich abwrts und gibt mechanische Arbeit ab. Der Verdrngerkolben bewegt sich nicht.

Q34 zu = R T3 ln

V1 = W34 ab V2

1.Thermodynamische Grundbegriffe

26

Zuletzt bewegen sich Arbeitskolben und Verdrngerkolben aufwrts. Das Gas wird durch den Regenerator geschoben und khlt sich isochor auf die untere Arbeitstemperatur T1ab.

Q41ab = cv (T3 T1 ) = U 41

21: StirlingAbbildung 21: Schematische Darstellung des Stirling-Prozesses

Die vom System abgegebene mechanische Arbeit lsst sich als Summe13 der bei jeden einzelnen Zustandsnderungen erzeugten bzw. zugefhrten Arbeit berechnen

W = W12 zu + W34 ab = R T1 ln

V1 V V R T3 ln 1 = R ln 1 (T3 T1 ) V2 V2 V2

Die Wrme wurde dem System whrend der isothermen Expansion zugefhrt. Bei der isochoren Abkhlung wird die Wrme nicht mit der Umgebung ausgetauscht, sondern im Regenerator zwischengespeichert und bei der isochoren Erwrmung an das Gas abgegeben.

Qzu = Q34 zu = R T3 ln

V1 V2

Der thermische Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses lsst sich demnach berechnen als

13

das Vorzeichen ist bereits in der Berechnung bercksichtigt worden

1.Thermodynamische Grundbegriffe

27

th =

W = Qzu

R ln

V1 (T3 T1 ) T T V2 = 3 1 V T3 R T3 ln 1 V2 T1 T3

th = 1

Im E, T-Diagramm entspricht die Darstellung des Stirling-Prozesses der des CarnotProzesses. Im p,V-Diagramm ist die von der Maschine abgegebene Arbeit als eingeschlossene Flche dargestellt.

22: StirlingVAbbildung 22: Stirling-Prozess im p, V-Diagramm

1.6.3 Ericsson-ProzessDer Ericsson-Prozess stellt den Kreisprozess einer geschlossenen Gasturbine dar. Er besteht aus zwei isothermen und zwei isobaren Zustandsnderungen.

23: EricssonAbbildung 23: Schematische Darstellung des Ericsson-Prozesses

1.Thermodynamische Grundbegriffe

28

Zunchst wird das Gas, das sich auf der niedrigeren Temperatur T1 befindet isotherm komprimiert. Die geleistete mechanische Arbeit wird als Wrme abgegeben

W12 zu = R T1 ln

V2 V = R T1 ln 1 = Q12 ab V1 V2

Im nchsten Schritt erfolgt die isobare Erwrmung des Arbeitsmediums. Dabei wird die zugefhrte Wrme zur Erhhung der inneren Energie und zur Arbeitsverrichtung genutzt

Q23 zu = c p (T3 T1 ) U 23 = cv (T3 T1 ) W23ab = p2 (V3 V2 ) = R (T3 T1 )Danach erfolgt die isotherme Expansion des Gases, die dabei zugefhrte Wrme wird als mechanische Arbeit abgefhrt.

Q34 zu = R T3 ln

V4 = W34 ab V3

Anschlieend erfolgt die isobare Abkhlung des Gases auf die untere Temperatur T1

Q41ab = c p (T3 T1 ) U 41 = cv (T1 T3 ) W41zu = p1 (V4 V1 ) = R (T3 T1 )Die vom System geleistete mechanische Arbeit ist

W = W12 zu + W23ab + W34 ab + W41zu W = R T1 ln V V V V1 R (T3 T1 ) R T3 ln 4 + R (T3 T1 ) = R T1 ln 1 R T3 ln 4 V3 V2 V3 V2

Fr die beiden isobaren Zustandsnderungen gilt:

V3 T3 = V2 T1

bzw. bzw.

V4 T3 = V1 T1 V1 V4 = V2 V3

V3 V4 = V2 V1

Also kann fr die abgegebene Arbeit geschrieben werden

W = R ln

V4 (T3 T1 ) V3

Die Wrmezufuhr bei der isobaren Erwrmung entspricht der abgefhrten Wrme bei der isobaren Abkhlung. Die umgesetzten Wrmemengen werden ber die Wrmetau-

1.Thermodynamische Grundbegriffe

29

scher intern bertragen, so dass eine externe Wrmezufuhr nur bei der isothermen Expansion erfolgt.

Qzu = Q34 zu = R T3 lnProzess dem Carnot-Wirkungsgrad

V4 V3

Der thermische Wirkungsgrad des Ericsson-Prozesses entspricht wie beim Stirling-

th =

W = Qzu

R ln

V4 (T3 T1 ) T T T V3 = 3 1 =1 1 V T3 T3 R T3 ln 4 V3

sion; 2*-3 isobare Erwrmung; 3*-4 isotherme Expansion; 4-1 isobare Abkhlung) ; 2*; 3*; 4)

24: EricssonT(1 Abbildung 24: Darstellung des Ericsson-Prozesses im E, T-Diagramm (1-2 isotherme Kompres-

Abbildung 25: Ericsson-Prozess im p, V-Diagramm 25: Ericsson Vso

1.Thermodynamische Grundbegriffe

30

1.7 GleichdruckprozessBetrachtet wird ein Behlter in dem sich ein Gas unter Druck p1 befindet. Durch das ffnen vom Ventil Z1 strmt das Gas in den Zylinder, wobei der Druck des Gases sich nicht ndert.

26: Abbildung 26: Gleichdruckprozess

Das unter Druck stehende Gas, drckt den Kolben nach oben und verrichtet Volumennderungsarbeit:

W1 = p1 V1

Danach wird das Gas adiabatisch komprimiert, d.h. die zugefhrte mechanische Arbeit dient zur Erhhung der inneren Energie des Gases.

W2 = cv (T2 T1 )Anschlieend wird das Gas in einen unter hherem Druck stehenden Behlter gepresst. Dafr muss die mechanische Arbeit

W3 = p2 V2aufgewandt werden. Die Gesamtbilanz des Prozesses lautet:

W = W1 + W2 + W3 = p1 V1 + cv (T2 T1 ) + p2 V2

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

31

2 Grundlagen der StrmungsmechanikDie Strmungsmechanik beschreibt das Verhalten strmender Flssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase (Aerodynamik). Des Weiteren werden ideale Gase14 und ideale Flssigkeiten15 betrachtet, deren Strmungen definitionsgem reibungsfrei sind.

2.1 Kontinuittsgleichung (Massenerhaltung)Betrachtet wird die Strmung einer Flssigkeit durch eine Rhre (Abbildung 27)

27: Abbildung 27: Skizze zur Kontinuittsgleichung

Da die Flssigkeit nicht komprimiert werden kann, muss das pro Zeiteinheit in beiden Teilen des Rohres flieende Volumen gleich sein. Das in der Zeit t flieende Volumen V ist:

V = s1 A1 = s2 A2Der Weg, den die Flssigkeit in der Zeit t zurcklegt, ist proportional zu ihrer Geschwindigkeit:

s1 = v1 t ;

s2 = v2 t

Also lsst sich fr das Volumenelement V schreiben:

V = v1 A1 t = v2 A2 t14 15

ideale Gase Gase, deren Kohsion vernachlssigbar klein ist ideale Flssigkeiten sind inkompressibel

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

32

t durch die breitere und die engere Rhre flieen und es ergibt sich die sogenannte Kontinuittsgleichung

Da keine Kompression mglich ist, muss das gleiche Volumen V in der gleichen Zeit

v1 A1 = v2 A2 bzw. v1 A2 = v2 A1

2.2 Bernoulli-Gleichnung (Energieerhaltung)Betrachtet wird wieder die Strmung einer Flssigkeit durch eine Strmrhre (Abbildung zu schieben, muss bei dem dort herrschenden Druck p1 die Arbeit W1 geleistet werden:28). Um das Volumenelement V durch die Querschnittsflche A1 der Strmungsrhre

W1 = p1 V

Aufgrund der Kontinuittsgleichung dem Massenerhaltungsgesetz strmt das gleiDruck p2 die Arbeit W2 che Volumenelement V durch die Oberflche A2 aus und verrichtet beim dortigen

W2 = p2 V

28: Abbildung 28: Skizze zum Satz von Bernoulli

Es gilt nach dem Energieerhaltungsgesetz:

E1 pot + E1kin + W1 = E2 pot + E2 kin + W2 1 1 2 mgh1 + mv12 + p1V = mgh2 + mv2 + p2 V 2 2

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

33

Weiterhin kann geschrieben werden und

m = V

1 1 2 V gh1 + V v12 + p1V = V gh2 + V v2 + p2 V 2 2 bzw. 1 1 2 gh1 + v12 + p1 = gh2 + v2 + p2 2 2

oder allgemeingeodetischer Druck

gh

+

dynamischer Druck

1 v2 + p = konst. 2 Betriebsdruck

Diese sog.

Bernoulli16-Gleichung

besagt, dass fr eine Stromlinie an jedem Ort die

Summe aus statischem (Betriebsdruck und geodetischem Druck) und dynamischem Druck (Staudruck) konstant ist. Anwendungsbeispiel: nwendungsbeispiel:

Unterhalb der Schallgeschwindigkeit ist die Dichte des strmenden Mediums praktisch berall konstant. Deshalb erlaubt die Bernoulli-Gleichung die Geschwindigkeit der Strmung aus zwei Druckmessungen zu ermitteln. Im Prandtlschen Staurohr (Ludwig Prandtl, 1875-1953) wird an der Spitze der Gesamtdruck und am Mantel der statische Druck gemessen.

29: Abbildung 29: Prandtlsches Staurohr

p ges = pstat + pdyn pdyn = 1 Luft v 2 2

pdyn = p ges pstat = Flssigkeit g h v=

2 pdyn

Luft

16

D. Bernoulli (1700-1782)

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

34

2.2.1 Magnus-EffektDer Magnus-Effekt wurde 1852 von dem deutschen Physiker und Chemiker Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) entdeckt. Seine Auswirkungen spielen z.B. in der Ballistik eine wichtige Rolle. Durch den Magnus-Effekt kommt es zu Flugbahnabweichungen von rotierenden Geschossen17 (Geschossdrall bei Kanonenkugeln).

30: Magnus[8 Abbildung 30: Magnus-Effekt [8]

Rotiert ein Zylinder im Uhrzeigesinn in einem strmenden Medium (siehe Abbildung 30), so nimmt die Strmungsgeschwindigkeit an der Oberseite zu. Weil dadurch an der Oberseite Unterdruck entsteht, erfhrt der Zylinder eine senkrecht zur Strmung wirkende Kraft.

2.3 Auftrieb an umstrmten KrpernBetrachtet wird ein Krper, der von der Luft umstrmt wird. Treten bei der Umstrmung unterschiedliche Geschwindigkeiten auf der oberen und der unteren Seite des Krpers auf, so hat dies aufgrund der Bernoulli-Gleichung unterschiedliche Drcke auf der oberen und der unteren Seite des Krpers zur Folge.

31: Dynamischer Krpern Abbildung 31: Dynamischer Auftrieb an umstrmten Krpern

17

In seiner Verffentlichung "ber die Abweichung der Geschosse (1852)" begrndete Magnus

den nach ihm benannten Magnus-Effekt.

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

35

Die Abbildung 31 zeigt einen umstrmten Krper, bei dem die hhere Geschwindigkeit auf der oberen Seite ein Unterdruck auf dieser Seite zu Folge hat. Aus diesem Grund wirkt auf den Krper eine dynamische Auftriebskraft FA

FA = c A

2 v A 2

che sind.

wobei cA der Auftriebsbeiwert und A die senkrechte Projektion der angestrmten Fl-

In einem wirbelfreien Strmungsfeld knnen allerdings keine Auftriebskrfte entstehen. Der Anfahrwirbel (Abbildung 32 links), der aufgrund der Grenzschichtreibung entsteht, verursacht um den Krper eine Zirkulation, die wiederum zur unterschiedlichen Geschwindigkeit auf der oberen und der unteren Seite des umstrmten Krpers und somit zum Auftrieb fhrt.

32: Abbildung 32: Anfahrwirbel und Zirkulation [6]

Die Zirkulation verursacht auf einen Krper der Lnge l die Auftriebskraft

FA = v l berall dort wo aerodynamische Profile eingesetzt werden, ist das Ziel die Erzeugung von Auftriebskrften, also in Flugzeugtragflchen, aber z.B. auch bei Windgeneratoren oder Turbinenschaufeln von Gasturbinen.

2. Grundlagen der Strmungsmechanik

36

33: Abbildung 33: Analogie zwischen Aerodynamik und Elektrodynamik

3. Gasturbine

37

3 GasturbineGasturbinen sind nach dem Strmungsprinzip arbeitende Verbrennungskraftmaschinen. Ihr Aufbau ist relativ einfach und bietet den Vorteil einer kompakten Bauweise. Gasturbinen werden zur Deckung von Spitzenlasten in der ffentlichen Elektrizittsversorgung, als Stromerzeuger in Industriebetrieben oder als Notstromerzeuger und als Antriebsaggregat in der Luftfahrt eingesetzt.

3.1 Aufbau und WirkungsweiseIn Gasturbinenanlagen wird ein Gas (Luft) durch einen Turbokompressor verdichtet und danach durch die Verbrennung eines gasfrmigen Brennstoffs erhitzt. Die Verbrennungsgase expandieren in der Turbine und geben ihre Energie ab. Ein Teil der Energie wird zum Antrieb des Verdichters, der auf der gleichen Welle sitzt aufgewandt, mit der berschssigen Energie kann z.B. ein Generator angetrieben werden.

34: Abbildung 34: Offene Gasturbine

Kompressor (Verdichter)

Am Beginn des Gasturbinenkreisprozesses wird durch mehrstufige Verdichter, vorrangig axialer Bauart, die Kompression des Gases realisiert. Die axiale Verdichterstufe besteht aus den Gittern von Laufrad und Leitrad. Zunchst nimmt das Gas die kinetische Energie des Laufrades auf, womit der Druck erhht wird und anschlieend wird es durch das Leitrad umgelenkt, damit bei der nchsten Stufe die Richtung des Gases wieder der ursprnglichen entspricht (siehe Abbildung 35). Bei fester Geometrie ist die Beschaufelung so angeordnet, dass sie den vorgesehenen Geschwindigkeitsdreiecken im Auslegungszustand entspricht.

3. Gasturbine

38

35: Abbildung 35: Verdichterstufe Laufrad/Leitrad [7]

Brennkammer

Die Brennkammern knnen entweder ringfrmig als Einzelkammern angeordnet sein oder es ist nur eine Brennkammer als ganzer Ring vorhanden. Die erste Zndung erfolgt durch Fremdzndung, im Betriebszustand findet eine stetige Verbrennung statt. Bei der Verbrennung wird eine viel grere Luftmenge (=3 bis 5) als die zur stchiometrischen Verbrennung bentigte zugefhrt, damit die Abgastemperatur nicht zu hoch wird. Turbine

Die aus der Brennkammer strmenden heien Abgase treiben eine Axialturbine an. Der Verdichter wird von der Turbine mit angetrieben, so dass als Nutzarbeit meist nur 1/3 der in Abgasen zur Verfgung stehenden Energie gewonnen werden kann. Die Problematik der Gasturbine liegt vor allem in der Hochtemperaturbeanspruchung der Laufschaufeln. Um die heute blichen Temperaturen (700C-1000C) auszuhalten, werden speziell entwickelte Werkstoffe wie z.B. NIMONIC18 verwendet. Hufig werden die Schaufeln zustzlich von innen gekhlt, indem Verdichterluft durch die Hohlschaufeln strmt.

18

Legierung auf der Basis von Nickel, Chrom, Kobalt und Molybdn

3. Gasturbine

39

Abbildung 36: Abbildung 36: Konvektionskhlung der Laufschaufel

3.2 Offene GasturbineDie Gasturbine kann mit dem Joule-Prozess, der aus zwei adiabaten und zwei isobaren besteht beschrieben werden.

37: Abbildung 37: Offene Gasturbine Zunchst erfolgt die adiabate Komprimierung der Luft, wobei der Druck und die Temperatur des Gases erhht werden. Es gilt:

Q12 = 0 U12 = W12 = cv (T2 T1 )

Die Verbrennung stellt eine isobare Zustandsnderung dar. Durch die Verbrennung wird die Temperatur des Gases deutlich erhht und das Gas dehnt sich aus.

Q23 = c p (T3 T2 ) = cv (T3 T2 ) + R(T3 T2 ) = U 23 W23 U 23 = cv (T3 T2 ) bzw.

W23 = R(T3 T2 )

3. Gasturbine

40

Die anschlieende Expansion des Gases erfolgt adiabatisch, d.h. die Temperatur des Gases sinkt und aus der Senkung der inneren Energie wird die mechanische Arbeit verrichtet.

Q34 = 0 U 34 = W34 = cV (T4 T3 )

Nachdem das Gas die Turbine verlassen hat, khlt es sich isobar auf die Anfangstemperatur ab.

Q41 = c p (T1 T4 ) = cv (T1 T4 ) + R(T1 T4 ) = U 41 W41 U 41 = cv (T4 T1 )

bzw.

W23 = R(T4 T1 )

Die Gesamtarbeit des Prozesses ist die Summe der einzelnen bei verschiedenen Zustandsnderungen errechneten Teilarbeiten:

W = W12 + W23 + W34 + W41 = cv (T2 T1 ) R(T3 T2 ) + cv (T4 T3 ) + R(T4 T1 ) W = cv (T3 T2 ) R(T3 T2 ) + cv (T4 T1 ) + R(T4 T1 ) = (T3 T2 )( R + cv ) + (T4 T1 )( R + cv ) da R + cv = c p W = c p (T3 T2 ) + c p (T4 T1 )

Die Gesamtarbeit weist ein negatives Vorzeichen auf, da die Gasturbine mechanische Arbeit leistet. Vereinfacht kann die von der Maschine geleistete Arbeit wie bei allen Wrmekraftmaschinen als Differenz zwischen der zugefhrten und abgefhrten Wrme berechnet werden.

W = Q23 | Q41 |= c p (T3 T2 ) c p (T4 T1 )

Der thermische Wirkungsgrad kann als Verhltnis zwischen der Gesamtarbeit die von der Gasturbine abgegeben wird und der zugefhrten Wrme berechnet werden.

th =

c (T T ) c p (T4 T1 ) W W (T T ) = = p 3 2 = 1 4 1 Qzu Q23 c p (T3 T2 ) (T3 T2 )

Weiterhin gilt fr die beiden isentropen Zustandsnderungen:

p (1 ) T = konst. p(1 ) 1

T = p2

1

(1 )

T2

p 1 p 21

1

T = 2 T 1

bzw. p2(1 )

T = p1

3

(1 )

p T4 1 p 2

T = 3 T 4

3. Gasturbine

41

also T2 T3 = T1 T4

gilt bzw. T4 T3 = T1 T2

Dann kann der Wirkungsgrad wie folgt berechnet werden

T4 1) (T4 T1 ) T1 th = 1 = 1 T (T3 T2 ) T2 ( 3 1) T2 T1 (bzw.

th = 1

T1 T = 1 4 T2 T3

12) (Gleichung 12)

p th = 1 1 p 2

1

Der thermische Wirkungsgrad ist somit allein von den Druckgrenzen des Prozesses abhngig und kann nur durch eine Erhhung des Kompressionsverhltnisses und damit der Verdichtungsendtemperatur T2 erhht werden.

38: TAbbildung 38: Darstellung der Gasturbine im E, T-Diagramm

Eine andere Mglichkeit der Steigerung des Wirkungsgrades ist die Einschaltung eines Wrmetauschers.

3.3 Gasturbine mit WrmetauscherDie Aufgabe des Wrmetauschers ist es, einen Teil der in den Verbrennungsgasen enthaltenen Wrme auf die durch den Kompressor verdichtete Luft zu bertragen. Durch diese Manahme kann die Lufttemperatur beim Eintritt in die Brennkammer genau die Abgastemperatur T4 aufweisen.

3. Gasturbine

42

der Gasturbine mit Wrmetauscher:

Wenn in der Gleichung 11 T2 durch T4 ersetzt wird, ergibt sich fr den Wirkungsgrad

th = 1

T1 T = 1 2 T4 T3

4. Verbrennung

43

4 VerbrennungDie in der Gasturbine (i.A. Wrmekraftmaschinen) verwendete Wrme wird durch Verbrennung gasfrmiger Brennstoffe erzeugt. Verbrennungen sind endotherme19 chemische Reaktionen (Oxidation), bei denen immer Sauerstoff erforderlich ist. Um eine vollkommene Verbrennung zu erreichen, mssen alle Bestandteile des Brennstoffs den Oxidationsprozess durchlaufen und ausreichend Sauerstoff zugefhrt werden. In diesem Falle enthalten die Abgase keine brennbaren Bestandteile des Brennstoffs. Wird dem Brennstoff nur die theoretische zur Verbrennung notwendige Mindestluftmenge (stchiometrische Luftmenge) zugefhrt, spricht man von der theoretischen Verbrennung unter stchiometrischen Bedingungen. Diese Art der Verbrennung wird mit der Luftzahl =1 gekennzeichnet. Die Luftzahl beschreibt das Verhltnis zwischen der tatschlich zugefhrten Luftmenge L und der theoretischen Mindestluftmenge Lmin und ist bei einer vollkommenen Verbrennung immer grer 1.

=

L Lmin

4.1 Heizwert (Verbrennungswrme)Die bei einer vollstndigen Verbrennung einer bestimmten Menge Brennstoffs frei werdende Wrme wird als Heizwert bezeichnet. Alle Brennstoffe deren Verbrennungsprodukte auch Wasser enthalten, haben einen oberen und einen unteren Heizwert. Die Unterscheidung ergibt sich daraus, ob das Verbrennungsprodukt Wasser flssig oder gasfrmig ist. Der obere Heizwert beschreibt die freiwerdende Wrmemenge bei vollstndiger Verbrennung von 1Nm3 (Norm-Kubikmeter) Gases, wenn das Verbrennungsprodukt Wasser flssig vorliegt, der untere Heizwert ist dagegen die freiwerdende Wrmemenge, wenn das gesamte Wasser als Wasserdampf vorliegt. Der untere Heizwert unterscheidet sich also vom oberen um den Wert der Verdampfungswrme des bei der Verbrennung entstanden Wassers

Hu < HoDa bei den meisten Verbrennungsvorgngen die Abgase nicht auf die Normtemperatur zurckgefhrt werden, wird bei der Aufstellung von Wrmebilanzen der untere Heizwert verwendet. Der Heizwert eines Brennstoffes ist nicht davon abhngig, wie gro die bei der Verbrennung zugefhrte Luftmenge ist, wichtig ist nur dass die Verbrennung vollstndig ist.19

endotherm Wrme wird frei

4. Verbrennung

44

Einheit

Dichte in kg

1 Liter entspr. 1,00 lt 0,96 lt 1,05 m 0,78 kg Heizl

Einheit 10,0 10,7 9,6 12,8

kWh

Hu

kWh kg 12,0 11,6 13,5 12,8

Hu

Einheit 10,50 11,56 11.07

kWh

Ho

kWh kg 12,6 12,5 15,8

Ho

Heizl Extra Leicht Heizl Leicht Erdgas Flssiggas

Liter Liter m kg

0,835 0,925 0,70 1,00

4.2 VerbrennungsgleichungenVerbrennungen lassen sich als chemische Vorgnge mit den in der Chemie blichen Formeln beschreiben. Auf der linken Seite befinden sich die eine chemische Verbindung eingehenden Bestandteile (z.B. Erdgas und Sauerstoff) und auf der rechten Seite die Verbrennungsprodukte und die freigesetzte Wrme. a) Verbrennung von Kohlenstoff zu Kohlensure:

C

+

O2

CO2

+

Q 112,8kWh

1kmol + 12kg +

1kmol 32kg

1kmol + 44kg

b) Verbrennung von Wasserstoff zu flssigem Wasser:

2H 2

+

O2

2 H 2O + 2kmol + 36kg

Q 158,9kWh

2kmol + 4kg +

1kmol 32kg

c) Verbrennung von Wasserstoff zu gasfrmigem Wasser:

2H 2

+

O2

2 H 2O + 2kmol + 36kg

Q 133,9kWh

2kmol + 4kg +

1kmol 32kg

d) Verbrennung von Methan zu Kohlendioxid und gasfrmigem Wasser:

CH 4

+

2O2

CO2

+

2 H 2O + 2kmol + 36kg

Q 224kWh

1kmol + 16kg +

2kmol 64kg

1kmol + 44kg +

Da die Verbrennung im Normalfall nicht mit reinem Sauerstoff sondern mit Luft erfolgt, muss bei der Berechnung der Mindestluftmenge die Zusammensetzung der Luft bercksichtigt werden.Stickstoff Sauerstoff Edelgase Kohlenstoffdioxid 78% 21% < 1% 0,03%

4. Verbrennung

45

Daraus folgt, dass die stchiometrische Luftmenge

Lmin =betrgt.

100 Omin 21

Das bedeutet, dass zur Verbrennung von 16kg Methan 304kg Luft bentigt werden. Die Gleichung, die die Verbrennung von Methan beschreibt, kann unter Bercksichtigung der Zusammensetzung der Luft wie folgt geschrieben werden:

CH 4

+ 2O2

+ 8N 2 + 8kmol

CO2 1kmol

+2 H 2 O +2kmol

+ N2 +8kmol

+Q +224kWh

1kmol + 2kmol

Eine Verbrennung ist ein isobarer Vorgang, daher kann aus der bekannten freigesetzten Wrmemenge die Temperatur der Verbrennungsprodukte errechnet werden:

Q = n Cmp T

T =

Q n Cmp

molare Wrmekapazitt setzt sich aus den molaren Wrmekapazitten einzelner abhngig sind:

Die Berechnung der molaren Wrmekapazitt Cmp ist etwas komplizierter. Die gesamte

Verbrennungsprodukte zusammen, welche wiederum von der Verbrennungstemperatur

n Cmp (T ) = Cmpi (T ) niwobei cpi die Wrmekapazitt und ni die Anzahl der Mole der einzelnen Bestandteile ist.

Eine Vereinfachung erfolgt, wenn die Verbrennungstemperatur zunchst geschtzt wird und die entsprechenden molaren Wrmekapazitten der Rauchgasbestandteile verwendet werden.

in C0 100 200 500 1000 1100 1200 1300 1400 1500

H228,64 29,14 29,27 29,60 31,32 31,74 32,20 32,42 33,04 33,41

O229,27 29,90 30,82 33,58 35,97 36,26 36,51 36,76 37,01 37,26

N229,14 29,23 29,48 31,28 34,08 34,46 34,79 35,09 35,34 35,59

CO236,01 40,32 43,80 51,00 57,07 57,78 58,45 59,04 59,50 59,92

H2033,50 34,08 34,96 38,39 44,72 45,85 46,89 47,86 48,74 49,57

Wrmekapazitt Tabelle 4: Mittlere molare Wrmekapazitt Cmp in kJ/kmol K von Gasen bei konstantem Druck

Bei der stchiometrischen Verbrennung von Methan und einer angenommenen Temperatur von 1500C kann geschrieben werden:

4. Verbrennung

46

11kmol Cmp = 1kmol 59,92

kJ kJ kJ kJ + 2kmol 49,57 + 8kmol 35,59 = 443,78 kmolK kmolK kmolK K kJ 443,78 K = 40,34 kJ bzw. Cmp = 11kmol kmolK

Daraus ist die Temperaturdifferenz vor und nach der Verbrennung

T =

Q 224kWh = 1820 K n Cmp 11kmol 40,34 kJ kmolK

Die errechnete Temperaturdifferenz zeigt, dass bei einer stchiometrischen Verbrennung fr technische Anwendungen eine zu hohe Temperatur erreicht wird. Deswegen erfolgen die meisten Verbrennungen mit einem Luftberschuss, d.h. mit einer Luftzahl >1 (bei einer Gasturbine liegt die Luftzahl zwischen 3 und 5).

4. Verbrennung

47

LITERATUR[1] Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin. Physik fr Ingenieure, VDI-Verlag GmbH, Dsseldorf 1992 [2] Menny, Klaus. Strmungsmaschinen, Teubner-Verlag, 2000 [3] Baehr, Hans Dieter. Thermodynamik, Springer-Verlag, 1996 [4] Doering, Ernst. Technische Wrmelehre, Teubner-Verlag, 1968 [5] Winter, Friedrich Wilhelm. Technische Wrmelehre, Girardet-Verlag, 1972 [6] http://www.quarks.de/fliegen2/02.htm [7] http://www.hawhamburg.de/pers/Braeunling/Wahlpflicht_01/Axialverdichter/axialverdichter.html [8] http://wpax32.physik.uniwuerzburg.de/video2/alpha/FluidDynamik/node24_mn.html